Έλεγχος του Οριακού Στρώματος Η Μέθοδος Απορρόφησης - Έγχυσης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Έλεγχος του Οριακού Στρώματος Η Μέθοδος Απορρόφησης - Έγχυσης"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Έλεγχος του Οριακού Στρώματος Η Μέθοδος Απορρόφησης - Έγχυσης Διπλωματική Εργασία για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Επιβλέπων Καθηγητής Ν. Καφούσιας Κορμανιώτης Ευάγγελος Πάτρα 6

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιεχόμενα...1 Πρόλογος...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι - Οριακό Στρώμα Εισαγωγή Σύντομα Ιστορικά Στοιχεία...7. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος και τα Χαρακτηριστικά Μεγέθη Αυτού Διαχωρισμός ή Αποκόλληση του Οριακού Στρώματος...15 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ - Έλεγχος του Οριακού Στρώματος Εισαγωγή...1. Κίνηση του Στερεού Ορίου (Motion of th Solid Wall) Επιτάχυνση του Οριακού Στρώματος (Acclration of th Boundary Layr - Bloing) Ψύξη του Τοιχώματος (Cooling of th Wall) Έγχυση Διαφορετικού Αερίου (Injction of a Diffrnt Gas) Πρόληψη της μετάπτωσης της ροής σε τυρβώδη με κατάλληλη διαμόρφωση της γεωμετρίας του στερεού (Laminar Arofoils) Απορρόφηση (Suction)...7 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ IΙ...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ III - Εξισώσεις Κίνησης και Εξισώσεις Οριακού Στρώματος για Ομογενή, Ασυμπίεστα, Πραγματικά Ρευστά Εισαγωγή Εξισώσεις Κίνησης Πραγματικών Ρευστών Εξισώσεις Οριακού Στρώματος...36 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ IΙΙ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙV Θεωρητική Μελέτη της Μεθόδου της Απορρόφησης Εισαγωγή Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Επίπεδη Πορώδης Επιφάνεια (Πλάκα) Μια Απλή Ακριβής Λύση Το Πρόβλημα του Blasius Προσεγγιστικές Λύσεις Ομοιότητας...45 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ IV...53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ V Εφαρμογή Απορρόφησης/Έγχυσης σε Μαγνητοϋδροδυναμική Συμπιεστή Ροή Στρωτού Οριακού Στρώματος Εισαγωγή Περιγραφή του Προβλήματος Αδιαστατοποίηση των Εξισώσεων Σύντομη Περιγραφή της Αριθμητικής Μεθόδου και του Προγράμματος Καθορισμός των Δεδομένων του Προβλήματος Γραφικές Παραστάσεις και Ανάλυση Αποτελεσμάτων...71 (i) Αδιαβατική Πλάκα...71 (ii) Θερμαινόμενη Πλάκα...79 (iii) Ψυχόμενη Πλάκα Συμπεράσματα...93 (i) Αδιαβατική Πλάκα...93 (ii) Θερμαινόμενη Πλάκα...94 (iii) Ψυχόμενη Πλάκα...95 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ V

4 Πρόλογος Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια της απόκτησης Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ. Ν. Καφούσια. Αναφέρεται σε κάποια γενικά στοιχεία των μεθόδων ελέγχου του οριακού στρώματος και εστιάζεται στον έλεγχο του οριακού στρώματος με εφαρμογή της μεθόδου απορρόφησης έγχυσης. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο, με γενικό τίτλο Οριακό Στρώμα, αναφέρονται κάποια σύντομα ιστορικά στοιχεία και εισάγεται η έννοια του οριακού στρώματος. Στη συνέχεια, και αφού αποσαφηνιστεί η έννοια του οριακού στρώματος με τη βοήθεια εικόνων και γραφικών, εισάγονται τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτού. Το κεφάλαιο κλείνει με μια περιγραφή του φαινομένου της αποκόλλησης του οριακού στρώματος και των συνεπειών που η αποκόλληση αυτή επιφέρει στη ροή. Στο δεύτερο κεφάλαιο, με γενικό τίτλο Έλεγχος του Οριακού Στρώματος, περιγράφονται συνοπτικά οι βασικές μέθοδοι ελέγχου του οριακού στρώματος καθώς και τα πιο διαδεδομένα πεδία εφαρμογής της κάθε μιας εξ αυτών. Συγκεκριμένα, αναφέρονται οι μέθοδοι Κίνησης του Στερεού Ορίου (Motion of th Solid Wall), Επιτάχυνσης του Οριακού Στρώματος (Acclration of th Boundary Layr - Bloing), Ψύξης του Τοιχώματος (Cooling of th Wall), Έγχυσης Διαφορετικού Αερίου (Injction of a Diffrnt Gas), Πρόληψης της μετάπτωσης της ροής σε τυρβώδη με κατάλληλη διαμόρφωση της γεωμετρίας του στερεού (Laminar Arofoils) και η παράγραφος κλείνει με μια πιο εκτενή περιγραφή της μεθόδου της Απορρόφησης (Suction). Στο τρίτο κεφάλαιο, που φέρει το γενικό τίτλο Εξισώσεις Κίνησης και Εξισώσεις Οριακού Στρώματος για Ομογενή, Ασυμπίεστα, Πραγματικά Ρευστά, παρατίθενται οι εν λόγω εξισώσεις, ώστε να χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια, και γίνεται μια σύντομη αναφορά στον τρόπο που, ιστορικά, αυτές παρήχθησαν. Το τέταρτο κεφάλαιο, με τίτλο Θεωρητική Μελέτη της Μεθόδου της Απορρόφησης, προχωράει τη μελέτη της μεθόδου απορρόφησης/έγχυσης σε επίπεδο μαθηματικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα, εισάγονται τα βασικά στοιχεία της θεωρίας και στη συνέχεια, με ένα συνδυασμό αναλυτικών και αριθμητικών διαδικασιών, πραγματοποιείται η μελέτη της απορρόφησης σε δύο συγκεκριμένα παραδείγματα

5 Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο, με τίτλο Εφαρμογή Απορρόφησης/Έγχυσης σε Μαγνητοϋδροδυναμική Συμπιεστή Ροή Στρωτού Οριακού Στρώματος, μελετάται η μόνιμη, στρωτή, διδιάστατη, μαγνητοϋδροδυναμική ροή, συμπιεστού οριακού στρώματος που δημιουργείται πάνω από λεπτή, επίπεδη επιφάνεια (πλάκα), με αντίξοη βαθμίδα πίεσης και μεταφορά θερμότητας και μάζας, καθώς και τα αποτελέσματα της εφαρμογής απορρόφησης ή έγχυσης στο παραπάνω πρόβλημα. Πιο συγκεκριμένα, μετά από μια σύντομη ιστορική εισαγωγή επί του θέματος, ακολουθεί η περιγραφή του προβλήματος, καθώς και η αδιαστατοποίηση των εξισώσεων που το διέπουν. Στη συνέχεια, ακολουθεί η περιγραφή της αριθμητικής μεθόδου που χρησιμοποιείται για την επίλυση των αδιαστατοποιημένων εξισώσεων και παρατίθενται τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τη διαδικασία αυτή της αριθμητικής επίλυσης. Το κεφάλαιο κλείνει με μια συνοπτική παράθεση των συμπερασμάτων της μελέτης του κεντρικού προβλήματος του κεφαλαίου. Κλείνοντας τον σύντομο αυτό πρόλογο, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Ν. Καφούσια τόσο για τη βοήθεια που μου παρείχε κατά τη συγγραφή της διπλωματικής μου εργασίας όσο και για τις γνώσεις που μου προσέφερε κατά τη διάρκεια των προπτυχιακών και μεταπτυχιακών σπουδών μου. Θα ήθελα επίσης να τον ευχαριστήσω για τη συνέπεια, την εργατικότητα, τη σοβαρότητα και την υπευθυνότητα που επέδειξε κατά τη διάρκεια της συνεργασίας μας, αρετές που τον χαρακτηρίζουν και στην εν γένει αντιμετώπιση των ερευνητικών και διδακτικών του υποχρεώσεων και που αποτέλεσαν ένα εξίσου σημαντικό εφόδιο που αποκόμισα από τη συνεργασία μου μαζί του. Ευχαριστώ επίσης όλους τους καθηγητές του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Πατρών για τις πολύτιμες γνώσεις που μου προσέφεραν κατά τη διάρκεια των σπουδών μου. Οφείλω επίσης να ευχαριστήσω τους διδάκτορες κκ. Ε. Τζιρτζιλάκη και Μ. Ξένο, τον τελευταίο για τη διάθεση αρχειακού υλικού και τον πρώτο για τη βοήθεια του, τις συμβουλές και τις υποδείξεις του κατά τη διαχείριση των αρχείων και των προγραμμάτων που χρησιμοποιήθηκαν στην εργασία αυτή. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τους γονείς μου, Δημήτρη και Κανέλλα, για την οικονομική και κυρίως ηθική υποστήριξη που μου προσέφεραν καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την Αρετή για την υπομονή και την κατανόηση της, καθώς και για την εν γένει στήριξή της, η οποία συνέβαλε - 4 -

6 ουσιαστικά στην ολοκλήρωση των σπουδών μου και της διπλωματικής αυτής εργασίας. Κορμανιώτης Ευάγγελος Πάτρα 6-5 -

7 - 6 -

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι Οριακό Στρώμα 1. Εισαγωγή Σύντομα Ιστορικά Στοιχεία Η Θεωρία του Οριακού Στρώματος αποτελεί εδώ και περισσότερα από εκατό χρόνια ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα της Δυναμικής των Ρευστών. Παράλληλα παραμένει ένα ζωντανό και διαρκώς εξελισσόμενο κομμάτι της επιστήμης αυτής. Η τεράστια σημασία της έγκειται στο γεγονός ότι δίνει απαντήσεις σε ερωτήματα που αφορούν ροές ρευστών μικρού ιξώδους όπως είναι ο αέρας και το νερό, τα δύο σημαντικότερα ρευστά, σε συνθήκες που παρουσιάζουν εξαιρετικό ενδιαφέρον από την άποψη των πρακτικών εφαρμογών. Συνδυάζοντας με αυτόν τον τρόπο την πρακτική χρησιμότητα και τη μαθηματική ακρίβεια, η Θεωρία του Οριακού Στρώματος κατάφερε να γεφυρώσει ένα πολυετές χάσμα μεταξύ της Υδραυλικής και της Θεωρητικής Υδροδυναμικής. Στα τέλη του δεκάτου ενάτου αιώνα ο κλάδος της Δυναμικής των Ρευστών παρουσιαζόταν διαιρεμένος. Οι θεωρητικοί του κλάδου, βασιζόμενοι στις εξισώσεις κίνησης του Eulr ανέπτυξαν την επιστήμη της Θεωρητικής Υδροδυναμικής. Η επιστήμη αυτή, από θεωρητικής απόψεως, ήταν πλήρης και αυστηρά θεμελιωμένη. Όσον αφορά όμως τις πρακτικές εφαρμογές, η θεώρηση των ρευστών ως ιδανικά οδηγούσε σε αποτελέσματα που έρχονταν σε αντίθεση με τα πειραματικά δεδομένα και καθιστούσαν τη Θεωρητική Υδροδυναμική επιστήμη πολύ μικρής πρακτικής χρησιμότητας. Στον αντίποδα της Θεωρητικής Υδροδυναμικής δημιουργήθηκε και αναπτύχθηκε η επιστήμη της Υδραυλικής, μια καθαρά εμπειρική επιστήμη που αντιμετώπιζε τα προβλήματα που δημιουργούσε η ανεπάρκεια της θεωρίας, βασιζόμενη σε ένα μεγάλο αριθμό πειραματικών δεδομένων. Η διαμάχη μεταξύ Θεωρητικής Υδροδυναμικής και Υδραυλικής έλαβε τέλος οριστικά στις αρχές του εικοστού αιώνα. Το 194, στο Τρίτο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο στη Χαϊδελβέργη, ο L.Prandtl, παρουσιάζοντας την ξακουστή εργασία του Fluid Motion ith Vry Small Friction 1, κατάφερε να ενοποιήσει τους δύο 1 L.Prandtl, Ubr Flussigkitsbgung bi shr klinr Ribung. Proc. Third Intrn. Math. Congrss, Hidlbrg 194, pp

9 αντιμαχόμενους κλάδους της Ρευστοδυναμικής, δημιουργώντας ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο η θεωρία συμβάδιζε σε σημαντικά μεγάλο βαθμό με τα πειραματικά δεδομένα. Οι εξισώσεις Navir Stoks για πραγματικά ρευστά ήταν γνωστές ήδη από τις αρχές του δεκάτου ενάτου αιώνα αλλά η δυσκολία επίλυσής τους, στη συντριπτική πλειοψηφία των πρακτικών προβλημάτων, καταδίκαζε κάθε προσπάθεια αντιμετώπισης των ιξωδικών ροών με τη βοήθεια των εξισώσεων αυτών. Επιπροσθέτως, το ιξώδες του νερού καθώς και αυτό του αέρα, που αποτελούν τα συχνότερα απαντώμενα ρευστά στη φύση και τις εφαρμογές, είναι πολύ μικρό, με αποτέλεσμα η παράλειψη των δυνάμεων τριβής, ως αμελητέων σε σχέση με τις υπόλοιπες δυνάμεις, να φαίνεται λογική και ανώδυνη. Ο Prandtl, με τη βοήθεια θεωρητικών υποθέσεων και απλών πειραμάτων, τα οποία εκτέλεσε με τη βοήθεια πειραματικών διατάξεων που ο ίδιος είχε κατασκευάσει, έδειξε ότι είναι δυνατόν να αναλυθούν επακριβώς ιξωδικές ροές σε περιπτώσεις με μεγάλη πρακτική σημασία. Απέδειξε, λοιπόν, ότι η ροή γύρω από ένα στερεό σώμα μπορεί να αναλυθεί σε δύο περιοχές. Ένα πολύ λεπτό στρώμα στην άμεση περιοχή του στερεού ορίου, που καλείται οριακό στρώμα (boundary layr) και που μέσα σε αυτό οι δυνάμεις τριβής παίζουν σημαντικό ρόλο και στην υπόλοιπη περιοχή, έξω από αυτό το στρώμα, όπου οι δυνάμεις τριβής μπορούν να αγνοηθούν και η ροή να θεωρηθεί ιδανική (potntial flo). Με τον τρόπο αυτό ο Prandtl κατάφερε να ερμηνεύσει θεωρητικά τα αποτελέσματα των πειραματικών δεδομένων, πετυχαίνοντας ταυτόχρονα τη μέγιστη δυνατή απλοποίηση των μαθηματικών δυσκολιών. Οι εφαρμογές της Θεωρίας του Οριακού Στρώματος είναι πολλές και σημαντικές. Ενδεικτικά, η Θεωρία του Οριακού Στρώματος βρίσκει εφαρμογή στον υπολογισμό της αντίστασης της επιδερμικής τριβής που αναπτύσσεται πάνω σε ένα σώμα που κινείται μέσα σε ένα ρευστό, αντίσταση που παρατηρείται όταν για παράδειγμα ένα πλοίο κινείται μέσα στη θάλασσα. Η αντίσταση σχήματος που δημιουργείται κατά τη ροή ενός ρευστού γύρω από ένα στερεό σώμα υπολογίζεται και αυτή με τη βοήθεια της Θεωρίας του Οριακού Στρώματος. Σημαντικές απαντήσεις δίνει η θεωρία και σε προβλήματα που σχετίζονται με την επίτευξη μέγιστης άντωσης της πτέρυγας ενός αεροσκάφους ή με το πρόβλημα της απώλειας στήριξης. Τέλος, η Θεωρία του Οριακού Στρώματος βοηθάει στην ανάπτυξη μεθόδων καθυστέρησης ή και αποφυγής ενός εξαιρετικά ανεπιθύμητου φαινομένου στην εξέλιξη της ροής ενός ρευστού γύρω από ένα στερεό σώμα, που είναι γνωστό ως - 8 -

10 αποκόλληση του οριακού στρώματος (boundary layr sparation). Το φαινόμενο της αποκόλλησης του οριακού στρώματος καθώς και οι μέθοδοι πρόληψης και αποφυγής του θα αναλυθούν εκτενώς στη συνέχεια. Αυτό άλλωστε αποτελεί και το αντικείμενο της παρούσης Διπλωματικής Εργασίας, με γενικό τίτλο Έλεγχος του Οριακού Στρώματος, Η Μέθοδος Απορρόφησης Έγχυσης. Αρχικά, η Θεωρία του Οριακού Στρώματος αναπτύχθηκε κατά κύριο λόγο για στρωτές ροές. Σήμερα το πρόβλημα της στρωτής ροής έχει αναπτυχθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε να θεωρείται πλήρως λυμένο. Όταν επιδιώχθηκε η θεωρία να επεκταθεί ώστε να συμπεριλάβει και τυρβώδεις ροές, οι οποίες κατά κανόνα επικρατούν στα διάφορα ροϊκά φαινόμενα, παρουσιάστηκαν σημαντικές δυσκολίες. Πολλές από αυτές ξεπεράστηκαν χάρη στην εισαγωγή της mixing-lngth thory από τον Prandtl το 195. Παρ όλα αυτά όμως, το πρόβλημα της τυρβώδους ροής απέχει πολύ από το να θεωρηθεί λυμένο και οι πιθανότητες ανάπτυξης μιας γενικής θεωρίας στην κατεύθυνση αυτή είναι εξαιρετικά περιορισμένες. Η Θεωρία του Οριακού Στρώματος, από τη γέννησή της και για περίπου είκοσι χρόνια, αναπτύχθηκε σχεδόν αποκλειστικά στο Ινστιτούτο του Prandtl στο Gottingn. Το γεγονός αυτό οφείλεται εν μέρει και στη δυσκολία κατανόησης της Θεωρίας του Οριακού Στρώματος, όπως αυτή πρωτοπαρουσιάστηκε το 194. Η περίοδος αυτή έληξε με μια διάλεξη που έδωσε ο Prandtl το 197, σε μια συνάντηση της Royal Aronautical Socity στο Λονδίνο. Στα αμέσως επόμενα χρόνια, ερευνητές κυρίως από τη Μεγάλη Βρετανία και τις Ηνωμένες Πολιτείες, έπαιξαν αποφασιστικό ρόλο στην ανάπτυξη της θεωρίας. Σήμερα, η μελέτη της Θεωρίας του Οριακού Στρώματος έχει επεκταθεί σε όλο τον κόσμο και ο ρυθμός ανάπτυξης της θεωρίας και των εφαρμογών της είναι τόσο μεγάλος που είναι δύσκολο ακόμα και για τους ειδικούς να παρακολουθήσουν την εξέλιξη αυτή.. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος και τα Χαρακτηριστικά Μεγέθη Αυτού Κατά τη μελέτη της ροής πραγματικών ρευστών, συναντάμε περιπτώσεις στις οποίες η κατανομή της πίεσης, όπως αυτή προκύπτει από τις μετρήσεις, προσεγγίζει την κατανομή που προβλέπει η θεωρία των ιδανικών ρευστών. Παραδείγματα τέτοιων ροών είναι η ροή ρευστού γύρω από επίπεδη πλάκα τοποθετημένη παράλληλα στο ελεύθερο ρεύμα και η ροή αέρα γύρω από αεροτομή. Στις περιπτώσεις αυτές η επίδραση του ιξώδους περιορίζεται σε μια μικρή περιοχή του στερεού ορίου. Η - 9 -

11 συνθήκη μη ολίσθησης στα τοιχώματα του στερεού ορίου επιβάλει μηδενική ταχύτητα κατά μήκος τους (τα ρευστά σωματίδια που έρχονται σε επαφή με το στερεό όριο προσκολλώνται σε αυτό) και είναι υπεύθυνη για τη δημιουργία βαθμίδας ταχύτητας κατά διεύθυνση κάθετη προς την επιφάνεια του στερεού ορίου. Η λεπτή αυτή περιοχή γύρω από το στερεό όριο, μέσα στην οποία η ταχύτητα του ρευστού αυξάνει από την τιμή μηδέν έως την τιμή u, που είναι η ταχύτητα του ελευθέρου ρεύματος, ονομάζεται οριακό στρώμα (boundary layr). Στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 1..1) φαίνεται το οριακό στρώμα που δημιουργείται κατά την κίνηση νερού γύρω από μια λεπτή, επίπεδη πλάκα. Οι ρευματικές γραμμές γίνονται ορατές με τη βοήθεια σωματιδίων (συνήθως ρινίσματα αλουμινίου) τα οποία φωτίζονται κατάλληλα κατά τη διάρκεια της φωτογράφησης. Σχήμα 1..1 Το προφίλ της ταχύτητας καθώς και ο τρόπος με τον οποίο αυξάνεται το πάχος του οριακού στρώματος κατά τη διεύθυνση της ροής από την επιβράδυνση όλο και μεγαλύτερης ποσότητας ρευστού, φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα (Σχήμα 1..)

12 Σχήμα 1.. Η διατμητική τάση δίνεται από τον πειραματικό νόμο της τριβής του Nton και είναι u τ = μ (1) y Φαίνεται δηλαδή ότι ακόμα και αν το ιξώδες του ρευστού είναι μικρό, η διατμητική τάση παίρνει μεγάλες τιμές εντός του οριακού στρώματος, εξαιτίας της μεγάλης βαθμίδας ταχύτητας μέσα σε αυτό. Το γεγονός αυτό υπαγορεύει ότι και για το σκοπό της μαθηματικής αντιμετώπισης του προβλήματος, η ροή γύρω από το στερεό σώμα πρέπει να χωριστεί σε δύο περιοχές. Το οριακό στρώμα, μέσα στο οποίο η τριβή παίζει σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της ροής (shar flo) και στην υπόλοιπη περιοχή, έξω από το οριακό στρώμα, στην οποία η τριβή παίρνει τόσο μικρές τιμές ώστε να μπορεί να αγνοηθεί και η ροή στην περιοχή αυτή να προσεγγιστεί με τη βοήθεια της θεωρίας των ιδανικών ρευστών (potntial flo). Σημαντικό ρόλο στη μελέτη ροών γύρω από στερεά σώματα παίζουν και τα χαρακτηριστικά μεγέθη του οριακού στρώματος. Αυτά είναι το πάχος του οριακού στρώματος (boundary layr thicknss), που συνήθως συμβολίζεται με δ, το πάχος μετατόπισης (displacmnt thicknss), που συμβολίζεται με δ 1 και το πάχος ορμής (momntum thicknss) που συμβολίζεται με δ. Για την καλύτερη κατανόηση των μεγεθών αυτών θεωρούμε το οριακό στρώμα που αναπτύσσεται γύρω από μια ακίνητη, επίπεδη, λεπτή πλάκα που είναι τοποθετημένη παράλληλα σε ένα ομοιόμορφο ρεύμα ρευστού ταχύτητας u. Ως πάχος δ του οριακού στρώματος ορίζεται η απόσταση εκείνη, κάθετη προς την επιφάνεια της πλάκας, για την οποία η ταχύτητα u του ρευστού γίνεται ίση με το 99 % της ελεύθερης ρευματικής ταχύτητας u. Το πάχος δ θα αυξάνει με την

13 απόσταση από την οδηγούσα ακμή της πλάκας, εφ όσον κατά μήκος αυτής όλο και περισσότερο ρευστό θα επιβραδύνεται. Το πάχος δ του οριακού στρώματος, για την τυχούσα απόσταση x από την ακμή της πλάκας, μπορεί να εκτιμηθεί με τη βοήθεια του τύπου νx δ ~ () u μ όπου ν = είναι το κινηματικό ιξώδες του ρευστού και το σύμβολο ~ σημαίνει ρ είναι ανάλογο του.... Όπως φαίνεται και από τον παραπάνω τύπο, το πάχος του οριακού στρώματος γύρω από μια επίπεδη πλάκα εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του ρευστού (ιξώδες, πυκνότητα), από την κινηματική κατάσταση του ελευθέρου ρεύματος (ελεύθερη ρευματική ταχύτητα u ) αλλά και από την απόσταση από την οδηγούσα ακμή της πλάκας κατά τη διεύθυνση της ροής. Έχει αποδειχθεί, από τον H.Blasius, ότι για την περίπτωση στρωτής ροής, ομογενούς και ασυμπιέστου ρευστού, γύρω από λεπτή, επίπεδη πλάκα μήκους l (πρόβλημα του Blasius), ο συντελεστής αναλογίας για τη σχέση () είναι 5. Δηλαδή το (μέγιστο) πάχος δ, του οριακού στρώματος που δημιουργείται, δίνεται από την έκφραση νl δ = 5 (3) u Αντίστοιχα, το αδιάστατο πάχος l δ του οριακού στρώματος, θα δίνεται από τον τύπο δ 5 = l R l (4) όπου R είναι ο αριθμός Rynolds της ροής που, ως γνωστόν, για ρευστό ιξώδους μ, πυκνότητας ρ και ελεύθερης ρευματικής ταχύτητας δίνεται από τον τύπο ρu l ul R = = (5) μ ν u και για πλάκα μήκους l, Έχοντας εκτιμήσει το πάχος δ του οριακού στρώματος, είμαστε σε θέση να εκτιμήσουμε και τη διατμητική τάση τ στην επιφάνεια της πλάκας και κατ επέκταση και τη συνολική αντίσταση που δέχεται η πλάκα. Με βάση τον πειραματικό - 1 -

14 νόμο της τριβής του Νεύτωνα (σχέση (1)) η διατμητική τάση στην επιφάνεια της πλάκας θα δίνεται από τον τύπο Η εκτίμηση u τ = μ (6) y y= u y y= ~ u δ (7) δίνει μu τ ~ (8) δ Οπότε, αντικαθιστώντας το δ με την εκτίμησή του από τη σχέση () παίρνουμε τ ~ μu ρu μl δηλαδή μρu 3 τ ~ (9) l Βλέπουμε λοιπόν ότι η διατμητική τάση στην επιφάνεια της πλάκας είναι ανάλογη 3 τ του u. Δημιουργώντας τώρα το πηλίκο προκύπτει η αναλογία ρu τ ρu ~ μ ρu l δηλαδή τ 1 ~ ρu R l (1) Η παραπάνω σχέση υποδηλώνει ότι η αδιάστατη διατμητική τάση στην επιφάνεια της πλάκας εξαρτάται από τον αριθμό Rynolds της ροής και μόνο. Η συνολική αντίσταση D, για την κάθε πλευρά της πλάκας, ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της πλάκας επί τη διατμητική τάση στην επιφάνεια αυτής. Εάν δηλαδή η πλάκα έχει μήκος l και πλάτος b, ισχύει D ~ blτ (11) οπότε, αντικαθιστώντας το τ με την εκτίμησή του από τη σχέση (9), παίρνουμε

15 δηλαδή D ~ bl μρu l 3 D μρ (1) 3 ~ b lu 3 1 Η συνολική, δηλαδή, αντίσταση για την πλάκα είναι ανάλογη του u και του l. Με βάση όλα τα παραπάνω, μπορούμε τώρα να εκτιμήσουμε και τον αδιάστατο συντελεστή αντίστασης περίπτωση είναι C D. Ο τύπος που δίνει το D = (13) ρ u A C D όπου Α το εμβαδόν του στερεού ορίου. Στην υπό μελέτη περίπτωση είναι οπότε ο τύπος (13) δίνει D = (14) ρ u bl C D C D στη γενική A = bl, και αντικαθιστώντας την συνολική αντίσταση D από την εκτίμησή της (σχέση (1)) παίρνουμε δηλαδή b ~ μρu C D ρu bl 3 l C D ~ μ ρu l ή τελικά C D 1 ~ (15) R l Ο συντελεστής αναλογίας για τη σχέση (15) έχει υπολογιστεί από τον Blasius και είναι Για το πρόβλημα του Blasius δηλαδή ισχύει C D 1.38 = (16) R Ενδεικτικά, το πάχος του οριακού στρώματος, που δημιουργείται κατά τη ροή αέρα ( ν = ft / sc ή.134m / s ), ελεύθερης ρευματικής ταχύτητας u = 48 ft / sc ( 5.67km / h ), γύρω από λεπτή, επίπεδη πλάκα μήκους l = 3 ft ή l

16 .914m, στο τέλος αυτής, είναι δ =. 18 in, ή περίπου 5 mm. Ο συντελεστής αντίστασης που προκύπτει είναι C =. 13. D Ως πάχος μετατόπισης ή πάχος μετάθεσης δ 1 ορίζεται το πάχος ενός ιδεατού στρώματος ρευστού, ταχύτητας ίσης με την ελεύθερη ρευματική, μέσα στο οποίο η παροχή του ρευστού είναι ίση με τη μείωση της παροχής μέσα στο οριακό στρώμα, λόγω επιβράδυνσης της ροής. Ο ορισμός του πάχους μετατόπισης προκύπτει από την ανάγκη ικανοποίησης της αρχής διατήρησης της μάζας. Η επιβράδυνση του ρευστού μέσα στο οριακό στρώμα έχει σαν συνέπεια τη μείωση της παροχής σε σχέση με την παροχή που θα υπήρχε εάν η πλάκα δεν βρισκόταν στην πορεία του ελεύθερου ρεύματος. Η αρχή διατήρησης της μάζας επιβάλει μία προς τα άνω μετατόπιση των ρευματικών γραμμών, ώστε να αυξάνονται οι διατομές και να διατηρείται σταθερή η παροχή. Το πάχος μετατόπισης δ 1 δίνεται, ως συνάρτηση της απόστασης x από την οδηγούσα ακμή, από τον τύπο δ u δ1 = δ1( x) = (1 ) dy (17) u Τέλος, η ανάγκη ικανοποίησης της αρχής διατήρησης της ορμής οδηγεί στον ορισμό του πάχους ορμής κατ αναλογία με τον ορισμό του πάχους μετατόπισης. Ως πάχος ορμής, λοιπόν, ορίζεται το πάχος δ ενός ιδεατού στρώματος ρευστού, ταχύτητας ίσης με την ελεύθερη ρευματική, για το οποίο η εισροή ορμής είναι ίση με την αντίστοιχη μείωση αυτής δια μέσου του οριακού στρώματος, λόγω επιβράδυνσης της ροής. Το πάχος ορμής δ δίνεται, πάλι ως συνάρτηση της απόστασης x από την οδηγούσα ακμή, από τον τύπο δ u u δ = δ ( x) = (1 ) dy (18) u u 3. Διαχωρισμός ή Αποκόλληση του Οριακού Στρώματος Πολλές φορές και κατά κύριο λόγο σε περιπτώσεις ροής γύρω από σώματα που δεν έχουν αεροδυναμικό σχήμα, όπως για παράδειγμα η σφαίρα και ο κύλινδρος, είναι δυνατόν τα επιβραδυθέντα ρευστά σωματίδια να μην παραμένουν εντός του οριακού στρώματος καθ όλο το μήκος του στερεού ορίου. Είναι δηλαδή πιθανό να παρουσιαστεί μεγάλη αύξηση του πάχους του οριακού στρώματος κατά την

17 κατεύθυνση της ροής και να παρατηρηθεί εντός αυτού αναστροφή της ταχύτητας. Κάτω από αυτές τις συνθήκες είναι δυνατό ρευστά σωματίδια στην άμεση περιοχή του στερεού ορίου να κινηθούν έξω από το οριακό στρώμα. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διαχωρισμός ή αποκόλληση του οριακού στρώματος (boundary layr sparation). Η κύρια αιτία που οδηγεί στο ανεπιθύμητο αυτό φαινόμενο είναι η εμφάνιση p αντίξοης βαθμίδας πίεσης (advrs prssur gradint, > ). Κατά τη διεύθυνση x της ροής δηλαδή, αντί η πίεση να ελαττώνεται, υποβοηθώντας τη ροή, αυξάνεται, επιβραδύνοντάς την αρχικά και αντιστρέφοντάς την στη συνέχεια. Τότε τα ρευστά σωματίδια που βρίσκονται μέσα στο οριακό στρώμα, λόγω της επιβράδυνσης και της μικρής τιμής της κινητικής τους ενέργειας, δεν μπορούν να προχωρήσουν πολύ μέσα στην περιοχή υψηλής πίεσης του οριακού στρώματος. Έτσι, το οριακό στρώμα αποκλίνει πλαγίως από το στερεό όριο, αποκολλούμενο από αυτό, ενώ τα ρευστά σωματίδια που βρίσκονταν εντός του ακολουθούν κατά κανόνα τη φορά της βαθμίδας πίεσης, κινούμενα κατά φορά αντίθετη αυτής του κυρίου ρεύματος. Μια σχηματική αναπαράσταση των ρευματικών γραμμών σε περιπτώσεις αποκόλλησης καθώς και η εξέλιξη του προφίλ της ταχύτητας που συνδέεται με το φαινόμενο αυτό, φαίνονται στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 1.3.1). Σχήμα

18 Με βάση όλα τα παραπάνω, ως σημείο διαχωρισμού ορίζεται το σημείο εκείνο που αποτελεί το όριο αλλαγής διεύθυνσης της ροής μέσα στο οριακό στρώμα (σημείο S στο σχήμα). Το σημείο εκείνο, δηλαδή, στο οποίο η ταχύτητα του ρευστού αντιστρέφεται και αποκτά φορά αντίθετη αυτής του κυρίου ρεύματος. Όπως φαίνεται λοιπόν και από την εικόνα της εξέλιξης του προφίλ της ταχύτητας κατά μήκος του στερεού ορίου, για την περίπτωση αποκόλλησης, το σημείο διαχωρισμού S μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο u S : = (19) y y= Το φαινόμενο της αποκόλλησης του οριακού στρώματος χαρακτηρίζεται ως ανεπιθύμητο εξαιτίας των συνεπειών που η αποκόλληση αυτή επιφέρει στη ροή. Μερικές από τις σπουδαιότερες είναι η διαταραχή της ροής, η δημιουργία δινών, η μεγάλη απώλεια κινητικής ενέργειας και η αύξηση της αντίστασης σχήματος (form drag) εξαιτίας της διαφοροποίησης της κατανομής της πίεσης, η οποία μετά την αποκόλληση παρουσιάζει μεγάλη απόκλιση από την κατανομή πίεσης που προβλέπει η θεωρία των ιδανικών ρευστών. Για τους λόγους αυτούς είναι πολύ σημαντικό να είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες παρατηρείται το φαινόμενο της αποκόλλησης. Η γνώση των συνθηκών αυτών μπορεί να μας βοηθήσει να αναπτύξουμε μεθόδους ώστε να καθυστερήσουμε ή και να αποφύγουμε πλήρως το φαινόμενο αυτό, διατηρώντας έτσι όλα τα πλεονεκτήματα μιας στρωτής ροής (χαμηλές τιμές αντίστασης υψηλές τιμές κινητικής ενέργειας), κάτι που είναι πολύ σημαντικό από την άποψη των πρακτικών εφαρμογών. Η σπουδαιότητα του φαινομένου της αποκόλλησης του οριακού στρώματος στο σχεδιασμό αεροτομών των πτερυγίων των αεροπλάνων φαίνεται στα παρακάτω σχήματα (Σχήμα 1.3.α και Σχήμα 1.3.β), όπου παρίσταται το πεδίο ροής ρευστού γύρω από μία αεροτομή, υπό διαφορετικές γωνίες προσβολής. Στην περίπτωση που η γωνία προσβολής είναι μικρή, μέχρι o 1, το πεδίο ροής γύρω από την αεροτομή έχει την εικόνα ροής ιδανικού ρευστού. Όταν η γωνία προσβολής αυξάνει, η ροή μέσα στο οριακό στρώμα μεταπίπτει σε τυρβώδη με έντονα σημάδια έναρξης αποκόλλησης. Η αποκόλληση τελικά πραγματοποιείται όταν η γωνία προσβολής γίνει o 15, οπότε και η πτέρυγα χάνει την αντωτική της ικανότητα και λέμε ότι το αεροσκάφος υπέστη απώλεια στήριξης (stall)

19 Σχήμα 1.3. Ένα άλλο παράδειγμα, στο οποίο το φαινόμενο της αποκόλλησης παίζει πολύ σημαντικό ρόλο, λόγω των συνεπειών που επιφέρει στη ροή, φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 1.3.3). Εδώ, το πεδίο ροής του αέρα γύρω από ένα φορτηγό διανομής, έχει οπτικοποιηθεί με τη βοήθεια λεπτών κλωστών, κατάλληλα τοποθετημένων στις πλαϊνές όψεις του. Στην πρώτη περίπτωση, που η πρόσοψη του φορτηγού στερείται αεροδυναμικού σχεδιασμού, παρουσιάζοντας πολλές γωνίες και εξογκώματα, το φαινόμενο της αποκόλλησης παρατηρείται σε όλο το μήκος της πλαϊνής όψης του φορτηγού. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση μεγάλου συντελεστή αντίστασης, που έχει ως συνέπεια την υψηλή κατανάλωση καυσίμου. Στη δεύτερη περίπτωση, που η πρόσοψη του φορτηγού είναι στρογγυλεμένη, το οριακό στρώμα παραμένει προσκολλημένο στην πλαϊνή όψη του φορτηγού, καθ όλο το μήκος αυτής. Ως

20 συνέπεια αυτού, ο συντελεστής αντίστασης παραμένει μικρός και η κατανάλωση καυσίμου χαμηλή. Σχήμα Το γεγονός ότι, όπως αναφέρθηκε, το φαινόμενο της αποκόλλησης του οριακού στρώματος είναι ανεπιθύμητο, καθιστά αναγκαία την ανάπτυξη μεθόδων πρόληψης ή και αποφυγής του. Στο επόμενο κεφάλαιο, περιγράφονται περιληπτικά διάφορες τεχνικές ελέγχου του οριακού στρώματος που έχουν αναπτυχθεί κατά το παρελθόν και που σε πολλές περιπτώσεις εφαρμόζονται μέχρι και σήμερα. Η σημαντικότερη όμως μέθοδος ελέγχου του οριακού στρώματος, τόσο από άποψη αποτελεσματικότητας όσο και από άποψη πρακτικής χρησιμότητας, είναι η μέθοδος της απορρόφησης (boundary layr suction). Η μέθοδος αυτή συνίσταται στην απομάκρυνση των επιβραδυνομένων ρευστών σωματιδίων από το οριακό στρώμα με τη βοήθεια σχισμών ή οπών στην επιφάνεια του στερεού που απορροφούν τα σωματίδια αυτά στο εσωτερικό του. Ο έλεγχος του οριακού στρώματος και η αποφυγή ή καθυστέρηση της αποκόλλησής του με τη βοήθεια της μεθόδου της απορρόφησης αποτελεί και το κεντρικό θέμα της εργασίας αυτής

21 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ι Hrman Schlichting, Boundary Layr Thory, Svnth Edition, 1987, McGra Hill Classic Txtbook Rissu Sris, πρώτη έκδοση: GRENZSCHICHT THEORIE 1951) Ν.Γ. Καφούσιας, Ρευστομηχανική ΙΙ, 1999, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, πρώτη έκδοση: 199) Robrt A.Grangr, Fluid Mchanics, 1995, Dovr Publications, Inc. N York, πρώτη έκδοση: 1985 Frank M.Whit, Viscous Fluid Flo, Scond Edition, 1991, McGra-Hill Intrnational Editions, Mchanical Enginring Sris, πρώτη έκδοση:

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ Έλεγχος του Οριακού Στρώματος 1. Εισαγωγή Από το 194 που η Θεωρία του Οριακού Στρώματος διατυπώθηκε για πρώτη φορά, όπως έχει ήδη αναφερθεί, από τον Prandtl, το πρόβλημα του ελέγχου του οριακού στρώματος αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι αυτής. Οι πρώτες τεχνικές που αφορούσαν τον έλεγχο του οριακού στρώματος έκαναν την εμφάνισή τους στη γνωστή εργασία του Prandtl που εισήγαγε και την έννοιά του. Η πρακτική χρησιμότητα του ελέγχου του οριακού στρώματος είναι τεράστια, αφού με τον τρόπο αυτό αντιμετωπίζονται προβλήματα που παρουσιάζονται ένα μεγάλο πλήθος φυσικών και τεχνολογικών εφαρμογών. Στην αεροναυπηγική, για παράδειγμα, η αποφυγή της αποκόλλησης του οριακού στρώματος, σε πολλές περιπτώσεις κρίνεται απαραίτητη, προκειμένου να μειωθεί η αντίσταση και να επιτευχθεί μέγιστη άντωση. Για το λόγο αυτό, έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι τεχνητού ελέγχου της συμπεριφοράς του οριακού στρώματος. Σκοπός των μεθόδων αυτών είναι να οδηγήσουν τη ροή σε μια επιθυμητή κατάσταση, επηρεάζοντας τη δομή του οριακού στρώματος. Μέθοδοι και τεχνικές ελέγχου του οριακού στρώματος, που έχουν αναπτυχθεί κατά τη διάρκεια των προηγουμένων δεκαετιών και που σε πολλές περιπτώσεις εφαρμόζονται ακόμα και σήμερα, περιγράφονται εν συντομία στις επόμενες παραγράφους.. Κίνηση του Στερεού Ορίου (Motion of th Solid Wall) Η μέθοδος αυτή είναι η απλούστερη, από φυσικής απόψεως, μέθοδος ελέγχου του οριακού στρώματος και συνίσταται στην προσπάθεια αποφυγής της δημιουργίας του. Εφ όσον το οριακό στρώμα οφείλει την ύπαρξή του στη διαφορά ταχυτήτων μεταξύ του ελευθέρου ρεύματος και του στερεού ορίου, είναι προφανές ότι για να αποφευχθεί, όσο αυτό είναι δυνατόν, η δημιουργία του, πρέπει να ελαττωθεί η διαφορά αυτή. Αυτό επιτυγχάνεται θέτοντας το στερεό όριο σε κίνηση η οποία έχει τη φορά της κίνησης του ελευθέρου ρεύματος. Η μέθοδος αυτή είναι πολύ αποτελεσματική αλλά η πρακτική της χρησιμότητα είναι μικρή αφού είναι αδύνατον, - 1 -

23 από τεχνικής απόψεως, να εφαρμοστεί στα περισσότερα από τα φυσικά και τεχνολογικά προβλήματα. Η αποτελεσματικότητά της εδείχθη από τον ίδιο τον Prandtl, ο οποίος φωτογράφισε τη ροή γύρω από έναν περιστρεφόμενο κύλινδρο. Όπως φαίνεται λοιπόν στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα..1), η αποκόλληση του οριακού στρώματος έχει αποφευχθεί πλήρως στην πάνω πλευρά του κυλίνδρου, όπου η κίνηση του στερεού ορίου είναι της ίδιας φοράς με αυτήν του ελευθέρου ρεύματος. Παράλληλα, στην κάτω πλευρά του κυλίνδρου και παρ ότι παρατηρούνται σημάδια έναρξης αποκόλλησης, η πλήρης αποκόλληση δεν επέρχεται σε καμία φάση της ροής. Έτσι, η εικόνα ροής πραγματικού ρευστού γύρω από περιστρεφόμενο κύλινδρο προσεγγίζει σε μεγάλο βαθμό την εικόνα ροής ιδανικού ρευστού γύρω από κύλινδρο με κυκλοφορία. Σχήμα..1 Η μέθοδος έχει επίσης εφαρμοστεί με επιτυχία το 1938 από τον A.Favr [1], ο οποίος έκανε μια λεπτομερή πειραματική μελέτη της επίδρασης της κίνησης του στερεού ορίου σε μια αεροτομή. Πιο συγκεκριμένα, κατασκεύασε μια αεροτομή κατά τρόπον ώστε ένα μέρος (μια λωρίδα) της πάνω επιφάνειάς της να κινείται διαρκώς πάνω σε δύο κυλίνδρους, κατά τη φορά του ρεύματος, και η αντίθετη κίνηση της λωρίδας αυτής, που προκύπτει αναγκαστικά στην κάτω επιφάνεια, να περιορίζεται στο εσωτερικό του μοντέλου. Η διάταξη αυτή αποδείχθηκε εξαιρετικά αποτελεσματική όσον αφορά την αποφυγή της αποκόλλησης και έδωσε πολύ υψηλούς συντελεστές άντωσης ( C L max = 3. 5) σε μεγάλες γωνίες προσβολής ( a 55 o = ). - -

24 Στις πρώτες μελέτες του οριακού στρώματος που αναπτύσσεται πάνω από επίπεδη επιφάνεια (πλάκα), της οποίας το κατάντη μέρος κινείται με το ελεύθερο ρεύμα, συμπεριλαμβάνεται και αυτή του E.Trucknbrodt [] από το Επιτάχυνση του Οριακού Στρώματος (Acclration of th Boundary Layr - Bloing) Πρόκειται για εναλλακτική μέθοδο, η οποία συνίσταται στην παροχή επιπλέον (κινητικής) ενέργειας στα ρευστά σωματίδια που επιβραδύνονται μέσα στο οριακό στρώμα, λόγω των δυνάμεων τριβής. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με δύο τρόπους. Ο ένας τρόπος είναι η έγχυση ρευστού, με υψηλή κινητική ενέργεια, από το εσωτερικό του στερεού στο οριακό στρώμα, με τη βοήθεια ενός ειδικού φυσητήρα (blor), όπως για παράδειγμα φαίνεται στο Σχήμα.3.1. Ιδιαίτερη προσοχή σε αυτήν την περίπτωση πρέπει να δοθεί στο σχήμα της οπής (ή σχισμής), ώστε να αποφευχθεί η δημιουργία στροβίλων στο πίσω μέρος της αεροτομής ή γενικά κοντά στην πίσω ακμή (trailing dg) του στερεού ορίου. Η μέθοδος αυτή (bloing), πολλές φορές εφαρμόζεται και στην πίσω ακμή μιας πτέρυγας, με σκοπό την επίτευξη υψηλότερων τιμών του συντελεστή άντωσης. Τα πρώτα πειραματικά αποτελέσματα που αφορούσαν την εφαρμογή της μεθόδου στην πίσω ακμή μιας πτέρυγας, προέκυψαν από μια σειρά πειραμάτων στη Γαλλία [3]. Σχήμα.3.1 Ο άλλος τρόπος είναι να εξασφαλίσουμε την απαιτούμενη ενέργεια κατευθείαν από το ελεύθερο ρεύμα. Αυτό επιτυγχάνεται συνδέοντας την περιοχή ροής των επιβραδυθέντων ρευστών σωματιδίων με μία περιοχή υψηλότερης πίεσης, διαμέσου μιας σχισμής, όπως για παράδειγμα φαίνεται στο Σχήμα.3. (slottd ing). Τα ρευστά σωματίδια που βρίσκονται στο οριακό στρώμα που σχηματίζεται - 3 -

25 στο μπροστινό πτερύγιο Α-Β, μεταφέρονται στο κυρίως ρεύμα πριν προλάβει να επέλθει αποκόλληση. Από το σημείο C και πέρα, ένα νέο οριακό στρώμα δημιουργείται, το οποίο, κάτω από επιθυμητές συνθήκες, θα φτάσει στην πίσω ακμή της πτέρυγας χωρίς να συντελεστεί αποκόλληση. Με τον τρόπο αυτό, η αποκόλληση περιορίζεται σε αισθητά μεγάλες γωνίες προσβολής, ενώ παράλληλα επιτυγχάνονται υψηλές τιμές της άντωσης. Σχήμα.3. Πάντως, όποια από τις δύο τεχνικές που προαναφέρθηκαν και να χρησιμοποιηθεί, επιπλέον ενέργεια αποδίδεται στα ρευστά σωματίδια του οριακού στρώματος, κοντά στο στερεό όριο, με αποτέλεσμα αυτά να επιταχύνονται και το φαινόμενο της αποκόλλησης να αποφεύγεται ή, όταν αυτό δεν είναι δυνατόν, να περιορίζεται. 4. Ψύξη του Τοιχώματος (Cooling of th Wall) Η μέθοδος αυτή αναφέρεται κατά κύριο λόγο σε υπερηχητικές ροές, σε ροές δηλαδή όπου ο αριθμός Mach της ροής είναι μεγαλύτερος του ένα (Μ>1). Σε μια συγκεκριμένη, λοιπόν, περιοχή αριθμών Mach, είναι δυνατόν να επιτευχθεί ευστάθεια του οριακού στρώματος με εφαρμογή ψύξης (cooling) στη θερμαινόμενη επιφάνεια του στερεού. Η μέθοδος της ψύξης μπορεί επίσης να εφαρμοστεί προκειμένου να μειωθεί το πάχος του οριακού στρώματος, κάτι που είναι χρήσιμο σε αρκετές εφαρμογές αλλά κυρίως σε πειράματα, όπου τα οριακά στρώματα με μεγάλο πάχος προκαλούν ανεπιθύμητη μείωση της ωφέλιμης περιοχής της πειραματικής διάταξης

26 5. Έγχυση Διαφορετικού Αερίου (Injction of a Diffrnt Gas) Κατά την εισαγωγή ενός διαστημικού σκάφους στα πυκνότερα στρώματα της ατμόσφαιρας, η τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ των τοιχωμάτων του και του αέρα είναι πολύ μεγάλη, εξαιτίας της μεγάλης του ταχύτητας. Έτσι, στα τοιχώματα του σκάφους αναπτύσσονται, λόγω της τριβής, πολύ υψηλές θερμοκρασίες, οι οποίες είναι ικανές να το καταστρέψουν. Το πρόβλημα αυτό, γνωστό και ως θερμικό φράγμα, υπήρξε πολύ σημαντικό στην ανάπτυξη της διαστημικής τεχνολογίας. Εδώ αξίζει ενδεικτικά να αναφερθεί ότι για ένα απλό αεροσκάφος που κινείται στην ατμόσφαιρα με ταχύτητα αυξάνεται κατά 61 m / s (M=1.8), η θερμοκρασία στο πρωραίο άκρο αυτού 14 o C. Στην περίπτωση δε βαλλιστικών πυραύλων ή οχημάτων (επανδρωμένων ή μη) που εισέρχονται στη γήινη ατμόσφαιρα, η ταχύτητά τους είναι τόσο μεγάλη, ώστε η θερμοκρασία που αναπτύσσεται στα πρωραία τοιχώματά τους, λόγω της τριβής, μπορεί να φτάσει ακόμα και τους 5 o C. Ο ρυθμός με τον οποίο η θερμότητα μεταφέρεται στο σκάφος, μπορεί να μειωθεί σημαντικά με τη βοήθεια της εισαγωγής (έγχυσης), στο οριακό στρώμα που προκύπτει από τη ροή του αέρα γύρω από το σκάφος, ελαφρού αερίου, διαφορετικού από αυτό της εξωτερικής ροής, διαμέσου ενός πορώδους τοιχώματος. Εναλλακτικά, μπορεί να γίνει έγχυση υγρού, το οποίο εξατμίζεται, ή ακόμα να χρησιμοποιηθεί για τα τοιχώματα υλικό (όπως για παράδειγμα γραφίτης ή γυαλί), το οποίο αφήνεται να λιώσει με τη θερμότητα, μέχρι ενός ασφαλούς πλάτους (ablation). Η σημαντικότερη από τις συνέπειες της έγχυσης αυτής είναι η μείωση του ρυθμού ανταλλαγής θερμότητας, μεταξύ του στερεού ορίου και του αέρα, στην άμεση περιοχή της επιφάνειας του σκάφους, εντός του οριακού στρώματος. Έτσι, η μέθοδος της έγχυσης παρέχει σημαντική θερμική προστασία σε υψηλές, υπερηχητικές ταχύτητες και, για το λόγο αυτό, διατάξεις που βασίζονται στη φιλοσοφία της μεθόδου αυτής, χρησιμοποιούνται ευρέως στο σχεδιασμό διαστημικών σκαφών. 6. Πρόληψη της μετάπτωσης της ροής σε τυρβώδη με κατάλληλη διαμόρφωση της γεωμετρίας του στερεού (Laminar Arofoils) Σκοπός της μεθόδου αυτής είναι η μείωση της αντίστασης τριβής (frictional drag), με μετακίνηση του σημείου μετάπτωσης κατά τη διεύθυνση του ρεύματος

27 Αυτό επιτυγχάνεται με κατάλληλη διαμόρφωση της εξωτερικής επιφάνειας του στερεού. Έχει αποδειχθεί, ότι η απόσταση από την οδηγούσα ακμή, στην οποία συντελείται η μετάπτωση, επηρεάζεται σημαντικά από τη βαθμίδα πίεσης της εξωτερικής ροής και πιο συγκεκριμένα από το πρόσημο αυτής. Όταν, λοιπόν, η πίεση p παρουσιάζει μείωση κατά τη διεύθυνση της ροής ( < ), η μετάπτωση συντελείται x σε πολύ μεγαλύτερους αριθμούς Rynolds απ ότι όταν η πίεση παρουσιάζει αύξηση p ( > ). Η μείωση δηλαδή της πίεσης κατά την κατεύθυνση της ροής έχει x σταθεροποιητική επίδραση στο οριακό στρώμα ενώ το αντίθετο ισχύει για την αύξηση. Στο γεγονός αυτό βασίζεται η κατασκευή των σύγχρονων αεροτομών χαμηλής αντίστασης (lo-drag arofoils). Το επιθυμητό αποτέλεσμα επιτυγχάνεται με κατάλληλη διαμόρφωση της γεωμετρίας του στερεού ορίου (πτέρυγας), έτσι ώστε να επιτυγχάνεται μετακίνηση της περιοχής όπου το οριακό στρώμα παρουσιάζει μέγιστο πάχος, όσο πιο μακριά γίνεται από την οδηγούσα ακμή αυτής (διαμόρφωση κατάλληλων αεροδυναμικών χαρακτηριστικών της αεροτομής). Έτσι, ένα μεγάλο μέρος της αεροτομής παραμένει κάτω από την επίδραση πίεσης που μειώνεται κατά την κατεύθυνση της ροής και η ροή στο οριακό στρώμα παραμένει στρωτή (laminar boundary layr). Η σημασία των αεροτομών στην επίτευξη χαμηλών τιμών αντίστασης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα.6.1), όπου μια αεροτομή και ένας κύλινδρος παρίστανται σε τέτοια αναλογία ώστε, σε ροή παράλληλη προς τον άξονα συμμετρίας της αεροτομής, να παρουσιάζουν την ίδια συνολική αντίσταση τριβής. Σχήμα

28 7. Απορρόφηση (Suction) Η μέθοδος της απορρόφησης, όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, είναι η σημαντικότερη μέθοδος ελέγχου του οριακού στρώματος και συνίσταται στην απομάκρυνση των επιβραδυνομένων ρευστών σωματιδίων από το οριακό στρώμα, με τη βοήθεια καταλλήλων σχισμών ή οπών στην επιφάνεια του στερεού, προτού αυτά γίνουν αιτία να προκληθεί αποκόλληση. Με τον τρόπο αυτό, το οριακό στρώμα παραμένει προσκολλημένο στο στερεό όριο μέχρι μια συγκεκριμένη τιμή αντίξοης βαθμίδας πίεσης. Με κατάλληλη διαμόρφωση και διάταξη των σχισμών (ή οπών) στην επιφάνεια του στερεού και κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, είναι δυνατόν η αποκόλληση να αποφευχθεί πλήρως. Ταυτόχρονα και εξαιτίας της αποφυγής της αποκόλλησης, η αντίσταση πίεσης (prssur drag) είναι σημαντικά μικρότερη από εκείνη που θα αναπτυσσόταν στην περίπτωση που το ανεπιθύμητο φαινόμενο της αποκόλλησης θα συντελούταν. Η αποτελεσματικότητα της τεχνικής της απορρόφησης, όπως αυτή πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τον Prandtl, φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα.7.1). Σχήμα

29 Στα παρακάτω σχήματα (Σχήμα.7., Σχήμα.7.3 και Σχήμα.7.4) φαίνονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής απορρόφησης, πρώτα στο ένα και μετά και στα δύο τοιχώματα, ενός αποκλίνοντα αγωγού. Σχήμα.7. Σχήμα

30 Σχήμα.7.4 Στις σύγχρονες εφαρμογές, η μέθοδος της απορρόφησης χρησιμοποιείται και με σκοπό τη μείωση της συνολικής αντίστασης (τριβής και πίεσης). Με τη βοήθεια κατάλληλων διατάξεων εγκοπών απορρόφησης (suction slits), είναι δυνατόν να προκληθεί μετακίνηση του σημείου μετάπτωσης (της ροής εντός του οριακού στρώματος από στρωτή σε τυρβώδη) κατά την κατεύθυνση του ρεύματος. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση μικρότερων τιμών του συντελεστή αντίστασης, αφού ως γνωστόν η αντίσταση στην περίπτωση στρωτής ροής είναι σημαντικά μικρότερη απ ότι η αντίσταση στην περίπτωση τυρβώδους ροής. Η συμβολή της απορρόφησης στην καθυστέρηση της μετάπτωσης, είναι στην ουσία η μείωση του πάχους του οριακού στρώματος. Η μείωση αυτή, επιφέρει μείωση και στην τάση της ροής εντός του οριακού στρώματος να μεταπέσει σε τυρβώδη. Επιπροσθέτως, έχει παρατηρηθεί ότι, με βάση τη μορφή των προφίλ της ταχύτητας, η ροή εντός οριακού στρώματος, στην περίπτωση που έχει εφαρμοστεί απορρόφηση, είναι λιγότερο πιθανό να μεταπέσει σε τυρβώδη, απ ότι στην περίπτωση στρωτής ροής, σε οριακό στρώμα ίσου πάχους, στο οποίο δεν έχει εφαρμοστεί απορρόφηση. Ιστορικά, οι πρώτες προσπάθειες για την πρακτική εφαρμογή της απορρόφησης στον έλεγχο ροών βασίστηκαν σε διακριτές εγκοπές πάνω στο στερεό όριο, αφού δεν ήταν διαθέσιμα ανθεκτικά πορώδη υλικά. Αντίθετα, η θεωρητική αντιμετώπιση βασίστηκε στην παραδοχή της ομοιόμορφης απορρόφησης, λόγω της - 9 -

31 ευκολίας που μια τέτοια θεώρηση παρέχει στους αναλυτικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς. Η μελέτη πιο σύνθετων διατάξεων, όπως για παράδειγμα διατάξεων περιοδικής απορρόφησης μέσω κατανεμημένων εγκοπών και η επίδραση αυτών στην ευστάθεια της ροής, ξεκίνησε μόλις στα μέσα της προηγούμενης δεκαετίας [4]. Η μέθοδος της απορρόφησης χρησιμοποιείται σήμερα ευρέως, όπως θα δούμε και στη συνέχεια, στο σχεδιασμό των πτερυγίων των αεροπλάνων, με σκοπό την αποφυγή της αποκόλλησης και την επίτευξη υψηλών τιμών άντωσης. Ένας μεγάλος αριθμός διατάξεων εγκοπών απορρόφησης και η επίδραση κάθε μιας από τις διατάξεις αυτές στην επίτευξη της μέγιστης τιμής της άντωσης, μελετήθηκε εκτενώς από τον O.Schrnk [5]. Αξίζει εδώ να σημειωθεί ότι τα πρώτα εκτενή πειραματικά δεδομένα, που αφορούσαν την επίδραση της απορρόφησης στις πτέρυγες αεροπλάνων, έκαναν την εμφάνισή τους στα τέλη της δεκαετίας του είκοσι και τις αρχές της δεκαετίας του τριάντα, στα πλαίσια ενός ερευνητικού προγράμματος του Ινστιτούτου Arodynamisch Vrsuchsanstalt στο Gottingn, υπό την καθοδήγηση του O.Schrnk, ο οποίος δημοσίευσε και μια κατατοπιστική ανασκόπηση της δουλειάς αυτής [6]. Οι έρευνες προχώρησαν τόσο, που στα τέλη της δεκαετίας του τριάντα, το Ινστιτούτο του Gottingn ήταν σε θέση να κατασκευάσει δύο πειραματικά αεροπλάνα, στα οποία εφαρμόστηκε απορρόφηση για τη βελτιστοποίηση της απόδοσής τους. Μια λεπτομερής περιγραφή των πειραματικών αυτών αεροπλάνων, δόθηκε από τον J.Stupr [7]. Στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα.7.5) βλέπουμε φωτογραφίες του πεδίου ροής στην πτέρυγα ενός από αυτά τα αεροπλάνα. Τα αποτελέσματα της απορρόφησης, η οποία εφαρμόζεται στη σχισμή μεταξύ της πτέρυγας και του κινητού πτερυγίου (flap), γίνονται ορατά με τη βοήθεια λεπτών νημάτων, των οποίων το ένα μόνο άκρο έχει προσκολληθεί στην πτέρυγα. Βλέπουμε λοιπόν ότι, χωρίς απορρόφηση, το οριακό στρώμα αποκολλάται πλήρως από το πτερύγιο και επανέρχεται πλήρως σε αυτό, όταν εφαρμοστεί απορρόφηση

32 Σχήμα.7.5 Συγκεκριμένες παράμετροι της απορρόφησης, όπως για παράδειγμα το βέλτιστο σχήμα των εγκοπών, η κατανομή της ταχύτητας κοντά στην εγκοπή και η κατανομή της πίεσης γύρω από αυτήν, μελετήθηκαν συστηματικά από τον A.Grbr [8]

33 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΙI Hrman Schlichting, Boundary Layr Thory, Svnth Edition, 1987, McGra Hill Classic Txtbook Rissu Sris, πρώτη έκδοση: GRENZSCHICHT THEORIE 1951) Κ.Δ. Αλεξόπουλος, Μηχανική-Ακουστική, Έκδοση Τέταρτη, 196 (Γενική Φυσική - Τόμος Πρώτος) Α.Γ. Καραμπής, Αριθμητική Μελέτη της Ανιξωδικής Ευστάθειας Συμπιεστού Υπερηχητικού Οριακού Στρώματος Γύρω από Κώνο, (Διδακτορική Διατριβή, Μαθηματικό Τμήμα Πανεπιστημίου Πατρών) [1] A.Favr: Contribution a l tud xprimntal ds mouvmnts hydrodynamiqus a dux dimnsions, Thsis Univrsity of Paris 1938, 1-19 [] E.Trucknbrodt: Di Laminar Ribungsschicht an inr tilis mitbgtn langsangstromtn bnn Platt. Abh. Braunschig. Wiss. Gs. 4, (195) [3] Ph.Poisson-Quinton: Rchrchs thoriqus t xprimntals sur l control d circulation par soufflag appliqué aux ails d avions. ONERA Publication, Not Tchniqu No.37 (1956) [4] M.Gad-El-Hak, A.Pollard, J.P Bonnt (ds.), Flo Control: Fundamntals and Practics, Springr (1998) [5] O.Schrnk: Tragflugl mit Grnzschichtabsaugung. Luftfahrtforschung, 49 (198) [6] O.Schrnk: Vrsuch mit Absaugflugln. Luftfahrtforschung 1, 1-7 (1935) - 3 -

34 [7] J.Stupr: Flight xprimnts and tsts on to airplans ith suction slots. NACA TM 13 (1935). Engl. transl. of ZWB Forschungsbricht No.181 (1943) [8] A.Grbr: Untrsuchungn ubr Grnzschichtabsaugung. Rp. Inst. of Arodynamics (1948)

35 - 34 -

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙII Εξισώσεις Κίνησης και Εξισώσεις Οριακού Στρώματος για Ομογενή, Ασυμπίεστα, Πραγματικά Ρευστά 1. Εισαγωγή Στο σημείο αυτό και προτού περάσουμε στη θεωρητική μελέτη της μεθόδου της απορρόφησης, κρίνεται απαραίτητο να αναφερθούν δύο λόγια για τις εξισώσεις κίνησης ενός πραγματικού ρευστού (εξισώσεις Navir - Stoks) καθώς και για τις απλοποιήσεις που εισήγαγε σε αυτές ο Prandtl, εξάγοντας έτσι τις εξισώσεις του οριακού στρώματος.. Εξισώσεις Κίνησης Πραγματικών Ρευστών Οι εξισώσεις κίνησης για πραγματικά ρευστά, γνωστές και ως εξισώσεις Navir Stoks, οφείλουν την ονομασία τους στο Γάλλο μηχανικό Claud Louis Mari Navir ( ), ο οποίος το 187 έγινε ο πρώτος που επιχείρησε να εισάγει στις μαθηματικές εξισώσεις τις επιπτώσεις του ιξώδους στη ροή [1], και στο Βρετανό φυσικομαθηματικό Sir Gorg Gabril Stoks ( ). Ο Stoks γεννήθηκε στην Ιρλανδία, σπούδασε στο πανεπιστήμιο του Cambridg, διατέλεσε καθηγητής μαθηματικών στο εν λόγω ίδρυμα από το 1849 έως το θάνατό του και είναι αυτός ο οποίος το 1845 έδωσε στις εξισώσεις κίνησης πραγματικού ρευστού την τελική τους μορφή []. Οι εξισώσεις κίνησης λοιπόν για ομογενή, ασυμπίεστα, πραγματικά ρευστά, σε σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων Oxyz, έχουν την κάτωθι μορφή: ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 z y x z P F z y x u t z y x y P F z y x u t z u y u x u x P F z u y u x u u t u z y x = = = ν ρ υ υ υ υ ν ρ υ υ υ υ υ ν ρ υ (1)

37 όπου μ ν = είναι το κινηματικό ιξώδες του ρευστού, μ ο συντελεστής ρ συνεκτικότητάς του (ιξώδες), ρ η πυκνότητά του, P η πίεσή του, F, F, F οι x y z συνιστώσες, ανά μονάδα μάζας, του εξωτερικού πεδίου δυνάμεων και συνιστώσες της ταχύτητας. u,υ, οι Οι εξισώσεις Navir Stoks είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου και ως τέτοιες οφείλουν να περιγράφουν μια κατάσταση ισορροπίας. Αυτό λοιπόν που στην ουσία περιγράφουν, είναι ισορροπία μεταξύ των δυνάμεων αδρανείας ανά μονάδα μάζας του πρώτου μέλους και των δυνάμεων εξωτερικού πεδίου, πίεσης και τριβής (ανά μονάδα μάζας πάντοτε) του δευτέρου μέλους. Για τη μελέτη ροών πραγματικών ρευστών, στις παραπάνω εξισώσεις Navir Stoks, προστίθεται και η εξίσωση της συνέχειας, η οποία για ομογενή και ασυμπίεστα πραγματικά ρευστά και σε σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων Oxyz, έχει τη μορφή: u υ + + = x y z Η εξίσωση συνέχειας, μαζί με τις εξισώσεις Navir Stoks, αποτελούν ένα σύστημα τεσσάρων διαφορικών εξισώσεων, με αγνώστους τις τρεις συντεταγμένες της ταχύτητας u,υ, και την πίεση P. Θεωρητικά λοιπόν, το σύστημα επαρκεί για τον καθορισμό των τεσσάρων αυτών αγνώστων, εφ όσον βέβαια καθοριστούν αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Στην πράξη όμως, τα χαρακτηριστικά του συστήματος (συζευγμένο, μη γραμμικό, δευτέρας τάξεως) καθιστούν αδύνατη την εύρεση αναλυτικής λύσης του στη γενική περίπτωση. Παρά το γεγονός αυτό, αναλυτικές λύσεις του συστήματος, παραδεκτές σε αρκετά ικανοποιητικό βαθμό, είναι δυνατόν να βρεθούν με βάση απλοποιήσεις που εισάγονται στις εξισώσεις Navir Stoks, ανάλογα με το εκάστοτε αντιμετωπιζόμενο πρόβλημα. () 3. Εξισώσεις Οριακού Στρώματος Οι σπουδαιότερες απλοποιήσεις των εξισώσεων Navir Stoks έγιναν το 194 από τον Ludig Prandtl, ο οποίος με τον τρόπο αυτό παρήγαγε τις εξισώσεις του οριακού στρώματος [3]. Για την παραγωγή των εξισώσεων αυτών, ο Prandtl, μετά την αδιαστατοποίηση των εξισώσεων Navir Stoks με την εισαγωγή

38 καταλλήλων μεγεθών αναφοράς (δηλαδή χαρακτηριστικής ταχύτητας, μήκους, χρόνου και δυναμικής πίεσης), προχώρησε στην εκτίμηση της τάξης μεγέθους καθενός όρου των εξισώσεων κίνησης. Στη συνέχεια διέγραψε (δηλαδή θεώρησε αμελητέους) όρους που ήταν μικρότερης τάξης από άλλους, όπως για παράδειγμα όρους τάξεως δ σε σχέση με όρους τάξεως δ ( δ << 1 ), επιτυγχάνοντας έτσι σημαντική απλοποίηση των εξισώσεων Navir Stoks, αλλά ταυτόχρονα και αλλαγή της φύσης (χαρακτήρα) αυτών. Οι εξισώσεις λοιπόν του οριακού στρώματος, για διδιάστατη ροή ομογενούς και ασυμπιέστου, πραγματικού ρευστού και σε σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων Oxyz, έχουν την κάτωθι μορφή: u u u + u + υ t x y u υ + = x y 1 dp u = + ν ρ dx y (3) με τις ακόλουθες συνοριακές συνθήκες: για y = : u =, υ = (4α) για y : u u ( x, t) (4β) όπου u ( x, t) είναι η (γνωστή) ελεύθερη ρευματική ταχύτητα. Παρατηρούμε εδώ ότι το σύστημα (3) περιέχει μία μόνο εξίσωση ορμής, που είναι αυτή που προκύπτει από την απλοποίηση της εξίσωσης ορμής Navir Stoks κατά την x -διεύθυνση. Η εξίσωση ορμής κατά την y -διεύθυνση παραλείπεται, αφού απλοποιείται τελικά στην P ~ (5) y που στην ουσία υποδηλώνει ότι η πίεση εντός του οριακού στρώματος επιβάλλεται από την εξωτερική δυναμική ροή. Έτσι, η κατανομή της πίεσης μέσα στο οριακό στρώμα προκύπτει με τη βοήθεια της εξίσωσης Brnoulli: u u 1 dp + u = (6) t x ρ dx Οι εξισώσεις του οριακού στρώματος είναι τώρα παραβολικού τύπου και κατά συνέπεια θα περιγράφουν διάχυση, εδώ τη διάχυση μέσα στο ρευστό της στροβιλότητας του πεδίου ταχυτήτων, που τώρα προκύπτει ως αποτέλεσμα της κίνησης του στερεού ορίου γύρω από το οποίο δημιουργείται το οριακό στρώμα

39 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΙΙΙ Hrman Schlichting, Boundary Layr Thory, Svnth Edition, 1987, McGra Hill Classic Txtbook Rissu Sris, πρώτη έκδοση: GRENZSCHICHT THEORIE 1951) Ν.Γ. Καφούσιας, Ρευστομηχανική Ι, 1999, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, πρώτη έκδοση: 1989) Ν.Γ. Καφούσιας, Ρευστομηχανική ΙΙ, 1999, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, πρώτη έκδοση: 199) Ν.Γ. Καφούσιας, Υπολογιστική Ρευστοδυναμική ΙΙ, 1995, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών) Microsoft Encarta Encyclopdia Πηνελόπη Μπαρδή, Η Ιστορική Εξέλιξη της Μηχανικής των Ρευστών μέσα από τη Συμβολή των Κυριοτέρων Επιστημόνων σε Αυτή, 1995 (Διπλωματική Εργασία, Μαθηματικό Τμήμα Πανεπιστημίου Πατρών) [1] M.Navir: Mmoir sur ls lois du movmnt ds fluids. Mm. d l Acad. d Sci. 6, (187) [] G.G.Stoks: On th thoris of intrnal friction of fluids in motion. Trans. Cambr. Phil.Soc. 8, (1845) [3] L.Prandtl, Ubr Flussigkitsbgung bi shr klinr Ribung. Proc. Third Intrn. Math. Congrss, Hidlbrg 194. Rprintd in: Vir Abhandlugn zur Hydround Arodynamik. Gottingn, 197; NACA TM 45 (198)

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙV Θεωρητική Μελέτη της Μεθόδου της Απορρόφησης 1. Εισαγωγή Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Ο απλούστερος τρόπος για να ξεκινήσει η μελέτη της μεθόδου της απορρόφησης και της επίδρασης αυτής στο οριακό στρώμα, σε επίπεδο μαθηματικών εξισώσεων, είναι η θεώρηση της περίπτωσης συνεχούς απορρόφησης. Μια τέτοια κατάσταση μπορεί, για παράδειγμα, να επιτευχθεί με τη βοήθεια μιας πορώδους επίπεδης επιφάνειας, με ομοιόμορφη κατανομή πόρων, που παρεμβάλλεται παράλληλα σε ένα ομοιόμορφο ρεύμα ρευστού ταχύτητας u. Για τη μελέτη αυτή θα χρησιμοποιηθεί ορθογώνιο σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων, με τον άξονα των x να κείται κατά μήκος της επιφάνειας που ορίζεται από το Oxz - επίπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 3.1.1). Σχήμα Η ροή μελετάται στις δύο διαστάσεις, εφ όσον οποιαδήποτε διατομή z = σταθ. και αν θεωρήσουμε, η εικόνα που προκύπτει είναι πανομοιότυπη. Η απορρόφηση θα εμφανιστεί στις εξισώσεις με τη μορφή μη μηδενικής συνιστώσας της ταχύτητας πάνω στο τοίχωμα και κατά διεύθυνση κάθετη σε αυτό. Η συνιστώσα αυτή θα συμβολίζεται ως υ ( ) και θα ισχύει υ σε περίπτωση x απορρόφησης και υ > σε περίπτωση έγχυσης. Ο λόγος της ταχύτητας απορρόφησης προς την ελεύθερη ρευματική ταχύτητα υ πρέπει να παραμένει μικρός, δηλαδή <. 1, ώστε να απορροφώνται ρευστά u <

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής 1.Σκοπός Άσκηση 9 Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής υγρών Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) ενός υγρού. Βασικές θεωρητικές γνώσεις.1

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Περιεχόμενα μαθήματος Βασικές έννοιες, συνεχές μέσο, είδη, μονάδες διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 Εξαναγκασμένη Συναγωγή Εσωτερική Ροή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 Ροή σε Σωλήνες (ie and tube flw) Σε αυτή την διάλεξη θα ασχοληθούμε με τους συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = = Συναγωγή Θερμότητας. QW Ahθ θ Ah θ θ. Βασική Προϋπόθεση ύπαρξης της Συναγωγής: Εξίσωση Συναγωγής (Εξίσωση Newton):

[ ] = = Συναγωγή Θερμότητας. QW Ahθ θ Ah θ θ. Βασική Προϋπόθεση ύπαρξης της Συναγωγής: Εξίσωση Συναγωγής (Εξίσωση Newton): Συναγωγή Θερμότητας: Συναγωγή Θερμότητας Μέσω Συναγωγής μεταδίδεται η θερμότητα μεταξύ της επιφάνειας ενός στερεού σώματος και ενός ρευστού το οποίο βρίσκεται σε κίνηση σχετικά με την επιφάνεια και ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 Θερμοδυναμική και Μετάδοση Θερμότητας 1 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Environmental Fluid Mechanics Laboratory University of Cyprus Department Of Civil & Environmental Engineering ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ HM 134 ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Εγχειρίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Το έργο μίας από τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα. α. είναι μηδέν όταν το σώμα είναι ακίνητο β. έχει πρόσημο το οποίο εξαρτάται από τη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ - ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Δυναμική ενέργεια δυο φορτίων Δυναμική ενέργεια τριών ή περισσοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ρευστών ΙΙ. Εισαγωγή Κανονισμός Βιβλιογραφία. Διδάσκων: Δρ. Θεόδωρος Π. Γεροστάθης, Επικ. Καθηγητής email: tgero@teiath.

Μηχανική Ρευστών ΙΙ. Εισαγωγή Κανονισμός Βιβλιογραφία. Διδάσκων: Δρ. Θεόδωρος Π. Γεροστάθης, Επικ. Καθηγητής email: tgero@teiath. Μηχανική Ρευστών ΙΙ Διδάσκων: Δρ. Θεόδωρος Π. Γεροστάθης, Επικ. Καθηγητής email: tgero@teiath.gr Σκοπός του μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η κατανόηση μεθόδων προτυποποίησης προβλημάτων της μηχανικής

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΑ ΤΟ ΝΕΡΟ

ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΑ ΤΟ ΝΕΡΟ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ είναι ο επιστημονικός κλάδος γνώσεων της μηχανικής των ρευστών, που εξετάζει τα ρευστά που βρίσκονται σε στατική ισορροπία η μεταφέρονται μετατίθενται κινούμενα ως συμπαγή σώματα, χωρίς λόγου

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 ΜΜΚ 31 Μεταφορά Θερμότητας Εξαναγκασμένη Συναγωγή και Σφαίρες ΜΜΚ 31 Μεταφορά Θερμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 και Σφαίρες (flow across cylinders

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΚΑΘΙΣHΣ ΣΤΑΓΟΝΙΔΙΩΝ ΚΑΙ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ ΦΑΡΜΑΚΟΥ ΣΤΗΝ ΡΙΝΙΚΗ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΚΑΘΙΣHΣ ΣΤΑΓΟΝΙΔΙΩΝ ΚΑΙ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ ΦΑΡΜΑΚΟΥ ΣΤΗΝ ΡΙΝΙΚΗ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΚΑΘΙΣHΣ ΣΤΑΓΟΝΙΔΙΩΝ ΚΑΙ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ ΦΑΡΜΑΚΟΥ ΣΤΗΝ ΡΙΝΙΚΗ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ Αλεξόπουλος, A., Καρακώστα Π., και Κυπαρισσίδης Κ. * Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, 54006

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 1 ο. iv) πραγµατοποιεί αντιστρεπτές µεταβολές.

Θέµα 1 ο. iv) πραγµατοποιεί αντιστρεπτές µεταβολές. ΜΑΘΗΜΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Θέµα 1 ο α) Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου πραγµατοποιεί µεταβολή AB από την κατάσταση A (p, V, T ) στην κατάσταση B (p, V 1, T ). i) Ισχύει V 1 = V. ii) Η µεταβολή παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1 ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Προβλήματα μεταφοράς θερμότητας παρουσιάζονται σε κάθε βήμα του μηχανικού της χημικής βιομηχανίας. Ο υπολογισμός των θερμικών απωλειών, η εξοικονόμηση ενέργειας και ο σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΗ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΤΙΗΣ Ι ΤΕΧ/ΗΣ ΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜ : Στις ερωτήσεις - να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στις ερωτήσεις -5 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΓΟΣ VENTURI. Σχήμα 1. Διάταξη πειραματικής συσκευής σωλήνα Venturi.

ΑΓΩΓΟΣ VENTURI. Σχήμα 1. Διάταξη πειραματικής συσκευής σωλήνα Venturi. Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 7 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΓΩΓΟΣ VENTURI ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σκοπός της άσκησης είναι η κατανόηση της χρήσης της συσκευής

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή εργασία Επίδραση Βλάστησης Σε Κεκλιµένο Αγωγό Με Παρουσία Θυρίδας

Πτυχιακή εργασία Επίδραση Βλάστησης Σε Κεκλιµένο Αγωγό Με Παρουσία Θυρίδας Τ.Ε.Ι.Θ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρµογών ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟ ΟΜΗΣ Πτυχιακή εργασία Επίδραση Βλάστησης Σε Κεκλιµένο Αγωγό Με Παρουσία Θυρίδας Επιβλέπων καθηγητής: Κεραµάρης Ευάγγελος Φοιτήτριες: Αργυρίου Ευδοκία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θεωρητικό Μέρος A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις A1, A2, A3, A4 και Β μία μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα

4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα 4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα 4.1 Εισαγωγή 4.1.1 ΜΟΡΙΑΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Ένα ρευστό δεν είναι παρά ένα σύνολο μορίων, τα οποία αφενός κινούνται (έχουν κινητική ενέργεια) και αφετέρου

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών.

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. Μ4 Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή προσδιορίζεται πειραματικά η πυκνότητα του υλικού ενός στερεού σώματος. Το στερεό αυτό σώμα βυθίζεται ή επιπλέει σε υγρό γνωστής πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις Α1 έως Α3 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Α1. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 13 Απριλίου 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) σελίδες και έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΗΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΗΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΗΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΠΑΡΙΑΝΟΥ ΘΕΟΔΩΡΑ 2014 Από πολύ νωρίς το σχήμα των οχημάτων επηρέασε σε μεγάλο βαθμό κατασκευαστές, επιστήμονες και μηχανικούς καθώς συνδέεται άμεσα με την αεροδυναμική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. Οµάδα Γ.

2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. Οµάδα Γ. 2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. Οµάδα Γ. 2.2.21. Έργο και µέγιστη Κινητική Ενέργεια. Ένα σώµα µάζας 2kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και σε µια στιγµή περνά από την θέση x=0 έχοντας ταχύτητα υ 0 =8m/s,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΑΡΕΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑ 1 Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στη κολλά σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:...

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:... ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: Φυσική ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΊΑ: 27 Μαίου 2011 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΩΡΑ: 11.00 1.00 ΒΑΘΜΟΣ: Αριθμητικά:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί απλή αρμονική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕIΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡIΟ ΘΕΡΜIΚΩΝ ΣΤΡΟΒIΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές Εργαστηριακή Ασκηση Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Κ. Μαθιουδάκη Καθηγητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) Θέµα 1 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) 1.1 Πολλαπλής επιλογής A. Ελαστική ονοµάζεται η κρούση στην οποία: α. οι ταχύτητες των σωµάτων πριν και µετά την κρούση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 28 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 9 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών Ι Δρ.

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 9 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών Ι Δρ. Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 9 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών Ι Δρ Μενέλαος Θεοχάρης 61 Γενικά Η ροή του υπόγειου νερού ονομάζεται ασταθής,

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΑΓΩΓΗ () Νυμφοδώρα Παπασιώπη Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου A Λυκείου Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο 10 Μαρτίου 2012 Στις ερωτήσεις A, B, Γ, Δ i), Δ ii) μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι:

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Χρήσεις της διαστατικής ανάλυσης Η διαστατική ανάλυση είναι μία τεχνική που κάνει χρήση της μελέτης των διαστάσεων για τη λύση των προβλημάτων της Ρευστομηχανικής. Οι εφαρμογές της διαστατικής

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία στερεού. 3.2.8. Ποιες είναι οι δυνάμεις που ασκούνται; 3.2.9. Ένας Κύλινδρος Πάνω σε μια Σφήνα. Υλικό Φυσικής Χημείας

Ισορροπία στερεού. 3.2.8. Ποιες είναι οι δυνάμεις που ασκούνται; 3.2.9. Ένας Κύλινδρος Πάνω σε μια Σφήνα. Υλικό Φυσικής Χημείας 3.2.. 3.2.1. Ροπές και ισορροπία. Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται μια ράβδος μήκους l=4m, η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το μέσον της Ο. Ασκούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Κεφάλαιο : Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Το ποδόσφαιρο κατέχει αδιαμφισβήτητα τη θέση του βασιλιά όλων των αθλημάτων. Είναι το μέσο εκείνο που ενώνει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλον τον κόσμο επηρεάζοντας ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο της άσκησης

Περιεχόμενο της άσκησης Προαπαιτούμενες γνώσεις Επαφή p- Στάθμη Fermi Χαρακτηριστική ρεύματος-τάσης Ορθή και ανάστροφη πόλωση Περιεχόμενο της άσκησης Οι επαφές p- παρουσιάζουν σημαντικό ενδιαφέρον επειδή βρίσκουν εφαρμογή στη

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση Πολυφασικών Ροών

Προσομοίωση Πολυφασικών Ροών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ - ΤΟΜΕΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ UNIVERSITY OF PATRAS-ENGINEERING SCHOOL MECHANICAL ENGINEERING AND AERONAUTICS

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Το μανόμετρο (1) που βρίσκεται στην πάνω πλευρά του δοχείου δείχνει πίεση Ρ1 = 1,2 10 5 N / m 2 (ή Ρα).

Το μανόμετρο (1) που βρίσκεται στην πάνω πλευρά του δοχείου δείχνει πίεση Ρ1 = 1,2 10 5 N / m 2 (ή Ρα). 1. Το κυβικό δοχείο του σχήματος ακμής h = 2 m είναι γεμάτο με υγρό πυκνότητας ρ = 1,1 10³ kg / m³. Το έμβολο που κλείνει το δοχείο έχει διατομή Α = 100 cm². Το μανόμετρο (1) που βρίσκεται στην πάνω πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ.

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ. 1.1. Οµάδα Γ. 1.1.21. Πληροφορίες από το διάγραµµα θέσης-χρόνου..ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και στο διάγραµµα βλέπετε τη θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Βρείτε την κλίση στο διάγραµµα x-t στις

Διαβάστε περισσότερα

Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός

Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός 1 ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Α. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Βιομηχανική επανάσταση ατμομηχανές καύσιμα μηχανές απόδοση μιας μηχανής φως θερμότητα ηλεκτρισμός κ.τ.λ Οι δυνάμεις δεν επαρκούν πάντα στη μελέτη των αλληλεπιδράσεων Ανεπαρκείς

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Β' τάξη Γενικού Λυκείου. Κεφάλαιο 1 Κινητική θεωρία αερίων

Β' τάξη Γενικού Λυκείου. Κεφάλαιο 1 Κινητική θεωρία αερίων Β' τάξη Γενικού Λυκείου Κεφάλαιο 1 Κινητική θεωρία αερίων Κεφάλαιο 1 Κινητική θεωρία αερίων Χιωτέλης Ιωάννης Γενικό Λύκειο Πελοπίου 1.1 Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα αντιστοιχεί σε ισοβαρή μεταβολή;

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί)

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ : Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης απλός (χωρίς δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ύναµη: αλληλεπίδραση µεταξύ δύο σωµάτων ή µεταξύ ενός σώµατος και του περιβάλλοντός του (πεδίο δυνάµεων). υνάµεις επαφής Τριβή Τάσεις Βάρος Μέτρο και

ύναµη: αλληλεπίδραση µεταξύ δύο σωµάτων ή µεταξύ ενός σώµατος και του περιβάλλοντός του (πεδίο δυνάµεων). υνάµεις επαφής Τριβή Τάσεις Βάρος Μέτρο και ύναµη: αλληλεπίδραση µεταξύ δύο σωµάτων ή µεταξύ ενός σώµατος και του περιβάλλοντός του (πεδίο δυνάµεων). υνάµεις επαφής Τριβή Τάσεις Βάρος Μέτρο και φορά Συµβολίζεται µε F, µονάδα µέτρησης Newton (N).

Διαβάστε περισσότερα

F r. www.ylikonet.gr 1

F r. www.ylikonet.gr 1 3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης Η πραγµατική επιφάνεια ξήρανσης είναι διασπαρµένη και ασυνεχής και ο µηχανισµός από τον οποίο ελέγχεται ο ρυθµός ξήρανσης συνίσταται στην διάχυση της θερµότητας και της µάζας µέσα από το πορώδες στερεό.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κατεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις: Σε ισόχωρη αντιστρεπτή θέρµανση ιδανικού αερίου, η

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Αγγελίδης Π., Αναπλ. καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΑΝΩΣΤΙΚΗ ΦΛΕΒΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΣΤΡΩΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 014 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις από Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Εισαγωγή στην Υδραυλική Αντικείμενο Πυκνότητα και ειδικό βάρος σωμάτων Συστήματα μονάδων Ιξώδες ρευστού, επιφανειακή τάση, τριχοειδή φαινόμενα Υδροστατική πίεση Εισαγωγή Ρευστομηχανική = Μηχανικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίου, 2013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίμιο αποτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. 2) Να απαντήσετε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:...

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 010-011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 011 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... Ημερομηνία: 7/05/011 Διάρκεια: ώρες Ονοματεπώνυμο:... Τμήμα:...

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η επιστήμη της Θερμοδυναμικής (Thermodynamics) συσχετίζεται με το ποσό της μεταφερόμενης ενέργειας (έργου ή θερμότητας) από ένα σύστημα προς ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα