Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 65 11 Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Στην παρούσα παράγραφο ϑα δούµε, µεταξύ άλλων, µια γεωµετρική ερµηνεία της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα, και ένα χρήσιµο κριτήριο για το πότε ένα πεπερασµένο σύνολο διανυσµάτων S = { } x 1, x 2,, x m είναι γραµµικά ανεξάρτητο 111 Πίνακας και Ορίζουσα Gram Ορισµός 111 Ο πίνακας Gram των διανυσµάτων x 1, x 2,, x m ορίζεται να είναι ο πίνακας : x 1, x 1 x 1, x 2 x 1, x m x 2, x 1 x 2, x 2 x 2, x m G( x 1,, x m ) := x m, x 1 x m, x 2 x m, x m Η ορίζουσα Gram των διανυσµάτων x 1, x 2,, x m ορίζεται να είναι η ορίζουσα του πίνακα Gram: G( x 1,, x m ) Παρατηρούµε ότι η ορίζουσα Gram είναι η ορίζουσα ενός συµµετρικού πίνακα διότι : x i, x j = x j, x i, 1 i, j m Αν n = 1, τότε η ορίζουσα Gram του διανύσµατος x 1 είναι : G( x 1 ) = x 1, x 1 = x και η ισότητα ισχύει αν και µόνον αν x 1 = 0 Αν n = 2, τότε η ορίζουσα Gram των διανυσµάτων x 1, x 2 είναι : G( x 1, x 2 ) = x 1, x 1 x 1, x 2 x 2, x 1 x 2, x 2 = x 1 2 x 1, x 2 x 2, x 1 x 2 2 = x 1 2 x 2 2 x 1, x όπου η τελευταία ανισότητα ισχύει λόγω της ανισότητας των Cauchy-Schwarz Επιπλέον G( x 1, x 2 ) = 0 αν και µόνον αν τα x 1, x 2 είναι γραµµικά εξαρτηµένα Θα δούµε ότι ισχύει κάτι ανάλογο και για n 3 Πρόταση 112 Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Το σύνολο διανυσµάτων S = { x 1, x 2,, x m } του E είναι γραµµικά ανεξάρτητο (2) G( x 1,, x m ) 0 Απόδειξη (1) = (2) Εστω ότι το S είναι γραµµικά εξαρτηµένο Τότε υπάρχουν αριθµοί λ 1,, λ m R, έτσι ώστε : (λ 1,, λ m ) (0,, 0) και : λ 1 x 1 + λ 2 x λ m x m = 0 (111) Τότε ϑεωρώντας το εσωτερικό γινόµενο των δύο µελών της (111) µε το διάνυσµα x i, 1 i m, ϑα έχουµε : x i, λ 1 x 1 + λ 2 x λ m x m = x i, 0 = 0 1 i m

4 66 Η παραπάνω σχέση γράφεται : λ 1 x i, x 1 + λ 2 x i, x λ m x i, x m = 0 1 i m Οι τελευταίες σχέσεις δείχνουν ότι ϑα έχουµε µια σχέση γραµµικής εξάρτησης µεταξύ των γραµµών Γ i = λ 1 Γ 1 + λ 2 Γ 2 + λ m Γ m = 0 ( ) x i, x 1, x i, x 2,, x i, x m του πίνακα Gramm G( x 1,, x m ) Τότε όµως η ορίζουσα Gram είναι µηδέν Άρα αν το σύνολο S είναι γραµµικά ανεξάρτητο, έπεται ότι : G( x 1,, x m ) 0 (2) = (1) Εστω ότι : G( x 1,, x m ) = 0 Τότε οι γραµµές του πίνακα G( x 1,, x m ) είναι γραµ- µικά εξαρτηµένες ή ισοδύναµα οι στήλες του G( x 1,, x m ) είναι γραµµικά εξαρτηµένες Εποµένως υπάρχουν αριθµοί λ 1,, λ m R, όπου : (λ 1,, λ m ) (0,, 0), έτσι ώστε : ηλαδή : Αυτό σηµαίνει ότι : και εποµένως λ 1 λ 1 Σ 1 + λ 2 Σ 2 + λ m Σ m = 0 x 1, x 1 x 1, x 2 x 1, x m 0 x 2, x 1 + λ x 2, x λ x 2, x m m = 0 x m, x 1 x m, x 2 x m, x m 0 λ 1 x i, x 1 + λ 2 x i, x λ m x i, x m = 0 x i, λ 1 x 1 + λ 2 x λ m x m = 0 1 i m 1 i m Πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά κάθε σχέση από τις παραπάνω µε λ 1,, λ m και ακολούθως προσθέτοντας τις σχέσεις που προκύπτουν καταλήγουµε στην σχέση : από την οποία προκύπτει ότι : λ 1 x 1 + λ 2 x λ m x m 2 = 0 λ 1 x 1 + λ 2 x λ m x m = 0 και εποµένως το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά εξαρτηµένο Καταλήγουµε : αν η ορίζουσα Gram G( x 1,, x m ) 0, τότε το σύνολο S είναι γραµµικά ανεξάρτητο Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του E Εστω B = { e 1, e 2,, e n } µια ορθοκανονική ϐάση του E Τότε ϑα έχουµε µοναδική γραφή των διανυσµάτων του συνόλου S ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων της ϐάσης B: x 1 = x 11 e 1 + x 12 e x 1n e n x i = x i1 e 1 + x i2 e x in e n x m = x m1 e 1 + x m2 e x mn e n

5 67 Συµβολίζουµε µε H τον m n πίνακα του οποίου οι γραµµές είναι οι συνιστώσες των διανυσµάτων x 1, x 2,, x m στην ϐάση B: x 11 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n H = x m1 x m2 x mn Υπολογίζουµε εύκολα : Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι : H th = G( x 1, x 2,, x m ) x i, x j = n x ik x jk = (H th) ij k=1 Πρόταση 113 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του E Τότε : G( x 1,, x m ) 0 Επιπλέον : (1) G( x 1,, x m ) = 0 αν και µόνον αν το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά εξαρτηµένο (2) G( x 1,, x m ) > 0 αν και µόνον αν το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά ανεξάρτητο Απόδειξη είχνουµε πρώτα ότι η ορίζουσα Gram είναι µη-αρνητική Από την προηγούµενη Πρόταση αρκεί να δείξουµε ότι αν το σύνολο S είναι γραµµικά ανεξάρτητο, τότε η ορίζουσα Gram είναι ϑετική Εστω B = { e 1, e 2,, e n } µια ορθοκανονική ϐάση του E Από την ανάλυση που προηγήθηκε έπεται ότι : H th = G( x 1, x 2,, x m ) Από το Φασµατικό Θεώρηµα έπεται ότι ο συµµετρικός πίνακας G( x 1, x 2,, x m ) είναι διαγωνοποιήσι- µος και άρα έχει όλες τις ιδιοτιµές του στο R Εστω λ µια ιδιοτιµή του G := G( x 1, x 2,, x m ) µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα-στήλη Y : y 1 y 2 G Y = λy, Y = y m Τότε εργαζόµενοι στον Ευκλείδειο χώρο R m ϑα έχουµε : Άρα : Y 2 = Y, Y = t Y Y λ Y 2 = λ( t Y Y ) = ( t Y ) (λ Y ) = t Y G Y = t Y H th Y = t ( t H Y ) ( t H Y ) = = t H Y, t H Y = t H Y 2 0 Η τελευταία σχέση δείχνει ότι λ 0 Επειδή το σύνολο S είναι γραµµικά ανεξάρτητο, έπεται ότι η ορίζουσα Gram είναι 0 και εποµένως ο πίνακας Gram δεν έχει το 0 ως ιδιοτιµή Καταλήγουµε ότι όλες ιδιοτιµές του πίνακα Gram ανήκουν στο R και είναι όλες > 0 Επειδή η ορίζουσα ενός πίνακα είναι το γινόµενο των ιδιοτιµών του, αυτό σηµαίνει ότι η ορίζουσα Gram είναι ϑετική

6 ιαδικασία Gram-Schmidt Υπενθυµίζουµε την ιαδικασία Gram-Schmidt για το γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσµάτων S = { x 1, x 2,, x m } του E: Υπενθυµίζουµε πρώτα ότι η ορθογώνια προβολή του y 0 στο x ορίζεται να είναι το διάνυσµα : Π y ( x) := x, y x y y Για την απλοποίηση των υπολογισµών που ϑα ακολουθήσουν, ορίζουµε την αριθµητική προβολή του y στο x να είναι ο αριθµός : x, y π y ( x) := x y Τότε ϑα έχουµε : Π y ( x) = π y ( x) y Κατασκευή Ορθογώνιου Συνόλου T = { y 1, y 2,, y m } (GS 1 ) Θέτουµε : (GS 2 ) Θέτουµε : y 1 = x 1 y 2 = x 2 π y1 ( x 1 ) y 1 (GS k ) Επαγωγικά : y k = x k π y1 ( x k ) y 1 π y2 ( x k ) y 2 π yk 1 ( x k ) y k 1 k 1 = x k π yi ( x k ) y i Τότε το σύνολο T = { y 1, y 2,, y m } έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : 1 Το T είναι ορθογώνιο : y i, y j = 0, 1 i j m 2 Για κάθε 1 k m: ο υπόχωρος L( x 1, x 2,, x k ) ο οποίος παράγεται από το σύνολο S συµπίπτει µε τον υπόχωρο L( y 1, y 2,, y k ) ο οποίος παράγεται από το σύνολο T: 3 Εποµένως, για κάθε 2 k m: L( x 1, x 2,, x k ) = L( y 1, y 2,, y k ), 1 k m (112) y k L( x 1, x 2,, x k 1 ) (113) 4 Αν L( y k ) είναι ο υπόχωρος του E ο οποίος παράγεται από το y k, τότε : 5 L( x 1, x 2,, x k ) = L( x 1, x 2,, x k 1 ) L( y k ) (Ορθογώνιο Ευθύ Αθροισµα) 0 y k x k 1 k m (114) Πράγµατικά : χρησιµοποιώντας την (GS k ) και τα 2 και 4 Θα έχουµε x k = z k + y k z k = π y1 ( x k ) y 1 + π y2 ( x k ) y π yk 1 ( x k ) y k 1 L( x 1, x 2,, x k 1 )

7 69 Επειδή z k, y k = 0, από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα, ϑα έχουµε : 0 y 2 z k 2 + y 2 = x k 2 = 0 y k x k 6 Επειδή το σύνολο T = { y 1, y 2,, y m } είναι ορθογώνιο, ϑα έχουµε : και άρα : 7 Το σύνολο διανυσµάτων y 1, y y 2, y 2 0 G( y 1,, y m ) := 0 0 y m, y m G( y 1,, y m ) = y 1 2 y 2 2 y m 2 (115) { y1 y 1, y 2 y 2,, y } m y m είναι ορθοκανονικό και άρα αποτελεί µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου L( x 1, x 2,, x m ) είχνουµε τώρα ότι η ορίζουσα Gram των διανυσµάτων S = { x 1, x 2,, x m } είναι ίση µε την ορίζουσα Gram των διανυσµάτων T = { y 1, y 2,, y m } Πρόταση 114 Εστω S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του Ευκλείδειου χώρου (E,, ), και έστω T = { y 1, y 2,, y m } το ορθογώνιο σύνολο το οποίο προκύπτει από το S µε την διαδικασία Gram-Schmidt Τότε : G( x 1,, x m ) = G( y 1,, y m ) = y 1, y 1 y 2, y 2 y m, y m Απόδειξη Θα αποδείξουµε τον ισχυρισµό εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις, οι οποίες δεν αλλάζουν την ορίζουσά, στις γραµµές και στις στήλες του πίνακα Gram: x 1, x 1 x 1, x 2 x 1, x m x 2, x 1 x 2, x 2 x 2, x m G( x 1,, x m ) = x m, x 1 x m, x 2 x m, x m Κατ αρχήν αν το σύνολο S είναι γραµµικά εξαρτηµένο, τότε προφανώς και το σύνολο T είναι γραµµικά εξαρτηµένο, και τότε G( x1,, x m ) = 0 = G( y 1,, y m ) Υποθέτουµε ότι το S, άρα και το T, είναι γραµµικά ανεξάρτητο (1) Θέτουµε y 1 = x 1 παντού στον πίνακα G( x 1,, x m ) (2) Το διάνυσµα y 2 είναι της µορφής : y 2 = x 2 + κ y 1 Πολλαπλασιάζουµε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του πίνακα G( x 1,, x m ) µε το κ, και ακολούθως προσθέτουµε την προκύπτουσα στήλη στην δεύτερη στήλη του πίνακα G( x 1,, x m ) Επειτα πολλαπλασιάζουµε την πρώτη γραµµή του πίνακα G( x 1,, x m ) µε το κ και ακολούθως προσθέτουµε την προκύπτουσα γραµµή στην δεύτερη γραµµή του πίνακα G( x 1,, x m ) Ετσι, µε τις παραπάνω πράξεις οι οποίες δεν αλλάζουν την ορίζουσα, τα διανύσµατα y 1 και y 2 εµφανίζονται σε κάθε στοιχείο της ορίζουσας όπου εµφανίζονταν τα y 1 και x 2, και εποµένως ϑα έχουµε :

8 70 y 1, y 1 y 1, y 2 y 1, x 3 y 1, x m G( x1,, x m ) y 2, y 1 y 2, y 2 y 2, x 3 y 2, x m = Det x 3, y 1 x 3, y 2 x 3, x 3 x 3, x m x m, y 1 x m, y 2 y m, x 3 x m, x m (3) Ακολούθως το διάνυσµα y 3 είναι της µορφής y 3 = x 3 + λ 1 y 1 + λ 2 y 2 Τότε πολλαπλασιάζουµε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του πίνακα G( y 1,, x m ) µε το λ 1, και κάθε στοιχείο της δεύτερης στήλης µε λ 2 και προσθέτουµε τις προκύπτουσες στήλες στην τρίτη στήλη του πίνακα G( y 1,, x m ) Εκτελούµε τις ίδιες πράξεις µε τις γραµµές του πίνακα G( y 1,, x m ) Ετσι, µε τις παραπάνω πράξεις οι οποίες δεν αλλάζουν την ορίζουσα, τα διανύσµατα y 3 εµφανίζεται σε κάθε στοιχείο της ορίζουσας όπου εµφανιζόταν τα q 3, και εποµένως ϑα έχουµε : y 1, y 1 y 1, y 2 y 1, y 3 y 1, x m G( x 1,, x m ) y 2, y 1 y 2, y 2 y 2, y 3 y 2, x m = Det y 3, y 1 y 3, y 2 y 3, y 3 y 3, x m x m, y 1 x m, y 2 x m, y 3 x m, x m (4) Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, αντικαθιστούµε, µε στοιχειώδεις πράξεις οι οποίες δεν αλλάζουν την ορίζουσα, όλα τα διάνυσµατα x i, 1 i m, τα οποία εµφανίζονται ως (i, j)-στοιχεία x i, x j της ορίζουσας G( x 1,, x m ), µε τα διανύσµατα yi, 1 i m, τα οποία προκύπτουν από τα x i, 1 i m, µε την διαδικασία Gram-Schmidt Εποµένως ϑα έχουµε : y 1, y 1 y 1, y 2 y 1, y 3 y 1, y m G( x 1,, x m ) y 2, y 1 y 2, y 2 y 2, y 3 y 2, y m = Det y 3, y 1 y 3, y 2 y 3, y 3 y 3, y m y m, y 1 y m, y 2 y m, y 3 y m, y m = G( y1,, y m ) Επειδή το σύνολο { y 1,, y m } είναι ορθογώνιο, έπεται ότι : G( x 1,, x m ) = G( y 1,, y m ) = m y i, y i = m y i 2 Πρόταση 115 Εστω S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του Ευκλείδειου χώρου (E,, ), και έστω T = { y 1, y 2,, y m } το ορθογώνιο σύνολο το οποίο προκύπτει από το S µε την διαδικασία Gram-Schmidt Τότε : 0 G( x 1,, x m ) x 1 2 x 2 2 x m 2 Επιπλέον : (1) G( x 1,, x m ) = 0 αν και µόνον αν το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά εξαρτηµένο (2) G( x1,, x m ) > 0 αν και µόνον αν το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά ανεξάρτητο (3) G( x 1,, x m ) = x 1 2 x 2 2 x m 2 αν και µόνον αν το σύνολο S είναι ορθογώνιο Απόδειξη Από την σχέση (124) και την Πρόταση 124 έπεται ότι G( x 1,, x m ) = G( y 1,, y m ) = y 1 2 y 2 2 y m 2 x 1 2 x 2 2 x m 2

9 71 Άρα 0 G( x 1,, x m ) x 1 2 x 2 2 x m 2 Οι ισχυρισµοί (1) και (2) αποδείχθηκαν στην Πρόταση 123 Προφανώς αν το σύνολο S είναι ορθογώνιο, τότε η παραπάνω ανισότητα είναι ισότητα Αντίστροφα εύκολα ϐλέπουµε µε επαγωγή στο πλήθος m των διανυσµάτων και µε χρήση της σχέσης (114), ότι αν η παραπάνω ανισότητα είναι ισότητα, τότε το σύνολο διανυσµάτων S είναι ορθογώνιο, 113 Ογκος Παραλληλεπιπέδου σε Ευκλείδειους Χώρους Εστω S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) Υπενθυµίζουµε ότι αν V είναι ένας υπόχωρος του E, τότε : E = V V και άρα κάθε διάνυσµα x του E γράφεται µοναδικά ως εξής : όπου : Π V ( x) V και K V ( x) V (Ορθογώνιο Ευθύ Αθροισµα) x = Π V ( x) + K V ( x) Ορισµός 116 Εστω S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) (1) Το m-διάστατο παραλληλεπίπεδο του E το οποίο ορίζουν τα διανύσµατα S = { x 1, x 2,, x m } είναι το σύνολο { m } P( x 1, x 2,, x m ) = r i x i 0 r i 1 (2) Η ϐάση του παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x m ) ορίζεται ως το (n 1)-διάστατο παραλληλεπίπεδο P( x 1, x 2,, x m 1 ) το οποίο ορίζουν τα διανύσµατα { x 1, x 2,, x m 1 } (3) Το ύψος του m-διάστατου παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x m ) ορίζεται να είναι η κάθετη προβολή του διανύσµατος x m στον υπόχωρο L( x 1, x 2,, x m 1 ) ο οποίος παράγεται απο τα διανύσµατα x 1, x 2,, x m 1 : hm := K L( x1, x 2,, x m 1 )( x m ) Παρατήρηση 117 Εστω E = R 3 εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, ο οποίος είναι ο χώρος που εξετάζει η Αναλυτική Γεωµετρία Τότε το 1-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από το σύνολο S = { x 1 } είναι η ευθεία η οποία διέρχεται από το 0 και από το τέλος του διανύσµατος x 1 Το 2-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από το σύνολο S = { x 1, x 2 } είναι το παραλληλόγραµµο µε πλευρές τα διανύσµατα x 1 και x 2 Το 3-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από το σύνολο S = { x 1, x 2 } είναι το παραλληλόγραµµο µε πλευρές τα διανύσµατα x 1, x 2, και x 3 Παρατήρηση 118 Από την Αναλυτική Γεωµετρία το εµβαδόν ενός παραλληλογράµου το οποίο ορίζουν δύο διανύσµατα x 1 και x 2, είναι το γινόµενο του µήκους του ενός από αυτά, πχ το x 1 το οποίο ϑεωρούµε ως ϐάση, µε το µήκος της καθέτου από το τέλος του x 2 στην ευθεία στην οποία κείται το x 1 Παρόµοια ο όγκος ενός παραλληλεπιπέδου το οποίο ορίζουν τρία διανύσµατα x 1, x 2, και x 3, είναι το γινόµενο του εµβαδού του παραλληλογράµµου το οποίο σχηµατίζεται από δύο εκ των διανυσµάτων, πχ x 1 και x 2 τα οποία ϑεωρούνται ως ϐάση, µε το µήκος της καθέτου από το τρίτο διάνυσµα x 3 στο επίπεδο το οποίο ορίζουν τα x 1 και x 2 Με ϐάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, µπορούµε να ορίσουµε τον όγκο ενός m-διάστατου παραλληλεπίπεδου ως εής :

10 72 Ορισµός 119 Ο όγκος V m := V( x 1, x 2,, x m ) του m-διάστατου παραλληλεπίπεδου του E το οποίο ορίζουν τα διανύσµατα S = { x 1, x 2,, x m } του E ορίζεται επαγωγικά ως εξής : 1 Αν m = 1, τότε : 2 Αν m = 2, τότε : όπου : 3 Αν m = 3, τότε : όπου : V 1 := x 1 V 2 := V 1 h 1 h1 = K L( x1 )( x 2 ) και V 1 = µήκος του x 1 V 3 := V 2 h 2 h2 = K L( x1, x 2 )( x 3 ) είναι η κάθετη προβολή του x 3 στο επίπεδο L( x 1, x 2 ) και V 2 = εµβαδόν παραλληλογράµµου P( x 1, x 2 ) το οποίο ορίζουν τα x 1, x 2 k Για 1 k m: V k := V k 1 h k 1 όπου : hk 1 = K L( x1, x 2,, x k 1 )( x k ) είναι η κάθετη προβολή του x k στον υπόχωρο L( x 1, x 2,, x k 1 ) και V k 1 = όγκος παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x k 1 ) το οποίο ορίζουν τα x 1, x 2,, x k 1 Παρατήρηση 1110 Οπως είναι ϕανερό από τον παραπάνω επαγωγικό ορισµό, ο όγκος V m του m- διάστατου παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x m ) είναι : V m = x 1 h 1 h 2 h m 1 Λαµβάνοντας υπ όψιν τη σχέση (114), την Πρόταση 115, και το γεγονός ότι τα διανύσµατα h i, 1 i m προκύπτουν µε ϐάση την διαδικασία Gram-Schmidt από τα διανύσµατα x i, 1 i m, ϑα έχουµε : (V m ) 2 = G( x1, x 2,, x m ) Ορισµός 1111 Εστω P( x 1, x 2,, x m ) το m-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από τα διανύσµατα x 1, x 2,, x m του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) Το P( x 1, x 2,, x m ) καλείται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, αντίστοιχα ορθοκανονικό παραλληλεπίπεδο, αν το σύνολο διανυσµάτων x 1, x 2,, x m είναι ορθογώνιο, αντίστοιχα ορθοκανονικό Θεώρηµα 1112 Εστω P( x 1, x 2,, x m ) το m-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από τα διανύσµατα x 1, x 2,, x m του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) Τότε το τετράγωνο του όγκου του P( x 1, x 2,, x m ) είναι ίσο µε την ορίζουσα Gram των διανυσµάτων x 1, x 2,, x m Αρα : V m = ± G( x 1, x 2,, x m ) Επιπλέον ο όγκος ενός m-διάστατου παραλληλεπιπέδου είναι µικρότερος ή ίσος από το γινόµενο των µηκών των πλευρών του και είναι ίσος µε αυτό αν και µόνον αν το παραλληλεπίπεδο είναι ορθογώνιο

11 73 Πόρισµα 1113 Εστω P( x 1, x 2,, x m ) το m-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από τα διανύσµατα x 1, x 2,, x m του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) (1) Αν το παραλληλεπίπεδο P( x 1, x 2,, x m ) είναι ορθογώνιο, τότε : V m = x 1 x 2 x m (2) Αν το παραλληλεπίπεδο P( x 1, x 2,, x m ) είναι ορθοκανονικό, τότε : V m = Η Γεωµετρική Ερµηνεία της Ορίζουσας και η Ανισότητα του Hadamard Εστω A ένας n n πίνακας πραγµατικών αριθµών : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Τότε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι οι στήλες του A είναι οι συνιστώσες διανυσµάτων x 1, x 2,, x n ως προς µια ορθοκανονική ϐάση B = { e 1, e 2,, e n } σε έναν Ευκλείδειο χώρο (E,, ) διάστασης n, για παράδειγµα στον R n Ετσι ϑα έχουµε τα διανύσµατα : x 1 := a 11 e 1 + a 21 e a n1 e n x 2 := a 12 e 1 + a 22 e a n2 e n x n := a 1n e 1 + a 2n e a nn e n Θεώρηµα 1114 Εστω A ένας n n πίνακας πραγµατικών αριθµών Τότε : Det(A) = Vn όπου V n είναι ο όγκος του n-διάστατου παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x n ) το οποίο σχηµατίζεται από τα διανύσµατα x 1, x 2,, x n µε συνιστώσες σε µια ορθοκανονκή ϐάση του R n τις στήλες του A Απόδειξη Υπολογίζουµε εύκολα ότι : G( x 1, x 2,, x n ) = t A A και άρα χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 1112, ϑα έχουµε : Vn 2 = Det ( G( x 1, x 2,, x n ) ) = Det( t A A) = Det( t A) Det(A) = Det(A) 2 απ όπου προκύπτει το Ϲητούµενο Παρατήρηση 1115 Το παραπάνω Θεώρηµα δίνει µια γεωµετρική ερµηνεία της ορίζουσας, ακριβέστε- ϱα της απόλυτης τιµής της ορίζουσας, ενός τετραγωνικού n n πίνακα A ως ο όγκος του n-διάστατου παραλληλεπιπέδου το οποίο σχηµατίζεται από τα διανύσµατα-στήλες του πίνακα, ϑεωρούµενες ως συνιστώσες διανυσµάτων x 1, x 2,, x n σε µια ορθοκανονική ϐάση ενός n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου E Οσον αφορά το πρόσηµο αυτό ερµηνεύεται ως ο προσανατολισµός των διανυσµάτων αναφορικά µε την ορθοκανονική ϐάση B του E

12 74 Προχωρούµε µε σκοπό να αποδείξουµε µια σηµαντική ανισότητα του Hadamard η οποία δίνει µια εκτίµηση για την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα πραγµατικών αριθµών Εστω (R n,, ) ο Ευκλείδειος χώρος των στηλών πραγµατικών αριθµών µε n στοιχεία εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Υπενθυµίζουµε ότι αν A M n n (R) είναι ένας συµµετρικός πίνακας, τότε ο A καλείται ϑετικός αν : Ο πίνακας A καλείται µη-αρνητικός αν : A X, X > 0, X R n, X 0 A X, X 0, X R n Λήµµα 1116 Εστω A = (a ij ) ένας συµµετρικός πίνακας πραγµατικών αριθµών Αν ο A είναι ϑετικός, αντίστοιχα µη-αρνητικός, τότε : a ii > 0, αντίστοιχα a ii 0, 1 i n Απόδειξη Θεωρούµε τα διανύσµατα-στήλες της κανονικής ϐάσης του R n : E 1 =, E 1 2 =,, E 0 n =, Τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι : από όπου προκύπτει το Ϲητούµενο A E i, E i = a ii Υπενθυµίζουµε το ακόλουθο ϑεµελιώδες Θεώρηµα 1117 (Φασµατικό Θεώρηµα) Αν A M n n (R) είναι ένας συµµετρικός πίνακας, τότε όλες οι ιδιοτιµές του λ 1,, λ n ανήκουν στο R, και υπάρχει ένας ορθογώνιος πίνακα P έτσι ώστε λ t 0 λ 2 0 P A P = 0 0 λ n Επιπλέον : (1) Ο A είναι ϑετικός ο A είναι αντιστρέψιµος λ i > 0, i = 1, 2,, n (2) Ο A είναι µη-αρνητικός λ i 0, i = 1, 2,, n Θεώρηµα 1118 Αν A M n n (R) είναι ένας ϑετικός συµµετρικός πίνακας, τότε : Det(A) n a ii

13 75 Απόδειξη Από το Λήµµα 1116 έπεται ότι τα διαγώνια στοιχεία a ii του πίνακα A είναι ϑετικοί αριθµοί Θέτουµε : κ i = 1, 1 i n aii και έστω ο διαγώνιος πίνακας κ κ 2 0 D = 0 0 κ n Θεωρούµε τον πίνακα B := D A D και παρατηρούµε ότι ο B είναι επίσης συµµετρικός και τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι όλα ίσα µε 1: b ii = 1, 1 i n Επιπλέον ο πίνακας B είναι ϑετικός, διότι αν X είναι ένα µη-µηδενικό διάνυσµα-στήλη, τότε : B X, X = D A D X, X = A (D X), t D X = A (D X), D X > 0 διότι ο A είναι ϑετικός και προφανώς D X 0 Για την ορίζουσα του B ϑα έχουµε : Det(B) = Det(D A D) = Det(D) 2 Det(A) = Det(D 2 1 ) Det(A) = ( ) 2 Det(A) = Det(A) n aii a ii Άρα για να αποδείξουµε το Θεώρηµα, αρκεί να δείξουµε ότι : Det(B) 1 Εστω µ µ 2 0 F = 0 0 µ n η διαγώνια µορφή του συµµετρικού πίνακα B, όπου µ 1,, µ n είναι οι ιδιοτιµές του B, οι οποίες είναι ϑετικοί αριθµοί, όπως προκύπτει από το Φασµατικό Θεώρηµα, διότι ο B είναι ϑετικός Από την, εύκολα αποδεικνυόµενη σχέση, ϑετικών πραγµατικών αριθµών : n n (µ i ) n µ i n ϑα έχουµε : Det(B) = Det(F ) = n µ i n ( µ i n )n ( Tr(B) n ) n (n) n = = 1 n διότι, καθώς όλα τα διαγώνια στοιχεία του B είναι ίσα µε 1, έπεται ότι Tr(B) = n Άρα Det(B) 1 και εποµένως : n Det(A) Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε την ανισότητα του Hadamard: a ii

14 76 Θεώρηµα 1119 (Ανισότητα Hadamard) Εστω A = (a ij ) M n n (R) Τότε : n n Det(A) j=1 Απόδειξη Αν Det(A) = 0, τότε η ανισότητα ισχύει τετριµµένα Υποθέτουµε ότι Det(A) 0, και ϑεωρούµε τον πίνακα T = (t ij ), όπου T := t A A Τότε προφανώς ο T είναι συµµετρικός, και αντιστρέψιµος διότι ο A είναι αντιστρέψιµος Εποµένως από το Φασµατικό Θεώρηµα έπεται ότι T είναι ϑετικός Τότε από το Θεώρηµα 1118, ϑα έχουµε : n Det(T ) Οµως προφανώς : και εποµένως : t jj = (T ) jj = ( t A A) jj = j=1 t jj a 2 ij n a ij a ij = n a 2 ij n n Det(T ) t jj = n j=1 j=1 Επειδή D(T ) = Det( t A A) = Det(A 2 ) = Det(A) 2, ϑα έχουµε : n n Det(A) 2 = Det(T ) t jj = j=1 j=1 απ όπου προκύπτει το Ϲητούµενο a 2 ij n a 2 ij Προφανώς η ισότητα στην Ανισότητα Hadamard ισχύει όταν ο πίνακας είναι διαγώνιος Ως άµεση συνέπεια της Ανισότητας Hadamard, έχουµε το ακόλουθο Πόρισµα 1120 Εστω A = (a ij ) M n n (R) Αν a ij ε, 1 i, i n, τότε : Det(A) ε n n n 2 Πόρισµα 1121 Από όλα τα n-διάστατα παραλληλεπίπεδα P( x 1,, x n ) µε δεδοµένο µήκος x i διανυσµάτων πλευρών, εκείνο µε τον µεγαλύτερο όγκο είναι το ορθογώνιο Παράδειγµα 1122 Θωρούµε τον 4 4 πίνακα A = Τότε ϑέτοντας ε = 2, από το Πόρισµα 1120 ϑα έχουµε Det(A) = = 256 Πραγµατικά : Det(A) = 12

15 77 Παράδειγµα 1123 Θωρούµε τον 3 3 πίνακα A = Τότε ϑέτοντας ε = 5, από το Πόρισµα 1120 ϑα έχουµε Det(A) που είναι περίπου 156 Πραγµατικά : Det(A) = 50

16 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

17 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 13: Η ορίζουσα και το ίχνος μιας μήτρας (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 16: Αναπαράσταση τελεστών με μήτρες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 16: Αναπαράσταση τελεστών με μήτρες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 16: Αναπαράσταση τελεστών με μήτρες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να αναπτύξει την μεθοδολογία εύρεσης ιδιοτιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα