Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης"

Transcript

1 - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι Γράφοι Αλγόριθµοι Ελαχίστου ρόµου: ellman-ord ikstra loyd-warshall Κατανεµηµένος Ασύγχρονος Αλγόριθµος ellman- ord

2 -2 Εισαγωγή στη ροµολόγηση Τι είναι δροµολόγηση; Η δηµιουργία πληροφοριών (για τις καταστάσεις) στο δίκτυο που θα επιτρέψει την αποτελεσµατική παράδοση των πακέτων στους επιθυµητούς προορισµούς τους υο κύρια στοιχεία Απόκτηση πληροφοριών: Τοπολογία, διευθύνσεις Χρήση πληροφοριών: Υπολογισµός καλών δρόµων προς όλους τους προορισµούς Ερωτήµατα Πού είναι το ; Πώς θα φθάσουµε στο ; Πώς θα φθάσουµε καλύτερα στο ; G Πώς θα κατανέµουµε καλύτερα όλη την κυκλοφορία (όχι µόνο από το στο );

3 -3 Έννοιες Θεωρίας Γράφων Ένας Μη Κατευθυνόµενος Γράφος G = (N, ) αποτελείται από: Ένα πεπερασµένο µη κενό σύνολο κόµβων N και Μια συλλογή πλευρών ή συνδέσεων, που συνδέουν ζευγάρια (διακριτών) κόµβων του N. Αν i και είναι κόµβοι στο N και (i, ) πλευρά στο in, η πλευρά αυτή λέγεται προσπίπτουσα (incident) στα i και ιαδροµή: µια ακολουθία κόµβων (n, n 2,, n k ), όπου (n, n 2 ), (n 2, n 3 ),, (n k-, n k ) είναι πλευρές ρόµος: µια διαδροµή χωρίς επαναλαµβανόµενους κόµβους Κύκλος: µια διαδροµή (n, n 2,, n k ) µε n =n k και χωρίς άλλους επαναλαµβανόµενους κόµβους Συνεκτικός Γράφος: για κάθε i, N, υπάρχει δρόµος (n, n 2,, n k ) µε i=n, =n k G N = {, G,,,,, } = {(, ),(, ),(, ),(, ), (, ),( G, ),( g, )}

4 -4 Εκτεταµένα έντρα (Spanning Trees) Ένας γράφος G' = (N', ), µε N' N και ' ονοµάζεται υπογράφος του G = (N, ) έντρο: συνεκτικός γράφος που δεν περιέχει κύκλους Εκτεταµένο δένδρο (spanning tree) του γράφου G: υπο-γράφος του G, που περιλαµβάνει όλους τους κόµβους του G(N' =N) G Λήµµα: Έστω ο συνεκτικός γράφος G = (N, ) και S ένα µη κενό γνήσιο υποσύνολο του σύνολο των κόµβων N. Τότε, υπάρχει τουλάχιστον µια πλευρά (i, ) τέτοια ώστε i S και S.

5 -5 Αλγόριθµος Εκτεταµένου έντρου. Επιλέξτε αυθαίρετα έναν κόµβο n N και αρχίστε µε G' = (N', ' ) 2. Αν N' = N, ΤΕΛΟΣ: G' = (N ', ' ) είναι ένα εκτεταµένο δέντρο ΑΛΛΙΩΣ: πάτε στο βήµα 3 3. Έστω (i, ) µε i N' και N-N' Αλλάξτε: N : = N { }, : = {( i, )} Πάτε στο βήµα 2 N = {}, n = Απόδειξη: είξτε µε επαγωγή ότι µετά την προσθήκη ενός νέου κόµβου i, ο G παραµένει συνεκτικός και δεν περιέχει κανένα κύκλο δηλαδή, είναι δένδρο.

6 -6 Κατασκευή Εκτεταµένου έντρου V = {}; = V = {,}; = {(,)} V = {,,}; = {(,),(,)} V = {,,,}; = {(,),(,),()} V = {,,,,}; = {(,),(,),(),()} V = {,,,,,}; = {(,),(,),(),(),(,)} V = {,,,,,,G}; = {(,),(,),(),(),(,),(,G)} G

7 -7 Εκτεταµένα έντρα (συνέχεια) Πρόταση: Έστω G συνεκτικός γράφος µε N κόµβους και συνδέσεις. Τότε:. G περιέχει ένα εκτεταµένο δέντρο 2. N- 3. G είναι δέντρο αν και µόνον αν =N- Απόδειξη: Ο αλγόριθµος κατασκευής του εκτεταµένου δέντρου αρχίζει µε ένα µόνο κόµβο και σε κάθε επανάληψη αυξάνει το δέντρο κατά έναν κόµβο και µια πλευρά. Εποµένως, το δέντρο κατασκευάζεται µετά από N- επαναλήψεις κι έχει N- συνδέσεις, δηλαδή, N-. Αν =N-, το εκτεταµένο δέντρο περιέχει όλες τις πλευρές του G, δηλαδή, G είναι δέντρο. Αν >N-, υπάρχει µια σύνδεση (i, ) που δεν ανήκει στο δέντρο. Θεωρώντας το δρόµο που συνδέει τα i και µέσα στο εκτεταµένο δέντρο, ο δρόµος αυτός (i, ) σχηµατίζει κύκλο κι, έτσι, το G δεν είναι δέντρο.

8 -8 Η Χρήση των Εκτεταµένων έντρων Πρόβληµα: πώς να διανέµουµε τις πληροφορίες σε όλους τους κόµβους σ ένα γράφο (δίκτυο) π.χ., πληροφορίες για διευθύνσεις και τοπολογία Πληµµύρα: όταν κάθε κόµβος προωθεί τις πληροφορίες προς όλους τους γείτονές του. Εκτεταµένο δέντρο: οι κόµβοι προωθούν τις πληροφορίες µόνο κατά την κατεύθυνση των συνδέσεων που ανήκουν στο εκτεταµένο δέντρο. Πιο αποτελεσµατικά: Οι πληροφορίες φθάνουν σε κάθε κόµβο µόνο µια φορά και διασχίζουν κάθε σύνδεση µόνο µια φορά Παρατηρήστε ότι το εκτεταµένο δέντρο είναι διπλής κατεύθυνσης G

9 -9 Εκτεταµένα έντρα Ελάχιστου Βάρους Το βάρος w i σε µια πλευρά χρησιµοποιείται για να δώσει το κόστος χρήσης της σύνδεσης (i, ) Παραδείγµατα: καθυστέρηση, φορτίο, απόσταση, κλπ. Το βάρος (κόστος) ενός δέντρου είναι το άθροισµα των βαρών όλων των συνδέσεών του (τα πακέτα διασχίζουν τις συνδέσεις µόνο µια φορά) Ορισµός: Ένα Εκτεταµένο έντρο Ελάχιστου Βάρους ή Ελάχιστο Εκτεταµένο έντρο (ΕΕ ) είναι ένα εκτεταµένο δέντρο µε ελάχιστο άθροισµα βαρών των συνδέσεων Ορισµός: Ένα υπο-δέντρο ενός ΕΕ ονοµάζεται τεµάχιο. Μια πλευρά που έχει έναν κόµβο σε κάποιο τεµάχιο και τον άλλο κόµβο όχι σ αυτό το τεµάχιο ονοµάζεται εξερχόµενη πλευρά από το τεµάχιο G 3 W = G 3 W = 5

10 -0 Ελάχιστα Εκτεταµένα έντρα Λήµµα: οθέντος ενός τεµαχίου, έστω e=(i, ) µια εξερχόµενη πλευρά ελάχιστου βάρους, όπου. Τότε το επεκτεταµένο µε τηνπλευράe και τον κόµβο είναι ένα τεµάχιο. Απόδειξη: Έστω T το ΕΕ που περιέχει το τεµάχιο. Αν e T, τελειώσαµε. Έστω e T: τότε σχηµατίζεται ένας κύκλος από την e και τις πλευρές του T Αφού. Υπάρχει πλευρά e e που ανήκει στον κύκλο και το T και είναι εξερχόµενη από το. Έστω T =(T-{e }) {e}. Αυτός είναι υπογράφος µε N- πλευρές και χωρίς κύκλους, δηλαδή, εκτεταµένο δέντρο. Επειδή w e w e, το βάρος του T είναι µικρότερο ή ίσο του βάρους του T Τότε T είναι ένα ΕΕ και το επεκτεταµένο από την πλευρά e και τον κόµβο είναι τεµάχιο. 4 e e' G

11 Αλγόριθµοι Ελάχιστων Εκτεταµένων - έντρων Επαγωγικοί αλγόριθµοι που βασίζονται στο προηγούµενο λήµµα Ο Αλγόριθµος του Prim: Ξεκινήστε µε έναν τυχαίο κόµβο ως το αρχικό τεµάχιο Επεκτείνετε το τεµάχιο µε τη διαδοχική πρόσθεση εξερχόµενων πλευρών ελάχιστου βάρους Ο Αλγόριθµος του Kruskal: Όλες οι κορυφές είναι τα αρχικά τεµάχια ιαδοχικά συνδυάστε τα τεµάχια χρησιµοποιώντας πλευρές ελάχιστου βάρους που δεν δηµιουργούν κύκλους

12 -2 Αλγόριθµος του Prim

13 -3 Ο Αλγόριθµος του Kruskal

14 -4 Αλγόριθµοι Ελάχιστου ρόµου Πρόβληµα: οθέντων των κόµβων και, βρείτε την καλύτερη διαδροµή για να περάσει η κυκλοφορία από το στο Καλύτερη: ελάχιστου κόστους όπου τυπικά το κόστος µιας διαδροµής ισούται προς το άθροισµα των κοστών των συνδέσεων της διαδροµής Σηµαντικό πρόβληµα για διάφορες δικτυακές εφαρµογές ροµολόγηση της κυκλοφορίας σε δικτυακές συνδέσεις χρειάζεται να λάβουµε υπόψη την κατεύθυνση της ροής Κατάλληλο δικτυακό µοντέλο: Κατευθυνόµενος Γράφος

15 -5 Κατευθυνόµενοι Γράφοι Ένας Κατευθυνόµενος Γράφος (ή ι-γραφος) G = (N, ) αποτελείται από: Ένα πεπερασµένο µη κενό σύνολο κόµβων N και Μια συλλογή τόξων, δηλαδή, διατεταγµένων ζευγαριών (διακριτών) κόµβων του N. Κατευθυνόµενες διαδροµές, κατευθυνόµενοι δρόµοι και κατευθυνόµενοι κύκλοι ορίζονται όπως (αντίστοιχα) µε τους µη κατευθυνόµενους γράφους οθέντος του κατευθυνόµενου γράφου G = (N, ), υπάρχει ένας αντίστοιχος µη κατευθυνόµενος γράφος G' = (N', ' ), µε N'=N και (i, ) ' αν είτε (i, ) ή (, i) Ένας κατευθυνόµενος γράφος G = (N, ) ονοµάζεται συνεκτικός αν ο αντίστοιχος µη κατευθυνόµενος γράφος G' = (N ', ' ) είναι συνεκτικός Ένας κατευθυνόµενος γράφος G = (N, ) ονοµάζεται ισχυρά συνεκτικός αν, για κάθε i, N, υπάρχει ένας κατευθυνόµενος δρόµος (n, n 2,, n k ), µε i=n, =n k

16 -6 Αλγόριθµοι Ελάχιστου ρόµου: Γενική ιατύπωση Έστω ο γράφος G = (V,) µε N κόµβους και µε µήκη πλευρών d i για την πλευρά (i,) (θεωρούµε d i = αν (i,) ) Πρόβληµα: Βρείτε τους δρόµους ελάχιστης απόστασης από όλους τους κόµβους του V προς τον κόµβο Αλλιώς διατυπωµένο, βρείτε τους δρόµους ελάχιστης απόστασης από τον κόµβο προς όλους τους κόµβους του V Πάλι η γενική προσέγγιση θα είναι επαναληπτική: ( n+ ) ( n) = min{ + i d i } ιαφορές για το πώς προχωρούµε στις επαναλήψεις κι έτσι υπάρχουν Τρεις κύριοι αλγόριθµοι

17 -7 Ο Αλγόριθµος ellman-ord Σε κάθε επαναληπτικό βήµα αυξάνει το πλήθος των πλευρών κατά ένα Ορίζουµε το ih σαν το µήκος της ελάχιστης διαδροµής από το i στο που περιέχει το πολύ h πλευρές h = 0, εξ ορισµού, για κάθε h Αλγόριθµος ellman-ord: Ορίζουµε h+ i = min{ Θέτουµε αρχικά i0 = για κάθε i h a Τα ih είναι τα µήκη των ελάχιστων διαδροµών κατά µήκος το πολύ h πλευρών από το i στο + b Ο αλγόριθµος τερµατίζει µετά από πεπερασµένο πλήθος επαναλήψεων αν και µόνον αν όλοι οι κύκλοι, που δεν περιέχουν τον, έχουν µη αρνητικό µήκος. Επιπλέον, αν ο αλγόριθµος τερµατίσει, το κάνει σε Ν το πολύ επαναλήψεις και τερµατίζει στο µήκος του ελάχιστου δρόµου από το i στο. d i }, i

18 Απόδειξη του Αλγόριθµου ellman- -8 ord () Με επαγωγή στο πλήθος των πλευρών h Για h =, έχουµε i = d i, για κάθε i, οπότε ισχύει το ζητούµενο, για i = Υποθέτουµε ότι αυτό ισχύει για όλα τα k h. Πρέπει να δείξουµε ότι ισχύει και για h+ Αρκεί να εξετασθούν δυο περιπτώσεις Η ελάχιστη ( h+) διαδροµή από το i στο έχει h πλευρές Τότε το µήκος της είναι i h 2 Η ελάχιστη ( h+) διαδροµή από το i στο έχει (h+) πλευρές Αποτελείται από τη συνένωση της πλευράς (i,) µε την ελάχιστη διαδροµή σε h πλευρές από το στο Η δεύτερη περίπτωση είναι αυτή που θα εστιασθούµε

19 -9 Απόδειξη του Αλγόριθµου ellman- ord (2) Από τις Περιπτώσεις και 2, έχουµε Από την επαγωγική υπόθεση και τις αρχικές συνθήκες i k i k- για όλα τα k h έτσι ώστε i h i = d i = d i + h Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουµε Που ολοκληρώνει την απόδειξη του µέρους a { [ ]} h h, min d shortest ( h + ) walk length = min + shortest ( = min h + ) { h h+ } h+, = i i walk length i = min i [ ] [ ] h h h + d min + d = min = h+ i i i { [ ]} h h,min + d i i i i

20 -20 Απόδειξη του Αλγόριθµου ellman- ord (3) Υποθέτουµε ότι ο αλγόριθµος τερµατίζει µετά από h βήµατα Αυτό συνεπάγεται ότι i k = i h για όλα τα i και k h Άρα µε την προσθήκη περισσότερων πλευρών δεν µπορούν να µειωθούν τα µήκη αυτών των διαδροµών Εποµένως, δεν µπορούν να υπάρξουν κύκλοι αρνητικού µήκους που δεν περιέχουν τον κόµβο Αυτοί θα µπορούσαν να επαναλαµβάνονταν πολλές φορές για να έκαναν τα µήκη των διαδροµών αυθαίρετα µικρά Αφαιρούµε όλους αυτούς τους κύκλους Τότε παίρνουµε δρόµους µικρότερου ή ίσου µήκους Έτσι, για όλα τα i έχουµε ένα δρόµο h ή λιγότερων πλευρών προς τον κόµβο µε µήκος i h Αφού αυτοί οι δρόµοι δεν περιέχουν κύκλους, περιλαµβάνουν το πολύ N- πλευρές κι, άρα, in = i N- για όλα τα i Ο αλγόριθµος τερµατίζεται σε N το πολύ βήµατα, που αποδεικνύει το µέρος b

21 -2 Πολυπλοκότητα Αλγόριθµου ellman-ord Πλήθος υπολογισµών στη χειρότερη περίπτωση για την εύρεση των ελάχιστων διαδροµών Ο αλγόριθµος επαναλαµβάνεται το πολύ N φορές Κάθε επανάληψη γίνεται για N- κόµβους (όλα τα i ) Το βήµα της ελαχιστοποίησης απαιτεί την εξέταση το πολύ N- ενδεχοµένων Η υπολογιστική πολυπλοκότητα είναι O(N 3 ) Πιο λεπτοµερής υπολογισµός δίνει υπολογιστική πολυπλοκότητα τάξεως O(hM)

22 -22 Κατασκευή Ελάχιστων ρόµων Ο αλγόριθµος - algorithm δίνει τα µήκη των ελάχιστων δρόµων αλλά µας ενδιαφέρει να βρούµε και ποιες είναι οι διαδροµές αυτές Ξεκινάµε από την εξίσωση - i = G [ + d ], i, and 0 min = i Για κάθε κόµβο i, διαλέγουµε την πλευρά (i,) που ελαχιστοποιεί την εξίσωση - Αυτό παράγει έναν υπο-γράφο µε N- πλευρές (ένα δέντρο) Για κάθε κόµβο I, ακολουθούµε τις πλευρές από τον i κατά µήκος αυτού του υπο-γράφου µέχρι να φθάσουµε στον Παρατήρηση: Για γράφους χωρίς κύκλους µηδενικού ή αρνητικού µήκους, η εξίσωση - ορίζει ένα σύστηµα N- εξισώσεων που έχουν µια µοναδική λύση

23 -23 Παράδειγµα Κατασκευής Ελάχιστου ρόµου µε τον Αλγόριθµο - = 3 + = 4 + G G = 3 + = 3 = 2 + G = + = 6 + = 6 = --G G 4

24 -24 Ο Αλγόριθµος του ikstra () ιαφορετικά κριτήρια στις επαναλήψεις Ο αλγόριθµος προχωρά αυξάνοντας το µήκος δρόµου αντί του πλήθους πλευρών Ξεκινάµε µε τον πλησιέστερο κόµβο στον προορισµό, τον χρησιµοποιούµε για να βρούµε τον επόµενο πλησιέστερο κόµβο κοκ. Για τη σύγκλιση απαιτείται να έχουµε µη αρνητικά βάρη πλευρών ιακρίνονται δυο κατηγορίες κόµβων L: Αποδεκτοί κόµβοι (στον ελάχιστο δρόµο) : Υποψήφιοι κόµβοι (εκτός ελάχιστου δρόµου ως τότε) Σε κάθε επανάληψη ένας κόµβος µετακινείται από το στο L

25 -25 Ο Αλγόριθµος του ikstra (2) Έναρξη L = {} and = G - L (ο κόµβος είναι ο προορισµός) = 0 και = d για Επαναληπτικά βήµατα Βρείτε τον επόµενο πλησιέστερο κόµβο εκτός L, δηλαδή, Βρείτε τον κόµβο i L τέτοιον ώστε L Τροποποιείστε τα και L: L = L {i} και = - {i} 2 Τροποποιείστε τα µήκη δρόµων των κόµβων που παραµένουν στο : = min[ Ο αλγόριθµος τερµατίζει όταν L = G, i + d i = min i ],

26 -26 Απόδειξη του Αλγόριθµου ikstra () Στην αρχή κάθε βήµατος, έχουµε a i για όλα τα i L και L b Για κάθε κόµβο, είναι η ελάχιστη απόσταση του από το για οποιοδήποτε δρόµο χρησιµοποιώντας κόµβους (πιθανόν εκτός του ) µόνον από το L Απόδειξη της συνθήκης (a) Μη αρνητικά βάρη πλευρών Η (a) ικανοποιείται αρχικά Έχουµε d i 0 και i = min L έτσι ώστε η συνθήκη (a) να διατηρείται από την τροποποιηµένη εξίσωση : = min[, i + d i ],

27 -27 Απόδειξη του Αλγόριθµου ikstra (2) Μένει να αποδείξουµε τη συνθήκη (b), που θα το κάνουµε µε επαγωγή Η (b) ικανοποιείται αρχικά Επαγωγική υπόθεση (H) Η συνθήκη (b) ισχύσει στην αρχή κάποιου βήµατος, όπου i είναι ο κόµβος που προστίθεται στο L σ αυτό το βήµα Από την (H), η συνθήκη (b) ισχύει για κάθε κόµβο i καθώς και L λόγω της (a) Θεωρήστε στη συνέχεια έναν κόµβο L {i}

28 -28 Απόδειξη του Αλγόριθµου ikstra (3) Έστω το µήκος του ελάχιστου δρόµου από L {i} στο µε όλους τους κόµβους του εκτός του στο L {i} Ο δρόµος αυτός αποτελείται από µια πλευρά (,k), k L {i}, συνενωµένη µε τον ελάχιστο δρόµο απόk σε µε κόµβους στο L {i} Από την (H), k είναι το µήκος αυτού του ελάχιστου δρόµου από k στο Έχουµε ' = min k L { i} [ Κι από την (H) έχουµε επίσης Συνδυάζοντας τα δυο αυτά παίρνουµε k Κάτι που ολοκληρώνει την απόδειξη της επαγωγής + d k ] = min min[ k L k + k d k k L = min[ + d ' = min[, + d ] = i i ], k ] i + d i

29 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα -29 Αλγόριθµου ikstra Όπως µε τον αλγόριθµο ellman-ord, έχουµε µέχρι N επαναλήψεις, όπου N = G Η κύρια εξοικονόµηση είναι ότι σε κάθε επανάληψη θεωρούµε κάθε κόµβο µόνο µια φορά Στα βήµατα και 2 κοιτάµε πρώτα τους κόµβους στο L (βήµα ) και µετά στο = G-L (βήµα 2) Το κόστος των πράξεων σε κάθε βήµα είναι το ίδιο (µια µονάδα κόστους) Το πολύ N επαναλήψεις και N πράξεις µιας µονάδας κόστους ανά επανάληψη Το συνολικό κόστος είναι τάξης O(N 2 ) (αλλά µπορεί να βελτιωθεί)

30 -30 Ο Αλγόριθµος loyd-warshall () Σκοπεύει στον υπολογισµό των ελάχιστων δρόµων µεταξύ όλων των ζευγαριών των κόµβων Ο αλγόριθµος αυτός επιτρέπει θετικά κι αρνητικά βάρη πλευρών αλλά απαιτεί να µην υπάρχουν κύκλοι µε αρνητικό µήκος Οι επαναλήψεις γίνονται ως προς το σύνολο των κόµβων που αφήνονται να είναι ενδιάµεσοι κόµβοι σ ένα δρόµο Η αρχική συνθήκη είναι όπως για ellman-ord και ikstra,δηλαδή, δρόµοι µιας πλευράς για όλους τους κόµβους Η επόµενη επανάληψη αφήνει µόνο τον κόµβο να γίνει ενδιάµεσος κόµβος Ο αλγόριθµος τερµατίζει όταν όλοι οι κόµβοι έχουν χρησιµοποιηθεί ως ενδιάµεσοι κόµβοι

31 -3 Ο Αλγόριθµος loyd-warshall (2) Αρχικές συνθήκες = d, i, και i 0 i n i i Έστω το µήκος του ελάχιστου δρόµου µεταξύ των κόµβων i και, όταν οι ενδιάµεσοι κόµβοι στο δρόµο περιορίζονται στους κόµβους,2,...,n Το επαναληπτικό βήµα ορίζεται ως n i + n = min[, + i i( n+ ) ( n+ ) n i Ελέγξτε αν η απόσταση µεταξύ των κόµβων i και βελτιώνεται χρησιµοποιώντας τον κόµβο (n+) ως ενδιάµεσο κόµβο n ],

32 -32 Απόδειξη Αλγόριθµου loyd-warshall Πάλι επαγωγικά Για n=0 οι αρχικές συνθήκες προφανώς δίνουν τους ελάχιστους δρόµους χωρίς ενδιάµεσους κόµβους Η Επαγωγική Υπόθεση (H) n Για δοθέν n, το i δίνει το µήκος του ελάχιστου δρόµου από i σε µε ενδιάµεσους µόνο τους κόµβους ως n Ο ελάχιστος δρόµος από i σε µε ενδιάµεσους µόνο τους κόµβους ως (n+) είτε περιλαµβάνει τον κόµβο (n+) ή δεν τον περιέχει Αν ναι, το µήκος του δρόµου είναι ο 2ος όρος του επαναληπτικού βήµατος Αν όχι, το µήκος του δρόµου είναι ο ος όρος του επαναληπτικού βήµατος

33 Πολυπλοκότητα Αλγόριθµου loyd- -33 Warshall N επαναληπτικά βήµατα Ένα για κάθε δυνατό σύνολο ενδιάµεσων κόµβων Οι υπολογισµοί σε κάθε επαναληπτικό βήµα περιλαµβάνουν συγκρίσεις για κάθε ζευγάρι κόµβων Υπάρχουν N(N-) ζευγάρια κόµβων Το συνολικό κόστος είναι της τάξης O(N 3 ) Ισοδύναµο µε N εφαρµογές του αλγόριθµου ikstra Κάθε εφαρµογή του ikstra δίνει ελάχιστους δρόµους από όλους τους κόµβους προς έναν προορισµό

34 Ελάχιστοι ρόµοι οθέντων -34 Προελεύσεων Η διαφορά είναι τώρα ότι ενδιαφερόµαστε να βρούµε δρόµους που ξεκινούν από δοθέντα κόµβο προέλευσης προς όλους τους άλλους κόµβους αντί από όλους τους κόµβους προέλευσης προς δοθέντα κόµβο προορισµού Η βασική προσέγγιση παραµένει η ίδια ευτερεύουσες διαφορές στους ορισµούς των αρχικών συνθηκών και των επαναληπτικών βηµάτων Θα εξετάσουµε και τον αλγόριθµο ellman-ord και τον αλγόριθµο ikstra µε αυτή την εστίαση στον κόµβο προέλευσης

35 -35 Αλγόριθµος ellman-ord µε οθείσα Προέλευση Η προέλευση είναι ο κόµβος Έναρξη h = 0, h i0 = για i Ορίζουµε h+ i = min{ + }, i Την απόσταση από τον προς τον i µέσω το πολύ h+ πλευρών Όπως πριν, οι επαναλήψεις τερµατίζουν όταν επιτυγχάνεται σύγκλιση h d i = 3, = 3 2 = 3, 2 = 3, 2 = 4, 2 G = 7, 2 = 7 3 = 3, 3 = 3, 3 = 4, 3 G = 5, 3 = 7, 3 = 5 4 = 3, 4 = 3, 4 = 4, 4 G = 5, 4 = 6, 4 = 5 3 G 4

36 -36 Έναρξη Αλγόριθµος ikstra µε οθείσα Προέλευση L = {} και = G - L (ο κόµβος είναι η προέλευση) = 0 και i = d για Επαναληπτικά βήµατα Βρείτε τον επόµενο πλησιέστερο κόµβο στο Βρείτε τον κόµβο i L τέτοιο ώστε i = min L Τροποποιήστε το και L: L = L {i} και = - {i} 2 Τροποποιήστε τα µήκη των δρόµων που αποµένουν στο : = min[, i + d i ], G 3 {}; =3, =3 {,}; =3; =3, G =7 {,,}; =3, =3; =4, G =7, =7 {,,,}; =3, =3, =4; G =5, =7, =5 {,,,,}; =3, =3, =4, =5; G =5, =6 {,,,,,G}; =3, =3, =4, =5, G =5; =6 {,,,,,G,}; =3, =3, =4, =5, G =5, =6 3

37 -37 έντρα Ελάχιστων ρόµων Για την προσθετική συνάρτηση απόστασης έχουµε υποθέσει: Αν ο δρόµος p=i,i 2,...,i h, µε i=i and = i h είναι ένας ελάχιστος δρόµος από i σε, τότε για κάθε k, 0 k h-, ο υπο-δρόµος s=i,i 2,...,i k είναι ένας ελάχιστος δρόµος από i σε i k Αν αυτό δεν ίσχυε, θα µπορούσαµε να βελτιώναµε τον ελάχιστο δρόµο µεταξύ i και διαλέγοντας τον ελάχιστο δυνατό δρόµο που υπάρχει µεταξύ i και i k Έστω διάνυσµα των αποστάσεων από τον κόµβο I. Τότε, ένας κατευθυνόµενος δρόµος p από i σε είναι ελάχιστος δρόµος αν και µόνον αν k = l + d kl για όλες τις πλευρές (k,l) p Μπορούµε να κατασκευάσουµε ένα δέντρο ελάχιστου δρόµου από τον κόµβο i προς όλους τους άλλους κόµβους

38 -38 έντρο Ελάχιστου ρόµου και Ελάχιστο Εκτεταµένο έντρο Τα δυο δέντρα ΕΝ είναι τα ίδια Ελάχιστο Εκτεταµένο έντρο έντρο Ελάχιστου ρόµου G Συνολικό Βάρος: 0 = G Συνολικό Βάρος: = 5 3 4

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths

Διαβάστε περισσότερα

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1 76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε Οµοφωνία σε σύστηµα µε αϖοτυχίες κατάρρευσης διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 232: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα. Κατ οίκον Εργασία 2A Σκελετοί Λύσεων

ΕΠΛ 232: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα. Κατ οίκον Εργασία 2A Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ 232: λγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Κατ οίκον Εργασία 2A Σκελετοί Λύσεων 1. ια τη σαφή διατύπωση του αλγόριθµου απαιτούνται τα εξής: ιατήρηση της ροής που κτίζεται από τον αλγόριθµο. ιατήρηση της περίσσειας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

7.9 ροµολόγηση. Ερωτήσεις

7.9 ροµολόγηση. Ερωτήσεις 7.9 ροµολόγηση Ερωτήσεις 1. Να δώσετε τον ορισµό της δροµολόγησης; 2. Από τι εξαρτάται η χρονική στιγµή στην οποία λαµβάνονται οι αποφάσεις δροµολόγησης; Να αναφέρετε ποια είναι αυτή στην περίπτωση των

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς έντρα 1 / 27 έντρα έντρο είναι απλό συνδεδεµένο µη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 6 Μαΐου 2015 1 / 42 Εύρεση Ελάχιστου Μονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9 Απριλίου 2009 1 / 0 Παραδείγµατα γράφων

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 7 ο έντρο Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης έντρο Ορισµός Υλοποίηση µε Πίνακα Υλοποίηση µε είκτες υαδικό έντρο

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Εργασία στα ίκτυα Υπολογιστών

ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Εργασία στα ίκτυα Υπολογιστών ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Εργασία στα ίκτυα Υπολογιστών ηµήτριος Καπετανάκης Αλέξανδρος Μαντζούκας Θέµατα 1. Εισαγωγή Κύρια ζητήµατα στην δροµολόγηση Επισκόπηση της δροµολόγησης σε WAN Οι µέθοδοι Πληµµύρας

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε Οµοφωνία σε σύγχρονο σύστηµα µε αϖοτυχίες κατάρρευσης διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένος Υπολογισµός 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα. Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ΙΑ ΙΚΤΥΑΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ (Kεφ. 16) ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ ΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Αυτόνοµα Συστήµατα Πρωτόκολλο Συνοριακών Πυλών OSPF ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ (ISA) Κίνηση ιαδικτύου Προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Δρομολόγησης. Γ. Κορμέντζας

Αλγόριθμοι Δρομολόγησης. Γ. Κορμέντζας Αλγόριθμοι Δρομολόγησης Γ. Κορμέντζας Δρομολόγηση Περιεχόμενα Διαδικασίες δρομολόγησης Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Σχεδιασμός γραμμών πολλαπλών σημείων Ελάχιστα δέντρα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find)

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη (Union-Find) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης Έστω ότι S 1,, S k είναι ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα?

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα? Κόκκινα-Μαύρα ένδρα (Red-Black Trees) Ένα κόκκινο-µαύρο δένδρο είναι ένα δυαδικό δένδρο αναζήτησης στο οποίο οι κόµβοι µπορούν να χαρακτηρίζονται από ένα εκ των δύο χρωµάτων: µαύρο-κόκκινο. Το χρώµα της

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs) Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας. Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι; Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 3 Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Dijkstra Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 3 Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Μέχρι στιγμής εξετάσθηκαν μέθοδοι ταξινόμησης µε πολυπλοκότητα της τάξης Θ ) ή Θlog ). Τι εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα