Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Transcript

1 Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας μην ξεπερνάτε, για οποιοδήποτε λόγο, τα καθορισμένα όρια αριθμού γραμμών. Σελίδες για πρόχειρο θα σας δοθούν χωριστά. Γράψτε τον ΑΜ σας σε όλες τις σελίδες (και ονοματεπώνυμο και ΑΜ στο πρόχειρο). Επώνυμο: Όνομα: ΑΜ: Βαθμοί 1α 1β 2 3 Σύνολο Κ Ε

2 ΑΜ: Σελ. 2 από 5 Θέμα 1α [Δεν παίρνει μονάδες, αλλά μόνο αν είναι σωστό θα βαθμολογηθεί το άλλο ερώτημα αυτού του θέματος]. Έστω ϕ και ψ τύποι προστασιακής λογικής. Ποιος ή ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς αληθεύουν; (I) Αν ϕ και ψ ικανοποιήσιμοι τότε (ϕ ψ) ικανοποιήσιμος. (II) Αν ϕ ταυτολογία, τότε (ϕ ψ) ταυτολογία. (III) Αν ψ ταυτολογία, τότε (ϕ ψ) ταυτολογία. Κυκλώστε το σωστό, χωρίς αιτιολόγηση ούτε σχόλια: (1) Αληθεύει ο ισχυρισμός (Ι) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (2) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙ) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (3) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙI) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (4) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙII) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (5) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (6) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (ΙI) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (7) Ουδείς αληθεύει. (8) Αληθεύουν όλοι Απάντηση: Σωστό σε αυτό το φύλλο θεμάτων είναι το (4) (η αρίθμηση διαφέρει από φύλλο σε φύλλο).

3 ΑΜ: Σελ. 3 από 5 Θέμα 1β [3 μονάδες]. Αποδείξτε προσεκτικά με επαγωγή στο n 1, σε δέκα το πολύ γραμμές, ότι αν ϕ 0, ϕ 1,..., ϕ n τύποι της προτασιακής λογικής και εάν ο τύπος ϕ 0 είναι ταυτολογία τότε ταυτολογία είναι και ο τύπος: ( ( ( ϕ 0 ϕ 1 ) ) ϕ n 1 ) ϕ n Να διατυπώσετε με προσοχή την επαγωγική βάση καθώς και την επαγωγική υπόθεση και το συμπέρασμά της. Προσοχή στην τοποθέτηση των παρενθέσεων και των τριών τελειών:. Απάντηση: Επαγωγική βάση: Ο ϕ 0 ϕ 1 είναι ταυτολογία διότι ο τύπος ϕ 0 από την υπόθεση είναι ψευδής για κάθε απονομή. Επαγωγική υπόθεση (n 1). Ο τύπος: ( ( ϕ 0 ϕ 1 ) ) ϕ n 1 είναι ταυτολογία. Από την επαγωγική υπόθεση συμπεραίνουμε ότι ο τύπος ( ( ( ϕ 0 ϕ 1 ) ) ϕ n 1 ) είναι ψευδής για κάθε απονομή, άρα ο τύπος είναι ταυτολογία. ( ( ( ϕ 0 ϕ 1 ) ) ϕ n 1 ) ϕ n

4 ΑΜ: Σελ. 4 από 5 Θέμα 2 [3 μονάδες]. Να αποδείξετε ότι η διμελής σχέση R στο N η οποία ορίζεται ως ακολούθως: R(a, b) ανν a και b πρώτοι μεταξύ τους (δηλ. έχουν ΜΚΔ 1 και είναι >1) είναι ορίσιμη στη δομή: N = N; 0, S, +,, < Να γράψετε πρώτα τύπο που αποτελεί μέρος του τελικού τύπου που ορίζει την R εξηγώντας με λίγες λέξεις πώς ερμηνεύεται στην N. Χρησιμοποιήστε το ίδιο μετασύμβολο για τα σύμβολα της γλώσσας και την ερμηνεία τους στην N. Απάντηση: Θεωρούμε τον τύπο ϕ(v 1, v 2 ): Προφανώς v 3 (v 2 = v 3 v 1 ) (v 1 0) (v 2 0). = N ϕ a, b ανν a, b 0 και a διαρεί τον b. Ο τύπος που ορίζει την R στη δομή N είναι ο ψ(v 1, v 2 ): (S0 < v 1 ) (S0 < v 2 ) v 3 (ϕ(v 3, v 1 ) ϕ(v 3, v 2 ) v 3 = 1).

5 ΑΜ: Σελ. 5 από 5 Θέμα 3 [4 μονάδες]. Έστω ότι η πρόταση σ είναι αληθής σε όλα τα άπειρα μοντέλα μίας θεωρίας T. Δείξτε ότι υπάρχει ένας φυσικός αριθμός k τέτοιος ώστε η σ να είναι αληθής σε όλα τα μοντέλα A της T για τα οποία ισχύει ο πληθάριθμος του σύμπαντός του A είναι k. Να χρησιμοποιήσετε το Θεώρημα Συμπάγειας, αλλά όχι πόρισμά του, έστω και εάν διδάχθηκε ως θεωρία. Υπόδειξη: Με απαγωγή σε άτοπο. Γράψτε προτάσεις ϕ k, k = 2, 3,... τέτοιες ώστε για κάθε k 2, οποιαδήποτε μοντέλο για το οποίο επαληθεύεται η ϕ k έχει σύμπαν με πληθάριθμο k στη συνέχεια εξετάστε το σύνολο T { σ} {ϕ k k 2}. Στη διόρθωση θα δοθεί ιδιαίτερη σημασία στην ορθή και σύντομη διατύπωση. Απάντηση: Ορίζουμε τις προτάσεις ϕ k (k 2): v 1 v 2 v k i,j=1,...,k i j (v i = v j ) Προφανώς για μια δομή (μοντέλο) A με σύμπαν A για το οποίο ισχύει ότι A k θα έχουμε ότι = A ϕ k. Αν τώρα δεν ισχύει το προς απόδειξη, έχουμε ότι για κάθε φυσικό k 2, υπάρχει μοντέλο A της T του οποίου το σύμπαν A έχει πληθάριθμο k και στο οποίο η σ δεν αληθεύει. Τότε όμως = A σ και = A ϕ 2 και και = A ϕ k. (1) Θα αποδείξουμε τώρα ότι κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του συνόλου T { σ} {ϕ k k 2} είναι ικανοποιήσιμο. Πράγματι ενα πεπερασμένο υποσύνολο του παραπάνω συνόλου είναι προφανώς υποσύνολο του T { σ} {ϕ l l = 1,..., k} για κάποιο k 2, άρα είναι ικανοποιήσιμο βάσει της (1). Οποιαδήποτε όμως δομή ικανοποιεί όλες τις προτάσεις του συνόλου T { σ} {ϕ k k 2} έχει άπειρο σύμπαν και επίσης ικανοποιεί την σ, άτοπο.