Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης

2 Η καµπτική επιρροή αναµένεται να φθίνει σε κάποια κοντινή απόσταση από το σύνορο, δηµιουργώντας µία τοπική ένταση. Αυτό µπορεί να φανεί και από την χαρακτηριστική εξίσωση για κ / (1-v ) = 10-6 που αντιστοιχεί σε t/α = για ν = 0. και t/α = για ν = 0 που αποτελούν συνήθεις περιπτώσεις. 15 κ µ κ 1 µ Για παράδειγµα ας θεωρήσουµε τις παρακάτω δύο κυλινδρικές στέγες από σκυρόδεµα.

3 α 10 ο L κοντός κύλινδρος α 60 ο L µακρύς κύλινδρος Τυπικές κυλινδρικές στέγες: (α) κοντός κύλινδρος, (β) µακρύς κύλινδρος Η πρώτη στέγη αποτελείται από τρία κελύφη µεταξύ των ενισχύσεων, L/ =.6. Για n=1 προκύπτει λ=5.4 και κ 1 < κ, κ 1=5.1. Έτσι η διαταραχή θα ξεκινήσει µε τιµή 1 στο άκρο φ=0 και θα µειωθεί στο e = στο άκρο φ=10 ο. Για µεγαλύτερες αρµονικές n>1, η µείωση είναι ακόµη πιο απότοµη. Για απαίτηση µείωσης στο 0.01 απαιτείται µήκος L/.6. Αντίθετα σε µακρά κυλινδρικά κελύφη για L/α=.5 προκύπτει λ=1.6 για n=1. Έτσι, κ 1 =. και για γωνία 60 ο =1.047, η διαταραχή από 1 µειώνεται µόλις στο e ( ) =0.097 περίπου ίσο µε το 10%. Η µείωση αυτή είναι µεγαλύτερη για πιο παχιά κελύφη και για µεγαλύτερες αρµονικές ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΡΟΥ Στην περίπτωση αυτή η λύση µπορεί να απλοποιηθεί. Με αρχή των γωνιών στο συγκεκριµένο σύνορο φ=0, οι όροι j=5,6,7,8 στις γενικές σχέσεις πρέπει να αποµακρυνθούν καθόσον µεγαλώνουν εκθετικά τους όρους µακράν του φ=0. Προκύπτει έτσι:

4 4 κφ u 1 n e A1 A 1 i A1 A 1 ( ) cos( µ φ ) ( ) sin( µ φ) = κ φ e A A4 i A A4 ( ) cos( µ φ ) ( ) sin( µ φ) κφ 1 n e B1 B 1 i B1 B 1 ( ) cos( ) ( ) sin( ) υ = µ φ µ φ κ φ e B B4 i B B4 ( ) cos( µ φ ) ( ) sin( µ φ) κφ w 1 n e C1 C 1 i C1 C 1 ( ) cos( µ φ ) ( ) sin( µ φ) = κ φ e C C4 i C C4 ( ) cos( µ φ ) ( ) sin( µ φ) (9.1) (9.) (9.) Οι τιµές των u n, υ n, w n είναι προφανώς πραγµατικές. Έτσι τα ιδιοδιανύσµατα A i, B i, C i εν γένει µιγαδικά µπορούν να εκφραστούν µε βάση το πραγµατικό και φανταστικό µέρος τους και να δώσουν τελικά πραγµατικές τιµές για τις µετακινήσεις. Έτσι οι αρµονικές των µετακινήσεων και των εντατικών µεγεθών λαµβάνουν µία ενιαία µορφή ως εξής: cos λ = ( ) cos( µ φ ) ( ) sin( µ φ) sin κ φ cos λ ce ( C C 4 4) cos( µ φ ) ( C 4 C 4 ) sin( µ φ) sin κφ f Ce 1 C 1 1 C 1 C 1 C1 1 (9.4) Οι τιµές των C και α 1, α δίδονται από τον παρακάτω πίνακα. Για τα α και α 4 χρησιµοποιούνται οι ίδιες σχέσεις του πίνακα αντικαθιστώντας τον δείκτη 1 σε για τα κ και µ και τους δείκτες 1, σε, 4 για τα, β. f C α1 α sym fctor u 1 1 sym. cos υ 1 β 1 β nti. sin

5 5 w sym. sin w 1 -κ1 µ1 nti. sin N φ D / α ( ) k( κ 1 µ 1) 1 k κβ µ β vλ ( κβ 1 µ 1β1) vλ kκµ 1 1 sym. sin D / α N λ 1 v v ( κβ 1 1 µ 1β) k λ λ v( κβ 1 µ 1β1) sym. sin D (1-v) / α N φ ( 1 k)( κ 11 µ 1) λβ1 kλκ1 ( 1 k)( κ 1 µ 11) λβ kλµ 1 nti. cos D (1-v) / α N ( κ ) ( ) φ 11 µ 1 1 k λβ1 kλκ 1 ( κ µ ) ( 1 k) λβ kλµ nti. cos K / α M φ ( 1 1) 1 κ µ vλ κ 1µ 1 sym. sin K / α M λ λ1 v( κ 1 µ 1) v( κβ 1 1 µ 1β) ( ) sym. sin λ vκµ v κβ µ β K (1-v) / α M λκ φ 1 ( κ 11 µ 1) λβ1 λµ ( κ µ ) λβ nti. cos K (1-v) / α M λκ φ ( 1 β1) λ ( µ 1 β) nti. cos K / α Q φ κ ( 1 λ 1 κ 1 µ 1) ( 1 v) λβ1 1( 1 1 1) ( 1 v) nti. sin µ λ κ µ λ

6 6 Q ( ) K / α ( )( ) ( 1 v) λκβ ( 1 1 µ 1β) λ λ κ µ λ 1 v κ 1 µ 1 1 κ 1µ λ 4λκ µ ( 1 v )( κ 1 µ 1) κ 1µ 1 1 ( 1 v) λκβ ( 1 µ 1β1) sym. cos S φ K / α κ 1 1 ( v) λ κ 1 µ 1 ( 1 v) λκ ( µ ) ( 1 v) λ β µ 1 1 ( v) λ κ 1 µ 1 ( 1 v) λκ ( µ ) 1 ( v) λβ nti. sin

7 7 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΕΝΤΑΣΗ Όταν οι γενέτειρες διατάσσονται συµµετρικά φ=± φ και η φόρτιση είναι συµµετρική ως προς φ=0, τότε δεν µπορεί να αποµακρυνθούν οι λύσεις, j=5, 6, 7, 8, αλλά µπορεί να συνδυαστούν οι εκθετικοί όροι ώστε να προκύψουν cosh και sinh όροι ως εξής: ο n ( 1 5 6) cosh( κφ 1 ) cos( µφ 1 ) i( C1 C C5 C6) sinh( κ1φ ) sin( µφ 1 ) ( C1 C C5 C6) sinh( κφ 1 ) cos( µφ 1 ) ic ( C C C) cosh( κφ ) sin( µφ) w = C C C C (9.5) Λόγω δε συµµετρίας, οι αντισυµµετρικοί όροι µηδενίζονται δηλαδή οι όροι cosh(κ 1 φ)sin(µ 1 φ) και sinh(κ 1 φ)cos(µ 1 φ). Από όπου προκύπτει : C = C και C = C (9.6) Έτσι, διώχνοντας παντού τον συντελεστή έχουµε: n ( 1 ) cosh( κφ 1 ) cos( µφ 1 ) ic ( 1 C) sinh( κφ 1 ) sin( µφ 1 ) ( C C4) cosh( κφ ) cos( µ φ) ( C C ) sinh( κφ ) sin( µφ) w = C C 4 (9.7) Για την εύρεση των u n και υ n οι συντελεστές C j θα πρέπει να αντικατασταθούν από τους A j και B j, αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας δε τα µιγαδικά ιδιοδιανύσµατα προκύπτει: n ( 1 1 ) cosh ( κ1φ ) cos( µφ 1 ) ( 1 1) sinh ( κ1φ ) sin ( µφ 1 ) ( C C 4 4) cosh ( κφ ) cos( µ φ) ( C 4 C 4 ) sinh ( κφ ) sin ( µ φ) u = C C C C ( 1 1 ) sinh( 1 ) cos( 1 ) ( 1 1) cosh ( 1 ) sin( 1 ) ( βc β4c4) sinh( κφ ) cos( µ φ) ( βc4 β4c) cosh ( κφ ) sin( µ φ) υn = β C β C κ φ µφ β C β C κ φ µφ (9.8) (9.9)

8 8 Έτσι διαπιστώνουµε ότι τα συµµετρικά µεγέθη έχουν ενιαία διατύπωση µε το u n και w n, ενώ τα αντισυµµετρικά αντίστοιχη του υ n. cos λ fs = C ( C 1 1 C ) cosh ( κφ 1 ) cos( µφ 1 ) ( C 1 C 1) sinh ( κφ 1 ) sin ( µφ 1 ) sin cos λ C ( C 4C4) cosh ( κφ ) cos( µφ ) ( C4 4C) sinh ( κφ ) sin ( µφ ) sin (9.10) cos λ f = C ( C 1 1 C) sinh ( κφ 1 ) cos( µφ 1 ) ( C 1 C1) cosh ( κφ 1 ) sin ( µφ 1 ) sin cos λ C ( C 4C4) sinh ( κφ ) cos( µφ ) ( C4 4C) cosh ( κφ ) sin ( µφ ) sin (9.11) Οι συντελεστές από τον προηγούµενο πίνακα.

9 ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΕΣ ΕΞΑΜΕΝΕΣ 9 ( ) P = γ h r α dφ h t N φ Q dq Μ dμ Μ φ α α Μ Μ φ N φ Q Για γεµάτη δεξαµενή ισχύει: Η µεµβρανική περιφερειακή δύναµη: r ( ) P = γ h (9.1) ( ) N = γ h (9.1) φ η οποία προκαλεί µία ε φ και τέλος µία ακτινική µετατόπιση: γ w= h D ( ) ( ) 1 v (9.14) Aντί της εφαρµογής της γενικής λύσης µπορεί να δοθεί η παρακάτω ειδική λύση:

10 Οι δύο µη ταυτοτικές εξισώσεις ισορροπίας είναι: 10 Q N = P (9.15) φ r M Q = 0 (9.16) Αποµακρύνοντας από τις γενικές σχέσεις τους όρους υ και τις παραγώγους της ως προς φ, καθώς και τους όρους µε συντελεστή Κ στην ορθή δύναµη και τον όρο µε u στην Μ, καταλήγουµε: D Nφ = ( w vu ) (9.17) D N = ( u vw) (9.18) M K = w (9.19) Επειδή στο πρόβληµά µας Ν =0 επιλύουµε την δεύτερη ως προς u και αντικαθιστούµε στην πρώτη: N φ ( 1 v ) D = w (9.0) Προκύπτουν έτσι 4 εξισώσεις µε 4 αγνώστους, τα Ν φ, Q, M και w. Από τις εξισώσεις ισορροπίας προκύπτει: r M N = P (9.1) φ ( ) ( ) 1 4 r Kw D v w = P (9.)

11 11 Επίλυση για σταθερό πάχος Η εξίσωση γίνεται IV ( 1 ) 4 r Kw D v w = P (9.) που επιδέχεται ως γενική λύση της οµογενούς (P 1 =0) την w= Ce λ (9.4) Εισάγοντας την λύση στην εξίσωση προκύπτει η χαρακτηριστική αλγεβρική εξίσωση: 4 4 λ 4κ = 0 (9.5) όπου: ( 1 ) 4 D v κ = = 1 ( v ) (9.6) 4K t Οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι: δηλαδή ζεύγη συζυγών µιγαδικών. Έτσι η γενική λύση γράφεται: ( 1 i) λ = ± ± κ (9.7) κ κ 1 4 κ κ κ κ w= e C cos C sin e C cos C sin (9.8) Για την συνοριακή συνθήκη στη βάση απαιτείται:

12 1 κ κ κ w = κe ( C1 C) cos ( C1 C) sin κ κ κ κe ( C C4) cos ( C C4) sin (9.9) Αντικαθιστώντας προκύπτουν: Kκ κ κ M = e C 1sin Ccos κ κ Kκ κ κ e C sin C4cos (9.0) Kκ κ κ Q = e ( C1 C) cos ( C1 C) sin κ κ Kκ κ κ e ( C C4) cos ( C C4) sin (9.1) Οι όροι µε συντελεστές C 1, C µειώνονται αυξανοµένου του, ενώ αντίθετα οι όροι µε C, C 4 αυξάνουν. Έτσι, µπορούµε να εκφράσουµε τη λύση µε όρους που έχουν συµβολή στα δύο λακρα ως εξής: κ κ κ w= e A1cos Asin κ ( L ) κ( L ) κ( L ) e B1cos Bsin (9.) καθορίζοντας τα Α 1, Α από τις συνοριακές συνθήκες στο =0 και τα Β 1, Β ανεξάρτητα στο =L.

13 1 Ε Ξ Α Μ Ε Ν Ε Σ Μία γεµάτη δεξαµενή µε νερό εκδηλώνει µία ακτινική µετατόπιση σύµφωνα µε τη µεµβρανική θεωρία: γ w= h D ( ) ( ) 1 v (9.) Η λύση αυτή ικανοποιεί και την εξίσωση της καµπτικής θεωρίας. Επιπλέον, ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες στο ελεύθερο άκρο καθόσον στο = h w= 0 w = 0 w = 0 (9.4) δηλαδή όλες τις Σ.Σ. όπως επίσης και συνθήκες ελεύθερης έδρασης στο =0, δηλαδή w=0, w =0. Μένει να ικανοποιηθούν οι συνοριακές συνθήκες στο άκρο =0, όπου πρέπει να επιβληθούν δυνάµεις Η=Q και ροπές Μ=Μ. Στην περίπτωση δε υψηλής δεξαµενής, οι όροι µε τους συντελεστές Β1, Β µπορούν να θεωρηθούν µικροί, οπότε: γ κ κ w= h e A1cos Asin D ( ) ( ) 1 v κ (9.5) και γ κ κ w κe = ( A1 A) cos ( A1 A) sin D ( 1 v ) κ (9.6) Στην απλούστερη περίπτωση στο =0, η πλάκα του πυθµένα µπορεί να θεωρηθεί άκαµπτη, οπότε

14 14 στο = h w= 0 w = 0 (9.7) που παρέχουν δύο εξισώσεις για τον προσδιορισµό των Α 1 και Α. Έτσι: γ κ κ κ κ w= h he cos h e sin Et κ (9.8) και κ κ κ κ Nφ = γ h he cos h e sin κ γ t κ κ κ κ M = h e cos he sin 1 1 κ ( v ) γ tκ κ κ κ κ Q = h e cos e sin 1 1 κ κ ( v ) (9.9) (9.40) (9.41) εξαµενή πλήρης υγρού N φ, w M h t

15 15 Η καµπύλη της Νφ είναι ανάλογη του w. Στην περίπτωση ελαστικών πλακών στην οροφή ή/και στη βάση η υπερστατικότητα του προβλήµατος αίρεται µε βάση τη µέθοδο των δυνάµεων. t s P s X 1 t Αλλάζοντας την αρχή των αξόνων =0 άνω προκύπτει: w= D γ ( 1 v ) (9.4) Σ το = 0 w = 0 M = X 1 (9.4) οπότε: w γ = X D Kκ ( 1 v ) 1 (9.44) Από την επίλυση της πλάκας µε οµοιόµορφο φορτίο P s, η κλίση στο άκρο εκφράζεται από την σχέση:

16 16 P s ω = 8K 1 v K 1 v s ( ) ( ) s X 1 (9.45) όπου: K s Ets = 1 1 ( v ) (9.46) Η εξίσωση συµβιβαστού της σχετικής στροφής στο άνω άκρο ω - w /α γίνεται: δ 10 δ11x1 0 = (9.47) όπου: γ P s δ 10 = D 8 1 δ 11 ( 1 v ) Ks ( v) = Kκ K 1 v s ( ) (9.48) (9.49) από όπου επιλύεται και βρίσκεται το Χ1 και στην συνέχεια τα w, Nφ, Μ, Q. Ξεχωρίζοντας το υγρό και την οµοιόµορφη φόρτιση Ps έχουµε: ( v) ( ) κ γ K 1 1 s κ w= e sin D( 1 v ) Kκ Ks 1 v (9.50) M = κ γkksκ κ e cos D( 1 v) Kκ Ks ( 1 v) (9.51) Λόγω του φορτίου P s προκύπτει:

17 17 4 κ P s κ w= e sin 8κ Kκ Ks ( 1 v) (9.5) M 4 P s Kκ κ = e cos 4 Kκ K 1 v s ( ) κ (9.5) ίσες M r πλάκας M r 0 ίσες M t s M α t α) Λόγω γ β) Λόγω P s