ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Μηχανική Ι. Ενότητα 6: Ασκήσεις. Κωνσταντίνος Ι.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι Ενότητα 6: Ασκήσεις Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολογίας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2

3 1. Σκοποί Ενότητας Περιεχόμενα Ενότητας Ασκήσεις 6 ης Ενότητας

4 1. Σκοποί Ενότητας Η επίλυση ασκήσεων της 6ης Ενότητας 2. Περιεχόμενα Ενότητας Ασκήσεις 6ης Ενότητας 4

5 3. Ασκήσεις 6ης Ενότητας Ο κάτωθι φορέας ισσοροπεί οριζόντια στο επίπεδο.ζητούνται: Α.οι εξωτερικές αντιδράσεις στήριξης του φορέα στο έδαφος Β. οι εσωτερικές μεταβιβαζόμενες αντιδράσεις στις εσωτερικές αρθρώσεις G1 και G2. Γ. να υπολογιστούν αναλυτικά τα εντατικά μεγέθη N,Q,M σε ολόκληρο το φορέα. Δ. να σχεδιασθούν τα διαγράμματα των εντατικών μεγεθών στα τμήματα του φορέα AG1. Δίνονται : sinφ=0,4 cosφ=0,9 sinθ=0,6 cosθ=0,8 ΛΥΣΗ: A) ΣFx = 0 => H A + P 1 + P 2 *cosθ - H B - P 3 *cosφ= 0 => H A - H B = => H B - H A = 19KN (1) ΣFy = 0 => V A + V B = q 1 * *6*1/2 + P 3 *sinφ + P 2 *sinθ => V A + V B = => V A + V B = 110KN (2) ΣM A = 0 => 5

6 M A = q 1 *4*4/2 + (20*6*1/2*8) + P 3 *sinφ*11 + P 2 *sinθ*15 + H B *4 - V B *12 - P 1 *2=> M A = *H B - 12V B - 40 => M A + 12V B - 4H B = 654 (3) Θεωρούμε την ενδιάμεση άρθρωση (Gerber) G 1 η οποια επιτρέπει την περιστροφή του μέλους AG 1 ως προς τον υπόλοιπο φορέα. Άρα πρέπει να μηδενίζεται το άθροισμα των ροπών ως προς G 1 του μέλους AG 1 : ΣM G1 = 0 => M A V A => M A = 4V A - 80 (4) Ομοίως πρέπει να μηδενίζεται το άθροισμα των ροπών ως προς G 2 του δεξιού μέλους ή του αριστερού μέλους. Απο την ισορροπία του δεξιού μέλους έχουμε : ΣM G2 = 0 => P 3 *sinφ*1 + P 2 *sinθ*5 + Η Β *4 - V B *2 - P 1 *2 = H B - 2V B - 40 = 0 => 4H B - 2V B = 6 (5) Απο το σύστημα των εξισώσεων: (1) (2) (3) (4) (5) προκύπτουν οι αντιδράσεις στήριξης : απο την (3) και την (5) έχουμε : M A + 12V B - 6-2V B = 654 => M A + 10V B = 660 (6) απο την (6) και την (4) έχουμε : 4V A V B = 660KN => απο την (2) 4(110 - V B ) + 10V B = 740KN => 440-4V B +10V B = 740KN => 6V B = 300KN => V B = 50KN Συνεπώς V A = 60KN M A = 160KN 6

7 H B = 26.5KN H A = 7.5KN B) H G1 = H A = 7.5KN H G = 0 => H G2 = 7.5KN V G1 = V A - 40 = 20KN => V G1 = 20KN V G2 = V B = 40KN => V G2 = 40KN Γ) Επειδή στον φορέα δρούν διάφορες δυνάμεις απαιτούνται να γίνουν κάποιες τομές.τα τμήματα που θέλουμε να μελετήσουμε είναι 7 οπότε θα κάνουμε 7 τομές.η '1' για την εξέταση του ΑG 1, η '2' του G 1 G 2, η '3' του G 2 Γ, η '4' του ΓΔ, η '5' του ΔΕ, η '6' του ΒΖ και η '7' του ΖΔ.Οι αρθρώσεις στα G 1,G 2 δεν παίζουν ρόλο. -Εξετάζουμε το τμήμα ΑG 1 με 0<x<4 m με την τομή '1' αριστερό τμήμα 7

8 Αξονική δύναμη Ν(x) : Ασκείται μόνο η H A επομένως : Ν(x) = Η Α = 7,5 [kn] Τέμνουσα δύναμη Q(x) : Επειδή μεταξύ Α και G1 (μη συμπεριλαμβανόμενων των άκρων) η δοκός δεν φέρει συγκεντρωμένες δυνάμεις,αλλά μόνο το κατανεμημένο φορτίο q,η Q(x) θα έχει ενιαία έκφραση για όλο της το μήκος. Q(x) = Η Α - q 1 *x = 7,5-10*x [kn], 0<x<4 Ροπή κάμψης Μ(x) : Παίρνουμε τις ροπές ως προς το σημείο τομής '1' Μ(x) = Μ Α +Η Α *x-q 1 *x*x/2 = ,5*x - 5*x 2 = -5*x 2 +7,5*x [knm], 0<x<4 -Εξετάζουμε το τμήμα G 1 G 2 με 4<x<10 m με την τομή '2' αριστερό τμήμα Αξονική δύναμη Ν(x) : Δεν ασκούνται οριζόντια φορτία,οπότε Ν(x)=0 [kn], 4<x<10 Τέμνουσα δύναμη Q(x): Τέμνουσα δύναμη στο τμήμα αυτό είναι μόνο η δύναμη q 2* x από το τριγωνικό φορτίο (που δρα σε απόσταση x/2 από την τομή '2') Q(x) = - q 2* x = -20*x [kn], 4<x<10 Ροπή κάμψης Μ(x) : : Παίρνουμε τις ροπές ως προς το σημείο τομής '2' M(x) = (q 2 *x)*x*2/3 = 20*x*x*2/3 = 13,3*x 2 [knm], 4<x<11 -Εξετάζουμε το τμήμα G 2 Γ με 10<x<11 m με την τομή '3' 8

9 δεξί τμήμα Αξονική δύναμη Ν(x) : : Ασκείται μόνο η P 3 *cosφ επομένως : N(x) = -P 3 *cosφ = -9 [kn] Τέμνουσα δύναμη Q(x): Τέμνουσα δύναμη στο τμήμα αυτό είναι μόνο η δύναμη P 3 *sinφ Q(x) = - (- P 3 *sinφ) = 4 [kn], 11<x<13 Ροπή κάμψης Μ(x) : : Παίρνουμε τις ροπές ως προς το σημείο G 2 M(x) = - (-P 3 *sinφ*x) = 4*x [knm], 11<x<13 9

10 -Εξετάζουμε το τμήμα ΓΔ με 11<x<13 m με την τομή '4' δεξί τμήμα Αξονική δύναμη Ν(x) : Ασκείται η δύναμη P 1 και η δύναμη H B N(x) = - - (-H B ) = ,5 = 16,5 [kn], 11<x<13 Τέμνουσα δύναμη Q(x): Τέμνουσα δύναμη στο τμήμα αυτό είναι μόνο η δύναμη V B Q(x) = - V B = - 50 [kn], 11<x<13 Ροπή κάμψης Μ(x) : : Παίρνουμε τις ροπές ως προς το σημείο Γ Μ(x) = - V B *x = -50*x [knm], 11<x<13 -Εξετάζουμε το τμήμα ΔΕ με 13<x<16 m με την τομή '5' δεξί τμήμα Αξονική δύναμη Ν(x) : Ασκείται μόνο η P 2 *cosθ επομένως : N(x) = - (-) = 8 [kn], 13<x<16 Τέμνουσα δύναμη Q(x): Τέμνουσα δύναμη στο τμήμα αυτό είναι μόνο η δύναμη P 2 *sinφ Q(x) = - P 2 *sinθ = -6 [kn], 13<x<16 Ροπή κάμψης Μ(x) : : Παίρνουμε τις ροπές ως προς το σημείο Δ 10

11 M(x) = - ( -P 3 *sinθ*x) = 6*x [knm], 13<x<16 -Εξετάζουμε το τμήμα ΒΖ με 0<x<2 m με την τομή '6' αριστερό τμήμα Αξονική δύναμη Ν(x) : Ασκείται μόνο η V B οπότε Ν(x) = V B = 50 [kn], 0<x<2 Τέμνουσα δύναμη Q(x): Τέμνουσα δύναμη στο τμήμα αυτό είναι μόνο η δύναμη H B Q(x) = H B = 26,5 [kn], 0<x<2 Ροπή κάμψης Μ(x) : : Παίρνουμε τις ροπές ως προς το σημείο Ζ M(x) = H B *x = 26,5*x [knm], 0<x<2 -Εξετάζουμε το τμήμα ΖΔ με 2<x<4 m με την τομή '7' 11

12 αριστερό τμήμα Αξονική δύναμη Ν(x) : Δεν ασκούνται οριζόντια φορτία,οπότε Ν(x)=0 [kn], 2<x<14 Τέμνουσα δύναμη Q(x): Τέμνουσα δύναμη στο τμήμα αυτό είναι μόνο η δύναμη P 1 Q(x) = -P 1 = -20 [kn], 2<x<4 Ροπή κάμψης Μ(x) : : Παίρνουμε τις ροπές ως προς το σημείο Δ M(x) = -P 1 *x = -20*x [knm], 2<x<4 Δ) Για το τμήμα ΑG 1 με 0<x<4 m με την τομή '1' [Ν] : Από τη μελέτη που κάναμε στο προηγούμενο ερώτημα προκύπτει οτι η Ν(x) έχει σταθερή τιμή 7,5 kn για 0<x<4. [Q] : Από τη μελέτη που κάναμε στο προηγούμενο ερώτημα προκύπτει οτι η Q(x) είναι μια ευθεία της μορφής - 10*x + 7,5 knm Οπότε χαράσσουμε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία : (0, 7.5), (4, -32.5) 12

13 [Μ] : Από τη μελέτη που κάναμε στο προηγούμενο ερώτημα προκύπτει οτι η Μ(x) είναι μια παραβολή της μορφής -5*x 2 +7,5*x που διέρχεται απο τα σημεία : (0, 160), (2, 155), (4, 110) Η Μ(x) μηδενίζεται όταν Μ(x)= 0 δηλαδή όταν x=6,45 13