Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II"

Transcript

1 Giza eta Gizarte Zietziak Matematika II 3. ebaluazioa Probabilitatea Baaketa Normala eta Biomiala Lagi estatistikoak Iferetzia estatistikoa Hipotesiak Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar) 1

2 PROBABILITATEA Igazio Zuloaga BHI (Eibar) LAGINESPAZIOA. GERTAERAK a) 1etik 6rako zebakiak ditue dado bat jaurti eta goiko aurpegia ateratze de emaitza idazte badugu, esperimetu aleatorio horri lotutako lagiespazioa zera da: Ω = {1,, 3, 4, 5, 6} b) Bi txapo jaurti eta ateratze de emaitzare lagiespazioa Ω = {aa, a+, +a, ++} izago da, o A aurpegia de eta + gurutzea. Esperimetu aleatorio batea, lagiespazioa, gerta daitezkee emaitza posible guztie multzoari, deitze zaio Ariketa. Poltsa batea bola gorriak eta beltzak daude. Hiru bola elkarre segida ateratze badira, idatzi lagiespazioa eta odorego gertaerak: a) A = kolore berdieko hiru bola ateratzea b) B = gutxieez bi bola gorri ateratzea Soluzioa: a) A = {( G, G, G);... } ( G, G, G);( G, G, B);... b) B= { } Defiizioak φ : Eziezko gertaera, sekula egiaztaze ez dea Ω : Gertaera zihurra A : Are osagarria edo aurkakoa; hau da, A gertaera betetze ez deea A B : Gertaere bilketa; gutxieez bietako bat betetze deea (A edo B) A B : Gertaere ebaketa. Biak batera betetze direea (A eta B) Gertaera bateraeziak: A B = φ 1. A = Eibarkoa izatea eta B = ilehoria edukitzea gertaerak emaik, deskribatu odoko gertaerak: A B = A B = A B = A =. Zebat da?: Ω ; A ; A A A A ; A φ ; A φ

3 3. Bobo batea 1etik 9rako zebakiak dituzte bederatzi bola daude. Bertatik bola bat ateratzeko esperimetua egigo dugu eta hoako gertaera hauek dauzkagu: A = { 1,3,5,7 } ; B = {,3,4,5,6 } ; C = { 1,5,7,9 } Aurki itzazu: a) A B b) A B c) ( A B) C d) B C Propietateak: a) ( A B) = A B. Egiazta ezazu grafikoki Berdi, ( A B) = A B Bi formula hoiek Morgae formulak dira b) A ( B A) = A. Egiaztatu grafikoki A ( B A) = A c) A B = A B. Egiaztatu grafikoki Dado bat jaurtitzea har ditzagu odoko gertaerak: A = {, 3} ; B = {1, } eta C = {4, 5} zebakia ateratze bada, A eta B aldi berea gertatze dira. Gertaera horiek bateragarriak dira. A B φ Aldiz, A eta C ezi dira aldi berea gerta; bateraeziak dira. A C = φ PROBABILITATEA Txapo bat 100 aldiz botatze dugu airera. Demagu 55 aldiz aurpegia eta 45 gurutze atera direla. Aurpegia irtetzea gertaerare maiztasu absolutua 55 da eta maiztasu erlatiboa 55 = 0, 55. Ordea, gurutze irtetzea rea 0, Txapoa, zebat eta gehiagota jaurti (1000, 10000,...), maiztasu erlatiboe balioak geroz eta gehiago hurbiltze dira 0,5 zebakira. Probak gehitu ahala, maiztasu erlatiboe balioak 0,5e igurua egokortze dira. Zebaki horri, probabilitatea deitze zaio aldeko kasuak Laplacere defiizioa: p ( A) = kasu posibleak 3

4 Zera betetze da: 0 p( A) 1 p( Ω) = 1 ; p( A) + p( A) = 1 p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) ; Igazio Zuloaga BHI (Eibar) p( φ ) = 0 Gertaera bateragarriak direea odokoa betetze da: p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) Gertaera bateraeziak direea, A B = φ da eta p( A B) = 0. Ordua, p ( A B) = p( A) + p( B) ARIKETAK 1 1. Berrogei kartako baraja batetik karta bat ateratzea, zei da errege bat izateko probabilitatea?. Dado bat jaurtitzea, zei da zebaki bikoitia ateratzeko probabilitatea? 3. Txapo bat bi aldiz botatzea, zei da bi aurpegi ateratzeare probabilitatea? 4. Berrogei kartako baraja batetik karta bat ateratze da. Ema ditzagu gertaera hauek: A= urrea atera ; B= batekoa atera ; C= txaka, zaldia edo erregea atera Kalkulatu: p(a) ; p(b) ; p(c) ; p( A ) ; p ( A B) ; p ( A B) ; p ( A C) 5. Demagu A eta B gertaerak ditugula eta p(a) = 3/8 ; p(b)=1/ eta p ( A B) = 1/ 4. Kalkulatu: a) p( A B) ; b) p( A) ; c) p( B) ; d) p( A B) ; e) p( A B) f ) p( A B) ; g) p( B A) 6. Ema ditzagu bateraeziak dire A eta B gertaerak, p(a)=0,3 eta p(b)=0,1 direlarik. Kalkula itzazu p( A) ; p( A B) eta p( A B) 7. Demagu A eta B gertaerak ditugula eta p ( A B) = 3/ 4 ; p( B) = / 3 eta p( A B) = 1/ 4. Kalkulatu p( A) ; p( B) eta p( A B) 8. p ( A) = / 5 ; p( B) = 1/ 3 eta p( A B) = 1/ 3 badira, kalkulatu p( A B) eta p( A B) 4

5 9. Ikesta batek azaldu dueez, 1000 biztaleko herri batea 350ek betaurrekoak erabiltze dituzte eta 600ek ordeagailu bat dute etxea. Gaiera, 10k betaurrekoak dauzkate eta ordeagailurik ez. Biztale bat zoriz aukeratuz, zei da: a) Ordeagailua edukitzekoare probabilitatea b) Betaurrekorik ez erabiltzekoare probabilitatea c) Ordeagailua eduki eta betaurrekoak erabiltzekoare probabilitatea Erabili kotigetziataula: Ordeagailua bai Ordeagailua ez Betaurrekoak bai Betaurrekoak ez Deda batea, 00 bezeroe artea, bidai bat zozketatze da. 15 adrazkoak dira, 155 ezkoduak eta 95 emakume ezkoduak a) Zei da bidaia gizo ezkogabe bati irtetzekoare probabilitatea? b) Saria, ezkodutako bati irte zaiola jakiik, zei da adrazkoa izateare probabilitatea? (Balditzapeko probabilitatea) Ezkodua (E) Ez ezkodua (EE) Adrazkoa (A) Gizoezkoa (G) a) p ( G EE) = b) Gertaera balditzatuare probabilitatea.. Bk balditzaturiko A gertaerare probabilitatea. Formula: p ( A B) = p( A/ B). p( B) p( A B) p( A / B) = ; p( B) Aurreko adibidea, adrazkoa izatea ezkodue artea; hau da, p(a/e). Formula 95 p( A E) 95 aplikatuz, p ( A/ E) = = 00 = p( E) Baraja bateko urre guztie atzealdeak markatuta daude. Jokalari batek karta bat hartze du eta markatuta dagoela ikuste du. Zei da karta hori erregea izateko probabilitatea? 5

6 Gertaera idepedeteak Txapo bat eta dado bat botatze ditugu. Argi dago bate emaitzak ez duela bestearega eragiik; idepedeteak dira Baraja batetik bi karta ateratze ditugu (barajara birsartu gabe)..are emaitza 1.are mepekoa da. Leheegoa batekoa bada, bigarrea ere batekoa izateare probabilitatea txigiagoa da; ez dira idepedeteak, mepekoak baizik A eta B gertaerak, idepedeteak dira baldi p ( A B) = p( A). p( B) betetze deea. Baita, p ( A/ B) = p( A) deea ARIKETAK 1 1. Ze ezberditasu dago gertaera bateraeziak eta gertaera idepedetee artea?. A eta B gertaera idepedeteak dira, o p(a)=0,6 eta p(b)=0,3 delarik. Kalkulatu p( A B), p( A B) eta p(a/b) 3. p(a) =0,7 ; p(b) =0,6 eta p ( A B) = 0, 58 izaik, A eta B gertaerak, idepedeteak al dira? Zei da probabilitatea ez gertatzea ez A ez B? 4. Dado bat bi aldiz jaurtitze da. Demagu bi gertaera hauek: A: guztira 7 putu atera B: gutxieez batea 3re multiploa atera. Idepedeteak al dira A eta B gertaerak ARIKETAK 1. 1etik 6rako zebakiak ditue dado bat trukatuta dago. Horrela, aurpegiak lortzeko probabilitateak, aurpegie putuekiko proportzioalak dira. Kalkula itzazu: a) Aurpegi bakoitza azaltzeko probabilitatea b) Jaurtiketa batea, zebaki bakoitia lortzeko probabilitatea. Aurrekoa bezalakoa baia odorego erara trukatuta: Zebaki bikoitia due aurpegi bakoitza, zebaki bakoitia duea baio hiru aldiz gehiago ateratze da 3. Herri batea, %60a eurotikoa da, depresioarazoeki %30a eta gaitz bieki %10a. Herri horretako bizilagu bat zoriz aukeratze badugu, zei da: a) Gaitze bat jasatzeko probabilitatea? b) Gaitz bakar bat edukitzeko probabilitatea? c) Gaitz bat ere ez edukitzekoare probabilitatea? 4. Ikastetxe bate ikaslegoare %5ak Matematika suspeditu du, %15ak Literatura suspeditu du eta %10ek biak suspeditu dituzte. Ikasle bat zoriz aukeratuz, zei da: a) Matematika edo Literatua suspedituta izateko probabilitatea? b) Ez bata ez bestea suspedituta ez izateko probabilitatea? c) Literatura suspedituta badu, zei da Matematika ere suspedituta izateko probabilitatea? 6

7 Zuhaitzdiagrama 1. adibidea Istitutu batea matrikulaturik daude batxilergoko bigarre mailako ikasleetatik 58k Zietifiko Tekikoa batxilergoa aukeratu dute eta 8k Giza eta Gizarte Zietziea. Azke aukera hori egidakoe artea, 51k Gizarte Zietziei aplikatutako Matematika aukeratu dute. Ikastetxe horretako bigarre mailako ikasle bat zoriz aukeratze badugu, zei da aipatutako ikasgaia ikasteko probabilitatea? Zietif Tekikoa 51 8 Giza zietziei aplikat. Matemat. Gizarte Giza eta Gizarte Zera da ahi dugu probabilitateare balioa = = Beste ikasgai batzuk. adibidea Zortzi zebaki hartuko ditugu, lau positibo eta lau egatibo. Horietako bi zoriz aukeratu eta biderkatu egite ditugu. Zei da emaitza zebaki positiboa izateko probabilitatea? Emaitza zebaki positiboa iza dadi, zeiu bereko bi zebaki biderkatu behar dira. P 1 (+.+) = P (.) = = = P(emaitza positiboa ateratzea) = = 4 56 = zebakia zebakia + + 7

8 ARIKETAK Igazio Zuloaga BHI (Eibar) 1. Kutxa batea hiru bola urdi eta lau berde daude. Zoriz ateratze baditugu bi bola aldi berea, zei da kolore berekoak izateko probabilitatea?. Kajoi batea lau galtzerdi beltz, sei marroi eta bi urdi daude. Bi galtzerdi hartze baditugu zoriz, zei da biak beltzak izateko probabilitatea? Eta biak kolore berekoak izatekoa?. Ebatzi problema zuhaitzdiagrama bat erabiliz. 3. Bi dado jaurti dira. Aurkitu: a) Putuazio bat bikoitia eta bestea bakoitia izateko probabilitatea. b) Bi putuazioe batura 7 dela jakiik, putuaziore bat bikoitia izateko probabilitatea gaiz osaturiko oposizio batea bi aukeratuko dira zoriz. Oposiziogile batek 18 baio ez baditu prestatu, zei da bat odo eta bestea gaizki eratzuteko probabilitatea? 5. Txapo bat hiru aldiz jaurtitze dugu. Zei da bi aurpegi elkarre segida ateratzeare probabilitatea? Adibidea K 1 kutxa batea hiru bola berde, lau bola beltz eta zortzi bola gorri daude. K beste kutxa batea zortzi bola berde, sei beltz eta sei gorri daude. Txapo bat jaurtiko dugu; aurpegi irtetze bada, bola bat aterako dugu K 1 kutxatik, eta gurutze irteez gero K kutxatik aterako dugu bola bat. Txapoa eta ateraldia egiez gero, zei da ateratze de bola gorria izateko probabilitatea? Txapoa Bola 1 Aurpep (K 1 ) Txapoa Berdea Beltza Gorria 1 P 1 = Gurutze (K ) Berdea Beltza Gorria P = P = P P =. +. = + = = = 8 5 1

9 ARIKETA Igazio Zuloaga BHI (Eibar) Hiru kutxa berdiberdiek hoakoak dituzte: lehedabizikoak urrezko hiru ligote eta zilarrezko bi; bigarreak urrezko bi eta zilarrezko bost, eta hirugarreak urrezko sei eta zilarrezko zazpi. Zei da kutxa batetik zoriz ligote bat ateratzea, hura zilarrezkoa izateko probabilitatea? Adibidea K 1 kutxa batea bola gorri eta 3 bola urdi daude. K beste kutxa batea gorri 1 eta 5 urdi daude. K 3 kutxa, ordea, 3 gorri eta urdi. Zoriz kutxa bat aukeratze da eta bola bat atera; bola hura urdia baldi bada, zei da K kutxatik ateratakoa izateare probabilitatea? kutxa 5 gorria 1 3 K urdia P = = K gorria urdia gorria P = = 5 18 urdia 1 P3 =. = Balditzapeko probabilitatea : Jakia da (gertaera ziurra) ateratako bola urdia dela; hau da: P = P1 + P + P3 = Horietatik, aldeko kasua, K tik ateratako gertaera da; hau da: P =. 3 6 Soluzioa: P = P P + P 1 K = = + P ARIKETAK 1 1. Istitutu bateko ikaslee %58 eskak dira. Matrikulaturiko ikasle guztietatik %88 ikastetxea dagoe herriak jaioak dira. Ikasle bat zoriz zukeratu eta herria jaiotakoa bada, zei da mutila izateko probabilitatea?. Apalategi bateko hiru apalek hoako liburuak dituzte: goiko apalak 3 obela eta 7 ipui, erdiko apalak 8 obela eta 6 ipui, eta behekoak 5 obela eta 9 ipui. Zoriz apal bat aukeratu eta liburu bat atera dugu. Liburua obela bada, zei da erdiko apaletik aterea izateko probabiliatatea?

10 ARIKETAK 1. Espaiiar kartasorta batetik bi karta aterako ditugu aldi berea. Aurkitu bi kartak palo berekoak izateko probabilitatea.txirridulari batek egu euritsu batea lasterketa bat irabazteko probabilitatea 0,08 da, eta egu lehor batea lasterketa irabaztekoa 0,3 da. Lasterketa egu euritsua izateko probabilitatea 0,5 bada, zei da txirridulariak lasterketa irabazteko probabilitatea? 3. Luziak kajoi batea dauka gordeta datzaeskolarako arropa: bi maillot beltz, beste bi urdi, maillot bat gorria eta beste bat arrosa; bi pare galtzerdi zuri, bi pare beltz eta bi pare galtzerdi arrosa. Eskolarakoa zoriz hartze baditu maillot bat eta galtzerdi pare bat, zei da eskolara beltzez jamtzita joateko probabilitatea? Eta beltz eta arrosaz joateko probabilitatea? 4. Hiru kutxa berdiberdietak hoakoak daude: A kutxa: urrezko txapo 1 eta brotzezko 4 B kutxa: urrezko txapo eta brotzezko 6 C kutxa: urrezko 3 txapo eta brotzezko 7 Zoriz aukeratutako kutxa batetik txapo bat zotiz ateratzea, zei da txapoa urrezkoa izateko probabilitatea? 5. Modeloeskola batea gizoezkoe %80ek eta emakumezkoe %30ek 1,76 metro gora eurtze dute. Emakumezkoak gizoezkoe hirukoitza dira. Modelo bat zoriz aukeratu dugu eta 1,76 metro baio gehiago eurtze du. Zei da emakumea izateko probabilitatea? 6. Kutxa batea 4 bola hori eta 6 berde daude. Aldi berea bi bola ateratze baditugu, zei da gutxieez bat horia izateko probabilitatea? 7. A kutxa batea sei bola zuri eta lau beltz daude; B bigarre kutxa batea bost zuri eta bi beltz. Kutxa bat zoriz aukeratu eta bertatik bi bola aterako ditugu, kutxara itzuli gabe. Kalkulatu hoakoak gertatzeko probabilitateak: a) Bi bolak zuriak izatea b) Bi bolak kolore berekoak izatea c) Bi bolak kolore desberdietakoak izatea 8. Hoelako bolak dituzte bi kutxa dauzkagu: A kutxa: 4 bola gorri eta 6 zuri B kutxa: 7 bola gorri eta 3 zuri Zoriz kutxa bat aukeratu, bertatik bola bat atera eta beste kutxa sartuko dugu; azkeik, bola bat aterako dugu bigarre kutxa horretatik. Zei da gorria izateare probabilitatea? 9. Hiri batea bi egukari irakurtze dituzte: A eta B. Pertsoa batek A egukaria irakurtzeko probabilitatea 0,1 da, B irakurtzeko probabilitatea 0,1 eta biak irakurtzekoa 0,0. a) Kalkula ezazu pertsoa batek egukari bat ere ez irakurtzeko probabilitatea. b) Aurkitu egukarietako bat irakurtze due pertsoa batek bestea ere irakurtzeko probabilitatea. 10

11 10. Oposizio bateko ikasgaiak 100 dira. Oposiziogile batek 40 baio ez dakizki, eta 100 horietatik hiru zozketatuko dira. a) Kalkula ezazu oposiziogileak bat ere ez jakiteko probabilitatea. b) Zei da gutxieez bat jakiteko probabilitatea? 11. Ikasle bat test erako azterketa batetara aurkeztu da. Azterketa 100 galderaz osatuta dago, galdera bakoitzare azpia lau eratzu daudelarik (eta bakarrik bat zuzea). 60 galdera ikasleak prestatu due programare zatiari buruzkoak dira eta galdera horieta eratzu zuzea aukeratzeko due probabilitatea %80koa da. Beste galdera guztieta lau eratzue artea zoriz bat aukeratuko du. Galdera bat zoriz aukeratze bada, zei da ikasleare eratzua zuzea izateko probabilitatea? 1. Bi jokalari, A eta B, orbere dadoak jaurti eta putuaziorik altuea ork atera jokatze ari dira. Dadoek hoako putuazioak dituzte: A dadoare lau aurpegik 6a putu dituzte eta beste biek 10a. B dadoare aurpegi batek 3 putu ditu, bik 4a putu, beste bik 6a putu eta azkeak 1. Zer jokalarik du irabazteko aukera gehie? Arrazoitu zeure eratzua. 13. Kutxa batea 4 bola zuri, gorri eta 5 beltz daude. Bola bat atera da eta bere kolorea begiratu gabe kedu egi da. Odore beste bola bat atera da. a) Zei da bigarre bola hau zuria izateko probabilitatea? b) Bigarre bola zuria iza bada, zei da kedutako bola gorria izateko probabilitatea? 14. Kutxa batea 1 bola daude, eta horietako bi gorriak dira. Gorriak direak aurkitu ahia, bolak bata besteare atzetik ateratze dira. Zei da laa laugarre saioa bukatzeko probabilitatea? 15. Kutxa batea bi bola zuri eta hiru beltz daude. Bi jokalarik zoriz eta txadaka bola baa aterako dute. Irabazlea bola zuri bat ateratze due lehea bada, zei da jokatze haste de jokalariak irabazteko probabilitatea? Arrazoitu zeure eratzua. 16. Globo zuda bat berreskuratzeko probabilitatea 1/9 da. Espaziora hiru globo jaurtitze badira, zei da horietako bat bakarra berreskuratzeko probabilitatea? Eta lau globo jaurtitze badira? Eta bost..? ( Kobiatoria erabiltzea gomedatze da). 17. Herrialde bateko biztalee %1ak gaixotasu jaki bat du. Gaixotasuare diagostikoa egiteko guztiz fidagarri ez de prozedura erabiltze da, iza ere, beeta gaixorik daude pertsoe artea positibo emate dueeko portzetaia %90a da eta, bestalde, osasutsu daudee artea %5ak ere positibo emate du. Zei da prozedurak positibo ema dioeko pertsoa bat osasutsua izateko probabilitatea? 11

12 KONBINATORIA Matematikako arlo hau, elemetu batzureki egi daitezkee taldeak kotatzeko erabiltze da. hiru kasu aztertuko ditugu: ALDAKUNTZAK elemetu ditugu eta beraieki k elemetuz osaturiko taldeak egi ahi dira, talde bakoitzea elemetue arteko ordeak eragia duelarik. Zebat egi daiteke?: k A =. ( 1).( ).....( k + 1) Adibidea. 1,, 3, 4, 5 zifreki, zebat zebaki egi daitezke bi zifraki, zifrak errepikatu gabe? ALDAKUNTZAK ERREPIKADUNAK Talde bateko elemetuak errepikatu ahal dira k ' A = k Adibidea. 1,, 3, 4, 5 zifreki, zebat zebaki egi daitezke bi zifraki? Ariketak 1. 1 letra ditue alfabeto bateki, zebat silaba egi daitezke hiru letraki: a) silabako hiru letrak desberdiak izaik b) berdiak iza daitezkelarik. Literatura sariketa batea 3 sari ezberdi daude eta 1 idazla aurkezte dira. Zebat modu ezberdieta egi daiteke sari baaketa? 3. Txapo bat hiru aldiz jaurtitze da. Zebat emaitza desberdi lor daitezke? 4. Zebat zutabe bete beharko geituzke futbolkiiela bateta, hamabostekoa ziur asmatzeko? 5. Lasterketa batea 1 korrikalarik parte hartze dute. Zebat moduta baa ditzakete urrezko, zilarrezko eta brotzezko domiak? 1

13 PERMUTAZIOAK elemetu ditugu eta guztiak erabiliz, zebat talde ezberdi egi daitezkee jaki ahi da: P =! =.( 1).( ) Zebat zebaki egi daitezke 1,, 3, 4 eta 5 zifreki, bostak erabiliz eta zebaki bakoitzea zifra bakar bat ere errepikatu gabe?: 5 P = 5! = = 10 Ariketak 1. Lasterketa batea sei txirridularik ihes egi dute eta helmugara seirak ailegatze dira, bata besteare atzea. Zebat modu ezberdi daude?. Neska hitzare letreki, zebat 5 letra ezberdieko hitz egi daitezke?. Hauetatik, zebatek izago dituzte bokal biak muturreta? PERMUTAZIO ERREPIKADUNAK Oro har, elemeture permutazio errepikaduak, o 1,,..., k errepikatze dire! 1 hauxe da:,,... k P = 1!.!..... k! Zebat hitz desberdi idatz daitezke (esaahiduak zei esaahirik gabeak) BIRIBILA hitzare letra guztiak erabilita? KONBINAZIOAK elemetu ditugu eta beraieki k elemetuzko taldeak egi ahi dira. Hortaz gai, taldeare elemetue ordea aldatuz gero, kobiazio bera lortuko geuke; hau da, elemetue ordeak ez luke eragiik edukiko. k K = A = = Pk k k! k!. ( k)! Lerrokaturik ez daude lau putureki, zebat zuze eraiki daitezke? Ariketak 1. Bost laguez osaturiko talde batek medimartxa batera joa ahi du. Martxare arautegiare arabera, taldeak 3 laguekoak iza behar direla jakiik, zebat modutara ema dezakete izea?. Exagoo bate erpi bakoitzea bobila baa ipitze da. Zebat argijoku desberdi egi daitezke, bakoitzea 3 bobila bakarrik piztuz? 3. Zebat jokaldi desberdi atera daitezke 40ko kartasorta batetik lau karta hartuz gero? 13

14 KONBINATORIA ETA PROBABILITATEA Gertaera kopurua oso hadia deea, aldeko kasuak eta kasu guztiak kotatzeko kobiatoria erabiltzea gomedatze da. Ariketak 1. Ura batea 1etik 6ra zebakiturik daude 6 bola daude. Zei da bolak, baa baa atareaz, sekuetzia ateratzeko probabilitatea?. Lotoa dela eta, apostu bat egiez gero, zei da asmatzeko dagoe probabilitatea? 3. Txapo bat aidera botatze da 6 aldiz. Zei da seirak aurpegiak ateratzeko probabilitatea? 4. Udaletxe batea A alderdiko 5 ziegotzi daude, B alderdiko 4 ziegotzi eta C alderdiko 4 ziegotzi. Zoriz eta bata besteare atzetik hiru ziegotzi aukeratzea, zei da hirurak A alderdikoak izateko probabilitatea? Eta alderdi bakoitzetik bat izateko probabilitatea? 5. 1, eta 3 zebakieki osa daitezkee hiru zifratako zebaki guztie artea (zifrak errepikatu ahal dira), zoriz bat aukeratze da. Kalkulatu zebaki horre zifre batura 6 izateko probabilitatea 6. A, B, C, D, E eta F hizkie permutazio guztie artea, zoriz bat aukeratu da. Kalkulatu bokalak odozodo gelditzeko probabilitatea. 7. Dado bat hiru aldiz jaurtitze da aidera. Zei da putuazioe batura 4 izateko probabilitatea? 8. Dado bat hiru aldiz jaurtitze da. Lehe bi jaurtikete putuazioe batura A da, eta hirugarreare jaurtiketarea B da. Zei da A eta B berdiak izateko probabilitatea? 14

15 BANAKETA BINOMIALA ETA NORMALA Ariketa 1 Kaxa batea 3 bola gorri eta 7 berde daude. Zoriz bola bat ateratze da eta odore birsartze da kaxara. Gauza bera, bost aldiz egida, zei da 3 bola gorri ataratzeko probabilitatea? Kasu bat GGGBB litzateke. Bere balioa: Bosteko multzo horreta, zebat modutara aurkeztu daitezke hiru bola gorri? : C 5,3 Beraz, soluzioa: Ariketa Herri bateko biztalee %0 ilehoriak dira. Sei pertsoako lagi bat hartu eta kalkula itzazu probabilitate hauek: a) Ilehori bi egotea b) Gutxieez lau ilehori a) Ilehori bi egoteare kasu bat, RRMMMM litzateke, bere balioa (0,).(0,).(0,8).(0,8).(0,8).(0,8) izaik. Guztira, zebat kasu? : C 6, 6 Beraz, soluzioa: ( 0,) ( 0, 8) 4 b) Gutxieez lau ilehori:: 4 ilehori: Adibide bat RRRRMM da eta bere balioa (0,) 4.(0,8) Kasu guztiak: C 6,4 6 Soluzioa: ( 0,) 4 ( 0, 8) 4 5 ilehori: Adibide bat RRRRRM da eta bere balioa (0,) 5.(0,8) 1 Zebat kasu?: C 6,5 6 Soluzioa: ( 0,) 5 ( 0, 8) ilehori: RRRRRR. Balioa: (0,) 6 Kasu kopurua: C 6,6 ; hau da, bakarra 6 Soluzioa: ( 0,) 6 ( 0, 8) 0 = (0,) Azke soluzioa: ( 0,) 4 ( 0, 8) ( 0,) 5 ( 0, 8) ( 0,) 6 ( 0, 8) 0 15

16 BANAKETA BINOMIALA Adibidea : Matematikako irakasle batek 5 urte darama bere asigatura gaiditze dute ikaslee kopurua aputatze, eta ikusi du %65 ikaslek gaiditu ohi duela. 0 ikaslek osaturiko lagi bat hartuz gero, zei da probabilitatea 5ek gaiditzea 4 baio gutxiagok gaiditzea Esperimetu hoek (aurreko biek bezalaxe) ezaugarri hauek ditu: Ikasle bakoitzaretzat bi emaitza hauek baio ez dira posible: A = {ikasgaia gaiditzea} eta A = {ez gaiditzea} Ikasle bakoitzat ateratze due emaitza ez da besteek ateratze dutee mepekoa Are probabilitatea, pre bidez adierazte dugua, ez da frogaldi batetik bestera aldatze eta p = p(a) = 0,65 da. Eta, aurkako gertaerare probabilitatea ere (deitu diezaiogu q ) kostatea da: : q = p(a ) = 0,35 Jo dezagu esperimetuare frogaldi egi ditugula eta p dela A gertaerare probabilitatea; ordua, esperimetu horri lotutako aldagai aleatorio biomialari, B(,p) deituko diogu ; adibide hoeta, B(0,0.65) izago da Aldagai hori diskretua da, 0, 1,, 3,..., 0 balioak har baitezake bakarrik 0 3 Aldagai horreki lotuta, bi kalkulu hauek egigo ditugu: r I) r ikaslek gaiditzea: p r q.. Probabilitatefutzioa r 0 Esaterako, 0tik 5ek gaiditzea: ( 0,65) 5 ( 0, 35) 15 5 II) 4 ikasle baio gutxiagok gaiditzeare probabilitatea: p(x=3)+p(x=)+p(x=1)+p(x=0) Baaketafutzioa Bere balioa zera da: ( 0,65) 3 ( 0, 35) 17 + ( 0,65) ( 0, 35) 18 + ( 0,65) 1 ( 0, 35) 19 + ( 0,35) 0 Adibidea Test moduko azterketa batek hirua eratzu dituzte hamar galdera dauzka, eta eratzuetako bat bakarra da zuzea. Ezer ikasi ez due ikasle batek, zoriz eratzugo duela erabaki du a) Zei da sei galdera asmatzeko probabilitatea? b) Eta bat ere ez asmatzekoa? Ikuste deez, asmatutako eratzuak adierazte due X aldagaiak, baaketa biomialare eredua betetze du, eta berorre ezaugarriak =10 eta p=1/3 dira. Beraz: 5 16

17 10 1 a) Sei galdera asmatzeko probabilitatea: P(X=6) = 6 3 b) Galdera bat ere ez asmatzeko probabilitatea: P(X=0) = Igazio Zuloaga BHI (Eibar) = 0, = 0,0173 ARIKETAK 1. Makia batek egite ditue mila piezako 1 akastuak dira. Aurki itzazu 40 pieza aztertu eta hoakoak gertatzeko probabilitatea: a) Bi akastuak agertzea b) Akastuik ez agertzea. Azterketa bate emaitze arabera, eskualde jaki bateko biztalee %0re bizibalditza sozioekoomikoak oarteziak dira. Populazio horretako 8 kide hartuta, aurki ezazu lau balditza oartezieta bizitzeko probabilitatea. 3. Tiratzaile batek eskopetaz tiroa asmatzeko probabilitatea 0,8 da. Hiru tiro egida, zei da: a) Gutxieez tiro bateki asmatzea b) Bi tiroki asmatzea c) Eta 6 tiro egida, zei da 4 aldiz asmatzeare probabilitatea? 4. Lehiaketa bat irabazteko probabilitatea 1/5 da. Horrelako sei leihaketeta parte hartuz gero, zei da lauta irabazteko probabilitatea? 17

18 PROBABILITATEA (Errepaso ariketak) 1. Bi dado jaurtitze dira aidera. Zei da putue batura 7 izateare probabilitatea? Eta bigarre jaurtialdia lorturiko putuazioa leheegoa baio hadiagoa izatearea?. Bi dado jaurtitze dira. Kalkulatu: a) Putuazio bat bikoitia eta bestea bakoitia izateko probabilitatea b) Bi putuazioe batura 7 dela jakiik, putuaziore bat bikoitia izateko probabilitatea 3. Berrogei karta dauzka baraja batetik zoriz eta aldi berea bi karta atera dira. Zei da bateko bat eta errege bat ateratzeare probabilitatea? 4. Adi bera dute gizo bat eta emakume bat 0 urtereki ezkodu dira, eta 70 urtera ailegatzeko probabilitateak hauexek dira: 0,76 gizoaretzat eta 0,8 emakumearetzat. 70 urtereki, kalkula ezazu: a) Biak bizirik egoteko probabilitatea b) Bat ere bizirik ez egoteko probabilitatea c) Bakarrik emakumea bizirik egoteko probabilitatea d) Gutxieez bietatik bat bizirik egoteko probabilitatea. 5. Lategi bate 00 lagile daude, 100 gizoezko eta 100 emakumezko. Erretzaileak 40 gizoezko eta 35 emakumezko dira. Lagile bat zoriz aukeratze badugu, kalkulatu: a) Gizoezkoa izateko probabilitatea b) Ez erretzailea izateko probabilitatea c) Gizoezkoa eta erretzailea d) Aukeratutakoak ez badu erretze, zei da emakumezkoa izateko probabilitatea? e) Aukeratutakoak erretze badu, zei da gizoezkoa izateko probabilitatea? 6. A kutxa zortzi bola daude 1etik 8ra zebakituta, eta B kutxa 5 bola daude 1etik 5era zebakituta. Kutxa bakoitzetik bola bat ateratze da eta bi bole zebakie batura 3re multiploa iza da. Zei da A kutxatik ateratako bole zebakia 1 izateko probabilitatea? 7. Hiri bate %55 gizoezkoa da eta hauetatik % 15 paroa dago. Eta emakumee artea %5 paroa dago. Pertsoa bat hautatuz, zei da paroa egoteko probabilitatea? Eta paroa dagoela jakiik, zei da gizoezkoa izateko probabilitatea? 18

19 Demagu A eta B gertaerak ditugula eta p(a) =, p(b) = eta p ( A B) = 7 5 direla. Kalkulatu: a) p( A B) ; b) p( A B) ; c) p( A ( A B)) ; d) p( A B) e) p( A/ B) ; f ) p( B / A) ; g) p( A B) ; h) p( A B ) i) A eta B gertaerak idepedeteak al dira? 9. A eta B gertaerak idepedeteak dira. A gertatzeko probabilitatea /5 da, eta A eta B biak batera gertatzeko probabilitatea 1/5 da. Zei da ez A ez B gertatzeko probabilitatea? Eta, A bai eta B ez gertatzeare probabilitatea? 10. Hiru otzi ditugu: A, B eta C. A otzia baiilazko 3 gaileta eta txokolatezko gaileta daude; B 3 txokolate eta baiilakoak eta C txokolate eta 1 baiilazkoa. a) Otzi bat zoriz aukeratze dogu eta gaileta bat hartu. Zei da txokolatezkoa izateko probabilitatea? b) Pertsoa bati txokolatezko gaileta bat ema diote. Zei da. otzikoa izateko probabilitatea? 11. Ikastetxe bateko batxilergoko ikasleek atzerritar hizkutza ikasterakoa, igelesa ala fratsesa aukera dezakete. Kurtso batea, %90 igelesa ikaste ari da eta gaierakoa fratsesa. Igelesa ikaste ari diree artea %30 mutilak dira, eta fratsesa ikaste ari diree artea %40 mutilak dira. Ikasle bat zoriz hautaturik, zei da eska izateko probabilitatea? 1. Bi poltsa ditugu A eta B. A poltsa 7 bola zuri eta 3 beltz daude, eta B poltsa 1 zuria, beltz eta 7 gorri. Dado bat jaurtiz, 1 edo 3 ateratze bada Atik aterako dugu bola, eta, 4, 5 edo 6 ateraz B poltsatik. Kalkulatu bola gorria ateratzeko probabilitatea. Bola beltza dela jakida, zei da A poltsakoa izateko probabilitatea? 13. Torlojuak egite ditue lategi batea A makiatik kopuru osoare %40a ateratze da eta B makiatik %60a. A makiak egidako torlojuetatik %10a akastua da eta B makiak egidakoetatik %0a. Zoriz torloju bat aukeratuz gero akastua dela gertatze bada, zei da A makiak egia izateko probabilitatea? 14. Poltsa batek bola zuri eta 5 beltz ditu. Beste poltsa batek 5 bola zuri eta beltz. Leheego poltsatik bola bat ateratze da eta bigarre poltsa sartze da. Odore, bola bat ateratze da bigarre poltsatik. Zei da beltza izateare probabilitatea? 19

20 15. Demagu A kutxak bola zuri eta beltz dituela eta B kutxak, aldiz, 4 bola beltz. A eta B kutxetatik zoriz bola baa ateratze da eta trukatu egite dira. Odore A kutxatik bola bat ateratze bada, zei da bola hori zuria izateko probabilitatea? 16. Ikastetxe bateko ikaslee %55 futbolea jokatze dute, %30 pilota eta %15 bieta jokatze dute. Zoriz ikasle bat aukeratuko bageu, zei da geratera haue probabilitateak?: a) Bietako batea jokatzekoa b) Pilota bakarrik jokatzekoa c) Futbolea jokatze badu, pilota ere jokatzekoa 17. Kaxa batea 5 bola gorri eta 4 zuri daude. Bi bola ateratze dira elkarre segida, birsartu gabe. a) kalkulatu biak kolore berekoak izateko probabilitatea b) Badakigu bigarrea zuria dela. Zei da leheegoa ere zuria izateko probabilitatea? c) Eta hiru bola ateratze badira, zie da bi gorri eta zuri bat ateratzeare probabilitatea? d) Eta bost bola ateratze badira, hiru gorri izatearea? 18. Ospitale batea 10 gaixo daude: 3 eurotiko, 5 psikopata eta eskizofreiko. Hiru gaixo zoriz aukeratze baditugu, zei da: a) Hirurak gaixotasu desberdia edukitzeko probabilitatea? b) Eta hirurak gaixotasu bera edukitzeko probabilitatea? 19. Azterketa batek 10 galdera ditu. Horiei bai ala ez bakarrik eratzu daiteke. Ema dezagu azterketa egi behar dueak ez dakiela galdera bat bera ere ez. Kalkulatu: a) Lau galdera asmatzeko probabilitatea b) Gutxieez bat asmatzea 0. Txapo bat aidera botatze da 6 aldiz. Zei da bi aurpegi ateratzeko probabilitatea? 1. Berrogei karta dauzka baraja batetik zoriz eta aldi berea lau karta ateratze dira. Zei da laurak palo desberdiekoak izateare probabilitatea?. 1etik 6ra zebakituta daude hiru dado jaurtitze dira. Kalkula ezazu ateratze dire putuazioe batura 6 baio txikiagoa izateko probabilitatea. Eta hirureta putuazio bera ateratzearea? 3. 1,, 3, 4 eta 5 zebakiak zoriz ordeatze dira, Zei da eta 3a elkar odoa eta ordea horreta egoteare probabilitatea? 4. Dado bat hiru aldiz jaurtitze da, eta hirugarre jaurtiketa 5 atera da. Zei da leheego jaurtiketa ere 5 ateratzeare probabilitatea? 0

21 ALDAGAI ALEATORIO JARRAIEN BANAKETA Batxilergoko. mailako 75 ikaslee altuerak odoko taula dituzue: Altuera, aldagai aleatorio jarraia da. Hoa, baaketa horre maiztasu erlatiboe histograma eta poligooa. Laukizuze bakoitzare azalerak tarte horre maiztasu erlatiboa adierazte du, eta laukizuze guztie azalere baturak baaketako maiztasu erlatiboe batura; beraz, 1 izago da. Lagitzat hartze dugu populazioa haditze doaea, esaterako Euskal Herriko batxilergo. mailako ikasleak,..., eta aldagaiare tarteak txikiagotze, esaterako [155,156], [155,155.5],..., maiztasu erlatiboe histogramare poligooa hoako kurba bat izatera iritsiko da. 75 ikaslee altueraki lortutako maiztasu erlatiboe histograma eta poligooa, kurba horre kasu kokretu bat dela har geezake. Probabilitateare kotzeptua, maiztasu erlatiboe limitea dela kotuta hartuz, azke kurba hau ez da maiztasu baaketa, aldagai aleatorio jarraie probabilitatebaaketa baizik Maiztasu erlatiboe edo laukie batura 1 de bezala, y = f(x) kurbak mugatze due azalera ere 1 da. Aldagaiak, [x o, x 1 ] tarteko balioak hartzeko due probabilitatea eta tarte horri dagokio kurba zatiare azpia dagoe azalera gauza bera da. 1

22 BANAKETA NORMALA Debora luzea, baaketakurba guztiak atzerakoak zirela petsatu ze eta baaketa ormala edo kurba ormala izea hartu zue. Kurba edo futzio horre formula hauxe da: 1 f ( x) = e σ π 1 x x σ Bizitzako haibat arlota (Pedagogia, Psikologia, Biologia,...), feomeo askok lege ormal hau jarraitze dute Baaketa ormalare grafikoa, Gausse kapaia izeareki ezagutze da. Bi parametro haue bidez determiatze da: batezbestekoa (x) eta desbidazio estadarra (σ ) eta hoela adierazte da: N ( x, σ ) f(x) futzioak, OX ardatzak eta x=a eta x=b zuzeek mugatze dute azalera, X aldagai aleatorioa [a,b] tartea aurkitzeare probabilitatea da. x = batezbestekoa Gausse kapaia: Zuze erreal osoa dago defiituta eta jarraia da Maximoa du batezbeste aritmetiko (x) putua Simetrikoa da Iflexioputuak, x σ eta x + σ dira σ = desbidazio es tadarra Jarrai dezagu 75 ikaslee altuere adibideareki. Kalkula ditzagu x = 171,7 eta σ = 7,8 N(171.7, 7.8 ) baaketa ormalare legea jarraitze du. ( x σ, x + σ ) tartea, gutxi gorabehera populazioare %68,6a dago ( x σ, x + σ ) tartea %95,4a ( x 3σ, x + 3σ ) tartea %99,7a

23 Baaketa ormal estadarra: N(0,1). Taulak Baaketa ormal guztie artea, badago bat iteres berezia due, baaketa ormal estadar izeaz ezagutze dugua. Berorre abatailarik hadiea tabulaturik egotea da, eta horri esker, erraz kalkula ditzakegu aldagaiare balio desberdiei lotutako probabilitateak N( x, σ ) baaketa, x =0 eta σ =1 deea ; hau da N(0,1) 3

24 4 Igazio Zuloaga BHI (Eibar)

25 Aldagaiare tipifikazioa. Probabilitatee kalkulua N( x, σ ) baaketa N( x, σ ) edozei baaketa ormal batea probabilitateak kalkulatzeko, N(0,1) baaketa ormal estadarrerako ema berri ditugu kalkuluak erabili ahal izago ditugu, hori baita, esa de bezala, baaketa ormal tabulatu bakarra. Horretarako, aldagaiare tipifikazioa egigo dugu; hau da, N ( x, σ ) baaketako X aldagaia N(0,1) baaketara pasatuko dugu Z aldagai berri bate bidez Formula: Z = x x σ Adibidea 1 Emaik N(10, ) baaketa ormaleko X aldagai bat. Kalkula dezagu P ( X 11) 10 X aldagaia tipifikatuz: Z = X zera gertatze da: P ( X 11) = P( Z ) = P( Z ) = P( Z 0,5) = 0,6915 Adibidea Demagu N(66, 8) baaketa. Kalkulatu: a) P( x < 70) ; b) P(x > 80) ; c) P(70 < x < 80) x da N( 66, 8) z da N(0, 1) = 0, = 1,75 8 P( x < 70) P( z < 0,5) = 0,6915 P( x < 80) P(70 < x < 80) P( z < 1,75) = 0,9599 ; P( z > 1,75) = 1 0,9599 = 0,0401 P(0,5 < z < 1,75) = 0,9599 0,6915 = 0,684 Soluzioak: a) P ( x < 70) = 0, 6915 ; b) P ( x > 80) = 0, 0401 ; c) P ( 70 < x < 80) = 0, 684 Adibidea 3 Automobil batek arabiltzeko modua irau dezakee deborari buruzko azterketa batea, 16 urteko batezbestekoa eta bi urte eta erdiko desbidazio estadarra atera dira. Aldagaia ormal baatze dela petsatu eta kalkulatu: a) 19 urtetik gorako iraupea izateko probabilitatea. b) 14 eta 17 urte bitarteko iraupea dute automobile portzetaia 5

26 Ebazpea: N(16, 5) baaketa, estadarra ez deez, tipifikatu egi beharko dugu: a) 19 = 1' '5 P ( z 1') = 1 p( z 1') = 1 0'8849 = 0' b) 14 = 0' 8 ' = 0'4 '5 P ( z 0'4) P( z 0'8) = 0'6554 ( 1 0'7881) = 0'4435 Portzetaieta %44,35 ARIKETA N(173, 6) baaketa, aurkitu odoko probabilitateak: a) P ( x 173) ; b) P ( x 180'5) c) P ( 161 x 180'5) ; d) P ( 161 x 170) Bitarte karakteristikoak Orai arte N(0, 1) probabilitatea z bitarte fiitu edo ifiitua dagoeea, zei probabilitate due kalkulatze ikasi dugu; hau da, tauletara zuze jotze ikasi dugu. Orai kotrakoa egigo dugu: bitarte mota edo bere probabilitatea emada, bitarteare muturrak aurkitu beharko ditugu. Ikus ditzagu adibide batzuk. 1. adibidea. kre zei balioreki betetze da p(z < k) = 0,85? Taula barrua, 0,85 balioa aurkitzera joada, ϕ ( 1'03) = 0' 8485 eta ϕ ( 1'04) = 0' 8508 balioe artea dagoela ikuste da. Hurbile dagoea bigarrea da; beraz, soluzioa zuzeea ema daiteke, modu hoeta: P ( z < k) = 0'8508 beraz, k = 1' 04. adibidea kre zei balioreki betetze da p(k < z < k) = 0,9? Bitarteare barrua 0 9ko azalera badago, kapoa 0 1ekoa egogo da. Bitartea simetrikoa deez, mutur bietako bakoitzare azalera 0 05 izago da. Beraz: P ( z > k) = 0'05 P( z k) = 0'95 Taula zera aurkitze dugu: ϕ ( 1'64) = 0' 9495 eta ϕ ( 1'65) = 0' Beraz, kri 1 64 eta 1 65 balioe erdiko balioa emago diogu; hau da, k = p(1 645 < z < 1 645) = 0,9 [1 645, 1 645] bitartea aurkitu dugu, simetrikoa 0rekiko, eta bitarte horre barrua guztiare azalerare %90 dago. 6

27 3. adibidea Matematikako azterketa bat 0,1,,...,10 putuatze da, 10 galdere eratzu zuze kopuruare arabera. Batezbesteko ota 6,7 iza da eta desbidazio tipikoa 1,. Jakiik baaketa ormalari jarraitze zaiola, aurkitu: a) gelako %10 ota kaskarree arteko otarik altuea b) gelako %10 ota hoberee arteko otarik baxuea 6 7 a) 0 10 = p[x x ] = p [ Z x ] probabilitatebalioa ez da agertze N(0,1) baaketa taula. Horregatik, 10 1=0 9 balioa hartze dugu eta beroek (zehatzago esada, ), Z aldagaiak, 1 8 baio balio txikiagoa edo berdia hartzeare probabilitatea adierazte du. Hau da, p ( z 1 8) = 0 9, N(0,1) baaketa 0 1i dagokioa 1 8re simetrikoa litzateke; hau da, z= 1 8 x 6 7 Hori dela ta, = 1 8 x = 5, 16 1 Gelako %10 ota okerree otarik altuea, gutxi gorabehera, 5,16 da. b) Gelako %10 ota hoberee otarik txikiea. Ezker aldea, gelako %90ak gelditze dira. 0 9 edo probabilitatebalioa, N(0,1) baaketare taula, z=1 8ri dagokio x 6,7 Beraz, = 1,8 x = 8, 4 1, Gelako %10 hoberee otarik baxuea 8,4 da. 7

28 ARIKETAK 1. X zorizko aldagaia, N(0,4) baaketari dagokio izaik, kalkula itzazu: p ( 15 x 1) ; p ( x 6). X aldagai aleatorio jaki batek N(500, 100) baaketari jarraitze dio. Aldagai horre zer baliok uzte du bere eskuiea populazioare %40a? 3. Populazio batea, gizoe eta emakumee pisuak N(70,8) eta N(60,6) baaketa ormalei jarraitze zaizkie hurreez hurre. Zoriz aukeratze dira gizo eta emakume bat. Kalkulatu odorego probabilitateak: a) Gizoak 78 kg. baio gehiago pisatzea b) Emakumeak 51 kg. baio gutxiago pisatzea c) Emakumeare pisua 57 kg baio txikiagoa edo 7 kg baio hadiagoa izatea d) Gizoare pisua a kg. baio txikiagoa da 0,73ko probabilitateaz. Zebat da a? Sol.: a) 0,1587 ; b) 0,0668 ; c) 0,3313 ; d) 74,8 4. Demagu umeei leheego hortza atera arte igarotze de debora (hilabeteta) eurtze due zorizko aldagaia N(7 5,1 5) baaketari jarraitze zaiola. Kalkula ezazu ume bate hortzak: a) Urtebete pasatu odore ateratzeko probabilitatea b) 5 hilabete baio leheago c) Zazpigarre hilabetea (probabilitate putuala) 5. Telebista bate iraupea 4 6 urtekoa da, desbidazio tipikoa 1 6 urtekoa delarik. Saltzaileek urtebeteko garatia emate dute, hots, epe horreta telebista hodatze bada, aldatuko dizute aparailua errekargurik gabe. Zebatekoa da erreklamazioa egiteko dagoe probabilitatea?. Kotsidera dezagu telebistare iraupea baaketa ormalari darraiola. ( Sol.: 0,01) 6. Epresa batek, astea botila ekoizte ditu. Botile pisuak x = gr. eta σ = 10 gr. parametroetako baaketa ormalari jarraitze zaizkio. Kalkula ezazu astebetea a) 15 gr. baio gehiago pisatze dute botile kopurua b) 1195 eta 115 gr. tarteko pisua dute botile kopurua 7. Oposaketa azterketa bate kalifikazioe batezbestea 6 5 da eta desbidazio tipikoa 1 6. Oposaketa hoeta %10 hobereak soilik lor dezake plaza. Zei da plaza lortzeko atera behar de gutxieezko ota? 8. Herrialde jaki batea, urteko dirusarrerek batezbestekoa euro eta desbideratze tipikoa euro due baaketa ormala jarraitze dute. Pobree proportzioa %4 bada eta aberatsea %a, zei dira pobreziare muga eta aberastasuare muga zehazte dituzte urteko dirusarrerak? 8

29 BANAKETA BINOMIALA, NORMALARI HURBILTZEN ZAIONEAN Txapo bat 00 aldiz jaurtiz gero, 80 aurpegi baio gehiago ateratzeare probabilitatea hoela lortuko geuke: P(X=81) + P(X=8) P(X=00) Ikuste deez, baaketa biomialare bidezko kalkulu hori luzeegia da, ia eziezkoa: 00 0, , , , ,5.0,5 00 Modu errazago bat aurkitu ahi dugu, ormalare bidez hai zuze. Aurreko adibidea 00 frogaldi egi dira ( = 00). Baiezkoa gertatzeare probabilitatea p = 0,5 da eta kotrakoa gertatzearea q = 1p = 1 0,5 = 0,5. Baaketa biomialare parametroak hauek dira: Batezbestekoa: x =. p = 00.0,5 = 100 Desbidazio tipikoa: σ =. p. q = 00.(0.5).(0.5) = Baaketa biomial batek, ormalare geroz eta atz hadiagoa hartuko du, baldi.p biderkadura hadituz badoa p eta q, biak 3 baio hadiagoak direea, hurbilketa ahiko oa da. 5etik gorakoak badira, hurbilketa iaia osoa da Ezker aldea, B(, 0.) baaketari dagokio hurbilketa ikus dezakegu grafikoki. re bailoak hadituz gero, kurbek, Gausse kapaiare itxura hartze dute p>3 deea hurbilketa oa da eta p>=5 deea oso oa. Gogora ditzagu baaketa biomialare parametroak: Batezbeste a = x =. p eta Desbidazio _ tipikoa = σ =. p. q. Beraz, N( x, σ ) kurba ormalari hurbiltze zaioez, biomialare osagaiak N ( p, pq) izago dira Bi baaketa horie hurbilketa, kotuta iza behar da biomiala diskretua dela eta ormala jarraia. 9

30 1. adibidea Ipar aldeko hiri batea egidako azterketa bate arabera, %5ak gizoezkoak dira bizilagu zoriz aukeratuz, zei da horietatik gutxieez 60 gizoezkoak izateko probabilitatea? X deitze badiogu gizoezko kopurua adierazte due aldagai aleatorioari, Xek B(1000, 0 5) baaketa bat segituko du; beraz, hoakoa aurkitu beharko geuke: P(X >= 60) = P(X = 60) + P(X = 61) P(X = 1000) Baia, guzti hori kalkulatzea eziezkoa da. Horregatik, kasu kopurua hadia (=1000) eta.p>=5 (.p= =50) deez gero, kalkulu biomial hori asko erraz dezakegu N ( p, pq) baaketa ormalera hurbilduz. Hau da:.p=50 ; = 13`7. Beraz, N(50, 13 7) P(X >= 60): z = = P ( z 0 73) = 1 P( z 0 73) = = 0,37. adibidea Dado bat 100 aldiz botatze da. Zei da 5 aurpegia 0 aldiz baio gutxiagota ateratzeare probabilitatea? Kasu hoeta,.p = 100.(1/6)=16,666. Beraz, ormalari egite dio hurbilketa oso oa da. 1 5 x =. p = 16,66 eta σ =. p. q = = p( x < 0) aurkitu behar da. 0 16,66 z = = 0, p ( z 0 89) = 0,

31 ARIKETAK 1. Egokitu baaketa bakoitzari dagokio N ( x, σ ) N(5,1) ; N(4,1) ; N(6,1) ; N(5, 0 5) Nolakoa da lau kapai hauek mugatze dute azalera? Zebatekoa da?. Makia bateko pieza mota jaki bat akastua izateko probabilitatea %6 da. Biltegi batea 000 pieza jaso dituzte. Batezbeste, zebat dira akastuak? Zei izago da desbidazio estadarra?. 3. Espaiiar kartasorta (40 karta) batetik 50 aterako ditugu, ateraldi bakoitzare ostea sortara itzuliz. Biomialetik ormalerako hurbilketa erabiliz, aurkitu hoakoak gertatzeko probabilitateak: a) Sei kartatik gora urreak izatea b) Zortzi urre ateratzea 4. Herrialde batea egidako hauteskudeeta abstetzioa hautesleerroldare %5 iza da. a) Hautesleerroldako hiru pertsoa zoriz aukeratze badira, zei da iork ere botoa ez izaare probabilitatea? Eta bakar bat izatea absteitu dea? b) Hautesleerroldatik zoriz harturiko 100 pertsoatatik gutxieez 30 absteitu izaare probabilitatea aurkitu 5. Demagu saio jaki bate etzuleidizea %53 dela teleikusle zoriz aukeratze baditugu, zei da gutxieez 550ek saio ikuste ari izateko probabilitatea? 6. Jaioberria mutikoa izateko probabilitatea 0,515 da. Ospitalea, 184 ume jaio dira aste hoeta, Zei da 100 mutiko edo gehiago jaiotzeare probabilitatea? 7. Txapo bat 100 aldiz jaurtiz gero, kalkula itzazu probabilitate hauek: a) 40 aurpegi ateratzea b) 40 aurpegi baio gutxiago c) aurpegi kopurua, 40 eta 70 bitartekoa 8. Test moduko azterketa bateko 100 galderek laua eratzu eskaitze dituzte, baia horietako bat baio ez da zuzea. Kalkula ezazu, zoriz eratzute due ikasle batek 30 galdera baio gehiago asmatzeko probabilitatea. 9. Balditza berbereta egidako %5 termostatok ez dituzte eskakizu tekikoak betetze. 000 termostatoko lagi bat ateraz gero, aurki ezazu, akastu kopurua 10 baio gehiago izateare probabilitatea. Zei da zehazki 100 termostato akastu izateko probabilitatea? 31

32 10.Azterketa bat 0tik 10era putuatze da modu hoeta: [0, ) = Oso gutxi ; [, 5) = Gutxi ; [5, 6) = Nahiko ; [6, 7) = Ogi ; [7, 8 5) = Oso ogi ; [8,5, 10) = Bikai Azterketare otak baaketa ormalari segitze zaizkio, batezbestea 5 eta desbidazio tipikoa delarik. Aurkitu kalifikaziotarte bakoitzea sartuko dire ikaslee portzetaia 11. Uibertsitateko eskola batea, haibat proba egi odore, putuazio hobereak dituzte %0ak oartuko dituzte. Proba horietako otak N(100, 15) baaketa ormalari segitze badio, zei da gutxiego ota Uibertsitatea sartzeko? 1. Oposaketa bat gaiditzeko, gutxieez 100 putu atera behar dira. Putuaketak, baaketa ormalari jarraitze dio, batezbestea 110 eta desbidazio tipikoa 15 izaik. a) Partehartzaile bat zoriz aukeratuz, zei da oposaketa gaiditzeko probabilitatea? b) 300 lapostu betetzeko 1000 partehartzaile daudela jakiik, zei da atera behar de gutxieezko putuazioa lapostua lortzeko? 13. Maiatzeko azterkete otak ikusita ( batezbestea 3 5 eta desbidazio tipikoa 1 5), irakasle batek, ekaiea egigo de deialdirako, kalifikazio hauek aurreikuste ditu: ikaslee %40a Gutxi, %30a Nahiko, %0a Oso ogi eta %10a Bikai. Ekaieko proba Gutxi ateratzeko, zei izago da otarik altuea? Eta Nahiko ateratzeko? Eta Oso ogi? 14. Herrialde jaki bateko biztalee altuerak batezbestekoa 1,75mkoa due baaketa ormala jarraitze du. Herrialde horreta 1,90 m. baio gehiago eurtze dute biztaleak totalare %6,68 dira. Zei da desbideratze tipikoa? Zei da 1,60 m. baio altuera hadiagoko gizabaakare proportzioa? 15. Jaioberrie altuerak baaketa ormala jarraitze duela jakia da. A autoomiaerkidegoa baaketare batezbestekoa 5 zm da eta desbideratze tipikoa 3 zm, eta B autoomiaerkidegoa aldiz, batezbestekoa 53 zm eta desbideratze tipikoa 5 zm. a) Kalkulatu, leheego kasua, batezbestearekiko simetrikoak dire zei baliore artea dagoe jaioberrie altuere %50a (zetrala) b) Zehaztu bi erkidegoe artea zeiek dauka 50 zm baio altuera hadiagoko jaioberrie proportziorik hadiea 16. Herri jaki bateko biztaleei kultura orokorreko test bat egi odore, lortutako putuaketek batezbestekoa 68 eta desbideratze tipikoa 18 due baaketa ormala jarraitze dutela ageri da. Biztaleak hiru taldeta sailkatuko dira (kultura orokor baxukoak, kultura orokor ahikokoak eta kultura orokor bikaiekoak), leheego taldeak populazioare %0a duelarik, bigarreak %65a eta hirugarreak %15a. Zei dira taldee arteko mugak zehazte dituzte putuaketak? 17. A jokalari batek txapo orekatu bat 400 aldiz jaurtitze du. B jokalariak txapo trukatu bat 00 aldiz jaurtitze du, azke txapo hoeta aurpegia irteteko probabilitatea 0,4 delarik. Zer da probableea, A jokalariak 175 aurpegi baio gutxiago lortzea ala B jokalariak 100 gurutze baio gutxiago lortzea? Eratzua arrazoitu 3

33 33 Igazio Zuloaga BHI (Eibar)

34 LAGIN ESTATISTIKOAK Gogora ezazu: Populazioa edo uibertsoa, ikerketa bate helburu izago dire idibiduo guztiak dira Lagia, populazioare azpimultzo bat da. Praktika, sarrita jotze dugu lagietara populazio oso bati buruzko datuak ateratzeko; beraz, lagiare azterketak populazio osoare ezaugarriak ateratzeko balioko digu. Populazio osoare ordez lagia aztertzerakoa, akatsak egite ditugu. Hori, aldez aurretik dakigu baia kotrola ditzakegu. Lagia aukeratzeari lagiketa esate zaio. Ikus dezagu orai zela hartu lagi adierazgarriak. ZORIZKO LAGINKETA Ikus ditzagu zorizko lagiketa motak: Zorizko lagiketa bakua Idibiduoak zebakitu eta zozketaz aukeratuko dira. Esaterako, idibiduoak kutxa godeta daude torlojuak badira, zoriz aukeratze dira, kutxatiz ateraz Lagiketa sistematikoa Idibiduoak zebakitu, leheegoa zoriz aukeratu eta gaierakoak salto bate bidez. Esaterako, lehea 5a bada eta saltoa 13koa bada, 5, 18, 31, 44,... zebakiak aukeratuko ditugu Lagiketa geruzatua Populazioa, maila ezberdieta baatu ahal bada (adibidez, adiare arabera: 18 urtetik beherakoak; 18 eta 5 urte artekoak; 35 eta 50 artekoak; 50 urtetik gorakoak), batzuta komeigarria izate da maila edo geruza bakoitzetik lagi aleatorio bat aukeratzea. Geruza bakoitzea, berorre proportzioala de lagi aukeratze badugu, lagi geruzatu proportzioala izago dugu: = = = = N N N N N Guztira Populazioko idibiduo kop. N 1 N N 3 N 4 N Lagieko idibiduo kop Geruza bakoitzea, lagiare i idibiduoak zoriz aukeratze dira

35 ADIBIDEA. Ikastetxe bateko 1300 ikaslek zebat ordu ikaste dute jaki ahi dugu eta horretarako 100 ikaslee lagi bat hartze dugu Ikus ditzagu azaldutako hiru metodoak: Zozketa bakuare bitartez, aldez aurretik ikastetxeko ikasle guztiei zebaki baa ema odore Lagiketa sistematikoa. Egi 1300/100 = 13. Odore, 1etik 13ra bitarteko zebaki bat zozketaz aukeratuz; petsa Esate baterako, aukeraketa egite bada ikastetxera leheago heldu dire 100 ikasleeki, lagia ez litzateke adierazgarria, kutsatuta ego daiteke, ikastetxera garaiz etortzeak lotura iza dezakeelako ikasle horie ardura edo errespotsabilitateareki eta, beraz, ikasteko erabiltze dute deborareki dezagu 5 zebakia atera dugula. Lagiketa egiteko, 5, 18, 31, 44, 57,..., 19 zebakidu ikasleak hartuko ditugu Lagiketa geruzatua. Petsa dezagu ikastetxea 1. maila 46 ikasle daudela,.ea 359, 3.a 67, 4.a 133 eta 5.ea 115. Hoako hau egigo dugu: = = = = = 1 = = Modu berea lortze dira =8 ; 3 =0 ; 4 =10 ; 5 =9 Zoriz, 1. mailakoak 33 ikasle aukeratze baditugu,.eko 8, 3.eko 0, 4.eko 10 eta 5.eko 9, lagi bat lortuko dugu, lagiketa geruzatua proportzioalare bitartez. Lagi bat populazioare adierazgarri iza dadi, bere elemetuak zoriz aukeratzea ezibestekoa da. Lagiketa zorizkoa dela esate da idibiduo guztiak zoriz aukeratze direea; hau da, aukeratuak izateko probabilitate berbera dute populazioko idibiduo guztiak. LAGINEN BATEZBESTEKOEN BANAKETA Adibidea. Garagardo epresa batea, 33zl.ko latak erabiltze dira. Edukia hori de ala ez zihurtatzeko, fabrikatzaileak 10 lata aukeratze ditu zoriz eta emaitza hauek ateratze zaizkio: x = 33,07 zl. eta σ = 0, zl. Horrelako 1 proba egite ditu, bakoitzea 10 lata harturik. Emaitzak, taula azaltze dira Odore, taulako 1 x batezbestekoe batezbestea eta desbidazio tipikoa kalkulatze ditu eta hauxe ateratze zaio: µ = 33, 1 eta σ = 0, 06. x Batezbestekoe lagibaaketak, N(33 1, 0 06) lege ormala jarraitze du. Lagie batezbestekoe batezbestekoa µ izedatuko dugu eta desbidazio tipikoa σ x x x 35

36 σ Zera betetze da: µ = x eta σ = x x Ezberditasua, desbidazio tipikoa dago; hau da: Nola baatze dira epresako garagardo lata guztiak?: N( x, σ ) Nola 1 lagie batazbesteak (1 x ak)?: N( x, σ ) Adibidea Makia batek azufre poltsak egite ditu, batazbeste 500 gr. pisukoak eta desbidazio tipikoa 35 gr. Poltsa horiek 100 uitateko lagieta biltze dira kutxeta sartzeko. Kutxeta, ola daude baatuta poltse pisue batezbesteak? Makiak egite ditue poltsa guztie baaketa N(500, 35) da. Kutxa edo lagi bakoitzea 100 poltsa biltze badira, lagi hoie batazbesteko pisue baaketa hoela kalkulatze da: = 100 Batezbestea: µ = x = 500 x σ 35 Desbidazio tipikoa: σ = x = = Hau da, kutxeta, poltse pisue batezbesteak N(500, 3 5) baatze dira Poltsa guztie baaketa: Lagie batazbestekoe baaketa: Aurreko adibidea jarraituz: a) Makiak egite ditue poltsa guztietatik bat zoriz aukeratuz, zei da probabilitatea bere pisua 507 gr. baio gutxiago izatea? b) 100 uitateko lagi edo kutxa bat zoriz aukeratuz, zei da probabilitatea bere batezbestekoare pisua 507 gr. baio gutxiago izatea? a) Baaketa: N(500, 35) z = = 0, ; p[z<0,] = 0, b) Ez du axola zebat lagi dire; bai, ordea, lagie tamaia (100) 35 Baaketa, N(500, ) = N(500, 3 5) z = = ; p[z<] = 0,

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika I

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika I Gia eta Giarte Zietiak Matematika I. eta. ebaluaioak Zue erreala Segida errealak Ekuaio espoetialak Logaritmoak Ekuaio lieale sistemak ESTATISTIKA Aldagai diskretuak eta jarraiak Parametro estatistikoak

Διαβάστε περισσότερα

LAN PROPOSAMENA. ASKATASUNA BHI. Unitatea: MEKANISNOAK Orri zk: 1 Burlata 1. JARDUERA. IRAKASLEA: Arantza Martinez Iturri

LAN PROPOSAMENA. ASKATASUNA BHI. Unitatea: MEKANISNOAK Orri zk: 1 Burlata 1. JARDUERA. IRAKASLEA: Arantza Martinez Iturri ASKATASUNA BHI. Uitatea: MEKANISNOAK Orri zk: 1 1. JARDUERA LAN PROPOSAMENA LAN PROPOSAMENA Diseiatu eta eraiki ERAKUSLEIHO ZINETIKOA jedeare arreta erakartzeko edo produktu bat iragartzeko. Erakusleihoare

Διαβάστε περισσότερα

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. 1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi

Διαβάστε περισσότερα

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

4. Hipotesiak eta kontraste probak.

4. Hipotesiak eta kontraste probak. 1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo

Διαβάστε περισσότερα

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

Ekuazioak eta sistemak

Ekuazioak eta sistemak 4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste

Διαβάστε περισσότερα

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK 1.-100 m 3 aire 33 Km/ordu-ko abiaduran mugitzen ari dira. Zenbateko energia zinetikoa dute? Datua: ρ airea = 1.225 Kg/m 3 2.-Zentral hidroelektriko batean ur Hm

Διαβάστε περισσότερα

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu

Διαβάστε περισσότερα

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA: 3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

Zirkunferentzia eta zirkulua

Zirkunferentzia eta zirkulua 10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu

Διαβάστε περισσότερα

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten

Διαβάστε περισσότερα

I. ebazkizuna (1.75 puntu)

I. ebazkizuna (1.75 puntu) ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko uztailaren 7a, 15:00 Iraupena: Ordu t erdi. 1.75: 1.5: 1.25: 1.5: 2: I. ebazkizuna (1.75 puntu) Bi finantza-inbertsio hauek dituzu

Διαβάστε περισσότερα

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Διαβάστε περισσότερα

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK 1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas

Διαβάστε περισσότερα

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua

Διαβάστε περισσότερα

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad

Διαβάστε περισσότερα

ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA

ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE PROBA MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA MODULUA ARIKETAK ERANTZUNAK BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA Modulua MATEMATIKA Oinarrizko Prestakuntza -. maila Erdi Mailako heziketa-zikloetarako

Διαβάστε περισσότερα

Ordenadore bidezko irudigintza

Ordenadore bidezko irudigintza Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak 6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

1. Ur-ponpa batek 200 W-eko potentzia badu, kalkulatu zenbat ZP dira [0,27 ZP]

1. Ur-ponpa batek 200 W-eko potentzia badu, kalkulatu zenbat ZP dira [0,27 ZP] Ariketak Liburukoak (78-79 or): 1,2,3,4,7,8,9,10,11 Osagarriak 1. Ur-ponpa batek 200 W-eko potentzia badu, kalkulatu zenbat ZP dira [0,27 ZP] 2. Gorputz bat altxatzeko behar izan den energia 1,3 kwh-koa

Διαβάστε περισσότερα

5 Hizkuntza aljebraikoa

5 Hizkuntza aljebraikoa Hizkuntza aljebraikoa Unitatearen aurkezpena Unitate honetan, aljebra ikasteari ekingo diogu; horretarako, aurreko ikasturteetan landutako prozedurak gogoratuko eta sakonduko ditugu. Ikasleek zenbait zailtasun

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko ekainaren 27a, 15:00 - Iraupena: Ordu t erdi. EBAZPENA

ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko ekainaren 27a, 15:00 - Iraupena: Ordu t erdi. EBAZPENA ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko ekainaren 27a, 15:00 - Iraupena: Ordu t erdi. I. ebazkizuna (2.5 puntu) EBAZPENA Kontxako hondartzan bainu-denboraldian zehar jasotako

Διαβάστε περισσότερα

2011ko EKAINA KIMIKA

2011ko EKAINA KIMIKA 2011ko EKAINA KIMIKA A AUKERA P.1. Hauek dira, hurrenez hurren, kaltzio karbonatoaren, kaltzio oxidoaren eta karbono dioxidoaren formazioberoak: 289; 152 eta 94 kcal mol 1. Arrazoituz, erantzun iezaiezu

Διαβάστε περισσότερα

Deixia. Anafora edota katafora deritze halako deixi-elementuei,

Deixia. Anafora edota katafora deritze halako deixi-elementuei, Deixia Jardunera edo gogora ekarritako erreferente bat (izaki, leku zein denbora) seinalatzen duen elementu linguistiko bat da deixia. Perpausaren ia osagai guztiek dute nolabaiteko deixia: Orduan etxe

Διαβάστε περισσότερα

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

Mate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.

Mate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L. Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L. AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK... 3. ZENBAKI OSOAK... 0 3. ZATIGARRITASUNA... 34 4. ZENBAKI HAMARTARRAK... 53 5. ZATIKIAK... 65 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK...

Διαβάστε περισσότερα

Oxidazio-erredukzio erreakzioak

Oxidazio-erredukzio erreakzioak Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Solido zurruna

5. GAIA Solido zurruna 5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)

Διαβάστε περισσότερα

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2 Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak 1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta

Διαβάστε περισσότερα

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren

Διαβάστε περισσότερα

FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia)

FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia) FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia) 1.- Proiektuaren zergatia eta ezaugarri orokorrak Indarrean dagoen curriculumean zehazturiko Batxilergoko zientzietako jakintzagaiei dagozkien lanmaterialak

Διαβάστε περισσότερα

GAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK)

GAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK) GAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK) Recart Barañano, Federico Pérez Manzano, Lourdes Uriarte del Río, Susana Gutiérrez Serrano, Rubén EUSKARAREN

Διαβάστε περισσότερα

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa

Διαβάστε περισσότερα

LAN PROPOSAMENA. Alarma bat eraiki beharko duzu, trantsistorizatuta dagoen instalazio bat eginez, errele bat eta LDR bat erabiliz.

LAN PROPOSAMENA. Alarma bat eraiki beharko duzu, trantsistorizatuta dagoen instalazio bat eginez, errele bat eta LDR bat erabiliz. - 1-1. JARDUERA. LAN PROPOSAMENA. 1 LAN PROPOSAMENA Alarma bat eraiki beharko duzu, trantsistorizatuta dagoen instalazio bat eginez, errele bat eta LDR bat erabiliz. BALDINTZAK 1.- Bai memoria (txostena),

Διαβάστε περισσότερα

Batxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E

Batxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E Batxilergorako materialak Logika sinbolikoa Peru Urrutia Bilbao ISBN: 9788445729267 9 788445 729267 Salneurria: 4 E Euskara Zerbitzua Ikasmaterialak Gabirel Jauregi Bilduma Batxilergorako materialak Logika

Διαβάστε περισσότερα

KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA

KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA eman ta zabal zazu Euskal Herriko Unibertsitatea Informatika Fakultatea Konputagailuen Arkitektura eta Teknologia saila KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA KTL'2000-2001 Oinarrizko dokumentazioa lehenengo

Διαβάστε περισσότερα

EIB sistemaren oinarriak 1

EIB sistemaren oinarriak 1 EIB sistemaren oinarriak 1 1.1. Sarrera 1.2. Ezaugarri orokorrak 1.3. Transmisio teknologia 1.4. Elikatze-sistema 1.5. Datuen eta elikatzearen arteko isolamendua 5 Instalazio automatizatuak: EIB bus-sistema

Διαβάστε περισσότερα

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 1. AKTIBITATEA Lan Proposamena ARAZOA Zurezko oinarri baten gainean joko elektriko bat eraiki. Modu honetan jokoan asmatzen dugunean eta ukitzen dugunean

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10

Διαβάστε περισσότερα

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA 1. HELBURUAK Kurtso honetarako prestatu den materialarekin, irakurlearentzat ohikoak diren matematikako sinboloak, notazioak, lengoaia matematikoa eta aritmetikako

Διαβάστε περισσότερα

2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK

2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK 2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK Gaur egun, dispositibo elektroniko gehienak erdieroale izeneko materialez fabrikatzen dira eta horien ezaugarri elektrikoak dispositiboen funtzionamenduaren oinarriak dira.

Διαβάστε περισσότερα

1. praktika Elikadura-iturria eta polimetroaren maneiua. Oinarrizko neurketak: erresistentzia, tentsioa eta korrontea.

1. praktika Elikadura-iturria eta polimetroaren maneiua. Oinarrizko neurketak: erresistentzia, tentsioa eta korrontea. eman ta zabal zazu Informatika Fakultatea, EHU Konputagailuen Arkitektura eta Teknologia Saila ktl'2001 KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA 1. zatia: Instrumentazioa (I) 1. praktika Elikadura-iturria

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntza-koordinazioa

Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntza-koordinazioa MEKANIZAZIO BIDEZKO PRODUKZIOA Neurtzeko tresnak eta teknikak LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntza-koordinazioa Egilea(k): TOMAS AGIRRE: Neurtzeko tresnak eta teknikak,

Διαβάστε περισσότερα

Oinarrizko Elektronika Laborategia I PRAKTIKAK

Oinarrizko Elektronika Laborategia I PRAKTIKAK Oinarrizko Elektronika Laborategia I PRAKTIKAK I. PRAKTIKA - Osziloskopioa I. Alternoko voltimetroa. Karga efektua. Helburuak Osziloskopioaren aginteen erabilpenean trebatzea. Neurgailuek zirkuituan eragiten

Διαβάστε περισσότερα

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA 1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Teoria ekonomikoa, mikroekonomia eta makroekonomia

1.2. Teoria ekonomikoa, mikroekonomia eta makroekonomia 1. MAKROEKONOMIA: KONTZEPTUAK ETA TRESNAK. 1.1. Sarrera Lehenengo atal honetan, geroago erabili behar ditugun oinarrizko kontzeptu batzuk gainbegiratuko ditugu, gauzak nola eta zergatik egiten ditugun

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa PROGRAMAZIO-TEKNIKAK Programazio-teknikak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak LANBIDE HEZIKETAKO ZUZENDARITZA DIRECCION DE FORMACION PROFESIONAL Hizkuntz

Διαβάστε περισσότερα

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9 Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak

Διαβάστε περισσότερα

1. Oinarrizko kontzeptuak

1. Oinarrizko kontzeptuak 1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili

Διαβάστε περισσότερα

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da. 9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak

Διαβάστε περισσότερα

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK 4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa

Διαβάστε περισσότερα

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en

Διαβάστε περισσότερα

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako

Διαβάστε περισσότερα

ZENTRAL HIDROELEKTRIKO ITZULGARRIA TURBINA-PONPA TALDEAREKIN DISEINUA BILBOKO INDUSTRIA INGENIARITZA TEKNIKOKO UNIBERTSITATE ESKOLA

ZENTRAL HIDROELEKTRIKO ITZULGARRIA TURBINA-PONPA TALDEAREKIN DISEINUA BILBOKO INDUSTRIA INGENIARITZA TEKNIKOKO UNIBERTSITATE ESKOLA eman ta zabal zazu BILBOKO INDUSTRIA INGENIARITZA TEKNIKOKO UNIBERTSITATE ESKOLA INDUSTRIA ELEKTRONIKAREN ETA AUTOMATIKAREN INGENIARITZA GRADUA: GRADU AMAIERAKO LANA 2014 / 2015 ZENTRAL HIDROELEKTRIKO

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak 1 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Erreferentzia-sistemak Posizioa Ibibidea eta lekualdaketa Higidura motak Abiadura Abiadura eta segurtasun tartea Batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura Higidura

Διαβάστε περισσότερα

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira:

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: 1 Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: T= 2,000 C eta P= 50,000 a 100,000 atmosfera baldintza hauek bakarrik ematen dira sakonera 160 Km-koa denean eta beharrezkoak dira miloika eta

Διαβάστε περισσότερα

ELASTIKOTASUNAREN TEORIA ETA MATERIALEN ERRESISTENTZIA. Ruben Ansola Loyola

ELASTIKOTASUNAREN TEORIA ETA MATERIALEN ERRESISTENTZIA. Ruben Ansola Loyola ELSTIKOTSUNREN TEORI ET MTERILEN ERRESISTENTZI Ruben nsola Loyola Udako Euskal Unibertsitatea Bilbo, 005 HEZKUNTZ, UNIBERTSITTE ET IKERKET SIL DERTMENTO DE EDUCCIÓN UNIVERSIDDES E INVESTIGCIÓN «Liburu

Διαβάστε περισσότερα

Mikroekonomia I. Gelan lantzeko ikasmaterialak.

Mikroekonomia I. Gelan lantzeko ikasmaterialak. Mikroekonomia I. Gelan lantzeko ikasmaterialak. Egilea(k) Andoni Maiza Larrarte* * Eduki gehienak Zurbanok (1989), eta Ansa, Castrillón eta Francok (2011) prestatutako ikasmaterialetatik hartu dira. Egileak

Διαβάστε περισσότερα

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma)

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Termodinamika Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Erreakzio kimikoetako transformazio energetikoak. Espontaneotasuna 1. Energia eta erreakzio kimikoa. Prozesu exotermikoak

Διαβάστε περισσότερα

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA Datu orokorrak: Elektroiaren masa: 9,10 10-31 Kg, Protoiaren masa: 1,67 x 10-27 Kg Elektroiaren karga e = - 1,60 x 10-19 C µ ο = 4π 10-7 T m/ampere edo 4π

Διαβάστε περισσότερα

Polimetroa. Osziloskopioa. Elikatze-iturria. Behe-maiztasuneko sorgailua.

Polimetroa. Osziloskopioa. Elikatze-iturria. Behe-maiztasuneko sorgailua. Elektronika Analogikoa 1 ELEKTRONIKA- -LABORATEGIKO TRESNERIA SARRERA Elektronikako laborategian neurketa, baieztapen eta proba ugari eta desberdinak egin behar izaten dira, diseinatu eta muntatu diren

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA Indar zentralak

4. GAIA Indar zentralak 4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:

Διαβάστε περισσότερα

GIPUZKOAKO INGENIARITZA ESKOLA ESCUELA DE INGENIERÍA DE GIPUZKOA EIBAR

GIPUZKOAKO INGENIARITZA ESKOLA ESCUELA DE INGENIERÍA DE GIPUZKOA EIBAR GIPUZKOAKO INGENIARITZA ESKOLA ESCUELA DE INGENIERÍA DE GIPUZKOA EIBAR GRAL : DISTRICT HEATING MUNITIBAR HERRIKO LAU ERAIKINEN BEROKUNTZA ETA UBS BEHARRAK ASETZEKO 1. DOKUMENTUA: Gradua: Energia Berriztagarrien

Διαβάστε περισσότερα

Atal honetan, laborategiko zirkuituetan oinarrizkoak diren osagai pasibo nagusiak analizatuko ditugu: erresistentziak, kondentsadoreak eta harilak.

Atal honetan, laborategiko zirkuituetan oinarrizkoak diren osagai pasibo nagusiak analizatuko ditugu: erresistentziak, kondentsadoreak eta harilak. 1. SARRERA Atal honetan, laborategiko zirkuituetan oinarrizkoak diren osagai pasibo nagusiak analizatuko ditugu: erresistentziak, kondentsadoreak eta harilak. Horien artean interesgarrienak diren erresistentziak

Διαβάστε περισσότερα

OINARRIZKO ELEKTRONIKA LABORATEGIA I

OINARRIZKO ELEKTRONIKA LABORATEGIA I 23KO IRAILA Oharra: praktiketan eta laborategiko azterketan lorturiko notarekin batez bestekoa egin ahal izateko, idatzitako azterketan gutxienez 3 puntu lortu behar dira. Idatzitako azterketak guztira

Διαβάστε περισσότερα

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da.

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da. 1. Sarrera.. Uhin elastikoak 3. Uhin-higidura 4. Uhin-higiduraren ekuazioa 5. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran 6. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa 7. Uhin geldikorrak 8. Huyghens-Fresnelen

Διαβάστε περισσότερα

Konposatu Organikoak

Konposatu Organikoak 6. Ikasgaia. HIDRKARBURE MEKLATURA ETA FRMULAZIA ERRADIKALAK ETA FUTZI-TALDEAK Konposatu organikoen sailkapena Kate karbonoduna eta funtzio-taldeak Segida homologoak I.U.P.A.C. MEKLATURA-SISTEMA Izen arruntak,

Διαβάστε περισσότερα

1. SARRERA. 2. OSZILOSKOPIO ANALOGIKOA 2.1 Funtzionamenduaren oinarriak

1. SARRERA. 2. OSZILOSKOPIO ANALOGIKOA 2.1 Funtzionamenduaren oinarriak 1. SARRERA Osziloskopioa, tentsio batek denborarekin duen aldaketa irudikatzeko tresna da. v(t) ADIBIDEZ Y Ardatza (adib.): 1 dibisio = 1 V X Ardatza (adib.): 1 dibisio = 1 ms t 4.1 Irudia. Osziloskopioaren

Διαβάστε περισσότερα

Bizikletak mailegatzeko zerbitzua erabiltzeko arauak

Bizikletak mailegatzeko zerbitzua erabiltzeko arauak Bizikletak mailegatzeko zerbitzua erabiltzeko arauak 1. Zer da GETXOBIZI eta nola funtzionatzen du? GETXOBIZI udalerrian bizikletaz mugitzeko zerbitzu publiko gisa dago pentsatuta. Zerbitzu horretan izena

Διαβάστε περισσότερα

Energia-metaketa: erredox orekatik baterietara

Energia-metaketa: erredox orekatik baterietara Energia-metaketa: erredox orekatik baterietara Paula Serras Verónica Palomares ISBN: 978-84-9082-038-4 EUSKARAREN ARLOKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskararen Arloko Errektoreordetzaren

Διαβάστε περισσότερα

Elementu honek elektrizitatea sortzen du, hau da, bi punturen artean potentzial-diferentzia mantentzen du.

Elementu honek elektrizitatea sortzen du, hau da, bi punturen artean potentzial-diferentzia mantentzen du. Korronte zuzena 1 1.1. ZIRKUITU ELEKTRIKOA Instalazio elektrikoetan, elektroiak sorgailuaren borne batetik irten eta beste bornera joaten dira. Beraz, elektroiek desplazatzeko egiten duten bidea da zirkuitu

Διαβάστε περισσότερα

MODULUA ARIKETAK PROBA BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA ERANTZUNAK ERANTZUNAK

MODULUA ARIKETAK PROBA BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA ERANTZUNAK ERANTZUNAK UNIBERTSITATERAKO SARBIDE PROBA 25 URTETIK GORAKOENTZAT FASE ESPEZIFIKOA KIMIKA MODULUA ARIKETAK ERANTZUNAK PROBA BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA ERANTZUNAK Modulua KIMIKA Gutxi gorabeherako iraupena: 90

Διαβάστε περισσότερα

HASI ESKEMA INTERNET HASTEKO ESKEMA INTERNET

HASI ESKEMA INTERNET HASTEKO ESKEMA INTERNET 7 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Uhin-higidura Soinua Higidura bibrakorra Soinu ekoizpena Uhin -higidura Uhin motak Uhin bat karakterizatzen duten magnitudeak Uhinen intentsitate eta energia Argia

Διαβάστε περισσότερα

Material plastikoak eta ingurugiroa: polimero biodegradakorrak*

Material plastikoak eta ingurugiroa: polimero biodegradakorrak* Material plastikoak eta ingurugiroa: polimero biodegradakorrak* Jose Ramón Sarasua Euskal Herriko Unibertsitatea Meatz eta Metalurgi Ingeniaritza eta Materialen Zientziaren Saila Bilboko Ingeniaritza Goi

Διαβάστε περισσότερα

Lan honen bibliografia-erregistroa Eusko Jaurlaritzako Liburutegi Nagusiaren katalogoan aurki daiteke: http://www.euskadi.net/ejgvbiblioteka ARGITARATUTAKO IZENBURUAK 1. Prototipo elektronikoen garapena

Διαβάστε περισσότερα

ARIKETAK (1) : KONPOSATU ORGANIKOEN EGITURA KIMIKOA [1 3. IKASGAIAK]

ARIKETAK (1) : KONPOSATU ORGANIKOEN EGITURA KIMIKOA [1 3. IKASGAIAK] 1. Partzialeko ariketak 1 ARIKETAK (1) : KNPSATU RGANIKEN EGITURA KIMIKA [1 3. IKASGAIAK] 1.- ndorengo konposatuak kontutan hartuta, adierazi: Markatutako atomoen hibridazioa. Zein lotura diren kobalenteak,

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Analisia eta Kontrola Materialak eta entsegu fisikoak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): HOSTEINS UNZUETA, Ana Zuzenketak:

Διαβάστε περισσότερα

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a ATAL TEORIKOA: Azterketaren atal honek bost puntu balio du totalean. Hiru ariketak berdin balio dute. IRAUPENA: 75 MINUTU. EZ IDATZI ARIKETA BIREN ERANTZUNAK ORRI

Διαβάστε περισσότερα

Teknologia Elektrikoa I Laborategiko Praktikak ISBN:

Teknologia Elektrikoa I Laborategiko Praktikak ISBN: Teknologia Elektrikoa I Laborategiko Praktikak ISBN: 978-84-9860-669-0 Agurtzane Etxegarai Madina Zigor Larrabe Uribe EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko

Διαβάστε περισσότερα

PISA: MATEMATIKA ETA PROBLEMAK EBAZTEA. II. Itemen adibideak irakasleak erabiltzeko. 15 urteko Ikasleen Nazioarteko Ebaluaziorako Proiektua

PISA: MATEMATIKA ETA PROBLEMAK EBAZTEA. II. Itemen adibideak irakasleak erabiltzeko. 15 urteko Ikasleen Nazioarteko Ebaluaziorako Proiektua 2009 PISA: MATEMATIKA ETA PROBLEMAK EBAZTEA II. Itemen adibideak irakasleak erabiltzeko 15 urteko Ikasleen Nazioarteko Ebaluaziorako Proiektua w w www.pisa.oecd.org ISEI-IVEIk argitaratuta: Irakas-Sistema

Διαβάστε περισσότερα