«ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ»

Transcript

1 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ «ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ» Αρχιτεκτονικές υλικού χαμηλής ισχύος για την αποκωδικοποίηση συνελικτικών κωδίκων σε ασύρματα modems ΓΚΡΙΜΠΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Διπλωματούχος Μηχανικός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΜΕΛΗ: Β. ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Α. ΣΤΟΥΡΑΪΤΗΣ Κ. ΜΠΕΡΜΠΕΡΙΔΗΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2007, ΠΑΤΡΑ

2 ii

3 Ευχαριστίες Με την ολοκλήρωση της διπλωματικής μου εργασίας θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Παλιουρά Βασίλειο, καθηγητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών, για την ουσιαστική βοήθεια και την πολύτιμη συνεισφορά του στην διεκπεραίωση της παρούσης διπλωματικής εργασίας Γκρίμπας Δημήτριος Μηχανικός Ηλεκτρονικών υπολογιστών και Πληροφορικής iii

4 iv

5 Λίστα Σχημάτων Σχήμα 2.1: Μοντέλο Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος...8 Σχήμα 3.1: Σχηματικό Διάγραμμα ενός Συνελικτικού Κωδικοποιητή...12 Σχήμα 3.2: Συστηματικός Συνελικτικός Κωδικοποιητής Ρυθμού ½ (7,5) με Μήκος Περιορισμού Σχήμα 3.3: Γραφική αναπαράσταση του Κωδικοποιητή στην είσοδο του δυαδικού ψηφίου «ένα»...17 Σχήμα 3.4: Διάγραμμα Καταστάσεων...20 Σχήμα 3.5: Δεντρικό Διάγραμμα...21 Σχήμα 3.6: Διάγραμμα Trellis...23 Σχήμα 4. 1: Πεταλούδες για την υλοποίηση της υπομονάδας ACS...28 Σχήμα 4. 2: Κύριες μονάδες ενός Viterbi αποκωδικοποιητή...29 Σχήμα 4. 3: Σύγκλιση μονοπατιών...31 Σχήμα 4. 4: Παράδειγμα ενός ML μονοπατιού και του ανταγωνιστικού του...33 Σχήμα 5. 1: Μοντέλο τηλεπικοινωνιακού συστήματος...37 Σχήμα 5. 2: Συστηματικός Συνελικτικός Κωδικοποιητής Ρυθμού ½ (177, 133) με Μήκος Περιορισμού Σχήμα 5. 3: Διαμόρφωση BPSK. Ένα δυαδικό ψηφίο ανά σύμβολο...40 Σχήμα 5. 4: Διαμόρφωση QPSK. Δύο δυαδικά ψηφία ανά σύμβολο...41 Σχήμα 5. 5: Διαμόρφωση 4 QAM. Δύο δυαδικά ψηφία ανά σύμβολο...42 Σχήμα 5. 6: Διαμόρφωση 16 QAM. Τέσσερα δυαδικά ψηφία ανά σύμβολο...42 Σχήμα 5. 7: Διαμόρφωση 64 QAM. Έξι δυαδικά ψηφία ανά σύμβολο...43 Σχήμα 5. 8: Γκαουσιανή κατανομή στα σημεία -1 και +1 με σ= Σχήμα 5. 9: Υπολογισμός branch metrics...52 Σχήμα 5. 10: Αντιστοίχιση πραγματικών τιμών του αλγορίθμου SOVA σε 0 και Σχήμα 6. 1: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών μετά την προσθήκη θορύβου για E b /N 0 = Σχήμα 6. 2: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών μετά την προσθήκη θορύβου για E b /N 0 = Σχήμα 6. 3: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών μετά την προσθήκη θορύβου για E b /N 0 = v

6 Σχήμα 6. 4: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών μετά την προσθήκη θορύβου για E b /N 0 = Σχήμα 6. 5: Πειραματικές μέγιστες και ελάχιστες τιμές για διάφορα E b /N Σχήμα 6. 6: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = Σχήμα 6. 7: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = Σχήμα 6. 8: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = Σχήμα 6. 9: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = Σχήμα 6. 10: Αποστάσεις τυχαίας τιμής z από τα -1 και +1 για BPSK διαμόρφωση. 67 Σχήμα 6. 11: Μέγιστη απόσταση τυχαίας τιμής z από τα -1 και +1 για BPSK διαμόρφωση...68 Σχήμα 6. 12: IQ διάγραμμα διαμόρφωσης QPSK...91 Σχήμα 6. 13: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = Σχήμα 6. 14: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = Σχήμα 6. 15: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = Σχήμα 6. 16: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = Σχήμα 6. 17: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = Σχήμα 6. 18: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = Σχήμα 6. 19: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = Σχήμα 6. 20: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = Σχήμα 6. 21: Αποστάσεις τυχαίας τιμής z από τα -1, -i, +1 και +i για διαμόρφωση QPSK...99 Σχήμα 7. 1: Αποστάσεις λαμβανόμενου συμβόλου από τα έγκυρα σύμβολα Σχήμα 7. 2: Block διάγραμμα δέκτη με ξεχωριστό αποδιαμορφωτή και αποκωδικοποιητή Σχήμα 7. 3: Όρια απόφασης για δυαδικό ψηφίο b 3 και QAM 16 διαμόρφωση Σχήμα 7. 4: Όρια απόφασης για δυαδικό ψηφίο b 2 και QAM 16 διαμόρφωση Σχήμα 7. 5: Όρια απόφασης για δυαδικό ψηφίο b 1 και QAM 16 διαμόρφωση Σχήμα 7. 6: Όρια απόφασης για δυαδικό ψηφίο b 0 και QAM 16 διαμόρφωση Σχήμα 7. 7: Αποστάσεις λαμβανόμενου συμβόλου από τα 0 και 1 για το ψηφίο b Σχήμα 7. 8: Block διάγραμμα δέκτη με ξεχωριστό αποδιαμορφωτή (Soft τιμές) και αποκωδικοποιητή Σχήμα 7. 9: Όρια απόφασης για δυαδικά ψηφία b 3 b 2 και QAM 16 διαμόρφωση Σχήμα 7. 10: Όρια απόφασης για δυαδικά ψηφία b 1 b 0 και QAM 16 διαμόρφωση 117 vi

7 Σχήμα 7. 11: Αποστάσεις λαμβανόμενου συμβόλου από τα 00, 01, 10 και 11 για τα ψηφία b 3 b Σχήμα 7. 12: Block διάγραμμα δέκτη με ξεχωριστό αποδιαμορφωτή (Soft τιμές) και αποκωδικοποιητή Σχήμα 7. 13: Block διάγραμμα δέκτη με ταυτόχρονη αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση Σχήμα 7. 14: Μετασχηματισμένο διάγραμμα καταστάσεων για κωδικοποιητή ½(7,5) με Μήκος Περιορισμού Σχήμα 7. 15: Μετασχηματισμένο διάγραμμα trellis για κωδικοποιητή ½(7,5) με Μήκος Περιορισμού Σχήμα 7. 16: Μετάβαση από μία κατάσταση σε άλλη με δύο διαφορετικές διαδρομές στην περίπτωση της 64 QAM διαμόρφωσης για κωδικοποιητή ½(7,5) με Μήκος Περιορισμού Σχήμα 7. 17: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 0 και διαμόρφωση QAM Σχήμα 7. 18: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 1 και διαμόρφωση QAM Σχήμα 7. 19: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 8 και διαμόρφωση QAM Σχήμα 7. 20: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 0 και διαμόρφωση QAM Σχήμα 7. 21: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 1 και διαμόρφωση QAM Σχήμα 7. 22: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 8 και διαμόρφωση QAM Σχήμα 7. 23: Αρχιτεκτονική για 16 QAM Hard αποδιαμόρφωση Σχήμα 7. 24: Αρχιτεκτονική για 16 QAM Soft αποδιαμόρφωση ανά δυαδικό ψηφίο Σχήμα 7. 25: Αρχιτεκτονική για 16 QAM Soft αποδιαμόρφωση ανά ζευγάρι δυαδικών ψηφίων vii

8 Λίστα Γραφικών Παραστάσεων Γραφική Παράσταση 6. 1: BER με ακρίβεια της MATLAB...58 Γραφική Παράσταση 6. 2: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-6,+6]...62 Γραφική Παράσταση 6. 3: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-5,+5]...63 Γραφική Παράσταση 6. 4: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-4,+4]...63 Γραφική Παράσταση 6. 5: Κβάντιση των Branch Metrics με 4 bits...69 Γραφική Παράσταση 6. 6: Κβάντιση των Branch Metrics με 5 bits...69 Γραφική Παράσταση 6. 7: Κβάντιση των Branch Metrics με 6 bits...70 Γραφική Παράσταση 6. 8: Κβάντιση των Branch Metrics με 7 bits...70 Γραφική Παράσταση 6. 9: Κβάντιση των Branch Metrics με 8 bits...71 Γραφική Παράσταση 6. 10: Path metrics 8 bits...74 Γραφική Παράσταση 6. 11: Path metrics 9 bits...74 Γραφική Παράσταση 6. 12: Path metrics 10 bits...75 Γραφική Παράσταση 6. 13: Path metrics 11 bits...75 Γραφική Παράσταση 6. 14: Path metrics 12 bits...76 Γραφική Παράσταση 6. 15: BER με ακρίβεια της MATLAB...78 Γραφική Παράσταση 6. 16: BER για Soft Viterbi και Soft και Hard Viterbi της MATLAB...79 Γραφική Παράσταση 6. 17: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-6,+6]...80 Γραφική Παράσταση 6. 18: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-5,+5]...80 Γραφική Παράσταση 6. 19: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-4,+4]...81 Γραφική Παράσταση 6. 20: Κβάντιση των Branch Metrics με 4 bits...82 Γραφική Παράσταση 6. 21: Κβάντιση των Branch Metrics με 5 bits...83 Γραφική Παράσταση : Κβάντιση των Branch Metrics με 6 bits...83 Γραφική Παράσταση 6. 23: Κβάντιση των Branch Metrics με 7 bits...84 Γραφική Παράσταση 6. 24: Κβάντιση των Branch Metrics με 8 bits...84 Γραφική Παράσταση 6. 25: Path metrics 9 bits...86 Γραφική Παράσταση 6. 26: Path metrics 10 bits...87 Γραφική Παράσταση 6. 27: Path metrics11 bits...87 Γραφική Παράσταση 6. 28: Path metrics12 bits...88 Γραφική Παράσταση 6. 29: Path metrics13 bits...88 Γραφική Παράσταση : BER με ακρίβεια της MATLAB QPSK modulation.. 90 viii

9 Γραφική Παράσταση 6. 31: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-4,+4] και [-4i, +4i]...94 Γραφική Παράσταση 6. 32: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-3,+3] και [-3i, +3i]...95 Γραφική Παράσταση 6. 33: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-2,+2] και [-2i, +2i]...95 Γραφική Παράσταση 6. 34: Κβάντιση των Branch Metrics με 4 bits Γραφική Παράσταση 6. 35: Κβάντιση των Branch Metrics με 5 bits Γραφική Παράσταση 6. 36: Κβάντιση των Branch Metrics με 6 bits Γραφική Παράσταση 6. 37: Κβάντιση των Branch Metrics με 7 bits Γραφική Παράσταση 6. 38: Κβάντιση των Branch Metrics με 8 bits Γραφική Παράσταση 6. 39: Path metrics 8 bits Γραφική Παράσταση 6. 40: Path metrics 9 bits Γραφική Παράσταση 6. 41: Path metrics 10 bits Γραφική Παράσταση 6. 42: Path metrics 11 bits Γραφική Παράσταση 6. 43: Path metrics 12 bits Γραφική Παράσταση 7. 1: 16 QAM με Συστηματικό Συνελικτικό Κωδικοποιητή Ρυθμού ½ (17,15) με Μήκος Περιορισμού Γραφική Παράσταση 7. 2: 64 QAM με Συστηματικό Συνελικτικό Κωδικοποιητή Ρυθμού ½ (17,15) με Μήκος Περιορισμού Γραφική Παράσταση 7. 3: 16 QAM με Συστηματικό Συνελικτικό Κωδικοποιητή Ρυθμού ½ (177,133) με Μήκος Περιορισμού Γραφική Παράσταση 7. 4: 64 QAM με Συστηματικό Συνελικτικό Κωδικοποιητή Ρυθμού ½ (177,133) με Μήκος Περιορισμού Γραφική Παράσταση 7. 5: 16 QAM Hard αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση με path metrics 9 bits Γραφική Παράσταση 7. 6: 16 QAM Hard αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση με path metrics 10 bits Γραφική Παράσταση 7. 7: 16 QAM Soft αποδιαμόρφωση ανά δυαδικό ψηφίο και αποκωδικοποίηση με path metrics 14 bits Γραφική Παράσταση 7. 8: 16 QAM Soft αποδιαμόρφωση ανά ζευγάρι δυαδικών ψηφίων και αποκωδικοποίηση με path metrics 13 bits Γραφική Παράσταση 7. 9: 16 QAM Soft αποδιαμόρφωση ανά ζευγάρι δυαδικών ψηφίων και αποκωδικοποίηση με path metrics 14 bits Γραφική Παράσταση 7. 10: 16 QAM Ταυτόχρονη αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση με path metrics 12 bits Γραφική Παράσταση 7. 11: 16-QAM κόστος σε υλικό ix

10 Γραφική Παράσταση 7. 12: 64 QAM κόστος σε υλικό Γραφική Παράσταση 7. 13: Πολυπλοκότητα των τεχνικών συναρτήσει της τάξης της διαμόρφωσης QAM Γραφική Παράσταση 7. 14: Κόστος αποδιαμόρφωσης για 16 QAM Γραφική Παράσταση 7. 15: Κόστος αποκωδικοποίησης για 16 QAM Γραφική Παράσταση 7. 16: Κόστος αποδιαμόρφωσης για 64 QAM Γραφική Παράσταση 7. 17: Κόστος αποκωδικοποίησης για 64 QAM Γραφική Παράσταση 8. 1: BER με ακρίβεια της MATLAB για SOVA - Viterbi Γραφική Παράσταση 8. 2: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-6,+6] Γραφική Παράσταση 8. 3: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-5,+5] Γραφική Παράσταση 8. 4: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-4,+4] Γραφική Παράσταση 8. 5 : Κβάντιση των Branch Metrics με 4 bits Γραφική Παράσταση 8. 6: Κβάντιση των Branch Metrics με 5 bits Γραφική Παράσταση 8. 7: Κβάντιση των Branch Metrics με 6 bits Γραφική Παράσταση 8. 8: Κβάντιση των Branch Metrics με 7 bits Γραφική Παράσταση 8. 9: Κβάντιση των Branch Metrics με 8 bits Γραφική Παράσταση 8. 10: Path metrics 9 bits Γραφική Παράσταση 8. 11: Path metrics 10 bits Γραφική Παράσταση 8. 12: Path metrics 11 bits Γραφική Παράσταση 8. 13: Path metrics 12 bits Γραφική Παράσταση 8. 14: Path metrics 13 bits x

11 Λίστα Πινάκων Πίνακας 3.1: Συνελικτικοί Κώδικες με τη μέγιστη απόσταση και ρυθμό κώδικα 1/2 14 Πίνακας 3. 2: Συνελικτικοί Κώδικες με τη μέγιστη απόσταση και ρυθμό κώδικα 1/315 Πίνακας 3.3: Απόκριση του Κωδικοποιητή στην είσοδο του δυαδικού ψηφίου «ένα»...16 Πίνακας 3.4: Πίνακας Αναφοράς για τον κωδικοποιητή ½ (7,5) με Μήκος Περιορισμού Πίνακας 4.1: Σύγκριση ληφθείσης ακολουθίας με τις έγκυρες ακολουθίες...26 Πίνακας 5. 1: Απαιτήσεις σε αποθηκευτικό χώρο του αλγορίθμου Viterbi...51 Πίνακας 5. 2: Απαιτήσεις σε αποθηκευτικό χώρο του αλγορίθμου SOVA...54 Πίνακας 6. 1: Χαρακτηριστικά της Εξομοίωσης του αλγορίθμου Viterbi...57 Πίνακας 6. 2: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα Β και m...73 Πίνακας 6. 3: Χαρακτηριστικά της εξομοίωσης...77 Πίνακας 6. 4: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα Β και m (BPSK)...85 Πίνακας 6. 5: Χαρακτηριστικά της εξομοίωσης του αλγορίθμου Viterbi...89 Πίνακας 6. 6 : Αντιστοιχία συμβόλων στο IQ διάγραμμα...90 Πίνακας 6. 7: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα Β και m (QPSK) Πίνακας 7. 1: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα B και m (Hard αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση) Πίνακας 7. 2: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα B και m (Soft αποδιαμόρφωση ανά δυαδικό ψηφίο και αποκωδικοποίηση, 16 QAM) Πίνακας 7. 3: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα B και m (Soft αποδιαμόρφωση ανά δυαδικό ψηφίο και αποκωδικοποίηση, 64 QAM) Πίνακας 7. 4: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα B και m (Soft αποδιαμόρφωση ανά ζευγάρι δυαδικών ψηφίων και αποκωδικοποίηση, 16 QAM) Πίνακας 7. 5: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα B και m (Soft αποδιαμόρφωση ανά ζευγάρι δυαδικών ψηφίων και αποκωδικοποίηση, 64 QAM) Πίνακας 7. 6: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα B και m (Ταυτόχρονη αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση, 16 QAM) Πίνακας 7. 7: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα B και m (Ταυτόχρονη αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση, 64 QAM) Πίνακας 7. 8: Κόστος σε υλικό και χρονική καθυστέρηση n bit λειτουργιών xi

12 Πίνακας 7. 9: Κόστος σε υλικό Πίνακας 7. 10: Κόστος σε χρονική καθυστέρηση xii

13 Περιεχόμενα Λίστα Σχημάτων...v Λίστα Γραφικών Παραστάσεων...viii Λίστα Πινάκων...xi Περιεχόμενα...xiii Κεφάλαιο Εξέλιξη της τεχνολογίας επικοινωνιών Μέσα μετάδοσης Αλλοίωση πληροφοριών λόγω καναλιού Κωδικοποίηση για τον Έλεγχο Λαθών (Error Control Coding) Επισκόπηση της διπλωματικής εργασίας...4 Κεφάλαιο Το Ψηφιακό Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα...7 Κεφάλαιο Συνελικτικοί Κώδικες (Convolutional Codes) Απόκριση του Κωδικοποιητή (Impulse Response of the Encoder) Σχεδίαση του Κωδικοποιητή Αναπαράσταση Καταστάσεων και Διάγραμμα Καταστάσεων (State Diagram) Δεντρικό Διάγραμμα (Tree Diagram) Διάγραμμα Trellis (Trellis Diagram)...22 Κεφάλαιο Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Αλγόριθμος Viterbi Βήματα του αλγορίθμου Viterbi Αλγόριθμος SOVA Βήματα του αλγορίθμου SOVA...34 Κεφάλαιο Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος σε περιβάλλον MATLAB Γεννήτρια παραγωγής τυχαίων αριθμών Συνελικτική κωδικοποίηση των δεδομένων Διαμόρφωση των δεδομένων...39 xiii

14 5.4 Μέσο Μετάδοσης (Κανάλι) - Προσθήκη θορύβου Σχέση μεταξύ SNR και E b /N 0 για κωδικοποιητή (1,2) και διαμόρφωση BPSK Σχέση μεταξύ SNR και E b /N 0 για κωδικοποιητή (1,2) και διαμόρφωση QPSK Σχέση μεταξύ SNR και E b /N 0 για κωδικοποιητή (1,2) και διαμόρφωση QAM Κβαντισμός των δεδομένων Αποκωδικοποίηση των δεδομένων Αλγόριθμος Viterbi Υπολογισμός των branch metrics Υπολογισμός των path metrics Προς τα πίσω υπολογισμός Αλγόριθμος SOVA Επιδόσεις αλγορίθμων αποκωδικοποίησης...55 Κεφάλαιο Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Κωδικοποιητής (1,2) με Μήκος Περιορισμού L=3 και διαμόρφωση BPSK Κβάντιση στο δέκτη Κβάντιση των Branch Metrics Κβάντιση των Path Metrics Κωδικοποιητής (1,2) με Μήκος Περιορισμού L=7 και διαμόρφωση BPSK Κβάντιση στο δέκτη Κβάντιση των Branch Metrics Κβάντιση των Path Metrics Κωδικοποιητής (1,2) με Μήκος περιορισμού L=7 και διαμόρφωση QPSK Κβάντιση στο δέκτη Κβάντιση των Branch Metrics Κβάντιση των Path Metrics Κεφάλαιο Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης για QAM διαμόρφωση Στρατηγικές αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης xiv

15 7.1.1 Hard αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi Soft αποδιαμόρφωση ανά δυαδικό ψηφίο και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi Soft αποδιαμόρφωση ανά ζευγάρι δυαδικών ψηφίων και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi Από κοινού αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi Απόδοση των τεχνικών και κβάντιση Απόδοση τεχνικών χωρίς κβάντιση Κβάντιση των τεχνικών Hard αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση Path Metrics Soft αποδιαμόρφωση ανά δυαδικό ψηφίο και αποκωδικοποίηση Path Metrics Soft αποδιαμόρφωση ανά ζευγάρι δυαδικών ψηφίων και αποκωδικοποίηση Path Metrics Ταυτόχρονη αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση Path Metrics Απόδοση των τεχνικών με κβάντιση Αρχιτεκτονική των τεχνικών και κόστος υλοποίησης Κεφάλαιο Εξομοιώσεις Αλγόριθμος SOVA Κβάντιση στο δέκτη Κβάντιση των Branch Metrics Κβάντιση των Path Metrics Συμπεράσματα Παράρτημα Α Υπολογισμός κόστους σε υλικό και χρονική καθυστέρηση των τεσσάρων τεχνικών για διαμόρφωση M QAM Αντιστοιχία Αγγλικών Ελληνικών Όρων Βιβλιογραφία xv

16 xvi

17 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Κεφάλαιο Εξέλιξη της τεχνολογίας επικοινωνιών Η ανακάλυψη του τηλέγραφου στο τέλος της δεκαετίας του 1830 από τον Samuel Morse αποτέλεσε την αρχική επικοινωνία εξ αποστάσεως των ανθρώπων σε πραγματικό χρόνο. Η μετάδοση φωνής δεν ήταν ακόμα εφικτή γιατί ο τηλέγραφος χρησιμοποιούσε ως σήματα, μόνο παλμούς μεγάλης διάρκειας (παύλα) και παλμούς μικρής διάρκειας (τελεία). Παρόλα αυτά ήταν ότι γρηγορότερο είχε να επιδείξει η εποχή. Η εφεύρεση του τηλεφώνου, όπου πλέον δύο άνθρωποι μπορούσαν να συνομιλήσουν ταυτόχρονα από μακρινή απόσταση ήταν το επόμενο μεγάλο βήμα, που πραγματοποιήθηκε το Τα πρώτα τηλέφωνα ήταν σταθερά συνδεδεμένα ανά δύο στις άκρες του τηλεφωνικού καλωδίου. Η εφεύρεση του τηλεφωνικού κέντρου, την επόμενη χρονιά, έδωσε τη δυνατότητα σύνδεσης περισσοτέρων συσκευών και 1

18 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή πλέον η επικοινωνία μεταξύ των χρηστών μπορούσε να γίνει με οποιονδήποτε συνδυασμό. Λίγα χρόνια αργότερα, το 1891, εφευρέθηκε το καντράν του τηλεφώνου, που μετέτρεψε την τηλεφωνική κλήση σε απλή και γρήγορη διαδικασία, αφού δεν χρειαζόταν πλέον η ύπαρξη του ανθρώπινου παράγοντα για να προωθεί τις κλήσεις στο κατάλληλο αποδέκτη. Η εξέλιξη των επικοινωνιών που συνεχίστηκε με πολύ γρήγορους ρυθμούς οφείλεται σε ένα μεγάλο βαθμό στην ανάπτυξη και εξέλιξη των ηλεκτρονικών, που επιτρέπουν την υλοποίηση σύνθετων τρόπων μετάδοσης. Οι ασύρματες επικοινωνίες και στη συνέχεια η εμφάνιση των κινητών τηλεφώνων μετέτρεψαν την επικοινωνία των ανθρώπων σε πραγματικό χρόνο μια καθημερινή πρακτική. 1.2 Μέσα μετάδοσης Κάθε τι που μεταφέρεται από ένα σημείο σε ένα άλλο, πρέπει να ακολουθήσει μια διαδρομή μέσα από ένα μέσο. Όταν πρόκειται για σήματα το μέσο μπορεί να είναι είτε ενσύρματο είτε ασύρματο. Ο άνθρωπος, αρχικά, χρησιμοποίησε τα υπάρχοντα μέσα μετάδοσης που είχε στη διάθεση του από τη φύση και στη συνέχεια δημιούργησε και καινούργια. Με το πέρασμα του χρόνου αυξήθηκε τόσο η ανάγκη για γρήγορη μετάδοση των πληροφοριών, όσο και το μέγεθος της πληροφορίας που μεταδίδεται κάθε φορά μέσα από ένα μέσο. Η ενσύρματη μετάδοση επιτυγχάνεται μέσα από φυσικές γραμμές, δηλαδή καλώδια. Μερικές από τις κατηγορίες των καλωδίων που χρησιμοποιούνται είναι τα ζεύγη συνεστραμμένων καλωδίων, τα ομοαξονικά καλώδια και τα καλώδια οπτικών ινών. Η ασύρματη μετάδοση επιτυγχάνεται μέσω σημάτων που εκπέμπονται, λαμβάνονται και αναμεταδίδονται από επίγειους σταθμούς και δορυφόρους. Η ύπαρξη και χρήση διαφορετικών μέσων έχει σχέση με το κόστος, την ταχύτητα μετάδοσης αλλά και την αξιοπιστία της. 2

19 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.3 Αλλοίωση πληροφοριών λόγω καναλιού Η ύπαρξη και δημιουργία νέων μέσων μετάδοσης, έχει ως σκοπό να προσφέρει όσο το δυνατόν μεγαλύτερες ταχύτητες, με παράλληλη αύξηση της αξιοπιστίας και με μικρότερο κόστος. Η ιδανική περίπτωση είναι η μεταδιδόμενη πληροφορία να φτάνει στον παραλήπτη του μηνύματος όπως ακριβώς την έστειλε ο αποστολέας, χωρίς να προκύπτουν λάθη. Ωστόσο, αυτό δεν είναι πάντα εφικτό λόγω διαφόρων προβλημάτων που προκύπτουν κατά τη διάρκεια της μετάδοσης όπως η ύπαρξη θορύβου, η διασυμβολική παρεμβολή και οι αντανακλάσεις της πληροφορίας σε διάφορα φυσικά εμπόδια (ασύρματη μετάδοση). Η μετάδοση για να είναι αξιόπιστη θα πρέπει να παρουσιάζει όσο το δυνατόν μικρότερο αριθμό λαθών δηλαδή μικρότερη αλλοίωση της αρχικής πληροφορίας. Ένας εύκολος τρόπος για τη βελτίωση της αξιοπιστίας της μετάδοσης των δεδομένων είναι να αυξηθεί η ισχύς του σήματος εκπομπής, οπότε η μεταδιδόμενη πληροφορία θα έχει μεγαλύτερη ανοχή σε λάθη. Ωστόσο, η λύση αυτή δεν είναι η πλέον αποδοτική, γιατί όσο αυξάνεται η ισχύς του σήματος εκπομπής τόσο αυξάνεται και η ισχύς που καταναλώνουν οι ηλεκτρονικές συσκευές. Οι περισσότερες από αυτές είναι φορητές με αποτέλεσμα να περιορίζεται η αυτονομία τους, κάτι που δεν είναι επιθυμητό. Αντιθέτως, η χαμηλή ισχύς του σήματος εκπομπής κάνει τη μετάδοση της πληροφορίας περισσότερο ευαίσθητη σε διάφορα είδη θορύβου και παρεμβολών. Ένας τρόπος βελτίωσης των δυσάρεστων συνεπειών από τη μείωση της ισχύος εκπομπής του σήματος είναι η χρήση Κωδικοποίησης για τον Έλεγχο Λαθών (Error Control Coding). 1.4 Κωδικοποίηση για τον Έλεγχο Λαθών (Error Control Coding) Η Κωδικοποίηση για τον Έλεγχο Λαθών είναι ένας τομέας του κλάδου των εφαρμοσμένων μαθηματικών που ονομάζεται Θεωρία Πληροφορίας (Information Theory) και αναπτύχθηκε από τον Claude Shannon το 1948 [1]. Η αντίληψη που επικρατούσε μέχρι τότε ήταν ότι ο θόρυβος που δημιουργούσε το κανάλι δεν μπορούσε να επιτρέψει μια επικοινωνία χωρίς λάθη. Ο Shannon όμως απέδειξε ότι ο 3

20 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή θόρυβος του καναλιού μειώνει την ταχύτητα μετάδοσης και όχι την πιθανότητα λάθους. Σύμφωνα με τον Shannon κάθε κανάλι επικοινωνίας έχει μια χωρητικότητα C (μετρούμενη σε δυαδικά ψηφία ανά δευτερόλεπτο), και εφόσον η ταχύτητα μετάδοσης R (μετρούμενη σε δυαδικά ψηφία ανά δευτερόλεπτο) είναι μικρότερη του C, τότε είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα ιδεατό σύστημα επικοινωνίας χωρίς λάθη χρησιμοποιώντας Κωδικοποίηση Διόρθωσης Λαθών. Η χρήση ενός κώδικα διόρθωσης λαθών έχει ως αποτέλεσμα τα δυαδικά ψηφία της πληροφορίας που τελικά μεταδίδονται να είναι περισσότερα από τα αρχικά. Η ύπαρξη περισσοτέρων δυαδικών ψηφίων αυξάνει την πιθανότητα να παραληφθεί σωστά το μήνυμα, λόγω του πλεονασμού πληροφορίας που χρησιμοποιείται. Βέβαια, ο Shannon απέδειξε μόνο την ύπαρξη αυτών των κωδίκων και όχι τον τρόπο εύρεσης τους. Μετά τη δημοσίευση της εργασίας του Shannon, οι ερευνητές εστίασαν τις προσπάθειες τους στην εύρεση κωδίκων που έχουν σαν αποτέλεσμα την αύξηση της αξιοπιστίας, χωρίς όμως μεγάλη επιτυχία. Η πρώτη κατηγορία κωδίκων, που ανακαλύφτηκε ήταν οι block codes. Αργότερα βρέθηκαν οι Συνελικτικοί Κώδικες (Convolutional Codes) για τους οποίους σχεδιάστηκαν αποκωδικοποιητές διαφόρων μορφών και επιδόσεων. Σήμερα, η Κωδικοποίηση για τον Έλεγχο Λαθών είναι αναπόσπαστο κομμάτι κάθε τηλεπικοινωνιακού συστήματος τόσο για τις δορυφορικές επικοινωνίες όσο και για τις ασύρματες επικοινωνίες καθημερινής χρήσης όπως τα κινητά τηλέφωνα. 1.5 Επισκόπηση της διπλωματικής εργασίας Το κεφάλαιο 1 παρουσιάζει μια μικρή ανασκόπηση της εξέλιξης των τηλεπικοινωνιών, αναφέρει την απαραίτητη προϋπόθεση της ύπαρξη ενός μέσου για τη μεταφορά της πληροφορίας, τα προβλήματα που εισάγει το μέσο αυτό και πως μπορούν να αντιμετωπιστούν. Το κεφάλαιο 2 παρέχει μια εισαγωγή των βασικών στοιχείων ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος. 4

21 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο 3 εξηγεί τα χαρακτηριστικά και τη λειτουργία της συνελικτικής κωδικοποίησης και γίνεται αναφορά στους κωδικοποιητές που χρησιμοποιούνται. Το κεφάλαιο 4 ασχολείται με τους αλγορίθμους Viterbi και SOVA που χρησιμοποιούνται για την αποκωδικοποίηση των συνελικτικών κωδίκων. Γίνεται επεξήγηση της δομής και της αλγοριθμικής λειτουργίας τους. Το κεφάλαιο 5 εκθέτει λεπτομερώς τα χαρακτηριστικά που αφορούν την υλοποίηση του τηλεπικοινωνιακού συστήματος σε περιβάλλον MATLAB. Το κεφάλαιο 6 παρουσιάζει τις εξομοιώσεις, τις ιδανικές λύσεις για τους αποκωδικοποιητές διαφόρων τηλεπικοινωνιακών συστημάτων και τα βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από την υλοποίηση του αλγορίθμου Viterbi, για διαμορφώσεις BPSK και QPSK. Το κεφάλαιο 7 παρουσιάζει και αναλύει 4 τεχνικές για αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση τηλεπικοινωνιακών συστημάτων για διαμορφώσεις 16 QAM και 64 QAM. Επιπλέον, αναφέρει τις αρχιτεκτονικές και τα κόστη υλοποίησης τους σε υλικό και χρονική καθυστέρηση Το κεφάλαιο 8 επικεντρώνεται στα ίδια χαρακτηριστικά με αυτά του κεφαλαίου 6 με τη διαφορά ότι ο αποκωδικοποιητής χρησιμοποιεί τον αλγόριθμο SOVA και διαμόρφωση BPSK. Το παράρτημα Α αναφέρει τον τρόπο με τον οποίο έγινε ο υπολογισμός του κόστους σε υλικό και χρονική καθυστέρηση για τις τέσσερις τεχνικές αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης συνελικτικών κωδίκων, με χρήση διαμόρφωσης QAM, του κεφαλαίου 7. 5

22 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 6

23 Κεφάλαιο 2 Το Ψηφιακό Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα Κεφάλαιο 2 Το Ψηφιακό Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα Το περιβάλλον μέσα στο οποίο ζει ο άνθρωπος παράγει σήματα αναλογικής μορφής. Οι ήχοι που ακούγονται, οι εικόνες που αντιλαμβάνονται οι άνθρωποι και γενικά τα ερεθίσματα που προκαλούνται από τη φύση έχουν αναλογική μορφή. Με την εξέλιξη της τεχνολογίας δημιουργήθηκαν τα ψηφιακά σήματα που χρησιμοποιήθηκαν και στην κατασκευή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η προσπάθεια να βρεθούν νέοι τρόποι μετάδοσης της πληροφορίας, χωρίς τα μειονεκτήματα της αναλογικής μετάδοσης, οδήγησε στην ψηφιακή μετάδοση. Το σημαντικότερο από τα πλεονεκτήματα της χρήσης της ψηφιακής μετάδοσης είναι η πιο αξιόπιστη αναπαραγωγή του σήματος από το δέκτη. Η ψηφιακή μετάδοση επιτρέπει την αναγέννηση του σήματος σε ενδιάμεσες φάσεις, χωρίς την προσθήκη επιπλέον θορύβου και έτσι επιτυγχάνεται η αποστολή του σε πολύ μακρινές αποστάσεις. Το 7

24 Κεφάλαιο 2 Το Ψηφιακό Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα αναλογικό σήμα συνήθως περιέχει μεγάλο ποσοστό πλεονάζουσας πληροφορίας, η οποία όμως μπορεί να αφαιρεθεί αν μετατραπεί σε ψηφιακό, με αποτέλεσμα να προκύπτει κέρδος στο εύρος του καναλιού. Επιπλέον, τα ψηφιακά τηλεπικοινωνιακά συστήματα στοιχίζουν πολύ λιγότερο σε σχέση με τα αντίστοιχα αναλογικά. Τελικά, η ψηφιακή μετάδοση επικράτησε της αναλογικής και σήμερα η μετάδοση δεδομένων είναι στην πλειοψηφία της ψηφιακή. Η δομή ενός ψηφιακού τηλεπικοινωνιακού συστήματος απεικονίζεται στο σχήμα 2.1 και αναλύεται στη συνέχεια. Σχήμα 2.1: Μοντέλο Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Η Πηγή Πληροφορίας (Information source) παράγει μηνύματα τα οποία φέρουν την πληροφορία που πρόκειται να μεταδοθεί. Τα μηνύματα μπορεί να είναι λέξεις, κωδικά σύμβολα, αριθμοί κτλ. Η έξοδος της Πηγής πληροφορίας είναι μια ακολουθία συμβόλων ενός συγκεκριμένου αλφάβητου. Συνήθως πρόκειται για δυαδικά ψηφία, μηδέν ή ένα, τα οποία πρέπει να είναι όσο το δυνατόν λιγότερα. Η έξοδος της Πηγής πληροφορίας στις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι κατάλληλη για μετάδοση επειδή περιέχει μεγάλο ποσοστό πλεονάζουσας πληροφορίας. Για να βελτιωθεί η απόδοση του συστήματος, η Πηγή Κωδικοποίησης (Source Encoder) είναι σχεδιασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε να μετατρέπει την έξοδο της Πηγής Πληροφορίας σε μια ακολουθία δυαδικών ψηφίων με τον ελάχιστο δυνατό πλεονασμό. Αν η Πηγή Κωδικοποίησης παράγει r b δυαδικά ψηφία ανά δευτερόλεπτο, τότε το r b καλείται Ρυθμός Μετάδοσης (Data Rate). Η μη ύπαρξη ιδανικού καναλιού προκαλεί αλλοίωση των μηνυμάτων κατά τη μετάδοση, με αποτέλεσμα ο δέκτης να λαμβάνει τα μηνύματα με μικρή ή μεγαλύτερη απόκλιση από τα αρχικά. Για να μειωθούν όσο γίνεται περισσότερο τα λάθη που οφείλονται στη μετάδοση, μέσα από ένα μη ιδανικό κανάλι, γίνεται προσθήκη 8

25 Κεφάλαιο 2 Το Ψηφιακό Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα πλεονάζουσας πληροφορίας σε κάθε μήνυμα. Ο σκοπός του Κωδικοποιητή Καναλιού (Channel Encoder) είναι να προσθέτει με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο πλεονάζουσα πληροφορία στο μήνυμα που πρόκειται να μεταδοθεί. Με αυτό τον τρόπο ο δέκτης, χρησιμοποιεί την πλεονάζουσα πληροφορία για να διορθώσει όσο το δυνατόν περισσότερα λάθη που προκύπτουν λόγω θορύβου ή της διασυμβολικής παρεμβολής. Η πλεονάζουσα πληροφορία χρησιμοποιείται για να αυξηθεί η αξιοπιστία του συστήματος και να επιτευχθεί η πιστή αναπαραγωγή του αρχικού σήματος. Για παράδειγμα, ένας απλός τρόπος κωδικοποίησης μιας δυαδικής ακολουθίας είναι να γίνει επανάληψη κάθε δυαδικού ψηφίου m φορές, όπου m ένας θετικός ακέραιος. Πιο σύνθετος τρόπος κωδικοποίησης είναι να λαμβάνονται k δυαδικά ψηφία τη φορά, και να αντιστοιχίζεται κάθε ακολουθία k-δυαδικών ψηφίων σε μια μοναδική ακολουθία n-δυαδικών ψηφίων που λέγεται κωδική λέξη (codeword). Ένας κώδικας καλής διόρθωσης λαθών παράγει κωδικές λέξεις οι οποίες διαφέρουν όσο γίνεται περισσότερο μεταξύ τους. Αυτό κάνει το τηλεπικοινωνιακό σύστημα λιγότερο ευάλωτο σε λάθη που οφείλονται στο κανάλι. Κάθε κώδικας χαρακτηρίζεται από το λόγο R=k/n <1 που ονομάζεται Ρυθμός του κώδικα (code rate). Ο Ρυθμός Μετάδοσης στην έξοδο του Κωδικοποιητή Καναλιού είναι r c =r b /R bps. Ο κύριος στόχος της Κωδικοποίησης Διόρθωσης Λαθών είναι να μεγιστοποιήσει την αξιοπιστία της μετάδοσης λαμβάνοντας υπόψη περιορισμούς όσον αφορά την ισχύ του σήματος, το εύρος μετάδοσης, την πολυπλοκότητα του κυκλώματος και το κόστος. Αυτό επιτυγχάνεται με την προσθήκη πλεονάζουσας πληροφορίας με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο και όχι τυχαία. Συνήθως οδηγεί σε μικρότερης ταχύτητας μετάδοση (μεγαλύτερος όγκος πληροφορίας για μετάδοση) ή αύξηση του εύρους μετάδοσης σε σχέση με ένα μη κωδικοποιημένο μήνυμα. Η έξοδος του Κωδικοποιητή Καναλιού συνήθως δεν είναι κατάλληλη για μετάδοση. Ο Διαμορφωτής (Digital Modulator) είναι το κύκλωμα που επιτρέπει τη μετάδοση της πληροφορίας μέσα από ένα κανάλι. Ο κύριος στόχος της λειτουργίας του Διαμορφωτή είναι να προσαρμόσει το σήμα στο κανάλι, να επιτρέψει την ταυτόχρονη μετάδοση περισσοτέρων σημάτων πάνω από το ίδιο φυσικό κανάλι και να αυξήσει την ταχύτητα μετάδοσης. Ο Διαμορφωτής, αντιστοιχεί τις κωδικοποιημένες ψηφιακές ακολουθίες σε μια αλυσίδα από σύντομες αναλογικές κυματομορφές που είναι κατάλληλες για μετάδοση. Ένας Μ-αδικός Διαμορφωτής αντιστοιχεί ένα μπλοκ από l δυαδικά ψηφία που προέρχονται από τον Κωδικοποιητή καναλιού σε μια από τις Μ δυνατές 9

26 Κεφάλαιο 2 Το Ψηφιακό Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα κυματομορφές, όπου Μ=2 l. Η διαμόρφωση μπορεί να γίνει αλλάζοντας την τιμή του πλάτους, της φάσης ή της συχνότητας μιας συνημιτονοειδούς κυματομορφής που καλείται φέρουσα (carrier). Το Κανάλι (Channel) είναι το μέσο μετάδοσης που χρησιμοποιείται για να μεταφέρει ή να αποθηκεύει πληροφορία. Μερικά παραδείγματα καναλιών είναι τα καλώδια, οι μικροκυματικές ζεύξεις, οι δορυφορικές ζεύξεις και οι οπτικές ίνες. Δύο σημαντικά μειονεκτήματα των πραγματικών καναλιών είναι ο θερμικός θόρυβος (thermal noise) και το πεπερασμένο εύρος ζώνης τους. Μέχρι στιγμής, έχει γίνει αναφορά στα βήματα που χρειάζονται για τη μετάδοση ενός μηνύματος από ένα πομπό. Αντίστροφη διαδικασία πρέπει να γίνει στο δέκτη του μηνύματος έτσι ώστε να ληφθεί το αρχικό μήνυμα που μεταδόθηκε. Το πρώτο κύκλωμα που συναντάται στο δέκτη, είναι ο Αποδιαμορφωτής (Demodulator) η έξοδος του οποίου παράγει μια ακολουθία δυαδικών ψηφίων ή μια αναλογική ακολουθία ως την καλύτερη εκτίμηση της κωδικής λέξης ή διαμορφωμένης ακολουθίας που μεταδόθηκε αντίστοιχα. Ο Αποκωδικοποιητής Καναλιού (Channel Decoder) κάνει μια εκτίμηση για το αρχικό μήνυμα που μπορεί να μεταδόθηκε. Η διαδικασία αποκωδικοποίησης βασίζεται στον κανόνα που έγινε η αρχική κωδικοποίηση και στα χαρακτηριστικά του καναλιού στο οποίο έγινε η μετάδοση. Ο στόχος του αποκωδικοποιητή είναι να ελαχιστοποιήσει την επίδραση του θορύβου που προέρχεται από το κανάλι. Η Πηγή Αποκωδικοποίησης (Source Decoder) βασιζόμενη στον κανόνα με τον οποίο έγινε η κωδικοποίηση μετατρέπει την ακολουθία εισόδου της σε μια εκτίμηση της ακολουθίας που έπρεπε να είχε σταλεί και την παραδίδει στο χρήστη. Μια μετρική για να γίνει γνωστή η απόδοση του συστήματος είναι η συχνότητα με την οποία συμβαίνουν λάθη κατά την αποκωδικοποίηση. Ακριβέστερα, η απόδοση του συστήματος μετριέται με τη μέση πιθανότητα λάθους ενός δυαδικού ψηφίου (bit error probability) στην έξοδο του αποκωδικοποιητή. Γενικά, η πιθανότητα λάθους είναι συνάρτηση των χαρακτηριστικών του κώδικα, του τύπου της κυματομορφής που χρησιμοποιείται για την αποστολή των δεδομένων στο κανάλι, της ισχύος μετάδοσης, των χαρακτηριστικών του καναλιού (π.χ. επίπεδα θορύβου), της φύσης της διασυμβολικής παρεμβολής, καθώς και της μεθόδου αποκωδικοποίησης που χρησιμοποιείται. 10

27 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες (Convolutional Codes) Ένας συνελικτικός κώδικας δημιουργείται από τη συνέλιξη του μηνύματος που πρόκειται να μεταδοθεί με ένα γραμμικό, πεπερασμένων καταστάσεων καταχωρητή ολίσθησης (finite state shift register). Με τη χρήση Συνελικτικών Κωδίκων ένα μπλοκ k δυαδικών ψηφίων αντιστοιχίζεται σε ένα μπλοκ n δυαδικών ψηφίων. Τα n δυαδικά ψηφία είναι αυτά τα οποία μεταδίδονται μέσω ενός τηλεπικοινωνιακού καναλιού. Το βασικό χαρακτηριστικό των συνελικτικών κωδίκων είναι ότι το μπλοκ των καινούργιων n δυαδικών ψηφίων δεν εξαρτάται μόνο από το τρέχον μπλοκ των k δυαδικών ψηφίων αλλά και από προηγούμενα δυαδικά ψηφία. Η εξάρτηση από τα προηγούμενα δυαδικά ψηφία μετατρέπει τον Κωδικοποιητή σε μια Μηχανή Πεπερασμένων Καταστάσεων (Finite State Machine). Στη γενική περίπτωση, ένας συνελικτικός κωδικοποιητής αποτελείται από ένα καταχωρητή ολίσθησης k L σταδίων και n modulo-2 αθροιστές και απεικονίζεται στο σχήμα 3.1. Το L είναι το Μήκος Περιορισμού του κώδικα. 11

28 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες Σχήμα 3.1: Σχηματικό Διάγραμμα ενός Συνελικτικού Κωδικοποιητή Σε κάθε χρονική στιγμή, k δυαδικά ψηφία πληροφορίας εισέρχονται στον καταχωρητή ολίσθησης και τα περιεχόμενα του τελευταίου σταδίου του καταχωρητή ολίσθησης, k δυαδικά ψηφία, εξάγονται. Το Μήκος Περιορισμού είναι ο αριθμός των ολισθήσεων των k δυαδικών ψηφίων της εισόδου που μπορούν να επηρεάσουν την έξοδο του κωδικοποιητή. Από τη στιγμή που τα k δυαδικά ψηφία εισέρχονται στον καταχωρητή ολίσθησης, n γραμμικοί συνδυασμοί των περιεχομένων του καταχωρητή ολίσθησης υπολογίζονται και χρησιμοποιούνται για την παραγωγή της κωδικοποιημένης εξόδου. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι η έξοδος των n δυαδικών ψηφίων δεν εξαρτάται μόνο από τα k τελευταία δυαδικά ψηφία που μπήκαν στον κωδικοποιητή αλλά και από τα (L-1) k περιεχόμενα του καταχωρητή ολίσθησης που υπάρχουν μετά την εισαγωγή των k δυαδικών ψηφίων. Ο καταχωρητής ολίσθησης είναι μια μηχανή πεπερασμένων καταστάσεων με 2 (L-1) k στάδια. Επειδή, στον συγκεκριμένο κωδικοποιητή για κάθε k δυαδικά ψηφία εισόδου παράγονται n k δυαδικά ψηφία εξόδου, ο ρυθμός του κώδικα είναι R c =. n Ένας συνελικτικός κώδικας χαρακτηρίζεται από τις τρεις παραμέτρους (n,k,m): n είναι ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων εξόδου k είναι ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων εισόδου m είναι ο αριθμός των καταχωρητών (flip flop) Συχνά όμως, ένας συνελικτικός κώδικας χαρακτηρίζεται και από τις εξής τρεις παραμέτρους (n,k,l), όπου L είναι το Μήκος Περιορισμού του κώδικα και ορίζεται ως: Μήκος Περιορισμού: L= k (m-1) 12

29 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες Στην αναπαράσταση που χρησιμοποιήθηκε για τους κώδικες μέχρι στιγμής, θεωρήθηκε ότι τα δυαδικά ψηφία εισόδου αποθηκεύονται σε έναν καταχωρητή. Ωστόσο, στη βιβλιογραφία σε πολλές περιπτώσεις δεν χρησιμοποιείται καταχωρητής για τα ψηφία εισόδου οπότε το Μήκος Περιορισμού είναι L= k m. Αυτό γίνεται γιατί θεωρείται ότι τα ψηφία εισόδου χρησιμοποιούνται κατευθείαν χωρίς να χρειάζεται να αποθηκευτούν σε κάποιο καταχωρητή. Πριν παρατεθεί ένα πιο αναλυτικό παράδειγμα εισάγεται η έννοια των Συστηματικών και Μη Συστηματικών Συνελικτικών Κωδίκων. Ένας Συνελικτικός κώδικας ονομάζεται Συστηματικός όταν το μπλοκ της εισόδου των k δυαδικών ψηφίων παρουσιάζεται αυτούσιο στην έξοδο, ως ένα μέρος από τα n δυαδικά ψηφία της εξόδου. Ένας Μη Συστηματικός Συνελικτικός κώδικας δημιουργείται όταν η έξοδος δεν περιέχει αυτούσια τα δυαδικά ψηφία της εισόδου. Οι Μη Συστηματικοί Συνελικτικοί κώδικες παρουσιάζουν καλύτερη απόδοση, δηλαδή μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ των κωδικών λέξεων (free distance), για το ίδιο Μήκος Περιορισμού και τον ίδιο ρυθμό του κώδικα. Ωστόσο, οι Συνελικτικοί κώδικες προτιμούνται περισσότερο σε σχέση με τους Μη Συστηματικούς γιατί είναι πιο εύκολο να ελεγχθούν για την ορθότητά τους. Επίσης, χρειάζονται λιγότερο υλικό για την κατασκευή του κωδικοποιητή και δεν είναι «Καταστροφικοί». Ένας κώδικας είναι «Καταστροφικός» όταν μεταδίδει ένα λάθος που έχει συμβεί σε μια χρονική στιγμή, σε όλες τις επόμενες, μέχρι το τέλος του μηνύματος. Σχήμα 3.2: Συστηματικός Συνελικτικός Κωδικοποιητής Ρυθμού ½ (7,5) με Μήκος Περιορισμού 3 Για την κατανόηση των συνελικτικών κωδικοποιητών χρησιμοποιείται ο κωδικοποιητής του σχήματος 3.2 που είναι ένας (1,2) Συστηματικός Συνελικτικός Κωδικοποιητής με Μήκος Περιορισμού L=3. Υπάρχουν επίσης, n=2 modulo-2 αθροιστές και δύο καταχωρητές (flip flop) ενώ ο ρυθμός του κώδικα είναι k/n=1/2. 13

30 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες Σε κάθε χρονική στιγμή, ένα δυαδικό ψηφίο εισόδου εισέρχεται στον καταχωρητή ολίσθησης και τα υπάρχοντα δυαδικά ψηφία ολισθαίνουν κατά μία θέση δεξιά. Στη συνέχεια, ο διακόπτης που βρίσκεται στην έξοδο δειγματοληπτεί τις τιμές εξόδου, v 0 και v 1, και σχηματίζεται το ζευγάρι συμβόλων της εξόδου του κώδικα, που αντιστοιχεί στο δυαδικό ψηφίο εισόδου. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλα τα διαθέσιμα δυαδικά ψηφία. Η επιλογή των συνδέσεων ανάμεσα στους αθροιστές και στα στάδια του καταχωρητή παρέχει μεγάλη ευελιξία και διαφορετικά χαρακτηριστικά στον κώδικα. Η παραμικρή αλλαγή στις συνδέσεις οδηγεί και σε διαφορετικό κώδικα. Οι συνδέσεις βέβαια δεν επιλέγονται στην τύχη. Το πρόβλημα της εύρεσης των κατάλληλων συνδέσεων που να οδηγεί σε κώδικες με μεγάλη απόσταση μεταξύ τους είναι πολύ σύνθετο και δεν έχει λυθεί στη γενική περίπτωση. Μερικοί από τους καλυτέρους κώδικες που έχουν βρεθεί για μικρά μήκη περιορισμού και μικρούς ρυθμούς κώδικα, (1,2) και (1,3) φαίνονται στους πίνακες 3.1 και 3.2 αντίστοιχα [2]. Rate Constraint Length Code Vector (Octal) Code Vector (Binary) Free Distance ½ ½ 4 6 ½ 5 7 ½ 6 8 ½ 7 10 ½ 8 10 ½ 9 12 ½ Πίνακας 3.1: Συνελικτικοί Κώδικες με τη μέγιστη απόσταση και ρυθμό κώδικα ½

31 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες Rate Constraint Length Code Vector (Octal) Code Vector (Binary) Free Distance ⅓ ⅓ ⅓ ⅓ ⅓ ⅓ ⅓ ⅓ Πίνακας 3. 2: Συνελικτικοί Κώδικες με τη μέγιστη απόσταση και ρυθμό κώδικα 1/3 Ένα από τα πλεονεκτήματα των Συνελικτικών Κωδίκων είναι ότι η διαδικασία κωδικοποίησης / αποκωδικοποίησης μπορεί να είναι συνεχόμενη επ άπειρο στο χρόνο. Δεν χρειάζεται η ομαδοποίηση σε μπλοκ δυαδικών ψηφίων συγκεκριμένου μεγέθους, για να λειτουργήσουν. Ωστόσο, πολλές φορές η υλοποίηση ενός συνελικτικού αποκωδικοποιητή γίνεται με τη χρήση κάποιου συγκεκριμένου μεγέθους μπλοκ δυαδικών ψηφίων. Με τον τρόπο αυτό αντιμετωπίζεται κάθε μπλοκ ως ξεχωριστό μήνυμα προς αποστολή και αποκωδικοποίηση. Η διαδικασία αυτή απαιτεί την προσθήκη συγκεκριμένου αριθμού μηδενικών δυαδικών ψηφίων στο τέλος κάθε ακολουθίας εισόδου, για να μπορεί να καθαριστεί η μνήμη του 15

32 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες καταχωρητή ολίσθησης από την προηγούμενη πληροφορία που μπορεί να είναι αποθηκευμένη. Από τη στιγμή που η προσθήκη των μηδενικών δυαδικών ψηφίων δεν προσφέρει επιπλέον πληροφορία, οδηγεί στη μείωση του ωφέλιμου ρυθμού κώδικα, κάτω από k/n. Αυτό συμβαίνει γιατί σε κάθε μπλοκ δυαδικών ψηφίων εισόδου πρέπει να προστεθούν και κάποια μηδενικά δυαδικά ψηφία τα οποία δεν προσφέρουν καμιά πληροφορία. Για να κρατηθεί ο ρυθμός κώδικα όσο γίνεται πιο κοντά στο k/n το μέγεθος μπλοκ πρέπει να είναι όσο γίνεται μεγαλύτερο, αλλά η αύξησή του οδηγεί σε μεγάλες καθυστερήσεις στην αποκωδικοποίηση και σε μεγαλύτερη πολυπλοκότητα του υλικού. 3.1 Απόκριση του Κωδικοποιητή (Impulse Response of the Encoder) Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί η απόκριση του κωδικοποιητή από τη στιγμή της εισόδου ενός δυαδικού ψηφίου, μέχρι την έξοδο του. Θα χρησιμοποιηθεί ο κωδικοποιητής του σχήματος 3.2 και το δυαδικό ψηφίο εισόδου θα είναι το «ένα». Χρόνος Είσοδος Καταχωρητές Ολίσθησης Έξοδος t c Register 1 Register 2 v 0 v Πίνακας 3.3: Απόκριση του Κωδικοποιητή στην είσοδο του δυαδικού ψηφίου «ένα» Κατά τη χρονική στιγμή t = 0 τα περιεχόμενα των δύο καταχωρητών ολίσθησης είναι 0 0 και οι έξοδοι v 0 και v 1 επίσης 0 0. Τη χρονική στιγμή t = 1 η είσοδος του κωδικοποιητή γίνεται 1, οι καταχωρητές ολίσθησης Register 1 και Register 2 έχουν τιμές 0 0 και οι έξοδοι v 0 και v 1 γίνονται 1 1 αντίστοιχα. Τη χρονική στιγμή t = 2 η είσοδος του κωδικοποιητή γίνεται 0, και οι προηγούμενες τιμές των καταχωρητών ολίσθησης ολισθαίνουν κατά μία θέση δεξιά και γίνονται 1 0 ενώ οι έξοδοι v 0 και v 1 16

33 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες γίνονται 0 1 αντίστοιχα. Η διαδικασία συνεχίζεται με παρόμοιο τρόπο μέχρι να κωδικοποιηθούν όλα τα δεδομένα εισόδου. Σχήμα 3.3: Γραφική αναπαράσταση του Κωδικοποιητή στην είσοδο του δυαδικού ψηφίου «ένα» Τόσο στον πίνακα 3.3 όσο και στο σχήμα 3.3 φαίνεται η σταδιακή μετακίνηση του δυαδικού ψηφίου «ένα» μέσα από τον κωδικοποιητή. Επίσης, φαίνονται αναλυτικά τόσο οι ενδιάμεσες τιμές των καταχωρητών ολίσθησης όσο και οι τιμές της εξόδου. 17

34 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες 3.2 Σχεδίαση του Κωδικοποιητή Η σχεδίαση σε υλικό του κωδικοποιητή είναι μια σχετικά πολύ εύκολη υπόθεση γιατί αποτελείται μόνο από καταχωρητές και αθροιστές. Η διαδικασία κωδικοποίησης θα μπορούσε να παρασταθεί με ένα πίνακα που αποτελείται από τέσσερα πεδία: τα δυαδικά ψηφία εισόδου η κατάσταση του κωδικοποιητή τα δυαδικά ψηφία εξόδου η κατάσταση εξόδου του κωδικοποιητή (είναι η κατάσταση εισόδου για τα επόμενα δυαδικά ψηφία) Είσοδος Κατάσταση Εισόδου Έξοδος Κατάσταση Εξόδου c Register 1 Register 2 v 0 v 1 Register 1 Register Πίνακας 3.4: Δυνατές καταστάσεις κωδικοποίησης για τον κωδικοποιητή ½ (7,5) με Μήκος Περιορισμού 3 Στον πίνακα 3.4 φαίνονται όλες οι δυνατές καταστάσεις που μπορεί να πάρει ο κωδικοποιητής (1,2) με Μήκος Περιορισμού L=3 του σχήματος 3.2. Στον πίνακα αυτό φαίνεται για κάθε δυαδικό ψηφίο εισόδου και για κάθε κατάσταση του κωδικοποιητή ποια θα είναι η έξοδος και ποια η επόμενη κατάστασή του. Υπάρχουν τρεις τρόποι με τους οποίους μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά ένας συνελικτικός κώδικας. Αυτοί είναι το: Διάγραμμα Καταστάσεων Δεντρικό Διάγραμμα Διάγραμμα Trellis 18

35 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες 3.3 Αναπαράσταση Καταστάσεων και Διάγραμμα Καταστάσεων (State Diagram) Όπως έχει ήδη αναφερθεί, ένας συνελικτικός κωδικοποιητής ανήκει στην κατηγορία των Μηχανών Πεπερασμένων Καταστάσεων. Η κατηγορία αυτή περιλαμβάνει μηχανές οι οποίες μπορούν και αποθηκεύουν πληροφορία προηγούμενων χρονικών στιγμών. Το επίθετο πεπερασμένος αναφέρεται στο γεγονός ότι η μηχανή μπορεί να μεταβεί μόνο σε ένα συγκεκριμένο αριθμό μοναδικών καταστάσεων. Από την άλλη μεριά, η κατάσταση αποτελεί τη μικρότερη δυνατή πληροφορία, η οποία σε συνδυασμό με τα δυαδικά ψηφία εισόδου μπορεί να οδηγήσει σε ασφαλή πρόβλεψη της εξόδου του συστήματος. Η κατάσταση περιλαμβάνει κάποια γνώση της εισόδου των προηγούμενων χρονικών στιγμών και περιορίζει το σύνολο των δυνατών εξόδων του συστήματος στο μέλλον. Μία μελλοντική κατάσταση περιορίζεται από μία παρελθούσα κατάσταση. Η γνώση της παρούσης κατάστασης μαζί με τη γνώση της επόμενης εισόδου είναι αναγκαία και αρκετή για τον υπολογισμό της εξόδου του συστήματος. Για ένα συνελικτικό κωδικοποιητή της μορφής 1/n, οι καταστάσεις δημιουργούνται από τα περιεχόμενα των L-1 σταδίων. Ας θεωρηθεί ότι η κατάσταση του κωδικοποιητή τη χρονική στιγμή t i είναι X i = m i-1, m i-2,, m i-l+1. Η i-οστή έξοδος U i προσδιορίζεται αποκλειστικά από τις καταστάσεις X i και από την παρούσα είσοδο m i. Οι καταστάσεις του κωδικοποιητή θεωρούνται ότι ανήκουν στην κατηγορία Markov διότι η πιθανότητα P(X i+1 X i, X i-1,, X 0 ) ο κωδικοποιητής να βρίσκεται στην κατάσταση X i+1 δεδομένου όλων των προηγούμενων καταστάσεων, εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από την πιο πρόσφατη κατάσταση X i. Δηλαδή, P(X i+1 X i, X i-1,, X 0 ) = P(X i+1 X i ). Το διάγραμμα καταστάσεων του κωδικοποιητή του σχήματος 3.2 φαίνεται στο σχήμα 3.4. Κάθε κύκλος συμβολίζει και μια κατάσταση. Σε οποιαδήποτε τυχαία χρονική στιγμή ο κωδικοποιητής βρίσκεται αναγκαστικά σε μία από αυτές τις καταστάσεις. Σε κάθε μετάβαση από μία κατάσταση στην επόμενη (βέλος) εικονίζονται δύο νούμερα. Το πρώτο συμβολίζει το δυαδικό ψηφίο εισόδου που χρειάζεται ο κωδικοποιητής για να μεταβεί σε επόμενη κατάσταση και το δεύτερο συμβολίζει την έξοδο που θα παραχθεί. Στο σχήμα, το κόκκινο χρώμα 19

36 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες χρησιμοποιείται για να συμβολίσει μετάβαση από μια κατάσταση στην επόμενη που προκαλείται με δυαδικό ψηφίο εισόδου το 0 και το μπλε χρώμα για να συμβολίσει μετάβαση με δυαδικό ψηφίο εισόδου το 1. Πρέπει να επισημανθεί το γεγονός ότι δεν μπορεί να υπάρξει κατευθείαν μετάβαση από μία κατάσταση σε οποιαδήποτε από τις υπόλοιπες. Για παράδειγμα, αν ο κωδικοποιητής βρίσκεται στην κατάσταση 00 μπορεί να μεταβεί μόνο στην κατάσταση 10 ή να παραμείνει στην ίδια κατάσταση 00. Δεν μπορεί να μεταβεί στις καταστάσεις 01 και 11. Ένα βασικό μειονέκτημα του Διαγράμματος Καταστάσεων είναι ότι δεν απεικονίζει το χρόνο. Δεν υπάρχει δυνατότητα αποθήκευσης χρονικών στιγμών, έτσι ώστε να γίνεται γνωστό π.χ. τη χρονική στιγμή 5 σε ποια κατάσταση βρισκόταν ο κωδικοποιητής. Συγκρίνοντας το Διάγραμμα Καταστάσεων με τον πίνακα αναφοράς του κωδικοποιητή μπορεί να παρατηρηθεί ότι περιέχουν τις ίδιες ακριβώς πληροφορίες με τη διαφορά ότι το Διάγραμμα Καταστάσεων τις αναπαριστά γραφικά. Σχήμα 3.4: Διάγραμμα Καταστάσεων 20

37 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες 3.4 Δεντρικό Διάγραμμα (Tree Diagram) Για τη λύση του προβλήματος της μη αναπαράστασης του χρόνου από το Διάγραμμα Καταστάσεων, δημιουργήθηκε το Δεντρικό διάγραμμα το οποίο προσθέτει την διάσταση του χρόνου. Το Δεντρικό Διάγραμμα που αντιστοιχεί στο Διάγραμμα Καταστάσεων εικονίζεται στο σχήμα 3.5. Σχήμα 3.5: Δεντρικό Διάγραμμα 21

38 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες Σε κάθε χρονική στιγμή που καθορίζεται με την έλευση ενός δυαδικού ψηφίου, διασχίζουμε το διάγραμμα από αριστερά προς τα δεξιά. Κάθε κλαδί του δέντρου δείχνει την έξοδο του συστήματος, ενώ κάθε κόμβος του δέντρου δείχνει την κατάσταση που βρίσκεται το σύστημα. Ο κανόνας για την εύρεση της ακολουθίας εξόδου είναι ο εξής: Αν το δυαδικό ψηφίο εισόδου είναι μηδέν τότε γίνεται μετακίνηση στο δέντρο προς το κλαδί που βρίσκεται όσο γίνεται πιο δεξιά και προς τα πάνω. Αν το δυαδικό ψηφίο εισόδου είναι ένα τότε γίνεται μετακίνηση στο δέντρο, προς το κλαδί που βρίσκεται όσο γίνεται πιο δεξιά και προς τα κάτω. Αν θεωρηθεί ότι η αρχική κατάσταση του κωδικοποιητή είναι η μηδενική, τότε το δεντρικό διάγραμμα δείχνει ότι αν το δυαδικό ψηφίο εισόδου είναι μηδέν τότε η έξοδος είναι η 00 και παραμένει στην κατάσταση 00, ενώ αν το δυαδικό ψηφίου εισόδου είναι ένα η έξοδος είναι 11 και το σύστημα μεταβαίνει στην κατάσταση 10. Το δεντρικό διάγραμμα μπορεί να εισάγει τη διάσταση του χρόνου αλλά δημιουργεί και ένα σοβαρό μειονέκτημα. Μεγαλώνει τον αριθμό των κλαδιών με συνάρτηση 2 L, όπου L είναι ο αριθμός των διαφορετικών εξόδων του συστήματος. Αυξάνονται έτσι, οι απαιτήσεις τόσο σε αποθηκευτικό χώρο όσο και σε υπολογιστική ισχύ για τον υπολογισμό μεγάλου αριθμού κλαδιών. Μετά την πάροδο σχετικά λίγων χρονικών στιγμών, η χρήση του Δεντρικού Διαγράμματος γίνεται απαγορευτική. Παρατηρώντας το διάγραμμα του σχήματος 3.5 φαίνεται ότι η δομή του δέντρου επαναλαμβάνεται από τη χρονική στιγμή 3 και μετά. Γενικά, η δομή του δέντρου επαναλαμβάνεται κάθε L διακλαδώσεις, όπου L είναι το Μήκος Περιορισμού. 3.5 Διάγραμμα Trellis (Trellis Diagram) Το μεγάλο πλεονέκτημα του διαγράμματος αυτού είναι η προσθήκη της διάστασης του χρόνου χωρίς τα προβλήματα που δημιουργεί στο Δεντρικό Διάγραμμα. Τοποθετώντας τις δυνατές καταστάσεις του συστήματος τη μία κάτω από την άλλη, στον άξονα y, και τις διακριτές χρονικές στιγμές ξεκινώντας από το μηδέν, στον άξονα x, δημιουργείται το Διάγραμμα Trellis που φαίνεται στο σχήμα 3.6. Με το πέρασμα του χρόνου γίνεται μετακίνηση προς τα δεξιά στο διάγραμμα. Κάθε μετάβαση σημαίνει την έλευση και ενός καινούργιου δυαδικού ψηφίου. 22

39 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες Σχήμα 3.6: Διάγραμμα Trellis Με κόκκινο χρώμα συμβολίζεται η μετάβαση που προκαλείται από δυαδικό ψηφίο εισόδου μηδέν, ενώ με μπλε χρώμα συμβολίζεται η μετάβαση που προκαλείται από δυαδικό ψηφίο εισόδου ένα. Επίσης, σε κάθε μετάβαση φαίνεται και η έξοδος του συστήματος. Θεωρείται ότι το σύστημα ξεκινάει από την κατάσταση 00 και με την έλευση ενός δυαδικού ψηφίου έχει μόνο δύο επιλογές για μετάβαση, τις καταστάσεις 00 και 10. Στη συνέχεια, υπάρχουν πάλι δύο επιλογές για μετάβαση ανάλογα με το δυαδικό ψηφίο εισόδου. Από τη χρονική στιγμή t = 3 και μετά γίνεται φανερό ότι το διάγραμμα Trellis επαναλαμβάνεται. Γενικά, το διάγραμμα Trellis επαναλαμβάνεται κάθε L χρονικές στιγμές, όπου L είναι το Μήκος Περιορισμού. Από τη χρονική στιγμή 3 και μετά, σε κάθε κατάσταση μπορεί να γίνει μετάβαση από οποιαδήποτε από τις δύο προηγούμενες καταστάσεις που φτάνουν σε αυτή και μπορεί να γίνει μετάβαση σε οποιαδήποτε από τις δύο επόμενες καταστάσεις που ξεκινάνε από αυτή. Το Διάγραμμα Trellis είναι μοναδικό για κάθε κώδικα. 23

40 Κεφάλαιο 3 Συνελικτικοί Κώδικες 24

41 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Για την αποκωδικοποίηση των συνελικτικών κωδίκων υπάρχουν διάφορες τεχνικές, που ομαδοποιούνται σε δύο βασικές κατηγορίες: Ακολουθιακή Αποκωδικοποίηση o Αλγόριθμος του Fano Αποκωδικοποίηση Μέγιστης Πιθανοφάνειας o Αλγόριθμος Viterbi Και οι δύο κατηγορίες αποκωδικοποίησης εκπροσωπούν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις της ίδιας, όμως, ιδέας. Για την καλύτερη κατανόηση της αποκωδικοποίησης θα χρησιμοποιηθεί και πάλι ο κώδικας (1,2) του σχήματος 3.2. Ας θεωρηθεί ότι πρέπει να γίνει αποστολή τριών δυαδικών ψηφίων με τη χρήση του παραπάνω κώδικα. Η κωδικοποίηση θα μετατρέψει τα τρία δυαδικά ψηφία σε έξι, τα 25

42 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης οποία και θα σταλούν στο δέκτη μέσω του καναλιού. Η μετατροπή των τριών δυαδικών ψηφίων σε έξι είναι μοναδική και έτσι κάθε ακολουθία εισόδου 3 δυαδικών ψηφίων θα έχει μοναδική κωδικοποιημένη ακολουθία έξι δυαδικών ψηφίων. Ωστόσο, λόγω της μη ύπαρξης ιδανικού καναλιού μπορεί να προκύψουν λάθη κατά τη μετάδοση και έτσι ο δέκτης να λάβει οποιονδήποτε δυνατό συνδυασμό των έξι δυαδικών ψηφίων. Όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί των έξι δυαδικών ψηφίων μας δίνουν 2 6 = 64 δυνατές ακολουθίες. Τα τρία δυαδικά ψηφία πριν την κωδικοποίηση έχουν ως αποτέλεσμα την ύπαρξη οκτώ διαφορετικών ακολουθιών εισόδου, οι οποίες αντιστοιχούν και σε οκτώ κωδικοποιημένες ακολουθίες των έξι πλέον δυαδικών ψηφίων. Στόχος του αποκωδικοποιητή είναι να αποφανθεί, ποια από τις οκτώ ακολουθίες εισόδου έχει σταλεί μέσα από ένα σύνολο 64 δυνατών ακολουθιών. Είσοδος Έγκυρη Ακολουθία Κώδικα Ληφθείσα Ακολουθία Συμφωνία Δυαδικών Ψηφίων Πίνακας 4.1: Σύγκριση ληφθείσης ακολουθίας με τις έγκυρες ακολουθίες Έστω ότι ο δέκτης λαμβάνει την ακολουθία Η ακολουθία αυτή επειδή δεν είναι μια από τις έγκυρες ακολουθίες του πίνακα 4.1 είναι εσφαλμένη. Άρα, πρωταρχικός στόχος των μεθόδων αποκωδικοποίησης είναι η ανίχνευση των λαθών, και αν είναι εφικτό η διόρθωση όσο το δυνατόν περισσοτέρων από αυτά. Για την αποκωδικοποίηση μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο τρόποι: 1. Μπορεί να γίνει σύγκριση της ληφθείσης ακολουθίας με όλες τις επιτρεπτές δυνατές ακολουθίες και να επιλεγεί αυτή με τη μικρότερη απόσταση Hamming (ή λιγότερη ασυμφωνία δυαδικών ψηφίων) 2. Μπορεί να γίνει συσχετισμός (correlation) και να επιλεγεί η ακολουθία με την καλύτερη συσχέτιση. 26

43 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Στο παραπάνω παράδειγμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τρόπο αποκωδικοποίησης μπορεί να παρατηρηθεί ότι υπάρχουν δύο ισοπίθανες δυνατές επιλογές οι οποίες διαφέρουν μόνο κατά ένα ψηφίο από μία έγκυρη ακολουθία. Μεγάλο μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι δεν υπάρχει τρόπος να γίνει γνωστό ποια από τις δύο ακολουθίες μεταδόθηκε. Επιπλέον, η αύξηση των δυαδικών ψηφίων που πρέπει να κωδικοποιηθούν και να αποκωδικοποιηθούν αυξάνει εκθετικά την υπολογιστή ισχύ που απαιτείται για να γίνει η αποκωδικοποίηση. Έτσι, οι μέθοδοι της κατηγορίας αυτής δεν είναι πρακτικά υλοποιήσιμοι. Πρέπει να χρησιμοποιηθεί μια μέθοδος που να μην εξετάζει όλες τις δυνατές περιπτώσεις και να μπορεί να λύνει περιπτώσεις ισοβαθμιών όπως αυτή που αναφέρθηκε στο προηγούμενο παράδειγμα. Ένας από τους σημαντικότερος αλγορίθμους που ανήκει στη κατηγορία αποκωδικοποίησης Μέγιστης Πιθανοφάνειας είναι ο αλγόριθμος Viterbi. Εκτός από τον παραπάνω αλγόριθμο χρησιμοποιούνται και άλλοι αλγόριθμοι με πολύ καλά αποτελέσματα όπως οι SOVA και MAP, καθώς και παραλλαγές αυτών, όπως π.χ. Window SOVA, Log-MAP, max-log-map. Όπως έχει ήδη αναφερθεί η διπλωματική εργασία θα επικεντρωθεί στην αναφορά και μελέτη των αλγορίθμων Viterbi και SOVA. 4.1 Αλγόριθμος Viterbi Ο αλγόριθμος Viterbi αναπτύχθηκε από τον Andrew J. Viterbi, σε μια πρωτοποριακή για την εποχή εργασία που δημοσιεύτηκε τον Απρίλιο του 1967 [4]. Από τότε η εργασία του έχει συνεχιστεί και έχει επεκταθεί από άλλους ερευνητές. Ο αλγόριθμος Viterbi παρόλο που κάνει αποκωδικοποίηση Μέγιστης Πιθανοφάνειας, μειώνει το υπολογιστικό φορτίο κάνοντας χρήση της ειδικής δομής του διαγράμματος trellis. Το πλεονέκτημα της αποκωδικοποίησης με τη χρήση του αλγορίθμου Viterbi συγκρινόμενη με την αποκωδικοποίηση στην οποία ελέγχουμε όλες τις περιπτώσεις είναι ότι η πολυπλοκότητα του αποκωδικοποιητή δεν είναι συνάρτηση του αριθμού των συμβόλων της μεταδιδόμενης ακολουθίας. 27

44 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Έστω ότι t N = {1,2,3, } αντιπροσωπεύει το χρόνο και έστω ότι s S και u S είναι καταστάσεις του συστήματος. Κάθε κατάσταση του συστήματος παριστάνεται με έναν κόμβο στο διάγραμμα trellis. Η τιμή branch metric χαρακτηρίζει ποσοτικά τη μετάβαση από ένα κόμβο s τη χρονική στιγμή t-1 σε ένα κόμβο u τη χρονική στιγμή t. Συμβολίζεται ως b su (t). Η τιμή των branch metrics εξαρτάται κάθε χρονική στιγμή από την ακολουθία εισόδου στον αποκωδικοποιητή. Για κάθε κόμβο του διαγράμματος trellis και για κάθε χρονική στιγμή ορίζεται μία τιμή path metric m s (t). Η τιμή αυτή, επιλέγεται να είναι η μικρότερη τιμή path metric από τις δυνατές τιμές που μπορούν να υπάρχουν σε κάθε κόμβο κάθε χρονική στιγμή σύμφωνα με τη σχέση m u (t) = min{m su (t) s S, u S, t N} (1) Χρόνος t-1 t S00 m s00 b S00U00 m u00 U00 b S01U00 S01 m s01 m u01 U01 b S01U10 b S00U10 b S10U01 S10 m s10 m u10 U10 b S11U01 b S10U11 S11 m s11 b S11U11 m u11 U11 Σχήμα 4. 1: Πεταλούδες για την υλοποίηση της υπομονάδας ACS 28

45 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Οι τιμές path metrics σε κάθε κόμβο υπολογίζονται αν αθροιστεί η τιμή path metric του κόμβου της προηγούμενης χρονικής στιγμής με την τιμή branch metric για τη μετάβαση από τον κόμβο της προηγούμενης χρονικής στιγμής, στον κόμβο της τωρινής χρονικής στιγμής. Η μαθηματική περιγραφή δίνεται από τη σχέση m su (t) = m s (t-1) + b su (t), s S, u S, t N (2) Στην αρχή του αλγορίθμου (χρονική στιγμή 0) οι τιμές των path metrics είναι μηδέν. Πρέπει να σημειωθεί ότι λόγω της ειδικής δομής της κωδικοποίησης δεν υπάρχει μετάβαση από κάθε κόμβο μιας χρονικής στιγμής σε όλους τους κόμβους της επόμενης χρονικής στιγμής, όπως φαίνεται και στο σχήμα 4.1. Η υλοποίηση ενός Viterbi αποκωδικοποιητή γίνεται χρησιμοποιώντας τρεις κύριες μονάδες, σχήμα Μονάδα υπολογισμού των branch metrics (BMU) 2. Μονάδα υπολογισμού των path metrics (PMU) 3. Μονάδα εύρεσης του επικρατέστερου μονοπατιού ( Trace Back Unit - SMU) Σχήμα 4. 2: Κύριες μονάδες ενός Viterbi αποκωδικοποιητή Ο πυρήνας όμως του αλγορίθμου Viterbi είναι η υπομονάδα Add Compare Select (ACS) που βρίσκεται στη μονάδα υπολογισμού των path metric. Είναι το κομμάτι στο οποίο οι ερευνητές έχουν δώσει τη μεγαλύτερη προσοχή διότι ο αριθμός και η ταχύτητα των υπομονάδων αυτών επηρεάζουν τη συνολική απόδοση του κυκλώματος που υλοποιεί τον αλγόριθμο Viterbi. Στους περισσότερους αποκωδικοποιητές, η υπομονάδα ACS υλοποιείται με μια λειτουργία πεταλούδας που παίρνει ως είσοδο 2 path metrics και 4 branch metrics τα οποία συνδυάζει για να παράγει δύο path metrics εξόδου. Στο σχήμα 4.1 μπορεί να παρατηρηθεί ότι υπάρχουν δύο ανεξάρτητες πεταλούδες. Η πρώτη αποτελείται από τους κόμβους S00, S01, U00 και U10 ενώ η δεύτερη από τους κόμβους S10, S11, U01 και U11. 29

46 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Σύμφωνα με τις σχέσεις (1) και (2) το path metric του κόμβου U00 της χρονικής στιγμής t βρίσκεται ως εξής: m u00 = min{m s00 + b s00u00, m s01 + b s01u00 } Παράλληλα με τον υπολογισμό των διάφορων μετρικών, ο αλγόριθμος για κάθε κόμβο της χρονικής στιγμής t, αποθηκεύει τον κόμβο της προηγούμενης χρονικής στιγμής, t-1, που οδηγεί σε αυτόν. Επειδή περισσότεροι από ένας κόμβοι, προηγουμένης χρονικής στιγμής μπορεί να οδηγούν σε κάποιο κόμβο, αποθηκεύεται ο κόμβος ο οποίος δίνει το μικρότερο path metric. Γενικά ο αλγόριθμος αποθηκεύει σε κάθε χρονική στιγμή το επικρατέστερο path metric κάθε κόμβου και μια τιμή που δείχνει τον προηγούμενο κόμβο που οδηγεί σε αυτόν με την επικρατέστερη τιμή. Έτσι, ανά πάσα στιγμή μπορεί να διασχιστεί προς τα πίσω το μονοπάτι και να οδηγήσει στον αρχικό κόμβο. Σε κάθε χρονική στιγμή ο κόμβος με το μικρότερο path metric ορίζει το επικρατέστερο μονοπάτι (survivor path). Ας υποτεθεί ότι ο αλγόριθμος βρίσκεται στη χρονική στιγμή t. Αν διατρέξουμε το μονοπάτι προς τα πίσω από όλους τους κόμβους της χρονικής στιγμής t, θα παρατηρηθεί ότι όλοι συγκλίνουν στον ίδιο κόμβο της χρονικής στιγμής k (k<t), σχήμα 4.3. Άρα, ο αλγόριθμος μπορεί να αποφασίσει για τη χρονική στιγμή k, τι σύμβολο έχει σταλεί. Αυτό συμβαίνει γιατί ο αλγόριθμος συγκλίνει ανεξάρτητα από ποιον κόμβο της χρονικής στιγμής t θα ξεκινήσει. Αυτό φαίνεται καλύτερα στο σχήμα 4.3 Στο σχήμα 4.3 ακολουθείται ο ίδιος χρωματικός συμβολισμός με τα προηγούμενα παραδείγματα. Τη χρονική στιγμή t=5 ο κόμβος 11 έχει τη μικρότερη τιμή path metric και ορίζει το επικρατέστερο μονοπάτι μέχρι εκείνη τη στιγμή. Το μονοπάτι αυτό φαίνεται στο σχήμα με έντονο χρώμα. Αν διατρέξουμε προς τα πίσω τα μονοπάτια των υπόλοιπων κόμβων 00, 01 και 10 (διακεκομμένη γραμμή) μπορεί να παρατηρηθεί ότι συγκλίνουν όλα στο επικρατέστερο μονοπάτι, στον κόμβο 01 της χρονικής στιγμής t=3. Άρα ο αλγόριθμος μπορεί να αποφασίσει για τα σύμβολα που έχουν σταλεί μέχρι τη χρονική στιγμή t=3. Για να είναι όσο το δυνατόν πιο έγκυρη η απόφαση του αποκωδικοποιητή πρέπει να εξασφαλιστεί η σύγκλιση των διαδρομών. Διάφορες μελέτες έχουν δείξει ότι όλοι οι κόμβοι μιας χρονικής στιγμής t συγκλίνουν μετά από 5*L χρονικές στιγμές, αν διατρέξουμε τα μονοπάτια προς τα πίσω [2]. Άρα, ο αλγόριθμος μπορεί να αποφασίσει τη χρονική στιγμή t για το ποιο ψηφίο έχει μεταδοθεί τη χρονική στιγμή t-5*l. 30

47 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Σχήμα 4. 3: Σύγκλιση μονοπατιών Στη συνέχεια παρατίθενται αναλυτικά τα βήματα του αλγορίθμου Viterbi Βήματα του αλγορίθμου Viterbi 1. Ορισμός αρχικών τιμών Χρονική στιγμή μηδέν (t=0) και κόμβος μηδέν. Αρχικοποίηση των path metrics όλων των κόμβων με τιμή άπειρο ( ) πλην του κόμβου μηδέν, ο οποίος αποκτά τιμή ίση με το μηδέν. 2. Αύξηση του χρόνου t κατά 1 31

48 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης o Υπολογισμός των branch metric για όλες τις διακλαδώσεις που υπεισέρχονται σε ένα κόμβο τη χρονική στιγμή t. o Υπολογισμός των path metric για όλα τα μονοπάτια που υπεισέρχονται σε ένα κόμβο τη χρονική στιγμή t. Εύρεση των κόμβων της προηγούμενης χρονικής στιγμής (t-1) από τους οποίους μπορεί να γίνει μετάβαση σε κάθε κόμβο της χρονικής στιγμής t με δυαδικό ψηφίο εισόδου 0 ή 1 και πρόσθεση στην τιμή του επικρατέστερου path metric του προηγούμενου κόμβου την τιμή του branch metric για να γίνει μετάβαση από τον προηγούμενο κόμβο στον τωρινό κόμβο. o Σύγκριση των τιμών των path metrics που καταλήγουν σε κάθε κόμβο. H μικρότερη τιμή είναι η επικρατέστερη τιμή του κάθε κόμβου. o Για κάθε κόμβο γίνεται αποθήκευση της επικρατέστερης τιμής του path metric και αποθήκευση του κόμβου της προηγούμενης χρονικής στιγμής (t-1) από τον οποίο έγινε μετάβαση στον κόμβο της χρονικής στιγμής t. o Επανάληψη των παραπάνω βημάτων μέχρι t=τ. (Τέλος της αποστολής του μηνύματος) 3. Οι κόμβοι που έχουν επικρατήσει φτάνοντας στο τέλος του μηνύματος αποτελούν και το μονοπάτι με τη μεγαλύτερη πιθανότητα αποστολής. 4.2 Αλγόριθμος SOVA Εξέλιξη του αλγορίθμου Viterbi είναι ο αλγόριθμος SOVA (Soft Output Viterbi Algorithm) ο οποίος παράγει πραγματικούς αριθμούς ως τιμές εξόδου (soft outputs). Ο αλγόριθμος SOVA βρίσκει και εξετάζει δύο μονοπάτια. Το πρώτο είναι το μονοπάτι μέγιστης πιθανοφάνειας, η εύρεση του οποίου γίνεται όπως ακριβώς και στον αλγόριθμο Viterbi και το δεύτερο είναι ένα ανταγωνιστικό, σε σχέση με το προηγούμενο, μονοπάτι. Τα δύο, αυτά, μονοπάτια συγκλίνουν στον ίδιο παρελθόντα κόμβο. Η έξοδος του αλγορίθμου (soft τιμή) βρίσκεται, παίρνοντας τη μικρότερη τιμή, που προκύπτει αν αφαιρεθεί η μετρική του μονοπατιού μέγιστης πιθανοφάνειας από αυτή του ανταγωνιστικού μονοπατιού. 32

49 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Η υπολογιστική πολυπλοκότητα του αλγορίθμου SOVA είναι μεγαλύτερη συγκριτικά από αυτή του απλού αλγορίθμου Viterbi. Η προς τα εμπρός επανάληψη του αλγορίθμου SOVA έχει την ίδια πολυπλοκότητα με αυτή του αλγορίθμου Viterbi. Η υπολογιστική πολυπλοκότητα της προς τα πίσω αναδρομής του αλγορίθμου SOVA είναι συνήθως μικρότερη από αυτή του Viterbi αλγορίθμου αφού δεν χρειάζεται να αποθηκευτούν τα επικρατέστερα μονοπάτια. Έτσι, η υπολογιστική πολυπλοκότητα του αλγορίθμου SOVA φράσσεται από πάνω, από τη διπλάσια πολυπλοκότητα του αλγορίθμου Viterbi. Σχήμα 4. 4: Παράδειγμα ενός ML μονοπατιού και του ανταγωνιστικού του 33

50 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Βήματα του αλγορίθμου SOVA Στη συνέχεια παρατίθενται αναλυτικά τα βήματα του αλγορίθμου SOVA που χωρίζονται σε τρία ανεξάρτητα μπλοκ. Την αναδρομή προς τα εμπρός, την αναδρομή προς τα πίσω και την Απόφαση (Soft decision). I. Αναδρομή προς τα εμπρός (Forward Recursion) 1. Ορισμός αρχικών τιμών Χρονική στιγμή μηδέν (t=0) και κόμβος μηδέν. Αρχικοποίηση των path metrics όλων των κόμβων με τιμή άπειρο ( ) πλην του κόμβου μηδέν, ο οποίος αποκτά τιμή ίση με το μηδέν. 2. Αύξηση του χρόνου t κατά 1 o Υπολογισμός των branch metric για όλες τις διακλαδώσεις που υπεισέρχονται σε ένα κόμβο τη χρονική στιγμή t. o Υπολογισμός των path metric για όλα τα μονοπάτια που υπεισέρχονται σε ένα κόμβο τη χρονική στιγμή t. Εύρεση των κόμβων της προηγούμενης χρονικής στιγμής (t-1) από τους οποίους μπορεί να γίνει μετάβαση σε κάθε κόμβο της χρονικής στιγμής t με δυαδικό ψηφίο εισόδου 0 ή 1 και πρόσθεση στην τιμή του επικρατέστερου path metric του προηγούμενου κόμβου την τιμή του branch metric για να γίνει μετάβαση από τον προηγούμενο κόμβο στον τωρινό κόμβο. o Σύγκριση των τιμών των path metrics που καταλήγουν σε κάθε κόμβο. H μικρότερη τιμή είναι η επικρατέστερη τιμή του κάθε κόμβου. o Για κάθε κόμβο αποθήκευση της επικρατέστερης τιμής του path metric και αποθήκευση του κόμβου της προηγούμενης χρονικής στιγμής (t-1) από τον οποίο έγινε μετάβαση στον κόμβο της χρονικής στιγμής t. o Επανάληψη των παραπάνω βημάτων μέχρι t=τ. (Τέλος της αποστολής του μηνύματος) 3. Ο κόμβος που επικρατεί τη χρονική στιγμή t=τ οδηγεί στο μονοπάτι με τη μεγαλύτερη πιθανότητα να είναι το σωστό και η τιμή του path metric του κόμβου αυτού είναι μ τ,min. 34

51 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης II. Αναδρομή προς τα πίσω (Backward Recursion) 1. Ορισμός αρχικών τιμών Χρονική στιγμή μηδέν (t=τ) και κόμβος μηδέν. Η αρχικοποίηση θα μπορούσε να γίνει από οποιονδήποτε κόμβο της χρονικής στιγμής τ. Ο αλγόριθμος γρήγορα θα συγκλίνει και δεν θα επηρεαστεί το τελικό αποτέλεσμα. Αρχικοποίηση των path metrics όλων των κόμβων με τιμή άπειρο ( ) πλην του κόμβου μηδέν, ο οποίος αποκτά τιμή ίση με το μηδέν. 2. Μείωση του χρόνου t κατά 1 o Υπολογισμός των branch metric για όλες τις διακλαδώσεις που υπεισέρχονται σε ένα κόμβο τη χρονική στιγμή t. o Υπολογισμός των path metric για όλα τα μονοπάτια που υπεισέρχονται σε ένα κόμβο τη χρονική στιγμή t. Εύρεση των κόμβων της προηγούμενης χρονικής στιγμής (t+1) από τους οποίους μπορεί να γίνει μετάβαση σε κάθε κόμβο της χρονικής στιγμής t με δυαδικό ψηφίο εισόδου 0 ή 1 και πρόσθεση στην τιμή του επικρατέστερου path metric του προηγούμενου κόμβου την τιμή του branch metric για να γίνει μετάβαση από τον προηγούμενο κόμβο στον τωρινό κόμβο. o Σύγκριση των τιμών των path metrics που καταλήγουν σε κάθε κόμβο. H μικρότερη τιμή είναι η επικρατέστερη τιμή του κάθε κόμβου. o Για κάθε κόμβο αποθήκευση της επικρατέστερης τιμής του path metric και αποθήκευση του κόμβου της προηγούμενης χρονικής στιγμής (t+1) από τον οποίο έγινε μετάβαση στον κόμβο της χρονικής στιγμής t. o Επανάληψη των παραπάνω βημάτων μέχρι t=0. III. Απόφαση (Soft Decision) 1. Ορισμός αρχικών τιμών (t=0) 2. Αύξηση του χρόνου t κατά 1 o Τη χρονική στιγμή t υπολογίζεται η καλύτερη εκτίμηση για το bit εισόδου c t =i, όπου i=0,1 Με την αναδρομή προς τα εμπρός του αλγορίθμου έχει υπολογιστεί το μονοπάτι με το ελάχιστο path metric. Οι κόμβοι του μονοπατιού 35

52 Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης αυτού, σε κάθε χρονική στιγμή, χρησιμοποιούνται για την καλύτερη εκτίμηση του δυαδικού ψηφίου εισόδου c t. o Ορισμός του i μ t ως μ = μ. i t t, min Τομ i t αναφέρεται πάντα σε κόμβους που βρίσκονται στο ελάχιστο μονοπάτι σύμφωνα με την προς τα εμπρός αναδρομή. Αν π.χ. το 0 αντιστοιχεί στη μετάβαση από έναν κόμβο στον επόμενο τότε εκείνη τη χρονική στιγμή το i=0. o Εύρεση του path metric του καλύτερου ανταγωνιστή του i μ t, το c μ t όπου c=i 1. Το σύμβολο σημαίνει πρόσθεση modulo 2. Έτσι, αν το i μ t = 0 μ t ο καλύτερος ανταγωνιστής θα είναι το 1 μ t και το ανάποδο. Χρονική στιγμή t. Ψάξιμο μεταβάσεων με δυαδικό ψηφίο εισόδου ίδιο με του καλύτερου ανταγωνιστή. Οι μεταβάσεις γίνονται από κόμβους της χρονικής στιγμής t-1 προς κόμβους της χρονικής στιγμής t με δυαδικό ψηφίο εισόδου ίσο με του ανταγωνιστή. Για κάθε κόμβο της χρονικής στιγμής t-1 γίνεται έλεγχος για τον αν υπάρχει μετάβαση σε κόμβο της χρονικής στιγμής t. (πάντα θα υπάρχει εκτός από χρονικές στιγμές αρχής ή τέλους του μηνύματος) Για κάθε κόμβο υπολογίζεται ένα άθροισμα. temp_timi j (t)=path_metric_forward j (t-1)+branch_metric j k (μετάβαση από t-1 t με input bit ανταγωνιστή) + path_metric_backward (κόμβου κατάληξης)(t) Το j αναφέρεται στους κόμβους της κάθε χρονικής στιγμής και το t σε χρονικές στιγμές. Το path_metric_forward αναφέρεται στα path metric της προς τα εμπρός ανάλυσης και το path_metric_backward αναφέρεται σε path metric της προς τα πίσω αναδρομής. Μόλις γίνει υπολογισμός όλων των ενδιάμεσων τιμών για όλους τους κόμβους επιλέγεται η μικρότερη τιμή ( temp_timi j (t) )και αυτή είναι η τιμή c μ t. o Υπολογισμός του Λ(c t )= μ - μ 0 t 1 t 36

53 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος σε περιβάλλον MATLAB Μία απλοποιημένη έκδοση του τηλεπικοινωνιακού συστήματος που χρησιμοποιήθηκε στις εξομοιώσεις φαίνεται στο σχήμα 5.1. Σχήμα 5. 1: Μοντέλο τηλεπικοινωνιακού συστήματος Τα μπλοκ του κώδικα που χρησιμοποιήθηκαν στις εξομοιώσεις περιλαμβάνουν: 37

54 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος 1. Μία γεννήτρια παραγωγής τυχαίων δυαδικών ψηφίων 2. Ένα κωδικοποιητή για τη συνελικτική κωδικοποίηση των παραπάνω δυαδικών ψηφίων 3. Ένα διαμορφωτή για τη διαμόρφωση των δυαδικών ψηφίων έτσι ώστε να μπορέσουν να μεταδοθούν από το κανάλι 4. Ένα κανάλι στο οποίο γίνεται προσθήκη θορύβου 5. Κβάντιση των λαμβανόμενων συμβόλων στον αποκωδικοποιητή 6. Έναν αποκωδικοποιητή για την αποκωδικοποίηση των συμβόλων (Αλγόριθμος Viterbi Αλγόριθμος SOVA) 7. Σύγκριση της αποκωδικοποιημένης ακολουθίας με την ακολουθία που μεταδόθηκε για τον υπολογισμό του αριθμού των λαθών (BER). 5.1 Γεννήτρια παραγωγής τυχαίων αριθμών Για την παραγωγή των τυχαίων δυαδικών ψηφίων που μεταδίδονται, χρησιμοποιήθηκε η συνάρτηση randint της MATLAB η οποία παράγει τυχαία ψηφία 0 και 1 με ισοδύναμη πιθανότητα ½. 5.2 Συνελικτική κωδικοποίηση των δεδομένων Για τη συνελικτική κωδικοποίηση των δεδομένων που μεταδίδονται χρησιμοποιήθηκαν δύο κωδικοποιητές. Σχήμα 5. 2: Συστηματικός Συνελικτικός Κωδικοποιητής Ρυθμού ½ (177, 133) με Μήκος Περιορισμού 7 38

55 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Ο πρώτος είναι ένας (1,2) Συστηματικός Συνελικτικός Κωδικοποιητής με Μήκος Περιορισμού L=3, το διάγραμμα του οποίου φαίνεται στο σχήμα 3.2 και ο δεύτερος είναι πάλι ένας (1,2) Συστηματικός Συνελικτικός Κωδικοποιητής με Μήκος Περιορισμού L=7, το διάγραμμα του οποίου φαίνεται στο σχήμα 5.2. Τα διανύσματα από τα οποία δημιουργούνται οι κωδικοποιητές φαίνονται στον πίνακα 3.1 με έντονη γραφή και σύμφωνα με το [2] είναι οι καλύτεροι κώδικες για ρυθμό κώδικα (1,2). Ο πρώτος κωδικοποιητής χρησιμοποιήθηκε για την καλύτερη κατανόηση της διαδικασίας κωδικοποίησης αποκωδικοποίησης λόγω της πολύ απλής μορφής του διαγράμματος trellis και ο δεύτερος γιατί αποτελεί το βιομηχανικό standard και χρησιμοποιείται στο πρότυπο a. Στους παραπάνω κωδικοποιητές, τα δυαδικά ψηφία εισόδου δίνονται με ένα ρυθμό k ψηφίων/δευτερόλεπτο και τα δυαδικά ψηφία εξόδου εξέρχονται με ρυθμό 2k ψηφίων/δευτερόλεπτο. Πριν την κωδικοποίηση των δεδομένων γίνεται προσθήκη L δυαδικών ψηφίων (μηδενικά) στην ακολουθία των δυαδικών ψηφίων που πρόκειται να αποσταλούν, με σκοπό να έχουν την ίδια ανοχή στα λάθη και τα τελευταία δυαδικά ψηφία του μηνύματος. Τα επιπλέον μηδενικά οδηγούν τον κωδικοποιητή στην κατάσταση μηδέν μετά το τέλος της κωδικοποίησης όλων των δεδομένων. Όπου L είναι το Μήκος Περιορισμού του κωδικοποιητή. Στη MATLAB η δημιουργία της συνελικτικής κωδικοποίησης γίνεται σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο ορίζεται το διάγραμμα trellis του συνελικτικού κωδικοποιητή, με τη βοήθεια της συνάρτησης poly2trellis, και στη συνέχεια γίνεται η κωδικοποίηση της ακολουθίας εισόδου με τη χρήση της συνάρτησης convenc (Πέρασμα των δυαδικών ψηφίων εισόδου μέσα από το διάγραμμα trellis και λήψη των δυαδικών ψηφίων εξόδου). 5.3 Διαμόρφωση των δεδομένων Για να μπορέσουν τα δεδομένα να μεταδοθούν μέσω του καναλιού θα πρέπει να γίνει και η κατάλληλη διαμόρφωσή τους. Χρησιμοποιούνται τρεις διαμορφώσεις, η διαμόρφωση BPSK (Binary Phase Shift keying), η διαμόρφωση QPSK (Quadrature Phase Shift keying) και η διαμόρφωση QAM (Quadrature Amplitude Modulation). Μία από τις πιο απλές ψηφιακές διαμορφώσεις είναι η BPSK, στην οποία η φάση ενός σήματος αναφοράς, σταθερού πλάτους, μεταβάλλεται μεταξύ 0 και 180 μοιρών. 39

56 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Σε ένα I, Q διάγραμμα, η I κατάσταση μπορεί να πάρει δύο τιμές, +1 και -1, ενώ η Q κατάσταση έχει μηδενική τιμή, και έτσι, μπορεί να αντιστοιχιστεί το δυαδικό ψηφίο 1 στο +1 και το δυαδικό ψηφίο 0 στο -1 όπως φαίνεται στο σχήμα 5.3. Η συνάρτηση μεταφοράς για την αντιστοίχηση των ψηφίων είναι η y=2x-1. Ο ρυθμός μετάδοσης συμβόλων είναι ένα δυαδικό ψηφίο ανά σύμβολο. Σχήμα 5. 3: Διαμόρφωση BPSK. Ένα δυαδικό ψηφίο ανά σύμβολο Άλλος τύπος διαμόρφωσης της φάσης είναι η διαμόρφωση QPSK, στην οποία η φάση του σήματος αναφοράς, σταθερού πλάτους, μπορεί να μεταβάλλεται σε 4 καταστάσεις που διαφέρουν μεταξύ τους κατά 90 μοίρες. Η φάση του σήματος μπορεί να είναι μία από τις 45, 135, -45 και -135 μοίρες. Σε ένα I, Q διάγραμμα, η I κατάσταση μπορεί να πάρει δύο τιμές, και η κατάσταση Q άλλες δύο τιμές. Για τη δημιουργία των 4 καταστάσεων χρειαζόμαστε 2 δυαδικά ψηφία, όπως φαίνεται και στο σχήμα 5.4. Έτσι, ο ρυθμός μετάδοσης συμβόλων είναι 2 δυαδικά ψηφία ανά σύμβολο. Η διαμόρφωση QPSK χρειάζεται λιγότερο εύρος ζώνης μετάδοσης και μάλιστα χρειάζεται το μισό εύρος ζώνης σε σχέση με τη διαμόρφωση BPSK. 40

57 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος QPSK Σχήμα 5. 4: Διαμόρφωση QPSK. Δύο δυαδικά ψηφία ανά σύμβολο Στη διαμόρφωση QAM μεταδίδονται δύο ξεχωριστά κανάλια πληροφορίας. Η φέρουσα μετατοπίζεται έτσι ώστε να δημιουργηθούν δύο νέες φέρουσες, ένα ημίτονο και ένα συνημίτονο. Σε κάθε ένα από τα ημίτονα και συνημίτονα μεταβάλλεται το πλάτος του σήματος. Το αλφάβητο ενός QAM σήματος σε ένα I,Q διάγραμμα είναι a+j*b, όπου a,b={, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, }. Το σύνολο των δυνατών συνδυασμών του πλάτους του σήματος στο I,Q διάγραμμα είναι ένα σύνολο σημείων που ορίζει ο αστερισμός QAM. Τα σημεία του αστερισμού βρίσκονται τοποθετημένα συμμετρικά στο μιγαδικό επίπεδο. Στην περίπτωση της διαμόρφωσης 4-QAM κάθε σύμβολο αποτελείται από 2 δυαδικά ψηφία και υπάρχουν 4 σημεία του αστερισμού. Στην περίπτωση της 16-QAM διαμόρφωσης κάθε σύμβολο αποτελείται από τέσσερα δυαδικά ψηφία και υπάρχουν 16 σημεία του αστερισμού, ενώ στην περίπτωση της 64 - QAM διαμόρφωσης κάθε σύμβολο αποτελείται από 6 δυαδικά ψηφία και υπάρχουν 64 σημεία του αστερισμού. Όσο αυξάνονται τα δυαδικά ψηφία του κάθε συμβόλου τόσο περισσότερο μειώνεται και το απαραίτητο bandwidth για την αποστολή της ίδιας πληροφορίας. Στα σχήματα 5.5, 5.6 και 5.7 φαίνονται οι διαμορφώσεις 4 QAM, 16 QAM και 64 QAM αντίστοιχα. Η κωδικοποίηση των σημείων γίνεται με τη χρήση gray κώδικα ο οποίος παρουσιάζει καλύτερη απόδοση. 41

58 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Σχήμα 5. 5: Διαμόρφωση 4 QAM. Δύο δυαδικά ψηφία ανά σύμβολο I 16 - QAM gray code Q Σχήμα 5. 6: Διαμόρφωση 16 QAM. Τέσσερα δυαδικά ψηφία ανά σύμβολο 42

59 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος I 64 - QAM gray code Q Σχήμα 5. 7: Διαμόρφωση 64 QAM. Έξι δυαδικά ψηφία ανά σύμβολο 5.4 Μέσο Μετάδοσης (Κανάλι) - Προσθήκη θορύβου Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η μετάδοση της πληροφορίας γίνεται μέσα από ένα κανάλι. Το κανάλι που χρησιμοποιείται στη διπλωματική εργασία είναι το Gaussian κανάλι. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων με την περίπτωση ενός ιδανικού καναλιού. Η σύγκριση αυτή είναι απαραίτητη για να μπορέσει να γίνει κατανοητή η επίδραση των διαφόρων παραγόντων στη διαδικασία 43

60 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης της πληροφορίας που πρέπει να μεταδοθεί μέσα από το κάθε κανάλι. Gaussian Κανάλι Το μοντέλο του Gaussian καναλιού παίρνει ως είσοδο ένα διακριτό αλφάβητο και παράγει ως έξοδο ένα συνεχές αλφάβητο που κυμαίνεται στο διάστημα (-, + ). Το κανάλι προσθέτει θόρυβο στα σύμβολα. Ο θόρυβος που προστίθεται θεωρείται ότι είναι λευκός προσθετικός, με μέση τιμή μηδέν και διακύμανση (variance) σ 2. Επίσης, το κανάλι θεωρείται ότι είναι χωρίς μνήμη, πράγμα που σημαίνει ότι η κάθε έξοδος εξαρτάται μόνο από την αντίστοιχη είσοδο και όχι από τιμές προηγούμενων χρονικών στιγμών. Στη MATLAB η δημιουργία του παραπάνω καναλιού και η προσθήκη θορύβου γίνεται με τη βοήθεια της συνάρτησης awgn. Η προσθήκη του θορύβου γίνεται με τη δημιουργία τυχαίων Gaussian αριθμών, με την κανονικοποίηση τους στο ζητούμενο λόγο, Ενέργειας Συμβόλου προς την πυκνότητα του θορύβου, E s /N 0, και τέλος με την προσθήκη των κανονικοποιημένων αριθμών στις τιμές των συμβόλων που πρόκειται να μεταδοθούν. Η συνάρτηση awgn παίρνει ως είσοδο, το διάνυσμα που πρόκειται να μεταδοθεί και έναν αριθμό (SNR) ο οποίος προσδιορίζει την αναλογία ισχύος του σήματος ως προς θόρυβο για κάθε δείγμα. Το SNR μετριέται σε db. Η ισχύς του σήματος θεωρείται ότι είναι 0dB. Στο σημείο αυτό παρουσιάζεται η σχέση μεταξύ του SNR και του E b /N 0, που είναι ο λόγος της ενέργειας ενός δυαδικού ψηφίου προς την πυκνότητα του φάσματος ισχύος του θορύβου. Το E b /N 0 χρησιμοποιείται από το BERTool για τον υπολογισμό των θεωρητικών ορίων στις εξομοιώσεις. Σύμφωνα με το [6], η σχέση μεταξύ του E s /N 0 και του E b /N 0 εκφρασμένα σε db είναι η εξής: E N 0 E b (db) = (db) 10log10 (k) (1) N s + 0 όπου E s /N 0 είναι ο λόγος της ενέργειας του συμβόλου προς την πυκνότητα του φάσματος ισχύος του θορύβου και k είναι ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων κάθε συμβόλου που περιέχουν πληροφορία. Η σχέση μεταξύ του E s /N 0 και του SNR εκφρασμένα σε db εξαρτάται από το σήμα εισόδου. Έτσι, για σήματα που περιέχουν πραγματικές τιμές, η σχέση είναι η εξής: 44

61 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος E N s 0 Tsym (db) = 10log10 (2 ) + SNR (db) (2) T samp ενώ για σήματα με μιγαδικές τιμές η σχέση είναι η παρακάτω: E N s 0 Tsym (db) = 10log10 ( ) + SNR (db) (3) T samp T sym είναι η περίοδος του συμβόλου του σήματος και T samp είναι η περίοδος δειγματοληψίας του σήματος Σχέση μεταξύ SNR και E b /N 0 για κωδικοποιητή (1,2) και διαμόρφωση BPSK Ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που περιέχουν πληροφορία σε κάθε σύμβολο (k) είναι το γινόμενο του ρυθμού του κώδικα (1/2) με τον αριθμό των κωδικοποιημένων δυαδικών ψηφίων σε κάθε διαμορφούμενο σύμβολο (log 2 2). k= ½ * log 2 2= ½ * 1= ½ Es E b 1 Η σχέση (1) γίνεται: (db) = (db) + 10log10 ( ) N N 2 E N 0 E b Es E b (db) = (db) 10*(-0,301) (db) = (db) - 3,01 (4) N N N s Λόγω της διαμόρφωσης BPSK και του ρυθμού του κώδικα η συχνότητα δειγματοληψίας είναι διπλάσια από την περίοδο του συμβόλου και άρα T samp = 2* T sym. E T s sym Η σχέση (2) γίνεται (db) = 10log10 (2 ) + SNR (db) N 2 T E N 0 0 Es (db) = 10log10 (1) SNR (db) (db) = 10 *0 + SNR (db) N s + Es (db) = SNR (db) (5) N 0 0 sym 45

62 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος E b Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει ότι SNR (db) = (db) - 3,01 ή N E N 0 (db) = SNR (db) 3,01 (6) b Σχέση μεταξύ SNR και E b /N 0 για κωδικοποιητή (1,2) και διαμόρφωση QPSK 0 Ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που περιέχουν πληροφορία σε κάθε σύμβολο (k) είναι το γινόμενο του ρυθμού του κώδικα (1/2) με τον αριθμό των κωδικοποιημένων δυαδικών ψηφίων σε κάθε διαμορφούμενο σύμβολο (log 2 4). k= ½ * log 2 4= ½ * 2= 1 Es E b E s E b Η σχέση (1) γίνεται: (db) = (db) + 10log10 (1) (db) = (db) + 10* 0 N N N N Es E b (db) = (db) (7) N N 0 0 Στη διαμόρφωση QPSK k=2 δυαδικά ψηφία προσδιορίζουν ένα αλφάβητο Μ=4 συμβόλων. Κάθε ένα από τα σύμβολα αυτά μεταδίδεται σε χρόνο T s που είναι η περίοδος μετάδοσης του συμβόλου. Ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων δίνεται από τη σχέση: k R = bits/sec (8) T s 1 Ts Η διάρκεια μετάδοσης του κάθε συμβόλου T b είναι Tb = = (9) R k Άρα, από τις σχέσεις (8) και (9) προκύπτει ότι T s = 2 T b. Επειδή, η περίοδος δειγματοληψίας ταυτίζεται με την περίοδο ενός δυαδικού ψηφίου T sym = 2 * T samp και η σχέση (3) γίνεται E N E N 0 E N s 0 2 *Tsamp (db) = 10log10 ( ) + SNR (db) T Es (db) = 10log10 (2) SNR (db) (db) = 10 *0,301+ SNR (db) N s + (db) = 3,01 SNR (db) (10) s samp 46

63 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος E b Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7) και (10) προκύπτει ότι SNR (db) = (db) - 3,01 ή N E N 0 (db) = SNR (db) 3,01. b + Η διαπίστωση της ισότητας των τιμών E b /N 0 για τις διαμορφώσεις BPSK και QPSK μπορεί να βρεθεί και από το γεγονός ότι η διαμόρφωση QPSK είναι στην ουσία ένας συνδυασμός 2 BPSK σημάτων τα οποία μεταδίδονται σε ορθογώνιες συνιστώσες του σήματος αναφοράς και δεν παρεμβάλλονται το ένα στο άλλο. Για την ίδια τιμή του E b /N 0 η QPSK διαμόρφωση έχει αποδοτικότητα ως προς το εύρος ζώνης 2bits/s/Hz ενώ η BPSK διαμόρφωση έχει 1bit/s/Hz [3] Σχέση μεταξύ SNR και E b /N 0 για κωδικοποιητή (1,2) και διαμόρφωση QAM Έστω Μ ο αριθμός των συμβόλων της διαμόρφωσης QAM. Ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που περιέχουν πληροφορία σε κάθε σύμβολο (k) είναι το γινόμενο του ρυθμού του κώδικα (1/2) με τον αριθμό των κωδικοποιημένων δυαδικών ψηφίων σε κάθε διαμορφούμενο σύμβολο (log 2 Μ). k= ½ * log 2 Μ Es E b 1 Η σχέση (1) γίνεται: (db) = (db) + 10log10 ( log 2M) (11) N N Στην διαμόρφωση QAM k= log 2 Μ δυαδικά ψηφία προσδιορίζουν ένα αλφάβητο Μ συμβόλων. Κάθε ένα από τα σύμβολα αυτά μεταδίδεται σε χρόνο T s που είναι η περίοδος μετάδοσης του συμβόλου. Ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων δίνεται από τη σχέση: k R = bits/sec (12) T s 1 Ts Η διάρκεια μετάδοσης του κάθε συμβόλου T b είναι Tb = = (13) R k Άρα, από τις σχέσεις (12) και (13) προκύπτει ότι T s = log 2 Μ * T b. 47

64 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Επειδή, η περίοδος δειγματοληψίας ταυτίζεται με την περίοδο ενός δυαδικού ψηφίου T sym = log 2 Μ * T samp και η σχέση (3) γίνεται E N E N s 0 2 *Tsamp (db) = 10log10 ( ) + SNR (db) T samp (db) = 10log (log M) SNR (db) (14) s Συνδυάζοντας τις σχέσεις (11) και (14) προκύπτει ότι E b 1 SNR (db) = (db) + 10log10 ( log 2M) -10log10 (log 2M) N 2 0 E b 1 E b 1 SNR (db) = (db) + 10log10 ( ) (db) = SNR (db) -10log10 ( ) N 2 N 2 E N 0 0 (db) = SNR (db) 3,01 (15) b + 0 Στην περίπτωση που χρησιμοποιείται ένας (1,2) κωδικοποιητής και οποιαδήποτε διαμόρφωση QAM, η σχέση μεταξύ του E b /N 0 και του SNR είναι σταθερή και δίνεται από τη σχέση (15). 5.5 Κβαντισμός των δεδομένων Ένας ιδανικός αποκωδικοποιητής (Viterbi, SOVA) θα δούλευε χρησιμοποιώντας αριθμούς και πράξεις με άπειρη ακρίβεια. Στην πράξη, όμως, πρέπει να γίνει στο δέκτη κβαντισμός των λαμβανόμενων συμβόλων με ένα ή περισσότερα δυαδικά ψηφία. Στην περίπτωση που τα λαμβανόμενα σύμβολα κβαντοποιηθούν με ένα δυαδικό ψηφίο έχουμε hard απόφαση για τα δεδομένα. Αν ο κβαντισμός των δεδομένων γίνει με περισσότερα του ενός δυαδικά ψηφία, τότε έχουμε soft απόφαση για τα δεδομένα. Και για τους δύο αλγόριθμους έχει γίνει κβαντισμός των λαμβανόμενων συμβόλων με περισσότερα του ενός δυαδικά ψηφία. Επίσης, έχει γίνει κβαντισμός και στα ενδιάμεσα στάδια των αλγορίθμων και βρέθηκαν τα ιδανικά μήκη λέξης για κάθε αλγόριθμο, σε συνάρτηση βέβαια με το περιβάλλον όπου πρόκειται να χρησιμοποιηθούν. Πριν ξεκινήσει οποιαδήποτε διαδικασία 48

65 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος αποκωδικοποίησης πρέπει να γίνει κβαντισμός των δεδομένων που λαμβάνει ο δέκτης. Αν ο κβαντισμός γίνει με λιγότερα δυαδικά ψηφία από το βέλτιστο οδηγεί σε σφάλματα που οποιοσδήποτε αλγόριθμος δυσκολεύεται ή αδυνατεί να διορθώσει. Αν ο κβαντισμός γίνει με περισσότερα δυαδικά ψηφία οδηγεί σε μεγαλύτερο overhead του συστήματος, περισσότερες καθυστερήσεις, χωρίς ουσιαστικό κέρδος όσον αφορά το τελικό αποτέλεσμα. Από τη θεωρία [2] είναι γνωστό ότι όταν οι τιμές κυμαίνονται γύρω από το μηδέν, η γκαουσιανή κατανομή δίνει ελάχιστη τιμή το - και μέγιστη τιμή το +. Ωστόσο, πρακτικά οι τιμές περιορίζονται στο διάστημα [-3*σ, +3*σ]. Στην περίπτωση όπου γίνεται χρήση της διαμόρφωσης BPSK γίνεται αντιστοίχηση των δυαδικών ψηφίων στα σύμβολα -1 και +1. Άρα η γκαουσιανή κατανομή με επίκεντρο την τιμή -1 θα περιορίζει πρακτικά τις τιμές στο διάστημα [-3*σ-1, +3*σ-1] ενώ η γκαουσιανή κατανομή με επίκεντρο την τιμή +1 θα περιορίζει πρακτικά τις τιμές στο διάστημα [-3*σ+1, +3*σ+1]. Συνολικά, οι τιμές που λαμβάνει ο δέκτης θα πρέπει να κυμαίνονται από [-3*σ-1, +3*σ+1], χωρίς να σημαίνει ότι δεν υπάρχει πιθανότητα να βρίσκονται έξω από το διάστημα αυτό. Η απόκλιση σ εξαρτάται κάθε φορά από την τιμή του SNR και για το λόγο αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη το κανάλι στο οποίο πρόκειται να χρησιμοποιηθεί ο αποκωδικοποιητής Gaussiani Κατ ανομή στ α σημεία -1 και +1 N(-1,1) N(+1,1) Σχήμα 5. 8: Γκαουσιανή κατανομή στα σημεία -1 και +1 με σ=1 49

66 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Στο σχήμα 5.8 φαίνονται οι γκαουσιανές κατανομές στα σημεία -1 και +1 με απόκλιση σ=1 (deviation). Πρέπει να σημειωθεί ότι η επιλογή των επιπέδων κβαντισμού (quantizing levels) είναι μια πολύ σημαντική σχεδιαστική απόφαση που μπορεί να έχει σημαντική επίδραση στην απόδοση των αλγορίθμων. 5.6 Αποκωδικοποίηση των δεδομένων Η αποκωδικοποίηση των δεδομένων γίνεται με τη χρήση των εξής δύο αλγορίθμων: Viterbi και SOVA. Η αποκωδικοποίηση κάθε δυαδικού ψηφίου καθυστερεί σε σχέση με την είσοδο του στον αποκωδικοποιητή, 5*L χρονικές στιγμές. Το χρονικό διάστημα αυτό θεωρείται αρκετό για να επιτευχθεί σύγκλιση όλων των μονοπατιών που ξεκινούν τη χρονική στιγμή t, στον ίδιο κόμβο της χρονικής στιγμής t-5*l. Στη βιβλιογραφία, οι μελέτες έχουν δείξει ότι η σύγκλιση στον ίδιο κόμβο πραγματοποιείται μετά το πέρασμα 5*L χρονικών στιγμών, με ελάχιστες διαφοροποιήσεις σε σχέση το πέρασμα 6*L χρονικών στιγμών. Για την επίτευξη ακριβέστερων αποτελεσμάτων, σε όλες τις γραφικές παραστάσεις θεωρείται ότι η σύγκλιση των μονοπατιών επιτυγχάνεται μετά το πέρασμα 6*L χρονικών στιγμών. Σε πολλές από τις γραφικές παραστάσεις για την καλύτερη σύγκριση των αποτελεσμάτων φαίνεται και η απόδοση του αλγορίθμου Viterbi της MATLAB. Ο αποκωδικοποιητής Viterbi της MATLAB καλείται με τη συνάρτηση vitdec και παρέχει τη δυνατότητα για αποκωδικοποίηση soft και hard τιμών Αλγόριθμος Viterbi Κατά τη διάρκεια της λειτουργίας του αλγορίθμου πρέπει να αποθηκεύεται μια σημαντική ποσότητα πληροφορίας και για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται οι παρακάτω πίνακες που φαίνονται στον πίνακα 5.1. Όπου tb=6*l. Στους πίνακες αυτούς γίνεται πρόσθεση μιας επιπλέον θέσης για να συμπεριληφθούν και οι αρχικοποιήσεις που υπάρχουν τη χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή τη στιγμή πριν ξεκινήσει η διαδικασία της αποκωδικοποίησης. 50

67 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Πίνακες Μέγεθος Πληροφορία που αποθηκεύεται Αποθήκευση των branch metrics branch_table_forward_input_0 2 L-1 * (tb+1) που προκαλούνται με είσοδο δυαδικού ψηφίου μηδέν Αποθήκευση των branch metrics branch_table_forward_input_1 2 L-1 * (tb+1) που προκαλούνται με είσοδο δυαδικού ψηφίου ένα path_table_forward 1 * (tb+1) Αποθήκευση της επικρατέστερης τιμής path metric για κάθε χρονική στιγμή Αποθήκευση του κόμβου history_table_forward 1 * (tb+1) προέλευσης του κόμβου με το μικρότερο path metric state_sequence_forward 1 * (tb+1) Αποθήκευση της τελικής αποκωδικοποιημένης ακολουθία Πίνακας 5. 1: Απαιτήσεις σε αποθηκευτικό χώρο του αλγορίθμου Viterbi Για την αποκωδικοποίηση ενός δυαδικού ψηφίου χρειάζονται δυο δυαδικά ψηφία αφού οι κωδικοποιητές χρησιμοποιούνε (1,2) κωδικοποίηση. Στην περίπτωση της διαμόρφωσης BPSK χρειάζονται δύο σύμβολα εισόδου (Κάθε σύμβολο αντιστοιχεί και σε ένα δυαδικό ψηφίο) ενώ στην περίπτωση της QPSK διαμόρφωσης χρειάζεται μόνο ένα σύμβολο (Κάθε σύμβολο αντιστοιχεί σε δύο δυαδικά ψηφία). Η αποκωδικοποίηση του πρώτου δυαδικού ψηφίου γίνεται μετά από 6*L χρονικές στιγμές. Μέχρι τότε ο αλγόριθμος δεν βγάζει καμία έξοδο. Υπολογίζει τα ενδιάμεσα αποτελέσματα. (Branch και path metrics). Μετά το πέρας των πρώτων 6*L χρονικών στιγμών, σε κάθε χρονική στιγμή υπολογίζονται όλες οι απαραίτητες ενδιάμεσες τιμές και εξάγεται και ένα αποκωδικοποιημένο δυαδικό ψηφίο. Τα περιεχόμενα των πινάκων μετατοπίζονται κατά μία θέση σε κάθε χρονική στιγμή. Η πιο παλιά τιμή χάνεται και προστίθεται μια καινούργια στη σωστή θέση. Με τη λήψη και του τελευταίου συμβόλου από τον αποκωδικοποιητή, και αφού περάσουν 6*L χρονικές στιγμές, αποκωδικοποιείται ολόκληρη η ακολουθία. 51

68 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Υπολογισμός των branch metrics Ένας τρόπος υπολογισμού των branch metric είναι με τη βοήθεια του κώδικα Hamming. Στην περίπτωση αυτή ο αλγόριθμος Viterbi δίνει hard απόφαση για τα αποτελέσματα. Για καλύτερη απόδοση χρησιμοποιήθηκε soft απόφαση και για τον αλγόριθμο Viterbi. Τα branch metric υπολογίζονται παίρνοντας την απόλυτη τιμή της διαφοράς, της λαμβανόμενης τιμής, από τις δύο τιμές που θα έπρεπε να είχαν ληφθεί (μία από τις δύο) αν δεν προέκυπταν λάθη κατά τη μετάδοση. Σχήμα 5. 9: Υπολογισμός branch metrics Η λαμβανόμενη τιμή είναι ένας πραγματικός αριθμός και τα branch metrics είναι οι αριθμοί z-(-1) και z-(+1) όπως φαίνεται και στο σχήμα 5.5. Στην ουσία, όσο πιο κοντά είναι το x σε μία από τις δύο τιμές τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα να έχει μεταδοθεί εκείνη η τιμή Υπολογισμός των path metrics. Οι τιμές των path metrics είναι το άθροισμα όλων των branch metrics από τη χρονική στιγμή 0 μέχρι την τωρινή. Σε κάθε χρονική στιγμή, και σε κάθε κόμβο γίνεται άθροιση της τιμής path metric του προηγούμενου κόμβου και της τιμής branch metric για τη μετάβαση από τον προηγούμενο κόμβο στον τωρινό. Επειδή, σε κάθε κόμβο μπορεί να γίνει μετάβαση από δύο διαφορετικούς προηγούμενους κόμβους, υπολογίζονται δύο καινούργιες τιμές path metrics και αποθηκεύεται η μικρότερη τιμή από αυτές. Η διαδικασία αυτή υλοποιείται από την υπομονάδα Add Compare Select (ACS Unit). 52

69 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Προς τα πίσω υπολογισμός Από τη στιγμή που υπολογίζονται οι τιμές branch metrics και path metrics για τη χρονική στιγμή t, μπορεί να ξεκινήσει η διαδικασία για την αποκωδικοποίηση του δυαδικού ψηφίου που ήρθε πριν από 6*L χρονικές στιγμές. Αυτό γίνεται με την μονάδα trace back, όπου γίνεται διάσχιση του μονοπατιού προς τα πίσω και εξάγεται το αποκωδικοποιημένο δυαδικό ψηφίο. Παράλληλα με τη λειτουργία trace back υπολογίζονται τα branch metric και path metric της επόμενης χρονικής στιγμής Αλγόριθμος SOVA Ο αλγόριθμος SOVA υπολογίζει soft τιμές, με μια διαδικασία παρόμοια με αυτή του αλγορίθμου Viterbi. Αποτελείται από τρία στάδια, τα δύο από τα οποία είναι ίδια με αυτά του αλγορίθμου Viterbi. Έχει μεγαλύτερη απαίτηση σε αποθηκευτικό χώρο και κατά τη διάρκεια της αποκωδικοποίησης χρησιμοποιούνται οι πίνακες που φαίνονται στον πίνακα 5.2. Όπου tb=6*l. Στους παραπάνω πίνακες γίνεται πρόσθεση μιας επιπλέον θέσης για να συμπεριληφθούν και οι αρχικοποιήσεις που υπάρχουν την χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή τη στιγμή πριν ξεκινήσει η διαδικασία της αποκωδικοποίησης. Για την αποκωδικοποίηση ενός δυαδικού ψηφίου χρειάζονται δυο δυαδικά ψηφία αφού οι κωδικοποιητές χρησιμοποιούν (1,2) κωδικοποίηση. Στην περίπτωση της διαμόρφωσης BPSK χρειάζονται δύο σύμβολα εισόδου (Κάθε σύμβολο αντιστοιχεί και σε ένα δυαδικό ψηφίο) ενώ στην περίπτωση της διαμόρφωσης QPSK χρειάζεται μόνο ένα σύμβολο (Κάθε σύμβολο αντιστοιχεί σε δύο δυαδικά ψηφία). Η αποκωδικοποίηση του πρώτου δυαδικού ψηφίου γίνεται μετά από 6*L χρονικές στιγμές. Μέχρι τότε ο αλγόριθμος δεν βγάζει καμία έξοδο. Υπολογίζει τα ενδιάμεσα αποτελέσματα. (Branch και path metrics). Μετά το πέρας των πρώτων 6*L χρονικών στιγμών, σε κάθε χρονική στιγμή υπολογίζονται όλες οι απαραίτητες ενδιάμεσες τιμές και εξάγεται και ένα αποκωδικοποιημένο δυαδικό ψηφίο. Τα περιεχόμενα των πινάκων μετατοπίζονται 53

70 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος κατά μία θέση σε κάθε χρονική στιγμή. Η πιο παλιά τιμή χάνεται και προστίθεται μια καινούργια στη σωστή θέση. Πίνακες Μέγεθος Πληροφορία που αποθηκεύεται Αποθήκευση των branch metrics branch_table_forward_input_0 2 L-1 * (tb+1) που προκαλούνται με είσοδο δυαδικού ψηφίου μηδέν Αποθήκευση των branch metrics branch_table_forward_input_1 2 L-1 * (tb+1) που προκαλούνται με είσοδο δυαδικού ψηφίου ένα path_table_forward 1 * (tb+1) Αποθήκευση της επικρατέστερης τιμής path metric για κάθε χρονική στιγμή Αποθήκευση του κόμβου history_table_forward 1 * (tb+1) προέλευσης του κόμβου με το μικρότερο path metric state_sequence_forward 1 * (tb+1) Αποθήκευση της τελικής αποκωδικοποιημένης ακολουθία Αποθήκευση των branch metrics branch_table_backard_input_0 2 L-1 * (tb+1) που προκαλούνται με είσοδο δυαδικού ψηφίου μηδέν Αποθήκευση των branch metrics branch_table_backard_input_1 2 L-1 * (tb+1) που προκαλούνται με είσοδο δυαδικού ψηφίου ένα path_table_backward 1 * (tb+1) Αποθήκευση της επικρατέστερης τιμής path metric για κάθε χρονική στιγμή Αποθήκευση του κόμβου history_table_backward 1 * (tb+1) προέλευσης του κόμβου με το μικρότερο path metric state_sequence_backward 1 * (tb+1) Αποθήκευση της τελικής αποκωδικοποιημένης ακολουθία Πίνακας 5. 2: Απαιτήσεις σε αποθηκευτικό χώρο του αλγορίθμου SOVA Με τη λήψη και του τελευταίου συμβόλου από τον αποκωδικοποιητή, και αφού περάσουν 6*L χρονικές στιγμές, έχει αποκωδικοποιηθεί ολόκληρη η ακολουθία. Ο υπολογισμός των branch metrics και των path metrics είναι ακριβώς ίδιος με αυτόν του αλγορίθμου Viterbi. Έτσι, σε κάθε χρονική στιγμή γίνονται ακριβώς οι ίδιοι υπολογισμοί με τον αλγόριθμο Viterbi. Επιπλέον, γίνεται μια προς τα πίσω αναδρομή 54

71 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος που διαρκεί 6*tb χρονικές στιγμές υπολογίζοντας ένα ανταγωνιστικό μονοπάτι σε σχέση με το ελάχιστο μονοπάτι που υπάρχει μέχρι εκείνη τη στιγμή. Το ανταγωνιστικό μονοπάτι υπολογίζεται με μια διαδικασία ίδια με αυτή του αλγορίθμου Viterbi και το μόνο που αλλάζει είναι η φορά του μονοπατιού που πηγαίνει πλέον από το τέλος προς την αρχή. Στη συνέχεια, το τρίτο στάδιο συγκρίνει τα δύο μονοπάτια και υπολογίζει μια διαφορά αθροισμάτων που είναι ένας πραγματικός αριθμός, είτε θετικός είτε αρνητικός. Όσο πιο μακριά από το μηδέν βρίσκεται η τιμή αυτή, τόσο μεγαλύτερη βεβαιότητα για ψηφίο που μεταδόθηκε υπάρχει, όπως φαίνεται και στο σχήμα Αν η τιμή είναι μικρότερη του μηδενός τότε έχει μεταδοθεί το ψηφίο 0 ενώ αν είναι μεγαλύτερη του μηδενός έχει μεταδοθεί το ψηφίο 1. y Μεγαλύτερη απόσταση από το 0 => αύξηση της βεβαιώτητας για -1 Μεγαλύτερη απόσταση από το 0 => αύξηση της βεβαιώτητας για 1 x Σχήμα 5. 10: Αντιστοίχιση πραγματικών τιμών του αλγορίθμου SOVA σε 0 και Επιδόσεις αλγορίθμων αποκωδικοποίησης Για τη σύγκριση των αλγορίθμων και τον υπολογισμό των επιδόσεων τους, υπολογίζεται το BER των αλγορίθμων. Για τον υπολογισμό του BER συγκρίνεται η αρχική ακολουθία με την αποκωδικοποιημένη ακολουθία και μετριέται ο αριθμός των λαθών. Η διαδικασία της κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης για κάθε E b /N 0 συνεχίζεται μέχρι να επιτευχθεί ένας συγκεκριμένος αριθμός λαθών, ο οποίος δίνεται ως είσοδος στο πρόγραμμα. Όταν επιτευχθεί ο ζητούμενος αριθμός λαθών το BER για κάθε E b /N 0 βρίσκεται διαιρώντας τον αριθμό των λαθών με το πλήθος των δυαδικών ψηφίων που μεταδόθηκαν. Σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου γίνεται αποστολή 1000 δυαδικών ψηφίων συν κάποια μηδενικά (6*L) για να οδηγήσουν τον 55

72 Κεφάλαιο 5 Υλοποίηση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος αποκωδικοποιητή στη μηδενική κατάσταση, τα οποία όμως δεν λαμβάνονται υπόψη στον υπολογισμό του BER. 56

73 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 6.1 Κωδικοποιητής (1,2) με Μήκος Περιορισμού L=3 και διαμόρφωση BPSK Στον πίνακα 6.1 φαίνονται τα χαρακτηριστικά της εξομοίωσης. Διαμόρφωση BPSK Κωδικοποιητής trellis=poly2trellis(3,[7 5],7); Κανάλι AWGN Ελάχιστος αριθμός λαθών 500 Ελάχιστος αριθμός επαναλήψεων 100 Μέγεθος αποστελλόμενου μηνύματος 1000 Πίνακας 6. 1: Χαρακτηριστικά της Εξομοίωσης του αλγορίθμου Viterbi 57

74 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Η απόδοση του Viterbi αλγορίθμου (BER) για διάφορα E b /N 0, χωρίς κβαντισμό, χρησιμοποιώντας την ακρίβεια της MATLAB για όλες τις πράξεις φαίνεται στη γραφική παράσταση 6.1. Στην ίδια γραφική φαίνεται και το θεωρητικό όριο για soft αποτελέσματα του αλγορίθμου, καθώς και το BER αν χρησιμοποιηθεί ο αλγόριθμος Viterbi της MATLAB (vitdec) για την αποκωδικοποίηση. Για τον αλγόριθμο Viterbi της MATLAB έχει χρησιμοποιηθεί η παράμετρος για soft τιμές. Το θεωρητικό όριο υπολογίζεται με τη χρήση της συνάρτησης bercoding, δίνοντας τις κατάλληλες παραμέτρους. Στις επόμενες γραφικές παραστάσεις το θεωρητικό όριο παραλείπεται και για να υπάρχει μέτρο σύγκρισης θα φαίνεται κάθε φορά το BER που προκύπτει με τη χρήση της ακρίβειας της MATLAB για όλες τις πράξεις VITERBI - Number of Errors: 2000 Viterbi Matlab Viterbi Theoretical Bound Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 1: BER με ακρίβεια της MATLAB Κβάντιση στο δέκτη Για την υλοποίηση του αποκωδικοποιητή, η πρώτη σχεδιαστική απόφαση αφορά την κβάντιση των δεδομένων στο δέκτη. Πρέπει να αποφασιστεί ποιο είναι το ιδανικό 58

75 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi μήκος λέξης για την κβάντιση των λαμβανόμενων δεδομένων στα οποία έχει προστεθεί και θόρυβος. Έχει ήδη βρεθεί θεωρητικά ότι η πλειοψηφία των τιμών των δεδομένων θα πρέπει να κυμαίνεται στο διάστημα [-3*σ-1, +3*σ+1]. Το σ όμως SNR 10 εξαρτάται από την τιμή του SNR σύμφωνα με τη σχέση σ = 10 και έτσι το παραπάνω διάστημα είναι διαφορετικό για διαφορετικά SNR. Ένα αποκωδικοποιητής θα ήταν χρήσιμο να μπορεί να εργάζεται εξίσου καλά για μια μεγάλη γκάμα διαφορετικών καναλιών. Για την επιβεβαίωση των θεωρητικών αποτελεσμάτων γίνανε εξομοιώσεις για διάφορες τιμές του E b /N 0 οι οποίες δείχνουν την κατανομή των τιμών που λαμβάνει ο δέκτης. Η κατανομή των τιμών έγινε βάζοντας θόρυβο σε μπλοκ των 1000 δυαδικών ψηφίων. Για την καλύτερη κατανομή των τιμών για κάθε E b /N 0 πραγματοποιήθηκαν 1000 επαναλήψεις. Τα αποτελέσματα των κατανομών για E b /N 0 ίσο με 0, 1, 2 και 7 φαίνονται στα σχήματα 6.1, 6.2, 6.3 και 6.4 αντίστοιχα. 9 x E b /N 0 =0 7 Number of bits transmitted Σχήμα 6. 1: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών μετά την προσθήκη θορύβου για E b /N 0 =0 59

76 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 10 x E b /N 0 =1 8 Number of bits transmitted Σχήμα 6. 2: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών μετά την προσθήκη θορύβου για E b /N 0 =1 10 x E b /N 0 =2 8 Number of bits transmitted Σχήμα 6. 3: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών μετά την προσθήκη θορύβου για E b /N 0 =2 60

77 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 14 x 104 E b /N 0 =7 12 Number of bits transmitted Σχήμα 6. 4: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών μετά την προσθήκη θορύβου για E b /N 0 = YDULDQFH PD[ PLQ PD[ PLQ 4 variance s E /N b 0 Σχήμα 6. 5: Πειραματικές μέγιστες και ελάχιστες τιμές για διάφορα E b /N 0 61

78 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Από τα παραπάνω σχήματα γίνεται φανερό ότι όσο μικρότερο είναι το E b /N 0 τόσο περισσότερο απομακρύνονται οι τιμές από τα σημεία -1 και +1. Η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που παρατηρήθηκε είναι η και η αντίστοιχα. Στο σχήμα 6.5 φαίνονται οι ελάχιστες και οι μέγιστες τιμές που παραχθήκανε για τιμές E b /N 0 στο διάστημα [0,7]. Επιπλέον, στην ίδια γραφική φαίνονται και τα θεωρητικά όρια [-3*σ-1, +3*σ+1]. Όσο μεγαλώνει η τιμή του E b /N 0 τόσο λιγότερο απομακρύνονται οι τιμές από τα -1 και +1 και η πιθανότητα, τα ψηφία να μεταδοθούν σωστά, αυξάνει. Στη συνέχεια παρουσιάζονται εξομοιώσεις που προκύπτουν θεωρώντας ότι οι τιμές που λαμβάνει ο δέκτης κυμαίνονται στα διαστήματα [-6,+6], [-5,+5], και [-4,+4]. Για κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα γίνεται κβαντισμός στο δέκτη χρησιμοποιώντας 4, 5, 6, 7 και 8 δυαδικά ψηφία ενώ οι υπόλοιπες πράξεις θεωρείται ότι γίνονται με την ακρίβεια της MATLAB. Επίσης στην ίδια γραφική φαίνεται και η απόδοση του αλγορίθμου αν δεν χρησιμοποιηθεί κβάντιση στην είσοδο του δέκτη. Στη γραφική παράσταση 6.2 φαίνεται η απόδοση του αλγορίθμου στο διάστημα [-6,+6], ενώ στις γραφικές 6.3 και 6.4 η απόδοση του αλγορίθμου στα διαστήματα [-5,+5] και [-4,+4]. Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 500- Receiver data range (-6,6) Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 2: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-6,+6] 62

79 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 500- Receiver data range (-5,5) Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 3: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-5,+5] Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 4: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-4,+4] 63

80 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Παρατηρώντας τις γραφικές παραστάσεις 6.2, 6.3 και 6.4 φαίνεται ότι το διάστημα [-4,+4] δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα όσον αφορά το BER ανεξάρτητα από τον αριθμό των δυαδικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται για την κβάντιση των δεδομένων. Η καλύτερη επίδοση που προκύπτει από το διάστημα [-4,+4] είναι λίγο πολύ αναμενόμενη, και αυτό γιατί ελάχιστες είναι οι τιμές που βρίσκονται έξω από τα όρια του διαστήματος. Επίσης, το μικρότερο διάστημα επιτρέπει καλύτερη ακρίβεια, με τον ίδιο αριθμό δυαδικών ψηφίων, σε σχέση με ένα μεγαλύτερο διάστημα. Ωστόσο, η χρήση 7 και 8 δυαδικών ψηφίων αποδίδει το ίδιο καλά σε όλα τα διαστήματα λόγω της καλύτερης αναπαράστασης τον αριθμών. Επιλέγεται το διάστημα [-4,+4] για τη συνέχεια των εξομοιώσεων γιατί δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα και με μικρότερο αριθμό δυαδικών ψηφίων στο δέκτη. Πρέπει να σημειωθεί ότι η επιλογή μικρού αριθμού δυαδικών ψηφίων στη κβάντιση που πραγματοποιείται στο δέκτη μπορεί να εξαφανίσει ανεπιστρεπτί χρήσιμες πληροφορίες που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούνε από τους αλγορίθμους για τη διόρθωση των διαφόρων λαθών. Το επόμενο στάδιο είναι να βρεθεί πόσο επιδρά η κβάντιση στο δέκτη τα επόμενα στάδια του αλγορίθμου και σε τι βαθμό επηρεάζει τη συνολική απόδοση του συστήματος Κβάντιση των Branch Metrics Για την πραγματοποίηση της κβάντισης στις τιμές των branch metrics πρέπει να βρεθεί το εύρος τιμών στις οποίες κυμαίνονται και στη συνέχεια να αποφασιστεί ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που θα χρησιμοποιηθούν. Για το σκοπό αυτό έγιναν εξομοιώσεις, με την ακρίβεια της MATLAB, για διάφορες τιμές του E b /N 0 και με τη βοήθεια ιστογραμμάτων φαίνεται η κατανομή των τιμών των branch metrics. Στα σχήματα 6.6, 6.7, 6.8 και 6.9 φαίνονται τα ιστογράμματα με τις τιμές των branch metrics για την αποστολή 10 4 δυαδικών ψηφίων και E b /N 0 ίσο με 0, 1, 2, και 7 αντίστοιχα. 64

81 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 2 x 104 E b /N 0 = EUDQFKPHWULFV 1.6 Number of branch metrics Σχήμα 6. 6: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 =0 2 x 104 E b /N 0 = EUDQFKPHWULFV 1.6 Number of branch metrics Σχήμα 6. 7: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 =1 65

82 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 2 x 104 E b /N 0 = EUDQFKPHWULFV 1.6 Number of branch metrics Σχήμα 6. 8: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 =2 18 x 104 E b /N 0 = 7 16 EUDQFKPHWULFV 14 Number of branch metrics Σχήμα 6. 9: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 =7 66

83 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Από τα παραπάνω σχήματα γίνεται φανερό ότι όσο μικρότερο είναι το E b /N 0 τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα οι τιμές να βρίσκονται μακριά από τα -1 και +1 και άρα η απόλυτη τιμή των αποστάσεων από αυτά τα σημεία να είναι μεγαλύτερη. Για E b /N 0 = 0 για παράδειγμα υπάρχει ένας μικρός αριθμός τιμών που ξεπερνάει την τιμή 6. Καθώς αυξάνει το E b /N 0 οι αποστάσεις από τα -1 και +1 μικραίνουν με συνέπεια οι απόλυτες τιμές από τα σημεία αυτά να μικραίνουν. Εκτός από τις πειραματικές μετρήσεις που έγιναν, το εύρος τιμών μπορεί να υπολογιστεί και να βρεθεί και θεωρητικά. Από τη στιγμή που είναι γνωστό που κυμαίνονται οι τιμές που λαμβάνει ο δέκτης, τότε από τον ορισμό των branch metrics που είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς της λαμβανόμενης τιμής από τα -1 και +1, (BPSK) μπορεί να βρεθεί πολύ εύκολα που κυμαίνονται οι τιμές των branch metrics. Π.χ. στο σχήμα 6.10 φαίνονται οι τιμές των branch metric για μια τιμή z = Οι τιμές αυτές είναι 4.5 (απόσταση από το -1) και 6.5 (απόσταση από το +1). Σχήμα 6. 10: Αποστάσεις τυχαίας τιμής z από τα -1 και +1 για BPSK διαμόρφωση Για τις τιμές των branch metrics πραγματοποιείται ομοιόμορφη κβάντιση. Σύμφωνα με τις πειραματικές μετρήσεις, το διάστημα στο οποίο κυμαίνονται οι τιμές των branch metrics είναι το [0,6]. Δεδομένου ότι θεωρήθηκε ότι οι τιμές που λαμβάνει ο δέκτης βρίσκονται στο διάστημα [-4,+4], οι τιμές των branch metrics δεν μπορούν να ξεπερνούν την τιμή 5. Αυτό φαίνεται καλύτερα στο σχήμα Συνεπώς για τα branch metrics γίνεται ομοιόμορφη κβάντιση στο διάστημα [0,+5] για να βρεθεί ο ιδανικός απαραίτητος αριθμός δυαδικών ψηφίων για την αναπαράσταση τους. 67

84 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Σχήμα 6. 11: Μέγιστη απόσταση τυχαίας τιμής z από τα -1 και +1 για BPSK διαμόρφωση Οι παρακάτω εξομοιώσεις δείχνουν κβάντιση στο δέκτη 4,5,6,7 και 8 δυαδικών ψηφίων που πραγματοποιούνται στο διάστημα [-4,+4], ενώ η κβάντιση των branch metrics γίνεται στο διάστημα [0,5]. Σε κάθε γραφική παράσταση αλλάζει ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται για τα branch metrics. Όλες οι υπόλοιπες πράξεις θεωρείται ότι γίνονται με την ακρίβεια της MATLAB. Οι εξομοιώσεις των γραφικών παραστάσεων 6.5, 6.6, 6.7, 6.8 και 6.9 δείχνουν την απόδοση του αλγορίθμου χρησιμοποιώντας 4,5,6,7 και 8 δυαδικά ψηφία για τα branch metrics αντίστοιχα, ενώ για την κβάντιση στο δέκτη χρησιμοποιούνται 4, 5, 6, 7 και 8 δυαδικά ψηφία. 68

85 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 4 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 5: Κβάντιση των Branch Metrics με 4 bits Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 5 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 6: Κβάντιση των Branch Metrics με 5 bits 69

86 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 6 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 7: Κβάντιση των Branch Metrics με 6 bits Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 7 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 8: Κβάντιση των Branch Metrics με 7 bits 70

87 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 9: Κβάντιση των Branch Metrics με 8 bits Παρατηρώντας τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις μπορούν να εξαχθούν πολύ χρήσιμα συμπεράσματα. Η χρήση 4 δυαδικών ψηφίων για τα branch metrics εισάγει σημαντικό αριθμό λαθών ακόμα και αν χρησιμοποιηθούν 8 δυαδικά ψηφία για τη λήψη των δεδομένων στο δέκτη. Η κατάσταση βελτιώνεται λίγο με τη χρήση 5 δυαδικών ψηφίων για τα branch metrics και επιτυγχάνεται πολύ καλό BER με τη χρήση 8 ψηφίων στο δέκτη. Η αύξηση των δυαδικών ψηφίων κατά 1 στα branch metrics (6 bits) επιτρέπει τη μείωση κατά 1 δυαδικό ψηφίο στο δέκτη (7 bits) και παρουσιάζει αποτελέσματα παραπλήσια με αυτά της ιδανικής περίπτωσης. Η χρήση 7 και 8 δυαδικών ψηφίων έχει το ίδιο αποτέλεσμα στο BER και σε συνδυασμό με 7 ή 8 ψηφία στο δέκτη επιτυγχάνεται το ιδανικό BER. Πρέπει να σημειωθεί όμως ότι οι υπόλοιπες πράξεις γίνονται με την ακρίβεια της MATLAB και όταν γίνει κβάντιση θα εισαχθεί και από αυτές κάποιο σφάλμα. 71

88 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Κβάντιση των Path Metrics Μέχρι τώρα βρέθηκε ο ιδανικός αριθμός δυαδικών ψηφίων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν στο δέκτη, καθώς και ο ιδανικός αριθμός δυαδικών ψηφίων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση των branch metrics έτσι ώστε να δίνουν όσο το δυνατόν καλύτερα αποτελέσματα για μια μεγάλη γκάμα διαφορετικών συνθηκών του γκαουσιανού καναλιού (διαφορετικά E b /N 0 ). Στο τελευταίο στάδιο πρέπει να γίνει κβάντιση και στις τιμές των path metrics. Όπως είναι γνωστό, οι τιμές των path metric αποτελούν μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση, οι τιμές της οποίας συνεχώς αυξάνονται. Άρα, το πεδίο τιμών των path metrics κυμαίνεται στο διάστημα [0, + ]. Όσα δυαδικά ψηφία και αν χρησιμοποιηθούν κάποια στιγμή θα υπάρξει υπερχείλιση. Πριν την οποιαδήποτε προσπάθεια για κβάντιση πρέπει να λυθεί το πρόβλημα της υπερχείλισης των δεδομένων. Στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές, όπως π.χ να αφαιρείται σε κάθε χρονική στιγμή το μικρότερο path metric από τα υπόλοιπα ή σε κάθε χρονική στιγμή να γίνεται έλεγχος αν το μεγαλύτερο path metrics ξεπερνάει κάποιο όριο και αν το ξεπερνάει τότε να γίνεται η αφαίρεση του μικρότερου path metric από τα υπόλοιπα. Στην παρούσα διπλωματική εργασία χρησιμοποιείται η εργασία του Andries P. Hekstra [5] για την αποφυγή της υπερχείλισης. Σύμφωνα με αυτή ισχύουν δύο ιδιότητες για τον αλγόριθμο Viterbi. 1. Η έξοδος του αλγορίθμου Viterbi εξαρτάται μόνο από τη διαφορά των path metrics. 2. Η διαφορά των path metrics είναι φραγμένη από μια σταθερά. Επίσης, στο [5] αποδεικνύεται ότι η συμπεριφορά του αλγορίθμου Viterbi παραμένει ανεπηρέαστη με την εφαρμογή μιας modulo πράξης σε όλα τα path metrics, όταν το πεδίο της modulo πράξης είναι ικανοποιητικά μεγάλο και περίπου συμμετρικό γύρω από το μηδέν. Αυτή η modulo πράξη, πραγματοποιεί το μηχανισμό για την αποφυγή της υπερχείλισης και αντιστοιχεί στην αριθμητική συμπληρώματος ως προς δύο και για το λόγο αυτό δεν έχει κόστος υλοποίησης σε υλικό. 72

89 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Για την αποφυγή της υπερχείλισης γίνεται σε κάθε χρονική στιγμή η λειτουργία ACS, με τη διαφορά ότι η πρόσθεση πραγματοποιείται modulo 2 c. Έτσι, η πρόσθεση της προηγούμενης τιμής path metric με την τιμή branch metric γίνεται modulo 2 c. Στο [5] αποδεικνύεται ότι αν τα branch metrics παίρνουν μόνο θετικές τιμές τότε το c πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση: 2 c-1 1 (m+1)b Όπου B είναι η μέγιστη τιμή που μπορούν να πάρουν τα branch metrics. Τα branch metrics είναι πάντα φραγμένα από Β. Όπου m είναι οι χρονικές στιγμές που έχει διάρκεια ο αλγόριθμος, δηλαδή το trace back length που χρησιμοποιείται. Στην παρούσα υλοποίηση βρέθηκε ότι B 5 και m=6*l=6*3=18 για το trellis που χρησιμοποιείται. m (L=3) B c ( ) c 18 (6*L) (6*L) (6*L) Πίνακας 6. 2: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα Β και m Από τον πίνακα 6.2 φαίνεται ότι ακόμα και αν γίνει χρήση διαφορετικών διαστημάτων τιμών για τα branch metric, [0,5] και [0,6] και το trace back είναι 6*L πρέπει να χρησιμοποιηθούν 8 δυαδικά ψηφία τουλάχιστον για τα path metrics και η πράξη να γίνεται modulo 2 8 = modulo 256, ενώ στην περίπτωση που το διάστημα τιμών για τα branch metrics οριστεί το [0,7] τότε θα χρειαστεί ένα επιπλέον δυαδικό ψηφίο (συνολικά 9) τουλάχιστον για τα path metrics. Στις επόμενες γραφικές παραστάσεις θεωρείται σταθερός ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που λαμβάνει δεδομένα ο δέκτης (8 bits) καθώς επίσης και ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται για τα branch metrics (8 bits) και αλλάζει κάθε φορά ο αριθμός των ψηφίων για τα path metrics. Στη γραφική παράσταση 6.10 φαίνεται το BER του αλγορίθμου αν χρησιμοποιηθούν 8 δυαδικά ψηφία για τα path metrics, ενώ στις γραφικές παραστάσεις 6.11, 6.12, 6.13 και 6.14 φαίνεται το BER του αλγορίθμου αν χρησιμοποιηθούν 9, 10, 11 και 12 δυαδικά ψηφία αντίστοιχα. 73

90 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 8 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 10: Path metrics 8 bits Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 9 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 11: Path metrics 9 bits 74

91 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 10 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E /N b 0 Γραφική Παράσταση 6. 12: Path metrics 10 bits Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 11 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E /N b 0 Γραφική Παράσταση 6. 13: Path metrics 11 bits 75

92 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 12 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E /N b 0 Γραφική Παράσταση 6. 14: Path metrics 12 bits Πρέπει να σημειωθεί ότι η μέθοδος του Hekstra υπολογίζει τον ιδανικό αριθμό δυαδικών ψηφίων των path metrics έτσι ώστε να γίνεται αποφυγή της υπερχείλισης, στην περίπτωση, όμως, που τα path metrics έχουν ακέραιες τιμές. Στην παρούσα υλοποίηση του αλγορίθμου Viterbi τα path metrics είναι πραγματικοί αριθμοί που μπορούν να έχουν κλασματικό μέρος και για το λόγω αυτό υπάρχει μια διαφοροποίηση σχετικά με τον ιδανικό αριθμό δυαδικών ψηφίων των path metrics, όπως φαίνεται και από τις εξομοιώσεις. Η χρήση 8 δυαδικών ψηφίων για τα path metrics εισάγει σημαντικό αριθμό λαθών. Η κατάσταση βελτιώνεται με τη χρήση 9 ψηφίων, περισσότερο με τη χρήση 10 ψηφίων ενώ με τη χρήση 11 ή και 12 ψηφίων αγγίζει αυτό της ιδανικής περίπτωσης. Συμπερασματικά, ο αλγόριθμος του Hekstra μπορεί να μην απαιτεί πολύπλοκο εξοπλισμό σε υλικό και να αποφεύγει την υπερχείλιση αλλά πρέπει να χρησιμοποιείται σχετικά μεγάλος αριθμός δυαδικών ψηφίων για τα path metrics για να επιτευχθεί ικανοποιητική απόδοση του αλγορίθμου. Η μη χρήση κάποιας μεθόδου για την αποφυγή της υπερχείλισης οδηγεί πολύ γρήγορα σε υπερχείλιση των δεδομένων, με αποτέλεσμα τη μη σωστή λειτουργία του αλγορίθμου. 76

93 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 6.2 Κωδικοποιητής (1,2) με Μήκος Περιορισμού L=7 και διαμόρφωση BPSK Στον πίνακα 6.3 φαίνονται τα χαρακτηριστικά της εξομοίωσης. Διαμόρφωση BPSK Κωδικοποιητής trellis=poly2trellis(7,[ ],171); Κανάλι AWGN Ελάχιστος αριθμός λαθών 200 Ελάχιστος αριθμός επαναλήψεων 20 Μέγεθος αποστελλόμενου μηνύματος 1000 Πίνακας 6. 3: Χαρακτηριστικά της εξομοίωσης Στις επόμενες γραφικές παραστάσεις εξετάζεται η απόδοση του αλγορίθμου Viterbi χρησιμοποιώντας διαφορετικό κωδικοποιητή. Ο κωδικοποιητής αυτός έχει ελεύθερη απόσταση μεταξύ των κωδικών λέξεων 10 και το Μήκος Περιορισμού του είναι 7. Όπως έχει ήδη αναφερθεί αποτελεί το βιομηχανικό standard και χρησιμοποιείται στο πρότυπο a. Λόγω της μεγαλύτερης απόστασης μεταξύ των κωδικών λέξεων παρουσιάζει καλύτερη απόδοση στις ίδιες συνθήκες συγκρινόμενος με τον προηγούμενο κωδικοποιητή, αλλά λόγω του μεγέθους του, η αποκωδικοποίηση είναι πιο χρονοβόρα και πιο απαιτητική σε αποθηκευτικό χώρο. Η απόδοση του αλγορίθμου Viterbi (BER) για διάφορα E b /N 0, χωρίς κβαντισμό, χρησιμοποιώντας την ακρίβεια της MATLAB για όλες τις πράξεις φαίνεται στη γραφική παράσταση Στην ίδια γραφική φαίνεται και το θεωρητικό όριο για soft αποτελέσματα του αλγορίθμου. Το θεωρητικό όριο υπολογίζεται με τη χρήση της συνάρτησης bercoding, δίνοντας τις κατάλληλες παραμέτρους. Στις επόμενες γραφικές παραστάσεις το θεωρητικό όριο παραλείπεται και για να υπάρχει μέτρο σύγκρισης φαίνεται κάθε φορά το BER που επιτυγχάνεται θεωρώντας την λειτουργία του αλγορίθμου με την ακρίβεια της MATLAB. 77

94 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 10 0 VITERBI - Number of Errors: Bit Error Rate (BER) Viterbi Matlab Viterbi Theoretical Bound E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 15: BER με ακρίβεια της MATLAB Στη γραφική παράσταση 6.16 φαίνεται και πάλι η απόδοση του αλγορίθμου συγκρινόμενη με τον αποκωδικοποιητή της MATLAB vitdec τόσο για soft όσο και για hard τιμές. Μπορεί να παρατηρηθεί ότι ο υλοποιημένος Viterbi αποκωδικοποιητής παρουσιάζει παρόμοια απόδοση με τον αποκωδικοποιητή της MATLAB για soft τιμές ενώ είναι πολύ καλύτερος για hard τιμές. 78

95 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 10 0 VITERBI - Number of Errors: 200 Soft Viterbi Matlab Soft Viterbi Matlab Hard Viterbi 10-1 Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 16: BER για Soft Viterbi και Soft και Hard Viterbi της MATLAB Κβάντιση στο δέκτη Όπως και στην προηγούμενη ενότητα, έτσι και τώρα πρέπει να βρεθεί το ιδανικό μήκος λέξης για τα δεδομένα που λαμβάνει ο δέκτης και να εξεταστεί αν υπάρχουν διαφοροποιήσεις σε σχέση με τα προηγούμενα συμπεράσματα. Στη συνέχεια παρουσιάζονται εξομοιώσεις που προκύπτουν θεωρώντας ότι οι τιμές που λαμβάνει ο δέκτης κυμαίνονται στα διαστήματα [-6,+6], [-5,+5], και [-4,+4]. Για κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα γίνεται κβαντισμός στο δέκτη χρησιμοποιώντας 4, 5, 6, 7 και 8 δυαδικά ψηφία ενώ οι υπόλοιπες πράξεις θεωρείται ότι γίνονται με την ακρίβεια της MATLAB. Επίσης στην ίδια γραφική φαίνεται και η απόδοση του αλγορίθμου αν δεν χρησιμοποιηθεί κβάντιση στην είσοδο του δέκτη. Στη γραφική παράσταση 6.17 φαίνεται η απόδοση του αλγορίθμου στο διάστημα [-6,+6], ενώ στις γραφικές 6.18 και 6.19 η απόδοση του αλγορίθμου στα διαστήματα [-5,+5] και [-4,+4]. 79

96 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 200- Receiver data range (-6,6) Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Bit Error Rate (BER) Γραφική Παράσταση 6. 17: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-6,+6] Number of Errors: 200- Receiver data range (-5,5) Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 18: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-5,+5] 80

97 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 19: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-4,+4] Παρατηρώντας τις γραφικές παραστάσεις 6.17, 6.18 και 6.19 φαίνεται ότι το διάστημα [-4,+4] δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα όσον αφορά το BER ανεξάρτητα από τον αριθμό των δυαδικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται για την κβάντιση των δεδομένων. Η καλύτερη επίδοση που προκύπτει από το διάστημα [-4,+4] είναι λίγο πολύ αναμενόμενη, και αυτό γιατί ελάχιστες είναι οι τιμές που βρίσκονται έξω από τα όρια του διαστήματος. Επίσης, το μικρότερο διάστημα επιτρέπει καλύτερη ακρίβεια, με τον ίδιο αριθμό δυαδικών ψηφίων, σε σχέση με ένα μεγαλύτερο διάστημα. Ωστόσο, η χρήση 7 και 8 δυαδικών ψηφίων αποδίδει το ίδιο καλά σε όλα τα διαστήματα λόγω της καλύτερης αναπαράστασης τον αριθμών. Επιλέγεται το διάστημα [-4,+4] για τη συνέχεια των εξομοιώσεων γιατί δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα και με μικρότερο αριθμό δυαδικών ψηφίων στο δέκτη. Το επόμενο στάδιο είναι να βρεθεί πόσο επιδρά η κβάντιση στο δέκτη τα επόμενα στάδια του αλγορίθμου και σε τι βαθμό επηρεάζει τη συνολική απόδοση του συστήματος. 81

98 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Κβάντιση των Branch Metrics Το εύρος της τιμής των branch metric όπως και στην περίπτωση του Viterbi αλγορίθμου επιλέγεται να είναι το [0,5]. Οι παρακάτω εξομοιώσεις δείχνουν κβάντιση στο δέκτη 4,5,6,7 και 8 δυαδικών ψηφίων που πραγματοποιούνται στο διάστημα [-4,+4], ενώ η κβάντιση των branch metrics γίνεται στο διάστημα [0,5]. Σε κάθε γραφική παράσταση αλλάζει ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται για τα branch metrics. Όλες οι υπόλοιπες πράξεις θεωρείται ότι γίνονται με την ακρίβεια της MATLAB. Οι εξομοιώσεις των γραφικών παραστάσεων 6.20, 6.21, 6.22, 6.23 και 6.24 δείχνουνε την απόδοση του αλγορίθμου χρησιμοποιώντας 4,5,6,7 και 8 δυαδικά ψηφία για τα branch metrics αντίστοιχα, ενώ για τη κβάντιση στο δέκτη χρησιμοποιούνται 4, 5, 6, 7 και 8 δυαδικά ψηφία. Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 4 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 20: Κβάντιση των Branch Metrics με 4 bits 82

99 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 5 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 21: Κβάντιση των Branch Metrics με 5 bits Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 6 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση : Κβάντιση των Branch Metrics με 6 bits 83

100 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 7 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 23: Κβάντιση των Branch Metrics με 7 bits Bit Error Rate (BER) Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 5 bits receiver 6 bits receiver 7 bits receiver 8 bits E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 24: Κβάντιση των Branch Metrics με 8 bits 84

101 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Παρατηρώντας τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις μπορούν να εξαχθούν πολύ χρήσιμα συμπεράσματα. Η χρήση 4 δυαδικών ψηφίων για τα branch metrics εισάγει σημαντικό αριθμό λαθών ακόμα και αν χρησιμοποιηθούν 8 δυαδικά ψηφία για τη λήψη των δεδομένων στο δέκτη. Η κατάσταση βελτιώνεται λίγο με τη χρήση 5 δυαδικών ψηφίων για τα branch metrics και επιτυγχάνεται πολύ καλό BER με τη χρήση 8 ψηφίων στο δέκτη. Η αύξηση των δυαδικών ψηφίων κατά 1 στα branch metrics (6 bits) επιτρέπει τη μείωση κατά 1 δυαδικό ψηφίο στο δέκτη (7 bits) και παρουσιάζει αποτελέσματα παραπλήσια με αυτά της ιδανικής περίπτωσης. Η χρήση 7 και 8 δυαδικών ψηφίων έχει το ίδιο αποτέλεσμα στο BER και σε συνδυασμό με 7 ή 8 ψηφία στο δέκτη επιτυγχάνεται το ιδανικό BER. Πρέπει να σημειωθεί όμως ότι οι υπόλοιπες πράξεις γίνονται με την ακρίβεια της MATLAB και όταν κβαντοποιηθούν θα εισαχθεί και από αυτές κάποιο σφάλμα Κβάντιση των Path Metrics Μέχρι τώρα βρέθηκε ο ιδανικός αριθμός δυαδικών ψηφίων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν στο δέκτη, καθώς και ο ιδανικός αριθμός δυαδικών ψηφίων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση των branch metrics έτσι ώστε να δίνουν όσο το δυνατόν καλύτερα αποτελέσματα για μια μεγάλη γκάμα διαφορετικών συνθηκών του γκαουσιανού καναλιού (διαφορετικά E b /N 0 ). Για την αποφυγή της υπερχείλισης θα χρησιμοποιηθεί και εδώ η μέθοδος του Hekstra, όπου και πάλι πρέπει να ικανοποιείται η σχέση: 2 c-1 1 (m+1)b Όπου B είναι η μέγιστη τιμή που μπορούν να πάρουν τα branch metrics και m είναι οι χρονικές στιγμές που έχει διάρκεια ο αλγόριθμος, δηλαδή το trace back length που χρησιμοποιείται. Στην παρούσα υλοποίηση βρέθηκε ότι B 5 και m=6*l=6*7=42 για το trellis που χρησιμοποιείται. m (L=7) B c ( ) c 42 (6*L) (6*L) (6*L) Πίνακας 6. 4: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα Β και m (BPSK) 85

102 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Από τον πίνακα 6.4 φαίνεται ότι ο ελάχιστος αριθμός των 9 δυαδικών ψηφίων για τα path metrics μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν το διάστημα τιμών για τα branch metric είναι [0,5] και το trace back είναι 6*L. Τότε η πράξη γίνεται modulo 2 9 = modulo 512. Όταν το διάστημα τιμών για τα branch metric είναι [0,6] ή [0,7] και το trace back είναι 6*L, θα χρειαστεί η προσθήκη ενός δυαδικού ψηφίου επιπλέον για την επίτευξη του ελάχιστου αριθμού δυαδικών ψηφίων για τα path metrics. Στις επόμενες γραφικές παραστάσεις θεωρείται σταθερός ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που λαμβάνει δεδομένα ο δέκτης (8 bits) καθώς επίσης και ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται για τα branch metrics (8 bits) και αλλάζει κάθε φορά ο αριθμός των ψηφίων για τα path metrics. Στη γραφική παράσταση 6.25 φαίνεται το BER του αλγορίθμου με τη χρήση 9 δυαδικών ψηφίων για τα path metrics, ενώ στις γραφικές παραστάσεις 6.26, 6.27, 6.28 και 6.29 φαίνεται το BER του αλγορίθμου με τη χρήση 10, 11, 12 και 13 δυαδικών ψηφίων αντίστοιχα. Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 9 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E /N b 0 Γραφική Παράσταση 6. 25: Path metrics 9 bits 86

103 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 10 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E /N b 0 Γραφική Παράσταση 6. 26: Path metrics 10 bits Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 11 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E /N b 0 Γραφική Παράσταση 6. 27: Path metrics11 bits 87

104 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 12 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E /N b 0 Γραφική Παράσταση 6. 28: Path metrics12 bits Number of Errors: 200- Receiver data range (-4,4) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 13 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E /N b 0 Γραφική Παράσταση 6. 29: Path metrics13 bits 88

105 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Για τους λόγους που εξηγήθηκαν σε προηγούμενη παράγραφο φαίνεται ότι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός (9 bits) για τα path metrics δεν δίνει καθόλου ικανοποιητικά αποτελέσματα. Η κατάσταση βελτιώνεται με τη χρήση 10 ψηφίων, περισσότερο με τη χρήση 11 ψηφίων ενώ με τη χρήση 12 ή και 13 ψηφίων αγγίζει αυτό της ιδανικής περίπτωσης. 6.3 Κωδικοποιητής (1,2) με Μήκος περιορισμού L=7 και διαμόρφωση QPSK Στον πίνακα 6.5 φαίνονται τα χαρακτηριστικά της εξομοίωσης. Διαμόρφωση QPSK Κωδικοποιητής trellis=poly2trellis(7,[ ],171); Κανάλι AWGN Ελάχιστος αριθμός λαθών 500 Ελάχιστος αριθμός επαναλήψεων 100 Μέγεθος αποστελλόμενου μηνύματος 1000 Πίνακας 6. 5: Χαρακτηριστικά της εξομοίωσης του αλγορίθμου Viterbi Στην ενότητα αυτή γίνεται μελέτη της απόδοσης του αλγορίθμου Viterbi χρησιμοποιώντας το ίδιο τηλεπικοινωνιακό κανάλι AWGN, με διαφορετική όμως διαμόρφωση των δεδομένων που αποστέλλονται. Η διαμόρφωση που χρησιμοποιείται είναι η διαμόρφωση QPSK. Η απόδοση του Viterbi αλγορίθμου (BER) για διάφορα E b /N 0, χωρίς κβαντισμό, χρησιμοποιώντας την ακρίβεια της MATLAB για όλες τις πράξεις φαίνεται στη γραφική παράσταση Όπως και σε προηγούμενα παραδείγματα, στην ίδια γραφική φαίνεται και το θεωρητικό όριο για soft αποτελέσματα του αλγορίθμου. 89

106 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 10 0 VITERBI - QPSK - Number of Errors: Bit Error Rate (BER) Viterbi Theoretical Bound E b /N 0 Γραφική Παράσταση : BER με ακρίβεια της MATLAB QPSK modulation Παρατηρώντας τις γραφικές παραστάσεις των σχημάτων 6.1 και 6.30 μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι ο αλγόριθμος Viterbi παρουσιάζει παρόμοια απόδοση στο AWGN κανάλι, ανεξάρτητα από τη διαμόρφωση που θα χρησιμοποιηθεί για την αποστολή των δεδομένων. Η διαμόρφωση QPSK των δυαδικών ψηφίων 0 και 1 σε σύμβολα γίνεται σύμφωνα με τον πίνακα 6.6. Στο σχήμα 6.12 φαίνεται το αντίστοιχο διάγραμμα IQ. Δυαδικά ψηφία Σύμβολα IQ διάγραμμα i i Πίνακας 6. 6 : Αντιστοιχία συμβόλων στο IQ διάγραμμα 90

107 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Scatter plot Quadrature In-Phase Σχήμα 6. 12: IQ διάγραμμα διαμόρφωσης QPSK Κβάντιση στο δέκτη Για να μπορέσει να υλοποιηθεί ο αποκωδικοποιητής πρέπει να βρεθεί ο ιδανικός αριθμός δυαδικών ψηφίων που πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση των δεδομένων που λαμβάνει ο δέκτης. Όπως και στην περίπτωση της διαμόρφωσης BPSK, έτσι και εδώ, πρέπει να βρεθεί η διακύμανση των τιμών των δεδομένων μετά την εισαγωγή του θορύβου από το κανάλι. Λόγω της διαμόρφωσης QPSK οι τιμές εμφανίζονται με τη μορφή μιγαδικών αριθμών (δύο διαστάσεις). Έγιναν εξομοιώσεις για διάφορες τιμές του E b /N 0 οι οποίες δείχνουνε την κατανομή των τιμών που λαμβάνει ο δέκτης. Η κατανομή των τιμών έγινε βάζοντας θόρυβο σε μπλοκ των 1000 δυαδικών ψηφίων. Για την καλύτερη κατανομή των τιμών για κάθε E b /N 0 πραγματοποιηθήκανε 10 επαναλήψεις. Τα αποτελέσματα των κατανομών για E b /N 0 ίσο με 0, 1, 2 και 7 φαίνονται στα σχήματα 6.13, 6.14, 6.15 και 6.16 αντίστοιχα. 91

108 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Eb/No = 0 5 Τιμή Εισόδου 4 Number of bits transmitted Διακύμανση Τιμών Σχήμα 6. 13: Διασπορά τιμών για Eb/N0 = 0 Eb/No = 1 Τιμή Εισόδου 4 Number of bits transmitted Διακύμανση Τιμών 2 Σχήμα 6. 14: Διασπορά τιμών για Eb/N0 =

109 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Eb/No = 2 4 Τιμή Εισόδου Number of bits transmitted Διακύμανση Τιμών 2 4 Σχήμα 6. 15: Διασπορά τιμών για Eb/N0 = 2 Eb/No = 7 Τιμή Εισόδου 3 Number of bits transmitted Διακύμανση Τιμών 2 Σχήμα 6. 16: Διασπορά τιμών για Eb/N0 =

110 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Όσο μικρότερο είναι το E b /N 0 τόσο περισσότερες αποκλίσεις υπάρχουν από τις τέσσερις ιδανικές τιμές. Επιπλέον, μπορεί να παρατηρηθεί ότι για E b /N 0 = 0 όλες οι τιμές βρίσκονται μέσα στα πεδία [-4,+4] και [-4i, +4i]. Όσο μεγαλώνει το E b /N 0 τόσο τα διαστήματα αυτά μικραίνουν και οι τιμές συσπειρώνονται γύρω από τους 4 πόλους, όπως ορίζονται στο σχήμα Στη συνέχεια παρουσιάζονται εξομοιώσεις που προκύπτουν θεωρώντας ότι οι τιμές που λαμβάνει ο δέκτης κυμαίνονται ανάμεσα στα διαστήματα [-4,+4] και [-4i, +4i], [-3,+3] και [-3i, +3i], και [-2,+2] και [-2i, +2i]. Για κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα γίνεται κβάντιση στο δέκτη χρησιμοποιώντας 4, 6, 8 και 10 δυαδικά ψηφία. Στο στάδιο αυτό οι υπόλοιπες πράξεις γίνονται με την ακρίβεια της MATLAB Number of Errors: 500- Receiver data range (-4,4) Viterbi receiver 4 bits receiver 6 bits receiver 8 bits receiver 10 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 31: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-4,+4] και [-4i, +4i] 94

111 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Number of Errors: 500- Receiver data range (-3,3) Viterbi receiver 4 bits receiver 6 bits receiver 8 bits receiver 10 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 32: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-3,+3] και [-3i, +3i] Number of Errors: 500- Receiver data range (-2,2) Viterbi receiver 4 bits receiver 6 bits receiver 8 bits receiver 10 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 33: Πεδίο λαμβανόμενων τιμών [-2,+2] και [-2i, +2i] 95

112 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Παρατηρώντας τις γραφικές παραστάσεις 6.31, 6.32 και 6.33 φαίνεται ότι το διάστημα [-2,+2] και [-2i,+2i] δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα όσον αφορά το BER ανεξάρτητα από τον αριθμό των δυαδικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται για την κβάντιση των δεδομένων. Η καλύτερη επίδοση που προκύπτει από το διάστημα [-2,+2] και [-2i,+2i] είναι λίγο πολύ αναμενόμενη, και αυτό γιατί ελάχιστες είναι οι τιμές που βρίσκονται έξω από τα όρια του διαστήματος. Επίσης, το μικρότερο διάστημα επιτρέπει καλύτερη ακρίβεια, με τον ίδιο αριθμό δυαδικών ψηφίων, σε σχέση με ένα μεγαλύτερο διάστημα. Ωστόσο, η χρήση 10 δυαδικών ψηφίων αποδίδει το ίδιο καλά σε όλα τα διαστήματα λόγω της καλύτερης αναπαράστασης των αριθμών, ενώ και τα 8 δυαδικά ψηφία βρίσκονται αποδίδουν το ίδιο καλά στα διαστήματα [-3,+3] και [-3i,+3i] και [-2,+2] και [-2i,+2i]. Επιλέγεται το διάστημα [-2,+2] και [-2i,+2i] γιατί δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα και με μικρότερο αριθμό δυαδικών ψηφίων στο δέκτη. Πρέπει να σημειωθεί ότι η επιλογή μικρού αριθμού δυαδικών ψηφίων στη κβάντιση που πραγματοποιείται στο δέκτη μπορεί να εξαφανίσει ανεπιστρεπτί χρήσιμες πληροφορίες που θα μπορούσανε να χρησιμοποιηθούνε από τους αλγορίθμους για τη διόρθωση των διαφόρων λαθών. Το επόμενο στάδιο είναι να βρεθεί πόσο επιδρά η κβάντιση στο δέκτη τα επόμενα στάδια του αλγορίθμου και σε τι βαθμό επηρεάζει τη συνολική απόδοση του συστήματος Κβάντιση των Branch Metrics Για την πραγματοποίηση της κβάντισης στις τιμές των branch metrics πρέπει να βρεθεί το εύρος τιμών στις οποίες κυμαίνονται και στη συνέχεια να αποφασιστεί ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που θα χρησιμοποιηθούνε. Για το σκοπό αυτό έγιναν εξομοιώσεις, με την ακρίβεια της MATLAB, για διάφορες τιμές του E b /N 0 και με τη βοήθεια ιστογραμμάτων φαίνεται η κατανομή των τιμών των branch metrics. Στα σχήματα 6.17, 6.18, 6.19 και 6.20 φαίνονται τα γραφήματα της διασποράς των τιμών των branch metrics για την αποστολή 10 4 δυαδικών ψηφίων και E b /N 0 ίσο με 0, 1, 2, και 7 αντίστοιχα. 96

113 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 3.5 x E b /N 0 =0 EUDQFKPHWULFV Number of branch metrics Σχήμα 6. 17: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = x E /N =1 104 b 0 EUDQFKPHWULFV 3 Number of branch metrics Σχήμα 6. 18: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = 1 97

114 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 3.5 x 104 E b /N 0 =2 EUDQFKPHWULFV 3 Number of branch metrics Σχήμα 6. 19: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = 2 4 x 104 E b /N 0 =7 3.5 EUDQFKPHWULFV 3 Number of branch metrics Σχήμα 6. 20: Ιστόγραμμα διακύμανσης τιμών των Branch Metrics για E b /N 0 = 7 98

115 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Από τα παραπάνω σχήματα γίνεται φανερό ότι όσο μικρότερο είναι το E b /N 0 τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα οι τιμές να βρίσκονται μακριά από τα -1, -i, +1 και +i και άρα η απόλυτη τιμή των αποστάσεων από αυτά τα σημεία να είναι μεγαλύτερη. Για E b /N 0 = 0 για παράδειγμα υπάρχει ένας μικρός αριθμός τιμών που ξεπερνάει την τιμή 4. Καθώς αυξάνει το E b /N 0 οι αποστάσεις από τα -1, -i, +1 και +i μικραίνουν με συνέπεια οι απόλυτες τιμές από τα σημεία αυτά να μικραίνουν. Εκτός από τις πειραματικές μετρήσεις που γίνανε, το εύρος τιμών μπορεί να υπολογιστεί και να βρεθεί και θεωρητικά. Από τη στιγμή που είναι γνωστό που κυμαίνονται οι τιμές που λαμβάνει ο δέκτης, τότε από τον ορισμό των branch metrics που είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς της λαμβανόμενης τιμής από τα -1, -i, +1 και +i, μπορεί να βρεθεί πολύ εύκολα που θα κυμαίνονται οι τιμές των branch metrics. Για παράδειγμα στο σχήμα 6.21 φαίνονται οι τιμές των branch metric για μια τιμή z = -2+2i σε σχέση με τα σημεία -1, -i, +1 και +i που είναι 2.23, 3.6, 3.6 και 2.23 αντίστοιχα. Η ροζ διακεκομμένη γραμμή δηλώνει την περιοχή μέσα στην οποία μπορούν να κυμαίνονται οι λαμβανόμενες τιμές στο δέκτη δεδομένου της απόφασης ότι οι λαμβανόμενες τιμές στο δέκτη θα κυμαίνονται στα διαστήματα [-2,+2] και [-2i,+2i]. Σχήμα 6. 21: Αποστάσεις τυχαίας τιμής z από τα -1, -i, +1 και +i για διαμόρφωση QPSK 99

116 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Με τη βοήθεια των πειραματικών μετρήσεων μπορεί να παρατηρηθεί ότι ένα εύρος τιμών που θα έδινε πολύ καλά αποτελέσματα θα ήταν το [0,5]. Όμως, από τη στιγμή που θεωρείται ότι για τις τιμές που λαμβάνει ο δέκτης γίνεται κβάντιση στο διάστημα [-2,+2] και [-2i,+2i] τότε η μεγαλύτερη απόσταση μιας τυχαίας λαμβανόμενης τιμής από τα -1, -i, +1 και +i δεν μπορεί να υπερβαίνει την τιμή 3.6. Για το λόγο αυτό επιλέγεται οι τιμές των branch metrics να κυμαίνονται στο διάστημα [0, 3.6] στο οποίο γίνεται ομοιόμορφη κβάντιση. Για το διάστημα αυτό γίνονται εξομοιώσεις για να βρεθεί ο ιδανικός απαραίτητος αριθμός δυαδικών ψηφίων για την αναπαράσταση των branch metrics. Οι εξομοιώσεις των γραφικών παραστάσεων 6.34, 6.35, 6.36, 6.37 και 6.38 δείχνουν την απόδοση του αλγορίθμου χρησιμοποιώντας 4,5,6,7 και 8 δυαδικά ψηφία αντίστοιχα για τα branch metrics, ενώ για την κβάντιση στο δέκτη χρησιμοποιούνται 4, 6, 8 και 10 δυαδικά. QPSK - Number of Errors: 500- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 4 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 6 bits receiver 8 bits receiver 10 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 34: Κβάντιση των Branch Metrics με 4 bits 100

117 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi QPSK - Number of Errors: 500- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 5 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 6 bits receiver 8 bits receiver 10 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 35: Κβάντιση των Branch Metrics με 5 bits QPSK - Number of Errors: 500- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 6 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 6 bits receiver 8 bits receiver 10 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 36: Κβάντιση των Branch Metrics με 6 bits 101

118 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi QPSK - Number of Errors: 500- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 7 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 6 bits receiver 8 bits receiver 10 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 37: Κβάντιση των Branch Metrics με 7 bits QPSK - Number of Errors: 500- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 8 bits Viterbi receiver 4 bits receiver 6 bits receiver 8 bits receiver 10 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 38: Κβάντιση των Branch Metrics με 8 bits 102

119 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Παρατηρώντας τις παραπάνω γραφικές μπορούν να εξαχθούν κάποια χρήσιμα συμπεράσματα. Η χρήση 4 και 5 δυαδικών ψηφίων για τα branch metrics κρίνεται απαγορευτική γιατί όσα δυαδικά ψηφία και αν χρησιμοποιηθούν στο δέκτη το BER υπολείπεται σημαντικά από την ιδανική περίπτωση. Η χρήση 6 ψηφίων για τα branch metrics οδηγεί σε ικανοποιητικά αποτελέσματα για το BER, μόνο όμως στην περίπτωση που χρησιμοποιηθούν 8 ή 10 ψηφία για το δέκτη. Η χρήση 7 ή 8 δυαδικών ψηφίων για τα branch metrics σε συνδυασμό με τη χρήση 6, 8 ή 10 δυαδικών ψηφίων έχει ως συνέπεια η απόδοση του αλγορίθμου να αγγίζει αυτή της ιδανικής περίπτωσης. Προτείνεται η χρήση 8 δυαδικών ψηφίων για τα branch metrics και 8 δυαδικών ψηφίων για το δέκτη όπου δίνει σχεδόν ιδανικά αποτελέσματα για όλα τα E b /N 0. Ωστόσο πρέπει να ληφθεί υπόψη και το σφάλμα που θα προκύψει λόγω της κβάντισης των path metrics. Μέχρι τώρα βρέθηκε ο ιδανικός αριθμός δυαδικών ψηφίων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν στο δέκτη, καθώς και ο ιδανικός αριθμός δυαδικών ψηφίων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση των branch metrics έτσι ώστε να δίνουν όσο το δυνατόν καλύτερα αποτελέσματα για μια μεγάλη γκάμα διαφορετικών συνθηκών του γκαουσιανού καναλιού (διαφορετικά E b /N 0 ) Κβάντιση των Path Metrics Για την αποφυγή της υπερχείλισης θα χρησιμοποιηθεί και εδώ η μέθοδος του Hekstra, όπου και πάλι πρέπει να ικανοποιείται η σχέση: 2 c-1 1 (m+1)b Όπου B είναι η μέγιστη τιμή που μπορούν να πάρουν τα branch metrics και m είναι οι χρονικές στιγμές που έχει διάρκεια ο αλγόριθμος, δηλαδή το trace back length που χρησιμοποιείται. Στην παρούσα υλοποίηση βρέθηκε ότι B 3.6 και m=6*l=6*3=18 για το trellis που χρησιμοποιείται. m (L=3) B c ( ) c 18 (6*L) (6*L) (6*L) Πίνακας 6. 7: Υπολογισμός της τιμής c για διάφορα Β και m (QPSK) 103

120 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi Από τον πίνακα 6.7 φαίνεται ότι ακόμα και αν γίνει χρήση διαφορετικών διαστημάτων τιμών για τα branch metric, [0, 3.6], [0,4] και [0,5] και το trace back είναι 6*L πρέπει να χρησιμοποιηθούν 8 δυαδικά ψηφία για τα path metrics και η πράξη να γίνεται modulo 2 8 = modulo 256. Στις επόμενες γραφικές παραστάσεις θεωρείται σταθερός ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που λαμβάνει δεδομένα ο δέκτης (8 bits) καθώς επίσης και ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται για τα branch metrics (8 bits) και αλλάζει κάθε φορά ο αριθμός των ψηφίων για τα path metrics. Στη γραφική παράσταση 6.39 φαίνεται το BER του αλγορίθμου με τη χρήση 8 δυαδικών ψηφίων για τα path metrics, ενώ στις γραφικές παραστάσεις 6.40, 6.41, 6.42 και 6.43 φαίνεται το BER του αλγορίθμου με τη χρήση 9, 10, 11 και 12 δυαδικών ψηφίων αντίστοιχα. QPSK - Number of Errors: 500- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 8 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits 10-1 Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 39: Path metrics 8 bits 104

121 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi QPSK - Number of Errors: 500- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 9 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits 10-1 Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 40: Path metrics 9 bits QPSK - Number of Errors: 500- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 10 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits 10-1 Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 41: Path metrics 10 bits 105

122 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi QPSK - Number of Errors: 200- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 11 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 42: Path metrics 11 bits QPSK - Number of Errors: 200- Receiver data range (-2,2) - Branch Metrics: 8 bits - Path Metrics: 12 bits 10 0 Matlab precision Receiver 8 bits Bit Error Rate (BER) E b /N 0 Γραφική Παράσταση 6. 43: Path metrics 12 bits Όπως έχει ήδη αναφερθεί και σε προηγούμενη ενότητα, για να εφαρμοστεί η μέθοδος του Hekstra και να έχει καλή απόδοση ο αλγόριθμος θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί 106

123 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi μεγαλύτερος αριθμός δυαδικών ψηφίων για τα path metrics, σε σχέση με την ελάχιστη τιμή που δίνει η μέθοδος του Hekstra. Η χρήση 10 δυαδικών ψηφίων για τα path metrics δίνει πολύ καλά αποτελέσματα, η χρήση 11 ψηφίων πλησιάζει την ιδανική περίπτωση ενώ με τη χρήση 11 ή και 12 δυαδικών ψηφίων αγγίζεται η ιδανική περίπτωση. 107

124 Κεφάλαιο 6 Εξομοιώσεις Αλγόριθμος Viterbi 108

125 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης για QAM διαμόρφωση 7.1 Στρατηγικές αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Στην ενότητα αυτή γίνεται μελέτη της απόδοσης του αλγορίθμου Viterbi χρησιμοποιώντας το ίδιο τηλεπικοινωνιακό κανάλι AWGN, με διαφορετική όμως διαμόρφωση των δεδομένων που αποστέλλονται. Η διαμόρφωση που χρησιμοποιείται είναι η QAM διαμόρφωση και συγκεκριμένα, 16 QAM και 64 QAM ενώ τα 109

126 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης σύμβολα έχουν κωδικοποιηθεί με βάση τον κώδικα gray. Για την αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση χρησιμοποιούνται τέσσερις διαφορετικές τεχνικές και γίνεται σύγκριση της απόδοσής τους ως προς το BER συναρτήσει του E b /N 0, την επίδραση της κβάντισης στα δεδομένα και της πολυπλοκότητας του υλικού και της χρονικής καθυστέρησης. Οι ακόλουθοι συνδυασμοί αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης χρησιμοποιούνται: 1. Hard αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi 2. Soft αποδιαμόρφωση ανά δυαδικό ψηφίο και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi 3. Soft αποδιαμόρφωση ανά ζευγάρι δυαδικών ψηφίων και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi 4. Από κοινού αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi Hard αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi Στην τεχνική αυτή, ο αποδιαμορφωτής αντιστοιχεί το λαμβανόμενο σύμβολο στο κοντινότερο από τα δυνατά σύμβολα QAM. Στο σχήμα 7.1 φαίνονται οι αποστάσεις ενός λαμβανόμενου συμβόλου από όλα τα δυνατά σύμβολα για την περίπτωση της διαμόρφωσης 16 QAM. Μετά την αποδιαμόρφωση χάνεται όλη η soft πληροφορία που θα μπορούσαν να μεταφέρουν τα σύμβολα και το αποτέλεσμα είναι η παραγωγή δυαδικών τιμών. Τα αποδιαμορφωμένα δυαδικά σύμβολα εισάγονται στον αλγόριθμο Viterbi και παράγεται η ζητούμενη ακολουθία. Η διαδικασία αυτή παρουσιάζεται στο σχήμα 7.2. Η τεχνική αυτή είναι πολύ απλή και εύκολη στην υλοποίηση. Ωστόσο, δεν παρουσιάζει καλή απόδοση, ειδικά για διαμόρφωση QAM μεγαλύτερη του τέσσερα. 110

127 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης I 16 - QAM gray code Απόσταση από έγκυρο σύμβολο Λαμβανόμενο σύμβολο Q Σχήμα 7. 1: Αποστάσεις λαμβανόμενου συμβόλου από τα έγκυρα σύμβολα Σχήμα 7. 2: Block διάγραμμα δέκτη με ξεχωριστό αποδιαμορφωτή και αποκωδικοποιητή Soft αποδιαμόρφωση ανά δυαδικό ψηφίο και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi Το μειονέκτημα της προηγούμενης τεχνικής είναι ότι χάνεται όλη η soft πληροφορία. Στην παρούσα τεχνική ο αποδιαμορφωτής υπολογίζει δύο soft τιμές για κάθε δυαδικό ψηφίο. Η πρώτη τιμή d 0 αφορά την απόσταση του λαμβανόμενου συμβόλου από το πιο κοντινό έγκυρο σύμβολο το οποίο έχει τιμή μηδέν στην αντίστοιχη θέση bit. Η δεύτερη τιμή d 1 αφορά την απόσταση του λαμβανόμενου συμβόλου από το πιο κοντινό έγκυρο σύμβολο το οποίο έχει τιμή ένα στην αντίστοιχη θέση bit. 111

128 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Στην περίπτωση της διαμόρφωσης 16 QAM κάθε σύμβολο αποτελείται από τέσσερα δυαδικά ψηφία, έστω b 3 b 2 b 1 b 0. Στο IQ διάγραμμα, τα δυαδικά ψηφία b 3 b 2 αφορούν την Q διάσταση και τα b 1 b 0 αφορούν την I διάσταση. Κατά τη διάρκεια της αποδιαμόρφωσης για κάθε δυαδικό ψηφίο b 3, b 2, b 1 και b 0 υπολογίζονται οι αποστάσεις του λαμβανόμενου συμβόλου από τα σύμβολα που διαθέτουν 0 και 1 στην αντίστοιχη θέση bit. Στα σχήματα 7.3, 7.4, 7.5 και 7.6 φαίνονται αντίστοιχα τα όρια απόφασης για κάθε ένα από τα παραπάνω δυαδικά ψηφία. Σχήμα 7. 3: Όρια απόφασης για δυαδικό ψηφίο b 3 και διαμόρφωση 16 QAM 112

129 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Σχήμα 7. 4: Όρια απόφασης για δυαδικό ψηφίο b 2 και διαμόρφωση 16 QAM bit b1 I 16 - QAM gray code Περιοχή απόφασης για Q Περιοχή απόφασης για Σχήμα 7. 5: Όρια απόφασης για δυαδικό ψηφίο b 1 και διαμόρφωση 16 QAM 113

130 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Σχήμα 7. 6: Όρια απόφασης για δυαδικό ψηφίο b 0 και διαμόρφωση 16 QAM Στο σχήμα 7.7 φαίνονται οι αποστάσεις ενός λαμβανόμενου συμβόλου από τα σύμβολα που έχουν 0 στη θέση του ψηφίου b 3 (κόκκινο χρώμα) και 1 στη θέση του ψηφίου b 3 (μπλε χρώμα). Σχήμα 7. 7: Αποστάσεις λαμβανόμενου συμβόλου από τα 0 και 1 για το ψηφίο b 3 και διαμόρφωση 16 QAM 114

131 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Η ίδια διαδικασία ακολουθείται για όλα τα δυαδικά ψηφία b 3 b 2 b 1 b 0. Σχηματικά η διαδικασία αυτή παρουσιάζεται στο σχήμα 7.8. Σχήμα 7. 8: Block διάγραμμα δέκτη με ξεχωριστό αποδιαμορφωτή (Soft τιμές) και αποκωδικοποιητή Soft αποδιαμόρφωση ανά ζευγάρι δυαδικών ψηφίων και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi Στην τεχνική αυτή ο αποδιαμορφωτής είναι σχεδιασμένος έτσι ώστε να διευκολύνει την αποκωδικοποίηση που γίνεται με τον αλγόριθμο Viterbi. Αντί να υπολογίζονται soft τιμές για κάθε δυαδικό ψηφίο και στη συνέχεια να συνδυάζονται, για τον υπολογισμό των branch metrics, ο αποδιαμορφωτής υπολογίζει κατευθείαν τις αποστάσεις του λαμβανόμενου συμβόλου από τα σύμβολα με 00, και 11 στις αντίστοιχες θέσεις δυαδικών ψηφίων. Η πρώτη τιμή d 00 αφορά την απόσταση του λαμβανόμενου συμβόλου από το πιο κοντινό έγκυρο σύμβολο το οποίο έχει τιμή 00 στις αντίστοιχες θέσεις bits. Η δεύτερη τιμή d 01 αφορά την απόσταση του λαμβανόμενου συμβόλου από το πιο κοντινό έγκυρο σύμβολο το οποίο έχει τιμή 01 στις αντίστοιχες θέσεις bits. Η τρίτη τιμή d 10 αφορά την απόσταση του λαμβανόμενου συμβόλου από το πιο κοντινό έγκυρο σύμβολο το οποίο έχει τιμή 10 στις αντίστοιχες θέσεις bits. Και τέλος, η τέταρτη τιμή d 11 αφορά την απόσταση του λαμβανόμενου συμβόλου από το πιο κοντινό έγκυρο σύμβολο το οποίο έχει τιμή 11 στις αντίστοιχες θέσεις bits. 115

132 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Σχήμα 7. 9: Όρια απόφασης για δυαδικά ψηφία b 3 b 2 και διαμόρφωση 16 QAM Στο σχήμα 7.9 φαίνονται τα όρια απόφασης για το ζευγάρι δυαδικών ψηφίων b 3 b 2 ενώ στο σχήμα 7.10 φαίνονται τα όρια απόφασης για το ζευγάρι δυαδικών ψηφίων b 1 b 0 για διαμόρφωση 16 QAM. 116

133 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Σχήμα 7. 10: Όρια απόφασης για δυαδικά ψηφία b 1 b 0 και διαμόρφωση 16 QAM Στο σχήμα 7.11 φαίνονται οι αποστάσεις ενός λαμβανόμενου συμβόλου από τα σύμβολα που έχουν στη θέση των ψηφίων b 3 b 2 την τιμή 00 (κόκκινο χρώμα), 01 (πράσινο χρώμα), 10 (μπλε χρώμα) και 11 (κίτρινο χρώμα). 117

134 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Ζευγάρι ψηφίων b3b2 I 16 - QAM gray code Απόσταση από το 00 Απόσταση από το 01 Απόσταση από το Απόσταση από το Q Σχήμα 7. 11: Αποστάσεις λαμβανόμενου συμβόλου από τα 00, 01, 10 και 11 για τα ψηφία b 3 b 2 Η διαδικασία παραγωγής των τιμών αυτών παρουσιάζεται στο σχήμα Σχήμα 7. 12: Block διάγραμμα δέκτη με ξεχωριστό αποδιαμορφωτή (Soft τιμές) και αποκωδικοποιητή 118

135 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Από κοινού αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση με τον αλγόριθμο Viterbi Στην τεχνική αυτή, διατηρείται η soft πληροφορία των λαμβανόμενων συμβόλων με μια διαφορετική προσέγγιση σε σχέση με τις προηγούμενες τεχνικές. Η αποδιαμόρφωση και η αποκωδικοποίηση πραγματοποιούνται ταυτόχρονα, όπως φαίνεται και στο σχήμα Αυτό επιτυγχάνεται με την τροποποίηση του διαγράμματος trellis, έτσι ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν soft τιμές στον αποκωδικοποιητή. Σχήμα 7. 13: Block διάγραμμα δέκτη με ταυτόχρονη αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση Ο μετασχηματισμός του διαγράμματος trellis εξαρτάται κάθε φορά από τον κωδικοποιητή και την διαμόρφωση QAM που πρόκειται να χρησιμοποιηθεί. Για να γίνει καλύτερα κατανοητός ο μετασχηματισμός, θα χρησιμοποιηθεί ο κωδικοποιητής του σχήματος 3.2 με το διάγραμμα καταστάσεων του, που φαίνεται στο σχήμα 3.4 και το διάγραμμα trellis του, που φαίνεται στο σχήμα 3.6 ενώ η διαμόρφωση που θα χρησιμοποιηθεί θα είναι η 16 QAM. Στο αρχικό διάγραμμα trellis ένα δυαδικό ψηφίο εισόδου καθορίζει τη μετάβαση και δίνει ως έξοδο δύο δυαδικά ψηφία. Στο νέο διάγραμμα super trellis η μετάβαση από τη μία κατάσταση στην επόμενη πραγματοποιείται με την είσοδο δύο δυαδικών ψηφίων και δίνει ως έξοδο τέσσερα δυαδικά ψηφία ή ένα 16 QAM σύμβολο. Το μετασχηματισμένο διάγραμμα καταστάσεων φαίνεται στο σχήμα 7.14 στο οποίο τόσο οι είσοδοι όσο και οι έξοδοι είναι σε δεκαδική μορφή. Επίσης, σε κάθε κατάσταση η είσοδος μηδέν συμβολίζεται με κόκκινο χρώμα, η είσοδος ένα με μπλε χρώμα, η είσοδος δύο με πράσινο χρώμα και η είσοδος τρία με ροζ χρώμα. Το αντίστοιχο διάγραμμα super trellis με τους ίδιους συμβολισμούς φαίνεται στο σχήμα

136 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Σχήμα 7. 14: Μετασχηματισμένο διάγραμμα καταστάσεων για κωδικοποιητή ½(7,5) με Μήκος Περιορισμού 3 Κατάσταση Χρόνος t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 Είσοδος 00 Είσοδος 01 Είσοδος 10 Είσοδος Σχήμα 7. 15: Μετασχηματισμένο διάγραμμα trellis για κωδικοποιητή ½(7,5) με Μήκος Περιορισμού 3 120

137 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος αυτή για οποιαδήποτε QAM διαμόρφωση σε οποιοδήποτε κωδικοποιητή. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, δεν μπορεί να εφαρμοστεί η διαμόρφωση 64 QAM ή και μεγαλύτερη. Στην περίπτωση της διαμόρφωσης 64 QAM η μετάβαση από τη μία κατάσταση στην επόμενη πραγματοποιείται με είσοδο τρία δυαδικά ψηφία, τα οποία δίνουνε 6 δυαδικά ψηφία εξόδου, δηλαδή ένα από τα 64 δυνατά σύμβολα. Όμως, κοιτώντας το αρχικό διάγραμμα trellis διαπιστώνεται ότι στο νέο διάγραμμα super trellis η μετάβαση από τη μία κατάσταση στην επόμενη δεν γίνεται μοναδικά, αλλά μέσα από δύο διαφορετικές διαδρομές, πράγμα το οποίο καθιστά την αποκωδικοποίηση αδύνατη. Αυτό φαίνεται καλύτερα στο σχήμα Σχήμα 7. 16: Μετάβαση από μία κατάσταση σε άλλη με δύο διαφορετικές διαδρομές στην περίπτωση της διαμόρφωσης 64 QAM για κωδικοποιητή ½(7,5) με Μήκος Περιορισμού 3 Παρατηρώντας το σχήμα 7.16 φαίνεται ότι η μετάβαση από την κατάσταση 0 στην κατάσταση 0 στο νέο διάγραμμα super trellis πραγματοποιείται τόσο με είσοδο 000 όσο και με είσοδο 111, ενώ οι ακολουθίες εξόδου είναι (σύμβολο 0) και (σύμβολο 59) αντίστοιχα. Στην αποκωδικοποίηση, θα είναι γνωστή η κατάσταση t-1 και η κατάσταση t, αλλά δεν θα μπορεί να αποφασιστεί ποια ακολουθία προκάλεσε τη μετάβαση γιατί αυτή γίνεται με δύο διαφορετικές ακολουθίες. Το πρόβλημα ξεπερνιέται αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποιητής με μεγαλύτερο Μήκος Περιορισμού, έτσι ώστε σε κάθε επόμενη κατάσταση να μπορεί να γίνει μετάβαση με μοναδική διαδρομή. 121

138 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης 7.2 Απόδοση των τεχνικών και κβάντιση Απόδοση τεχνικών χωρίς κβάντιση Στις επόμενες γραφικές παραστάσεις φαίνεται η απόδοση των τεσσάρων τεχνικών για διαμορφώσεις 16 QAM και 64 QAM και για δύο διαφορετικούς κωδικοποιητές. Ο πρώτος είναι ένας Συστηματικός Συνελικτικός Κωδικοποιητής Ρυθμού ½ (17,15) με μήκος Περιορισμού 4 (γραφικές παραστάσεις 7.17 και 7.18) και ο δεύτερος είναι ο Συστηματικός Συνελικτικός Κωδικοποιητής Ρυθμού ½ (177,133) με μήκος Περιορισμού 7 (γραφικές παραστάσεις 7.19 και 7.20) που έχει χρησιμοποιηθεί και σε προηγούμενα παραδείγματα. Όλες οι πράξεις έχουν γίνει χωρίς κβάντιση, χρησιμοποιώντας την ακρίβεια της MATLAB VITERBI - QAM 16 - Nodes : 8 - Number of Errors: Bit Error Rate (BER) High Radix Soft Demode and Decode Soft Demode per 2 bits Soft Demode per bit Hard Demode E b /N 0 Γραφική Παράσταση 7. 1: Διαμόρφωση 16 QAM με Συστηματικό Συνελικτικό Κωδικοποιητή Ρυθμού ½ (17,15) με Μήκος Περιορισμού 4 122

139 Κεφάλαιο Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης VITERBI - QAM 64 - Nodes : 8 - Number of Errors: 100 Bit Error Rate (BER) High Radix Soft Demode and Decode Soft Demode per 2 bits Soft Demode per bit Hard Demode E b /N 0 Γραφική Παράσταση 7. 2: Διαμόρφωση 64 QAM με Συστηματικό Συνελικτικό Κωδικοποιητή Ρυθμού ½ (17,15) με Μήκος Περιορισμού VITERBI - QAM 16 - Nodes : 64 - Number of Errors: Bit Error Rate (BER) High Radix Soft Demode and Decode Soft Demode per 2 bits Soft Demode per bit Hard Demode Eb/No Γραφική Παράσταση 7. 3: Διαμόρφωση 16 QAM με Συστηματικό Συνελικτικό Κωδικοποιητή Ρυθμού ½ (177,133) με Μήκος Περιορισμού 7 123

140 Κεφάλαιο Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης VITERBI - QAM 64 - Nodes : 64 - Number of Errors: 100 Bit Error Rate (BER) High Radix Soft Demode and Decode Soft Demode per 2 bits Soft Demode per bit Hard Demode E b /N 0 Γραφική Παράσταση 7. 4: Διαμόρφωση 64 QAM με Συστηματικό Συνελικτικό Κωδικοποιητή Ρυθμού ½ (177,133) με Μήκος Περιορισμού 7 Συγκρίνοντας τις παραπάνω τεχνικές γίνεται φανερό ότι η τεχνική της Hard αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης παρουσιάζει τη χειρότερη απόδοση για όλους τους κωδικοποιητές και για όλες τις διαμορφώσεις, λόγω της μη διατήρησης soft πληροφορίας. Στην περίπτωση του κωδικοποιητή με τους οκτώ κόμβους παρατηρούμε ότι για διαμόρφωση 16 QAM, η απόδοση των τριών τεχνικών, Soft αποκωδικοποίηση ανά bit, Soft αποκωδικοποίηση ανά ζευγάρι bits και ταυτόχρονη αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση είναι παρόμοια για E b /N 0 από 0 έως και 8. Σε μικρότερα επίπεδα θορύβου (E b /N 0 >9) η τεχνική της ταυτόχρονης αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης παρουσιάζει χειρότερη απόδοση. Στην περίπτωση της διαμόρφωσης 64 QAM, τα πράγματα αλλάζουν και για όλο το φάσμα θορύβου που γίνεται η μελέτη, η τεχνική της ταυτόχρονης αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης έχει την καλύτερη απόδοση, αν και οι μεγάλες διαφορές βρίσκονται για μικρά επίπεδα θορύβου και συγκεκριμένα για E b /N 0 μεγαλύτερα του οκτώ. Η τεχνική της Soft αποκωδικοποίησης ανά ζευγάρι bits ακολουθεί όσον αφορά την απόδοση, ενώ πολύ κοντά βρίσκεται και η τεχνική της Soft αποκωδικοποίησης ανά bit. 124

141 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Στην περίπτωση του αποκωδικοποιητή με τους 64 κόμβους, όπου είναι και πιο ρεαλιστικό παράδειγμα, παρατηρούμε ότι για 16 QAM, η απόδοση της τεχνικής της ταυτόχρονης αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης είναι καλύτερη, έστω και οριακά, για E b /N 0 από 0 έως και 11, ενώ από εκεί και πέρα, όπου έχουμε μικρότερα επίπεδα θορύβου, η απόδοση της χειροτερεύει σε σχέση με τις άλλες δύο τεχνικές. Στην περίπτωση της διαμόρφωσης 64 QAM, παρατηρούμε ότι η τεχνική της ταυτόχρονης αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης έχει την καλύτερη απόδοση σε όλο το φάσμα θορύβου, αν και οι μεγάλες διαφορές βρίσκονται για μικρά επίπεδα θορύβου και συγκεκριμένα για E b /N 0 μεγαλύτερα του δέκα. Η τεχνική της Soft αποκωδικοποίησης ανά ζευγάρι bits ακολουθεί όσον αφορά την απόδοση, ενώ πολύ κοντά βρίσκεται και η τεχνική της Soft αποκωδικοποίησης ανά bit Κβάντιση των τεχνικών Για την υλοποίηση των παραπάνω τεχνικών θα πρέπει να βρεθεί αρχικά, ο ιδανικός αριθμός δυαδικών ψηφίων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση των δεδομένων που λαμβάνει ο δέκτης. Έγιναν εξομοιώσεις για διάφορες τιμές του E b /N 0 οι οποίες έδειξαν την κατανομή των τιμών που λαμβάνει ο δέκτης. Για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων έγινε αποστολή και λήψη 5x10 5 δυαδικών ψηφίων. Οι τιμές που λαμβάνει ο δέκτης κυμαίνονται σε διαφορετικά διαστήματα ανάλογα με τη διαμόρφωση που χρησιμοποιείται και τον θόρυβο του καναλιού. Στα σχήματα 7.17, 7.18 και 7.19 φαίνεται η διακύμανση των τιμών για διαμόρφωση 16 QAM με το E b /N 0 να ισούται με 0, 1 και 8 αντίστοιχα. Στα σχήματα 7.20, 7.21 και 7.22 φαίνεται η διακύμανση των τιμών για διαμόρφωση 64 QAM με το E b /N 0 να ισούται με 0, 1 και 8 αντίστοιχα. 125

142 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Σχήμα 7. 17: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 0 και διαμόρφωση 16 QAM Σχήμα 7. 18: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 1 και διαμόρφωση 16 QAM 126

143 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Σχήμα 7. 19: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 8 και διαμόρφωση 16 QAM Σχήμα 7. 20: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 0 και διαμόρφωση 64 QAM 127

144 Κεφάλαιο 7 Πολυπλοκότητα της από κοινού αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης Σχήμα 7. 21: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 1 και διαμόρφωση 64 QAM Σχήμα 7. 22: Διασπορά τιμών για E b /N 0 = 8 και διαμόρφωση 64 QAM 128