«Ταχεία και ακριβής ψηφιοποίηση τρισδιάστατων σκηνών µε χρήση βαθµονοµηµένων καµερών»

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Ταχεία και ακριβής ψηφιοποίηση τρισδιάστατων σκηνών µε χρήση βαθµονοµηµένων καµερών» ΚΟΡ ΕΛΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ A.E.M: 4446 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΜΙΧΑΗΛ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ ΣΤΡΙΝΤΖΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

2 στους γονείς µου, Αθανάσιο και Βασιλική 1

3 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Μιχαήλ Γεράσιµο Στρίντζη, για τη δυνατότητα που µου προσέφερε να ασχοληθώ µε ένα τόσο ενδιαφέρον θέµα και για την υλικοτεχνική υποστήριξη της προσπάθειας µου. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω επίσης και στον διδάκτορα, κ. Ξενοφών Ζαµπούλη, για την άψογη συνεργασία µας, την καθοδήγηση, τις πολύτιµες συµβουλές και παρατηρήσεις του καθώς και για την µείζονα συνεισφορά του στη συγγραφή των δύο επιστηµονικών δηµοσιεύσεων. Επίσης ένα ευχαριστώ στον επιστηµονικό συνεργάτη Γιώργο Λίτο για τον τρισδιάστατο απεικονιστή και στον υποψήφιο διδάκτορα Σάββα Αργυρόπουλο για τις συµβουλές του. Τέλος, ευχαριστίες ανήκουν και στα µέλη της οικογένειάς µου, Αθανάσιο, Βασιλική, Νίκη και ροσούλα για την συνεχή ηθική και οικονοµική συµπαράσταση, σε όλη τη διάρκεια των σπουδών µου. 2

4 Πρόλογος Η τρισδιάστατη ανακατασκευή αντικειµένων, χρησιµοποιώντας την στερεοσκοπική όραση, είναι σηµαντικό αντικείµενο έρευνας στην επιστήµη υπολογιστών. Η ταχεία πρόοδος στην σχεδίαση του λογισµικού και του hardware παρέχει την δυνατότητα στα συστήµατα µηχανικής όρασης να αξιοποιούν τις υψηλές ταχύτητες και το µέγεθος της µνήµης ώστε να βελτιώνουν τις επιδόσεις τους. Για να έχουν οι υπολογιστές τη δυνατότητα κατάτµησης και ανάλυσης της τρισδιάστατης πληροφορίας που προέρχεται από το περιβάλλον προϋποτίθεται ότι το σύστηµα δύναται να αποτυπώσει την πληροφορία σε µορφή που να µπορεί να εξοµοιωθεί µε το πραγµατικό περιβάλλον. Στην περίπτωση των συστηµάτων µηχανικής όρασης η µορφή είναι τρισδιάστατη αναπαράσταση του πραγµατικού κόσµου. Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο την µελέτη, κατανόηση και υλοποίηση νέων µεθόδων για την αποτελεσµατικότερη ανακατασκευή τρισδιάστατων αντικειµένων. 3

5 Περιεχόµενα Ευχαριστίες...2 Πρόλογος...3 Περιεχόµενα... 4 Κεφάλαιο Εισαγωγή Σκοπός διπλωµατικής εργασίας Εφαρµογές Τρισδιάστατη τηλεόραση Αναγνώριση προσώπου Λήψη οπτικής πληροφορίας...8 Κεφάλαιο Βασικό Μοντέλο Pinhole Κάµερας Βαθµονόµηση βασικού µοντέλου pinhole κάµερας Κεφάλαιο Περιγραφή Στερεοσκοπικών Αλγορίθµων Βασικές έννοιες Απλό στερεοσκοπικό σύστηµα Επίπολος Γεωµετρία (Epipolar Geometry) ιόρθωση (rectification) Κλασσικές µέθοδοι ανακατασκευής Μέθοδοι βασισµένες στη συσχέτιση Μέθοδοι βασισµένες στα χαρακτηριστικά Επαγόµενα συµπεράσµατα Σχήµα από περίγραµµα Space Carving Μέθοδος βασισµένη στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος... της επιφάνειας Τρόπος ανακατασκευής της επιφάνειας

6 3.7 Σάρωση χώρου µε χρήση επιπέδων Σάρωση µε επίπεδα τµήµατα Σύνοψη µεθόδων που αναλύθηκαν...32 Κεφάλαιο Μέθοδοι σάρωσης-ανακατασκευή Σηµείων Ορισµός των πινάκων περιστροφής Μέθοδοι Σάρωσης Μέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα Μέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα που ανοίγουν Μέθοδος σάρωσης µε σφαιρικά τµήµατα που ανοίγουν Ευθυγράµµιση µε ευθεία που ενώνει τα κέντρα των καµερών Εύρεση σηµείων επιφάνειας ιγραµµική Παρεµβολή Πειράµατα Σύγκρισης Αποτελέσµατα Σύγκρισης Συµπεράσµατα Σύγκρισης Παραδείγµατα ανακασκευασµένων επιφανειών...66 Κεφάλαιο Ταχεία εύρεση του καθέτου στην επιφάνεια διανύσµατος Υπολογισµός βέλτιστης κατεύθυνσης Πρώτο πείραµα σύγκρισης µεθόδων Αποτελέσµατα πρώτου πειράµατος εύτερο πείραµα σύγκρισης µεθόδων Συµπεράσµατα...77 Κεφάλαιο Συµπεράσµατα Μελλοντική έρευνα ) ηµοσιεύσεις ) Βιβλιογραφία

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Σκοπός διπλωµατικής εργασίας Η διπλωµατική εργασία αποβλέπει στην δηµιουργία τρισδιάστατης ανακατασκευής αντικειµένων, που βρίσκονται σε χώρο στον οποίο έχει τοποθετηθεί πλήθος καµερών. Από τις κάµερες έχουν ληφθεί στιγµιότυπα των αντικειµένων από διαφορετικές οπτικές γωνίες, που συντελούν στην πλήρη αναπαράσταση της τρισδιάστατης σκηνής αφού απεικονίζονται περιοχές που διαφορετικά θα καλυπτόταν. Η έρευνα σε αυτόν τον τοµέα µπορεί να χωριστεί σε δύο κλάδους: Ι) Βελτίωση της ακρίβειας των ανακατασκευών ανεξάρτητα από τον χρόνο υπολογισµού και ΙΙ) Ανακατασκευή σε πραγµατικό χρόνο. Οι αλγόριθµοι στους οποίους επιτυγχάνεται ανακατασκευή µε το ρυθµό εναλλαγής στιγµιότυπων video έχουν ισχυρό περιορισµό στο µέγεθος των εικόνων και στον όγκο του χώρου ανακατασκευής, αντίθετα για αποτελέσµατα υψηλής ακρίβειας απαιτούνται µερικά λεπτά για κάθε ζεύγος εικόνων. Στα πλαίσια της διπλωµατικής υλοποιήθηκε νέα µέθοδος σάρωσης του χώρου µε χρήση σφαιρικών τµηµάτων σάρωσης για εύρεση των χωρικών σηµείων των αντικειµένων και την περαιτέρω ανακατασκευή τους. Η µέθοδος αυτή εκτελείται σε σχεδόν πραγµατικό χρόνο. Επίσης για την µέθοδο που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας [3] υλοποιήθηκε συντοµότερος αλγόριθµος εύρεσης του κάθετου διανύσµατος. Η µεθοδολογίες εφαρµόζονται για διάφορα ζεύγη καµερών. Οι τρισδιάστατες ανακατασκευές που παράγονται για κάθε ζεύγος συγχωνεύονται σε µία τελική που αποτελεί την ολική ανακατασκευή των αντικειµένων. 6

8 1.2 Εφαρµογές Η χρήση τρισδιάστατων ανακατασκευών έχει εφαρµογές στις ερευνητικές περιοχές της τρισδιάστατης τηλεόρασης, της αναγνώρισης προσώπων, της τηλεδιάσκεψης, των διαστηµικών πτήσεων και της βιοµηχανικής επιβλεψης. Κάποιες από τις εφαρµογές παρουσιάζονται στις παραγράφους και Τρισδιάστατη τηλεόραση Στη σύγχρονη εποχή υπάρχουν αρκετά οπτικά µέσα (video, τηλεόραση, κινηµατογράφος). Στα µέσα αυτά ο θεατής παρακολουθεί τις σκηνές από την οπτική γωνιά που έχουν ληφθεί. Η υλοποίηση µεθόδων ανακατασκευής που συνδυάζουν ταχύτητα και ακρίβεια δίνει την δυνατότητα δηµιουργίας ενός νέου οπτικού µέσου που θα παρέχει στο χρήστη τη δυνατότητα να επιλέγει την οπτική γωνία που θα παρακολουθήσει κάποια σκηνή. Στόχος της τρισδιάστατης τηλεόρασης είναι η λήψη τρισδιάστατης οπτικής πληροφορίας από πραγµατική σκηνή και η ακαριαία δηµιουργία ενός ακριβούς οπτικού αντιγράφου της (µε εξαίρεση την κλίµακα) σε αποµακρυσµένη περιοχή[2]. Τα στάδια της οπτικής επικοινωνίας είναι (εικόνα 1.1) : Λήψη και ανακατασκευή τρισδιάστατης οπτικής πληροφορίας. Κωδικοποίηση της οπτικής πληροφορίας σε σήµα. Αποθήκευση και µετάδοση του σήµατος. Αποκωδικοποίηση του σήµατος και απεικόνιση του. Εικόνα 1.1. Ληφθείσα από επίσηµη ιστοσελίδα 3DTV Network of Excellence. 7

9 1.2.2 Αναγνώριση προσώπου Η αναγνώριση προσώπου είναι αντικείµενο έρευνας µε πολλές εφαρµογές σχετικά µε την αναγνώριση ατόµων για λόγους ασφαλείας και την διαδραστική επικοινωνία ανθρώπου και υπολογιστή. Στη υπάρχουσες µεθόδους για να γίνει αποτελεσµατική αναγνώριση πρέπει να ληφθεί εµπρόσθια όψη της εικόνας του προσώπου. Μία από τις προκλήσεις είναι να αποκτήσουν τα συστήµατα οπτικής αναγνώρισης την ικανότητα να αναγνωρίζουν πρόσωπα ανεξάρτητα από την γωνία λήψης αφού το πρόσωπο εµφανίζεται διαφορετικό ανάλογα µε την θέση του στο χώρο[14]. Η αναγνώριση προσώπου χρησιµοποιώντας τις συµβατικές δυσδιάστατες µεθόδους αναγνώρισης είναι δύσκολη. Συχνά είναι αναγκαίο να αποθηκευτεί για κάθε άτοµο πλήθος εικόνων από διαφορετικές γωνίες λήψης[13]. Με την χρησιµοποίηση τρισδιάστατων ανακατασκευών των µοντέλων η διαδικασία της αναγνώρισης επιτυγχάνεται και γίνεται ακριβέστερη. Το τρισδιάστατο µοντέλο µπορεί να προβληθεί σε διαφορετικές δυσδιάστατες εικόνες παράγοντας διαφορετικές όψεις του προσώπου. Έτσι ανάλογα µε τη όψη του προσώπου που καλείται να αναγνωρίσει το οπτικό σύστηµα δηµιουργείται η κατάλληλη δυσδιάστατη εικόνα από το τρισδιάστατο µοντέλο για να επιτευχθεί η ταυτοποίηση. Στη δηµοσίευση [13] παρουσιάστηκε ένα µοντέλο αναγνώρισης προσώπου που παρουσιάζει ποσοστό επιτυχούς αναγνώρισης πάνω από 92.3% σε µία οµάδα 660 προσώπων για φυσικές µεταβολές των συνθηκών φωτισµού. 1.3 Λήψη οπτικής πληροφορίας Για να αξιοποιηθούν τα τρισδιάστατα δεδοµένα πρέπει να ληφθεί η οπτική πληροφορία. Η πληροφορία λαµβάνεται µε φωτογραφικές κάµερες και απεικονίζεται σε δυσδιάστατες εικόνες. Για την λήψη των εικόνων χρησιµοποιήθηκαν pinhole κάµερες. Το βασικό µοντέλο της pinhole κάµερας περιγράφεται στο κεφάλαιο 2. 8

10 Κεφάλαιο 2 Βασικό Μοντέλο Pinhole Κάµερας Στο κεφάλαιο 2 περιγράφεται το µοντέλο της κάµερας που χρησιµοποιήθηκε για την λήψη των εικόνων. Το βασικό µοντέλο της pinhole θεωρείται το πιο απλό και ιδανικό µοντέλο. Έχει µία µικρή οπή διαµέσου της οποίας διέρχεται το φως προτού δηµιουργήσει µία ανεστραµµένη εικόνα στην επιφάνεια της κάµερας. Για λόγους απλότητας θεωρείται ότι η επιφάνεια της κάµερας βρίσκεται ανάµεσα στην οπή και το αντικείµενο όποτε η εικόνα δεν είναι πλέον ανεστραµµένη. Η απεικόνιση των τριών διαστάσεων σε δύο καλείται προοπτική προβολή και αποτελεί θεµελιώδες έννοια για την κατανόηση της τρισδιάστατης ανάλυσης. Για να εξαχθεί η τρισδιάστατη πληροφορία από µία εικόνα πρέπει να καθοριστούν οι παράµετροι που σχετίζουν την θέση ενός σηµείου του χώρου µε την θέση του στην εικόνα. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται βαθµονόµηση. 2.1 Βαθµονόµηση βασικού µοντέλου pinhole κάµερας Αρχικά θα εξεταστεί πως σηµεία του ευκλείδειου τρισδιάστατου χώρου απεικονίζονται στον δισδιάστατο χώρο. Παρακάτω απεικονίζεται µία κάµερα, που θεωρείται τοποθετηµένη στην αρχή του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων, µε κέντρο το σηµείο C που ονοµάζεται κέντρο της κάµερας ή οπτικό κέντρο. Θεωρείται ένα επίπεδο όπου προβάλλονται τα σηµεία του χώρου το οποίο ονοµάζεται εστιακό επίπεδο. Το κέντρο του εστιακού επίπεδου θεωρείται ότι είναι η προβολή του κέντρου του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων. Η ευθεία που ξεκινά από το σηµείο C και είναι κάθετη στο εστιακό επίπεδο ονοµάζεται οπτικός άξονας (principal axis) και το σηµείο που τέµνει το εστιακό επίπεδο είναι το κέντρο της εικόνας. Η απόσταση f ανάµεσα στο κέντρο της εικόνας και το οπτικό κέντρο ονοµάζεται εστιακή απόσταση (focal length). 9

11 Εικόνα 2.1. Γεωµετρία προοπτικής προβολής. Έστω ότι υπάρχει σηµείο Β στο χώρο µε συντεταγµένες B = ( X,Y,Z). Το σηµείο b = (x i,y i,f) του εστιακού επιπέδου στο οποίο απεικονίζεται είναι το σηµείο της τοµής της ευθείας που ενώνει το σηµείο Β και το κέντρο της κάµερας µε το εστιακό επίπεδο. Με χρήση όµοιων τριγώνων αφού αναλυθεί η παραπάνω τρισδιάστατη απεικόνιση στις εικόνες 2.2(α)και 2.2(β) (α) (β) Εικόνα 2.2. Όµοια τρίγωνα (α) στο xz επίπεδο (β) στο yz επίπεδο. Προκύπτει ότι το σηµείο b απεικονίζεται στο σηµείο T (fxz,fyz,f) στο εστιακό επίπεδο. Αγνοώντας την τρίτη συντεταγµένη που είναι σταθερή για όλα τα σηµεία του εστιακού επιπέδου παρατηρείται ότι ισχύει η σχέση[1]: T T X, Y, Z f X Z f Y Z ( ) a (, ) (1.1) που περιγράφει την προβολή του σηµείου Β από τις τρισδιάστατες συντεταγµένες στις συντεταγµένες πάνω στην εικόνα. 10

12 Η (1.1) δύναται σε οµογενείς συντεταγµένες να γραφεί µε την µορφή πολλαπλασιασµού πινάκων ως εξής: X X fx f Y Y a fy = 0 f 0 0 Z Z (1.2) Z Ο πίνακας µπορεί να γραφεί ως diag(f,f,1)[i 0] όπου diag(f,f,1) είναι διαγώνιος πίνακας και το [I 0] αναπαριστά ένα πίνακα που χωρίζεται σε ένα 3x3 µοναδιαίο πίνακα και ένα µηδενικό πινάκα στήλη διάστασης 3x1. O πίνακας P= diag(f,f,1)[i 0] ονοµάζεται πίνακας προβολής και από την εξίσωση b=pb προκύπτουν οι συντεταγµένες b στην εστιακή εικόνα, στις οποίες προβάλλεται το σηµείο του χώρου B [1]. Η σχέση (1.1) ισχύει στην περίπτωση που το κέντρο της εικόνας T έχει συντεταγµένες: p = (0,0,f). Συνήθως όµως είναι: p = (x,y,f) 0 0 (εικόνα 2.3). Επιπλέον αν η κάµερα έχει παράµετρο παραµόρφωσης s (εικόνα 2.4) τότε ισχύει: T X X fx + zx0 f s x0 0 Y Y a fy + zy0 = 0 f y0 0 Z Z Z (1.3) Εικόνα 2.3.Με κέντρο εικόνας p. Εικόνα 2.4. Παράµετρος παραµόρφωσης. 11

13 Εάν τεθεί : τότε (1.3) αποκτά τη µορφή: f s x0 K = 0 f y b = K[I 0]Xcam (1.4) Ο πίνακας Κ ονοµάζεται πίνακας βαθµονόµησης. Το νέο σύστηµα T συντεταγµένων που έχει σαν κέντρο της εικόνας το σηµείο p = (x 0,y 0,f) ονοµάζεται σύστηµα συντεταγµένων της κάµερας και για λόγους T έµφασης έχει γραφτεί το ( X, Y, Z) ως X cam [1]. Περιστροφή και µεταφορά της κάµερας. Γενικά, τα σηµεία στο χώρο εκφράζονται στο παγκόσµιο σύστηµα συνταγµένων. Τα δύο συστήµατα συντεταγµένων συνδέονται µέσω περιστροφής και µεταφοράς (εικόνα 2.5). Εικόνα 2.5. Από τις συντεταγµένες της κάµερας στο παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων. T Εάν X% = ( xs,y s,zs) είναι ένα µη οµογενές διάνυσµα που αναπαριστά τις συντεταγµένες ενός σηµείου στο παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων και X % cam το διάνυσµα που αναπαριστά το ίδιο σηµείο στο σύστηµα συντεταγµένων της κάµερας, τότε γράφεται X % cam = R(X % C) %, όπου το C % είναι το διάνυσµα ΟC 12

14 εκφρασµένο στο παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων, και R είναι ένας 3x3 πίνακας περιστροφής που εκφράζει τον προσανατολισµό του συστήµατος συντεταγµένων της κάµερας. Η παραπάνω εξίσωση σε οµογενείς συντεταγµένες γράφεται: X R RC% Y R RC% Xcam = = X (1.5) 0 1 Z Από τις σχέσεις (1.4) και (1.5) προκύπτει για το σηµείο Χ του παγκόσµιου συστήµατος συντεταγµένων η σχέση: b = KR[I C]X % (1.6) Οι παράµετροι που περιέχονται στον πίνακα K λέγονται εσωτερικές παράµετροι της κάµερας. Οι παράµετροι R και C % που συσχετίζουν την θέση και τον προσανατολισµό της κάµερας µε το παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων ονοµάζονται εξωτερικές παράµετροι της κάµερας [1]. Ακτινική Παραµόρφωση. Η παραµόρφωση γενικά περιγράφει την απόκλιση ενός σηµείου στην εικόνα από την θέση που προβλέπεται από το βασικό µοντέλο της pinhole κάµερας. Η πιο συνηθισµένη παραµόρφωση που παρουσιάζεται κατά µήκος των ακτινικών διευθύνσεων στις κάµερες, που έχουν ευρύ οπτικό πεδίο, ονοµάζεται ακτινική παραµόρφωση. Το µοντέλο που περιγράφει την εξισορρόπηση της ακτινικής παραµόρφωσης της εικόνας είναι [16]: x xd 2 4 (1 a1r a 2r ) y = + + y d όπου µε (x d,y d) αναπαριστώνται οι συντεταγµένες των παραµορφωµένων σηµείων, (x,y) είναι οι πραγµατικές συντεταγµένες των σηµείων στην εικόνα εάν δεν υπήρχε παραµόρφωση ενώ r = xd + yd και a 1, a 2 είναι παράµετροι της κάµερας που αναφέρονται στον βαθµό παραµόρφωσης [16]. 13

15 Κεφάλαιο 3 Περιγραφή Στερεοσκοπικών Αλγορίθµων Το πρόβληµα που καλούνται να λύσουν οι αλγόριθµοι είναι η διαπίστωση κατά πόσο ένα σηµείο στο χώρο ανήκει στην επιφάνεια αντικειµένου και στην συνέχεια η ανακατασκευή του. Η είσοδος των αλγορίθµων είναι το ελάχιστο δύο εικόνες που απεικονίζουν διαφορετικές όψεις του αντικειµένου που θα ανακατασκευαστεί. Η πιο συνηθισµένη προσέγγιση που ακολουθούν οι αλγόριθµοι είναι η στερεοσκοπική αντιστοίχηση. ηλαδή αντιστοιχίζονται σηµεία σε ζεύγη εικόνων και έπειτα ανακατασκευάζονται στις τρεις διαστάσεις. Η συνηθέστερη κατηγορία αλγόριθµων αντιστοίχησης είναι αυτών που ελέγχουν την οµοιότητα ανάµεσα στα pixel των εικόνων ώστε να εξάγουν τα τρισδιάστατα σηµεία. Επίσης, υπάρχουν και αλγόριθµοι που ελέγχουν την οµοιότητα σε χαρακτηρίστηκα που εµφανίζονται στις εικόνες. Ωστόσο έχουν υλοποιηθεί πρωτοποριακές τεχνικές ανακατασκευών που προσφέρουν υψηλότερες ταχύτητες και µεγαλύτερη ακρίβεια στις ανακατασκευές. Οι µέθοδοι που περιγράφονται παρακάτω χρησιµοποιούν βαθµονοµηµένες κάµερες, δηλαδή είναι γνωστό που προβάλλεται κάθε τρισδιάστατο σηµείο της σκηνής στην κάθε εικόνα. Το πρόβληµα της βαθµονόµησης αποτελεί σηµαντικό τµήµα της στερεοσκοπικής όρασης και θεωρείται επιλυµένο στην παρούσα διπλωµατική. Στην παράγραφο 3.1 ορίζονται βασικές έννοιες που αναφέρονται στις µεθόδους που περιγράφονται σε επόµενες ενότητες. 3.1 Βασικές έννοιες Λαµπερτιανές Επιφάνειες (Lambertian surfaces): Ονοµάζονται οι επιφάνειες που φαίνονται όµοιες από όλες τις οπτικές γωνιές λήψεως. ηλαδή αντανακλούν το φως εξίσου προς όλες τις κατευθύνσεις [20]. 14

16 Χάρτης βάθους (depth map): Είναι ένας δισδιάστατος πίνακας όπου η απόσταση ενός σηµείου όσον αφορά τους άξονες x και y αντιστοιχεί στις σειρές και τις στήλες του πίνακα, και το βάθος (οι τιµές του άξονα z) αποθηκεύονται σαν στοιχεία του πίνακα. (pixels). Ο χάρτης βάθους είναι σαν εικόνα αποχρώσεων του γκρι όπου η πληροφορία z αντικαθιστά τις τιµές της φωτεινότητας. Κυρτό Περίβληµα (convex hull): Το κυρτό περίβληµα ενός αντικειµένου είναι το ελάχιστο σε διαστάσεις περίβληµα που εσωκλείει ένα αντικείµενο στο χώρο (εικόνα 3.1)[7],[17]. Το κυρτό περίβληµα αποτελείται από πολυγωνικά επίπεδα. Εικόνα 3.1. Το αντικείµενο και το εξαγόµενο κυρτό περίβληµα. 3.2 Απλό στερεοσκοπικό σύστηµα Προτού αναφερθεί το πρόβληµα της αντιστοίχησης σηµείων γίνεται αναφορά σε ένα απλό στερεοσκοπικό σύστηµα που αποτελείται από δύο απλές pinhole κάµερες [1]. Το αριστερό και το δεξί εστιακό επίπεδο είναι συνεπίπεδα και αναπαριστώνται από Ι l και Ι r αντιστοίχως. Τα σηµεία Ο l και Ο r είναι τα οπτικά κέντρα των καµερών. Η θέση στο χώρο των σηµείων P και Q καθορίζεται από την τοµή των ηµιευθειών των οπτικών κέντρων Ο l και Ο r και των προβολών των σηµείων P και Q στα εστιακά επίπεδα που είναι: pl, p r και ql, q r αντίστοιχα. Εάν (pl, p r ) και (ql, q r ) επιλεγούν σαν τα ζεύγη αντίστοιχων 15

17 σηµείων στις εικόνες τότε η τοµή των ηµιευθειών Οl pl Ο r p r και Οl pl Ο r p r οδηγεί στα σηµεία P,Q που είναι σηµεία του χώρου που βρίσκονται στην επιφάνεια αντικειµένου. Αν αντιστοιχιζόταν τα ζεύγη των σηµείων (pl, q r ) και (ql, p r ) τότε τα σηµεία που Θα προέκυπταν θα ήταν τα P και Q αποτέλεσµα που είναι εντελώς διαφορετικό από το προηγούµενο (εικόνα 3.2). Εποµένως το πρόβληµα της σωστής αντιστοίχησης κρίνεται σηµαντικό. Εικόνα 3.2. Το πρόβληµα της αντιστοίχησης [1]. Εφεξής θεωρείται ότι το πρόβληµα της αντιστοίχησης έχει επιλυθεί και τελικά το σηµείο P ανήκει σε αντικείµενο και θα ανακατασκευαστεί. Στην συνέχεια εξετάζεται ή ανάκτηση του σηµείου P από τις προβολές pl και p r. Θεωρείται ότι Τ είναι η απόσταση ανάµεσα στα οπτικά κέντρα Ο l,,ο r ενώ xl, x r είναι οι συντεταγµένες των pl και p r σε σχέση µε τα κέντρα cl και c r των εστιακών επιπέδων. Η εστιακή απόσταση είναι f και για τις δύο κάµερες, και Ζ είναι η απόσταση του σηµείου P από την ευθεία που ενώνει τα κέντρα των καµερών (εικόνα 3.3). Από τα όµοια τρίγωνα (pl, P, p r ) και (Ο l, P, Ο r ) προκύπτει : T+ xl xr T T = Z= f Z f Z d όπου d= xl x r είναι η τιµή της ανοµοιότητας (disparity), δηλαδή η διάφορα ως προς την θέση ανάµεσα. στα σηµεία που αντιστοιχίζονται στις δύο εικόνες. 16

18 Εικόνα 3.3. Το βάθος υπολογίζεται από την τιµή ανοµοιότητας των αντιστοιχισµένων σηµείων Επίπολος Γεωµετρία (Epipolar Geometry) Στη συνέχεια εξετάζεται η στερεοσκοπική γεωµετρία στην γενική µορφή της (εικόνα 3.4). Απεικονίζονται δύο απλές pinhole κάµερες µε οπτικά κέντρα Ο l και Ο r, και εστιακά επίπεδα π l και π r. Οι εστιακές αποστάσεις είναι fl και f r. Tα διανύσµατα Pl =[Xl, Yl, Zl ] T και Pr =[Xr, Yr, Zr ] T αναφέρονται στο ίδιο τρισδιάστατο σηµείο, P, σαν διάνυσµα του συστήµατος αναφοράς της δεξιάς και της αριστερής κάµερας αντιστοίχως. Tα διανύσµατα pl =[xl, yl, z l ] T και pr =[xr, yr, z r ] T αναφέρονται στις προβολές του P στο αριστερό και το δεξί εστιακό επίπεδο και εκφράζονται στο αντίστοιχο σύστηµα αναφοράς. Για όλα τα σηµεία των εστιακών επιπέδων ισχύει ότι zl =fl και z r =f r. Τα σηµεία στα οποία η ευθεία που ενώνει τα οπτικά κέντρα τέµνει τα εστιακά επίπεδα ονοµάζονται επίπολοι (epipoles). Συνεπώς η επίπολος στην µία κάµερα είναι η απεικόνιση του οπτικού κέντρου της άλλης κάµερας. Το επίπεδο που σχηµατίζεται από το σηµείο P και τα οπτικά κέντρα Ο l και Ο r ονοµάζεται επίπολo επίπεδο (epipolar plane). Η ευθεία γραµµή που σχηµατίζεται από την τοµή του επίπολου επιπέδου µε το εστιακό επίπεδο ονοµάζεται επίπολος γραµµή (epipolar line). 17

19 Εικόνα 3.4. Η επίπολος γεωµετρία. Τα συστήµατα αναφοράς της αριστερής και της δεξιάς κάµερας συσχετίζονται µέσω των εξωτερικών παραµέτρων. Οι παράµετροι καθορίζουν το διάνυσµα µεταφοράς T=(Ο l Ο r ) και τον πίνακα περιστροφής R. Έτσι για το σηµείο P του χώρου η σχέση ανάµεσα στα διανύσµατα P l και Pr είναι: Pr =R (Pl T). Η σχέση ανάµεσα σε ένα σηµείο του τρισδιάστατου χώρου και στην προβολή του περιγράφεται από την διανυσµατικές σχέσεις[1]: p f l l = Pl και Zl p r fr = Z r P r ιόρθωση (rectification) Η διαδικασία της διόρθωσης ορίζει ότι τα εστιακά επίπεδα π l και π r των δύο καµερών έχουν αντικατασταθεί από δύο ισοδύναµα εστιακά επίπεδα π l και π r, τέτοια ώστε το ζεύγος των επίπολων γραµµών να γίνεται συγγραµµικό και παράλληλο στην ευθεία που ενώνει τα οπτικά κέντρα των καµερών[1]. Τα διορθωµένα εστιακά επίπεδα µπορούν να ληφθούν από περιστροφή των αρχικών εστιακών επιπέδων γύρω από το οπτικά κέντρα (εικόνα 3.5). 18

20 Εικόνα 3.5. ιόρθωση εστιακών επιπέδων. Εικόνα 3.6. Το αρχικό ζεύγος εικόνων και οι εικόνες µετά την διόρθωση. 19

21 3.3 Κλασσικές µέθοδοι ανακατασκευής Οι κλασσικές µέθοδοι ανακατασκευής βασίζονται στην αντιστοίχηση περιοχών απευθείας στις εικόνες και ανάλογα µε την θέση τους στις εικόνες εξάγεται η θέση τους στο τρισδιάστατο χώρο. Οι περιορισµοί που ισχύουν στις περισσότερες µεθόδους για να λυθεί το πρόβληµα της αντιστοίχησης σηµείων του ζεύγους των εικόνων είναι οι εξής [6]: Τα περισσότερα σηµεία της σκηνής είναι ορατά και από τις δύο εικόνες. Οι περιοχές των εικόνων που αντιστοιχίζονται είναι παρεµφερής. Οι περιορισµοί ισχύουν για σηµεία του χώρου που βρίσκονται σε µεγάλες αποστάσεις σε σχέση µε την απόσταση µεταξύ των κέντρων των καµερών. ιαφορετικά το πρόβληµα της αντιστοίχησης δυσχεραίνεται. Προς το παρόν θεωρείται δεδοµένη η ισχύς των περιορισµών και το πρόβληµα της αντιστοίχησης µετατρέπεται σε πρόβληµα της εξής αναζήτησης : έχοντας σαν δεδοµένο ένα στοιχείο της πρώτης εικόνας αναζητείται το αντίστοιχο στοιχείο της δεύτερης εικόνας. Οι αλγόριθµοι αντιστοίχησης των κλασσικών µεθόδων διαχωρίζονται στους βασισµένους στη συσχέτιση (correlation-based) και τους βασισµένους στα χαρακτηριστικά (feature-based) Μέθοδοι βασισµένες στη συσχέτιση Στις µεθόδους που βασίζονται στη συσχέτιση τα στοιχεία που συνταιριάζονται στις εικόνες είναι παράθυρα συγκεκριµένου µεγέθους, και το κριτήριο οµοιότητας είναι η µέτρηση της συσχέτισης ανάµεσα στα παράθυρα των δύο εικόνων. Το στοιχείο που αντιστοιχίζεται τελικά είναι αυτό που δίνει την υψηλότερη τιµή συσχέτισης σε µία καθορισµένη περιοχή. Ο αλγόριθµος σε περιληπτικά βήµατα αναλύεται παρακάτω [1]. Η είσοδος είναι ένα ζεύγος εικόνων, Ι l (αριστερή) και Ι r (δεξιά). Έστω p l και p r είναι τα pixels στην αριστερή και τη δεξιά εικόνα, 2W+1 (σε pixel) το παράθυρο της συσχέτισης, R(pl) η περιοχή 20

22 αναζήτησης στη δεξιά εικόνα, και ψ(u,υ) µία συνάρτηση µε µεταβλητές δύο τιµές pixel, u,υ. Για κάθε pixel T p l [i, j] R(p l) = υπολογίζεται: W W c(d) = ψ (I (i + k, j+ l),i (i + k d, j+ l d )) k= W l= W l r 1 2 Η ανοµοιότητα (disparity) του pl είναι το διάνυσµα r r r d = [d,d ] 1 2 T που µεγιστοποιεί τη συνάρτηση c(d) στη περιοχή R(pl). r d = argmax{c(d)} d R Το αποτέλεσµα είναι ένας πίνακας από τιµές ανοµοιότητας (µία για κάθε pixel) και ονοµάζεται χάρτης ανοµοιότητας (disparity map). ύο ευρέως αποδεκτές επιλογές για την συνάρτηση ψ=ψ(u,υ) είναι: ψ(u,υ)=u.υ που οδηγεί στον υπολογισµό της εµπλεκόµενης συσχέτισης (cross-correlation) ανάµεσα στο παράθυρο της αριστερής εικόνας και της περιοχής που εξετάζεται στη δεξιά εικόνα, και ψ(u,υ)=-(u-υ) 2 που εκτελεί την µέθοδο του αθροίσµατος τετραγώνων των διαφορών (sum of squared differences). Γενικά η συνάρτηση ψ(u,υ)=-(u-υ) 2 προτιµάται από την ψ(u,υ)=u.υ διότι δεν προκαλεί απόκλιση στο αποτέλεσµα στις περιοχές της εικόνας που παρουσιάζουν πολύ µικρές ή πολύ υψηλές τιµές φωτεινότητας. Για να περιοριστεί η διαδικασία αντιστοίχησης ενός pixel της πρώτης εικόνας στη δεύτερη σε υπολογισµό της συσχέτισης του παραθύρου κατά µήκος µίας οριζόντιας γραµµής πάνω στην δεύτερη εικόνα προηγείται διόρθωση (rectification) των εστιακών επιπέδων. Ορθή επιλογή παραθύρου συσχέτισης: Η σωστή επιλογή του σχήµατος και του µεγέθους του παραθύρου συσχέτισης είναι κρίσιµη για την επιτυχία της µεθόδου. Το παράθυρο θα πρέπει να είναι αρκετά µεγάλο, ώστε να αντιλαµβάνεται την µεταβολή της φωτεινότητας και αρκετά µικρό, για να αποφεύγονται οι επιδράσεις των προβολικών παραµορφώσεων[6]. 21

23 3.3.2 Μέθοδοι βασισµένες στα χαρακτηριστικά Στις µεθόδους που βασίζονται στα χαρακτηριστικά η αντιστοίχηση στοιχείων περιορίζεται σε αραιές οµάδες χαρακτηριστικών στις εικόνες. Αντί για παράθυρα στις εικόνες, χρησιµοποιούν αριθµητικούς και συµβολικούς περιγραφείς των χαρακτηριστικών και υπολογίζουν σαν κριτήριο την απόσταση ανάµεσα στα χαρακτηριστικά [1]. Για παράδειγµα ένας περιγραφέας που αναφέρεται σε γραµµή θα περιείχε τιµές για : το µήκος, l. τον προσανατολισµό, ο τις συντεταγµένες του µεσαίου σηµείου,[x,y] T την µέση αντίθεση κατά µήκος της γραµµής Τα στοιχεία που αντιστοιχίζονται είναι όµοια ζεύγη χαρακτηριστικών που παρουσιάζονται στις δύο εικόνες και βρίσκονται στην µικρότερη απόσταση. Τυπικά παραδείγµατα χαρακτηριστικών είναι τα σηµεία των ακµών, οι γραµµές και οι γωνίες που σχηµατίζονται στην ένωση δύο ακµών. Η ανοµοιότητα υπολογίζεται ανάµεσα στις θέσεις στην εικόνα όπου βρίσκονται τα χαρακτηριστικά οπότε ο χάρτης ανοµοιότητας είναι αραιός. Οπότε οι µέθοδοι που βασίζονται στα χαρακτηριστικά γενικά δεν κρίνοντα κατάλληλες για ανακατασκευή από δύο κάµερες. Για κάθε χαρακτηριστικό υπάρχει ποικιλία από αλγόριθµους αντιστοίχησης. Η επιλογή του χαρακτηριστικού εξαρτάται από παράγοντες όπως το είδος του αντικειµένου που θα αναπαρασταθεί και τις συνθήκες φωτεινότητας Επαγόµενα συµπεράσµατα Οι µέθοδοι που βασίζονται στη συσχέτιση υλοποιούνται ευκολότερα και δηµιουργούν πυκνότερους χάρτες ανοµοιότητας (disparity map). Ωστόσο χρειάζονται σαν είσοδο εικόνες που απεικονίζουν αντικείµενα µε διακυµάνσεις στην υφή τους. Η µεταβολή της φωτεινότητας των αντικειµένων όταν η λήψη του ζεύγους των εικόνων γίνεται από αρκετά διαφορετικές οπτικές γωνιές καθιστά τις µεθόδους ακατάλληλες. Επιπλέον η διγραµµική παρεµβολή που είναι 22

24 απαραίτητη για να γίνει αντιστοίχηση µε ακρίβεια υπο-pixel είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα στις µεθόδους που βασίζονται στη συσχέτιση. Οι µέθοδοι που βασίζονται στα χαρακτηριστικά είναι κατάλληλες όταν είναι γνωστές εκ των προτέρων πληροφορίες για την σκηνή ώστε να επιλέγονται τα χαρακτηριστικά που οδηγούν σε βέλτιστο αποτέλεσµα. Οι µέθοδοι αυτές µπορούν να αποδειχθούν ταχύτερες σε σχέση µε αυτές που βασίζονται στην συσχέτιση, αλλά πρέπει να συνυπολογιστεί και ο χρόνος που απαιτείται για τον ορισµό των περιγραφέων. Παράλληλα δεν επηρεάζονται από µεταβολές της φωτεινότητας. Γενικά η επίδοση των µεθόδων αντιστοίχησης υπονοµεύεται από την ύπαρξη σηµείων που υπάρχουν µόνο σε µία από τις εικόνες (εικόνα 3.5) και από την αντιστοίχηση λάθος στοιχείων εξαιτίας ύπαρξης θορύβου (spurious matches) [6]. (α) (β) Εικόνα 3.7.Ορατότητα από µία κάµερα λόγω: (α) Ύπαρξης µικρού αντικειµένου στο προσκήνιο, (β) Πτύχωσης της επιφάνειας. Τα ίδια σηµεία µίας επιφάνειας ίσως απεικονιστούν διαφορετικά στις ληφθείσες εικόνες, εξαιτίας της µεγάλης απόκλισης τους από τον οπτικό άξονα ή της µεγάλης απόστασης µεταξύ των κέντρών των δύο καµερών. Ένα πρόβληµα που ανακύπτει από την συγχώνευση των πινάκων βάθους των ζευγών των καµερών είναι ότι τα σφάλµατα κατά τη 23

25 βαθµονόµηση των καµερών προκαλούν ανακατασκευές του ίδιου σηµείου επιφανείας σε διαφορετικές θέσεις. 3.4 Σχήµα από περίγραµµα(shape-from-silhouette) Η απλούστερη προσέγγιση ανακατασκευής από πολλαπλές κάµερες είναι η βασισµένη στο περίγραµµα [2],[23] και παρουσιάζει την µικρότερη υπολογιστική πολυπλοκότητα. Η βασική ιδέα των προσέγγισης είναι ότι το κάθε αντικείµενο είναι ολόκληρο τοποθετηµένο σε κάποια θέση µέσα στο περίγραµµα του. (α) (β) Εικόνα 3.8.(α): Κώνος θέασης διαµέσου του περιγράµµατος. (β): Τοµή πολλαπλών κώνων θέασης. Αν ένα αντικείµενο είναι ορατό από µία συγκεκριµένη κάµερα οι ακτίνες από το οπτικό κέντρο που διέρχονται από το περίγραµµα διαµορφώνουν τον κώνο θέασης. Οι είσοδοι είναι δυαδικές µάσκες µε την τιµή σε ένα σηµείο να δείχνει αν διέρχεται από αυτό οπτική ακτίνα. Ο κώνος θέασης (εικόνα 3.8(α)) καθορίζει ένα άνω όριο για το σχήµα του αντικειµένου, το κανονικό αντικείµενο καταλαµβάνει ίσο η µικρότερο σε όγκο σε σχέση µε την προκαταρκτική προσέγγιση του περιγράµµατος. Για κάθε κάµερα που βλέπει το αντικείµενο, διαµορφώνεται, µε βάση το περίγραµµα, ένας κώνος θέασης που περιέχει ολόκληρο το αντικείµενο. Όποτε το αντικείµενο βρίσκεται στον όγκο που οριοθετείται από την τοµή των κώνων θέασης. Μόνο τα σηµεία που 24

26 βρίσκονται στο τρισδιάστατο αυτό χώρο ανήκουν στο αντικείµενο που θα ανακατασκευαστεί (εικόνα 3.8(β)). Η τοµή όλων των κώνων θέασης υπολογίζεται µε ακρίβεια µε πολυεδρικές αναπαραστάσεις. Ωστόσο δεν µπορούν να ανακατασκευαστούν όλα τα σχήµατα µε τις µεθόδους που βασίζονται στο περίγραµµα. Η κοιλότητα (εικόνα 3.8(β)) δεν είναι ποτέ ορατή στο περίγραµµα και δεν θα ανακτηθεί[2]. Επιπλέον αξιώνεται ότι οι κάµερες βρίσκονται εκτός του κυρτού περιβλήµατος της σκηνής και ότι τα αντικείµενα µπορούν να κατατµηθούν από το φόντο Space carving Η µέθοδοι που αναλύονται στις παραγράφους 3.5,3.6 προϋποθέτουν ότι ο χώρος έχει διαχωριστεί σε voxels (εικόνα 3.9). Όπου τα voxels είναι µικροί κύβοι µε κοινό µήκος ακµής. Το κάθε voxel χαρακτηρίζεται από τις συντεταγµένες του σηµείου που βρίσκεται στο κέντρο του [2]. Εικόνα 3.9. ιαχωρισµός σκηνής σε voxels[2]. Στις µεθόδους που το σχήµα προκύπτει από το περίγραµµα η πληροφορία του χρώµατος δεν αξιοποιείται. Έτσι αν και οι αλγόριθµοι είναι αρκετά γρήγοροι δεν µπορούν να ανακατασκευαστούν όλες οι επιφάνειες. Ο περιορισµός δύναται να ξεπεραστεί αν ληφθεί υπόψη το χρώµα των εικόνων. Η µέθοδος space carving λαµβάνει υπόψη το χρώµα για να βελτιώσει την ακρίβεια της ανακατασκευής [8]. 25

27 Το πλεονέκτηµα της αξιοποίησης του χρώµατος τις επιφάνειας φαίνεται στην εικόνα Η εικόνα δείχνει ένα αντικείµενο µε µία µικρή κοιλότητα που δεν ανιχνεύεται χρησιµοποιώντας το περίγραµµα. Έστω ένα σηµείο Μ 1 βρίσκεται στο κυρτό κέλυφος και προβάλλεται σε συγκεκριµένα pixels στις κάµερες Α και Β αντιστοίχως. Αφού στο πραγµατικό σχήµα υπάρχει κοιλότητα τα pixels στις δύο κάµερες χρωµατίζονται από τα διαφορετικά σηµεία Μ 2 και Μ 3 της επιφάνειας αντί για το Μ 1. Εποµένως το σηµείο Μ 1 δεν ανήκει στην επιφάνεια του πραγµατικού αντικειµένου και θα αφαιρεθεί. Οι µέθοδοι space carving εκµεταλλεύονται το φαινόµενο αυτό για να λαξεύουν τις κοιλότητες στο κυρτό κέλυφος, όπως ο γλύπτης λαξεύει την πέτρα, µέχρι το αντικείµενο να δείχνει σωστά από όλες τις οπτικές γωνίες [2],[8]. Εικόνα Βελτίωση του σχήµατος του αντικειµένου αξιοποιώντας το χρώµα τις επιφάνειας[2]. Για κάθε voxel που χωρίζεται ο όγκος υπολογίζεται η προβολή σε όλες τις διαθέσιµες κάµερες και, ανάλογα µε τα χρώµατα των pixel που αντιστοιχίζεται στις εικόνες και λαµβάνοντας υπόψη και την ορατότητα από τις κάµερες, καθορίζεται αν το pixel ανήκει στην επιφάνεια του αντικειµένου η όχι. Αν το voxel βρίσκεται στη επιφάνεια υπολογίζεται το χρώµα του από τα pixel που προβάλλεται στις εικόνες. Σε αντίθετη περίπτωση τo voxel θεωρείται διάφανο και ο αλγόριθµος συνεχίζει µε τα επόµενα voxels του όγκου. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται µέχρι η ανακατασκευή του αντικειµένου να δείχνει σωστή. Η space-carving 26

28 µέθοδος δύναται να καθορίσει εάν σηµείο του χώρου ανήκει σε επιφάνεια αντικειµένου αλλά δεν παρέχει πληροφορίες για το κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας. Επίσης είναι δύσκολο να επιτευχθεί φασµατική ραδιοµετρική/χρωµατική βαθµονόµηση. 3.6 Μέθοδος βασισµένη στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας Στη µέθοδο που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας υλοποιείται επίπεδο πλαίσιο στον τρισδιάστατο χώρο το οποίο προβάλλεται πάνω στα εστιακά επίπεδα των καµερών και έπειτα υπολογίζεται η συσχέτιση των προβολών αυτών. Για κάθε κατεύθυνση του πλαισίου υπολογίζεται µία τιµή συσχέτισης. Η κατεύθυνση για την οποία η τιµή της συσχέτισης είναι µέγιστη επιλέγεται ως η βέλτιστη [3]. Ο αλγόριθµος αποτελεί νέα προσέγγιση όσον αφορά την επιλογή των καµερών που θα ληφθούν υπόψη για να αποφασιστεί εάν ένα voxel αποτελεί περιέχει σηµείο επιφάνειας ή όχι. Οι γειτονικές κάµερες οµαδοποιούνται. Για κάθε voxel επιλέγεται η οµάδα καµερών που οδηγεί στην µεγαλύτερη τιµή συσχέτισης. Η στρατηγική αυτή εγγυάται ότι τα πλαίσια που φαίνονται ασυνεχή από κάποιες κάµερες σε κάποιες άλλες, που επιτυγχάνεται υψηλή τιµή συσχέτισης, είναι συνεχή. Επιπροσθέτως η σύνδεση του voxel µε την οµάδα που δίνει την υψηλότερη τιµή οδηγεί στην καλύτερη εκτίµηση του προσανατολισµού του πλαισίου για τα voxel που αποτελούν σηµεία επιφάνειας. Ουσιαστικά η κατεύθυνση των πλαισίων για τα κατειληµµένα voxel ταυτίζεται µε το κάθετο στην επιφάνεια διάνυσµα οπότε τα πλαίσια εφάπτονται στην επιφάνεια [3],[9],[18]. Το σηµείο που εξετάζεται βρίσκεται σε επιφάνεια εάν έχει την µέγιστη τιµή συσχέτισης κατά µήκος του κάθετου διανύσµατος του. Ο αλγόριθµος που περιγράφεται προηγουµένως εφαρµόζεται σε 3 σηµείο p r r R του χώρου και υπολογίζει µία τιµή συσχέτισης s( p) και ένα τρισδιάστατο κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα κ r (p) r (προσανατολισµός). 27

29 Θεωρείται επίπεδο πλαίσιο Sr n, µε µέγεθος α x α µονάδες µήκους (mm), µε κέντρο το σηµείο p r και κάθετο διάνυσµα n r. Από την προβολή των εικόνων Ι 1 και Ι 2 στο Sr n προκύπτουν οι συγγραµµισµένες εικόνες rr rr w(p,n) 1 και w (p,n) 2. Ο σχηµατισµός των συγγραµµισµών προκύπτει από τον τύπο [3]: r r r r T w ( p, n) = I ( P ( p+ R( n) [ x y 0] )), i {1, 2} i i i όπου P r i είναι ο πίνακας προβολής της κάµερας i, R( n ) είναι o 3 x 3 T πίνακας περιστροφής από διάνυσµα [0 01] σε n r, και x, y [ a 2, a 2] είναι η µεταβολή των συντεταγµένων των σηµείων του τετραγωνικού πλαισίου οριζόντια και κάθετα. Εικόνα Η επιφάνεια προβάλλεται παραµορφωµένη στις εικόνες (Ι 1,2 ), αλλά οι συγγραµισµοί (W 1,2 ) του επίπεδου πλαισίου που εφάπτονται στην επιφάνεια δεν είναι [3]. Το διάνυσµα n r χρησιµοποιείται ως µη δεσµευµένη µεταβλητή για r r r τον υπολογισµό των s( p), κ(p) µε κριτήριο τη συσχέτιση των rr r r r r r r συγγραµισµών w(p,n) 1 και w (p,n) 2 : Corr(w 1(p,n),w(p,n)) 2 ανάλογα µε το n r. Οι εξισώσεις είναι [3]: r r r r r s(p) max(corr(w (p,n),w (p,n))) = r n 1 2 r r r κ (p) = arg( s( p )) 28

30 r Το βαθµωτό µέγεθος s( p) και το διάνυσµα κ r (p) r συγχωνεύονται στο rr r r r r r r r r r διάνυσµα υ( p),για το οποίο ισχύει υ( p) = s(p) και υ( p) υ( p) = κ(p). Τίθεται επίσης w(p) r i = w(p,n) r r i. Εφεξής θεωρείται ό,τι οι εικόνες Ι 1 και Ι 2 είναι Λαµπερτιανές και ότι οι επιφάνειες είναι τοπικά επίπεδες όπως συµβαίνει µε τις πραγµατικές επιφάνειες. Όταν οι Ι 1 και Ι 2 είναι συνεχείς και το Sr n εφάπτεται στην r r επιφάνεια του αντικειµένου, στους συγγραµισµούς w(p) 1 και w(p) 2 δεν υπάρχει παραµόρφωση, διότι απεικονίζονται τα ίδια σηµεία του χώρου. Τότε η συσχέτιση είναι η βέλτιστη. Αντίθετα, όταν το Sr n δεν είναι r r εφαπτόµενο στην επιφάνεια οι συγγραµισµοί w (p) 1 και w (p) 2 θα απεικονίσουν διαφορετικά κάποια σηµεία του χώρου. Αν και η συσχέτιση δεν είναι η βέλτιστη αναµένεται να υπάρξει µέγιστη τιµή συσχέτισης στα σηµεία του χώρου που υπάρχει επιφάνεια αντικειµένου Τρόπος ανακατασκευής της επιφάνειας Η ανίχνευση των µεγίστων βασίζεται στον βελτιωµένο αλγόριθµο ανίχνευσης Canny σε τρισδιάστατες γειτονιές [15]. Τα διανύσµατα κ r (p) r θεωρούνται κεκλιµένα ανύσµατα µε συγκεκριµένο µήκος. Εφόσον η τιµή r s( p) που προκύπτει είναι µεγαλύτερη από το κατώφλι της συσχέτισης που ορίσθηκε, το σηµείο p r ανήκει σε επιφάνεια και κ r (p) r είναι το κάθετο διάνυσµα. Κατά το µήκος του κ r (p) r µπορεί να παρουσιαστεί µόνο ένα σηµείο επιφάνειας. Τα voxels που ανήκουν σε επιφάνεια ανακατασκευάζονται ως εξής[3]: 1. Ορίζεται πλαίσιο που έχει ως κέντρο το σηµείο p r που βρίσκεται στο κέντρο του voxel. 2. To πλαίσιο προσανατολίζεται έτσι ώστε το κάθετο σε αυτό διάνυσµα να έχει κατεύθυνση κ r (p) r και έπειτα προσαρµόζεται στα όρια του voxel. Εποµένως αντί απεικονιστεί µόνο το κέντρο του voxel απεικονίζεται όλο το προσανατολισµένο πλαίσιο, γεγονός που οδηγεί σε λεπτοµερέστερη ανακατασκευή. 29

31 Το µειονέκτηµα που παρουσιάζεται είναι ο υπολογιστικός χρόνος που καθιστά την µεθοδολογία απαγορευτική για ανακατασκευή χώρου που αποτελείται από πολυάριθµα voxels. Επίσης ο χρήστη πρέπει να γνωρίζει τα όρια του χώρου που βρίσκεται το αντικείµενο ή η σκηνή που θα ανακατασκευαστεί. Στο 5ο κεφάλαιο εξετάζεται µία νέα µέθοδος υπολογισµού της βέλτιστης κατεύθυνσης του πλαισίου που είναι συντοµότερη και δεν παρουσιάζει σηµαντική γωνιακή απόκλιση σε σχέση µε την προηγούµενη, που θα είχε ως συνέπεια να προκύπτουν λανθασµένα αποτελέσµατα. 3.7 Σάρωση χώρου µε χρήση επιπέδων Οι περισσότεροι αλγόριθµοι υπολογίζουν τους χάρτες βάθους µε ακρίβεια ωστόσο είναι ιδιαίτερα χρονοβόροι, και δεν χρησιµοποιούνται σε εφαρµογές µε περιορισµένο χρόνο διεκπεραίωσης. Στις δηµοσιεύσεις [4],[5] παρουσιάζεται µέθοδος σάρωσης του χώρου µε σκοπό την δηµιουργία χαρτών βάθους µε υψηλή ταχύτητα Σάρωση µε επίπεδα τµήµατα Ο αλγόριθµος σάρωσης χρησιµοποιεί επίπεδα τµήµατα για τον υπολογισµό του χάρτη βάθους της σκηνής (εικόνα 3.12). Ο χάρτης βάθους δεν υπολογίζεται σε σχέση µε µία από της κάµερες του ζεύγους αλλά µε µία εικονική κάµερα που βρίσκεται στο µεσαίο σηµείο των καµερών (cyclopean eye). Χωρίς έλλειψη γενικότητας θεωρείται ότι το επίπεδο τµήµα σαρώνει το χώρο κατά µήκος του Z-άξονα. Το επίπεδο τµήµα είναι πλέγµα που αποτελείται από ισαπέχοντα σηµεία. Το πλέγµα είναι ευθυγραµµισµένο µε τους X-Y άξονες [5]. Τo εύρος της σάρωσης µε επίπεδα οριοθετείται από τα δύο επίπεδα που βρίσκονται σε Z=z min και Z=z max. Ο όγκος σαρώνεται από επίπεδα που ισαπέχουν στο όριο από z min µέχρι z max. 30

32 Εικόνα Σάρωση χώρου µε επίπεδα τµήµατα. Τα σηµεία του κάθε επίπεδου προβάλλονται στο ζεύγος των εικόνων. Εκεί που το επίπεδο περιέχει ένα πραγµατικό σηµείο του αντικειµένου η προβολή της περιοχής γύρω από το σηµείο αυτό είναι παρόµοια στις εικόνες που ελήφθησαν από το ζεύγος των καµερών [4]. Η τιµή συσχέτισης modified normalized cross-correlation των προβολών µεγιστοποιείται για την συγκεκριµένη θέση του επιπέδου. Η σάρωση του χώρου µε τα επίπεδα θα δείξει τα σηµεία που υπάρχει αντιστοιχία ανάµεσα στις εικόνες. Η επιλογή του κριτηρίου modified normalized cross-correlation για τον υπολογισµό του βαθµού οµοιότητας των παραπάνω περιοχών εγγυάται ταχύτητα και αξιοπιστία. Υπερέχει σε σχέση µε τις άλλες τεχνικές (sum of squared differences, sum of absolute differences) που χρησιµοποιούνται για την εύρεση αντιστοιχίας ανάµεσα στις εικόνες [10],[22]. Ο τύπος υπολογισµού είναι: corr (I,I ) = 2 cov(i,i ) ( ) ( ) L R MNCC L R 2 σ Ι + σ 2 I L R όπου I L και I R είναι οι προβολές της περιοχής στην αριστερή και τη δεξιά εικόνα αντίστοιχα. 31

33 3.8 Σύνοψη µεθόδων που αναλύθηκαν. Κλασσικές µέθοδοι ανακατασκευής Πλεονέκτηµα: 1. Ταχύτητα υπολογισµού του χάρτη βάθους. Μειονεκτήµατα: 1. Τα σηµεία του χώρου που θα ανακατασκευαστούν πρέπει να βρίσκονται σε µεγάλη απόσταση σε σχέση µε την απόσταση µεταξύ των κέντρων των καµερών. Έτσι εξασφαλίζεται ότι οι εικόνες επικαλύπτονται σε µεγάλο βαθµό. 2. Κρίνεται αναγκαία η διόρθωση των εστιακών επιπέδων ώστε να περιοριστεί η αναζήτηση οµοίων περιοχών σε µία διάσταση. 3. Ορισµός περιγραφέων προτού ξεκινήσει η διαδικασία αντιστοίχησης χαρακτηριστικών. Σχήµα από περίγραµµα Πλεονεκτήµατα: 1. Ταχύτητα και µικρή πολυπλοκότητα. 2. Ικανότητα ανακατασκευής Λαµπερτιανών επιφανειών. Μειονεκτήµατα: 1. Οι κάµερες πρέπει να είναι τοποθετηµένες εκτός του κυρτού περιβλήµατος του αντικειµένου που θα ανακατασκευαστεί. 2. Να είναι δυνατή η κατάτµηση των αντικειµένων από το φόντο. 3. εν είναι δυνατόν να ανακατασκευαστούν οι κοιλότητες των αντικειµένων. Space Carving Πλεονεκτήµατα 1. Καλή λειτουργία για εικόνες που παρουσιάζουν µικρό θόρυβο. 32

34 2. Οι κάµερες µπορούν να τοποθετηθούν και να προσανατολιστούν σε τυχαίες θέσεις γύρω από την σκηνή που θα ανακατασκευαστεί. Μειονεκτήµατα 1. εν παρέχει πληροφορίες για το κάθετο, στην επιφάνεια, διάνυσµα. 2. Πρέπει να γίνει φασµατική ραδιοµετρική/χρωµατική βαθµονόµηση που είναι δύσκολο να επιτευχθεί. 3. Απαιτείται εκ των προτέρων γνώση του αρχικού όγκου µέσα στον οποίο βρίσκεται το αντικείµενο. Μέθοδος βασισµένη στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας Πλεονεκτήµατα 1. Αξιοποίηση της πληροφορίας για το κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας γεγονός που συµβάλει στη ποιοτική βελτίωση της ανακατασκευής του αντικειµένου 2. Τα κέντρα του ζεύγους των καµερών µπορούν να απέχουν µεγαλύτερη απόσταση συγκριτικά µε τις υπόλοιπες µεθόδους. 3. Οι κάµερες µπορούν να τοποθετηθούν και να προσανατολιστούν σε τυχαίες θέσεις γύρω από τη σκηνή που θα ανακατασκευαστεί. Μειονέκτηµα 1. Υπολογιστικό κόστος και πολυπλοκότητα υλοποίησης. 2. Απαιτείται εκ των προτέρων γνώση του αρχικού όγκου µέσα στον οποίο βρίσκεται το αντικείµενο. Σάρωση µε επίπεδα τµήµατα Πλεονεκτήµατα 1. Ταχύτητα υπολογισµού του χάρτη βάθους. 33

35 2. εν απαιτείται εκ των προτέρων γνώση του όγκου που περικλείει το αντικείµενο. 3. Οι κάµερες µπορούν να τοποθετηθούν και να προσανατολιστούν σε τυχαίες θέσεις γύρω από τη σκηνή που θα ανακατασκευαστεί. Μειονέκτηµα 1. Υστερεί σε ακρίβεια ανακατασκευασµένων επιφανειών σε σχέση µε την µέθοδο Space Carving και την µέθοδο που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας. Από την σύνοψη των µεθόδων προκύπτει ότι µεγαλύτερη ακρίβεια στην ανακατασκευή επιφανειών παρέχει η µέθοδος που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας. Ενώ υψηλή ταχύτητα παρουσιάζει η µέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα. Κοινό χαρακτηριστικό των µεθόδων είναι η δυνατότητα τυχαίας τοποθέτησης των καµερών. Στο κεφάλαιο 4 περιγράφεται η µέθοδος σάρωσης µε σφαιρικά τµήµατα παραλλαγή της σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα. Η µέθοδος επιτυγχάνει βελτίωση της ακρίβειας ανακατασκευής διατηρώντας την υψηλή ταχύτητα. Στο κεφάλαιο 5 περιγράφεται ο τρόπος βελτίωσης της ταχύτητας της µεθόδου που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας ενώ διατηρείται η ακρίβεια ανακατασκευής. 34

36 Κεφάλαιο 4 Μέθοδοι σάρωσης-ανακατασκευή Σηµείων Κατά την σάρωση του χώρου µε τµήµατα επιφανειών, διαφορετικών σχηµάτων, για τα σηµεία του τµήµατος που αντιστοιχούν σε πραγµατικό σηµείο αντικειµένου ισχύει ότι η περιοχή γύρω από τα σηµεία αυτά προβάλλεται παρόµοια στις εικόνες που ελήφθησαν από το ζεύγος των καµερών. Η ιδιότητα αυτή αξιοποιείται για να βρεθούν τα σηµεία που αποτελούν την τρισδιάστατη ανακατασκευή του αντικειµένου. Στο κεφάλαιο εξετάζονται οι περιπτώσεις σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα καθώς και µε σφαιρικά. 4.1 Ορισµός των πινάκων περιστροφής Χρησιµοποιούνται τρεις µέθοδοι σάρωσης του χώρου µε σκοπό την εύρεση της θέσης των αντικειµένων που απεικονίζονται στις εικόνες και την µετέπειτα τρισδιάστατη ανακατασκευή τους. Στις περιπτώσεις που εξετάζονται ο άξονας κατά µήκος του οποίου γίνεται η σάρωση του χώρου δεν είναι πλέον απαραίτητα ο Z-άξονας όπως στο[5]. Οπότε είναι απαραίτητο να γίνει περιστροφή τη αρχικής επιφάνειας σάρωσης ώστε να είναι κάθετη στο διάνυσµα V r που αποτελεί τη νέα κατεύθυνση σάρωσης του χώρου. Το σηµείο D από το οποίο ξεκινάει το διάνυσµα βρίσκεται στο µέσο της ευθείας που ενώνει τα κέντρα του ζεύγους των καµερών και ονοµάζεται κυκλωπικό µάτι (cyclopean eye). Αν θεωρηθεί ότι V r 1, V r 2 είναι τα µοναδιαία διανύσµατα που δείχνουν τον προσανατολισµό των καµερών στον χώρο το διάνυσµα που ξεκινά από το D προκύπτει από την διανυσµατική πρόσθεση των διανυσµάτων V r 1 και V r 2.(εικόνα 4.1). Η επιλογή του ζεύγους καµερών γίνεται µε κριτήριο την απόσταση των κέντρων τους. Έτσι επιλέγονται κάµερες που απέχουν λίγο σε σχέση µε την απόσταση από τα αντικείµενα της σκηνής. Αυτό συµβαίνει για να επικαλύπτονται οι εικόνες σε µεγάλο βαθµό και να ανακατασκευάζονται περισσότερα σηµεία αντικειµένων. 35

37 Εικόνα 4.1. Υπολογισµός κυκλωπικού µατιού και κατεύθυνσης σάρωσης. Προτού αναλυθούν οι µέθοδοι σάρωσης θα προηγηθεί ανάλυση των περιστροφών που χρησιµοποιούνται για την υλοποίηση τους. Η περιστροφή γύρω από τους άξονες x,y,z κατά την ωρολογιακή φορά (δηλαδή για a, βγ, 0) στο τρισδιάστατο επίπεδο ορίζεται αντίστοιχα από τις παρακάτω σχέσεις [19]: cos β 0 sin β RX ( a) = 0 cosa sina R Y ( β ) = sina cosa sin β 0 cos β cosγ sinγ 0 RΖ ( γ ) = sinγ cosγ Ενώ η ανθωρολογιακή φορά σχηµατικά για τους τρεις άξονες φαίνεται στην εικόνα 4.2. Εικόνα 4.2. Φορές περιστροφής γύρω από τους άξονες. 36

38 Για να εξηγηθεί η διαδικασία µε την οποία το τµήµα επιφάνειας σάρωσης γίνεται κάθετο στο διάνυσµα V r που ξεκινάει από το κυκλωπικό µάτι πρέπει να αναλυθεί η περιστροφή από ένα διάνυσµα [0 0 1](το διάνυσµα που αντιστοιχεί στον z-άξονα) σε ένα τυχαίο διάνυσµα µε σφαιρικές συντεταγµένες θ(γεωγραφικό µήκος), φ (γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Καθώς και η περιστροφή από ένα διάνυσµα [1 0 0] (το διάνυσµα που αντιστοιχεί στον x-άξονα) σε ένα τυχαίο διάνυσµα µε σφαιρικές συντεταγµένες θ 1 (γεωγραφικό µήκος), φ 1 (γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Ι. Περιστροφή από [0 0 1] σε τυχαίο διάνυσµα Vector µε θ,φ και R=1. Το αρχικό διάνυσµα είναι το [0 0 1] Τ (εικόνα 4.3(α)) έπειτα από την περιστροφή γωνία φ µε ανθωρολογιακή φορά γύρω από τον άξονα Y και προκύπτει το διάνυσµα της εικόνας 4.3.(β). Ο πίνακας περιστροφής µε τον οποίο πολλαπλασιάζεται το διάνυσµα [0 0 1] Τ είναι: R y (-(π/2-φ)) Εικόνα 4.3.(α)Αρχικό διάνυσµα [0 0 1] Τ (β) ιάνυσµα µετά από περιστροφή γωνίας φ µε ανθωρολογιακή φορά γύρω από τον άξονα Y. Έπειτα γίνεται ανθωρολογιακή περιστροφή γωνίας θ γύρω από τον άξονα Ζ του διανύσµατος που προέκυψε και προκύπτει το τελικό διάνυσµα της εικόνας 4.4. Ο πίνακας περιστροφής είναι: R z (-θ) Εικόνα 4.4. Τελικό διάνυσµα. 37

39 Ο τελικός πίνακας περιστροφής που προκύπτει από την συγχώνευση των δύο περιστροφών είναι: R 1 = R z(-θ) R y (-(π/2-φ)). ΙΙ. Περιστροφή από [1 0 0] σε τυχαίο διάνυσµα Vector 1 µε θ 1,φ 1 και R=1. Το πλαίσιο του αρχικού σφαιρικού τµήµατος πρέπει να ευθυγραµµιστεί µε το διάνυσµα που ενώνει τα κέντρα του ζεύγους καµερών (δηλαδή ο άξονας του πλαισίου που είναι παράλληλος στον xx άξονα πρέπει να γίνει συνευθειακός µε την ευθεία που ενώνει τα µετατοπισµένα κέντρα των καµερών). Οπότε γίνεται χρήση του πίνακα περιστροφής από διάνυσµα [1 0 0] (το διάνυσµα που αντιστοιχεί στον x-άξονα) σε ένα τυχαίο διάνυσµα µε σφαιρικές συντεταγµένες θ 1 (γεωγραφικό µήκος),φ 1 (γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Το αρχικό διάνυσµα είναι το [1 0 0] Τ (εικόνα 4.5(α)) έπειτα από την περιστροφή γωνία φ 1 µε ωρολογιακή φορά γύρω από τον άξονα Y και προκύπτει το διάνυσµα της εικόνας 4.5.(β). Ο πίνακας περιστροφής µε τον οποίο πολλαπλασιάζεται το διάνυσµα [1 0 0] Τ είναι: R y (φ 1) Εικόνα 4.5.(α)Αρχικό διάνυσµα [1 0 0] Τ (β) ιάνυσµα µετά από περιστροφή γωνίας φ 1 µε ωρολογιακή φορά γύρω από τον άξονα Y. Έπειτα γίνεται ανθωρολογιακή περιστροφή γωνίας θ 1 γύρω από τον άξονα Ζ του διανύσµατος που προέκυψε και προκύπτει το τελικό διάνυσµα της εικόνας 4.4 µε θ 1 και φ 1 στη θέση των θ και φ. Ο πίνακας περιστροφής είναι: R z (-θ 1). Ενώ ο τελικός πίνακας περιστροφής γίνεται R = R (-θ ) R (φ ) 2 z 1 y 1. 38

40 4.2 Μέθοδοι Σάρωσης Οι µέθοδοι σάρωσης που υλοποιήθηκαν είναι οι εξής: 1. Με επίπεδα τµήµατα 2. Με επίπεδα τµήµατα που ανοίγουν 3. Με σφαιρικά τµήµατα. Η παραµετροποίηση τους και ο τρόπος σάρωσης περιγράφονται στις παρακάτω παραγράφους. του χώρου Μέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα Ένα επίπεδο τµήµα L 0 δίνεται από τις εξισώσεις: x = α,y= β και z= 0. Όπου: + α { w+ i u,i [0,1, K,2w/u] και w,u }, w/u = w/u + β { h+ j u,j [0,1, K,2h/u] και h,u }, h/u = h/u Το µοναδιαίο διάνυσµα U=[0 0 1] T είναι κάθετο στο L 0. V 1, V 2 είναι τα µοναδιαία διανύσµατα που δείχνουν τον προσανατολισµό του ζεύγους των καµερών. Από το κυκλωπικό µάτι D ξεκινά διάνυσµα V=(V 1 +V 2 )/2 µε θ(γεωγραφικό µήκος), φ(γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Η διαδικασία που ακολουθείται για την σάρωση περιλαµβάνει τα παρακάτω βήµατα: 1. Με τον πολλαπλασιασµό L rotated =R final L 0 η κάθετος στην επιφάνεια L rotated γίνεται παράλληλη στο V. Όπου R final =R z (-θ) R y (-(π/2-φ)) είναι ο πίνακας περιστροφής από διάνυσµα U=[0 0 1] T σε V σύµφωνα µε την ανάλυση της πρώτης περιστροφής. 2. Από την εξίσωση L first = L rotated + D σχηµατίζεται το πρώτο επίπεδο µε κέντρο το σηµείο D. 3. Από την εξίσωση L i = L first +di V προκύπτει ένα επίπεδο τµήµα σε απόσταση di ανάµεσα στο D και το κεντρικό σηµείο Κ i του Li. Η κάθετος στο τµήµα Pi είναι παράλληλη στο V. Για συγκεκριµένο εύρος αποστάσεων d {d1 + i q, i [0,n]} (όπου d i < d i+ 1,q > 0 ) o χώρος µπορεί να σαρωθεί για αντικείµενα. i 39

41 Εικόνα 4.6. Lo+D (µπλε σηµεία), L 1 (κόκκινα σηµεία), κέντρα καµερών(κυανό), D (µωβ) και διάνυσµα V(πράσινο). Παρακάτω απεικονίζεται το L 1 ώστε να φανεί ευκρινώς ότι ο άξονας που ενώνει τα κέντρα των καµερών και διέρχεται από το σηµείο D έχει ευθυγραµµιστεί µε µία από τις πλευρές του επίπεδου τµήµατος. Η διαδικασία ευθυγράµµισης περιγράφεται παρακάτω. Εικόνα 4.7. Ευθεία που ενώνει κέντρα καµερών (σκούρο πράσινο). 40

42 Οπότε για d {d1 + i + q, i [0,3]} προκύπτει: i 1 Εικόνα 4.8. Σάρωση χώρου µε επίπεδα τµήµατα Μέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα που ανοίγουν Η παραµετροποίηση του αρχικού τµήµατος είναι ίδια µε αυτή της µεθόδου των επίπεδων τµηµάτων. Η διαφορά έγκειται στο ότι οι διαστάσεις του τµήµατος σάρωσης στην παρούσα µέθοδο αυξάνονται ανάλογα µε την απόσταση από το κυκλωπικό µάτι, χωρίς ωστόσο να µεταβάλλεται το πλήθος των σηµείων του τµήµατος. Ένα επίπεδο τµήµα P 0 δίνεται από τις εξισώσεις: x =,y= και z= 0. Όπου: + α { w+ i u,i [0,1, K,2w/u] και w,u }, w/u = w/u + β { h+ j u,j [0,1, K,2h/u] και h,u }, h/u = h/u Το µοναδιαίο διάνυσµα U=[0 0 1] T είναι κάθετο στο L 1. V 1, V 2 είναι τα µοναδιαία διανύσµατα που δείχνουν τον προσανατολισµό του ζεύγους των καµερών. Από το κυκλωπικό µάτι D ξεκινά διάνυσµα V=(V 1 +V 2 )/2 µε θ(γεωγραφικό µήκος), φ(γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Η διαδικασία που ακολουθείται για την σάρωση περιλαµβάνει τα παρακάτω βήµατα: α β 41

43 1. Με τον πολλαπλασιασµό P rotated =R final P 0 η κάθετος στην επιφάνεια P rotated γίνεται παράλληλη στο V. Όπου R final =R z (-θ) R y (-(π/2-φ)) είναι ο πίνακας περιστροφής από διάνυσµα U=[0 0 1] T σε V. 2. P 1 =P rotated +D+V d 1 είναι το πρώτο επίπεδο τµήµα σε απόσταση d 1 ανάµεσα στο D και το κεντρικό σηµείο Κ 1 του P Από την εξίσωση P i =D+((P 1 D) di/d 1 προκύπτει ένα επίπεδο τµήµα σε απόσταση di ανάµεσα στο D και το κεντρικό σηµείο Κ i του Pi. Η κάθετος στο τµήµα Pi είναι παράλληλη στο V. Στην µέθοδο σάρωσης που παρουσιάζεται δεν παρατίθονται εικόνες στις οποίες απεικονίζεται η ευθυγράµµιση του άξονα που ενώνει τα κέντρα των καµερών µε µία εκ των πλευρών του επίπεδου τµήµατος διότι ταυτίζονται µε αυτές της µεθόδου σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα. Για συγκεκριµένο εύρος αποστάσεων d i {d1 + i q, i [0,n]} (όπου d i < d i+ 1,q > 0 ) o χώρος µπορεί να σαρωθεί για αντικείµενα. Οπότε για d {d1 + i + q, i [0,3]} προκύπτει: i 1 Εικόνα 4.9. Σάρωση χώρου µε επίπεδα τµήµατα που ανοίγουν Μέθοδος σάρωσης µε σφαιρικά τµήµατα που ανοίγουν Ένα σφαιρικό τµήµα S 0 µε κέντρο το σηµείο Ο=[0 0 0] T δίνεται από τις εξισώσεις: x = sin( ψ ), y = cos( ψ) sin( ω) και z = cos( ψ ) cos( ω) 42