PLANIMETRIA 1. MARCAREA ȘI SEMNALIZAREA PUNCTELOR TOPOGRAFICE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PLANIMETRIA 1. MARCAREA ȘI SEMNALIZAREA PUNCTELOR TOPOGRAFICE"

Transcript

1 PLANIMETRIA Partea din topografie care se ocupă cu studiul instrumentelor și metodelor necesare determinării poziției în plan a punctelor topografice de pe teren, în scopul transpunerii lor pe plan sau hartă, se numește planimetrie. Pentru realizarea acestui deziderat este necesar să se facă recunoașterea terenului în vederea alegerii punctelor topografice care urmează să fie marcate şi semnalizate, precum şi măsurătorile pe teren a distantelor şi unghiurilor topografice (atât orizontale, cât şi verticale). Pe lângă acestea, trebuie ca măsurătorile pentru determinarea poziţiei în plan a punctelor de detaliu să se bazeze pe o reţea de puncte de sprijin. Această reţea de sprijin poate exista sau poate să fie construită. Elementele obţinute în urma măsurătorilor de pe teren permit prin calculele corespunzătoare, să se obţină, în final, coordonatele punctelor care permit stabilirea poziţiei în plan a acestora şi respectiv raportarea lor pe plan în scopul realizării planului topografic. 1. MARCAREA ȘI SEMNALIZAREA PUNCTELOR TOPOGRAFICE 1.1. Marcarea punctelor topografice Prin marcare se materializează la sol punctele topografice, folosindu-se țăruși de lemn (fig. 1.1., a), de fier (fig. 1.1., b), borne de beton (fig. 1.2.). Țărușii se folosesc în extravilan și în intravilan, când se fac marcări cu caracter temporar, iar bornele de beton se utilizează în cazul marcării punctelor permanente. Fig Marcarea punctelor: a ţăruş de lemn; b ţăruş de fier (1 punctul matematic). Fig Bornă de beton (1 punctul matematic) 1.2. Semnalizarea punctelor topografice Semnalizarea este operaţia prin care, cu ajutorul unor semnale, se face posibilă observarea punctelor topografice de la distanţă. Cel mai simplu semnal este jalonul (fig. 1.3.). Se construieşte din lemn de esenţă moale, având un capăt ascuţit şi îmbrăcat într-un sabot metalic şi este vopsit alternativ, de obicei cu roşu şi alb, fie din 25 în 25 cm, fie din 50 în 50 cm. Cel mai adesea, lungimea jalonului este de 2 m. Alte semnale utilizate frecvent sunt: baliza, care poate fi simplă (fig. 1.4.) sau cu cutie (fig. 1.5.). 1

2 Ultima prezintă avantajul că permite scoaterea balizei propriu-zise, iar punctul semnalizat poate fi utilizat şi ca punct de staţie. În plus, semnalul are mai multă stabilitate. Când se face staţie cu teodolitul în punctul respectiv, punctul matematic, de deasupra cutiei, se determină prin intersectarea diagonalelor secţiunii cutiei. Balizele se vopsesc, de asemenea, în culori contrastante mediului, respectiv cu alb şi negru. Fig Jalon: a jalon simplu; b jalon cu trepied (port jalon). Fig Baliza simplă Fig Baliza cu cutie Semnalizarea unor puncte topografice mai importante se face prin piramide ca acelea din figura 1.6. În ridicările topografice din intravilan se folosesc semnale speciale (fig. 1.7.) instalate pe clădiri. Uneori mai pot fi utilizate drept semnale şi coşuri de fabrici, turnuri, crucile de pe turlele bisericilor etc. Se pot folosi, de asemenea, semnale pe arbori (fig. 1.8.). Fig Piramide topografice 2

3 Fig Semnal topografic instalat pe clădiri Fig Semnale pe arbori 1.3. Jalonarea unui aliniament Un mod aparte de semnalizare îl constituie jalonarea aliniamentelor, care prezintă mai multe cazuri Jalonarea unui aliniament în linie dreaptă Pentru aceasta, se fixează două jaloane în punctele capete ale aliniamentului. În cazul în care lungimea aliniamentului este mare, este necesar să se planteze şi alte jaloane pe aliniamentul respectiv. Pentru aceasta, operatorul se aşează la o distanţă de 1-2 metri de jalonul din A (fig. 1.9.) în aşa fel încât raza vizuală să fie tangentă atât la jalonul din A cât şi la acela din punctul B. În continuare, un ajutor va planta, în sensul B-A, în ordinea cifrelor, atâtea jaloane câte sunt necesare, astfel ca la sfârşit viza să fie tangentă la toate jaloanele. De reţinut că jaloanele din A şi B trebuie să fie verticale, condiţie care se realizează fie cu firul cu plumb, fie cu ajutorul unei nivele. Fig Jalonarea unui aliniament în linie dreaptă Fig Jalonarea unui aliniament între două puncte fără vizibilitate Jalonarea unui aliniament între două puncte fără vizibilitate Se realizează astfel: un operator se aşează într-un punct C. situat cât mai aproape de aliniamentul AB si cu condiţia ca din C să se vadă ambele puncte A şi B (fig ). Un alt operator se va deplasa cu un alt jalon în punctul D, care se găseşte pe aliniamentul CA. Din punctul D trebuie, de asemenea, să fie vizibile 3

4 punctele A şi B. Apoi, pentru că punctele C şi D nu se găsesc situate pe aliniamentul AB, cei doi operatori se deplasează succesiv (ca în fig , jos). până când cele două jaloane intermediare (din C' si D') se vor afla pe aliniamentul A-B în poziţiile C" si D" Jalonarea unui aliniament peste o vale Din punctul A (fig ) operatorul dirijează un ajutor ca sa planteze jaloanele în punctele D si C, apoi în punctele F şi E şi aşa mai departe; cifrele şi săgeţile din figura indică sensul şi ordinea executării jalonării acestui aliniament. Fig Jalonarea unui aliniament peste o vale 2. MĂSURAREA DISTANŢELOR Se poate face direct, indirect sau optic și prin unde Măsurarea directă Măsurarea directă a distanţelor constă în a aşterne direct pe suprafaţa topografică instrumentul de măsurat. Dintre instrumentele de măsurat distantele direct, cele mai utilizate sunt: firul de invar, panglica de oţel, ruleta. Firul de invar este construit dintr-un aliaj de nichel (36%) şi oţel (64%) şi are un coeficient de dilatare nul. Se întrebuinţează în măsurători de precizie, ca de exemplu baze de triangulaţie. Panglica de oţel este cel mai folosit instrument de măsurat distanţe. Are o lungime de 20 m, 25 m şi 50 m, o lăţime de mm şi o grosime de 0,3 0,4 mm. La capete este prevăzută cu câte un inel mobil (fig. 2.1.). În timp de repaus, panglica se înfăşoară pe un suport de lemn sau de fier numit cruce, iar pentru a nu se desfăşura se fixează cu ajutorul unui șurub (fig. 2.2., 2.2. bis). Ruletele pot fi din metal sau din pânză. Lungimea lor variază intre 2 metri si 20 metri. Ele sunt divizate în metri, decimetri şi centimetri. Când nu se lucrează cu ele se strâng într-un toc, de obicei din piele sau din metal. 4

5 Fig Inelul de la capătul panglicii de oţel Fig. 2.2.Tipuri de panglici de oţel Fig. 2.2.bis. Panglică Sokkia de fibră de sticlă plastifiată (tip N850F) O trusă completă de măsurat este reprezentată în figura 2.3. şi se compune din: panglică, dinamometru, termometru, fişe şi două bastoane întinzătoare. Fig Trusă completă de măsurare directă a distanţelor: 1 baston întinzător: 2 fişă; 3 dinamometru; 4 ţăruş care marchează punctul topografic de la care începe măsurătoarea. Măsurarea cea mai frecventă a distanţelor se face de obicei cu panglica şi se execută astfel: - se introduce unul dintre inelele panglicii pe un baston întinzător; - de celălalt baston se agată dinamometrul; - inelul dinamometrului se fixează pe celălalt baston întinzător; - se aşează diviziunea zero a panglicii pe punctul matematic al punctului topografic de la care se începe măsurătoarea şi se fixează prin intermediul bastonului întinzător; - cu ajutorul celuilalt baston, de care este montat dinamometrul, se întinde panglica cu o forţă egală cu forţa de etalonare a panglicii, forţă care se citeşte pe dinamometru; Se are grijă ca panglica să nu fie răsucită şi, în acelaşi timp, să fie pe aliniamentul dintre cele două puncte între care se execută măsurătoarea. Dacă distanţa este mai lungă decât lungimea panglicii, diviziunea de 50 metri a panglicii se marchează pe teren printr-o fişă în poziţie verticală. Apoi se ridică panglica şi se aduce diviziunea zero în dreptul fişei, iar cu celălalt capăt se continuă măsurătoarea, având grijă ca permanent aceasta să se desfăşoare de-a lungul aliniamentului. După ce panglica a fost întinsă şi aşternută pe aliniamentul respectiv, în dreptul diviziunii 50 metri se înfige iarăşi o fişă şi se ridică din nou panglica. Totodată, operatorul care se găseşte în dreptul primei fişe o scoate şi o pune pe un inel. În acest fel se continuă măsurătoarea. Numărul de fişe de la operatorul din urmă indică tot atâtea lungimi de panglică. Deci, fişele dau posibilitatea înregistrării de câte ori se cuprinde lungimea panglicii în distanţa măsurată, la acest număr de panglici adăugându-se lungimea panoului terminus, mai mic decât o panglică. 5

6 De obicei, pe teren, cel mai adesea, distanţele sunt înclinate. Dacă distanţa respectivă are o înclinare constantă între cele două puncte între care se desfăşoară (fig. 2.4.), se măsoară distanţa înclinată L" şi unghiul de pantă α. Deoarece pe planuri şi hărţi nu se reprezintă decât proiecţia orizontală a distanţelor de pe teren, va trebui să se calculeze proiecţia orizontală, notată cu D, cu ajutorul formulei: D = Lcos α (2.1) Fig Măsurarea distanțelor înclinate Dacă distanţa de măsurat prezintă mai multe schimbări de pantă (fig. 2.5.) se va măsura fiecare distanţă înclinată şi fiecare unghi de pantă, iar distanţa D dintre punctele A şi B va fi egală cu suma distanţelor d (fig. 2.5.), adică: d 1 = l 1 cos α 1 ; d 2 = l 2 cos α 2 ; d 3 = l 3 cos α 3 ; d 4 = l 4 cos α 4 ; D= d i. Fig Măsurarea distanţelor înclinate cu mai multe panouri În practica topografică sunt situaţii când distanţele sunt prea mult înclinate sau schimbarea de pantă se face la intervale foarte mici şi nu se pot măsura unghiurile de pantă, iar suprafaţa capătă un aspect aproape sinuos. În primul caz se utilizează metoda cu lata şi bolobocul (fig. 2.6.), iar în a doua, metoda cultelaţiei (fig. 2.7.). Fig Măsurarea distanţei în valoare orizontală cu lata şi bolobocul: 1 lata; 2 boloboc sau nivelă; 3 fir cu plumb; 4 jalon sau miră. Fig Măsurarea distanţei în valoare orizontală prin metoda cultelaţiei 6

7 2.3. Măsurarea prin unde Măsurarea prin unde se bazează pe principiul determinării timpului parcurs de la staţia de emisierecepţie până la staţia-reflector şi înapoi, folosindu-se formula: D=1/2 vt, în care: v viteza undelor electromagnetice ; t timpul în care este parcursă distanţa D dus întors. Dintre aparatele utilizate pentru măsurători prin unde: Distomat Wild, Geodimetru, Mekometa ş.a. 3. INSTRUMENTE ŞI METODE DE MĂSURARE A UNGHIURILOR TOPOGRAFICE 3.2. Teodolitul Instrumentul clasic folosit în ridicările topografice este teodolitul (fig ). Părţile principale ale unui teodolit sunt: luneta, cercul vertical, furcile, cercul alidad, cercul orizontal, nivelele, dispozitivele de citire a diviziunilor de pe cercul orizontal şi vertical, trepiedul şi firul cu plumb. Ca piese accesorii amintim: busola sau declinatorul Luneta teodolitului Este o lunetă astronomică adaptată la nevoile măsurătorilor terestre prin adăugarea firelor reticulare. O lunetă clasică se compune din trei tuburi: tubul ocular, tubul reticul şi tubul obiectiv (fig ). 7

8 Fig Secțiune prin teodolit: 1 lunetă topografică; 2 cerc vertical; 2a cerc vertical gradat; 2b cerc alidad fix cu repere de citire; 3 axul de rotaţie al lunetei; 4 furcile de susţinere ale lunetei şi cercului vertical; 5 cercul alidad care susţine suprastructura teodolitului; 6 cercul gradat orizontal sau limb; 7 coloană plină a axului de rotaţie al teodolitului; 8 coloană tubulară a axului de rotaţie al teodolitului; 9 suportul teodolitului (ambaza); 10 trei şuruburi de calare; 11 placa de tensiune a ambazei; 12 placa de ambază; 13 şurub de prindere şi strângere; 14 dispozitiv de prindere a firului cu plumb; 15 nivela torică de pe cercul orizontal; 16 nivela sferică; 17 nivela torică de pe cercul vertical: 18 dispozitive de mărire a diviziunilor, cercurilor şi a dispozitivelor de citire; 19 şurub de fixare (blocare) a cercului alidad; 20 şurub de fixare (blocare) a limbului; 21 şurub de fixare a lunetei şi a cercului vertical; 22 şurub de calare a nivelei cercului vertical: 23 capul trepiedului; VV axa de rotaţie principală a teodolitului; 00 axa secundară de rotaţie a lunetei; NN directricea nivelei torice (15); V s V s axa nivelei sferice (16). a b Fig bis. Teodolite digitale Sokkia (a) şi staţie totală Sokkia tip SRX (b) 8

9 Fig Luneta teodolitului: 1 tub ocular; 2 tub reticul; 3 tub obiectiv; 4 ocularul; 5 diafragma reticulului; 6 reticulul; 7 şuruburile de rectificare a firelor reticule; 8 moleta de focusare; 9 obiectivul; 10 tub parasolar, xx axa lunetei. Fig Fire reticule şi stadimetrice: C centrul reticul; 1, 2 fire reticule; 3 fire stadimetrice orizontale; 4 fire stadimetrice verticale. Tubul ocular (1, fig ). Are rolul de a purta ocularul format din două lentile plan convexe, care se comportă ca un sistem convergent. Tubul ocular culisează, prin înşurubare, în tubul reticul. Tubul reticul (2, fig ). Este partea din lunetă în care sunt fixate diagrama reticulului cu firele reticulare, care se pot prezenta diferit (fig ). Unele lunete au, pe lângă firele reticule şi fire stadimetrice (3, 4 fig ), dispuse simetric. Firele stadimetrice orizontale (3) se folosesc în tahimetria cu firele verticale, iar cele verticale (4) se utilizează în tahimetria paralactică. Tubul reticul culisează şi el, prin înşurubare, cu tubul obiectiv. Tubul obiectiv (3 fig ). Are montat în el obiectivul format din două lentile, una convergentă, din sticlă comună, şi alta divergentă, din cristal. Amândouă formează un sistem acromatic care înlătură aberaţiile de refrangibilitate. Întregul sistem optic al lunetei are următoarele funcţii: ocularul măreşte imaginea reală, mică şi răsturnată formată de obiectiv, iar reticulul prin centrul reticul, materializează axa de vizare. Utilizarea lunetei. Pentru a putea executa vize asupra diferitelor semnale, este necesar ca atât firele reticule, cât şi imaginea obiectului vizat să fie clare. Pentru obţinerea clarităţii firelor reticule, se manevrează din ocular, într-un sens sau altul. Operaţia de obţinere a clarităţii imaginii, operaţie numită focusare, se realizează prin aducerea planului reticul în planul imaginii, folosind în acest sens, fie un şurub, fie un manşon de focusare. În acest timp, claritatea firelor reticule se păstrează, deoarece tubul reticul se deplasează cu tubul ocular cu tot şi deci distanţa de la ocular la firele reticule rămâne nemodificată. În momentul în care s-a obţinut claritatea firelor reticule şi claritatea imaginii obiectivului vizat, se spune că s-a realizat punerea la punct a lunetei după care se pot efectua vizele respective. Punerea la punct a lunetei se face ori de câte ori este necesar. 4. METODE DE MĂSURARE A UNGHIURILOR TOPOGRAFICE CU TEODOLITUL Metode de măsurare a unghiurilor orizontale 9

10 Pentru măsurarea unghiurilor topografice orizontale se vizează cu firul reticul vertical pe semnal, iar metodele folosite sunt următoarele: metoda simplă, metoda repetiţiei, metoda reiteraţiei şi metoda Schreiber Metoda simplă Are două variante: cu zerourile în coincidenţă şi prin diferenţa citirilor. Varianta cu zerourile în coincidenţă se utilizează pentru măsurarea unui singur unghi. Pentru aceasta, se lasă liberă mişcarea cercului alidad şi se roteşte acesta până când diviziunile zero ale vernierelor sunt aduse în coincidentă cu diviziunile 0 g -200 g de pe limb. În continuare, se blochează mişcarea limbului şi se deblochează mişcarea generală. Considerând că trebuie măsurat unghiul din figura 4.1. format de direcţiile SA şi SB, se îndreaptă luneta spre punctul A vizând semnalul din A. În acest moment, pe limbul teodolitului se găseşte diviziunea 0, care corespunde citirii a. Apoi se deblochează cercul alidad de limb şi se roteşte luneta în sensul de la A la B, vizându-se şi semnalul din punctul B. Citirea b pe care o efectuăm pe limb este, de exemplu, de 48 g 37 c 45 cc. Întrucât sensul de divizare a limbului corespunde cu sensul mişcării acelor de ceasornic, rezultă că ω = b a, deci unghiul cu este egal cu diferenţa celor două citiri. Fig Măsurarea unui unghi orizontal: a cu zerourile în coincidenţă; b prin diferenţa citirilor. Deoarece prima citire a este zero, cea de-a doua citire b reprezintă chiar valoarea unghiului. Pentru verificare este bine să se execute măsurătoarea şi cu luneta în poziţia a II-a. Varianta prin diferenţa citirilor este diferită de prima prin aceea că se porneşte în măsurătoare cu o valoare diferită de zero. Astfel, dacă spre exemplu, după ce a fost vizat punctul A, pe limb s-a înregistrat citirea a = 35 g 42 c 30 cc, iar după viza efectuată spre punctul B s-a înregistrat citirea b = 88 g 58 c 60 cc, rezultă că unghiul ω va fi egal cu diferenţa celor două citiri: ω = 88 g 58 c 60 cc 35 g 42 c 30 cc = 53 g 16 c 30 cc. Fig Măsurarea unui unghi prin metoda repetiţiei 10

11 Metoda repetiţiei Constă în măsurarea unui unghi de mai multe ori pornind cu zero în aparat, pe sectoare succesive ale limbului, prin acumularea primului unghi la al doilea, ale acestora la al treilea etc. (fig. 4.2.). Mărimea unghiului va rezulta din ultima citire înregistrată raportată la numărul măsurătorilor. De exemplu, dacă un unghi a fost măsurat de trei ori, iar ultima citire este egală cu 168 g 80 c 45 cc, unghiul va fi egal cu: ω = 168 g 90 c 45 cc /3 = 56 g 30 c 15 cc Numărul repetiţiilor în topografie poate ajunge până la patru iar în geodezie până la Metoda reiteraţiei Se utilizează pentru măsurarea mai multor unghiuri de mai multe ori, când se solicită o precizie mare. Metoda se realizează prin mai multe serii, fiecare având origini diferite. Originile sunt în funcţie de numărul seriilor, iar valoarea q a originilor este dată de raportul dintre 360 o sau 400 g şi numărul seriilor: q = 400 g /n. Această valoare se multiplică cu 0, 1, 2, 3, (n-1), iar produsele rezultate: 0 q, 1 q, 2 q,... (n-1) q< 400 g sunt tocmai gradaţiile de la care se vor începe măsurătorile la fiecare serie. Dacă măsurarea unghiurilor se face prin patru serii, originile vor fi: 400 g /4 = 100 g, valoare care multiplicată cu 0 q, 1 q, 2 q etc. va rezulta: 0 g, 100 g, 200 g, 300 g. În aplicarea metodei reiteraţiei se procedează astfel: se face staţie în punctul S (fig. 4.3.) şi se vizează semnalul din punctul A, cu originea (citirea)zero în aparat. Apoi se deblochează cercul alidad şi se vizează semnalele din punctele B, C, D, E şi iarăşi semnalul din punctul de pornire A. În acest moment s-a realizat un tur de orizont. După fiecare viză spre punctele B, C etc. fac citiri la teodolit. Diferenţa între prima citire pe semnalul din punctul A şi ultima, trebuie să fie de 400 g ± precizia instrumentului. După ultima citire, se roteşte luneta cu 200 g în jurul axei 00 şi cercul alidad tot cu 200 g în jurul axei VV'. S-a realizat poziţia a II-a a lunetei şi se începe al doilea tur de orizont, vizând de data aceasta în sens invers acelor de ceasornic, adică semnalele din A, apoi din E, D, C, B şi iar A, efectuând citiri la fiecare viză. S-a realizat astfel o primă serie. A doua serie se va executa la fel cu prima, însă cu altă origine, a cărei valoare variază în funcţie de numărul seriilor. După fiecare serie, se constată erorile existente, după care se trece la repartizarea progresivă a corecţiilor tuturor unghiurilor citite. 11

12 Fig Măsurarea unghiurilor prin metoda reiteraţiei Fig Măsurarea unghiurilor prin metoda Schreiber este: Numărul vizelor într-un tur de orizont poate fi de 12-15, iar toleranţa admisă în măsurarea unghiurilor T x e n, în care e este precizia teodolitului, iar n numărul vizelor efectuate într-un tur de orizont Metoda Schreiber Este utilizată frecvent în triangulaţii şi constă din măsurarea unghiurilor în toate combinaţiile posibile, adică atât separat, cât şi grupate 2 câte 2, 3 câte 3 etc. (fig. 4.4.) Măsurarea unghiurilor verticale În ridicările topografice, pe lângă unghiurile orizontale, sunt necesare şi unghiurile verticale. Astfel, în planimetrie unghiurile verticale sunt utilizate în reducerea distanţelor înclinate la orizont, iar în altimetrie sau în nivelment sunt folosite pentru calcularea altitudinilor punctelor pe cale trigonometrică (prin nivelment trigonometric). Pentru măsurarea unghiurilor verticale, vizarea se face cu ajutorul firului reticul orizontal (nivelor), fie la înălţimea instrumentului, fie la înălţimea semnalului. Prin înălţimea instrumentului se înţelege distanţa măsurată pe verticală de la punctul de staţie până la axa 00 a teodolitului (centrul cercului vertical), iar prin înălţimea semnalului, distanţa măsurată pe verticală de la sol până la baza popului (a capului negru). În funcţie de felul în care este divizat cercul vertical se va obţine unghiul de pantă α când gradaţiile g sunt în plan orizontal şi unghiul zenital când gradaţiile g sunt pe verticală. Întotdeauna unghiurile verticale trebuie să se măsoare în cele două poziţii ale lunetei şi se va lua media citirilor efectuate în cele două poziţii ale lunetei: C (4.1) g C C C g

13 5. METODE DE RIDICARE ÎN PLAN A UNEI SUPRAFEŢE Metodele utilizate pentru ridicarea în plan a unei suprafeţe sunt: triangulaţia, intersecţia, drumuirea, radierea şi echerarea. Primele trei se folosesc pentru realizarea şi îndesirea reţelei de puncte de sprijin, de stat sau locale, şi ultimele două pentru determinarea poziţiei în plan a punctelor de detalii. Pentru a putea efectua ridicarea în plan a unei suprafeţe este necesară realizarea unei reţele de puncte de sprijin. Dacă aceste puncte sunt determinate prin măsurători geodezice, reţeaua se numeşte geodezică sau triangulaţie de stat, iar dacă sunt determinate prin măsurători topografice, reţeaua se numeşte topografică sau de importanţă locală. Întrucât punctele de sprijin sunt astfel alese încât unite între ele să formeze o serie de triunghiuri, în primul caz va rezulta o reţea de triangulaţie geodezică, iar în al doilea, o reţea de triangulaţie topografică locală Triangulaţia topografică locală Se utilizează pentru situaţiile când regiunea ce urmează a fi ridicată în plan este lipsită de puncte de triangulaţie geodezică, iar suprafaţa este mai mare de 200 ha, fără a depăşi însă 200 km 2. Triunghiurile din reţeaua de triangulaţie locală pot avea diverse forme (fig. 5.1.). În această triangulaţie se măsoară toate unghiurile şi una sau două laturi. Succesiunea operaţiilor într-o astfel de triangulaţie este: proiectarea triangulaţiei, recunoaşterea terenului, măsurarea bazei, măsurarea unghiurilor, orientarea triangulaţiei, compensarea triangulaţiei, calculul lungimii laturilor de triangulaţie, calculul orientărilor laturilor de triangulaţie, calculul coordonatelor punctelor de triangulaţie şi raportarea punctelor pe plan. Fig Reţele de triangulaţie topografică locală Proiectarea triangulaţiei şi recunoaşterea terenului Proiectarea triangulaţiei se face pe o hartă existentă a regiunii, de obicei la scara 1: 25000, şi are ca scop alegerea punctelor care vor constitui reţeaua de sprijin. Aceste puncte trebuie să îndeplinească o serie de condiţii. Astfel, între ele trebuie să existe o vizibilitate reciprocă, triunghiurile pe care le formează să aibă o formă cât mai apropiată de aceea a triunghiurilor echilaterale şi să fie stabile. Între minimum două puncte, distanţa să poată fi măsurată direct, latura aceasta constituind baza de triangulaţie. În cazul când acest lucru nu este realizabil, se va recurge la o altă soluţie. Recunoaşterea terenului este necesară pentru confruntarea proiectului cu terenul; se face fixarea, marcarea şi semnalizarea punctelor stabilindu-se limitele suprafeţei de ridicat. 13

14 5.2. Metoda intersecţiei În scopul îndesirii punctelor din reţeaua de sprijin realizate prin triangulaţie, se aplică metoda intersecţiei care este de două feluri: intersecţia înainte şi intersecţia înapoi Metoda intersecţiei înainte Este folosită în cazul un care se dau două puncte 1 şi 2 de coordonate X şi Y cunoscute şi când se cunosc şi orientările α şi β şi se cere să se determine coordonatele X şi Y ale unui al treilea punct, de exemplu P (fig ). Fig Metoda intersecţiei înainte Fig Metoda intersecţiei înapoi În principiu, problema se rezolvă prin scrierea ecuaţiilor unor drepte ce trec prin câte un punct cunoscut şi au orientări cunoscute. La intersecţia înainte se face staţie în punctele 1 şi 2 şi se vizează spre punctul P în vederea determinării orientărilor α şi β ale dreptelor 1-P şi 2-P. În scopul de a obţine o precizie mai mare, se recomandă ca direcţiile către punctele de intersecţie în exemplul dat, punctul P să se întretaie sub un unghi apropiat de 100 g. Când nu se poate realiza acest deziderat, direcţiile respective nu trebuie să se întretaie sub un unghi mai mic de 30 g, dar nici mai mare de 120 g. Coordonatele X şi Y ale punctului P se calculează fie cu formule ce utilizează tangenta orientării, fie cu formule ce folosesc cotangenta orientării. Se va lua funcţia trigonometrică a cărei valoarea absolută este mai mică Metoda intersecţiei înapoi (retrointersecţia) Mai este cunoscută şi sub numele de problema Pothenot (metoda are mai multe denumiri şi rezolvări) şi constă în calcularea coordonatelor X şi Y ale unui punct P în funcţie de trei puncte de coordonate cunoscute În intersecţia înapoi se face staţie în punctul P, de coordonate necunoscute (fig ) şi se vizează spre punctele 1, 2 şi 3 de coordonate cunoscute pentru a se măsura unghiurile α şi β. Rezolvarea problemei comportă de fapt două faze: prima, în care se calculează orientările. şi a doua, în care se calculează X P şi Y P ca la intersecţia înainte, folosind orientările obţinute. 14

15 5.3. Metoda drumuirii Drumuirea este ultima dintre metode care îndeseşte reţeaua de puncte de sprijin sau realizează independent o astfel de reţea de puncte. Executarea unei drumuiri este condiţionată de respectarea unor condiţii şi anume: punctele de drumuire să fie fixe, între ele să existe vizibilitatea reciprocă şi să fie situate cât mai în apropierea punctelor de detalii ce urmează a fi ridicate; distanţa între punctele de drumuire poate varia între 30 şi 300 m însă în medie între m şi 150 m; lungimea tuturor laturilor unei drumuiri să nu depăşească m în intravilan (în zonele cu clădiri) şi 3000 m în extravilan (zone în care nu există construcţii); numărul laturilor unei drumuiri variază între 15-18, dar în mod excepţional poate ajunge până la 30. O primă operaţie în drumuire constă în alegerea şi marcarea punctelor de drumuire. Marcarea se face prin ţăruşi de lemn (în extravilan) şi de fier (un intravilan). Punctele de drumuire importante se bornează. Se măsoară apoi lungimile laturilor de drumuire, dus şi întors, unghiurile de pantă de la A la B şi de la B la A şi unghiurile orizontale. Atât unghiurile de pantă, cât şi cele orizontale se vor măsura în poziţiile I şi II ale lunetei. În cazul în care drumuirea este independentă se va determina pe teren şi orientarea magnetică a unei laturi. Se continuă cu valorile medii pentru distanţe, unghiuri de pantă şi unghiuri orizontale. Deoarece distantele măsurate sunt înclinate, în cele mai multe cazuri trebuie să se reducă la orizont cu formula: d= l cos a. Apoi, se calculează orientările laturilor de drumuire, iar cu distanţele reduse la orizont se calculează coordonatele relative δx şi δy şi coordonatele absolute X şi Y ale punctelor de drumuire. Există o drumuirea sprijinită pe două puncte de coordonate cunoscute şi o drumuirea închisă pe punctul de plecare Metoda radierii sau metoda coordonatelor polare Odată realizată reţeaua de puncte de sprijin, se continuă măsurătorile pe teren pentru ridicarea punctelor de detaliu, puncte ce definesc, de fapt, perimetre, obiecte etc. de pe suprafaţa topografică. Una din metodele prin care se determină poziţia în plan a punctelor de detaliu este metoda radierii sau metoda coordonatelor polare. Punctele cele mai apropiate de punctele de detaliu sunt punctele de drumuire. Ca urmare a acestui fapt, pentru efectuarea măsurătorilor de unghiuri, în radiere, se face staţie într-un punct de drumuire, ca de exemplu 101 (fig. 5.18). Din acesta, se vizează, cu zero în aparat, către punctul de drumuire 102 (latura de drumuire constituind latură de sprijin), apoi către punctele de radiere 501, 502, 503 şi 504 şi se măsoară astfel unghiurile ω 1, ω 2, ω 3 şi ω 4. Se măsoară, de asemenea, şi distantele (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ), şi (d 4 ), direct în valoarea lor orizontală. Pentru control, se măsoară şi distanţele 15

16 , , Poziţia punctelor de radiere este astfel determinată prin coordonatele lor polare: 501 prin d 1 şi ω 1, 502 prin d 2 şi ω 2, 503 prin d 3 şi ω 3, 504 prin d 4 şi ω 4. Însă, punctelor de radiere li se pot calcula şi coordonatele rectangulare. Pentru aceasta sunt necesare unghiurile ω şi orientările θ. Unghiurile ω se pot măsura cumulat, având originea comună pe direcţia laturii de drumuire Însă, ele pot fi măsurate şi separat, de exemplu unghiul ω 1, este unghiul format de laturile şi , ω 2 de laturile şi ş.a.m.d. În urma măsurătorilor executate, dispunem de suficiente elemente pentru a putea calcula şi coordonatele X şi Y ale punctelor de radiere. Fig Metoda radierii Fig Metoda combinată între drumuire şi radiere 5.5. Metoda echerării sau metoda coordonatelor echerice O altă metodă de ridicare a punctelor de detalii este metoda echerării. Metoda constă în coborârea de perpendiculare din punctele de detaliu pe laturile de drumuire, iar instrumentul utilizat este echerul topografic. Prin această metodă poziţia punctelor de detaliu este determinată prin coordonatele X şi Y. Întrucât perpendicularele se coboară de regulă pe latura de drumuire cea mai apropiată, coordonatele Y se vor măsura cumulat de la un punct de drumuire (fig ), care constituie originea comună a lor, până la picioarele perpendicularelor. Valorile se vor citi direct pe panglica aşternută pe latura de drumuire pe care se coboară perpendicularele. Fig Metoda echerării Fig Exemplu de notare a valorilor lui X Şi Y pe schiţa de teren Coordonatele X ale punctelor de detaliu sunt tocmai lungimile perpendicularelor, care se măsoară cu 16

17 ajutorul unei rulete În cazul terenurilor în pantă lungimea perpendicularelor se măsoară direct în valoare orizontală. Pe teren se întocmeşte o schiţă, pe care se trec valorile cumulate pentru Y şi separate pentru X (fig ). Între punctele de pe suprafaţa topografică şi cele de pe teren, trebuie să existe o perfectă corespondenţă, aşa cum se poate vedea din figura 5.22., pentru că numai astfel planul sau harta vor reprezenta realitatea existentă pe teren la data efectuării ridicărilor topografice. Întrucât ridicările topografice reclamă o anumită precizie în executarea lor, se recomandă ca întotdeauna calculele să fie verificate, iar toleranţele prescrise să nu fie depăşite. Fig Reprezentarea unei suprafețe de teren, pe plan: a suprafața de teren; b reprezentarea în plan a suprafeței 17

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice 4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 1

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 1 TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 1 Noţiuni, formule şi calcule utilizate în ridicările topografice. Unităţi de măsură şi erori. Metode de măsurare a distanţelor şi unghiurilor. Planimetrie şi nivelment Funcţiile

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5 Elemente de cartometrie Cartometria este acea parte a cartografiei care se ocupă cu procedeele şi instrumentele necesare aprecierii cantitative a diferitelor obiecte sau

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

BARDAJE - Panouri sandwich

BARDAJE - Panouri sandwich Panourile sunt montate vertical: De jos în sus, îmbinarea este de tip nut-feder. Sensul de montaj al panourilor trebuie să fie contrar sensului dominant al vântului. Montaj panouri GAMA ALLIANCE Montaj

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

TOPOGRAFIE - Note de curs

TOPOGRAFIE - Note de curs TOPOGRAFIE - Note de curs Partea a II-a Curs pentru învăţământul la distanţă conf. univ. dr. ing. Ovidiu IACOBESCU asist. univ. drd. ing. Ionuţ BARNOAIEA Anul universitar: 009-010 UNIVERSITATEA ŞTEFAN

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

SEXTANTUL CUM FUNCŢIONEAZĂ UN SEXTANT?

SEXTANTUL CUM FUNCŢIONEAZĂ UN SEXTANT? SEXTANTUL CUM FUNCŢIONEAZĂ UN SEXTANT? Să considerăm mai întâi (pentru a asigura o descriere fizică riguroasă) două oglinzi plane paralele M 1, M 2 (orientate după direcţia MN PQ), aparţinând spre exemplu

Διαβάστε περισσότερα

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4 FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL I CUNOSTINTE APRIORICE IN DOMENIUL RIDICARILOR TOPOGRAFICE SPECIALE

CAPITOLUL I CUNOSTINTE APRIORICE IN DOMENIUL RIDICARILOR TOPOGRAFICE SPECIALE CAPITOLUL I CUNOSTINTE APRIORICE IN DOMENIUL RIDICARILOR TOPOGRAFICE SPECIALE 1.1 INTRODUCERE 1.1.1 OBIECTUL MĂSURĂTORILOR TOPOGRAFICE Măsurarea şi reprezentarea pe plan a formei şi reliefului Pămantului

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 3 DETERMINAREA DISTANŢEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE

LUCRAREA NR. 3 DETERMINAREA DISTANŢEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE LUCRAREA NR. 3 DETERMINAREA DISTANŢEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE Tema lucrării: 1) Determinarea distanţei focale a unei oglinzi concave ) Determinarea distanţei focale a unei oglinzi convexe 3) Studiul

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

145. Sã se afle acceleraţiile celor trei corpuri din figurã. Ramurile firului care susţin scripetele mobil sunt verticale.

145. Sã se afle acceleraţiile celor trei corpuri din figurã. Ramurile firului care susţin scripetele mobil sunt verticale. Tipuri de forţe 127. Un corp cu masa m = 5 kg se află pe o suprafaţã orizontalã pe care se poate deplasa cu frecare (μ= 0,02). Cu ce forţã orizontalã F trebuie împins corpul astfel încât sã capete o acceleraţie

Διαβάστε περισσότερα

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia 1. LUCRUL MECANIC 1.1. Un resort având constanta elastică k = 50Nm -1 este întins cu x = 0,1m de o forță exterioară. Ce lucru mecanic produce forța pentru deformarea resortului? 1.2. De un resort având

Διαβάστε περισσότερα

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii: TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor 4. Măsurarea impedanţelor 4.2. Măsurarea rezistenţelor în curent continuu Metoda comparaţiei ceastă metodă: se utilizează pentru măsurarea rezistenţelor ~ 0 montaj serie sau paralel. Montajul serie (metoda

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα