Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης"

Transcript

1 Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι δεν επαληθεύουν καµία πολυωνυµική εξίσωση µε ακέραιους συντελεστές (οι πραγµατικοί αριθµοί που είναι ϱίζες πολυώνύµων µε ακεραίους συντελεστές λέγονται αλγεβρικοί αριθµοί). Κάποια µεµονωµένα προβλήµατα, σχετικά µε αυτό το ϑέµα, είχαν διατυπωθεί πολύ νωρίτερα, και η µελέτη των άρρητων αριθµών απασχολούσε πολλούς µαθηµατικούς επί έναν αιώνα νωρίτερα. Ηδη το 744, ο Euler είχε αποδείξει ότι ο e είναι άρρητος, και το 76 ο Lambert απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος. Την ίδια περίοδο, η µελέτη των συνεχών κλασµάτων είχε οδηγήσει σε αρκετά συµπεράσµατα σχετικά µε την προσέγγιση των άρρητων αριθµών από ϱητούς. Ηταν, για παράδειγµα, γνωστό ότι για κάθε άρρητο αριθµό α υπάρχει µια άπειρη ακολουθία ϱητών αριθµών p/q (µε q > 0) που ικανοποιούν την α p/q < /q. Ηταν επίσης γνωστό ότι το συνεχές κλάσµα ενός τετραγωνικού άρρητου αριθµού α είναι τελικά περιοδικό, άρα υπάρχει µια ϑετική σταθερά c(α) τέτοια ώστε α p/q > c(α)/q για κάθε ϱητό αριθµό p/q (µε q > 0). Περιγράφουµε κάποια από αυτά τα αποτελέσµατα στις Παραγράφους και 3. Ο Liouville παρατήρησε ότι ένα αποτέλεσµα αυτού του είδους ισχύει γενικότερα, και ότι στην πραγµατικότητα υπάρχει κάποιο όριο στον ϐαθµό ακρίβειας µε τον οποίο ένας άρρητος αλγεβρικός αριθµός µπορεί να προσεγγιστεί από ϱητούς αριθµούς. Αυτή η παρατήρηση του έδωσε ένα πρακτικό κριτήριο µε ϐάση το οποίο ϑα µπορούσε να κατασκευάσει υπερβατικούς αριθµούσ: Για κάθε αλγεβρικό αριθµό α ϐαθµού n >, υπάρχει σταθερά c(α) > 0 τέτοια ώστε α p/q > c(α)/q n για κάθε ϱητό αριθµό p/q µε q > 0. Ξεκινώντας από αυτήν την παρατήρηση, ο Liouville απέδειξε ότι ο αριθµός ξ = n= είναι υπερβατικός αριθµός. Στην πραγµατικότητα, µπορεί κανείς χρησιµοποιώντας την ίδια ιδέα να αποδείξει την υπερβατικότητας πολλών άλλων αριθµών : κάθε αριθµός που το δεκαδικό του ανάπτυγ- µα περιέχει οσοδήποτε µεγάλες ακολουθίες διαδοχικών µηδενικών ψηφίων είναι υπερβατικός, επίσης κάθε συνεχές κλάσµα του οποίου τα µερικά πηλίκα αυξάνουν πολύ γρήγορα είναι υπερβατικός. Οι αριθµοί αυτού του είδους, δηλαδή οι πραγµατικοί αριθµοί ξ για τους οποίους υπάρχει µια άπειρη ακολουθία ϱητών προσεγγίσεων p n /q n τέτοιων ώστε ξ p n /q n < /qn ωn µε lim sup ω n =, ονο- µάστηκαν αριθµοί Liouville, και είναι όλοι υπερβατικοί. Περιγράφουµε αυτά τα αποτελέσµατα στις Παραγράφους 4 και 5, όπου δείχνουµε επίσης ότι το σύνολο των αριθµών Liouville έχει µηδενικό µέτρο Lebesgue. 0 n!

2 Από την άλλη πλευρά, ένας έµµεσος τρόπος απόδειξης της ύπαρξης υπερβατικών αριθµών είναι µέσω της έννοιας της αριθµησιµότητας, η οποία εισήχθη από τον Cantor το 874. Μπορεί κανείς να αποδείξει ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθµών είναι αριθµήσιµο, άρα «σχεδόν όλοι» οι πραγµατικοί αριθµοί είναι υπερβατικοί. Στην Παράγραφο 5 δίνουµε ένα παράδειγµα υπερβατικού αριθµού ο οποίος δεν είναι αριθµός Liouville. Τέλος, στην Παράγραφο 6 δίνουµε µια σύντοµη περιγραφή της απόδειξης της υπερβατικότητας των αριθµών e και π. Ρητές προσεγγίσεις Θεώρηµα. (Dirichlet). Αν ξ είναι ένας πραγµατικός και άρρητος αριθµός, τότε υπάρχουν άπειροι το πλήθος ϱητοί αριθµοί p/q τέτοιοι ώστε (.) ξ p q < q. Απόδειξη. Εστω Q. Για κάθε πραγµατικό αριθµό a R, συµβολίζουµε µε [a] τον µεγαλύτερο ακέραιο που δεν ξεπερνάει τον a, και τον ονοµάζουµε ακέραιο µέρος του a, και ϑέτουµε {a} = a [a], το κλασµατικό µέρος του a. Θεωρούµε τα κλασµατικά µέρη {0ξ}, {ξ}, {ξ}, {3ξ},..., {Qξ} και τα διαστήµατα [i/q, (i+)/q], 0 i Q?. Υπάρχουν Q + κλασµατικά µέρη που διανέµονται µεταξύ των Q διαστηµάτων. Συνεπώς, πρέπει να υπάρχει κάποιο διάστηµα που περιέχει τουλάχιστον δύο από τα κλασµατικά µέρη, δηλαδή τα {aξ} και {bξ}, 0 a < b Q, ϐρίσκονται στο [j/q, (j + )/Q] για κάποιο j. Το γεγονός ότι ϐρίσκονται στο ίδιο διάστηµα σηµαίνει ότι {bξ} {aξ} /Q. Γράφουµε aξ = m + {aξ} και bξ = n + {bξ} για κατάλληλους ακέραιους m και n. Τότε, {bξ} {aξ} = (bξ n) (aξ m) = (b a)ξ (n m). Γράφοντας q = b a (οπότε 0 q Q) και p = n m ϐλέπουµε ότι ξ p q < qq για κάποιο 0 q Q. εδοµένου ότι αυτό ισχύει για όλα τα Q έχουµε άπειρες λύσεις της (.) (παρατηρήστε ότι όταν q Q). qq q Το επόµενο ϑεώρηµα του Hurwitz ϐελτιώνει το ϑεώρηµα του Dirichlet. Θεώρηµα. (Hurwitz). Αν ξ είναι ένας πραγµατικός και άρρητος αριθµός, τότε υπάρχουν άπειροι το πλήθος ϱητοί αριθµοί p/q τέτοιοι ώστε ξ p q <. 5q Η απόδειξη του Θεωρήµατος. χρησιµοποιεί την ϑεωρία των συνεχών κλασµάτων. Η σταθερά 5 είναι η καλύτερη δυνατή, µε την έννοια ότι το αποτέλεσµα δεν ισχύει, αν αντικαταστήσουµε την 5 από έναν µεγαλύτερο αριθµό. ηλαδή, αν c > 5 τότε υπάρχουν άρρητοι ξ για τους οποίους υπάρχουν µόνο πεπερασµένοι το πλήθος ϱητοί p/q που ικανοποιούν την σχέση ξ p/q < cq. Ειδικότερα, ο ξ = + 5 είναι µια τέτοια εξαίρεση. Ωστόσο, µπορεί κανείς να αποδείξει ότι ο αριθµός των εξαιρέσεων είναι σχετικά µικρός.

3 Θεώρηµα.3. Αν η f(q)/q είναι αύξουσα συνάρτηση του q και η σειρά q= f(q) είναι αποκλίνουσα, τότε για όλα σχεδόν τα ξ µπορούµε να ϐρούµε µια άπειρη ακολουθία ϱητών p/q, q > 0 έτσι ώστε ξ p q < qf(q). Αυτό το αποτέλεσµα δείχνει επίσης ότι τάξεις προσέγγισης όπως οι ξ p q < q και < log q q log q log log q είναι εφικτές, για σχεδόν όλα τα ξ. εν ϑα δώσουµε την απόδειξη του Θεωρήµατος.3, στην επόµενη όµως παράγραφο αποδεικνύουµε ένα µερικό αντίστροφό του. 3 Λήµµα Borel-Cantelli Παρατήρηση 3.. Εστω (A i ), i µια ακολουθία συνόλων. Ενα στοιχείο x ϑα ανήκει σε πεπε- ϱασµένα από τα A i, αν και µόνο αν υπάρχει N ώστε : για κάθε n N το x δεν ανήκει στο A n. Ετσι, το στοιχείο x ϑα ανήκει σε άπειρα από τα A i αν και µόνο αν για κάθε N υπάρχει n N ώστε το x να ανήκει στο A n, δηλαδή αν και µόνο αν x N= k=n A k. Θεώρηµα 3. (λήµµα Borel-Cantelli). Εστω (X, F, µ) χώρος µέτρου. i= µ(a i) <, τότε Αν A, A,... F και µ({x : το x ανήκει σε άπειρα από τα A i }) = 0. Απόδειξη. Από την παρατήρηση αρκεί να αποδειχθεί ότι ( ) µ A k = 0. N= k=n Εστω ε > 0. Από την υπόθεση ότι η σειρά i= µ(a i) συγκλίνει έχουµε ότι υπάρχει M τέτοιο ώστε µ(a i ) < ε. Για αυτό το M έχουµε επίσης i=m N= k=n A k 3 k=m A k.

4 Άρα, χρησιµοποιώντας διαδοχικά τη µονοτονία και την υποπροσθετικότητα του µ, έχουµε ( ) ( ) µ A k µ A k µ(a i ) < ε. N= k=n k=m i=m Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έχουµε το Ϲητούµενο. Το λήµµα Borel-Cantelli έχει πολλές εφαρµογές στην Θεωρία Πιθανοτήτων, αλλά εδώ δίνουµε µία εφαρµογή στην Θεωρία Αριθµών, σχετικά µε τις προσεγγίσεις από ϱητούς αριθµούς. Θεώρηµα 3.3. Εστω f : N R. Ορίζουµε D [0, ] ως εξήσ: α D αν και µόνο αν υπάρχουν άπειροι p/q, p, q Z, q > 0 τέτοιοι ώστε α p q < qf(q). Τότε, αν q= έχουµε ότι το µέτρο Lebesgue του D είναι µηδέν. Απόδειξη. Ορίζουµε A q = 0 p q f(q) < ( p q qf(q), p q + ). qf(q) Τότε, α D αν και µόνο αν α A q [0, ] για άπειρα q, έτσι αρκεί να δείξουµε ότι ( ) µ (A k [0, ]) = 0. Ακόµα, Άρα, N= k=n µ(a q [0, ]) µ(a q ) q= q p=0 (q + ) 4 qf(q) qf(q) f(q). 4 µ(a q [0, ]) f(q) <. Ετσι, τα A q [0, ] ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του Θεωρήµατος 3. και άρα ( ) µ (A k [0, ]) = 0, δηλαδή µ(d) = 0. N= k=n q= 4

5 Σηµείωση 3.4. Αυτό το ϑεώρηµα δείχνει ότι το αποτέλεσµα του Dirichlet δεν µπορεί να πάρει την ισχυρότερη µορφή ξ p q < q (log q), για παράδειγµα, για πολλά ξ. Είναι προφανές ότι αυτό το αποτέλεσµα είναι το αντίστροφο του Θεωρήµατος.3 όπου χρειάζεται επίσης η f(q)/q να είναι αύξουσα συνάρτηση του q. Για µια τέτοια f, ϐλέπουµε ότι υπάρχουν δύο περιπτώσεις για τη σειρά f(q), q= είτε ϑα αποκλίνει όπως στο Θεώρηµα.3, και η ιδιότητα ισχύει για όλους σχεδόν τους αριθµούς, είτε ϑα συγκλίνει όπως στο Θεώρηµα 3.3, και η ιδιότητα δεν ισχύει σχεδόν για κανένα αριθµό. Λέµε ότι η ιδιότητα ικανοποιεί τον 0 νόµο. Οπως παρατηρήσαµε πιο πάνω, αυτό αποδεικνύει ότι το αποτέλεσµα του Dirichlet για ϱητές προσεγγίσεις δεν µπορεί να ϐελτιωθεί ουσιαστικά για όλα τα ξ. Ωστόσο, υπάρχουν αριθµοί ξ που έχουν εξαιρετικά καλές προσεγγίσεις. 4 Αριθµοί Liouville Θεώρηµα 4.. Για κάθε αλγεβρικό αριθµό α ϐαθµού n >, υπάρχει M = M(α) > τέτοιος ώστε α p q > Mq n για όλους τους ακεραίους p, q µε q > 0. Απόδειξη. Αν υπάρχει p/q τέτοιος ώστε α p q > τότε το αποτέλεσµα ισχύει κατά τετριµµένο τρόπο, οπότε υποθέτουµε ότι για κάθε ϱητό p/q ικανοποιείται η αq p q. Υποθέτουµε ότι ο α είναι µια ϱίζα του f(x) = a 0 + a x + a x + + a n x n, όπου a i Z. εδοµένου οποιουδήποτε p/q, πρέπει να έχουµε f(p/q) 0 γιατί αλλιώς (δηλαδή, αν το p/q είναι ϱίζα του f) ϑα µπορούσαµε να γράψουµε το f στη µορφή f(x) = (xq p)g(x) για κάποιο πολυώνυµο g µε ακέραιους συντελεστές, αλλά µε deg(g) = n. Επίσης, δεδοµένου ότι α είναι αλγεβρικός ϐαθµού αυστηρά µεγαλύτερου από, ϑα είχαµε ότι g(α) = 0 οπότε το α ϑα ήταν αλγεβρικός αριθµός ϐαθµού n. Το οποίο είναι άτοπο. Ετσι, 0 f(p/q) = a 0q n aa pq n + a p q n + + a n p n q n. 5

6 Κατά συνέπεια, ο a 0 q n aa pq n + a p q n + + a n p n είναι ακέραιος δεδοµένου ότι p, q, a i Z και δεν είναι ίσος µε 0. Άρα, ϑα πρέπει να έχουµε και έπεται ότι a 0 q n + a pq n + a p q n + + a n p n f ( ) p q q n. Για έναν πραγµατικό αριθµό x κοντά στο α µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής για να πάρουµε f(x) = f(x) f(α) = f (ζ) x α για κάποιο ζ τέτοιο ώστε ζ α α x. Επιλέγουµε x = p/q το οποίο από την παραπάνω υπόθεση ικανοποιεί την p/q α, και έτσι για το ζ έχουµε ότι ζ α p/q α. Θέτουµε M = sup{, f (ζ) : ζ α }. Τότε, συνδυάζοντας τις τρεις προηγούµενες σχέσεις έχουµε ( ) q n p f = f (ζ) p q q α M p q α, το οποίο είναι και το Ϲητούµενο. Παράδειγµα 4.. Μπορούµε να ακολουθήσουµε την µέθοδο της απόδειξης του παραπάνω ϑεωρήµατος όταν α = + 5. Τότε f(x) = x x και f (x) = x. Καθώς παίρνουµε όλο και καλύτερες προσεγγίσεις p/q του α, το ζ, το οποίο ϐρίσκεται µεταξύ των α και p/q πρέπει να προσεγγίζει όλο και καλύτερα τον α, δηλαδή, η f (ζ) πρέπει να προσεγγίζει όλο και καλύτερα την f (α) = 5. Ετσι, δεν µπορούµε να πάρουµε M µεγαλύτερο από 5, και αυτό επιβεβαιώνοντας το γεγονός ότι η σταθερά του ϑεωρήµατος του Hurwitz είναι ϐέλτιστη. Το ϑεώρηµα του Liouville έχει ϐελτιωθεί : για οποιονδήποτε αλγεβρικό αριθµό α (οποιουδήποτε ϐαθµού) και για κάθε κ > υπάρχει µια σταθερά c = c(α, κ) τέτοια ώστε α p q > c q κ για όλους τους ϱητούς p/q. Από το ϑεώρηµα του Dirichlet ϕαίνεται ότι αυτό είναι το καλύτερο δυνατό αποτέλεσµα, αφού δεν µπορούµε να πάρουµε κ. Παραδόξως, δεν υπάρχουν γνωστοί τύποι ή µέθοδος υπολογισµού της σταθεράς c(α, κ) εν γένει. Υπάρχουν µόνο για συγκεκριµένους α και συγκεκριµένες τιµές του κ. Για παράδειγµα, c( 3,.955) 0 6, δηλαδή, 3 p q > 0 6 q.955 για όλους τους ϱητούς p/q. Ορισµός 4.3. Ενας πραγµατικός αριθµός α λέγεται αριθµός Liouville αν ο α είναι άρρητος και για κάθε n υπάρχουν ακέραιοι p, q µε q > 0 τέτοιοι ώστε α p q < q n. 6

7 Παράδειγµα 4.4. Ο είναι αριθµός Liouville. α = k= 0 k! Απόδειξη. Εστω α N το άθροισµα των N πρώτων όρων της σειράς. Τότε, α N = N! = 0N! + 0 N! N + 0 N! = 0n 0 N! = p 0 N!, για κάποιον ακέραιο p, ο οποίος είναι της µορφής 0n +, άρα είναι σχετικά πρώτος προς τον 0 N!. Τότε, α p = 0 N! 0 + (N+)! 0 + (N+)! 0 + (N+3)! < 0 < (N+)! (0 N! ) N. Ετσι, για κάθε N µπορούµε να ϐρούµε µια πολύ καλή προσέγγιση του α από ϱητούς, και έτσι ο α είναι αριθµός Liouville. Θεώρηµα 4.5. Κάθε αριθµός Liouville είναι υπερβατικός. Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι το συµπέρασµα δεν ισχύει, δηλαδή υπάρχει ένας αριθµός Liouville α ο οποίος είναι αλγεβρικός ϐαθµού n, για κάποιο n. Παρατηρήστε ότι n > αφού ο α είναι άρρητος. Τότε, από το Θεώρηµα 4. έπεται ότι υπάρχει M τέτοιος ώστε α p q > Mq n για όλους τους ακέραιους p, q > 0. Επιλέγουµε έναν ακέραιο k n τέτοιον ώστε q k > q n M. Τότε, αφού ο α είναι αριθµός Liouville, µπορούµε να ϐρούµε ακέραιους p, q > 0 τέτοιους ώστε α p q < q k < Mq n λόγω της επιλογής του k. Το οποίο είναι άτοπο. Άρα κάθε αριθµός Liouville είναι υπερβατικός. Εστω E το σύνολο όλων των αριθµών Liouville. Θεώρηµα 4.6. Το σύνολο E έχει µέτρο Lebesgue µηδέν στο [0, ]. 7

8 Απόδειξη. Από τον ορισµό έχουµε α E αν και µόνο αν α Q c και για κάθε k υπάρχουν ακέραιοι p, q > 0 τέτοιοι ώστε α p q < q k. Άρα, E = Q c = Q c [ k= p= q= G k, k= όπου G k = ( p p= q= q, p q k q ). + Παρατηρούµε ότι q k G k [0, ] Εστω µ το µέτρο Lebesgue στο R. Τότε µ(g k [0, ]) = = 4 q q= p=0 q q= p=0 q q= p=0 q= q= ( p q q k, p q + ) ] q k ( p q q k, p q + ) q k. ( (p µ q q k, p q + )) q k q k (q + ) q k q k. Για να ϕράξουµε αυτό το άθροισµα παρατηρούµε ότι q q k < dt q t k επειδή t k q k για t [q, q]. Ετσι, q= q k < dt t k = k. Άρα, µ(g k [0, ]) 4/(k ). Αλλά E [0, ] G k [0, ] για κάθε k, άρα για κάθε k. Συνεπώς, µ(e [0, ]) = 0. µ(e [0, ]) 4 k 8

9 5 Η αρχή της ϑεωρίας των υπερβατικών αριθµών Θεώρηµα 5.. Υπάρχουν υπερβατικοί αριθµοί. Η πρώτη απόδειξη ύπαρξης υπερβατικών αριθµών δόθηκε από τον Liouville. Πριν δώσουµε την απόδειξή του, ϑα δούµε την απόδειξη του Cantor. Η απόδειξη του Cantor: Η ιδέα αυτής της απόδειξης είναι ότι οι πραγµατικοί αλγεβρικοί αριθµοί είναι αριθµήσιµοι, ενώ το σύνολο όλων των πραγµατικών αριθµών είναι υπεραριθµήσιµο, οπότε ϑα πρέπει να υπάρχουν πραγµατικοί υπερβατικοί αριθµοί. Ορίζουµε n P (n) = f(x) = n a j x j Z[x] : a j n. Παρατηρούµε ότι τα P (n) είναι πεπερασµένα σύνολα. Επίσης, κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο στο Z[x] ανήκει σε κάποιο από τα P (n). Θεωρώντας τις ϱίζες των πολυωνύµων των P (), P (),... (στο k-οστό στάδιο συλλέγουµε τις πραγµατικές ϱίζες των πολυωνύµων του P (k) που δεν είναι ϱίζες πολυωνύµων του P (j) για j < k) έχουµε ότι το σύνολο των ϱιζών (και κατ επέκταση των αλγεβρικών αριθµών) είναι αριθµήσιµο. Η απόδειξη του Liouville δόθηκε στο Θεώρηµα 4.5 που ισχυρίζεται ότι κάθε αριθµός Liouville είναι υπερβατικός. Βέβαια, χρειάζεται να αποδειχθεί και η ύπαρξη αριθµών Liouville η οποία έπεται από το Παράδειγµα 4.4. Παράδειγµα 5.. Θα δείξουµε ότι ο α = είναι αριθµός Liouville. Αρχικά, παρατηρούµε ότι το δυαδικό ανάπτυγµα του α περιέχει οσοδήποτε µεγάλες ακολουθίες διαδοχικών µηδενικών ψηφίων, άρα ο α δεν µπορεί να είναι ϱητός. Σταθεροποιούµε έναν ϑετικό ακέραιο n και ϑεωρούµε τον p n q = j!, µε p, q Z και q = n! >. Τότε, 0 < α p q = j! < j=n+ j=(n+)! j! j = (n+)! = n(n!) q n. Άρα, ο α είναι αριθµός Liouville. Επεται µάλιστα από τα παραπάνω ότι είναι υπερβατικός. Παρατήρηση 5.3. Υπάρχει και πιο ισχυρή έκδοση του Θεωρήµατος 4.: Θεώρηµα 5.4 (Thue-Siegel-Roth). Εστω α αλγεβρικός και άρρητος. Εστω ε > 0. Τότε υπάρχουν το πολύ πεπερασµένα το πλήθος Ϲεύγη ακεραίων (p, q) µε q > 0 τέτοια ώστε α p q < q +ε. 9

10 εν είναι γνωστό αν στην παραπάνω ανισότητα µπορούµε να αντικαταστήσουµε το δεξί της µέλος µε το A/q όπου A = A(α) µία ϑετική σταθερά που εξαρτάται µόνο από το α. Με αφορµή το Παράδειγµα 5. ας υποθέσουµε ότι µας δίνουν µια ακολουθία ϑετικών ακεραίων {a k } k= µε a < a <.... Η σειρά k=0 a είναι υπερβατικός αριθµός αν η ακολουθία {a k k} αυξάνει αρκετά γρήγορα, δηλαδή a k+ lim inf =. k a k Από την άλλη πλευρά, κάποιες ακολουθίες που αυξάνουν πολύ πιο αργά ενδέχεται να οδηγούν κι αυτές σε υπερβατικούς αριθµούς, µια παρατήρηση που έκανε πρώτος ο Erdos. Το επόµενο ϑεώρηµα επιβεβαιώνει ότι η παρατήρηση του Erdos ισχύει. Και ο παρακάτω αριθµός δεν είναι αριθµός Liouville. Θεώρηµα 5.5. Ο αριθµός k=0 k είναι υπερβατικός. Για να αποδείξουµε το ϑεώρηµα, για ϑετικούς ακεραίους k και m, ορίζουµε c(k, m) να είναι το πλήθος των m-άδων (j, j,..., j m ) µη αρνητικών ακεραίων για τους οποίους Λήµµα 5.6. c(k, m) m m. k = j + j + + jm. Απόδειξη. Κάνουµε επαγωγή στο m. Για m = έχουµε c(k, m) {0, } για κάθε k, άρα το συµπέρασµα ισχύει. Υποθέτουµε ότι m >. Αν ο k έχει περισσότερα από m µη µηδενικά δυαδικά ψηφία, τότε έπεται ότι c(k, m) = 0. Αν ο k έχει ακριβώς m µη µηδενικά δυαδικά ψηφία, τότε c(k, m) = m! m m m m (j αντιστοιχεί σε οποιοδήποτε από τα m µη µηδενικά ψηφία, j αντιστοιχεί σε οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα m µη µηδενικά ψηφία, και ούτω καθεξής). Αν ο k έχει λιγότερα από m µη µηδενικά δυαδικά ψηφία, τότε για κάποιους ακεραίους r και s µε r < s m, έχουµε j r = j s. Στην περίπτωση αυτή, jr + js = jr+, και συµπεραίνουµε ότι ( ) m c(k, m) c(k, m ) m (m ) m m m, συνεπώς η απόδειξη ολοκληρώθηκε. ; Λήµµα 5.7. Εστω t και m ϑετικοί ακέραιοι. Τότε, c(k, m) = 0 για κάθε ακέραιο k ( t+ + t+ + + t+m, t+m+ ). Απόδειξη. Αυτό προκύπτει από την απόδειξη του Λήµµατος 5.6 αφού ο k έχει > m µη µηδενικά δυαδικά ψηφία. Απόδειξη του Θεωρήµατος 5.5. Εστω α = k=0 k. Εστω m ϑετικός ακέραιος. Τότε από τον ορισµό του c(k, m) έπεται ότι α m = ( k k=0 ) m = k= c(k, m) k. 0

11 Εστω t ϑετικός ακέραιος. Χρησιµοποιώντας το Λήµµα 5.7 και στη συνέχεια το Λήµµα 5.6, έχουµε { t + + t+m α m} t+ + + t+m t+ + + t+m t+ + + t+m m m k= t+ + + t+m + c(k, m) k k= t+m+ k= t+m+ k c(k, m) k t+ + + t+m m m t+m+ + = t+ m m. Αν σταθεροποιήσουµε το m και αφήσουµε το t να τείνει στο άπειρο, ϐλέπουµε ότι το δυαδικό ανάπτυγµα του α m περιέχει οσοδήποτε µεγάλες ακολουθίες διαδοχικών µηδενικών ψηφίων. Με την ίδια λογική, ϐλέπουµε ότι, γενικότερα, αν b 0, b,..., b m είναι µη αρνητικοί ακέραιοι, τότε το δυαδικό α- νάπτυγµα του b 0 + b α + + b m α m περιέχει οσοδήποτε µεγάλες ακολουθίες διαδοχικών µηδενικών ψηφίων. Μάλιστα, εάν b 0, b,..., b m και c 0, c,..., c m είναι µη αρνητικοί ακέραιοι και αν έχουµε τα δυαδικά αναπτύγµατα {b 0 + b α + + b m α m } = (0.d d d 3...) και {c 0 + c α + + c m α m } = (0.d d d 3...), τότε για κάθε ϑετικό ακέραιο N, υπάρχει ένας ϑετικός ακέραιος j για τον οποίο d j+ = d j+ = = d j+n = d j+ = d j+ = = d j+n = 0. Επιπλέον, µπορούµε να επιλέξουµε τους N και j έτσι ώστε N = t και j = t+ + + t+m µε τον t ακέραιο όσο µεγάλο (αλλά ίσως όχι όσο µικρό) ϑέλουµε. Τώρα, ας υποθέσουµε ότι ο α είναι ϱίζα του f(x) = n a jx j Z[x] µε a n > 0 (το οποίο ισχύει αν ο α είναι αλγεβρικός). Τότε µπορούµε να γράψουµε το f(x) στη µορφή f(x) = n b j x j n c j x j, όπου οι b j και c j είναι µη αρνητικοί ακέραιοι µε b j c j = 0 για κάθε j. Ειδικότερα, b n = a n > 0 και c n = 0. Παίρνουµε m = n, και ορίζουµε N = t, όπου t είναι ένας ϑετικός ακέραιος και ο j = j(t) είναι όπως παραπάνω. Τότε, οι n n j+t b i α i και j+t c i α i διαφέρουν και οι δύο από έναν ακέραιο απόσταση / N t = / t + t. Αν γράψουµε n n j+t b i α i = m + θ και j+t i=0 i=0 c i α i = m + θ,

12 όπου m και m είναι οι µεγαλύτεροι ακέραιοι στις παραπάνω εκφράσεις, τότε ϐλέπουµε ότι αφού f(a) = 0, (5.) j+t b n α n = m 3 + θ 3 µε m 3 Z και θ 3 = θ θ t + t. Από την άλλη πλευρά, δεδοµένου ότι το j έχει την παραπάνω µορφή, από τον ορισµό του c(k, m) παίρνουµε c(j + t, n) και c(k, n) = 0 για κάθε k (j + t, j + t ). Για t αρκετά µεγάλο, έχουµε ότι j+t b n k=j+ t + c(k, n) k = j+ t b c(k, n) n k k=j+ t και j+t b n k=j+ t + j+t b n n n j t + = t b n n n < t 3 c(k, n) k j+ t b n j t = t b n. t Επεται ότι η (5.) δεν ισχύει, άρα έχουµε άτοπο και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2]. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Βλάσης Μαστραντώνης Περίληψη Το πρόβληµα της µοναδικότητας του αναπτύγµατος µιας συνάρτησης σε τριγωνοµετρική σειρά έχει µεγάλη ιστορία, η

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Σηµειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 206 Περιεχόµενα Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Φυσικοί, ακέραιοι και ϱητοί αριθµοί.......................

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο

Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο Καµπύλες που γεµίζουν τον χώρο ήµητρα ιαµαντοπούλου και ήµητρα Πιλίτσου Περίληψη Περιγράφουµε δύο κλασσικές συνεχείς, 1-1 και επί συναρτήσεις f : [0, 1] [0, 1] : την καµπύλη του Peano και την καµπύλη του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

= f(x) για κάθε x R.

= f(x) για κάθε x R. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 4: Συνέχεια και όρια συναρτήσεων Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α)

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 6 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Βρείτε όλους τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές:

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: 2 Αποδείξεις Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: Εκδοση 2005/03/22 Εξαντλητική µέθοδος ή µέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβληµα έχει πεπερασµένες αριθµό περιπτώσεων τις εξετάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 Τµηµα Β ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html 19 Οκτωβρίου 2016 Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E.

Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E. Οι γλώσσες των Μηχανών Turing Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L Αποδέχεται όταν (η είσοδος στην TM) w L. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών

Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 3 Απριλίου 2006 Μέθοδος Συνεχών Κλασµάτων. Θεωρητικό Υπόβαθρο Συνεχών Κλασµάτων Περίληψη Στο κοµµάτι αυτό ϑα περιγράψουµε µία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

n + 1 X(1 + X). ) = X i i=1 i=1

n + 1 X(1 + X). ) = X i i=1 i=1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I: ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ 6 Σεπτεµβρίου 005 Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου 005 ΘΕΜΑΤΑ 1 1. Εστω X (X 1,..., X ) τυχαίο δείγµα από γεωµετρική κατανοµή Ge(), Θ (0, 1). (α) (10 µονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f() είναι O( g() ) αν υπάρχουν σταθερές C και 0, τέτοιες ώστε: f() C g() για κάθε 0

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C

Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 11 Νοεµβρίου 2014, 1/18 ιακριτές υποοµάδες του C Ορισµός Εστω ω 1, ω 2 δύο µιγαδικοί αριθµοί µε Im(ω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα