Μαθηματικά και Γλώσσα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά και Γλώσσα"

Transcript

1

2 Μαθηματικά και Γλώσσα Κων. Α. Δρόσος Αναπληρωτής Καθηγητής Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Στόχος αυτής της ομιλίας μου είναι να εκθέσω τη οασική άποψη, ότι δηλαδή τα μαθηματικά, κάτω από μια κατάλληλη θέαση, μπορούν να θεωρηθούν ως επιστήμη, όπως όλες οι εμπειρικές επιστήμες, και ότι τελικά η εμπειρία μπορεί να αλλάζει και τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων αλλά και τη γλώσσα και τους λογικούς κανόνες με τους οποίους αναφερόμαστε στα αντικείμενα αυτά. Πρώτα-πρώτα θα ήθελα να σας ζητήσω συγγνώμη, γιατί η σημερινή ομιλία μου είνα ι μάλλον ένας aυτοσχεδιασμός της τελευταίας στιγμής. Το θέμα, οεοαίως, με έχει απασχολήσει σ' όλη μου σχεδόν την επιστημονική δραστηριότητα, και το γεγονός αυτό ελπίζω να είναι καθοριστικός παράγων για μια επιτυχή «ανάδυση» των ο ασικών διαστάσεων του θέματος. Αρχίζοντας από τον τίτλο της ομιλίας μου, είναι φανερό ότι το θέμα μου σχετίζεται, αν κιόλας δεν ταυτίζεται, με τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Είναι, οεοαίως, προφανές ότι στον λίγο διαθέσιμο χρόνο δεν είναι δυνατόν να περιμένει κανείς μια έστω και στοιχειώδη κάλυψη του θέματος. Οστόχος μου λοιπόν είναι μάλλον περιορισμένος και είναι να δώσω μια κάπως προσωπική άποψη, που οεοαίως είναι άποψη

3 288 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 289 και άλλων ατόμων που εργάζονται στην ίδια επιστημονική περιοχή, ότι δηλαδή τα μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ως επιστήμη, όπως όλες οι εμπειρικές επιστήμ ες, και ότι τελικά η εμπειρία μπορεί να αλλάζει και τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων αλλά και τη γλώσσα και τους λογικούς κανόνες με τους οποίους αναφερόμαστε στα αντικείμενα αυτά. Χαρακτηριστικό είναι και το ακόλουθο απόσπασμα 2 : «Τ ον Φεορουάριο του 1990, στην ετήσια συνάντηση της American Association for the Advancement of Science, στην Νέα Ορλεάνη, συνήλθε μια σύνοδος με τον τίτλο "New Directions in the Philosophy of Mathematics" στο πρόγραμμα της οποίας υπήρχε το ακόλουθο χωρίο: 'Ή φιλοσοφία των μαθηματικών αρχίζει να δείχνει μια νέα ζωή, μετά από δεκαετίες στασιμότητας. Τα τρία κλασικά προγράμματα -Φορμαλισμός, Λογικισμός, και Ιντου "ίσιονισμός- που η εισαγωγή τους χρονολογείται στις αρχές του αιώνα ή και πιο πριν, έχουν προ πολλού φθάσει σε αδιέξοδο κατά την αναζήτησή τους για ακλόνητα μαθηματικά θεμέλια. Αυτή η εμπε ι ρία είναι μία από τις κύριες αιτίες για την αναζήτηση νέων κατευθύνσεων. Η δεύτερη αιτία είναι η τρέχουσα ολοκλήρωση, της πληροφορικής στην καθαρή μαθηματική έρευνα, που είναι ασυμοίοαστη με τις παραδοσιακές αντιλήψεις περί μαθηματικής αλήθειας και οεοαιότητας. Συνακόλουθα αναπτύσσεται μια αναζήτηση για μια φιλοσοφία των μαθηματικών που θα αποδέχεται το 'σφάλ μα ' στα μαθηματικά, που θα θεμελιώνονται πάνω σε μια ρεαλιστική ε ικόνα των μαθηματικών, και που θα περιλαμοάνει όχι μόνον την καθαρή μαθηματική έρευνα, αλλά και τη διαδασκαλία και τις εφαρ μογές των μαθηματικών"». Πολύς κόσμος, μεταξύ των οποίων και επαγγελματίες μα θηματικοί, έχουν εκθειάσει τη «οεοαιό τητα» την «ακρίοε ια» και την «αυστηρότητα» των μαθηματικών. Έτσι, λοιπόν, οι περισσότεροι όταν λένε μαθηματικά εννοούν αποκλειστικά τα δίτιμα μαθηματικά, όπου οι προτάσεις παίρνουν μόνον δύο τιμές αλήθειας, εννοούν μαθηματι- κά που δεν επιδέχο νται καμιά αμφ ι οολία, δεν ε μπεριέχουν ασάφειες και λάθη κ.λπ. Αυτή η απόλυτη αντίληψη για τα μαθηματικά υπάρχει, και είναι αυτή που εκφράζεται, ως πλατωνικά-καντοριανά μαθηματικά. Με την ομιλία μου αυτή, θα ήθελα να δείξω ότι υπάρχουν και άλλες εναλλακτικές θεωρήσεις, που οδηγούν στα μη καντοριανά μαθηματικά και στις πλειότιμες λογικές, και να εναντιωθώ στο μονοπώλιο της κλασικής αντίληψης. Έστω λοιπόν το ακόλουθο σχήμα: Πραγματικός Ειδετική Απόλυτα Καντοριανά Μαθηματικά και δίτιμη λογική Αναγωγή Κόσμος (Καντοριανός Πλατωνισμός) Όταν λέμε πραγματικό κόσμο υποθέτουμε συνήθως τον μακροσκοπικό φαινόμενο κόσμο και όχι π.χ. μικροσκοπικά ή μεγασκοπικά επίπεδα (π.χ. κοαντικό επίπεδο κ.λπ.). Αυτά τα επίπεδα προκύπτουν στα μαθηματικά ως μη συμοατικές πραγματικότητες της ειδετικής αναγωγής του φαινόμενου μακροσκοπικού κόσμου. Μέσα από την πλατων ική ειδετική αναγωγή ο μακροσκοπικός αυτός κόσμος ανάγεται σε «ουσίες», «έννο ιες», κ.λπ. και στα μαθηματικά μπορούμε να ταυτίσουμε την αναγωγή αυτή με τη συνολοθεωρία των Zermelo-Fraenkel μαζί με το Αξίωμα της Επιλογής (ZFC). Η μαθηματική αυτή πραγματικότητα, παρ' όλους τους περιορισμούς που προέρχονται από το θεώρημα μη-πληρότητας του Godel, καθώς και από τα θεωρήματα των Lowenheim- Skolem, είναι πράγματι δίτιμη, δεν μεταοάλλεται, είναι οέοα ια και αδιάσειστη, μπορεί δε κανείς να υποστηρίξει ότι έχε ι και μια μεγάλη αυτονομία από τον πραγματικό κόσμο από τον οποίο προήλθε. Αυτά αποτελούν

4 290 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 291 τα λεγόμενα «κλασσικά μαθηματικά» και είναι επόμενο η μαθηματική γλώσσα που περιγράφει τις ιδέες-έννοιες να είναι δίτιμη, χωρίς ενδιάμεσες τιμές, χωρίς ασάφειες και αοεοαιότητες. Μετά από αυτή τη σύντομη παρουσίαση του εννοιολογικού υπόοαθρου των κλασσικών μαθηματικών, τίθεται το οασικό ερώτημα: εμπειρισμός ή aπριορισμός Ο aπριορισμός ταιριάζει καλύτερα στα κλασσικά απόλυτα μαθηματικά: τον Καντοριανό Πλατωνισμό. Οι «μαθηματικές ιδέες» και η δίτιμη λογική έχουν αποκτήσει μια σχετική αλλά μεγάλη αυτονομία από τη μακροσκοπική πραγματικότητα από την οποία προήλθαν. Δεν αναμένεται λοιπόν η μελλοντική μας εμπειρία να αλλάξει αυτή την πλασματική πραγματικότητα (virtual reality) του νου, ούτε την τυπική γλώσσα και δίτιμη λογική με την οποία αυτά εκφράζονται. Σ' αυτόν τον Καντοριανό Πλατωνισμό είναι φυσικό να σκεφθεί κανείς ότι, περιοριζόμενοι μόνον σε μια τυπική μαθηματική γλώσσα μέσα στην οποία έχουν aντανακλαστεί οι μαθηματικές ιδέες, θα ήταν δυνατό να εκφράσουμε όλα τα μαθηματικά με έναν συντακτικό τρόπο. Ένα τέτοιο πρόγραμμα είναι και ο Λογικισμός, που εισήχθη από τον Russell και τον Whitehead και συνεχίστηκε από τον Κύκλο της Βιέννης και το οποίο ήθελε να εκφράσει όλα τα μαθηματικά με τη χρήση μιας τυπικής μαθηματικής γλώσσας. Ο δε οασικός του ισχυρισμός είναι ότι τα μαθηματικά είναι ένας κλάδος της Λογικής. Το πρόγραμμα αυτό είχε μια επιτυχία γύρω στο 80%. Ο λογικισμός επιζητεί να σπρώξει τα θεμέλια των μαθηματικών όσο οαθύτερα γίνεται, δηλαδή στη μαθηματική γλώσσα και την τυπική λογική. Από τις εργασίες όμως του Lawvere, είναι γνωστό ότι το οασικό διαλεκτικό σχήμα για τα μαθηματικά είναι, Γεωμετρία Η Λογική. Η προσπάθεια αναγωγής της Γεωμετρίας στη Λογική με ταυτόχρονη κατάργηση του πιο πάνω διαλεκτικού σχήματος ήταν από την αρχή καταδικασμένη. Ωστόσο, τα κέρδη σε γνώσεις της aνθρωπότητας από αυτήν την άσκηση ήταν μεγάλα. Μια δεύτερη γνωστή σχολή είναι ο φορμαλισμός ή τυποκρατία, ο οποίος ισχυρίζεται ότι τα μαθηματικά ασχολούνται με τυπικά συμοολικά συστήματα, που οασίζονται στις τυπικές μαθηματικές γλώσσες, και αρνούνται κάθε σημασία και ερμηνεία στα σύμοολα αυτά. Δέχεται το συντακτικό επίπεδο και απορρίπτει το σημασιολογικό επίπεδο. Για τον φορμαλισμό η μαθηματική οντολογία απουσιάζει τελείως από τον προοληματισμό του, και έτσι τα σύμοολα δεν έχουν καμιά σημασία ή ερμηνεία! Έτσι λοιπόν, όταν οι φιλόσοφοι αρχίζουν τις δύσκολες ερωτήσεις στους μαθηματικούς, αυτοί οχυρώνονται πίσω από τον φορμαλισμό, λέγοντας ότι «εμείς ασχολούμαστε με κάποια σύμοολα χωρίς καμιά σημασία, τα σύμοολα αυτά έχουν κάποιους κανόνες (αξιώματα) και δεν κάνουμε τίποτε άλλο από το να παράγουμε κάποια έγκυρα συμπεράσματα». 3 Ο φορμαλισμός ήταν η κυρίαρχη μαθηματική φιλοσοφία στη οιομηχανική περίοδο, για το λόγο ότι ο μαθηματικόςφορμαλιστής είναι περισσότερο παραγωγικός, και όπως είναι γνωστό το οασικό αίτημα της οιομηχανικής εποχής ήταν η παραγωγικότητα και η απόδοση του <φublish or paish». Στη συνέχεια έχουμε μια άλλη σχολή, τον ενορατισμό ή διαισθητισμό που πολλές φορές λέγεται και ιντουϊσιονισμός (intusionism), λόγω κάποιας εννοιολογικής φόρτισης των όρων ενορατισμός και διαισθητισμός. Η οασική του θέση είναι ότι τα μαθηματικά πρέπει να κατασκευάζονται μόνον με πεπερασμένες κατασκευαστικές μεθόδους που οασίζονται πάνω στη διαισθητικά δοσμένη ακολουθία των φυσικών αριθμών. Δεν πιστεύει στην αρχή «της του τρίτου αποκλείσεως» και από την άποψη της φυσιολογίας του εγκεφάλου, δίνει την

5 292 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 293 εντύπωση ότι η λογική του είναι η λογική του «αριστερού ημισφαιρίου του εγκεφάλου. Δεν αποδέχεται αποδείξεις με «εις aτοπο απαγωγή» και τελικa ένα μεγaλο μέρος από τα μαθηματικa φαίνεται να χaνεται. Είναι αλήθεια ότι ο κύκλος. της Βιέννης προσπaθησε να γεφυρώσει την εμπειρία με το απόλυτο μαθηματικό σύμπαν, πρaγμα αδύνατο αν το απόλυτο μαθηματικό σύμπαν δεν μετασχηματιστεί πρώτα σε ένα μη συμοατικό μαθηματικό σύμπαν. Ένας aλλος μεγaλος φιλόσοφος που σχετίζεται με τέτοιου είδους γεφυρώματα είναι ο Ε. Husserl, ο οποίος ενέπνευσε και τους διαισθητικούς, και τους ρεαλιστές (Πλατωνικούς και μη)ί- 8 αλλα και τις τελευταίες εξελίξεις στα μαθηματικa, που ορίσκονται προς την κατεύθυνση των μη καντοριανών μη συμοατικών μαθηματικών, που αποτελούν την καρδιa για μια τοπική ανaπτυξη των μαθηματικών σε αντιπαρaθεση με τα απόλυτα καντοριανa. Οι σύγχρονες τaσεις στη φιλοσοφία των μαθηματικών, 2 περιστρέφονται γύρω από έναν μη καντοριανό ρεαλισμό που στην ουσία συμπίπτει με την παρατήρηση του απόλυτου κα ντοριανού σύμπαντος από ένα τοπικό συνηθισμένο παρατηρητή ( aνθρωπο, ρομπότ, όργανο μέτρησης, παραμορφωτικούς φακούς κ.λπ.). Έτσι τα μαθηματικa εκλαμοaνονται και συγκροτούνται ως ένα είδος Θεωρητικής Φυσικής ή Βιολογίας κ. λπ. Η θέαση του απόλυτου μαθηματικού σύμπαντος από έναν τοπικό παρατηρητή, στην ουσία, αντιστοιχεί σε ένα ουσιαστικό μετασχηματισμό του απόλυτου σύμπαντος σε ένα μη καντοριανό σύμπαν που οασίζεται πaνω σε «aόριστα» και «ασαφή» αντικείμενα, η δε λογική που επικρατεί είναι «πλειότιμη>>, «aσαφής» κ.λπ. Αυτή η μη καντοριανή πραγματικότητα,9 είναι πολύ κοντa με μια όψη της φυσικής πραγματικότητας η δε λογική και γλώσσα πολύ κοντά σε μια όψη της φυσικής γλώσσας εμπλουτισμένης με κάποια μαθηματικά σύμοολα. Έτσι, η ασaφεια και η αοριστία τις οποίες θέλησαν να εξοοελίσουν από τα μαθηματικa, επιστρέφουν πaλι σ' αυ- τa και τα μετουσιώνουν με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι κατaλληλα για εφαρμογές, στην πληροφορική (Ρομποτική, Τεχνητή νοημοσύνη, Ασαφείς Ελεγκτές κ.λπ.) και, γενικa, αυτa τα μαθηματικa είναι τα μαθηματικa της μεταοιομηχανικής εποχής. 4 1 Βεοαίως, τα κλασικa μαθηματικa, όπως είναι, δεν είναι κατaλληλα για τέτοιου είδους εφαρμογές, ήταν όμως, όπως είναι γνωστό, κατaλληλα για εφαρμογές της οιομηχανικής εποχής. Κaθε μετασχηματισμένο μη καντοριανό σύμπαν μπορεί να θεωρηθεί σαν μια «τοπική θέαση ή όψη» της πραγματικότητας. Με οaση αυτή την θέαση, μπορούμε πλέον να θεωρήσουμε τα μαθηματικa ως επιστήμη (παρατήρηση, πείραμα και πιθανή αλλαγή θέασης του μη καντοριανού σύμπαντος). Η ύπαρξη πολλών «όψεων» και το χaσιμο της μοναδικότητας του Καντοριανού Σύμπαντος θεωρήθηκε από πολλούς σαν μειονέκτημα. Απεναντίας, πιστεύω ότι αυτό είναι ένα πλεονέκτημα, αφού πaνω σε αυτή την δυνατότητα ύπαρξης aπείρων διαφορετικών συμπaντων στηρίζεται η aποψη ότι τα μαθηματικa μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως επιστήμη. Κaθε «παρατηρητής», κaθε «όργανο μέτρησης», κaθε τρόπος θέασης της καντοριανής πραγματικότητας, οδηγεί κάι σε ένα μη καντοριανό σύμπαν. Τα μαθηματικa αυτa είναι χρήσιμα όχι μόνον στην πλη ροφορική αλλa και στις επιστήμες που συνήθως αποκαλούνται ευέλικτες ή «μαλακές» (soft) όπως, π.χ., η Ψυχολογία, η Κοινωνιολογία, η Παιδαγωγική κ.λπ. Τα μη καντοριανa, μη συμοατικa μαθηματικa στηρίζονται, οασικa, στα θεωρήματα της μοντελο-θεωρίας που είναι γνωστa ως Θεωρήματα των Lowenheim-Skolem. Από την aλλη μεριa οι αποδείξεις ανεξαρτησίας του Cohen και μη πληρότητας του GOdel δείχνουν ότι πρaγματι υπaρχουν ανεξaρτητα αξιώματα. Αυτό σημαίνει ότι υπaρχουν πραγματικότητες, «θεaσει ς» στις οποίες aλλοτε είναι αληθινa και aλλοτε

6 294 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 295 ψευδή. Δηλαδή, η αλήθεια τους εξαρτάται από τον τρόπο παρατήρησης της καντοριανής πραγματικότητας. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα των όσων λέγονται πιο πάνω είναι τα μη καντοριανά μαθηματικά της οθόνης του υπολογιστή. Με τη χρήση του θαυμαστού προγράμματος-λογισμικού που λέγεται Mathematica, τα απόλυτα καντοριανά μαθηματικά μετασχηματίζονται και οπτικοποιούνται ή εξεικονίζονται σε γεωμετρικά αντικείμενα της οθόνης του υπολογιστή. Αλλά αυτή η οθόνη χαρακτηρίζεται από: (i) Πεπερασμένο αριθμό φωτοστοιχείων (pixels) και επομένως τα μαθηματικά της οθόνης από την απόλυτη σκοπιά είναι διακριτά. (ii) Αδυναμία διάκρισης μεταξύ διαδοχικών φωτοστοιχείων, στην οποία οφείλεται και το φαινόμενο της συνέχειας και του συνεχούς. Δηλαδή, το διακριτό από την απόλυτη σκοπιά, εκλαμοάνεται, λόγω της αδυναμίας διάκρισης του παρατηρητή, σαν συνεχές. Έτσι, το καντοριανό άπειρο εκφράζεται στην οθόνη του υπολογιστή ως: πεπερασμένο + ασάφεια. Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι το οασικό θέμα των μη καντοριανών μη συμοατικών μαθηματικών είναι ακριοώς ανάλογο, με τη σύνδεση και τον μετασχηματισμό της απόλυτης καντοριανής πλασματικής πραγματικότητας του νου σε αυτήν της μη καντοριανής μη συμοατικής εικονικής πραγματικότητας της οθόνης του υπολογιστή. Τέλος, υπάρχει και μια άλλη προσέγγιση στα ίδια θέματα, μέσα από τη Θεωρία Κατηγοριών και Τόπων. Μια «κατηγορία» αποτελείται από μια κλάση αντικειμένων καθώς και από τις αλληλεπιδράσεις αυτών των αντικειμένων, που εδώ ονομάζονται μορφισμοί ή οέλη. Ένας τόπος είναι ένα μαθηματικό περιοάλλον που θυμίζει την κατηγορία των συνόλων. Στους τόπους, λοιπόν, η λογική και η γλώσσα αναδύεται μέσα από το μαθηματικό αυτό περιοάλλον σαν ένα είδος ειδικών οελών ή λογικών διαδικασιών. Για τον λόγο αυτό, οι κατηγορικοί του Russell: ισχυρίζονται ακριοώς το αντίθετο από τον ισχυρισμό Η λογική και η γλώσσα στα μαθηματικά έπεται και δεν προηγείται των μαθηματικών, η δε λογική και η γεωμετρία αποτελούν, σύμφωνα με τις αναλύσεις του W. Lawvere, 6 το οασικό διαλεκτικό σχήμα των μαθηματικών. Το κυρίαρχο σκέλος στη οιομηχανική εποχή ήταν αυτό της λογικής, ενώ στη μεταοιομηχανική εποχή φαίνεται να είναι η γεωμετρία, αφού τα ρομπότ, η τεχνητή νοημοσύνη και η πλασματική ή εικονική πραγματικότητα, μαζί με τις πλειότιμες λογικές, εξαρτώνται κατά ένα δασικό τρόπο από τη γεωμετρία. Πηγαίνοντας ένα οήμα πιο πέρα, ο Lawvere ισχυρίζεται ότι η θεωρία των κατηγοριών, και ιδιαίτερα οι συζυγείς ή προσαρτημένοι συναρτητές, αποτελούν τη μαθηματική έκφραση της διαλεκτικής. Υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγματα μαθηματικών εννοιών που προκύπτουν ως σύνθεση (ισοδυναμία κατηγοριών) κάποιου διαλεκτικού σχήματος. 5 Συνεπώς δεν θα ήταν δυνατόν να υπάρχει διαλεκτική στα μαθηματικά, αν δεν υπάρχει η σύγκρουση του μηδέν και του ένα, του άσπρου και του μαύρου, που ως σύνθεση θα δώσουν το 1/2, το γκρίζο, και τελικά την πλειότιμη λογική και τις μη καντοριανές πραγματικότητες. Οι εξελίξεις αυτές δυστυχώς δεν είναι ευρέως γνωστές ούτε μεταξύ των επαγγελματιών μαθηματικίσν και νομίζω ότι θα χρειαστεί κάποιο είδος διαφωτισμού, για να πειστούν οι ενδιαφερόμενοι ότι αυτά είναι τα μαθηματικά που είναι κατάλ ληλα για τη μεταοιομηχανική κοινωνία. Η αδυναμία κατανόησης οφείλεται κυρίως σε μια Βαοέλ που έχει αναπτυχθεί στα μαθηματικά και που κυρίως οφείλεται στην εκφραστική δυσκολία και έλλειψη πλαστικότητας της καθιερωμένης μαθηματικής γλώσσας. Είναι φανερό ότι η αναζήτηση μιας «συνθετικής γλώσσας» για τα μαθηματικά θα είναι το κύριο

7 296 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 297 μέλημα των μαθηματικών του μέλλοντος. Κάθε προσπάθεια κατανόησης, «κά θε κοίταγμα στο διπλανό χωράφι» μπορεί να χρειάζεται και δέκα χρόνια. Εξάλλου, δεν υπάρχει καμιά προσπάθεια στα Τμήματα Μαθηματικών, κοντά στα μαθήματα εξειδίκευσης, να διδάσκονται, μαθήματα που διευκολύνουν τη σύνθεση και ευρύνουν την αντίληψη. Τέτοια μαθήματα είναι: Η Θεωρία Συνόλων, η Μαθηματική Λογική, η Καθολική Άλγεορα και η Θεωρία Κατηγοριών και Τόπων. Συνοψίζοντας, πρέπει να πούμε ότι οι παραδοσιακές σχολές φιλοσο(ρίας των μαθηματικών έχουν οδηγήσει σε αδιέξοδο και τείνουν να εγκαταλειφθούν. Οι σύγχρονες τάσεις της φιλοσοφίας των μαθηματικών για ασφαλή και αδιάσειστα μαθηματικά θεμέλια οδηγεί, σε τελευταία ανάλυση, στην εισαγωγή της ασάφειας, της αοριστίας και των πλειοτίμων λογικών για νά μελετήσουμε με ευφυή τρόπο τον σαφή και αδιάσειστο κόσμο που μας περιοάλλει. Αυτό στην ουσία σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ασφαλή μηδέν-ένα μαθηματικά θεμέλια, αλλά οποιαδήποτε ασφάλεια κερδίζεται από τη σωστή διαχείριση της ασάφειας και της αοριστίας. Δεν θα πρέπει να ξεχνούμε, εξάλλου, ότι η ασφάλεια και η στερεότητα του μακρόκοσμου οασίζεται στην ασαφοποίηση ενός τεράστιου ποσού πληροφορίας και στοιχείων του μικροσκοπικού επιπέδου. Μια οασική διαφορά μεταξύ των καντοριανών και μη μαθηματικών είναι ότι η καντοριανή σαφήνεια, ακρίοεια και αυστηρότητα οασίζεται κατά έναν ουσιαστικό τρόπο στη χρήση του ενεστωτικού απείρου, ενώ η ύπαρξη ασάφειας στη μη καντοριανή παραλλαγή των μαθηματικών, οφείλεται κυρίως στη χρήση του δυναμικού απείρου. Το ενεστωτικό άπειρο παγώνει με σαφήνεια τα πάντα, ενώ το δυναμικό άπειρο δίνει ξανά το πραγματικό πρόσωπο στο μαθηματικό περιοάλλον, και εκφράζει στην ουσία το ακατανόητο, το ασαφές και το αόριστο. Στα μη καντοριανά μαθηματικά υπάρχει επίπεδο πραγ - ί. ματικότητας, ορίζοντας παρατήρησης κ.λπ., που δεν υπάρχουν τουλάχιστον με άμεσο τρόπο, στα καντοριανά μαθηματικά. Από τα παραπάνω έγινε νομίζω φανερό ότι τα μη καντοριανά μη συμοατικά μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ως επιστήμη, όπου η εμπειρία μπορεί να μεταοάλλει και τη λογική και τα μαθηματικά αντικείμενα. Εξάλλου, αυτά τα μαθηματικά είναι τα μαθηματικά της μεταοιομηχανικής κοινωνίας.

8 298 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡ ΑΦΙΑ 1. C.A. Drossos, «Foundations of fuzzy sets, Α nonstandard approach>>, Fuzzy Sets and Systems, vol. 37, pp , R. Herch (ed.), «New directions in the philoshophy of mathematics>>, Synthese vol 88, R. Herch, «Some proposa\s for reviving the philoshophy of mathematics>>, Advances ίn Math, vol. 31, pp , Bart Kosko, Fuzzy Thίnkίng: The New Sι ίenι e of Fuzzy Logίc. Prentice Cliffts, J. Lambek, <<The influence of Heraclitus on modem mathematics>>. In J. Agassi and R.S. Cohen (ed), Scίentifίc Phίlosophy Today, pp , Reidel, F.M. Lawvere, Quantifίas and shaves, in Actes du Congre s Intem. des Math., Nice 1970 pp , Quathier-Villars, Paris, Ρ. Maddy, Realίsm ίn Mathematics, Oxford University Press, Oxford, R. τieszen, Mathematίcal Intuίtion: Ph.enomenology αιιd Mathematiωl ~nowledge, Kluwer, Ρ. Vopenka, <<The philosophica\ foundations of alternative set theory>>, lnt. Genaal Systems, vol. 20, , f ~ - (/.

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων

αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων Ο χαρακτηρισµός των Μαθηµατικών ως αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων έχει αποτελέσει αντικείµενο έντονων αντιπαραθέσεων µεταξύ των ερευνητών. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η

Διαβάστε περισσότερα

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w) Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί ότι η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στο ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα... 17

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα... 17 11 Προλογικό Σημείωμα... 17 Ενότητα Ι: Δημιουργική Αναζήτηση... 19 Δ01 Ο Ιωνικός Διαφωτισμός και η Ανάδυση της Επιστημονικής Σκέψης...21 Δ1.1 Ο Ιωνικός Διαφωτισμός... 21 Δ1.2 Η Επιστημονική Σκέψη... 22

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Τομέας Ανθρωπιστικών Κοινωνικών Επιστημών και Δικαίου Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΝΩΣΙΟΛΟΓΙΑΣ Κώστας Θεολόγου ΑΔΕΙΑ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί πως η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στον ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών

Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών Αριστείδης Αραγεώργης Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 1. «Παράδοξο» και «λύση» παραδόξου

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο δύναμης και ελατήριο.

Πεδίο δύναμης και ελατήριο. Πεδίο δύναμης και ελατήριο. Στην προηγούμενη τοποθέτησή μου, με τίτλο «Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.» είχα περιλάβει το παρακάτω απόσπασμα: Ας πάρουμε το παράδειγμα των δύο ελατηρίων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Καραμολέγκος Πρόδρομος, Εφέντη Ιάσων, Καραγκιοζίδης Νίκος, Μαγριώτης Αντώνης, Θεοχάρους Μαριάνθη Ελένη Μαθητές Β Λυκείου, 1 ο ΓΕΛ Ξάνθης prokaramolegos@gmail.com,

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου ΙΣΧΥΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΕΣ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2011 1. Θρησκευτικά 2 Θρησκευτικά: 2 ώρες 2. Αρχαία Ελληνική Γλώσσα & Γραμματεία

Διαβάστε περισσότερα

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 3 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΧΤΕΛΙΔΗΣ, ΥΒΟΝ ΚΟΣΜΑ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΧΤΕΛΙΔΗΣ, ΥΒΟΝ ΚΟΣΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παιδική ηλικία είναι ένα ζήτημα για το οποίο η κοινωνιολογία έχει δείξει μεγάλο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια. Από τις αρχές της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα βρίσκεται υπό εξέλιξη ένα πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή (ΨΥΧ-122) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 1 Εισαγωγή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας 1. Μια διαδεδομένη αντίληψη περί επιστήμης Γνώση / Κατανόηση των φαινομένων του φυσικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής ΗΥ 180 - Λογική Διδάσκων: Καθηγητής E-mail: dp@csd.uoc.gr Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα, Τετάρτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες φροντιστηρίου: Πέμπτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες γραφείου: Δευτέρα, Τετάρτη 2-4 μμ, Κ.307 Web site:

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις.

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. ΠΙΤΣΑΣ ΚΩΣΤΑΣ 4 ο ΓΕΛ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Αθήνα 2017 ΘΕΩΡΗΜΑ MORLEY Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΛΛΑΖΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ.

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. 2 ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ (Ι) ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ; Στο μάθημα «Κοινωνική Θεωρία της Γνώσης (I)» (όπως και στο (ΙΙ) που ακολουθεί) παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα # 1.2: Η προοπτική των βασικών αρχών της φύσης των Φυσικών Επιστημών στην επιμόρφωση των εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Ασάφεια (Fuzziness) Ποσοτικοποίηση της ποιοτικής πληροφορίας Οφείλεται κυρίως

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Λέξεις και νόημα Η γλώσσα αποτελείται από λέξεις. Η λέξη είναι το μικρότερο τμήμα της γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού

Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή Γνώση γλώσσας από τη σκοπιά Του συντακτικού (syntax) Περιγραφή με γραμματικές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Προγραμματισμού. Χαρίκλεια Τσαλαπάτα 20/2/2012

Διδακτική Προγραμματισμού. Χαρίκλεια Τσαλαπάτα 20/2/2012 Διδακτική Προγραμματισμού Χαρίκλεια Τσαλαπάτα 20/2/2012 Διδακτική προγραμματισμού Παλαιότερα, η διδασκαλία του προγραμματισμού ταυτιζόταν με τη διδακτική της πληροφορικής Πλέον Η διδακτική της πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη φιλοσοφία

Εισαγωγή στη φιλοσοφία Εισαγωγή στη φιλοσοφία Ενότητα 2 η : Μεταφυσική ή Οντολογία Ι: Θεός Ρένια Γασπαράτου Σχολή Ανθρωπιστικών & Κοινωνικών Επιστημών Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης & της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημολογική και Διδακτική Προσέγγιση της Έννοιας της «Ύλης»

Επιστημολογική και Διδακτική Προσέγγιση της Έννοιας της «Ύλης» Επιστημολογική και Διδακτική Προσέγγιση της Έννοιας της «Ύλης» Κωνσταντίνος Δ. Σκορδούλης Παιδαγωγικό Τμήμα ΔΕ Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Δυισμός: η κυρίαρχη οντολογία των φιλοσόφων 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΙΜΕΝΑ Ι 1. 1 Τα κείμενα που ακολουθούν συνοδεύουν και υποβοηθούν τη μελέτη των αντίστοιχων

ΚΕΙΜΕΝΑ Ι 1. 1 Τα κείμενα που ακολουθούν συνοδεύουν και υποβοηθούν τη μελέτη των αντίστοιχων ΚΕΙΜΕΝΑ Ι 1 J. Locke, Δοκίμιο για την ανθρώπινη νόηση, [An Essay Concerning Human Understanding], μτφρ. Γρ. Λιονή, επιμ. Κ. Μετρινού, Αθήνα: Αναγνωστίδης, χ.χ. 2 1. [Η εμπειρική καταγωγή της γνώσης.] «Ας

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΔΡΑΙΩΜΕΝΗ ΕΠΙ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΗΤΑΣ ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΔΕ ΣΥΓΚΡΟΤΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΥΛΗ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΔΡΑΙΩΜΕΝΗ ΕΠΙ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΗΤΑΣ ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΔΕ ΣΥΓΚΡΟΤΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΥΛΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΔΡΑΙΩΜΕΝΗ ΕΠΙ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΗΤΑΣ ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΔΕ ΣΥΓΚΡΟΤΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΥΛΗ 1.Η Φυσική ως η επιστήμη που μελετά τις ιδιότητες της ύλης Για τη Φυσική η ύλη είναι μια αδιαμφισβήτητη πραγματικότητα.

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Καθηγητής Πληροφορικής ΠΕ19 1 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: http://eclass.sch.gr/courses/el594100/ Η έννοια του προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 1900 στο Παρίσι, ο David Hilbert έκανε μια ομιλία για τα 23 πιο σπουδαία μαθηματικά προβλήματα που κληρονομούσε ο 20ος αιώνας από τον 19ο. Το 10ο ήταν: Απόφανση περί επιλυσιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

17. Η έννοια του μορίου σε στερεά και υγρά 18. Αεικίνητα μόρια 19. Τα μόρια στα αέρια

17. Η έννοια του μορίου σε στερεά και υγρά 18. Αεικίνητα μόρια 19. Τα μόρια στα αέρια 18 Αεικίνητα μόρια 19 Τα μόρια στα αέρια 129 Μάθημα 17 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΟΡΙΟΥ ΣΕ ΣΤΕΡΕΑ ΚΑΙ ΥΓΡΑ Τα μόρια είναι απίστευτα μικρά, αόρατα και ανάμεσά τους υπάρχει κενός χώρος Σε προηγούμενες ενότητες, ασχοληθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Επιστημολογίας. Ρένια Γασπαράτου

Θέματα Επιστημολογίας. Ρένια Γασπαράτου Ρένια Γασπαράτου Τι είναι επιστήμη; ποιες είναι (οι) επιστήμες; Π.χ.: φυσική χηµεία αλχηµεία βιολογία αστρολογία αστρονοµία ρεφλεξολογία βελονισµός οµοιοπαθητική γραφολογία νευρολογία φρενολογία µετεωρολογία

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Στον πραγματικό κόσμο, αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα σε τρεις κατευθύνσεις ή διαστάσεις. Τυπικά λέμε ότι διαθέτουν ύψος, πλάτος και βάθος. Όταν θέλουμε να αναπαραστήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Ανάλυση προβλήματος

Κεφάλαιο 1 Ανάλυση προβλήματος Κεφάλαιο 1 Ανάλυση προβλήματος 1.1 Η έννοια πρόβλημα Με τον όρο πρόβλημα εννοείται μια κατάσταση η οποία χρειάζεται αντιμετώπιση, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. 1.2 Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 =

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 = Κεφάλαιο 11 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss Σύνοψη Παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη την ταξινόμηση των επιφανειών του R 3 με σταθερή καμπυλότητα Gauss, θετική, μηδέν, ή αρνητική. Εξετάζουμε χωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων. ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 4: Θεωρία Μέτρησης Po lya Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Σημειώσεις μαθήματος Μ2324 Γεωμετρική Τοπολογία Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2011 Εισαγωγή Η Γεωμετρική Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα ολικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα