Δένδρα επικάλυψης ελάχιστου κόστους και το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (Traveling Salesman Problem: TSP)

Transcript

1 Δένδρα επικάλυψης ελάχιστου κόστους και το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (Traveling Salesman Problem: TSP)

2 Αλγόριθμος Prim Ξεκινάμε από ένα δένδρο Τ αποτελούμενο από ένα μόνο κόμβο. Στη συνέχεια, σε κάθε επανάληψη, αυξάνουμε το δένδρο Τ συνδέοντάς το στο πλησιέστερο ελεύθερο κόμβο ως προς την έννοια του βάρους (κόστους).

3 Αλγόριθμος Prim G=(V,E) Τ={u, οποιοσδήποτε κόμβος} Repeat T T {v}, v πλησιέστερος ελεύθερος κόμβος στο Τ

4 Παράδειγμα

5

6 x, αν x ανήκει στο Τ near[x]= 0 αν [x,y] δεν ανήκει στο E, για όλα τα y του T y, αν y ανήκει στο T(ο πλησιέστερος κόμβος) Wx,y αν near[x]=y dist[x]= + αν near[x]=0 0 αν near[x]=x

7 near[]=, dist[]= near[]=, dist[]=8 near[7]=8, dist[7]= near[]=, dist[]=0 near[]=, dist[]= near[7]=8, dist[7]=

8 Αλγόριθμος Prim (nearest neighbour) initialization; choose s arbitrary; near[s] s; dist(s)=0; For i in Γ(s)do near(i) s; dist(i) w s,i ; for every node i other than s and not in Γ(s)do begin near(i) 0; dist(i) ; end; V T {s}; E T ;

9 Αλγόριθμος Prim (nearest neighbour) while V T < n do begin u vertex in(v V T ) with smallest dist(u); if (dist(u) >= then graph disconnected ; exit; E T Ε T {(u, near(u))}; V T V T {u}, dist(u)=0 near(u)=u; for x in Γ(u) and x in (V V T ) do if w ux < dist(x) then dist(x) w ux ; near(x) u end; (****)

10 Συνεκτικότητα Αν G συνεκτικός εύρεση του ΔΕΕΚ σε n- επαναλήψεις. Αν στην i επανάληψη (i < n-) δεν ευρίσκουμε πλευρά [x,y] με x στο δένδρο και y έξω από το δένδρο, τότε ο γράφος δεν είναι συνδεδεμένος (αλλά ήδη γνωρίζουμε έλεγχο συνεκτικότητας σε Ο(m) με την BFS)

11 Δάσος επικάλυψης Αν ο γράφος δεν είναι συνεκτικός, τότε... ένα δάσοςεπικάλυψηςελαχίστουκόστους Ο αλγόριθμος δίνει τη βέλτιστη λύση (από το θεώρημα βέλτιστου ΔΕΕΚ παρατηρώντας ότι το δάσοςεκκίνησηςσυνίσταταιαπόn μεμονωμένους κόμβους).

12 Πολυπλοκότητα Prim δέντρο G Κόμβοι εκτός δέντρου near[x] y dist[x] d x x degree(x) Ο αλγόριθμος σε κάθε επανάληψη χρειάζεται O(n + d i ) πράξεις, όπου d i ο βαθμός του εισερχόμενου στο δέντρο κόμβου στην i επανάληψη. Αφού ο αλγόριθμος απαιτεί n- επαναλήψεις, η πολυπλοκότητα είναι O( n )

13 Αλγόριθμος Kruskal Ξεκινάμε από ένα δάσος από n δένδρα, κάθε ένα δένδρο εκφυλισμένο σε ένα μεμονωμένο κόμβο. Σε κάθε επανάληψη, προσθέτουμετηπλευράμετο μικρότερο κόστος και η οποία δεν δημιουργεί κύκλο με τις ήδη επιλεγμένες πλευρές. Σταματάμε όταν έχουμε ένα δένδρο επικάλυψης (γράφος συνεκτικός) ή όταν δεν ευρίσκουμε πλέον πλευρά να προσθέσουμε (ο γράφος δεν είναι συνεκτικός)

14 Αλγόριθμος Kruskal - Παράδειγμα Δ ια& τ αξη π λευρω& ν κατα& αυξουσα & ταξη &, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος &, : κοστος &

15 Αριθμός συνιστωσών n = αριθμός μεμονομένων κόμβων Β & ημα Β & ημα

16 Αλγόριθμος Kruskal Β & ημα Β & ημα

17 Αλγόριθμος Kruskal β ήμα βήμα

18 T while ( T < n-) and (E ) do begin e smallest edge in E; E E - {e}; if (T {e} has no cycle) then T T {e} end; if ( T < n-) then write network disconnected ; (****) Πολυπλκότητα: O(mlogn) Εξακρίβωση σχηματισμού κύκλου σε O(logn) Αλγόριθμος Kruskal

19 Αλγόριθμος Kruskal - Δάσος Επικάλυψης Αν ο γράφος είναι μη συνεκτικός, γιαναβρούμε ένα δάσος επικάλυψης με τον αλγόριθμο Prim θα πρέπει να επαναλάβουμε τον αλγόριθμο σε κάθε συνεκτική συνιστώσα ΟαλγόριθμοςKruskal ευρίσκει απ ευθείας ένα δάσος επικάλυψης ελάχιστου κόστους.

20 Αλγόριθμος Kruskal - Πολυπλοκότητα Ταξινόμηση πλευρών: Ο(mlog m) (m αριθμός πλευρών) Εξακρίβωση σχηματισμού κύκλου: Ο(logn) Επαναλήψεις:m Ο(mlogm) + Ο(mlogn) =Ο(mlogn) δεδομένου ότι m < n

21 Σύγκριση των αλγορίθμων ( ) Prim : O n ( ) Kruskal = O mlogn πυκνοι & m= O ( n ) ( ) O( ) Prim O n < n logn Α & m= ραιοι O ( n) O ( ) O( ) n > nlogn Kruskal

22 Θεώρημα βέλτιστου για το ΔΕΕΚ Έστω ( ) με = ( V ) F= F,F,...F F,E k i i i ένα δάσος του γράφου G = ( V, E) και [ u, v] η πλευρά με το ελάχιστο κόστος έχουσα ένα άκρο στο V ( G συνεκτικος & ). Τότε, ανάμεσα σε όλα τα δένδρα επικάλυψης που περιέχουν αυτό το δάσος, υπάρχει ένα, το καλύτερο το οποίο περιέχει την πλευρά u, v. [ ]

23 Θεώρημα βέλτιστου για το ΔΕΕΚ - Απόδειξη k U i= ` Ε στω T = E οι πλευρες & του δασους & F. i y ' ( ) ( ) ( ) K A K A K A i F x u v F F

24 Απόδειξη (συνέχεια ) A i Έστω ένα οποιοδήποτε δένδρο επικάλυψης περιέχον το σύνολο των πλευρών Τ. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα δένδρο επικάλυψης A = ( V, E) περιέχον Τ αλλά όχι την πλευρά [ u, v] και του οποίου το κόστος είναι ελάχιστο, δηλαδή κό στος ( Α ) < κόστος A i Αν προσθέσουμε τη πλευρά [ uv, ] μέσα στο Ε δημιουργούμε ένα κύκλο c. Υπάρχει λοιπόν πάνω στον κύκλο c μία πλευρά xy, τέτοια ώστε x V y V\V και.

25 Απόδειξη (συνέχεια ) Έχουμε λοιπόν W > W xy uv και [ uv, ] T. Αντικαθιστώντας x y με uv, παίρνουμε ένα νέο δένδρο επικάλυψης τέτοιο ώστε :, [ ] το οποίο είναι σε αντίφαση με την (*). ( [ u v] [ x y ]) A = V,E U, \, Κ & οστος A <Κ & οστος A ( ) ( )

26 To ΔΕΕΚ μπορεί να δώσει ένα κάτω φράγμα της βέλτιστης λύσης του TSP ΔΕΕΚ και TSP TSP: Δίνεται ένας πλήρης γράφος G=(V, E, W) με βάρη, τάξης n. Να βρεθεί ένας κύκλος (Hamilton) οοποίος να περνά από όλους τους κόμβους μία και μόνο μία φορά και ο οποίος να έχει ελάχιστο κόστος.

27 Πρόβλημα πλανόδιου πωλητή (TSP) Α D Κόστος = 8 B C Α D Κόστος = 7 8 B C

28 Πρόβλημα πλανόδιου πωλητή (TSP) - Παράδειγμα

29 ΔΕΕΚ και TSP Kάτω φράγμα Β(Ι), όπου Ι ένα instance του TSP Αφαίρεσε ένα οποιοδήποτε κόμβο v i από το γράφο G. Εύρεση ενός ΔΕΕΚ Τ στον υπογράφο G = (V\{v i }, E ). Έστω Κ(Τ) το κόστος του δένδρου. Θεώρησε δύο πλευρές [v i, v k ] και [v i, v l ], Β(Ι) = Κ(Τ) + w il + w ik k, l i, με το μικρότερο κόστος

30 ΔΕΕΚ και TSP 8 A E Αφαίρεση του Α 7 8 Β E 7 8 Β 9 D C 9 D C E Κ(Τ) = Β Β(Ι) = Κ(Τ) + W AE + W AC 7 = + + = D C

31 ΔΕΕΚ και TSP (Απόδειξη) Έστω [v, v,..., v i,..., v n, v ] ένας βέλτιστος κύκλος με κόστος C opt Όταν αφαιρούμε τον κόμβο v i, έχουμε ένα δένδρο Τ' ( μία αλυσίδα v i-,,v, v,v n, v n-,..., v i+ ) Προφανώς Κόστος(Τ) Κόστος(Τ ) v Άρα Β(Ι) = Κόστος(Τ) + W ik + W il v v n v i- v i Kόστος(T ) + W i,i- + W i, i+ = Kόστος(Βέλτιστου κύκλου) = C opt V i+