2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

Transcript

1 94 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Εισαγωγή Η αοδοχή τω μιγαδικώ αιθμώ, εκτός αό τις δυατότητες ου άοιξε στη είλυση τω εξισώσεω, έδωσε μεγάλη ευελιξία στο αλγεβικό λογισμό Για αάδειγμα, η αάσταση x + μοεί τώα α ααγοτοοιηθεί στη μοφή ( x + i( x i Οι μαθηματικοί εκμεταλλεύτηκα αυτό το γεγοός σε ολλά ζητήματα, όως είαι, για αάδειγμα, ο ολλαλασιασμός και η διαίεση τω τόξω εός κύκλου Το 79 ο A de Moivre, συδυάζοτας το υολογισμό τω κυβικώ ιζώ ααστάσεω της μοφής a + i β (ου εμφαίζοται στο τύο είλυσης της x px + q με τη τιγωομετική ταυτότητα ημθ 4ημ θ ημθ, έδωσε τις ώτες ιδέες για τη τιγωομετική αάσταση τω μιγαδικώ αιθμώ Το 748 ο L Euler, ξεκιώτας αό τη αάλυση της ισότητας συ θ + ημ θ στη μοφή ( συθ θ(συθ iημθ, τόισε τη σημασία τω ααστάσεω της μοφής συ θ θ και έδειξε ότι ( συx x(συ συ( x + + i ημ( x + Γεικεύοτας έφτασε στη σχέ- n ση ( συ ± iημ συn ± iημn (ου σήμεα φέει το όομα του de Moivre, αό τη οοία, με χήση του διωυμικού αατύγματος, βήκε τύους για τα ημn και συ n Σε όλες τις οηγούμεες ειτώσεις οι μιγαδικοί ατιμετωίζοτα ως καθαά συμβολικές ααστάσεις, ου δε αεικόιζα κάοια συγκεκιμέη αγματικότητα Η τιγωομετική αάσταση έδωσε όμως τη δυατότητα α χησιμοοιηθού (αό το C Wessel το 799 και το R Argand το 86 για τη ααλυτική έκφαση της διεύθυσης στο είεδο, ακιβώς όως οι θετικοί και αητικοί χησιμοοιούται για τη διάκιση της φοάς στη ευθεία Αυτές οι εξελίξεις διεύυα τις εφαμογές τω μιγαδικώ και άοιξα το δόμο για τη γεωμετική εμηεία τους, τη οοία καθιέωσε ο CF Gauss το 8 Όισμα Μιγαδικού Έστω έας μη μηδεικός μιγαδικός αιθμός x + i και OM η ατίστοιχη διαυσματική ακτία του Μ( Οομάζουμε όισμα του μιγαδικού καθεμιά αό τις γωίες ου έχου αχική λευά τη ημιευθεία Ox και τελική λευά τη ημιευθεία OM Ο θ x

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 95 Αό όλα τα οίσματα του έα ακιβώς βίσκεται στο διάστημα [, Αυτό λέγεται ωτεύο όισμα του μιγαδικού και συμβολίζεται με Arg ( Είαι φαεό ότι: Tο Arg( είαι η γωία ου σχηματίζει η διαυσματική ακτία του μιγαδικού με το άξοα x x Δυο οίσματα του διαφέου κατά γωία κ, κ Για το μιγαδικό δε οίζεται όισμα Γι αυτό, στη συέχεια, ότα ααφεόμαστε σε όισμα μιγαδικού, θα εοούμε ότι Τιγωομετική Μοφή Μιγαδικού Έστω ο μιγαδικός x + i, ου έχει μέτο x + Α θ είαι έα όισμα του, τότε, αό το οισμό τω τιγωομετικώ αιθμώ σε οθοκαοικό σύστημα, έχουμε x συ θ και ημ θ M(x, οότε x συθ και ημθ Εομέως, ο μιγαδικός γάφεται θ x + i συ θ + ημθ i, x Ο x δηλαδή αίει τη μοφή ( συθ θ Ο τόος αυτός γαφής του μιγαδικού λέγεται τιγωομετική ή ολική μοφή του Για αάδειγμα, α + i, τότε το μέτο του είαι ( + και για κάθε όισμά του θ ισχύου: συθ και ημ θ Εομέως, μια τιμή του οίσματος είαι η 5 5 συ ή γεικότεα: συ κ + κ +, κ θ Άα, έχουμε 6

3 96 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Αοδεικύεται ότι, α για έα μιγαδικό αιθμό ισχύει r( συθ θ, όου r > και θ, τότε η αάσταση r ( συθ θ είαι τιγωομετική μοφή του μιγαδικού αιθμού Εειδή ίσοι μιγαδικοί αιθμοί έχου τη ίδια εικόα στο μιγαδικό είεδο και ατιστόφως, έχουμε το ακόλουθο κιτήιο ισότητας μιγαδικώ: Δυο μη μηδεικοί μιγαδικοί αιθμοί είαι ίσοι, α και μόο α έχου ίσα μέτα και η διαφοά τω οισμάτω τους είαι ακέαιο ολλαλάσιο του Δηλαδή: Α ( συθ θ και ( συθ θ είαι τιγωομετικές μοφές τω μιγαδικώ και, τότε: ( και θ θ κ, κ Τιγωομετική Μοφή Γιομέου Μιγαδικώ Α συθ και συθ είαι οι τιγωομετικές ( θ ( θ μοφές δύο μιγαδικώ αιθμώ και, τότε για το γιόμεό τους έχουμε: ( συθ θ (συθ θ [( συθ θ (συθ θ [( συθσυθ ημθημθ + i(ημθσυθ + συθημθ συ( θ + θ ( θ + Ομοίως, για το ηλίκο τους [ θ (συθ (συθ, έχουμε: θ θ (συθ (συθ θ (συθ θ (συθ iημθ iημθ (συθ (-θ θ [συ(-θ συ θ + ημ θ [ συ( θ θ ( θ θ Αοδείξαμε λοιό ότι: Α ( συθ θ και ( συθ θ είαι δυο μιγαδικοί σε τιγωομετική μοφή, τότε

4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 97 [ συ( θ + θ ( θ + θ [ συ( θ θ ( θ θ Για αάδειγμα, α συ και συ, 6 6 τότε έχουμε: και 5 5 συ συ 6i 6 6 συ iημ συ i + i Αό τις τιγωομετικές μοφές του γιομέου και του ηλίκου μιγαδικώ οκύτου οι ιδιότητες και τις οοίες έχουμε συατήσει και στη, Η γεωμετική εμηεία του γιομέου και του ηλίκου δύο μιγαδικώ φαίεται στα αακάτω σχήματα: M( M ( M ( M( / θ θ +θ M ( θ M ( θ θ O Α( x Τα τίγωα ΟΑΜ και ΟΜ Μ είαι όμοια θ θ θ θ O Α( x Τα τίγωα ΟΑΜ και ΟΜΜ είαι όμοια Σύμφωα με τα ααάω:

5 98 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ο ολλαλασιασμός του μιγαδικού ( συθ θ με το μιγαδικό συθ σημαίει στοφή της διαυσματικής ακτίας του κατά ( θ θ γωία και μετά ολλαλασιασμό της με (Σχ Εομέως, ο ολλαλασιασμός εός μιγαδικού με το μιγαδικό συ θ θ στέφει μόο τη διαυσματική ακτία του κατά γωία θ, αφού συθ θ Ειδικότεα, ο ολλαλασιασμός του με i στέφει τη διαυσματική ακτία του κατά γωία, αφού i συ Η διαίεση του μιγαδικού ( συθ θ με το μιγαδικό συθ σημαίει στοφή της διαυσματικής ακτίας του κατά ( θ γωία θ και μετά ολλαλασιασμό της με Θεώημα του De Moivre (Σχ Α ( συθ θ είαι έας μιγαδικός αιθμός σε τιγωομετική μοφή, σύμφωα με τα οηγούμεα έχουμε: (συθ θ (συθ θ (συθ θ (συθ θ (συθ θ (συθ θ Ομοίως, βίσκουμε ότι Γεικά, ισχύει το εόμεο θεώημα: ΘΕΩΡΗΜΑ (συ4θ 4θ 5 (συ5θ 5θ Α ( συθ θ είαι έας μιγαδικός αιθμός σε τιγωομετική μοφή και είαι έας θετικός ακέαιος, τότε [ συ( θ ( θ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω P( η ισότητα ου θέλουμε α αοδείξουμε Για η ισότητα γίεται [συ( θ ( θ ή, ισοδύαμα, ( συθ θ, ου ισχύει Άα η P( είαι αληθής

6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 99 Θα αοδείξουμε ότι, α P ( αληθής, τότε P ( + αληθής δηλαδή, α + + [ συ( θ ( θ, τότε [συ( + θ ( + θ] Πάγματι, έχουμε + [συ( θ ( θ (συθ θ + [συ( + θ ( + θ] Άα, η P( αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεαίους Για αάδειγμα, α i, εειδή συ 6 6 συ , έχουμε: συ (συ (συ Το οηγούμεο θεώημα αοδίδεται στο μαθηματικό De Moivre και γι αυτό φέει το όομά του Πάγματι, έχουμε [ (συθ θ (συθ θ (συ (συ( θ ( θ Το Θεώημα του De Moivre ισχύει και ότα ο εκθέτης είαι αητικός ακέαιος [ συ( - θ (- θ [ συ(-θ (-θ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

7 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να βεθεί το σύολο τω εικόω τω μιγαδικώ, για τους οοίους ι- σχύει Arg + 6 ΛΥΣΗ Α ( x + i x + x + i, τότε + i + ( x + + i ( x + + ( x + + Άα, x + A + Bi, όου A και B + ( x + + ( x + + Εομέως, η συθήκη Arg + ισοδύαμη με τις σχέσεις: 6 είαι 4 B εφ A 6 x + Β > > x + ( > K(, Ο B(, A(, x Άα, το σύολο τω εικόω του είαι το τόξο του κύκλου κέτου K (, και ακτίας ου είαι άω αό το άξοα x x Α ημ + ημβ + ημγ α και συ α + συβ + συγ, α αοδειχτεί ότι α συα + συβ + συγ συ ( α + β + γ β ημα + ημβ + ημγ ημ( α + β + γ ΛΥΣΗ Έστω οι μιγαδικοί a συα α, b συ β β, c συ γ γ Έχουμε a + b + c ( συα + συβ + συγ + i(ημα + ημβ + ημγ + i και εομέως, a + b + c abc Με ατικατάσταση τω a, b και c έχουμε διαδοχικά: ( συα α + (συβ β + (συγ γ (συα α(συβ β(συγ γ

8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ( συα α + (συβ β + (συγ γ [συ( α + β + γ ( α + β + γ ( συα + συβ + συγ + i(ημα + ημβ + ημγ συ( α + β + γ + iημ( α + β + γ Εξισώοτας τα αγματικά και τα φαταστικά μέη τω δύο μελώ έχουμε: συα + συβ + συγ συ( α + β + γ και ημα + ημβ + ημγ ημ( α + β + γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να γάψετε σε τιγωομετική μοφή τους μιγαδικούς: α + i β i γ i δ + i ε 4 στ 4 Να κάετε τις άξεις: α 4(συ5 + i ημ5 6(συ β 5 συ συ γ συ συ Να κάετε τις άξεις α 5(συ6 5(συ 6 β συ 6 6 συ

9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ γ 7(συ 4(συ( ( 4 Να βείτε τις δυάμεις α [ (συ β γ συ ημ i συ Να υολογίσετε τη αάσταση + i 6 6 Α + i, α υολογίσετε το 7 Α + i και i, α υολογίσετε τη αάσταση +, όου θετικός ακέαιος 8 Να εμηεύσετε γεωμετικά τη διαίεση εός μιγαδικού με i 9 Α + i και w + i, α δείξετε ότι το ημ και το συ Arg w και α βείτε Να βείτε το μέτο και το βασικό όισμα του μιγαδικού α Β ΟΜΑΔΑΣ α Να βείτε το μέτο και το όισμα του μιγαδικού w, όου + συθ θ w θ i θ *, και + συ ημ β Να βείτε τη τιμή της αάστασης θ ( κ +, κ i i * α Να δείξετε ότι α ( + i ( i, όου τότε 4 κ, κ β Α + i i f ( +, α δείξετε ότι f ( f (

10 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να αοδείξετε ότι + +, α και μόο α Arg Arg( ( 4 Να βείτε το γεωμετικό τόο τω εικόω Μ τω μιγαδικώ, για τους οοίους ισχύει: α Arg ( i β Arg ( + γ Arg 6 4 i 5 Μεταξύ όλω τω μιγαδικώ ου ικαοοιού τη συθήκη + 5i, α βείτε εκείο ου έχει: α Το μικότεο ωτεύο όισμα β Το μεγαλύτεο ωτεύο όισμα 6 Α συ θ θ, α αοδείξετε ότι: α + συ( θ β i ημ( θ 7 Α για τους μιγαδικούς και w ισχύου και w ( i, τότε: α Να βείτε το γεωμετικό τόο τω εικόω του μιγαδικού w β Να βείτε τη εικόα εκείου του μιγαδικού αό τους w, για το οοίο ισχύει Arg ( w 4 κ κ 8 Α + i και + κ + κ ιθμό κ Arg (, α βείτε το αγματικό α- 9 Δίεται το τιώυμο f ( x x + x + (+ ( +, όου και είαι δύο μιγαδικοί αιθμοί Να αοδείξετε ότι f ( x, για κάθε x Πότε ισχύει η ισότητα;