«Ταχεία και ακριβής ψηφιοποίηση τρισδιάστατων σκηνών µε χρήση βαθµονοµηµένων καµερών»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Ταχεία και ακριβής ψηφιοποίηση τρισδιάστατων σκηνών µε χρήση βαθµονοµηµένων καµερών»"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Ταχεία και ακριβής ψηφιοποίηση τρισδιάστατων σκηνών µε χρήση βαθµονοµηµένων καµερών» ΚΟΡ ΕΛΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ A.E.M: 4446 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΜΙΧΑΗΛ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ ΣΤΡΙΝΤΖΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

2 στους γονείς µου, Αθανάσιο και Βασιλική 1

3 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Μιχαήλ Γεράσιµο Στρίντζη, για τη δυνατότητα που µου προσέφερε να ασχοληθώ µε ένα τόσο ενδιαφέρον θέµα και για την υλικοτεχνική υποστήριξη της προσπάθειας µου. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω επίσης και στον διδάκτορα, κ. Ξενοφών Ζαµπούλη, για την άψογη συνεργασία µας, την καθοδήγηση, τις πολύτιµες συµβουλές και παρατηρήσεις του καθώς και για την µείζονα συνεισφορά του στη συγγραφή των δύο επιστηµονικών δηµοσιεύσεων. Επίσης ένα ευχαριστώ στον επιστηµονικό συνεργάτη Γιώργο Λίτο για τον τρισδιάστατο απεικονιστή και στον υποψήφιο διδάκτορα Σάββα Αργυρόπουλο για τις συµβουλές του. Τέλος, ευχαριστίες ανήκουν και στα µέλη της οικογένειάς µου, Αθανάσιο, Βασιλική, Νίκη και ροσούλα για την συνεχή ηθική και οικονοµική συµπαράσταση, σε όλη τη διάρκεια των σπουδών µου. 2

4 Πρόλογος Η τρισδιάστατη ανακατασκευή αντικειµένων, χρησιµοποιώντας την στερεοσκοπική όραση, είναι σηµαντικό αντικείµενο έρευνας στην επιστήµη υπολογιστών. Η ταχεία πρόοδος στην σχεδίαση του λογισµικού και του hardware παρέχει την δυνατότητα στα συστήµατα µηχανικής όρασης να αξιοποιούν τις υψηλές ταχύτητες και το µέγεθος της µνήµης ώστε να βελτιώνουν τις επιδόσεις τους. Για να έχουν οι υπολογιστές τη δυνατότητα κατάτµησης και ανάλυσης της τρισδιάστατης πληροφορίας που προέρχεται από το περιβάλλον προϋποτίθεται ότι το σύστηµα δύναται να αποτυπώσει την πληροφορία σε µορφή που να µπορεί να εξοµοιωθεί µε το πραγµατικό περιβάλλον. Στην περίπτωση των συστηµάτων µηχανικής όρασης η µορφή είναι τρισδιάστατη αναπαράσταση του πραγµατικού κόσµου. Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο την µελέτη, κατανόηση και υλοποίηση νέων µεθόδων για την αποτελεσµατικότερη ανακατασκευή τρισδιάστατων αντικειµένων. 3

5 Περιεχόµενα Ευχαριστίες...2 Πρόλογος...3 Περιεχόµενα... 4 Κεφάλαιο Εισαγωγή Σκοπός διπλωµατικής εργασίας Εφαρµογές Τρισδιάστατη τηλεόραση Αναγνώριση προσώπου Λήψη οπτικής πληροφορίας...8 Κεφάλαιο Βασικό Μοντέλο Pinhole Κάµερας Βαθµονόµηση βασικού µοντέλου pinhole κάµερας Κεφάλαιο Περιγραφή Στερεοσκοπικών Αλγορίθµων Βασικές έννοιες Απλό στερεοσκοπικό σύστηµα Επίπολος Γεωµετρία (Epipolar Geometry) ιόρθωση (rectification) Κλασσικές µέθοδοι ανακατασκευής Μέθοδοι βασισµένες στη συσχέτιση Μέθοδοι βασισµένες στα χαρακτηριστικά Επαγόµενα συµπεράσµατα Σχήµα από περίγραµµα Space Carving Μέθοδος βασισµένη στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος... της επιφάνειας Τρόπος ανακατασκευής της επιφάνειας

6 3.7 Σάρωση χώρου µε χρήση επιπέδων Σάρωση µε επίπεδα τµήµατα Σύνοψη µεθόδων που αναλύθηκαν...32 Κεφάλαιο Μέθοδοι σάρωσης-ανακατασκευή Σηµείων Ορισµός των πινάκων περιστροφής Μέθοδοι Σάρωσης Μέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα Μέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα που ανοίγουν Μέθοδος σάρωσης µε σφαιρικά τµήµατα που ανοίγουν Ευθυγράµµιση µε ευθεία που ενώνει τα κέντρα των καµερών Εύρεση σηµείων επιφάνειας ιγραµµική Παρεµβολή Πειράµατα Σύγκρισης Αποτελέσµατα Σύγκρισης Συµπεράσµατα Σύγκρισης Παραδείγµατα ανακασκευασµένων επιφανειών...66 Κεφάλαιο Ταχεία εύρεση του καθέτου στην επιφάνεια διανύσµατος Υπολογισµός βέλτιστης κατεύθυνσης Πρώτο πείραµα σύγκρισης µεθόδων Αποτελέσµατα πρώτου πειράµατος εύτερο πείραµα σύγκρισης µεθόδων Συµπεράσµατα...77 Κεφάλαιο Συµπεράσµατα Μελλοντική έρευνα ) ηµοσιεύσεις ) Βιβλιογραφία

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Σκοπός διπλωµατικής εργασίας Η διπλωµατική εργασία αποβλέπει στην δηµιουργία τρισδιάστατης ανακατασκευής αντικειµένων, που βρίσκονται σε χώρο στον οποίο έχει τοποθετηθεί πλήθος καµερών. Από τις κάµερες έχουν ληφθεί στιγµιότυπα των αντικειµένων από διαφορετικές οπτικές γωνίες, που συντελούν στην πλήρη αναπαράσταση της τρισδιάστατης σκηνής αφού απεικονίζονται περιοχές που διαφορετικά θα καλυπτόταν. Η έρευνα σε αυτόν τον τοµέα µπορεί να χωριστεί σε δύο κλάδους: Ι) Βελτίωση της ακρίβειας των ανακατασκευών ανεξάρτητα από τον χρόνο υπολογισµού και ΙΙ) Ανακατασκευή σε πραγµατικό χρόνο. Οι αλγόριθµοι στους οποίους επιτυγχάνεται ανακατασκευή µε το ρυθµό εναλλαγής στιγµιότυπων video έχουν ισχυρό περιορισµό στο µέγεθος των εικόνων και στον όγκο του χώρου ανακατασκευής, αντίθετα για αποτελέσµατα υψηλής ακρίβειας απαιτούνται µερικά λεπτά για κάθε ζεύγος εικόνων. Στα πλαίσια της διπλωµατικής υλοποιήθηκε νέα µέθοδος σάρωσης του χώρου µε χρήση σφαιρικών τµηµάτων σάρωσης για εύρεση των χωρικών σηµείων των αντικειµένων και την περαιτέρω ανακατασκευή τους. Η µέθοδος αυτή εκτελείται σε σχεδόν πραγµατικό χρόνο. Επίσης για την µέθοδο που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας [3] υλοποιήθηκε συντοµότερος αλγόριθµος εύρεσης του κάθετου διανύσµατος. Η µεθοδολογίες εφαρµόζονται για διάφορα ζεύγη καµερών. Οι τρισδιάστατες ανακατασκευές που παράγονται για κάθε ζεύγος συγχωνεύονται σε µία τελική που αποτελεί την ολική ανακατασκευή των αντικειµένων. 6

8 1.2 Εφαρµογές Η χρήση τρισδιάστατων ανακατασκευών έχει εφαρµογές στις ερευνητικές περιοχές της τρισδιάστατης τηλεόρασης, της αναγνώρισης προσώπων, της τηλεδιάσκεψης, των διαστηµικών πτήσεων και της βιοµηχανικής επιβλεψης. Κάποιες από τις εφαρµογές παρουσιάζονται στις παραγράφους και Τρισδιάστατη τηλεόραση Στη σύγχρονη εποχή υπάρχουν αρκετά οπτικά µέσα (video, τηλεόραση, κινηµατογράφος). Στα µέσα αυτά ο θεατής παρακολουθεί τις σκηνές από την οπτική γωνιά που έχουν ληφθεί. Η υλοποίηση µεθόδων ανακατασκευής που συνδυάζουν ταχύτητα και ακρίβεια δίνει την δυνατότητα δηµιουργίας ενός νέου οπτικού µέσου που θα παρέχει στο χρήστη τη δυνατότητα να επιλέγει την οπτική γωνία που θα παρακολουθήσει κάποια σκηνή. Στόχος της τρισδιάστατης τηλεόρασης είναι η λήψη τρισδιάστατης οπτικής πληροφορίας από πραγµατική σκηνή και η ακαριαία δηµιουργία ενός ακριβούς οπτικού αντιγράφου της (µε εξαίρεση την κλίµακα) σε αποµακρυσµένη περιοχή[2]. Τα στάδια της οπτικής επικοινωνίας είναι (εικόνα 1.1) : Λήψη και ανακατασκευή τρισδιάστατης οπτικής πληροφορίας. Κωδικοποίηση της οπτικής πληροφορίας σε σήµα. Αποθήκευση και µετάδοση του σήµατος. Αποκωδικοποίηση του σήµατος και απεικόνιση του. Εικόνα 1.1. Ληφθείσα από επίσηµη ιστοσελίδα 3DTV Network of Excellence. 7

9 1.2.2 Αναγνώριση προσώπου Η αναγνώριση προσώπου είναι αντικείµενο έρευνας µε πολλές εφαρµογές σχετικά µε την αναγνώριση ατόµων για λόγους ασφαλείας και την διαδραστική επικοινωνία ανθρώπου και υπολογιστή. Στη υπάρχουσες µεθόδους για να γίνει αποτελεσµατική αναγνώριση πρέπει να ληφθεί εµπρόσθια όψη της εικόνας του προσώπου. Μία από τις προκλήσεις είναι να αποκτήσουν τα συστήµατα οπτικής αναγνώρισης την ικανότητα να αναγνωρίζουν πρόσωπα ανεξάρτητα από την γωνία λήψης αφού το πρόσωπο εµφανίζεται διαφορετικό ανάλογα µε την θέση του στο χώρο[14]. Η αναγνώριση προσώπου χρησιµοποιώντας τις συµβατικές δυσδιάστατες µεθόδους αναγνώρισης είναι δύσκολη. Συχνά είναι αναγκαίο να αποθηκευτεί για κάθε άτοµο πλήθος εικόνων από διαφορετικές γωνίες λήψης[13]. Με την χρησιµοποίηση τρισδιάστατων ανακατασκευών των µοντέλων η διαδικασία της αναγνώρισης επιτυγχάνεται και γίνεται ακριβέστερη. Το τρισδιάστατο µοντέλο µπορεί να προβληθεί σε διαφορετικές δυσδιάστατες εικόνες παράγοντας διαφορετικές όψεις του προσώπου. Έτσι ανάλογα µε τη όψη του προσώπου που καλείται να αναγνωρίσει το οπτικό σύστηµα δηµιουργείται η κατάλληλη δυσδιάστατη εικόνα από το τρισδιάστατο µοντέλο για να επιτευχθεί η ταυτοποίηση. Στη δηµοσίευση [13] παρουσιάστηκε ένα µοντέλο αναγνώρισης προσώπου που παρουσιάζει ποσοστό επιτυχούς αναγνώρισης πάνω από 92.3% σε µία οµάδα 660 προσώπων για φυσικές µεταβολές των συνθηκών φωτισµού. 1.3 Λήψη οπτικής πληροφορίας Για να αξιοποιηθούν τα τρισδιάστατα δεδοµένα πρέπει να ληφθεί η οπτική πληροφορία. Η πληροφορία λαµβάνεται µε φωτογραφικές κάµερες και απεικονίζεται σε δυσδιάστατες εικόνες. Για την λήψη των εικόνων χρησιµοποιήθηκαν pinhole κάµερες. Το βασικό µοντέλο της pinhole κάµερας περιγράφεται στο κεφάλαιο 2. 8

10 Κεφάλαιο 2 Βασικό Μοντέλο Pinhole Κάµερας Στο κεφάλαιο 2 περιγράφεται το µοντέλο της κάµερας που χρησιµοποιήθηκε για την λήψη των εικόνων. Το βασικό µοντέλο της pinhole θεωρείται το πιο απλό και ιδανικό µοντέλο. Έχει µία µικρή οπή διαµέσου της οποίας διέρχεται το φως προτού δηµιουργήσει µία ανεστραµµένη εικόνα στην επιφάνεια της κάµερας. Για λόγους απλότητας θεωρείται ότι η επιφάνεια της κάµερας βρίσκεται ανάµεσα στην οπή και το αντικείµενο όποτε η εικόνα δεν είναι πλέον ανεστραµµένη. Η απεικόνιση των τριών διαστάσεων σε δύο καλείται προοπτική προβολή και αποτελεί θεµελιώδες έννοια για την κατανόηση της τρισδιάστατης ανάλυσης. Για να εξαχθεί η τρισδιάστατη πληροφορία από µία εικόνα πρέπει να καθοριστούν οι παράµετροι που σχετίζουν την θέση ενός σηµείου του χώρου µε την θέση του στην εικόνα. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται βαθµονόµηση. 2.1 Βαθµονόµηση βασικού µοντέλου pinhole κάµερας Αρχικά θα εξεταστεί πως σηµεία του ευκλείδειου τρισδιάστατου χώρου απεικονίζονται στον δισδιάστατο χώρο. Παρακάτω απεικονίζεται µία κάµερα, που θεωρείται τοποθετηµένη στην αρχή του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων, µε κέντρο το σηµείο C που ονοµάζεται κέντρο της κάµερας ή οπτικό κέντρο. Θεωρείται ένα επίπεδο όπου προβάλλονται τα σηµεία του χώρου το οποίο ονοµάζεται εστιακό επίπεδο. Το κέντρο του εστιακού επίπεδου θεωρείται ότι είναι η προβολή του κέντρου του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων. Η ευθεία που ξεκινά από το σηµείο C και είναι κάθετη στο εστιακό επίπεδο ονοµάζεται οπτικός άξονας (principal axis) και το σηµείο που τέµνει το εστιακό επίπεδο είναι το κέντρο της εικόνας. Η απόσταση f ανάµεσα στο κέντρο της εικόνας και το οπτικό κέντρο ονοµάζεται εστιακή απόσταση (focal length). 9

11 Εικόνα 2.1. Γεωµετρία προοπτικής προβολής. Έστω ότι υπάρχει σηµείο Β στο χώρο µε συντεταγµένες B = ( X,Y,Z). Το σηµείο b = (x i,y i,f) του εστιακού επιπέδου στο οποίο απεικονίζεται είναι το σηµείο της τοµής της ευθείας που ενώνει το σηµείο Β και το κέντρο της κάµερας µε το εστιακό επίπεδο. Με χρήση όµοιων τριγώνων αφού αναλυθεί η παραπάνω τρισδιάστατη απεικόνιση στις εικόνες 2.2(α)και 2.2(β) (α) (β) Εικόνα 2.2. Όµοια τρίγωνα (α) στο xz επίπεδο (β) στο yz επίπεδο. Προκύπτει ότι το σηµείο b απεικονίζεται στο σηµείο T (fxz,fyz,f) στο εστιακό επίπεδο. Αγνοώντας την τρίτη συντεταγµένη που είναι σταθερή για όλα τα σηµεία του εστιακού επιπέδου παρατηρείται ότι ισχύει η σχέση[1]: T T X, Y, Z f X Z f Y Z ( ) a (, ) (1.1) που περιγράφει την προβολή του σηµείου Β από τις τρισδιάστατες συντεταγµένες στις συντεταγµένες πάνω στην εικόνα. 10

12 Η (1.1) δύναται σε οµογενείς συντεταγµένες να γραφεί µε την µορφή πολλαπλασιασµού πινάκων ως εξής: X X fx f Y Y a fy = 0 f 0 0 Z Z (1.2) Z Ο πίνακας µπορεί να γραφεί ως diag(f,f,1)[i 0] όπου diag(f,f,1) είναι διαγώνιος πίνακας και το [I 0] αναπαριστά ένα πίνακα που χωρίζεται σε ένα 3x3 µοναδιαίο πίνακα και ένα µηδενικό πινάκα στήλη διάστασης 3x1. O πίνακας P= diag(f,f,1)[i 0] ονοµάζεται πίνακας προβολής και από την εξίσωση b=pb προκύπτουν οι συντεταγµένες b στην εστιακή εικόνα, στις οποίες προβάλλεται το σηµείο του χώρου B [1]. Η σχέση (1.1) ισχύει στην περίπτωση που το κέντρο της εικόνας T έχει συντεταγµένες: p = (0,0,f). Συνήθως όµως είναι: p = (x,y,f) 0 0 (εικόνα 2.3). Επιπλέον αν η κάµερα έχει παράµετρο παραµόρφωσης s (εικόνα 2.4) τότε ισχύει: T X X fx + zx0 f s x0 0 Y Y a fy + zy0 = 0 f y0 0 Z Z Z (1.3) Εικόνα 2.3.Με κέντρο εικόνας p. Εικόνα 2.4. Παράµετρος παραµόρφωσης. 11

13 Εάν τεθεί : τότε (1.3) αποκτά τη µορφή: f s x0 K = 0 f y b = K[I 0]Xcam (1.4) Ο πίνακας Κ ονοµάζεται πίνακας βαθµονόµησης. Το νέο σύστηµα T συντεταγµένων που έχει σαν κέντρο της εικόνας το σηµείο p = (x 0,y 0,f) ονοµάζεται σύστηµα συντεταγµένων της κάµερας και για λόγους T έµφασης έχει γραφτεί το ( X, Y, Z) ως X cam [1]. Περιστροφή και µεταφορά της κάµερας. Γενικά, τα σηµεία στο χώρο εκφράζονται στο παγκόσµιο σύστηµα συνταγµένων. Τα δύο συστήµατα συντεταγµένων συνδέονται µέσω περιστροφής και µεταφοράς (εικόνα 2.5). Εικόνα 2.5. Από τις συντεταγµένες της κάµερας στο παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων. T Εάν X% = ( xs,y s,zs) είναι ένα µη οµογενές διάνυσµα που αναπαριστά τις συντεταγµένες ενός σηµείου στο παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων και X % cam το διάνυσµα που αναπαριστά το ίδιο σηµείο στο σύστηµα συντεταγµένων της κάµερας, τότε γράφεται X % cam = R(X % C) %, όπου το C % είναι το διάνυσµα ΟC 12

14 εκφρασµένο στο παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων, και R είναι ένας 3x3 πίνακας περιστροφής που εκφράζει τον προσανατολισµό του συστήµατος συντεταγµένων της κάµερας. Η παραπάνω εξίσωση σε οµογενείς συντεταγµένες γράφεται: X R RC% Y R RC% Xcam = = X (1.5) 0 1 Z Από τις σχέσεις (1.4) και (1.5) προκύπτει για το σηµείο Χ του παγκόσµιου συστήµατος συντεταγµένων η σχέση: b = KR[I C]X % (1.6) Οι παράµετροι που περιέχονται στον πίνακα K λέγονται εσωτερικές παράµετροι της κάµερας. Οι παράµετροι R και C % που συσχετίζουν την θέση και τον προσανατολισµό της κάµερας µε το παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων ονοµάζονται εξωτερικές παράµετροι της κάµερας [1]. Ακτινική Παραµόρφωση. Η παραµόρφωση γενικά περιγράφει την απόκλιση ενός σηµείου στην εικόνα από την θέση που προβλέπεται από το βασικό µοντέλο της pinhole κάµερας. Η πιο συνηθισµένη παραµόρφωση που παρουσιάζεται κατά µήκος των ακτινικών διευθύνσεων στις κάµερες, που έχουν ευρύ οπτικό πεδίο, ονοµάζεται ακτινική παραµόρφωση. Το µοντέλο που περιγράφει την εξισορρόπηση της ακτινικής παραµόρφωσης της εικόνας είναι [16]: x xd 2 4 (1 a1r a 2r ) y = + + y d όπου µε (x d,y d) αναπαριστώνται οι συντεταγµένες των παραµορφωµένων σηµείων, (x,y) είναι οι πραγµατικές συντεταγµένες των σηµείων στην εικόνα εάν δεν υπήρχε παραµόρφωση ενώ r = xd + yd και a 1, a 2 είναι παράµετροι της κάµερας που αναφέρονται στον βαθµό παραµόρφωσης [16]. 13

15 Κεφάλαιο 3 Περιγραφή Στερεοσκοπικών Αλγορίθµων Το πρόβληµα που καλούνται να λύσουν οι αλγόριθµοι είναι η διαπίστωση κατά πόσο ένα σηµείο στο χώρο ανήκει στην επιφάνεια αντικειµένου και στην συνέχεια η ανακατασκευή του. Η είσοδος των αλγορίθµων είναι το ελάχιστο δύο εικόνες που απεικονίζουν διαφορετικές όψεις του αντικειµένου που θα ανακατασκευαστεί. Η πιο συνηθισµένη προσέγγιση που ακολουθούν οι αλγόριθµοι είναι η στερεοσκοπική αντιστοίχηση. ηλαδή αντιστοιχίζονται σηµεία σε ζεύγη εικόνων και έπειτα ανακατασκευάζονται στις τρεις διαστάσεις. Η συνηθέστερη κατηγορία αλγόριθµων αντιστοίχησης είναι αυτών που ελέγχουν την οµοιότητα ανάµεσα στα pixel των εικόνων ώστε να εξάγουν τα τρισδιάστατα σηµεία. Επίσης, υπάρχουν και αλγόριθµοι που ελέγχουν την οµοιότητα σε χαρακτηρίστηκα που εµφανίζονται στις εικόνες. Ωστόσο έχουν υλοποιηθεί πρωτοποριακές τεχνικές ανακατασκευών που προσφέρουν υψηλότερες ταχύτητες και µεγαλύτερη ακρίβεια στις ανακατασκευές. Οι µέθοδοι που περιγράφονται παρακάτω χρησιµοποιούν βαθµονοµηµένες κάµερες, δηλαδή είναι γνωστό που προβάλλεται κάθε τρισδιάστατο σηµείο της σκηνής στην κάθε εικόνα. Το πρόβληµα της βαθµονόµησης αποτελεί σηµαντικό τµήµα της στερεοσκοπικής όρασης και θεωρείται επιλυµένο στην παρούσα διπλωµατική. Στην παράγραφο 3.1 ορίζονται βασικές έννοιες που αναφέρονται στις µεθόδους που περιγράφονται σε επόµενες ενότητες. 3.1 Βασικές έννοιες Λαµπερτιανές Επιφάνειες (Lambertian surfaces): Ονοµάζονται οι επιφάνειες που φαίνονται όµοιες από όλες τις οπτικές γωνιές λήψεως. ηλαδή αντανακλούν το φως εξίσου προς όλες τις κατευθύνσεις [20]. 14

16 Χάρτης βάθους (depth map): Είναι ένας δισδιάστατος πίνακας όπου η απόσταση ενός σηµείου όσον αφορά τους άξονες x και y αντιστοιχεί στις σειρές και τις στήλες του πίνακα, και το βάθος (οι τιµές του άξονα z) αποθηκεύονται σαν στοιχεία του πίνακα. (pixels). Ο χάρτης βάθους είναι σαν εικόνα αποχρώσεων του γκρι όπου η πληροφορία z αντικαθιστά τις τιµές της φωτεινότητας. Κυρτό Περίβληµα (convex hull): Το κυρτό περίβληµα ενός αντικειµένου είναι το ελάχιστο σε διαστάσεις περίβληµα που εσωκλείει ένα αντικείµενο στο χώρο (εικόνα 3.1)[7],[17]. Το κυρτό περίβληµα αποτελείται από πολυγωνικά επίπεδα. Εικόνα 3.1. Το αντικείµενο και το εξαγόµενο κυρτό περίβληµα. 3.2 Απλό στερεοσκοπικό σύστηµα Προτού αναφερθεί το πρόβληµα της αντιστοίχησης σηµείων γίνεται αναφορά σε ένα απλό στερεοσκοπικό σύστηµα που αποτελείται από δύο απλές pinhole κάµερες [1]. Το αριστερό και το δεξί εστιακό επίπεδο είναι συνεπίπεδα και αναπαριστώνται από Ι l και Ι r αντιστοίχως. Τα σηµεία Ο l και Ο r είναι τα οπτικά κέντρα των καµερών. Η θέση στο χώρο των σηµείων P και Q καθορίζεται από την τοµή των ηµιευθειών των οπτικών κέντρων Ο l και Ο r και των προβολών των σηµείων P και Q στα εστιακά επίπεδα που είναι: pl, p r και ql, q r αντίστοιχα. Εάν (pl, p r ) και (ql, q r ) επιλεγούν σαν τα ζεύγη αντίστοιχων 15

17 σηµείων στις εικόνες τότε η τοµή των ηµιευθειών Οl pl Ο r p r και Οl pl Ο r p r οδηγεί στα σηµεία P,Q που είναι σηµεία του χώρου που βρίσκονται στην επιφάνεια αντικειµένου. Αν αντιστοιχιζόταν τα ζεύγη των σηµείων (pl, q r ) και (ql, p r ) τότε τα σηµεία που Θα προέκυπταν θα ήταν τα P και Q αποτέλεσµα που είναι εντελώς διαφορετικό από το προηγούµενο (εικόνα 3.2). Εποµένως το πρόβληµα της σωστής αντιστοίχησης κρίνεται σηµαντικό. Εικόνα 3.2. Το πρόβληµα της αντιστοίχησης [1]. Εφεξής θεωρείται ότι το πρόβληµα της αντιστοίχησης έχει επιλυθεί και τελικά το σηµείο P ανήκει σε αντικείµενο και θα ανακατασκευαστεί. Στην συνέχεια εξετάζεται ή ανάκτηση του σηµείου P από τις προβολές pl και p r. Θεωρείται ότι Τ είναι η απόσταση ανάµεσα στα οπτικά κέντρα Ο l,,ο r ενώ xl, x r είναι οι συντεταγµένες των pl και p r σε σχέση µε τα κέντρα cl και c r των εστιακών επιπέδων. Η εστιακή απόσταση είναι f και για τις δύο κάµερες, και Ζ είναι η απόσταση του σηµείου P από την ευθεία που ενώνει τα κέντρα των καµερών (εικόνα 3.3). Από τα όµοια τρίγωνα (pl, P, p r ) και (Ο l, P, Ο r ) προκύπτει : T+ xl xr T T = Z= f Z f Z d όπου d= xl x r είναι η τιµή της ανοµοιότητας (disparity), δηλαδή η διάφορα ως προς την θέση ανάµεσα. στα σηµεία που αντιστοιχίζονται στις δύο εικόνες. 16

18 Εικόνα 3.3. Το βάθος υπολογίζεται από την τιµή ανοµοιότητας των αντιστοιχισµένων σηµείων Επίπολος Γεωµετρία (Epipolar Geometry) Στη συνέχεια εξετάζεται η στερεοσκοπική γεωµετρία στην γενική µορφή της (εικόνα 3.4). Απεικονίζονται δύο απλές pinhole κάµερες µε οπτικά κέντρα Ο l και Ο r, και εστιακά επίπεδα π l και π r. Οι εστιακές αποστάσεις είναι fl και f r. Tα διανύσµατα Pl =[Xl, Yl, Zl ] T και Pr =[Xr, Yr, Zr ] T αναφέρονται στο ίδιο τρισδιάστατο σηµείο, P, σαν διάνυσµα του συστήµατος αναφοράς της δεξιάς και της αριστερής κάµερας αντιστοίχως. Tα διανύσµατα pl =[xl, yl, z l ] T και pr =[xr, yr, z r ] T αναφέρονται στις προβολές του P στο αριστερό και το δεξί εστιακό επίπεδο και εκφράζονται στο αντίστοιχο σύστηµα αναφοράς. Για όλα τα σηµεία των εστιακών επιπέδων ισχύει ότι zl =fl και z r =f r. Τα σηµεία στα οποία η ευθεία που ενώνει τα οπτικά κέντρα τέµνει τα εστιακά επίπεδα ονοµάζονται επίπολοι (epipoles). Συνεπώς η επίπολος στην µία κάµερα είναι η απεικόνιση του οπτικού κέντρου της άλλης κάµερας. Το επίπεδο που σχηµατίζεται από το σηµείο P και τα οπτικά κέντρα Ο l και Ο r ονοµάζεται επίπολo επίπεδο (epipolar plane). Η ευθεία γραµµή που σχηµατίζεται από την τοµή του επίπολου επιπέδου µε το εστιακό επίπεδο ονοµάζεται επίπολος γραµµή (epipolar line). 17

19 Εικόνα 3.4. Η επίπολος γεωµετρία. Τα συστήµατα αναφοράς της αριστερής και της δεξιάς κάµερας συσχετίζονται µέσω των εξωτερικών παραµέτρων. Οι παράµετροι καθορίζουν το διάνυσµα µεταφοράς T=(Ο l Ο r ) και τον πίνακα περιστροφής R. Έτσι για το σηµείο P του χώρου η σχέση ανάµεσα στα διανύσµατα P l και Pr είναι: Pr =R (Pl T). Η σχέση ανάµεσα σε ένα σηµείο του τρισδιάστατου χώρου και στην προβολή του περιγράφεται από την διανυσµατικές σχέσεις[1]: p f l l = Pl και Zl p r fr = Z r P r ιόρθωση (rectification) Η διαδικασία της διόρθωσης ορίζει ότι τα εστιακά επίπεδα π l και π r των δύο καµερών έχουν αντικατασταθεί από δύο ισοδύναµα εστιακά επίπεδα π l και π r, τέτοια ώστε το ζεύγος των επίπολων γραµµών να γίνεται συγγραµµικό και παράλληλο στην ευθεία που ενώνει τα οπτικά κέντρα των καµερών[1]. Τα διορθωµένα εστιακά επίπεδα µπορούν να ληφθούν από περιστροφή των αρχικών εστιακών επιπέδων γύρω από το οπτικά κέντρα (εικόνα 3.5). 18

20 Εικόνα 3.5. ιόρθωση εστιακών επιπέδων. Εικόνα 3.6. Το αρχικό ζεύγος εικόνων και οι εικόνες µετά την διόρθωση. 19

21 3.3 Κλασσικές µέθοδοι ανακατασκευής Οι κλασσικές µέθοδοι ανακατασκευής βασίζονται στην αντιστοίχηση περιοχών απευθείας στις εικόνες και ανάλογα µε την θέση τους στις εικόνες εξάγεται η θέση τους στο τρισδιάστατο χώρο. Οι περιορισµοί που ισχύουν στις περισσότερες µεθόδους για να λυθεί το πρόβληµα της αντιστοίχησης σηµείων του ζεύγους των εικόνων είναι οι εξής [6]: Τα περισσότερα σηµεία της σκηνής είναι ορατά και από τις δύο εικόνες. Οι περιοχές των εικόνων που αντιστοιχίζονται είναι παρεµφερής. Οι περιορισµοί ισχύουν για σηµεία του χώρου που βρίσκονται σε µεγάλες αποστάσεις σε σχέση µε την απόσταση µεταξύ των κέντρων των καµερών. ιαφορετικά το πρόβληµα της αντιστοίχησης δυσχεραίνεται. Προς το παρόν θεωρείται δεδοµένη η ισχύς των περιορισµών και το πρόβληµα της αντιστοίχησης µετατρέπεται σε πρόβληµα της εξής αναζήτησης : έχοντας σαν δεδοµένο ένα στοιχείο της πρώτης εικόνας αναζητείται το αντίστοιχο στοιχείο της δεύτερης εικόνας. Οι αλγόριθµοι αντιστοίχησης των κλασσικών µεθόδων διαχωρίζονται στους βασισµένους στη συσχέτιση (correlation-based) και τους βασισµένους στα χαρακτηριστικά (feature-based) Μέθοδοι βασισµένες στη συσχέτιση Στις µεθόδους που βασίζονται στη συσχέτιση τα στοιχεία που συνταιριάζονται στις εικόνες είναι παράθυρα συγκεκριµένου µεγέθους, και το κριτήριο οµοιότητας είναι η µέτρηση της συσχέτισης ανάµεσα στα παράθυρα των δύο εικόνων. Το στοιχείο που αντιστοιχίζεται τελικά είναι αυτό που δίνει την υψηλότερη τιµή συσχέτισης σε µία καθορισµένη περιοχή. Ο αλγόριθµος σε περιληπτικά βήµατα αναλύεται παρακάτω [1]. Η είσοδος είναι ένα ζεύγος εικόνων, Ι l (αριστερή) και Ι r (δεξιά). Έστω p l και p r είναι τα pixels στην αριστερή και τη δεξιά εικόνα, 2W+1 (σε pixel) το παράθυρο της συσχέτισης, R(pl) η περιοχή 20

22 αναζήτησης στη δεξιά εικόνα, και ψ(u,υ) µία συνάρτηση µε µεταβλητές δύο τιµές pixel, u,υ. Για κάθε pixel T p l [i, j] R(p l) = υπολογίζεται: W W c(d) = ψ (I (i + k, j+ l),i (i + k d, j+ l d )) k= W l= W l r 1 2 Η ανοµοιότητα (disparity) του pl είναι το διάνυσµα r r r d = [d,d ] 1 2 T που µεγιστοποιεί τη συνάρτηση c(d) στη περιοχή R(pl). r d = argmax{c(d)} d R Το αποτέλεσµα είναι ένας πίνακας από τιµές ανοµοιότητας (µία για κάθε pixel) και ονοµάζεται χάρτης ανοµοιότητας (disparity map). ύο ευρέως αποδεκτές επιλογές για την συνάρτηση ψ=ψ(u,υ) είναι: ψ(u,υ)=u.υ που οδηγεί στον υπολογισµό της εµπλεκόµενης συσχέτισης (cross-correlation) ανάµεσα στο παράθυρο της αριστερής εικόνας και της περιοχής που εξετάζεται στη δεξιά εικόνα, και ψ(u,υ)=-(u-υ) 2 που εκτελεί την µέθοδο του αθροίσµατος τετραγώνων των διαφορών (sum of squared differences). Γενικά η συνάρτηση ψ(u,υ)=-(u-υ) 2 προτιµάται από την ψ(u,υ)=u.υ διότι δεν προκαλεί απόκλιση στο αποτέλεσµα στις περιοχές της εικόνας που παρουσιάζουν πολύ µικρές ή πολύ υψηλές τιµές φωτεινότητας. Για να περιοριστεί η διαδικασία αντιστοίχησης ενός pixel της πρώτης εικόνας στη δεύτερη σε υπολογισµό της συσχέτισης του παραθύρου κατά µήκος µίας οριζόντιας γραµµής πάνω στην δεύτερη εικόνα προηγείται διόρθωση (rectification) των εστιακών επιπέδων. Ορθή επιλογή παραθύρου συσχέτισης: Η σωστή επιλογή του σχήµατος και του µεγέθους του παραθύρου συσχέτισης είναι κρίσιµη για την επιτυχία της µεθόδου. Το παράθυρο θα πρέπει να είναι αρκετά µεγάλο, ώστε να αντιλαµβάνεται την µεταβολή της φωτεινότητας και αρκετά µικρό, για να αποφεύγονται οι επιδράσεις των προβολικών παραµορφώσεων[6]. 21

23 3.3.2 Μέθοδοι βασισµένες στα χαρακτηριστικά Στις µεθόδους που βασίζονται στα χαρακτηριστικά η αντιστοίχηση στοιχείων περιορίζεται σε αραιές οµάδες χαρακτηριστικών στις εικόνες. Αντί για παράθυρα στις εικόνες, χρησιµοποιούν αριθµητικούς και συµβολικούς περιγραφείς των χαρακτηριστικών και υπολογίζουν σαν κριτήριο την απόσταση ανάµεσα στα χαρακτηριστικά [1]. Για παράδειγµα ένας περιγραφέας που αναφέρεται σε γραµµή θα περιείχε τιµές για : το µήκος, l. τον προσανατολισµό, ο τις συντεταγµένες του µεσαίου σηµείου,[x,y] T την µέση αντίθεση κατά µήκος της γραµµής Τα στοιχεία που αντιστοιχίζονται είναι όµοια ζεύγη χαρακτηριστικών που παρουσιάζονται στις δύο εικόνες και βρίσκονται στην µικρότερη απόσταση. Τυπικά παραδείγµατα χαρακτηριστικών είναι τα σηµεία των ακµών, οι γραµµές και οι γωνίες που σχηµατίζονται στην ένωση δύο ακµών. Η ανοµοιότητα υπολογίζεται ανάµεσα στις θέσεις στην εικόνα όπου βρίσκονται τα χαρακτηριστικά οπότε ο χάρτης ανοµοιότητας είναι αραιός. Οπότε οι µέθοδοι που βασίζονται στα χαρακτηριστικά γενικά δεν κρίνοντα κατάλληλες για ανακατασκευή από δύο κάµερες. Για κάθε χαρακτηριστικό υπάρχει ποικιλία από αλγόριθµους αντιστοίχησης. Η επιλογή του χαρακτηριστικού εξαρτάται από παράγοντες όπως το είδος του αντικειµένου που θα αναπαρασταθεί και τις συνθήκες φωτεινότητας Επαγόµενα συµπεράσµατα Οι µέθοδοι που βασίζονται στη συσχέτιση υλοποιούνται ευκολότερα και δηµιουργούν πυκνότερους χάρτες ανοµοιότητας (disparity map). Ωστόσο χρειάζονται σαν είσοδο εικόνες που απεικονίζουν αντικείµενα µε διακυµάνσεις στην υφή τους. Η µεταβολή της φωτεινότητας των αντικειµένων όταν η λήψη του ζεύγους των εικόνων γίνεται από αρκετά διαφορετικές οπτικές γωνιές καθιστά τις µεθόδους ακατάλληλες. Επιπλέον η διγραµµική παρεµβολή που είναι 22

24 απαραίτητη για να γίνει αντιστοίχηση µε ακρίβεια υπο-pixel είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα στις µεθόδους που βασίζονται στη συσχέτιση. Οι µέθοδοι που βασίζονται στα χαρακτηριστικά είναι κατάλληλες όταν είναι γνωστές εκ των προτέρων πληροφορίες για την σκηνή ώστε να επιλέγονται τα χαρακτηριστικά που οδηγούν σε βέλτιστο αποτέλεσµα. Οι µέθοδοι αυτές µπορούν να αποδειχθούν ταχύτερες σε σχέση µε αυτές που βασίζονται στην συσχέτιση, αλλά πρέπει να συνυπολογιστεί και ο χρόνος που απαιτείται για τον ορισµό των περιγραφέων. Παράλληλα δεν επηρεάζονται από µεταβολές της φωτεινότητας. Γενικά η επίδοση των µεθόδων αντιστοίχησης υπονοµεύεται από την ύπαρξη σηµείων που υπάρχουν µόνο σε µία από τις εικόνες (εικόνα 3.5) και από την αντιστοίχηση λάθος στοιχείων εξαιτίας ύπαρξης θορύβου (spurious matches) [6]. (α) (β) Εικόνα 3.7.Ορατότητα από µία κάµερα λόγω: (α) Ύπαρξης µικρού αντικειµένου στο προσκήνιο, (β) Πτύχωσης της επιφάνειας. Τα ίδια σηµεία µίας επιφάνειας ίσως απεικονιστούν διαφορετικά στις ληφθείσες εικόνες, εξαιτίας της µεγάλης απόκλισης τους από τον οπτικό άξονα ή της µεγάλης απόστασης µεταξύ των κέντρών των δύο καµερών. Ένα πρόβληµα που ανακύπτει από την συγχώνευση των πινάκων βάθους των ζευγών των καµερών είναι ότι τα σφάλµατα κατά τη 23

25 βαθµονόµηση των καµερών προκαλούν ανακατασκευές του ίδιου σηµείου επιφανείας σε διαφορετικές θέσεις. 3.4 Σχήµα από περίγραµµα(shape-from-silhouette) Η απλούστερη προσέγγιση ανακατασκευής από πολλαπλές κάµερες είναι η βασισµένη στο περίγραµµα [2],[23] και παρουσιάζει την µικρότερη υπολογιστική πολυπλοκότητα. Η βασική ιδέα των προσέγγισης είναι ότι το κάθε αντικείµενο είναι ολόκληρο τοποθετηµένο σε κάποια θέση µέσα στο περίγραµµα του. (α) (β) Εικόνα 3.8.(α): Κώνος θέασης διαµέσου του περιγράµµατος. (β): Τοµή πολλαπλών κώνων θέασης. Αν ένα αντικείµενο είναι ορατό από µία συγκεκριµένη κάµερα οι ακτίνες από το οπτικό κέντρο που διέρχονται από το περίγραµµα διαµορφώνουν τον κώνο θέασης. Οι είσοδοι είναι δυαδικές µάσκες µε την τιµή σε ένα σηµείο να δείχνει αν διέρχεται από αυτό οπτική ακτίνα. Ο κώνος θέασης (εικόνα 3.8(α)) καθορίζει ένα άνω όριο για το σχήµα του αντικειµένου, το κανονικό αντικείµενο καταλαµβάνει ίσο η µικρότερο σε όγκο σε σχέση µε την προκαταρκτική προσέγγιση του περιγράµµατος. Για κάθε κάµερα που βλέπει το αντικείµενο, διαµορφώνεται, µε βάση το περίγραµµα, ένας κώνος θέασης που περιέχει ολόκληρο το αντικείµενο. Όποτε το αντικείµενο βρίσκεται στον όγκο που οριοθετείται από την τοµή των κώνων θέασης. Μόνο τα σηµεία που 24

26 βρίσκονται στο τρισδιάστατο αυτό χώρο ανήκουν στο αντικείµενο που θα ανακατασκευαστεί (εικόνα 3.8(β)). Η τοµή όλων των κώνων θέασης υπολογίζεται µε ακρίβεια µε πολυεδρικές αναπαραστάσεις. Ωστόσο δεν µπορούν να ανακατασκευαστούν όλα τα σχήµατα µε τις µεθόδους που βασίζονται στο περίγραµµα. Η κοιλότητα (εικόνα 3.8(β)) δεν είναι ποτέ ορατή στο περίγραµµα και δεν θα ανακτηθεί[2]. Επιπλέον αξιώνεται ότι οι κάµερες βρίσκονται εκτός του κυρτού περιβλήµατος της σκηνής και ότι τα αντικείµενα µπορούν να κατατµηθούν από το φόντο Space carving Η µέθοδοι που αναλύονται στις παραγράφους 3.5,3.6 προϋποθέτουν ότι ο χώρος έχει διαχωριστεί σε voxels (εικόνα 3.9). Όπου τα voxels είναι µικροί κύβοι µε κοινό µήκος ακµής. Το κάθε voxel χαρακτηρίζεται από τις συντεταγµένες του σηµείου που βρίσκεται στο κέντρο του [2]. Εικόνα 3.9. ιαχωρισµός σκηνής σε voxels[2]. Στις µεθόδους που το σχήµα προκύπτει από το περίγραµµα η πληροφορία του χρώµατος δεν αξιοποιείται. Έτσι αν και οι αλγόριθµοι είναι αρκετά γρήγοροι δεν µπορούν να ανακατασκευαστούν όλες οι επιφάνειες. Ο περιορισµός δύναται να ξεπεραστεί αν ληφθεί υπόψη το χρώµα των εικόνων. Η µέθοδος space carving λαµβάνει υπόψη το χρώµα για να βελτιώσει την ακρίβεια της ανακατασκευής [8]. 25

27 Το πλεονέκτηµα της αξιοποίησης του χρώµατος τις επιφάνειας φαίνεται στην εικόνα Η εικόνα δείχνει ένα αντικείµενο µε µία µικρή κοιλότητα που δεν ανιχνεύεται χρησιµοποιώντας το περίγραµµα. Έστω ένα σηµείο Μ 1 βρίσκεται στο κυρτό κέλυφος και προβάλλεται σε συγκεκριµένα pixels στις κάµερες Α και Β αντιστοίχως. Αφού στο πραγµατικό σχήµα υπάρχει κοιλότητα τα pixels στις δύο κάµερες χρωµατίζονται από τα διαφορετικά σηµεία Μ 2 και Μ 3 της επιφάνειας αντί για το Μ 1. Εποµένως το σηµείο Μ 1 δεν ανήκει στην επιφάνεια του πραγµατικού αντικειµένου και θα αφαιρεθεί. Οι µέθοδοι space carving εκµεταλλεύονται το φαινόµενο αυτό για να λαξεύουν τις κοιλότητες στο κυρτό κέλυφος, όπως ο γλύπτης λαξεύει την πέτρα, µέχρι το αντικείµενο να δείχνει σωστά από όλες τις οπτικές γωνίες [2],[8]. Εικόνα Βελτίωση του σχήµατος του αντικειµένου αξιοποιώντας το χρώµα τις επιφάνειας[2]. Για κάθε voxel που χωρίζεται ο όγκος υπολογίζεται η προβολή σε όλες τις διαθέσιµες κάµερες και, ανάλογα µε τα χρώµατα των pixel που αντιστοιχίζεται στις εικόνες και λαµβάνοντας υπόψη και την ορατότητα από τις κάµερες, καθορίζεται αν το pixel ανήκει στην επιφάνεια του αντικειµένου η όχι. Αν το voxel βρίσκεται στη επιφάνεια υπολογίζεται το χρώµα του από τα pixel που προβάλλεται στις εικόνες. Σε αντίθετη περίπτωση τo voxel θεωρείται διάφανο και ο αλγόριθµος συνεχίζει µε τα επόµενα voxels του όγκου. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται µέχρι η ανακατασκευή του αντικειµένου να δείχνει σωστή. Η space-carving 26

28 µέθοδος δύναται να καθορίσει εάν σηµείο του χώρου ανήκει σε επιφάνεια αντικειµένου αλλά δεν παρέχει πληροφορίες για το κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας. Επίσης είναι δύσκολο να επιτευχθεί φασµατική ραδιοµετρική/χρωµατική βαθµονόµηση. 3.6 Μέθοδος βασισµένη στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας Στη µέθοδο που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας υλοποιείται επίπεδο πλαίσιο στον τρισδιάστατο χώρο το οποίο προβάλλεται πάνω στα εστιακά επίπεδα των καµερών και έπειτα υπολογίζεται η συσχέτιση των προβολών αυτών. Για κάθε κατεύθυνση του πλαισίου υπολογίζεται µία τιµή συσχέτισης. Η κατεύθυνση για την οποία η τιµή της συσχέτισης είναι µέγιστη επιλέγεται ως η βέλτιστη [3]. Ο αλγόριθµος αποτελεί νέα προσέγγιση όσον αφορά την επιλογή των καµερών που θα ληφθούν υπόψη για να αποφασιστεί εάν ένα voxel αποτελεί περιέχει σηµείο επιφάνειας ή όχι. Οι γειτονικές κάµερες οµαδοποιούνται. Για κάθε voxel επιλέγεται η οµάδα καµερών που οδηγεί στην µεγαλύτερη τιµή συσχέτισης. Η στρατηγική αυτή εγγυάται ότι τα πλαίσια που φαίνονται ασυνεχή από κάποιες κάµερες σε κάποιες άλλες, που επιτυγχάνεται υψηλή τιµή συσχέτισης, είναι συνεχή. Επιπροσθέτως η σύνδεση του voxel µε την οµάδα που δίνει την υψηλότερη τιµή οδηγεί στην καλύτερη εκτίµηση του προσανατολισµού του πλαισίου για τα voxel που αποτελούν σηµεία επιφάνειας. Ουσιαστικά η κατεύθυνση των πλαισίων για τα κατειληµµένα voxel ταυτίζεται µε το κάθετο στην επιφάνεια διάνυσµα οπότε τα πλαίσια εφάπτονται στην επιφάνεια [3],[9],[18]. Το σηµείο που εξετάζεται βρίσκεται σε επιφάνεια εάν έχει την µέγιστη τιµή συσχέτισης κατά µήκος του κάθετου διανύσµατος του. Ο αλγόριθµος που περιγράφεται προηγουµένως εφαρµόζεται σε 3 σηµείο p r r R του χώρου και υπολογίζει µία τιµή συσχέτισης s( p) και ένα τρισδιάστατο κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα κ r (p) r (προσανατολισµός). 27

29 Θεωρείται επίπεδο πλαίσιο Sr n, µε µέγεθος α x α µονάδες µήκους (mm), µε κέντρο το σηµείο p r και κάθετο διάνυσµα n r. Από την προβολή των εικόνων Ι 1 και Ι 2 στο Sr n προκύπτουν οι συγγραµµισµένες εικόνες rr rr w(p,n) 1 και w (p,n) 2. Ο σχηµατισµός των συγγραµµισµών προκύπτει από τον τύπο [3]: r r r r T w ( p, n) = I ( P ( p+ R( n) [ x y 0] )), i {1, 2} i i i όπου P r i είναι ο πίνακας προβολής της κάµερας i, R( n ) είναι o 3 x 3 T πίνακας περιστροφής από διάνυσµα [0 01] σε n r, και x, y [ a 2, a 2] είναι η µεταβολή των συντεταγµένων των σηµείων του τετραγωνικού πλαισίου οριζόντια και κάθετα. Εικόνα Η επιφάνεια προβάλλεται παραµορφωµένη στις εικόνες (Ι 1,2 ), αλλά οι συγγραµισµοί (W 1,2 ) του επίπεδου πλαισίου που εφάπτονται στην επιφάνεια δεν είναι [3]. Το διάνυσµα n r χρησιµοποιείται ως µη δεσµευµένη µεταβλητή για r r r τον υπολογισµό των s( p), κ(p) µε κριτήριο τη συσχέτιση των rr r r r r r r συγγραµισµών w(p,n) 1 και w (p,n) 2 : Corr(w 1(p,n),w(p,n)) 2 ανάλογα µε το n r. Οι εξισώσεις είναι [3]: r r r r r s(p) max(corr(w (p,n),w (p,n))) = r n 1 2 r r r κ (p) = arg( s( p )) 28

30 r Το βαθµωτό µέγεθος s( p) και το διάνυσµα κ r (p) r συγχωνεύονται στο rr r r r r r r r r r διάνυσµα υ( p),για το οποίο ισχύει υ( p) = s(p) και υ( p) υ( p) = κ(p). Τίθεται επίσης w(p) r i = w(p,n) r r i. Εφεξής θεωρείται ό,τι οι εικόνες Ι 1 και Ι 2 είναι Λαµπερτιανές και ότι οι επιφάνειες είναι τοπικά επίπεδες όπως συµβαίνει µε τις πραγµατικές επιφάνειες. Όταν οι Ι 1 και Ι 2 είναι συνεχείς και το Sr n εφάπτεται στην r r επιφάνεια του αντικειµένου, στους συγγραµισµούς w(p) 1 και w(p) 2 δεν υπάρχει παραµόρφωση, διότι απεικονίζονται τα ίδια σηµεία του χώρου. Τότε η συσχέτιση είναι η βέλτιστη. Αντίθετα, όταν το Sr n δεν είναι r r εφαπτόµενο στην επιφάνεια οι συγγραµισµοί w (p) 1 και w (p) 2 θα απεικονίσουν διαφορετικά κάποια σηµεία του χώρου. Αν και η συσχέτιση δεν είναι η βέλτιστη αναµένεται να υπάρξει µέγιστη τιµή συσχέτισης στα σηµεία του χώρου που υπάρχει επιφάνεια αντικειµένου Τρόπος ανακατασκευής της επιφάνειας Η ανίχνευση των µεγίστων βασίζεται στον βελτιωµένο αλγόριθµο ανίχνευσης Canny σε τρισδιάστατες γειτονιές [15]. Τα διανύσµατα κ r (p) r θεωρούνται κεκλιµένα ανύσµατα µε συγκεκριµένο µήκος. Εφόσον η τιµή r s( p) που προκύπτει είναι µεγαλύτερη από το κατώφλι της συσχέτισης που ορίσθηκε, το σηµείο p r ανήκει σε επιφάνεια και κ r (p) r είναι το κάθετο διάνυσµα. Κατά το µήκος του κ r (p) r µπορεί να παρουσιαστεί µόνο ένα σηµείο επιφάνειας. Τα voxels που ανήκουν σε επιφάνεια ανακατασκευάζονται ως εξής[3]: 1. Ορίζεται πλαίσιο που έχει ως κέντρο το σηµείο p r που βρίσκεται στο κέντρο του voxel. 2. To πλαίσιο προσανατολίζεται έτσι ώστε το κάθετο σε αυτό διάνυσµα να έχει κατεύθυνση κ r (p) r και έπειτα προσαρµόζεται στα όρια του voxel. Εποµένως αντί απεικονιστεί µόνο το κέντρο του voxel απεικονίζεται όλο το προσανατολισµένο πλαίσιο, γεγονός που οδηγεί σε λεπτοµερέστερη ανακατασκευή. 29

31 Το µειονέκτηµα που παρουσιάζεται είναι ο υπολογιστικός χρόνος που καθιστά την µεθοδολογία απαγορευτική για ανακατασκευή χώρου που αποτελείται από πολυάριθµα voxels. Επίσης ο χρήστη πρέπει να γνωρίζει τα όρια του χώρου που βρίσκεται το αντικείµενο ή η σκηνή που θα ανακατασκευαστεί. Στο 5ο κεφάλαιο εξετάζεται µία νέα µέθοδος υπολογισµού της βέλτιστης κατεύθυνσης του πλαισίου που είναι συντοµότερη και δεν παρουσιάζει σηµαντική γωνιακή απόκλιση σε σχέση µε την προηγούµενη, που θα είχε ως συνέπεια να προκύπτουν λανθασµένα αποτελέσµατα. 3.7 Σάρωση χώρου µε χρήση επιπέδων Οι περισσότεροι αλγόριθµοι υπολογίζουν τους χάρτες βάθους µε ακρίβεια ωστόσο είναι ιδιαίτερα χρονοβόροι, και δεν χρησιµοποιούνται σε εφαρµογές µε περιορισµένο χρόνο διεκπεραίωσης. Στις δηµοσιεύσεις [4],[5] παρουσιάζεται µέθοδος σάρωσης του χώρου µε σκοπό την δηµιουργία χαρτών βάθους µε υψηλή ταχύτητα Σάρωση µε επίπεδα τµήµατα Ο αλγόριθµος σάρωσης χρησιµοποιεί επίπεδα τµήµατα για τον υπολογισµό του χάρτη βάθους της σκηνής (εικόνα 3.12). Ο χάρτης βάθους δεν υπολογίζεται σε σχέση µε µία από της κάµερες του ζεύγους αλλά µε µία εικονική κάµερα που βρίσκεται στο µεσαίο σηµείο των καµερών (cyclopean eye). Χωρίς έλλειψη γενικότητας θεωρείται ότι το επίπεδο τµήµα σαρώνει το χώρο κατά µήκος του Z-άξονα. Το επίπεδο τµήµα είναι πλέγµα που αποτελείται από ισαπέχοντα σηµεία. Το πλέγµα είναι ευθυγραµµισµένο µε τους X-Y άξονες [5]. Τo εύρος της σάρωσης µε επίπεδα οριοθετείται από τα δύο επίπεδα που βρίσκονται σε Z=z min και Z=z max. Ο όγκος σαρώνεται από επίπεδα που ισαπέχουν στο όριο από z min µέχρι z max. 30

32 Εικόνα Σάρωση χώρου µε επίπεδα τµήµατα. Τα σηµεία του κάθε επίπεδου προβάλλονται στο ζεύγος των εικόνων. Εκεί που το επίπεδο περιέχει ένα πραγµατικό σηµείο του αντικειµένου η προβολή της περιοχής γύρω από το σηµείο αυτό είναι παρόµοια στις εικόνες που ελήφθησαν από το ζεύγος των καµερών [4]. Η τιµή συσχέτισης modified normalized cross-correlation των προβολών µεγιστοποιείται για την συγκεκριµένη θέση του επιπέδου. Η σάρωση του χώρου µε τα επίπεδα θα δείξει τα σηµεία που υπάρχει αντιστοιχία ανάµεσα στις εικόνες. Η επιλογή του κριτηρίου modified normalized cross-correlation για τον υπολογισµό του βαθµού οµοιότητας των παραπάνω περιοχών εγγυάται ταχύτητα και αξιοπιστία. Υπερέχει σε σχέση µε τις άλλες τεχνικές (sum of squared differences, sum of absolute differences) που χρησιµοποιούνται για την εύρεση αντιστοιχίας ανάµεσα στις εικόνες [10],[22]. Ο τύπος υπολογισµού είναι: corr (I,I ) = 2 cov(i,i ) ( ) ( ) L R MNCC L R 2 σ Ι + σ 2 I L R όπου I L και I R είναι οι προβολές της περιοχής στην αριστερή και τη δεξιά εικόνα αντίστοιχα. 31

33 3.8 Σύνοψη µεθόδων που αναλύθηκαν. Κλασσικές µέθοδοι ανακατασκευής Πλεονέκτηµα: 1. Ταχύτητα υπολογισµού του χάρτη βάθους. Μειονεκτήµατα: 1. Τα σηµεία του χώρου που θα ανακατασκευαστούν πρέπει να βρίσκονται σε µεγάλη απόσταση σε σχέση µε την απόσταση µεταξύ των κέντρων των καµερών. Έτσι εξασφαλίζεται ότι οι εικόνες επικαλύπτονται σε µεγάλο βαθµό. 2. Κρίνεται αναγκαία η διόρθωση των εστιακών επιπέδων ώστε να περιοριστεί η αναζήτηση οµοίων περιοχών σε µία διάσταση. 3. Ορισµός περιγραφέων προτού ξεκινήσει η διαδικασία αντιστοίχησης χαρακτηριστικών. Σχήµα από περίγραµµα Πλεονεκτήµατα: 1. Ταχύτητα και µικρή πολυπλοκότητα. 2. Ικανότητα ανακατασκευής Λαµπερτιανών επιφανειών. Μειονεκτήµατα: 1. Οι κάµερες πρέπει να είναι τοποθετηµένες εκτός του κυρτού περιβλήµατος του αντικειµένου που θα ανακατασκευαστεί. 2. Να είναι δυνατή η κατάτµηση των αντικειµένων από το φόντο. 3. εν είναι δυνατόν να ανακατασκευαστούν οι κοιλότητες των αντικειµένων. Space Carving Πλεονεκτήµατα 1. Καλή λειτουργία για εικόνες που παρουσιάζουν µικρό θόρυβο. 32

34 2. Οι κάµερες µπορούν να τοποθετηθούν και να προσανατολιστούν σε τυχαίες θέσεις γύρω από την σκηνή που θα ανακατασκευαστεί. Μειονεκτήµατα 1. εν παρέχει πληροφορίες για το κάθετο, στην επιφάνεια, διάνυσµα. 2. Πρέπει να γίνει φασµατική ραδιοµετρική/χρωµατική βαθµονόµηση που είναι δύσκολο να επιτευχθεί. 3. Απαιτείται εκ των προτέρων γνώση του αρχικού όγκου µέσα στον οποίο βρίσκεται το αντικείµενο. Μέθοδος βασισµένη στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας Πλεονεκτήµατα 1. Αξιοποίηση της πληροφορίας για το κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας γεγονός που συµβάλει στη ποιοτική βελτίωση της ανακατασκευής του αντικειµένου 2. Τα κέντρα του ζεύγους των καµερών µπορούν να απέχουν µεγαλύτερη απόσταση συγκριτικά µε τις υπόλοιπες µεθόδους. 3. Οι κάµερες µπορούν να τοποθετηθούν και να προσανατολιστούν σε τυχαίες θέσεις γύρω από τη σκηνή που θα ανακατασκευαστεί. Μειονέκτηµα 1. Υπολογιστικό κόστος και πολυπλοκότητα υλοποίησης. 2. Απαιτείται εκ των προτέρων γνώση του αρχικού όγκου µέσα στον οποίο βρίσκεται το αντικείµενο. Σάρωση µε επίπεδα τµήµατα Πλεονεκτήµατα 1. Ταχύτητα υπολογισµού του χάρτη βάθους. 33

35 2. εν απαιτείται εκ των προτέρων γνώση του όγκου που περικλείει το αντικείµενο. 3. Οι κάµερες µπορούν να τοποθετηθούν και να προσανατολιστούν σε τυχαίες θέσεις γύρω από τη σκηνή που θα ανακατασκευαστεί. Μειονέκτηµα 1. Υστερεί σε ακρίβεια ανακατασκευασµένων επιφανειών σε σχέση µε την µέθοδο Space Carving και την µέθοδο που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας. Από την σύνοψη των µεθόδων προκύπτει ότι µεγαλύτερη ακρίβεια στην ανακατασκευή επιφανειών παρέχει η µέθοδος που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας. Ενώ υψηλή ταχύτητα παρουσιάζει η µέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα. Κοινό χαρακτηριστικό των µεθόδων είναι η δυνατότητα τυχαίας τοποθέτησης των καµερών. Στο κεφάλαιο 4 περιγράφεται η µέθοδος σάρωσης µε σφαιρικά τµήµατα παραλλαγή της σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα. Η µέθοδος επιτυγχάνει βελτίωση της ακρίβειας ανακατασκευής διατηρώντας την υψηλή ταχύτητα. Στο κεφάλαιο 5 περιγράφεται ο τρόπος βελτίωσης της ταχύτητας της µεθόδου που βασίζεται στην εκτίµηση του κάθετου διανύσµατος της επιφάνειας ενώ διατηρείται η ακρίβεια ανακατασκευής. 34

36 Κεφάλαιο 4 Μέθοδοι σάρωσης-ανακατασκευή Σηµείων Κατά την σάρωση του χώρου µε τµήµατα επιφανειών, διαφορετικών σχηµάτων, για τα σηµεία του τµήµατος που αντιστοιχούν σε πραγµατικό σηµείο αντικειµένου ισχύει ότι η περιοχή γύρω από τα σηµεία αυτά προβάλλεται παρόµοια στις εικόνες που ελήφθησαν από το ζεύγος των καµερών. Η ιδιότητα αυτή αξιοποιείται για να βρεθούν τα σηµεία που αποτελούν την τρισδιάστατη ανακατασκευή του αντικειµένου. Στο κεφάλαιο εξετάζονται οι περιπτώσεις σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα καθώς και µε σφαιρικά. 4.1 Ορισµός των πινάκων περιστροφής Χρησιµοποιούνται τρεις µέθοδοι σάρωσης του χώρου µε σκοπό την εύρεση της θέσης των αντικειµένων που απεικονίζονται στις εικόνες και την µετέπειτα τρισδιάστατη ανακατασκευή τους. Στις περιπτώσεις που εξετάζονται ο άξονας κατά µήκος του οποίου γίνεται η σάρωση του χώρου δεν είναι πλέον απαραίτητα ο Z-άξονας όπως στο[5]. Οπότε είναι απαραίτητο να γίνει περιστροφή τη αρχικής επιφάνειας σάρωσης ώστε να είναι κάθετη στο διάνυσµα V r που αποτελεί τη νέα κατεύθυνση σάρωσης του χώρου. Το σηµείο D από το οποίο ξεκινάει το διάνυσµα βρίσκεται στο µέσο της ευθείας που ενώνει τα κέντρα του ζεύγους των καµερών και ονοµάζεται κυκλωπικό µάτι (cyclopean eye). Αν θεωρηθεί ότι V r 1, V r 2 είναι τα µοναδιαία διανύσµατα που δείχνουν τον προσανατολισµό των καµερών στον χώρο το διάνυσµα που ξεκινά από το D προκύπτει από την διανυσµατική πρόσθεση των διανυσµάτων V r 1 και V r 2.(εικόνα 4.1). Η επιλογή του ζεύγους καµερών γίνεται µε κριτήριο την απόσταση των κέντρων τους. Έτσι επιλέγονται κάµερες που απέχουν λίγο σε σχέση µε την απόσταση από τα αντικείµενα της σκηνής. Αυτό συµβαίνει για να επικαλύπτονται οι εικόνες σε µεγάλο βαθµό και να ανακατασκευάζονται περισσότερα σηµεία αντικειµένων. 35

37 Εικόνα 4.1. Υπολογισµός κυκλωπικού µατιού και κατεύθυνσης σάρωσης. Προτού αναλυθούν οι µέθοδοι σάρωσης θα προηγηθεί ανάλυση των περιστροφών που χρησιµοποιούνται για την υλοποίηση τους. Η περιστροφή γύρω από τους άξονες x,y,z κατά την ωρολογιακή φορά (δηλαδή για a, βγ, 0) στο τρισδιάστατο επίπεδο ορίζεται αντίστοιχα από τις παρακάτω σχέσεις [19]: cos β 0 sin β RX ( a) = 0 cosa sina R Y ( β ) = sina cosa sin β 0 cos β cosγ sinγ 0 RΖ ( γ ) = sinγ cosγ Ενώ η ανθωρολογιακή φορά σχηµατικά για τους τρεις άξονες φαίνεται στην εικόνα 4.2. Εικόνα 4.2. Φορές περιστροφής γύρω από τους άξονες. 36

38 Για να εξηγηθεί η διαδικασία µε την οποία το τµήµα επιφάνειας σάρωσης γίνεται κάθετο στο διάνυσµα V r που ξεκινάει από το κυκλωπικό µάτι πρέπει να αναλυθεί η περιστροφή από ένα διάνυσµα [0 0 1](το διάνυσµα που αντιστοιχεί στον z-άξονα) σε ένα τυχαίο διάνυσµα µε σφαιρικές συντεταγµένες θ(γεωγραφικό µήκος), φ (γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Καθώς και η περιστροφή από ένα διάνυσµα [1 0 0] (το διάνυσµα που αντιστοιχεί στον x-άξονα) σε ένα τυχαίο διάνυσµα µε σφαιρικές συντεταγµένες θ 1 (γεωγραφικό µήκος), φ 1 (γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Ι. Περιστροφή από [0 0 1] σε τυχαίο διάνυσµα Vector µε θ,φ και R=1. Το αρχικό διάνυσµα είναι το [0 0 1] Τ (εικόνα 4.3(α)) έπειτα από την περιστροφή γωνία φ µε ανθωρολογιακή φορά γύρω από τον άξονα Y και προκύπτει το διάνυσµα της εικόνας 4.3.(β). Ο πίνακας περιστροφής µε τον οποίο πολλαπλασιάζεται το διάνυσµα [0 0 1] Τ είναι: R y (-(π/2-φ)) Εικόνα 4.3.(α)Αρχικό διάνυσµα [0 0 1] Τ (β) ιάνυσµα µετά από περιστροφή γωνίας φ µε ανθωρολογιακή φορά γύρω από τον άξονα Y. Έπειτα γίνεται ανθωρολογιακή περιστροφή γωνίας θ γύρω από τον άξονα Ζ του διανύσµατος που προέκυψε και προκύπτει το τελικό διάνυσµα της εικόνας 4.4. Ο πίνακας περιστροφής είναι: R z (-θ) Εικόνα 4.4. Τελικό διάνυσµα. 37

39 Ο τελικός πίνακας περιστροφής που προκύπτει από την συγχώνευση των δύο περιστροφών είναι: R 1 = R z(-θ) R y (-(π/2-φ)). ΙΙ. Περιστροφή από [1 0 0] σε τυχαίο διάνυσµα Vector 1 µε θ 1,φ 1 και R=1. Το πλαίσιο του αρχικού σφαιρικού τµήµατος πρέπει να ευθυγραµµιστεί µε το διάνυσµα που ενώνει τα κέντρα του ζεύγους καµερών (δηλαδή ο άξονας του πλαισίου που είναι παράλληλος στον xx άξονα πρέπει να γίνει συνευθειακός µε την ευθεία που ενώνει τα µετατοπισµένα κέντρα των καµερών). Οπότε γίνεται χρήση του πίνακα περιστροφής από διάνυσµα [1 0 0] (το διάνυσµα που αντιστοιχεί στον x-άξονα) σε ένα τυχαίο διάνυσµα µε σφαιρικές συντεταγµένες θ 1 (γεωγραφικό µήκος),φ 1 (γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Το αρχικό διάνυσµα είναι το [1 0 0] Τ (εικόνα 4.5(α)) έπειτα από την περιστροφή γωνία φ 1 µε ωρολογιακή φορά γύρω από τον άξονα Y και προκύπτει το διάνυσµα της εικόνας 4.5.(β). Ο πίνακας περιστροφής µε τον οποίο πολλαπλασιάζεται το διάνυσµα [1 0 0] Τ είναι: R y (φ 1) Εικόνα 4.5.(α)Αρχικό διάνυσµα [1 0 0] Τ (β) ιάνυσµα µετά από περιστροφή γωνίας φ 1 µε ωρολογιακή φορά γύρω από τον άξονα Y. Έπειτα γίνεται ανθωρολογιακή περιστροφή γωνίας θ 1 γύρω από τον άξονα Ζ του διανύσµατος που προέκυψε και προκύπτει το τελικό διάνυσµα της εικόνας 4.4 µε θ 1 και φ 1 στη θέση των θ και φ. Ο πίνακας περιστροφής είναι: R z (-θ 1). Ενώ ο τελικός πίνακας περιστροφής γίνεται R = R (-θ ) R (φ ) 2 z 1 y 1. 38

40 4.2 Μέθοδοι Σάρωσης Οι µέθοδοι σάρωσης που υλοποιήθηκαν είναι οι εξής: 1. Με επίπεδα τµήµατα 2. Με επίπεδα τµήµατα που ανοίγουν 3. Με σφαιρικά τµήµατα. Η παραµετροποίηση τους και ο τρόπος σάρωσης περιγράφονται στις παρακάτω παραγράφους. του χώρου Μέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα Ένα επίπεδο τµήµα L 0 δίνεται από τις εξισώσεις: x = α,y= β και z= 0. Όπου: + α { w+ i u,i [0,1, K,2w/u] και w,u }, w/u = w/u + β { h+ j u,j [0,1, K,2h/u] και h,u }, h/u = h/u Το µοναδιαίο διάνυσµα U=[0 0 1] T είναι κάθετο στο L 0. V 1, V 2 είναι τα µοναδιαία διανύσµατα που δείχνουν τον προσανατολισµό του ζεύγους των καµερών. Από το κυκλωπικό µάτι D ξεκινά διάνυσµα V=(V 1 +V 2 )/2 µε θ(γεωγραφικό µήκος), φ(γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Η διαδικασία που ακολουθείται για την σάρωση περιλαµβάνει τα παρακάτω βήµατα: 1. Με τον πολλαπλασιασµό L rotated =R final L 0 η κάθετος στην επιφάνεια L rotated γίνεται παράλληλη στο V. Όπου R final =R z (-θ) R y (-(π/2-φ)) είναι ο πίνακας περιστροφής από διάνυσµα U=[0 0 1] T σε V σύµφωνα µε την ανάλυση της πρώτης περιστροφής. 2. Από την εξίσωση L first = L rotated + D σχηµατίζεται το πρώτο επίπεδο µε κέντρο το σηµείο D. 3. Από την εξίσωση L i = L first +di V προκύπτει ένα επίπεδο τµήµα σε απόσταση di ανάµεσα στο D και το κεντρικό σηµείο Κ i του Li. Η κάθετος στο τµήµα Pi είναι παράλληλη στο V. Για συγκεκριµένο εύρος αποστάσεων d {d1 + i q, i [0,n]} (όπου d i < d i+ 1,q > 0 ) o χώρος µπορεί να σαρωθεί για αντικείµενα. i 39

41 Εικόνα 4.6. Lo+D (µπλε σηµεία), L 1 (κόκκινα σηµεία), κέντρα καµερών(κυανό), D (µωβ) και διάνυσµα V(πράσινο). Παρακάτω απεικονίζεται το L 1 ώστε να φανεί ευκρινώς ότι ο άξονας που ενώνει τα κέντρα των καµερών και διέρχεται από το σηµείο D έχει ευθυγραµµιστεί µε µία από τις πλευρές του επίπεδου τµήµατος. Η διαδικασία ευθυγράµµισης περιγράφεται παρακάτω. Εικόνα 4.7. Ευθεία που ενώνει κέντρα καµερών (σκούρο πράσινο). 40

42 Οπότε για d {d1 + i + q, i [0,3]} προκύπτει: i 1 Εικόνα 4.8. Σάρωση χώρου µε επίπεδα τµήµατα Μέθοδος σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα που ανοίγουν Η παραµετροποίηση του αρχικού τµήµατος είναι ίδια µε αυτή της µεθόδου των επίπεδων τµηµάτων. Η διαφορά έγκειται στο ότι οι διαστάσεις του τµήµατος σάρωσης στην παρούσα µέθοδο αυξάνονται ανάλογα µε την απόσταση από το κυκλωπικό µάτι, χωρίς ωστόσο να µεταβάλλεται το πλήθος των σηµείων του τµήµατος. Ένα επίπεδο τµήµα P 0 δίνεται από τις εξισώσεις: x =,y= και z= 0. Όπου: + α { w+ i u,i [0,1, K,2w/u] και w,u }, w/u = w/u + β { h+ j u,j [0,1, K,2h/u] και h,u }, h/u = h/u Το µοναδιαίο διάνυσµα U=[0 0 1] T είναι κάθετο στο L 1. V 1, V 2 είναι τα µοναδιαία διανύσµατα που δείχνουν τον προσανατολισµό του ζεύγους των καµερών. Από το κυκλωπικό µάτι D ξεκινά διάνυσµα V=(V 1 +V 2 )/2 µε θ(γεωγραφικό µήκος), φ(γεωγραφικό πλάτος) και R=1. Η διαδικασία που ακολουθείται για την σάρωση περιλαµβάνει τα παρακάτω βήµατα: α β 41

43 1. Με τον πολλαπλασιασµό P rotated =R final P 0 η κάθετος στην επιφάνεια P rotated γίνεται παράλληλη στο V. Όπου R final =R z (-θ) R y (-(π/2-φ)) είναι ο πίνακας περιστροφής από διάνυσµα U=[0 0 1] T σε V. 2. P 1 =P rotated +D+V d 1 είναι το πρώτο επίπεδο τµήµα σε απόσταση d 1 ανάµεσα στο D και το κεντρικό σηµείο Κ 1 του P Από την εξίσωση P i =D+((P 1 D) di/d 1 προκύπτει ένα επίπεδο τµήµα σε απόσταση di ανάµεσα στο D και το κεντρικό σηµείο Κ i του Pi. Η κάθετος στο τµήµα Pi είναι παράλληλη στο V. Στην µέθοδο σάρωσης που παρουσιάζεται δεν παρατίθονται εικόνες στις οποίες απεικονίζεται η ευθυγράµµιση του άξονα που ενώνει τα κέντρα των καµερών µε µία εκ των πλευρών του επίπεδου τµήµατος διότι ταυτίζονται µε αυτές της µεθόδου σάρωσης µε επίπεδα τµήµατα. Για συγκεκριµένο εύρος αποστάσεων d i {d1 + i q, i [0,n]} (όπου d i < d i+ 1,q > 0 ) o χώρος µπορεί να σαρωθεί για αντικείµενα. Οπότε για d {d1 + i + q, i [0,3]} προκύπτει: i 1 Εικόνα 4.9. Σάρωση χώρου µε επίπεδα τµήµατα που ανοίγουν Μέθοδος σάρωσης µε σφαιρικά τµήµατα που ανοίγουν Ένα σφαιρικό τµήµα S 0 µε κέντρο το σηµείο Ο=[0 0 0] T δίνεται από τις εξισώσεις: x = sin( ψ ), y = cos( ψ) sin( ω) και z = cos( ψ ) cos( ω) 42

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΠΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Κουλουμέντας Παναγιώτης Σχολή Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Χανιά,Νοέμβριος 2014 Επιτροπή: Ζερβάκης Μιχάλης (επιβλέπων)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2013 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΟΡΑΣΗΣ ΜΕ ΔΥΟ ΚΑΜΕΡΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΘΟΥΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΟΡΑΣΗΣ ΜΕ ΔΥΟ ΚΑΜΕΡΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΘΟΥΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ 1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΕΔΡΑ ΣΕΡΡΕΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΟΡΑΣΗΣ ΜΕ ΔΥΟ ΚΑΜΕΡΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΘΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1 ο Παράδειγµα (διάρκεια: 15 λεπτά) Κεφάλαιο 17 Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:... ΤΑΞΗ:... ΤΜΗΜΑ:... ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... Β.

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012 0B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΟΡΑΣΗ. Όταν ένα ρομπότ κινείται σε άγνωστο χώρο ή σε χώρο που μπορεί να αλλάξει η διάταξή του τότε εμφανίζεται η ανάγκη της όρασης μηχανής.

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΟΡΑΣΗ. Όταν ένα ρομπότ κινείται σε άγνωστο χώρο ή σε χώρο που μπορεί να αλλάξει η διάταξή του τότε εμφανίζεται η ανάγκη της όρασης μηχανής. ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΟΡΑΣΗ Όταν ένα ρομπότ κινείται σε άγνωστο χώρο ή σε χώρο που μπορεί να αλλάξει η διάταξή του τότε εμφανίζεται η ανάγκη της όρασης μηχανής. Αισθητήρες που χρησιμοποιούνται για να αντιλαμβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά µε Η/Υ. Τεχνολογίες Γραφικών & Στοιχεία µαθηµατικών

Γραφικά µε Η/Υ. Τεχνολογίες Γραφικών & Στοιχεία µαθηµατικών Γραφικά µε Η/Υ Τεχνολογίες Γραφικών & Στοιχεία µαθηµατικών Τεχνολογίες Γραφικών 2/ 4 Τεχνολογία παραγωγής συνθετικής εικόνας (Πλεγµατική οθόνη) Πλεγµατική οθόνη (Raster): δισδιάστατο πλέγµα απόpixels Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΑΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΡΑΜΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΑΣΟΠΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΔΑΣ ΜΑΡΙΟΣ 2008 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Στον κ. Ι. Τάκο για την καθοδήγηση του σε όλη

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

R n R 2. x 2. x 1. x: συντεταγµένες του z

R n R 2. x 2. x 1. x: συντεταγµένες του z Αναγνώριση Προσώπου µε Σύγκριση Υπερεπιφανειών Θανάσης Ζάγουρας.Π.Μ.Σ Η.Ε.Π, Τµήµα Φυσικής, Πανεπιστήµιο Πατρών Επιβλέποντες: Σπ. Φωτόπουλος Γ. Οικονόµου Ανάλυση Εικόνων Προσώπου Πεδία Αναγνώρισης Προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Συνολικός Χάρτης Πόλης

Συνολικός Χάρτης Πόλης Στα πλαίσια εφαρµογής της οδηγίας 2002/49/ΕΚ, για την αντιµετώπιση των σοβαρών περιβαλλοντικών προβληµάτων που αντιµετωπίζουν οι πόλεις, εξαιτίας του οδικού Θορύβου, µε σοβαρές επιπτώσεις στην ανθρώπινη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω πολύ τον επιβλέποντα καθηγητή κ.μ.γ.στρίντζη, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε στην εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας, καθώς και τους κ. Ν.Γραμμαλίδη και

Διαβάστε περισσότερα

Βίντεο. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 06-1

Βίντεο. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 06-1 Βίντεο Εισαγωγή Χαρακτηριστικά του βίντεο Απόσταση θέασης Μετάδοση τηλεοπτικού σήματος Συμβατικά τηλεοπτικά συστήματα Ψηφιακό βίντεο Εναλλακτικά μορφότυπα Τηλεόραση υψηλής ευκρίνειας Κινούμενες εικόνες

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Τι συσχετίζεται με τον ήχο

Τι συσχετίζεται με τον ήχο ΗΧΟΣ Τι συσχετίζεται με τον ήχο Υλικό Κάρτα ήχου Προενυσχιτής Equalizer Ενισχυτής Ηχεία Χώρος Ανθρώπινη ακοή Ψυχοακουστικά φαινόμενα Ηχητική πληροφορία Σημείο αναφοράς 20 μpa Εύρος συχνοτήτων Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΟΠΙΣΘΙΑΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΑΙΘΟΥΣΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΩΝ. Βασίλης Δριμούρας

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΟΠΙΣΘΙΑΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΑΙΘΟΥΣΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΩΝ. Βασίλης Δριμούρας ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΟΠΙΣΘΙΑΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΑΙΘΟΥΣΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΩΝ. Βασίλης Δριμούρας Βήμα 1 ο -Υπολογισμός διάστασης οθόνης, γωνίας και απόστασης θέασης. Κάντε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση φωτός από συμπαγή δίσκο (CD)

Περίθλαση φωτός από συμπαγή δίσκο (CD) Περίθλαση φωτός από συμπαγή δίσκο (CD) Επίδειξη-Πείραμα Σκοπός Με την άσκηση αυτή θέλουμε να εξοικειωθούν οι μαθητές με τα φαινόμενα της συμβολής και περίθλασης, χρησιμοποιώντας ένα καθημερινό και πολύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕIΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡIΟ ΘΕΡΜIΚΩΝ ΣΤΡΟΒIΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές Εργαστηριακή Ασκηση Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Κ. Μαθιουδάκη Καθηγητή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή. Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo

ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή. Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo Εμπλεκόμενες έννοιες «Γραφή» και άμεση εκτέλεση εντολής. Αποτέλεσμα εκτέλεσης εντολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΩΤΟΡΕΑΛΙΣΜΟΣ & ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΝΤΙΝΤΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ (MSC) Καθηγητής Εφαρμογών ΚΑΡΔΙΤΣΑ 2010 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΩΤΟΑΠΟΔΟΣΗ: ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΟΛΩΝ ΕΚΕΙΝΩΝ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ Βελτίωση τεχνικών ψηφιοποίησης και μοντελοποίησης

ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ Βελτίωση τεχνικών ψηφιοποίησης και μοντελοποίησης 3D CMS - Ολοκληρωμένη Πλατφόρμα Ανάπτυξης και διαχείρισης 3D Εφαρμογών Πολιτιστικού Περιεχομένου ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ Βελτίωση τεχνικών ψηφιοποίησης και μοντελοποίησης Ενότητα Εργασίας 2. Τεχνικές βέλτιστης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005 Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η µελέτη των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Spatial Analyst

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Spatial Analyst Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Spatial Analyst Γενικά Το πρόγραμμα Spatial Analyst είναι μια επέκταση του ArcMap με πολλές επιπλέον δυνατότητες, κυρίως όσον αφορά τα πλεγματικά (raster) δεδομένα. Επιπλέον δέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ220: Εργαστήριο ψηφιακών κυκλωμάτων

ΗΥ220: Εργαστήριο ψηφιακών κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ220: Εργαστήριο ψηφιακών κυκλωμάτων Γιώργος Δημητρακόπουλος Ελεγκτής VGA οθόνης και αντιμετώπιση μεγαλύτερων κυκλωμάτων Συνεχίζοντας από την 3 η άσκηση,

Διαβάστε περισσότερα