ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1: Ηµεροµηνίας παράδοσης:

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 4-5 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ : Ηµεροµνίας παράδοσς: --5. Να µελετεί κίνσ σώµατος µάας το οποίο βρίσκεται µέσα σε δυναµικό πεδίο µε δυναµική ενέργεια: 4 x x 4 V (x.. Απλό εκκρεµές αφήνεται από τν ρεµία σε µικρή γωνία φ ως προς τν ανερχόµεν κατακόρυφο. είξετε ότι ο χρόνος που απαιτείται για να δεκαπλασιαστεί γωνιακή µετατόπισ είναι περίπου ln/ω ο όπου όπου. Υπολογίσετε τον χρόνο αυτό για εκκρεµές µε περίοδο Τsec και βρείτε τ γωνιακή ταχύττα του εκκρεµούς όταν φάσει τ κατακόρυφο προς τα κάτω. ω ο g / L. Σώµα µάας πέφτει κατακόρυφα υπό τν επίδρασ τς βαρύττος. Να γράψετε τν εξίσωσ κίνσ του σώµατος λαµβάνοντας υπόψιν και τν αντίστασ του αέρος -bυ. Να ολοκλρώσετε τν προκύπτουσα εξίσωσ και να δειχεί ότι µεγίστ ταχύτς αν το σώµα αφήνεται εκ τς ρεµίας είναι υg/b. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ : ΠΡΟΒΛHA.: Η δυναµική ενέργεια 4 x x 4 V (x έχει τν γραφική παράστασ του Σχήµατος.. Υπολογίουµε τα ακρότατα σµεία τς συνάρτσς. Η παράγωγος είναι dv x x x(x ( dx συνεπώς συνάρτσ V έχει τα ακρότατα σµεία: x και x±. Για x δυναµική ενέργεια ισούται µε V( και για x± V(± 4. ιερευνώντας τν δεύτερ παράγωγο V (xx στο σµείο x V (< δλ. πρόκειται για τοπικό µέγιστο (ασταές σµείο ισορροπίας ενώ στα σµεία x± V (±> δλ. πρόκειται για τοπικά ελάχιστα (ευσταή σµεία ισορροπίας. Η εξίσωσ κίνσς του σώµατος είναι & x F(x ( όπου F(x ( x x. Πολλαπλασιάοµε και τα δύο µέρ τς ( επί x& και ολοκλρώνοντας βρίσκουµε 4 4 x& x x E ( Pobles

2 όπου Ε είναι µια σταερά ολοκλήρωσς. Ακόµ ( γράφεται φαίνεται ότι σταερά Ε παριστάνει τν ολική ενέργεια. x& V(x E απ όπου Οι τροχιές στο χώρο των φάσεων του Σχήµατος.b δίδουν µια αρκετά κατατοπιστική εικόνα τς κίνσς του σώµατος στο δεδοµένο δυναµικό. Συγκεκριµένα το σύστµα έχει ένα σαγµατικό σµείο ισορροπίας (sddle point στο σµείο ( µε κέντρα στα δύο ευσταή σµεία ισορροπίας: (- ( Σχήµα. (b και (. Καένα από τα ευσταή σµεία ισορροπίας περιβάλλεται από µια οικογένεια µικρών κλειστών τροχιών µε ενέργειες < Ε < ενώ για Ε > υπάρχουν µεγάλες κλειστές τροχιές οι 4 οποίες περιβάλλουν και τα τρία σµεία ισορροπίας. Οι λύσεις είναι τυπικά περιοδικές εκτός από τις δύο λύσεις ισορροπίας (± και τις δύο τροχιές που φαίνονται να ξεκινούν και να τελειώνουν στο σαγµατικό σµείο (. Οι τροχιές αυτές πλσιάουν το σµείο ( για t ± και καλούνται οµοκλινικές τροχιές. Τέτοιες τροχιές είναι συνήεις σε συντρτικά συστήµατα. Πρέπει να σµειώσουµε ότι µια οµοκλινική τροχιά δεν είναι περιοδική. Αρµονική προσέγγισ κοντά στα ευσταή σµεία ισορροπίας x±: Θέτω x(±φ και αναπτύσσουµε κατά Tylo τν δυναµική ενέργεια γύρω από το σµείο φ 4 ( ± φ ( ± φ 4 V( φ όπου V( 4 V' ( ( ± φ ( ± φ V' '( ( ± φ οπότε δυναµική ενέργεια γράφεται: εξίσωσ κίνσς είναι dv V( φ φ και δύναµ: F( φ φ. Συνεπώς 4 dφ d dt ( ± φ φ && ω φ φ ο Pobles

3 όπου ω ο. Οι λύσεις τς (5 είναι οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις x C cos ω t D sin ω ο ο t όπου (CD σταερές. Συµπεραίνουµε ότι µικρές µετατοπίσεις από τα ευσταή σµεία ισορροπίας x± οδγεί σε περιοδικές τριγωνοµετρικές λύσεις µε συχνόττα ω ο. ΠΡΟΒΛΗΜΑ.: Όταν εκτραπεί το σώµα κατά από τν ανερχόµεν κατακόρυφο (βλέπε Σχήµα. δυναµική ενέργεια (µε στάµ αναφοράς το επίπεδο y είναι V g L cos ( οπότε ασκούµεν δύναµ σε πολικές συντεταγµένες α είναι dv F g sin ( d (όπου L. Προφανώς δύναµ αυτή εφαρµόεται εφαπτοµενικά. Σχήµα. Η εξίσωσ κίνσς (κατά τν εφαπτοµενική διεύυνσ σε πολικές συντεταγµένες είναι α g sin ( όπου α & είναι γωνιακή επιτάχυνσ και L &. Συνεπώς ( γράφεται & g sin (4 L Πολλαπλασιάοµε και τα δύο µέλ επί & και ολοκλρώνοµε Pobles

4 g & cos c (5 L όπου c σταερά ολοκλήρωσς. Εφαρµόω τις αρχικές συνήκες: για t έχω και (5 δίδει: cg/l. Συνεπώς (5 γράφεται & άρα ή όπου & g ( L cos 4 g L sin & ωο sin (6 ω ο g / L. Ολοκλρώνουµε τν (6 από ο ο ο d ω ο sin ο τ dt. (7 Για µικρές γωνίες (<< ισχύει: sin (σε ds οπότε (7 δίδει: ln ω ο τ ή ln τ. ω ο Αν περίοδος είναι Tsec τότε ω ο π/τ π ds/sec και συνεπώς ο χρόνος δεκαπλασιασµού τς γωνίας είναι: ln τ sec.7sec. π Η διατήρσ τς ενέργειας στο ανώτατο και στο κατώτατο σµείο δίδει: Ε V V T ή g g L (Lω (όπου υωl είναι ταχύττα στο κατώτατο σµείο άρα ω ω ο π L d/sec. ΠΡΟΒΛΗΜΑ.: Θεωρούµε ότι το σύστµα αξόνων κατευύνονται όπως απεικονίονται στο Σχήµα.. Επί του σώµατος ασκούνται το βάρος του g και αντίστασ του αέρος Τbυ. Σχήµα. Η εξίσωσ κίνσς είναι & y g bυ ( Pobles 4

5 ή Ολοκλρώνουµε τν ( έχουµε b υ & υ g ( g d( υ dυ dυ dt ή b dt ή b b t α b b ή ln( υ g ο υ t β g υ g υ υ b όπου υ ο g/b και αβ σταερές ολοκλήρωσς ή ο υ b t o υ Αe υ υ Αe ( b t άρα όπου Α σταερά οποία υπολογίεται από τις αρχικές συνήκες. Πράγµατι για t έχω υ οπότε από τν ( έπεται Αυ ο και ( γράφεται b t υ υ ( e (4 ο Προφανώς µεγίστ ταχύτς είναι: υυ ο g/b για t. Pobles 5

6 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ : Ηµεροµνίας παράδοσς: Βρείτε ποιές από τις παρακάτω δυνάµεις είναι συντρτικές: F x xby F y zbxy F z ybz F sin sinφ F cos sinφ F φ cosφ. ( ιατοµικό µόριο ύο σώµατα µε µάες συνδέονται µέσω ελατρίου σταεράς k και µπορούν να ολισαίνουν χωρίς τριβές κατά µήκος του άξονα x. (α Γράψετε τις εξισώσεις κίνσς για καένα σώµα και (β αποδείξετε ότι το κέντρο µάας κινείται µε σταερή ταχύττα.. Σώµα κινείται στο επίπεδο υπό τν επίδρασ τς κεντρικής δύναµς F & ( && c όπου απόστασ του σώµατος από το κέντρο έλξς. Να ευρεεί γενικευµέν δυναµική ενέργεια οποία δµιουργεί τέτοια δύναµ και από το αποτέλεσµα αυτό να γραφεί Lgngin του σώµατος. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ : ΠΡΟΒΛΗΜΑ.: Έχοµε δει ότι για να είναι δύναµ F συντρτική πρέπει ο στροβιλισµός τς F να ισούται µε µδέν δλ. F (αναγκαία και ικανή συνήκ. (i Για τ δύναµ F µε συνιστώσες: F x xby F y xbxy και F z ybz o στροβιλισµός σε καρτεσιανές συντεταγµένες δίδεται από τ σχέσ: F i x F x j k y F y z F z F Fy z Fx i( j( y z z F F z y k( x x Fx. y όπου i j k είναι τα µοναδιαία διανύσµατα. Υπολογίουµε τις επί µέρους παραγώγους: F F z y ( (y bz y z y Fx ( z Fz (x by x z (z bxy z (y bz x Fy Fx ( (z bxy (x by by by x y x y άρα F και συνεπώς F είναι συντρτική. (ii Για τ δύναµ F µε συνιστώσες (σε σφαιρικές συντεταγµένες: F sin sinφ F cos sinφ F φ cosφ ο στροβιλισµός σε σφαιρικές συντεταγµένες δίδεται από τ σχέσ: Pobles 6

7 F sin F ˆ ˆ sin φˆ F φ sin F φ ˆ ˆ F φˆ F [ ( sin Fφ (F ] [ ( sin Fφ ] [ (F ] sin φ sin φ όπου ˆˆφˆ είναι τα µοναδιαία διανύσµατα. Υπολογίουµε τις επί µέρους παραγώγους: [ ( sin F φ φ (F ] ( sin cosφ φ ( cossin φ cos cosφ cos cosφ [ φ F ( sin F ] φ φ ( sin sin φ ( sin cosφ sin cosφ sin cosφ [ (F F ] ( cossin φ ( sin sin φ cossin φ cossin φ άρα F και συνεπώς F είναι συντρτική. ΠΡΟΒΛΗΜΑ.: Θεωρούµε τις δύο µάες να ολισαίνουν πάνω στον άξονα x (βλέπε Σχήµα.. Η κιντική ενέργεια του συστήµατος είναι x& x & T ( και δυναµική ενέργεια k(x x lo V. ( (όπου l o το αρχικό µήκος του ελατρίου. Χωρίς να χάνεται γενικότς παίρνουµε l o. Σχήµα. ιαµήκς κίνσ διατοµικού µορίου Η Lngngin του συστήµατος είναι x x k(x x L T V & & ( Pobles 7

8 απ όπου υπολογίουµε τις παραγώγους L x& L x& x& x& L x L x k(x k(x x x (4 Εποµένως οι εξισώσεις κίνσς Lgnge είναι && x && x k(x k(x x x (5 d Προσέτοντας τις (5 κατά µέλ παίρνουµε & x & x ή ( x& x& άρα dt x& x& στα. (6 ( Η ποσότς µέσα στ παρένεσ παριστάνει τ ολική ορµή του συστήµατος δλ. p υ υ στα. Να υµούµε ότι το κέντρο µάας (c του συστήµατος ορίεται από τ σχέσ (x x οπότε ταχύτς του κέντρου µάας είναι R c dr c (x& x&. Αντικαιστώντας συνεπώς στν (6 παίρνουµε: dt υc ( υ c στα. έπεται λοιπόν ότι υ c είναι σταερή. ΠΡΟΒΛΗΜΑ.: Οι εξισώσεις κίνσς στο επίπεδο είναι ( && & F (α ( & & & F (β όπου & & είναι ακτινική επιτάχυνσ και & && είναι επιτρόχιος ή εφαπτοµενική επιτάχυνσ. Η ακτινική δύναµ δύναµ F. H (β µπορεί να γραφεί απ όπου έπεται d & && F F ( ενώ εφαπτοµενική c ( & dt & const Η ποσότς στο πρώτο µέρος παριστάνει το µέτρο τς στροφορµής l δλ. στροφορµή είναι σταερή. Έπεται λοιπόν ότι Pobles 8

9 & l. ( Απαλείφοντας τ µεταβλτή & µεταξύ των εξισώσεων ( και (α προκύπτει ή & & & ( && l ( c & & & & l (. ( c Πολλαπλασιάω επί & κατά µέλ τν ( και ολοκλρώνω ως προς t l & & E c όπου Ε είναι σταερά ολοκλήρωσς. Το πρώτο µέρος παριστάνει τ κιντική ενέργεια συνεπώς δυναµική ενέργεια είναι και Lngngin & V c L & l & c Pobles 9

10 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ : Ηµεροµνίας παράδοσς: Θεωρήσατε ένα γραµµικό συµµετρικό τριατοµικό µόριο µε µάες Μ και. Θεωρούµε µόνο τις διαµήκεις ταλαντώσεις του µορίου δλ. τα άτοµα µπορούν να κινούνται µόνο κατά µήκος του άξονα του µορίου (τον οποίο να λάβετε σαν άξονα x. Το δυναµικό αλλλεπίδρασς µεταξύ των ατόµων µπορεί να προσεγγιστεί από ένα ελατήριο σταεράς k. Στ έσ ισορροπίας τα άτοµα απέχουν µεταξύ τους απόστασ l (τα ακραία άτοµα δεν είναι πακτωµένα. Βρείτε τις ιδιοσυχνόττες τα ιδιοδιανύσµατα και τις κανονικές µορφές ταλάντωσς του µορίου. ώσατε και µια φυσική εικόνα για κάε κανονική µορφή ταλάντωσς του µορίου. Να διαγωνοποιεί ο τανυστής: 7 6 T (Υπόδειξ: χαρακτριστική εξίσωσ µπορεί να παραγοντοποιεί. Στο πρόβλµα των δύο συευγµένων εκκρεµών κιντική ενέργεια και δυναµική ενέργεια είναι αντίστοιχα: T ( & & και ( k όπου k µια V σταερά. Βρείτε τις ιδιοσυχνόττες τα ιδιοδιανύσµατα και τις κανονικές µορφές ταλάντωσς του συεγµένου συστήµατος. ώσατε και µια φυσική εικόνα για κάε κανονική µορφή ταλάντωσς. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ : ΠΡΟΒΛHA.: Έστω το τριατοµικό µόριο του Σχήµατος.. Υποτίεται ότι τα άτοµα µπορούν να κινούνται µόνο κατά µήκος του άξονα του µορίου ο οποίος λαµβάνεται και σαν άξονας x. Σχήµα. Η δυναµική ενέργεια του µορίου είναι k(x x l k(x x l V ( Pobles

11 (όπου l είναι το µήκος του ατέντωτου ελατρίου ενώ κιντική ενέργεια είναι T & & & ( x x x Υποέτουµε ότι τα άτοµα ταλαντούνται γύρω από τις έσεις ισορροπίας τους (x x x οπότε εωρούµε τις µετατοπίσεις των ατόµων ( από τις έσεις αυτές ως εξής x x x x ( x x. όπου x x l x x. Οι ενέργειες ( και ( γράφονται συναρτήσει των µετατοπίσεων i k( k( V (4 T & & & (4b από τις οποίες υπολογίουµε τους πίνακες τς δυναµικής και τς κιντικής ενέργειας αντίστοιχα k k V k k k T (5 k k Η χαρακτριστική εξίσωσ προκύπτει από τν ορίουσα k ω V ω T k k ω k (6 k k k ω οποία οδγεί στν εξίσωσ ή (k ω (k ω k (k ω ω (k ω [ ω k( ] (7 οι λύσεις τς οποίας είναι ω k ω ω k µ όπου µ. Η ποσότς αυτή έχει διατάσεις µάας και α τν λέµε ανγµέν µάα. Υπολογίουµε στ συνέχεια τα πλάτ ταλάντωσς των ατόµων για καεµιά συχνόττα. Pobles

12 (i για ωω υπολογίουµε τα αντίστοιχα πλάτ αντικαιστώντας στν εξίσωσ (- τν τιµή τς συχνόττος δλ. (k - ω k k k k k k (k - ω k k (k - ω k k k k (ο δεύτερος δείκτς στις συνιστώσες ik του πλάτους αναφέρεται στ συχνόττα για ωω έχοµε απ όπου παίρνοµε k k k k k k k k α α α. (8 k Προφανώς δεν υπάρχει ταλάντωσ (εφόσον ω. Η κίνσ αυτή αντιστοιχεί στν οµοιόµορφο µεταφορική κίνσ κατά µήκος του άξονα του µορίου όπου όλα τα άτοµα εκτελούν ακριβώς τν ίδια κίνσ. Η κίνσ αυτή παρίσταται στο ακόλουο σχήµα. Εφαρµόουµε τώρα τ συνήκ οροκανονικόττος εξίσωσ (-4 Για kl έχοµε T δ. ij ij ik jl kl T T T και σε συνδυασµό µε τν (8 συνεπώς (ii για ω ω k / ( ή εξίσωσ (- γράφεται. k k k k( k Pobles

13 απ όπου παίρνοµε α α και α. (9 Αυτή µορφή ταλάντωσς παρίσταται στο ακόλουο σχήµα. Εφαρµόουµε τώρα τ συνήκ οροκανονικόττος (-4 για kl οπότε έχοµε T T και σε συνδυασµό µε τν (9 συνεπώς και α. ή (iii για ω ω k / µ εξίσωσ (- γράφεται k( k µ k k k( µ k( µ k. απ όπου παίρνοµε α α και. ( Αυτή µορφή ταλάντωσς παρίσταται παραστατικά στο ακόλουο σχήµα. Εφαρµόουµε τώρα τ συνήκ οροκανονικόττος (-4 για kl οπότε έχοµε T T T και σε συνδυασµό µε τν ( Pobles

14 ( συνεπώς ( και ή (. Υπολογίουµε στ συνέχεια τον πίνακα των ιδιοδιανυσµάτων ( A. Για να απλουστεύσουµε τις πράξεις παίρνουµε Μ οπότε ο πίνακας Α παίρνει τ µορφή ( A ( Παρατρούµε ότι ορίουσα ισούται µε det A (ακόµ εωρήσαµε. Υπολογίουµε τον αντίστροφο πίνακα A ιαπιστώνουµε ότι. Εισάγοµε τώρα τις κανονικές συντεταγµένες ( I A A εξίσωσ (- Α ή A απ όπου έχοµε ( ( ( Αν οι αρχικές συνήκες είναι: ο τότε ενεργοποιείται µόνο -µορφή ταλάντωσς (εφόσον αν οι αρχικές συνήκες είναι: και τότε ενεργοποιείται - µορφή ταλάντωσς (εφόσον και τέλος αν οι αρχικές συνήκες είναι: τότε ενεργοποιείται -µορφή ταλάντωσς (εφόσον Pobles 4

15 ΠΡΟΒΛHA.: Η χαρακτριστική εξίσωσ είναι λ λ λ λ I T (7λ(λ(λ(λ 5(7λ6(λ (λ4(λ λ8 (λ4(λ(λ8. Συνεπώς οι ιδιοτιµές του πίνακα Τ είναι: λ 4 λ και λ 8. Στ συνέχεια υπολογίουµε το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε καεµιά ιδιοτιµή. Για λλ 4 επιλύουµε τν εξίσωσ T ( όπου ( είναι το διάνυσµα στήλς. Το σύστµα ( γράφεται αναλυτικά 4 ( ( (7 ( Η λύσ του συστήµατος ( είναι: και συνεπώς το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στν ιδιοτιµή λ 4 είναι: 6 όπου το µέτρο του διανύσµατος έχει νορµαλιστεί στ µονάδα. Παροµοίως βρίσκουµε για λλ : 6 και για λλ 8:. Ο πίνακας των ιδιοδιανυσµάτων Α είναι 6 6 ( A Παρατρούµε ότι ορίουσα ισούται µε det A. Ο αντίστροφος πίνακας υπολογίεται Pobles 5

16 6 A. 6 ιαπιστώνουµε αµέσως ότι πράγµατι A A I. Υπολογίουµε το γινόµενο των πινάκων ATA 4 8 δλ. ο τανυστής Τ διαγωνοποιείται από τον µετασχµατισµό οµοιοµορφίας (siility tnsfotion ATA. ΠΡΟΒΛHA.: ίδεται ότι δύο συευγµένα εκκρεµή κιντική ενέργεια είναι και δυναµική ενέργεια T ( & & ( ( k ( V όπου k µια σταερά (α µπορούσε να σας είχε τεί να αποδείξετε τις εκφράσεις αυτές. Προφανώς επιλέγουµε ως γενικευµένες συντεταγµένες τις µεταβλτές. Όπως και στο πρώτο πρόβλµα υπολογίουµε από τις οποίες υπολογίουµε τους πίνακες τς δυναµικής και τς κιντικής ενέργειας αντίστοιχα k V T ( k Ανατούµε λύσεις τς µορφής: i C i e -iωt οπότε αντικαιστώντας στν εξίσωσ κίνσς (-9 παίρνουµε τν εξίσωσ που πλρούν τα πλάτ ταλάντωσς εξίσωσ (- ή αναλυτικά (V (V ij ( V ω Tij j j ω Τ ω Τ (V (V ω Τ i ω Τ (4 Για µ προφανείς λύσεις α πρέπει Pobles 6

17 ω k V ω T k ω οποία οδγεί στν εξίσωσ ( ω k τς οποίας οι λύσεις είναι ω k ω k Υπολογίουµε τα πλάτ ταλάντωσς των ατόµων για καεµιά συχνόττα. (ι για ω ω k αντικαιστούµε στο σύστµα (4 και παίρνουµε k k k k απ όπου παίρνοµε α α. Εφαρµόουµε τώρα τ συνήκ οροκανονικόττος (-4 ij T ij ik δ jl kl όπου T ij δ ij Έχοµε λοιπόν άρα ή. Αυτή µορφή ταλάντωσ παρίσταται στο ακόλουο σχήµα (ίσα πλάτ ταλάντωσς εν φάσει. Τα δύο εκκρεµή συµπεριφέρονται σαν ένα εκκρεµές που ταλαντούνται µε συχνόττα ω. (ιι για ω ω k αντικαιστούµε στο σύστµα (4 και παίρνουµε k k k k απ όπου παίρνοµε α α. Εφαρµόουµε τ συνήκ οροκανονικόττος (-4 Pobles 7

18 άρα ή. Αυτή µορφή ταλάντωσ παρίσταται στο ακόλουο σχήµα. Τα δύο εκκρεµή ταλαντούνται µε συχνόττα ω µε ίσα πλάτ ταλάντωσς αλλά µε διαφορά φάσς 8 ο. Ο πίνακας των ιδιοδιανυσµάτων Α είναι ( A Παρατρούµε ότι ορίουσα ισούται µε det A. Υπολογίουµε τον αντίστροφο πίνακα A (διαπιστώνουµε ότι Εισάγοµε τώρα τις κανονικές συντεταγµένες ( I A A εξίσωσ (- Α ή A απ όπου έχοµε ( ( Αν οι αρχικές συνήκες είναι: ο τότε ενεργοποιείται µόνο -µορφή ταλάντωσς (εφόσον ενώ αν οι αρχικές συνήκες είναι: ο τότε ενεργοποιείται -µορφή ταλάντωσς (εφόσον. Pobles 8

19 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4: Ηµεροµνίας παράδοσς: Στο παρακάτω Σχήµα 4. απεικονίεται µια αβαρής τροχαλία. Στα δύο άκρα του (επίσς αβαρούς νήµατος τς τροχαλίας έχουν εξαρτεί δύο µάες Μ και Μ αντίστοιχα. Το σύστµα αφήνεται να κινεί χωρίς τριβές υπό τν επίδρασ του βάρους των σωµάτων. Γράψετε τν συνάρτσ Hilton και τις εξισώσεις κίνσς των σωµάτων. (Αξίει να σµειωεί ότι παρόλο που στο σύστµα έχοµε 4 σώµατα δλ. τις δύο µάες το νήµα και τ τροχαλία εν τούτοις απαιτείται µία µόνο συντεταγµέν x του σχήµατος για προσδιοριστεί πλήρως κατάστασ του συστήµατος. Τούτο ερµνεύεται ως εξής: κατά πρώτον τα δύο τελευταία σώµατα ως αβαρή αποκλείονται περαιτέρω συήτσς όµως οι µάες έπρεπε να χαρακτρίονται από τις συντεταγµένες τους x και x αντίστοιχα. Επειδή όµως υπάρχει ένας σύνδεσµος (constint µεταξύ τους δλ. το νήµα τς τροχαλίας που τα συνδέει ο οποίος εκφράεται από τ µαµατική σχέσ: x x l ο αριµός των ανεξάρττων µεταβλτών µειώνεται από δύο σε ένα. 5. (Πρόβλµα - του Kibble τροποποιµένο. Στο Σχήµα 4. απεικονίεται µια αβαρής τροχαλία. Στο ένα άκρο του (επίσς αβαρούς νήµατος τς τροχαλίας έχει εξαρτεί µάα ενώ στο άλλο µάα στν οποία έχει προσδεεί το ένα άκρο ελατρίου σταεράς k. Στο ελεύερο άκρο του ελατρίου έχει προσδεεί µια τρίτ µάα. Το σύστµα αφήνεται να κινεί χωρίς τριβές υπό τν επίδρασ του βάρους των σωµάτων. Γράψετε τν συνάρτσ Hilton χρσιµοποιώντας ως γενικευµένες συντεταγµένες τις x και x. Αν το σύστµα ξεκινήσει από τν ρεµία και µε ατέντωτο ελατήριο βρείτε τις έσεις των σωµάτων συναρτήσει του t. 6. Βρείτε τις τιµές των α και β για τις οποίες οι εξισώσεις Q q α cosβp P q α sin βp παριστούν κανονικό µετασχµατισµό. Ποιά είναι µορφή τς γεννήτριας συνάρτσς F(pQt στ περίπτωσ αυτή; Σχήµα 4. Σχήµα 4. Pobles 9

20 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4: ΠΡΟΒΛHA 4.: Το σύστµα είναι συντρτικό. Η συντεταγµέν µόνο τς µιας µάας είναι ανεξάρττ µεταβλτή εφόσον υφίσταται ένας σύνδεσµος όπως περιγράφεται στν εκφώνσ. Η δυναµική ενέργεια µε στάµ αναφοράς το επίπεδο που περνά από το κέντρο τς τροχαλίας είναι ενώ κιντική ενέργεια είναι V gx g( l x T & & &. x x ( x Συνεπώς Lgngin είναι: και συυγής ορµή χαµιλτονιανή α έχει τ µορφή L T V ( x& ( g x gl L ( x& και συνεπώς x& p /(. Συνεπώς x& p p H px& L ( g x gl ( Οι εξισώσεις Hilton είναι H p x& p H p& ( g. x Οι εξισώσεις αυτές έχουν τ γνωστή µορφή χρσιµοποιώντας πιο ταπεινά µέσα (νόµο Νεύτωνα. ΠΡΟΒΛHA 4.: Όπως και στο προγούµενο πρόβλµα δυναµική ενέργεια µε στάµ αναφοράς το επίπεδο που περνά από το κέντρο τς τροχαλίας είναι V g( l x gx gx k(x x l gl g(x x k(x x l όπου l είναι το ατέντωτο µήκος του ελατρίου. Ακόµ κιντική ενέργεια είναι T & & & & &. x x x x x Συνεπώς Lgngin είναι: Pobles

21 L T V & & ( x x gl g(x x k(x x l απ όπου υπολογίουµε τις συυγείς ορµές και συνεπώς α έχει τ µορφή p x& p / x& p i L L & & x p x x& x& /. Τότε χαµιλτονιανή απαλείφοντας τις ταχύττες αυτές p p i x i L gl g(x x k(x x l H p & ( 6 Οι εξισώσεις Hilton είναι H p x& (α p H p x& (β p H p& g k(x x l (γ x H p& g k(x x l (δ x Προσέτοντας κατά µέλ τις (γ και (δ παίρνοµε: & p& άρα p p A: σταερά. p Εφαρµόοντας τις αρχικές συνήκες για t p p έπεται: Α συνεπώς p p. (4 Εισάγοντας τις ταχύττες από τις (α (β στ (4 παίρνουµε x& x& οποία ολοκλρούµεν δίδει: x x B: σταερά. Εφαρµόοντας τις αρχικές συνήκες για t x x και x x l (x είναι κάποια αυαίρετ αρχική έσ έπεται: Β 4x l. Συνεπώς x x 4x l. (5 ιαιρούµε τν (γ δια και τν (δ δια αφαιρούµε µετά κατά µέλ και αντικαιστώντας τις ορµές από τις συντεταγµένες (α και (β καταλήγουµε στν εξίσωσ 4k & x 4 & x g (x x l (6 Θέτω y x x l οπότε (6 γράφεται 4k 4k g & y 4 g y (y (7 k Pobles

22 g Ακόµ αντικαιστώντας ( y z (7 γράφεται k 4k & z z οποία παριστάνει εξίσωσ αρµονικής ταλάντωσς µε τ γνωστή µας λύσ όπου z A cos (ωtφ 4k ω συχνόττα ταλάντωσς. Επανακάµπτουµε πίσω στις µεταβλτές x x g x x l A cos(ωt φ. (8 k Εφαρµόοντας τις αρχικές συνήκες στν (8: για t x x και x x l (x είναι κάποια αυαίρετ αρχική έσ (8 δίδει: Για t x & & x A cosφ g. Ακόµ παραγωγίοντας τν (8 παίρνουµε k & x A ω sin ( ωt φ. x & προγούµεν σχέσ δίδει φ. Συνεπώς g x x l ( cos ωt (9 k 4k Τελικά οι (5 και (9 λύνονται ως προς x x και δίδουν (για ω x x x x g ( cos ωt 4k g l ( cos ωt. 4k g A και (8 γράφεται k (Για να έχουµε τις ίδιες απαντήσεις µε εκείνες τς σελίδος 8 του Kibble πρέπει να γίνει αντιστοίχισ: x x και y x x l. ΠΡΟΒΛHA 4.: Υπολογίουµε τν αγκύλ Poisson Q P Q P α [Q P] αβ q. q p p q Για να είναι ο µετασχµατισµός (qp (QP κανονικός α πρέπει αγκύλ Poisson να ισούται µε τ µονάδα δλ. [QP]. Έπεται λοιπόν αβ q α- αβ α/ β. α Pobles

23 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 5: Ηµεροµνίας παράδοσς:. Σώµα µάας κινείται µέσα σε απωστικό πεδίο V α <α<. Να ευρεεί τιµή του α για τν οποίαν τροχιά του σώµατος είναι κυκλική.. Σώµα κινείται σε ελλειπτική τροχιά µέσα σε πεδίο δυνάµεων αντιστρόφου τετραγώνου. (α Βρείτε τν µεγίστ και τν ελαχίστ γωνιακή ταχύττα του σώµατος. (β Αν ο λόγος τς µεγίστς προς τν ελαχίστ γωνιακή ταχύττα είναι δείξετε ότι εκκεντρότς τς τροχιάς ισούται µε : ε.. Υπολογίσετε προσεγγιστικά το λόγο των µαών του Ηλίου προς τς Γς χρσιµοποιώντας µόνο τις διάρκειες του έτους (65 µέρες και του Σελνιακού µήνα (7. µέρες και τις µέσες ακτίνες τς τροχιάς τς Γς (.49 8 Κ και τς τροχιάς τς Σελήνς (.8 5 Κ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 5: ΠΡΟΒΛHA 5.: ίδεται ότι V α <α<. Έχοµε βρει ότι ενέργεια του σώµατος µπορεί να γραφεί ως l ( & E V ( Για να έχοµε κυκλική τροχιά α πρέπει ακτινική ταχύτς να µδενίεται δλ. από τν ( έχοµε ή E E α l α l & συνεπώς Για α πρέπει το πρώτο µέρος E συνεπώς α πρέπει α άρα (α ή α. ΠΡΟΒΛHA 5.: Στ περίπτωσ τς ελλειπτικής τροχιάς ενός πλανήτ ταχύττα σάρωσς da τς επιβατικής dt ακτίνας στα σµεία και τς τροχιάς του πλανήτ είναι ίσ (σύµφωνα µε τον ο νόµο του Keple δλ. Pobles

24 da & &. ( dt Αν πάρουµε σαν σµεία και τα δύο αψιδικά σµεία (περιήλιο και αφήλιο βλέπε Σχήµα 4.4 τότε από τν ( παίρνοµε για & ω ω ω ή άρα ω ω. ( Θεωρούµε τν εξίσωσ τς τροχιάς (4-7 C( ε cos Για ευκολία µας παίρνουµε (Σχήµα 4.4 οπότε έχοµε από τις οποίες λαµβάνουµε για : C( ε και για π: C( ε ε. ( ε Από τις ( και ( παίρνουµε ε που είναι τούµεν σχέσ. ΠΡΟΒΛHA 5.: Εφαρµόουµε τον ο νόµο του Keple για τ τροχιά τς Γς γύρω από τον Ήλιο και τς τροχιάς τς Σελήνς γύρω από τν Γ T E E E 4π 4π ( G( S E G S Pobles 4

25 και E E G 4 G( 4 T π π. ( Από τις ( και ( παίρνοµε S E E E T T άρα E E E S T T ή E S Από τον πίνακες The Eth s Plnet by G.P. Kvipe βρίσκουµε 5 E S.4. Pobles 5

26 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 6: Ηµεροµνίας παράδοσς:. (Πρόβλµα 7- του Kibble τροποποιµένο ύο σώµατα µε µάας και προσαρµόονται στα άκρα ενός ελατρίου σταεράς k και φυσικού µήκους l o. Αρχικά το σύστµα ρεµεί κατακόρυφα µε το σώµα πάνω από το σώµα σε ύψος l o. Στ χρονική στιγµή t µάα βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε ταχύττα υ ο. Βρείτε τις έσεις των σωµάτων στ χρονική στιγµή t. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 6: ΠΡΟΒΛHA 6.: Θεωρούµε το σύστµα στο Σχήµα όπως ανέρχεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Έστω x και x οι έσεις των δύο σωµάτων σε τυχούσα χρονική στιγµή t. Επιλέγουµε τν κατακόρυφο σαν άξονα x. Σχήµα Η κιντική ενέργεια είναι και δυναµική ενέργεια T & & ( (x (x g x k (x x lo V g x ( όπου έχουµε πάρει τ βαρυτική δυναµική ενέργεια ίσ µε gx ως προς τ στάµ αναφοράς του σχήµατος. Οπότε Lngngin του συστήµατος είναι L T V & & ( (x (x g x g x k (x x lo Από τν ( υπολογίουµε τις µερικές παραγώγους Pobles 6

27 L x& L x& x& x& L x L x g k (x g k (x x x l l o o συνεπώς οι εξισώσεις κίνσς Lgnge d dt L x& L k x k γράφονται & x g k (x x (4α lo & x g k (x x. (4β lo Επιλύουµε στ συνέχεια το σύστµα των εξισώσεων (4. Αν προσέσουµε κατά µέλ παίρνουµε & x & x ( g. (5 Εισάγουµε τ συντεταγµέν του κέντρου µάας: X ( x x όπου Μ στν (5 οπότε παίρνουµε X& g λύσ τς οποίας είναι Χ α βt ½gt. (6 όπου α β σταερές. Χρσιµοποιώντας τις αρχικές συνήκες για t x l o x (δλ. και x& υ ο x& (δλ. X& υο στ λύσ (6 υπολογίουµε τις σταερές α β: X lo α l o / και β υ o / οπότε λύσ (6 γράφεται ή o υot gt X l x x l o υ o t gt (7 δλ. το κέντρο µάας εκτελεί (σαν ένα σώµα κατακόρυφο βολή προς τα άνω. Ακόµ αν διαιρέσουµε τν (4α µε και τν (4β µε και στ συνέχεια αφαιρέσουµε κατά µέλ παίρνουµε k & x & x (x x lo (8 µ όπου µ /(. Εισάγουµε τ µεταβλτή Y x x l o οπότε (8 γράφεται Pobles 7

28 k Y & Y µ. (9 Προφανώς (9 παριστάνει αρµονική ταλάντωσ µε συχνόττα Υ Α cos (ωtφ ( k ω λύσ τς οποίας είναι µ όπου Αφ σταερές. Χρσιµοποιώντας τις αρχικές συνήκες για t x l o x (οπότε Υ και x& υ ο x& (οπότε Y & υο στ λύσ ( υπολογίουµε τις σταερές Αφ: συνεπώς λύσ ( γράφεται φ π/ και Α υ ο /ω x υο x l o sin ωt. ( ω Τώρα από το σύστµα (7 και ( υπολογίουµε τις συντεταγµένες x x : υ x υ t ο o gt sin ωt l o ω υο x υ t o gt sin ωt. ω ( Παρατρούµε ότι για t επαλεύονται οι αρχικές συνήκες: x l o x x& υ ο x&. Αφαιρώντας ακόµ κατά µέλ τις ( παίρνουµε x x υο sin ωt ω lo οποία περιγράφει τ σχετική κίνσ των δύο σωµάτων (κααρά αρµονική ταλάντωσ οποία είναι ανεξάρττ από τ µεταφορική κίνσ του κέντρου µάας. Pobles 8