Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon στην αναγνώριση εικόνας και υλοποίηση σε ψηφιακό επεξεργαστή σήµατος (DSP) ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon στην αναγνώριση εικόνας και υλοποίηση σε ψηφιακό επεξεργαστή σήµατος (DSP) ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon στην αναγνώριση εικόνας και υλοποίηση σε ψηφιακό επεξεργαστή σήµατος (DSP) ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ηµήτρης Κουζής Λουκάς Επιβλέπων: Θεόδωρος Αλεξόπουλος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα Οκτώβριος 2004

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon στην αναγνώριση εικόνας και υλοποίηση σε ψηφιακό επεξεργαστή σήµατος (DSP) ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ηµήτρης Κουζής Λουκάς Επιβλέπων: Θεόδωρος Αλεξόπουλος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή την 29η Οκτωβρίου Θ. Αλεξόπουλος Στ. Μαλτέζος Γ. Τσιπολίτης Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα Οκτώβριος

4

5 ... ηµήτρης Κουζής Λουκάς ιπλωµατούχος της σχολής Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π. Copyright ηµήτρης Κουζής Λουκάς, 2004 Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για εµπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. Ερωτήµατα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συµπεράσµατα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερµηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσηµες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. επικοινωνίας: web page: 5

6

7 Περίληψη Ο σκοπός της διπλωµατικής εργασίας είναι η υλοποίηση µίας αυτόνοµης ολοκληρωµένης διάταξης αναγνώρισης εικόνας, βασισµένης σε ένα σύγχρονο πυρήνα (επεξεργαστή) ψηφιακής επεξεργασίας σήµατος (DSP). Αυτό που ζητάµε να ανιχνεύσουµε είναι η θέση και η γωνία των οπών στήριξης ειδικών κυλινδρικών ανιχνευτών µιονίων που θα χρησιµοποιηθούν στον ανιχνευτή ATLAS του πειράµατος LHC στο CERN. Για την λύση αυτού του προβλήµατος αναγνώρισης εικόνας χρησιµοποιήθηκε ο κυκλικός µετασχηµατισµός Radon λόγω της υψηλής απόρριψης θορύβου. Για την υποστήριξη του συστήµατος χρησιµοποιήθηκαν τεχνικές υπολογιστικής γραφικής (αλγόριθµος του Bresenham), κωδικοποίητες και αποκωδικοποίητες video βασισµένοι στο πρωτόκολλο ψηφιακού video ITU 656, γενικές τεχνικές επεξεργασίας σήµατος και εικόνας (σχεδιασµός φίλτρων, cross correlation, ανίχνευση αιχµών) και στατιστικής αναγνώρισης προτύπων (κατηγοριοποιητές Bayes). Το σύστηµα αυτό αποτελείται από κάµερα, την αναπτυξιακή πλακέτα EZ-KIT Lite για τον επεξεργαστή σήµατος ADSP BF533 της Analog Devices και µία οθόνη τηλεόρασης στην οποία παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα. Η αναλυτική παρουσίαση της µεθοδολογίας που ακολουθήθηκε και άλλων στοιχείων, µπορούν να δώσουν στον αναγνώστη ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα των βηµάτων της διαδικασίας ανάπτυξης συστηµάτων αναγνώρισης εικόνας. Λέξεις Κλειδιά: Μετασχηµατισµός Radon και Hough, BF533, αναγνώριση εικόνας, πείραµα ATLAS, ITU 656 7

8

9 Abstract The purpose of this thesis is to implement a complete standalone image recognition system based on a state of the art DSP core. We want to measure the position and the angle of mounting points of some special cylindrical Meuon detectors that are being used in high energy physics experiments and more specifically in the ATLAS detector of LHC experiment at CERN. In order to accomplish this complex image recognition task we use the circular version of Radon transform because of its robustness against noise. In order to complete the system we use techniques from several areas like computer graphics (Bresenham algorithm), video encoders/decoders using the ITU 656 modern digital video protocol, general signal and image processing techniques (filter design, cross correlation, edge detection) and statistical pattern recognition (Bayesian classifiers). The setup includes a video camera with standard video out, EZ-KIT Lite development board for Analog Devices ADSP BF533 digital signal processor and a video monitor where the results are being presented. The in depth analysis and presentation of the methodology we used while developing this application and complete theory coverage can advance the reader with a complete overview of the steps that are required for developing an embedded image recognition system. Keywords: Radon and Hough transform, BF 533, image recognition, ATLAS experiment, ITU 656 9

10

11 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους µε βοήθησαν στην εκπόνηση αυτής της διπλωµατικής εργασίας και όσους µου συµπαραστάθηκαν κατά τη διάρκεια των σπουδών µου στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ειδικότερα, ευχαριστώ τα µέλη της τριµελούς επιτροπής Μαλτέζο Σταύρο και Τσιπολίτη Γιώργο για την ουσιαστική εποικοδοµητική κριτική. Ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα, Αλεξόπουλο Θεόδωρο. Η υποστήριξη και η εµπιστοσύνη του συνέβαλλαν ανεκτίµητα στην ολοκλήρωση αυτής της διπλωµατικής εργασίας. Τέλος θα ήθελα να αφιερώσω αυτή την εργασία σε όλους όσους στήριξαν µε την αγάπη τους την προσπάθειά µου για το καλύτερο. 11

12

13 Πίνακας περιεχοµένων Περίληψη... 7 Abstract... 9 Ευχαριστίες Πίνακας περιεχοµένων Πίνακας εικόνων και σχηµάτων Εισαγωγή Α. Το πρόβληµα και η τεχνικές που χρησιµοποιούνται Β. Οργάνωση και δοµή του συγγράµµατος Μέρος Α. Θεωρία Κεφάλαιο 1. Θεωρία και εφαρµογές µετασχηµατισµού Radon Κλασικός µετασχηµατισµός Radon Ορισµός Παραδείγµατα γραµµικού µετασχηµατισµού Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Γραµµικότητα Μεγέθυνση Μετατόπιση Γενικευµένοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις Μετασχηµατισµός παραγώγων Υπολογισµός παραγώγων µετασχηµατισµού Περιστροφή Μετασχηµατισµός συνέλιξης Περιοδικότητα Κυκλικός µετασχηµατισµός Radon Ορισµός Παραδείγµατα κυκλικού µετασχηµατισµού Γενικευµένος κυκλικός µετασχηµατισµός Radon Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Γραµµικότητα Μεγέθυνση Μετατόπιση Γενικευµένοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις Υπολογισµός παραγώγων Περιστροφή Περιοδικότητα ιατήρηση µάζας Γενίκευση του µετ/µού Radon και µετ/µος Hough Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon Τοµογραφία Εφαρµογές επεξεργασίας εικόνας Κεφάλαιο 2. Επεξεργασία και αναγνώριση εικόνας Συστήµατα επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας Σύλληψη εικόνας Η αντίληψη µίας εικόνας Ευαισθησία ως προς την φωτεινότητα Ευαισθησία ως προς την χωρική συχνότητα Χρωµατική ευαισθησία Χρωµατικοί χώροι (Color spaces) Η κάµερα Θόρυβος Προδιαγραφές Τοποθέτηση Πρότυπα αναλογικού και ψηφιακού Video Αναλογικό video, PAL, NTSC Ψηφιακό video, BT Ψηφιακή επεξεργασία εικόνας Τεχνικές ιστογράµµατος Τεχνικές βασισµένες στη συχνότητα

14 Φίλτρα Αναγνώριση ακµών Εξαγωγή χαρακτηριστικών Κατηγοριοποίηση Α αρχιτεκτονική του νευρώνα Η αναγνώριση του προτύπου της εφαρµογής µας Υπολογιστική γραφική Σχεδιασµός ευθειών Σχεδιασµός κύκλων Εφαρµογές της αναγνώρισης εικόνας Κεφάλαιο 3. οµή και λειτουργία των DSPs Γενικά χαρακτηριστικά των DSPs και εφαρµογές Τι είναι τα DSPs; Χαρακτηριστικά αρχιτεκτονικής υψηλής ταχύτητας Εκτέλεση πολλαπλασιασµού και πρόσθεσης σε έναν κύκλο Αυτόµατη τροποποίηση δεικτών στην µνήµη Ειδικοί τρόποι προσπέλασης της µνήµης Αποδοτικοί επαναληπτικοί βρόχοι υλοποιηµένοι στο hardware Αποδοτική κωδικοποίηση εντολών Λειτουργία pipelining Ειδικές συναρτήσεις υλοποιηµένες στο hardware Κανάλια DMA Πολλαπλασιασµός ταχύτητας πυρήνα µε PLL Κατηγορίες DSPs Εναλλακτικές τεχνολογίες FPGAs ASICs GPPs Η εφαρµογές των DSPs στην σύγχρονη αγορά Το ADSP-BF533 της Analog Devices ΤΜ Ο πυρήνας του επεξεργαστή Γενικά χαρακτηριστικά Βαθµίδα αριθµητικής Βαθµίδα ελέγχου ροής Βαθµίδα δηµιουργίας διευθύνσεων Αρχιτεκτονική και διαχείριση µνήµης ιαχείριση συµβάντων Καταστάσεις λειτουργίας Λειτουργίες εξοικονόµησης ενέργειας Τα περιφερειακά του επεξεργαστή Ο ελεγκτής DMA Parallel Peripheral Interface Σειριακές θύρες Θύρα SPI UART GPIO Χρονιστές γενικής χρήσης Χρονιστής επιτήρησης Χρονιστής πυρήνα Ρολόι πραγµατικού χρόνου EBIU ιεπαφή JTAG Σταθεροποιητής τάσης Boot rom Το αναπτυξιακό BF533 EZKIT LITE PSD4256G6V SDRAM Συνολικά η µνήµη Video Encoder/Decoder Audio Codec Leds και πλήκτρα Λογισµικό και τεκµηρίωση VisualDSP uclinux Βιβλία που συνοδεύουν το λογισµικό Getting Started Guide for 16-Bit Processors C/C++ Compiler and Library Manual for Blackfin Processors User s Guide for 16-Bit Processors Assembler and Preprocessor Manual for Blackfin Processors

15 Loader Manual for 16-Bit Processors Product Release Bulletin for 16-Bit Processors Ηλεκτρονικά βιβλία ADSP-BF533 Blackfin Processor Hardware Reference Blackfin Embedded Processor, ADSP-BF531/ADSP-BF532/ADSP-BF Blackfin DSP Instruction Set Reference ADSP-BF533 EZ-KIT Lite TM Evaluation System Manual Manuals των video encoder, decoder και audio codec Internet Μέρος Β. Υλοποίηση Κεφάλαιο 4. Περιγραφή του προβλήµατος Περιγραφή προβλήµατος Παλαιότερες λύσεις Προδιαγραφές συστήµατος αναγνώρισης εικόνας Κεφάλαιο 5. Προτυποποίηση σε Matlab ΤΜ Προτυποποίηση αλγορίθµου του Bresenham Προτυποποίηση του µετασχηµατισµού Hough Υπολογισµός γωνίας οπών στήριξης του tube Εργασία σε χώρο γωνιών Πρώτη προσέγγιση, φίλτρο φωτεινότητας εύτερη προσέγγιση, γωνιακό edge detection Κεφάλαιο 6. Ανάπτυξη στο DSP Παράδειγµα δηµιουργίας πλαισίου Video Μέτρηση χρόνου και συµπεράσµατα Τροποποίηση προγράµµατος για αλληλεπίδραση µε χρήστη Μετάφραση σε C και βασικές λειτουργίες γραφικών Παράδειγµα λήψης σήµατος video Τροποποίηση του παραδείγµατος λήψης video Συγχώνευση λειτουργιών λήψης και εκποµπής video Λειτουργίες ανόρθωσης αναλογιών και ανίχνευσης ακµών Ανόρθωση αναλογιών Ανίχνευση ακµών Υλοποίηση αναγνώρισης κύκλων Μετασχηµατισµός Hough Μετασχηµατισµός Hough Υλοποίηση αναγνώρισης οπών Ολοκλήρωση συστήµατος Προγραµµατισµός της Flash Κεφάλαιο 7. Αξιολόγηση εργασίας και µελλοντικές επεκτάσεις Αξιολόγηση εργασίας Βελτιώσεις και µελλοντικές επεκτάσεις Καλύτερη ανίχνευση ακµών (edge detection) Αυτόµατη ανίχνευση κατωφλιού Αύξηση ακρίβειας Σύνθετη αναγνώριση προτύπου Συνεχής ροή video Βελτίωση ταχύτητας επεξεργασίας Χρήση του optimizer Μετατροπή ρουτινών που εκτελούνται συχνά σε assembly Χρήση λιγότερων DMA µεταφορών και µείωση µνήµης Χρήση της Cache Αξιολόγηση τεχνολογιών Μετασχηµατισµός Radon (Hough) Η επεξεργασία εικόνας για µετρήσεις Υλοποίηση σε DSP Βιβλιογραφία αναφορές

16

17 Πίνακας εικόνων και σχηµάτων Εικόνα 1. Το πρότυπο το οποίο θέλουµε να αναγνωρίσουµε Εικόνα 2. Κυκλικός µετασχηµατισµός Radon ενός κύκλου Εικόνα 3. Ορισµός του µετασχηµατισµού Radon Εικόνα 4. ιανυσµατικός ορισµός του µετ/µου Radon Εικόνα 5. Ορισµός του διανύσµατος e ω Εικόνα 6. Ανίχνευση γραµµών µε τον µετασχηµατισµό Radon (Hough) Εικόνα 7. Κυκλικός µετασχηµατισµός σηµείου Εικόνα 8. Αρχή λειτουργίας αναγνώρισης κύκλων Εικόνα 9. Ανθεκτικότητα µετ/µου Radon απέναντι στον θόρυβο Εικόνα 10. Αρχή εφαρµογών µετ/µου Radon Εικόνα 11. ιάταξη CT scanner Εικόνα 12. Ορισµός συστήµατος συντεταγµένων σε τοµογράφο Εικόνα 13. Κάθε δέσµη συναντά διαφορετικά "εµπόδια" Εικόνα 14. Ο µετασχηµατισµός Radon στην µέτρηση της ταχύτητας κυµάτων Εικόνα 15. Τρισδιάστατη έκδοση µέτρησης της ταχύτητας Εικόνα 16. Ανίχνευση ενός CD-ROM κάτω από µία εφηµερίδα µε υβριδική τεχνική Εικόνα 17. Ο Χάρτης της επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας Εικόνα 18. Η ευαισθησία της ανθρώπινης αντίληψης ως προς το µήκος κύµατος Εικόνα 19. Πάνω δi = k, κάτω δi = k x I Εικόνα 20. Απόκριση χωρικής συχνότητας Εικόνα 21. Χρωµατική απόκριση για τα τρία είδη κυττάρων Εικόνα 22. Χρωµατικό διάγραµµα µε το CIE τρίγωνο και το τρίγωνο του φωσφόρου Εικόνα 23. Χρωµατικά τρίγωνα για διάφορους τύπους κωδικοποίησης Εικόνα 24. Τοποθέτηση κάµερας: Η εικόνα στην οθόνη αριστερά συµπληρώνει το τοπίο Εικόνα 25. (a) Μη πεπλεγµένο video (b) πεπλεγµένο video Εικόνα 26. Ακολουθία EAV/SAV Εικόνα 27. Πληροφορία για µία γραµµή κατά BT Εικόνα 28. Ενεργό σήµα και σήµατα συγχρονισµού για video 525 και 625 γραµµών Εικόνα 29. Ιστόγραµµα εικόνας Εικόνα 30. Μετασχηµατισµός Fourier ενός τετραγώνου Εικόνα 31. Ψηφιακά φίλτρα σε πρότυπο µε διάφορες οπτικές συχνότητες Εικόνα 32. Μία ακµή, η πρώτη και η δεύτερη παράγωγός του Εικόνα 33. Γραµµικά διαχωρίσιµες κλάσεις Εικόνα 34. Η αρχιτεκτονική του νεύρωνα Εικόνα 35. Οι τρεις κύκλοι του προτύπου που θέλουµε να αναγνωρίσουµε Εικόνα 36. Το πρότυπο στον χώρο Radon Εικόνα 37. Χωρικά φίλτρα στον τρισδιάστατο χώρο Radon Εικόνα 38. Επιφάνεια απόφασης στον χώρο των χαρακτηριστικών (feature space) Εικόνα 39. Σχεδίαση γραµµών µε τον αλγόριθµο του Bresenham Εικόνα 40. Όλες οι περιπτώσεις που πρέπει να καλυφθούν Εικόνα 41. Ολοκληρωµένο κύκλωµα Εικόνα 42. Μονάδα MAC Εικόνα 43. ιευθυνσιοδότηση ανάστροφου bit Εικόνα 44. Η λειτουργία pipelining Εικόνα 45. Block διάγραµµα PLL Εικόνα 46. Συγκριτικός χάρτης τεχνολογιών ASICs και FPGA Εικόνα 47. Οι πωλήσεις των DSPs αναµένεται αυξάνονται συνεχώς τα επόµενα χρόνια Εικόνα 48. Μορφή κλασµατικών αριθµών Εικόνα 49. ιάγραµµα αρχιτεκτονικής πυρήνα Εικόνα 50. Οι µνήµη του Blackfin και οι δίαυλοι ροής δεδοµένων Εικόνα 51. Χάρτης µνήµης BF Εικόνα 52. Ελεγκτές διαχείρισης συµβάντων Εικόνα 53. Οι καταστάσεις λειτουργίας του επεξεργαστή και οι µεταβάσεις µεταξύ τους

18 Εικόνα 54. Ο επεξεργαστής και τα περιφερειακά του Εικόνα 55. Αποστολή και λήψη video µε τη βοήθεια του PPI Εικόνα 56. Επιλεκτική λειτουργία λήψης video Εικόνα 57. Το αναπτυξιακό Εικόνα 58. Block διάγραµµα του αναπτυξιακού Εικόνα 59. Το διάγραµµα βαθµίδων των PSD4256G6V Εικόνα 60. ιαδικασίες εγγραφής και ανάγνωσης µε I 2 C Εικόνα 61. Το περιβάλλον ανάπτυξης VisualDSP Εικόνα 62. Ο Expert Linker Εικόνα 63. Η γεωµετρία του ανιχνευτή Εικόνα 64. ιάταξη ανίχνευσης θέσης οπών στήριξης Εικόνα 65. Φωτογραφία της διάταξης Εικόνα 66. Το πρόγραµµα στην γραφική γλώσσα του LabView TM Εικόνα 67. Σήµατα των δύο καναλιών για διαφορετικές θέσεις του αισθητήρα Εικόνα 68. Προδιαγραφές µίας συσκευής αναγνώρισης για το πρόβληµα αυτό Εικόνα 69. Κλασική υλοποίηση Bresenham Εικόνα 70. Κύκλοι από την κλασική υλοποίηση Hough µε ακτίνα 1 έως Εικόνα 71. Κύκλοι από τη τροποποιηµένη υλοποίηση Hough µε ακτίνα 1 έως Εικόνα 72. Εικόνα, ανίχνευση ακµών και µετασχηµατισµός Hough Εικόνα 73. Ο µετασχηµατισµός Hough σύνθετης εικόνας Εικόνα 74. Βέλτιστοι κύκλοι όπως προκύπτουν από τον µετασχηµατισµό Εικόνα 75. Το block διάγραµµα του υπολογιστή γωνιών Εικόνα 76. Ορισµός συντεταγµένων Εικόνα 77. Χαµηλοπερατό φίλτρο και η απόκριση συχνότητάς του Εικόνα 78. Παράµετροι σχεδίασης του υψιπερατού φίλτρου Εικόνα 79. Αποτελέσµατα εφαρµογής µεθόδου σε δοκιµαστικές εικόνες Εικόνα 80. Υψιπερατό φίλτρο (τελεστής edge detection) και η απόκριση συχνότητάς του Εικόνα 81. Ιδανικά µοντέλα οπών Εικόνα 82. Τα µοντέλα µετά την εφαρµογή του τελεστή Εικόνα 83. Κυµάτισµα στο µοντέλο Εικόνα 84. Η τελική µορφή του προτύπου Εικόνα 85. Ακριβής τρόπος µέτρησης κύκλων Εικόνα 86. Αρχικοποίηση Timer0 και µέτρηση χρόνου (κύκλων SCLK) Εικόνα 87. Ακύρωση της λειτουργίας αρχικοποίησης της SDRAM Εικόνα 88. Ανάθεση input σε output sections µε τον expert linker σε visual και tree view Εικόνα 89. Απενεργοποίηση αρχικοποίησης µνήµης Εικόνα 90. Γραφικά στην οθόνη τηλεόρασης από τον BlackFin TM Εικόνα 91. Εφαρµογή του τελεστή Laplace σε σµίκρυνση της εικόνας εξόδου Εικόνα 92. Πλαίσιο video όπως λαµβάνεται από την κάµερα Εικόνα 93. Ρυθµίσεις για την εµφάνιση της παραπάνω εικόνας Εικόνα 94. Παραµόρφωση κυκλικού προτύπου Εικόνα 95. Η δοκιµαστική εικόνα πριν και µετά την ανόρθωση αναλογιών Εικόνα 96. Λειτουργία ανόρθωσης αναλογιών (scaling) Εικόνα 97. Ανίχνευση ακµών µε τη βοήθεια του τελεστή Laplace Εικόνα 98. Μετασχηµατισµός Hough από το DSP και τα ίχνη του προτύπου Εικόνα 99. Γωνιακό προφίλ φωτεινότητας Εικόνα 100. Πρότυπο οπών κατασκευασµένο από το Matlab Εικόνα 101. Συσχέτιση σήµατος µε το πρότυπο Εικόνα 102. Οι «σκέψεις» του DSP πριν την απόφαση Εικόνα 103. Το σύστηµα σε λειτουργία Εικόνα 104. Τα DSPs λύνουν πραγµατικά προβλήµατα αναγνώρισης εικόνας

19 Εισαγωγή Α. Το πρόβληµα και η τεχνικές που χρησιµοποιούνται Όπως φαίνεται και από τον τίτλο αυτής της εργασίας, πραγµατεύεται τα ακόλουθα τρία αντικείµενα: 1. Τη θεωρία του µετασχηµατισµού Radon 2. Τη θεωρία επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας 3. Την υλοποίηση συστηµάτων βασισµένα σε ψηφιακούς επεξεργαστές σήµατος (DSPs) Η θεωρία για τα τρία αυτά αντικείµενα παρουσιάζεται ξεχωριστά και εφαρµόζεται στην πράξη για την αντιµετώπιση ενός σύνθετου προβλήµατος αναγνώρισης εικόνας. Το πρόβληµά προς επίλυση είναι η αναγνώριση ενός συγκεκριµένου προτύπου στην εικόνα κυλινδρικού σωλήνα ολίσθησης για ανίχνευση µιονίων (Monitored Drift Tube - MDT). Πάνω από τέτοιοι αισθητήρες θα χρησιµοποιηθούν στον ανιχνευτή ATLAS για µετρήσεις γεγονότων µε µιόνια κατά την διεξαγωγή του πειράµατος υψηλών ενεργειών µε τον επιταχυντή LHC στο CERN το οποίο αναµένεται να αρχίσει το Εικόνα 1. Το πρότυπο το οποίο θέλουµε να αναγνωρίσουµε ύο στοιχεία πρέπει να αναγνωρίσουµε σε εικόνες των MDTs όπως φαίνεται στην Εικόνα 1. Το πρώτο είναι η θέση (κέντρο) του κυκλικού δίσκου της επιφάνειας του MDT και το δεύτερο είναι η γωνιακή θέση των δύο µικρών οπών στήριξης που βρίσκονται στην περιφέρεια του. εν γίνεται καµία υπόθεση για το περιεχόµενο της λαµβανόµενης εικόνας εκτός από ότι η γωνία παρατήρησης θεωρείται αξονική, ώστε το περίγραµµά του να προσεγγιστεί αρκετά καλά ως κυκλικό και όχι ελλειπτικό. Οι πληροφορίες αυτές είναι πάρα πολύ χρήσιµες στην αυτοµατοποίηση διαδικασιών κατασκευής και ελέγχου τους π.χ. µε τη βοήθεια κάποιου ροµποτικού βραχίονα. Η διάταξη που χρησιµοποιούµε για την υλοποίηση του παραπάνω συστήµατος αποτελείται από µία κάµερα η οποία συλλαµβάνει (capture) την εικόνα, το αναπτυξιακό σύστηµα του επεξεργαστή ADSP-BF533 της Analog Devices, EZ-KIT BF533 TM το οποίο κάνει όλη την επεξεργασία και µία οθόνη τηλεοράσεως στην οποία προβάλλονται τα αποτελέσµατα. Είναι δυνατή η παρουσίαση των µετρήσεων και σε υπολογιστή µέσω της σειριακής θύρας του αναπτυξιακού. Για την ανίχνευση αυτού του προτύπου χρησιµοποιείται ο µετασχηµατισµός Radon. Ο µετασχηµατισµός Radon είναι ένας µαθηµατικός µετασχηµατισµός στατιστικής φύσεως που τυχαίνει ευρείας αποδοχής στην επεξεργασία εικόνας (πολλές φορές µε το όνοµα Hough transform που αποτελεί ειδική περίπτωση του διακριτή εκδοχή). Η πιο διαδεδοµένη του µορφή είναι αυτή του γραµµικού µετασχηµατισµού Radon που µετατρέπει έναν x-y χώρο σε ένα χώρο γραµµών r-φ. Για τους σκοπούς της εφαρµογής µας ήταν αναγκαία η κυκλική έκδοση του µετασχηµατισµού για την οποία η βιβλιογραφία είναι εξαιρετικά περιορισµένη. Αυτός µετατρέπει ένα δισδιάστατο x,y 19

20 χώρο σε ένα τρισδιάστατο χώρο κύκλων x,y,r πετυχαίνοντας µε αυτόν τον τρόπο αύξηση των διαστάσεων κατά µία. Στον χώρο x,y,r είναι πολύ πιο εύκολο να ξεχωρίσουµε σχήµατα κύκλων σε σύγκριση µε τον χώρο x, y. 20 Εικόνα 2. Κυκλικός µετασχηµατισµός Radon ενός κύκλου Συγκεκριµένα κάθε κύκλος στον χώρο x,y µετασχηµατίζεται σε κάτι σαν διπλό κώνο στον χώρο x,y,r. Στην κορυφή του κώνου αυτού παρατηρούµε ένα µέγιστο της τιµής του µετασχηµατισµού Radon το οποίο µπορεί να έχει µέγεθος πάνω από πέντε φορές µεγαλύτερο από την µέση τιµή του µετασχηµατισµού. Το σηµείο αυτού του µεγίστου µας δίνει τις πληροφορίες του κέντρου του κύκλου και της ακτίνας του. Ο µετασχηµατισµός αυτός µας δίνει δυνατότητα πολύ αξιόπιστης αναγνώρισης κύκλων ενώ η στατιστική υφή του τον κάνει να απορρίπτει διάφορες µορφές θορύβου. Το µειονέκτηµά του είναι το υπολογιστικό του κόστος και οι αυξηµένες απαιτήσεις σε µνήµη λόγω. Οι σύγχρονες όµως δυνατότητες επεξεργασίας των DSPs σε συνδυασµό µε κατάλληλο προγραµµατισµό και βελτιστοποίηση του κώδικα δίνουν τη δυνατότητα να κατασκευάσουµε σύστηµα που να µπορεί να εκτελεί σε πραγµατικό χρόνο τόσο το µετασχηµατισµό όσο και ανάλυση πάνω στο χώρο Radon. Για την εφαρµογή του µετασχηµατισµού Radon και την ολοκλήρωση ενός συστήµατος αναγνώρισης εικόνας βασισµένου σε αυτόν, χρειάζεται ένα πλήθος ειδικών τεχνικών. 1. Για τη σύλληψη της εικόνας και για τη γραφική παρουσίαση των αποτελεσµάτων σε κάποια οθόνη είναι απαραίτητη η εµβάθυνση στα ψηφιακά πρότυπα video και στο ειδικό hardware σύλληψης και παραγωγής των σχετικών σηµάτων (video decoders encoders). 2. Για να γίνει σωστά ο µετασχηµατισµός Radon χρειάζεται πάνω στην εικόνα να έχει πραγµατοποιηθεί προ-επεξεργασία για την εξάλειψη του οπτικού θορύβου που δηµιουργείται κατά την σύλληψη και ανίχνευση αιχµών (edge tracing). 3. Για την αναγνώριση των κύκλων στον χώρο Radon και την αποτελεσµατική απόρριψη του θορύβου απαιτούνται διεργασίες ψηφιακής επεξεργασίας σήµατος (συναρτήσεις cross correlation, ψηφιακά φίλτρα) και της αναγνώρισης προτύπων (Bayesian classifiers). 4. Για την απεικόνιση των αποτελεσµάτων χρειάζονται διεργασίες γραφικής πάνω σε καµβά (raster) που προέρχονται από µεθόδους υπολογιστικής γραφικής (computer graphics). Για την υλοποίηση του συστήµατος σε DSP είναι απαραίτητη η γενική γνώση του τρόπου λειτουργίας και των ιδιαιτεροτήτων των DSPs. Για τον συγκεκριµένο επεξεργαστή που χρησιµοποιούµε στο σύστηµά µας (ADSP-BF533 ) είναι απαραίτητη η γνώση σε βάθος τόσο των δυνατοτήτων του πυρήνα όσο και της λειτουργίας των ενσωµατωµένων περιφερειακών του και ιδιαίτερα αυτών που εµείς χρησιµοποιούµε. Επιπλέον είναι απαραίτητη η γνώση των δυνατοτήτων του αναπτυξιακού συστήµατος και η λεπτοµερής γνώση της λειτουργίας των περιφερικών που χρησιµοποιούµε δηλαδή του κωδικοποιητή και αποκωδικοποιητή video. Επιπλέον την διαδικασία ανάπτυξης βοηθούν το περιβάλλον λογισµικού VisualDSP++ του οποίου τις δυνατότητες πρέπει να γνωρίζουµε και η έντυπη και ηλεκτρονική τεκµηρίωση στις οποίες µπορούµε να ανατρέχουµε κάθε φορά που εµφανίζεται κάποιο πρόβληµα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι ο επεξεργαστής αυτός

21 κυκλοφόρησε µόλις το 2003 και συνεπώς η βιβλιογραφία που τον αφορά είναι σχετικά περιορισµένη. Ευελπιστούµε ότι η παρούσα εργασία θα αποτελέσει µία σηµαντική συνεισφορά στην βιβλιογραφία του επεξεργαστή αυτού και µάλιστα στην Ελληνική γλώσσα. Β. Οργάνωση και δοµή του συγγράµµατος Ο αναγνώστης θα βρει σε αυτή την διπλωµατική πληροφορίες και χρήσιµες αναφορές για όλα όσα περιγράφηκαν στην προηγούµενη ενότητα. Προαπαιτούµενα για την κατανόηση του κειµένου είναι η µία γενική γνώση όρων της τεχνολογίας υπολογιστών και των µαθηµατικών. Για την κατανόηση του κώδικα, όπου αυτός υπάρχει, συνίσταται η γνώση της γλώσσας C και του Matlab. Επίσης χρειάζεται υποµονή σε ορισµένα σηµεία που ο αναγνώστης πιθανώς συναντά έννοιες µε τις οποίες δεν έχει ξαναασχοληθεί. Σε αυτές τις περιπτώσεις ίσως θα βοηθούσε η µελέτη και των σχετικών αναφορών. Το σύγγραµµα αυτό είναι χωρισµένο σε δύο µέρη. Το µέρος Α παρουσιάζει πληροφορίες για όλους τους τοµείς που αναφέραµε στην προηγούµενη ενότητα. Το µέρος Β παρουσιάζει τις λεπτοµέρειες υλοποίησης και την αξιολόγηση της εφαρµογής που αναπτύξαµε για την λύση του προβλήµατος που περιγράψαµε. Παρακάτω παρουσιάζουµε συνοπτικά τα κεφάλαια καθώς και τον σκοπό τον οποίο εξυπηρετούν. Μέρος Α. Θεωρητικά Κεφάλαιο 1 ο : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η θεωρία του κλασικού (γραµµικού) και κυκλικού µετασχηµατισµού Radon. Στο τέλος παρουσιάζονται εφαρµογές οι οποίες αναδεικνύουν την χρησιµότητα του µετασχηµατισµού αυτού. Το κεφάλαιο αυτό αποσκοπεί στο να χρησιµοποιηθεί ως αναφορά για τον αναγνώστη που ενδιαφέρεται για τον µετασχηµατισµό Radon και τις εφαρµογές του. Εκτός από τον ορισµό παρουσιάζονται και οι πολύ χρήσιµες ιδιότητές του τόσο για την γραµµική όσο και για την κυκλική και γενικευµένη µορφή του. Επίσης στην ενότητα 1.3 παρουσιάζεται σύνοψη της θεωρίας που χρησιµοποιείται για το πειραµατικό µέρος. Κεφάλαιο 2 ο : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τεχνικές της επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας. Το αντικείµενο αυτό είναι πολύ εκτενές και φυσικά δεν µπορεί να καλυφθεί µέσα σε ένα µόνο κεφάλαιο. Ο στόχος µας είναι να παρουσιάσουµε στον µη ειδικό αναγνώστη την γενική εικόνα για το τι είναι ένα σύστηµα επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας και επιγραµµατικά τις σηµαντικότερες τεχνικές που χρησιµοποιούνται για κάθε τµήµα της υλοποίησής του. Οι αναφορές µπορούν να αποτελέσουν πολύτιµο υλικό για όποιον θέλει να ασχοληθεί για να ενηµερωθεί περισσότερο για κάποιες τεχνικές που πιθανώς τον ενδιαφέρουν. Αναλύονται εκτενώς οι τεχνικές που χρησιµοποιούνται στην δικιά µας εφαρµογή. Ειδικά στην ενότητα γίνεται ανάλυση του συστήµατος αναγνώρισης προτύπου που χρησιµοποιούµε. Κεφάλαιο 3 ο : Το κεφάλαιο αυτό παρουσιάζει την τεχνολογία των DSPs και αναλύει σε βάθος τον επεξεργαστή και το αναπτυξιακό που χρησιµοποιούµε στην εφαρµογή µας. Το κεφάλαιο αυτό αποσκοπεί στο να δώσει στον αναγνώστη που ασχολείται για πρώτη φορά µε τα DSPs µία γερή βάση σχετικά µε την δοµή και τις αρχές λειτουργίας τους. Αµέσως µετά παρουσιάζεται αναλυτικά ο επεξεργαστής BF533 και το αναπτυξιακό του σύστηµα όπως και το λογισµικό που το συνοδεύει. Ο στόχος αυτού του δεύτερου µέρους είναι να δώσει σε όποιον θελήσει να ασχοληθεί µε αυτόν τον σχετικά «νέο» επεξεργαστή ειδικές γνώσεις που θα τον βοηθήσουν να µπορέσει να αναπτύξει γρήγορα νέες εφαρµογές χωρίς να µπει στον κόπο της πλήρους ανάγνωσης των εκτενών εγχειριδίων του επεξεργαστή. Μέρος Β. Υλοποίηση Κεφάλαιο 4 ο : Στο σύντοµο αυτό κεφάλαιο παρουσιάζεται εκτενώς το πρόβληµα που πρέπει να λυθεί και γίνεται αναφορά σε προηγούµενες εκδοχές που έχουν χρησιµοποιηθεί για την µερική του λύση. Το κεφάλαιο αυτό σκοπεύει να παρουσιάσει στον αναγνώστη τις απαραίτητες λεπτοµέρειες που αφορούν το συγκεκριµένο πρόβληµα ώστε να µπορεί να κατανοήσει καλύτερα τα επόµενα κεφάλαια. 21

22 Κεφάλαιο 5 ο : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η πρότυπη υλοποίηση κάποιον κοµµατιών της εφαρµογής σε PC µε τη βοήθεια του πακέτου λογισµικού Matlab TM. Η προτυποποίηση αυτή ήταν απαραίτητη για να ελέγξουµε γρήγορα αν ο µετασχηµατισµός Radon και οι διάφορες άλλες τεχνικές µπορούν να δώσουν λύση στο πρόβληµά µας και να αποκτήσουµε αίσθηση των σηµείων που πρέπει να προσέξουµε κατά την υλοποίηση στο DSP. Το κεφάλαιο αυτό έχει πολύ ενδιαφέρον για τον αναγνώστη που θέλει να παρακολουθήσει βήµα βήµα την διαδικασία ανάπτυξης µίας εφαρµογής αναγνώρισης εικόνας ώστε να κατανοήσει τη µεθοδολογία που ακολουθείται και να αποκτήσει αίσθηση των προβληµάτων που καλείται κανείς να αντιµετωπίσει στην πορεία και του σκεπτικού λύσεώς τους. Κεφάλαιο 6 ο : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η τελική υλοποίηση στο DSP. Το κεφάλαιο αυτό έρχεται ως συνέχεια των κεφαλαίων 3 και 5 για να παρουσιάσει ένα πρακτικό παράδειγµα υλοποίησης ενός συστήµατος DSP. Το κεφάλαιο αυτό θα φανεί πολύ χρήσιµο σε όποιον θέλει να αναπτύξει ένα σύστηµα DSP αφού θα γνωρίσει από κοντά όλα τα πράγµατα που θα πρέπει να προσέξει κατά την υλοποίησή του. Κεφάλαιο 7 ο : Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται αξιολόγηση της απόδοσης της όλης διάταξης και ωφέλιµη κριτική σχετικά µε τις τεχνικές που χρησιµοποιήθηκαν. Το κεφάλαιο αυτό συµπληρώνεται από προτάσεις για το πως διάφορες τεχνικές που χρησιµοποιήθηκαν µπορούν να αξιοποιηθούν και σε άλλες εφαρµογές όπως και πιθανές εφαρµογές ολόκληρης της διάταξης. Το κεφάλαιο αυτό θα φανεί χρήσιµο σε όποιον θελήσει να αξιοποιήσει περαιτέρω το περιεχόµενο αυτής της διπλωµατικής. Σηµείωση: Η διπλωµατική αυτή συνοδεύεται από τον πηγαίο κώδικα που χρησιµοποιήθηκε σε διάφορα µέρη της υλοποίησης. εν κρίθηκε σκόπιµο να τυπωθεί αυτός ο κώδικας µιας και έχει αρκετά µεγάλο όγκο και η τυπωµένη έκδοσή του ελάχιστη πρακτική αξία θα είχε. Τα σηµεία του κώδικα µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζονται αποσπασµατικά στα αντίστοιχα κεφάλαια. Όποιος θέλει τον πλήρη πηγαίο κώδικα µπορεί να τον κατεβάσει από το διαδύκτιο. 22

23 Μέρος Α. Θεωρία 23

24

25 Κεφάλαιο 1. Θεωρία και εφαρµογές µετασχηµατισµού Radon Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η θεωρία του κλασικού (γραµµικού) και κυκλικού µετασχηµατισµού Radon. Στο τέλος παρουσιάζονται εφαρµογές οι οποίες αναδεικνύουν την χρησιµότητα του µετασχηµατισµού αυτού. Το κεφάλαιο αυτό αποσκοπεί στο να χρησιµοποιηθεί ως αναφορά για τον αναγνώστη που ενδιαφέρεται για τον µετασχηµατισµό Radon και τις εφαρµογές του. Εκτός από τον ορισµό παρουσιάζονται και οι πολύ χρήσιµες ιδιότητές του τόσο για την γραµµική όσο και για την κυκλική και γενικευµένη µορφή του. Επίσης στην ενότητα 1.3 παρουσιάζεται σύνοψη της θεωρίας που χρησιµοποιείται για το πειραµατικό µέρος. 1.1 Κλασικός µετασχηµατισµός Radon. Ο γραµµικός µετασχηµατισµός Radon αποτελεί την πλέον διαδεδοµένη µορφή του. Το µεγαλύτερο µέρος των πληροφοριών αυτής της ενότητας έχει ως πηγή του το βιβλίο του Stanely R. Deans 1 το οποίο είναι αφιερωµένο σε αυτόν τον µετασχηµατισµό. Θα παρουσιάσουµε τον ορισµό σε διάφορες µορφές χρήσιµες για διαφορετικές εφαρµογές και χρήσιµες ιδιότητές του Ορισµός 2 Έστω µία συνάρτηση f : R R δύο µεταβλητών x, y που ορίζεται σε ένα χώρο D του φαίνεται στο παρακάτω σχήµα και L µία τυχαία ευθεία στο επίπεδο. 2 R όπως s D y L ρ r φ 0 x Εικόνα 3. Ορισµός του µετασχηµατισµού Radon Η απεικόνιση που ορίζεται από την προβολή (ολοκλήρωµα πάνω σε ευθεία) της f πάνω σε όλες τις πιθανές γραµµές L είναι ο δισδιάστατος µετασχηµατισµός Radon υπό την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωµα υπάρχει. Πιο συγκεκριµένα, f =R f = f( x, y) ds (1) όπου ds είναι στοιχειώδες τµήµα πάνω στη ευθεία. Θεωρώντας την παραµετρική µορφή της L η εξίσωσή της δίνεται από την σχέση: L r = xcosφ + ysinφ 1 The Radon Transform and Some of Its Applications, Stanley R. Deans, John Wiley & Sons,

26 Ο µετασχηµατισµός Radon είναι λοιπόν το ολοκλήρωµα (1) για κάθε ευθεία που ορίζεται από τα r, φ. Συνεπώς αν το f (, r φ) είναι γνωστό για κάθε r, φ τότε αυτός είναι ο δισδιάστατος µετασχηµατισµός Radon της συνάρτησης f ( xy, ) ενώ αν είναι γνωστός µόνο για συγκεκριµένες τιµές των r, φ λέµε ότι έχουµε ένα δείγµα του µετασχηµατισµού Radon. Αν θεωρήσουµε το περιστραµένο κατά φ σύστηµα συντεταγµένων ρ, s τότε τα x και y για τυχαίο σηµείο δίνονται από τις σχέσεις: x = ρ cosφ ssinφ y = ρ sinφ + scosφ Έτσι µπορούµε να γράψουµε τον ορισµό (1) µε την µορφή απλού ολοκληρώµατος: f ( ρφ, ) = f( ρcosφ ssin φρ, sinφ + scos φ) ds (2) Στην προσπάθειά µας να γενικεύσουµε και σε περισσότερες διαστάσεις, θα εισάγουµε τον διανυσµατικό συµβολισµό. Αν x = ( x, y) είναι ένα διάνυσµα τότε η συνάρτηση f που ορίσαµε προηγουµένως µπορεί να παρασταθεί συνοπτικά ως f ( x ). Μπορούµε να ορίσουµε δύο κάθετα µοναδιαία διανύσµατα ξ και ξ ως εξής: ξ = (cos φ,sin φ) (3) ξ = ( sin φ,cos φ) Τα διανύσµατα αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήµα. D y L. (x,y) ξ ξ ρ φ 0 x Εικόνα 4. ιανυσµατικός ορισµός του µετ/µου Radon Με την εισαγωγή αυτού ων των συµβολισµών, ο ορισµός του µετ/µου Radon απλοποιείται σηµαντικά ως έκφραση στην παρακάτω µορφή: f ( ρξ, ) = f( ρξ+ tξ ) dt (4) 26

27 Όπως φαίνεται από την σχέση (3) τα ξ και ξ f ( ρ, ξ ) και f ( ρ, φ) είναι ισοδύναµες. εξαρτώνται άµεσα από το φ. Συνεπώς οι εκφράσεις Η συνάρτηση της ευθείας µπορεί να γραφτεί σε διανυσµατική µορφή ως: ρ = ξ x = xcosφ + ysinφ Εισάγοντας την συνάρτηση δέλτα του Dirac µπορούµε να απλοποιήσουµε ακόµα περισσότερο την 2 έκφραση του µετ/µου Radon ολοκληρώνοντας σε όλο τον χώρο R την συνάρτηση f και αναθέτοντας στην συνάρτηση δέλτα να «διαλέξει» τα σηµεία που βρίσκονται πάνω στην ευθεία. Θυµίζουµε ότι η συνάρτηση δέλτα δ ( x) έχει τιµή 0 για κάθε x 0 ενώ για x = 0 έχει τιµή τέτοια ώστε, δ ( xdx ) = 1 Όπως φαίνεται από τη παραπάνω σχέση, η έκφραση ρ ξ x είναι 0 για όλα τα x που ανήκουν στην ευθεία L ενώ είναι µη µηδενικά για όλα τα υπόλοιπα σηµεία. Συνεπώς ο µετασχηµατισµός Radon µπορεί να γραφεί: f ( ρξ, ) = f( x) δ( ρ ξ x) dx (5) όπου η ολοκλήρωση γίνεται σε όλο τον χώρο 2 R. Το πλεονέκτηµα αυτής της µορφής είναι ότι γενικεύεται ως είναι και σε µεγαλύτερες διαστάσεις. 3 Πραγµατικά, αν θεωρήσουµε το x να είναι διάνυσµα στον χώρο R, x = ( x, yz, ), dx = dxdydz 3 και αν το διάνυσµα ξ είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα στον R, τότε η έκφραση 5 µας δίνει τον µετασχηµατισµό Radon για τον τρισδιάστατο χώρο µόνο που τώρα η ολοκλήρωση δεν γίνεται πάνω σε ευθεία αλλά σε επίπεδο. n Αντίστοιχα µπορούµε να γενικεύσουµε σε n διαστάσεις όπου το x θα είναι ένα διάνυσµα στον R, x = ( x1, x2,... x n ), το dx = dx1dx2... dx3 ο στοιχειώδης όγκος και το ξ ένα µοναδιαίο διάνυσµα το οποίο ορίζει την κατεύθυνση ενός υπερεπιπέδου σύµφωνα µε την σχέση: ρ = ξ x = ξ1x1 + ξ2x ξnxn Η έκφραση (5) είναι και σ αυτή την περίπτωση ο µετασχηµατισµός Radon της f Παραδείγµατα γραµµικού µετασχηµατισµού 1. Θεωρούµε τη συνάρτηση εξίσωση (5), άµεσα έχουµε: 2 2 x y f( x, y) = e. Θα υπολογίσω τον µετασχηµατισµό Radon. Από την 2 2 (, ) x y f ρξ = e δ( ρ ξx ξy) dxdy 1 2 u ξ1 ξ2 x Θεωρώντας τον γραµµικό µετασχηµατισµό = το διάνυσµα ξ = ( ξ1, ξ2) υ ξ2 ξ1 y παραµένει µοναδιαίο και στον καινούργιο χώρο u-υ. Συνεπώς ο µετασχηµατισµός γίνεται: 27

28 x y δηλαδή R{ e } u f ( ρξ, ) = e δ( ρ u) dυdu = e e dυ= πe = π e ρ υ ρ υ ρ Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός όχι µόνο υπολογίζεται ακριβώς αλλά έχει και πολύ απλή µορφή. Επίσης παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός δεν εξαρτάται από την γωνία φ (διάνυσµα ξ) αλλά µόνο από την απόσταση ρ από το κέντρο των αξόνων. Αυτό είναι απόλυτα αναµενόµενο λόγο της κυκλικής συµµετρίας της συνάρτησης f γύρω από την αρχή των αξόνων. 2. Ανάλογος είναι και ο χειρισµός για την τρισδιάστατη περίπτωση. Τότε ο κατάλληλος µετασχηµατισµός είναι ο εξής: u ξ ξ ξ x υ = ξξ 1 2 / q q ξ2ξ3 / q y w ξ3 / q 0 ξ1/ q z όπου q = ξ + ξ και λόγω του ότι το ξ είναι µοναδιαίο διάνυσµα, είναι Αυτά οδηγούν στο αποτέλεσµα: x y z { } R e = π e ρ ξ = ξ + ξ + ξ = και µε ανάλογους συλλογισµούς στη n-διάστατη περίπτωση είναι: x1 x2... xn { } = ( π ) R e Ιδιότητες του µετασχηµατισµού n 1 2 e ρ Ο γραµµικός µετασχηµατισµός Radon έχει πολλές χρήσιµες ιδιότητες. Τις βασικότερες από αυτές θα αναπτύξουµε παρακάτω. Για πιο προχωρηµένες ιδιότητες µπορεί κανείς να ανατρέξει στην βιβλιογραφία Γραµµικότητα Σύµφωνα µε βασικές ιδιότητες ολοκληρωµάτων έχουµε: ( ) ( ) { } = 1 ( x) + 2 ( x) δ ρ ξ x x = cf( x) δ ( ρ ξ x) dx cg( x) δ ( ρ ξ x) dx cr{ f} cr{ g} R c f c g c f c g d = + = δηλαδή R{ cf cg} cr{ f} cr{ g} Μεγέθυνση + = Αν θεωρήσουµε y = λx έχουµε n dy = λ dx όπου n η διάσταση που µελετάµε. Έχουµε λοιπόν: 28

29 1 1 1 ξ R{ f ( λ x) } = R{ f ( y) } = f ( y) δ ρ ξ y dy = f ρ, n n = λ λ λ λ = f ( y) δ ( λρ ξ y) dy = f 1 ( λρ, ξ n n ) λ λ λ Μετατόπιση Αν θεωρήσουµε την συνάρτηση f ( x ) { } ηλαδή R{ f( x a) } = f( ρ ξ a, ξ). a όπου a ένα τυχαίο διάνυσµα µετατόπισης, R f( x a ) = f( x a ) δ( ρ ξ x ) d x = f( y ) δ( ρ ξ a ξ y ) d y όπου προφανώς y = x a Γενικευµένοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις Με την βοήθεια µετασχηµατισµών δύο διαστάσεων είναι δυνατόν να µετασχηµατίσουµε συναρτήσεις που είναι δύσκολο να υπολογιστούν σε συναρτήσεις που είναι πιο εύκολο να υπολογιστούν π.χ. ελλείψεις σε κύκλους. Αυτό που θέλουµε να υπολογίσουµε είναι ο µετασχηµατισµός { ( )} ένας αντιστρέψιµος πίνακας γραµµικού µετασχηµατισµού. Αν R f y όπου y = Α x όπου A 1 B = A, τότε 1 x = Α y = By και dx = det B dy λόγω του ότι η Jacobian του µετασχηµατισµού είναι το µέτρο της ορίζουσας του B. Συνεπώς έχουµε: { } R f( Ax) = f( Ax) δ( ρ ξ x) dx = det B f( y) δ( ρ ξ By) dy = det B f( y) δ( ρ B T ξ y) dy δηλαδή: Παράδειγµα: R f f ρ ξ T { ( Ax) } = det B (, B ) (6) Έστω ότι έχουµε συνάρτηση f ( xy, ) στο Τότε B = A = I και det λ λ 1 B = = det A. 2 2 R και πίνακα µετασχηµατισµού 1 0 A = λι = λ 0 1. Συνεπώς από την (6) έχουµε: 1 1 R{ f( Ax) } = R{ f( λx) } = f ρ, ξ 2 λ λ ακριβώς όπως περιµέναµε την ιδιότητα Μετασχηµατισµός παραγώγων εδοµένης µίας συνάρτησης f ( x ) αυτό που ζητάµε είναι να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Radon της παραγώγου δούµε ότι: f x. Αν ξαναθυµηθούµε τον ορισµό της παραγώγου, µπορούµε να k 29

30 ( ) ε f x+ f f ( x) ξk = lim x ε 0 ε k ξ όπου x + ( ) σηµαίνει f ( x, x,..., x εξ,..., x ) f ε ξ k 1 2 k k n k ( x) + και ξk είναι ο k-οστός όρος του ξ. Αν πάρουµε τώρα τον µετ/µο Radon της παραπάνω έκφρασης και εφαρµόζοντας την ιδιότητα της µετατόπισης µε a = ( 0,0,..., ε / ξ k,...,0) έχουµε: 30 ( + ) f ( x) ( x) f x ( εξk ) lim R x ε ( εξ) { ( x ( εξk ))} R f ( x) { } f R f + R = = lim ξ k = 0 ε 0 k k ε f ( ρ + ε, ξ) f ( ρ, ξ) f ( ρ, ξ) = ξk lim = ξk ε 0 ε ρ εκµεταλλευόµενοι γραµµικότητα και παραγωγίζοντας προς κάθε όρο έχουµε: n f ( x) f ( ρ, ξ ) R αk = a ξ k = 1 xk ρ Γενικεύοντας µπορούµε να δούµε ότι αν παραγωγίσουµε παραγώγους δευτέρας τάξεως έχουµε: R f ( x) n n 2 2 αkbl = ( a ξ)( b ξ) l= 1 k= 1 xl xk f ( ρ, ξ ) 2 ρ ενώ στη γενική περίπτωση αν έχουµε ένα γραµµικό τελεστή ( x x ) συντελεστές είναι: Για παράδειγµα αν έχουµε έναν τελεστή είναι: R f = n f ρ ρ { L } L ξ1,..., ξ ( ρ, ξ) 3 L = a + b x x x R{ Lf} = aξ + bξξ f ρξ ρ ρ Υπολογισµός παραγώγων µετασχηµατισµού (, ) 3 L,..., 1 n µε σταθερούς, τότε ο µετασχηµατισµός Radon θα Θα υπολογίσουµε τις παραγώγους του µετασχηµατισµού Radon ως προς κάποια από τις µεταβλητές του ξ k. Είναι: f ξ Ισχύει ότι από ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα: k = f ( x) δ ( ρ ξ x) dx. ξ k

31 f δ ρ ξ k δ ρ ξ ξ ρ k ( x) = x ( x) Συνεπώς: f = ( ) δ ( ρ ξ ) ( ) = ξ ρ ξ ρ k { } { k ( )} xk f x x dx R f x R x f x k Περιστροφή Για την µελέτη της περιστροφής εξετάζουµε την δισδιάστατη περίπτωση 6. Για την διευκόλυνσή µας θεωρούµε την συνάρτηση f σε πολικές συντεταγµένες, f( x, y) = f( ρ, φ). Ο µετασχηµατισµός της f περιστραµένης κατά φ 0 έχει ως εξής: π R f r φ φ f ρ θ f r φ φ δ ρ r φ θ r φ θ r dφdr. { (, 0) } = (, ) = (, 0) ( cos cos sin sin ) 0 Θέτοντας την νέα µεταβλητή s = φ φ0, έχουµε: π 0 π 0 (, ) ( cos cos sin sin ) f r φ φ δ ρ r φ θ r φ θ r dφdr = 0 f φ r, s δ ρ r cos θ s φ r dsdr f ρ, θ φ ( 0 ) = ( 0) ( ) ( ) Μετασχηµατισµός συνέλιξης Αν g = R{ g} και h = R{ h}, θεωρούµε την συνάρτηση f της συνέλιξης των g και h : ( ) = = ( ) ( ) f x g h g y h x y dy Θέλουµε να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό Radon της παραπάνω συνέλιξης: f ρξ = R f = R g h = d d g h δ ρ ξ = { x } { } x y ( y) ( x y) ( x) (, ) ( ) dyg( y) dxh( x y) δ ( ρ ξ x) = Θέτοντας z = x y, έχουµε: f d g d h d g h ( ρ, ξ) = y ( y) z ( z) δ ( ρ ξ y ξ z) = y ( y) ( ρ ξ y, ξ) Όµως θέτοντας s Συνεπώς: = ξ y και από τις ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα έχουµε: h dsh s s ( ρ ξ y, ξ) = ( ρ, ξ) δ ( ξ y) 31

32 f ( ρξ, ) = dyg( y) dsh( ρ s, ξ) δ( s ξ y) = dsh( ρ s, ξ) d g( ) δ( s ξ ) = y y y = g s h s ds = g h (, ξ) ( ρ, ξ) ηλαδή R{ g h} = R{ g} R{ h}. Βλέπουµε δηλαδή ότι ο µετ/µος Radon της συνέλιξη δύο συναρτήσεων είναι ίσος µε την συνέλιξη των µετ/ων τους σε αντίθεση µε τον µετ/µο Fourier όπου ο µετ/µος της συνέλιξης είναι ίσος µε το γινόµενο των µετ/ων συναρτήσεων Περιοδικότητα R[ f r, ] = f r, = f r, + 2 k, k I ( φ) ( φ ) ( φ π ) Κυκλικός µετασχηµατισµός Radon. Ο κυκλικός µετασχηµατισµός Radon µπορεί να οριστεί µε δύο διαφορετικούς τρόπους. Ο ένας περιορίζεται στις δύο διαστάσεις ενώ ο άλλος γενικεύεται σε περισσότερες. Ο µετασχηµατισµός Radon έχει πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες που µπορούν να απλοποιήσουν τον υπολογισµό του σε αρκετές περιπτώσεις. Το µεγαλύτερο µέρος των πληροφοριών αυτής της ενότητας έχει ως πηγή την εργασία του επιβλέποντος καθηγητή Θ. Αλεξόπουλου για την επίλυση προβληµάτων φυσικής υψηλών ενεργειών Ορισµός y y' (x 0, y 0 ) R φ ds x' C x Ο ορισµός του µετασχηµατισµού Radon είναι ο εξής: R[ f] f( R, x, y ) f( x, y) ds = = 0 0 C Όπου C ο κύκλος µε κέντρο χ 0, y 0 και ακτίνα R. Από τις γνωστές µας σχέσεις, ο κύκλος µπορεί να εκφραστεί σε παραµετρική µορφή: x = x0 + x' = x0 + Rcosφ, φ [0,2 π ) y = y + y' = y + Rsinφ 0 0 Οπότε ο µετασχηµατισµός γίνεται: 2π 2π (7) R[ f] = f( x + Rcos φ, y + Rsin φ) Rdφ = R f( x + Rcos φ, y + Rsin φ) dφ

33 Η σχέση αυτή µας δίνει µία πολύ ενδιαφέρουσα πληροφορία. Ότι ο µετασχηµατισµός Radon είναι ανάλογος της ακτίνας του κύκλου στον οποίο ολοκληρώνουµε Παραδείγµατα κυκλικού µετασχηµατισµού x y f( x, y) = e R[ f] = f = R e dφ = Re e dφ = x0 y0 R 2π ( x 2 0+ Rcos φ) ( y0+ Rsin φ) x0 y0 R π 2 R( x0 cosφ+ y o sin φ) * π Re I (2 R x + y ) π * pcosx+ qsinx 0 e cos( acos x+ bsin x mx) dx = { } 2 2 m/2 m/2 m/2 { π[( b p) + ( a q) ] } ( A + ib) Im ( C id ) + ( A ib) Im( C + id ) για 2 2 ( b p) + ( a+ q) > 0, m = 0,1, 2,3... όπου A= p q + a b B = 2pq+ 2ab C = p + q a b D = 2( ap+ bq) Σύµφωνα µε τον παραπάνω τύπο θέλουµε να υπολογίσουµε το 2π 0 e 2 cosφ 2 sinφ Rx0 Ry o dφ ηλαδή έχουµε p = 2 Rx0, q = 2 Ry0, a = b = 0, συνεπώς = b + a = 4 R ( x + y ) > ( b p) ( a q) = Επιπλέον είναι: A= p q = (2 R) ( x y ) B = pq = R x0y0 C = p + q = (2 R) ( x + y ) D = 2( ap+ bq) = 0 2π 2Rx0 cosφ 2Ry sin Συνεπώς o φ e dφ = 2πIo ( 2R x0 + y0 ) = 2πIo ( i2r x0 + y0 ) 0 I ( x) = I ( ix) o o, επειδή f( x, y) = e ( x x ) ( y y0) 2 2 ( x x0 ) ( y y0) Re [ ] = R e 2 π 2 ( x0 + Rcosφ x0 ) ( y 0 + Rsinφ y0 ) 2 R 2 0 dφ = 2πRe 33

34 Γενικευµένος κυκλικός µετασχηµατισµός Radon Ορίζουµε τον γενικευµένο κυκλικό µετασχηµατισµό Radon: R[ f] = f = f x R x x dx S ( ) δ ( 0 ) Όπου S το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε η παραπάνω συνάρτηση «επιλέγει» την περιοχή πάνω στην οποία γίνεται η ολοκλήρωση µέσω µίας συνάρτησης δ αντί για τις παραµέτρους της f όπως στον προηγούµενο ορισµό. Έτσι στην 2- διάστατη περίπτωση η ολοκλήρωση γίνεται και πάλι πάνω στον κύκλο x x0 = R ενώ σε τρεις διαστάσεις η ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε σφαίρα ακτίνας R και κέντρου x0. Αντίστοιχα γενικεύεται και σε περισσότερες των τριών διαστάσεων. Αν θεωρήσουµε σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή το x0, τότε µπορούµε να ορίσουµε την απόσταση ω τυχαίου σηµείου x από το κέντρο των νέων αξόνων ω = x x x = x + ω dx = dω. Με αυτό τον τρόπο ο µετασχηµατισµός γίνεται: 0 0 R[ f] = f = f x + ω δ R ω ωdωdφ = f x + Re Rdφ = R f x + Re dφ ( ) ( ) 0 ( 0 ω) ( 0 ω) όπου e ω είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη διεύθυνση του ω όπως φαίνεται στην Εικόνα 5. y x ω e ω x 0 x Εικόνα 5. Ορισµός του διανύσµατος e ω Ας δούµε πως χειριζόµαστε το πρώτο παράδειγµα µε τον νέο ορισµό: 2 2 x y f ( xy, ) e = = e 34 2 x ( x0 + + Rx 0 ω) Re x Reω R 2 e x 2 0 y0 R π 2 R( x0 cosφ y0sin φ) f = R e dφ = R e dφ = e dφ, όπου x 0 = xi 0 + y0 j, e cos i sin ω = φ + φ j. Φτάσαµε δηλαδή στο ίδιο αποτέλεσµα όπως ήταν αναµενόµενο Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Όπως µπορεί κανείς να παρατηρήσει πολλές από τις ιδιότητες του γραµµικού µετ/µου Radon ισχύουν και για τον κυκλικό. Θα δούµε όµως ότι σε αρκετές περιπτώσεις ο τρόπος απόδειξης

35 διαφέρει αρκετά. Ο κυκλικός µετασχηµατισµός έχει µερικές επιπλέον ενδιαφέρουσες ιδιότητες π.χ. περιοδικότητα Γραµµικότητα ( ( ) ( )) δ ( ) RC [ 1f + Cg 2 ] = C1f x + C2g x R x x0 dx S = Cf x R x x dx+ Cg x R x x dx= S ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) S CR[ f] + CRg [ ] 1 2 δηλαδή R[ Cf 1 + Cg 2 ] = CRf 1 [ ] + CRg 2 [ ] Μεγέθυνση Για συντελεστή µεγέθυνσης λ > 0 ο µετασχηµατισµός Radon θα είναι: f R x R f x f x R x x dx. S Θεωρώ λ x = y x = y λ. Τότε έχουµε: dy R f ( λx) = R f ( y) = f ( y) δ ( R y λ x0 ) = λ S 1 dy f ( y) δ ( λr y λx0 ) = f ( y) λ λ λ δ λr y λx S 0 S f λr, λx (, ' 0 ) = ( λ ) = ( λ ) δ ( 0 ) ( 0 ) Παράδειγµα Να υπολογιστεί το σ σ R e 2 2 ( x x0) ( y y0) Από το δεύτερο παράδειγµα ξέρουµε ότι τότε το ζητούµενο γίνεται: 2 2 ( x x0) ( y y0) σ 2σ ( ( x x0) ) ( ( y y0) ) R e R e λ λ = 2 R π 2 2 µε f = 2 Re σ. σ (( )) dy = λ ( x x 0 ) ( y y 0) R R[ e ] = 2π Re. Αν θεωρήσουµε 1 λ =, 2σ το οποίο σύµφωνα µε την τελευταία ιδιότητα είναι ίσο Μετατόπιση R f ( x a) = f ( x a) δ ( R x x0 ) dx. S Αν θεωρήσουµε x a = y x = y+ a dx = dy, τότε έχουµε R f ( x a) = f ( y) δ ( R y ( x0 a) ) dx = f ( R, x0 a ). S Με a' = a έχουµε επίσης R f ( x+ a) = f ( R, x0 + a ). 35

36 έχουµε προφανώς R f ( x x0 ) = f ( R,0) Με a' = x Γενικευµένοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις πίνακας µετασχηµατισµού x Ax. Θεωρούµε ότι R f ( x) = f ( R, x0 ), και θέλουµε να υπολογίσουµε το R f ( Ax) όπου A ένας 1 B A 1 Θεωρούµε Ax = = y x = A y x = By d x = det B d y. R f ( Ax) = f ( y) δ ( R By x0 ) det B dy = S 1 det B f ( y) δ R B y B x 0 dy. S z 2 2. T Θέλουµε να υπολογίσουµε το Bz. Έχουµε ( ) Bz Bz = Bz B Bz z = λ z α β Αν θεωρήσουµε πίνακα της µορφής B = γ δ, τότε είναι: T α γ α β z1 z1 ( B Bz) z = β δ γ δ z 2 z = α + γ z + β + δ z + 2z z αβ γδ = λ z ( ) 1 ( ) 2 1 2( ) αβ 2 α β 2 2 α + γ = β + δ = λ, αβ + γδ = 0 γ =, α + = β + δ. 2 δ δ Συνεπώς 1 R 1 dy R f ( Ax) = det B f ( y) δ ( R λ y B x0 ) dy = det B f ( y) δ y B x0 = λ λ 2 2 R R det B R det A R = f, Ax0 R f ( Ax) = f, Ax0 λ λ λ λ Παράδειγµα A ki k 1 1 = = 0 1. Τότε B = A = I και k Επίσης λ = α + γ = λ =. 2 k k 1 1 det B = = det A. k 1/ k 1/ k περιµέναµε από τη δεύτερη ιδιότητα. Συνεπώς R f ( kix) = R f ( kx) = f ( kr, kx0) R f ( kx) = f ( kr, kx0) Υπολογισµός παραγώγων, ακριβώς όπως 36

37 x = x y = ξ ξ (, ) (, ) f = f ( x) δ ( R x x0 ) dx ξ ξ R f x f R x f x R x x dx.. ( ) = (, 0) = ( ) δ ( 0 ) ( R x x0 ) δ ( R x x0 ) ξ δ R ξ x x δ R ( R x x0 ) = δ ( R x x0 ) 2 1 = ξ x x0 ( x ξ1) + ( y ξ2) 1 = = ξ1 ξ1 2 x ξ1 + y ξ2 x ξ1 δ R x x0 = δ R x x0. ξ x x R ( ) ( ) 2 2 Συνεπώς: ( ) ( ) x ξ 1 ( x ξ )( 1) 1 = x x 0 Έστω x = ( x, x ), x = ( ξ, ξ ) Τότε είναι: f x1 ξ 1 x1 ξ 1 = f ( x) δ ( R x x ) dx = R f ( x) = ξ 0 1 R 2 x x R 0 x x 0 f ( x) f ( x) = R x 1 ξ1 R R x x R 0 x x 0. ξ2 R x x 0 f x2 ξ2 Αντίστοιχα, = R f ( x) 2 k = 1 f a x x ak = R f x ξk R x x 0 Παράγωγος δευτέρας τάξης 0 ( 0 ) ( ) ή ( ) 2 x x f x 0 1 ξ 1 = f ( x) δ 2 ( R x x0 ) dx+ ξ2 ξ1 R x x ξ 2 0 x1 ξ1 + f ( x) δ ( R x x0 ) dx = R x x ξ2 a ( x x0 ) a R f x = R f ( x) x R x x

38 = f x R x x dx+ R x x ( ) ( x )( ) 1 ξ1 x2 ξ2 3 δ ( 0 ) f x R x x dx 2 2 R x x ( ) ( x )( ) 1 ξ1 x2 ξ2 δ ( 0 ) 0 ( ) ( )( ) 2 2 ( ) ( )( ) 2 f x1 1 x2 2 x1 1 x2 2 f R ξ ξ f x R ξ ξ = + f x = ξ2 ξ1 R x x R x x ξ ξ 0 Συνεπώς: ( ) ( )( ) 2 2 ( ) ( )( ) f f x1 1 x2 2 x1 1 x2 2 R ξ ξ f x ξ ξ R = = f x ξ2 ξ1 ξ1 ξ2 R x x R 0 x x0 Παράγωγος δεύτερης τάξεως µέρος 2 ο ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f 1 x1 ξ 1 = f x δ R x x dx+ f x δ ( R x x ) dx+ ξ R 0 R x x0 x x0 2 f x R x x dx 2 2 R x x0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 f x 2 f x1 1 x1 1 R R ξ f x R ξ = f x ξ R R R 1 x x 0 x x 0 x x0 ( ) ( ) 2 x1 ξ1 δ ( 0 ) Περιστροφή Θα εξετάσουµε τον κυκλικό µετασχηµατισµό Radon σε πολικές συντεταγµένες. y x = r cosφ i+ r sinφ j (φ 0, r 0 ) x0 (φ, r) C ( 0 φ0) δ ( 0 ) R[ f ] = f R, r, = f ( x, y) R x x dx, dy x = rcosφ x x = rcosφ i+ rsin φ j, y = rsinφ y = r cosφ x = r sinφ

39 x x = x x + y y = r + r rr φ φ Συνεπώς: ( ) ( ) 2 cos( ) ( ) f Rr,, φ = f ( r, φδ ) R r + r 2rrcos φ φ r drd, φ 2 2 ( ) ( ) 0 0 p Αν τώρα περιστραφεί κατά µία γωνία θ 0, έχουµε φ φ + θ0. Τότε, ( ) 2 2 R f ( x) = R f ( r, φ + θ0) = f ( r, φ + θ0) δ R r + r0 + 2rr0cos( φ φ0) r drdφ θέτω φ + θ0 ω dφ = dω, φ = ω θ0. Τότε, ( ( ) ) 2 2 R f ( x) = f ( r, ω) δ R r + r + 2rr cos ω ( θ + φ ) r drdφ Τελικά: R f r f R r (, θ + φ) = (,, θ + φ ), όπου R f ( r, φ ) = f ( R, r, φ ) Περιοδικότητα R[ f r, ] = f R, r, = f R, r, + 2 k, k I ( φ) ( φ ) ( φ π ) ιατήρηση µάζας ( ) (, 0) 2 ( ) δ ( 0 ) M = f x d x = f R x dr = dr d x f x R x x = R 0 0 ( ) δ ( 0 ) = f x dx dr R x x R R = f x dx = M R ( ) 1.3 Γενίκευση του µετ/µού Radon και µετ/µος Hough Στις προηγούµενες ενότητες µελετήσαµε τον γραµµικό και τον κυκλικό µετασχηµατισµό Radon. Κατά αντίστοιχο τρόπο µπορεί να οριστεί ο ελλειπτικός 9 µετασχηµατισµός Radon, µετασχηµατισµός πάνω σε κωνικές τοµές 2 ή και µετασχηµατισµός µε βάση οποιοδήποτε γεωµετρικό τόπο πάνω στον οποίο ολοκληρώνουµε. Συγκεκριµένα µία γενική µορφή του m f x µε x R, µπορεί να οριστεί ως 2 : µετασχηµατισµού Radon µία πραγµατικής συνάρτησης ( ) R f = f u c = f x I x u c dx ( ) { } (, ) ( ) δ (, ) n όπου u R, c Rκαι I ( xu, ) πραγµατική συνεχής συνάρτηση. Προφανώς οι ιδιότητες σε κάθε εκδοχή του µετασχηµατισµού είναι δυνατόν να έχουν πάρα πολύ µεγάλες διαφορές και θα πρέπει να εξετάζονται από την αρχή. 2 The general quadratic Radon transform, Koen Denecker, Jeroen Van Overloop and Frank Sommen,

Μαθαίνοντας το hardware του αναπτυξιακού

Μαθαίνοντας το hardware του αναπτυξιακού 1. ΑΣΚΗΣΗ 1 Μαθαίνοντας το hardware του αναπτυξιακού Προϋποθέσεις Το εργαστήριο αυτό προϋποθέτει το διάβασμα και χρήση των εξής: Αρχείο mcbstr9.chm HTML, που δίδεται με τα υπόλοιπα αρχεία του εργαστηρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία αρχιτεκτονικής μικροεπεξεργαστή

Στοιχεία αρχιτεκτονικής μικροεπεξεργαστή Στοιχεία αρχιτεκτονικής μικροεπεξεργαστή Αριθμός bit δίαυλου δεδομένων (Data Bus) Αριθμός bit δίαυλου διευθύνσεων (Address Bus) Μέγιστη συχνότητα λειτουργίας (Clock Frequency) Τύποι εντολών Αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ» 2000-2006 ΑΞΟΝΑΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ: 1 - ΠΑΙ ΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟ: 1.3 ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ, ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑ ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2 Ψηφιακά Φίλτρα Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα Στην επεξεργασία σήματος, η λειτουργία ενός φίλτρου είναι να απομακρύνει τα ανεπιθύμητα μέρη ενός σήματος, όπως ένα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Εξάμηνο σπουδών: Τεχνολογία Συστημάτων Ήχου, Εικόνας και Εκπομπής

Εξάμηνο σπουδών: Τεχνολογία Συστημάτων Ήχου, Εικόνας και Εκπομπής Εξάμηνο σπουδών: Τίτλος Μαθήματος: Αγγλικός Τίτλος: Μορφή Μαθήματος: Β Τεχνολογία Συστημάτων Ήχου, Εικόνας και Εκπομπής Audio, Video and Broadcasting Technology Θεωρία με τεσσάρων (4) ωρών / εβδομάδα Εργαστηριακές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα

Πληροφοριακά Συστήµατα Nell Dale John Lewis Chapter 12 Πληροφοριακά Συστήµατα Στόχοι Ενότητας Η κατανόηση της έννοιας «Πληροφοριακό Σύστηµα» Επεξήγηση της οργάνωσης λογιστικών φύλλων (spreadsheets) Επεξήγηση της ανάλυσης δεδοµένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΤΙΡΙΩΝ Εβελίνα Θεμιστοκλέους

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ενότητα 13: (Μέρος Α ) Ενσωματωμένα Συστήματα Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ. Τίτλος Μαθήματος. Διαλέξεις - Θεωρητική Διδασκαλία, Εποπτευόμενο Εργαστήριο Επίδειξη, Μελέτες (Projects)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ. Τίτλος Μαθήματος. Διαλέξεις - Θεωρητική Διδασκαλία, Εποπτευόμενο Εργαστήριο Επίδειξη, Μελέτες (Projects) ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Τίτλος Μαθήματος Μικροελεγκτές και Ενσωματωμένα συστήματα Ανάπτυξη και Εφαρμογές Κωδικός Μαθήματος Μ2 Θεωρία / Εργαστήριο Θεωρία + Εργαστήριο Πιστωτικές μονάδες 4 Ώρες Διδασκαλίας 2Θ+1Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑΜΑΝΤΙΑ Κ. ΣΠΑΝΑΚΑ Σύντομες Προδιαγραφές Συγγραφής Εκπαιδευτικού Υλικού εξ αποστάσεως εκπαίδευσης: Σημεία Προσοχής ΠΛΣ

ΑΔΑΜΑΝΤΙΑ Κ. ΣΠΑΝΑΚΑ Σύντομες Προδιαγραφές Συγγραφής Εκπαιδευτικού Υλικού εξ αποστάσεως εκπαίδευσης: Σημεία Προσοχής ΠΛΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΑ Κ. ΣΠΑΝΑΚΑ Σύντομες Προδιαγραφές Συγγραφής Εκπαιδευτικού Υλικού εξ αποστάσεως εκπαίδευσης: Σημεία Προσοχής ΠΛΣ Πρόκληση ο σχεδιασμός κι η ανάπτυξη εξ αποστάσεως εκπαιδευτικού υλικού. Ζητούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής, ρομπότ είναι ένας αναπρογραμματιζόμενος και πολυλειτουργικός χωρικός μηχανισμός σχεδιασμένος να μετακινεί υλικά, αντικείμενα, εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Εισαγωγή στη Ενοποιηµένη Προσέγγιση Unified Process (UP) ρ. Πάνος Φιτσιλής

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Εισαγωγή στη Ενοποιηµένη Προσέγγιση Unified Process (UP) ρ. Πάνος Φιτσιλής 1 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Εισαγωγή στη Ενοποιηµένη Προσέγγιση Unified Process (UP) ρ. Πάνος Φιτσιλής 2 Περιεχόµενα Τι είναι η UP Βασικές αρχές µηχανικής λογισµικού Οι βασικές έννοιες της UP Οι τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η Ανάλυση και ο Σχεδιασµός στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η Ανάλυση και ο Σχεδιασµός στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής 1 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Η και ο στην Ενοποιηµένη ιαδικασία ρ. Πάνος Φιτσιλής Περιεχόµενα Γενικές αρχές ανάλυσης και σχεδιασµού Τα βήµατα της ανάλυσης και του σχεδιασµού Συµπεράσµατα 2 3 Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Θεωρητική εισαγωγή

8.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 8 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΝΗΜΗΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ Σκοπός: Η µελέτη της λειτουργίας των καταχωρητών. Θα υλοποιηθεί ένας απλός στατικός καταχωρητής 4-bit µε Flip-Flop τύπου D και θα µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ακαδημαϊκό Έτος 2014-2015 Περίοδος Φεβρουαρίου 2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ 1ο-2ο ΕΞΑΜΗΝΟ 3ο-4ο ΕΞΑΜΗΝΟ 5ο-6ο

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Σύστημα μετάδοσης με οπτικές ίνες Tο οπτικό φέρον κύμα μπορεί να διαμορφωθεί είτε από αναλογικό

Διαβάστε περισσότερα

Μικροεπεξεργαστές - Μικροελεγκτές Ψηφιακά Συστήματα

Μικροεπεξεργαστές - Μικροελεγκτές Ψηφιακά Συστήματα Μικροεπεξεργαστές - Μικροελεγκτές Ψηφιακά Συστήματα 1. Ποια είναι η σχέση της έννοιας του μικροεπεξεργαστή με αυτή του μικροελεγκτή; Α. Ο μικροεπεξεργαστής εμπεριέχει τουλάχιστο έναν μικροελεγκτή. Β. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η ιαχείριση Απαιτήσεων στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η ιαχείριση Απαιτήσεων στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής 1 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Η ιαχείριση Απαιτήσεων στην Ενοποιηµένη ιαδικασία ρ. Πάνος Φιτσιλής Περιεχόµενα Τι είναι διαχείριση απαιτήσεων Ποια είναι η ροή των εργασιών στη φάση της καταγραφής των

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...17 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...19 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ 1.1 Μεθοδολογία σχεδίασης...25 1.2 Η διαδικασία της σχεδίασης...26 1.3 ηµιουργικότητα στη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 1 ο Εξάμηνο Σπουδών Χειμερινό Εξάμηνο 2012/13 Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Διδάσκων: Χαρμανδάρης Ευάγγελος, email: vagelis@tem.uoc.gr, Ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογές πλοήγησης για φορητές συσκευές µε τη χρήση Web Services

Εφαρµογές πλοήγησης για φορητές συσκευές µε τη χρήση Web Services Εφαρµογές πλοήγησης για φορητές συσκευές µε τη χρήση Web Services Γεώργιος Σταυρουλάκης gstavr@dblab.ece.ntua.gr ιπλωµατική εργασία στο Εργαστήριο Συστηµάτων Βάσεων Γνώσεων και εδοµένων Επιβλέπων: Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΑΡΑΙΕΣ ΜΗΤΡΕΣ 290 7.5.1 Κατασκευή αραιών µητρών... 290 7.5.2 Πράξεις και συναρτήσεις αραιών µητρών... 294 7.5.3 Συναρτήσεις για γραφήµατα...

7.5 ΑΡΑΙΕΣ ΜΗΤΡΕΣ 290 7.5.1 Κατασκευή αραιών µητρών... 290 7.5.2 Πράξεις και συναρτήσεις αραιών µητρών... 294 7.5.3 Συναρτήσεις για γραφήµατα... Κ. Π Α Π Α Ρ Ρ Ι Ζ Ο Σ M A T L A B 6. 5 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ............. v Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Ε Σ Τ Ο Υ M A T L A B 1 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. I Βασικές Γνώσεις 1

Περιεχόµενα. I Βασικές Γνώσεις 1 Περιεχόµενα I Βασικές Γνώσεις 1 1 Μοντελοποίηση Προγραµµάτων 3 1.1 Ψευδογλώσσα....................... 6 1.2 Διαγράµµατα Ροής..................... 6 1.3 Παραδείγµατα σε Ψευδογλώσσα και Διαγράµµατα Ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 2 : Βελτιστοποίηση εικόνας (Image enhancement) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 24 25 Ηµεροµηνία Εξέτασης 29.6.25 Χρόνος Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB )

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια πρώτη ιδέα για το μάθημα χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Περίγραμμα του μαθήματος χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Παραδείγματα από πραγματικές εφαρμογές ==

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος.

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος. 1. Δώστε τον ορισμό του προβλήματος. 2. Σι εννοούμε με τον όρο επίλυση ενός προβλήματος; 3. Σο πρόβλημα του 2000. 4. Σι εννοούμε με τον όρο κατανόηση προβλήματος; 5. Σι ονομάζουμε χώρο προβλήματος; 6.

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Α.Τ.Ε.Ι. Ηρακλείου ιδάσκων: Βασίλειος Γαργανουράκης 1 Περιγραφή Μαθήµατος ΘΕΩΡΙΑ Fast Fourier Transform Συνελίξεις Μη Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΜΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3α. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ «ΠΑΡΑ ΟΞΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγµα: Το τρένο του Άινστάιν Ένα τρένο κινείται ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή Ο µε σταθερή ταχύτητα V. Στο µέσο ακριβώς του τρένου

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Α. ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα