Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. 2

3 Το Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως (ή Κατανομής) είναι μια ειδική περίπτωση προβλήματος ΓΠ και έχει αρκετές ομοιότητες (αλλά και διαφορές) με το Πρόβλημα Μεταφοράς. Βασική διαφορά είναι πως η δυναμικότητα κάθε πηγής αλλά και η ζήτηση κάθε προορισμού είναι ίση με την μονάδα. Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος είναι η ακόλουθη: n n minz = ' ' c ij i*1 j*1 x ij (Ι) Με περιορισμούς: 2 0*3 x /0 = 1, i = 1, 2,, n 2 /*3 x /0 = 1, j = 1, 2,, n και x /0 = 0 ή 1, για κάθε i, j = 1, 2,, n (ΙΙ) Προϋπόθεση: Το πλήθος των πηγών ισούται με το πλήθος των προορισμών. Αν αυτή δεν ισχύει, χρησιμοποιούμε πλασματικές πηγές ή περιορισμούς εισάγοντας κατάλληλα κόστη αντιστοίχησης. 3

4 Πινακοποιημένη Μορφή Προβλήματος Αντιστοιχήσεως Πηγές Ζήτηση προορισµών 1 2 n Προορισµοί Δυναµικότητα πηγών 1 2 n Σε κάθε πηγή αντιστοιχείται ένας μοναδικός προορισμός. Η κάθε αντιστοίχηση (i, j) συνεπάγεται ένα κόστος cij. Το πρόβλημα έγκειται στον προσδιορισμό της αντιστοίχησης εκείνης που οδηγεί στην επιλογή με το χαμηλότερο δυνατό κόστος 4

5 Απαραίτητοι Χειρισμοί: 1. Ο αρχικός Πίνακας Κόστους (αποστάσεων στην περίπτωση μας) πρέπει να μετατραπεί σε έναν ισοδύναμο Πίνακα (προς ελαχιστοποίηση), για τον οποίο η βέλτιστη λύση να είναι προφανής. 2. Ο ισοδύναμος Πίνακας πρέπει να αποτελείται από θετικά και αρκετά μηδενικά στοιχεία, ώστε όλες οι αντιστοιχήσεις να μπορούν να γίνουν στα μηδενικά στοιχεία. Αφού το ολικό κόστος δεν μπορεί να είναι αρνητικό, προκύπτει ότι η αντιστοίχηση αυτή θα είναι βέλτιστη. 3. Η μετατροπή του αρχικού Πίνακα σε ισοδύναμο βασίζεται στο γεγονός ότι μπορεί κανείς να προσθέσει ή να αφαιρέσει οποιοδήποτε σταθερό αριθμό από όλα τα στοιχεία μιας σειράς ή μιας στήλης του αρχικού Πίνακα Κόστους, χωρίς να αλλάξει το πρόβλημα. Δηλαδή η βέλτιστη λύση για την νέα μήτρα είναι βέλτιστη και για την παλαιά και αντιστρόφως. Ο νέος Πίνακας που θα προκύψει μετά τους πιο πάνω χειρισμούς, ονομάζεται Πίνακας Ευκαιριακού Κόστους (opportunity cost) 5

6 - Παράδειγµα Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο παράδειγμα. Η οργανωτική επιτροπή του Παγκοσμίου Ποδοσφαίρου στη Βραζιλία, για την Πέμπτη 19 Ιουνίου 2014 έχει προγραμματίσει τέσσερις αγώνες, σε τέσσερις διαφορετικές πόλεις. Επιθυμεί να αναθέσει σε κάθε αγώνα μια ομάδα παρατηρητών ασφαλείας κατά τέτοιο τρόπο ώστε η συνολική απόσταση που θα πρέπει να ταξιδέψουν οι ομάδες αυτές να είναι η ελάχιστη. Στον Πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι χιλιομετρικές αποστάσεις ανάμεσα στις πόλεις διεξαγωγής των αγώνων και τις βάσεις κάθε ομάδας παρατηρητών. ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D

7 - Παράδειγµα - Όπως ήδη αναφέρθηκε, απαραίτητη προϋπόθεση για την επίλυση του προβλήματος είναι η κατάστρωση του Πίνακα ευκαιριακού κόστους (opportunity cost table). - Αυτό επιτυγχάνεται αρχικά αφαιρώντας από κάθε τιμή μιας γραμμής την ελάχιστη τιμή για τη γραμμή αυτή. Η διαδικασία (row reductions) ομοιάζει με αυτή που χρησιμοποιήσαμε στο ΠΜ και στη μέθοδο Vogel για να καθορίσουμε τα κόστη των ποινών (penalty costs). - Με άλλα λόγια, για κάθε γραμμή υπολογίζεται η καλύτερη δράση (τιμή 0) και υπολογίζονται τα ευκαιριακά κόστη για όλα τα υπόλοιπα κελιά ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D

8 - Παράδειγµα - Στη συνέχεια επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για όλες τις στήλες του Πίνακα (column reductions) από την οποία προκύπτει ο Πίνακας Ευκαιριακού Κόστους που ακολουθεί. - Οι αναθέσεις μπορούν να λάβουν χώρα, όπου έχει προκύψει ευκαιριακό κόστος ίσο με μηδέν βέλτιστες αναθέσεις. - Βέλτιστη συνολική λύση προκύπτει όταν κάθε μια ομάδα μπορεί να ανατεθεί αποκλειστικά και μόνο σε έναν ποδοσφαιρικό αγώνα. - Από τον Πίνακα είναι προφανές πως αυτό δε συμβαίνει καθώς αν για παράδειγμα η ομάδα Α, ανατεθεί στον αγώνα του Σαο Πάολο, τότε π.χ. το μηδέν στο κελί Β2 γίνεται αδύνατο. ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D

9 Π.Α. Αλγόριθµος Επίλυσης (Hungarian Method) 1. Αφαιρούμε το ελάχιστο στοιχείο κάθε σειράς της μήτρας μοναδιαίου κόστους από κάθε στοιχείο της σειράς αυτής. Εξετάζουμε αν έχει προκύψει βέλτιστη λύση με μοναδικές αντιστοιχήσεις μηδενικής ποινής. 2. Αν το βήμα 1 δε δώσει λύση, τότε προχωρούμε στην επανάληψη του βήματος 1 αλλά για τις στήλες αυτή τη φορά. 3. Εξετάζουμε τις σειρές και στήλες διαδοχικά. Για κάθε σειρά/ στήλη με ένα ακριβώς μηδενικό κρατάμε την θέση αυτή για τοποθέτηση (αντιστοίχηση) και διαγράφουμε τα άλλα μηδενικά σ αυτήν την στήλη/ σειρά. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία αυτή για σειρές και στήλες έως ότου όλα τα μηδενικά είτε έχουν αντιστοιχηθεί είτε έχουν διαγραφεί. Εάν οι κρατηθείσες θέσεις περιλαμβάνουν ένα πλήρες σύνολο αντιστοιχήσεων, τότε αυτό αποτελεί την βέλτιστη λύση, διαφορετικά προχωρούμε στο βήμα Χαράσσουμε τον ελάχιστο αριθμό γραμμών (line test) με τον οποίο μπορούμε να διαγράψουμε όλα τα κελιά του Πίνακα με τιμή μηδέν 9

10 - Παράδειγµα - Ένας εμπειρικός τρόπος για να ελέγξουμε κατά πόσο υπάρχουν μοναδικές αντιστοιχήσεις στον Πίνακα είναι η χάραξη του ελάχιστου αριθμού οριζοντίων και κάθετων γραμμών που απαιτούνται για να σβήσουμε όλα τα μηδενικά από τον Πίνακα. Στην περίπτωση μας, όπως φαίνεται κάτωθι, απαιτούνται τρεις γραμμές, ενώ απαιτούνται τέσσερις για τη βέλτιστη λύση. ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D

11 - Παράδειγµα - Στη συνέχεια, αφαιρούμε την ελάχιστη τιμή του πίνακα που δεν έχει διαγραφεί από τις γραμμές (Α4 =15) από όλες τις τιμές που δεν έχουν διαγραφεί. - Αμέσως μετά προσθέτουμε την ελάχιστη αυτή τιμή, στακελιά που βρίσκονται στην τομή δύο γραμμών. Προκύπτει ο ακόλουθος Πίνακας: ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C D Εκτελώντας εκ νέου τον έλεγχο με τις γραμμές (line test) στον πίνακα που έχει προκύψει, διαπιστώνουμε πως απαιτούνται τουλάχιστον τέσσερις γραμμές για να διαγραφούν όλα τα κελιά με μηδέν, κατά συνέπεια η λύση στην οποίααντιστοιχεί ο πίνακας πρέπει να είναι βέλτιστη. 11

12 - Παράδειγµα - Απομένει να ανατεθούν οι ομάδες παρατηρητών με μοναδικό τρόπο στους τέσσερις αγώνες (πόλεις). Η ομάδα Α, μπορεί να ανατεθεί στο Σάο Πάολο και στο Μπέλο Οριζόντε. Την αναθέτουμε αυθαίρετα στο Σάο Πάολο. Αυτό σημαίνει πως η γραμμή της ομάδας Α, και η στήλη του Σάο Πάολο μπορούν να εξαλειφθούν. - Στη συνέχεια αναθέτουμε αναγκαστικά την ομάδα Β, στο Ρίο ντε Τζανέιρο, καθώς η στήλη του Σάο Πάολο, έχει διαγραφεί. Εξαλείφουμε γραμμές (Β) και στήλες (1). - Η ομάδα C, ανατίθεται στη Μπραζίλια. Εξαλείφουμε γραμμές (C) και στήλες (3). - H ομάδα D, ανατίθεται στο Μπέλο Οριζόντε. Η λύση που προκύπτει είναι βέλτιστη και η ελάχιστη απόσταση που θα διανυθεί είναι: = 450 χιλιόμετρα. ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ Α Β ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ C ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ D D 0 Β Α C D 12 (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C

13 - Παράδειγµα - Αν τώρα στην αρχική μας αυθαίρετη επιλογή, αναθέταμε την ομάδα Α στο Μπέλο Οριζόντε η επίλυση θα συνεχιζόταν ως εξής: - Στη συνέχεια αναθέτουμε αναγκαστικά την ομάδα D, στο Ρίο ντε Τζανέιρο, καθώς η στήλη του Μπέλο Οριζόντε έχει διαγραφεί. Εξαλείφουμε γραμμή (D) και στήλη (1). - Η ομάδα C, ανατίθεται στη Μπραζίλια. Εξαλείφουμε γραμμή (C) και στήλες (3). - H ομάδα Β, ανατίθεται στο Σάο Πάολο. Η λύση που προκύπτει είναι βέλτιστη και η ελάχιστη απόσταση που θα διανυθεί είναι: = 450 χιλιόμετρα. - Έχουμε πολλαπλές βέλτιστες λύσεις με εναλλακτική βέλτιστη λύση όπως φαίνεται στον κάτωθι Πίνακα. Α Β ΟΜΑΔΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ C ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ (1) ΠΟΛΕΙΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΓΩΝΩΝ ΣΑΟ ΠΑΟΛΟ (2) ΜΠΡΑΖΙΛΙΑ D D 0 D B C Α 13 (3) ΜΠΕΛΟ ΟΡΙΖΟΝΤΕ (4) Α Β C

14 Παράδειγµα: Ένα γενικό εργοστάσιο έχει προµηθευθεί τρεις νέες µηχανές διαφορετικών τύπων. Υπάρχουν τέσσερις διαθέσιµες θέσεις για την εγκατάσταση των µηχανών. Μερικές από αυτές τις θέσεις είναι πιο επιθυµητές από άλλες για ορισµένες µηχανές λόγω της γειτνιάσεώς τους προς ορισµένα κέντρα εργασίας, µε τα οποία έχουν µεγάλες ροές εργασίας καιυλικών. Εποµένως, ο αντικειµενικός σκοπός είναι να τοποθετηθούν οι µηχανές στις κατάλληλες θέσεις εργασίας (να αντιστοιχηθούν οι µηχανές µε τις θέσεις εργασίας), έτσι ώστε το κόστος µετακίνησης εργαζοµένων καιυλικών να είναι ελάχιστο. Το εκτιμηθέν κόστος ανά μονάδα χρόνου διακινήσεως εργαζομένων και υλικών για κάθε μηχανή εγκαθιστάμενη σε κάθε δυνατή θέση, δίνεται στονδιπλανό πίνακα: Μηχανές Θέσεις Α Β 15 Χ Γ * Η θέση 2 θεωρείται ακατάλληλη για τη Μηχανή Β. 14

15 Λύση Για να διατυπωθεί το πρόβλημα αυτό σαν πρόβλημα αντιστοιχήσεως πρέπει : να εισαχθεί πλασματική μηχανή Δ για την επί πλέον θέση, να τεθεί ένα πολύ μεγάλο κόστος Μ στη θέση Β2, ώστε να αποκλεισθεί η τοποθέτηση της μηχανής Β στην θέση 2. Επομένως προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας του προβλήματος αντιστοιχήσεως: Α Β 15 Μ Γ Δ

16 Εφαρμόζοντας τα παραπάνω στη μήτρα κόστους του προβλήματος, δηλαδή αφαιρώντας το μικρότερο στοιχείο κάθε σειράς από όλα τα στοιχεία της σειράς, προκύπτει η ακόλουθη ισοδύναμη μήτρα κόστους: Α Β 2 Μ Γ Δ Η μήτρα που προέκυψε έχει αρκετά μηδενικά στοιχεία ώστε να κάνουμε όλες τις αντιστοιχήσεις, οι οποίες είναι: Α-2, Β-3, Γ-1, Δ-4 *Στην θέση 4 τοποθετείται η πλασματική μηχανή, δηλαδή καμία. Η λύση αυτή είναι βέλτιστη και το ολικό κόστος βρίσκεται με πρόσθεση των τιμών κόστους των αντίστοιχων στοιχείων της αρχικής μήτρας, δηλ =

17 Παράδειγµα Να βρεθεί η βέλτιστη λύση του προβλήµατος αντιστοιχήσεως, µε µήτρα µοναδιαίου κόστους: Α Β Γ Δ Ε Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, αφαιρούμε το μικρότερο στοιχείο κάθε σειράς από όλα τα άλλα στοιχεία της. Προκύπτει έτσι η ακόλουθη μήτρα κόστους: 17

18 Α Β Γ Δ Ε Παρατηρούμε ότι δεν είναι δυνατόν να γίνει μία πλήρης αντιστοίχηση των πηγών με τους προορισμούς σε μηδενικά στοιχεία. Για το λόγο αυτό προχωρούμε στην αφαίρεση των μικρότερων στοιχείων κάθε στήλης από όλα τα στοιχεία της, οπότε προκύπτει η ακόλουθη μήτρα: 18

19 Α Β Γ Δ Ε Εξετάζουμε διαδοχικά τις σειρές και τις στήλες, για να βρούμε ακριβώς ένα μηδενικό σε αυτές, αφού μόνο σε αυτά μπορεί να γίνει αντιστοίχηση. Η πηγή Α αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 3 à αποκλείεται η αντιστοίχηση Δ-3 Η πηγή Β αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 4 à αποκλείεται η αντιστοίχηση Γ-4 Η πηγή Γ αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 1 à αποκλείεται η αντιστοίχηση Γ-5 Η πηγή Ε αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 2 Οπότε σχηματίζεται ο ακόλουθος πίνακας: 19

20 Α Β Γ Δ Ε Συνεπώς είναι δυνατόν να κάνουμε μόνον 4 αντιστοιχήσεις (τοποθετήσεις) σε μηδενικά στοιχεία. Άρα πρέπει να δημιουργηθούν περισσότερα μηδενικά στοιχεία στην μήτρα. Δεν είναι προφανές πως μπορεί να επιτευχθεί αυτό χωρίς τη δημιουργία αρνητικών στοιχείων. Αυτό επιτυγχάνεται με τον Αλγόριθμο Αντιστοιχήσεως (Ουγγρική μέθοδος). 20

21 Περιγραφή του Αλγόριθμου Αντιστοιχήσεως (Ουγγρική Μέθοδος) 1. Αφαιρούμε το ελάχιστο στοιχείο κάθε σειράς της μήτρας μοναδιαίου κόστους από κάθε στοιχείο της σειράς αυτής. Το ίδιο κάνουμε για κάθε στήλη. 2. Εξετάζουμε τις σειρές και στήλες διαδοχικά. Για κάθε σειρά/ στήλη με ένα ακριβώς μηδενικό κρατάμε την θέση αυτή για τοποθέτηση (αντιστοίχηση) και διαγράφουμε τα άλλα μηδενικά σ αυτήν την στήλη/ σειρά. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία αυτή για σειρές και στήλες έως ότου όλα τα μηδενικά είτε έχουν αντιστοιχηθεί είτε έχουν διαγραφεί. Εάν οι κρατηθείσες θέσεις περιλαμβάνουν ένα πλήρες σύνολο αντιστοιχήσεων, τότε αυτό αποτελεί την βέλτιστη λύση, διαφορετικά προχωρούμε στο ακόλουθο βήμα (3). 3. Χαράσσουμε έναν ελάχιστο αριθμό γραμμών για την κάλυψη όλων των μηδενικών ως εξής: 21

22 α) Σημειώνουμε όλες τις σειρές που δεν περιέχουν αντιστοιχήσεις: Α Β Γ ü Δ Ε

23 β) Σημειώνουμε όλες τις στήλες που έχουν μηδενικά σε σημειωμένες σειρές : 1 2 ü Α Β Γ ü Δ Ε

24 γ) Σημειώνουμε όλες τις σειρές που έχουν αντιστοιχήσεις σε σημειωμένες στήλες: 1 2 ü ü Α Β Γ ü Δ Ε

25 δ) Επαναλαμβάνουμε τα βήματα β και γ, έως ότου δεν μπορούν να σημειωθούν άλλες σειρές ή στήλες. ε) Χαράσσουμε μία γραμμήαπό κάθε μη σημειωμένη σειρά και κάθε σημειωμένη στήλη. 1 2 ü ü Α Β Γ ü Δ Ε Ο ελάχιστος αριθμός γραμμών πρέπει να ισούται με τον αριθμό των δυνατών αντιστοιχήσεων (που μπορούν να γίνουν σε μηδενικά στοιχεία), δηλαδή 4 στην προκειμένη περίπτωση. 25

26 4. Εκλέγουμε το ελάχιστο από τα στοιχεία που δεν καλύπτονται από γραμμή και: το αφαιρούμε από τα άλλα ακάλυπτα στοιχεία. το προσθέτουμε σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται στην τομή δύο γραμμών, και πηγαίνουμε στο βήμα (2). Στο παράδειγμά μας, το ελάχιστο ακάλυπτο από γραμμές στοιχείο της μήτρας είναι το 2 στη θέση Α-1: αφαιρώντας το 2 από όλα τα ακάλυπτα στοιχεία της μήτρας, δημιουργούμε ένα μηδενικό στοιχείο στη θέση Α-1, και προσθέτουμε το 2 σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται στην τομή δύο γραμμών Α Β Γ Δ Ε Α Β Γ Δ Ε

27 Ελέγχουμε εάν επιτυγχάνονταιόλες οι αντιστοιχήσεις σε μηδενικά στοιχεία, καιέχουμε: Α Β Γ Δ Ε Η πηγή Γ αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 5. Η πηγή Α αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 1. Η πηγή Β αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 4. Η πηγή Δ αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 3. Η πηγή Ε αντιστοιχίζεται στη θέση (προορισμό) 2. Άρα, αυτή είναι η βέλτιστη λύση και η διαδικασία σταματά. Η τιμή του ολικού κόστους είναι: =

28 Άσκηση Ένας εργολάβος έχει προς πώληση τέσσερα διαµερίσµατα Δ1, Δ2, Δ3 και Δ4,για τα οποία έχουν εκδηλώσει ενδιαφέρον πέντε πελάτες Π1, Π2, Π3, Π4 και Π5. Το κέρδος του εξαρτάται από τις τιµές πώλησης που έχουν συµφωνηθεί µε κάθε πελάτη, για κάθε διαµέρισµα. Σύµφωνα µε αυτές τις τιµές, το κέρδος του για κάθε πιθανή πώληση, σε κατάλληλες χρηµατικές µονάδες, είναι: Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Π Π Π Π Π Ο εργολάβος θέλει να διαθέσει τα διαµερίσµατα στους πελάτες, έτσι ώστε να µεγιστοποιήσει το κέρδος του. 28

29 Ζητούµενα: α) Να γραφεί το ανωτέρω πρόβληµα σαν πρόβληµα αντιστοιχήσεως. β) Να µετατραπούν τα ανωτέρω κέρδη, ούτως ώστε να παριστάνουν «κόστη» και το αρχικό πρόβληµα µεγιστοποίησης να γραφεί ως πρόβληµα ελαχιστοποίησης. γ) Ναλυθείτο πρόβληµα µετην χρήση της «Ουγγρικής Μεθόδου»*. *Απαιτήσεις εφαρµογής «Ουγγρικής µεθόδου»: i) Η αντικειµενική συνάρτηση να ελαχιστοποιείται (δηλ. οι τιµές του πίνακα της «Ουγγρικής µεθόδου» να εκφράζουν κόστη). ii) Το πλήθος των πηγών ισούται µε το πλήθος των προορισµών (δηλ. ο πίνακας της «Ουγγρικής µεθόδου» να είναι τετραγωνικός). iii) Ο πίνακας της «Ουγγρικής µεθόδου» να έχει µη-αρνητικά στοιχεία. 29

30 Λύση α) Για να ικανοποιείται η απαίτηση (ii) θα πρέπει να εισάγουμε ένα «υποθετικό» διαμέρισμα Δ5, το οποίο θα αποφέρει στον εργολάβο κάποιο σταθερό κέρδος ανεξάρτητο από τον πελάτη στον οποίο θαπωληθεί. Έστω: ci5=90, i=1,...,5. (1) Ορίζουμε τις μεταβλητές xij, i,j=1,...,5 με xij=0 (αν τελικά ο Πi δεν αγοράσει το Δj) ή xij=1 (αν τελικά ο Πi αγοράσει το Δj) Έτσι, το πρόβλημα με cij όπως δίνονται στον πίνακα της εκφώνησης και με την παραδοχή (1) γίνεται: 30 6 /*3 5 0* *3 Μax z = cij xij Μax z = /*3 cij xij 90,με περιορισμούς: j*1 x ij =1, για i= 1, 2,, i*1 x ij =1, για j= 1, 2,, 5 και x ij = 0 ή 1, για I, j = 1, 2,, 5

31 β) Για να ισχύει η απαίτηση (i) θα πρέπει να μετατραπούν τα «κέρδη» σε «κόστη». Λόγω της απαίτησης (iii), θεωρούμε το μετασχηματισμό c ij = ( cij) + 90, για να γίνουν όλα τα κόστη μη-αρνητικά με όσο το δυνατόν μικρότερες τιμές. Τότε, το μέγιστο κέρδος του εργολάβου δίνεται από την: 360 Μin ( 6 6 c ij xij /*3 0*3 ) *360: η μέγιστη δυνατή τιμή πώλησης και των τεσσάρων διαμερισμάτων (δηλ. προς 90 χ.μ. έκαστο). Το πρόβλημα τώρα γράφεται: 6 6 Μin ( /*3 0*3 c ij xij), με περιορισμούς: j*1 x ij =1, για i= 1, 2,, i*1 x ij =1, για j= 1, 2,, 5 και x ij = 0 ή 1, για I, j = 1, 2,, 5 31

32 γ) Ο αντίστοιχος πίνακας κόστους είναι: Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Π Π Π Π Π Για να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο θα πρέπει: 1. να αφαιρέσουμε από κάθε σειρά του πινάκα το ελάχιστο στοιχείο της (ο πίνακας μένει αναλλοίωτος αφού κάθε σειρά έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό στοιχείο) 2. να αφαιρέσουμεαπό κάθεστήλη του πινάκα το ελάχιστοστοιχείο της. Έτσι, καταλήγουμε στον πίνακα: 32

33 Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Π Π Π Π Π Ελέγχουμε εάν υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις, δηλ. σειρές ή στήλες με ένα μόνον μηδενικό στοιχείο. Πράγματι, έχουμε: Δ2 Π2 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Δ5 Π5) Δ3 Π1 (άρα αποκλείουμε τις Δ1 Π1 και Δ5 Π1) Δ4 Π5 (άρα αποκλείουμε την Δ4 Π5) Συνεπώς, για το Δ1 μένει η: Δ1 Π4 και για το Δ5 η: Δ5 Π3. Η παραπάνω αντιστοίχηση, δίνει το μέγιστο κέρδος του εργολάβου : Κ = = 340 χ.μ. 33

34 Άσκηση Το κόστος τοποθέτησης τριών µηχανών (Μ1, Μ2 και Μ3) σε 4 πιθανές Θέσεις (Θ1, Θ2, Θ3 και Θ4) σεκατάλληλες χρηµατικές µονάδες (χ.µ.) φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα : Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Να βρεθούν : α) Η καλύτερη τοποθέτησή τους β) Η χειρότερη τοποθέτησή τους 34

35 Λύση α) Κατ αρχάς για την εφαρμογή της «Ουγγρικής Μεθόδου» θα πρέπει να δημιουργηθεί τετραγωνικός πίνακας. Για το λόγο αυτό, εισάγουμε υποθετική μηχανή (έστω Μ4) με κόστος τοποθέτησης σταθερό και ανεξάρτητο από την θέση τοποθετήσεώς της (έστω 15 χ.μ.), οπότε έχουμετον παρακάτω τετραγωνικόπίνακα Κόστους (4x4): Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Για κάθε i,j=1,...,4, ορίζουμε τις μεταβλητές xij, με: xij=0 (αν τελικά η Μi δεν τοποθετηθεί στην Θj) ή xij=1 (αν τελικά η Μi τοποθετηθεί στην Θj) και cij, όπως φαίνονται στον παραπάνω πίνακα κόστους. 35

36 Βήμα 1 ο : Αφαιρούμε από κάθε σειρά του πινάκα κόστους το ελάχιστο στοιχείο της Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Βήμα 2 ο : Αφαιρούμε από κάθε στήλη του πινάκα το ελάχιστο στοιχείο της Ο πίνακας μένει αναλλοίωτος αφού κάθε στήλη έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό στοιχείο. Βήμα 3 ο : Ελέγχουμε αν υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις, δηλ. σειρές ή στήλες με ένα μόνον μηδενικό στοιχείο 36

37 Πράγματι, έχουμε: Μ1 Θ1 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ1) Μ2 Θ2 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ2) Μ3 Θ3 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ3) Συνεπώς, για το Μ4 μένει η αντιστοίχηση Μ4 Θ4 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Η παραπάνω αντιστοίχηση, δίνει το ελάχιστο κόστος τοποθέτησης: Cmin = = 13 χ.μ. 37

38 β) Ζητείται να επιλυθεί το Π.Α.: Με περιορισμούς: 5 0*3 xij = 1, για i = 1, 2, 3, 4 5 /*3 xij = 1, για j = 1, 2, 3, 4 και xij = 0 ή 1, για i,j =1,...,4 5 5 /*3 0*3 ) Μax ( cij xij 38

39 Βήμα 1 ο : Μετατρέπουμε το πρόβλημα σε «πρόβλημα ελαχιστοποίησης» Για να μην προκύψει Πίνακας με αρνητικές τιμές, θεωρούμε το μετασχηματισμό:c'ij = ( cij) + 15 για να γίνουν όλα τα κόστη μη-αρνητικά με όσο το δυνατόν μικρότερες τιμές. Τότε, το μέγιστο κέρδος του εργολάβου δίνεται από την: 5 5 /*3 0*3 ) 60 Μin ( c ij xij *60 : μέγιστη υποθετική τιμή κόστους τοποθέτησης των τεσσάρων μηχανών (δηλ. 15 χ.μ. έκαστη). Ο αντίστοιχος πίνακας κόστους είναι: Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ

40 Βήμα 2 ο : Αφαιρούμε από κάθε σειρά του πινάκα το ελάχιστο στοιχείο της Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Βήμα 3 ο : Αφαιρούμε από κάθε στήλη του πινάκα το ελάχιστο στοιχείο της Ο πίνακας μένει αναλλοίωτος αφού κάθε στήλη έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό στοιχείο. 40

41 Βήμα 4 ο : Ελέγχουμε αν υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις, δηλ. σειρές ή στήλες με ένα μόνον μηδενικό στοιχείο Α. Δεν υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις Βρίσκουμε το μέγιστο πλήθος δυνατών αντιστοιχιών. Έχουμε: Μ1 Θ3 (άρα αποκλείουμε τις Μ2 Θ3 και Μ4 Θ3) Μ3 Θ2 (άρα αποκλείουμε την Μ4 Θ2) Μ4 Θ1 (άρα αποκλείουμε την Μ4 Θ4) Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μέγιστο πλήθος δυνατών αντιστοιχήσεων : 3 Μ

42 Βήμα 5 ο : Χαράσσουμε το ελάχιστο πλήθος γραμμών για την κάλυψη των μηδενικών Το πλήθος αυτό θα είναι ίσο με το μέγιστο πλήθος δυνατών αντιστοιχήσεων, δηλ. ίσο με 3. Κατά τα γνωστά: 1. Σημειώνουμε όλες τις σειρές που δεν περιέχουν αντιστοιχήσεις. 2. Σημειώνουμε όλες τις στήλες που έχουν μηδενικά σε σημειωμένες σειρές. 3. Σημειώνουμε όλες τις σειρές που έχουν αντιστοιχήσεις σε σημειωμένες στήλες. 4. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα β και γ έως ότου δεν μπορούν να σημειωθούν άλλες σειρές ή στήλες. 5. Χαράσσουμε μία γραμμή από κάθε μη σημειωμένη σειρά και κάθε σημειωμένη στήλη. Θ1 Θ2 ü (β) Θ3 Μ ü (γ) Μ ü (α) Μ Μ Θ4 42

43 Βήμα 6 ο : Εξετάζουμε όλα τα στοιχεία που δεν καλύπτονται από γραμμή Εκλέγουμε το ελάχιστο από αυτά (=3 στη θέση Μ2,Θ4) και το αφαιρούμε από τα άλλα ακάλυπτα στοιχεία. Στη συνέχεια προσθέτουμε το στοιχείο αυτό σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται στην τομή δύο γραμμών, και πηγαίνουμε στο βήμα 4 ο. Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ

44 Β. Υπάρχουν «μοναδικές» αντιστοιχήσεις: Μ1 Θ3 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ2 Θ2) Μ2 Θ4 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ4) Μ3 Θ2 (άρα αποκλείουμε την αντιστοίχηση Μ4 Θ2) Συνεπώς, για το Μ4 μένει η αντιστοίχηση Μ4 Θ1 Θ1 Θ2 Θ3 Θ4 Μ Μ Μ Μ Η παραπάνω αντιστοίχηση, δίνει το μέγιστο κόστος τοποθέτησης: Cmax = = 37 χ.μ. 44

45 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Πρόβλημα Μεταφοράς Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 5 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 20: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για τη δημιουργία τυχαίων βέλτιστων Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον Γραμμικό Προγραμματισμό στη Θεωρία Δικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Τροποποιηµένος πίνακας, όπου προσφορά ίση µε τη ζήτηση µε την προσθήκη εικονικού προορισµού *

Προσφορά Τροποποιηµένος πίνακας, όπου προσφορά ίση µε τη ζήτηση µε την προσθήκη εικονικού προορισµού * ΚΕΦ.8 ΕΙ ΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ιδιαίτερη κατηγορία των προβληµάτων ΓΠ είναι τα προβλήµατα δικτυακής ροής. Σε αυτά ανήκουν τα προβλήµατα µεταφοράς και εκχώρησης. 8. Πρόβληµα µεταφοράς Σε m πηγές (κέντρα προσφοράς)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία ικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (1o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 5: Τεχνικές Κλιμάκωσης, Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ

Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Καθαρή Παρούσα Αξία Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ενότητα 8: Μοντέλα χωροθέτησης και ανάθεσης δυναμικότητας - Μέρος ΙΙ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #6: Στοχαστικός Γραμμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 1: Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ v.1.0 Τα βασικότερα εργαλεία της Οικονομικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Εργαστηριακή Ενότητα 3 η : Επεξεργασία Κελιών Γραμμών & Στηλών. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Εργαστηριακή Ενότητα 3 η : Επεξεργασία Κελιών Γραμμών & Στηλών. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Εργαστηριακή Ενότητα 3 η : Επεξεργασία Κελιών Γραμμών & Στηλών Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 14: Τεχνικές Βελτίωσης Απόδοσης Κώδικα σε Matlab, Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την Τεχνική Κλιμάκωσης της Ισορρόπησης Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 2 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # 4: Ψηφιακός χάρτης - Διαχείριση 2o μέρος Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 4 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 3: Παραγοντοποίηση QR Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 10: Συστήματα γραμμικών εξισώσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική

Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική Ενότητα 3: Εισαγωγή και Εμφάνιση Δεδομένων Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 15: Κύκλωση Δεσμοί, Κανόνες Περιστροφής Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μεταλλευτική Οικονομία

Μεταλλευτική Οικονομία Μεταλλευτική Οικονομία Ενότητα 6: Άριστη χρήση μη ανανεώσιμων πόρων Δ. Καλιαμπάκος - Δ. Δαμίγος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Δυναμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 6: Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 6: Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 6: Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικό Εμπόριο (E-Commerce) Διδάσκων: Δρ. Νικόλαος Παναγιώτου Επιχειρηματικό Σχέδιο (β μέρος)

Ηλεκτρονικό Εμπόριο (E-Commerce) Διδάσκων: Δρ. Νικόλαος Παναγιώτου Επιχειρηματικό Σχέδιο (β μέρος) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ηλεκτρονικό Εμπόριο (E-Commerce) Διδάσκων: Δρ. Νικόλαος Παναγιώτου Επιχειρηματικό Σχέδιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα