Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon στην αναγνώριση εικόνας και υλοποίηση σε ψηφιακό επεξεργαστή σήµατος (DSP) ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon στην αναγνώριση εικόνας και υλοποίηση σε ψηφιακό επεξεργαστή σήµατος (DSP) ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon στην αναγνώριση εικόνας και υλοποίηση σε ψηφιακό επεξεργαστή σήµατος (DSP) ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ηµήτρης Κουζής Λουκάς Επιβλέπων: Θεόδωρος Αλεξόπουλος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα Οκτώβριος 2004

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon στην αναγνώριση εικόνας και υλοποίηση σε ψηφιακό επεξεργαστή σήµατος (DSP) ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ηµήτρης Κουζής Λουκάς Επιβλέπων: Θεόδωρος Αλεξόπουλος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή την 29η Οκτωβρίου Θ. Αλεξόπουλος Στ. Μαλτέζος Γ. Τσιπολίτης Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα Οκτώβριος

4

5 ... ηµήτρης Κουζής Λουκάς ιπλωµατούχος της σχολής Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π. Copyright ηµήτρης Κουζής Λουκάς, 2004 Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για εµπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. Ερωτήµατα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συµπεράσµατα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερµηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσηµες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. επικοινωνίας: web page: 5

6

7 Περίληψη Ο σκοπός της διπλωµατικής εργασίας είναι η υλοποίηση µίας αυτόνοµης ολοκληρωµένης διάταξης αναγνώρισης εικόνας, βασισµένης σε ένα σύγχρονο πυρήνα (επεξεργαστή) ψηφιακής επεξεργασίας σήµατος (DSP). Αυτό που ζητάµε να ανιχνεύσουµε είναι η θέση και η γωνία των οπών στήριξης ειδικών κυλινδρικών ανιχνευτών µιονίων που θα χρησιµοποιηθούν στον ανιχνευτή ATLAS του πειράµατος LHC στο CERN. Για την λύση αυτού του προβλήµατος αναγνώρισης εικόνας χρησιµοποιήθηκε ο κυκλικός µετασχηµατισµός Radon λόγω της υψηλής απόρριψης θορύβου. Για την υποστήριξη του συστήµατος χρησιµοποιήθηκαν τεχνικές υπολογιστικής γραφικής (αλγόριθµος του Bresenham), κωδικοποίητες και αποκωδικοποίητες video βασισµένοι στο πρωτόκολλο ψηφιακού video ITU 656, γενικές τεχνικές επεξεργασίας σήµατος και εικόνας (σχεδιασµός φίλτρων, cross correlation, ανίχνευση αιχµών) και στατιστικής αναγνώρισης προτύπων (κατηγοριοποιητές Bayes). Το σύστηµα αυτό αποτελείται από κάµερα, την αναπτυξιακή πλακέτα EZ-KIT Lite για τον επεξεργαστή σήµατος ADSP BF533 της Analog Devices και µία οθόνη τηλεόρασης στην οποία παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα. Η αναλυτική παρουσίαση της µεθοδολογίας που ακολουθήθηκε και άλλων στοιχείων, µπορούν να δώσουν στον αναγνώστη ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα των βηµάτων της διαδικασίας ανάπτυξης συστηµάτων αναγνώρισης εικόνας. Λέξεις Κλειδιά: Μετασχηµατισµός Radon και Hough, BF533, αναγνώριση εικόνας, πείραµα ATLAS, ITU 656 7

8

9 Abstract The purpose of this thesis is to implement a complete standalone image recognition system based on a state of the art DSP core. We want to measure the position and the angle of mounting points of some special cylindrical Meuon detectors that are being used in high energy physics experiments and more specifically in the ATLAS detector of LHC experiment at CERN. In order to accomplish this complex image recognition task we use the circular version of Radon transform because of its robustness against noise. In order to complete the system we use techniques from several areas like computer graphics (Bresenham algorithm), video encoders/decoders using the ITU 656 modern digital video protocol, general signal and image processing techniques (filter design, cross correlation, edge detection) and statistical pattern recognition (Bayesian classifiers). The setup includes a video camera with standard video out, EZ-KIT Lite development board for Analog Devices ADSP BF533 digital signal processor and a video monitor where the results are being presented. The in depth analysis and presentation of the methodology we used while developing this application and complete theory coverage can advance the reader with a complete overview of the steps that are required for developing an embedded image recognition system. Keywords: Radon and Hough transform, BF 533, image recognition, ATLAS experiment, ITU 656 9

10

11 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους µε βοήθησαν στην εκπόνηση αυτής της διπλωµατικής εργασίας και όσους µου συµπαραστάθηκαν κατά τη διάρκεια των σπουδών µου στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ειδικότερα, ευχαριστώ τα µέλη της τριµελούς επιτροπής Μαλτέζο Σταύρο και Τσιπολίτη Γιώργο για την ουσιαστική εποικοδοµητική κριτική. Ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα, Αλεξόπουλο Θεόδωρο. Η υποστήριξη και η εµπιστοσύνη του συνέβαλλαν ανεκτίµητα στην ολοκλήρωση αυτής της διπλωµατικής εργασίας. Τέλος θα ήθελα να αφιερώσω αυτή την εργασία σε όλους όσους στήριξαν µε την αγάπη τους την προσπάθειά µου για το καλύτερο. 11

12

13 Πίνακας περιεχοµένων Περίληψη... 7 Abstract... 9 Ευχαριστίες Πίνακας περιεχοµένων Πίνακας εικόνων και σχηµάτων Εισαγωγή Α. Το πρόβληµα και η τεχνικές που χρησιµοποιούνται Β. Οργάνωση και δοµή του συγγράµµατος Μέρος Α. Θεωρία Κεφάλαιο 1. Θεωρία και εφαρµογές µετασχηµατισµού Radon Κλασικός µετασχηµατισµός Radon Ορισµός Παραδείγµατα γραµµικού µετασχηµατισµού Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Γραµµικότητα Μεγέθυνση Μετατόπιση Γενικευµένοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις Μετασχηµατισµός παραγώγων Υπολογισµός παραγώγων µετασχηµατισµού Περιστροφή Μετασχηµατισµός συνέλιξης Περιοδικότητα Κυκλικός µετασχηµατισµός Radon Ορισµός Παραδείγµατα κυκλικού µετασχηµατισµού Γενικευµένος κυκλικός µετασχηµατισµός Radon Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Γραµµικότητα Μεγέθυνση Μετατόπιση Γενικευµένοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις Υπολογισµός παραγώγων Περιστροφή Περιοδικότητα ιατήρηση µάζας Γενίκευση του µετ/µού Radon και µετ/µος Hough Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Radon Τοµογραφία Εφαρµογές επεξεργασίας εικόνας Κεφάλαιο 2. Επεξεργασία και αναγνώριση εικόνας Συστήµατα επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας Σύλληψη εικόνας Η αντίληψη µίας εικόνας Ευαισθησία ως προς την φωτεινότητα Ευαισθησία ως προς την χωρική συχνότητα Χρωµατική ευαισθησία Χρωµατικοί χώροι (Color spaces) Η κάµερα Θόρυβος Προδιαγραφές Τοποθέτηση Πρότυπα αναλογικού και ψηφιακού Video Αναλογικό video, PAL, NTSC Ψηφιακό video, BT Ψηφιακή επεξεργασία εικόνας Τεχνικές ιστογράµµατος Τεχνικές βασισµένες στη συχνότητα

14 Φίλτρα Αναγνώριση ακµών Εξαγωγή χαρακτηριστικών Κατηγοριοποίηση Α αρχιτεκτονική του νευρώνα Η αναγνώριση του προτύπου της εφαρµογής µας Υπολογιστική γραφική Σχεδιασµός ευθειών Σχεδιασµός κύκλων Εφαρµογές της αναγνώρισης εικόνας Κεφάλαιο 3. οµή και λειτουργία των DSPs Γενικά χαρακτηριστικά των DSPs και εφαρµογές Τι είναι τα DSPs; Χαρακτηριστικά αρχιτεκτονικής υψηλής ταχύτητας Εκτέλεση πολλαπλασιασµού και πρόσθεσης σε έναν κύκλο Αυτόµατη τροποποίηση δεικτών στην µνήµη Ειδικοί τρόποι προσπέλασης της µνήµης Αποδοτικοί επαναληπτικοί βρόχοι υλοποιηµένοι στο hardware Αποδοτική κωδικοποίηση εντολών Λειτουργία pipelining Ειδικές συναρτήσεις υλοποιηµένες στο hardware Κανάλια DMA Πολλαπλασιασµός ταχύτητας πυρήνα µε PLL Κατηγορίες DSPs Εναλλακτικές τεχνολογίες FPGAs ASICs GPPs Η εφαρµογές των DSPs στην σύγχρονη αγορά Το ADSP-BF533 της Analog Devices ΤΜ Ο πυρήνας του επεξεργαστή Γενικά χαρακτηριστικά Βαθµίδα αριθµητικής Βαθµίδα ελέγχου ροής Βαθµίδα δηµιουργίας διευθύνσεων Αρχιτεκτονική και διαχείριση µνήµης ιαχείριση συµβάντων Καταστάσεις λειτουργίας Λειτουργίες εξοικονόµησης ενέργειας Τα περιφερειακά του επεξεργαστή Ο ελεγκτής DMA Parallel Peripheral Interface Σειριακές θύρες Θύρα SPI UART GPIO Χρονιστές γενικής χρήσης Χρονιστής επιτήρησης Χρονιστής πυρήνα Ρολόι πραγµατικού χρόνου EBIU ιεπαφή JTAG Σταθεροποιητής τάσης Boot rom Το αναπτυξιακό BF533 EZKIT LITE PSD4256G6V SDRAM Συνολικά η µνήµη Video Encoder/Decoder Audio Codec Leds και πλήκτρα Λογισµικό και τεκµηρίωση VisualDSP uclinux Βιβλία που συνοδεύουν το λογισµικό Getting Started Guide for 16-Bit Processors C/C++ Compiler and Library Manual for Blackfin Processors User s Guide for 16-Bit Processors Assembler and Preprocessor Manual for Blackfin Processors

15 Loader Manual for 16-Bit Processors Product Release Bulletin for 16-Bit Processors Ηλεκτρονικά βιβλία ADSP-BF533 Blackfin Processor Hardware Reference Blackfin Embedded Processor, ADSP-BF531/ADSP-BF532/ADSP-BF Blackfin DSP Instruction Set Reference ADSP-BF533 EZ-KIT Lite TM Evaluation System Manual Manuals των video encoder, decoder και audio codec Internet Μέρος Β. Υλοποίηση Κεφάλαιο 4. Περιγραφή του προβλήµατος Περιγραφή προβλήµατος Παλαιότερες λύσεις Προδιαγραφές συστήµατος αναγνώρισης εικόνας Κεφάλαιο 5. Προτυποποίηση σε Matlab ΤΜ Προτυποποίηση αλγορίθµου του Bresenham Προτυποποίηση του µετασχηµατισµού Hough Υπολογισµός γωνίας οπών στήριξης του tube Εργασία σε χώρο γωνιών Πρώτη προσέγγιση, φίλτρο φωτεινότητας εύτερη προσέγγιση, γωνιακό edge detection Κεφάλαιο 6. Ανάπτυξη στο DSP Παράδειγµα δηµιουργίας πλαισίου Video Μέτρηση χρόνου και συµπεράσµατα Τροποποίηση προγράµµατος για αλληλεπίδραση µε χρήστη Μετάφραση σε C και βασικές λειτουργίες γραφικών Παράδειγµα λήψης σήµατος video Τροποποίηση του παραδείγµατος λήψης video Συγχώνευση λειτουργιών λήψης και εκποµπής video Λειτουργίες ανόρθωσης αναλογιών και ανίχνευσης ακµών Ανόρθωση αναλογιών Ανίχνευση ακµών Υλοποίηση αναγνώρισης κύκλων Μετασχηµατισµός Hough Μετασχηµατισµός Hough Υλοποίηση αναγνώρισης οπών Ολοκλήρωση συστήµατος Προγραµµατισµός της Flash Κεφάλαιο 7. Αξιολόγηση εργασίας και µελλοντικές επεκτάσεις Αξιολόγηση εργασίας Βελτιώσεις και µελλοντικές επεκτάσεις Καλύτερη ανίχνευση ακµών (edge detection) Αυτόµατη ανίχνευση κατωφλιού Αύξηση ακρίβειας Σύνθετη αναγνώριση προτύπου Συνεχής ροή video Βελτίωση ταχύτητας επεξεργασίας Χρήση του optimizer Μετατροπή ρουτινών που εκτελούνται συχνά σε assembly Χρήση λιγότερων DMA µεταφορών και µείωση µνήµης Χρήση της Cache Αξιολόγηση τεχνολογιών Μετασχηµατισµός Radon (Hough) Η επεξεργασία εικόνας για µετρήσεις Υλοποίηση σε DSP Βιβλιογραφία αναφορές

16

17 Πίνακας εικόνων και σχηµάτων Εικόνα 1. Το πρότυπο το οποίο θέλουµε να αναγνωρίσουµε Εικόνα 2. Κυκλικός µετασχηµατισµός Radon ενός κύκλου Εικόνα 3. Ορισµός του µετασχηµατισµού Radon Εικόνα 4. ιανυσµατικός ορισµός του µετ/µου Radon Εικόνα 5. Ορισµός του διανύσµατος e ω Εικόνα 6. Ανίχνευση γραµµών µε τον µετασχηµατισµό Radon (Hough) Εικόνα 7. Κυκλικός µετασχηµατισµός σηµείου Εικόνα 8. Αρχή λειτουργίας αναγνώρισης κύκλων Εικόνα 9. Ανθεκτικότητα µετ/µου Radon απέναντι στον θόρυβο Εικόνα 10. Αρχή εφαρµογών µετ/µου Radon Εικόνα 11. ιάταξη CT scanner Εικόνα 12. Ορισµός συστήµατος συντεταγµένων σε τοµογράφο Εικόνα 13. Κάθε δέσµη συναντά διαφορετικά "εµπόδια" Εικόνα 14. Ο µετασχηµατισµός Radon στην µέτρηση της ταχύτητας κυµάτων Εικόνα 15. Τρισδιάστατη έκδοση µέτρησης της ταχύτητας Εικόνα 16. Ανίχνευση ενός CD-ROM κάτω από µία εφηµερίδα µε υβριδική τεχνική Εικόνα 17. Ο Χάρτης της επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας Εικόνα 18. Η ευαισθησία της ανθρώπινης αντίληψης ως προς το µήκος κύµατος Εικόνα 19. Πάνω δi = k, κάτω δi = k x I Εικόνα 20. Απόκριση χωρικής συχνότητας Εικόνα 21. Χρωµατική απόκριση για τα τρία είδη κυττάρων Εικόνα 22. Χρωµατικό διάγραµµα µε το CIE τρίγωνο και το τρίγωνο του φωσφόρου Εικόνα 23. Χρωµατικά τρίγωνα για διάφορους τύπους κωδικοποίησης Εικόνα 24. Τοποθέτηση κάµερας: Η εικόνα στην οθόνη αριστερά συµπληρώνει το τοπίο Εικόνα 25. (a) Μη πεπλεγµένο video (b) πεπλεγµένο video Εικόνα 26. Ακολουθία EAV/SAV Εικόνα 27. Πληροφορία για µία γραµµή κατά BT Εικόνα 28. Ενεργό σήµα και σήµατα συγχρονισµού για video 525 και 625 γραµµών Εικόνα 29. Ιστόγραµµα εικόνας Εικόνα 30. Μετασχηµατισµός Fourier ενός τετραγώνου Εικόνα 31. Ψηφιακά φίλτρα σε πρότυπο µε διάφορες οπτικές συχνότητες Εικόνα 32. Μία ακµή, η πρώτη και η δεύτερη παράγωγός του Εικόνα 33. Γραµµικά διαχωρίσιµες κλάσεις Εικόνα 34. Η αρχιτεκτονική του νεύρωνα Εικόνα 35. Οι τρεις κύκλοι του προτύπου που θέλουµε να αναγνωρίσουµε Εικόνα 36. Το πρότυπο στον χώρο Radon Εικόνα 37. Χωρικά φίλτρα στον τρισδιάστατο χώρο Radon Εικόνα 38. Επιφάνεια απόφασης στον χώρο των χαρακτηριστικών (feature space) Εικόνα 39. Σχεδίαση γραµµών µε τον αλγόριθµο του Bresenham Εικόνα 40. Όλες οι περιπτώσεις που πρέπει να καλυφθούν Εικόνα 41. Ολοκληρωµένο κύκλωµα Εικόνα 42. Μονάδα MAC Εικόνα 43. ιευθυνσιοδότηση ανάστροφου bit Εικόνα 44. Η λειτουργία pipelining Εικόνα 45. Block διάγραµµα PLL Εικόνα 46. Συγκριτικός χάρτης τεχνολογιών ASICs και FPGA Εικόνα 47. Οι πωλήσεις των DSPs αναµένεται αυξάνονται συνεχώς τα επόµενα χρόνια Εικόνα 48. Μορφή κλασµατικών αριθµών Εικόνα 49. ιάγραµµα αρχιτεκτονικής πυρήνα Εικόνα 50. Οι µνήµη του Blackfin και οι δίαυλοι ροής δεδοµένων Εικόνα 51. Χάρτης µνήµης BF Εικόνα 52. Ελεγκτές διαχείρισης συµβάντων Εικόνα 53. Οι καταστάσεις λειτουργίας του επεξεργαστή και οι µεταβάσεις µεταξύ τους

18 Εικόνα 54. Ο επεξεργαστής και τα περιφερειακά του Εικόνα 55. Αποστολή και λήψη video µε τη βοήθεια του PPI Εικόνα 56. Επιλεκτική λειτουργία λήψης video Εικόνα 57. Το αναπτυξιακό Εικόνα 58. Block διάγραµµα του αναπτυξιακού Εικόνα 59. Το διάγραµµα βαθµίδων των PSD4256G6V Εικόνα 60. ιαδικασίες εγγραφής και ανάγνωσης µε I 2 C Εικόνα 61. Το περιβάλλον ανάπτυξης VisualDSP Εικόνα 62. Ο Expert Linker Εικόνα 63. Η γεωµετρία του ανιχνευτή Εικόνα 64. ιάταξη ανίχνευσης θέσης οπών στήριξης Εικόνα 65. Φωτογραφία της διάταξης Εικόνα 66. Το πρόγραµµα στην γραφική γλώσσα του LabView TM Εικόνα 67. Σήµατα των δύο καναλιών για διαφορετικές θέσεις του αισθητήρα Εικόνα 68. Προδιαγραφές µίας συσκευής αναγνώρισης για το πρόβληµα αυτό Εικόνα 69. Κλασική υλοποίηση Bresenham Εικόνα 70. Κύκλοι από την κλασική υλοποίηση Hough µε ακτίνα 1 έως Εικόνα 71. Κύκλοι από τη τροποποιηµένη υλοποίηση Hough µε ακτίνα 1 έως Εικόνα 72. Εικόνα, ανίχνευση ακµών και µετασχηµατισµός Hough Εικόνα 73. Ο µετασχηµατισµός Hough σύνθετης εικόνας Εικόνα 74. Βέλτιστοι κύκλοι όπως προκύπτουν από τον µετασχηµατισµό Εικόνα 75. Το block διάγραµµα του υπολογιστή γωνιών Εικόνα 76. Ορισµός συντεταγµένων Εικόνα 77. Χαµηλοπερατό φίλτρο και η απόκριση συχνότητάς του Εικόνα 78. Παράµετροι σχεδίασης του υψιπερατού φίλτρου Εικόνα 79. Αποτελέσµατα εφαρµογής µεθόδου σε δοκιµαστικές εικόνες Εικόνα 80. Υψιπερατό φίλτρο (τελεστής edge detection) και η απόκριση συχνότητάς του Εικόνα 81. Ιδανικά µοντέλα οπών Εικόνα 82. Τα µοντέλα µετά την εφαρµογή του τελεστή Εικόνα 83. Κυµάτισµα στο µοντέλο Εικόνα 84. Η τελική µορφή του προτύπου Εικόνα 85. Ακριβής τρόπος µέτρησης κύκλων Εικόνα 86. Αρχικοποίηση Timer0 και µέτρηση χρόνου (κύκλων SCLK) Εικόνα 87. Ακύρωση της λειτουργίας αρχικοποίησης της SDRAM Εικόνα 88. Ανάθεση input σε output sections µε τον expert linker σε visual και tree view Εικόνα 89. Απενεργοποίηση αρχικοποίησης µνήµης Εικόνα 90. Γραφικά στην οθόνη τηλεόρασης από τον BlackFin TM Εικόνα 91. Εφαρµογή του τελεστή Laplace σε σµίκρυνση της εικόνας εξόδου Εικόνα 92. Πλαίσιο video όπως λαµβάνεται από την κάµερα Εικόνα 93. Ρυθµίσεις για την εµφάνιση της παραπάνω εικόνας Εικόνα 94. Παραµόρφωση κυκλικού προτύπου Εικόνα 95. Η δοκιµαστική εικόνα πριν και µετά την ανόρθωση αναλογιών Εικόνα 96. Λειτουργία ανόρθωσης αναλογιών (scaling) Εικόνα 97. Ανίχνευση ακµών µε τη βοήθεια του τελεστή Laplace Εικόνα 98. Μετασχηµατισµός Hough από το DSP και τα ίχνη του προτύπου Εικόνα 99. Γωνιακό προφίλ φωτεινότητας Εικόνα 100. Πρότυπο οπών κατασκευασµένο από το Matlab Εικόνα 101. Συσχέτιση σήµατος µε το πρότυπο Εικόνα 102. Οι «σκέψεις» του DSP πριν την απόφαση Εικόνα 103. Το σύστηµα σε λειτουργία Εικόνα 104. Τα DSPs λύνουν πραγµατικά προβλήµατα αναγνώρισης εικόνας

19 Εισαγωγή Α. Το πρόβληµα και η τεχνικές που χρησιµοποιούνται Όπως φαίνεται και από τον τίτλο αυτής της εργασίας, πραγµατεύεται τα ακόλουθα τρία αντικείµενα: 1. Τη θεωρία του µετασχηµατισµού Radon 2. Τη θεωρία επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας 3. Την υλοποίηση συστηµάτων βασισµένα σε ψηφιακούς επεξεργαστές σήµατος (DSPs) Η θεωρία για τα τρία αυτά αντικείµενα παρουσιάζεται ξεχωριστά και εφαρµόζεται στην πράξη για την αντιµετώπιση ενός σύνθετου προβλήµατος αναγνώρισης εικόνας. Το πρόβληµά προς επίλυση είναι η αναγνώριση ενός συγκεκριµένου προτύπου στην εικόνα κυλινδρικού σωλήνα ολίσθησης για ανίχνευση µιονίων (Monitored Drift Tube - MDT). Πάνω από τέτοιοι αισθητήρες θα χρησιµοποιηθούν στον ανιχνευτή ATLAS για µετρήσεις γεγονότων µε µιόνια κατά την διεξαγωγή του πειράµατος υψηλών ενεργειών µε τον επιταχυντή LHC στο CERN το οποίο αναµένεται να αρχίσει το Εικόνα 1. Το πρότυπο το οποίο θέλουµε να αναγνωρίσουµε ύο στοιχεία πρέπει να αναγνωρίσουµε σε εικόνες των MDTs όπως φαίνεται στην Εικόνα 1. Το πρώτο είναι η θέση (κέντρο) του κυκλικού δίσκου της επιφάνειας του MDT και το δεύτερο είναι η γωνιακή θέση των δύο µικρών οπών στήριξης που βρίσκονται στην περιφέρεια του. εν γίνεται καµία υπόθεση για το περιεχόµενο της λαµβανόµενης εικόνας εκτός από ότι η γωνία παρατήρησης θεωρείται αξονική, ώστε το περίγραµµά του να προσεγγιστεί αρκετά καλά ως κυκλικό και όχι ελλειπτικό. Οι πληροφορίες αυτές είναι πάρα πολύ χρήσιµες στην αυτοµατοποίηση διαδικασιών κατασκευής και ελέγχου τους π.χ. µε τη βοήθεια κάποιου ροµποτικού βραχίονα. Η διάταξη που χρησιµοποιούµε για την υλοποίηση του παραπάνω συστήµατος αποτελείται από µία κάµερα η οποία συλλαµβάνει (capture) την εικόνα, το αναπτυξιακό σύστηµα του επεξεργαστή ADSP-BF533 της Analog Devices, EZ-KIT BF533 TM το οποίο κάνει όλη την επεξεργασία και µία οθόνη τηλεοράσεως στην οποία προβάλλονται τα αποτελέσµατα. Είναι δυνατή η παρουσίαση των µετρήσεων και σε υπολογιστή µέσω της σειριακής θύρας του αναπτυξιακού. Για την ανίχνευση αυτού του προτύπου χρησιµοποιείται ο µετασχηµατισµός Radon. Ο µετασχηµατισµός Radon είναι ένας µαθηµατικός µετασχηµατισµός στατιστικής φύσεως που τυχαίνει ευρείας αποδοχής στην επεξεργασία εικόνας (πολλές φορές µε το όνοµα Hough transform που αποτελεί ειδική περίπτωση του διακριτή εκδοχή). Η πιο διαδεδοµένη του µορφή είναι αυτή του γραµµικού µετασχηµατισµού Radon που µετατρέπει έναν x-y χώρο σε ένα χώρο γραµµών r-φ. Για τους σκοπούς της εφαρµογής µας ήταν αναγκαία η κυκλική έκδοση του µετασχηµατισµού για την οποία η βιβλιογραφία είναι εξαιρετικά περιορισµένη. Αυτός µετατρέπει ένα δισδιάστατο x,y 19

20 χώρο σε ένα τρισδιάστατο χώρο κύκλων x,y,r πετυχαίνοντας µε αυτόν τον τρόπο αύξηση των διαστάσεων κατά µία. Στον χώρο x,y,r είναι πολύ πιο εύκολο να ξεχωρίσουµε σχήµατα κύκλων σε σύγκριση µε τον χώρο x, y. 20 Εικόνα 2. Κυκλικός µετασχηµατισµός Radon ενός κύκλου Συγκεκριµένα κάθε κύκλος στον χώρο x,y µετασχηµατίζεται σε κάτι σαν διπλό κώνο στον χώρο x,y,r. Στην κορυφή του κώνου αυτού παρατηρούµε ένα µέγιστο της τιµής του µετασχηµατισµού Radon το οποίο µπορεί να έχει µέγεθος πάνω από πέντε φορές µεγαλύτερο από την µέση τιµή του µετασχηµατισµού. Το σηµείο αυτού του µεγίστου µας δίνει τις πληροφορίες του κέντρου του κύκλου και της ακτίνας του. Ο µετασχηµατισµός αυτός µας δίνει δυνατότητα πολύ αξιόπιστης αναγνώρισης κύκλων ενώ η στατιστική υφή του τον κάνει να απορρίπτει διάφορες µορφές θορύβου. Το µειονέκτηµά του είναι το υπολογιστικό του κόστος και οι αυξηµένες απαιτήσεις σε µνήµη λόγω. Οι σύγχρονες όµως δυνατότητες επεξεργασίας των DSPs σε συνδυασµό µε κατάλληλο προγραµµατισµό και βελτιστοποίηση του κώδικα δίνουν τη δυνατότητα να κατασκευάσουµε σύστηµα που να µπορεί να εκτελεί σε πραγµατικό χρόνο τόσο το µετασχηµατισµό όσο και ανάλυση πάνω στο χώρο Radon. Για την εφαρµογή του µετασχηµατισµού Radon και την ολοκλήρωση ενός συστήµατος αναγνώρισης εικόνας βασισµένου σε αυτόν, χρειάζεται ένα πλήθος ειδικών τεχνικών. 1. Για τη σύλληψη της εικόνας και για τη γραφική παρουσίαση των αποτελεσµάτων σε κάποια οθόνη είναι απαραίτητη η εµβάθυνση στα ψηφιακά πρότυπα video και στο ειδικό hardware σύλληψης και παραγωγής των σχετικών σηµάτων (video decoders encoders). 2. Για να γίνει σωστά ο µετασχηµατισµός Radon χρειάζεται πάνω στην εικόνα να έχει πραγµατοποιηθεί προ-επεξεργασία για την εξάλειψη του οπτικού θορύβου που δηµιουργείται κατά την σύλληψη και ανίχνευση αιχµών (edge tracing). 3. Για την αναγνώριση των κύκλων στον χώρο Radon και την αποτελεσµατική απόρριψη του θορύβου απαιτούνται διεργασίες ψηφιακής επεξεργασίας σήµατος (συναρτήσεις cross correlation, ψηφιακά φίλτρα) και της αναγνώρισης προτύπων (Bayesian classifiers). 4. Για την απεικόνιση των αποτελεσµάτων χρειάζονται διεργασίες γραφικής πάνω σε καµβά (raster) που προέρχονται από µεθόδους υπολογιστικής γραφικής (computer graphics). Για την υλοποίηση του συστήµατος σε DSP είναι απαραίτητη η γενική γνώση του τρόπου λειτουργίας και των ιδιαιτεροτήτων των DSPs. Για τον συγκεκριµένο επεξεργαστή που χρησιµοποιούµε στο σύστηµά µας (ADSP-BF533 ) είναι απαραίτητη η γνώση σε βάθος τόσο των δυνατοτήτων του πυρήνα όσο και της λειτουργίας των ενσωµατωµένων περιφερειακών του και ιδιαίτερα αυτών που εµείς χρησιµοποιούµε. Επιπλέον είναι απαραίτητη η γνώση των δυνατοτήτων του αναπτυξιακού συστήµατος και η λεπτοµερής γνώση της λειτουργίας των περιφερικών που χρησιµοποιούµε δηλαδή του κωδικοποιητή και αποκωδικοποιητή video. Επιπλέον την διαδικασία ανάπτυξης βοηθούν το περιβάλλον λογισµικού VisualDSP++ του οποίου τις δυνατότητες πρέπει να γνωρίζουµε και η έντυπη και ηλεκτρονική τεκµηρίωση στις οποίες µπορούµε να ανατρέχουµε κάθε φορά που εµφανίζεται κάποιο πρόβληµα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι ο επεξεργαστής αυτός

21 κυκλοφόρησε µόλις το 2003 και συνεπώς η βιβλιογραφία που τον αφορά είναι σχετικά περιορισµένη. Ευελπιστούµε ότι η παρούσα εργασία θα αποτελέσει µία σηµαντική συνεισφορά στην βιβλιογραφία του επεξεργαστή αυτού και µάλιστα στην Ελληνική γλώσσα. Β. Οργάνωση και δοµή του συγγράµµατος Ο αναγνώστης θα βρει σε αυτή την διπλωµατική πληροφορίες και χρήσιµες αναφορές για όλα όσα περιγράφηκαν στην προηγούµενη ενότητα. Προαπαιτούµενα για την κατανόηση του κειµένου είναι η µία γενική γνώση όρων της τεχνολογίας υπολογιστών και των µαθηµατικών. Για την κατανόηση του κώδικα, όπου αυτός υπάρχει, συνίσταται η γνώση της γλώσσας C και του Matlab. Επίσης χρειάζεται υποµονή σε ορισµένα σηµεία που ο αναγνώστης πιθανώς συναντά έννοιες µε τις οποίες δεν έχει ξαναασχοληθεί. Σε αυτές τις περιπτώσεις ίσως θα βοηθούσε η µελέτη και των σχετικών αναφορών. Το σύγγραµµα αυτό είναι χωρισµένο σε δύο µέρη. Το µέρος Α παρουσιάζει πληροφορίες για όλους τους τοµείς που αναφέραµε στην προηγούµενη ενότητα. Το µέρος Β παρουσιάζει τις λεπτοµέρειες υλοποίησης και την αξιολόγηση της εφαρµογής που αναπτύξαµε για την λύση του προβλήµατος που περιγράψαµε. Παρακάτω παρουσιάζουµε συνοπτικά τα κεφάλαια καθώς και τον σκοπό τον οποίο εξυπηρετούν. Μέρος Α. Θεωρητικά Κεφάλαιο 1 ο : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η θεωρία του κλασικού (γραµµικού) και κυκλικού µετασχηµατισµού Radon. Στο τέλος παρουσιάζονται εφαρµογές οι οποίες αναδεικνύουν την χρησιµότητα του µετασχηµατισµού αυτού. Το κεφάλαιο αυτό αποσκοπεί στο να χρησιµοποιηθεί ως αναφορά για τον αναγνώστη που ενδιαφέρεται για τον µετασχηµατισµό Radon και τις εφαρµογές του. Εκτός από τον ορισµό παρουσιάζονται και οι πολύ χρήσιµες ιδιότητές του τόσο για την γραµµική όσο και για την κυκλική και γενικευµένη µορφή του. Επίσης στην ενότητα 1.3 παρουσιάζεται σύνοψη της θεωρίας που χρησιµοποιείται για το πειραµατικό µέρος. Κεφάλαιο 2 ο : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τεχνικές της επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας. Το αντικείµενο αυτό είναι πολύ εκτενές και φυσικά δεν µπορεί να καλυφθεί µέσα σε ένα µόνο κεφάλαιο. Ο στόχος µας είναι να παρουσιάσουµε στον µη ειδικό αναγνώστη την γενική εικόνα για το τι είναι ένα σύστηµα επεξεργασίας και αναγνώρισης εικόνας και επιγραµµατικά τις σηµαντικότερες τεχνικές που χρησιµοποιούνται για κάθε τµήµα της υλοποίησής του. Οι αναφορές µπορούν να αποτελέσουν πολύτιµο υλικό για όποιον θέλει να ασχοληθεί για να ενηµερωθεί περισσότερο για κάποιες τεχνικές που πιθανώς τον ενδιαφέρουν. Αναλύονται εκτενώς οι τεχνικές που χρησιµοποιούνται στην δικιά µας εφαρµογή. Ειδικά στην ενότητα γίνεται ανάλυση του συστήµατος αναγνώρισης προτύπου που χρησιµοποιούµε. Κεφάλαιο 3 ο : Το κεφάλαιο αυτό παρουσιάζει την τεχνολογία των DSPs και αναλύει σε βάθος τον επεξεργαστή και το αναπτυξιακό που χρησιµοποιούµε στην εφαρµογή µας. Το κεφάλαιο αυτό αποσκοπεί στο να δώσει στον αναγνώστη που ασχολείται για πρώτη φορά µε τα DSPs µία γερή βάση σχετικά µε την δοµή και τις αρχές λειτουργίας τους. Αµέσως µετά παρουσιάζεται αναλυτικά ο επεξεργαστής BF533 και το αναπτυξιακό του σύστηµα όπως και το λογισµικό που το συνοδεύει. Ο στόχος αυτού του δεύτερου µέρους είναι να δώσει σε όποιον θελήσει να ασχοληθεί µε αυτόν τον σχετικά «νέο» επεξεργαστή ειδικές γνώσεις που θα τον βοηθήσουν να µπορέσει να αναπτύξει γρήγορα νέες εφαρµογές χωρίς να µπει στον κόπο της πλήρους ανάγνωσης των εκτενών εγχειριδίων του επεξεργαστή. Μέρος Β. Υλοποίηση Κεφάλαιο 4 ο : Στο σύντοµο αυτό κεφάλαιο παρουσιάζεται εκτενώς το πρόβληµα που πρέπει να λυθεί και γίνεται αναφορά σε προηγούµενες εκδοχές που έχουν χρησιµοποιηθεί για την µερική του λύση. Το κεφάλαιο αυτό σκοπεύει να παρουσιάσει στον αναγνώστη τις απαραίτητες λεπτοµέρειες που αφορούν το συγκεκριµένο πρόβληµα ώστε να µπορεί να κατανοήσει καλύτερα τα επόµενα κεφάλαια. 21

22 Κεφάλαιο 5 ο : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η πρότυπη υλοποίηση κάποιον κοµµατιών της εφαρµογής σε PC µε τη βοήθεια του πακέτου λογισµικού Matlab TM. Η προτυποποίηση αυτή ήταν απαραίτητη για να ελέγξουµε γρήγορα αν ο µετασχηµατισµός Radon και οι διάφορες άλλες τεχνικές µπορούν να δώσουν λύση στο πρόβληµά µας και να αποκτήσουµε αίσθηση των σηµείων που πρέπει να προσέξουµε κατά την υλοποίηση στο DSP. Το κεφάλαιο αυτό έχει πολύ ενδιαφέρον για τον αναγνώστη που θέλει να παρακολουθήσει βήµα βήµα την διαδικασία ανάπτυξης µίας εφαρµογής αναγνώρισης εικόνας ώστε να κατανοήσει τη µεθοδολογία που ακολουθείται και να αποκτήσει αίσθηση των προβληµάτων που καλείται κανείς να αντιµετωπίσει στην πορεία και του σκεπτικού λύσεώς τους. Κεφάλαιο 6 ο : Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η τελική υλοποίηση στο DSP. Το κεφάλαιο αυτό έρχεται ως συνέχεια των κεφαλαίων 3 και 5 για να παρουσιάσει ένα πρακτικό παράδειγµα υλοποίησης ενός συστήµατος DSP. Το κεφάλαιο αυτό θα φανεί πολύ χρήσιµο σε όποιον θέλει να αναπτύξει ένα σύστηµα DSP αφού θα γνωρίσει από κοντά όλα τα πράγµατα που θα πρέπει να προσέξει κατά την υλοποίησή του. Κεφάλαιο 7 ο : Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται αξιολόγηση της απόδοσης της όλης διάταξης και ωφέλιµη κριτική σχετικά µε τις τεχνικές που χρησιµοποιήθηκαν. Το κεφάλαιο αυτό συµπληρώνεται από προτάσεις για το πως διάφορες τεχνικές που χρησιµοποιήθηκαν µπορούν να αξιοποιηθούν και σε άλλες εφαρµογές όπως και πιθανές εφαρµογές ολόκληρης της διάταξης. Το κεφάλαιο αυτό θα φανεί χρήσιµο σε όποιον θελήσει να αξιοποιήσει περαιτέρω το περιεχόµενο αυτής της διπλωµατικής. Σηµείωση: Η διπλωµατική αυτή συνοδεύεται από τον πηγαίο κώδικα που χρησιµοποιήθηκε σε διάφορα µέρη της υλοποίησης. εν κρίθηκε σκόπιµο να τυπωθεί αυτός ο κώδικας µιας και έχει αρκετά µεγάλο όγκο και η τυπωµένη έκδοσή του ελάχιστη πρακτική αξία θα είχε. Τα σηµεία του κώδικα µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζονται αποσπασµατικά στα αντίστοιχα κεφάλαια. Όποιος θέλει τον πλήρη πηγαίο κώδικα µπορεί να τον κατεβάσει από το διαδύκτιο. 22

23 Μέρος Α. Θεωρία 23

24

25 Κεφάλαιο 1. Θεωρία και εφαρµογές µετασχηµατισµού Radon Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η θεωρία του κλασικού (γραµµικού) και κυκλικού µετασχηµατισµού Radon. Στο τέλος παρουσιάζονται εφαρµογές οι οποίες αναδεικνύουν την χρησιµότητα του µετασχηµατισµού αυτού. Το κεφάλαιο αυτό αποσκοπεί στο να χρησιµοποιηθεί ως αναφορά για τον αναγνώστη που ενδιαφέρεται για τον µετασχηµατισµό Radon και τις εφαρµογές του. Εκτός από τον ορισµό παρουσιάζονται και οι πολύ χρήσιµες ιδιότητές του τόσο για την γραµµική όσο και για την κυκλική και γενικευµένη µορφή του. Επίσης στην ενότητα 1.3 παρουσιάζεται σύνοψη της θεωρίας που χρησιµοποιείται για το πειραµατικό µέρος. 1.1 Κλασικός µετασχηµατισµός Radon. Ο γραµµικός µετασχηµατισµός Radon αποτελεί την πλέον διαδεδοµένη µορφή του. Το µεγαλύτερο µέρος των πληροφοριών αυτής της ενότητας έχει ως πηγή του το βιβλίο του Stanely R. Deans 1 το οποίο είναι αφιερωµένο σε αυτόν τον µετασχηµατισµό. Θα παρουσιάσουµε τον ορισµό σε διάφορες µορφές χρήσιµες για διαφορετικές εφαρµογές και χρήσιµες ιδιότητές του Ορισµός 2 Έστω µία συνάρτηση f : R R δύο µεταβλητών x, y που ορίζεται σε ένα χώρο D του φαίνεται στο παρακάτω σχήµα και L µία τυχαία ευθεία στο επίπεδο. 2 R όπως s D y L ρ r φ 0 x Εικόνα 3. Ορισµός του µετασχηµατισµού Radon Η απεικόνιση που ορίζεται από την προβολή (ολοκλήρωµα πάνω σε ευθεία) της f πάνω σε όλες τις πιθανές γραµµές L είναι ο δισδιάστατος µετασχηµατισµός Radon υπό την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωµα υπάρχει. Πιο συγκεκριµένα, f =R f = f( x, y) ds (1) όπου ds είναι στοιχειώδες τµήµα πάνω στη ευθεία. Θεωρώντας την παραµετρική µορφή της L η εξίσωσή της δίνεται από την σχέση: L r = xcosφ + ysinφ 1 The Radon Transform and Some of Its Applications, Stanley R. Deans, John Wiley & Sons,

26 Ο µετασχηµατισµός Radon είναι λοιπόν το ολοκλήρωµα (1) για κάθε ευθεία που ορίζεται από τα r, φ. Συνεπώς αν το f (, r φ) είναι γνωστό για κάθε r, φ τότε αυτός είναι ο δισδιάστατος µετασχηµατισµός Radon της συνάρτησης f ( xy, ) ενώ αν είναι γνωστός µόνο για συγκεκριµένες τιµές των r, φ λέµε ότι έχουµε ένα δείγµα του µετασχηµατισµού Radon. Αν θεωρήσουµε το περιστραµένο κατά φ σύστηµα συντεταγµένων ρ, s τότε τα x και y για τυχαίο σηµείο δίνονται από τις σχέσεις: x = ρ cosφ ssinφ y = ρ sinφ + scosφ Έτσι µπορούµε να γράψουµε τον ορισµό (1) µε την µορφή απλού ολοκληρώµατος: f ( ρφ, ) = f( ρcosφ ssin φρ, sinφ + scos φ) ds (2) Στην προσπάθειά µας να γενικεύσουµε και σε περισσότερες διαστάσεις, θα εισάγουµε τον διανυσµατικό συµβολισµό. Αν x = ( x, y) είναι ένα διάνυσµα τότε η συνάρτηση f που ορίσαµε προηγουµένως µπορεί να παρασταθεί συνοπτικά ως f ( x ). Μπορούµε να ορίσουµε δύο κάθετα µοναδιαία διανύσµατα ξ και ξ ως εξής: ξ = (cos φ,sin φ) (3) ξ = ( sin φ,cos φ) Τα διανύσµατα αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήµα. D y L. (x,y) ξ ξ ρ φ 0 x Εικόνα 4. ιανυσµατικός ορισµός του µετ/µου Radon Με την εισαγωγή αυτού ων των συµβολισµών, ο ορισµός του µετ/µου Radon απλοποιείται σηµαντικά ως έκφραση στην παρακάτω µορφή: f ( ρξ, ) = f( ρξ+ tξ ) dt (4) 26

27 Όπως φαίνεται από την σχέση (3) τα ξ και ξ f ( ρ, ξ ) και f ( ρ, φ) είναι ισοδύναµες. εξαρτώνται άµεσα από το φ. Συνεπώς οι εκφράσεις Η συνάρτηση της ευθείας µπορεί να γραφτεί σε διανυσµατική µορφή ως: ρ = ξ x = xcosφ + ysinφ Εισάγοντας την συνάρτηση δέλτα του Dirac µπορούµε να απλοποιήσουµε ακόµα περισσότερο την 2 έκφραση του µετ/µου Radon ολοκληρώνοντας σε όλο τον χώρο R την συνάρτηση f και αναθέτοντας στην συνάρτηση δέλτα να «διαλέξει» τα σηµεία που βρίσκονται πάνω στην ευθεία. Θυµίζουµε ότι η συνάρτηση δέλτα δ ( x) έχει τιµή 0 για κάθε x 0 ενώ για x = 0 έχει τιµή τέτοια ώστε, δ ( xdx ) = 1 Όπως φαίνεται από τη παραπάνω σχέση, η έκφραση ρ ξ x είναι 0 για όλα τα x που ανήκουν στην ευθεία L ενώ είναι µη µηδενικά για όλα τα υπόλοιπα σηµεία. Συνεπώς ο µετασχηµατισµός Radon µπορεί να γραφεί: f ( ρξ, ) = f( x) δ( ρ ξ x) dx (5) όπου η ολοκλήρωση γίνεται σε όλο τον χώρο 2 R. Το πλεονέκτηµα αυτής της µορφής είναι ότι γενικεύεται ως είναι και σε µεγαλύτερες διαστάσεις. 3 Πραγµατικά, αν θεωρήσουµε το x να είναι διάνυσµα στον χώρο R, x = ( x, yz, ), dx = dxdydz 3 και αν το διάνυσµα ξ είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα στον R, τότε η έκφραση 5 µας δίνει τον µετασχηµατισµό Radon για τον τρισδιάστατο χώρο µόνο που τώρα η ολοκλήρωση δεν γίνεται πάνω σε ευθεία αλλά σε επίπεδο. n Αντίστοιχα µπορούµε να γενικεύσουµε σε n διαστάσεις όπου το x θα είναι ένα διάνυσµα στον R, x = ( x1, x2,... x n ), το dx = dx1dx2... dx3 ο στοιχειώδης όγκος και το ξ ένα µοναδιαίο διάνυσµα το οποίο ορίζει την κατεύθυνση ενός υπερεπιπέδου σύµφωνα µε την σχέση: ρ = ξ x = ξ1x1 + ξ2x ξnxn Η έκφραση (5) είναι και σ αυτή την περίπτωση ο µετασχηµατισµός Radon της f Παραδείγµατα γραµµικού µετασχηµατισµού 1. Θεωρούµε τη συνάρτηση εξίσωση (5), άµεσα έχουµε: 2 2 x y f( x, y) = e. Θα υπολογίσω τον µετασχηµατισµό Radon. Από την 2 2 (, ) x y f ρξ = e δ( ρ ξx ξy) dxdy 1 2 u ξ1 ξ2 x Θεωρώντας τον γραµµικό µετασχηµατισµό = το διάνυσµα ξ = ( ξ1, ξ2) υ ξ2 ξ1 y παραµένει µοναδιαίο και στον καινούργιο χώρο u-υ. Συνεπώς ο µετασχηµατισµός γίνεται: 27

28 x y δηλαδή R{ e } u f ( ρξ, ) = e δ( ρ u) dυdu = e e dυ= πe = π e ρ υ ρ υ ρ Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός όχι µόνο υπολογίζεται ακριβώς αλλά έχει και πολύ απλή µορφή. Επίσης παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός δεν εξαρτάται από την γωνία φ (διάνυσµα ξ) αλλά µόνο από την απόσταση ρ από το κέντρο των αξόνων. Αυτό είναι απόλυτα αναµενόµενο λόγο της κυκλικής συµµετρίας της συνάρτησης f γύρω από την αρχή των αξόνων. 2. Ανάλογος είναι και ο χειρισµός για την τρισδιάστατη περίπτωση. Τότε ο κατάλληλος µετασχηµατισµός είναι ο εξής: u ξ ξ ξ x υ = ξξ 1 2 / q q ξ2ξ3 / q y w ξ3 / q 0 ξ1/ q z όπου q = ξ + ξ και λόγω του ότι το ξ είναι µοναδιαίο διάνυσµα, είναι Αυτά οδηγούν στο αποτέλεσµα: x y z { } R e = π e ρ ξ = ξ + ξ + ξ = και µε ανάλογους συλλογισµούς στη n-διάστατη περίπτωση είναι: x1 x2... xn { } = ( π ) R e Ιδιότητες του µετασχηµατισµού n 1 2 e ρ Ο γραµµικός µετασχηµατισµός Radon έχει πολλές χρήσιµες ιδιότητες. Τις βασικότερες από αυτές θα αναπτύξουµε παρακάτω. Για πιο προχωρηµένες ιδιότητες µπορεί κανείς να ανατρέξει στην βιβλιογραφία Γραµµικότητα Σύµφωνα µε βασικές ιδιότητες ολοκληρωµάτων έχουµε: ( ) ( ) { } = 1 ( x) + 2 ( x) δ ρ ξ x x = cf( x) δ ( ρ ξ x) dx cg( x) δ ( ρ ξ x) dx cr{ f} cr{ g} R c f c g c f c g d = + = δηλαδή R{ cf cg} cr{ f} cr{ g} Μεγέθυνση + = Αν θεωρήσουµε y = λx έχουµε n dy = λ dx όπου n η διάσταση που µελετάµε. Έχουµε λοιπόν: 28

29 1 1 1 ξ R{ f ( λ x) } = R{ f ( y) } = f ( y) δ ρ ξ y dy = f ρ, n n = λ λ λ λ = f ( y) δ ( λρ ξ y) dy = f 1 ( λρ, ξ n n ) λ λ λ Μετατόπιση Αν θεωρήσουµε την συνάρτηση f ( x ) { } ηλαδή R{ f( x a) } = f( ρ ξ a, ξ). a όπου a ένα τυχαίο διάνυσµα µετατόπισης, R f( x a ) = f( x a ) δ( ρ ξ x ) d x = f( y ) δ( ρ ξ a ξ y ) d y όπου προφανώς y = x a Γενικευµένοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις Με την βοήθεια µετασχηµατισµών δύο διαστάσεων είναι δυνατόν να µετασχηµατίσουµε συναρτήσεις που είναι δύσκολο να υπολογιστούν σε συναρτήσεις που είναι πιο εύκολο να υπολογιστούν π.χ. ελλείψεις σε κύκλους. Αυτό που θέλουµε να υπολογίσουµε είναι ο µετασχηµατισµός { ( )} ένας αντιστρέψιµος πίνακας γραµµικού µετασχηµατισµού. Αν R f y όπου y = Α x όπου A 1 B = A, τότε 1 x = Α y = By και dx = det B dy λόγω του ότι η Jacobian του µετασχηµατισµού είναι το µέτρο της ορίζουσας του B. Συνεπώς έχουµε: { } R f( Ax) = f( Ax) δ( ρ ξ x) dx = det B f( y) δ( ρ ξ By) dy = det B f( y) δ( ρ B T ξ y) dy δηλαδή: Παράδειγµα: R f f ρ ξ T { ( Ax) } = det B (, B ) (6) Έστω ότι έχουµε συνάρτηση f ( xy, ) στο Τότε B = A = I και det λ λ 1 B = = det A. 2 2 R και πίνακα µετασχηµατισµού 1 0 A = λι = λ 0 1. Συνεπώς από την (6) έχουµε: 1 1 R{ f( Ax) } = R{ f( λx) } = f ρ, ξ 2 λ λ ακριβώς όπως περιµέναµε την ιδιότητα Μετασχηµατισµός παραγώγων εδοµένης µίας συνάρτησης f ( x ) αυτό που ζητάµε είναι να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Radon της παραγώγου δούµε ότι: f x. Αν ξαναθυµηθούµε τον ορισµό της παραγώγου, µπορούµε να k 29

30 ( ) ε f x+ f f ( x) ξk = lim x ε 0 ε k ξ όπου x + ( ) σηµαίνει f ( x, x,..., x εξ,..., x ) f ε ξ k 1 2 k k n k ( x) + και ξk είναι ο k-οστός όρος του ξ. Αν πάρουµε τώρα τον µετ/µο Radon της παραπάνω έκφρασης και εφαρµόζοντας την ιδιότητα της µετατόπισης µε a = ( 0,0,..., ε / ξ k,...,0) έχουµε: 30 ( + ) f ( x) ( x) f x ( εξk ) lim R x ε ( εξ) { ( x ( εξk ))} R f ( x) { } f R f + R = = lim ξ k = 0 ε 0 k k ε f ( ρ + ε, ξ) f ( ρ, ξ) f ( ρ, ξ) = ξk lim = ξk ε 0 ε ρ εκµεταλλευόµενοι γραµµικότητα και παραγωγίζοντας προς κάθε όρο έχουµε: n f ( x) f ( ρ, ξ ) R αk = a ξ k = 1 xk ρ Γενικεύοντας µπορούµε να δούµε ότι αν παραγωγίσουµε παραγώγους δευτέρας τάξεως έχουµε: R f ( x) n n 2 2 αkbl = ( a ξ)( b ξ) l= 1 k= 1 xl xk f ( ρ, ξ ) 2 ρ ενώ στη γενική περίπτωση αν έχουµε ένα γραµµικό τελεστή ( x x ) συντελεστές είναι: Για παράδειγµα αν έχουµε έναν τελεστή είναι: R f = n f ρ ρ { L } L ξ1,..., ξ ( ρ, ξ) 3 L = a + b x x x R{ Lf} = aξ + bξξ f ρξ ρ ρ Υπολογισµός παραγώγων µετασχηµατισµού (, ) 3 L,..., 1 n µε σταθερούς, τότε ο µετασχηµατισµός Radon θα Θα υπολογίσουµε τις παραγώγους του µετασχηµατισµού Radon ως προς κάποια από τις µεταβλητές του ξ k. Είναι: f ξ Ισχύει ότι από ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα: k = f ( x) δ ( ρ ξ x) dx. ξ k

31 f δ ρ ξ k δ ρ ξ ξ ρ k ( x) = x ( x) Συνεπώς: f = ( ) δ ( ρ ξ ) ( ) = ξ ρ ξ ρ k { } { k ( )} xk f x x dx R f x R x f x k Περιστροφή Για την µελέτη της περιστροφής εξετάζουµε την δισδιάστατη περίπτωση 6. Για την διευκόλυνσή µας θεωρούµε την συνάρτηση f σε πολικές συντεταγµένες, f( x, y) = f( ρ, φ). Ο µετασχηµατισµός της f περιστραµένης κατά φ 0 έχει ως εξής: π R f r φ φ f ρ θ f r φ φ δ ρ r φ θ r φ θ r dφdr. { (, 0) } = (, ) = (, 0) ( cos cos sin sin ) 0 Θέτοντας την νέα µεταβλητή s = φ φ0, έχουµε: π 0 π 0 (, ) ( cos cos sin sin ) f r φ φ δ ρ r φ θ r φ θ r dφdr = 0 f φ r, s δ ρ r cos θ s φ r dsdr f ρ, θ φ ( 0 ) = ( 0) ( ) ( ) Μετασχηµατισµός συνέλιξης Αν g = R{ g} και h = R{ h}, θεωρούµε την συνάρτηση f της συνέλιξης των g και h : ( ) = = ( ) ( ) f x g h g y h x y dy Θέλουµε να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό Radon της παραπάνω συνέλιξης: f ρξ = R f = R g h = d d g h δ ρ ξ = { x } { } x y ( y) ( x y) ( x) (, ) ( ) dyg( y) dxh( x y) δ ( ρ ξ x) = Θέτοντας z = x y, έχουµε: f d g d h d g h ( ρ, ξ) = y ( y) z ( z) δ ( ρ ξ y ξ z) = y ( y) ( ρ ξ y, ξ) Όµως θέτοντας s Συνεπώς: = ξ y και από τις ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα έχουµε: h dsh s s ( ρ ξ y, ξ) = ( ρ, ξ) δ ( ξ y) 31

32 f ( ρξ, ) = dyg( y) dsh( ρ s, ξ) δ( s ξ y) = dsh( ρ s, ξ) d g( ) δ( s ξ ) = y y y = g s h s ds = g h (, ξ) ( ρ, ξ) ηλαδή R{ g h} = R{ g} R{ h}. Βλέπουµε δηλαδή ότι ο µετ/µος Radon της συνέλιξη δύο συναρτήσεων είναι ίσος µε την συνέλιξη των µετ/ων τους σε αντίθεση µε τον µετ/µο Fourier όπου ο µετ/µος της συνέλιξης είναι ίσος µε το γινόµενο των µετ/ων συναρτήσεων Περιοδικότητα R[ f r, ] = f r, = f r, + 2 k, k I ( φ) ( φ ) ( φ π ) Κυκλικός µετασχηµατισµός Radon. Ο κυκλικός µετασχηµατισµός Radon µπορεί να οριστεί µε δύο διαφορετικούς τρόπους. Ο ένας περιορίζεται στις δύο διαστάσεις ενώ ο άλλος γενικεύεται σε περισσότερες. Ο µετασχηµατισµός Radon έχει πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες που µπορούν να απλοποιήσουν τον υπολογισµό του σε αρκετές περιπτώσεις. Το µεγαλύτερο µέρος των πληροφοριών αυτής της ενότητας έχει ως πηγή την εργασία του επιβλέποντος καθηγητή Θ. Αλεξόπουλου για την επίλυση προβληµάτων φυσικής υψηλών ενεργειών Ορισµός y y' (x 0, y 0 ) R φ ds x' C x Ο ορισµός του µετασχηµατισµού Radon είναι ο εξής: R[ f] f( R, x, y ) f( x, y) ds = = 0 0 C Όπου C ο κύκλος µε κέντρο χ 0, y 0 και ακτίνα R. Από τις γνωστές µας σχέσεις, ο κύκλος µπορεί να εκφραστεί σε παραµετρική µορφή: x = x0 + x' = x0 + Rcosφ, φ [0,2 π ) y = y + y' = y + Rsinφ 0 0 Οπότε ο µετασχηµατισµός γίνεται: 2π 2π (7) R[ f] = f( x + Rcos φ, y + Rsin φ) Rdφ = R f( x + Rcos φ, y + Rsin φ) dφ

33 Η σχέση αυτή µας δίνει µία πολύ ενδιαφέρουσα πληροφορία. Ότι ο µετασχηµατισµός Radon είναι ανάλογος της ακτίνας του κύκλου στον οποίο ολοκληρώνουµε Παραδείγµατα κυκλικού µετασχηµατισµού x y f( x, y) = e R[ f] = f = R e dφ = Re e dφ = x0 y0 R 2π ( x 2 0+ Rcos φ) ( y0+ Rsin φ) x0 y0 R π 2 R( x0 cosφ+ y o sin φ) * π Re I (2 R x + y ) π * pcosx+ qsinx 0 e cos( acos x+ bsin x mx) dx = { } 2 2 m/2 m/2 m/2 { π[( b p) + ( a q) ] } ( A + ib) Im ( C id ) + ( A ib) Im( C + id ) για 2 2 ( b p) + ( a+ q) > 0, m = 0,1, 2,3... όπου A= p q + a b B = 2pq+ 2ab C = p + q a b D = 2( ap+ bq) Σύµφωνα µε τον παραπάνω τύπο θέλουµε να υπολογίσουµε το 2π 0 e 2 cosφ 2 sinφ Rx0 Ry o dφ ηλαδή έχουµε p = 2 Rx0, q = 2 Ry0, a = b = 0, συνεπώς = b + a = 4 R ( x + y ) > ( b p) ( a q) = Επιπλέον είναι: A= p q = (2 R) ( x y ) B = pq = R x0y0 C = p + q = (2 R) ( x + y ) D = 2( ap+ bq) = 0 2π 2Rx0 cosφ 2Ry sin Συνεπώς o φ e dφ = 2πIo ( 2R x0 + y0 ) = 2πIo ( i2r x0 + y0 ) 0 I ( x) = I ( ix) o o, επειδή f( x, y) = e ( x x ) ( y y0) 2 2 ( x x0 ) ( y y0) Re [ ] = R e 2 π 2 ( x0 + Rcosφ x0 ) ( y 0 + Rsinφ y0 ) 2 R 2 0 dφ = 2πRe 33

34 Γενικευµένος κυκλικός µετασχηµατισµός Radon Ορίζουµε τον γενικευµένο κυκλικό µετασχηµατισµό Radon: R[ f] = f = f x R x x dx S ( ) δ ( 0 ) Όπου S το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε η παραπάνω συνάρτηση «επιλέγει» την περιοχή πάνω στην οποία γίνεται η ολοκλήρωση µέσω µίας συνάρτησης δ αντί για τις παραµέτρους της f όπως στον προηγούµενο ορισµό. Έτσι στην 2- διάστατη περίπτωση η ολοκλήρωση γίνεται και πάλι πάνω στον κύκλο x x0 = R ενώ σε τρεις διαστάσεις η ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε σφαίρα ακτίνας R και κέντρου x0. Αντίστοιχα γενικεύεται και σε περισσότερες των τριών διαστάσεων. Αν θεωρήσουµε σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή το x0, τότε µπορούµε να ορίσουµε την απόσταση ω τυχαίου σηµείου x από το κέντρο των νέων αξόνων ω = x x x = x + ω dx = dω. Με αυτό τον τρόπο ο µετασχηµατισµός γίνεται: 0 0 R[ f] = f = f x + ω δ R ω ωdωdφ = f x + Re Rdφ = R f x + Re dφ ( ) ( ) 0 ( 0 ω) ( 0 ω) όπου e ω είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη διεύθυνση του ω όπως φαίνεται στην Εικόνα 5. y x ω e ω x 0 x Εικόνα 5. Ορισµός του διανύσµατος e ω Ας δούµε πως χειριζόµαστε το πρώτο παράδειγµα µε τον νέο ορισµό: 2 2 x y f ( xy, ) e = = e 34 2 x ( x0 + + Rx 0 ω) Re x Reω R 2 e x 2 0 y0 R π 2 R( x0 cosφ y0sin φ) f = R e dφ = R e dφ = e dφ, όπου x 0 = xi 0 + y0 j, e cos i sin ω = φ + φ j. Φτάσαµε δηλαδή στο ίδιο αποτέλεσµα όπως ήταν αναµενόµενο Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Όπως µπορεί κανείς να παρατηρήσει πολλές από τις ιδιότητες του γραµµικού µετ/µου Radon ισχύουν και για τον κυκλικό. Θα δούµε όµως ότι σε αρκετές περιπτώσεις ο τρόπος απόδειξης

35 διαφέρει αρκετά. Ο κυκλικός µετασχηµατισµός έχει µερικές επιπλέον ενδιαφέρουσες ιδιότητες π.χ. περιοδικότητα Γραµµικότητα ( ( ) ( )) δ ( ) RC [ 1f + Cg 2 ] = C1f x + C2g x R x x0 dx S = Cf x R x x dx+ Cg x R x x dx= S ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) S CR[ f] + CRg [ ] 1 2 δηλαδή R[ Cf 1 + Cg 2 ] = CRf 1 [ ] + CRg 2 [ ] Μεγέθυνση Για συντελεστή µεγέθυνσης λ > 0 ο µετασχηµατισµός Radon θα είναι: f R x R f x f x R x x dx. S Θεωρώ λ x = y x = y λ. Τότε έχουµε: dy R f ( λx) = R f ( y) = f ( y) δ ( R y λ x0 ) = λ S 1 dy f ( y) δ ( λr y λx0 ) = f ( y) λ λ λ δ λr y λx S 0 S f λr, λx (, ' 0 ) = ( λ ) = ( λ ) δ ( 0 ) ( 0 ) Παράδειγµα Να υπολογιστεί το σ σ R e 2 2 ( x x0) ( y y0) Από το δεύτερο παράδειγµα ξέρουµε ότι τότε το ζητούµενο γίνεται: 2 2 ( x x0) ( y y0) σ 2σ ( ( x x0) ) ( ( y y0) ) R e R e λ λ = 2 R π 2 2 µε f = 2 Re σ. σ (( )) dy = λ ( x x 0 ) ( y y 0) R R[ e ] = 2π Re. Αν θεωρήσουµε 1 λ =, 2σ το οποίο σύµφωνα µε την τελευταία ιδιότητα είναι ίσο Μετατόπιση R f ( x a) = f ( x a) δ ( R x x0 ) dx. S Αν θεωρήσουµε x a = y x = y+ a dx = dy, τότε έχουµε R f ( x a) = f ( y) δ ( R y ( x0 a) ) dx = f ( R, x0 a ). S Με a' = a έχουµε επίσης R f ( x+ a) = f ( R, x0 + a ). 35

36 έχουµε προφανώς R f ( x x0 ) = f ( R,0) Με a' = x Γενικευµένοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις πίνακας µετασχηµατισµού x Ax. Θεωρούµε ότι R f ( x) = f ( R, x0 ), και θέλουµε να υπολογίσουµε το R f ( Ax) όπου A ένας 1 B A 1 Θεωρούµε Ax = = y x = A y x = By d x = det B d y. R f ( Ax) = f ( y) δ ( R By x0 ) det B dy = S 1 det B f ( y) δ R B y B x 0 dy. S z 2 2. T Θέλουµε να υπολογίσουµε το Bz. Έχουµε ( ) Bz Bz = Bz B Bz z = λ z α β Αν θεωρήσουµε πίνακα της µορφής B = γ δ, τότε είναι: T α γ α β z1 z1 ( B Bz) z = β δ γ δ z 2 z = α + γ z + β + δ z + 2z z αβ γδ = λ z ( ) 1 ( ) 2 1 2( ) αβ 2 α β 2 2 α + γ = β + δ = λ, αβ + γδ = 0 γ =, α + = β + δ. 2 δ δ Συνεπώς 1 R 1 dy R f ( Ax) = det B f ( y) δ ( R λ y B x0 ) dy = det B f ( y) δ y B x0 = λ λ 2 2 R R det B R det A R = f, Ax0 R f ( Ax) = f, Ax0 λ λ λ λ Παράδειγµα A ki k 1 1 = = 0 1. Τότε B = A = I και k Επίσης λ = α + γ = λ =. 2 k k 1 1 det B = = det A. k 1/ k 1/ k περιµέναµε από τη δεύτερη ιδιότητα. Συνεπώς R f ( kix) = R f ( kx) = f ( kr, kx0) R f ( kx) = f ( kr, kx0) Υπολογισµός παραγώγων, ακριβώς όπως 36

37 x = x y = ξ ξ (, ) (, ) f = f ( x) δ ( R x x0 ) dx ξ ξ R f x f R x f x R x x dx.. ( ) = (, 0) = ( ) δ ( 0 ) ( R x x0 ) δ ( R x x0 ) ξ δ R ξ x x δ R ( R x x0 ) = δ ( R x x0 ) 2 1 = ξ x x0 ( x ξ1) + ( y ξ2) 1 = = ξ1 ξ1 2 x ξ1 + y ξ2 x ξ1 δ R x x0 = δ R x x0. ξ x x R ( ) ( ) 2 2 Συνεπώς: ( ) ( ) x ξ 1 ( x ξ )( 1) 1 = x x 0 Έστω x = ( x, x ), x = ( ξ, ξ ) Τότε είναι: f x1 ξ 1 x1 ξ 1 = f ( x) δ ( R x x ) dx = R f ( x) = ξ 0 1 R 2 x x R 0 x x 0 f ( x) f ( x) = R x 1 ξ1 R R x x R 0 x x 0. ξ2 R x x 0 f x2 ξ2 Αντίστοιχα, = R f ( x) 2 k = 1 f a x x ak = R f x ξk R x x 0 Παράγωγος δευτέρας τάξης 0 ( 0 ) ( ) ή ( ) 2 x x f x 0 1 ξ 1 = f ( x) δ 2 ( R x x0 ) dx+ ξ2 ξ1 R x x ξ 2 0 x1 ξ1 + f ( x) δ ( R x x0 ) dx = R x x ξ2 a ( x x0 ) a R f x = R f ( x) x R x x

38 = f x R x x dx+ R x x ( ) ( x )( ) 1 ξ1 x2 ξ2 3 δ ( 0 ) f x R x x dx 2 2 R x x ( ) ( x )( ) 1 ξ1 x2 ξ2 δ ( 0 ) 0 ( ) ( )( ) 2 2 ( ) ( )( ) 2 f x1 1 x2 2 x1 1 x2 2 f R ξ ξ f x R ξ ξ = + f x = ξ2 ξ1 R x x R x x ξ ξ 0 Συνεπώς: ( ) ( )( ) 2 2 ( ) ( )( ) f f x1 1 x2 2 x1 1 x2 2 R ξ ξ f x ξ ξ R = = f x ξ2 ξ1 ξ1 ξ2 R x x R 0 x x0 Παράγωγος δεύτερης τάξεως µέρος 2 ο ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f 1 x1 ξ 1 = f x δ R x x dx+ f x δ ( R x x ) dx+ ξ R 0 R x x0 x x0 2 f x R x x dx 2 2 R x x0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 f x 2 f x1 1 x1 1 R R ξ f x R ξ = f x ξ R R R 1 x x 0 x x 0 x x0 ( ) ( ) 2 x1 ξ1 δ ( 0 ) Περιστροφή Θα εξετάσουµε τον κυκλικό µετασχηµατισµό Radon σε πολικές συντεταγµένες. y x = r cosφ i+ r sinφ j (φ 0, r 0 ) x0 (φ, r) C ( 0 φ0) δ ( 0 ) R[ f ] = f R, r, = f ( x, y) R x x dx, dy x = rcosφ x x = rcosφ i+ rsin φ j, y = rsinφ y = r cosφ x = r sinφ

39 x x = x x + y y = r + r rr φ φ Συνεπώς: ( ) ( ) 2 cos( ) ( ) f Rr,, φ = f ( r, φδ ) R r + r 2rrcos φ φ r drd, φ 2 2 ( ) ( ) 0 0 p Αν τώρα περιστραφεί κατά µία γωνία θ 0, έχουµε φ φ + θ0. Τότε, ( ) 2 2 R f ( x) = R f ( r, φ + θ0) = f ( r, φ + θ0) δ R r + r0 + 2rr0cos( φ φ0) r drdφ θέτω φ + θ0 ω dφ = dω, φ = ω θ0. Τότε, ( ( ) ) 2 2 R f ( x) = f ( r, ω) δ R r + r + 2rr cos ω ( θ + φ ) r drdφ Τελικά: R f r f R r (, θ + φ) = (,, θ + φ ), όπου R f ( r, φ ) = f ( R, r, φ ) Περιοδικότητα R[ f r, ] = f R, r, = f R, r, + 2 k, k I ( φ) ( φ ) ( φ π ) ιατήρηση µάζας ( ) (, 0) 2 ( ) δ ( 0 ) M = f x d x = f R x dr = dr d x f x R x x = R 0 0 ( ) δ ( 0 ) = f x dx dr R x x R R = f x dx = M R ( ) 1.3 Γενίκευση του µετ/µού Radon και µετ/µος Hough Στις προηγούµενες ενότητες µελετήσαµε τον γραµµικό και τον κυκλικό µετασχηµατισµό Radon. Κατά αντίστοιχο τρόπο µπορεί να οριστεί ο ελλειπτικός 9 µετασχηµατισµός Radon, µετασχηµατισµός πάνω σε κωνικές τοµές 2 ή και µετασχηµατισµός µε βάση οποιοδήποτε γεωµετρικό τόπο πάνω στον οποίο ολοκληρώνουµε. Συγκεκριµένα µία γενική µορφή του m f x µε x R, µπορεί να οριστεί ως 2 : µετασχηµατισµού Radon µία πραγµατικής συνάρτησης ( ) R f = f u c = f x I x u c dx ( ) { } (, ) ( ) δ (, ) n όπου u R, c Rκαι I ( xu, ) πραγµατική συνεχής συνάρτηση. Προφανώς οι ιδιότητες σε κάθε εκδοχή του µετασχηµατισµού είναι δυνατόν να έχουν πάρα πολύ µεγάλες διαφορές και θα πρέπει να εξετάζονται από την αρχή. 2 The general quadratic Radon transform, Koen Denecker, Jeroen Van Overloop and Frank Sommen,

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθαίνοντας το hardware του αναπτυξιακού

Μαθαίνοντας το hardware του αναπτυξιακού 1. ΑΣΚΗΣΗ 1 Μαθαίνοντας το hardware του αναπτυξιακού Προϋποθέσεις Το εργαστήριο αυτό προϋποθέτει το διάβασμα και χρήση των εξής: Αρχείο mcbstr9.chm HTML, που δίδεται με τα υπόλοιπα αρχεία του εργαστηρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 7.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ

ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις Προχωρηµένο Επίπεδο Επεξεργασίας Εικόνας Σύνθεση Οπτικού Μωσαϊκού ρ. Γ. Χ. Καρράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Μηχανολογικών

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Χαρακτηριστικά Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική αντίληψη. Μετά?..

Οπτική αντίληψη. Μετά?.. Οπτική αντίληψη Πρωτογενής ερεθισµός (φυσικό φαινόµενο) Μεταφορά µηνύµατος στον εγκέφαλο (ψυχολογική αντίδραση) Μετατροπή ερεθίσµατος σε έννοια Μετά?.. ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μετασχηματισμών

Θεωρία μετασχηματισμών Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου J-GANNO ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΑΚΕΤΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ JAVA Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC.

εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. 1. Πρώτη µέθοδος περιγραφής του συστήµατος, µέσω ολοκληρωτικοδιαφορικών εξισώσεων. Έστω ένα κύκλωµα L,C,R εν σειρά µε πηγή τάσης. Το κύκλωµα αυτό το θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity.

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity. Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Μιγαδικοί Αριµοί Παναγιώτης Παναγή, ppanagi@ucy.ac.cy ηµήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy The imaginary expression a and the negative expression b, have this resemblance,

Διαβάστε περισσότερα

u u u u u u u u u u u x x x x

u u u u u u u u u u u x x x x Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i 2 2 2 i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σύνθεση Πανοράµατος Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο αισθητήρας (perceptron)

4. Ο αισθητήρας (perceptron) 4. Ο αισθητήρας (perceptron) Σκοπός: Προσδοκώµενα αποτελέσµατα: Λέξεις Κλειδιά: To µοντέλο του αισθητήρα (perceptron) είναι από τα πρώτα µοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν, και έδωσαν µεγάλη ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon

Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon Βιοϊατρική Τεχνολογία ιδάσκων: Σεργιάδης Γεώργιος Τοµογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα CAD / CAM. Ενότητα # 6: Γραφικά

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα CAD / CAM. Ενότητα # 6: Γραφικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα CAD / CAM Ενότητα # 6: Γραφικά Δημήτριος Τσελές Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.2 Γλώσσα Μηχανής 2.3 Εκτέλεση προγράµµατος 2.4 Αριθµητικές και λογικές εντολές 2.5 Επικοινωνία µε άλλες συσκευές

Διαβάστε περισσότερα

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 1 από 11. Απαντήσεις στο φυλλάδιο 57 Ερώτηση: 1 η : Οι ακροδέκτες αυτοί χρησιµοποιούνται για:

Σελίδα 1 από 11. Απαντήσεις στο φυλλάδιο 57 Ερώτηση: 1 η : Οι ακροδέκτες αυτοί χρησιµοποιούνται για: Σελίδα 1 από 11 Απαντήσεις στο φυλλάδιο 57 Ερώτηση: 1 η : Οι ακροδέκτες αυτοί χρησιµοποιούνται για: την επικοινωνία, µε τα υπόλοιπα ολοκληρωµένα κυκλώµατα του υπολογιστικού συστήµατος. την παροχή τροφοδοσίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση ΗΜΥ 429 7. Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση 1 Μαθηματικές ιδιότητες Αντιμεταθετική: a [ * b[ = b[ * a[ παρόλο που μαθηματικά ισχύει, δεν έχει φυσικό νόημα. Προσεταιριστική: ( a [ * b[ )* c[ = a[ *( b[ * c[

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές single-processor αρχιτεκτονικών και SoCs

Διαφορές single-processor αρχιτεκτονικών και SoCs 13.1 Τα συστήματα και η επικοινωνία μεταξύ τους γίνονται όλο και περισσότερο πολύπλοκα. Δεν μπορούν να περιγραφούνε επαρκώς στο επίπεδο RTL καθώς αυτή η διαδικασία γίνεται πλέον αρκετά χρονοβόρα. Για αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα και Αλγόριθµοι Πολυµέσων

Συστήµατα και Αλγόριθµοι Πολυµέσων Συστήµατα και Αλγόριθµοι Πολυµέσων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Οµιλία #3: Αρχές Επεξεργασίας Σηµάτων Πολυµέσων 10 Οκτωβρίου 005 Επανάλειψη (1) ειγµατοληψία επανα-δειγµατοληψία Τεχνικές φίλτρων (συνέλειξη)

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων. Βιβλιογραφία Ενότητας

ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων. Βιβλιογραφία Ενότητας ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Βελτιστοποίηση κώδικα σε επεξεργαστές ΨΕΣ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Βιβλιογραφία Ενότητας Kehtarnavaz [2005]: Chapter

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement)

ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Συµπίεση εικόνας (image compression) Αποκατάσταση εικόνας (Image restoration) ηµήτριος. ιαµαντίδης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ, ΤΜΗΜΑ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΨΣ 50: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 005 006, Χειµερινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Η εξέταση

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση 12 η. Θεωρία Χρώματος και Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση 12 η. Θεωρία Χρώματος και Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Παρουσίαση 12 η Θεωρία Χρώματος και Επεξεργασία Έγχρωμων Εικόνων Εισαγωγή (1) Το χρώμα είναι ένας πολύ σημαντικός παράγοντας περιγραφής, που συχνά απλουστεύει κατά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ Γ ΚΟΙΝΟΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ» 2000-2006 ΑΞΟΝΑΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ: 1 - ΠΑΙ ΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟ: 1.3 ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ, ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑ ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα