ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α Λυκείου

Transcript

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α Λυκείου Εργασία των μαθητριών: Αγαλιώτη Κωνσταντίνα, Αλεξοπούλου Γερασιμούλα, Αποστολοπούλου Χριστίνα, Βλαχοπούλου Φλώρα, Βλάχου Ουρανία Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Ζούμας 2 ο Λύκειο Πεύκης [Ιανουάριος 2016]

2 Ιστορική Αναδρομή στην έννοια της Πιθανότητας Οι αρχαίοι Έλληνες δεν ασχολήθηκαν συστηματικά με έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Ο Αριστοτέλης ( π.χ.) διατύπωσε τη διάκριση μεταξύ των λέξεων γνώση και γνώμη. Θεώρησε δηλαδή ότι η γνώση αφορά σε κάτι που είναι σωστό ή λάθος, ενώ η γνώμη σε κάτι που μπορεί να είναι σωστό ή λάθος. Έδωσε επίσης τις έννοιες του τυχαίου, του απροσδόκητου και της σχετικής συχνότητας. Θεωρούσε όμως ότι το τυχαίο δεν είναι επιστημονική έννοια, οφείλεται στη δική μας αδυναμία να ερμηνεύσουμε τα φαινόμενα και έδωσε το παράδειγμα: Οποιαδήποτε ανακοίνωση για το αποτέλεσμα μιας ναυμαχίας που θα γίνει την επόμενη μέρα θα είναι σωστή ή λάθος μετά το τέλος της ναυμαχίας. Πριν τη ναυμαχία καμία ανακοίνωση δε μπορεί να είναι αληθής. Ο Καρνεάδης ( π.χ.), που έζησε στα ελληνιστικά χρόνια, έδωσε μια πρώτη έννοια της πιθανότητας ως μορφής γνώσης, αρνούμενος την ύπαρξη κριτηρίου της αλήθειας. Όπως γράφει ο Σέξτος ο Εμπειρικός, ο Καρνεάδης διέκρινε τρεις βαθμούς πιθανότητας (πιθανής γνώσης). Ο πρώτος βαθμός πιθανότητας, η πιθανή φαντασία, χρησιμοποιείται όταν ασχολούμαστε με κοινά πράγματα ή όταν δεν έχουμε καιρό. Π.χ. κάποιος κυνηγημένος φτάνοντας σε ένα χαντάκι φαντάζεται ότι μέσα στο χαντάκι είναι κρυμμένοι οι κυνηγοί του, οπότε χωρίς να το ξανασκεφθεί αλλάζει κατεύθυνση και φεύγει από το χαντάκι. Ο δεύτερος βαθμός πιθανότητας, η απερίσπαστος φαντασία, χρησιμοποιείται για σπουδαιότερα πράγματα όταν κάποια παράσταση που μας δημιουργείται δεν έρχεται σε αντίφαση με άλλες παραστάσεις του ίδιου λογικού πλαισίου. Π.χ. αν κινούμενοι σε σκοτεινό δωμάτιο δούμε ένα σκοινί στριμμένο αμέσως πηδάμε πάνω από αυτό γιατί το φανταζόμαστε ότι είναι φίδι, αλλά καθώς ξανακοιτάμε πίσω το σκοινί να είναι ακόμη ακίνητο, αποφασίζουμε ότι δεν είναι φίδι. Ο τρίτος βαθμός πιθανότητας, η διεξωδευμένη φαντασία, απαιτεί ένα ολόκληρο σύστημα από παραστάσεις να αποδειχθεί ότι έχει εσωτερική αλληλουχία και δεν αντιφάσκει με την εμπειρία. Π.χ. στο τελευταίο παράδειγμα με το σκοινί, αφού δούμε ότι είναι ακίνητο, σκεφτόμαστε ότι ενδέχεται να είναι ακίνητο λόγω του χειμερινού κρύου, γι' αυτό παίρνουμε ένα ραβδί και το κουνάμε. Εφόσον ούτε και τώρα βλέπουμε το σκοινί να κινείται καταλήγουμε να αποκλείσουμε ότι είναι φίδι. Ούτε όμως ο Καρνεάδης ούτε και κανείς άλλος στην αρχαιότητα, όρισε ποσοτική έννοια της πιθανότητας. Αλλά και πολύ αργότερα ο Thomas Aquinas ( μ.χ.) θεωρούσε ότι ορισμένα γεγονότα ονομάζονται τυχαία διότι δεν έχουμε ή δεν μπορούμε να συγκεντρώσουμε όλες τις πληροφορίες για να τα ερμηνεύσουμε. Δίνει μάλιστα το παράδειγμα ενός αφεντικού που είχε δύο υπηρέτες και δίνει μυστικά στον καθένα την εντολή να είναι ορισμένη ώρα σε συγκεκριμένο μέρος. Όταν οι υπηρέτες συναντώνται το αποδίδουν στην τύχη, ενώ το αφεντικό γνώριζε ότι θα συναντηθούν. 2

3 Ο Spinoza ( ) πίστευε ότι η άγνοια της πραγματικότητας μας οδηγεί να αποδίδουμε στην τύχη ορισμένα γεγονότα. Παρ' όλα αυτά το τυχαίο χρησιμοποιήθηκε για πρακτικούς σκοπούς στην Αθηναϊκή πολιτεία. Στη νομοθεσία του Δράκοντα (624 ή 621 π.χ.) η επιλογή των αρχόντων (βουλευτές, στρατηγοί) γινόταν με κλήρο και όχι με εκλογή. Όσοι κληρώνονταν για μια θητεία δεν μετείχαν στην επόμενη κλήρωση. Αυτό διατηρήθηκε και στη νομοθεσία του Σόλωνα ( π.χ.). Η θεωρία Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε από την ανάγκη να αντιμετωπισθούν πρακτικά προβλήματα. Ο 17 ος αιώνας χαρακτηρίζεται από την ανάπτυξη του διεθνούς εμπορίου και την πληρωμή ασφαλίστρων, όπου έπρεπε να ληφθούν υπόψη τα ατυχήματα κατά τη μεταφορά. Επίσης η οργάνωση του κράτους με τα νέα δεδομένα απαιτούσε υπολογισμούς εσόδων και εξόδων. Γνωστοί μαθηματικοί συμβούλευαν τους ηγεμόνες για το ποσό που αναμένεται να συγκεντρωθεί από φόρους, για το πλήθος των κατοίκων της χώρας ή του στρατού κλπ. Αναφέρεται ότι ο Leonard Euler ( ) έδωσε συμβουλές στο βασιλιά Frederick της Πρωσίας το 1754 και το 1763 για την τιμή πώλησης των κρατικών λαχείων. Τέλος η ανάπτυξη της αστρονομίας οδήγησε τον Galileo Galilei ( ) να μελετήσει τα σφάλματα των παρατηρήσεων που τα θεωρούσε τυχαία. Τα προβλήματα αυτά ήταν σύνθετα και δύσκολα, γι' αυτό οι πρώτοι ποσοτικοί υπολογισμοί της πιθανότητας δόθηκαν σε πιο απλά προβλήματα, όπως αυτά που προέκυπταν από τυχερά παιχνίδια. Η αλληλογραφία, γύρω στα 1650 των Blaise Pascal ( ) και Pierre de Fermat ( ) περιέχει τον υπολογισμό πιθανοτήτων σε αρκετά παραδείγματα από τυχερά παιχνίδια. Είχε προηγηθεί ο υπολογισμός των πιθανοτήτων στη ρίψη κύβου (ζαριού) ή κύβων, όπως δίνεται στο βιβλίο του G. 3

4 Cardano ( ) που δημοσιεύτηκε το 1663 ένα αιώνα περίπου μετά το θάνατό του. Οι υπολογισμοί αυτοί γίνονταν με συνδυαστικές μεθόδους και για συμμετρικά ζάρια. Τους υπολογισμούς του Gardano έκανε με μαθηματική μεθοδικότητα και ο G. Galilei. Τα πρώτα βιβλία στις πιθανότητες ήταν των Cristjaan Huygens ( ) με τίτλο "De Ratiociniis in Aleae Ludo", το 1657 και του Jacob Bernoulli ( ) με τίτλο ''Ars Conjectandi" που τυπώθηκε μετά το θάνατό του το Η κλασική θεωρία πιθανοτήτων θεμελιώθηκε από τον Ρ.S. Laplace ( ) με το βιβλίο του "Theοrie Analytique des Probabilites", το Σημαντική ήταν και η συμβολή των Gauss ( ), Poisson ( ), de Montmort ( ), de Moivre ( ), V. Bounjatovski ( ). Η ανάγκη για μια αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων με μαθηματική αυστηρότητα παρουσιάσθηκε από τον D. Hilbert στον κατάλογο των σπουδαίων άλυτων προβλημάτων που έδωσε το Η πρώτη σοβαρή, προσπάθεια σ' αυτήν την κατεύθυνση έγινε από τον von Mises το 1919 χωρίς ικανοποιητικά αποτελέσματα. Η σημερινή αξιωματική θεμελίωση οφείλεται στον Α.Ν. Kolmogorov το 1933 που παρουσίασε τις πιθανότητες ως ειδική περίπτωση της θεωρίας μέτρου. Η θεωρία του Kolmogorov, δεν είναι μόνον απλή και ικανοποιητική όσον αφορά τη μαθηματική αυστηρότητα, αλλά έβαλε και τα θεμέλια για τις εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων. Προβλήματα, όπου η πιθανότητα δεν έχει πεπερασμένη τιμή και παρουσιάζονται στη στατιστική μηχανική, κβαντική μηχανική, τη στατιστική Bayes κ.λπ. δεν αντιμετωπίζονται με τη θεμελίωση του Kolmogorov που θεωρεί ότι η πιθανότητα παίρνει τιμές στο διάστημα [0, 1]. Έτσι αναπτύχθηκε από τον Α. Renyi το 1955 μία αξιωματική θεμελίωση βασισμένη στις δεσμευμένες πιθανότητες. 4

5 1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Λέξεις κλειδιά: Αιτιοκρατικό πείραμα, πείραμα τύχης, δειγματικός χώρος, ενδεχόμενα. Κάθε πείραμα, κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα του, λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Κάθε πείραμα του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα παρόλο που επαναλαμβάνεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες, ονομάζεται πείραμα τύχης. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με το γράμμα Ω. Αν δηλαδή ω1, ω2,...ω3 είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι το σύνολο: Ω= {ω1, ω2,.ω3} Ένα σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγεται γεγονός ή ενδεχόμενο. Είναι φανερό ότι κάθε ενδεχόμενο είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου. Ενδεχόμενο Απλό: Λέγεται ένα ενδεχόμενο όταν έχει ένα μόνο στοιχείο. Σύνθετο: Λέγεται ένα ενδεχόμενο όταν έχει περισσότερα στοιχεία. Βέβαιο: Λέγεται ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω( αφού αυτό πάντα πραγματοποιείται). Αδύνατο: Λέγεται το κενό σύνολο( αφού αυτό δεν πραγματοποιείται ποτέ). 5

6 Το ενδεχόμενο A B, που διαβάζεται Α τομή Β ή Α και Β και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β. Το ενδεχόμενο Α, που διαβάζεται "όχι Α" ή "συμπληρωματικό του Α" και πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α. Το Α λέγεται και "αντίθετο του Α". Το ενδεχόμενο A - B, που διαβάζεται διαφορά του Β από το Α και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Είναι εύκολο να δούμε ότι A-B = A B'. 6

7 Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος και το ω ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού. Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β Πραγματοποιείται μόνο το Α Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β ω Α ω Α (ή ω Α) ω Α B ω Α Β ω (Α Β) ω Α - Β (ή ω Α Β ) Α Β Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα Παρατηρούμε ότι τα Α και B δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν συγχρόνως, αφού δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν A B=. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα. 7

8 1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Λέξεις κλειδιά: Σχετική συχνότητα, στατική ομαλότητα, ισοπίθανα ενδεχόμενα, κλασσικός ορισμός της πιθανότητας Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε ο λόγος ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με. Στατική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών ονομάζεται το γεγονός ότι οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς καθώς ο αριθμός των δοκιμών του πειράματος επαναλαμβάνεται απεριόριστα. Έστω Ω = {ω1,ω2, ων} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, του οποίου τα απλά ενδεχόμενα {ω1} έχουν την ίδια δυνατότητα να εμφανιστούν, δηλαδή όπως λέμε τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Τότε ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α του Ω, ορίζουμε τον αριθμό: Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτουν τα εξής: 3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 P(A) 1, αφού το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου. 8

9 Κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων 1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: P(A B)=P(A)+P(B) Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος (simply additive law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. 2. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α' ισχύει: P(A')=1 - P(A) 3. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law). 9

10 4. Αν A B, τότε P (A) P (B) 5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A-B)=P(A)-P(A B) 10

11 ΑΚΟΛΟΥΘΟΥΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ- ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11

12 12

13 13

14 14

15 15

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΟΥ ΠΡΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΔΩΣΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ Κ. ΖΟΥΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Β Α και Ρ(Α ), Ρ(Β ) να ανήκουν στο σύνολο: Σ={,,, } Α)Να υπολογίσετε τις P(A ), Ρ(Β ) να αιτιολογήσετε πλήρως την απάντηση. Β)Να βρείτε την Ρ(Α Β) και Ρ(Α-Β) Γ)Αν Ν(Α) Ν(Β ) = 15 να βρείτε το Ν(Ω) ΛΥΣΗ Α) Στο σύνολο Σ ανήκουν οι 2 πιθανότητες Ρ(Α ) και Ρ(Β ). Ο αριθμός δεν μπορεί να είναι πιθανότητα επειδή είναι μεγαλύτερος της μονάδας και κάθε πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι 0 Ρ(Α) 1 Ο αριθμός 0 Ρ(Α) 1 δεν μπορεί να είναι πιθανότητα επειδή είναι αρνητικός αριθμός και Οι αριθμοί και = θα είναι οι δύο πιθανότητες. Επειδή: Β Α Ρ(Β) Ρ(Α) 1-Ρ(Β ) 1-Ρ(Α ) Ρ(Α ) Ρ(Β ) Άρα ο αριθμός είναι η πιθανότητα Ρ(Α ) και ο αριθμός είναι η πιθανότητα Ρ(Β ). Β) Ρ(Α)=1-Ρ(Α )=1- = - = Ρ(Β)=1-Ρ(Β )=1- = - = Αφού Β Α: Α Β=Β και Α Β=Α 16

17 Άρα Ρ(Α Β)=Ρ(Β)= Ρ(Α Β)=Ρ(Α)= Ρ(Α-Β)=Ρ(Α Β)=Ρ(Α)-Ρ(Β)= - = = Γ) Ν(Α)-Ν(Β)=15 Διαιρούμε με το Ν(Ω): ( ) - ( ) = ( ) ( ) ( ) Ρ(Α)-Ρ(Β)= ( ) - = ( ) = ( ) 3Ν(Ω)=450 Ν(Ω)=150 17

18 ΑΣΚΗΣΗ 2 Σε μία έρευνα που έγινε σε ένα κατάστημα κινητών τηλεφώνων προέκυψε ότι το 20% των πελατών δεν αγοράζουν κινητό ούτε μπλε χρώματος ούτε μαύρου χρώματος. Το 25% των πελατών έχει αγοράσει κινητό και μπλε και μαύρου χρώματος. Επιλέγουμε τυχαία ένα πελάτη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: (ο πελάτης έχει αγοράσει μπλε τηλέφωνο) Β: (ο πελάτης έχει αγοράσει μαύρο τηλέφωνο) α) Να βρείτε την πιθανότητα ο πελάτης να έχει αγοράσει τουλάχιστον μπλε ή μαύρο κινητό. β) Να βρείτε την πιθανότητα ο πελάτης να έχει αγοράσει μόνο μπλε ή μόνο μαύρο κινητό. ( ) γ) Αν = ποια είναι η πιθανότητα ο πελάτης να έχει αγοράσει μπλε τηλέφωνο ( ) ή να μην έχει αγοράσει μαύρο τηλέφωνο. ΛΥΣΗ α) Ρ[(Α Β) ]=20% Ρ(Α Β)=25% Ρ(Α Β)=1-Ρ[(Α Β) ]=1- = =80% β) Τα ενδεχόμενα Α-Β και Β-Α είναι ασυμβίβαστα. Ρ[(Α-Β) (Β-Α)]= =Ρ(Α-Β)+Ρ(Β-Α)= =Ρ(Α)-Ρ(Α Β)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β)= =Ρ(Α Β)-Ρ(Α Β)= = - = γ) ( ) ( ) = 40Ρ(Α)=60Ρ(Α ) 40Ρ(Α)=60[1-Ρ(Α )] 40Ρ(Α)=60-60Ρ(Α) 60Ρ(Α)+ 40Ρ(Α)=60 18

19 Ρ(Α)= =60% Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) = +Ρ(Β)- Ρ(Β)= - + = Ρ(Α Β )=Ρ(Α)+Ρ(Β )-Ρ(Α Β ) =Ρ(Α)+1-Ρ(Β)-Ρ(Α-Β) =Ρ(Α)+1-Ρ(Β)-[Ρ(Α)-Ρ(Α Β)] =1-Ρ(Β)+Ρ(Α Β) =1- + = 19

20 ΤΕΛΟΣ 20