IV.1.6. Sisteme de ecuaţii liniare

Transcript

1 IV6 Sseme de ecuţ lre IV6 Defţ Noţ Ssemele de ecuţ lre erv prope î oe domele memc plce Î uele czur, ele pr î mod url, d îsăş formulre proleme Î le czur, ssemele de ecuţ lre rezulă d plcre uor meode umerce de rezolvre prolemelor ţle Prolem promăr fucţlor ş prolem rezolvăr de sseme de ecuţ dfereţle su eemple pce de sfel de proleme Defţ 4: Fe K u corp comuv Se umeşe ssem de ecuţ lre cu coefceţ î K î ecuoscuele,,, u smlu de eglăţ: m m m ude, K Ssemul () poe f scrs su formă codesă sfel: m (), m () Mrce de p m: A = m m m, oă ş A = mrce coefceţlor ssemulu, r mrce de p m(-): A = m m m, m m, se umeşe vâd prmele coloe, coloele mrce A ş ulm coloă formă d colo ermelor ler ssemulu se umeşe mrce esă

2 Mrce B = ese mrce ermelor ler, r dcă oăm cu X = m mrce ecuoscuelor, ssemul () se m scre ş su form mrcelă: Defţ 44: A X = B () U ssem ordo de elemee,,, m, d K se umeşe soluţe ssemulu (), dcă îlocud î () pr,, oe cele m ecuţ su verfce, dcă, m Dcă ssemul () re măcr o soluţe, se spue că ese compl deerm dcă soluţ ese ucă ş edeerm, dcă esă m mule soluţ Dcă ssemul () u dme soluţ, se spue că ese compl A rezolv u ssem de ecuţ lre () îsemă decde dcă ces ese compl su compl, r î czul complăţ, - găs soluţ ucă, uc câd ese deerm, ş soluţ geerlă câd ese edeerm De sudul complăţ uu ssem de ecuţ lre mă vo ocup î coure î cdrul cesu cpol l lucrăr, oodă recâd î revsă ş câev clse mpore de sfel de sseme

3 IV6 Sseme de p Crmer Ssemele lre de form: (4) î cre mrce A ssemulu ese o mrce părcă cu elemee d corpul comuv K, A M (K) ş B = (,,, ) ese o mrce eulă de p, su sseme de p Crmer Ssemele de m sus se po scre su formă mrcelă sfel: A X = B (5) ude, X = (,,, ) ese colo ecuoscuelor Teoremă: - regulle lu Crmer Cu oţle de m sus, dcă d = dea ese eul, uc ssemul (4) re soluţe ucă ş ume d = d, = d,, = (6) d d d d fd deermul cre se oţe d d pr îlocure coloe cu colo ermelor ler Oservţe: Formulele (6) poră umele de formulele lu Crmer Î cocluze, u ssem de p Crmer ese compl deerm dcă mrce s ese esgulră, r soluţ ese dă de formulele (6) Peru găs soluţ ssemulu (4) vem de clcul şdr + deermţ ş de efecu împărţr IV6 Sseme de m ecuţ cu ecuoscue Revem l u ssem de form () preze l îcepuul cpolulu, ş ume: m m m Vom păsr de semee oe oţle făcue l îcepu Evde, î cele ce urmeză, se pue prolem complăţ uu sfel de ssem de ecuţ lre Peru rezolvre cese suţ esă câev rezule remrcle ş ume: m ()

4 Teorem lu Kroecer-Cpell Ssemul de ecuţ lre () ese compl rga = rg A Avâd î vedere cosderţle făcue l clculul rgulu ue mrce î cpolul eror, cesă eoremă se m poe euţ ş î felul urmăor: Teorem lu Rouché: Ssemul () ese compl oţ mor crcersc su ul După cum se poe oserv, cese eoreme u spu mc de rezolvre propruzsă uu ssem de form () Despre ces lucru e vom ocup î coure Vom um mor prcpl l ue mrce de rg r, u mor de ord r eul ş mor crcersc de ord r+, morul oţu d morul prcpl ordâdu-l cu elemee corespuzăore coloe ermelor ler, precum ş cu cele le ue d lle rămse d A Oservţe: Mor crcersc esă dcă m r, r umărul lor ese egl cu m-r (m umărul de ecuţ, r r rgul mrce A) Presupuem că ssemul () ese compl ş că rga = r Vom lu morul prcpl c fd su l ersecţ prmelor r l cu prmele r coloe d A: r r r r rr Orce le, r, mrcelor A ş A ese o comţe lră prmelor r l (oţ mor de ord r fd ul) De c rezulă că orce ecuţe ( r) ssemulu () ese o comţe lră de prmele r ecuţ le ssemulu, cu umţ coefceţ De cee, orce soluţe prmelor r ecuţ ssfc oe ecuţle d () Asfel, ese sufce să rezolvăm ssemul: r r r cre v f echvle cu (), vâd ceeş mulţme de soluţ Mrce oulu ssem re rgul r, r r ( )

5 ) Dcă r =, ssemul ( ) ese de p Crmer, compl deerm, r soluţ ucă ssemulu, dă de formulele (6), v f soluţ ssemulu ) Dcă r, făm morul prcpl, ecuoscuele corespuzăore lu ecuoscue prcple ş recem î ( ), î memrul drep, oţ erme cre coţ ecuoscuele secudre: r+, r+,, Acesor d urmă le rum vlor rrre, respecv λ, λ, λ,, λ -r Se oţe ssemul: r r, r r r, r r r r rrrr r r, r r cre ese u ssem Crmer, compl ş se rezolvă cu uorul formulelor (6) Soluţ ucă ssemulu ( ) ese (,, r r ( ), r ) r (,,, r,λ, λ, λ,, λ -r ) ese soluţ ssemulu ( ), dcă ssemulu () Deorece λ, λ, λ,, λ -r su lese rrr, oţem peru () o fe de soluţ, cre cosue mulţme uuror soluţlor ssemulu () Dec, peru rezolv u ssem de m ecuţ cu ecuoscue procedăm î felul urmăor: ) Se sudză comple ssemulu Peru ces se cuă u mor prcpl l lu A, mrce ssemulu, po se cuă ş se clculeză mor crcersc Puem ve czurle: esă cel puţ uul eul, ssemul fd sfel compl; oţ su ul, ssemul fd sfel compl ) Dcă ssemul () ese compl uc formulăm ssemul de p ( ) ) Se rezolvă ssemul ( ) ş se scre po mulţme soluţlor ssemulu () de form (,,, r,λ, λ, λ,, λ -r ) IV64 Sseme omogee Defţ 45: U ssem de ecuţ lre se umeşe ssem omoge dcă ermeul ler l fecăre ecuţ ese ul (dcă fecre ecuţe ese omogeă) Form geerlă uu ssem omoge cu m ecuţ ş ecuoscue ese urmăore:

6 (9) m m m Oservăm de l îcepu că u ssem omoge ese odeu compl deorece dme soluţ lă = = = = Se pue î schm prolem dcă ssemele omogee dm ş le soluţ ş dcă d, uc rămâe de sud cum le deermăm Ese de remrc fpul că rezulele de l celelle pur de sseme se plcă ş ssemelor omogee, cu codţ să cosderăm erme ler zero Procedăm sfel: vom scre mrce şă ssemulu (A) ş- deermăm rgul Fe ces r puem ve suţle: dcă r =, uc ssemul dme soluţ lă c soluţe ucă; dcă r, ssemul dme o fe de soluţ cre se deermă î celş mod cu soluţle ssemelor dscue î prgrful IV d prezeul cpol Oservţe Deorece ecuoscuelor secudre l se rue vlor rrre, oţem ş soluţ eule î ces cz peru u ssem omoge Dec, codţ ecesră ş sufceă c u ssem omoge să dmă ş soluţ eule ese c r Î czul î cre ssemul omoge re ecuţ ş ecuoscue, se scre mrce ssemulu ş se clculeză deermul cese, după cre se cosă u d urmăorele sţ: dcă dea, rga =, ssemul dme soluţ lă, soluţe ucă; dcă dea =, rga, ssemul dme ş soluţ eule Dec, codţ ecesră ş sufceă peru c u ssem omoge, cu ecuţ ş ecuoscue, să dmă ş soluţ dfere de soluţ lă ese c deermul mrce ssemulu să fe ul Dcă u ssem omoge re ecuţ ş + ecuoscue, r rgul mrce A ese, uc ssemul ese compl Fe ssemul:

7 ,, (), cu mrce A =, Cum rga =, se po form + mor de ord mm, eul Vom cosder u, mor de ord eul suprmâd d A colo Aces v f les mor prcpl, ecuoscu ecuoscuă secudră ş,,, + c ecuoscue prcple Alog puem lege mor,,, Puem rezolv ecuţle prcple î rpor cu ecuoscuele prcple după formulele lu Crmer deorece (+) umere proporţole cu, -, De oţem că: = - Soluţle ssemulu () su forme d sseme de = = - = = + = (-),, (-) : = = Dâd lu vlor rrre oţem oe soluţle ssemulu () Propreăţ: ) Dcă,,, ş,,, uc ş,,, ) Dcă,, = su soluţ le uu ssem omoge ese soluţe ssemulu, ese soluţe uu ssem omoge, uc ş,,, ese soluţe celuş ssem IV65 Meode de rezolvre ssemelor de ecuţ lre Regulle lu Crmer de rezolvre ssemelor părce de ord, cu mrce ssemulu esgulră u repreză u lgorm prcc uc câd ese mre, deorece mplcă u umăr mre de clcule, + deermţ, fecre cu (-)! îmulţr Î plcţle prcce se folosesc două pur de meode:

8 ) meode drece, pr cre soluţ ecă se oţe îr-u umăr f de operţ rmece (făcâd srcţe de erorle de roure); ) meode erve peru cre vecorul soluţ ssemulu () A = ese lm uu şr de vecor peru Meodele drece po f îcdre î urmăore schemă geerlă: Se deermă rsformre P esgulră cu cre ssemul () deve P A = P () Asfel îcâ ou mrce PA, să fe de o formă câ m smplă, cre să permă o rezolvre medă Dcă PA u ese sufce de smplă, se m foloseşe o rsformre esgulră Q l drep, sfel îcâ ssemul deve: PAQy = P, cu = Qy () De oce, mrcele PA ş PAQ su mrce rughulre dr po f ş de lă formă covelă peru rezolvre ssemulu () De eemplu, dcă î ssemul () PA ese o mrce superor rughulră PA =,, c, ş P =, uc ssemul deve: m c c c (4) D ulm ecuţe se oţe: = c Îlocud î peulm ecuţe, vem: - = m c m m c,, ş o ş pâă l prm ecuţe, de ude se oţe: = c Algormul ese: = c m

9 c, - =,, =, Meodele drece u dezvul că odă cu creşere ordulu ssemulu () se cumuleză eror de roure cre duc l eror relve mr le soluţe Peru mmz cese eror, se mpue, î geerl, reordore ecuţlor ssemulu, după fecre epă, peru ve elemee mmle pe dgol prcplă mrce ssemulu Acese operţ suplmere su î umăr fore mre î czul ssemelor mr Meodele erve perm, î prcpu, găsre soluţe uu ssem de ecuţ lre, pord de l o promţe ţlă soluţe, pe z uu proces erv Dcă ssemul ese e codţo umerc (dcă mrce ssemulu îdepleşe ume codţ), procesul erv coverge căre soluţ ecă ssemulu Prcc, procesul ese îrerup după u umăr f de pş, furzâd soluţ ssemulu cu o umă precze, fecă de eror de roure (m mc decâ cele de l meodele drece) ş de eror de ruchere Avele cesor meode su m mule, prre cre: erorle de roure ş chr de ruchere po f prcc elme; po f folose l îmuăăţre soluţe ssemulu oţuă pr le meode; dcă se cuoşe o promre ţlă propă de soluţ ecă ssemulu, covergeţ meodelor erve ese rpdă; se codfcă uşor su formă de progrm IV65 Meode drece de rezolvre Meod de elmre lu Guss Acesă meodă ese u d cele m vech ş lrg răspâde meode de rezolvre ssemelor de ecuţ lre Idee de ză cese meode ese elmre succesvă ecuoscuelor, ducâd pr rsformăr elemere mrce ssemulu l form superor rughulră ş po susure succesvă, î ses vers, ecuoscuelor Fe, peru eemplfcre, u ssem de re ecuţ cu re ecuoscue: su, î form mrcelă: ()

10 = () ude A ese mrce ssemulu, X =, =,, r B =, cpolul ese mrce coloă ecuoscuelor, ese mrce coloă ermelor ler, oţ cu cre e-m îâl ş î L prmul ps l meode lu Guss urmăr elmre ecuoscue d oe ecuţle ssemulu, cu ecepţ prme ecuţ Peru ces împărţm m îâ prm le l elemeul pvo, presupus eul (dcă u ese ş, reordoăm ş reumeroăm ecuţle peru f îdeplă cesă codţe): () Scădem po prm ecuţe îmulţă cu prmul coefce l cele de- dou ecuţ, d cesă ecuţe ş, respecv, îmulţă cu prmul coefce l cele de- re ecuţ, d ces d urmă Oţem sfel ssemul: ude (),,,,,,,,,, Mrcel, prmul ps l meode lu Guss duce l = Î coure, urmărm elmre ecuoscue d ulm ecuţe Peru ces, împărţm m îâ dou ecuţe l elemeul pvo (), presupus eul (dcă u ese ş, erschmăm ecuţle dou ş re) ş po scădem l oţuă, îmulţă cu d ecuţ re

11 Oţem: ude =,,,,, Î sfârş, îcheem fz elmăr împărţd ce de- re ecuţe l elemeul pvo, cre, peru u ssem cu mrce esgulră, reue să fe eul Rezulă: = (4) (5) ude Fz susuţe mplcă prcurgere ecuţlor ssemulu (5) rezul î fz elmăr, î ses vers ş slre soluţe ssemulu porv procedeulu recursv: = = - (6) = - ( + ) Meod de elmre lu Guss perme ş clculul deermulu mrce ssemulu Se oservă că, mrce A () ssemulu (5) fd rughulră, re deermul egl cu produsul elemeelor dgole, dcă de A () = Avâd î vedere că împărţre llor mrce ssemulu l elemeele pvo codus l o mrce vâd deermul egl cu deermul mrce ţle împărţ l produsul elemeelor pvo, rezulă: dcă de A () de A = = dea = (7)

12 Meod de elmre lu Guss peru czul uu ssem de ecuţ cu ecuoscue scrs mrcl su form: A X = B se plcă î celş mod Meod Guss-Jord Meod Guss-Jord repreză o formă modfcă meode lu Guss Spre deosere de meod Guss, î cre mrce ssemulu ese dusă pr rsformăr elemere l formă superor rughulră, î meod Guss-Jord mrce ssemulu ese rsformă î mrce ue Pr ces, deş fz elmăr ese m lorosă, fz susur verse ese elmă Î plus, prr-o codfcre efceă, smul cu rezolvre ue ecuţ mrcele, meod Guss-Jord perme îlocure mrce ssemulu cu vers ces Î urm psulu de elmre ese elmă ecuoscu d oe ecuţle ssemulu, cu ecepţ ecuţe pvo ş ssemul ese dus l form: = (8) ude ole elemee le le pvo su, c ş î meod Guss:,,, (9) r ole elemee le llor epvo su:,,,,, () Se oservă că l psul se modfcă oe elemeele mrce ssemulu sue î drep coloe, coloă cre deve decă cu colo corespuzăore mrce ue L fecre ps se modfcă, î schm, oe elemeele mrce ermelor ler Î fl, după psul =, ssemul re form

13 I X=B () () ude I repreză mrce ue de ordul Ese evde că u ese ecesră, c î czul meode Guss, o fză susuţe verse, r soluţ ssemulu ese: =, =,, () C ş î czul meode Guss, deermul mrce A () = I ese egl cu Avâd îsă î vedere că î oţere mrce A () lle mrce ţle u fos împărţe pe râd l elemeele pvo, vem: de ude de A () de A = = dea = () C ş î czul meode Guss, deorece după psul formţ ulă d mrce A () se găseşe eclusv î coloele +,,, colo fd î fod decă cu colo corespuzăore mrce ue, ole elemee le mrce A () su clcule efecv um peru =+,, Î cee ce prveşe pvore, ces se poe relz l fel c î czul meode Guss IV65 Meode erve de promre soluţlor ssemelor de ecuţ lre Fe ssemul de ecuţ cu ecuoscue A =, de A () Idee geerlă meodelor erve cosă î cosrure uor şrur de vecor ce coverg l soluţ ecă, cre se oţ fără modfc form mrce:, d F,,, cu şrul ( ) coverge l soluţ ssemulu () O clsă lrgă de meode erve se oţe dcă vem o descompuere mrce A de form A = B C, ude B ese o mrce esgulră ş uşor de vers, de regulă dgolă su rughulră Esă o fe de sfel de descompuer, peru legâdu-l pe B cum dorm, luăm C = B A ş vem descompuere A = B C Ssemul () se scre uc su form B = C +, cre perme defre ue meode erve sfel: orcre r f erţ ţlă () se deermă erme succesv uu şr ( ) pr recureţă, cu relţ: că

14 B C ( ) ( ), =,,, () Deorece B ese esgulră ş uşor de vers peru orce () de deerm, se oţe urmăorul vecor d şr (+) cu relţ dcă B C B ( ) ( ) M ( ) ( ) () c, (4) ude M B C (mrce erţe) ş c B Propozţ 44 Dcă şrul ( ) ese coverge uc el coverge l soluţ ssemulu () Să vedem î ce codţ şrul ( ) ese coverge Teorem 49 Codţ ecesră ş sufceă c şrul ( ) d de relţ () să fe coverge peru orce () ese c rz specrlă mrce M să fe suură, dcă ( M ) O codţe sufceă de covergeţă ese eseţ ue orme urle peru cre M m ; ese vlore propre lu M M Meod lu Jco U dre cele m vech ş m cuoscue meode erve peru rezolvre ssemelor de ecuţ lre ese meod lu Jco Fe A ş B dg,,, Î descompuere eroră legem, r meod ervă corespuzăore ese:,,, ude ş su compoeele vecorlor respecv Î poez mporă ese esgulră, oţem recureţ umeşe meod lu Jco,,, cre sgură că mrce B,, cre se Coform eoreme erore, codţ ecesră ş sufceă de covergeţă meode lu Jco ese c modulele vlorlor propr le mrce erţe să fe suure

15 Ecuţ crcerscă cese mrce ese de( I B C) su, echvle, de( B ( B C)) Cum B, codţ ecesră ş sufceă de covergeţă ese c oe modulele rădăclor ecuţe de( B C) să fe suure Acesă codţe u re decâ o vlore eorecă Î prccă se folosesc dor codţ sufcee, cre d eorem eroră cer să ese o ormă mrce M erţe cre să fe suură D meod lu M m Jco se vede că elemeele cese mrce su,, m, peru, peru Dcă luăm, dcă M echvle cu (sume pe coloe) oţem codţ sufceă de covergeţă, M m m,, Dcă luăm e, dcă M echvle cu e / oţem M m e codţ sufceă de covergeţă Luâd orm, dcă M, r M m (sume pe l),, oţem codţ sufceă de covergeţă,, su,peru,, codţe cre se umeşe domţ dgolă pe l

16 Meod Guss-Sedel Meod Guss-Sedel repreză o modfcre meode Jco, cu scopul creşer veze de covergeţă ş reducer memore ecesre Idee de ză meode Guss-Sedel cosă î ulzre î clculul compoee psul compoeelor promţe soluţe ssemulu de l, de clcule, î locul compoeelor,,,, de l erţ eroră, cum se îâmplă î czul meode Jco Î meod Guss-Sedel, recureţ deve: (), peru, Aces se îcdreză î schem precedeă dcă presupuem că luăm drep B, =,,, peru, ş mrce rughulră feror, r C = B A mrce feroră superor cu pe dgol prcplă Cu cesă legere ssemul B C se scre după împărţre l : () peru, r ssemul Teorem 4 B C, =,,, se scre su form () Crerul de domţă dgole pe l sgură covergeţ meode Guss- Sedel peru orce erţe ţlă