О СРПСКО-БУГАРСКОЈ ГРАНИЦИ У IX И X ВЕКУ *

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "О СРПСКО-БУГАРСКОЈ ГРАНИЦИ У IX И X ВЕКУ *"

Transcript

1 Зборник радова Византолошког института LII, 2015 Zbornik radova Vizantološkog instituta LII, 2015 УДК: 94: ](497.11:497.2)"08/09": DOI: /ZRVI K ПРЕДРАГ КОМАТИНА Византолошки институт САНУ, Београд О СРПСКО-БУГАРСКОЈ ГРАНИЦИ У IX И X ВЕКУ * У раду се анализирају подаци списа De administrando imperio цара Константина VII Порфирогенита који се односе на границу између Срба и Бугара у IX и X веку. Упозорава се да рани средњи век није време које је карактерисало постојање јасно утврђених граница између политичких творевина, те да ни саме политичке творевине нису функционисале по принципу територијално организованих држава, већ етничких заједница, чија је власт почивала на људима, а не на територији. Управо је функционисање раносредњовековног Бугарског каната један од најбољих примера за то. Због тога је неопходно и податке о српско-бугарском разграничењу у Порфирогенитовом спису посматрати у једном новом и другачијем светлу. Кључне речи: Срби, Бугари, Константин VII Порфирогенит, De administrando imperio, Рас, Властимир, Мутимир, Часлав, Борис Михаило, Симеон The paper analyzes the information concerning the border between the Serbs and the Bulgarians in the 9 th and the 10 th centuries found in the work De administrando imperio by the emperor Constantine VII Porphyrogenitus. It is made clear that there were no clearly established borderlines between the political entities in the Early Middle Ages, and that those political entities during that period functioned not on the basis of territorialy organized states, but of ethnic communities, whose authority rested upon the people, not the territory. The functioning of the early medieval Bulgarian Khanate is one of the best examples for that. Therefore, it is necessary that the information on the Serbian-Bulgarian border in the Porphyrogenitus work be analyzed in a new and different light. Keywords: Serbs, Bulgarians, Constantine VII Porphyrogenitus, De administrando imperio, Ras, Vlastimir, Mutimir, Časlav, Boris Michael, Symeon * Рад је настао у оквиру истраживања на пројекту Традиција, иновација и идентитет у византијском свету (ев. бр ), који подржава Министарство просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије.

2 32 ЗРВИ LII (2015) Наш основни извор за најранији период српске историје, спис De administrando imperio цара Константина VII Порфирогенита ( ), садржи одређене податке који се односе на границу Срба према Бугарима у то време. Најпре, у 30. поглављу списа цар пише како се земља Србија... приближава... ка југу Бугарској. 1 Затим, у 32. поглављу стоји како су до времена владавине српског архонта Властимира, крајем прве половине IX века, са Србима мирно живели Бугари, као суседи који су делили границу волећи једни друге, будући у служењу и потчињености царевима Ромеја и примајући доброчинства од њих. 2 Цар потом описује два српско-бугарска рата из средине IX века, 3 наводећи како се други завршио тако што су Срби не само потукли војску бугарског кана Бориса, него и заробили његовог сина Владимира са дванаест великих бољара. 4 Борис је због тога склопио мир са Србима, 5 али, бојећи се да га Срби на повратку не нападну из заседе, затражио је двојицу синова тадашњег српског архонта Мутимира, Борена и Стефана, као пратњу, и они су га и спровели неповређеног до границе, до Расе (μέχρι τῶν συνόρων, ἕως τῆς Ῥάσης). 6 Премда су то једина места на којима Порфирогенит експлицитно помиње границу између Срба и Бугара, постоје у његовом спису још нека места на којима се она имплицитно подразумева, пошто на тим местима он говори о Србији као заокруженој територијалној целини. Тако пише како је 897. године Клонимир, отац потоњег српског архонта Часлава, побегао из Бугарске и ушао у један од градова Србије, Достинику (...εἰς ἓν τῶν κάστρων Σερβλίας, τὴν Δοστινίκαν...), са војском, да преузме власт, 7 али није имао успеха, пошто га је тадашњи архонт Петар савладао и убио. 8 У својој намери да свргне тадашњег архонта Павла, византијски цар Роман I Лакапин ( ) послао је 921. године српског кнежевића Захарију, сина Прибислава, да постане архонт у Србији (...πρὸς τὸ γενέσθαι ἄρχοντα ἐν Σερβλίᾳ...). 9 Иако у том покушају није успео, Захарија је касније, уз помоћ Бугара, ипак постао архонт, а онда се окренуо против њих. 10 Бугарски владар Симеон одлучио је 925/926. да га казни, па је против њега упутио велику војску, а са њом и српског кнежевића Часлава, сина Клонимира, који је цео свој дотадашњи живот провео у Бугарској. 11 Пошто је, уплашивши се, Захарија побегао у Хрватску, Бугари су позвали српске жупане да дођу к њима да би примили 1 DAI, DAI, DAI, , DAI, DAI, DAI, DAI, DAI, DAI, DAI, DAI,

3 ПРЕДРАГ КОМАТИНА: О српско-бугарској граници у IX и X веку 33 Часлава за архонта. 12 Међутим, на превару су их извели до првог села (...μέχρι τοῦ πρώτου χωρίου...) и сместа заробили, а затим су ушли у Србију (...εἰσῆλθον ἐν Σερβλίᾳ...). 13 Тада је земља Срба опустошена а народ је углавном одведен у ропство у Бугарску, док се само део спасао бекством у Хрватску. 14 Седам година касније побегао је од Бугара из Преслава кнежевић Часлав са још четворицом и ушао у Србију (... εἰσῆλθεν ἐν Σερβλίᾳ...), али је земљу затекао готово пусту. 15 Наредних година, захваљујући својој мудрој политици и помоћи ромејског цара уредио је и населио земљу (...συστησάμενος καὶ ἐνοικίσας τὴν χώραν...) и био потврђен као архонт у њој (...καὶ ἄρχων ἐν αὐτῇ βεβαιωθεἰς...). 16 Коначно, Србија се представља као заокружена територијална целина и у попису насељених градова у њој (...ἐν τῇ βαπτισμένῃ Σερβλίᾳ εἰσιν κάστρα οἰκούμενα...). 17 На основу изнетих података у науци су изношена мишљења о територијалном распростирању раносредњовековне српске државе и одређиван је положај њене источне границе према Бугарима. Та мишљења су се углавном слагала у томе да српска територија тог времена на истоку није прелазила подручје Раса, без обзира на то да ли Порфирогенитово Раса (ἡ Ῥάση) означава град Рас или његову жупу. 18 Постављало се, међутим, питање да ли је она обухватала и тај град, пошто се он не наводи у Порфирогенитовом попису насељених градова у Крштеној Србији, 19 па је изношено и мишљење да се он налазио заправо са бугарске стране границе. 20 У новије време на такво мишљење се ослањају истраживања археолога, који су, идентификујући раносредњовековну фортификацију на локалитету Градина код Врсеница близу Сјенице на Пештери као Достинику, најзначајнији од насељених градова Крштене Србије, 21 указали на стратешки значај који би она имала као утврђење у близини границе са Бугарима и њиховог упоришта у Расу DAI, DAI, DAI, DAI, DAI, DAI, ВИИНЈ II, 52, нап. 165 (Ферјанчић); Новаковић, О границама Србије, , са прегледом старије литературе; Благојевић, Преглед, 56 62; ИСН Ι, 162 (Ћирковић); Благојевић, Српска државност, Уп. и Živković, On the Northern Borders, , премда се ту не расправља о источним, него о северним границама српске територије. 19 DAI, Новаковић, О границама Србије, ; Динић, Југозападна Србија, 79 80; Ћирковић, Насељени градови, 28 29; Благојевић, Српска државност, 45. У духу те тезе изнете су и претпоставке које оснивање епископије у Расу у епископској цркви Св. Петра повезују са претпостављеном бугарском владавином тим градом и смештају их у време бугарског цара Петра ( ), уп. Ћирковић, Насељени градови, DAI, 32.76, Bikić, Popović, Vrsenice, ; Špehar, Remarks,

4 34 ЗРВИ LII (2015) Међутим, према новим истраживањима у европској медиевистици, рани средњи век, нарочито када су у питању политичке творевине варварских народа, није доба које је карактерисало постојање јасних и добро утврђених граничних линија између политичких ентитета. 23 Такође, то је и доба у коме политичка организација поменутих народа није почивала на владавини над територијом већ над људима, а политичке творевине нису функционисале на принципу територијално организованих држава, већ етничких заједница, које се без изузетка у латинским изворима периода V X века означавају термином gens, тј. народ, или, у нашем поимању народа тог времена, племе. Власт једног народа над другим огледала се не у интеграцији тог народа у територијални систем победника, већ изнад свега у наметању данка потчињеном. 24 Све наведено се јасно може видети и документовати управо на примеру Бугара и функционисања њихове раносредњовековне државе. Када су прешли реку Дунав и дошли на Балканско полуострво 680/681. године, Бугари су заузели простор између Дунава, Старе планине и Црног мора и населили се на њему, док су претходне становнике тог простора, Северце и припаднике такозваних Седам словенских племена, физички изместили и раселили према западу и југу, да чувају прилазе према Аварима и Ромејима, наметнувши им данак и обавезу пружања војне помоћи, тј. савезништво (συμμαχία, societas). 25 Византијски хроничари затим бележе како је 762/763. године велики број Словена покушао да напусти Бугарску и да се исели на ромејску територију. 26 За нашу тему посебно је интересантан догађај из 773. године, када је бугарски кан повео војску на словенску област Велзитију, с намером да је покори и да становништво (припаднике словенског племена Верзита?) пресели у Бугарску, у чему није успео, захваљујући интервенцији ромејског цара Константина V Копронима ( ). 27 Сличан догађај збио се у време бугарско-ромејског рата године, када су Бугари страховито опустошили Тракију, а затим поробљено ромејско становништво преселили на своје поседе на левој обали реке Дунав. 28 У изворима је забележено да су Бугари потчинили и словенске Смољане у долини Месте 837. године, покорили су и 23 Cf. Pohl, Conclusion, , као и остале радове у зборнику The Transformation of Frontiers from Late Antiquity to the Carolingians, Leiden Boston 2001; Kulikowski, Ethnicity, , док Curta, Linear Frontiers, 15 32, на основу неких примера упозорава да је понекад сам развој историјских околности ипак диктирао потребу за успостављањем граничних линија. 24 Уп. радове сабране у обимном зборнику посвећеном политичкој организацији народа раносредњовековне Европе, Regna and Gentes. The Relationship between Late Antique and Early Medieval Peoples and Kingdoms in the Transformation of the Roman World, Leiden Boston Уп. такође и Macháček, Great Moravian State, 11 12; Щавелев, Захват, , где се говори о организацији и начину функционисања словенских политичких заједница тог времена, Велике Моравске и Кијевске Русије. 25 Theophanes, ; Nikephoros, ; Komatina, Slavs, Theophanes, ; Nikephoros, Theophanes, Из те групе Ромеја потицао је и потоњи цар Василије I ( ), Vita Basilii, c. 4; Symeon, c Детаљно о византијско-бугарском рату , cf. Sophoulis, Byzantium and Bulgaria,

5 ПРЕДРАГ КОМАТИНА: О српско-бугарској граници у IX и X веку 35 Морављане у долини Велике Мораве средином пете деценије IX века, а њихова власт се до 865. године проширила све до обале Јонског мора у околини града Валоне у данашњој јужној Албанији. 29 Сами етнички Бугари живели су, како је напоменуто, на простору између доњег Дунава, Црног мора и Старе Планине, одакле су контролисали потчињена племена широм Балканског полуострва и средњег и доњег Подунавља. 30 Када је реч о утврђеним граничним линијама, од 816. године имали су је према Ромејском царству у Тракији, а од 904. године и у Македонији. 31 Међутим, изван простора на коме су се Бугари непосредно спорили са Ромејима, на просторима унутрашњности Балканског полуострва, где су живела различита словенска племена која су временом доспевала у политичку зависност од њих, таквих граничних линија није било. 32 Поменута племена нису била интегрисана у бугарски територијални систем, већ је њихова припадност бугарској држави почивала на основи политичке зависности, плаћања данка и давања војне помоћи, 33 што је све неретко било праћено и насилним пресељавањем. Сличан приступ је био и према Србима, што потврђују Порфирогенитови подаци. Наиме, након што су дуго времена Бугари живели мирно са Србима (...μετὰ τῶν Σέρβλων εἰρηνικῶς διετέλουν οἱ Βούλγαροι...), 34 бугарски кан Пресијам ( ) повео је рат против Срба (κατὰ τῶν Σέρβλων), желећи да их потчини (θέλων αὐτοὺς ὑποτάξαι). 35 Након очевог пораза, његов син Борис ( ) повео је нови рат против Срба, али је после новог пораза морао да се помири са Србима (εἰρήνευσε μετὰ τῶν Σέρβλων). 36 Неколико деценија касније, међутим, његов син Симеон је коначно и успео у томе да порази и потчини Србе. Како је то потчињавање изгледало? Симеон је најпре заробио српске жупане, потом је поробио читав народ, од малог до великог и одвео у Бугарску, док су они који су умакли побегли у Хрватску, и земља је остала пуста (καὶ ἔμεινεν ἡ χώρα ἔρημος). 37 Седам година касније дошао је Часлав у пусту земљу, у којој, према Порфирогениту, није затекао више од педесет људи, самаца, без жена и деце, који су живели од лова, населио ју је сакупивши избегао народ са разних страна, укључујући и оне који су били одведени у Бугарску и оне који су били избегли у 29 Beševliev, Inschriften, nn. 14, 15; Komatina, Slavs, О етничкој, политичкој и друштвеној организацији Бугарског каната, cf. Sophoulis, Byzantium and Bulgaria, Beševliev, Inschriften, nn. 41, 46; Caminiata, c ; Станковић, Карактер, 281 sq; Komatina, Slavs, Двадесетих година IX века водили су и преговоре о разграничењу са Францима у Панонији, Komatina, Slavs, 73, али је ту по среди пре била подела интересних сфера на опустелом простору који су донедавно насељавали и контролисали Авари. 32 Станковић, Карактер, Cf. Komatina, Slavs, DAI, DAI, DAI, DAI,

6 36 ЗРВИ LII (2015) Хрватску, и, уз обилату помоћ ромејског цара, учврстио се као кнез у њој. 38 Иако подаци о потпуној опустелости земље изгледају преувеличани и невероватни, они имају историјску основу. Намера Бугара није била да потчине српску територију, већ Србе као народ, као и у случају свих других словенских народа са којима су се до тада сусретали, тако да нема ничег невероватног у томе да су њих, или макар њихов велики део, када су једном коначно у томе успели, преселили у дубину своје територије. С друге стране, начин на који је Часлав успоставио власт у Србији, тј. непомињање било каквог његовог сукоба са бугарским посадама у њој, сведочи управо о томе да Бугари некадашњу српску територију нису интегрисали у свој територијални систем и да је нису војнички и административно запосели, већ да су је једноставно опустошили, не успостављајући у њој своју администрацију и војне посаде. Тако Часлав није имао да преотима земљу од њих, већ му је једини задатак био да се смести у њој и да је насели. Шта је онда била српска граница према Бугарима о којој говори Порфирогенит? Као што је већ речено, у то време политичка организација није почивала на владавини над територијом, него над људима. 39 Према томе, политичка организација тадашњих Срба обухватала је само она подручја на којима су Срби живели и која су непосредно припадала ту настањеним Србима. Добро је познато да су се приликом досељавања на Балкан Срби населили по речним долинама, котлинама и крашким пољима, где су се организовали у мање територијалне јединице, жупе. 40 Планински масиви између њих остали су изван домашаја српског насељавања и у њима су наставили да живе Власи, романизовани потомци балканских староседелаца, над којима нема основа тврдити да су рани српски кнежеви имали било какву власт, као што ће то бити случај у позном средњем веку. 41 Дакле, поменути планински масиви нису улазили ни у политичку организацију Срба, те тако нису били обухваћени ни њиховим границама. Управо су планински венци Динарских планина стајали и између Срба у унутрашњости Полуострва и њихових сународника у јадранском приморју Дукљана, Травуњана, Конављана, Захумљана и Неретљана, па би се могло рећи и да није постојала ни гранична линија између те две групе Срба. Такво стање најбоље изражава сам Порфирогенит, описујући географски положај јужнословенских кнежевина у 30. поглављу 38 DAI, Српског владара Порфирогенит најчешће назива архонтом Србије (ὁ ἄρχων Σερβλίας), DAI, 32.58, 84 85, 92, 95 96, 102, 146, али се у Листи адреса, званичном обрасцу царског двора за обраћање страним владарима из 946. године (о датовању cf. Zuckerman, Voyage d Olga, ) исти назива архонтом Срба (εἰς τὸν ἄρχοντα Σέρβλων), De cerimoniis, Исто тако Порфирогенит и његову власт означава као власт над Србијом (ἀρχὴ τὴς Σερβλίας), 32.7, 43, али на једном месту и као власт над Србима (τὴν ἀρχὴν τῶν Σέρβλων), DAI, Премда ово напоредо навођење територијалног назива Србија и етничког назива Срби у Порфирогенитовом делу може бити тумачено и као намерно и са одређеним смислом, чини се ипак да се понајпре ради о синонимији архонт Срба је за Порфирогенита архонт Србије, а власт над Србима је за њега власт над Србијом, без обзира на то да ли је она почивала на територијалном или на етничком принципу. 40 Уп. Благојевић, Српска државност, Уп. Јиречек, Историја II, 97; ЛССВ, (Д. Динић-Кнежевић).

7 ПРЕДРАГ КОМАТИНА: О српско-бугарској граници у IX и X веку 37 De administrando imperio, где пише како се Дукља, Травунија и Захумље на планинској страни приближавају (πλησιάζουσι) Србији, како се Захумље ка северу приближава Хрватима, како се Хрватска код Цетине и Ливна приближава Србији, а како се Србија ка северу приближава Хрватској, а ка југу Бугарској. 42 Порфирогенит такође пише и како се Паганима (Неретљанима) приближавају и четири острва Мљет, Корчула, Брач и Хвар, 43 на основу чега се може и закључити да то што се једна територија приближава другој значи да су оне географски близу, али не обавезно и да се непосредно наслањају једна на другу, већ да између њих постоји одређени простор, као што је између неретљанске обале и поменутих острва лежало море. 44 Када је у питању граница између Срба и Хрвата, познато је да су од четрнаест жупа које су према Порфирогениту насељавали Хрвати, 45 Цетина, Имота, Ливно и Плива биле најисточније, а када пише како се код Цетине и Ливна Хрвати приближавају Србима, 46 он свакако мисли управо на истоимене хрватске жупе. Дакле, није постојала гранична линија између Хрвата и Срба, већ су се у суседству последњих жупа насељених Хрватима налазиле жупе насељене Србима. Дакле, између самих јужнословенских кнежевина нису постојале утврђене границе, већ су се оне само приближавале једне другима, а између њих је лежао, ужи или шири, појас ненасељене и никоме припадајуће територије, углавном у виду планинских венаца, којима су се тада још увек слободно кретале скупине Влаха са својим стадима и крдима. Нема разлога не веровати да је исти случај био и на оној страни на којој су Срби били окренути према Бугарима. И сам Порфирогенит бележи такође да се на тој страни Србија само приближавала Бугарској, исто као и Хрватској на другој страни. 47 Дакле, након свега изложеног, тешко да се може говорити о некаквој српско-бугарској граничној линији. Стога се Порфирогенитови подаци о српској граници према Бугарима, првом селу у Србији, месту где се улази у Србију, морају схватити на други начин као места до којих су допирала српска насеља или жупе насељене Србима у смеру према територији коју су контролисали Бугари. Током IX века Бугари су свакако ставили под своју војну и политичку контролу Моравску долину, постоје јасна сведочанства да су владали Београдом и Моравом (Браничевом), 48 али је то подручје и век-два касније, у XI веку, било слабо насељено, прекривено густим шумама и пустим пашњацима. 49 С друге 42 DAI, DAI, На исти начин Порфирогенитову употребу глагола πλησιάζω, у контексту међусобних односа Хазара, Уза, Печенега, Руса и источнословенских племена у 10. и 37. поглављу DAI, објашњава и Щавелев, Захват, DAI, DAI, DAI, Калић, Београд, 27 34; Пириватрић, Морава, ; Komatina, Slavs, Антоновић, Етничка кретања, 73 84; Узелац, Чувај се Белијалових синова, 97 98; Коматина, Срби,

8 38 ЗРВИ LII (2015) стране, тешко је рећи докле су допирала српска насеља на тој страни и да ли их је било и источно од Расе. 50 Пошто Порфирогенит не наводи жупе насељене Србима, простор њиховог насељавања у његово време може се установити само на основу положаја насељених градова које набраја у Крштеној Србији. 51 Од тих градова, два су, Котор и Десник, како сам каже, у области Босне (εἰς τὸ χωρίον Βόσονα), а још један, Соли, налазио се западно од Дрине. Од преосталих пет градова, Достиника/Дестиник се најчешће смешта управо у подручје уз источну границу и идентификује са градином у месту Дрстник/Дрсник у Метохији, које се помиње у каснијим изворима, мада је присутно и гледиште да га треба препознати у остацима утврђења у Врсеницама на Пештери. За остале градове убикација није ни најмање сигурна бар два, Чернавуск и Међуречје, смештају се у слив Дрине и Лима, док се Дресник углавном идентификује са местом Дрежник у околини Ужица, а Лесник са Лешницом код ушћа Јадра у Дрину. 52 Међутим, чак и прецизна идентификација и убикација насељених градова у Крштеној Србији не мора дати праву слику о распрострањености српског становништва на подручју централог Балкана у IX и X веку, јер је његова основна организациона јединица ипак била жупа, а простор покривен српским жупама могао је бити шири од оног на коме су постојали насељени градови. 50 На овом месту је неопходно поставити питање зашто Порфирогенит апострофира Расу као границу и да ли се тај податак односи на време о коме пише, тј. на средину IX века, или на његово време средину X века? Када се обрати пажња на остале топониме које наводи као граничне тачке јужнословенских кнежевина, као што су Бар и Улцињ, Котор, Дубровник, DAI, , може се закључити да су увек у питању византијски градови и упоришта. Познато је да је Рас постао једно такво упориште услед византијске реокупације северног дела Балканског полуострва након уништења Бугарског царства 971. године, када је формиран катепанат са седиштем у њему, Максимовић, Организација, 35 36; Пириватрић, Морава, ; Krsmanović, Byzantine Province, , 141, 148; Коматина, Србија и Дукља, Међутим, нема никаквих података о статусу тог града у периоду који је томе непосредно претходио. Ипак, чињеница је да се обнављање старих и изградња нових храмова на том подручју, попут оних у Призрену и Липљану, по својим карактеристикама сасвим у духу савремене византијске провинцијске архитектуре, везује за IX и X век, Ненадовић, Богородица Љевишка, 23 24, 39 65; Панић, Бабић, Богородица Љевишка, 28 29; Мијовић, О генези, ; Јанковић, Липљанска епископија, 32, док би о јачању византијског утицаја на њему у то време посредно сведочио и један новчић царева Романа Лакапина и Христофора, који потиче из периода , пронађен у Призрену, Ненадовић, Богородица Љевишка, 24, 59; Панић, Бабић, Богородица Љевишка, 28. На крају, требало би подсетити и на чини се недовољно запажене податке Константина Порфирогенита о сарадњи и доброчинстивима које је ромејски цар чинио српском кнезу Чаславу, уз помоћ којих је овај и успео да среди прилике у својој земљи и учврсти се као кнез, DAI, , и у њима препознати сведочанство о непосредном византијском утицају међу Србима и некој врсти покровитељства над српским кнезом у то време. Све наведено сведочило би о обнављању и јачању византијског утицаја на простору централног Балкана у годинама након Симеонове смрти и успостављања мира са Бугарима 927. године. 51 DAI, О покушајима идентификације и убикације насељених градова у Крштеној Србији, уп. ВИИНЈ II, 58, нап (Ферјанчић), са прегледом ранијих мишљења; Новаковић, Још нека размишљања, ; Благојевић, Преглед, 57 58; Ћирковић, Насељени градови, 29 32; Loma, Sprachgut, ; Благојевић, Српска државност, 43 45; Суботић, Долац и Чабићи, 9; Bikić, Popović, Vrsenice, ; Лексикон градова и тргова, (М. Антоновић, С. Мишић).

9 ПРЕДРАГ КОМАТИНА: О српско-бугарској граници у IX и X веку 39 ЛИСТА РЕФЕРЕНЦИ LIST OF REFERENCES Извори Primary Sources Chronographie quae Teophanis Continuati nomine fertur Liber quo Vita Basilii imperatoris amplectitur, ed. I. Ševčenko, Corpus Fontium Historiae Byzantinae 42, Berlin Constantine Porphyrogenitus, De administrando imperio, edd. Gy. Moravcsik, R. J. H. Jenkins, Corpus Fontium Historiae Byzantinae 1, Washington Constantini Porphyrogeniti imperatoris De cerimoniis aulae byzantinae I, ed. J. J. Reiske, Corpus Scriptorum Historiae Byzantinae, Bonnae Die protobulgarischen Inschriften, ed. V. Beševliev, Berlin Ioannis Caminiatae De expugnatione Thessalonicae, ed. G. Böhlig, Corpus Fontium Historiae Byzantinae 4, Berlin New York Nikephoros, Patriarch of Constantinople, Short History, ed. C. Mango, Corpus Fontium Histortiae Byzantinae 13, Washington Symeonis Magistri et Logothetae Chronicon, ed. S. Wahlgren, Corpus Fontium Historiae Byzantinae 44/1, Berlin New York Theophanis Chronographia, ed. C. de Boor, Leipzig Византијски извори за историју народа Југославије II, прир. Б. Ферјанчић, Београд 1959 [Vizantijski izvori za istoriju naroda Jugoslavije II, prir. B. Ferjančić, Beograd 1959]. Литература Secondary Works Bikić V., Popović M., Vrsenice. Kasnoantičko I srpsko ranosrednjovekovno utvrđenje, Beograd Curta F., Linear Frontiers in the 9 th Century: Bulgaria and Wessex, Quaestiones Medii Aevi Novae 16 (2011) Goetz H. W., J. Jarnut, W. Pohl (edd.), Regna and Gentes. The Relationship between Late Antique and Early Medieval Peoples and Kingdoms in the Transformation of the Roman World, Leiden Boston Komatina P., The Slavs of the mid-danube basin and the Bulgarian expansion in the first half of the 9 th century, Zbornik radova Vizantološkog instituta 47 (2010) Krsmanović B., The Byzantine Province in Change (On the Threshold Between the 10 th and the 11 th Century), Belgrade Athens Kulikowski M., Ethnicity, Rulership and Early Medieval Frontiers, ed. F. Curta, Borders, Barriers and Ethnogenesis: Frontiers in Late Atniquity and the Middle Ages, Turnhout 2005, Loma А., Serbisches und kroatisches Sprachgut bei Konstantin Porphyrogennetos, Zbornik radova Vizantološkog instituta 38 (1999/2000) Macháček J., Great Moravian State A Controversy in Central European Medieval Studies, Studia Slavica et Balcanica Petropolitana 1/11 (2012) Pohl W., Conclusion: The Transformation of Frintiers, edd. W. Pohl, I. Wood, H. Reimitz, The Transformation of Frontiers from Late Antiquity to the Carolingians, Leiden Boston 2001, Sophoulis P., Byzantium and Bulgaria, , Leiden Boston Špehar P., Remarks to Christianisation and realms in the central Balkans in the light of archaeological finds (7 th 8 th century), edd. O. Heinrich-Tamáska, H. Herold, P. Straub, T. Vida, Castelum, Civitas, Urbs: Centres and Elites in Early Medieval East-Central Europe, Budapest Leipzig Zuckerman C., La voyage d Olga et la première ambassade espagnole à Constantinople en 946, éd. G. Dagron, Byzance et ses voisins. Études sur certains passages du Livre des cérémonies, II, 15 et 46 48, Travaux et Mémoires 13 (2000)

10 40 ЗРВИ LII (2015) Živković Т., On the Northern Borders of Serbia in Early Middle Ages, Forging Unity. The South Slavs Between East and West: , Belgrade 2008, Антоновић М., Етничка кретања у Поморављу у XI и XII веку, ур. С. Мишић, Моравска Србија, Крушевац 2007, [Antonović M., Etnička kretanja u Pomoravlju u XI i XII veku, ur. S. Mišić, Moravska Srbija, Kruševac 2007, 73 84]. Благојевић М, Преглед историјске географије средњовековне Србије, Зборник Историјског музеја Србије 20 (1983) [Blagojević M., Pregled istorijske geografije srednjovekovne Srbije, Zbornik istorijskog muzeja Srbije 20 (1983) ]. Благојевић М., Српска државност у средњем веку, Београд 2011 [Blagojević M., Srpska državnost u srednjem veku, Beograd 2011]. Динић М., Југозападна Србија у средњем веку, Српске земље у средњем веку, прир. С. Ћирковић, Београд 1978 [Dinić M., Jugozapadna Srbija u srednjem veku, Srpske zemlje u srednjem veku, prir. S. Ćirković, Beograd 1978]. Историја српског народа Ι, ур. С. Ћирковић, Београд 1981 [Istorija srpskog naroda I, ur. S. Ćirković, Beograd 1981]. Јанковић М., Липљанска епископија и Грачаничка митрополија, Историјски часопис ( ) [Janković M., Lipljanska episkopija i Gračanička mitropolija, Istorijski časopis ( ) 27 37]. Калић Ј., Београд у средњем веку, Београд 1967 [Kalić J., Beograd u srednjem veku, Beograd 1964]. Коматина И., Срби на путу крсташа, Историјски часопис 64 (2015) [Komatina I., Srbi na putu krstaša, Istorijski časopis 64 (2015) 55 83]. Коматина П., Србија и Дукља у делу Јована Скилице, Зборник радова Византолошког института 49 (2012) [Komatina P., Srbija i Duklja u delu Jovana Skilice, Zbornik radova Vizantološkog instituta 49 (2012) ]. Лексикон градова и тргова српског средњег века, прир. С. Мишић, Београд 2010 [Leksikon gradova i trgova srpskog srednjeg veka, prir. S. Mišić, Beograd 2010]. Лексикон српског средњег века (= ЛССВ), прир. Р. Михаљчић, С. Ћирковић, Београд 1999 [Leksikon srpskog srednjeg veka (= LSSV), prir. R. Mihaljčić, S. Ćirković, Beograd 1999]. Максимовић Љ., Организација византијске власти у новоосвојеним областима после године, Зборник радова Византолошког института 36 (1997) [Maksimović Lj., Organizacija vizantijske vlasti u novoosvojenim oblastima posle godine, Zbornik radova Vizantološkog instituta 36 (1997) 31 43]. Мијовић П., О генези Грачанице, ур. С. Петковић, Византијска уметност почетком XIV века. Научни скуп у Грачаници 1973, Београд 1978, [Mijović P., O genezi Gračanice, ur. S. Petković, Vizantijska umetnost početkom XIV veka. Naučni skup u Gračanici 1973, Beograd 1978]. Ненадовић С., Богородица Љевишка. Њен постанак и њено место у архитектури Милутиновог времена, Београд 1963 [Nenadović S., Bogorodica Ljeviška. Njen postanak i njeno mesto u arhitekturi Milutinovog vrmena, Beograd 1963]. Новаковић Р., Још нека размишљања о обиму Србије IX и X века, Зборник Филозофског факултета у Београду 10/1 (1968) [Novaković R., Još neka razmišljanja o obimu Srbije IX i X veka, Zbornik Filozofskog fakulteta u Beogradu 10/1 (1968) ]. Новаковић Р., О границама Србије и српске државе у средњем веку, Зборник Филозофског факултета у Београду 8/1 (1964) [Novaković R., O granicama Srbije i srpske države u X veku, Zbornik filozofskog fakulteta u Beogradu 8/1 (1964) ]. Панић Д., Бабић Г., Богородица Љевишка, Београд 1975 [Panić D., Babić G., Bogorodica Ljeviška, Beograd 1975]. Станковић В., Карактер византијске границе на Балкану у IX и X веку, ур. Љ. Максимовић, Н. Радошевић, Е. Радуловић, Трећа југословенска конференција византолога, Београд Крушевац 2002, [Stanković V., Karakter vizantijske granice na Balkanu u IX i X veku, ur. Lj. Maksimović, N. Radošević, E. Radulović, Treća jugoslovenska konferencija vizantologa, Beograd Kruševac 2002, ].

11 ПРЕДРАГ КОМАТИНА: О српско-бугарској граници у IX и X веку 41 Суботић Г., Долац и Чабићи, Београд 2012 [Subotić G., Dolac i Čabići, Beograd 2012]. Ћирковић С., Насељени градови Константина Порфирогенита и најстарија територијална организација, Зборник радова Византолошког института 37 (1998) 9 32 [Ćirković S., Naseljeni gradovi Konstantina Porfirogenita i najstarija teritorijalna organizacija, Zbornik radova Vizantološkog instituta 37 (1998) 9 32]. Узелац А., Чувај се Белијалових синова и отровних стрела! Поморавље у другој половини ΧΙΙ века, ур. Д. Бојовић, Стефан Немања и Топлица, Ниш 2011, [Uzelac A., Čuvaj se Belijalovih sinova i otrovnih strela! Pomoravlje u drugoj polovini XII veka, ur. D. Bojović, Stefan Nemanja i Toplica, Niš 2011, ]. Щавелев А. С., Захват территорий славянских племен державой Рюриковичей в первой половине X в., Восточная Европа в древности и средневековье XXVII, Москва 2015, [Ščavelev A. S., Zahvat territorij slavjanskih plemen deržavoj Rjurikovičej v pervoj polovine X v., Vostočnaja Evropa v drevnosti i srednevekov e XXVII, Moskva 2015, ]. Predrag Komatina Institute for Byzantine Studies of the SASA, Belgrade predrag.komatina@vi.sanu.ac.rs ON THE SERBIAN-BULGARIAN BORDER IN THE 9 TH AND THE 10 TH CENTURIES In the work De administrando imperio by the emperor Constantine VII Porphyrogenitus there is some information concerning the border between the Serbs and the Bulgarians in the 9 th and the 10 th centuries. Besides that he tells us of the Serbs and Bulgarians as neighbors, he also specifies that the border between them was at Ras. However, there were no clearly established borderlines between the political entities in the Early Middle Ages, and those political entities during that period functioned not on the basis of territorially organized states, but of ethnic communities, whose authority rested upon the people, not the territory. The functioning of the early medieval Bulgarian Khanate is one of the best examples for that. There are in the sources of the 7 th 9 th centuries several examples on how they treated the subjugated peoples, by imposing a tribute on them and even by resettling them from their homes. Exactly in the same way they persuaded their policy towards the Serbs. They attacked them several times in order to subdue them as a people, not their territory, and when they finally succeeded in the third decade of the 10 th century, they devastated the country and took the Serbian population with them to Bulgaria, living their lands desolated. When, some time after the death of the Bulgarian ruler Symeon in 927, the Serbian prince Časlav escaped from Bulgaria and came to Serbia, he found the country depopulated, but he had neither to fight against the Bulgarian garrisons to win over the country, which testifies that there was no Bulgarian administration established in it. His primary task was only to collect the people from neighboring regions and to populate the country to rebuild it politically. Since the political organization in the Early Middle Ages rested upon the people and not the territory, then the political organization of the Serbs at that time incompassed only the areas directly populated by them. Those areas were primarily

12 42 ЗРВИ LII (2015) župas, that is, fertile valleys and karst fields, while the massive mountain ranges of the Central and Western Balkans, populated by the Romance-speaking Vlachs, were left outside of the Serbian political organization. Thus, there were no precise borders between the Serbs and the Serbian maritime tribes of Diocletians, Trebouniotes, Kanalites, Zachlumi and Narentans, or between them and the Croats, but their areas only approached each other, separated by high mountains and uninhabited territory. The same must have been the case when the border between the Serbs and the Bulgarians is concerned. Porphyrogenitus data about the borders of the Serbian territory towards the Bulgarians must be understood not as if they point to the exact line of separation, but to the places up to which the areas populated by the Serbs stretched in the direction towards the territory controlled by the Bulgarians. It is clear that the Bulgarians during the 9 th and the 10 th centuries controlled the Morava Valley, with its important cities, like Belgrade and Morava (Braničevo). Whether the area of Rasa was indeed the easternmost Serbian place at the time is not of primary importance, because we cannot establish with certainty the extant of the territory populated by the Serbs in the 9 th and the 10 th centuries.

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

ИДЕНТИТЕТ ДУКЉАНА ПРЕМА DE ADMINISTRANDO IMPERIO *

ИДЕНТИТЕТ ДУКЉАНА ПРЕМА DE ADMINISTRANDO IMPERIO * Зборник радова Византолошког института LI, 2014 Zbornik radova Vizantološkog instituta LI, 2014 УДК: 323.153(=163.41): [94(497.16) 09 :929 DOI: 10.2298/ZRVI1451033K ПРЕДРАГ КОМАТИНА (Византолошки институт

Διαβάστε περισσότερα

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20.

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20. Драгољуб М. Кочић, Историја за први разред средњих стручних школа, Завод за уџбенике Београд, 2007. година * Напомена: Ученици треба да се припремају за из уџбеника обајвљених од 2007 (треће, прерађено

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

ПОВЛАСТИЦЕ ГРАДА НИША НА КРАЈУ XII ВЕКА

ПОВЛАСТИЦЕ ГРАДА НИША НА КРАЈУ XII ВЕКА Ni{ i Vizantija X 537 Владимир Алексић ПОВЛАСТИЦЕ ГРАДА НИША НА КРАЈУ XII ВЕКА Прошлост овог града и његове околине углавном је остала тајанствена због оскудности извора а не због мањка занимања међу историчарима.

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

ОДЛУКУ. I Народна скупштина Републике Српске усваја Измјене и допуне Развојног програма Републике Српске, година.

ОДЛУКУ. I Народна скупштина Републике Српске усваја Измјене и допуне Развојног програма Републике Српске, година. 1102 На основу члана 70. став 1. тачка 2. Устава Републике Српске, члана 183. и члана 187. ст. 1. и 2. Пословника Народне скупштине Републике Српске - Пречишћени текст ( Службени гласник Републике Српске,

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

ОД ИСТОГ АУТОРА: Сулејман, Хурем и Срби Повратак краља Стефан Немања Стефан Дечански Дух побуне

ОД ИСТОГ АУТОРА: Сулејман, Хурем и Срби Повратак краља Стефан Немања Стефан Дечански Дух побуне ОД ИСТОГ АУТОРА: Сулејман, Хурем и Срби Повратак краља Стефан Немања Стефан Дечански Дух побуне Copyright 2015, Лука Мичета Copyright овог издања 2015, ЛАГУНА Сенима блисtавоg dуховника pроtојереја-сtаврофора,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Copyright 2017, Лука Мичета Copyright овог издања 2017, ЛАГУНА

Copyright 2017, Лука Мичета Copyright овог издања 2017, ЛАГУНА ОД ИСТОГ АУТОРА: Сулејман, Хурем и Срби Повратак краља Стефан Немања Стефан Дечански Дух побуне Стефан Првовенчани Деспот Стефан Лазаревић Душан Силни Краљ Милутин Copyright 2017, Лука Мичета Copyright

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

КОНСТАНТИН ВЕЛИКИ У СРПСКОЈ ИСТОРИОГРАФИЈИ XIX ВЕКА

КОНСТАНТИН ВЕЛИКИ У СРПСКОЈ ИСТОРИОГРАФИЈИ XIX ВЕКА UDC 930:929 Konstantin Veliki 18 Светозар Бошков Универзитет у Новом Саду Филозофски факултет Одсек за историју svetozarboskov@hotmail.com Оригиналан научни рад КОНСТАНТИН ВЕЛИКИ У СРПСКОЈ ИСТОРИОГРАФИЈИ

Διαβάστε περισσότερα

BIBLIOGRAPHY OF LJUBOMIR MAKSIMOVIĆ (edited by Miloš Cvetković, Predrag Komatina)

BIBLIOGRAPHY OF LJUBOMIR MAKSIMOVIĆ (edited by Miloš Cvetković, Predrag Komatina) Зборник радова Византолошког института L, 2013 Recueil des travaux de l Institut d études byzantines L, 2013 УДК: 012 Максимовић Љ. DOI: 10.2298/ZRVI1350015C BIBLIOGRAPHY OF LJUBOMIR MAKSIMOVIĆ (edited

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА XCII- Бр. 2 YEAR 2012 TOME XCII - N о 2

ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА XCII- Бр. 2 YEAR 2012 TOME XCII - N о 2 ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА 2012. СВЕСКА XCII- Бр. 2 YEAR 2012 TOME XCII - N о 2 Оригиналан научни рад UDC 911.37:528 DOI:10.2298/GSGD1202001G

Διαβάστε περισσότερα

Strain gauge and rosettes

Strain gauge and rosettes Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified

Διαβάστε περισσότερα

Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού)

Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Προσδοκώμενα αποτελέσματα Περιεχόμενο Ενδεικτικές δραστηριότητες

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

ISTORIJSKI ^ASOPIS Kњ. LXIII (2014)

ISTORIJSKI ^ASOPIS Kњ. LXIII (2014) ISTORIJSKI ^ASOPIS Kњ. LXIII (2014) UDC 93/94 YU ISSN 0350-0802 INSTITUTE OF HISTORY HISTORICAL REVIEW Vol. LXIII (2014) Editorial board JOVANKA KALIĆ, MIHAILO VOJVODIĆ MARICA MALOVIĆ-ĐUKIĆ, SRĐAN KATIĆ,

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

Историја 2, Београд 2014 (History 2, a handbook of history, for the second class Serbian gymnasia of general type)

Историја 2, Београд 2014 (History 2, a handbook of history, for the second class Serbian gymnasia of general type) Publications Books Историја 2, Београд 2014 (History 2, a handbook of history, for the second class n gymnasia of general type) Самуиловата държава. Обхват и характер, София 2000 (a Bulgarian translation

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Μελέτη των υλικών των προετοιμασιών σε υφασμάτινο υπόστρωμα, φορητών έργων τέχνης (17ος-20ος αιώνας). Διερεύνηση της χρήσης της τεχνικής της Ηλεκτρονικής Μικροσκοπίας

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

ВЕЛИКА МОРАВИЈА - КОЛОСНА СРБСКА ЗЕМЉА И ДРЖАВА

ВЕЛИКА МОРАВИЈА - КОЛОСНА СРБСКА ЗЕМЉА И ДРЖАВА ВЕЛИКА МОРАВИЈА - КОЛОСНА СРБСКА ЗЕМЉА И ДРЖАВА Пише: Мирослав ДИМИТРИЈЕВИЋ Magna Moravia или Велика Моравија је србска средњевековна земља и држава о којој званични историчари до сада нису написали ни

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

Νέες ρωγµές στην γερµανική ηγεµονία. (New rifts in the German hegemony) Μαυροζαχαράκης Εµµανουήλ Πολιτικός Επιστήµονας

Νέες ρωγµές στην γερµανική ηγεµονία. (New rifts in the German hegemony) Μαυροζαχαράκης Εµµανουήλ Πολιτικός Επιστήµονας Νέες ρωγµές στην γερµανική ηγεµονία. (New rifts in the German hegemony) Μαυροζαχαράκης Εµµανουήλ Πολιτικός Επιστήµονας Mavrozacharakis Emmanouil Political Scientist Abstract Greek Η προσφυγική κρίση που

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Αζηίεξ ημζκςκζηήξ ακζζυηδηαξ ζημ ζπμθείμ... 64 3.4.1 Πανάβμκηεξ πνμέθεοζδξ ηδξ ημζκςκζηήξ ακζζυηδηαξ... 64 3.5 οιαμθή ηςκ εηπαζδεοηζηχκ ζηδκ

3.4 Αζηίεξ ημζκςκζηήξ ακζζυηδηαξ ζημ ζπμθείμ... 64 3.4.1 Πανάβμκηεξ πνμέθεοζδξ ηδξ ημζκςκζηήξ ακζζυηδηαξ... 64 3.5 οιαμθή ηςκ εηπαζδεοηζηχκ ζηδκ 2 Πεξηερόκελα Δονεηήνζμ πζκάηςκ... 4 Δονεηήνζμ δζαβναιιάηςκ... 5 Abstract... 6 Πενίθδρδ... 7 Δζζαβςβή... 8 ΘΔΩΡΗΣΙΚΟ ΜΔΡΟ... 12 Κεθάθαζμ 1: Θεςνδηζηέξ πνμζεββίζεζξ βζα ηδκ ακζζυηδηα ζηδκ εηπαίδεοζδ...

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба

Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање ОРГАНИЗАЦИЈА ПАРКИРАЛИШТА 1. вежба Место за паркирање (паркинг место) Део простора намењен, технички опремљен и уређен за паркирање једног

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΟΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Διπλωματική εργασία στο μάθημα «ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ»

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

АНТИЧКА ПРОШЛОСТ У СРПСКИМ УЏБЕНИЦИМА КРАЈЕМ XIX ВЕКА

АНТИЧКА ПРОШЛОСТ У СРПСКИМ УЏБЕНИЦИМА КРАЈЕМ XIX ВЕКА 371.3::94(497.11)"18" 930.85(37+38) Др СВЕТОЗАР БОШКОВ Филозофски факултет Универзитет у Новом Саду АНТИЧКА ПРОШЛОСТ У СРПСКИМ УЏБЕНИЦИМА КРАЈЕМ XIX ВЕКА Апстракт: У овом раду се излажу промене у начину

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασία. Παραδοσιακά Προϊόντα Διατροφική Αξία και η Πιστοποίηση τους

Πτυχιακή Εργασία. Παραδοσιακά Προϊόντα Διατροφική Αξία και η Πιστοποίηση τους ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΤΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Παραδοσιακά Προϊόντα Διατροφική Αξία και η Πιστοποίηση τους Εκπόνηση:

Διαβάστε περισσότερα

Copyright 2016, Лука Мичета Слика Краљ Милутин на насловној страни Олгица Стефановић. Copyright овог издања 2016, ЛАГУНА

Copyright 2016, Лука Мичета Слика Краљ Милутин на насловној страни Олгица Стефановић. Copyright овог издања 2016, ЛАГУНА Copyright 2016, Лука Мичета Слика Краљ Милутин на насловној страни Олгица Стефановић Copyright овог издања 2016, ЛАГУНА Kupovinom knjige sa FSC oznakom pomažete razvoj projekta odgovornog korišćenja šumskih

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Ενότητα 1β: Principles of PS Ιφιγένεια Μαχίλη Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

оп љ ње I полу од т 11. у т полуп е к оп е к у е око т оу л т е a = у л =. 12. т оу лу ABC д то је = =, полуп е к оп о к у R=. у т т е то т оу л.

оп љ ње I полу од т 11. у т полуп е к оп е к у е око т оу л т е a = у л =. 12. т оу лу ABC д то је = =, полуп е к оп о к у R=. у т т е то т оу л. оп љ ње I полу од т оу о 1. у т е по у јед кок ко т оу л ко је п о од к к о о е, о. 2. у т по у јед кок ко т оу л о о е cm, ко је кој од о о о јед к од е ку кој п ј ед е о о е к к. 3. Д е т е т оу л у

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΤΑΥΡΟΔΡΟΜΙ ΤΟΥ ΝΟΤΟΥ ΤΟ ΛΙΜΑΝΙ ΤΗΣ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΤΟ ΣΤΑΥΡΟΔΡΟΜΙ ΤΟΥ ΝΟΤΟΥ ΤΟ ΛΙΜΑΝΙ ΤΗΣ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΤΟ ΣΤΑΥΡΟΔΡΟΜΙ ΤΟΥ ΝΟΤΟΥ ΤΟ ΛΙΜΑΝΙ ΤΗΣ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΖΑΡΑΒΕΛΑ Δ. 1, και ΒΡΥΩΝΗΣ Δ. 1 1 4ο Τ.Ε.Ε. Καλαμάτας, Δ/νση Δευτεροβάθμιας Εκ/σης Μεσσηνίας e-mail: dzaravela@yahoo.qr ΕΚΤΕΝΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Από τις κύριες

Διαβάστε περισσότερα

Similarly, we may define hyperbolic functions cosh α and sinh α from the unit hyperbola

Similarly, we may define hyperbolic functions cosh α and sinh α from the unit hyperbola Universit of Hperbolic Functions The trigonometric functions cos α an cos α are efine using the unit circle + b measuring the istance α in the counter-clockwise irection along the circumference of the

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТ ВAГЕНИТИЈА И ЕПИСКОПИЈА СВ. КЛИМЕНТА

ОБЛАСТ ВAГЕНИТИЈА И ЕПИСКОПИЈА СВ. КЛИМЕНТА Зборник радова Византолошког института LIII, 2016 Zbornik radova Vizantološkog instituta LIII, 2016 УДК: 27-773-9(495.02) 911.3:94(495.02) 08/14 DOI: 10.2298/ZRVI1653083K ПРЕДРАГ КОМАТИНА Византолошки

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ιπλωµατική Εργασία. της ΘΕΟ ΟΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗΣ ΜΣ:5411

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ιπλωµατική Εργασία. της ΘΕΟ ΟΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗΣ ΜΣ:5411 Παρακίνηση εργαζοµένων: Ο ρόλος του ηγέτη στην παρακίνηση των εργαζοµένων. ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ιπλωµατική Εργασία της ΘΕΟ ΟΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗΣ ΜΣ:5411 ΠΑΡΑΚΙΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5 ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА школска 2016/2017. Предмет: ЗАВРШНИ РАД Предмет се вреднује са 6 ЕСПБ. НАСТАВНИЦИ И САРАДНИЦИ: РБ Име и презиме Email адреса звање 1. Јасмина Кнежевић

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

Милош С. Милојевић. ИСТОРИЈА СРБА СРПСКИХ - ЈУГОСЛОВЕНСКИХ - ЗЕМАЉА У ТУРСКОЈ И АУСТРИЈИ (одломак)

Милош С. Милојевић. ИСТОРИЈА СРБА СРПСКИХ - ЈУГОСЛОВЕНСКИХ - ЗЕМАЉА У ТУРСКОЈ И АУСТРИЈИ (одломак) Милош С. Милојевић ИСТОРИЈА СРБА СРПСКИХ - ЈУГОСЛОВЕНСКИХ - ЗЕМАЉА У ТУРСКОЈ И АУСТРИЈИ (одломак) Српска племена у данашњој Италији Срби Ђермански, на Балтијском мору и пропаст њихова Појава Хуна у срп.

Διαβάστε περισσότερα

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1 Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1: Κεφάλαιο 2: Κεφάλαιο 3:

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1: Κεφάλαιο 2: Κεφάλαιο 3: 4 Πρόλογος Η παρούσα διπλωµατική εργασία µε τίτλο «ιερεύνηση χωρικής κατανοµής µετεωρολογικών µεταβλητών. Εφαρµογή στον ελληνικό χώρο», ανατέθηκε από το ιεπιστηµονικό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

ВЛАДАР И ЗАКОН У ДЕЛУ ЦАРА ЈУЛИЈАНА АПОСТАТЕ 1

ВЛАДАР И ЗАКОН У ДЕЛУ ЦАРА ЈУЛИЈАНА АПОСТАТЕ 1 Зборник радова Правног факултета у Новом Саду, 1/2012 Оригинални научни рад УДК 342.519:34(37) 03 doi:10.5937/zrpfns46-2030 Др Срђан Шаркић, редовни професор Правног факултета у Новом Саду ВЛАДАР И ЗАКОН

Διαβάστε περισσότερα

I Наставни план - ЗЛАТАР

I Наставни план - ЗЛАТАР I Наставни план - ЗЛААР I РАЗРЕД II РАЗРЕД III РАЗРЕД УКУО недељно годишње недељно годишње недељно годишње годишње Σ А1: ОАЕЗНИ ОПШЕОРАЗОНИ ПРЕДМЕИ 2 5 25 5 2 1. Српски језик и књижевност 2 2 4 2 2 1.1

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

ДРЖАВНИ СУВЕРЕНИТЕТ У СВЕТЛУ САВРЕМЕНОГ МЕЂУНАРОДНОГ ПРАВА

ДРЖАВНИ СУВЕРЕНИТЕТ У СВЕТЛУ САВРЕМЕНОГ МЕЂУНАРОДНОГ ПРАВА УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ ПРАВНИ ФАКУЛТЕТ Мр Сенад Ф. Ганић ДРЖАВНИ СУВЕРЕНИТЕТ У СВЕТЛУ САВРЕМЕНОГ МЕЂУНАРОДНОГ ПРАВА докторска дисертација Београд, 2012 UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF LAW Mr Senad F.

Διαβάστε περισσότερα

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

БАЛКАНОЛОГИЈА 1. Универзитет у Београду. Филолошки факултет. Катедра за неохеленске студије. - о с н о в н а с к р и п т а

БАЛКАНОЛОГИЈА 1. Универзитет у Београду. Филолошки факултет. Катедра за неохеленске студије. - о с н о в н а с к р и п т а Универзитет у Београду Филолошки факултет Катедра за неохеленске студије БАЛКАНОЛОГИЈА 1 - о с н о в н а с к р и п т а Тип предмета: академско-општеобразовни Статус предмета: ОБАВЕЗНИ за студијску групу

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

The challenges of non-stable predicates

The challenges of non-stable predicates The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates

Διαβάστε περισσότερα