Μαθηματικά και Γλώσσα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά και Γλώσσα"

Transcript

1

2 Μαθηματικά και Γλώσσα Κων. Α. Δρόσος Αναπληρωτής Καθηγητής Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Στόχος αυτής της ομιλίας μου είναι να εκθέσω τη οασική άποψη, ότι δηλαδή τα μαθηματικά, κάτω από μια κατάλληλη θέαση, μπορούν να θεωρηθούν ως επιστήμη, όπως όλες οι εμπειρικές επιστήμες, και ότι τελικά η εμπειρία μπορεί να αλλάζει και τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων αλλά και τη γλώσσα και τους λογικούς κανόνες με τους οποίους αναφερόμαστε στα αντικείμενα αυτά. Πρώτα-πρώτα θα ήθελα να σας ζητήσω συγγνώμη, γιατί η σημερινή ομιλία μου είνα ι μάλλον ένας aυτοσχεδιασμός της τελευταίας στιγμής. Το θέμα, οεοαίως, με έχει απασχολήσει σ' όλη μου σχεδόν την επιστημονική δραστηριότητα, και το γεγονός αυτό ελπίζω να είναι καθοριστικός παράγων για μια επιτυχή «ανάδυση» των ο ασικών διαστάσεων του θέματος. Αρχίζοντας από τον τίτλο της ομιλίας μου, είναι φανερό ότι το θέμα μου σχετίζεται, αν κιόλας δεν ταυτίζεται, με τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Είναι, οεοαίως, προφανές ότι στον λίγο διαθέσιμο χρόνο δεν είναι δυνατόν να περιμένει κανείς μια έστω και στοιχειώδη κάλυψη του θέματος. Οστόχος μου λοιπόν είναι μάλλον περιορισμένος και είναι να δώσω μια κάπως προσωπική άποψη, που οεοαίως είναι άποψη

3 288 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 289 και άλλων ατόμων που εργάζονται στην ίδια επιστημονική περιοχή, ότι δηλαδή τα μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ως επιστήμη, όπως όλες οι εμπειρικές επιστήμ ες, και ότι τελικά η εμπειρία μπορεί να αλλάζει και τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων αλλά και τη γλώσσα και τους λογικούς κανόνες με τους οποίους αναφερόμαστε στα αντικείμενα αυτά. Χαρακτηριστικό είναι και το ακόλουθο απόσπασμα 2 : «Τ ον Φεορουάριο του 1990, στην ετήσια συνάντηση της American Association for the Advancement of Science, στην Νέα Ορλεάνη, συνήλθε μια σύνοδος με τον τίτλο "New Directions in the Philosophy of Mathematics" στο πρόγραμμα της οποίας υπήρχε το ακόλουθο χωρίο: 'Ή φιλοσοφία των μαθηματικών αρχίζει να δείχνει μια νέα ζωή, μετά από δεκαετίες στασιμότητας. Τα τρία κλασικά προγράμματα -Φορμαλισμός, Λογικισμός, και Ιντου "ίσιονισμός- που η εισαγωγή τους χρονολογείται στις αρχές του αιώνα ή και πιο πριν, έχουν προ πολλού φθάσει σε αδιέξοδο κατά την αναζήτησή τους για ακλόνητα μαθηματικά θεμέλια. Αυτή η εμπε ι ρία είναι μία από τις κύριες αιτίες για την αναζήτηση νέων κατευθύνσεων. Η δεύτερη αιτία είναι η τρέχουσα ολοκλήρωση, της πληροφορικής στην καθαρή μαθηματική έρευνα, που είναι ασυμοίοαστη με τις παραδοσιακές αντιλήψεις περί μαθηματικής αλήθειας και οεοαιότητας. Συνακόλουθα αναπτύσσεται μια αναζήτηση για μια φιλοσοφία των μαθηματικών που θα αποδέχεται το 'σφάλ μα ' στα μαθηματικά, που θα θεμελιώνονται πάνω σε μια ρεαλιστική ε ικόνα των μαθηματικών, και που θα περιλαμοάνει όχι μόνον την καθαρή μαθηματική έρευνα, αλλά και τη διαδασκαλία και τις εφαρ μογές των μαθηματικών"». Πολύς κόσμος, μεταξύ των οποίων και επαγγελματίες μα θηματικοί, έχουν εκθειάσει τη «οεοαιό τητα» την «ακρίοε ια» και την «αυστηρότητα» των μαθηματικών. Έτσι, λοιπόν, οι περισσότεροι όταν λένε μαθηματικά εννοούν αποκλειστικά τα δίτιμα μαθηματικά, όπου οι προτάσεις παίρνουν μόνον δύο τιμές αλήθειας, εννοούν μαθηματι- κά που δεν επιδέχο νται καμιά αμφ ι οολία, δεν ε μπεριέχουν ασάφειες και λάθη κ.λπ. Αυτή η απόλυτη αντίληψη για τα μαθηματικά υπάρχει, και είναι αυτή που εκφράζεται, ως πλατωνικά-καντοριανά μαθηματικά. Με την ομιλία μου αυτή, θα ήθελα να δείξω ότι υπάρχουν και άλλες εναλλακτικές θεωρήσεις, που οδηγούν στα μη καντοριανά μαθηματικά και στις πλειότιμες λογικές, και να εναντιωθώ στο μονοπώλιο της κλασικής αντίληψης. Έστω λοιπόν το ακόλουθο σχήμα: Πραγματικός Ειδετική Απόλυτα Καντοριανά Μαθηματικά και δίτιμη λογική Αναγωγή Κόσμος (Καντοριανός Πλατωνισμός) Όταν λέμε πραγματικό κόσμο υποθέτουμε συνήθως τον μακροσκοπικό φαινόμενο κόσμο και όχι π.χ. μικροσκοπικά ή μεγασκοπικά επίπεδα (π.χ. κοαντικό επίπεδο κ.λπ.). Αυτά τα επίπεδα προκύπτουν στα μαθηματικά ως μη συμοατικές πραγματικότητες της ειδετικής αναγωγής του φαινόμενου μακροσκοπικού κόσμου. Μέσα από την πλατων ική ειδετική αναγωγή ο μακροσκοπικός αυτός κόσμος ανάγεται σε «ουσίες», «έννο ιες», κ.λπ. και στα μαθηματικά μπορούμε να ταυτίσουμε την αναγωγή αυτή με τη συνολοθεωρία των Zermelo-Fraenkel μαζί με το Αξίωμα της Επιλογής (ZFC). Η μαθηματική αυτή πραγματικότητα, παρ' όλους τους περιορισμούς που προέρχονται από το θεώρημα μη-πληρότητας του Godel, καθώς και από τα θεωρήματα των Lowenheim- Skolem, είναι πράγματι δίτιμη, δεν μεταοάλλεται, είναι οέοα ια και αδιάσειστη, μπορεί δε κανείς να υποστηρίξει ότι έχε ι και μια μεγάλη αυτονομία από τον πραγματικό κόσμο από τον οποίο προήλθε. Αυτά αποτελούν

4 290 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 291 τα λεγόμενα «κλασσικά μαθηματικά» και είναι επόμενο η μαθηματική γλώσσα που περιγράφει τις ιδέες-έννοιες να είναι δίτιμη, χωρίς ενδιάμεσες τιμές, χωρίς ασάφειες και αοεοαιότητες. Μετά από αυτή τη σύντομη παρουσίαση του εννοιολογικού υπόοαθρου των κλασσικών μαθηματικών, τίθεται το οασικό ερώτημα: εμπειρισμός ή aπριορισμός Ο aπριορισμός ταιριάζει καλύτερα στα κλασσικά απόλυτα μαθηματικά: τον Καντοριανό Πλατωνισμό. Οι «μαθηματικές ιδέες» και η δίτιμη λογική έχουν αποκτήσει μια σχετική αλλά μεγάλη αυτονομία από τη μακροσκοπική πραγματικότητα από την οποία προήλθαν. Δεν αναμένεται λοιπόν η μελλοντική μας εμπειρία να αλλάξει αυτή την πλασματική πραγματικότητα (virtual reality) του νου, ούτε την τυπική γλώσσα και δίτιμη λογική με την οποία αυτά εκφράζονται. Σ' αυτόν τον Καντοριανό Πλατωνισμό είναι φυσικό να σκεφθεί κανείς ότι, περιοριζόμενοι μόνον σε μια τυπική μαθηματική γλώσσα μέσα στην οποία έχουν aντανακλαστεί οι μαθηματικές ιδέες, θα ήταν δυνατό να εκφράσουμε όλα τα μαθηματικά με έναν συντακτικό τρόπο. Ένα τέτοιο πρόγραμμα είναι και ο Λογικισμός, που εισήχθη από τον Russell και τον Whitehead και συνεχίστηκε από τον Κύκλο της Βιέννης και το οποίο ήθελε να εκφράσει όλα τα μαθηματικά με τη χρήση μιας τυπικής μαθηματικής γλώσσας. Ο δε οασικός του ισχυρισμός είναι ότι τα μαθηματικά είναι ένας κλάδος της Λογικής. Το πρόγραμμα αυτό είχε μια επιτυχία γύρω στο 80%. Ο λογικισμός επιζητεί να σπρώξει τα θεμέλια των μαθηματικών όσο οαθύτερα γίνεται, δηλαδή στη μαθηματική γλώσσα και την τυπική λογική. Από τις εργασίες όμως του Lawvere, είναι γνωστό ότι το οασικό διαλεκτικό σχήμα για τα μαθηματικά είναι, Γεωμετρία Η Λογική. Η προσπάθεια αναγωγής της Γεωμετρίας στη Λογική με ταυτόχρονη κατάργηση του πιο πάνω διαλεκτικού σχήματος ήταν από την αρχή καταδικασμένη. Ωστόσο, τα κέρδη σε γνώσεις της aνθρωπότητας από αυτήν την άσκηση ήταν μεγάλα. Μια δεύτερη γνωστή σχολή είναι ο φορμαλισμός ή τυποκρατία, ο οποίος ισχυρίζεται ότι τα μαθηματικά ασχολούνται με τυπικά συμοολικά συστήματα, που οασίζονται στις τυπικές μαθηματικές γλώσσες, και αρνούνται κάθε σημασία και ερμηνεία στα σύμοολα αυτά. Δέχεται το συντακτικό επίπεδο και απορρίπτει το σημασιολογικό επίπεδο. Για τον φορμαλισμό η μαθηματική οντολογία απουσιάζει τελείως από τον προοληματισμό του, και έτσι τα σύμοολα δεν έχουν καμιά σημασία ή ερμηνεία! Έτσι λοιπόν, όταν οι φιλόσοφοι αρχίζουν τις δύσκολες ερωτήσεις στους μαθηματικούς, αυτοί οχυρώνονται πίσω από τον φορμαλισμό, λέγοντας ότι «εμείς ασχολούμαστε με κάποια σύμοολα χωρίς καμιά σημασία, τα σύμοολα αυτά έχουν κάποιους κανόνες (αξιώματα) και δεν κάνουμε τίποτε άλλο από το να παράγουμε κάποια έγκυρα συμπεράσματα». 3 Ο φορμαλισμός ήταν η κυρίαρχη μαθηματική φιλοσοφία στη οιομηχανική περίοδο, για το λόγο ότι ο μαθηματικόςφορμαλιστής είναι περισσότερο παραγωγικός, και όπως είναι γνωστό το οασικό αίτημα της οιομηχανικής εποχής ήταν η παραγωγικότητα και η απόδοση του <φublish or paish». Στη συνέχεια έχουμε μια άλλη σχολή, τον ενορατισμό ή διαισθητισμό που πολλές φορές λέγεται και ιντουϊσιονισμός (intusionism), λόγω κάποιας εννοιολογικής φόρτισης των όρων ενορατισμός και διαισθητισμός. Η οασική του θέση είναι ότι τα μαθηματικά πρέπει να κατασκευάζονται μόνον με πεπερασμένες κατασκευαστικές μεθόδους που οασίζονται πάνω στη διαισθητικά δοσμένη ακολουθία των φυσικών αριθμών. Δεν πιστεύει στην αρχή «της του τρίτου αποκλείσεως» και από την άποψη της φυσιολογίας του εγκεφάλου, δίνει την

5 292 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 293 εντύπωση ότι η λογική του είναι η λογική του «αριστερού ημισφαιρίου του εγκεφάλου. Δεν αποδέχεται αποδείξεις με «εις aτοπο απαγωγή» και τελικa ένα μεγaλο μέρος από τα μαθηματικa φαίνεται να χaνεται. Είναι αλήθεια ότι ο κύκλος. της Βιέννης προσπaθησε να γεφυρώσει την εμπειρία με το απόλυτο μαθηματικό σύμπαν, πρaγμα αδύνατο αν το απόλυτο μαθηματικό σύμπαν δεν μετασχηματιστεί πρώτα σε ένα μη συμοατικό μαθηματικό σύμπαν. Ένας aλλος μεγaλος φιλόσοφος που σχετίζεται με τέτοιου είδους γεφυρώματα είναι ο Ε. Husserl, ο οποίος ενέπνευσε και τους διαισθητικούς, και τους ρεαλιστές (Πλατωνικούς και μη)ί- 8 αλλα και τις τελευταίες εξελίξεις στα μαθηματικa, που ορίσκονται προς την κατεύθυνση των μη καντοριανών μη συμοατικών μαθηματικών, που αποτελούν την καρδιa για μια τοπική ανaπτυξη των μαθηματικών σε αντιπαρaθεση με τα απόλυτα καντοριανa. Οι σύγχρονες τaσεις στη φιλοσοφία των μαθηματικών, 2 περιστρέφονται γύρω από έναν μη καντοριανό ρεαλισμό που στην ουσία συμπίπτει με την παρατήρηση του απόλυτου κα ντοριανού σύμπαντος από ένα τοπικό συνηθισμένο παρατηρητή ( aνθρωπο, ρομπότ, όργανο μέτρησης, παραμορφωτικούς φακούς κ.λπ.). Έτσι τα μαθηματικa εκλαμοaνονται και συγκροτούνται ως ένα είδος Θεωρητικής Φυσικής ή Βιολογίας κ. λπ. Η θέαση του απόλυτου μαθηματικού σύμπαντος από έναν τοπικό παρατηρητή, στην ουσία, αντιστοιχεί σε ένα ουσιαστικό μετασχηματισμό του απόλυτου σύμπαντος σε ένα μη καντοριανό σύμπαν που οασίζεται πaνω σε «aόριστα» και «ασαφή» αντικείμενα, η δε λογική που επικρατεί είναι «πλειότιμη>>, «aσαφής» κ.λπ. Αυτή η μη καντοριανή πραγματικότητα,9 είναι πολύ κοντa με μια όψη της φυσικής πραγματικότητας η δε λογική και γλώσσα πολύ κοντά σε μια όψη της φυσικής γλώσσας εμπλουτισμένης με κάποια μαθηματικά σύμοολα. Έτσι, η ασaφεια και η αοριστία τις οποίες θέλησαν να εξοοελίσουν από τα μαθηματικa, επιστρέφουν πaλι σ' αυ- τa και τα μετουσιώνουν με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι κατaλληλα για εφαρμογές, στην πληροφορική (Ρομποτική, Τεχνητή νοημοσύνη, Ασαφείς Ελεγκτές κ.λπ.) και, γενικa, αυτa τα μαθηματικa είναι τα μαθηματικa της μεταοιομηχανικής εποχής. 4 1 Βεοαίως, τα κλασικa μαθηματικa, όπως είναι, δεν είναι κατaλληλα για τέτοιου είδους εφαρμογές, ήταν όμως, όπως είναι γνωστό, κατaλληλα για εφαρμογές της οιομηχανικής εποχής. Κaθε μετασχηματισμένο μη καντοριανό σύμπαν μπορεί να θεωρηθεί σαν μια «τοπική θέαση ή όψη» της πραγματικότητας. Με οaση αυτή την θέαση, μπορούμε πλέον να θεωρήσουμε τα μαθηματικa ως επιστήμη (παρατήρηση, πείραμα και πιθανή αλλαγή θέασης του μη καντοριανού σύμπαντος). Η ύπαρξη πολλών «όψεων» και το χaσιμο της μοναδικότητας του Καντοριανού Σύμπαντος θεωρήθηκε από πολλούς σαν μειονέκτημα. Απεναντίας, πιστεύω ότι αυτό είναι ένα πλεονέκτημα, αφού πaνω σε αυτή την δυνατότητα ύπαρξης aπείρων διαφορετικών συμπaντων στηρίζεται η aποψη ότι τα μαθηματικa μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως επιστήμη. Κaθε «παρατηρητής», κaθε «όργανο μέτρησης», κaθε τρόπος θέασης της καντοριανής πραγματικότητας, οδηγεί κάι σε ένα μη καντοριανό σύμπαν. Τα μαθηματικa αυτa είναι χρήσιμα όχι μόνον στην πλη ροφορική αλλa και στις επιστήμες που συνήθως αποκαλούνται ευέλικτες ή «μαλακές» (soft) όπως, π.χ., η Ψυχολογία, η Κοινωνιολογία, η Παιδαγωγική κ.λπ. Τα μη καντοριανa, μη συμοατικa μαθηματικa στηρίζονται, οασικa, στα θεωρήματα της μοντελο-θεωρίας που είναι γνωστa ως Θεωρήματα των Lowenheim-Skolem. Από την aλλη μεριa οι αποδείξεις ανεξαρτησίας του Cohen και μη πληρότητας του GOdel δείχνουν ότι πρaγματι υπaρχουν ανεξaρτητα αξιώματα. Αυτό σημαίνει ότι υπaρχουν πραγματικότητες, «θεaσει ς» στις οποίες aλλοτε είναι αληθινa και aλλοτε

6 294 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 295 ψευδή. Δηλαδή, η αλήθεια τους εξαρτάται από τον τρόπο παρατήρησης της καντοριανής πραγματικότητας. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα των όσων λέγονται πιο πάνω είναι τα μη καντοριανά μαθηματικά της οθόνης του υπολογιστή. Με τη χρήση του θαυμαστού προγράμματος-λογισμικού που λέγεται Mathematica, τα απόλυτα καντοριανά μαθηματικά μετασχηματίζονται και οπτικοποιούνται ή εξεικονίζονται σε γεωμετρικά αντικείμενα της οθόνης του υπολογιστή. Αλλά αυτή η οθόνη χαρακτηρίζεται από: (i) Πεπερασμένο αριθμό φωτοστοιχείων (pixels) και επομένως τα μαθηματικά της οθόνης από την απόλυτη σκοπιά είναι διακριτά. (ii) Αδυναμία διάκρισης μεταξύ διαδοχικών φωτοστοιχείων, στην οποία οφείλεται και το φαινόμενο της συνέχειας και του συνεχούς. Δηλαδή, το διακριτό από την απόλυτη σκοπιά, εκλαμοάνεται, λόγω της αδυναμίας διάκρισης του παρατηρητή, σαν συνεχές. Έτσι, το καντοριανό άπειρο εκφράζεται στην οθόνη του υπολογιστή ως: πεπερασμένο + ασάφεια. Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι το οασικό θέμα των μη καντοριανών μη συμοατικών μαθηματικών είναι ακριοώς ανάλογο, με τη σύνδεση και τον μετασχηματισμό της απόλυτης καντοριανής πλασματικής πραγματικότητας του νου σε αυτήν της μη καντοριανής μη συμοατικής εικονικής πραγματικότητας της οθόνης του υπολογιστή. Τέλος, υπάρχει και μια άλλη προσέγγιση στα ίδια θέματα, μέσα από τη Θεωρία Κατηγοριών και Τόπων. Μια «κατηγορία» αποτελείται από μια κλάση αντικειμένων καθώς και από τις αλληλεπιδράσεις αυτών των αντικειμένων, που εδώ ονομάζονται μορφισμοί ή οέλη. Ένας τόπος είναι ένα μαθηματικό περιοάλλον που θυμίζει την κατηγορία των συνόλων. Στους τόπους, λοιπόν, η λογική και η γλώσσα αναδύεται μέσα από το μαθηματικό αυτό περιοάλλον σαν ένα είδος ειδικών οελών ή λογικών διαδικασιών. Για τον λόγο αυτό, οι κατηγορικοί του Russell: ισχυρίζονται ακριοώς το αντίθετο από τον ισχυρισμό Η λογική και η γλώσσα στα μαθηματικά έπεται και δεν προηγείται των μαθηματικών, η δε λογική και η γεωμετρία αποτελούν, σύμφωνα με τις αναλύσεις του W. Lawvere, 6 το οασικό διαλεκτικό σχήμα των μαθηματικών. Το κυρίαρχο σκέλος στη οιομηχανική εποχή ήταν αυτό της λογικής, ενώ στη μεταοιομηχανική εποχή φαίνεται να είναι η γεωμετρία, αφού τα ρομπότ, η τεχνητή νοημοσύνη και η πλασματική ή εικονική πραγματικότητα, μαζί με τις πλειότιμες λογικές, εξαρτώνται κατά ένα δασικό τρόπο από τη γεωμετρία. Πηγαίνοντας ένα οήμα πιο πέρα, ο Lawvere ισχυρίζεται ότι η θεωρία των κατηγοριών, και ιδιαίτερα οι συζυγείς ή προσαρτημένοι συναρτητές, αποτελούν τη μαθηματική έκφραση της διαλεκτικής. Υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγματα μαθηματικών εννοιών που προκύπτουν ως σύνθεση (ισοδυναμία κατηγοριών) κάποιου διαλεκτικού σχήματος. 5 Συνεπώς δεν θα ήταν δυνατόν να υπάρχει διαλεκτική στα μαθηματικά, αν δεν υπάρχει η σύγκρουση του μηδέν και του ένα, του άσπρου και του μαύρου, που ως σύνθεση θα δώσουν το 1/2, το γκρίζο, και τελικά την πλειότιμη λογική και τις μη καντοριανές πραγματικότητες. Οι εξελίξεις αυτές δυστυχώς δεν είναι ευρέως γνωστές ούτε μεταξύ των επαγγελματιών μαθηματικίσν και νομίζω ότι θα χρειαστεί κάποιο είδος διαφωτισμού, για να πειστούν οι ενδιαφερόμενοι ότι αυτά είναι τα μαθηματικά που είναι κατάλ ληλα για τη μεταοιομηχανική κοινωνία. Η αδυναμία κατανόησης οφείλεται κυρίως σε μια Βαοέλ που έχει αναπτυχθεί στα μαθηματικά και που κυρίως οφείλεται στην εκφραστική δυσκολία και έλλειψη πλαστικότητας της καθιερωμένης μαθηματικής γλώσσας. Είναι φανερό ότι η αναζήτηση μιας «συνθετικής γλώσσας» για τα μαθηματικά θα είναι το κύριο

7 296 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΑ 297 μέλημα των μαθηματικών του μέλλοντος. Κάθε προσπάθεια κατανόησης, «κά θε κοίταγμα στο διπλανό χωράφι» μπορεί να χρειάζεται και δέκα χρόνια. Εξάλλου, δεν υπάρχει καμιά προσπάθεια στα Τμήματα Μαθηματικών, κοντά στα μαθήματα εξειδίκευσης, να διδάσκονται, μαθήματα που διευκολύνουν τη σύνθεση και ευρύνουν την αντίληψη. Τέτοια μαθήματα είναι: Η Θεωρία Συνόλων, η Μαθηματική Λογική, η Καθολική Άλγεορα και η Θεωρία Κατηγοριών και Τόπων. Συνοψίζοντας, πρέπει να πούμε ότι οι παραδοσιακές σχολές φιλοσο(ρίας των μαθηματικών έχουν οδηγήσει σε αδιέξοδο και τείνουν να εγκαταλειφθούν. Οι σύγχρονες τάσεις της φιλοσοφίας των μαθηματικών για ασφαλή και αδιάσειστα μαθηματικά θεμέλια οδηγεί, σε τελευταία ανάλυση, στην εισαγωγή της ασάφειας, της αοριστίας και των πλειοτίμων λογικών για νά μελετήσουμε με ευφυή τρόπο τον σαφή και αδιάσειστο κόσμο που μας περιοάλλει. Αυτό στην ουσία σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ασφαλή μηδέν-ένα μαθηματικά θεμέλια, αλλά οποιαδήποτε ασφάλεια κερδίζεται από τη σωστή διαχείριση της ασάφειας και της αοριστίας. Δεν θα πρέπει να ξεχνούμε, εξάλλου, ότι η ασφάλεια και η στερεότητα του μακρόκοσμου οασίζεται στην ασαφοποίηση ενός τεράστιου ποσού πληροφορίας και στοιχείων του μικροσκοπικού επιπέδου. Μια οασική διαφορά μεταξύ των καντοριανών και μη μαθηματικών είναι ότι η καντοριανή σαφήνεια, ακρίοεια και αυστηρότητα οασίζεται κατά έναν ουσιαστικό τρόπο στη χρήση του ενεστωτικού απείρου, ενώ η ύπαρξη ασάφειας στη μη καντοριανή παραλλαγή των μαθηματικών, οφείλεται κυρίως στη χρήση του δυναμικού απείρου. Το ενεστωτικό άπειρο παγώνει με σαφήνεια τα πάντα, ενώ το δυναμικό άπειρο δίνει ξανά το πραγματικό πρόσωπο στο μαθηματικό περιοάλλον, και εκφράζει στην ουσία το ακατανόητο, το ασαφές και το αόριστο. Στα μη καντοριανά μαθηματικά υπάρχει επίπεδο πραγ - ί. ματικότητας, ορίζοντας παρατήρησης κ.λπ., που δεν υπάρχουν τουλάχιστον με άμεσο τρόπο, στα καντοριανά μαθηματικά. Από τα παραπάνω έγινε νομίζω φανερό ότι τα μη καντοριανά μη συμοατικά μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ως επιστήμη, όπου η εμπειρία μπορεί να μεταοάλλει και τη λογική και τα μαθηματικά αντικείμενα. Εξάλλου, αυτά τα μαθηματικά είναι τα μαθηματικά της μεταοιομηχανικής κοινωνίας.

8 298 Κ. Α. ΔΡΟΣΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡ ΑΦΙΑ 1. C.A. Drossos, «Foundations of fuzzy sets, Α nonstandard approach>>, Fuzzy Sets and Systems, vol. 37, pp , R. Herch (ed.), «New directions in the philoshophy of mathematics>>, Synthese vol 88, R. Herch, «Some proposa\s for reviving the philoshophy of mathematics>>, Advances ίn Math, vol. 31, pp , Bart Kosko, Fuzzy Thίnkίng: The New Sι ίenι e of Fuzzy Logίc. Prentice Cliffts, J. Lambek, <<The influence of Heraclitus on modem mathematics>>. In J. Agassi and R.S. Cohen (ed), Scίentifίc Phίlosophy Today, pp , Reidel, F.M. Lawvere, Quantifίas and shaves, in Actes du Congre s Intem. des Math., Nice 1970 pp , Quathier-Villars, Paris, Ρ. Maddy, Realίsm ίn Mathematics, Oxford University Press, Oxford, R. τieszen, Mathematίcal Intuίtion: Ph.enomenology αιιd Mathematiωl ~nowledge, Kluwer, Ρ. Vopenka, <<The philosophica\ foundations of alternative set theory>>, lnt. Genaal Systems, vol. 20, , f ~ - (/.

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων

αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων Ο χαρακτηρισµός των Μαθηµατικών ως αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων έχει αποτελέσει αντικείµενο έντονων αντιπαραθέσεων µεταξύ των ερευνητών. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w) Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα... 17

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα... 17 11 Προλογικό Σημείωμα... 17 Ενότητα Ι: Δημιουργική Αναζήτηση... 19 Δ01 Ο Ιωνικός Διαφωτισμός και η Ανάδυση της Επιστημονικής Σκέψης...21 Δ1.1 Ο Ιωνικός Διαφωτισμός... 21 Δ1.2 Η Επιστημονική Σκέψη... 22

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΧΤΕΛΙΔΗΣ, ΥΒΟΝ ΚΟΣΜΑ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΧΤΕΛΙΔΗΣ, ΥΒΟΝ ΚΟΣΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παιδική ηλικία είναι ένα ζήτημα για το οποίο η κοινωνιολογία έχει δείξει μεγάλο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια. Από τις αρχές της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα βρίσκεται υπό εξέλιξη ένα πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου ΙΣΧΥΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΕΣ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2011 1. Θρησκευτικά 2 Θρησκευτικά: 2 ώρες 2. Αρχαία Ελληνική Γλώσσα & Γραμματεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας 1. Μια διαδεδομένη αντίληψη περί επιστήμης Γνώση / Κατανόηση των φαινομένων του φυσικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή (ΨΥΧ-122) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 1 Εισαγωγή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού

Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή Γνώση γλώσσας από τη σκοπιά Του συντακτικού (syntax) Περιγραφή με γραμματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Διδακτική των Φυσικών Επιστημών στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα # 1.2: Η προοπτική των βασικών αρχών της φύσης των Φυσικών Επιστημών στην επιμόρφωση των εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Λέξεις και νόημα Η γλώσσα αποτελείται από λέξεις. Η λέξη είναι το μικρότερο τμήμα της γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Ανάλυση προβλήματος

Κεφάλαιο 1 Ανάλυση προβλήματος Κεφάλαιο 1 Ανάλυση προβλήματος 1.1 Η έννοια πρόβλημα Με τον όρο πρόβλημα εννοείται μια κατάσταση η οποία χρειάζεται αντιμετώπιση, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. 1.2 Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Νοητική Διεργασία και Απεριόριστη Νοημοσύνη

Νοητική Διεργασία και Απεριόριστη Νοημοσύνη (Επιφυλλίδα - Οπισθόφυλλο). ΜΙΑ ΣΥΝΟΨΗ Η κατανόηση της νοητικής διεργασίας και της νοητικής εξέλιξης στην πράξη απαιτεί τη συνεχή και σε βάθος αντίληψη τριών σημείων, τα οποία είναι και τα βασικά σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη φιλοσοφία

Εισαγωγή στη φιλοσοφία Εισαγωγή στη φιλοσοφία Ενότητα 2 η : Μεταφυσική ή Οντολογία Ι: Θεός Ρένια Γασπαράτου Σχολή Ανθρωπιστικών & Κοινωνικών Επιστημών Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης & της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Η μεθοδολογία της επιστήμης

Η μεθοδολογία της επιστήμης Η μεθοδολογία της επιστήμης Στο βιβλίο «the evolution οf scientific thought», που τμήμα του μεταφράζω στο «στοιχεία φιλοσοφίας από την επιστημονική μέθοδο» ο Abraham D Abro μας παρουσιάζει τη μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

GEORGE BERKELEY ( )

GEORGE BERKELEY ( ) 42 GEORGE BERKELEY (1685-1753) «Ο βασικός σκοπός του Berkeley δεν ήταν να αμφισβητήσει την ύπαρξη των εξωτερικών αντικειμένων, αλλά να υποστηρίξει την άποψη ότι τα πνεύματα ήταν τα μόνα ανεξάρτητα όντα,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της αιτιότητας στη φιλοσοφία του Kant: η σημασία της Δεύτερης Αναλογίας

Η έννοια της αιτιότητας στη φιλοσοφία του Kant: η σημασία της Δεύτερης Αναλογίας Η έννοια της αιτιότητας στη φιλοσοφία του Kant: η σημασία της Δεύτερης Αναλογίας Διατμηματικό μεταπτυχιακό πρόγραμμα «Ιστορία και Φιλοσοφία της Επιστήμης και της Τεχνολογίας» Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική Ψυχολογία / Γνωσιακή Επιστήµη Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΚΑΙΙΚΗ ΘΕΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Αλέξης ΤΑΤΤΗΣ, Δ.Ν. Μάιος 2013

Η ΔΙΚΑΙΙΚΗ ΘΕΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Αλέξης ΤΑΤΤΗΣ, Δ.Ν. Μάιος 2013 Η ΔΙΚΑΙΙΚΗ ΘΕΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Αλέξης ΤΑΤΤΗΣ, Δ.Ν. Μάιος 2013 ΔΙΚΑΙΟ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΥΜΠΑΝ Συνήθης θεώρηση: 1. Το δίκαιο ρυθμίζει τον ιστορικά εξελισσόμενο κόσμο της πληροφορίας (π.χ. αρχεία,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x»

Πρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x» 5 Περιεχόμενα Πρόλογος 7 Ίσες συναρτήσεις και συναρτήσεις Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης 2 Η μόνη συνάρτηση που είναι ίση με την αντίστοφή της είναι η ταυτοτική 3 Συμπεράσματα 5 Βασικές ιδιότητες αντίστροφων

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Επιστημολογίας. Ρένια Γασπαράτου

Θέματα Επιστημολογίας. Ρένια Γασπαράτου Ρένια Γασπαράτου Τι είναι επιστήμη; ποιες είναι (οι) επιστήμες; Π.χ.: φυσική χηµεία αλχηµεία βιολογία αστρολογία αστρονοµία ρεφλεξολογία βελονισµός οµοιοπαθητική γραφολογία νευρολογία φρενολογία µετεωρολογία

Διαβάστε περισσότερα

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ; 1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημολογική και Διδακτική Προσέγγιση της Έννοιας της «Ύλης»

Επιστημολογική και Διδακτική Προσέγγιση της Έννοιας της «Ύλης» Επιστημολογική και Διδακτική Προσέγγιση της Έννοιας της «Ύλης» Κωνσταντίνος Δ. Σκορδούλης Παιδαγωγικό Τμήμα ΔΕ Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Δυισμός: η κυρίαρχη οντολογία των φιλοσόφων 1.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής, Αριστοτέλης, και Γαλιλαίος

Θαλής, Αριστοτέλης, και Γαλιλαίος Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 4 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Τηλ.: +30 310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Θαλής, Αριστοτέλης,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Σημασιολογική Ολοκλήρωση Δεδομένων με τη χρήση Οντολογιών

Σημασιολογική Ολοκλήρωση Δεδομένων με τη χρήση Οντολογιών Σημασιολογική Ολοκλήρωση Δεδομένων με τη χρήση Οντολογιών Λίνα Μπουντούρη - Μανόλης Γεργατσούλης Ιόνιο Πανεπιστήμιο 15ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών Διαδίκτυο και Επίπεδα ετερογένειας δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Στάθης Παπασταθόπουλος. Τμήμα: Φιλοσοφίας, Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας

Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Στάθης Παπασταθόπουλος. Τμήμα: Φιλοσοφίας, Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Τίτλος Μαθήματος: ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ Ι Ενότητα: Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ L. S. Vygotsky Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Στάθης Παπασταθόπουλος Τμήμα: Φιλοσοφίας, Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά.

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. 1 Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. Ψάχνοντας από το εσωτερικό κάποιων εφημερίδων μέχρι σε πιο εξειδικευμένα περιοδικά και βιβλία σίγουρα θα έχουμε διαβάσει ή θα έχουμε τέλος πάντων πληροφορηθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ;

ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ; ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ; 4 Μαρτίου 2015 Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας «Ωρίων» Βασίλης Αρμάος - Ανδρέας Παπαλάμπρου Αλματώδης ανάπτυξη επιστήμης και τεχνολογίας Θα φτάσουμε ποτέ στην απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα