Μαθηματικά και Γλώσσα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά και Γλώσσα"

Transcript

1

2 Μαθηματικά και Γλώσσα Κων. Α. Δρόσος Αναπληρωτής Καθηγητής Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Στόχος αυτής της ομιλίας μου είναι να εκθέσω τη οασική άποψη, ότι δηλαδή τα μαθηματικά, κάτω από μια κατάλληλη θέαση, μπορούν να θεωρηθούν ως επιστήμη, όπως όλες οι εμπειρικές επιστήμες, και ότι τελικά η εμπειρία μπορεί να αλλάζει και τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων αλλά και τη γλώσσα και τους λογικούς κανόνες με τους οποίους αναφερόμαστε στα αντικείμενα αυτά. Πρώτα-πρώτα θα ήθελα να σας ζητήσω συγγνώμη, γιατί η σημερινή ομιλία μου είνα ι μάλλον ένας aυτοσχεδιασμός της τελευταίας στιγμής. Το θέμα, οεοαίως, με έχει απασχολήσει σ' όλη μου σχεδόν την επιστημονική δραστηριότητα, και το γεγονός αυτό ελπίζω να είναι καθοριστικός παράγων για μια επιτυχή «ανάδυση» των ο ασικών διαστάσεων του θέματος. Αρχίζοντας από τον τίτλο της ομιλίας μου, είναι φανερό ότι το θέμα μου σχετίζεται, αν κιόλας δεν ταυτίζεται, με τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Είναι, οεοαίως, προφανές ότι στον λίγο διαθέσιμο χρόνο δεν είναι δυνατόν να περιμένει κανείς μια έστω και στοιχειώδη κάλυψη του θέματος. Οστόχος μου λοιπόν είναι μάλλον περιορισμένος και είναι να δώσω μια κάπως προσωπική άποψη, που οεοαίως είναι άποψη

3 288 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 289 και άλλων ατόμων που εργάζονται στην ίδια επιστημονική περιοχή, ότι δηλαδή τα μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ως επιστήμη, όπως όλες οι εμπειρικές επιστήμ ες, και ότι τελικά η εμπειρία μπορεί να αλλάζει και τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων αλλά και τη γλώσσα και τους λογικούς κανόνες με τους οποίους αναφερόμαστε στα αντικείμενα αυτά. Χαρακτηριστικό είναι και το ακόλουθο απόσπασμα 2 : «Τ ον Φεορουάριο του 1990, στην ετήσια συνάντηση της American Association for the Advancement of Science, στην Νέα Ορλεάνη, συνήλθε μια σύνοδος με τον τίτλο "New Directions in the Philosophy of Mathematics" στο πρόγραμμα της οποίας υπήρχε το ακόλουθο χωρίο: 'Ή φιλοσοφία των μαθηματικών αρχίζει να δείχνει μια νέα ζωή, μετά από δεκαετίες στασιμότητας. Τα τρία κλασικά προγράμματα -Φορμαλισμός, Λογικισμός, και Ιντου "ίσιονισμός- που η εισαγωγή τους χρονολογείται στις αρχές του αιώνα ή και πιο πριν, έχουν προ πολλού φθάσει σε αδιέξοδο κατά την αναζήτησή τους για ακλόνητα μαθηματικά θεμέλια. Αυτή η εμπε ι ρία είναι μία από τις κύριες αιτίες για την αναζήτηση νέων κατευθύνσεων. Η δεύτερη αιτία είναι η τρέχουσα ολοκλήρωση, της πληροφορικής στην καθαρή μαθηματική έρευνα, που είναι ασυμοίοαστη με τις παραδοσιακές αντιλήψεις περί μαθηματικής αλήθειας και οεοαιότητας. Συνακόλουθα αναπτύσσεται μια αναζήτηση για μια φιλοσοφία των μαθηματικών που θα αποδέχεται το 'σφάλ μα ' στα μαθηματικά, που θα θεμελιώνονται πάνω σε μια ρεαλιστική ε ικόνα των μαθηματικών, και που θα περιλαμοάνει όχι μόνον την καθαρή μαθηματική έρευνα, αλλά και τη διαδασκαλία και τις εφαρ μογές των μαθηματικών"». Πολύς κόσμος, μεταξύ των οποίων και επαγγελματίες μα θηματικοί, έχουν εκθειάσει τη «οεοαιό τητα» την «ακρίοε ια» και την «αυστηρότητα» των μαθηματικών. Έτσι, λοιπόν, οι περισσότεροι όταν λένε μαθηματικά εννοούν αποκλειστικά τα δίτιμα μαθηματικά, όπου οι προτάσεις παίρνουν μόνον δύο τιμές αλήθειας, εννοούν μαθηματι- κά που δεν επιδέχο νται καμιά αμφ ι οολία, δεν ε μπεριέχουν ασάφειες και λάθη κ.λπ. Αυτή η απόλυτη αντίληψη για τα μαθηματικά υπάρχει, και είναι αυτή που εκφράζεται, ως πλατωνικά-καντοριανά μαθηματικά. Με την ομιλία μου αυτή, θα ήθελα να δείξω ότι υπάρχουν και άλλες εναλλακτικές θεωρήσεις, που οδηγούν στα μη καντοριανά μαθηματικά και στις πλειότιμες λογικές, και να εναντιωθώ στο μονοπώλιο της κλασικής αντίληψης. Έστω λοιπόν το ακόλουθο σχήμα: Πραγματικός Ειδετική Απόλυτα Καντοριανά Μαθηματικά και δίτιμη λογική Αναγωγή Κόσμος (Καντοριανός Πλατωνισμός) Όταν λέμε πραγματικό κόσμο υποθέτουμε συνήθως τον μακροσκοπικό φαινόμενο κόσμο και όχι π.χ. μικροσκοπικά ή μεγασκοπικά επίπεδα (π.χ. κοαντικό επίπεδο κ.λπ.). Αυτά τα επίπεδα προκύπτουν στα μαθηματικά ως μη συμοατικές πραγματικότητες της ειδετικής αναγωγής του φαινόμενου μακροσκοπικού κόσμου. Μέσα από την πλατων ική ειδετική αναγωγή ο μακροσκοπικός αυτός κόσμος ανάγεται σε «ουσίες», «έννο ιες», κ.λπ. και στα μαθηματικά μπορούμε να ταυτίσουμε την αναγωγή αυτή με τη συνολοθεωρία των Zermelo-Fraenkel μαζί με το Αξίωμα της Επιλογής (ZFC). Η μαθηματική αυτή πραγματικότητα, παρ' όλους τους περιορισμούς που προέρχονται από το θεώρημα μη-πληρότητας του Godel, καθώς και από τα θεωρήματα των Lowenheim- Skolem, είναι πράγματι δίτιμη, δεν μεταοάλλεται, είναι οέοα ια και αδιάσειστη, μπορεί δε κανείς να υποστηρίξει ότι έχε ι και μια μεγάλη αυτονομία από τον πραγματικό κόσμο από τον οποίο προήλθε. Αυτά αποτελούν

4 290 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 291 τα λεγόμενα «κλασσικά μαθηματικά» και είναι επόμενο η μαθηματική γλώσσα που περιγράφει τις ιδέες-έννοιες να είναι δίτιμη, χωρίς ενδιάμεσες τιμές, χωρίς ασάφειες και αοεοαιότητες. Μετά από αυτή τη σύντομη παρουσίαση του εννοιολογικού υπόοαθρου των κλασσικών μαθηματικών, τίθεται το οασικό ερώτημα: εμπειρισμός ή aπριορισμός Ο aπριορισμός ταιριάζει καλύτερα στα κλασσικά απόλυτα μαθηματικά: τον Καντοριανό Πλατωνισμό. Οι «μαθηματικές ιδέες» και η δίτιμη λογική έχουν αποκτήσει μια σχετική αλλά μεγάλη αυτονομία από τη μακροσκοπική πραγματικότητα από την οποία προήλθαν. Δεν αναμένεται λοιπόν η μελλοντική μας εμπειρία να αλλάξει αυτή την πλασματική πραγματικότητα (virtual reality) του νου, ούτε την τυπική γλώσσα και δίτιμη λογική με την οποία αυτά εκφράζονται. Σ' αυτόν τον Καντοριανό Πλατωνισμό είναι φυσικό να σκεφθεί κανείς ότι, περιοριζόμενοι μόνον σε μια τυπική μαθηματική γλώσσα μέσα στην οποία έχουν aντανακλαστεί οι μαθηματικές ιδέες, θα ήταν δυνατό να εκφράσουμε όλα τα μαθηματικά με έναν συντακτικό τρόπο. Ένα τέτοιο πρόγραμμα είναι και ο Λογικισμός, που εισήχθη από τον Russell και τον Whitehead και συνεχίστηκε από τον Κύκλο της Βιέννης και το οποίο ήθελε να εκφράσει όλα τα μαθηματικά με τη χρήση μιας τυπικής μαθηματικής γλώσσας. Ο δε οασικός του ισχυρισμός είναι ότι τα μαθηματικά είναι ένας κλάδος της Λογικής. Το πρόγραμμα αυτό είχε μια επιτυχία γύρω στο 80%. Ο λογικισμός επιζητεί να σπρώξει τα θεμέλια των μαθηματικών όσο οαθύτερα γίνεται, δηλαδή στη μαθηματική γλώσσα και την τυπική λογική. Από τις εργασίες όμως του Lawvere, είναι γνωστό ότι το οασικό διαλεκτικό σχήμα για τα μαθηματικά είναι, Γεωμετρία Η Λογική. Η προσπάθεια αναγωγής της Γεωμετρίας στη Λογική με ταυτόχρονη κατάργηση του πιο πάνω διαλεκτικού σχήματος ήταν από την αρχή καταδικασμένη. Ωστόσο, τα κέρδη σε γνώσεις της aνθρωπότητας από αυτήν την άσκηση ήταν μεγάλα. Μια δεύτερη γνωστή σχολή είναι ο φορμαλισμός ή τυποκρατία, ο οποίος ισχυρίζεται ότι τα μαθηματικά ασχολούνται με τυπικά συμοολικά συστήματα, που οασίζονται στις τυπικές μαθηματικές γλώσσες, και αρνούνται κάθε σημασία και ερμηνεία στα σύμοολα αυτά. Δέχεται το συντακτικό επίπεδο και απορρίπτει το σημασιολογικό επίπεδο. Για τον φορμαλισμό η μαθηματική οντολογία απουσιάζει τελείως από τον προοληματισμό του, και έτσι τα σύμοολα δεν έχουν καμιά σημασία ή ερμηνεία! Έτσι λοιπόν, όταν οι φιλόσοφοι αρχίζουν τις δύσκολες ερωτήσεις στους μαθηματικούς, αυτοί οχυρώνονται πίσω από τον φορμαλισμό, λέγοντας ότι «εμείς ασχολούμαστε με κάποια σύμοολα χωρίς καμιά σημασία, τα σύμοολα αυτά έχουν κάποιους κανόνες (αξιώματα) και δεν κάνουμε τίποτε άλλο από το να παράγουμε κάποια έγκυρα συμπεράσματα». 3 Ο φορμαλισμός ήταν η κυρίαρχη μαθηματική φιλοσοφία στη οιομηχανική περίοδο, για το λόγο ότι ο μαθηματικόςφορμαλιστής είναι περισσότερο παραγωγικός, και όπως είναι γνωστό το οασικό αίτημα της οιομηχανικής εποχής ήταν η παραγωγικότητα και η απόδοση του <φublish or paish». Στη συνέχεια έχουμε μια άλλη σχολή, τον ενορατισμό ή διαισθητισμό που πολλές φορές λέγεται και ιντουϊσιονισμός (intusionism), λόγω κάποιας εννοιολογικής φόρτισης των όρων ενορατισμός και διαισθητισμός. Η οασική του θέση είναι ότι τα μαθηματικά πρέπει να κατασκευάζονται μόνον με πεπερασμένες κατασκευαστικές μεθόδους που οασίζονται πάνω στη διαισθητικά δοσμένη ακολουθία των φυσικών αριθμών. Δεν πιστεύει στην αρχή «της του τρίτου αποκλείσεως» και από την άποψη της φυσιολογίας του εγκεφάλου, δίνει την

5 292 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 293 εντύπωση ότι η λογική του είναι η λογική του «αριστερού ημισφαιρίου του εγκεφάλου. Δεν αποδέχεται αποδείξεις με «εις aτοπο απαγωγή» και τελικa ένα μεγaλο μέρος από τα μαθηματικa φαίνεται να χaνεται. Είναι αλήθεια ότι ο κύκλος. της Βιέννης προσπaθησε να γεφυρώσει την εμπειρία με το απόλυτο μαθηματικό σύμπαν, πρaγμα αδύνατο αν το απόλυτο μαθηματικό σύμπαν δεν μετασχηματιστεί πρώτα σε ένα μη συμοατικό μαθηματικό σύμπαν. Ένας aλλος μεγaλος φιλόσοφος που σχετίζεται με τέτοιου είδους γεφυρώματα είναι ο Ε. Husserl, ο οποίος ενέπνευσε και τους διαισθητικούς, και τους ρεαλιστές (Πλατωνικούς και μη)ί- 8 αλλα και τις τελευταίες εξελίξεις στα μαθηματικa, που ορίσκονται προς την κατεύθυνση των μη καντοριανών μη συμοατικών μαθηματικών, που αποτελούν την καρδιa για μια τοπική ανaπτυξη των μαθηματικών σε αντιπαρaθεση με τα απόλυτα καντοριανa. Οι σύγχρονες τaσεις στη φιλοσοφία των μαθηματικών, 2 περιστρέφονται γύρω από έναν μη καντοριανό ρεαλισμό που στην ουσία συμπίπτει με την παρατήρηση του απόλυτου κα ντοριανού σύμπαντος από ένα τοπικό συνηθισμένο παρατηρητή ( aνθρωπο, ρομπότ, όργανο μέτρησης, παραμορφωτικούς φακούς κ.λπ.). Έτσι τα μαθηματικa εκλαμοaνονται και συγκροτούνται ως ένα είδος Θεωρητικής Φυσικής ή Βιολογίας κ. λπ. Η θέαση του απόλυτου μαθηματικού σύμπαντος από έναν τοπικό παρατηρητή, στην ουσία, αντιστοιχεί σε ένα ουσιαστικό μετασχηματισμό του απόλυτου σύμπαντος σε ένα μη καντοριανό σύμπαν που οασίζεται πaνω σε «aόριστα» και «ασαφή» αντικείμενα, η δε λογική που επικρατεί είναι «πλειότιμη>>, «aσαφής» κ.λπ. Αυτή η μη καντοριανή πραγματικότητα,9 είναι πολύ κοντa με μια όψη της φυσικής πραγματικότητας η δε λογική και γλώσσα πολύ κοντά σε μια όψη της φυσικής γλώσσας εμπλουτισμένης με κάποια μαθηματικά σύμοολα. Έτσι, η ασaφεια και η αοριστία τις οποίες θέλησαν να εξοοελίσουν από τα μαθηματικa, επιστρέφουν πaλι σ' αυ- τa και τα μετουσιώνουν με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι κατaλληλα για εφαρμογές, στην πληροφορική (Ρομποτική, Τεχνητή νοημοσύνη, Ασαφείς Ελεγκτές κ.λπ.) και, γενικa, αυτa τα μαθηματικa είναι τα μαθηματικa της μεταοιομηχανικής εποχής. 4 1 Βεοαίως, τα κλασικa μαθηματικa, όπως είναι, δεν είναι κατaλληλα για τέτοιου είδους εφαρμογές, ήταν όμως, όπως είναι γνωστό, κατaλληλα για εφαρμογές της οιομηχανικής εποχής. Κaθε μετασχηματισμένο μη καντοριανό σύμπαν μπορεί να θεωρηθεί σαν μια «τοπική θέαση ή όψη» της πραγματικότητας. Με οaση αυτή την θέαση, μπορούμε πλέον να θεωρήσουμε τα μαθηματικa ως επιστήμη (παρατήρηση, πείραμα και πιθανή αλλαγή θέασης του μη καντοριανού σύμπαντος). Η ύπαρξη πολλών «όψεων» και το χaσιμο της μοναδικότητας του Καντοριανού Σύμπαντος θεωρήθηκε από πολλούς σαν μειονέκτημα. Απεναντίας, πιστεύω ότι αυτό είναι ένα πλεονέκτημα, αφού πaνω σε αυτή την δυνατότητα ύπαρξης aπείρων διαφορετικών συμπaντων στηρίζεται η aποψη ότι τα μαθηματικa μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως επιστήμη. Κaθε «παρατηρητής», κaθε «όργανο μέτρησης», κaθε τρόπος θέασης της καντοριανής πραγματικότητας, οδηγεί κάι σε ένα μη καντοριανό σύμπαν. Τα μαθηματικa αυτa είναι χρήσιμα όχι μόνον στην πλη ροφορική αλλa και στις επιστήμες που συνήθως αποκαλούνται ευέλικτες ή «μαλακές» (soft) όπως, π.χ., η Ψυχολογία, η Κοινωνιολογία, η Παιδαγωγική κ.λπ. Τα μη καντοριανa, μη συμοατικa μαθηματικa στηρίζονται, οασικa, στα θεωρήματα της μοντελο-θεωρίας που είναι γνωστa ως Θεωρήματα των Lowenheim-Skolem. Από την aλλη μεριa οι αποδείξεις ανεξαρτησίας του Cohen και μη πληρότητας του GOdel δείχνουν ότι πρaγματι υπaρχουν ανεξaρτητα αξιώματα. Αυτό σημαίνει ότι υπaρχουν πραγματικότητες, «θεaσει ς» στις οποίες aλλοτε είναι αληθινa και aλλοτε

6 294 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 295 ψευδή. Δηλαδή, η αλήθεια τους εξαρτάται από τον τρόπο παρατήρησης της καντοριανής πραγματικότητας. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα των όσων λέγονται πιο πάνω είναι τα μη καντοριανά μαθηματικά της οθόνης του υπολογιστή. Με τη χρήση του θαυμαστού προγράμματος-λογισμικού που λέγεται Mathematica, τα απόλυτα καντοριανά μαθηματικά μετασχηματίζονται και οπτικοποιούνται ή εξεικονίζονται σε γεωμετρικά αντικείμενα της οθόνης του υπολογιστή. Αλλά αυτή η οθόνη χαρακτηρίζεται από: (i) Πεπερασμένο αριθμό φωτοστοιχείων (pixels) και επομένως τα μαθηματικά της οθόνης από την απόλυτη σκοπιά είναι διακριτά. (ii) Αδυναμία διάκρισης μεταξύ διαδοχικών φωτοστοιχείων, στην οποία οφείλεται και το φαινόμενο της συνέχειας και του συνεχούς. Δηλαδή, το διακριτό από την απόλυτη σκοπιά, εκλαμοάνεται, λόγω της αδυναμίας διάκρισης του παρατηρητή, σαν συνεχές. Έτσι, το καντοριανό άπειρο εκφράζεται στην οθόνη του υπολογιστή ως: πεπερασμένο + ασάφεια. Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι το οασικό θέμα των μη καντοριανών μη συμοατικών μαθηματικών είναι ακριοώς ανάλογο, με τη σύνδεση και τον μετασχηματισμό της απόλυτης καντοριανής πλασματικής πραγματικότητας του νου σε αυτήν της μη καντοριανής μη συμοατικής εικονικής πραγματικότητας της οθόνης του υπολογιστή. Τέλος, υπάρχει και μια άλλη προσέγγιση στα ίδια θέματα, μέσα από τη Θεωρία Κατηγοριών και Τόπων. Μια «κατηγορία» αποτελείται από μια κλάση αντικειμένων καθώς και από τις αλληλεπιδράσεις αυτών των αντικειμένων, που εδώ ονομάζονται μορφισμοί ή οέλη. Ένας τόπος είναι ένα μαθηματικό περιοάλλον που θυμίζει την κατηγορία των συνόλων. Στους τόπους, λοιπόν, η λογική και η γλώσσα αναδύεται μέσα από το μαθηματικό αυτό περιοάλλον σαν ένα είδος ειδικών οελών ή λογικών διαδικασιών. Για τον λόγο αυτό, οι κατηγορικοί του Russell: ισχυρίζονται ακριοώς το αντίθετο από τον ισχυρισμό Η λογική και η γλώσσα στα μαθηματικά έπεται και δεν προηγείται των μαθηματικών, η δε λογική και η γεωμετρία αποτελούν, σύμφωνα με τις αναλύσεις του W. Lawvere, 6 το οασικό διαλεκτικό σχήμα των μαθηματικών. Το κυρίαρχο σκέλος στη οιομηχανική εποχή ήταν αυτό της λογικής, ενώ στη μεταοιομηχανική εποχή φαίνεται να είναι η γεωμετρία, αφού τα ρομπότ, η τεχνητή νοημοσύνη και η πλασματική ή εικονική πραγματικότητα, μαζί με τις πλειότιμες λογικές, εξαρτώνται κατά ένα δασικό τρόπο από τη γεωμετρία. Πηγαίνοντας ένα οήμα πιο πέρα, ο Lawvere ισχυρίζεται ότι η θεωρία των κατηγοριών, και ιδιαίτερα οι συζυγείς ή προσαρτημένοι συναρτητές, αποτελούν τη μαθηματική έκφραση της διαλεκτικής. Υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγματα μαθηματικών εννοιών που προκύπτουν ως σύνθεση (ισοδυναμία κατηγοριών) κάποιου διαλεκτικού σχήματος. 5 Συνεπώς δεν θα ήταν δυνατόν να υπάρχει διαλεκτική στα μαθηματικά, αν δεν υπάρχει η σύγκρουση του μηδέν και του ένα, του άσπρου και του μαύρου, που ως σύνθεση θα δώσουν το 1/2, το γκρίζο, και τελικά την πλειότιμη λογική και τις μη καντοριανές πραγματικότητες. Οι εξελίξεις αυτές δυστυχώς δεν είναι ευρέως γνωστές ούτε μεταξύ των επαγγελματιών μαθηματικίσν και νομίζω ότι θα χρειαστεί κάποιο είδος διαφωτισμού, για να πειστούν οι ενδιαφερόμενοι ότι αυτά είναι τα μαθηματικά που είναι κατάλ ληλα για τη μεταοιομηχανική κοινωνία. Η αδυναμία κατανόησης οφείλεται κυρίως σε μια Βαοέλ που έχει αναπτυχθεί στα μαθηματικά και που κυρίως οφείλεται στην εκφραστική δυσκολία και έλλειψη πλαστικότητας της καθιερωμένης μαθηματικής γλώσσας. Είναι φανερό ότι η αναζήτηση μιας «συνθετικής γλώσσας» για τα μαθηματικά θα είναι το κύριο

7 296 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 297 μέλημα των μαθηματικών του μέλλοντος. Κάθε προσπάθεια κατανόησης, «κά θε κοίταγμα στο διπλανό χωράφι» μπορεί να χρειάζεται και δέκα χρόνια. Εξάλλου, δεν υπάρχει καμιά προσπάθεια στα Τμήματα Μαθηματικών, κοντά στα μαθήματα εξειδίκευσης, να διδάσκονται, μαθήματα που διευκολύνουν τη σύνθεση και ευρύνουν την αντίληψη. Τέτοια μαθήματα είναι: Η Θεωρία Συνόλων, η Μαθηματική Λογική, η Καθολική Άλγεορα και η Θεωρία Κατηγοριών και Τόπων. Συνοψίζοντας, πρέπει να πούμε ότι οι παραδοσιακές σχολές φιλοσο(ρίας των μαθηματικών έχουν οδηγήσει σε αδιέξοδο και τείνουν να εγκαταλειφθούν. Οι σύγχρονες τάσεις της φιλοσοφίας των μαθηματικών για ασφαλή και αδιάσειστα μαθηματικά θεμέλια οδηγεί, σε τελευταία ανάλυση, στην εισαγωγή της ασάφειας, της αοριστίας και των πλειοτίμων λογικών για νά μελετήσουμε με ευφυή τρόπο τον σαφή και αδιάσειστο κόσμο που μας περιοάλλει. Αυτό στην ουσία σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ασφαλή μηδέν-ένα μαθηματικά θεμέλια, αλλά οποιαδήποτε ασφάλεια κερδίζεται από τη σωστή διαχείριση της ασάφειας και της αοριστίας. Δεν θα πρέπει να ξεχνούμε, εξάλλου, ότι η ασφάλεια και η στερεότητα του μακρόκοσμου οασίζεται στην ασαφοποίηση ενός τεράστιου ποσού πληροφορίας και στοιχείων του μικροσκοπικού επιπέδου. Μια οασική διαφορά μεταξύ των καντοριανών και μη μαθηματικών είναι ότι η καντοριανή σαφήνεια, ακρίοεια και αυστηρότητα οασίζεται κατά έναν ουσιαστικό τρόπο στη χρήση του ενεστωτικού απείρου, ενώ η ύπαρξη ασάφειας στη μη καντοριανή παραλλαγή των μαθηματικών, οφείλεται κυρίως στη χρήση του δυναμικού απείρου. Το ενεστωτικό άπειρο παγώνει με σαφήνεια τα πάντα, ενώ το δυναμικό άπειρο δίνει ξανά το πραγματικό πρόσωπο στο μαθηματικό περιοάλλον, και εκφράζει στην ουσία το ακατανόητο, το ασαφές και το αόριστο. Στα μη καντοριανά μαθηματικά υπάρχει επίπεδο πραγ - ί. ματικότητας, ορίζοντας παρατήρησης κ.λπ., που δεν υπάρχουν τουλάχιστον με άμεσο τρόπο, στα καντοριανά μαθηματικά. Από τα παραπάνω έγινε νομίζω φανερό ότι τα μη καντοριανά μη συμοατικά μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ως επιστήμη, όπου η εμπειρία μπορεί να μεταοάλλει και τη λογική και τα μαθηματικά αντικείμενα. Εξάλλου, αυτά τα μαθηματικά είναι τα μαθηματικά της μεταοιομηχανικής κοινωνίας.

8 298 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡ ΑΦΙΑ 1. C.A. Drossos, «Foundations of fuzzy sets, Α nonstandard approach>>, Fuzzy Sets and Systems, vol. 37, pp , R. Herch (ed.), «New directions in the philoshophy of mathematics>>, Synthese vol 88, R. Herch, «Some proposa\s for reviving the philoshophy of mathematics>>, Advances ίn Math, vol. 31, pp , Bart Kosko, Fuzzy Thίnkίng: The New Sι ίenι e of Fuzzy Logίc. Prentice Cliffts, J. Lambek, <<The influence of Heraclitus on modem mathematics>>. In J. Agassi and R.S. Cohen (ed), Scίentifίc Phίlosophy Today, pp , Reidel, F.M. Lawvere, Quantifίas and shaves, in Actes du Congre s Intem. des Math., Nice 1970 pp , Quathier-Villars, Paris, Ρ. Maddy, Realίsm ίn Mathematics, Oxford University Press, Oxford, R. τieszen, Mathematίcal Intuίtion: Ph.enomenology αιιd Mathematiωl ~nowledge, Kluwer, Ρ. Vopenka, <<The philosophica\ foundations of alternative set theory>>, lnt. Genaal Systems, vol. 20, , f ~ - (/.

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας 1. Μια διαδεδομένη αντίληψη περί επιστήμης Γνώση / Κατανόηση των φαινομένων του φυσικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου ΙΣΧΥΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΕΣ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2011 1. Θρησκευτικά 2 Θρησκευτικά: 2 ώρες 2. Αρχαία Ελληνική Γλώσσα & Γραμματεία

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 Εισαγωγή... 3 Οι αρχές του σύμπαντος κατά τον Αριστοτέλη... 3 Ο υποσελήνιος χώρος... 3 Ο χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα»

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» Ερώτημα 1 ο : Ποιες από αυτές τις «αρχές» είναι όντως αρχές και ποιες δεν είναι; Ερώτημα 2 ο : Ποιο έχει μεγαλύτερη ισχύ; η «αρχή» ή ο «νόμος»; Ερώτημα 3 ο : Ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης Ενσωμάτωση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Τιμοθέου Σάββας & Χριστοφορίδης Μιχάλης Μελέτη και γραφική Παράσταση Συνάρτησης Τμήμα:Γ6 ( με 18 μαθητές)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική διαδικασία και συγγραφή διατριβής: Μεθοδολογικές παρατηρήσεις ρ. Ηλίας Μαυροειδής Σ.Ε.Π., Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Τα στάδια της ερευνητικής διαδικασίας Τα βασικά στάδια για την εκπόνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά.

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. 1 Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. Ψάχνοντας από το εσωτερικό κάποιων εφημερίδων μέχρι σε πιο εξειδικευμένα περιοδικά και βιβλία σίγουρα θα έχουμε διαβάσει ή θα έχουμε τέλος πάντων πληροφορηθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 Στόχοι του Μαθήματος! Ανάπτυξη αναλυτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΠΟ31 ΘΕΜΑ

ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΠΟ31 ΘΕΜΑ ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΠΟ31 ΘΕΜΑ «Προτάξτε τρεις βασικές προϋποθέσεις της Επιστημονικής Επανάστασης. Αναλύστε και τεκμηριώστε τις επιλογές σας» Επαναδιατύπωση του θέματος- Στόχοι της εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ: Replete. ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ: Ποιά η επίδραση της ρομποτικής στην ιατρική; ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΟΥ ΑΣΧΟΛΗΘΗΚΕ ΜΕ ΑΥΤΟ: Σιούτης Δημήτρης

ΟΜΑΔΑ: Replete. ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ: Ποιά η επίδραση της ρομποτικής στην ιατρική; ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΟΥ ΑΣΧΟΛΗΘΗΚΕ ΜΕ ΑΥΤΟ: Σιούτης Δημήτρης ΟΜΑΔΑ: Replete ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ: Ποιά η επίδραση της ρομποτικής στην ιατρική; ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΟΥ ΑΣΧΟΛΗΘΗΚΕ ΜΕ ΑΥΤΟ: Σιούτης Δημήτρης ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ & ΙΑΤΡΙΚΗ Στον τομέα της ιατρική η ρομποτική παίζει ένα

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Έστω λοιπόν ότι το αντικείμενο ενδιαφέροντος είναι. Ας δούμε τι συνεπάγεται το κάθε. πριν από λίγο

Έστω λοιπόν ότι το αντικείμενο ενδιαφέροντος είναι. Ας δούμε τι συνεπάγεται το κάθε. πριν από λίγο Μορφές Εκπόνησης Ερευνητικής Εργασίας Μαρία Κουτσούμπα Έστω λοιπόν ότι το αντικείμενο ενδιαφέροντος είναι «η τηλεδιάσκεψη». Ας δούμε τι συνεπάγεται το κάθε ερευνητικό ερώτημα που θέσαμε πριν από λίγο Κουτσούμπα/Σεμινάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αικατερίνη Καλέρη, Αν. Καθηγήτρια το μάθημα Αισθητική διδάσκεται στο 4ο έτος, Ζ εξάμηνο εισάγει στις κλασσικές έννοιες και θεωρίες της φιλοσοφίας της τέχνης

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Θεματική Ενότητα: Πολλαπλές Ερμηνευτικές Προσεγγίσεις Βασίλειος Τσακανίκας Γεώργιος Τσαπακίδης vasilistsakanikas@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Το παραμύθι της Επιπεδίας

Το παραμύθι της Επιπεδίας Το παραμύθι της Επιπεδίας Ιστορία του J.Weeks, βασισμένη σε ιδέες του μυθιστορήματος Flatland: a romance in many dimensions, του E.A.Abbott, το οποίο δημοσιεύτηκε το 1884, και στο οποίο βασίστηκε το κινηματογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιαφάνειες παρουσίασης #1

ιαφάνειες παρουσίασης #1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/programming/ ιδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr) ιαφάνειες παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Managing Information. Lecturer: N. Kyritsis, MBA, Ph.D. Candidate Athens University of Economics and Business. e-mail: kyritsis@ist.edu.

Managing Information. Lecturer: N. Kyritsis, MBA, Ph.D. Candidate Athens University of Economics and Business. e-mail: kyritsis@ist.edu. Managing Information Lecturer: N. Kyritsis, MBA, Ph.D. Candidate Athens University of Economics and Business e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Διαχείριση Γνώσης Knowledge Management Learning Objectives Ποιοί

Διαβάστε περισσότερα

221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας

221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας 221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας Το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ιδρύθηκε το 1967 ως το πρώτο Τμήμα της Πολυτεχνικής Σχολής. Ο αρχικός τίτλος του

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. Καραβελάκη Μαρία, Παπαναγιώτου Γιώργος, Γρηγοριάδης Στάθης

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. Καραβελάκη Μαρία, Παπαναγιώτου Γιώργος, Γρηγοριάδης Στάθης Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Καραβελάκη Μαρία, Παπαναγιώτου Γιώργος, Γρηγοριάδης Στάθης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ραγδαία και συνεχής εξέλιξη των υπολογιστών και της πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστικές αλληλεπιδράσεις στις κατασκευές μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας geometer s sketchpad

Γνωστικές αλληλεπιδράσεις στις κατασκευές μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας geometer s sketchpad Γνωστικές αλληλεπιδράσεις στις κατασκευές μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας geometer s sketchpad Σ.Πατσιομίτου Εκπ/κός Δ/θμιας Εκπ/σης, Med Διδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηματικών ΕΚΠΑ, Υπ. Διδάκτωρ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τακτικές και Κόλπα κατά την Διαπραγμάτευση

Τακτικές και Κόλπα κατά την Διαπραγμάτευση Τακτικές και Κόλπα κατά την Διαπραγμάτευση Τακτική της Τμηματοποίησης Αν σκοπεύεις να διαπραγματευτείς ένα π.χ. συμβόλαιο τριών ετών, διαπραγματεύσου σκληρά για ένα συμβόλαιο ενός έτους μόνο. Όταν η διαπραγμάτευση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ακαδημαϊκό Έτος 2014-2015 Περίοδος Φεβρουαρίου 2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ 1ο-2ο ΕΞΑΜΗΝΟ 3ο-4ο ΕΞΑΜΗΝΟ 5ο-6ο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΕΠΠ IN A GLANCE! ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΟΛΥΜΕΝΗ

Η ΑΕΠΠ IN A GLANCE! ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΟΛΥΜΕΝΗ Η ΑΕΠΠ IN A GLANCE! Κατανομή μονάδων: 40 μονάδες το 1 ο Θέμα, από 20 τα υπόλοιπα τρία. Μην χαίρεστε όμως γιατί η «καθαρή» θεωρία περιορίζεται συνήθως- σε 5 ερωτήσεις σωστού ή λάθους και σε 1-2 ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. 2. Τι περιλαμβάνει ο στενός και τι ο ευρύτερος δημόσιος τομέας και με βάση ποια λογική γίνεται ο διαχωρισμός μεταξύ τους;

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. 2. Τι περιλαμβάνει ο στενός και τι ο ευρύτερος δημόσιος τομέας και με βάση ποια λογική γίνεται ο διαχωρισμός μεταξύ τους; Μάθημα: Εισαγωγή στα δημόσια οικονομικά Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Μαρία Καραμεσίνη Οι παρακάτω ερωτήσεις είναι οργανωτικές του διαβάσματος. Τα θέματα των εξετάσεων δεν εξαντλούνται σε αυτές, αλλά περιλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Για τα παιδιά (αλλά και για τους γονείς)...

Για τα παιδιά (αλλά και για τους γονείς)... Eισαγωγικό σημείωμα: «Οι κατ οίκον εργασίες στη διδασκαλία των μαθηματικών» Οι εργασίες «για το σπίτι» ή όπως λέγονται στις παιδαγωγικές επιστήμες οι κατ οίκον εργασίες αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος.

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος. 1. Δώστε τον ορισμό του προβλήματος. 2. Σι εννοούμε με τον όρο επίλυση ενός προβλήματος; 3. Σο πρόβλημα του 2000. 4. Σι εννοούμε με τον όρο κατανόηση προβλήματος; 5. Σι ονομάζουμε χώρο προβλήματος; 6.

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Έννοια του Συστήματος. 1.1 Τι είναι Σύστημα

Κεφάλαιο 1 ο. Έννοια του Συστήματος. 1.1 Τι είναι Σύστημα Κεφάλαιο 1 ο Έννοια του Συστήματος 1.1 Τι είναι Σύστημα Ο όρος «Σύστημα» παρότι είναι πολυχρησιμοποιημένος στη καθημερινή ζωή μας, εν τούτοις παραμένει αρκετά «νεφελώδης» και παρεξηγημένος. Στην πραγματικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Αναστασία Δ. Λύρη

«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Αναστασία Δ. Λύρη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΟΛΗ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Απευθύνεται: Σε κάθε εκπαιδευτικό που ενδιαφέρεται να βελτιώσει και να εκσυγχρονίσει τη διδασκαλία του/της. Στους/ις υποψήφιους/ες

Διαβάστε περισσότερα

219 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεσσαλονίκης

219 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεσσαλονίκης 219 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεσσαλονίκης Το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ιδρύθηκε με το ΒΔ.400/72 και άρχισε να λειτουργεί το 1972-73. Το ΑΠΘ είχε τότε ήδη 28.000 φοιτητές. Η ακριβής

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΒΔ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΟΝΤΟΤΗΤΩΝ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΒΔ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΟΝΤΟΤΗΤΩΝ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Χειμερινό Εξάμηνο 2013 - ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΒΔ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΟΝΤΟΤΗΤΩΝ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ Δρ. Βαγγελιώ Καβακλή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ 1 Αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Το πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά» για το νηπιαγωγείο δημοτικό, αποτελείται από τρία διδακτικά μέρη, δύο εκ των οποίων είναι κοινά για τους μαθητές όλων των τάξεων (Μέρη Α & Β )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Μάρκετινγκ Υπηρεσιών

Ειδικά Θέµατα Μάρκετινγκ Υπηρεσιών Ειδικά Θέµατα Μάρκετινγκ Υπηρεσιών 1 ΒΑΣΙΚΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟΙ, ΟΜΕΣ, &

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa. Πληροφορική 1 Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.gr/~organosi/ 2 Η δομή του μαθήματος Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

Εισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ Εισαγωγή Μιάεικόνααξίζει1000 λέξεις : Ανθρώπινοοπτικόκανάλι: 30-40 Μbits/s (=64-85 M λέξεις /min µε 4 γράµµατα/λέξη, 7bits/γράµµα). Γραπτό κείµενο: 600-1200 λέξεις/min. 100.000 αποδοτικότερη επικοινωνία

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργική Εκπαίδευση. Θεματική ενότητα 10 1/2. Όνομα καθηγητή: Αλέξανδρος Κουτσούρης Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης

Γεωργική Εκπαίδευση. Θεματική ενότητα 10 1/2. Όνομα καθηγητή: Αλέξανδρος Κουτσούρης Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης Γεωργική Εκπαίδευση Θεματική ενότητα 10 1/2 Όνομα καθηγητή: Αλέξανδρος Κουτσούρης Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης ΜΑΘΗΣΙΑΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Οι φοιτητές/τριες πρέπει να είναι ικανοί/ες: α) να αναφέρουν

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Νέο γενικό λύκειο. Σύνολο διακριτών μαθημάτων 15. Σύνολο διδακτικών ωρών 35. Ομάδες μαθημάτων 3. Μεμονωμένα μαθήματα 7

Νέο γενικό λύκειο. Σύνολο διακριτών μαθημάτων 15. Σύνολο διδακτικών ωρών 35. Ομάδες μαθημάτων 3. Μεμονωμένα μαθήματα 7 ΤΑΞΗ Α Σύνολο διακριτών μαθημάτων 15. Σύνολο διδακτικών ωρών 35. Ομάδες μαθημάτων 3. Μεμονωμένα μαθήματα 7 Α ομάδα μαθημάτων Ελληνική Γλώσσα Β ομάδα μαθημάτων Μαθηματικά Γ ομάδα μαθημάτων Φυσικές Επιστήμες

Διαβάστε περισσότερα

Έκδοση: 1.0. με το. Ασημίνα

Έκδοση: 1.0. με το. Ασημίνα Έκδοση: 1.0 Σύντομες οδηγίες για τη δημιουργία προσβάσιμων εγγράφων με το MS-Word 20100 Ασημίνα Σπανίδου και Γεώργιος Κουρουπέτρογλου aspanidou@di.uoa.gr koupe@di.uoa.gr Έργο «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Διδακτική της Πληροφορικής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Διδακτική της Πληροφορικής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Διδακτική της Πληροφορικής Η Πληροφορική ως αντικείμενο και ως εργαλείο μάθησης

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. και µεταπτυχιακές σπουδές

Τ.Ε.Ι. και µεταπτυχιακές σπουδές Τ.Ε.Ι. και µεταπτυχιακές σπουδές Με αφορµή τη συζήτηση που έγινε για τις προτάσεις που υποβλήθησαν στο πλαίσιο του Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. σχετικά µε νέα Μεταπτυχιακά Προγράµµατα Σπουδών, κρίνω ότι θα ήταν χρήσιµος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΩΤΟΥ ΜΕΡΟΥΣ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΩΤΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β. φιλιας, μ. κουρουκλη γ. ρουσσης, κ. κασιματη λ. μουσουρου, α. παπαριζος ε. χατζηκωνσταντη μ. πετρονωτη, γ. βαρσος φ. τσαλικογλου-κωστοπουλου ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΩΤΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός)

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Υπήρξε εφευρέτης του πρώτου σήματος ασυρμάτου τηλεφώνου και εκμεταλλεύτηκε εμπορικά την εφεύρεση. Ίδρυσε το 1897 την Ανώνυμη Εταιρεία Ασυρμάτου Τηλεγράφου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Υπό ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΡΤΙΚΗ, ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΣΟΥΓΙΑΝΝΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΤ1ΚΗ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιά 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συνήθη κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα