1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï"

Transcript

1 ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé Ýíá óçìåßï Þ Ýíá äéüíõóìá óôïí IR 3. Ïé Üîïíåò Ox, Oy, Oz áðïôåëïýí Ýíá 3-äéÜóôáôï êáñôåóéáíü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí êáé êáëïýíôáé Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí. óôù P (a, b, c). Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß a, b, c êáëïýíôáé êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ P. Ï áñéèìüò a êáëåßôáé x óõíôåôáãìýíç, ï b êáëåßôáé y óõíôåôáãìýíç êáé ï c êáëåßôáé z óõíôåôáãìýíç. Ïé Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí ïñßæïõí 3 åðßðåäá óõíôåôáãìýíùí, ôï xy-åðßðåäï, ôï xz-åðßðåäï êáé ôï yz-åðßðåäï. Ôþñá, ç x óõíôåôáãìýíç åíüò óçìåßïõ P åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ óçìåßïõ P áðü ôï yz-åðßðåäï, ç y óõíôåôáãìýíç åßíáé ç áðüóôáóç áðü ôï xz-åðßðåäï êáé ç z óõíôåôáãìýíç áðü ôï xy-åðßðåäï. 1

2 2 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ Ïé Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí ùñßæïõí ôïí 3-äéÜóôáôï þñï óå 8 ïêôçìüñéá. Ãéá ðáñüäåéãìá, ôá óçìåßá ðïõ Ý ïõí êáé ôéò ôñåéò óõíôåôáãìýíåò èåôéêýò, âñßóêïíôáé óôï ðñþôï ïêôçìüñéï. Áðüóôáóç óçìåßïõ áðü óçìåßï Áðü ôï ó Þìá ðáñáôçñïýìå üôé ç áðüóôáóç ôïõ óçìåßïõ P áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí O, åßíáé ßóç ìå ( a 2 + b 2 ) 2 + c 2. ñá d = a 2 + b 2 + c 2. ÁíÜëïãá, ç áðüóôáóç ôïõ óçìåßïõ P 1 (x 1, y 1, z 1 ) áðü ôï óçìåßï P 2 (x 2, y 2, z 2 ) åßíáé ßóç ìå d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. ÌÝóï åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò: Ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ ìýóïõ ôïõ åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò ðïõ åíþíåé ôá óçìåßá P 1 (x 1, y 1, z 1 ) êáé P 2 (x 2, y 2, z 2 ) ïñßæïíôáé ùò ( 1 2 (x 1 + y 1 ), 1 2 (y 1 + y 2 ), 1 2 (z 1 + z 2 )). Åîßóùóç ôçò óöáßñáò: Óôï 2-äéÜóôáôï þñï ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí (x, y) ôá ïðïßá éêáíïðïéïýí ìéá åîßóùóç, óõíþèùò åßíáé ìéá êáìðýëç óôï xy-åðßðåäï. ÁíÜëïãá, óôï 3-äéÜóôáôï þñï ôï óõíüëï ôùí óçìåßùí (x, y, z) åßíáé óõíþèùò ìéá åðéöüíåéá óôï xyz óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí. Ãéá ðáñüäåéãìá, ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí (x, y, z) ôùí ïðïßùí ç áðüóôáóç áðü óôáèåñü óçìåßï åßíáé óôáèåñþ, ïñßæïõí ìéá óöáßñá. ÄçëáäÞ, (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = r Þ éóïäýíáìá (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = r 2.

3 1.1. ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï 3 åßíáé ç åîßóùóç ôçò óöáßñáò (óõíþèçò ìïñöþ) ìå êýíôñï (x 0, y 0, z 0 ) êáé áêôßíá r. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ êýíôñïõ êáé ç áêôßíá ôçò óöáßñáò x 2 + y 2 + z 2 2x 6y 8z + 1 = 0. Ëýóç:

4 4 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ Èåþñçìá: Ìéá åîßóùóç ôçò ìïñöþò x 2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + D = 0 áíôéðñïóùðåýåé ìéá óöáßñá Þ Ýíá óçìåßï Þ äåí Ý åé ãñáöéêþ ðáñüóôáóç. Áðüäåéîç:

5 1.1. ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï 5 ÊõëéíäñéêÝò åðéöüíåéåò: Ìéá åîßóùóç ðïõ ðåñéý åé ìüíï äýï áðü ôéò ôñåéò ìåôáâëçôýò x, y êáé z áíôéðñïóùðåýåé ìéá êõëéíäñéêþ åðéöüíåéá óôï 3-äéÜóôáôï þñï. ÁõôÞ ç åðéöüíåéá ðñïêýðôåé ìå ðñïýêôáóç ôçò 2-äéÜóôáôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò (óõíáñôþóåé ôùí äýï ìåôáâëçôþí) ðáñüëëçëá ìå ôïí Üîïíá ôçò ôñßôçò ìåôáâëçôþò. ÐáñÜäåéãìá: Íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò x 2 + z 2 = 1 óôï 3-äéÜóôáôï þñï. ÐáñÜäåéãìá: Íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò z = e y óôï 3-äéÜóôáôï þñï.

6 6 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.2 Äéáíýóìáôá ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ): Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá åíüò óþìáôïò, ç ìüæá åíüò óþìáôïò, ç áðüóôáóç ìåôáîý äýï óçìåßùí, êáëïýíôáé áñéèìçôéêü Þ âáèìùôü Þ ìïíüìåôñá ìåãýèç. óôù üôé Ý ïõìå ôçí åõèåßá (ɛ) êáé ôá óçìåßá Á êáé Â ðüíù óôçí åõèåßá. Ç åõèåßá (ɛ) Ý åé ôçí ßäéá äéåýèõíóç ìå üëåò ôéò åõèåßåò ðïõ åßíáé ðáñüëëçëåò ìå áõôþ. Ôï åõèýãñáììï ôìþìá ÁÂ ïñßæåé Ýíá äéüíõóìá, ôï ïðïßï óõìâïëßæåôáé ìå AB Þ ìå Ýíá ìéêñü ãñüììá êáé Ýíá âýëïò, ãéá ðáñüäåéãìá, a. Åðßóçò óõíçèßæåôáé êáé ï óõìâïëéóìüò a. Ôï óçìåßï Á êáëåßôáé áñ Þ ôïõ äéáíýóìáôïò (áñ éêü óçìåßï) êáé ôï Â êáëåßôáé ðýñáò ôïõ äéáíýóìáôïò (ôåëéêü óçìåßï). Êáé ôá äýï óçìåßá êáëïýíôáé ðýñáôá ôïõ äéáíýóìáôïò. Ãéá êüèå äéüíõóìá äéáêñßíïõìå ôá åîþò: (i) ôç äéåýèõíóç ôïõ, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü ôçí åõèåßá ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá ðýñáôá, (ii) ôç öïñü ôïõ, áðü ôï áñ éêü óçìåßï óôï ôåëéêü óçìåßï, (iii) ôç ìþêïò ôïõ, ðïõ åßíáé ôï ìþêïò ôïõ åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò ðïõ åíþíåé ôá ðýñáôá. Ç äéåýèõíóç êáé ç öïñü ôïõ äéáíýóìáôïò ïñßæïõí ôçí Ýííïéá ôçò êáôåýèõíóçò. ÄçëáäÞ, êüèå åõèåßá Ý åé äýï êáôåõèýíóåéò. Äýï äéáíýóìáôá AB êáé CD êáëïýíôáé ßóá üôáí åßíáé åðß ôá áõôü. ÄçëáäÞ, ôï Á óõìðßðôåé ìå ôï C êáé ôï Â óõìðßðôåé ìå ôï D. Ôá äéáíýóìáôá ãéá ôá ïðïßá éó ýåé áõôþ ç éóüôçôá êáëïýíôáé åöáñìïóôü Þ äåóìåõìýíá äéáíýóìáôá. Äýï ðáñüëëçëá äéáíýóìáôá êáëïýíôáé ïìüññïðá üôáí Ý ïõí ôçí ßäéá êáôåýèõíóç êáé áíôßññïðá üôáí Ý ïõí áíôßèåôç êáôåýèõíóç. Ãåíéêåýïíôáò ôçí ðéï ðüíù Ýííïéá ôçò éóüôçôáò, ëýìå üôé äýï äéáíýóìáôá åßíáé ßóá áí (á) åßíáé ïìüññïðá êáé (â) Ý ïõí ßóá ìþêç. Ôá äéáíýóìáôá ãéá ôá ïðïßá éó ýåé áõôþ ç éóüôçôá êáëïýíôáé åëåýèåñá äéáíýóìáôá. Äéáíýóìáôá ðïõ åßíáé áíôßññïðá êáé Ý ïõí ßóá ìþêç êáëïýíôáé áíôßèåôá äéáíýóìáôá. Óõìâïëßæïõìå ôï áíôßèåôï äéüíõóìá ôïõ a ìå a.

7 1.2. Äéáíýóìáôá 7 Ðñüóèåóç äéáíõóìüôùí: Áí a êáé b åßíáé äýï äéáíýóìáôá, ôüôå ôï Üèñïéóìá a + b åßíáé Ýíá äéüíõóìá ðïõ ðñïêýðôåé ùò åîþò: Ôïðïèåôïýìå ôï äéüíõóìá b ìå ôýôïéï ôñüðï þóôå ç áñ Þ ôïõ íá ôáõôßæåôáé ìå ôï ðýñáò ôïõ a. Ôï äéüíõóìá a + b Ý åé ùò áñ Þ ôçí áñ Þ ôïõ a êáé ùò ðýñáò ôï ðýñáò ôïõ b.

8 8 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ ÄéáöïñÜ äéáíõóìüôùí: Áí a êáé b åßíáé äýï äéáíýóìáôá, ôüôå ç äéáöïñü a b ïñßæåôáé ùò åîþò: a b = a + ( b). Ìçäåíéêü äéüíõóìá: Ôï äéüíõóìá ìå ìþêïò ßóï ìå ôï ìçäýí êáëåßôáé ìçäåíéêü äéüíõóìá êáé óõìâïëßæåôáé ìå 0. Ïñßæïõìå êáé 0 + a = a + 0 = a a a = a + ( a) = 0. Âáèìùôüò ðïëëáðëáóéáóìüò: Áí a åßíáé Ýíá ìç-ìçäåíéêü äéüíõóìá êáé k åßíáé ìçìçäåíéêüò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, ôüôå ôï ãéíüìåíï ka ïñßæåôáé ùò ôï äéüíõóìá ðïõ Ý åé ìþêïò k öïñýò ôï ìþêïò ôïõ a êáé Ý åé ôçí êáôåýèõíóç ôïõ a áí k > 0 êáé áíôßèåôç ôïõ a áí k< 0. Åðßóçò ïñßæïõìå ka = 0 áí k = 0 Þ a = 0.

9 1.2. Äéáíýóìáôá 9 Äéáíýóìáôá óôïí IR 3 : ïõìå Ïñßæïõìå ôï ìçäåíéêü äéüíõóìá ùò 0(0, 0, 0). Èåþñçìá (ÁñéèìçôéêÝò ðñüîåéò): Áí a(a 1, a 2, a 3 ) êáé b(b 1, b 2, b 3 ) åßíáé äýï äéáíýóìáôá óôïí IR 3 êáé k åßíáé Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò (k IR), ôüôå a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) a b = (a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ) ka = (ka 1, ka 2, ka 3 ) Èåþñçìá (Äéáíýóìáôá ìå áñ éêü óçìåßï äéáöïñåôéêü áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí): óôù üôé P 1 P 2 åßíáé Ýíá äéüíõóìá óôïí IR 3 ìå áñ éêü óçìåßï P 1 (x 1, y 1, z 1 ) êáé ôåëéêü óçìåßï P 2 (x 2, y 2, z 2 ), ôüôå P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Èåþñçìá (Éäéüôçôåò): Ãéá ïðïéáäþðïôå äéáíýóìáôá a, b êáé c êáé ïðïéïõóäþðïôå ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò k êáé λ, éó ýïõí ïé ðéï êüôù ó Ýóåéò: (i) a + b = b + a (ii) (a + b) + c = a + (b + c) (iii) a + 0 = 0 + a = a (iv) a + ( a) = 0 (v) k(λa) = (kλ)a (vi) k(a + b) = ka + kb (vii) (k + λ)a = ka + λa (viii) 1a = a

10 10 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ ÌÞêïò äéáíýóìáôïò: Ôï ìþêïò ôïõ äéáíýóìáôïò a(a 1, a 2, a 3 ) ïñßæåôáé ùò a = a a2 2 + a2 3. Óçìåßùóç: Áí a åßíáé äéüíõóìá êáé k IR, ôüôå ka = k a. Ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá: Ôá äéáíýóìáôá ìå ìþêïò ßóï ìå 1 êáëïýíôáé ìïíáäéáßá. Óôïí IR 3 ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá êáôü ìþêïò ôùí èåôéêþí áîüíùí x, y êáé z óõìâïëßæïíôáé ìå i, j êáé k, áíôßóôïé á. ÄçëáäÞ, i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). ÊÜèå äéüíõóìá óôïí IR 3 ìðïñåß íá åêöñáóôåß óõíáñôþóåé ôùí ìïíáäéáßùí äéáíõóìüôùí i, j êáé k ùò åîþò: a = (a 1, a 2, a 3 ) = (a 1, 0, 0) + (0, a 2, 0) + (0, 0, a 3 ) = a 1 (1, 0, 0) + a 2 (0, 1, 0) + a 3 (0, 0, 1) = a 1 i + a 2 j + a 3 k. Ôþñá, áðü ôç ó Ýóç ka = k a, áí èýóïõìå k = 1 a, âñßóêïõìå 1 a a = 1 a a = 1 a = 1. a ñá äéáßñùíôáò Ýíá äéüíõóìá ìå ôï ìýôñï ôïõ, ðñïêýðôåé Ýíá ìïíáäéáßï äéüíõóìá. Ç äéáäéêáóßá áõôþ êáëåßôáé êáíïíéêïðïßçóç ôïõ äéáíýóìáôïò. ÐáñÜäåéãìá: Íá êáíïíéêïðïéçèåß ôï äéüíõóìá a(1, 2, 3).

11 1.3. Åóùôåñéêü ãéíüìåíï Åóùôåñéêü ãéíüìåíï Ïñéóìüò: Áí a êáé b åßíáé ìç ìçäåíéêü äéáíýóìáôá óôïí IR 3 êáé θ (0 θ π) åßíáé ç ãùíßá ìåôáîý ôïõò, ôüôå ôï (Åõêëåßäåéï) åóùôåñéêü ãéíüìåíï a b ïñßæåôáé ùò a b = a b cos θ Óçìåéþóåéò: 1. Áí a = 0 Þ b = 0, ôüôå a b = Áðü ôïí ðéï ðüíù ïñéóìü ðñïêýðôåé ç ó Ýóç cos θ = a b a b ç ïðïßá ðñïóäéïñßæåé ôç ãùíßá ìåôáîý ôùí äýï äéáíõóìüôùí. óôù ôá ìç-ìçäåíéêü äéáíýóìáôá a(a 1, a 2, a 3 ) êáé b(b 1, b 2, b 3 ) üðùò öáßíïíôáé óôï ðéï ðüíù ó Þìá. Áðü ôïí íüìï ôùí óõíçìéôüíùí ðñïêýðôåé P Q 2 = a 2 + b 2 2 a b cos θ. ÅðåéäÞ P Q = b a, âñßóêïõìå b a 2 = a 2 + b 2 2 a b cos θ a b cos θ = 1 2 ( a 2 + b 2 b a 2) Ôþñá, a b = 1 2 ( a 2 + b 2 b a 2) a 2 = a a a 2 3 b 2 = b b b 2 3 b a 2 = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2

12 12 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ Áíôéêáèéóôïýìå ãéá íá âñïýìå a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Ðáñáôçñïýìå üôé ï ðéï ðüíù ôýðïò éó ýåé êáé üôáí a = 0 Þ b = 0. Èåþñçìá: Áí a êáé b åßíáé ìç-ìçäåíéêü äéáíýóìáôá óôïí IR 3 êáé áí θ åßíáé ç ãùíßá ìåôáîý ôïõò, ôüôå (i) ç θ åßíáé ïîåßá áí êáé ìüíï áí a b > 0 (ii) ç θ åßíáé áìâëåßá áí êáé ìüíï áí a b< 0 (iii) θ = π 2 áí êáé ìüíï áí a b = 0 Áðüäåéîç: Åýêïëá áðü ôç ó Ýóç cos θ = a b a b. Óçìåßùóç: ¼ôáí éó ýåé ç ðåñßðôùóç (iii) ôïõ ðéï ðüíù èåùñþìáôïò, ôüôå ëýìå üôé ôá äéáíýóìáôá åßíáé ïñèïãþíéá. Ïñéóìüò: Ïé ãùíßåò α, β, γ ïé ïðïßåò ó çìáôßæåé Ýíá äéüíõóìá a IR 3 ìå ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá i, j, k êáëïýíôáé ãùíßåò êáôåýèõíóçò. Ôá áíôßóôïé á óõíçìßôïíá cos α, cos β êáé cos γ êáëïýíôáé óõíçìßôïíá êáôåýèõíóçò. Ôþñá, ñçóéìïðïéþíôáò ôïí ôýðï Ý ïõìå: cos θ = a b a b Èåþñçìá: Ôá óõíçìßôïíá êáôåýèõíóçò ôïõ ìç ìçäåíéêïý äéáíýóìáôïò a = a 1 i + a 2 j + a 3 k åßíáé ßóá ìå cos α = a 1 a, cos β = a 2 a, cos γ = a 3 a. Óçìåßùóç: Ôá óõíçìßôïíá êáôåýèõíóçò ôïõ äéáíýóìáôïò a = a 1 i + a 2 j + a 3 k åßíáé a ßóá ìå ôéò óõíéóôþóåò ôïõ ìïíáäéáßïõ äéáíýóìáôïò a, åðåéäþ a a = a 1 a i + a 2 a j + a 3 k = cos αi + cos βj + cos γk. a Èåþñçìá: (Éäéüôçôåò ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìýíïõ) Áí a, b êáé c IR 3 êáé k IR, ôüôå (i) a b = b a (ii) a (b + c) = a b + a c (iii) k(a b) = (ka) b = a (kb)

13 1.3. Åóùôåñéêü ãéíüìåíï 13 (iv) a a = a 2 Áðüäåéîç: óêçóç Óçìåßùóç: Áðü ôï (iv) ðáñáôçñïýìå üôé a = a a. Ïñèïãþíéåò ðñïâïëýò: Óå áñêåôýò åöáñìïãýò ñåéüæåôáé íá áíáëýóïõìå Ýíá äéüíõóìá a óå äýï êüèåôåò óõíéóôþóåò, ôç ðñþôç ðáñüëëçëç óå äïóìýíï äéüíõóìá b êáé ôçí Üëëç êüèåôç óôï b. ¼ðùò öáßíåôáé óôï ðéï ðüíù ó Þìá ôï äéüíõóìá c 1 åßíáé ðáñüëëçëï ìå ôï b êáé ôï c 2 åßíáé êüèåôï ìå ôï b. ÃñÜöïõìå a = c 1 + c 2 = c 1 + (a c 1 ). Ôï äéüíõóìá c 1 êáëåßôáé óõíéóôþóá ôïõ a êáôü ìþêïò ôïõ b êáé ôï c 2 êáëåßôáé óõíéóôþóá ôïõ a êüèåôá óôï b. Åðßóçò ôï c 1 êáëåßôáé ïñèïãþíéá ðñïâïëþ ôïõ a ðüíù óôï b êáé óõìâïëßæåôáé ìå proj b a. ÄçëáäÞ, a = proj b a + (a proj b a). Èåþñçìá: Áí a êáé b IR 3 êáé b 0, ôüôå Áðüäåéîç: proj b a = a b b 2 b.

14 14 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ ÐáñÜäåéãìá: Äßíïíôáé ôá óçìåßá Á(2,1,-3), Â(0,2,-1) êáé P(4,3,0). (i) Íá âñåèåß proj AP AB (ii) Íá âñåèåß ç áðüóôáóç ôïõ P áðü ôçí åõèåßá ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá Á êáé Â. Ëýóç:

15 1.3. Åóùôåñéêü ãéíüìåíï 15 ñãï: Ãíùñßæïõìå üôé ôï Ýñãï W ðïõ ðáñüãåé ìéá óôáèåñþ äýíáìç F ìå ìýôñï F ç ïðïßá áóêåßôáé óôçí êáôåýèõíóç ôçò êßíçóçò ðüíù óå óùìáôßäéï ðïõ êéíåßôáé áðü ôï P óôï Q ðüíù óå ìéá åõèåßá ãñáììþ åßíáé ßóï ìå W = (äýíáìç) (áðüóôáóç) = F P Q. Áí ç äýíáìç F åßíáé óôáèåñþ, áëëü ó çìáôßæåé ãùíßá θ ìå ôçí êáôåýèõíóç ôçò êßíçóçò ôüôå ïñßæïõìå ôï Ýñãï ùò W = ( F cos θ) P Q = F P Q.

16 16 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.4 Åîùôåñéêü ãéíüìåíï Ïñßæïõóåò: Åóôù a 1, a 2, b 1, b 2 IR. Ïñßæïõìå ùò 2 2 ïñßæïõóá ôç äéüôáîç a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1b 2 a 2 b 1. ÁíÜëïãá, ç 3 3 ïñßæïõóá ïñßæåôáé ùò a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 a 2 b 1 b 3 c 1 c 3 + a 3 b 1 b 2 c 1 c 2 Ïñéóìüò (Åîùôåñéêü ãéíüìåíï): Áí a(a 1, a 2, a 3 ) êáé b(b 1, b 2, b 3 ) IR 3, ôüôå ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï a b åßíáé ôï äéüíõóìá ÄçëáäÞ, a b = a b = a 2 a 3 b 2 b 3 i i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3. a 1 a 3 b 1 b 3 Èåþñçìá: Áí a, b IR 3, ôüôå (i) a (a b) = 0 (ii) b (a b) = 0 (iii) a b 2 = a 2 b 2 (a b) 2 j + a 1 a 2 b 1 b 2 Óçìåßùóç: Áðü ôï (i) êáé (ii) ðáñáôçñïýìå üôé ôï äéüíõóìá a b åßíáé êüèåôï êáé óôï a êáé óôï b. k. Ôþñá, áí a êáé b IR 3, ôüôå áðü ôï ðñïçãïýìåíï èåþñçìá ñá a b 2 = a 2 b 2 (a b) 2 = a 2 b 2 ( a b cos θ) 2 = a 2 b 2 (1 cos 2 θ) = a 2 b 2 sin 2 θ a b = a b sin θ. ÅðåéäÞ 0 θ π, Ý ïõìå sin θ 0 êáé åðïìýíùò a b = a b sin θ..

17 1.4. Åîùôåñéêü ãéíüìåíï 17 ÅðåéäÞ ôï åìâáäü ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ åßíáé ßóï ìå Ý ïõìå E = (âüóç) (ýøïò), E = a b sin θ. ñá ôï åìâáäü ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ åßíáé ßóï ìå E = a b. Ðáñáôçñïýìå üôé a b = 0 áí êáé ìüíï áí a = 0 Þ b = 0 Þ sin θ = 0 ( θ = π 2 ). ñá ðñïêýðôåé ôï ðéï êüôù èåþñçìá: Èåþñçìá: Áí a êáé b åßíáé ìç-ìçäåíéêü äéáíýóìáôá óôïí IR 3, ôüôå a b = 0 áí êáé ìüíï áí ôï äéüíõóìá a åßíáé ðáñüëëçëï ìå ôï äéüíõóìá b. Èåþñçìá (Éäéüôçôåò): Áí a, b, c IR 3 êáé k IR, ôüôå (i) a b = (b a) (ii) a (b + c) = (a b) + (a c) (iii) (a + b) c = (a c) + (b c) (iv) k(a b) = (ka) b = a (kb) (v) a 0 = 0 a = 0 (vi) a a = 0 Åßíáé åýêïëï íá äåßîïõìå üôé i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j i i = 0 j j = 0 k k = 0 Ãéá ðáñüäåéãìá, i j = i j k = i j k = k Ìåéêôü ãéíüìåíï äéáíõóìüôùí: Áí a(a 1, a 2, a 3 ), b(b 1, b 2, b 3 ), c(c 1, c 2, c 3 ) IR 3, ôüôå ï áñéèìüò a (b c) êáëåßôáé ìåéêôü ãéíüìåíï, ôï ïðïßï õðïëïãßæåôáé áðü ôïí ôýðï a (b c) = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3.

18 18 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ Èåþñçìá: Áí ôá äéáíýóìáôá a(a 1, a 2, a 3 ), b(b 1, b 2, b 3 ), c(c 1, c 2, c 3 ) Ý ïõí ôï ßäéï áñ éêü óçìåßï, ôüôå âñßóêïíôáé óôï ßäéï åðßðåäï áí êáé ìüíï áí a (b c) = 0. Óçìåßùóç: ñçóéìïðïéþíôáò éäéüôçôåò ôùí ïñéæïõóþí ìðïñåß íá äåé èåß üôé a (b c) = c (a b) = b (c a).

19 1.5. ÐáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò ôçò åõèåßáò ãñáììþò ÐáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò ôçò åõèåßáò ãñáììþò Ç åîßóùóç ìéáò åõèåßáò ãñáììþò ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìïíáäéêü áí ðñïóäéïñßóïõìå Ýíá óçìåßï ôçò åõèåßáò êáé Ýíá äéüíõóìá ðáñüëëçëï ìå ôçí åõèåßá. Èåþñçìá: Ç åõèåßá ãñáììþ óôïí IR 3 ç ïðïßá äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï P 0 (x 0, y 0, z 0 ) êáé åßíáé ðáñüëëçëç ìå ôï ìç-ìçäåíéêü äéüíõóìá u = ai + bj + ck Ý åé ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò x = x 0 + at, y = y 0 + bt, z = z 0 + ct, üðïõ t åßíáé ðáñüìåôñïò. Áðüäåéîç:

20 20 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèïýí ïé ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò ôçò åõèåßáò ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá P 1 (5, 2, 1) êáé P 2 (2, 4, 2). Ëýóç: Óôéò ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò ôçò åõèåßáò ãñáììþò ç ðáñüìåôñïò t ðáßñíåé ôéò ôéìýò < t< +. Áí ïé ôéìýò ôïõ t ðåñéïñéóôïýí óå óõêåêñéìýíï ðåðåñáóìýíï äéüóôçìá, ôüôå Ý ïõìå ôéò åîéóþóåéò åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèïýí ïé ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò ôïõ åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò ðïõ åíþíåé ôá óçìåßá P 1 (5, 2, 1) êáé P 2 (2, 4, 2). Ëýóç:

21 1.5. ÐáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò ôçò åõèåßáò ãñáììþò 21 Ôþñá, áðü ôçí áðüäåéîç ôïõ ôýðïõ ôùí ðáñáìåôñéêþí åîéóþóåùí ôçò åõèåßáò Ý ïõìå äåé üôé ÈÝôïõìå (x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k = tai + tbj + tck (xi + yj + zk) = (x 0 i + y 0 j + z 0 k) + t(ai + bj + ck) r = xi + yj + zk r 0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k u = ai + bj + ck ïðüôå ðñïêýðôåé r = r 0 + tu ç ïðïßá êáëåßôáé äéáíõóìáôéêþ åîéóùóç ôçò åõèåßáò.

22 22 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.6 Åðßðåäá óôïí IR 3 Ôï åðßðåäï ðïõ Ý åé åîßóùóç z = k åßíáé ðáñüëëçëï ìå ôï xy-åðßðåäï êáé äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï (0, 0, k). Ôï åðßðåäï ðïõ Ý åé åîßóùóç y = k åßíáé ðáñüëëçëï ìå ôï xz-åðßðåäï êáé äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï (0, k, 0). Ôï åðßðåäï ðïõ Ý åé åîßóùóç x = k åßíáé ðáñüëëçëï ìå ôï yz-åðßðåäï êáé äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï (k, 0, 0). íá åðßðåäï óôïí IR 3 ïñßæåôáé ìïíáäéêü áí ðñïóäéïñßóïõìå Ýíá óçìåßï ôïõ åðéðýäïõ êáé Ýíá äéüíõóìá êüèåôï óôï åðßðåäï. óôù P 0 (x 0, y 0, z 0 ) Ýíá óçìåßï ôïõ åðéðýäïõ êáé n(a, b, c) Ýíá êüèåôï äéüíõóìá ôïõ åðéðýäïõ. Ôüôå ôï åðßðåäï ðåñéý åé ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí P (x, y, z) ðïõ åßíáé ôýôïéá þóôå ñá n P 0 P = 0. a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 ç ïðïßá åßíáé ç åîßóùóç ôïõ åðéðýäïõ óôïí IR 3. Ðáñáôçñïýìå üôé ç ðéï ðüíù åîßóùóç ãñüöåôáé ax + by + cz + d = 0 ç ïðïßá êáëåßôáé ãåíéêþ åîßóùóç ôïõ åðéðýäïõ. Åðßóçò ãñüöåôáé êáé ùò r n = a n, üðïõ r = (x, y, z), n åßíáé ç êüèåôïò óôï åðßðåäï êáé a åßíáé Ýíá óçìåßï ôïõ åðéðýäïõ. ÁõôÞ ç ìïñöþ êáëåßôáé äéáíõóìáôéêþ åîßóùóç ôïõ åðéðýäïõ. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ç åîßóùóç ôïõ åðéðýäïõ ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá P 1 (1, 2, 1), P 2 (2, 3, 1) êáé P 3 (3, 1, 2). Ëýóç:

23 1.6. Åðßðåäá óôïí IR 3 23 ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ôï óçìåßï ôïìþò ôçò åõèåßáò x = 3 + 8t, y = 4 + 5t, z = 3 t êáé ôïõ åðéðýäïõ x 3y + 5z = 12. Ëýóç:

24 24 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ Ç ãùíßá ìåôáîý äýï ôåìíüìåíùí åðéðýäùí ïñßæåôáé ùò ç ãùíßá ðïõ ó çìáôßæïõí ôá áíôßóôïé á ôïõò êüèåôá äéáíýóìáôá. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ç ãùíßá ðïõ ó çìáôßæïõí ôá åðßðåäá x + 2y 2z = 5 êáé 6x 3y + 2z = 8. Ëýóç: ÐñïâëÞìáôá áðïóôüóåùí: Èåþñçìá: Ç áðüóôáóç D ìåôáîý åíüò óçìåßïõ P 0 (x 0, y 0, z 0 ) êáé ôïõ åðéðýäïõ ax + by + cz + d = 0 äßíåôáé áðü ôïí ôýðïí D = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2. Áðüäåéîç:

25 1.6. Åðßðåäá óôïí IR 3 25 Óçìåßùóç: Ï ðéï ðüíù ôýðïò åßíáé åðßóçò ñþóéìïò ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áðüóôáóçò äýï ðáñüëëçëùí åðéðýäùí êáé ôçò áðüóôáóçò ìåôáîý äýï ìç-ôåìíüìåíùí åõèåéþí. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí äýï ìç ôåìíüìåíùí åõèåéþí L 1 : x = 1 + 7t, y = 3 + t, z = 5 3t L 2 : x = 4 t, y = 6, z = 7 + 2t Ëýóç:

26 26 ÊåöÜëáéï 1. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.7 ÊõëéíäñéêÝò - óöáéñéêýò óõíôåôáãìýíåò Óôïí IR 3 ãéá íá ðñïóäéïñéóôåß ç èýóç åíüò óçìåßïõ ñåéüæïíôáé 3 ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ïé ïðïßïé êáëïýíôáé óõíôåôáãìýíåò. ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò (x, y, z) ÊõëéíäñéêÝò óõíôåôáãìýíåò (r, θ, z), r 0, 0 θ< 2π

27 1.7. ÊõëéíäñéêÝò - óöáéñéêýò óõíôåôáãìýíåò 27 Ç åðéöüíåéá z =óôáèåñü ðáñéóôüíåé Ýíá ïñéæüíôéï åðßðåäï. Ç åðéöüíåéá r =óôáèåñü ðáñéóôüíåé Ýíá ïñèï-êõêëéêü êýëéíäñï. Ç åðéöüíåéá θ =óôáèåñü ðáñéóôüíåé Ýíá çìé-åðßðåäï êüèåôï óôï xy-åðßðåäï. ÓöáéñéêÝò óõíôåôáãìýíåò (ρ, θ, φ), ρ 0, 0 θ< 2π, 0 φ π Ç åðéöüíåéá ρ =óôáèåñü = ρ 0 ðáñéóôüíåé ìéá óöáßñá áêôßíáò ρ 0. Ç åðéöüíåéá φ =óôáèåñü = φ 0 ðáñéóôüíåé Ýíá ïñèï-êõêëéêü êþíï. Åîéóþóåéò ìåôáó çìáôéóìïý (r, θ, z) (x, y, z): x = r cos θ, y = r sin θ, z = z (x, y, z) (r, θ, z): r = x 2 + y 2, tan θ = y x, z = z (ρ, θ, φ) (x, y, z): x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ (x, y, z) (ρ, θ, φ): ρ = x 2 + y 2 + z 2, tan θ = y x, cos φ = z x 2 + y 2 + z 2

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) 44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim 3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr 2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ 28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç

Διαβάστε περισσότερα

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ . Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò 50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò

Διαβάστε περισσότερα

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.) ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á. ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó

Διαβάστε περισσότερα

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá... ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá

Διαβάστε περισσότερα

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)

Διαβάστε περισσότερα

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. 55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï

Διαβάστε περισσότερα

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.

Διαβάστε περισσότερα

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò

Διαβάστε περισσότερα

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ .1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí

Διαβάστε περισσότερα

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò

Διαβάστε περισσότερα

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé

Διαβάστε περισσότερα

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç 0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».

Διαβάστε περισσότερα

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá

ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá;

ÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá; ÊåöÜëáéï 2 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ¼ðùò èá äéáðéóôþóïõìå óôá åðüìåíá êåöüëáéá, ç Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ åßíáé áðáñáßôçôç ãéá íá ðåñéãñüøïõìå ìåñéêýò, íýåò ãéá ìáò, Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò, ïðùò ãéá

Διαβάστε περισσότερα

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Τανυστικός Λογισμός Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ

ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ 2002-2003 ÔÑÉÐÏËÇ ÌÁÈÇÌÁ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÌÅÑÏÓ É ÃÉÙÑÃÏÓ ÐÁÍÏÐÏÕËÏÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ 1. ÐÉÍÁÊÅÓ 1. Ó åäéüóôå ôçí åéêüíá ôùí ãñáììþí ãéá ôéò äýï åîéóþóåéò,

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç

ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç 8 ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç Ðåñéå üìåíá Êåöáëáßïõ 8.1 ÅéóáãùãÞ......................... 162 8.2 ÂáóéêÝò ííïéåò ÃñáììéêÞò ëãåâñáò........ 163 8.2.1 Ðßíáêåò êáé Äéáíýóìáôá................ 163 8.2.2

Διαβάστε περισσότερα

Union of Pure and Applied Chemistry).

Union of Pure and Applied Chemistry). .5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé

Διαβάστε περισσότερα

Çëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç

Çëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç êåöüëáéï Çëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç Ç ëýîç çëåêôñéóìüò óõíþèùò ìáò ìåôáöýñåé óå åéêüíåò ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óýã ñïíç ôå íïëïãßá, üðùò öþò êáé çëåêôñéêþ åíýñãåéá, êéíçôþñåò, çëåêôñïíéêü êõêëþìáôá

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí

ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò

Διαβάστε περισσότερα

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç

2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç 2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç Ç ðßåóç ðïõ åîáóêåß Ýíá õãñü Þ Ýíá áýñéï óôï þñï ðïõ âñßóêåôáé, õðïëïãßæåôáé ìå Ýíá üñãáíï ôï ïðïßï ïíïìüæåôáé ìáíüìåôñï. Áí ïñßóïõìå, ëïéðüí, ùò áðüëõôç ðßåóç, ôçí ðñáãìáôéêþ

Διαβάστε περισσότερα

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá

Διαβάστε περισσότερα

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá

Διαβάστε περισσότερα

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò 4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï

Διαβάστε περισσότερα

ËÕÓÇ ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÙÍ ÁÐÅÉÑÏÓÔÉÊÏÕ ËÏÃÉÓÌÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇ ÔÏÕ MAPLE

ËÕÓÇ ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÙÍ ÁÐÅÉÑÏÓÔÉÊÏÕ ËÏÃÉÓÌÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇ ÔÏÕ MAPLE ËÕÓÇ ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÙÍ ÁÐÅÉÑÏÓÔÉÊÏÕ ËÏÃÉÓÌÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇ ÔÏÕ MAPLE . Ôï åã åéñßäéï áõôü Ý åé åôïéìáóôåß áðü ôç ñéóôßíá Ôóáïýóç óôá ðëáßóéá ôïõ åñåõíçôéêïý Ýñãïõ ìå ôßôëï "Áóýã ñïíç ôçëåêðáßäåõóç Áíþôåñùí Ìáèçìáôéêþí

Διαβάστε περισσότερα

Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò

Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò ÊåöÜëáéï 4 Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò 4.1 Ôï Ýñãï óôù ìéá óôáèåñþ äýíáìç F äñü åðß åíüò óùìüôéïõ ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 4.1. Ôï Ýñãï ðïõ ðáñüãåé (Þ êáôáíáëþíåé) ç äýíáìç êáôü

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Νόμοι Ισοζυγίου Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ramsey's Theory or something like that.

Ramsey's Theory or something like that. Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:

ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå ìýóåò ôá ýôçôåò 60km/h êáé 90km/h êáé äéáíýïõí

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,

Διαβάστε περισσότερα

ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.

ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò

Διαβάστε περισσότερα

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ;

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ; 63 63 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðïéá áðü ôá óþìáôá ðïõ öáßíïíôáé óôçí åéêüíá êéíïýíôáé A. Ùò ðñïò ôç Ãç B. Ùò ðñïò ôï áõôïêßíçôï. 5. íá êéíçôü ìåôáôïðßæåôáé áðü ôç èýóç Ì 1 óôç èýóç Ì 2. Íá ó åäéüóåôå

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,

Διαβάστε περισσότερα

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Chi-Square Goodness-of-Fit Test*

Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò

Διαβάστε περισσότερα

ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ

ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o

ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head

Διαβάστε περισσότερα