7.5. KOORDINATNI SISTEMI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7.5. KOORDINATNI SISTEMI"

Transcript

1 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O proizvoljno odabrana tačka iz E, (b) (i, j, k) je desni trijedar ortogonalnih ortova koji definišu orjentisane ose (, y, z), (c) tri orjentisane koordinatne ravni y, yz i z z r T(,y,z) y P(,y,0) sl3 Tačku T E obilježavamo sa T(r) ili T(,y,z) Pritom poistovječujemo tri različita skupa: skup tačaka E, skup radijus vektora V O (E) i skup R 3 uređenih trojki realnih brojeva, jer postoji očita bijekcija između bilo kaja dva od tih skupova Zaista, svakoj tački T E odgovara samo jedan radijus vektor te tačke r = OT ili smo jedna uređena trojka (,y,z) R 3 koordinata tog vektora i obrnuto Koordinatnim ravnima je prostor E podijeljen na osam oktanata, koje razlikujemo prema predznacima koordinata tačke T u pojedinim oktantima: y z y z I V II VI III VII IV VIII Primjedba Svaku tačku P(,y,0) koje leži koordinatnoj ravni y mozemo posmatrati kao tačku dvodimenzionog prostora te ravni u koordinatnim sistemom (O; i, j) i obilježiti je sa sa P(,y) ne zapisujući treću koordinatu z koja je jednaka nuli za sve tačke koordinatne ravni y Tu činjenicu ćemo koristiti kod raznih zadataka za tačke ravni, kad već imamo rješenje za tačke prostora Naprimjer: Za vektor a = (a, a ) u ravni y (vidi sl3) jedinični vektor je: a a a 0 = (a, a ), gdje je cos α =, sin α = ; a a a Skalarni proizvod dvavektora: ab = (a, a )(b, b ) = a b + a b ; a b= ab ab k 3 Vekttorski proizvod istih vektora: ( ) Sad ćemo, služeći se kordinatnim sistemom yz u euklidskom prostoru E (i u ravni y) riješiti neke zadatke Rastojanje dvije tačke Neka su date dvije tačke T (,y,z ) i T (,y,z ) Njihova udaljenost je jednaka

2 , tj dt,t :=TT = + y y + z z dužini vektora TT = ( -,y -y,z -z ) ( ) ( ) ( ) ( ) () y T T a A A 0 α sinα O cosα a sl3 Formulom () je određena metrika u prostoru E Ako su tačke T i T u ravni y, tada je z = z = 0, te je formula za rasojanje dt,t ( ):=TT = ( ) + ( y y ) () Podjela duži u datoj razmjeri Podijeliti duž AB u datom omjeru λ : znači odrediti tačku T, na toj duži, tako da vrijedi AT : TB = λ: Odgovorićemo na sljedeće pitanje: Ako su zadane koordinate tačaka A i B, koje su koordinate tačke T? A Jednačina () daje sljedeću jednakost AT = λtb Napisana s pomoću radijusvektora, ona glasi r T r A = λ (r B - r T ) Sređivanjem, odavde dobijamo izraz za radijusvektor tačke T: T ra + λrb rt = (4) +λ Zato su koordinate tražene tačke O A + λb ya + λyb za + λzb T =, y T =, T = +λ +λ +λ sl4 B Središte duži Središte S duži AB dijeli tu duž u omjeru : Zato je λ = i njegove su koordinate A B ya yb za z B S + + +,,, ili, u vektorskom zapisu, OS = ( OA + OB ) (3)

3 Konveksna kombinacija Konveksna kombinacija dvaju vektora je vektor oblika r = α r + β r (5) pri čemu za skalare vrijedi α 0, β 0, α + β = (6) Ako su r i r predstavljeni svojim radijusvektorima OA i OB, tada konveksnoj kombinaciji odgovara radijusvektor tačke T koja se nalazi na duži AB Zaista, jednačina (4) može se napisati u obliku (5) gdje smo stavili α=, +λ β = +λ Pokažimo da slična tvrdnja vrijedi i za tri tačke Neka su A, B, C bilo koje tri tačke u prostoru Neka je T tačka unutar trougla ABC Neka pravac CT siječe stranicu AB u tački P Tad tačka P ima λ radijusvektor OP = OA + OB za neku vrijednost koeficijenta λ > 0 Sad se radijusvektor tačke T +λ +λ može napisati u obliku Koeficijenti αβγ,, su pozitivni i zadovoljavaju uslov μ OT= OC+ OP +μ +μ μ μ λ = OA+ OB+ OC +μ +λ +μ +λ +μ =αoa+βob+γoc μ α+β + γ = + + = ( +μ )( + λ ) ( +μ )( + λ ) +μ Dakle, radijusvektor svake tačke unutar trougla konveksna je kombinacija radijusvektora njegovih vrhova Primjer Težište trougla je ona točka T za koju vrijedi μλ r= ( ra + rb+ r C) 3 Zaista, polovište P stranice AB ima radijusvektor OP = ( OA + OB) Težište je točka na težišnici CP koja je dijeli u omjeru : ; ona ima radijusvektor OC+ OP Uvrštavanjem dobijemo gornju formulu 3 3 Primjer Analogna tvrdnja gornjoj vrijedi i za tetraedar Neka su A,B,C,D četiri nekomplanarne točke Tad se radijusvektor svake točke unutar tetraedra ABCD može napisati u obliku konveksne kombinacije OT=αOA+βOB+γOC+δOD pri čemu za skalarne množitelje α,β,γ vrijedi da su nenegativni i da im je zbir jednak jedinici 75 Drugi koordinatni sistemi Pored Dekartovog u upotrebi su i drugi koordinatni sistemi u ravni i prostoru Pomenućemo tri takva sistema (jedan u ravni i dva u prostoru) Polarni koordinatni sistem u ravni Kod polarnog koordinatnog sistema kroz jednu fiksnu tačku O (pol ili ishodište) povučena je polarna poluosa O (sl6), tada je proizvoljna tačke T u ravni određen parom polarnih koordinata (r, θ): polarnim potegom r = d(o,t) 0 i uglom θ koji polarni poteg OT zaklapa sa T polarnom osom mjeren u pozitivnom smjeru, tj u smjeru obrnutom od r kazaljke na satu Ako su date polarne koordinate tačke T(r, θ) onda se Dekartove koordinate računaju pomoću jednakosti θ ( r [ 0, ) ; θ [ 0,π) ) = rcos θ, y= rsin θ; O vekor položaja tačket može se predstaviti u obliku sl 6 r= ircosθ + jrsinθ,

4 polarne koordinate računaju se pomoću Dekartovih koordinate na slijedeći način y y (,y R) r= +y, tgθ= (sinθ= ); r Geometrijsko mjesto tačaka (tj skup tačaka) u ravni za koje je jedna od polarnih koordinata r ili θ konstantna, a druga promjenljiva, naziva se koordinatna linija (kod Dekartovih koordinata koordinatne linije su familija pravih paralelnih osi kad je y konstanto, ili za konstantno familija pravih paralelnih y osi) Tako za r = const kordinatne linije su familija koncentrične kružnice sa centrom u ishodištu; za θ= const kordinatne linije su familija polupravih koje polaze iz ishodišta zatvarajući ugao θ sa polarnom osom Tačka T(r 0, θ 0 ) dobije se kao presjek odgovarajućih koordinatnih linija: r = r 0 i θ = θ 0 Primjeri U polarnim koordinatama r-θ jednačina rcos (θ - α) = b, (α, b konstante) predstavlja pravu liniju Jednačina r = θ definiše u polarnom sistemu r-θ takozvanu Arhimedovu spiralu 3 Jednačina r = a (a > 0) u polarnom sistemu r-θ predstavlja krug čiji je centar u ishodištu, a poluprečnik je a 4 r = a( + cos θ), gdje je a > 0, definiše u polarnom sistemu r- θ krivu liniju koja se naziva kardoida z r T z Polarno-cilindrični koordinatni sistem Neka je Π ravan, O fiksirana tačka i p polarna osa u ravni Π Konstruišimo kroz tačku O osu z ortogonalnu na ravan Π (sl7) Normalna projekcija T' tačke T prostora E na ravan Π određena je polarnim koordinatama r i θ, a tačka T u prostoru E potpuno je određena trojkom (r, θ,z) polarno-cilindričnih koordinate tačke T u prostoru, tj polarnim potegom r, polarnim uglom θ i aplikatom z Primjetimo da tačke prostora za koje su: O θ y 0 Koordinate θ i z promjenljive, a koordinata r konstantna leže na obrtnoj cilindričnoj površi čija je osa y T' obrtanja osa Oz 0 Koordinate r i z promjenljive, a koordinata θ Π konstantna leže na polurravni koja prolazi kroz osu Oz 3 0 Koordinate r i θ promjenljive, a koordinata z konstantna, leže na ravni koja je paralelna sa ravni Π sl7 Presjek pomenute cilindrične površi i pomenutih dviju ravni je tačka T u prostoru, a te površi su koordinantne površi tačke T Presjekom dviju koordinantnih površi određena je koordinatna linija čija svaka tačka ima jednu promjenljivu i dvije konstantne koordinate Uočimo Dekartov pravougli koordinatni sistem u prostoru čiji je koordinatni početak O, osa je polarna osa p, osa z treća osa, a osa y je samim tim određena (sl7) tako da koordinatni sistem yz bude određene orjentacije Ako su,y, z pravougle Dekartove koordinate tačke T, tada je sa (sl7) jasno da je = rcos θ, y = rsin θ, z=z () Relacije () predstavljaju vezu između Dekartovih pravouglih koordinata tačke u prostoru i njenih polarnocilindričnih koordinata

5 sl8 Sferni koordinatui sistem Posmatrajmo ponovo fiksiranu ravan Π i u njoj pol O i polarnu osu p Konstruišimo u tački O osu Oz ortogonalnu na Π (sl8) Kroz proizvoljnu tačku M u prostoru E i osu z postavimo takozvanu meridijansku ravan (koja je jedinstvena i u njoj za pozitivan smjer rotacije uzmimo onaj za koji je: (OM',Oz) = π Uvedimo notaciju: ϕ = (OM',OM) gdje je: -π/ ϕ π/; OM i OM' obilježimo redom sa ρ i r T a d a je jasno, da je položaj tačke M u prostoru potpuno određen brojevima ρ, ϕ i θ, koje zovemo sfernim koordinatama tačke M u prostoru Tačke prostora E za koje su: Koordinate ϕ i θ promjenljive a ρ konstanta, leže na sfernoj površi čiji je centar O i oluprečnika ρ Koordinate ρ i θ promjenljive a ϕ konstanta, leže na obrtnoj površi čiji je vrh u tački O a osa obrtanja je osa Oz 3 Koordinate ϕ i ρ promjenljive a θ konstantna, leže na ravni koj a prolazi kroz osu z Svojim zajedničkim presjekom sferna površ, konusna površ i pomenuta ravan određuju položaj tačke M u prostoru Ove površi zovu se koordinatne površi tačke M Presjekom dviju koordinatnih površi sfernog koordinatnog sistema određena je koordinantna linija tog sistema, čija svaka tačka ima dvije sferne koordinate stalne a treća je promjenljiva Uočimo sada Dekartov pravougli koordinatni sistem u prostoru čije je ishodište tačka O, osa je polarna osa p, osa z treća osa, a osa y je samim tim određena (s9) Ako su,y,z Dekartove pravougle koordinate tačke M u prostoru, tada, kao što se sa slike vidi, imamo: = r cosθ; y = r sinθ, odnosno = ρcosϕ cosθ, y = ρcosϕ sinθ, z = ρsinϕ () Posljednje relacije predstavljaju vezu između Dekartovih pravouglih koordi nata tačke u prostoru i njenih sfernih koordinata Često se, umjesto koordinate ϕ, kao sferna koordinata uzima ugao ψ = (Oz,OM) koji se mjeri u suprotnom smjeru od ϕ Tada relacija () obzirom da je (vidi sl9) postaju ϕ + ψ = π/, = ρsinψ cosθ, y = ρsinψ sinθ, z = ρcosψ

6 JEDNAČINA KRIVE LINIJE U RAVNI Posmatrajmo jednačinu F(,y) = 0, (9) gdje su i y realne promjenljive Uređeni par (a,b) R je rješenje jednačine (9) akko je F(a,b) 0 Skup svih rješenja jednačine (9) označimo sa K := { (,y) R F(,y) = 0 } Svakom rješenju (,y) K odgovara jedna i samo jedna tačka T(,y) u ravni y Ukupnost svih takvih tačaka T nazivamo grafikom skup K Pritom poistovječujemo skup K i njegov grafik, kao što smo poistovjetili uređeni par (,y) i tačku T(,y) u ravni y Tako govorimo o krivoj K u ravni y kao o grafiku jednačine (9), a jednačinu (9) nazivamo jednačinom krive K Dva su osnovna zadatka analitičke geometrije u ravni (a kasnije ćemo slično uraditi u prostoru): a za data kriva K (u ravni y) odrediti njenu jednačinu; b za datu jednačinu (9) odrediti pripadnu krivu K, tj njen grafik Primjedba Datu jednačina (9) može da zadovoljava samo jedan par, nekoliko parova ili beskonačan skup parova ili da ne postoji nijedan takav par Naprimjer, jednačinu + y = 0 zadovoljava samo jedan par (,y) = (0,0); jednačinu + y + = 0 zadovoljava svaki par (,y) = (t, - t), gdje je t proizvoljan broj; skup rješenja jednačina + y + = 0 ili sin( + y) + 3 = 0 je prazan, tj nijedan par ne zadovoljava te jednačin Primjeri ) Neka je u ravni y data kružnica s centrom u tačka S(, - ) poluprečnika jednakim 3 Odrediti jednačinu te kružnice Neka je T(,y) proizvoljna tačka kružnice, tada je d(s,t) = 3 Prema formuli (8) imamo ( ) ( ) + y + = 3, odnosno ( - ) + (y + ) = 9, što predstavlja jednačinu kružnice 3) Leže li tačke A(,) i B(-,- ) na krivoj (čija je jednačina): + 3y + 5 = 0? Zamjenimo koordinate tačke A u datu jednačinu, tj stavimo u datu jednačinu (,y) = (,), izlazi = 3 0 Dakle, tačka A ne leži na datoj krivoj Zamjenimo koordinate tačke B: (- ) + 3 (- ) + 5 = = 0, tj tačka B leži na datoj krivoj Parametarskim jednačininama krive K u ravni nazivamo jednačine: ( t A R) = ϕ (t), y = ψ(t), (0) gdje su i y koordinate proizvoljne tačke T(,y) na krivoj K = { (,y) R = ϕ (t),y = ψ (t), t A } Promjenljivu t A nazivamo parametrom Pri promjeni parametra t A tačka T(,y) se kreče po krivoj K Ovakva interpretacija parametarski zadane kriva K ima razne primjene, tako u mehanici predstavlja putanju (trajektoriju) materijalne tačke T (,y) gdje je parametar t vrijeme Primjer 4 Jednačine: = a cost, y = b sint, t [- π, π], () predstavlja (za date pozitivne vrijednosti a i b) parametarske jednačine elipse sa centrom u ishodištu i poluosama a i b (sl 9); parametar t je centralni ugao AOB

7 y a B b T O A sl 9 Da se uvjerimo da parametarske jednačine (6), predstavljaju elipsu, dovoljno je svesti ih na oblik F(,y) = 0 Zaista, (6) je ikvivalentno sa y y + =cos t+sin t=, tj + = a b a b Posljednja jednačina za [- a, a], šao što nam je poznato odranije (čime ćemo se pozabaviti u sljedećem poglavlju), predstavlja jednačine elipse sa centrom u ishodištu i poluosama a i b Primjedba Da od parametarskih jednačina (0) dođemo do jednačine (9) potrebno je eleminisati parametar t iz sistema (0) i odrediti oblast vrijednosti za i y Primjer 5 Odrediti koja je kriva određena parametarskim jednačinama: = cos t, y = a cos t Očito je da, te eliminacijom parametra t dobijemo dio parabole y = a, za (Nacrtati grafik) 77 JEDNAČINA (-e) PRAVE U RAVNI Prava u ravni može se zadati na razne načine, tj jednačina prave ima više ekvivalentnih oblika 77 Kanonska i parametarska jednačina prave Neka su u ravni y dati: tačka T (,y ) (ili T (r )), gdje je r vektor položaja tačke T, sl) i ne-nula vektor a = (a, a ) Time je potpuno određena jedinstvena prava p, koja prolazi kroz tačku T i paralelna je sa vektorem a Tu pravu označićemo sa p = p (T,a); vektor a zvaćemo vektor prave p Jednačinu prave p odredićemo iz uslova da su za proizvoljnu tačku T(,y) na pravoj p vektori T T= r r = -,y-y i a= a,a kolinearni, što je ispunjeno akko vrijedi, bilo koja od ekvivalentnih ( ) ( ) jednačina r= r + ta; () - y-y =, ( a 0 i a 0), a a (3) = +a t, y=y +a t, t R (4) Jednačinu(-e) (), (3), (4) nazivamo vektorska jednačina; kanonska (ili simetrična) jednačina; parametarske jednačine prave p(t,a) respektivno Primjedba Ako T(,y) p = p (T, a), tada vektori TT= r-r= ( -,y-y ) i a= ( a,a ) nijedna od jednačina (), (3), (4) nije ispunjena nisu kolinearni, pa

8 - 9 - y Primjer 6 Odredi vektorsku jednačinu, kanonsku (ili simetričnu) jednačinu, parametarske jednačine prave p(t,a), ako je T (- 5, ) i p vektor prave a paralelan vektoru koji sadrži tačke T (,- ) i T 3 (3,) p Dakle, vektor prave a = (, 3) T Prema jednačini(-ama) (), (3), (4) nalazimomo jednačine prave p (T,a), respektivno: T vektorska jednačina r = (- 5, ) + t (, 3); kanonska jednačina + 5 y = ; 3 parametarske jednačine = t, y = + 3t, t R O Primjedba Ako je a = 0 i a 0, tada je vektor a prave p, a time i prava p, paralelna osi y (tj ortogonalna na osu ) Tada jednačina sl prave p (T,a) ima oblik = (y = t R ) (5) Ako je a 0 i a = 0, tada je vektor a prave p, a time i prava p, paralelna osi (tj ortogonalna na osu y) Tada jednačina prave p (T,a) ima oblik y = y ( = t R ) (6) Primjer 7 Neka su A(-, - ), B(, - ) i C(,3) tjemena trougla Odredi jednačinu prave p koja prolazi kroz tačku C paralelnu strani AB Sad je vektor prave je a = (3,0), tj ordinata vektora prave je a = 0 Zato, prema (6), nalazimo da je jednačina prave y = 3 Primjer 8 Povući pravu čije su parametarske jednačine: = 3 t, y = - + 5t Da bi povukli pravu dovoljno je odrediti dvije tačke na pravoj Za t = 0, nalazimo tačku A(3, - ) Za t = dobije se druga tačka na pravoj B(, 3) Nacrtati grafik te prave u ravni y, tj povući prava AB koja prolazi kroz tačke A i B 77 Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku i normalna je na dati vektor Neka prava p prolazi kroz neku tačku T (,y ) i normalna je na vektor n = (A, B) (0, 0) Ne-nula vektor n nazivamo normala prave p Označimo tu prvu sa p = p (T, n), Odredimo jednačinu prave p = p (T, n) Očito postoji samo jedna takva prava (sl ) Jednačinu prave p odredićemo iz uslova da su za proizvoljnu tačku T(,y) na pravoj p vektori y T T = r r = -, y-y i n = A, B ortogonalni, što je O n T sl T p ( ) ( ) = 0, ili ispunjeno akko vrijedi uslov ortogonalnosti n TT akko je zadovoljena bilo koja od ekvivalentnih jednačina: nr ( r ) = 0, (7) A( ) + B(y y ) = 0 (8) Jednačinu (7), tj (8) nazivamo vektorska, tj skalarna jednačina prave p = p (T, n) respektivno Ako tačka T(,y), tj T(r), gdje je r vektor položaja tačke T, ne leži na pravo p = p (T, n), tada vektori TT = r r = ( -, y-y ) i n = ( A, B) nisu ortogonalni, te nijedna od jednačina (7) ili (8) nije ispunjena, pošto n TT 0 Primjer 9 Sastavimo jednačinu prave p = p (T, n), tj prave koja prolazi kroz tačku T (-, 3) i normalna je

9 na vektor n = (, - 3) Iz uslov zadatka izlazi: = -, y = 3, A =, B = - 3, te je, prema (8), jednačina prave ( + ) 3(y - 3) = 0 3y + = 0 Primjer 0 Dat je trougao ABC sa vrhovima A(4, - 3), B(-, 6) i C(5, 4) Odrediti jednačinu visine CD AB trougla ABC Prava visine CD prolazi kroz tačku C(5, 4) Za vektor normale na pravu CD možemo uzeti vektor n = AB = ( 6, 9) Prema (8), za normalu CD izlazi jednačina 6( - 5) 9(y - 4) = 0, ili 3y + = Primjedba Ako koeficijenti A i B uzimaju različite vrijednosti, tada za svki par (A, B) (0,0), jednačina (8) predstavlja jednačinu neke prave koja prolazi kroz tačku T (,y ); ukupnost svih tih pravih nazivamo pramen pravih sa centrom u tački T (,y ) Primjer Među pravim A( + 3) + B(y - 4) = 0 odrediti unu, koja je ortogonalna na vektor n = - 5i + 3j Dakle, treba odrediti jednačinu prave p = p (T, n), ako je T (- 3, 4) i normalna n = (- 5, 3) Prema (8) izlazi jednačina: 5 3y + 7 = Opšti oblik jednačine prave Pokazali smo da je jednačina prave p = p (T, n) data sa A( ) + B(y y ) = 0, (8) gdje je T (,y ) p i p n Kako n nije nula-vektor, to je bar jedan od brojeva A ili B različit od nule, što znači da je (8) algebarska jednačina prvog stepena Prema tome, svaka prava u rvni y je algebarska jednačina -vog stepena dvije promjenljive i y Primjedba Neka je P n (,y) polinom n-tog stepena dvije promjenljive i y Tada krivu čija je jednačina: P n (,y) = 0, nazivmo krivom n-tog reda U tom smislu kaže se: prava je kriva prvog reda, ili kružnica je kriva drugog reda Sada ćemo dokazati da vrijedi i obratno: svaka jednačina prvog stepena A + By + C = 0 (9) u ravni y predstavlja jednačina prave, koja je jedinstvena Kako je (9) jednačina prvog stepena, tada je bar jedan od brojeva A ili B različit od nule, tj A + B 0 Predpostavimo da je A 0 Tada jednačina (9) možemo zapisati u ekvivalentnom obliku A( ( C A )) + B(y 0) = 0 (0) Jednačina (0) ima oblik jednačine (8), što predstavlja jedistvenu pravu, koja prolazi kroz tačku ( C A, 0) i normalna je na vektoru n = (A, B) Stoga i jednačina (9), koja je ekvivalentna jednačini (0), određuje tu istu pravu Jednačinu (9) nazivamo opštom jednačinom prave U opštoj jednačini prave A, B i C su bilo kakvi brojevi, isključujuči da su i A i B jednaki nuli Razmotrimo razne slučajeve jednačine (9), koji se dobije kad su neki od njenih koeficijenata jednaki nuli Neka je A = 0, tada iz (9) slijedi By + C = 0, tj y = - C B Neka je b = - C B, izlazi y = b () Jednačina () određuje pravu, čije sve tačke imaju istu ordinatu jednaku b Dakle, prava je paralelna osi Nacrtati grafik te prave Ako je i C = 0, tada jednačina (), tj jednačina (9), ima oblik

10 y = 0 () Jednačina () određuje pravu, čije sve tačke imaju istu ordinatu jednaku nuli Dakle, prava () je osa Neka je B = 0, tada iz (9) slijedi A + C = 0, tj = - C A Ako je a = - C B, dobije se = a (3) Jednačina (3) određuje pravu, čije sve tačke imaju apscisu jednaku a Dakle, prava (3) je paralelna osi y Nacrtati grafik te prave Ako je i C = 0, tada jednačina (3), tj jednačina (9), ima oblik = 0 (4) Jednačina (4) određuje pravu, čije sve tačke imaju apscisu jednaku nuli Dakle, prava (4) je ordinatna osa 3 Neka je C = 0 i B 0, tada iz (9) slijedi A + By = 0, tj y = - (A B) Stavimo li k = - A B, (5) dobijemo y = k (6) Jednačina (6) ima za rješenje par (,y) = (0,0), tj prava prolazi kroz ishodište Uzmimo proizvoljnu tačku T (,y ) ( O(0,0), tj 0; nacrtajte grafik prave) Tada je y = k, odakle je k = y Sa grafika prave vidimo da je y = tg α, gdje je α ugao što ga prava zaklapa sa pozitivnom poluosom Dakle, k = tg α (7) Broj tg α = k nazivamo koeficijent nagiba prave 4 Neka je B 0, tada jednačinu (9) svodimo na ekvivalentni oblik: By = - A C, tj y = - (A B) - C B Stavimo li k = - A B, b = - C B, dobijemo y = k + b (8) Uporedimo li jednačine (8) i (6), vidimo, da se ordinate tih pravih, za istu vrijednost razlikuju za isti broj b, tj te prave su paralelne To znači da one imaju isti ugao nagiba α sa pozitivnom poluosom, tj za obe prave je isti koeficijent nagiba tg α = k Očigledno, ako je = 0, tada je y = b, tj prava, određena jednačinom (8), presjeca osu u tački (0, b) Broj b nazivamo ordinatni odsječak prave () Neka je ugao nagiba prave α (0, π ) (π, π), tada je (nacrtati grafik te prave): k = tg α = (y y ) ( ), (9) gdje su T (,y ) i T (,y ) dvije tačke na pravoj i Za =, prava koja prolazi kroz tačke T (,y ) T (,y ), paralena je osi y, te ugao nagiba nije definisan Primjer Naći koeficijent nagiba prave koja prolazi tačkama A(-, 3) i B(5, - ) Prema formuli (9), dobijemo 3 4 k = = 5 7 ( ) Primjer Naći koeficijent nagiba i ordinatni presjek prave 3 + y 6 = 0 Prema odgovarajučoj formuli je k = - A B = - 3, b = - C B = - (- 6 ) = 3 Koeficijent nagiba i ordinatni presjek prave možemo naći i na drugi način Transformišimo jednačinu prave u oblik y = k + b, tj riješimo jednačinu prave po y:

11 y = ili y = (- 3 ) + 3 Uporedimo li dobijenu jednačinu y = (-3 )+3 sa jednačinom y = k+b, dobijemo ponovo k = -3 i b = 3 Primjer 3 Povući pravu 3 + 4y = 0 Da bi povukli pravu dovoljno je odrediti njene dvije (razne) tačke na pravoj Moguče je odrediti otsječke što ih prave otsjeca na osama i y, ako ti otsjeci postoje, tj ako prava ne prolazi kroz ishodište Stavimo li u jednačinu prave y = 0, slijedi: 3 = 0, tj = 4 Dakle, tačka presjeka date prave sa osom je A(4, 0) Stavimo li u jednačinu prave = 0, izlazi: y = 3, tj tačka presjeka date prave sa y osom je B(0, 3) Povuci pravu koja prolazi kroz tačke A i B Primjer 4 Sastavi jednačinu prave, koja ima nagib prema osi α = π 3 i ordinatni otsječak jednak 4 Prema formuli (7), izlazi k = tg α = tg (π 3) = 3 Sem toga je b = 4 Dakle, prema formuli (8), jednačina prave je y= 3+ 4 ili 3 y + 4= Još neki oblici jednačine prave Postoje još neki oblici jednačine prave, koje nismo dosada posmatrali Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku s datim koeficijentom nagiba Označimo sa p = p (T, k) pravu koja prolazi kroz datu tačku T (,y ) s datim koeficijentom nagiba k Tada su ispunjene jednačine y = k + b, y = k + b, gdje je prva jednačina predstavlja jednačinu familije paralelnih pravih sa datim koeficijentom nagiba k i promjenljivog ordinatnog otsječka b, dok druga jednačina dobijemo iz uslova da jedna od pravih te familije prolazi kroz datu tačku T (,y ) Oduzimanjem tih jednačina dobijemo y y = k( ), (30) što je jednačina prvog stepena, tj tražena jednačina prave p = p (T, k), koja prolazi kroz datu tačku T (,y ) s datim koeficijentom nagiba k Primjer 5 Naći jednačinu prave, koja prolazi kroz tačku T (- 3, ) s uglom nagiba prema osi α = 3π 4 Koeficijent nagiba je Prema tome, jednačina prave je k = tg α = tg (3π 4) = - y = - ( + 3) ili + y + = 0 Za promjenljivo k i datu tačku T jednačina (30) predstavlja jednačinu familije pravih, koje prolaze kroz datu tačku T, izuzimajući pravu paralelnu y osi, pošto k = tg (π ) nema smisla Familije pravih, koje prolaze kroz datu tačku T, nazivamo pramenom pravih s centrom u tački T Primjer 6 Iz pramena pravih, određenog jednačinom y + = k ( - 5), odrediti onu, koja prolazi kroz tačku A(, 6) Zamjenom koordinata tačke A u jednačinu pramena, dobije se 6 + = k ( - 5), tj k = - Dakle, tražena jednačina je y + = - ( - 5) ili + y 8 = 0

12 Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke Označimo sa p = p (T, T ) pravu koja prolazi kroz dvije date tačku T (,y ) i T (,y ) Neka je T(,y) proizvoljna tačka na pravoj p = p (T, T ), tada su vektori TT i TT kolinearni, pošto za zajednički nosač imaju pravu p = p (T, T ) Za i y y, na osnovu kolinearnosi vektora TT i TT, izlazi y y = (3) y y Jednačina (3) predstavlja (simetričnu ili kanonsku) jednačinu prave p = p (T, T ) Ako je =, tada je prave p = p (T, T ) paralelna y osi, te je njena jednačina = (3) Ako je y = y, tada je prave p = p (T, T ) paralelna osi, te je njena jednačina y = y (33) Primjer 7 Dati su vrhovi A(,4), B(6,3) i C(4,- 3) trougla ABC Odrediti jednačinu težišnice AD Nacrtati odgovarajuću sliku Tačka D je sredina duži BC, tako da je B + C 6+ 4 yb + y 3+ C ( 3) D = = = 5, y D = = = 0 Treba sastaviti jednačinu prave p = p(a, D), tj ostaje da u jednačinu (3) umjesto i y stavimo koordinate tačke A, a umjesto i y koordinate tačke D Izlazi y 4 = ili 4 + 3y 0 = Primjer 8 Odrediti jednačinu prave prave p = p (T, T ), ako je T (-, 3) i T (, 3) Kako je y = y, to je, prema formuli (33), jednačina prave prave p = p (T, T ) y = 3 3 Segmentni oblik jednačine prave Posmatrajmo pravu p = p(a, B), gdje je A(a, 0) (a 0) tačka na osi i B(0, b) (b 0) tačka na y osi Tada kažemo da prava p otsjeca na osama i y segmente a i b respektivno Zamjenimo u (3) i y koordinatama tačke A, te i y koordinatama tačke B, dobijemo a y 0 =, 0 a b 0 ili y + = (34) a b Jednačinu (34) nazivamo jednačina prave u segmentnom obliku Primjer 9 Odrediti segmentni oblik jednačine prave 3y 6 = 0, te na osnovu dobijenih segmenata povući tu pravu Prebacimo slobodni član jednačine na desnu stranu i podjelimo jednačinu sa sa njim, dobijemo y + = 3 - Uporedimo dobijenu jednačinu sa jednačinom (34), izlazi a = 3 i b = - Primjer 0 Sastavimo jednačine prave, ako je tačka S(, 3) sredina duži koju na toj pravoj otsjecaju koordinatne ose Lahko je provjeriti da su segmenti što ih prava otsjeca na osama a = S = 4, b = y S = 6, te je segmentni oblik jednačine prave y + = ili 3 + y - = 0 4 6

13 775 Međusobni položaj dvije prave Neka su u ravni y date dvije prave p i q svojim jednačinama: A + B y + C = 0, () A + B y + C = 0 () Postoje tri mogućnosti za te prave: ili se sijeku, ili su paralelne, ili se poklapaju Te mogućnosti proizlaze iz činjenice da sistem jednačina () i () ima: ili jedinstveno rješenje, ili nema rješenje, ili ima beskonačno mnogo rješenja Prema tome: A B (i) Ako je determinanta sistema: A B A B 0 ili (za A B 0), tj vektori normala A B n = (A, B ) i n = (A, B ) datih pravih nisu kolinearni, tada se prave sijeku Koordinate tačke presjeka dobiju se kao jedinstveno rješenje sistema jednačina A B (ii) Ako je determinanta sistema: A B A B = 0 ili (za A B 0) =, tj vektori normala A B n = (A, B ) i n = (A, B ) datih pravih su kolinearni, tada se prave ili paralelne ili se poklapaju Dakle, sada postoje dvije mogučnosti: (a) A = λa, B = λb, C = λc (λ 0) (3) ili (za A B C 0) A B C = = = λ 0 (4) A B C U ovom slučaju jednačina () dobije se množenjem jednačine () sa λ 0 Dakle, sistem () i () svodi se na jednu jednačinu sa dvije nepoznate, tj prave se poklapaju (b) A = λa, B = λb, C λc (λ 0) (5) ili (za A B C 0) A B C =, A B C (6) tj A B C = = λ 0, a λ A B C U ovom slučaju, pomnožimo li jednašinu () sa λ, dobijmo A + B y + C = 0, λa + λb y + λc = 0 Oduzmemo li drugu od prve jednačine, dobićemo (A - λa ) + (B - λb )y + (C - λc ) = 0 ili y + (C - λc ) = 0, Odakle slijedi C = λc, što je protivrječno sa uslovom C λc Prema tome, sistm nema rješenja, tj prave su paralelne Prave () i () su ortogonalne akko su njihove normale n = (A, B ) i n = (A, B ) ortogonalne, tj akko je A A + B B = 0 (7) Jednakost (7) je potreban i dovoljan uslov ortogonalnosti pravih p i q Ako je B B 0, uslov (7) možemo zapisati u obliku A A A A + = 0 ili + = 0, B B B B ili k k + = 0 (8) Sad za k 0 imamo k = k (9)

14 Primjer Ispitati da li se prave 3 y + = 0 i + 5y = 0 sijeku, te ako se sijeku, odrediti presječnu tačku 3 Kako, prave se sijeku Presječna tačka je (,y) = (,) 5 Primjer Sastaviti jednačinu prave, koja prolazi kroz tačku T(- 4, ) i paralelna je pravoj 4 3y + 7 = 0 Jednačina pramena pravih p = p(t, k) je y = k ( + 4) Sad odredimo koeficijent nagiba prave: k = - A B = - 4 (- 3) = 4 3 Dakle, jednačina prave je 4 y = ( + 4) ili 4 3y + 9= 0 3 Primjer 3 Data su vrhovi trougla A(-, ), B(0, 5), C(,- 4) Odrediti visinu trougla povučenu iz vrha C Napišimo jednačinu pramena pravih s vrhom u tački C: y + 4 = k ( - ) Visina, iz vrha C, ortogonalna je na stranu AB; zato je njen koeficijent nagiba k = - k AB Sad je yb ya 5 4 kab = = = = 0 B A ( ) Dakle, k = - Zamjenom nađene vrijednosti za k u jednačinu pramena, dobijemo y+ 4= ( ) ili + y + 6= Ugao između pravih Neka treba naći ugao između pravih p i q u ravni y čije su jednačine: A + B y + C = 0, A + B y + C = 0 Nacrtati grafke pravih p i q Očito je ( p,q) ( n,n ) ϕ = =, te izlazi AA +BB cos ϕ nn = n n = A+B A+B Primjer 4 Odrediti ugao između pravih 7 y = 0, y + 3 = 0 Prema (0) nalazimo AA +BB 7 + ( )( ) 8 o ' cos ϕ = = = = 08, tako da je ϕ = arccos 08 ( 36 5 ) A +B A +B Ako su prave p i q zadane jednačinama y = k + b, y = k + b, tada je α = α + ϕ, gdje ϕ pozitivni uga između pravih p i q, α i α su uglovi nagiba pravih p i q respektivno (Nacrtati sliku!) Izlazi tgα tgα k k tg ϕ = tg ( α α ) = +tgα tgα = () + kk Primjer 5 Naći ugao između pravih y 4 = 0, y = Dakle, iz jednačina pravih nalazimo k = - A B = - (- ) =, k = Zato je, prema () tg ϕ = 3 = + 4 (0)

15 777 Normalni oblik jednačine prave Pođimo od opšteg oblika jednačine prave a nr + C = 0, () gdje je n = (A,B) (0, 0) bilo koja normala prave i C(= - nr R, a M(r ) je proizvoljna tačka na pravoj a) Neka je O ishodište, a tačka O je podnožje normale povučene iz O na pravu a (prava a ne prolazi kroz O) Sem toga uzmimo: 0 n 0 = ort OO, gdje su vektori n 0 i OO orjentisani od ishodišta ka pravoj a Tada je ugao ϕ = ( r,n0) y oštar za svaku tačku T(r) a, jer su oba vektora r = T T OT i n0 osmjereni od O ka pravoj a (vidi sl6) ϕ 0 Rastojanje tačaka O i O označimo sa p, tj p = d(o, O )>0 T ' Sad za svaku tačku T(r) a izlazi O n 0 r = pr n r = p, pošto je ugao ϕ = ( r,n0) oštar n sl Dakle, vrijedi nr 0 p = 0 (3) Jednačina (3) predstavlja normalni ili Hesseov (Hesse, LO, njemački matematičar (8-874)) vektorski oblik jednačine prave koja se dobije iz opšte jednačine () pod uslovima 0 i 0 Skalarni oblik jednačine (3) je cos α + ysinα - p = 0, (4) i,n ) ugao nagiba prave a = 0 pošto je n 0 = (cos α, sinα), gdje je α( ( ) Postavlja se pitanje kako opštu jednačinu () dovesti na normalni oblik (3) Odgovor je jednostavan: pomnožimo jednačinu () skalarom k koji ćemo odabrati tako da dobijena jednačina (kn)r + kc = 0, bude istovjetna s jednačinom (3) Odatle dobijemo uslove kn = n 0, kc = - p (< 0) (5) Iz prvog uslova u (5) dobijemo k =, a iz drugog da je k suprotnog znaka od C, dakle k= n sgnc n Prema tome, normalni oblik jednačine () je: nr + C = 0 (6) sgn -C n Pošto je ( ) p O Q Q QT -n ( ) n = A,B = A + B, to je odgovarajući skalarni oblik jednačine (6) A+ By+ C = 0 (7) sgnc A + B Prjmjer Data je opšta jednačina prave a 3 + 4y + 0 = 0 Odrediti normalni oblik jednačine prave a, rastojanje p ishodišta O od prave a, te ugao nagiba prave a Pošto je n = A + B = = 5, to je normamalni oblik jednačine prave 3 + 4y = 0, tj p= =, cos α= -, sin α=

16 Rastojanje tačke od prave Neka je data vektorska jednačina prave a u normalnom (Hesseovom) obliku n 0 r - p = 0 () i tačka T (r ) van prave Treba odrediti rastojanje d = d(t, a) tačke T od prave a čija je jednačina () Dokazaćemo da vrijedi Stav (i) Zamjenimo vektor položaja tačke T (r ) u jednačinu (), tada je skalar μ = μ(r ) n 0 r - p > 0, < 0, () ( = 0), zavisno od toga da li su tačka T i ishodište O sa suprotnih strana ili sa iste strane prave a (jasno, znak jednakosti vrijedi kad tačka T leži na pravoj a); (ii) Udaljenost tačke od prave d= n 0 r - p (3) Dokaz Obratimo pažnju na to da su: tačka T i ishodište O sa suprotnih strana prave a (vidi sl), dok su tačka T ' i ishodište O na istoj strani prave a Ako je Q projekcija tačke T na pravu a, tada vektor QT ima smjer orta normale n 0, a za tačku T ' smjer suprotan ovom vektoru Stoga možemo pisati QT = μn0, (4) gdje je μ > 0 (< 0) za tačku T (za tačku T ') Sem toga je tražena udaljenost d= QT = μn = μ (5) 0 Kako tačka Q(r Q ) leži na pravoj to njen vektor polpžaja zadovoljava jednačinu (), tj mora biti n 0 r Q - p = 0 (6) Iz QT = r r, prema (4), dobijemo rq = r QT = r μn, što zamjenom u (6) daje ili Q 0 n(r μn) p= 0 0 0, ( ) nr μ p = 0 nn =, odakle, konačno, proizlazi μ= μ( r ) = n0r p, tj (i) je tačno na osnovu (4), a potom da je (ii) tačno prema (5) 0 Primjedbe 0 Analitički oblici jednakosti () i (3), prema pretodnom paragrafu, su μ = cos α + y sinα p, d = cos α + y sinα p 0 Ako je prava zadana u opštem vektorskom obliku nr + C = 0, tada je njen odgovarajući normalni oblik nr + C = 0, te jednakost () za μ i jednakost (3) za udaljenost imaju oblik sgn -C n ( ) nr + C nr C nr + C μ =, + d = = sgn( -C) n sgn( -C) n n 3 0 Za analitički oblik jednačine prave A +By + C = 0, jednakosti () i (3) su respektivno oblika A+ By+ C μ = ; A + By + C d = sgnc A + B A + B Zadatak Odrediti rastojanje d dvije paralelne prave zadane, npr vektorskim jednačinama u normalnom obliku: n 0 r - p = 0, n 0 r - p = 0 Rezultat d = p - p Kako glase jednačine pravih ako je d = p + p? Moguča su dva odgovora! o o

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *) .7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična. Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija - vežbe

Analitička geometrija - vežbe Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015 Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/

Geometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI VI SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI - 59-6 KARAKTERISTIČNI POLINOM I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI U ovom poglavlju ćemo opisati kako se traži ''najprikladnija'' baza vektorskoga prostora X, baza u

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Koordinatni sistemi Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Kartezijeve koordinate Korištenjem Kartezijevih koordinata položaj tačke u ravni se definiše sa dva broja,

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT

PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija

VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα