Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα Ορισμός 411 Μια ομάδα (G, ) ονομάζεται επιλύσιμη αν, διαθέτει μια ορθόθετη σειρά G = G 0 G 1 G r = {e G } με αβελιανούς παράγοντες Παραδείγματα 411 (αʹ) Κάθε αβελιανή ομάδα (G, ) είναι επιλύσιμη, αφού ο μοναδικός παράγοντας τής τετριμμένης ορθόθετης σειράς είναι αβελιανός G {e G } (βʹ) Η εναλλάσσουσα υποομάδα A 4 τής συμμετρικής ομάδας (S 4, ) είναι επιλύσιμη, αφού η σειρά A 4 V {Id S4 }, όπου V = { Id S4, ( 1 2 ) ( 3 4 ), ( 1 3 ) ( 2 4 ), ( 1 4 ) ( 2 3 )} είναι ορθόθετη και οι παράγοντες A 4 /V και V/{Id S4 } είναι αβελιανοί, επειδή πρόκειται για ομάδες με πλήθος στοιχείων 4 (γʹ) Η συμμετρική ομάδα (S 5, ) δεν είναι επιλύσιμη Πράγματι, η σειρά S 5 A 5 {Id S5 } είναι μια κυρίαρχη σειρά για την S 5 Αν λοιπόν υπήρχε μια ορθόθετη σειρά με αβελιανούς παράγοντες για την S 5, τότε αυτή θα εκλεπτύνονταν σε μια κυρίαρχη σειρά, 65

4 4 Επιλύσιμες Ομάδες τής οποίας οι κυρίαρχοι παράγοντες θα ήταν αβελιανοί, βλ την αμέσως επόμενη Παρατήρηση 411 Αφού όμως δύο οποιεσδήποτε κυρίαρχες σειρές είναι ισόμορφες, θα υπήρχε μεταξύ αυτών των κυρίαρχων παραγόντων και ένας κυρίαρχος παράγοντας ισόμορφος με την A 5, η οποία όμως δεν είναι αβελιανή ομάδα (δʹ) Η εναλλάσσουσα υποομάδα A n τής συμμετρικής ομάδας (S n, ) δεν είναι επιλύσιμη όταν n 5 Πράγματι, η A n {Id Sn } είναι η μόνη γνήσια ορθόθετη σειρά για την A n, αφού η A n είναι απλή όταν n 5 (εʹ) Έστω ότι (GL 2 (k), ) είναι η ομάδα των αντιστρέψιμων 2 2 πινάκων με συνιστώσες από ένα σώμα k, ότι {( ) } a b G = a, b, d k, ad 0 0 d είναι η υποομάδα τής GL 2 (k) που αποτελείται από τους άνω τριγωνικούς πίνακες και ότι {( ) } 1k b G 1 = b k 0 1 k είναι η υποομάδα τής GL 2 (k) που αποτελείται από τους πίνακες, οι οποίοι έχουν όλα τα διαγώνια στοιχεία ίσα με το μοναδιαίο στοιχείο 1 k τού k Η σειρά G G 1 {I 2 }, όπου I 2 είναι ο ταυτοτικός 2 2 πίνακας, είναι μια ορθόθετη σειρά για την G Επιπλέον η πηλικοομάδα G/G 1 είναι αβελιανή, επειδή είναι ισόμορφη με το ευθύ γινόμενο k k, όπου (k = k \ {0}, ) είναι η πολλαπλασιαστική ομάδα τού σώματος k και η πηλικοομάδα G 1 / {I 2 } είναι αβελιανή, επειδή είναι ισόμορφη με την προσθετική ομάδα (k, +) τού σώματος k Επομένως, η G είναι επιλυσιμη ομάδα Παρατηρήσεις 411 Έστω ότι (G, ) είναι μια επιλύσιμη ομάδα και ότι G = G 0 G 1 G i G i+1 G r = {e G } (*) είναι μια ορθόθετη σειρά για την G με αβελιανούς παράγοντες Οι παράγοντες οποιασδήποτε ορθόθετης εκλέπτυνσης τής (*) είναι επίσης αβελιανοί Είναι αρκετό να εξετάσουμε τους παράγοντες που προκύπτουν εκλεπτύνοντας τη σειρά μεταξύ των όρων G i και G i+1 Ας υποθέσουμε ότι μεταξύ των G i και G i+1 ενθέτουμε τις ορθόθετες υποομάδες N j, j = 1, 2,, l: G i N 1 N 2 N j N j+1 N l G i+1 Οι παράγοντες N l /G i+1 G i /G i+1 και G i /N 1 = (Gi /G i+1 )/(N 1 /G i+1 ) είναι αβελιανοί, επειδή ο παράγοντας G i /G i+1 είναι αβελιανός Κάθε παράγοντας N j /N j+1, j = 1, 2,, l 1 περιέχεται στην πηλικοομάδα G i /N j+1, η οποία είναι αβελιανή ως επιμορφική εικόνα τής G i /G i+1, αφού G i /N j+1 = (Gi /G i+1 )/(N j+1 /G i+1 ) Ώστε ο παράγοντας N j /N j+1 είναι αβελιανός j, 1 j l 1 Ν Μαρμαρίδης 66

5 41 Προκαταρκτικές Έννοιες Πρόταση 411 Έστω ότι (G, ) είναι μια επιλύσιμη ομάδα Κάθε υποομάδα H τής G και κάθε πηλικοομάδα G/N, όπου N G, είναι επίσης επιλύσιμη ομάδα Απόδειξη Έστω ότι η G = G 0 G 1 G i G i+1 G r = {e G } είναι μια ορθοθετη σειρά για τη G με αβελιανούς παράγοντες Αν H G είναι μια υποομάδα τής G, τότε θεωρούμε τη σειρά H = H G = H G 0 H G 1 H G i H G i+1 H G r = H {e G } = {e G } (**) Προφανώς, i, 0 i r, η H G i είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής H Επιπλέον, H G i /H G i+1 = H G i /(H G i ) G i+1 = (H Gi )G i+1 /G i+1 G i /G i+1 και έτσι προκύπτει ότι οι παράγοντες τής (**) είναι αβελιανοί Αν G/N είναι μια πηλικοομάδα τής G, όπου N G, τότε θεωρούμε τη σειρά Παρατηρούμε ότι G/N = G 0 /N G 1 N/N G i N/N G i+1 N/N G r N/N = N/N = {N} (***) (G i N/N)/(G i+1 N/N) = G i N/G i+1 N = G i (G i+1 N)/G i+1 N = G i /G i (G i+1 N) = (G i /G i+1 )/(G i (G i+1 N)/G i+1 ) (Προσέξτε ότι επιτρέπεται ο σχηματισμός τής πηλικοομάδας (G i (G i+1 N)/G i+1 ), επειδή G i+1 G i (G i+1 N), αφού G i+1 G i ) Ώστε i, 0 i r 1, ο παράγοντας (G i N/N)/(G i+1 N/N) είναι ισόμορφος με μια επιμορφική εικόνα τής αβελιανής ομάδας G i /G i+1 και γι αυτό είναι επίσης αβελιανός Επομένως, η (***) είναι μια ορθόθετη σειρά με αβελιανούς παράγοντες για την πηλικοομάδα G/N Συνεπώς, η G/N είναι μια επιλύσιμη ομάδα Πόρισμα 411 Η συμμετρική ομάδα (S n, ) δεν είναι επιλύσιμη όταν n 5 Απόδειξη Αν ήταν η S n επιλύσιμη, τότε θα ήταν και η A n επιλύσιμη Αλλά όπως είδαμε αυτό είναι αδύνατο, αφού η A n είναι απλή όταν n 5 67 Ν Μαρμαρίδης

6 4 Επιλύσιμες Ομάδες Πρόταση 412 Έστω ότι (G, ) είναι μια πεπερασμένη επιλύσιμη ομάδα (α ) Αν η G είναι απλή ομάδα, τότε είναι μια κυκλική ομάδα πρώτης τάξης (β ) Οποιοσδήποτε συνθετικός παράγοντας τής G είναι μια κυκλική ομάδα πρώτης τάξης (γ ) Οποιοσδήποτε κυρίαρχος παράγοντας τής G είναι μια στοιχειώδης αβελιανή p ομάδα Απόδειξη (α ) Κάθε επιλύσιμη ομάδα G διαθέτει μια ορθόθετη σειρα με αβελιανούς παράγοντες Αφού όμως η G είναι απλή, η μοναδική ορθόθετη σειρά για την G είναι η G {e G } και ο παράγοντας G/{e G } = G οφείλει να είναι αβελιανός Συνεπώς, η G είναι μια απλή αβελιανή ομάδα και από την Πρόταση 2211 γνωρίζουμε ότι οι απλές κυκλικές ομάδες είναι κυκλικές πρώτης τάξης (β ) και (γ ) Οποιαδήποτε ορθόθετη σειρά με αβελιανούς παράγοντες για την G μπορεί να εκλεπτυνθεί σε μια συνθετική (αντιστοίχως κυρίαρχη) σειρά για την G Με τρόπο ανάλογο τής Παρατήρησης 411 διαπιστώνουμε ότι οι συνθετικοί (αντιστοίχως κυρίαρχοι) παράγοντες είναι αβελιανοί Συνεπώς, οι συνθετικοί (κυρίαρχοι) παράγοντες είναι απλές (αντιστοίχως χαρακτηριστικώς απλές) αβελιανές ομάδες που όπως γνωρίζουμε, βλ Πρόταση 2211 (αντιστοίχως βλ Πόρισμα 333), είναι κυκλικές ομάδες πρώτης τάξης (αντιστοίχως στοιχειώδεις αβελιανές p ομάδες) 42 Μεταθέτες και παράγωγες Ομάδες Ορισμός 421 Έστω (G, ) μια ομάδα Το στοιχείο xyx 1 y 1, όπου x, y G ονομάζεται ο μεταθέτης των x, y και συμβολίζεται με [x, y] Ορισμός 422 Έστω (G, ) μια ομάδα Ονομάζουμε μεταθέτρια ή παράγωγη υποομάδα τής G, την υποομάδα τής G που παράγεται από το σύνολο των μεταθετών τής G Με άλλα λόγια η μεταθέτρια (παράγωγη) υποομάδα μιας ομάδας (G, ) είναι η G = [x, y] x, y G Συνηθίζεται να συμβολίζουμε τη μεταθέτρια (παράγωγη) υποομάδα τής G με G ή με [G, G] Πριν προχωρήσουμε σε παραδείγματα αποδεικνύουμε μια ιδιαιτέρως χρήσιμη πρόταση Ν Μαρμαρίδης 68

7 42 Μεταθέτες και παράγωγες Ομάδες Πρόταση 421 Έστω (G, ) μια ομάδα και G η παράγωγη υποομάδα της Τότε (α ) Η G είναι μια χαρακτηριστική υποομάδα τής G (β ) Η G είναι η μικρότερη ορθόθετη υποομάδα τής G που έχει την ιδιότητα, η πηλικοομάδα G/G να είναι αβελιανή (Δηλαδή, αν N είναι ορθόθετη υποομάδα τής G με την ιδιότητα, η πηλικοομάδα G/N να είναι αβελιανή, τότε G N) Απόδειξη (α ) Σύμφωνα με την Παρατήρηση 221, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε αυτομορφισμό ϕ Aut(G), είναι ϕ(g ) G Αλλά η εικόνα ϕ([x, y]) οποιουδήποτε μεταθέτη [x, y] είναι και πάλι ένας μεταθέτης, αφού ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] Επομένως, ϕ(g ) G (β ) Η πηλικοομάδα G/G είναι αβελιανή, αφού x, y G, [x 1, y 1 ] G xyg = yxg Αν N είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G τέτοια, ώστε η G/N να είναι αβελιανή, τότε x, y G, xyn = yxn x, y G, [x 1, y 1 ] N Επομένως, κάθε γεννήτορας τής G ανήκει στην N και γι αυτό G N Παρατηρήσεις 421 Μια ομάδα (G, ) είναι αβελιανή αν, και μόνο αν, η παράγωγη υποομάδα της G ισούται με την τετριμμένη υποομάδα {e G } Πράγματι, η G είναι αβελιανή αν, και μόνο αν, η πηλικοομάδα G/{e G } είναι αβελιανή αν, και μόνο αν, G = {e G } Παραδείγματα 421 (αʹ) Η συμμετρική ομάδα (S 3, ) δεν είναι αβελιανή Επομένως, η παράγωγη υποομάδα [S 3, S 3 ] = S 3 δεν ισούται με την {Id S 3 } Η S 3 είναι υποομάδα τής A 3, αφού κάθε γεννήτοράς της, δηλαδή κάθε μεταθέτης σ τ σ 1 τ 1, σ, τ S 3 είναι άρτια μετάταξη τής S 3 Αφού οι μοναδικές υποομάδες τής A 3 είναι οι A 3 και {Id S3 }, συμπεραίνουμε ότι [S 3, S 3 ] = S 3 = A 3 (βʹ) Η εναλλάσσουσα ομάδα A 4 δεν είναι αβελιανή, επομένως [A 4, A 4 ] = A 4 {e A4 } Η υποομάδα V = { Id S4, ( 1 2 ) ( 3 4 ), ( 1 3 ) ( 2 4 ), ( 1 4 ) ( 2 3 )} τής A 4 είναι ορθόθετη και η πηλικοομάδα A 4 /V είναι αβελιανή Επομένως, A 4 V Αλλά η μοναδική ορθόθετη και {e A4 } υποομάδα τής A 4 που περιέχεται στη V είναι η V Συνεπώς, [A 4, A 4 ] = A 4 = V (γʹ) Θεωρούμε τη διεδρική ομάδα D 4 = ρ, s : ρ 4 = Id, s 2 = Id, ρs = sρ 1 Η D 4 δεν είναι αβελιανή και γι αυτό [D 4, D 4 ] = D 4 {Id} Το κέντρο Z(D 4 ) είναι ίσο με την κυκλική υποομάδα ρ 2 και η πηλικοομάδα D 4 /Z(D 4 ) είναι αβελιανή, επειδή [D 4 : Z(D 4 )] = 4 Οι μοναδικές υποομάδες τής Z(D 4 ) είναι οι Z(D 4 ) και {Id} Αφού {Id} D 4 Z(D 4 ), συμπεραίνουμε ότι [D 4, D 4 ] = D 4 = Z(D 4 ) (δʹ) Θεωρούμε την εναλλάσσουσα υποομάδα A 5 τής συμμετρικής ομάδας (S 5, ) Η A 5 δεν είναι αβελιανή, επομένως A 5 {e A5 } Επειδή η A 5 είναι απλή ομάδα και επειδή η παράγωγη υποομάδα της A 5 είναι ορθόθετη, η μοναδική επιλογή για την A 5 είναι η A 5 = A 5 69 Ν Μαρμαρίδης

8 4 Επιλύσιμες Ομάδες Η παράγωγη Σειρά μιας Ομάδας Ορισμός 423 Έστω (G, ) μια ομάδα Ορίζουμε επαγωγικά τις ανώτερες παράγωγες υποομάδες τής G, όπου i N {0}, ως G (0) = G, G (1) = [G, G] = G και G (i+1) = [G (i), G (i) ] = (G (i) ) Δηλαδή, η G (i+1) είναι η παράγωγη υποομάδα τής G (i) Ορισμός 424 Έστω (G, ) μια ομάδα Η σειρά G = G (0) G (1) G (i) G (i+1) ονομάζεται η παράγωγη σειρά για την ομάδα G Παραδείγματα 422 Από τα Παραδείγματα 421 έχουμε ότι (αʹ) Η παράγωγη σειρά για τη συμμετρική ομάδα (S 3, ) είναι η S 3 = S (0) 3 > S (1) 3 = A 3 > S (2) 3 = A 3 = {Id S3 } (βʹ) Η παράγωγη σειρά για την εναλλάσσουσα ομάδα (A 4, ) είναι η A 4 = A (0) 4 > A (1) 4 = V > A (2) 4 = V = {e A4 } (γʹ) Η παράγωγη σειρά για τη διεδρική ομάδα (D 4, ) είναι η D 4 = D (0) 4 > D (1) 4 = Z(D 4 ) > D (2) 4 = Z(D 4 ) = {Id} (δʹ) Η παράγωγη σειρά για την εναλλάσσουσα ομάδα (A 5, ) είναι η αφού i N {0}, A (i) 5 = A 5 A 5 = A 5 = = A 5 = = A 5 =, Πρόταση 422 Έστω (G, ) μια ομάδα Για κάθε n N {0}, η παράγωγη υποομάδα της G (n) είναι οροθόθετη Απόδειξη Θα εκτελέσουμε την απόδειξη με επαγωγή ως προς n N {0} Για n = 0 ο ισχυρισμός είναι αληθής, αφού G (0) = G Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για n = r, δηλαδή ότι G (r) G Για n = r + 1 γνωρίζουμε, βλ Πρόταση 421, ότι η G (r+1) είναι χαρακτηριστική υποομάδα τής G (r) και αφού G (r) G, έπεται, βλ Παρατήρηση 222, ότι G (r+1) G Επομένως, n N {0}, G (n) G Ν Μαρμαρίδης 70

9 42 Μεταθέτες και παράγωγες Ομάδες Θεώρημα 421 Έστω (G, ) μια ομάδα Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: (α ) Η G είναι μια επιλύσιμη ομάδα (β ) Υπάρχει μια υποορθόθετη σειρά για τη G με όλους τους παράγοντές της αβελιανούς (γ ) Υπάρχει r N {0} με την παράγωγη υποομάδα G (r) ίση με {e G } Απόδειξη (α ) (β ) Προφανές, αφού κάθε ορθόθετη σειρά για την G είναι επίσης υποορθόθετη σειρά για την G (β ) (γ ) Θα δείξουμε ότι αν, G = G 0 G 1 G i G i+1 G r = {e G } (*) είναι μια υποορθόθετη σειρά για την G με αβελιανούς παράγοντες, τότε k N {0}, η παράγωγη υποομάδα G (k) περιέχεται στον όρο G k τής (*) (Δεχόμαστε ότι G s = G r = {e G }, s N {0}, s r) Θα εκτελέσουμε την απόδειξη με επαγωγή ως προς k N {0} Για k = 0, ο ισχυρισμός είναι αληθής, αφού G (0) = G και G 0 = G Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για k = t, δηλαδή ότι G (t) G t Θα δείξουμε ότι είναι αληθής για k = t + 1, δηλαδή ότι G (t+1) G t+1 Επειδή η πηλικοομάδα G t /G t+1 είναι αβελιανή, συμπεραίνουμε, βλ Πρόταση 421, ότι (G t ) = [G t, G t ] G t+1 Τώρα έχουμε: G (t+1) = (G (t) ) (G t ) G t+1 Ώστε k N {0}, είναι G (k) G k Αφού λοιπόν G r = {e G } και επειδή G (r) G r, συμπεραίνουμε ότι G (r) = {e G } (γ ) (α ) Λόγω τής υπόθεσης, η παράγωγη σειρά για την G εκφυλίζεται κατόπιν ενός πεπερασμένου αριθμού βημάτων, δηλαδή είναι τής μορφής G = G (0) G (1) G (i) G (i+1) G r = {e G } (*) Λόγω τής Πρότασης 422, οι παράγωγες υποομάδες G (i) είναι i, 0 i r ορθόθετες υποομάδες τής G Επιπλέον, i, 0 i r 1, οι παράγοντες G (i) /G (i+1) είναι αβελιανοί Επομένως, η (*) είναι μια ορθόθετη σειρά με αβελιανούς παράγοντες για την G Ώστε η G είναι επιλύσιμη ομάδα Πόρισμα 421 Μια ομάδα (G, ) είναι επιλύσιμη αν, και μόνο αν, υπάρχει για τη G μια υποορθόθετη σειρά τής οποίας όλοι οι παράγοντες είναι κυκλικές ομάδες πρώτης τάξης Απόδειξη Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, υπάρχει για τη G μια υποορθόθετη σειρά με αβελιανούς παράγοντες Η συγκεκριμένη σειρά εκλεπτύνεται σε μια συνθετική σειρά για την G Η Πρόταση 412 μας πληροροφορεί ότι όλοι οι συνθετικοί παράγοντες 71 Ν Μαρμαρίδης

10 4 Επιλύσιμες Ομάδες αυτής τής σειράς είναι κυκλικές ομάδες πρώτης τάξης Η υποορθόθετη σειρά την ομάδα G έχει όλους τους παράγοντές της αβελιανούς Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα η ομάδα G είναι επιλύσιμη Προσέξτε ότι χάρη στο προηγούμενο θεώρημα, η αρχική ισχυρή συνθήκη για την επιλυσιμότητα μιας ομάδας, που απαιτούσε την ύπαρξη μια ορθόθετης σειράς με αβελιανούς παράγοντες, αντικαταστάθηκε από μια ασθένεστερη αλλά ισοδύναμη συνθήκη, η οποία απιτεί την ύπαρξη μιας υποορθόθετης σειράς με αβελιανούς παράγοντες Αυτή η ασθενέστερη συνθήκη επιτρέπει τη συμπλήρωση τής Πρότασης 411 στην εξής: Πρόταση 423 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και ότι N G είναι μια ορθόθετη υποομάδα της Αν η υποομάδα N και η πηλικοομάδα G/N είναι επιλύσιμες, τότε είναι και η G επιλύσιμη ομάδα Απόδειξη Αφού η G/N είναι επιλύσιμη, υπάρχει μια υποορθόθετη σειρά για τη G/N Ας πούμε ότι η συγκεκριμένη υποορθόθετη σειρά είναι η: G/N = G 0 G 1 G 2 G i G i+1 G r = {N} (*) Συνεπώς, i, 0 i r 1 η υποομάδα G i+1 είναι ορθόθετη υποομάδα τής G i και το πηλίκο G i /G i+1 είναι αβελιανό Για κάθε i, 0 i r 1, υπάρχει υποομάδα G i τής G με N G i και με G i /N = G i, όπου επιπλέον η G i+1 ορθόθετη υποομάδα τής G i Γι αυτό από την (*) επάγεται η σειρά των υποομάδων G = G 0 G 1 G 2 G i G i+1 G r = N, (**) όπου i, 0 i r 1 η πηλικοομάδα G i /G i+1 είναι αβελιανή, αφού G i /G i+1 = Gi /G i+1 Θεωρούμε τώρα μια υποορθόθετη σειρά για την επιλύσιμη υποομάδα N, που έχει όλους τους παράγοντές της αβελιανούς: N = N 0 N 1 N 2 N j N j+1 N t = {e G } (***) Συνενώνοντας τις σειρές (**) και (***) προκύπτει η σειρά G = G 0 G 1 G i G r = N = N 0 N 1 N j N t = {e G }, η οποία είναι μια υποορθόθετη σειρά για την G με όλους τους παράγοντές της αβελιανούς Παραδείγματα 423 Η συμμετρική ομάδα (S 3, ) (αντιστοίχως (S 4, )) είναι επιλύσιμη ομάδα, διότι η ορθόθετη υποομάδα της A 3 (αντιστοίχως A 4 ) είναι επιλύσιμη και η πηλικοομάδα S 3 /A 3 (αντιστοίχως S 4 /A 4 ) είναι επίσης επιλύσιμη, αφού έχει μόνο δύο στοιχεία και ως εκ τούτου είναι αβελιανή και συνεπώς επιλύσιμη Ν Μαρμαρίδης 72

11 43 Μηδενοδύναμες Ομάδες 43 Μηδενοδύναμες Ομάδες Τα ανώτερα κέντρα μιας ομάδας Για οποιαδήποτε ομάδα (G, ) θα συμβολίζουμε με Z(G) το κέντρο της Θέτουμε Z 1 (G) = Z(G) Θεωρούμε την πηλικοομάδα G/Z 1 (G), την κανονική προβολή p 1 : G G/Z 1 (G) και ορίζουμε την υποομάδα Z 2 (G) τής G ως την αντίστροφη εικόνα ως προς p 1, τού κέντρου τής G/Z 1 (G), δηλαδή Z 2 (G) = p 1 1 (Z(G/Z 1 (G))) Συνεπώς, Z 2 (G)/Z 1 (G) = Z(G/Z 1 (G)) Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο ορίζουμε επαγωγικώς την υποομάδα Z i+1 (G) τής G ως την αντίστροφη εικόνα, ως προς την κανονική προβολή p i : G G/Z i (G), τού κέντρου τής G/Z i (G), δηλαδή Z i+1 (G) = p 1 i (Z(G/Z i (G))) Συνεπώς, Z i+1 (G)/Z i (G) = Z(G/Z i (G)) Τέλος θέτουμε Z 0 (G) = {e G } Ορισμός 431 Η σειρά {e G } = Z 0 (G) Z(G) = Z 1 (G) Z 2 (G) Z i (G) ονομάζεται η άνω κεντρική σειρά για την ομάδα (G, ) και οι όροι τής σειράς ονομάζονται τα ανώτερα κέντρα τής G Παρατηρήσεις 431 Για κάθε i N {0} οι υποομάδες Z i (G) είναι χαρακτηριστικές (επομένως και ορθόθετες) υποομάδες τής G Για i = 0 αυτό είναι τετριμμένο Θα δείξουμε με επαγωγή ότι i, i N ο ισχυρισμός είναι αληθής Για i = 1, η Z 1 (G) είναι το κέντρο τής G, το οποίο είναι γνωστό ότι είναι μια χαρακτηριστική υποομάδα τής G Έστω ότι η Z k (G) είναι μια χαρακτηριστική υποομάδα τής G Θα δείξουμε ότι η Z k+1 (G) είναι επίσης μια χαρακτηριστική υποομάδα τής G, αποδεικνύοντας ότι αν ϕ Aut(G), τότε ϕ(z k+1 (G)) Z k+1 (G) Παρατηρούμε ότι ένα στοιχείο x G ανήκει στην Z k+1 (G) αν, και μόνο αν, g G είναι xgz k (G) = gxz k (G) ή ισοδύναμα g G είναι x 1 g 1 xg Z k (G) Θα δείξουμε ότι, αν x Z k+1 (G), τότε ϕ(x) Z k+1 (G) Επειδή ο ϕ είναι ένας αυτομορφισμός, κάθε g G ισούται με κάποιο ϕ(h), h G Έτσι έχουμε: ϕ(x) Z k+1 (G) ϕ(h) G, ϕ(x 1 )ϕ(h) 1 ϕ(x)ϕ(h) = ϕ(x 1 h 1 xh) Z k (G) Αλλά αφού το x Z k+1 (G), έπεται ότι h G, το x 1 h 1 xh ανήκει στην Z k (G) Επομένως, το ϕ(x 1 h 1 xh) ανήκει στην ϕ(z k (G)), η οποία ισούται με την Z k (G), αφού λόγω τής επαγωγικής υπόθεσης είναι χαρακτηριστική Ώστε, αν x Z k+1 (G), τότε και ϕ(x) Z k+1 (G) Επομένως, ϕ(z k+1 (G)) Z k+1 (G) Παραδείγματα 431 (αʹ) Θεωρούμε τη συμμετρική ομάδα (S 3, ) Η άνω κεντρική σειρά για την S 3 είναι η {Id S3 } = Z 0 (S 3 ) = {Id S3 } = Z 1 (S 3 ) = = {Id S3 } = Z i (S 3 ) = 73 Ν Μαρμαρίδης

12 4 Επιλύσιμες Ομάδες αφού η S 3 έχει τετριμμένο κέντρο (βʹ) Η άνω κεντρική σειρά για την (S 4, ) είναι επίσης τετριμμένη, αφού {Id S4 } = Z 0 (S 4 ) = {Id S4 } = Z 1 (S 4 ) = = {Id S4 } = Z i (S 4 ) = επειδή το κέντρο Z(S 4 ) είναι η τετριμμένη υποομάδα {Id S4 } (γʹ) Γενικά, η άνω κεντρική σειρά μιας ομάδας (G, ) με τετριμμένο κέντρο είναι η τετριμμένη σειρά {e G } = Z 0 (G) = {e G } = Z 1 (G) = = {e G } = Z i (G) = Με την βοήθεια τής έννοιας τής άνω κεντρικής σειράς μπορούμε να αποδείξουμε άμεσα ότι Πρόταση 431 Κάθε p ομάδα (G, ) είναι επιλύσιμη και κάθε κυρίαρχος παράγοντάς της είναι κυκλική ομάδα τάξης p Απόδειξη Επειδή μια p ομάδα έχει μη τεριμμένο κέντρο και επειδή οι μη τετριμμένες πηλικοομάδες μιας p ομάδας είναι και αυτές p ομάδες, διαπιστώνουμε ότι η άνω κεντρική σειρά μιας p ομάδας έχει τη μορφή {e G } = Z 0 (G) < Z(G) = Z 1 (G) < < Z r (G) = G, αφού i, 0 i r, η Z i (G) είναι γνήσια υποομάδα τής Z i+1 (G) και γι αυτό κατόπιν ενός πεπερασμένου αριθμού βημάτων κάποιος όρος τής σειράς θα γίνει ίσος με G Τώρα όμως η άνω κεντρική σειρά είναι μια ορθόθετη σειρά για τη G με όλους τους παράγοντές της αβελιανούς Επομένως η G είναι επιλύσιμη Εκλεπτύνοντας την άνω κεντρική σειρά προκύπτει μια συνθετική σειρά με όλους τους συνθετικούς της παράγοντες απλές κυκλικές ομάδες Αλλά αυτοί οι συνθετικοί παράγοντες είναι υποομάδες πηλικοομάδων p ομάδων, όπου ο πρώτος p είναι σταθερός, γι αυτό όλοι οι συνθετικοί παράγοντες είναι κυκλικές ομάδες με τάξη τον συγκεκριμένο πρώτο αριθμό p Επιπλέον, οποιαδήποτε εκλέπτυνση τής άνω κεντρικής σειράς σε υποορθόθετη σειρά για την G είναι στην πραγματικότητα μια ορθόθετη σειρά (γιατί;) και γι αυτό η προηγούμενη συνθετική σειρά είναι επίσης μια κυρίαρχη σειρά Άρα κάθε κυρίαρχος παράγοντας τής G είναι κυκλική ομάδα τάξης p Ορισμός 432 Μια ομάδα (G, ) ονομάζεται μηδενοδύναμη αν, ο σχηματισμός τής άνω κεντρικής σειράς καταλήγει στην ομάδα G, κατόπιν ενός πεπερασμένου αριθμού βημάτων, δηλαδή υπάρχει κάποιος r N {0} με Z r (G) = G Ν Μαρμαρίδης 74

13 43 Μηδενοδύναμες Ομάδες Παρατηρήσεις 432 Προφανώς μια μηδενοδύναμη ομάδα (G, ) είναι επιλύσιμη, αφού η άνω κεντρική σειρά της είναι μια ορθόθετη σειρά για την G με όλους τους παράγοντές της αβελιανούς Ωστόσο κάθε επιλύσιμη ομάδα δεν είναι μηδενοδύναμη ΟΙ συμμετρικές ομάδες (S 3, ) και (S 4, ) είναι επιλύσιμες, βλ Παράδειγμα 423, αλλά δεν είναι μηδενοδύναμες, αφού έχουν αμφότερες τετριμμένο κέντρο 75 Ν Μαρμαρίδης

14 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

15 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης «Θεωρία Ομάδων» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Το Θεώρημα Jordan Hölder 31 Προκαταρκτικές Έννοιες 311 Υποορθόθετες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Εσωτερικά και Εξωτερικά ευθέα Γινόμενα Α 1. Έστω η κυκλική ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 Επεκτάσεις Ομάδων 6.1 Προκαταρκτικές Έννοιες Σύμφωνα με το Θεώρημα 4.2.4

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi20/asi20.html, https://sites.google.com/site/mathsedu/home/algdom Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 20

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαρμαρίδης. Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων

Νίκος Μαρμαρίδης. Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων Νίκος Μαρμαρίδης Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων Λ 2013 Περιεχόμενα 1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 5 11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις 5 12 Τροχιές και Σταθερωτές 10 121 Το Θεώρημα Burnside 12 13

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

(m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). } a b 0 c {( ) 1 b A = 0 1 {( ) a 0 D = 0 c T = } : b R

(m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). } a b 0 c {( ) 1 b A = 0 1 {( ) a 0 D = 0 c T = } : b R Ασκήσεις στην Θεωρία Ομάδων 2 Μαίου 2014 Άσκηση 1 Δίνεται μια ομάδα G τάξης n και a 1, a 2,..., a n G. Δείξτε ότι υπάρχουν k, m N τέτοια ώστε 1 k m n και a k a 2...a m = 1. Άσκηση 2 Δίνεται μια ομάδα G

Διαβάστε περισσότερα

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων Μικροοργανισμοί που ελέγχονται ανά είδος τροφίμου Διδάσκοντες: Καθ. Χρυσάνθη Παπαδοπούλου, Λέκτορας Ηρακλής Σακκάς Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές Έννοιες 1 1.1 Ορισμοί - παραδείγματα.............................. 1 1.2 Υποομάδες και Σύμπλοκα..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I Ελαστικότητα και εφαρμογές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική

Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική Ενότητα 4: Δομές Ελέγχου Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Αυτεπαγωγή Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ Ενότητα: Παράγωγοι και ολοκληρώματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών Ολοκληρώματα με το πρόγραμμα Maima Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 13: Η ορίζουσα και το ίχνος μιας μήτρας (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Ορισμός της μονάδας Ampere Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 18

Λογισμός 4 Ενότητα 18 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Το Θεώρημα του Stokes. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ Στοιχειώδεις αντιδράσεις, μηχανισμός και εύρεση του νόμου ταχύτητας Διδάσκοντες: Αναπλ. Καθ. Β. Μελισσάς, Λέκτορας Θ. Λαζαρίδης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Επιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες

Επιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες Κεφάλαιο 8 Επιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες Σύνοψη. Μελετώνται οι επιλύσιµες και οι µηδενοδύναµες οµάδες. Εισάγονται οι έννοιες των κανονικών και συνθετικών σειρών. Αποδεικνύεται το Θεώρηµα των Schreier,

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 8: Ιδιότητες της κλίσης, Κανόνας της αλυσίδας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 8: Ιδιότητες της κλίσης, Κανόνας της αλυσίδας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Ιδιότητες της κλίσης, Κανόνας της αλυσίδας. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Το ρεύμα μετατώπισης Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης reative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 10: Ισοδυναμία ντετερμινιστικών και μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 3: Η συνάρτηση Green σε επίπεδη γεωμετρία και η μέθοδος των ειδώλων σε σφαιρική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 9: Παθητικότητα Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα