Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. 2

3 Το Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως (ή Κατανομής) είναι μια ειδική περίπτωση προβλήματος ΓΠ και έχει αρκετές ομοιότητες (αλλά και διαφορές) με το Πρόβλημα Μεταφοράς. Βασική διαφορά είναι πως η δυναμικότητα κάθε πηγής αλλά και η ζήτηση κάθε προορισμού είναι ίση με την μονάδα. Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος είναι η ακόλουθη: n n minz = ' ' c ij i*1 j*1 x ij (Ι) Με περιορισμούς: 2 0*3 x /0 = 1, i = 1, 2,, n 2 /*3 x /0 = 1, j = 1, 2,, n και x /0 = 0 ή 1, για κάθε i, j = 1, 2,, n (ΙΙ) Προϋπόθεση: Το πλήθος των πηγών ισούται με το πλήθος των προορισμών. Αν αυτή δεν ισχύει, χρησιμοποιούμε πλασματικές πηγές ή περιορισμούς εισάγοντας κατάλληλα κόστη αντιστοίχησης. 3

4 Πινακοποιημένη Μορφή Προβλήματος Αντιστοιχήσεως Πηγές Ζήτηση προορισµών 1 2 n Προορισµοί Δυναµικότητα πηγών 1 2 n Σε κάθε πηγή αντιστοιχείται ένας μοναδικός προορισμός. Η κάθε αντιστοίχηση (i, j) συνεπάγεται ένα κόστος cij. Το πρόβλημα έγκειται στον προσδιορισμό της αντιστοίχησης εκείνης που οδηγεί στην επιλογή με το χαμηλότερο δυνατό κόστος 4

5 Απαραίτητοι Χειρισμοί: 1. Ο αρχικός Πίνακας Κόστους (αποστάσεων στην περίπτωση μας) πρέπει να μετατραπεί σε έναν ισοδύναμο Πίνακα (προς ελαχιστοποίηση), για τον οποίο η βέλτιστη λύση να είναι προφανής. 2. Ο ισοδύναμος Πίνακας πρέπει να αποτελείται από θετικά και αρκετά μηδενικά στοιχεία, ώστε όλες οι αντιστοιχήσεις να μπορούν να γίνουν στα μηδενικά στοιχεία. Αφού το ολικό κόστος δεν μπορεί να είναι αρνητικό, προκύπτει ότι η αντιστοίχηση αυτή θα είναι βέλτιστη. 3. Η μετατροπή του αρχικού Πίνακα σε ισοδύναμο βασίζεται στο γεγονός ότι μπορεί κανείς να προσθέσει ή να αφαιρέσει οποιοδήποτε σταθερό αριθμό από όλα τα στοιχεία μιας σειράς ή μιας στήλης του αρχικού Πίνακα Κόστους, χωρίς να αλλάξει το πρόβλημα. Δηλαδή η βέλτιστη λύση για την νέα μήτρα είναι βέλτιστη και για την παλαιά και αντιστρόφως. Ο νέος Πίνακας που θα προκύψει μετά τους πιο πάνω χειρισμούς, ονομάζεται Πίνακας Ευκαιριακού Κόστους (opportunity cost) 5

6 - Παράδειγµα Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο παράδειγμα. Η οργανωτική επιτροπή του Παγκοσμίου Ποδοσφαίρου στη Βραζιλία, για την Πέμπτη 19 Ιουνίου 2014 έχει προγραμματίσει τέσσερις αγώνες, σε τέσσερις διαφορετικές πόλεις. Επιθυμεί να αναθέσει σε κάθε αγώνα μια ομάδα παρατηρητών ασφαλείας κατά τέτοιο τρόπο ώστε η συνολική απόσταση που θα πρέπει να ταξιδέψουν οι ομάδες αυτές να είναι η ελάχιστη. Στον Πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι χιλιομετρικές αποστάσεις ανάμεσα στις πόλεις διεξαγωγής των αγώνων και τις βάσεις κάθε ομάδας παρατηρητών. ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D

7 - Παράδειγµα - Όπως ήδη αναφέρθηκε, απαραίτητη προϋπόθεση για την επίλυση του προβλήματος είναι η κατάστρωση του Πίνακα ευκαιριακού κόστους (opportunity cost table). - Αυτό επιτυγχάνεται αρχικά αφαιρώντας από κάθε τιμή μιας γραμμής την ελάχιστη τιμή για τη γραμμή αυτή. Η διαδικασία (row reductions) ομοιάζει με αυτή που χρησιμοποιήσαμε στο ΠΜ και στη μέθοδο Vogel για να καθορίσουμε τα κόστη των ποινών (penalty costs). - Με άλλα λόγια, για κάθε γραμμή υπολογίζεται η καλύτερη δράση (τιμή 0) και υπολογίζονται τα ευκαιριακά κόστη για όλα τα υπόλοιπα κελιά ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D

8 - Παράδειγµα - Στη συνέχεια επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για όλες τις στήλες του Πίνακα (column reductions) από την οποία προκύπτει ο Πίνακας Ευκαιριακού Κόστους που ακολουθεί. - Οι αναθέσεις μπορούν να λάβουν χώρα, όπου έχει προκύψει ευκαιριακό κόστος ίσο με μηδέν βέλτιστες αναθέσεις. - Βέλτιστη συνολική λύση προκύπτει όταν κάθε μια ομάδα μπορεί να ανατεθεί αποκλειστικά και μόνο σε έναν ποδοσφαιρικό αγώνα. - Από τον Πίνακα είναι προφανές πως αυτό δε συμβαίνει καθώς αν για παράδειγμα η ομάδα Α, ανατεθεί στον αγώνα του Σαο Πάολο, τότε π.χ. το μηδέν στο κελί Β2 γίνεται αδύνατο. ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D

9 Π.Α. Αλγόριθµος Επίλυσης (Hungarian Method) 1. Αφαιρούμε το ελάχιστο στοιχείο κάθε σειράς της μήτρας μοναδιαίου κόστους από κάθε στοιχείο της σειράς αυτής. Εξετάζουμε αν έχει προκύψει βέλτιστη λύση με μοναδικές αντιστοιχήσεις μηδενικής ποινής. 2. Αν το βήμα 1 δε δώσει λύση, τότε προχωρούμε στην επανάληψη του βήματος 1 αλλά για τις στήλες αυτή τη φορά. 3. Εξετάζουμε τις σειρές και στήλες διαδοχικά. Για κάθε σειρά/ στήλη με ένα ακριβώς μηδενικό κρατάμε την θέση αυτή για τοποθέτηση (αντιστοίχηση) και διαγράφουμε τα άλλα μηδενικά σ αυτήν την στήλη/ σειρά. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία αυτή για σειρές και στήλες έως ότου όλα τα μηδενικά είτε έχουν αντιστοιχηθεί είτε έχουν διαγραφεί. Εάν οι κρατηθείσες θέσεις περιλαμβάνουν ένα πλήρες σύνολο αντιστοιχήσεων, τότε αυτό αποτελεί την βέλτιστη λύση, διαφορετικά προχωρούμε στο βήμα Χαράσσουμε τον ελάχιστο αριθμό γραμμών (line test) με τον οποίο μπορούμε να διαγράψουμε όλα τα κελιά του Πίνακα με τιμή μηδέν 9

10 - Παράδειγµα - Ένας εμπειρικός τρόπος για να ελέγξουμε κατά πόσο υπάρχουν μοναδικές αντιστοιχήσεις στον Πίνακα είναι η χάραξη του ελάχιστου αριθμού οριζοντίων και κάθετων γραμμών που απαιτούνται για να σβήσουμε όλα τα μηδενικά από τον Πίνακα. Στην περίπτωση μας, όπως φαίνεται κάτωθι, απαιτούνται τρεις γραμμές, ενώ απαιτούνται τέσσερις για τη βέλτιστη λύση. ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D

11 - Παράδειγµα - Στη συνέχεια, αφαιρούμε την ελάχιστη τιμή του πίνακα που δεν έχει διαγραφεί από τις γραμμές (Α4 =15) από όλες τις τιμές που δεν έχουν διαγραφεί. - Αμέσως μετά προσθέτουμε την ελάχιστη αυτή τιμή, στακελιά που βρίσκονται στην τομή δύο γραμμών. Προκύπτει ο ακόλουθος Πίνακας: ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D Εκτελώντας εκ νέου τον έλεγχο με τις γραμμές (line test) στον πίνακα που έχει προκύψει, διαπιστώνουμε πως απαιτούνται τουλάχιστον τέσσερις γραμμές για να διαγραφούν όλα τα κελιά με μηδέν, κατά συνέπεια η λύση στην οποίααντιστοιχεί ο πίνακας πρέπει να είναι βέλτιστη. 11

12 - Παράδειγµα - Απομένει να ανατεθούν οι ομάδες παρατηρητών με μοναδικό τρόπο στους τέσσερις αγώνες (πόλεις). Η ομάδα Α, μπορεί να ανατεθεί στο Σάο Πάολο και στο Μπέλο Οριζόντε. Την αναθέτουμε αυθαίρετα στο Σάο Πάολο. Αυτό σημαίνει πως η γραμμή της ομάδας Α, και η στήλη του Σάο Πάολο μπορούν να εξαλειφθούν. - Στη συνέχεια αναθέτουμε αναγκαστικά την ομάδα Β, στο Ρίο ντε Τζανέιρο, καθώς η στήλη του Σάο Πάολο, έχει διαγραφεί. Εξαλείφουμε γραμμές (Β) και στήλες (1). - Η ομάδα C, ανατίθεται στη Μπραζίλια. Εξαλείφουμε γραμμές (C) και στήλες (3). - H ομάδα D, ανατίθεται στο Μπέλο Οριζόντε. Η λύση που προκύπτει είναι βέλτιστη και η ελάχιστη απόσταση που θα διανυθεί είναι: = 450 χιλιόμετρα. ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ Α Β ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ C ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ D D 0 Β Α C D 12 (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C

13 - Παράδειγµα - Αν τώρα στην αρχική μας αυθαίρετη επιλογή, αναθέταμε την ομάδα Α στο Μπέλο Οριζόντε η επίλυση θα συνεχιζόταν ως εξής: - Στη συνέχεια αναθέτουμε αναγκαστικά την ομάδα D, στο Ρίο ντε Τζανέιρο, καθώς η στήλη του Μπέλο Οριζόντε έχει διαγραφεί. Εξαλείφουμε γραμμή (D) και στήλη (1). - Η ομάδα C, ανατίθεται στη Μπραζίλια. Εξαλείφουμε γραμμή (C) και στήλες (3). - H ομάδα Β, ανατίθεται στο Σάο Πάολο. Η λύση που προκύπτει είναι βέλτιστη και η ελάχιστη απόσταση που θα διανυθεί είναι: = 450 χιλιόμετρα. - Έχουμε πολλαπλές βέλτιστες λύσεις με εναλλακτική βέλτιστη λύση όπως φαίνεται στον κάτωθι Πίνακα. Α Β ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ C ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ D D 0 D B C Α 13 (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C

14 Παράδειγµα: Ένα γενικό εργοστάσιο έχει προµηθευθεί τρεις νέες µηχανές διαφορετικών τύπων. Υπάρχουν τέσσερις διαθέσιµες θέσεις για την εγκατάσταση των µηχανών. Μερικές από αυτές τις θέσεις είναι πιο επιθυµητές από άλλες για ορισµένες µηχανές λόγω της γειτνιάσεώς τους προς ορισµένα κέντρα εργασίας, µε τα οποία έχουν µεγάλες ροές εργασίας καιυλικών. Εποµένως, ο αντικειµενικός σκοπός είναι να τοποθετηθούν οι µηχανές στις κατάλληλες θέσεις εργασίας (να αντιστοιχηθούν οι µηχανές µε τις θέσεις εργασίας), έτσι ώστε το κόστος µετακίνησης εργαζοµένων καιυλικών να είναι ελάχιστο. Το εκτιμηθέν κόστος ανά μονάδα χρόνου διακινήσεως εργαζομένων και υλικών για κάθε μηχανή εγκαθιστάμενη σε κάθε δυνατή θέση, δίνεται στονδιπλανό πίνακα: Μηχανές Θέσεις Α Β 15 Χ Γ * Η θέση 2 θεωρείται ακατάλληλη για τη Μηχανή Β. 14

15 Λύση Για να διατυπωθεί το πρόβλημα αυτό σαν πρόβλημα αντιστοιχήσεως πρέπει : να εισαχθεί πλασματική μηχανή Δ για την επί πλέον θέση, να τεθεί ένα πολύ μεγάλο κόστος Μ στη θέση Β2, ώστε να αποκλεισθεί η τοποθέτηση της μηχανής Β στην θέση 2. Επομένως προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας του προβλήματος αντιστοιχήσεως: Α Β 15 Μ Γ Δ

16 Εφαρμόζοντας τα παραπάνω στη μήτρα κόστους του προβλήματος, δηλαδή αφαιρώντας το μικρότερο στοιχείο κάθε σειράς από όλα τα στοιχεία της σειράς, προκύπτει η ακόλουθη ισοδύναμη μήτρα κόστους: Α Β 2 Μ Γ Δ Η μήτρα που προέκυψε έχει αρκετά μηδενικά στοιχεία ώστε να κάνουμε όλες τις αντιστοιχήσεις, οι οποίες είναι: Α-2, Β-3, Γ-1, Δ-4 *Στην θέση 4 τοποθετείται η πλασματική μηχανή, δηλαδή καμία. Η λύση αυτή είναι βέλτιστη και το ολικό κόστος βρίσκεται με πρόσθεση των τιμών κόστους των αντίστοιχων στοιχείων της αρχικής μήτρας, δηλ =

17 Παράδειγµα Να βρεθεί η βέλτιστη λύση του προβλήµατος αντιστοιχήσεως, µε µήτρα µοναδιαίου κόστους: Α Β Γ Δ Ε Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, αφαιρούμε το μικρότερο στοιχείο κάθε σειράς από όλα τα άλλα στοιχεία της. Προκύπτει έτσι η ακόλουθη μήτρα κόστους: 17

18 Α Β Γ Δ Ε Παρατηρούμε ότι δεν είναι δυνατόν να γίνει μία πλήρης αντιστοίχηση των πηγών με τους προορισμούς σε μηδενικά στοιχεία. Για το λόγο αυτό προχωρούμε στην αφαίρεση των μικρότερων στοιχείων κάθε στήλης από όλα τα στοιχεία της, οπότε προκύπτει η ακόλουθη μήτρα: 18

19 Α Β Γ Δ Ε Εξετάζουμε διαδοχικά τις σειρές και τις στήλες, για να βρούμε ακριβώς ένα μηδενικό σε αυτές, αφού μόνο σε αυτά μπορεί να γίνει αντιστοίχηση. Η πηγή Α αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 3 à αποκλείεται η αντιστοίχηση Δ-3 Η πηγή Β αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 4 à αποκλείεται η αντιστοίχηση Γ-4 Η πηγή Γ αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 1 à αποκλείεται η αντιστοίχηση Γ-5 Η πηγή Ε αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 2 Οπότε σχηματίζεται ο ακόλουθος πίνακας: 19

20 Α Β Γ Δ Ε Συνεπώς είναι δυνατόν να κάνουμε μόνον 4 αντιστοιχήσεις (τοποθετήσεις) σε μηδενικά στοιχεία. Άρα πρέπει να δημιουργηθούν περισσότερα μηδενικά στοιχεία στην μήτρα. Δεν είναι προφανές πως μπορεί να επιτευχθεί αυτό χωρίς τη δημιουργία αρνητικών στοιχείων. Αυτό επιτυγχάνεται με τον Αλγόριθμο Αντιστοιχήσεως (Ουγγρική μέθοδος). 20

21 Περιγραφή του Αλγόριθμου Αντιστοιχήσεως (Ουγγρική Μέθοδος) 1. Αφαιρούμε το ελάχιστο στοιχείο κάθε σειράς της μήτρας μοναδιαίου κόστους από κάθε στοιχείο της σειράς αυτής. Το ίδιο κάνουμε για κάθε στήλη. 2. Εξετάζουμε τις σειρές και στήλες διαδοχικά. Για κάθε σειρά/ στήλη με ένα ακριβώς μηδενικό κρατάμε την θέση αυτή για τοποθέτηση (αντιστοίχηση) και διαγράφουμε τα άλλα μηδενικά σ αυτήν την στήλη/ σειρά. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία αυτή για σειρές και στήλες έως ότου όλα τα μηδενικά είτε έχουν αντιστοιχηθεί είτε έχουν διαγραφεί. Εάν οι κρατηθείσες θέσεις περιλαμβάνουν ένα πλήρες σύνολο αντιστοιχήσεων, τότε αυτό αποτελεί την βέλτιστη λύση, διαφορετικά προχωρούμε στο ακόλουθο βήμα (3). 3. Χαράσσουμε έναν ελάχιστο αριθμό γραμμών για την κάλυψη όλων των μηδενικών ως εξής: 21

22 α) Σημειώνουμε όλες τις σειρές που δεν περιέχουν αντιστοιχήσεις: Α Β Γ ü Δ Ε

23 β) Σημειώνουμε όλες τις στήλες που έχουν μηδενικά σε σημειωμένες σειρές : 1 2 ü Α Β Γ ü Δ Ε

24 γ) Σημειώνουμε όλες τις σειρές που έχουν αντιστοιχήσεις σε σημειωμένες στήλες: 1 2 ü ü Α Β Γ ü Δ Ε

25 δ) Επαναλαμβάνουμε τα βήματα β και γ, έως ότου δεν μπορούν να σημειωθούν άλλες σειρές ή στήλες. ε) Χαράσσουμε μία γραμμήαπό κάθε μη σημειωμένη σειρά και κάθε σημειωμένη στήλη. 1 2 ü ü Α Β Γ ü Δ Ε Ο ελάχιστος αριθμός γραμμών πρέπει να ισούται με τον αριθμό των δυνατών αντιστοιχήσεων (που μπορούν να γίνουν σε μηδενικά στοιχεία), δηλαδή 4 στην προκειμένη περίπτωση. 25

26 4. Εκλέγουμε το ελάχιστο από τα στοιχεία που δεν καλύπτονται από γραμμή και: το αφαιρούμε από τα άλλα ακάλυπτα στοιχεία. το προσθέτουμε σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται στην τομή δύο γραμμών, και πηγαίνουμε στο βήμα (2). Στο παράδειγμά μας, το ελάχιστο ακάλυπτο από γραμμές στοιχείο της μήτρας είναι το 2 στη θέση Α-1: αφαιρώντας το 2 από όλα τα ακάλυπτα στοιχεία της μήτρας, δημιουργούμε ένα μηδενικό στοιχείο στη θέση Α-1, και προσθέτουμε το 2 σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται στην τομή δύο γραμμών Α Β Γ Δ Ε Α Β Γ Δ Ε

27 Ελέγχουμε εάν επιτυγχάνονταιόλες οι αντιστοιχήσεις σε μηδενικά στοιχεία, καιέχουμε: Α Β Γ Δ Ε Η πηγή Γ αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 5. Η πηγή Α αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 1. Η πηγή Β αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 4. Η πηγή Δ αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 3. Η πηγή Ε αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 2. Άρα, αυτή είναι η βέλτιστη λύση και η διαδικασία σταματά. Η τιμή του ολικού κόστους είναι: =

28 Άσκηση Ένας εργολάβος έχει προς πώληση τέσσερα διαµερίσµατα Δ1, Δ2, Δ3 και Δ4,για τα οποία έχουν εκδηλώσει ενδιαφέρον πέντε πελάτες Π1, Π2, Π3, Π4 και Π5. Το κέρδος του εξαρτάται από τις τιµές πώλησης που έχουν συµφωνηθεί µε κάθε πελάτη, για κάθε διαµέρισµα. Σύµφωνα µε αυτές τις τιµές, το κέρδος του για κάθε πιθανή πώληση, σε κατάλληλες χρηµατικές µονάδες, είναι: Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Π Π Π Π Π Ο εργολάβος θέλει να διαθέσει τα διαµερίσµατα στους πελάτες, έτσι ώστε να µεγιστοποιήσει το κέρδος του. 28

29 Ζητούµενα: α) Να γραφεί το ανωτέρω πρόβληµα σαν πρόβληµα αντιστοιχήσεως. β) Να µετατραπούν τα ανωτέρω κέρδη, ούτως ώστε να παριστάνουν «κόστη» και το αρχικό πρόβληµα µεγιστοποίησης να γραφεί ως πρόβληµα ελαχιστοποίησης. γ) Ναλυθείτο πρόβληµα µετην χρήση της «Ουγγρικής Μεθόδου»*. *Απαιτήσεις εφαρµογής «Ουγγρικής µεθόδου»: i) Η αντικειµενική συνάρτηση να ελαχιστοποιείται (δηλ. οι τιµές του πίνακα της «Ουγγρικής µεθόδου» να εκφράζουν κόστη). ii) Το πλήθος των πηγών ισούται µε το πλήθος των προορισµών (δηλ. ο πίνακας της «Ουγγρικής µεθόδου» να είναι τετραγωνικός). iii) Ο πίνακας της «Ουγγρικής µεθόδου» να έχει µη-αρνητικά στοιχεία. 29

30 Λύση α) Για να ικανοποιείται η απαίτηση (ii) θα πρέπει να εισάγουμε ένα «υποθετικό» διαμέρισμα Δ5, το οποίο θα αποφέρει στον εργολάβο κάποιο σταθερό κέρδος ανεξάρτητο από τον πελάτη στον οποίο θαπωληθεί. Έστω: ci5=90, i=1,...,5. (1) Ορίζουμε τις μεταβλητές xij, i,j=1,...,5 με xij=0 (αν τελικά ο Πi δεν αγοράσει το Δj) ή xij=1 (αν τελικά ο Πi αγοράσει το Δj) Έτσι, το πρόβλημα με cij όπως δίνονται στον πίνακα της εκφώνησης και με την παραδοχή (1) γίνεται: 30 6 /*3 5 0* *3 Μax z = cij xij Μax z = /*3 cij xij 90,με περιορισμούς: j*1 x ij =1, για i= 1, 2,, i*1 x ij =1, για j= 1, 2,, 5 και x ij = 0 ή 1, για I, j = 1, 2,, 5

31 β) Για να ισχύει η απαίτηση (i) θα πρέπει να μετατραπούν τα «κέρδη» σε «κόστη». Λόγω της απαίτησης (iii), θεωρούμε το μετασχηματισμό c ij = ( cij) + 90, για να γίνουν όλα τα κόστη μη-αρνητικά με όσο το δυνατόν μικρότερες τιμές. Τότε, το μέγιστο κέρδος του εργολάβου δίνεται από την: 360 Μin ( 6 6 c ij xij /*3 0*3 ) *360: η μέγιστη δυνατή τιμή πώλησης και των τεσσάρων διαμερισμάτων (δηλ. προς 90 χ.μ. έκαστο). Το πρόβλημα τώρα γράφεται: 6 6 Μin ( /*3 0*3 c ij xij), με περιορισμούς: j*1 x ij =1, για i= 1, 2,, i*1 x ij =1, για j= 1, 2,, 5 και x ij = 0 ή 1, για I, j = 1, 2,, 5 31

32 γ) Ο αντίστοιχος πίνακας κόστους είναι: Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Π Π Π Π Π Για να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο θα πρέπει: 1. να αφαιρέσουμε από κάθε σειρά του πινάκα το ελάχιστο στοιχείο της (ο πίνακας μένει αναλλοίωτος αφού κάθε σειρά έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό στοιχείο) 2. να αφαιρέσουμεαπό κάθεστήλη του πινάκα το ελάχιστοστοιχείο της. Έτσι, καταλήγουμε στον πίνακα: 32

33 Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Π Π Π Π Π Ελέγχουμε εάν υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις, δηλ. σειρές ή στήλες με ένα μόνον μηδενικό στοιχείο. Πράγματι, έχουμε: Δ2 Π2 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Δ5 Π5) Δ3 Π1 (άρα αποκλείουμε τις Δ1 Π1 και Δ5 Π1) Δ4 Π5 (άρα αποκλείουμε την Δ4 Π5) Συνεπώς, για το Δ1 μένει η: Δ1 Π4 και για το Δ5 η: Δ5 Π3. Η παραπάνω αντιστοίχηση, δίνει το μέγιστο κέρδος του εργολάβου : Κ = = 340 χ.μ. 33

34 Άσκηση Το κόστος τοποθέτησης τριών µηχανών (Μ1, Μ2 και Μ3) σε 4 πιθανές Θέσεις (Θ1, Θ2, Θ3 και Θ4) σεκατάλληλες χρηµατικές µονάδες (χ.µ.) φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα : Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Να βρεθούν : α) Η καλύτερη τοποθέτησή τους β) Η χειρότερη τοποθέτησή τους 34

35 Λύση α) Κατ αρχάς για την εφαρμογή της «Ουγγρικής Μεθόδου» θα πρέπει να δημιουργηθεί τετραγωνικός πίνακας. Για το λόγο αυτό, εισάγουμε υποθετική μηχανή (έστω Μ4) με κόστος τοποθέτησης σταθερό και ανεξάρτητο από την θέση τοποθετήσεώς της (έστω 15 χ.μ.), οπότε έχουμετον παρακάτω τετραγωνικόπίνακα Κόστους (4x4): Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Για κάθε i,j=1,...,4, ορίζουμε τις μεταβλητές xij, με: xij=0 (αν τελικά η Μi δεν τοποθετηθεί στην Θj) ή xij=1 (αν τελικά η Μi τοποθετηθεί στην Θj) και cij, όπως φαίνονται στον παραπάνω πίνακα κόστους. 35

36 Βήμα 1 ο : Αφαιρούμε από κάθε σειρά του πινάκα κόστους το ελάχιστο στοιχείο της Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Βήμα 2 ο : Αφαιρούμε από κάθε στήλη του πινάκα το ελάχιστο στοιχείο της Ο πίνακας μένει αναλλοίωτος αφού κάθε στήλη έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό στοιχείο. Βήμα 3 ο : Ελέγχουμε αν υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις, δηλ. σειρές ή στήλες με ένα μόνον μηδενικό στοιχείο 36

37 Πράγματι, έχουμε: Μ1 Θ1 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ1) Μ2 Θ2 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ2) Μ3 Θ3 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ3) Συνεπώς, για το Μ4 μένει η αντιστοίχηση Μ4 Θ4 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Η παραπάνω αντιστοίχηση, δίνει το ελάχιστο κόστος τοποθέτησης: Cmin = = 13 χ.μ. 37

38 β) Ζητείται να επιλυθεί το Π.Α.: Με περιορισμούς: 5 0*3 xij = 1, για i = 1, 2, 3, 4 5 /*3 xij = 1, για j = 1, 2, 3, 4 και xij = 0 ή 1, για i,j =1,...,4 5 5 /*3 0*3 ) Μax ( cij xij 38

39 Βήμα 1 ο : Μετατρέπουμε το πρόβλημα σε «πρόβλημα ελαχιστοποίησης» Για να μην προκύψει Πίνακας με αρνητικές τιμές, θεωρούμε το μετασχηματισμό:c'ij = ( cij) + 15 για να γίνουν όλα τα κόστη μη-αρνητικά με όσο το δυνατόν μικρότερες τιμές. Τότε, το μέγιστο κέρδος του εργολάβου δίνεται από την: 5 5 /*3 0*3 ) 60 Μin ( c ij xij *60 : μέγιστη υποθετική τιμή κόστους τοποθέτησης των τεσσάρων μηχανών (δηλ. 15 χ.μ. έκαστη). Ο αντίστοιχος πίνακας κόστους είναι: Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ

40 Βήμα 2 ο : Αφαιρούμε από κάθε σειρά του πινάκα το ελάχιστο στοιχείο της Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Βήμα 3 ο : Αφαιρούμε από κάθε στήλη του πινάκα το ελάχιστο στοιχείο της Ο πίνακας μένει αναλλοίωτος αφού κάθε στήλη έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό στοιχείο. 40

41 Βήμα 4 ο : Ελέγχουμε αν υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις, δηλ. σειρές ή στήλες με ένα μόνον μηδενικό στοιχείο Α. Δεν υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις Βρίσκουμε το μέγιστο πλήθος δυνατών αντιστοιχιών. Έχουμε: Μ1 Θ3 (άρα αποκλείουμε τις Μ2 Θ3 και Μ4 Θ3) Μ3 Θ2 (άρα αποκλείουμε την Μ4 Θ2) Μ4 Θ1 (άρα αποκλείουμε την Μ4 Θ4) Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μέγιστο πλήθος δυνατών αντιστοιχήσεων : 3 Μ

42 Βήμα 5 ο : Χαράσσουμε το ελάχιστο πλήθος γραμμών για την κάλυψη των μηδενικών Το πλήθος αυτό θα είναι ίσο με το μέγιστο πλήθος δυνατών αντιστοιχήσεων, δηλ. ίσο με 3. Κατά τα γνωστά: 1. Σημειώνουμε όλες τις σειρές που δεν περιέχουν αντιστοιχήσεις. 2. Σημειώνουμε όλες τις στήλες που έχουν μηδενικά σε σημειωμένες σειρές. 3. Σημειώνουμε όλες τις σειρές που έχουν αντιστοιχήσεις σε σημειωμένες στήλες. 4. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα β και γ έως ότου δεν μπορούν να σημειωθούν άλλες σειρές ή στήλες. 5. Χαράσσουμε μία γραμμή από κάθε μη σημειωμένη σειρά και κάθε σημειωμένη στήλη. Θ1 Θ2 ü (β) Θ3 Μ ü (γ) Μ ü (α) Μ Μ Θ4 42

43 Βήμα 6 ο : Εξετάζουμε όλα τα στοιχεία που δεν καλύπτονται από γραμμή Εκλέγουμε το ελάχιστο από αυτά (=3 στη θέση Μ2,Θ4) και το αφαιρούμε από τα άλλα ακάλυπτα στοιχεία. Στη συνέχεια προσθέτουμε το στοιχείο αυτό σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται στην τομή δύο γραμμών, και πηγαίνουμε στο βήμα 4 ο. Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ

44 Β. Υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις: Μ1 Θ3 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ2 Θ2) Μ2 Θ4 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ4) Μ3 Θ2 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ2) Συνεπώς, για το Μ4 μένει η αντιστοίχηση Μ4 Θ1 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Η παραπάνω αντιστοίχηση, δίνει το μέγιστο κόστος τοποθέτησης: Cmax = = 37 χ.μ. 44

45 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ v.1.0 Τα βασικότερα εργαλεία της Οικονομικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 5: Τεχνικές επενδύσεων ΙΙΙ Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 6: Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 6: Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 6: Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 4 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Καθαρή Παρούσα Αξία Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΝΘΕΣΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΙΧΜΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ ntua ACADEMIC OPEN COURSES ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ II Β. ΤΣΟΥΡΑΣ Επίκουρος Καθηγητής Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση

Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης a. Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος"

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η Ουγγρική Μέθοδος ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος" Τοπλήθος των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβληµα ανάθεσης µε m δραστηριότητες και mπόρους είναι ίσο µε m! 6 Αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός των εφικτών λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα #2: Αναπαράσταση δεδομένων Αβεβαιότητα και Ακρίβεια Καθ. Δημήτρης Ματαράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Αναπαράσταση δεδομένων (Data Representation), Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 9: Διηνεκείς Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 4: Τεχνικές επενδύσεων ΙΙ Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ι - Στατική

Μηχανική Ι - Στατική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #6: Δικτυώματα (Μέθοδος Κόμβων) Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 6: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 6: Μακριά γραμμή μεταφοράς -Τετράπολα Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία τησ Πληροφορίασ (Θ) ΔΙΔΑΚΩΝ: Δρ. Αναςτάςιοσ Πολίτησ

Θεωρία τησ Πληροφορίασ (Θ) ΔΙΔΑΚΩΝ: Δρ. Αναςτάςιοσ Πολίτησ Θεωρία τησ Πληροφορίασ (Θ) Ενότητα 4: Συμπίεςη χωρίσ Απώλειεσ ΔΙΔΑΚΩΝ: Δρ. Αναςτάςιοσ Πολίτησ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕ Άδειεσ Χρήςησ Σο παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ι - Στατική

Μηχανική Ι - Στατική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #2: Δυνάμεις στο Επίπεδο Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 11: Τεχνικές Κατακερματισμού. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής.

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 11: Τεχνικές Κατακερματισμού. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Ενότητα 11: Τεχνικές Κατακερματισμού Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ Νικ. ΠΑΥΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Τ.Ε. 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Ενότητα 3: «ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ» ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Ενότητα 3: Άλγεβρα Βοole και Λογικές Πράξεις Δρ. Φραγκούλης Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΘΡΩΠΟΓΕΩΓΡΑΦΙΑ- ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ κ. ΦΟΥΤΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ &ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ

ΑΝΘΡΩΠΟΓΕΩΓΡΑΦΙΑ- ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ κ. ΦΟΥΤΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ &ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΑΝΘΡΩΠΟΓΕΩΓΡΑΦΙΑ- ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ κ. ΦΟΥΤΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ &ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ενότητα: 11Η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Δρ. ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 12: Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική. Ενότητα 5: DC λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Ηλεκτρονική. Ενότητα 5: DC λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Ενότητα 5: D λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης reative

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 2: Τεχνικές Μοντελοποίησης, Εφαρμογές Μοντελοποίησης Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων

Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Άσκηση 2η : Επιλογή Πόλης Εγκατάστασης Super Market Διονύσης Γιαννακόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά για Μη Οικονομολόγους Ενότητα 3: Θεωρία Παραγωγής και Κόστους

Οικονομικά για Μη Οικονομολόγους Ενότητα 3: Θεωρία Παραγωγής και Κόστους Οικονομικά για Μη Οικονομολόγους Ενότητα 3: Καθηγητής: Κώστας Τσεκούρας Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται βασικά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 8: Κανονικότητα. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 8: Κανονικότητα. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 8: Κανονικότητα Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Παράλληλης και Κατανεμημένης Επεξεργασίας

Συστήματα Παράλληλης και Κατανεμημένης Επεξεργασίας Συστήματα Παράλληλης και Κατανεμημένης Επεξεργασίας Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ No:08 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μαθηματική τεχνική για αντιμετώπιση προβλημάτων λήψης πολυσταδιακών αποφάσεων Συστηματική διαδικασία εύρεσης εκείνου του συνδυασμού αποφάσεων που βελτιστοποιεί τη συνολική απόδοση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ Ενότητα 6η: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.3: Μέγιστα και Ελάχιστα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Ενότητα Β.05.3: Μέγιστα

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικαστικός Προγραμματισμός

Διαδικαστικός Προγραμματισμός Διαδικαστικός Προγραμματισμός Ενότητα 8: Παραδείγματα με μονοδιάστατους πίνακες, συναρτήσεις, δείκτες, πέρασμα παραμέτρων με αναφορά Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. Ενότητα # 6: ΟΡΓΑΝΩΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ

ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. Ενότητα # 6: ΟΡΓΑΝΩΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Ενότητα # 6: ΟΡΓΑΝΩΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Διδάσκων: Μανασάκης Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Τα κείμενα και τα διαγράμματα της παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικότητα Κόστη επένδυσης Κόστη λειτουργίας. Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ

Δυναμικότητα Κόστη επένδυσης Κόστη λειτουργίας. Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ Δυναμικότητα Κόστη επένδυσης Κόστη λειτουργίας Μαυρωτά Γιώργου Αναπλ. Καθηγητή ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 4: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 3 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 4: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 3 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Μεταγλωττιστές Ενότητα 4: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 3 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ Ενότητα 7: Έλεγχοι σημαντικότητας πολλών ανεξάρτητων δειγμάτων Κωνσταντίνος Ζαφειρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα