Θέκα: Αληηζηάζκηζε ηεο Μεηαβιεηόηεηαο ησλ Αμηνγξάθσλ

Transcript

1 ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΔΠΙΣΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΔΣΑΠΣΤΥΙΑΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΓΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΜΔΣΑΠΣΤΥΙΑΚΟΤ ΓΙΠΛΩΜΑΣΟ ΔΙΓΙΚΔΤΗ Θέκα: Αληηζηάζκηζε ηεο Μεηαβιεηόηεηαο ησλ Αμηνγξάθσλ Μεηαπηπρηαθόο θνηηεηήο: Βιάρνο Γεκήηξηνο, ΑΜ 0904 Δπηβιέπσλ Καζεγεηήο: Γεκαξά Δπζαιία Σξηκειήο επηηξνπή: Βελέηεο Ισάλλεο, Δπίθνπξνο Καζεγεηήο Γεκαξά Δπζαιία, Καζεγήηξηα Σφγηαθαο Βαζίιεηνο, Γηδάζθσλ (Παλ. Γιαζθψβεο) Πάηξα Φεβξνπάξηνο 2011

2 Θα ήζεια λα επραξηζηήζσ ζεξκά ηελ κεηέξα κνπ γηα ηελ αγάπε ηεο θαη ηελ ζπλερή ζηήξημε ηεο ζε φιε ηελ δηάξθεηα ησλ ζπνπδψλ κνπ. Δπίζεο, ηνλ θ. Σφγηαθα Βαζίιε γηα ηελ αδηάθνπε βνήζεηα ηνπ θαη ηελ ζπλερή επίβιεςε-δηφξζσζε απηήο ηεο δηπισκαηηθήο εξγαζίαο θαη φρη κφλνλ. 2

3 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ 1. Δηζαγσγή 4 2. Βηβιηνγξαθηθή Δπηζθόπεζε 9 3. Γεδνκέλα θαη Οηθνλνκεηξηθή Μεζνδνινγία Δκπεηξηθά Απνηειέζκαηα-Ηκεξήζηα Γεδνκέλα Δκπεηξηθά Απνηειέζκαηα-Γεδνκέλα πρλόηεηαο Λεπηνύ πκπεξάζκαηα 49 Παξάξηεκα 52 Βηβιηνγξαθία 70 3

4 Κεθάιαην 1 Δηζαγσγή 1.1 Δηζαγσγή Τα παξάγσγα ρξεκαηηζηεξηαθά πξντφληα κεηξνχλ αηψλεο χπαξμεο ζηελ παγθφζκηα νηθνλνκία. Αθφκε θαη αλ δελ είραλ ηε ζεκεξηλή ηνπο κνξθή, πάληα απνηεινχζαλ νηθνλνκηθά εξγαιεία θαη ρξεζηκνπνηνχληαλ ζηηο εκπνξηθέο θαη επελδπηηθέο ζπλαιιαγέο έσο θαη ζήκεξα. Ωο παξάγσγν ρξεκαηννηθνλνκηθφ πξντφλ νξίδεηαη κηα δηκεξήο ζπκθσλία κεηαμχ δχν αληηζπκβαιιφκελσλ πιεπξψλ γηα ηελ πξαγκαηνπνίεζε κηαο ζπλαιιαγήο ζε ζπγθεθξηκέλε ζηηγκή, πνζφηεηα θαη ηηκή ζην κέιινλ. Η αμία ηνπ παξάγσγνπ ρξεκαηηζηεξηαθνχ πξντφληνο παξάγεηαη θαη εμαξηάηαη απφ ηνλ ππνθείκελν ηίηιν ηεο ζπλαιιαγήο θαη ηελ εμέιημε ηεο ηηκήο ηνπ. Ο ππνθείκελνο ηίηινο κπνξεί λα αθνξά νπνηνδήπνηε αγαζφ είηε απηφ είλαη εκπφξεπκα (ρξπζφο, ζηηάξη) είηε πεξηνπζηαθφ ζηνηρείν (κεηνρή, νκφινγα, ηζνηηκίεο, ρξεκαηηθέο ξνέο). Τα ηειεπηαία ρξφληα, επίζεο, ηδηαίηεξε αλάπηπμε έρνπλ ηα παξάγσγα ρξεκαηηζηεξηαθά πξντφληα κε ππνθείκελν ηίηιν ηε κεηαβιεηφηεηα ησλ αμηνγξάθσλ. Γλσζηέο κνξθέο παξάγσγσλ ρξεκαηηζηεξηαθψλ πξντφλησλ είλαη ηα πξνζεζκηαθά ζπκβφιαηα (Forwards), ηα ζπκβφιαηα κειινληηθήο εθπιήξσζεο (Futures), ηα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο (Options) θαη πνιιά αθφκε φπσο (SWAPS, CDS θαη CDO). Τα παξάγσγα πξντφληα δηαπξαγκαηεχνληαη ζε αγνξέο εμσρξεκαηηζηεξηαθέο (Over The Counter) θαη ρξεκαηηζηεξηαθέο, φπσο γηα παξάδεηγκα ην ρξεκαηηζηήξην δηθαησκάησλ πξναίξεζεο ηνπ Σηθάγν (Chicago Board Options Exchange, CBOE). Σε φια ηα δηεζλή ρξεκαηηζηήξηα ε αγνξά ησλ παξαγψγσλ είλαη άξξεθηα ζπλδεδεκέλε κε ηελ πξσηνγελή ρξεκαηηζηεξηαθή αγνξά. Απνηειεί δειαδή ζπκπιήξσκα ηεο ππνθείκελεο αγνξάο, θαζψο πξνζθέξεη ηε δπλαηφηεηα αληηζηάζκηζεο ηνπ θηλδχλνπ ησλ ραξηνθπιαθίσλ. Πνιιέο θνξέο πξνεγείηαη ε αγνξά ησλ παξαγψγσλ θαη άιινηε ε ππνθείκελε αγνξά. Η αγνξά παξαγψγσλ νκαινπνηεί θαη νξζνινγηθνπνηεί ηηο ηηκέο ζηελ ππνθείκελε αγνξά θαη ηελ θαζηζηά πην δηαθαλή. Δπηπιένλ, φπνπ ππάξρεη ηεξάζηηα απφθιηζε κεηαμχ ησλ ηηκψλ ηεο ππνθείκελεο θαη ηεο αγνξάο παξαγψγσλ, απηή ειαρηζηνπνηείηαη γξήγνξα κέζσ ηεο εμηζνξξνπεηηθήο θεξδνζθνπίαο πνπ παξέρνπλ ηα 4

5 παξάγσγα. Αθφκε, ζπκβάιιεη ζηελ νινθιήξσζε ηεο πξσηνγελνχο αγνξάο, ζηελ αλεχξεζε δίθαησλ ηηκψλ (price discovery) γηα ηνπο δηαπξαγκαηεχζηκνπο ππνθείκελνπο ηίηινπο θαη έρεη ζηαζεξνπνηεηηθά απνηειέζκαηα ζηε ιεηηνπξγία ηεο. Δπελδχνληαο ζε έλα ραξηνθπιάθην εθηηζέκεζα ζε θίλδπλν πνπ είλαη άκεζα ζπλδεδεκέλνο κε ηελ απφδνζε πνπ αλακέλνπκε απφ ηελ επέλδπζε απηή. Ο θίλδπλνο ηνπ ραξηνθπιαθίνπ, ζχκθσλα κε ην κνληέιν απνηίκεζεο πεξηνπζηαθψλ ζηνηρείσλ (Capital Asset Pricing Model, CAPM), δηαρσξίδεηαη ζε ζπζηεκαηηθφ θαη εηδηθφ. Σπζηεκαηηθφο είλαη ν θίλδπλνο ηεο αγνξάο πνπ εθηίζεληαη φια ηα αμηφγξαθα θαη δελ κπνξεί λα δηαθνξνπνηεζεί, ελψ ν εηδηθφο απνηειεί ηνλ θίλδπλν ελφο ζπγθεθξηκέλνπ αμηφγξαθνπ θαη κπνξεί λα κεησζεί κέζσ ηεο δηαθνξνπνίεζεο ηνπ ραξηνθπιαθίνπ. Η πεγή ηνπ θηλδχλνπ γηα έλα αμηφγξαθν είλαη ε κεηαβιεηφηεηα ηεο ηηκήο ηνπ. Όζν κεγαιχηεξε απφδνζε απαηηεί έλαο επελδπηήο, ηφζν κεγαιχηεξνο είλαη θαη ν θίλδπλνο ηεο επέλδπζεο. Η κεηαβιεηφηεηα εθθξάδεη ηελ αβεβαηφηεηα γηα ηελ θίλεζε ηεο ηηκήο ηνπ ηίηινπ, φπσο γηα παξάδεηγκα κηαο κεηνρήο, θαη κεηξάηαη σο ε ηππηθή απφθιηζε ησλ δπλεηηθψλ απνηειεζκάησλ γχξσ απφ ηελ αλακελφκελε ηηκή. Η απφδνζε καδί κε ηε κεηαβιεηφηεηα ζηε ζχγρξνλε ρξεκαηννηθνλνκηθή απνηεινχλ ηνπο θχξηνπο πξνζδηνξηζηηθνχο παξάγνληεο γηα ηελ νξζή απνηίκεζε ησλ παξάγσγσλ ρξεκαηηζηεξηαθψλ πξντφλησλ, φπσο γηα παξάδεηγκα ηα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο. Τα ηειεπηαία ρξφληα κάιηζηα, ε κεηαβιεηφηεηα απνηειεί θαη απηή ηνλ ππνθείκελν ηίηιν γηα παξάγσγα ρξεκαηηζηεξηαθά πξντφληα, γλσζηά θαη σο παξάγσγα κεηαβιεηφηεηαο (Volatility Derivatives), ηα νπνία είλαη ηδηαίηεξα δεκνθηιή ζηνπο επελδπηέο. Η ρξήζε ησλ παξάγσγσλ ρξεκαηηζηεξηαθψλ πξντφλησλ έρεη πνιιαπιά νθέιε θαη ε αλάπηπμε ηνπο ηα ηειεπηαία ηξηάληα ρξφληα είλαη θαιπάδνπζα. Απφ ηελ άιιε πιεπξά, ε ιεηηνπξγία ηεο αγνξάο ησλ παξαγψγσλ έρεη θαηεγνξεζεί απφ πνιινχο φηη επζχλεηαη γηα ηελ παγθφζκηα νηθνλνκηθή θξίζε ησλ ηειεπηαίσλ εηψλ, Σπγθεθξηκέλα, ε ρξήζε παξάγσγσλ ρξεκαηηζηεξηαθψλ πξντφλησλ, φπσο νη αληαιιαγέο πηζησηηθήο αζέηεζεο (Credit Default Swaps) θαη άιια πξντφληα πηζησηηθνχ θηλδχλνπ, νδήγεζαλ ζηε ζεκεξηλή νηθνλνκηθή ρξεκαηνπηζησηηθή θξίζε. Αθφκε θαη ζηελ Διιάδα, θαηά ηε δηάξθεηα ηεο κεγάιεο χθεζεο ηνπ Διιεληθνχ ρξεκαηηζηεξίνπ ην 1999, πνιινί είραλ θαηεγνξεζεί γηα ππνηηκεηηθή θεξδνζθνπία κε ηε ρξήζε παξαγψγσλ πνπ ζε ζπλδπαζκφ κε ην ειιηπέο ζεζκηθφ πιαίζην επέθεξαλ ζεκαληηθφηαηεο απψιεηεο γηα ηελ Διιεληθή νηθνλνκία. Πνιχ πξηλ ηα παξάγσγα ρξεκαηηζηεξηαθά πξντφληα γίλνπλ 5

6 δεκνθηιή ζηνπο επελδπηέο, ν Ακεξηθαλφο ρξεκαηηζηεξηαθφο δηαπξαγκαηεπηήο Filler (1934), ζε νκηιία ηνπ ζηελ Ακεξηθαληθή Δπηηξνπή Κεθαιαηαγνξάο, έζεζε ηε βάζε ηεο ζθέςεο γηα ηε ρξήζε ησλ παξαγψγσλ. Τα παξάγσγα ρξεκαηηζηεξηαθά πξντφληα ζα πξέπεη λα αληηκεησπίδνληαη σο εξγαιεία αληηζηάζκηζεο θηλδχλνπ θαη αζθάιεηαο θαη φρη σο θεξδνζθνπηθά εξγαιεία. Σίγνπξα ε ρξήζε ησλ παξαγψγσλ, ζε φια ηα δηεζλή ρξεκαηηζηήξηα, δείρλεη πσο θάζε άιιν παξά «επηθίλδπλε» είλαη. Γηα παξάδεηγκα, εάλ ππήξρε ε δπλαηφηεηα ρξήζεο ηνπ δηθαηψκαηνο πψιεζεο (Put) θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ρξεκαηηζηεξηαθήο χθεζεο ζηελ Διιεληθή αγνξά (1999) ζε ζπλδπαζκφ κε ηελ ηαπηφρξνλε ιήςε ζέζεο αγνξάο ζε έλα ππνθείκελν ραξηνθπιάθην, νη απψιεηεο απφ ηελ πηψζε ησλ ρξεκαηηζηεξηαθψλ ηηκψλ ζα ήηαλ ζίγνπξα κηθξφηεξεο απφ απηέο πνπ αληηκεηψπηζαλ νη επελδπηέο. Δπηπιένλ, αλ ςάμεη θαλείο θαιχηεξα, ζα θαηαιάβεη πσο ε χθεζε ηνπ Διιεληθνχ ρξεκαηηζηεξίνπ ην 1999 δελ ήηαλ κφλνλ Διιεληθή, αιιά παγθφζκηα. Μηα παγθφζκηα νηθνλνκηθή θξίζε ( ) πνπ είρε ηηο θχξηεο αηηίεο ηεο ζηε δεκηνπξγηθή ινγηζηηθή (Enron, 2001) θαη ην ειιεηπέο ζεζκηθφ πιαίζην ιεηηνπξγίαο ηξαπεδψλ-επηρεηξήζεσλ. Σήκεξα ε λέα παγθφζκηα ρξεκαηνπηζησηηθή θξίζε ( ) έρεη ζεκαληηθφ αληίθηππν θαη ζηελ Διιάδα. Πξφθεηηαη γηα κηα παγθφζκηα νηθνλνκηθή θξίζε ρξένπο πνπ μεθίλεζε απφ ηελ Ακεξηθή ην θζηλφπσξν ηνπ 2007 θαη εμαπιψζεθε ζε φιν ηνλ θφζκν. Η Διιάδα βξίζθεηαη ζηε δπζρεξή ζέζε ηεο αληηκεηψπηζεο ηνπ κεγάινπ δεκνζηνλνκηθνχ ηεο ειιείκκαηνο θαη ηελ ηαπηφρξνλε κείσζε ηεο αλάπηπμήο ηεο. Καζεκεξηλά παξαηεξνχκε ηα επηηφθηα δαλεηζκνχ θαη ηα αλνίγκαηα (Spreads) ησλ θπβεξλεηηθψλ νκνιφγσλ λα βξίζθνληαη ζε ζπλερή κεηαβιεηφηεηα. Δλ κέξεη ε θξίζε απηή απνδίδεηαη ζηε ιεηηνπξγία ηνπ ρξεκαηνπηζησηηθνχ ζπζηήκαηνο θαη ζηελ εηθνληθή ξεπζηφηεηα πνπ ππήξρε γηα πνιιά ρξφληα ζηηο αγνξέο. Μεγάινη επελδπηηθνί φκηινη, ηξάπεδεο θαη εηαηξείεο δηαρείξηζεο θεθαιαίσλ έθηαζαλ ζηα πξφζπξα ηεο πηψρεπζεο θαη άιινη θαηέξξεπζαλ (Lehman Brothers, 2008). Ωζηφζν, ε ρξήζε ησλ εμειηγκέλσλ καζεκαηηθψλ κνληέισλ γηα ηε δηαρείξηζε ηνπ πηζησηηθνχ θηλδχλνπ δελ ήηαλ αξθεηή, φπσο απνδείρηεθε, γηα λα ζψζεη ηε δχζθνιε θαηάζηαζε ζηελ νπνία βξίζθνληαη ζήκεξα φιεο νη ρξεκαηηζηεξηαθέο αγνξέο. 6

7 1.2 Αληηθεηκεληθόο θνπόο Οη επελδπηέο ρξεζηκνπνηνχλ ηα παξάγσγα ρξεκαηηζηεξηαθά πξντφληα, γηα λα κεηψζνπλ ηελ έθζεζε ηνπ ραξηνθπιαθίνπ ηνπο ζηνλ θίλδπλν θαη λα δηακνξθψζνπλ επηθεξδείο ζηξαηεγηθέο. Μηα θαηεγνξία επελδπηψλ, νη θεξδνζθφπνη, πξνζδίδνπλ ξεπζηφηεηα ζηελ αγνξά επσθεινχκελνη απφ ηελ χπαξμε ή ηε δεκηνπξγία εμηζνξξνπεηηθψλ επθαηξηψλ. Σθνπφο ηνπο είλαη, φπσο θαη ζηνπο αληηζηαζκηζηέο, ε θαιχηεξε δπλαηή εθηίκεζε γηα ηε κεηαβιεηφηεηα ηνπ ραξηνθπιαθίνπ ηνπο θαη ε ιήςε επηθεξδνχο ζέζεο ζηελ αγνξά. Πάληα ην απνηέιεζκα εμαξηάηαη απφ ηελ απφθαζε, φκσο ε πξφβιεςε θαη ε ζσζηή αληίιεςε ηεο εμέιημεο ηεο κεηαβιεηφηεηαο βνεζά ζηελ θαιχηεξε δπλαηή επελδπηηθή απφθαζε. Όινη νη επελδπηέο, ινηπφλ, απνζθνπνχλ ζηελ πνζνηηθνπνίεζε ηνπ θηλδχλνπ θαη ηελ θαηά δχλακηλ απνθπγή ηνπ. Δλδηαθέξνλ επίζεο παξνπζηάδεη θαη ην ζέκα ησλ εμηζνξξνπεηηθψλ επθαηξηψλ πνπ κπνξεί λα ππάξρνπλ ζηε κεηαβιεηφηεηα. Δάλ θαλείο κπνξεί λα θαηαλνήζεη ηε ζρέζε αλακελφκελεο θαη πξαγκαηνπνηεζείζαο κεηαβιεηφηεηαο, ηφηε ίζσο ππάξρνπλ εμηζνξξνπεηηθά νθέιε θάλνληαο ρξήζε θαηάιιεισλ επελδπηηθψλ ζηξαηεγηθψλ. Μηα απφ ηηο κεγαιχηεξεο θαη πην εκπνξεχζηκεο αγνξέο ζηνλ θφζκν είλαη ε αγνξά ηνπ δείθηε S&P500. Ο δείθηεο S&P500 ζπγθξνηείηαη απφ 500 κεηνρέο ησλ κεγαιχηεξσλ εηαηξεηψλ πνπ δξαζηεξηνπνηνχληαη ζηελ Ακεξηθαληθή νηθνλνκία θαη ζην ρξεκαηηζηήξην ηεο Νέαο Υφξθεο (NYSE θαη NASDAQ). Τφζν ην κέγεζνο, φζν θαη ε ζπρλφηεηα δηαπξαγκάηεπζεο ηνπ δείθηε θαη ησλ κεηνρψλ πνπ ηνλ ζπλζέηνπλ θαλεξψλνπλ ηε κεγάιε ζεκαζία ηνπ ζηε δηεζλή ρξεκαηηζηεξηαθή αγνξά. Παξάιιεια, γίλεηαη δηαπξαγκάηεπζε παξαγψγσλ ηνπ δείθηε κε ηε ρξήζε ζπκβνιαίσλ κειινληηθήο εθπιήξσζεο θαη δηθαησκάησλ πξναίξεζεο. Σηελ Ακεξηθαληθή αγνξά ιεηηνπξγεί, επίζεο, ν δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο VIX (Volatility Index) πνπ απνηειεί βαξφκεηξν γηα ηελ αλακελφκελε κεηαβιεηφηεηα ηεο αγνξάο ηνπ S&P500. Ο δείθηεο VIX έρεη δεκηνπξγεζεί, ψζηε λα αληαλαθιά ηελ αλακελφκελε κεηαβιεηφηεηα ηεο αγνξάο ηνπ S&P500 γηα ηηο επφκελεο 30 εκεξνινγηαθέο κέξεο θαη λα απνηππψλεη ηηο πξνζδνθίεο ησλ επελδπηψλ. Ο ππνινγηζκφο ηνπ δείθηε VIX ζηεξίδεηαη ζε δηθαηψκαηα πξναίξεζεο ηνπ δείθηε S&P500, ηα νπνία βξίζθνληαη εθηφο αιιά θαη ζην ρξεκαηηθφ ηζνδχλακν. Μεηξά δειαδή ηε 7

8 κεηαβιεηφηεηα πνπ ππνλνείηαη (ηεθκάξεηαη) απφ ηηο αγνξαίεο ηηκέο ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο ηνπ S&P500. Αληηθεηκεληθφο ζθνπφο ζηελ παξνχζα εξγαζία είλαη ε δηεξεχλεζε ηεο ζρέζεο κεηαμχ ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο, φπσο απηή δίλεηαη απφ ηνλ δείθηε VIX, θαη ηεο κεηαβιεηφηεηαο ησλ απνδφζεσλ ηνπ δείθηε S&P500. Γηα ην ζθνπφ απηφ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηφζν εκεξήζηα δεδνκέλα, φζν θαη δεδνκέλα πςειήο ζπρλφηεηαο (ιεπηνχ), ψζηε λα ζπγθξίλνπκε ηπρφλ δηαθνξνπνηήζεηο ζηα απνηειέζκαηα ηεο αλάιπζεο. Η κεηαβιεηφηεηα ησλ απνδφζεσλ ηνπ δείθηε S&P500 θαίλεηαη λα παξνπζηάδεη γξακκηθή ζπζρέηηζε, παξαηεξείηαη δειαδή νκαδνπνίεζε ηεο κεηαβιεηφηεηαο αλά πεξηφδνπο. Γηα ηνλ ιφγν απηφ, θάλνπκε ρξήζε ησλ ππνδεηγκάησλ δεζκεπκέλεο απηνπαιίλδξνκεο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο (G)ARCH (Engle 1982, Bollerslev 1986). Σηφρνο ηεο αλάιπζεο είλαη λα πξνρσξήζνπκε ζε κηα εθηίκεζε ηεο δεζκεπκέλεο κεηαβιεηφηεηαο ηνπ S&P500 θαη λα δηεξεπλήζνπκε ηπρφλ ζρέζε ηεο κε ηελ ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα. Σπγθεθξηκέλα, ζα εμεηάζνπκε εάλ ππάξρεη ζρέζε ζπλνινθιήξσζεο κεηαμχ ηεο δεζκεπκέλεο κεηαβιεηφηεηαο ηνπ δείθηε S&P500, φπσο απηή δίλεηαη απφ ηα κνληέια (G)ARCH θαη ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο. Δάλ νη δχν κεηαβιεηφηεηεο ζπλνινθιεξψλνληαη, απηφ ζεκαίλεη πσο ππάξρεη κηα καθξνρξφληα ζρέζε ηζνξξνπίαο κεηαμχ ηνπο. Δπηπιένλ, ζα κειεηήζνπκε ηελ πιεξνθνξηαθή ζχλζεζε κεηαμχ ηνπο θαη ηε ζρέζε ησλ απνδφζεσλ ηνπ δείθηε VIX κε ηηο απνδφζεηο ηνπ S&P500. Σηα απνηειέζκαηά καο αλακέλνπκε λα επηβεβαηψζνπκε κηα αξλεηηθή ζρέζε κεηαμχ ηνπο, ιφγσ ηεο ππφζεζεο φηη νη επελδπηέο είλαη νξζνινγηθνί θαη απνζηξεθφκελνη ηνλ θίλδπλν. Η παξνχζα εξγαζία δηαξζξψλεηαη σο εμήο: ην δεχηεξν θεθάιαην αθνξά ηελ επηζθφπεζε ηεο αξζνγξαθίαο αλαθνξηθά κε ηελ έξεπλα γηα ηε κεηαβιεηφηεηα ζηε ζχγρξνλε ρξεκαηννηθνλνκηθή θαη ηε ζρεηηθή έξεπλα πνπ έρεη πξαγκαηνπνηεζεί γηα ηνπο δείθηεο VIX θαη S&P500. Σην ηξίην πεξηγξάθνληαη ηα δεδνκέλα θαη ε νηθνλνκεηξηθή κεζνδνινγία πνπ αθνινπζήζεθε. Σην ηέηαξην θεθάιαην παξνπζηάδνληαη ηα εκπεηξηθά απνηειέζκαηα κε ηελ ρξήζε εκεξήζησλ δεδνκέλσλ. Σην πέκπην αθνινπζνχλ ηα εκπεηξηθά απνηειέζκαηα κε ηελ ρξήζε δεδνκέλσλ ιεπηνχ θαη ηέινο, ζην έθην θεθάιαην δηακνξθψλνληαη ηα ζπκπεξάζκαηα. 8

9 Κεθάιαην 2 Βηβιηνγξαθηθή Δπηζθόπεζε Η νξζή απνηίκεζε ησλ παξάγσγσλ ρξεκαηηζηεξηαθψλ πξντφλησλ απνηειεί εδψ θαη ρξφληα έλα ελδηαθέξνλ αληηθείκελν ηφζν ζε αγνξαίν, φζν θαη ζε αθαδεκατθφ επίπεδν. Τα παξάγσγα ρξεκαηηζηεξηαθά πξντφληα απνηεινχλ εξγαιεία αληηζηάζκηζεο ηνπ θηλδχλνπ θαη ε νξζή απνηίκεζε θαη ρξήζε απηψλ απφ ηνπο επελδπηέο έρεη πνιιαπιά νθέιε. Τν Μάξηην ηνπ 1900 γελλήζεθε ε καζεκαηηθή ρξεκαηννηθνλνκηθή απφ ηνλ Louis Bachelier, κε ην έξγν ηνπ «Θεωρία ηες Κερδοζκοπίας». Μία απφ ηηο ζεκαληηθφηεξεο αλαθαιχςεηο ζηελ ηζηνξία ηεο καζεκαηηθήο επηζηήκεο, ε θίλεζε Brown, ρξεζηκνπνηήζεθε απφ ηνλ Bachelier γηα ηε κνληεινπνίεζε ηεο θίλεζεο ηεο ηηκήο ησλ κεηνρψλ θαη ηελ απνηίκεζε ησλ απηήο εμαξηψκελσλ πξντφλησλ (Γηθαηψκαηα πξναίξεζεο). Η θίλεζε Brown ρξεζηκνπνηείηαη ζηε θπζηθή γηα λα πεξηγξάςεη ηελ ηπραία θίλεζε ζηεξεψλ ζσκαηηδίσλ πνπ βξίζθνληαη ζε έλα πγξφ ή αέξην. Η ηππηθή θίλεζε Brown (Standard Brownian Motion) απνηειεί κηα εηδηθή πεξίπησζε Markov ζηνραζηηθήο δηαδηθαζίαο θαη νλνκάδεηαη αιιηψο θαη Wiener δηαδηθαζία. Ο Bachelier ζην έξγν ηνπ απνδέρεηαη πσο ε αγνξά απνηηκά ηα αμηφγξαθα ρξεζηκνπνηψληαο έλα κέηξν Martingale, δειαδή φηη ε ηηκή κηαο κεηνρήο αθνινπζεί κηα δηαδηθαζία πνπ νλνκάδεηαη ηπραίνο πεξίπαηνο (Random Walk). Σηε ρξεκαηννηθνλνκηθή ζεσξία, ε ηδηφηεηα Markov ησλ ηηκψλ ησλ κεηνρψλ ζρεηίδεηαη κε ηελ αζζελή κνξθή απνηειεζκαηηθφηεηαο ηεο αγνξάο (Fama, 1970). Σχκθσλα κε απηήλ, φιε ε παξειζνχζα πιεξνθφξεζε γηα κηα κεηνρή ελζσκαηψλεηαη ζηελ ηξέρνπζα ηηκή ηεο. Σπγθεθξηκέλα, απηφ επηβεβαηψλεηαη απφ ηνλ νξζνινγηθφ ηξφπν ιεηηνπξγίαο ηεο αγνξάο. Όινη νη επελδπηέο είηε είλαη θεξδνζθφπνη είηε αληηζηαζκηζηέο παξαθνινπζνχλ ζηελά ηελ αγνξά. Ο αληαγσληζκφο κεηαμχ ηνπο ζπκβάιιεη ζηελ επηβεβαίσζε ηεο ππφζεζεο, πσο ζε θάζε δεδνκέλε ρξνληθή ζηηγκή ε ηξέρνπζα ηηκή κηαο κεηνρήο ελέρεη φιε ηελ παξειζνχζα πιεξνθφξεζε. Άξα, ζε πεξίπησζε εκθάληζεο εμηζνξξνπεηηθψλ επθαηξηψλ (arbitrage opportunities) ζηελ αγνξά απηέο εμαθαλίδνληαη ζρεηηθά γξήγνξα. Οη εμηζνξξνπεηηθέο επθαηξίεο εκθαλίδνληαη φηαλ νη ηηκέο απνθιίλνπλ γηα κηθξά ρξνληθά δηαζηήκαηα, κε απνηέιεζκα λα δίλεηαη ε επθαηξία πξαγκαηνπνίεζεο βξαρπρξφλησλ θεξδψλ. Σηελ χπαξμε κηαο εμηζνξξνπεηηθήο επθαηξίαο ππάξρνπλ πνιινί επελδπηέο πνπ 9

10 είλαη δηαηεζεηκέλνη λα ιάβνπλ ζέζε ζηελ αγνξά, ζα αληηδξάζνπλ γξήγνξα θαη νη εμηζνξξνπεηηθέο επθαηξίεο ζα πάςνπλ λα πθίζηαληαη. Σεκαληηθή ππήξμε ε ζπλεηζθνξά ησλ Fischer Black θαη Myron Scholes (1973) ζηελ απνηίκεζε ησλ παξάγσγσλ ρξεκαηηζηεξηαθψλ πξντφλησλ. Οη ζπγγξαθείο αλέπηπμαλ ζην άξζξν ηνπο έλα κνληέιν απνηίκεζεο γηα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο κε ππνθείκελν ηίηιν κηα κεηνρή, γλσζηφ θαη σο Black-Scholes Model ή Black-Scholes-Merton Model (BSM). Τα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο ρσξίδνληαη ζε δηθαηψκαηα αγνξάο (Call Option) θαη δηθαηψκαηα πψιεζεο (Put Option). Τν δηθαίσκα πξναίξεζεο απνηειεί έλα αμηφγξαθν πνπ δίλεη ζηνλ θαηέρνληα ην δηθαίσκα αιιά φρη ηελ ππνρξέσζε λα αγνξάζεη ή λα πσιήζεη ηνλ ππνθείκελν ηίηιν ζε κηα ζπγθεθξηκέλε κειινληηθή ρξνληθή ζηηγκή θαη ζε ζπγθεθξηκέλε ηηκή. Δπηπιένλ, ηα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο ρσξίδνληαη ζε Ακεξηθαληθνχ θαη Δπξσπατθνχ ηχπνπ. Σηα Ακεξηθαληθά ν θαηέρσλ ην δηθαίσκα κπνξεί λα ην εμαζθήζεη νπνηαδήπνηε ζηηγκή κέρξη ηελ ιήμε ηνπ, ελψ ν θαηέρσλ ην Δπξσπατθφ κπνξεί λα ην εμαζθήζεη κφλνλ ζηελ ιήμε. Σηελ πεξίπησζε πνπ δελ ππάξρνπλ εμηζνξξνπεηηθέο επθαηξίεο, είλαη δπλαηφλ λα θαηαζθεπάζνπκε «ζηηγκηαία» έλα ραξηνθπιάθην (παίξλνληαο ζέζε ζηε κεηνρή θαη ζην δηθαίσκα πξναίξεζεο απηήο), ψζηε ε απφδνζε ηνπ λα ηζνχηαη κε ην αθίλδπλν επηηφθην (risk-free interest rate). Η εμήγεζε γηα ηελ δπλαηφηεηα δεκηνπξγίαο απηνχ ηνπ «αθίλδπλνπ» ραξηνθπιαθίνπ είλαη πσο ηφζν ε ηηκή ηεο κεηνρήο φζν θαη ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο επεξεάδνληαη απφ ηελ ίδηα πεγή αβεβαηφηεηαο. Σε θάζε κηθξή ρξνληθή πεξίνδν ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο θαη ηεο κεηνρήο είλαη πιήξσο ζπζρεηηζκέλεο. Άξα, ζην ηέινο θάζε κηθξήο ρξνληθήο πεξηφδνπ ε αμία ηνπ ραξηνθπιαθίνπ ζα είλαη γλσζηή θαη ε απφδνζε ηνπ ζα είλαη ην αθίλδπλν επηηφθην, ψζηε λα κελ ππάξρνπλ εμηζνξξνπεηηθέο επθαηξίεο. Απηή ε ζεκαληηθή επηζήκαλζε απνδίδεηαη ζηνλ Robert C.Merton θαη γηα ην ιφγν απηφ ην ππφδεηγκα αλαθέξεηαη σο Black-Scholes-Merton. Άξα, εάλ έλα δηθαίσκα πξναίξεζεο απνηηκάηαη ζσζηά ζηελ αγνξά, ηφηε ζα πξέπεη λα είλαη αδχλαηνλ λα έρεη θάπνηνο ζίγνπξα θέξδε δεκηνπξγψληαο έλα ραξηνθπιάθην κε ζέζε ζηε κεηνρή θαη ζην δηθαίσκα πξναίξεζεο απηήο. Γηα ην κνληέιν απνηίκεζεο νη ζπγγξαθείο ζηεξίρηεθαλ ζηηο εμήο απζηεξέο ππνζέζεηο γηα ηελ αγνξά ηεο κεηνρήο θαη ηνπ αληίζηνηρνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο: 10

11 1) Τν βξαρπρξφλην επηηφθην δαλεηζκνχ είλαη γλσζηφ θαη ζηαζεξφ σο πξνο ην ρξφλν 2) Η ηηκή ηεο κεηνρήο αθνινπζεί έλα ηπραίν πεξίπαην (Random Walk), ζπλερή σο πξνο ηνλ ρξφλν, κε ξπζκφ δηαθχκαλζεο αλάινγν ηνπ ηεηξαγψλνπ ηεο ηηκήο. Έηζη, ε θαηαλνκή ησλ πηζαλψλ ηηκψλ ζην ηέινο θάζε πεπεξαζκέλνπ δηαζηήκαηνο είλαη ε ινγαξηζκηθή θαλνληθή θαηαλνκή. Ο ξπζκφο δηαθχκαλζεο ηεο απφδνζεο ηεο κεηνρήο είλαη ζηαζεξφο. 3) Η κεηνρή δελ πιεξψλεη κεξίζκαηα ή άιινπ είδνπο εηζνδήκαηα 4) Τν δηθαίσκα πξναίξεζεο είλαη Δπξσπατθφ, ήηνη κπνξεί λα εμαζθεζεί κφλνλ ζηελ ιήμε. 5) Γελ ππάξρνπλ θφζηε ζπλαιιαγήο ζηελ αγνξά θαη ηελ πψιεζε ηεο κεηνρήο ή ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο απηήο. 6) Δίλαη δπλαηφλ λα δαλεηδφκαζηε νπνηνδήπνηε κέξνο ηεο ηηκήο ελφο αμηφγξαθνπ, κε ζθνπφ ηελ αγνξά ή ηελ πψιεζή ηνπ ζην βξαρπρξφλην επηηφθην δαλεηζκνχ. 7) Γελ ππάξρνπλ θπξψζεηο γηα ην Short Selling. Έλαο πσιεηήο πνπ δελ θαηέρεη έλα αμηφγξαθν, απιά ζα δερζεί ηελ ηηκή ηνπ αμηφγξαθνπ απφ έλαλ αγνξαζηή θαη ζα ζπκθσλήζεη γηα δηαθαλνληζκφ ζε κειινληηθή εκεξνκελία πιεξψλνληάο ηνπ έλα πνζφ ίζν κε ηελ ηηκή ηνπ αμηφγξαθνπ ηελ εκεξνκελία εθείλε Καηέιεμαλ, ινηπφλ, πσο ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο ζα εμαξηάηαη κφλνλ απφ ηελ ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ θαη ην ρξφλν, θαζψο θαη απφ κεηαβιεηέο πνπ ζα εηζέξρνληαη ζηε θφξκνπια σο γλσζηέο ζηαζεξέο, φπσο ε κεηαβιεηφηεηα θαη ην αθίλδπλν επηηφθην. Ωο παξάδεηγκα, αο ζεσξήζνπκε έλα Δπξσπατθνχ ηχπνπ δηθαίσκα αγνξάο (European Call Option) κεηνρήο. Σπλνπηηθά αλαθέξνπκε φηη: Η ηηκή ηεο κεηνρήο αθνινπζεί ηε Γεσκεηξηθή Brown Κίλεζε (1) φπνπ ε κεηαβιεηή εθθξάδεη ηνλ αλακελφκελν ξπζκφ απφδνζεο, ε κεηαβιεηή εθθξάδεη ηε κεηαβιεηφηεηα ηεο ηηκήο ηεο κεηνρήο θαη ην απνηειεί κηα Wiener ζηνραζηηθή δηαδηθαζία. Τν κνληέιν απηφ είλαη κηα νξηαθή πεξίπησζε ελφο ππνδείγκαηνο 11

12 ηπραίνπ πεξηπάηνπ. Οη Black θαη Scholes γηα ηελ εμαγσγή ηεο δηαθνξηθήο ηνπο εμίζσζεο ζηεξίρζεθαλ ζην ζηνραζηηθφ ινγηζκφ ηνπ Itô. Σχκθσλα, ινηπφλ, κε ην ιήκκα ηνπ Itô, έζησ κηα κεηαβιεηή πνπ αθνινπζεί κηα δηαδηθαζία Itô, δειαδή: ( ) ( ) (2) φπνπ είλαη κηα Wiener ζηνραζηηθή δηαδηθαζία θαη ηα θαη είλαη ζπλαξηήζεηο ησλ θαη. Τν ιήκκα ηνπ Itô καο ιέεη πσο κηα ζπλάξηεζε ησλ θαη αθνινπζεί κηα δηαδηθαζία, ( ) (3) ε νπνία απνηειεί θαη απηή κηα Itô δηαδηθαζία, κε δηαδηθαζία κε απηή ζηε ζπλάξηεζε (2). λα είλαη ε ίδηα Wiener ζηνραζηηθή Έρνληαο θάλεη ππφζεζε γηα ηε ζρέζε πνπ πεξηγξάθεη ηελ θίλεζε ηεο ζηελ εμίζσζε (1), εχθνια απνδεηθλχεηαη, πψο αλ ε κεηαβιεηή απνηειεί ηελ ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο αγνξάο πνπ εμαξηάηαη απφ ην, ηφηε ε ζα πξέπεη λα είλαη κηα ζπλάξηεζε ηνπ θαη ηνπ. Απφ ην ιήκκα ηνπ Ito έρνπκε φηη : ( ) (4) Παξαηεξνχκε πσο ζηηο εμηζψζεηο (1) θαη (4) ηα είλαη ηα ίδηα, δειαδή ε κεηνρή θαη ην δηθαίσκα πξναίξεζεο ππφθεηληαη ζηελ ίδηα κνξθή αβεβαηφηεηαο. Άξα, θαηαζθεπάδνληαο ζηηγκηαία έλα ραξηνθπιάθην κε ζέζε ζηελ κεηνρή θαη ζην δηθαίσκα πξναίξεζεο ηεο, κπνξνχκε λα εμαιείςνπκε ην. Τν απνηέιεζκα απφ ηε δεκηνπξγία απηνχ ηνπ ραξηνθπιαθίνπ καο δίλεη ηε δηαθνξηθή εμίζσζε ησλ BSM: (5) Η ιχζε ηεο δηαθνξηθήο, ζηηο νξηαθέο ζπλζήθεο (boundary conditions), καο δίλεη θάζε θνξά ηελ ηηκή ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ παξαγψγνπ. Γηα έλα δηθαίσκα αγνξάο (Call Option) νξηαθή ζπλζήθε απνηειεί ε ζρέζε ( ) γηα (6) 12

13 Σπγθεθξηκέλα, ε θφξκνπια απνηίκεζεο γηα έλα Δπξσπατθνχ ηχπνπ δηθαίσκα αγνξάο (European Call Option), φπσο απηή πξνθχπηεη απφ ηε ιχζε ηεο δηαθνξηθήο ζηηο νξηαθέο ζπλζήθεο, είλαη: ( ) ( ) ( ) (7) ( ) ( ) (8) ( ) ( ) (9) Όπνπ: : ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο S: ε ηηκή ηεο κεηνρήο K: ε ηηκή εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο : ε κεηαβιεηφηεηα : ην αθίλδπλν επηηφθην : ν ρξφλνο έσο ηελ ιήμε ηνπ δηθαηψκαηνο ( ): ε αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο Παξαηεξνχκε πσο ζηε θφξκνπια απνηίκεζεο ε αλακελφκελε απφδνζε ηεο κεηνρήο έρεη εμαιεηθζεί. Απηφ είλαη έλα ζεκαληηθφ ζηνηρείν γηα ηελ απνηίκεζε ησλ παξαγψγσλ, κηαο θαη νη πξνηηκήζεηο ησλ επελδπηψλ (πνπ εθθξάδνληαη απφ ηελ αλακελφκελε απφδνζε) δελ επεξεάδνπλ ηελ απνηίκεζε. Έηζη, θαζίζηαηαη δπλαηή ε ρξήζε νπνηνπδήπνηε ζπλδπαζκνχ πξνηηκήζεσλ σο πξνο ηνλ θίλδπλν γηα ηελ απνηίκεζε ελφο παξάγσγνπ, κε απνηέιεζκα λα κελ επεξεάδεηαη ε ιχζε ηεο δηαθνξηθήο ησλ BSM. Με άιια ιφγηα, ν θίλδπλνο έρεη ήδε ελζσκαησζεί ζηελ ηηκή ηεο κεηνρήο. Σηε βηβιηνγξαθία, ν φξνο απηφο αλαθέξεηαη σο νπδέηεξε, σο πξνο ηνλ θίλδπλν, απνηίκεζε (Risk Neutral Valuation). Βέβαηα, ην θαηλφκελν απηφ είλαη «ηερλεηφ» θαη έρεη πξνθχςεη απφ ηελ ππφζεζε πσο νη επελδπηέο είλαη νπδέηεξνη σο πξνο ηνλ θίλδπλν, δειαδή ε αλακελφκελε 13

14 απφδνζε γηα κηα επέλδπζε ηζνχηαη κε ην αθίλδπλν επηηφθην. Αμηνζεκείσην φκσο είλαη, φηη ηα απνηειέζκαηα ηεο ιχζεο ηεο δηαθνξηθήο είλαη νξζά ηφζν ζηελ ππφζεζε ηεο νπδεηεξφηεηαο φζν θαη ζηελ ππφζεζε ηεο απνζηξνθήο θηλδχλνπ, δειαδή ηνλ πξαγκαηηθφ θφζκν. Ο Robert C. Merton (1973c) γελίθεπζε ην ππφδεηγκα ησλ Black and Scholes θαη έδεημε, αλαπηχζζνληαο κηα ελαιιαθηηθή θφξκνπια, πσο κπνξεί λα είλαη έγθπξν θαη θάησ απφ ιηγφηεξν απζηεξέο ππνζέζεηο απφ απηέο πνπ νη δχν ζπγγξαθείο πξφηεηλαλ, δειαδή φηαλ ηα επηηφθηα είλαη ζηνραζηηθά, κε ηελ πξνυπφζεζε φηη ε κεηαβιεηφηεηα ηεο κεηνρήο απνηειεί πξνζδηνξηζηηθή ζπλάξηεζε σο πξνο ηνλ ρξφλν. Σθνπφο ηνπ άξζξνπ, ζε πξψην ζηάδην, ήηαλ λα δνκήζεη κηα ζεηξά πεξηνξηζκψλ γηα ηελ απνηίκεζε ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο ζχκθσλα κε ηελ ππφζεζε ηεο απνζηξνθήο θηλδχλνπ (Risk Aversion). Απηνί, ινηπφλ, νη πεξηνξηζκνί λα γίλνπλ αλαγθαίεο ζπλζήθεο, ψζηε λα είλαη κηα θφξκνπια απνηίκεζεο ζπλεπήο κε ηελ νξζνινγηθή ζεσξία απνηίκεζεο ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο. Σε δεχηεξν ζηάδην, επέθηεηλε ην ππφδεηγκα εηζάγνληαο πιεξσκέο κεξηζκάησλ γηα ηε κεηνρή θαη κεηαβνιέο ζηελ ηηκή εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο. Σηα ζπκπεξάζκαηά ηνπ θαηαιήγεη πσο ην κνληέιν ησλ BSM κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί, ψζηε λα απνηηκήζεη νξζά ηα ζηνηρεία ηεο θεθαιαηαθήο δηάξζξσζεο κηαο επηρείξεζεο. Κάησ απφ ηηο ππνζέζεηο ησλ Modigliani-Miller (1958, 1963) γηα ηελ θεθαιαηαθή δηάξζξσζε, κπνξεί θαλείο λα ζσξήζεη ηελ ζπλνιηθή αμία κηαο επηρείξεζεο σο βαζηθφ αμηφγξαθν θαη κεκνλσκέλα ζηνηρεία απηήο σο δηθαηψκαηα πξναίξεζεο, ψζηε λα ηα απνηηκήζεη αληίζηνηρα. Έηζη, ζα έρεη κηα ζπζηεκαηηθή εηθφλα γηα ηε δνκή ηνπ θηλδχλνπ πνπ ππφθεηηαη ε επηρείξεζε. Οη John C.Cox, Stephen A.Ross θαη Mark Rubinstein (1979) κειέηεζαλ ηελ απνηίκεζε ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο πξνηείλνληαο έλα ελαιιαθηηθφ κνληέιν. Λφγσ ηεο καζεκαηηθήο δπζθνιίαο πνπ ελέρεη ην κνληέιν ησλ BSM, νη ζπγγξαθείο παξνπζηάδνπλ κηα απιή, δηαθξηηή σο πξνο ην ρξφλν κέζνδν απνηίκεζεο, ην δησλπκηθφ ππφδεηγκα απνηίκεζεο ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο (Binomial Option Pricing Formula). Έδεημαλ φηη κπνξνχκε λα ζρεκαηίζνπκε έλα αθίλδπλν ραξηνθπιάθην, πνπ λα απνηειείηαη απφ έλα ζπγθεθξηκέλν πνζφ ηεο κεηνρήο θαη ην δηθαίσκα πξναίξεζεο απηήο. Υπνζέηνληαο απνπζία εμηζνξξνπεηηθψλ επθαηξηψλ ην ραξηνθπιάθην ζα πξέπεη λα απνδίδεη ην αθίλδπλν επηηφθην (risk-free interest rate). Έηζη, κπνξνχκε λα απνηηκήζνπκε ην δηθαίσκα πξναίξεζεο ζε φξνπο ηεο κεηνρήο. Σπγθεθξηκέλα, έδεημαλ φηη κπνξνχκε λα ζρεκαηίζνπκε έλα ζπλδπαζηηθφ δησλπκηθφ δέληξν (Binomial Tree) πνπ λα θάλεη δηαθξηηή 14

15 ηε γεσκεηξηθή θίλεζε ηνπ Brown. Τν δησλπκηθφ δέληξν απνηειεί έλα δηάγξακκα πνπ αλαπαξηζηά ηα δηαθνξεηηθά κνλνπάηηα πνπ κπνξεί λα αθνινπζήζεη ε κεηνρή θαηά ηε δηάξθεηα ηεο δσήο ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο. Τν ελ ιφγσ ππφδεηγκα είλαη αζπλερέο ζε ζρέζε κε ην ππφδεηγκα ησλ BSM, ην νπνίν είλαη ζπλερέο. Βέβαηα, ζην φξην, ην δησλπκηθφ δέληξν κε κεγάιν αξηζκφ βεκάησλ, είλαη αληίζηνηρν κε ην ζπλερέο ππφδεηγκα ησλ BSM. Δπηπιένλ, ην ππφδεηγκα απηφ δίλεη ηηκέο θαηά πξνζέγγηζε ζε αληίζεζε κε ηελ αλαιπηηθή ιχζε ηνπ ππνδείγκαηνο ησλ BSM. Αθφκε, απνδεηθλχνπλ πσο ε ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο αγνξάο κπνξεί λα ζεσξεζεί σο ε πξνεμνθιεκέλε αμία ησλ κειινληηθψλ πιεξσκψλ (payoff) πνπ ην δηθαίσκα ζα απνθέξεη, ζε έλα θφζκν φπνπ νη επελδπηέο είλαη νπδέηεξνη σο πξνο ηνλ θίλδπλν (Risk Neutral World). Τν ππφδεηγκα, ινηπφλ, ππνζέηεη πσο ε ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ (κεηνρή) θηλείηαη πξνο ηα πάλσ ή θάησ, δειαδή αθνινπζεί έλα ηπραίν πεξίπαην. Μπνξεί λα απμεζεί θαηά έλα ζηαζεξφ πνζφ, κε πηζαλφηεηα, ή λα κεησζεί θαηά κηα ζηαζεξή πνζφηεηα, κε πηζαλφηεηα. Σπλνπηηθά ε ηηκή γηα έλα δηθαίσκα αγνξάο κε ηε ρξήζε ηνπ δησλπκηθνχ δέληξνπ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν: ( ) ( ) (10), Όπνπ α: ν κηθξφηεξνο αθέξαηνο αξηζκφο, κεγαιχηεξνο απφ ( ) ( ) ( ) είλαη ε ηηκή ηεο κεηνρήο, ην αθίλδπλν επηηφθην θαη ε ηηκή εμάζθεζεο Έλα ελδηαθέξνλ ζέκα, πνπ αλαθχπηεη απφ ηελ ζεσξία απνηίκεζεο ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο, είλαη πσο ε κεηαβιεηφηεηα (ζ) δελ είλαη άκεζα παξαηεξήζηκε. Η κεηαβιεηφηεηα, απνηειεί ηηο ηειεπηαίεο δεθαεηίεο έλα ηδηαίηεξα ειθπζηηθφ αληηθείκελν δηεξεχλεζεο γηα ηε ρξεκαηννηθνλνκηθή νηθνλνκεηξία. Σηα κνληέια απνηίκεζεο, φπσο 15

16 θαη ζε απηφ ησλ BSM, ε κεηαβιεηφηεηα εηζέξρεηαη ζην κνληέιν σο ζηαζεξά. Απνηειεί φκσο κηα ζηνραζηηθή κεηαβιεηή, φπσο θαη ε ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ηνπ παξαγψγνπ. Οη Poon θαη Granger (2002) παξνπζίαζαλ κηα θξηηηθή επηζθφπεζε ηεο βηβιηνγξαθίαο πνπ θαιχπηεη ηελ έξεπλα γηα ηηο κεζφδνπο κνληεινπνίεζεο θαη πξφβιεςεο ηεο κεηαβιεηφηεηαο. Δπηθεληξψλνληαο ζε 93 επηζηεκνληθά άξζξα, νη ζπγγξαθείο παξνπζηάδνπλ ηα ππάξρνληα κνληέια πξφβιεςεο θαζψο θαη ηελ πξνβιεπηηθή ηνπο επηηπρία. Οπζηαζηηθά, χζηεξα απφ απηή ηελ επηζθφπεζε επηβεβαηψλνπλ πσο ε κεηαβιεηφηεηα κπνξεί λα πξνβιεθζεί. Βέβαηα, ηα ζέκαηα πνπ αλαθχπηνπλ, θαη είλαη αθφκε αληηθείκελν έξεπλαο, αθνξνχλ θαηά πξψηνλ πφζν κεγάινο κπνξεί λα είλαη ν νξίδνληαο πξφβιεςεο θαη θαηά δεχηεξνλ πφζν νξζά κπνξνχλ λα πξνβιεθζνχλ νη κειινληηθέο δηαξζξσηηθέο κεηαβνιέο ζηελ κεηαβιεηφηεηα. Δπηπιένλ, φζνλ αθνξά ηε ζεκαζία ηεο κεηαβιεηφηεηαο, θαη ηδηαίηεξα ηε ζεσξεηηθή θαη εκπεηξηθή ηεο εθαξκνγή, ζεκαληηθή είλαη ε ζπλεηζθνξά ησλ Torben Andersen, Tim Bollerslev, Peter F.Christoffersen θαη Francis X.Diebold (2005). Σην άξζξν ηνπο παξνπζηάδνπλ εθηελψο ηε ρξήζε ηεο κεηαβιεηφηεηαο ηφζν ζην θνκκάηη ηεο νηθνλνκεηξηθήο πξφβιεςεο φζν θαη ζηηο ρξεκαηννηθνλνκηθέο εθαξκνγέο ηεο. Σθνπφο ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ άξζξνπ είλαη λα εμεγήζεη αλαιπηηθά ηηο δηαδηθαζίεο κνληεινπνίεζεο θαη πξφβιεςεο ηεο κεηαβιεηφηεηαο θαζψο θαη ηηο κεζφδνπο αμηνιφγεζεο ησλ παξαγφκελσλ πξνβιέςεσλ. Η ζεκαζία ηεο κεηαβιεηφηεηαο θαη ηδηαίηεξα ε αληίιεςε ηεο ζπκπεξηθνξάο ηεο, σο ζηνραζηηθήο κεηαβιεηήο, νδήγεζε ζηελ ρξήζε ηεο σο ππνθείκελν ηίηιν γηα παξάγσγα πξντφληα. Έηζη, δίλεηαη ε δπλαηφηεηα ζε πνιινχο επελδπηέο λα ρξεζηκνπνηήζνπλ αθφκε έλα εξγαιείν αληηζηάζκηζεο ηνπ θηλδχλνπ. Σηελ νπζία, νη δηαπξαγκαηεπηέο ησλ παξαγψγσλ ρξεζηκνπνηνχλ ηελ ηεκμαρηή μεηαβλεηόηεηα (Implied Volatility). Η ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα απνηειεί ηελ κεηαβιεηφηεηα πνπ σπονοείηαι απφ ηηο αγνξαίεο ηηκέο ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο πνπ βξίζθνληαη ζην ρξεκαηηθφ ηζνδχλακν θαη νξίδεηαη σο ( ), φπνπ ε ηηκή εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο θαη ε δηάξθεηα. Απνηειεί ηελ κεηαβιεηφηεηα, πνπ αλ ηελ εηζάγνπκε ζην ππφδεηγκα ησλ BSM, ζα εμηζψζεη ηελ ζεσξεηηθή ηηκή κε ηελ αγνξαία γηα έλα ζπγθεθξηκέλν δηθαίσκα πξναίξεζεο. Γεδνκέλνπ φηη ε ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα θέξεη πιεξνθφξεζε γηα ηε κειινληηθή αγνξαία κεηαβιεηφηεηα, αξθεηνί δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο έρνπλ θαηαζθεπαζηεί έσο ζήκεξα. Έλαο απφ ηνπο δηαζεκφηεξνπο δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο είλαη ν VIX, 16

17 ν νπνίνο μεθίλεζε λα δεκνζηεχεηαη ην 1993 απφ ην CBOE (Chicago Board Options Exchange). Ο ππνινγηζκφο ηνπ ζηεξίδεηαη ζε δηθαηψκαηα πξναίξεζεο κε ππνθείκελν ηίηιν δείθηε (αξρηθά ηνλ S&P100 θαη χζηεξα ηνλ S&P500). Σχκθσλα κε ηνπο Whaley (1993,2000), Fleming, Ostdiek θαη Whaley (1995) ν δείθηεο αξρηθά ππνινγηδφηαλ ζχκθσλα κε ηελ ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα νρηψ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο θνληά ζην ρξεκαηηθφ ηζνδχλακν γηα ην δείθηε S&P100. Ο ππνινγηζκφο ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο ζηεξηδφηαλ ζε κηα δησλπκηθή παξαιιαγή ηνπ κνληέινπ απνηίκεζεο ησλ BSM, ψζηε λα ιακβάλεη ππφςε ην γεγνλφο πσο πξφθεηηαη γηα ακεξηθάληθνπ ηχπνπ δηθαηψκαηα πξναίξεζεο, κε ππνθείκελνπο ηίηινπο πνπ δίλνπλ δηαθξηηά κεξίζκαηα. Τν 2003, ην CBOE καδί κε ηελ Goldman Sachs άξρηζαλ λα εθδίδνπλ ην λέν VIX, φπσο απηφο ρξεζηκνπνηείηαη έσο ζήκεξα. Έθηνηε, ν ηξφπνο ππνινγηζκνχ ηνπ δείθηε άιιαμε, ζπλερίδεη φκσο λα αληαλαθιά ηε κειινληηθή πξνζδνθψκελε κεηαβιεηφηεηα γηα ηηο επφκελεο 30 εκεξνινγηαθέο κέξεο. Ο λένο πιένλ VIX ζηεξίδεηαη ζηνλ S&P500 θαη εθηηκά ηελ αλακελφκελε κεηαβιεηφηεηα ηεο αγνξάο, ρξεζηκνπνηψληαο δηθαηψκαηα πξναίξεζεο πνπ βξίζθνληαη ζην ρξεκαηηθφ ηζνδχλακν, αιιά θαη απηά πνπ βξίζθνληαη εθηφο ρξεκαηηθνχ ηζνδχλακνπ (VIX White Paper, 2003). Σπγθεθξηκέλα, ηα ζπζηαηηθά γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ VIX απνηεινχλ ηα βξαρππξφζεζκα (near term) θαη ηα επφκελεο πεξηφδνπ (next term) δηθαηψκαηα πξναίξεζεο, ζπλήζσο γηα ηνλ πξψην θαη δεχηεξν κήλα ησλ ζπκβνιαίσλ. Δπηπιένλ δε ρξεζηκνπνηείηαη ην ππφδεηγκα ησλ BSM, ν δείθηεο είλαη αλεμάξηεηνο απφ θάζε ππφδεηγκα, θαζψο ππνινγίδεηαη σο ζηαζκηθφο κέζνο φξνο ησλ ηηκψλ ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο (Θεσξία ηεο δίθαηεο ηηκήο ηεο κειινληηθήο δηαθχκαλζεο). Όπσο πεξηγξάθεη θαη ν Robert E.Whaley (2008), πξφθεηηαη γηα δείθηε ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο πνπ κεηξά -φπσο καξηπξά θαη ε νλνκαζία ηνπκεηαβιεηφηεηα θαη φρη ηηκή. Η δηαπξαγκάηεπζε ησλ ζπκβνιαίσλ κειινληηθήο εθπιήξσζεο (ΣΜΔ), κε ππνθείκελν ηίηιν ην δείθηε VIX, μεθίλεζε ην 2004 θαη γηα ηα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο ηνλ Φεβξνπάξην ηνπ Ο VIX κπνξεί λα ζπγθξηζεί κε ηελ απφδνζε ελφο νκνιφγνπ ζηε ιήμε, ήηνη ην πξνεμνθιεηηθφ επηηφθην πνπ εμηζψλεη ηελ αμία ηνπ νκνιφγνπ κε ηελ παξνχζα αμία ησλ αλακελφκελσλ πιεξσκψλ ηνπ. Απνηειεί, ινηπφλ, έλα «αλακελφκελν» (forward looking) κέηξν κεηαβιεηφηεηαο. Ο VIX ιεηηνπξγεί σο «φξγαλν κέηξεζεο ηνπ θφβνπ» ησλ επελδπηψλ (Investor Fear Gauge) θαη δελ κεηαβάιιεηαη αλαινγηθά κε ηελ θίλεζε ηεο αγνξάο. Κηλείηαη αλνδηθά πεξηζζφηεξν ζε 17

18 απφιπην βαζκφ, φηαλ ε αγνξά (S&P500) πέθηεη, ζε αληίζεζε κε ηελ πξνο ηα θάησ θίλεζή ηνπ, φηαλ απηή θηλείηαη αλνδηθά. Η ζρέζε δειαδή ησλ κεηαβνιψλ ζηηο απνδφζεηο ηνπ VIX θαη ηνπ S&P500 είλαη αζχκκεηξε. Γηα ηελ εκπεηξηθή επηβεβαίσζε απηνχ ηνπ επηρεηξήκαηνο ν Whaley εθηίκεζε κε ηε κέζνδν OLS ηηο εκεξήζηεο απνδφζεηο ηνπ VIX ( ), ηνπ S&P500 ( ) θαη ηνπ S&P500 δεδνκέλνπ φηη ε αγνξά πέθηεη ( ). Γηα επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 1% νη ζπληειεζηέο ηεο παιηλδξφκεζεο ήηαλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθνί θαη αξλεηηθνί, επηβεβαηψλνληαο, έηζη, ηελ αληίζεηε αιιά θαη αζχκκεηξε ζρέζε κεηαμχ VIX θαη S&P500, γηα δείγκα παξαηεξήζεσλ θαη. Tα απνηειέζκαηα απηά, βέβαηα, δελ ππνλννχλ αηηηφηεηα. Σεκεηψλεη, επίζεο, φηη ε ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα (VIX) ηείλεη πξνο ην καθξνρξφλην κέζν ηεο (mean reverting). Η έξεπλα ζρεηηθά κε ηνπο δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο ζα κπνξνχζε λα δηαρσξηζηεί ζε δχν θνκκάηηα. Τν πξψην αθνξά ηε ζρέζε ησλ δεηθηψλ ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο κε ηηο κειινληηθέο απνδφζεηο ηνπ ππνθείκελνπ δείθηε θαη ην δεχηεξν ηελ ηθαλφηεηα ησλ δεηθηψλ απηψλ λα πξνβιέςνπλ ηε κειινληηθή αγνξαία κεηαβιεηφηεηα. Ο VIX, φληαο έλαο απφ ηνπο θπξηφηεξνπο δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο, έρεη απνηειέζεη θχξην έδαθνο έξεπλαο γηα πνιινχο κειεηεηέο. Σηε ζχγρξνλε ρξεκαηννηθνλνκηθή ε γλψζε πσο ε ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα απνηειεί νξζνινγηθή πξφβιεςε ηεο κειινληηθήο αγνξαίαο κεηαβιεηφηεηαο, έρεη κεγάιν επηζηεκνληθφ ελδηαθέξνλ. Παξαδφμσο, ε έξεπλα γηα ηελ πηζαλή ζρέζε ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο θαη ησλ κειινληηθψλ απνδφζεσλ ελφο εκπνξεχζηκνπ ηίηινπ (κεηνρή, δείθηεο) είλαη αξθεηά κηθξή. Απηφ ίζσο λα απνξξέεη απφ ηελ πεπνίζεζε φηη ε αγνξά είλαη πιεξνθνξηαθά απνηειεζκαηηθή, ψζηε ε ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα λα κελ ελέρεη πιεξνθνξία γηα ηε κειινληηθή θίλεζε ηνπ ηίηινπ. Σε αληίζεζε κε απηφ, πνιινί δηαπξαγκαηεπηέο παξαγψγσλ δηαηεξνχλ ηελ άπνςε, πσο πςειά επίπεδα ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο ζεκαηνδνηνχλ επθαηξίεο γηα ιήςε ζέζεο αγνξάο (long). Ο ιφγνο γηα κηα ηέηνηα θίλεζε είλαη πσο ζε πεξηφδνπο αλαηαξαρήο παξαηεξείηαη πςειή ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα, δειαδή νη επελδπηέο ππεξβάιινπλ. Ο Pierre Giot (2003) κειέηεζε ηηο ζρέζεηο κεηαμχ δεηθηψλ ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο θαη απνδφζεσλ ησλ ππνθείκελσλ δεηθηψλ ηνπο. Γηα ην ζθνπφ απηφ ρξεζηκνπνίεζε ηνλ VIX 18

19 κε ππνθείκελν ηίηιν ην δείθηε S&P100 θαη ην VXN κε ππνθείκελν ηίηιν ην δείθηε NASDAQ. Καηά πξψηνλ, βξήθε πσο ππάξρεη αξλεηηθή θαη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή ζρέζε κεηαμχ ησλ δεηθηψλ ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο θαη ησλ απνδφζεσλ ησλ ππνθείκελσλ δεηθηψλ ηνπο. Μάιηζηα γηα ηνλ S&P100 ε ζρέζε απηή είλαη αζχκκεηξε κε ηελ έλλνηα πσο ηαπηφρξνλεο αξλεηηθέο απνδφζεηο ζρεηίδνληαη κε αξθεηά κεγαιχηεξεο κεηαβνιέο ζηνλ VIX, απ φηη νη ζεηηθέο. Καηά δεχηεξνλ, ηα εκπεηξηθά απνηειέζκαηα επηβεβαίσζαλ φηη ζεηηθέο κειινληηθέο απνδφζεηο γηα ηνλ ππνθείκελν δείθηε αλακέλνληαη ιφγσ πςειψλ επηπέδσλ ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο, δειαδή ηα πςειά επίπεδα ηνπ VIX ζεκαηνδνηνχλ ζεηηθέο κειινληηθέο απνδφζεηο γηα ζέζεηο αγνξάο (long) ζηνλ ππνθείκελν δείθηε S&P100. Δλδηαθέξνληα απνηειέζκαηα γηα ηελ αξλεηηθή ζρέζε ησλ ηαπηφρξνλσλ κεηαβνιψλ κεηαμχ δείθηε ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο θαη απνδφζεσλ ηνπ ππνθείκελνπ δείθηε ζπλαληνχκε ζην έξγν ηνπ Σκιαδόποσλοσ Γ. (2004). Ο ζπγγξαθέαο αλαθέξεηαη ζηελ θαηαζθεπή ελφο δείθηε ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο γηα ηελ Διιεληθή αγνξά παξαγψγσλ θαη κειεηά ηηο ηδηφηεηέο ηνπ. Ο δείθηεο απηφο νλνκάδεηαη GVIX (Greek Volatility Index) θαη έρεη ππνθείκελν ηίηιν ην δείθηε FTSE/ASE20. Σε ζπκθσλία κε ηα απνηειέζκαηα ησλ Whaley (2000) θαη Giot (2003), θαηαιήγεη πσο ε ζρέζε κεηαμχ ησλ ηαπηφρξνλσλ κεηαβνιψλ, ηνπ GVIX θαη ησλ απνδφζεσλ ηνπ FTSE/ASE20, είλαη αξλεηηθή θαη κάιηζηα αζχκκεηξε, δειαδή ν GVIX κπνξεί λα εξκελεπζεί σο έλα «φξγαλν κέηξεζεο ηνπ θφβνπ ησλ επελδπηψλ» (investors fear gauge). Δπηπιένλ, ν ππνθείκελνο δείθηεο FTSE/ASE20 κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηελ πξφβιεςε ηεο κειινληηθήο θίλεζεο ηνπ GVIX, φκσο ην αληίζηξνθν δελ ηζρχεη. Οη Alessandro Cipollini θαη Antonio Manzini (2007) κειέηεζαλ ηε ζρέζε ηνπ λένπ VIX κε ηηο κειινληηθέο απνδφζεηο ηνπ ππνθείκελνπ δείθηε S&P500. Σπλερίδνληαο ζην πλεχκα ηεο εξγαζίαο ηνπ Giot (2003) επηθεληξψλνληαη ζηε ζρέζε αηηηφηεηαο κεηαμχ VIX θαη S&P500. Σεκαληηθή επηζήκαλζε είλαη πσο ε ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα ζπλδέεηαη άκεζα κε ηηο ηηκέο ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο ηνπ δείθηε S&P500, φκσο ε ζρέζε ηεο κε ηελ ηηκή ηνπ δείθηε είλαη κε-άκεζε θαη κε γξακκηθή. Σηελ αλάιπζή ηνπο θαηέιεμαλ πσο ν VIX κπνξεί λα δψζεη ζήκαηα γηα ηελ πνξεία ησλ κειινληηθψλ απνδφζεσλ ηνπ S&P500 θαη εηδηθφηεξα γηα νξίδνληα ηξηψλ κελψλ. Σπγθεθξηκέλα, βξήθαλ πσο νη αλακελφκελεο κειινληηθέο απνδφζεηο ηνπ S&P500 είλαη πςειφηεξεο γηα πςειά επίπεδα κεηαβιεηφηεηαο θαη ρακειέο, αθφκε θαη αξλεηηθέο, γηα ρακειά επίπεδα κεηαβιεηφηεηαο. Τα πςειά επίπεδα 19

20 κεηαβιεηφηεηαο ζεκαηνδνηνχλ κηα θαιή επθαηξία γηα ιήςε ζέζεο αγνξάο (long) ζηνλ S&P500. Δπηπιένλ, αλέπηπμαλ κηα ζηξαηεγηθή (buy and hold position) ζχκθσλα κε ηα ζήκαηα πνπ ιάκβαλαλ απφ ην κνληέιν ηνπο γηα ην επίπεδν ηνπ VIX. Οη Maria Teresa Gonzalez θαη Alfonso Novales (2009) κειέηεζαλ θαηά πφζν νη δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο απνηεινχλ πξνβιεπηηθά εξγαιεία γηα ηηο δηεζλείο αγνξέο. Οη δείθηεο κε ηνπο νπνίνπο εξγάζηεθαλ ήηαλ νη S&P500, SMI, IBEX θαη DAX θαζψο θαη νη αληίζηνηρνη δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο γηα απηνχο. Σηα εκπεηξηθά ηνπο απνηειέζκαηα επηβεβαηψλνπλ ηε κέρξη ηψξα έξεπλα, ήηνη ηε ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή θαη αξλεηηθή ζρέζε κεηαμχ ησλ κεηαβνιψλ ζηνπο δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο θαη ηηο απνδφζεηο ησλ ππνθείκελσλ δεηθηψλ. Δπηπιένλ, απηή ε ηαπηφρξνλε ζρέζε ηείλεη λα είλαη ζπκκεηξηθή γηα απμνκεηψζεηο ζηε κεηαβιεηφηεηα, ζε αληίζεζε κε ηα επξήκαηα παξειζνπζψλ εξεπλψλ. Τέινο, βξήθαλ πσο ππάξρεη ζρέζε αηηηφηεηαο θαηά Granger (Granger Causality) κεηαμχ ησλ δεηθηψλ ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο θαη ησλ ππνθείκελσλ δεηθηψλ θαη πξνο ηηο δχν θαηεπζχλζεηο. Η ρξήζε φκσο απηήο ηεο πιεξνθφξεζεο είλαη αζήκαληε θαη δε κπνξεί λα ζηεξίμεη ηε ρξήζε ηνπ ελφο δείθηε γηα ηελ πξφβιεςε ηνπ άιινπ. Οη δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο είλαη κεξνιεπηηθνί εθηηκεηέο ηεο κειινληηθήο αγνξαίαο κεηαβιεηφηεηαο. Η ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα, φπσο δίλεηαη απφ απηνχο ηνπο δείθηεο, ζρεηίδεηαη πεξηζζφηεξν κε ηξέρνπζεο θαη παξειζνχζεο ζπλζήθεο πάξα κε ηηο κειινληηθέο. Έηζη, κπνξεί θαλείο λα θαηαιήμεη πσο ε ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα είλαη κηα θαιή εθηίκεζε ηεο κειινληηθήο αγνξαίαο κεηαβιεηφηεηαο, γηα βξαρπρξφληνπο φκσο νξίδνληεο. Τν δεχηεξν θνκκάηη ηεο έξεπλαο, πνπ αθνξά ηνπο δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο, επηθεληξψλεηαη ζηελ ηθαλφηεηα ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο λα πξνβιέςεη κε επηηπρία ηε κειινληηθή αγνξαία κεηαβιεηφηεηα θαζψο θαη ηελ απνηειεζκαηηθφηεηα ηεο αγνξάο παξαγψγσλ κε ππνθείκελν ηίηιν ηε κεηαβιεηφηεηα. Η Katja Ahoniemi (2008) παξνπζηάδεη ελδηαθέξνληα απνηειέζκαηα γηα ηε κνληεινπνίεζε ηνπ VIX θαζψο θαη γηα ηελ πξνβιεπηηθή ηνπ επηηπρία. Σην άξζξν ηεο γίλεηαη πξνζπάζεηα εχξεζεο ππνδεηγκάησλ γηα ηνλ VIX, ηθαλά λα δψζνπλ απνηειεζκαηηθέο πξνβιέςεηο γηα ηε κειινληηθή θίλεζε ηνπ. Δπηπιένλ, νη παξαγφκελεο πξνβιέςεηο ρξεζηκνπνηνχληαη σο ζήκαηα δηαπξαγκάηεπζεο έηζη ψζηε, αλ ε ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα πξνβιέπεηαη λα απμεζεί, δηθαηψκαηα πξναίξεζεο πξέπεη λα αγνξάδνληαη αθνχ ε κειινληηθή ηνπο αμία αλακέλεηαη λα απμεζεί. Τα δεδνκέλα πνπ ρξεζηκνπνίεζε 20

21 απνηεινχλ εκεξήζηεο παξαηεξήζεηο γηα ηνλ VIX, εκεξήζηεο απνδφζεηο ηνπ δείθηε S&P500, ηνλ φγθν ηνπ δείθηε S&P500, απνδφζεηο ηνπ MSCI δείθηε θαη άιιεο καθξννηθνλνκηθέο θαη ρξεκαηννηθνλνκηθέο κεηαβιεηέο. Τα επξήκαηα δείρλνπλ πσο ε εμεηδίθεπζε κε ην ππφδεηγκα ARIMA(1,1,1) ηαηξηάδεη θαιχηεξα ζηα δεδνκέλα. Δπηπιένλ, ε πεξίιεςε ησλ απνδφζεσλ ηνπ S&P500, σο εξκελεπηηθήο κεηαβιεηήο γηα ηηο πξψηεο δηαθνξέο ηνπ VIX, είλαη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή. Οη φξνη GARCH(1,1) ζην ARIMA κνληέιν ήηαλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθνί θαη ε εμεηδίθεπζή ηνπο βειηίσζε ηελ αθξίβεηα ηεο θαηεχζπλζεο ηεο πξφβιεςεο. Καηαιήγνληαο, ην ARIMA(1,1,1)-GARCH(1,1) πξνβιέπεη νξζά ηελ θίλεζε ηεο κεηαβνιήο ηνπ VIX ζην 58,4% ησλ εκεξψλ δηαπξαγκάηεπζεο (1,258 εκέξεο out-of-sample πεξηφδνπ). Ωζηφζν, ν Νηεγιαννάκες Σ. (2008) παξνπζηάδεη έλα δηαθνξεηηθφ ππφδεηγκα γηα ηελ πξφβιεςε ηνπ δείθηε VIX. Πξφθεηηαη γηα έλα ARFIMAX κνληέιν, κε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή ηνλ VIX θαη αλεμάξηεηεο ηελ πξαγκαηνπνηεζείζα θαη ηε δεζκεπκέλε κεηαβιεηφηεηα ησλ απνδφζεσλ ηνπ S&P500. Σηα επξήκαηά ηνπ θαηαιήγεη πσο ε ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα, φπσο δίλεηαη απφ ηνλ δείθηε VIX δελ θαίλεηαη λα ζπλδέεηαη κε ηε κεηαβιεηφηεηα ηνπ S&P500. Τφζν ε δεζκεπκέλε φζν θαη ε πξαγκαηνπνηεζείζα κεηαβιεηφηεηα δελ έρνπλ ζεκαληηθή ζπλεηζθνξά ζηελ πξφβιεςε ηνπ VIX, παξά κφλνλ ν ίδηνο ν δείθηεο. Έλα ζπνπδαίν εξψηεκα πνπ γελλάηαη, είλαη θαηά πφζν κπνξνχκε λα πξνβιέςνπκε ηελ εμέιημε ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο. Τφηε, ίζσο κπνξέζνπκε λα θαηαιάβνπκε πψο νη αλακελφκελεο απνδφζεηο κεηαβάιινληαη ζην ρξφλν θαη έηζη λα θαηαζθεπάζνπκε επηθεξδείο ζηξαηεγηθέο κε ηε ρξήζε δηθαησκάησλ πξναίξεζεο θαη άιισλ παξάγσγσλ πξντφλησλ. Μηα ελδηαθέξνπζα πξνζέγγηζε ζην ζέκα απηφ απνηειεί ην άξζξν ησλ Κωνζηανηινίδε Ε., Σκιαδόποσλοσ Γ., και Τδαγκαράκε Ε. (2008) φπνπ κειέηεζαλ ηε δπλαηφηεηα πξφβιεςεο ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο κε ηε ρξήζε δεδνκέλσλ απφ Δπξσπατθνχο θαη Ακεξηθαληθνχο δείθηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο. Σην άξζξν ηνπο εμεηάδνπλ, θαηά πφζν ππάξρνπλ δηαθνξέο ζε ρψξεο θαη θιάδνπο, αλαθνξηθά κε ηελ εμέιημε ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο θαη πξαγκαηνπνηνχλ ζεκεηαθέο θαη ηκεκαηηθέο πξνβιέςεηο, κε ηηο ηειεπηαίεο λα έρνπλ κεγάιε ζεκαζία ζηε δηακφξθσζε ζηξαηεγηθψλ. Καηέιεμαλ πσο ππάξρνπλ δεπηεξνγελή απνηειέζκαηα (Spillover effects) ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο αλάκεζα ζηηο αγνξέο θαη επηπιένλ, ε αγνξά ΣΜΔ κεηαβιεηφηεηαο (Volatility Futures) είλαη πιεξνθνξηαθά απνηειεζκαηηθή φζν θαη νη ππφινηπεο αγνξέο 21

22 παξαγψγσλ. Σρεηηθφ είλαη θαη ην άξζξν ησλ Σκιαδόποσλοσ Γ. θαη Κωνζηανηινίδε Ε. (2008), φπνπ νη ζπγγξαθείο κειέηεζαλ ηελ αγνξά ζπκβνιαίσλ κειινληηθήο εθπιήξσζεο γηα ην δείθηε VIX θαη ηε δπλαηφηεηα ηεο πξνβιεςηκφηεηαο ησλ ηηκψλ ηνπο. Η δηεξεχλεζε απηήο ηεο δπλαηφηεηαο βνεζά ζηελ θαηαλφεζε ηεο απνηειεζκαηηθφηεηαο ηεο αγνξάο ησλ ΣΜΔ γηα ηνλ VIX. Δπηπιένλ, είλαη ρξήζηκε γηα ηνπο ζπκκεηέρνληεο ζηελ αγνξά απηή σο πξνο ηελ αλάπηπμε επηθεξδψλ ζηξαηεγηθψλ θαη αληηζηαζκηζηηθψλ πιαηζίσλ κε ηε ρξήζε παξαγψγσλ κεηαβιεηφηεηαο. Σεκείν θιεηδί ζε απηή ηελ έξεπλα απνηειεί ην γεγνλφο πσο ε πξνβιεςηκφηεηα ηεο ηηκήο ησλ ΣΜΔ γηα ηνλ VIX πξαγκαηνπνηείηαη ρσξίο λα γίλεηαη ππφζεζε γηα ηελ χπαξμε πξνβιέςηκσλ δνκψλ ζηελ ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα. Δμεηάδνληαο ηε ζηαηηζηηθή θαη νηθνλνκηθή εξκελεία ησλ πξνβιέςεσλ ηνπο, θαηαιήγνπλ πσο ε ππφζεζε ηεο απνηειεζκαηηθφηεηαο ηεο αγνξάο ΣΜΔ γηα ηνλ VIX δε κπνξεί λα απνξξηθζεί. Μάιηζηα, ην γεγνλφο απηφ δελ αθπξψλεη ηε δηαπξαγκάηεπζε ησλ ζπκβνιαίσλ κειινληηθήο εθπιήξσζεο γηα ηνλ VIX, κηαο θαη απνηεινχλ εξγαιεία αληηζηάζκηζεο ηνπ θηλδχλνπ. Οη Nossman M. θαη Wilhemsson A. (2008) εξεπλνχλ ηελ ηθαλφηεηα ηεο αγνξάο ΣΜΔ γηα ηνλ VIX λα πξνβιέςεη κε επηηπρία ηνλ ππνθείκελν δείθηε. Σπγθεθξηκέλα, εμεηάδνπλ, εάλ νη ηηκέο ησλ ΣΜΔ, θαηά κέζν φξν, κπνξνχλ λα πξνβιέςνπλ ζσζηά ην κειινληηθφ επίπεδν ηνπ δείθηε VIX. Απηή ε ππφζεζε ζηε βηβιηνγξαθία είλαη γλσζηή σο Expectation Hypothesis. Όπσο ήδε έρεη γίλεη εκθαλέο, ν δείθηεο VIX είλαη αξλεηηθά ζπζρεηηζκέλνο κε ηνλ S&P500, άξα νη ηηκέο ησλ ΣΜΔ κε ππνθείκελν ηίηιν ηνλ VIX ζα πξέπεη λα εκπεξηέρνπλ έλα αξλεηηθφ αζθάιηζηξν θηλδχλνπ γηα ηε κεηαβιεηφηεηα (Negative Risk Premium). Οη ζπγγξαθείο βξήθαλ πσο απηφ ην αζθάιηζηξν θηλδχλνπ φλησο ππάξρεη θαη φηαλ ελζσκαησζεί ζηελ ηηκή ησλ ΣΜΔ, ηφηε απηέο κπνξνχλ λα πξνβιέςνπλ κε κεγάιε επηηπρία ην κειινληηθφ επίπεδν ηνπ VIX. Τέινο, φζνλ αθνξά ηελ απνηειεζκαηηθφηεηα ηεο αγνξάο ησλ ΣΜΔ γηα ηνλ VIX, ελδηαθέξνληα απνηειέζκαηα παξνπζηάδνπλ νη Zhang, Sanning θαη Shaffer (2010). Σην άξζξν ηνπο κειέηεζαλ ηελ ππφζεζε πσο ε ηηκή ησλ ΣΜΔ αθνινπζεί έλα ππφδεηγκα ηπραίνπ πεξηπάηνπ θαζψο θαη ηελ αζζελή κνξθή απνηειεζκαηηθφηεηαο ζηελ αγνξά. Γηα ην ζθνπφ απηφ ρξεζηκνπνηνχλ κηα ζεηξά ζηαηηζηηθψλ ειέγρσλ (ADF, KPSS, VR) γηα ηηο ηηκέο πελήληα ηεζζάξσλ ΣΜΔ κε ππνθείκελν δείθηε ηνλ VIX. Όινη νη έιεγρνη πνπ δηεμήγαγαλ ππνλννχλ πσο ε θίλεζε ησλ ηηκψλ ησλ ΣΜΔ αθνινπζεί έλα ππφδεηγκα ηπραίνπ πεξηπάηνπ. Αλαθνξηθά κε ηελ απνηειεζκαηηθφηεηα ηεο αγνξάο, θαηαιήγνπλ πσο 22

23 είλαη απνηειεζκαηηθή είηε γηαηί νη ρξνλνζεηξέο απηέο εκθαλίδνληαη λα έρνπλ κνλαδηαία ξίδα είηε γηαηί παξνπζηάδνπλ αζπζρέηηζηεο δνκέο. Αμίδεη δε λα ζεκεησζεί πσο κηα αγνξά είλαη αζζελψο απνηειεζκαηηθή, εάλ φιε ε παξειζνχζα πιεξνθφξεζε γηα κηα κεηαβιεηή ελζσκαηψλεηαη ζηελ ηξέρνπζα ηηκή ηεο (Fama, 1970). Άξα ε θαιχηεξε εθηίκεζε γηα ηε κειινληηθή ηηκή απηήο ηεο κεηαβιεηήο απνηειεί ε ηξέρνπζα ηηκή ηεο θαη κφλνλ. Τα ππνδείγκαηα ηπραίνπ πεξηπάηνπ απνηεινχλ κηα εηδηθή πεξίπησζε ησλ ππνδεηγκάησλ Martingale. Αθφκε θαη αλ νη ηηκέο ησλ ΣΜΔ δελ αθνινπζνχλ ππνδείγκαηα ηπραίνπ πεξηπάηνπ απηφ δε ζεκαίλεη πσο ε αγνξά είλαη αλαπνηειεζκαηηθή. 23

24 Κεθάιαην 3 Γεδνκέλα θαη Οηθνλνκεηξηθή Μεζνδνινγία Σε απηφ ην θεθάιαην αθνινπζεί ε πεξηγξαθή ησλ δεδνκέλσλ θαη ε νηθνλνκεηξηθή κεζνδνινγία. Τα δεδνκέλα ρσξίδνληαη ζε δχν θαηεγνξίεο θαη αθνξνχλ παξαηεξήζεηο γηα ηηο ηηκέο ησλ δεηθηψλ S&P500 θαη VIX. Τν πξψην ζεη δεδνκέλσλ απνηειείηαη απφ εκεξήζηεο ηηκέο θιεηζίκαηνο γηα ηνπο δχν δείθηεο. Τν δεχηεξν απνηειείηαη απφ δεδνκέλα ηηκψλ πξαγκαηηθνχ ρξφλνπ κε ζπρλφηεηα ιεπηνχ. Όια ηα δεδνκέλα αληιήζεθαλ απφ ηε βάζε δεδνκέλσλ ηνπ Bloomberg. 3.1 Γεδνκέλα θαη Πεξηγξαθηθά ηαηηζηηθά Α) Ηκεξήζηα Γεδνκέλα Τν πξψην ζεη δεδνκέλσλ θαιχπηεη κηα πεξίνδν πέληε εηψλ θαη απνηειείηαη απφ 1278 παξαηεξήζεηο κε εκεξήζηα ζπρλφηεηα. Αθνξά ηηο ηηκέο θιεηζίκαηνο γηα ηνπο ρξεκαηηζηεξηαθνχο δείθηεο S&P500 θαη VIX, γηα ηελ πεξίνδν 3/10/2005 έσο θαη 29/10/2010. Σην Γξάθεκα 1 παξνπζηάδεηαη ε απφ θνηλνχ δηαγξακκαηηθή απεηθφληζε ησλ δχν δεηθηψλ. [Γξάθεκα 1] Υπελζπκίδνπκε φηη ν δείθηεο VIX κεηξά ηεθκαξηή κεηαβιεηφηεηα, δειαδή ηππηθή απφθιηζε. Γηαγξακκαηηθά, κπνξεί θαλείο λα παξαηεξήζεη ηελ αξλεηηθή ζπζρέηηζε κεηαμχ ησλ ηηκψλ ηνπ δείθηε S&P500 θαη ηνπ δείθηε VIX. Σθνπφο ηεο παξνχζαο εξγαζίαο, είλαη ε κειέηε ηεο ζρέζεο κεηαμχ ηεο κεηαβιεηφηεηαο ησλ απνδφζεσλ ηνπ S&P500 θαη ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο ηνπ δείθηε VIX. Μηα θαιή πξνζέγγηζε γηα ηε δεκηνπξγία ησλ απνδφζεσλ ηνπ S&P500 είλαη ν ινγαξηζκηθφο κεηαζρεκαηηζκφο, πνπ ππνινγίδεηαη σο: ( ) (1) 24

25 Ο ινγάξηζκνο ησλ ηηκψλ είλαη έλαο εχρξεζηνο κεηαζρεκαηηζκφο πνπ εμνκαιχλεη ηε θχζε ησλ δεδνκέλσλ θαη κεηψλεη ηελ αζπκκεηξία, θάλνληαο έηζη επθνιφηεξε ηελ αλάιπζή ηνπο. Σην Γξάθεκα 2 παξνπζηάδνληαη νη ινγαξηζκηθέο απνδφζεηο ηνπ S&P500,, νη απφιπηεο θαη νη ηεηξαγσληθέο απνδφζεηο. [Γξάθεκα 2] Οη ινγαξηζκηθέο απνδφζεηο ηνπ δείθηε S&P500 παξνπζηάδνπλ δνκέο σο πξνο ηε κεηαβιεηφηεηα, ζπγθεθξηκέλα, παξαηεξνχληαη πεξίνδνη πνπ ραξαθηεξίδνληαη απφ πςειή κεηαβιεηφηεηα (Volatility Clustering). Ιδηαίηεξα ηελ πεξίνδν ηεο ρξεκαηνπηζησηηθήο θξίζεο νη απνδφζεηο ηνπ S&P500 παξνπζηάδνπλ ηελ πςειφηεξε κεηαβιεηφηεηα ζην δείγκα καο. Tα πεξηγξαθηθά ζηαηηζηηθά γηα ηνπο δχν δείθηεο θαη ηηο ινγαξηζκηθέο απνδφζεηο ηνπ S&P500 παξνπζηάδνληαη ζηνλ Πίλαθα 1. [Πίλαθαο 1] Παξαηεξνχκε φηη εηδηθά γηα ηηο ινγαξηζκηθέο απνδφζεηο ηνπ S&P500 θαη γηα ην δείθηε VIX, ε ηηκή ηεο θχξησζεο είλαη αξθεηά πςειή. Δπηπιένλ, ην ζηαηηζηηθφ Jarque-Bera επηβεβαηψλεη ηε κε-θαλνληθφηεηα ηεο θαηαλνκήο ηνπο. Γηα ην δείθηε VIX, κπνξνχκε λα παξαηεξήζνπκε φηη ην εχξνο ηνπ θπκαίλεηαη απφ 0,09 έσο θαη 0,8 κνλάδεο θαη ε κέζε ηηκή ηνπ είλαη 0,23. Τν θζηλφπσξν ηνπ 2008, νη ρξεκαηηζηεξηαθνί δείθηεο ηεο Ακεξηθαληθήο νηθνλνκίαο, θαη φρη κφλνλ, έθηαζαλ αθφκε θαη ηηο 800 κνλάδεο, ηελ ίδηα ζηηγκή πνπ ν δείθηεο VIX αλήιζε ζε ηφζν πςειά επίπεδα (0,8). Πξφθεηηαη γηα ηελ αξρή ηεο νηθνλνκηθήο θξίζεο ζηηο ρξεκαηηζηεξηαθέο αγνξέο πνπ εθδειψλεηαη κέζα απφ ηνλ VIX, σο έλδεημε ηεο αλεζπρίαο ησλ επελδπηψλ. Ο δείθηεο S&P500 έρεη εχξνο απφ 675 έσο θαη 1500 πεξίπνπ κνλάδεο θαη ε κέζε ηηκή ηνπ είλαη ίζε κε 1219 κνλάδεο πεξίπνπ. Φαξαθηεξηζηηθά, θαίλνληαη θαη εδψ ηα ρακειά επίπεδα, ζηα νπνία θηλήζεθε ν δείθηεο θαηά ηελ έλαξμε ηεο ρξεκαηηζηεξηαθήο θξίζεο ην θζηλφπσξν. Β) Γεδνκέλα ζπρλόηεηαο ιεπηνύ Τν δεχηεξν ζεη δεδνκέλσλ απνηειείηαη απφ 52,889 παξαηεξήζεηο γηα ηνπο δχν ρξεκαηηζηεξηαθνχο δείθηεο S&P500 θαη VIX. Αθνξνχλ ηηκέο ησλ δεηθηψλ πνπ 25

26 δηακνξθψλνληαη θαηά ηηο ψξεο ιεηηνπξγίαο ησλ ρξεκαηηζηεξίσλ (16:31 έσο θαη 23:14) θαη ε πεξίνδνο πνπ θαιχπηνπλ είλαη απφ 20/4/2010 έσο θαη 29/10/2010. Απφ ηελ παξνχζα αλάιπζε έρεη εμαηξεζεί ην δηάζηεκα 23:00-23:14, φπνπ ε ηειεπηαία ηηκή γηα ην δείθηε S&P500 παξακέλεη ζηαζεξή. Σην Γξάθεκα 3 παξνπζηάδεηαη ε απφ θνηλνχ δηαγξακκαηηθή απεηθφληζε ησλ δχν δεηθηψλ. [Γξάθεκα 3] Παξαηεξνχκε φηη θαη γηα ηα δεδνκέλα ιεπηνχ ε αξλεηηθή ζπζρέηηζε κεηαμχ ησλ δχν δεηθηψλ παξακέλεη εκθαλήο. Σην Γξάθεκα 4 παξνπζηάδνληαη νη ινγαξηζκηθέο, νη απφιπηεο θαη νη ηεηξαγσληθέο απνδφζεηο ηνπ δείθηε S&P500. [Γξάθεκα 4] Γηαγξακκαηηθά, θαίλεηαη φηη νη ινγαξηζκηθέο απνδφζεηο ηνπ S&P500 παξνπζηάδνπλ νκαδνπνίεζε ζηε κεηαβιεηφηεηα. Οη απνδφζεηο ηνπ S&P500 θαη ζε απηή ηελ πεξίπησζε ππνινγίδνληαη ζχκθσλα κε ηε ζρέζε (1). Σηνλ Πίλαθα 2 παξνπζηάδνληαη ηα πεξηγξαθηθά ζηαηηζηηθά. [Πίλαθαο 2] Παξαηεξνχκε φηη θαη νη ηξεηο ρξνλνζεηξέο έρνπλ πςειέο ηηκέο γηα ηελ θχξησζε θαη ηδηαίηεξα ε ζεηξά ησλ ινγαξηζκηθψλ απνδφζεσλ ηνπ δείθηε S&P500. Τν ζηαηηζηηθφ Jarque-Bera, επηβεβαηψλεη, θαη γηα ηηο ηξείο ρξνλνζεηξέο, φηη ε θαηαλνκή ηνπο δελ είλαη θαλνληθή. Γηα ην δείθηε VIX παξαηεξνχκε πσο ην εχξνο ησλ ηηκψλ ηνπ θπκαίλεηαη απφ 0,16 έσο 0,45 κνλάδεο θαη ε κέζε ηηκή είλαη ίζε κε 0,25. Ο δείθηεο S&P500 έρεη εχξνο απφ 1011 έσο 1219 κνλάδεο θαη ε κέζε ηηκή είλαη ίζε κε 1117 κνλάδεο πεξίπνπ. 3.2 Οηθνλνκεηξηθή Μεζνδνινγία Η ρξήζε ηεο νηθνλνκεηξηθήο κεζνδνινγίαο ζα καο βνεζήζεη λα δηεξεπλήζνπκε ηε ζρέζε ηεο ηεθκαξηήο κεηαβιεηφηεηαο, φπσο δίλεηαη απφ ηνλ VIX, κε ηε κεηαβιεηφηεηα ησλ απνδφζεσλ ηνπ δείθηε S&P500. Σηφρνο είλαη ε δεκηνπξγία ρξνλνζεηξάο, γηα ηε κεηαβιεηφηεηα ησλ ινγαξηζκηθψλ απνδφζεσλ ηνπ S&P

27 3.2.1 Τπνδείγκαηα Γεζκεπκέλεο Δηεξνζθεδαζηηθόηεηαο (G)ARCH Όπσο παξαζέηεη ν Mandelbort (1963): ζηηο ρξεκαηννηθνλνκηθέο ρξνλνζεηξέο παξαηεξνχκε φηη πςειέο κεηαβνιέο ζηηο απνδφζεηο ηείλνπλ λα αθνινπζνχληαη απφ πςειέο κεηαβνιέο άιισλ πξνζήκσλ. Τν γεγνλφο απηφ νδήγεζε ζηελ αλάπηπμε ησλ κνληέισλ απηνπαιίλδξνκεο δεζκεπκέλεο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο ARCH (Engle,1982), ηα νπνία πεξηγξάθνπλ ην θαηλφκελν ηεο νκαδνπνίεζεο ηεο κεηαβιεηφηεηαο. Σηε ζχγρξνλε ρξεκαηννηθνλνκηθή, έρεη βξεζεί πσο ε εηεξνζθεδαζηηθφηεηα ησλ απνδφζεσλ ησλ ρξεκαηννηθνλνκηθψλ ρξνλνζεηξψλ δηαρσξίδεηαη ζε: κε-δεζκεπκέλε θαη δεζκεπκέλε βάζεη ελφο πιεξνθνξηαθνχ ζπλφινπ. Η κε-δεζκεπκέλε εηεξνζθεδαζηηθφηεηα ησλ απνδφζεσλ είλαη ζηαζεξή. Αληίζεηα, ε δεζκεπκέλε εηεξνζθεδαζηηθφηεηα είλαη ρξνληθά εμαξηψκελε. Με ηνλ φξν δεζκεπκέλε, αλαθεξφκαζηε ζηελ εηεξνζθεδαζηηθφηεηα (δηαθχκαλζε) πνπ ππνινγίδεηαη δεδνκέλνπ ηνπ πιεξνθνξηαθνχ ζπλφινπ ησλ ηζηνξηθψλ ηηκψλ ηεο. Δπηπιένλ, νη κεηαβνιέο ζηηο απνδφζεηο ησλ ρξεκαηννηθνλνκηθψλ ρξνλνζεηξψλ είλαη αξλεηηθά ζπζρεηηζκέλεο κε απηέο ζηε κεηαβιεηφηεηα, θαηλφκελν κφριεπζεο «leverage effect» (Black, 1976). Μέρξη θαη ζήκεξα, ιφγσ ηεο ηθαλφηεηαο ησλ κνληέισλ δεζκεπκέλεο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο ARCH λα «εμεγνχλ» ηελ νκαδνπνίεζε ηεο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο, έρνπλ αλαπηπρζεί πνιιά ελαιιαθηηθά κνληέια. Τν πην γλσζηφ είλαη ην GARCH (Bollerslev, 1986) θαη δηάθνξεο παξαιιαγέο ηνπ, φπσο ηα TGARCH (Zakoian, 1994) θαη EGARCH (Nelson, 1991). Τν κνληέιν GARCH(1,1) ( ) (2), ( ) (3) (4) ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ Σην παξαπάλσ κνληέιν έρνπκε: ε ( ) ηζνχηαη κε ηελ εμεηδίθεπζε θάζε θνξά γηα ην κέζν θαη είλαη ηα θαηάινηπα. Σηελ εμίζσζε (3) ηα είλαη ηπραίεο κεηαβιεηέο πνπ θαηαλέκνληαη νκνηφκνξθα θαη αλεμάξηεηα κε κέζν 0 θαη δηαθχκαλζε 1. Η αθνξά ηελ πξφβιεςε ηεο κεηαβιεηφηεηαο ηε ζηηγκή t, δεδνκέλεο ηεο πιεξνθφξεζεο ηε ζηηγκή t-1. 27

28 H εμίζσζε (4) είλαη ην ππφδεηγκα GARCH(1,1) θαη καο δίλεη ηελ πξφβιεςε ηεο δεζκεπκέλεο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο, ε νπνία εμαξηάηαη: απφ κηα ζηαζεξά ω, ηελ επίδξαζε ησλ θαηαινίπσλ ζην ηεηξάγσλν (ή αιιηψο «λέα») γηα κία πζηέξεζε θαη ηελ ηηκή ηεο δεζκεπκέλεο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο γηα κία πζηέξεζε. Ο πεξηνξηζκφο επηβάιιεηαη γηα λα ηζρχεη ε ζηαζηκφηεηα. Τν κνληέιν TGARCH(1,1) (5) To κνληέιν TGARCH(1,1) καο δίλεη ηελ πξφβιεςε ηεο δεζκεπκέλεο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο, ε νπνία εμαξηάηαη: απφ κηα ζηαζεξά ω, ηελ επίδξαζε ησλ θαηαινίπσλ ζην ηεηξάγσλν (ή αιιηψο «λέα») γηα κία πζηέξεζε, ηελ ηηκή ηεο δεζκεπκέλεο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο γηα κία πζηέξεζε θαη ηελ επίδξαζε ησλ «λέσλ», αλάινγα κε ην αλ έρνπκε «θαιά ή θαθά» λέα. Η κεηαβιεηή εηζάγεη ηελ επίδξαζε ηεο πιεξνθνξίαο. Αλ απηή είλαη αξλεηηθή, ηφηε παίξλεη ηηκή 1 θαη ε επίδξαζε ηεο πιεξνθνξίαο είλαη, αλ φρη, ηφηε παίξλεη ηελ ηηκή κεδέλ θαη ε επίδξαζε ηεο είλαη ίζε κε. Με απηφ ηνλ ηξφπν εμεγείηαη ε κφριεπζε πνπ παξαηεξείηαη ζηε δεζκεπκέλε εηεξνζθεδαζηηθφηεηα απφ ηελ επίδξαζε ηεο θχζεο ηεο πιεξνθνξίαο. Αλ, ηφηε ε επίδξαζε είλαη ζπκκεηξηθή, αλ γ 0, ηφηε είλαη αζχκκεηξε. Τν κνληέιν TGARCH(1,1) είλαη απφ ηα πξψηα πνπ εμεγνχλ ην θαηλφκελν ηεο κφριεπζεο πνπ παξαηεξείηαη κεηαμχ κεηαβιεηφηεηαο θαη απνδφζεσλ. Τν κνληέιν EGARCH(1,1), ( 1) (6) ( ) ( ) (7) φπνπ ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) 28