E

Transcript

1 ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ του Βιτσαξή Μιχάλη Γυµνάσιο µε Λυκειακές Τάξεις Βιλλίων Λύκειο Νέας Περάµου E mail:fermatmike@yahoo.gr Καθηγητής /θµιας Εκπαίδευσης Επιµορφούµενος στο ΚΣΕ: 4 ο ΣΕΚ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ στο πλαίσιο της Επιµόρφωσης Β Επιπέδου Περιόδου εκεµβρίου 010 Μαΐου 011 Τάξη: Β Λυκείου Λογισµικό: «GeoGebra» Χρόνος Υλοποίησης: 4 διδακτικές ώρες

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ 1) Η Ταυτότητα του Σεναρίου.. ) Το Σκεπτικό του Σεναρίου... 3) Το Πλαίσιο Εφαρµογής του Σεναρίου.4 4) Ανάλυση του Σεναρίου 6 5) Επέκταση του Σεναρίου.10 6) Αξιολόγηση του Σεναρίου..10 7) οθέντα Φύλλα Εργασίας..11 1

3 Ταυτότητα του Σεναρίου Συγγραφέας: Βιτσαξής Μιχάλης, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τίτλος Σεναρίου: «Μελέτη της εκθετικής συνάρτησης» Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Β λυκείου. Θέµατα: Εκθετική συνάρτηση (πεδίο ορισµού, σύνολο τιµών, µονοτονία) Γραφικές παραστάσεις της εκθετικής συνάρτησης Εκθετικές εξισώσεις-ανισώσεις Λογισµικό: GeoGebra Σκεπτικό του Σεναρίου Γνωστικά διδακτικά προβλήµατα Η κατασκευή γραφικών παραστάσεων είναι µία δύσκολη και χρονοβόρα διαδικασία, καθώς απαιτεί ακρίβεια τόσο στον υπολογισµό όσο και στο σχεδιασµό των αντίστοιχων τιµών µιας συνάρτησης. Η χρήση του λογισµικού διευκολύνει τη διαδικασία αυτή εφόσον δίνει χρόνο στους µαθητές για πειραµατισµό, ανακάλυψη και διερεύνηση ιδιοτήτων και σχέσεων µεταξύ γραφικών παραστάσεων. Προστιθέµενη αξία Η διδακτική αξιοποίηση τεχνολογικών εργαλείων δίνει νέες ευκαιρίες για δηµιουργία µαθησιακών περιβαλλόντων τα οποία βελτιώνουν τις παραδοσιακές διδακτικές προσεγγίσεις, αλλά κυρίως εισάγουν νέες µορφές και ευκαιρίες µάθησης. To προτεινόµενο εκπαιδευτικό σενάριο διαφοροποιείται από το παραδοσιακό πλαίσιο της διδασκαλίας των Μαθηµατικών και φιλοδοξεί να συµβάλει στη βελτίωση της στάσης των µαθητών απέναντι στα Μαθηµατικά και στη διαδικασία προσέγγισής τους. Η εισαγωγή της τεχνολογίας στην µαθησιακή διαδικασία µετασχηµατίζει και τις διδακτικές πρακτικές και τα ίδια τα µαθηµατικά ως γνωστικό αντικείµενο. Στις παραδοσιακές διδασκαλίες τα µαθηµατικά αντικείµενα αναπαρίστανται µε στατικό τρόπο σε χαρτί, στον πίνακα, ή σε διαφάνειες. Αντίθετα, κατασκευάζοντας ένα µαθηµατικό αντικείµενο στην οθόνη του υπολογιστή, το σύρσιµο του αντικειµένου,

4 είτε απευθείας είτε µέσω ενός µεταβολέα, δηµιουργεί ένα φαινόµενο το οποίο εξελίσσεται µε βάση την κίνηση του αντικειµένου. Αυτή ακριβώς η διαδικασία του Geogebra να διαθέτει µεταβολέα επιτρέπει το δυναµικό χειρισµό των µαθηµατικών εννοιών, στην προκειµένη περίπτωση την εκθετική για την αποτελεσµατική κατανόησή της. Κατά συνέπεια ο µαθητής αντιλαµβάνεται τα µαθηµατικά αντικείµενα µε δυναµικό τρόπο, δηλαδή ως γεννήτορες µαθηµατικών φαινόµενων, µέσα στα οποία µπορεί να αναζητήσει σχέσεις µεγεθών. Η χρήση των τεχνολογικών εργαλείων αναµένεται να βοηθήσει τους µαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηµατικά αποτελούν αντικείµενο διερεύνησης (δυνατότητες διερευνητικής µάθησης) και να καταλήξουν στα δικά τους συµπεράσµατα τα οποία πρέπει να έχουν κοινωνική αποδοχή (στο πλαίσιο της τάξης) και επιστηµονική τεκµηρίωση. Επιπλέον, η δυνατότητα κίνησης των αντικειµένων δίνει την ευκαιρία στον διδάσκοντα να σχεδιάσει ανοικτές καταστάσεις προβλήµατος οι οποίες επιτρέπουν την διατύπωση εικασιών και τον έλεγχό τους. Η εργασία των µαθητών σε οµάδες και η συνεργασία µεταξύ των µαθητών της κάθε οµάδας αναµένεται να συµβάλει στην αλλαγή της στάσης τους απέναντι στη µάθηση. Ο εκπαιδευτικός που θα επιλέξει να διδάξει βασικές έννοιες των Μαθηµατικών στο πλαίσιο αυτού του σεναρίου απαιτείται από παραδοσιακός καθηγητής µετωπικών διδασκαλιών να γίνει συνεργάτης των µαθητών του, καθοδηγητής της έρευνας και της επιστηµονικής εγκυρότητας των συµπερασµάτων τους αλλά και ερευνητής ο ίδιος. Καινοτοµίες Στις µέρες µας, οι µαθητές είναι αρκετά αδιάφοροι µε τα Μαθηµατικά που διδάσκονται στο σχολείο, οπότε το γεγονός ότι θα διδαχθούν στο εργαστήριο µία νέα συνάρτηση είναι από µόνο του µια καινοτοµία. Οι µαθητές υπολογίζουν για πρώτη φορά δυνάµεις µε ρητό εκθέτη και τους δίνεται η ευκαιρία να επικοινωνήσουν µεταξύ τους ώστε να επαληθεύσουν τα συµπεράσµατά τους. Το λογισµικό Geogebra βοηθά στη δηµιουργία πινάκων, στο σχεδιασµό µε δυναµικό τρόπο γραφικών παραστάσεων και δίνει την ευκαιρία στους µαθητές να σκεφτούν, να συνεργαστούν και να πειραµατισθούν αξιοποιώντας τη διδακτική ώρα µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. 3

5 Το Πλαίσιο Εφαρµογής του Σεναρίου Σε ποιους απευθύνεται: Το σενάριο απευθύνεται στους µαθητές της Β Λυκείου. Χρόνος υλοποίησης Για την εφαρµογή του σεναρίου εκτιµάται ότι απαιτούνται 4 διδακτικές ώρες. Εναλλακτικά, στην περίπτωση που ο χρόνος δεν επαρκεί, κάποιες δραστηριότητες των προτεινόµενων φύλλων εργασίας θα µπορούσαν να υλοποιηθούν από τους µαθητές στον ελεύθερο χρόνο τους. Χώρος υλοποίησης Οι δραστηριότητες του σεναρίου προτείνεται να διεξάγονται εξ ολοκλήρου στο εργαστήριο υπολογιστών. Οι µαθητές δουλεύουν το κάθε φύλλο εργασίας µπροστά στον Η/Υ χωρισµένοι σε οµάδες δύο τριών ατόµων. Οι απαντήσεις ελέγχονται σχεδόν σε κάθε τους βήµα και εγώ ως συντονιστής ανακοινώνω τα διαφορετικά συµπεράσµατα στην τάξη, ακόµη κι αν αυτά δεν είναι ταυτόχρονα (π.χ. κάποιοι µαθητές έχουν καθυστερήσει σε κάποια ερώτηση του φύλλου εργασίας και φτάνουν αργότερα σε ένα αποτέλεσµα διαφορετικό των προηγουµένων) για την αποδοχή ή την απόρριψή τους ή και για γενικότερο προβληµατισµό. Η χρήση του βιντεοπροβολέα κρίνεται απαραίτητη, διότι βοηθάει στον έλεγχο των απαντήσεων. Προαπαιτούµενες γνώσεις Ως προς τα Μαθηµατικά οι µαθητές πρέπει να γνωρίζουν: Τις ιδιότητες δυνάµεων µε ρητό εκθέτη. Τον πίνακα τιµών µιας συνάρτησης και τον τρόπο γραφικής της παράστασης σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Συµµετρία σχηµάτων ως προς άξονα. Τις έννοιες «πεδίο ορισµού» και «σύνολο τιµών». Εύρεση σηµείων τοµής από τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης. Ως προς την Τεχνολογία ο καθηγητής πρέπει να γνωρίζει: Τον τρόπο χρήσης των εργαλείων του προγράµµατος GeoGebra. 4

6 Απαιτούµενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία Σχολικό εγχειρίδιο προκειµένου να ανατρέχουν σε αυτό για τις ήδη διδαχθείσες έννοιες. Τετράδιο για να καταγράφουν τα συµπεράσµατά τους. Φύλλα εργασίας τα οποία τους έδωσα για όλες τις δραστηριότητες µε στόχο την καθοδήγηση των µαθητών στη διερεύνηση των διαφόρων ερωτηµάτων. Βιντεοπροβολέας Συσκευή φορητής µνήµης (USB Device) Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Οµαδοσυνεργατική διδασκαλία: Οι µαθητές εργάζονται σε οµάδες και καθοδηγούµενοι από φύλλο εργασίας κατασκευάζουν γραφικές παραστάσεις, κάνουν διερεύνηση και απαντούν σε συγκεκριµένες ερωτήσεις. Επιπλέον, θέτουν ελεύθερα τα δικά τους ερωτήµατα σχετικά µε το θέµα και απαντούν σε αυτά µε την επίβλεψη µου εξετάζοντας τας συµπεράσµατά τους, συνεργάζοµαι µαζί τους, τους καθοδηγώ ώστε να αντιλαµβάνονται καλύτερα τα αποτελέσµατά τους, ενώ τους ενθαρρύνω να συνεχίσουν τη διερεύνηση. Στόχοι Οι προτεινόµενες δραστηριότητες έχουν ως στόχο να δώσουν στους µαθητές τη δυνατότητα: Από την πλευρά του γνωστικού αντικειµένου Να διευκολυνθούν στην µελέτη των γραφικών παραστάσεων των εκθετικών συναρτήσεων. Να συνδέσουν τις εξισώσεις και τις ανισώσεις µε τις γραφικές παραστάσεις. Να κατανοήσουν τις αλλαγές που προκαλούνται στη γραφική αναπαράσταση και στη µελέτη των εκθετικών συναρτήσεων, όταν αλλάζουν οι τιµές των σταθερών παραµέτρων. Να πειραµατιστούν και να ερµηνεύσουν τα αποτελέσµατα. 5

7 Από παιδαγωγική άποψη Να µάθουν να πειραµατίζονται µε τις µαθηµατικές έννοιες, διατυπώνοντας ερωτήµατα και κάνοντας διάφορες εικασίες. Να εξασκηθούν στην οργάνωση των δεδοµένων τους από τη διερεύνηση, ώστε να διευκολυνθούν στην εξαγωγή συµπερασµάτων. Να µάθουν να συνεργάζονται µε τα άλλα µέλη της οµάδας, να συζητούν τις παρατηρήσεις τους, να οργανώνουν τα συµπεράσµατά τους, να διατυπώνουν κανόνες, να καταχωρούν τα δεδοµένα τους, να κατασκευάζουν σχέσεις που συνδέουν µεγέθη και να παρουσιάζουν την εργασία τους στις άλλες οµάδες. Να µάθουν να επικοινωνούν µε τα άλλα µέλη της οµάδας, µε όλους τους συµµαθητές τους και µε τον εκπαιδευτικό. Από την πλευρά της τεχνολογίας Οι µαθητές θα αποκτήσουν περισσότερη εξοικείωση µε το λογισµικό, γεγονός που σε µελλοντικές δραστηριότητες θα βοηθήσει στην καλύτερη διαχείριση του χρόνου. Ανάλυση του σεναρίου 1 η ώρα: Σύνταξη πίνακα τιµών Εύρεση σηµείων γραφικής παράστασης Γραφική παράσταση συνάρτησης - Συµµετρία. Συνοδευτικό υλικό: 1 ο φύλλο εργασίας. ιδακτική διαδικασία: Οι µαθητές ανοίγουν ένα αρχείο GeoGebra και συµπληρώνουν έναν πίνακα δεδοµένων, χρησιµοποιώντας στη στήλη του δεκαδικούς αριθµούς. Με αυτό τον τρόπο οι µαθητές υπολογίζουν για πρώτη φορά δυνάµεις µε ρητό εκθέτη και τους δίνεται η ευκαιρία να επικοινωνήσουν µεταξύ τους ώστε να επαληθεύσουν τα συµπεράσµατά τους. Κατόπιν οι µαθητές αποτυπώνουν τα δεδοµένα τους µέσω σηµείων στο σύστηµα συντεταγµένων του λογισµικού και δηµιουργούν στο µυαλό τους µία πρόχειρη εικόνα του γραφήµατος της συνάρτησης f( ) =. Η γραφική παράσταση της εν λόγω συνάρτησης ολοκληρώνεται τη στιγµή που πληκτρολογούν τον τύπο της. 6

8 Σε αυτό το σηµείο δίνεται χρόνος στους µαθητές να πειραµατισθούν, αλλάζοντας το χρώµα και το πάχος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Οι µαθητές εξοικειώνονται καλύτερα µε τις λειτουργίες του λογισµικού και εκφράζουν τις καλλιτεχνικές τους ανησυχίες πάνω στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων. Με παρόµοιο τρόπο σχεδιάζουν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) g 1 = και διαπιστώνουν τη συµµετρία των εκθετικών συναρτήσεων που έχουν ως βάση αντίστροφους αριθµούς. Το 1 ο φύλλο εργασίας τελειώνει µε µία εργασία για το σπίτι, ώστε να είναι δυνατή η αξιολόγησή τους ως προς το βαθµό απόκτησης της νέας γνώσης. η ώρα: Εύρεση πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών Ασύµπτωτες. Συνοδευτικό υλικό: ο φύλλο εργασίας. ιδακτική διαδικασία: Αξιοποιώντας τις οδηγίες του φύλλου εργασίας, οι µαθητές κατασκευάζουν και µελετούν τη γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης. Αρχικά, δηµιουργούν τον τύπο ( ) a f = και µε τη βοήθεια ενός δροµέα του προγράµµατος µπορούν να αλλάζουν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Σε αυτό το σηµείο µε ερωτήσεις µου προβληµατίζω τους µαθητές για τις τιµές που µπορεί να πάρει το a. Οι µαθητές έχοντας δηµιουργήσει µία πρώτη εικόνα της γραφικής παράστασης στο προηγούµενο µάθηµα απορρίπτουν τη µονάδα για τη βάση της συνάρτησης, καθώς και τις αρνητικές τιµές, αφού καλούνται να απαντήσουν αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός µε αρνητική βάση και ρητό εκθέτη. Κατόπιν, οι µαθητές αφού επιλέξουν µία τιµή για το a και εποµένως µια συγκεκριµένη εκθετική συνάρτηση, δηµιουργούν ένα σηµείο Α πάνω στη γραφική της παράστασης. Το σηµείο αυτό κινείται µόνο πάνω στην «τροχιά» της γραφικής παράστασης και αποτελεί τον οδηγό µελέτης της εκθετικής συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα, δίνεται χρόνος στους µαθητές να µετακινήσουν το σηµείο Α και έπειτα τίθεται η ερώτηση παγίδα: «Το σηµείο Α τέµνει τον άξονα χ χ;». Οι περισσότεροι µαθητές απαντούν θετικά στηριζόµενοι στο σχήµα που υπάρχει στην οθόνη του υπολογιστή τους. Αξιοποιώντας αυτό το λάθος των µαθητών και µε το εργαλείο της µεγέθυνσης από τη µία εισάγεται η έννοια της ασυµπτώτου και από την άλλη πρέπει να πειστούν οι µαθητές ότι τα µαθηµατικά προβλήµατα δεν πρέπει να στηρίζονται µόνο στη διαίσθηση. Στη συνέχεια, οι µαθητές δηµιουργούν τα ίχνη του σηµείου Α στους άξονες χ χ και ψ ψ και µετακινώντας το 7

9 σηµείο της γραφικής παράστασης παρατηρούν το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της συνάρτησης. 3 η ώρα: Μονοτονία - Ανισοτικές σχέσεις Επίλυση Εξισώσεων-Ανισώσεις. Συνοδευτικό υλικό: Ένα φύλλο εργασίας. ιδακτική διαδικασία: Αυτή την ώρα οι µαθητές ανοίγουν ένα επεξεργασµένο αρχείο Geogebra και στην οθόνη του υπολογιστή τους εµφανίζεται το παρακάτω παράθυρο. Αρχικά, οι µαθητές επιλέγουν µία τιµή για το a µεγαλύτερη του 1. Κατόπιν, µετακινούν τα σηµεία Α και Β σε δύο τυχαίες θέσεις πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης που διάλεξαν και συγκρίνουν τις τετµηµένες και τις τεταγµένες αυτών. Όλοι οι µαθητές παρατηρούν ότι το σηµείο µε τη µεγάλη τετµηµένη έχει και µεγάλη τεταγµένη, µε συνέπεια η φορά των ανισώσεων που συµπληρώνουν στο φύλλο εργασίας να είναι ίδια. Στη συνέχεια ζητείται από τους µαθητές να θυµηθούν πότε µία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα. Οι µαθητές συνδυάζοντας τον ορισµό της µονότονης συνάρτησης και τα αποτελέσµατα της σύγκρισης των τετµηµένων και των αντίστοιχων τεταγµένων δύο τυχαίων σηµείων διαπιστώνουν ότι η εκθετική f συνάρτηση ( ) = a µε a> 1είναι γνησίως αύξουσα. Με παρόµοιο τρόπο εργάζονται και στην περίπτωση που το a είναι ένας αριθµός µεταξύ του 0 και του 1. Τέλος, οι προτεινόµενες ερωτήσεις κατανόησης αυτού του φύλλο εργασίας αποτελούν γέφυρα σύνδεσης της ανάλυσης µε την άλγεβρα και βοηθούν τους 8

10 µαθητές να αντιληφθούν καλύτερα τα αποτελέσµατά τους. Οι ερωτήσεις αυτές µπορούν να επαληθευτούν από τους µαθητές και µε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων. 4 η ώρα: Κατακόρυφη Οριζόντια Μετατόπιση. Συνοδευτικό υλικό: 4 ο φύλλο εργασίας. ιδακτική διαδικασία: Αυτή την ώρα οι µαθητές χωρίζονται σε δύο οµάδες. Η 1 η οµάδα ασχολείται µε την κατακόρυφη µετατόπιση και η η οµάδα µε την οριζόντια µετατόπιση µιας εκθετικής συνάρτησης της επιλογής τους. Οι µαθητές ανοίγουν ένα επεξεργασµένο αρχείο Geogebra και διαλέγουν µία εκθετική συνάρτηση µετακινώντας ένα δροµέα a. Κατόπιν η κάθε οµάδα δηµιουργεί µία νέα συνάρτηση που προκύπτει από κατακόρυφη και οριζόντια µετατόπιση αντίστοιχα της αρχικής τους συνάρτησης. Οι µαθητές υπολογίζουν τις συντεταγµένες ενός σηµείου της νέας συνάρτησης και αξιοποιώντας τις δυνατότητες του λογισµικού το αποτυπώνουν στο σύστηµα συντεταγµένων και του βάζουν ίχνος. Στη συνέχεια, µετακινούν ένα σηµείο Μ της αρχικής συνάρτησης και έτσι αποτυπώνονται τα αντίστοιχα σηµεία της νέας συνάρτησης. Αφού ολοκληρωθεί η παραπάνω διαδικασία οι µαθητές παρατηρούν τη γραφική παράσταση της µετατοπισµένης συνάρτησης και συµπληρώνουν έναν γενικό κανόνα. Μόλις οι δύο οµάδες τελειώσουν την πρώτη σελίδα του φύλλου εργασίας τους ανακοινώνονται τα αποτελέσµατά τους από έναν µαθητή της κάθε οµάδας. Οι επόµενες ερωτήσεις µε τις οποίες ασχολούνται οι µαθητές βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση των συµπερασµάτων τους. Στο τέλος οι µαθητές συµπληρώνουν ένα διάγραµµα που αποτελεί αρωγό για πολλές µετατοπισµένες συναρτήσεις. Το φύλλο εργασίας έχει και µία εργασία, ώστε οι µαθητές να ασχοληθούν και µε την αντίστροφη διαδικασία (από τις γραφικές παραστάσεις να προσδιορίσουν τον τύπο της µετατοπισµένης συνάρτησης) 9

11 Επέκταση του Σεναρίου Το προτεινόµενο σενάριο µπορεί να εφαρµοστεί κατά την διδασκαλία και µελέτη και άλλων γραφικών παραστάσεων. Αξιολόγηση του σεναρίου Ο εκπαιδευτικός ελέγχει κατά πόσο επιτεύχθηκαν οι στόχοι του σεναρίου και εξετάζει τους λόγους για τους οποίους κάποιοι δεν επιτεύχθηκαν, ώστε να παρέµβει ανάλογα στη διδακτική διαδικασία. Ως προς τα εργαλεία: Ο εκπαιδευτικός ελέγχει την ευκολία µε την οποία οι µαθητές αξιοποίησαν τα εργαλεία του εν λόγω λογισµικού σε συνδυασµό µε την σαφήνεια των οδηγιών του και των περιγραφών των φύλλων εργασίας, και αξιολογεί τα δεδοµένα του, ώστε να κάνει διορθωτικές παρεµβάσεις στο σενάριο του για την επόµενη εφαρµογή. Ως προς τη διαδικασία υλοποίησης: Ο εκπαιδευτικός αξιολογεί σε κάθε βήµα τη διαδικασία υλοποίησης του σεναρίου, έτσι ώστε να αναπροσαρµόσει τα στοιχεία που δε δούλεψαν καλά στο πλαίσιο της διαµορφωτικής αξιολόγησης. Ως προς την προσαρµογή και επεκτασιµότητα: Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λαµβάνει υπόψη του τη δυνατότητα επέκτασης ενός σεναρίου καθώς και την ευκολία προσαρµογής του στο σχολικό περιβάλλον, στον διδακτικό προγραµµατισµό του και στην κουλτούρα της σχολικής τάξης. Εφαρµόζοντας το σενάριο πολλές φορές σε διαφορετικές τάξεις και ανταλλάσοντας ιδέες µε άλλους συναδέλφους του θα µπορεί να κάνει ουσιαστικές προσαρµογές στο σενάριο του. Σηµείωση: Στα Φύλλα Εργασίας που ακολουθούν οι αναµενόµενες απαντήσεις από τους µαθητές σηµειώνονται µε κόκκινο χρώµα. 10

12 1 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πίνακας τιµών Σηµεία γραφικής παράστασης Γραφική παράσταση Συµµετρία ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Ανοίξτε ένα νέο αρχείο Geogebra.. Θα φτιάξουµε έναν πίνακα τιµών για τη συνάρτηση f( ) =, γράφοντας τα παρακάτω: Πηγαίνουµε στην Προβολή, κάντε αριστερό κλικ και επιλέξτε Προβολή Λογιστικού Φύλλου. Στο κουτάκι Α1 γράφουµε και πατάµε Enter. Σηµείωση: Τα γίνονται πατώντας µαζί και Στο κουτάκι Α γράφουµε το -3, και πατάµε Enter. Στο κουτάκι Α3 γράφουµε το -,8 και πατάµε Enter. Πηγαίνουµε το δείκτη του ποντικιού στο κουτάκι Α, πατάµε συνεχόµενα αριστερό κλικ και σέρνουµε το ποντίκι προς τα κάτω µέχρι το κουτάκι Α3 (µόλις τα κουτάκια Α, Α3 γίνονται µπλε αφήστε το αριστερό κλικ). Κατόπιν τοποθετούµε το δείκτη του ποντικιού στην κάτω δεξιά κορυφή του µπλε ορθογωνίου και πατώντας συνεχόµενα αριστερό κλικ σέρνουµε το ποντίκι προς τα κάτω µέχρι το κουτάκι Α16. Παρατηρούµε ότι εµφανίστηκαν αριθµοί από το ως το Στο κουτάκι B1 γράφουµε f()=^ και πατάµε Enter. Στα κουτάκι Β γράφουµε ^Α και πατάµε Enter. Σηµείωση: Τo ^ γίνεται πατώντας µαζί και -3,,4 Ποιος αριθµός εµφανίσθηκε στο κουτάκι Β; Ο αριθµός αυτός ποια δύναµη αριθµού αντιπροσωπεύει; 0,11 Πηγαίνουµε το δείκτη του ποντικιού στο κουτάκι Β, κάνουµε αριστερό κλικ (το κουτάκι γίνεται µπλε) και το δείκτη τον τοποθετούµε στην κάτω δεξιά κορυφή του µπλε τετραγώνου. Κατόπιν πατάµε συνεχόµενα αριστερό κλικ και σέρνουµε το ποντίκι προς τα κάτω µέχρι το κουτάκι Β16. Με αυτόν τον τρόπο εµφανίζουµε γρήγορα τις τιµές της f. -3, Χρησιµοποιώντας των πίνακα τιµών να συµπληρώσετε τα παρακάτω: 0,5 - = και , ,3 = = 11

13 3. Θα δηµιουργήσουµε σηµεία στο σύστηµα αξόνων χρησιµοποιώντας τους αριθµούς του πίνακα τιµών. Πιο συγκεκριµένα, πηγαίνουµε το δείκτη του ποντικιού στο κουτάκι Α, πατάµε συνεχόµενα αριστερό κλικ και σέρνουµε το ποντίκι προς τα κάτω, ώστε να γίνουν µπλε οι αριθµοί των στηλών και f(). Κατόπιν κάνουµε δεξί κλίκ και επιλέγουµε ηµιουργία Λίστας σηµείων. Πόσα σηµεία εµφανίστηκαν; Θα σχεδιάσουµε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, γράφοντας τον τύπο της στο κάτω µέρος του παραθύρου αριστερά µε τίτλο Εισαγωγή. Γράφουµε f()=^ και πατάµε Enter. Παρατηρούµε ότι η καµπύλη της f από τα σηµεία του πίνακα τιµών. Σχόλιο: Για να αλλάξουµε το χρώµα και το πάχος της καµπύλης, πηγαίνουµε τον δείκτη του ποντικιού στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, κάνουµε δεξί κλικ και πατάµε ιδιότητες. Μετά στα κουµπιά χρώµα και στυλ ας διαµορφώσετε την καµπύλη σας. διέρχεται 5. Με παρόµοιο τρόπο να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) g 1 = και να την διαµορφώσετε µε χρώµα και πάχος της αρεσκείας σας. Από ποιο σηµείο διέρχονται οι εκθετικές συναρτήσεις f και g; ψ ψ (0,1) Ποιος είναι ο άξονας συµµετρίας των f και g; Εργασία για το ΣΠΙΤΙ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) - f =3. i) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τη γραφική παράσταση της ( ) g =3. ii) Χρησιµοποιώντας τη γραφική παράσταση της f ή της g να υπολογίσετε στο περίπου τον αριθµό 3. 1

14 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πεδίο ορισµού Σύνολο τιµών Ασύµπτωτες ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Ανοίξτε ένα νέο αρχείο Geogebra.. Στο σύστηµα συντεταγµένων θα σχεδιάσουµε την εκθετική συνάρτηση f( ) = a και δίνοντας τιµές στο a θα παρατηρούµε τη γραφική της παράσταση. Στην εργαλειοθήκη πατάµε το κουµπί και καθώς κάνουµε αριστερό κλικ στο σύστηµα συντεταγµένων εµφανίζεται το παρακάτω εικονίδιο Στο ελάχιστο αντικαθιστούµε το αριθµό -5 µε το 0 και πατάµε Εφαρµογή Με αυτόν τον τρόπο απορρίπτουµε τις αρνητικές τιµές στο a. Αν στη θέση του a βάλουµε το -5 και στη θέση του το 1 αυτό που θα προκύψει είναι Σωστό ή Λάθος; (-5) 1 = -5 Λάθος Στην Εισαγωγή γράφουµε f()=a^ και πατάµε Enter. σταθερή 1 Στο σύστηµα αξόνων εµφανίστηκε η συνάρτηση f()=.. Στην εργαλειοθήκη πατάµε το κουµπί και πηγαίνουµε το δείκτη του ποντικιού στη τελεία του δροµέα. Κατόπιν πατάµε συνεχόµενα αριστερό κλικ και σέρνουµε το ποντίκι προς τα δεξιά µέχρι το a να γίνει 1,3 ή κάποιος άλλος αριθµός της αρεσκείας σας. f( ) =1,3 Ποιας συνάρτησης εµφανίστηκε η γραφική παράσταση; Σχόλιο: Αν θέλουµε να βλέπουµε τον τύπο της συνάρτησης στην οθόνη του υπολογιστή, τότε κάνουµε τα εξής: 1) Στην εργαλειοθήκη κάνουµε αριστερό κλικ στο κάτω δεξί µέρος του και επιλέγουµε το κουµπί ) Κάνουµε αριστερό κλικ στην οθόνη και στο παράθυρο που εµφανίζεται γράφουµε f()= +f 3) Πατάµε στο κουτάκι που γράφει Τύπος LaTeX 4) Πατάµε ΟΚ 13

15 3. ηµιουργία σηµείου που κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Στην εργαλειοθήκη πατάµε το κουµπί και πηγαίνουµε το δείκτη του ποντικιού στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Τη στιγµή που η γραφική παράσταση γίνεται πιο έντονη κάνουµε αριστερό κλικ και εµφανίζεται το σηµείο Α. Πατάµε το κουµπί και πηγαίνουµε το δείκτη του ποντικιού στο σηµείο Α που δηµιουργήσαµε. Πατώντας συνεχόµενα αριστερό κλικ στην τελεία του σηµείου Α εµφανίζεται ένα χεράκι το οποίο µας επιτρέπει να κινούµε το σηµείο πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Όχι, αν παρατηρήσουµε µε προσοχή Το σηµείο Α τέµνει τον άξονα ;.. Με ποια ευθεία (ασύµπτωτος) τείνει να ταυτισθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης f; Με τον άξονα 4. Εύρεση πεδίου ορισµού από το σύνολο των τετµηµένων του σηµείου Α. Στην Εισαγωγή πατάµε ((A),0) και κατόπιν Enter. Πηγαίνουµε το δείκτη του ποντικιού στην τελεία του σηµείου που εµφανίστηκε στον χ χ και κάνουµε δεξί κλικ. Έτσι εµφανίζεται ένα νέο παράθυρο και πατάµε στο Ίχνος ενεργό. Αν σύρουµε το σηµείο Α πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης καταγράφονται οι τιµές που µπορεί να πάρει το. Tο πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το Α= (-,+ ) =R 5. Εύρεση του συνόλου τιµών από το σύνολο των τεταγµένων του σηµείου Α. Στην Εισαγωγή πατάµε (0,y(A)) και κατόπιν Enter. Πηγαίνουµε το δείκτη του ποντικιού στη τελεία του σηµείου που εµφανίστηκε στον ψ ψ και κάνουµε δεξί κλικ. Έτσι εµφανίζεται ένα νέο παράθυρο και πατάµε στο Ίχνος ενεργό. Αν σύρουµε το σηµείο Α πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης καταγράφονται οι τιµές που µπορεί να πάρει η συνάρτηση. Το σύνολο τιµών της συνάρτησης είναι το f(a)= ( 0,+ ) Εργασία για το ΣΠΙΤΙ 1.Αν ( ) f =α είναι µία εκθετική συνάρτηση να επιλέξετε ποιες τιµές µπορεί να πάρει το α (i) (-5,5) (ii) [ 0,+ ) (iii) ( 0,1) ( 1, + ) (iv) [ 0,1) ( 1, + ). Να γράψετε το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της συνάρτησης ( ) f =0,8 14

16 3 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Μονοτονία-Εξισώσεις-Ανισώσεις ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Ας ανοίξουµε το αρχείο Geogebra µε την ονοµασία 1. Μονοτονία.ggb. Στο σύστηµα συντεταγµένων θα µελετήσουµε τη µονοτονία της εκθετικής συνάρτησης f( ) = a, όπου a ( 0,1) ( 1, ) +. Επιλέγουµε για το a οποιονδήποτε αριθµό µεγαλύτερο του 1 και γράφουµε τον τύπο της συνάρτησης f. 1, f()= Μετακινούµε τα σηµεία Α και Β (πηγαίνοντας το δείκτη του ποντικιού στην τελεία του σηµείου Α και πατώντας συνεχόµενα αριστερό κλικ σύρουµε το ποντίκι). Ας συγκρίνουµε τις τετµηµένες 1, και τις τεταγµένες f( ),f( ) 1 των σηµείων Α και Β αντίστοιχα, χρησιµοποιώντας τα σύµβολα > και < Για a>1 προκύπτει: 1... < και f( )...f < ( ) 1 Παρατηρούµε ότι η φορά των ανισώσεων που γράψαµε είναι Αλλάζοντας την τιµή του δροµέα a και επιλέγοντας για το a οποιονδήποτε αριθµό στο διάστηµα ( 0,1 ) και ας γράψουµε έναν τύπο της συνάρτησης f. f()= 0,4 Να συγκρίνετε τις τετµηµένες 1 f,f των, και τις τεταγµένες ( ) ( ) 1 σηµείων Α και Β αντίστοιχα, χρησιµοποιώντας τα σύµβολα > και < Για 0<a<1 προκύπτει: 1 >... και f( )...f < ( ) 1 Παρατηρούµε ότι η φορά των ανισώσεων που γράψαµε είναι Ας θυµηθούµε 1. Μία συνάρτηση θα λέµε ότι είναι γνησίως αύξουσα, όταν για κάθε 1, του πεδίου ορισµού της µε < ισχύει f( )...f < ( ) 1 1. Μία συνάρτηση θα λέµε ότι είναι γνησίως φθίνουσα, όταν για κάθε 1, του πεδίου ορισµού της µε < ισχύει f( )...f > ( ) 1 1 ίδια διαφορετική ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για 0<a<1, η συνάρτηση ( ) Για a>1, η συνάρτηση ( ) φθίνουσα f =a είναι γνησίως f =a είναι γνησίως αύξουσα 15

17 3. Να κυκλώσετε το Σ (σωστό) ή το Λ (λάθος) στις παρακάτω προτάσεις: i. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε f( ) < f( 3). Σ Λ ii. Αν f( 3) < f( 4), τότε η συνάρτηση f είναι πάντα γνησίως αύξουσα. Σ Λ iii. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε f( 3) > f( ) Σ Λ 4. Να απαντήσετε στις παρακάτω προτάσεις: i. Η συνάρτηση f( ) 0,5 ii. Αν 0,5 0, 5 = είναι γνησίως φθίνουσα <, τότε f( ) f (... ) <, οπότε... > iii. Να κυκλώσετε το µεγαλύτερο αριθµό από τους 0,5 και 3 0,5 iv. Η συνάρτηση f( ) 01 = είναι γνησίως αύξουσα v. Να κυκλώσετε το µεγαλύτερο αριθµό από τους vi. Αν 01 > 1, τότε > 01, οπότε... > 0 01 και Χρησιµοποιώντας τη µονοτονία της εκθετικής συνάρτησης ( ) α ( 0,1) ( 1, + ), να απαντήσετε στις παρακάτω προτάσεις: 1 i. Αν 1, τότε α... α 1 ii. Αν α =α, τότε (µε απαγωγή σε άτοπο) 1... = iii. Αν iv. Αν = 8, τότε 3... =, οπότε... = 3 η εξίσωση είναι Α ΥΝΑΤΗ, διότι α > 0 για κάθε R f =α, όπου = 4, τότε Εργασία για το ΣΠΙΤΙ 1. Η συνάρτηση ( ) - f =3 είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.. Na λύσετε τις εξισώσεις ανισώσεις: i) 5 =5 ii) > 4 4 iii) 1 1 iv) 7 =0 v) = 3. Στο διπλανό σύστηµα αξόνων φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 1 f = 3 και η οριζόντια ευθεία ε:ψ=9 i. Να βρείτε το κοινό σηµείο τοµής τους. ii. Να λύσετε την ανίσωση 1 < 9 3 γραφικά και κατόπιν αλγεβρικά. 16

18 4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (1η οµάδα) Κατακόρυφη Μετατόπιση ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Ανοίξτε το αρχείο Geogebra µε την ονοµασία. Μετατοπίσεις.ggb. Στο σύστηµα συντεταγµένων νασχεδιάσετε τη γραφική παράσταση µιας εκθετικής συνάρτησης που έχει προκύψει από κατακόρυφη µετατόπιση της συνάρτησης f( ) = a, όπου a ( 0,1) ( 1, ) +. Επιλέξτε για το a οποιονδήποτε αριθµό στο διάστηµα ( 0,1) ( 1, + ) και γράψτε τον τύπο της συνάρτησης f. 1, f()= Κάντε αριστερό κλικ στο κουτάκι που γράφει κατακόρυφη ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ. Μετακινήστε το δροµέα c 1 και γράψτε τη νέα συνάρτηση g που προκύπτει f + c. από τη σχέση ( ) 1 g()= 1, +1 Κάντε αριστερό κλικ στο κουτάκι που γράφει Τύπος της g, για να επαληθεύσετε το προηγούµενο συµπέρασµά σας. Κάντε αριστερό κλικ στο κουτάκι που γράφει Σηµείο της g, ώστε να εµφανιστεί το σηµείο M 1 το οποίο απέχει κατακόρυφη απόσταση c 1 από το αντίστοιχο σηµείο Μ της f. Υπολογίστε τη τιµή της g για = 0 0 1, g(0)= = = Κάντε δεξί κλικ στο σηµείο M 1και πατήστε Ίχνος ενεργό. Σύρετε το σηµείο Μ πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για να δείτε τα αντίστοιχα σηµεία της g που απέχουν κατακόρυφη απόσταση c 1 και όταν εµφανιστεί το κουτάκι που γράφει Γραφική παράσταση της g κάντε αριστερό κλικ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Η f( ) +c 1, όπου 1 της ( ) κατακόρυφη c >0 προκύπτει από µία. µετατόπιση c f κατά 1 µονάδων προς τα. πάνω 17

19 3. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά: i) Η συνάρτηση προκύπτει από µία.. µετατόπιση της 5 κατά µονάδες προς τα.. ii) Η συνάρτηση 0,3 προκύπτει από µία.. µετατόπιση της 0,3 κατά µονάδες προς τα. κάτω iii) Η συνάρτηση 5 3 προκύπτει από µία.. µετατόπιση της κατά.. µονάδες προς τα iv) Η συνάρτηση προκύπτει από µία.. οριζόντια µετατόπιση 1 4 της... κατά µονάδες προς τα... αριστερά 4. Να συµπληρώσετε το παρακάτω διάγραµµα, βάζοντας στα κενά έναν από τους τύπους: f( ) c, f( ) c, f( c) +, f( c) δεξιά πάνω κατακόρυφη οριζόντια όπου c> 0. κατακόρυφη 3 f( ) +c Κατά c µονάδες πάνω, σε σχέση µε τη βασική. f( +c ) Βασική συνάρτηση f( ) f( -c ) Κατά c µονάδες αριστερά, σε σχέση µε τη f( ) -c Κατά c µονάδες κάτω, σε σχέση µε τη βασική. Κατά c µονάδες δεξιά, σε σχέση µε τη βασική. Εργασία για το ΣΠΙΤΙ 1. Να αντιστοιχίσετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων µε το χρώµα που τις αντιπροσωπεύει. 1 Συνάρτηση Χρώµα f = 3 Κόκκινο (α) ( ) ( ) ( ) f3( ) f ( ) 3 f = Μαύρο (γ) f = 3 Μπλε (ε) 4 = Πράσινο (δ) = Πορτοκαλί (β) 18

20 4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (η οµάδα) Οριζόντια Μετατόπιση ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Ανοίξτε το αρχείο Geogebra µε την ονοµασία. Μετατοπίσεις.ggb. Στο σύστηµα συντεταγµένων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση µιας εκθετικής συνάρτησης που έχει προκύψει από οριζόντια µετατόπιση της συνάρτησης f( ) = a, όπου a ( 0,1) ( 1, ) +. Επιλέξτε για το a οποιονδήποτε αριθµό στο διάστηµα ( 0,1) ( 1, + ) και γράψτε τον τύπο της συνάρτησης f. 1, f()= Κάντε αριστερό κλικ στο κουτάκι που γράφει οριζόντια ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ. Μετακινήστε το δροµέα c και γράψτε τη νέα συνάρτηση h που προκύπτει από τη σχέση f( c ). - h()= 1, Κάντε αριστερό κλικ στο κουτάκι που γράφει Τύπος της h, για να επαληθεύσετε το προηγούµενο συµπέρασµά σας. Κάντε αριστερό κλικ στο κουτάκι που γράφει Σηµείο της h, ώστε να εµφανιστεί το σηµείο M 1 το οποίο απέχει οριζόντια απόσταση c από το αντίστοιχο σηµείο Μ της f. Υπολογίστε τη τιµή της h για = - 0 1, h()= = = 1, 1 Κάντε δεξί κλικ στο σηµείο M 1και πατήστε Ίχνος ενεργό. Σύρετε το σηµείο Μ πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για να δείτε τα αντίστοιχα σηµεία της h που απέχουν οριζόντια απόσταση c και όταν εµφανιστεί το κουτάκι που γράφει Γραφική παράσταση της h κάντε αριστερό κλικ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Η f( -c ), όπου c >0 προκύπτει από µία οριζόντια µετατόπιση c f κατά µονάδων προς τα. δεξιά της ( ) 19

21 3. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά: i) Η συνάρτηση προκύπτει από µία.. µετατόπιση της 5 κατά µονάδες προς τα.. ii) Η συνάρτηση 0,3 προκύπτει από µία.. µετατόπιση της 0,3 κατά µονάδες προς τα. κάτω iii) Η συνάρτηση 5 3 προκύπτει από µία.. µετατόπιση της κατά.. µονάδες προς τα iv) Η συνάρτηση προκύπτει από µία.. οριζόντια µετατόπιση 1 4 της... κατά µονάδες προς τα... αριστερά 4. Να συµπληρώσετε το παρακάτω διάγραµµα, βάζοντας στα κενά έναν από τους τύπους: f( ) c, f( ) c, f( c) +, f( c) δεξιά πάνω κατακόρυφη οριζόντια όπου c> 0. κατακόρυφη 3 f( ) +c Κατά c µονάδες πάνω, σε σχέση µε τη βασική. f( +c ) Βασική συνάρτηση f( ) f( -c ) Κατά c µονάδες αριστερά, σε σχέση µε τη f( ) -c Κατά c µονάδες κάτω, σε σχέση µε τη βασική. Κατά c µονάδες δεξιά, σε σχέση µε τη βασική. Εργασία για το ΣΠΙΤΙ 1. Να αντιστοιχίσετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων µε το χρώµα που τις αντιπροσωπεύει. 1 Συνάρτηση Χρώµα f = 3 Κόκκινο (α) ( ) ( ) ( ) f3( ) f ( ) 3 f = Μαύρο (γ) f = 3 Μπλε (ε) 4 = Πράσινο (δ) = Πορτοκαλί (β) 0