ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε το άθροισμά τους κι το γινόμενό τους.. Κθεμιά πό τις πρκάτω προτάσεις μπορεί ν είνι σωστή, μπορεί όμως ν είνι λάθος. Γράψτε δίπλ πό κάθε πρότση το Σ ν υτή είνι σωστή κι το Λ ν υτή είνι λάθος. Ο ριθμός είνι ένς ρνητικός ρητός ριθμός. Ο ριθμός είνι ο ντίθετος του ριθμού κι μπορεί ν είνι θετικός ή ρνητικός ν ο είνι ρνητικός ή θετικός ντίστοι... Οι ντίθετοι ριθμοί έουν ντίθετες πόλυτες τιμές.. Οι ντίθετοι ριθμοί έουν την ίδι πάντ πόλυτη τιμή φού υτή εκφράζει την πόστση των σημείων του άξον στ οποί υτοί μπίνουν πό την ρή του... Η πόλυτη τιμή ενός ριθμού είνι πάντ μη ρνητικός ριθμός. Η πόλυτη τιμή ενός ριθμού μπορεί ν είνι κι ρνητικός ριθμός... Ο ντίθετος του είνι ίσος με το γινόμενο του με τον δηλδή =(- Οι ομόσημοι ριθμοί έουν γινόμενο ριθμό ομόσημο μ υτούς. Οι ομόσημοι ριθμοί έουν γινόμενο ένν θετικό ριθμό. Οι ετερόσημοι έουν γινόμενο ένν ρνητικό ριθμό. Οι ντίθετοι ριθμοί έουν γινόμενο ρνητικό ριθμό. Αν ένς ρητός ριθμός τότε = κι 0 = 0. Οι ντίστροφοι ριθμοί έουν γινόμενο 0 Οι ντίστροφοι ριθμοί έουν γινόμενο Οι ντίστροφοι ριθμοί έουν γινόμενο. Σε κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις επιλέξτε το σωστό συμπέρσμ συμπληρώνοντς τον πίνκ που κολουθεί..το γινόμενο δύο ριθμών είνι ρνητικός ριθμός Α. Οι ριθμοί είνι ρνητικοί. Β. Οι ριθμοί είνι ομόσημοι. Γ. Οι ριθμοί είνι ετερόσημοι. Δ. Οι ριθμοί είνι θετικοί..το γινόμενο δύο ριθμών είνι ριθμός θετικός. Α. Οι ριθμοί είνι ρνητικοί. Β. Οι ριθμοί είνι ομόσημοι. Γ. Οι ριθμοί είνι ετερόσημοι. Δ. Οι ριθμοί είνι θετικοί..έστω οι ρητοί ριθμοί,, γ ώστε γ = Α. Οι ριθμοί,, γ είνι ντίστροφοι. Β. Οι ριθμοί,, γ είνι ομόσημοι. Γ. Ο ριθμός είνι ντίστροφος του. Δ. Ο ριθμός είνι ντίστροφος του γ..έστω οι ρητοί ριθμοί, ώστε - ( = 0.

2 Α. Οι ριθμοί, είνι ντίστροφοι. Β. Οι ριθμοί, είνι 0. Γ. Ο ριθμός είνι ντίθετος του. Δ. Ισύει =. 5.Το γινόμενο κι το άθροισμ δύο ριθμών είνι ριθμός θετικός. Α. Οι ριθμοί είνι ρνητικοί. Β. Οι ριθμοί είνι ομόσημοι. Γ. Οι ριθμοί είνι ετερόσημοι. Δ. Οι ριθμοί είνι θετικοί. Πρότση 5 Σωστό συμπέρσμ. Γνωρίζοντς ότι = - κι ψ = 7 ν υπολογίσετε τις τιμές των πρκάτω πρστάσεων με την οήθει της επιμεριστικής ιδιότητς: Π = - 5 5ψ Π =. ( ψ 5-0 Π = ψ 5ψ = 8ψ ψ Π Π 5 = ψ ψ 5. Κθεμιά πό τις πρκάτω προτάσεις μπορεί ν είνι σωστή, μπορεί όμως ν είνι λάθος. Γράψτε δίπλ πό κάθε πρότση το Σ ν υτή είνι σωστή κι το Λ ν υτή είνι λάθος. Γι δύο ρητούς ριθμούς κι διφορετικούς πό το 0 ισύει: : = :.. Γι τον ριθμό διφορετικό του 0 ισύει: 0 : = 0.. Γι τον ριθμό ισύει: : 0 =.. Γι τον ριθμό διφορετικό του 0 ισύει: : (- = -.. Γι τον ριθμό διφορετικό του 0 ισύει: : =.. Γι τον ριθμό ισύει: : =.. Γι τον ριθμό διφορετικό του 0 ισύει: - : (- = -.. Γι τον ριθμό ισύει: : (- = -.. Το πηλίκο με διφορετικό του 0 πριστάνει το γινόμενο του με τον ντίστροφο του Συμπληρώστε τις πρκάτω προτάσεις:. = τότε =.. -. = τότε =.. : (- = - τότε =.. : = - τότε =.. Οι ντίθετοι ριθμοί έουν πηλίκο 7. Έστω κ, λ δύο κέριοι ριθμοί με γινόμενο -. Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ τιμών γι τους κ, λ: Τιμή του κ Τιμή του λ

3 Ν υπολογίσετε το άθροισμ των κ, λ. 8. Ν υπολογίσετε τις τιμές των πρκάτω πρστάσεων. ( ψ ψ ( 5 ψ Π = :, Π = : ( 5, Π = : ( 7 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9. Ν γίνουν οι πράξεις 5 5 7, :, 00 ( ( 5 ( 0 : ( ( γ : 6 : 8 0. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: Π = ( ( (Ε.Μ.Ε Αν γι τους ριθμούς, ισύει: =, ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων: Α =, Β =, Γ = ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Ν συμπληρώσετε τις ισότητες : = (- = γ - = δ (- =. Ομοίως: ν Αν ν: άρτιος, τότε (- = ν Αν ν: περιττός, τότε (- =. κ λ Αν =, τότε ποι πό τις πρκάτω ισότητες είνι σωστή; Α.: κ = λ Β.: κ λ 0 Γ.: = 0 Δ.: 0 κι κ = -λ. Αν 0, τότε : ( = Α.: Β.: Γ.: Επιλέξτε την σωστή πάντηση. Δ.:

4 5. Αν 5 = (-5, τότε o κέριος ριθμός x είνι.. Α.: Β.: - Γ.: ένς περιττός κέριος Δ.: ένς άρτιος κέριος Επιλέξτε την σωστή πάντηση. 6. Δίνοντι οι δυνάμεις: (-x -ν, (-x ν -, (-x -ν -, όπου ν: φυσικός ριθμός. Γι ποιες τιμές του πργμτικού ριθμού x ορίζοντι ; Ν ρείτε ν είνι ρνητικοί ή θετικοί ριθμοί. γ Προσθέστε τις πρώτες. Τι ριθμοί είνι; δ Πολλπλσιάστε τις τελευτίες. Τι ριθμοί είνι ; 7. Στις πρκάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή πάντηση: 5 ν - 5 ν = Α.: 5 ν Β.: 5 ν Γ.: 5 ν (ν :(ν Δ.: 5 Ε.: 5 ν - 0 ν = Α.: -6 ν Β.: -6 ν 5 Γ.: -6 ν 5 Δ.: 8 ν Ε.: ν ν 6 (- ν = Α.: ν Β.: (- (ν Γ.: ν Δ.: (- ν Ε.: (- ν 8. Ν λυθεί η εξίσωση (/ x = (/ x 9. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης Α = ( ν - 6 ν ( ν 7 -. Εξρτάτι η τιμή της, π την τιμή του φυσικού ριθμού ν; 0. Ν υπολογίσετε τις δυνάμεις: Α = [(- - ] Β = [-(- ] Γ = - [(- ] Δ = (- (- Ε = (-. Ν γράψετε τους πρκάτω ριθμούς ως δυνάμεις με άση το ή το. Α = Β = 6 Γ = - Δ = /8 Ε = -/8. Ν ρείτε το x σε κάθε περίπτωση: Α x = 6 Β 5 x = 5 Γ x = 7 Δ x 5 x = 5 Ε x 5 x = 00. Προσπθήστε ν γράψετε τις πρστάσεις που κολουθούν, εφρμόζοντς τις ιδιότητες των δυνάμεων, σε γινόμενο πρώτων πργόντων, όπως στο πράδειγμ: = ( ( ( 5 5 = 6 ( 5 5 = = 68 5 =

5 A = ( Β [( ] = Γ = 0 5 ( [ ( 6 ( ] ( 6 ( ( ( = Ε = 5 ( 6 (000 ( 8 5 ( ( 50 (. Εφρμόζοντς ιδιότητες δυνάμεων ν γράψετε σε πιο πλή μορφή τις πρστάσεις: Α = (x x Β = (x x x 5 (x -6 :x Γ = (x :x :(x :x Δ = x 7 :(x :x E = [(x ] - :[x -6 :x -0 ] 5. Ν λύσετε τις εξισώσεις: Α 8 x = Β (-6 x- = Γ 7 -x = 8 Δ (- -x = -8 Ε ( x 00 = 0 6. Εφρμόζοντς ιδιότητες δυνάμεων ν γράψετε σε πλούστερη μορφή τις πρστάσεις κι στη συνέει ν τις υπολογίσετε A x - y (x y (x y (x y = γι x = (-0 κι y = B (x y (x y (x y (x y = γι x = (- - κι y = - (x y (x Γ = (x 5 : y (x = - : (x (y y x : x : y 6 y y 5 - γι x = 0 κι y = (-0, - γι x = κι y = - Ε (x - : y x y 6 : (x = γι = - κι y = - 7. x y Αν =, = κι ψ = ( x y, ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης x - y -, όπου οι ριθμοί, x, y είνι θετικοί πργμτικοί, 5

6 8. Έστω ότι ισύει : [ 9 ν -ν - ν ( 7 ] ( μ - = 7 -, όπου μ, ν φυσικοί ριθμοί. Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί μ κι ν είνι διδοικοί φυσικοί. 9. Μί μπάλ ότν πέφτει πό κάποιο ύψος νπηδά κι φτάνει στο μισό υτού του ύψους. Αφήνουμε την μπάλ ν πέσει πό κάποιο ύψος. Ν υπολογίσετε σε σέση με το το ύψος που θ φτάσει η μπάλ μετά πό: νπήδηση. νπηδήσεις. νπηδήσεις. ν νπηδήσεις. Αν φήσουμε την μπάλ πό ύψος m ν ρείτε μετά πό ποι νπήδηση θ φτάσει σε ύψος 6,5 cm. γ Ν υπολογίσετε πό ποιο ύψος φήσμε την μπάλ ν πέσει ν μετά την 0 η νπήδηση έφτσε στ -9 m Ν δείξετε ότι το άθροισμ είνι ίσο με τη διφορά: άρι. Ν υπολογίσετε τους ριθμούς, ν γνωρίζετε ότι: = κι - = -.. Αν = κι ψ = κι ζ = δείξτε ότι ένς τουλάιστον πό τους, ψ, ζ είνι ίσος με 0.. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης ( :( ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. Έστω, δύο θετικοί πργμτικοί ριθμοί με >. Ν τοποθετήσετε στο κενό ( το κτάλληλο σύμολο (>, <, = : (- 0 ( 0 6

7 0 Έστω, δύο ρνητικοί πργμτικοί ριθμοί με >. Ν τοποθετήσετε στο κενό ( το κτάλληλο σύμολο (>, <, = : (- 0 ( 0 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω προτάσεις με μί πό τις εκφράσεις : «προκύπτει νισότητ με την ίδι φορά», «προκύπτει νισότητ ντίθετης φοράς» ή «δεν μπορούμε ν γνωρίζουμε ν προκύπτει νισότητ ίδις ή ντίθετης φοράς» : Αν κι στ δύο μέλη μις νισότητς προσθέσουμε τον ίδιο ριθμό τότε Αν κι στ δύο μέλη μις νισότητς φιρέσουμε τον ίδιο ριθμό τότε Αν κι στ δύο μέλη μις νισότητς πολλπλσιάσουμε τον ίδιο ριθμό τότε Αν κι στ δύο μέλη μις νισότητς πολλπλσιάσουμε τον ίδιο θετικό ριθμό τότε Αν κι στ δύο μέλη μις νισότητς πολλπλσιάσουμε τον ίδιο ρνητικό ριθμό τότε Αν κι στ δύο μέλη μις νισότητς διιρέσουμε τον ίδιο θετικό ριθμό τότε Αν κι στ δύο μέλη μις νισότητς διιρέσουμε τον ίδιο ρνητικό ριθμό τότε Αν προσθέσουμε κτά μέλη δύο νισότητες της ίδις φοράς τότε 7

8 Αν φιρέσουμε κτά μέλη δύο νισότητες της ίδις φοράς τότε. Ν τοποθετήσετε στο κενό ( το κτάλληλο σύμολο (>, <, = : Αν ένς θετικός ριθμός τότε 0 Αν ένς ρνητικός ριθμός τότε 0 Αν > τότε 0 Αν < 0 τότε Αν > 0 τότε. Αν < τότε 0 Ν τοποθετήσετε στο κενό ( το κτάλληλο σύμολο, (>, <, = κι στην πρένθεση στο τέλος κάθε πρότσης την κτάλληλη λέξη, (θετικός ή ρνητικός : Το τετράγωνο ενός μη μηδενικού ριθμού είνι ριθμός. 0 ( Ο κύος ενός ρνητικού ριθμού είνι ριθμός.. 0 ( Ο κύος ενός θετικού ριθμού είνι ριθμός.. 0 ( Δύο ομόσημοι ριθμοί έουν πάντ γινόμενο ριθμό. 0 ( Δύο ετερόσημοι ριθμοί έουν πάντ γινόμενο ριθμό 0 ( Η άρτι δύνμη ενός μη μηδενικού ριθμού είνι πάντ ριθμός. 0 ( Η περιττή δύνμη ενός ρνητικού ριθμού είνι πάντ ριθμός. 0 ( Η περιττή δύνμη ενός θετικού ριθμού είνι πάντ ριθμός. 0 ( Το πηλίκο δύο ετερόσημων ριθμών είνι ριθμός. 0 ( Το πηλίκο δύο ομόσημων ριθμών είνι ριθμός. 0 ( Το άθροισμ δύο θετικών ριθμών είνι ριθμός 0 ( Το άθροισμ δύο ρνητικών ριθμών είνι ριθμός. 0 (. Έστω το ύψος του Αλέξνδρου το ύψος της Κλεοπάτρς κι γ το ύψος του Πλάτων. Γνωρίζουμε ότι ο Αλέξνδρος είνι ψηλότερος πό την Κλεοπάτρ κι η Κλεοπάτρ είνι ψηλότερη πό τον Πλάτων. Μπορούμε ν συμπεράνουμε τη σέση ύψους του Αλέξνδρου κι του Πλάτων; Ποιος είνι πιο ψηλός; Ν συμπληρώσετε την πρκάτω σέση:. κι. γ τότε. (: Μεττική ιδιότητ στη διάτξη 5. Έστω η ηλικί της Ηώς, η ηλικί του Θλή κι γ η ηλικί του Ηρκλή. Γνωρίζουμε ότι η Ηώ είνι μικρότερη του Θλή κι ο Θλής μικρότερος του Ηρκλή. Μπορούμε ν συμπεράνουμε τη σέση ηλικίς της Ηώς κι του Ηρκλή; Ποιος είνι πιο μικρός; Ν συμπληρώσετε την πρκάτω σέση:. κι. γ τότε. (: Μεττική ιδιότητ στη διάτξη 8

9 6. Έστω,, γ, δ τέσσερις θετικοί πργμτικοί ριθμοί γι τους οποίους γνωρίζουμε ότι: < ( γ < δ ( Πολλπλσιάστε στ δύο μέλη της νισότητς ( τον ριθμό γ. Η νισότητ που προκύπτει έει την ίδι φορά, γιτί; Πολλπλσιάστε στ δύο μέλη της νισότητς ( τον ριθμό. Η νισότητ που προκύπτει έει την ίδι φορά, γιτί; Εφρμόστε την μεττική ιδιότητ στις δύο νισότητες που προέκυψν. Ποι νισότητ προκύπτει; Μπορούμε ν πολλπλσιάζουμε κτά μέλη νισότητες; Με ποιες προϋποθέσεις μπορούμε ν το κάνουμε; 7. Έστω, δύο ομόσημοι ριθμοί με <. Διιρέστε κι τ δύο μέλη της νισότητς < με το γινόμενο. Η νισότητ που προκύπτει έει την ίδι φορά, γιτί; Συγκρίνετι τους ριθμούς κι a γ Αν γνωρίζουμε την διάτξη δύο ριθμών μπορούμε ν συγκρίνουμε πάντ τους ντίστροφούς τους; Τι επιπλέον ρειάζετι ν γνωρίζουμε; 8. Έστω ένς ριθμός ο οποίος πίρνει τιμές μετξύ του κι του. Ο ντίθετος του μετξύ ποιών ριθμών θ πίρνει τιμές; Συμπληρώστε τη σέση: < < τότε. < - <.. γ Ο τριπλάσιος του μετξύ ποιών ριθμών θ πίρνει τιμές; δ Συμπληρώστε τη σέση: < < τότε. < <.. 9. Έστω ένς ριθμός ο οποίος πίρνει τιμές μετξύ του - κι του, δηλδή - < < Τοποθετήστε με την σωστή σειρά τις πρκάτω προτάσεις,συμπληρωμένες με την οήθει των οποίων θ ρούμε μετξύ ποιων ριθμών πίρνει τιμές η πράστση -. Προσθέτουμε στ μέλη της νισότητς τον ριθμό κι έτσι προκύπτει η νισότητ: Πολλπλσιάζουμε στ μέλη της νισότητς τον ριθμό - κι έτσι προκύπτει νισότητ με. φορά:.. Έουμε την νισότητ Γράφουμε την νισότητ πό το μικρότερο προς το μεγλύτερο:. Η πράστση - πίρνει τιμές μετξύ των ριθμών.. κι 9

10 0. Έστω ένς ριθμός ο οποίος πίρνει τιμές μετξύ του - κι του, δηλδή - < < κι ψ ένς ριθμός ο οποίος πίρνει τιμές μετξύ του 5 κι του -, δηλδή - 5 < ψ < -. Τοποθετήστε με την σωστή σειρά τις πρκάτω προτάσεις,συμπληρωμένες με την οήθει των οποίων θ ρούμε μετξύ ποιων ριθμών πίρνει τιμές η πράστση - ψ -5. Προσθέτουμε κτά μέλη τις νισότητες κι.. κι έτσι προκύπτει η νισότητ Προσθέτουμε στ μέλη της νισότητς τον ριθμό -5 κι έτσι προκύπτει η νισότητ: Πολλπλσιάζουμε στ μέλη της νισότητς τον ριθμό - κι έτσι προκύπτει νισότητ με. φορά:.. Έουμε την νισότητ Γράφουμε την νισότητ πό το μικρότερο προς το μεγλύτερο:. Η πράστση - ψ -5πίρνει τιμές μετξύ των ριθμών.. κι. Έστω ένς ριθμός ο οποίος πίρνει τιμές μετξύ του,5 κι του, δηλδή,5 < < κι ψ ένς ριθμός ο οποίος πίρνει τιμές μετξύ του 0 κι του,5, δηλδή 0 < ψ <,5. Ν υπολογίσετε μετξύ ποιών ριθμών πίρνουν τιμές οι πρκάτω πρστάσεις: 6, ψ γ ψ δ ψ ε. Δείξτε, με τη οήθει της επιμεριστικής ιδιότητς ότι : ( ( =. Έστω, δύο θετικοί ριθμοί με <. Ο ριθμός είνι θετικός ή ρνητικός κι γιτί; Συγκρίνετε τον με τον. γ Έστω, δύο ρνητικοί ριθμοί με <. Ο ριθμός είνι θετικός ή ρνητικός κι γιτί; Συγκρίνετε τον με τον. δ Έστω, δύο ριθμοί με <. Είνι σωστό ή λάθος ότι < ;. Έστω, δύο ριθμοί με <. Ν εξετάσετε ν η διφορά ( ( είνι ριθμός θετικός ή ρνητικός; Ν συγκρίνετε τους ριθμούς κι. 0

11 . Έστω, δύο ριθμοί με < 0 <. Ν δικιολογήσετε ότι το γινόμενο ( ( ( ( είνι θετικός ριθμός. 5. Έστω, δύο ντίθετοι ριθμοί. Ν ντιστοιίσετε κάθε στοιείο της πρώτης στήλης του πρκάτω πίνκ με έν μόνο στοιείο της δεύτερης στήλης του συμπληρώνοντς τον δεύτερο πίνκ. Στήλη η Στήλη η Α.: Το γινόμενο των,. 0 Β.: Το πηλίκο των,. ένς ρνητικός ριθμός Γ.: Το άθροισμ των, γ. ένς θετικός ριθμός δ. ε. - Α Β Γ 6. Στις πρκάτω προτάσεις ν επιλέξετε την σωστή πάντηση: Αν - > 0 τότε : Α.: < 0, Β.: = 0, Γ.: > 0, Δ.: >. Αν < 0 τότε : Α.: < 0, Β.: = 0, Γ.: > 0, Δ.: > -. Αν ( > 0 τότε : Α.: < 0, Β.: = 0, Γ.: > 0, Δ.: > -. Αν ( 0: τότε Α.: <, Β.: =, Γ.: >, Δ.:. 7. Γι τον ριθμό ισύει; ( ( 0. Ποιος πό τους ριθμούς, είνι μεγλύτερος; Τι ριθμοί πρέπει ν είνι οι, ; Ομόσημοι ή ετερόσημοι; γ Συμπληρώστε τις νισώσεις:. 0 κι. 0 δ Συμπληρώστε την νίσωση: ε Συμπληρώστε την πρότση: Ο ριθμός πρέπει ν πίρνει τιμές πό. μέρι κι.. 8. Γι τον ριθμό ισύει; ( - ( > 0. Ν δικιολογήσετε ότι ο ριθμός πίρνει τιμές μεγλύτερες του ή μικρότερες του. 9. Αν, ψ δύο ετερόσημοι ριθμοί ν ρείτε ν ο ριθμός ( ψψ(ψ είνι θετικός ή ρνητικός.ν δικιολογήσετε την πάντησή σς.

12 0. Ν πλοποιήσετε την πράστση: ( 5 ( Αν < ν συγκρίνετε τους ριθμούς 5 κι. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Αν < κι ρνητικός ριθμός ν διτάξετε πό τον μικρότερο προς το μεγλύτερο τους ριθμούς: 0, -,,. Ν λυθεί η νίσωση : < ότν Ο ριθμός είνι ρνητικός. Ο ριθμός είνι θετικός.. Αν a < 0 κι > 0 τότε : Α.: < 0, Β.: = 0, Γ.: > 0, Δ.: δεν μπορούμε ν γνωρίζουμε ν ο είνι θετικός ή ρνητικός. Επιλέξτε την σωστή πάντηση. Ν λυθεί η νίσωση > 0 x 6. Ν γράψετε στο τέλος της κάθε πρότσης,«σωστό», ν υτή είνι σωστή κι «Λάθος», ν υτή είνι λάθος: Η νίσωση 0 > ληθεύει γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς Η νίσωση 0 - ληθεύει γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς Η νίσωση 0 < είνι δύντη Η νίσωση 0 > 0 είνι δύντη Η νίσωση 0 ληθεύει γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισύει: ( >0 Αν 0 < < τότε = ή = ή =.. Μπορούμε ν γράφουμε 0 < < -. Η νίσωση 0 ληθεύει γι όλους τους μη ρνητικούς ριθμούς Η νίσωση > 0 ληθεύει μόνο γι τους ριθμούς με > Στον πρπάνω άξον έουμε σημειώσει τους ριθμούς γι τους οποίους ισύει : x < 0 Ν ρείτε ποιους ριθμούς έουμε σημειώσει στους επόμενους άξονες.

13 x < x... γ < x <... δ < x... ε - 0 x >... στ - 0 x Ν σημειώσετε πάνω σε άξον τους ριθμούς γι τους οποίους ισύει:,5 x 0 Ν σημειώσετε πάνω σε άξον τους ριθμούς γι τους οποίους ισύει: 5 < x γ Ν σημειώσετε πάνω σε άξον τους ριθμούς γι τους οποίους ισύει:

14 0 x < ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ δ Ν σημειώσετε πάνω σε άξον τους ριθμούς γι τους οποίους ισύει: < x < 5 ε Ν σημειώσετε πάνω σε άξον τους ριθμούς γι τους οποίους ισύει: x στ Ν σημειώσετε πάνω σε άξον τους ριθμούς γι τους οποίους ισύει: x > 5 ζ Ν σημειώσετε πάνω σε άξον τους ριθμούς γι τους οποίους ισύει: 7. x > x < ή Ν λύσετε τις πρκάτω νισώσεις κι ν σημειώσετε τις λύσεις τους πάνω σε άξον. x 5 x x 7 x ( x 0 8x x 5 5 γ δ x 5x 8 x x x 5 x > Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων κι ν τις σημειώσετε πάνω σε άξον.: 5 x 7( x < ( x 5 κι ( x x ( x x x x (,5 0,5x 0 > x x x x < 7 x 7 x x x 0 < x < 5 6 κι γ κι δ κι 9.

15 Ν λύσετε τις πρκάτω νισώσεις: (-(<0 ->0 γ 0 0. Υπάρουν άπειροι θετικοί ριθμοί που το τετράγωνό τους είνι μικρότερο πό τον ευτό τους. Μπορείτε ν ρείτε κάποιον. Βρείτε όλους τους ριθμούς που ικνοποιούν τις προϋποθέσεις του κι σημειώστε τους πάνω σε ένν άξον.. Η πόλυτη τιμή του ριθμού δεν ξεπερνάει το. Σημειώστε πάνω σε ένν άξον την περιοή που μπορεί ν ρίσκετι ο ριθμός. Βρείτε τις τιμές που μπορεί ν πάρει η μετλητή. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ -ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες ώστε ν προκύψουν τυτότητες: i. ( -. = -.. ψ ii. ( -. = ψ iii. (. =.. ψ iv. (. =.... ψ v. ( ψ(.. = vi. ψ = (. -..( vii. ψ = (...( Ν ντιστοιίσετε κάθε στοιείο της ης στήλης του πρκάτω πίνκ με έν μόνο στοιείο της ης στήλης του συμπληρώνοντς τον ο πίνκ. η Στήλη η Στήλη Α.: κ - λ.: (κ λ Β.: κ - κλ λ.: (κ λ Γ.: κ κλ λ.: (κ λ Δ.: κ λ.: (κ λ(κ λ 5.: (κ λ(κ κλ λ 6.: (κ λ(κ - κλ λ Α Β Γ Δ. Κθεμιά πό τις πρκάτω προτάσεις μπορεί ν είνι σωστή, μπορεί όμως ν είνι λάθος. Γράψτε δίπλ πό κάθε πρότση Σωστό ν υτή είνι σωστή κι Λάθος ν υτή είνι λάθος. 5

16 I. Τυτότητ ονομάζετι μι ισότητ που περιέει μετλητές κι επληθεύετι γι κάποιες τιμές υτών των μετλητών.. II. Τυτότητ ονομάζετι μι ισότητ που περιέει μετλητές κι επληθεύετι γι όλες τις τιμές υτών των μετλητών.. III. Η ισότητ ψ ψ = ( ψ δεν είνι τυτότητ.. IV. Αν = 5 τότε = 5.. V. Αν = 0 κι = τότε = VI. Ισύει: = (. VII. Ισύει: = ( -. VIII. Ισύει: ψ ψ(ψ = ( ψ. IX. Ισύει: - ψ - ψ( - ψ = ( - ψ. X. Ισύει: (- - = - -- XI. Ισύει: (- - ( - =.. Ν ποδείξετε τις πρκάτω τυτότητες: = ( = ( - γ ( = ( δ ( - = - -( -. Ν ρείτε τ νπτύγμτ: i. ( vi. (κ λ ii. ( iii. ( 5 iv. ( v. ( 5ψ 5. Ν ρείτε τ νπτύγμτ: vii. ( viii. ( ix. x. 5 5 x ψ ψ i. x vi. x x x vii. ( 00 - ii. x viii. ( κ ψ λ x iii. (- 5 ψ ix. iv. (- ψ v. (- - 5ψ a x. ( 6. Ν κάνετε τις πράξεις ρησιμοποιώντς την τυτότητ ( ( = : i. ( ( - vi. (κ λ(κ λ ii. ( ( vii. ( ( 6

17 iii. ( - 5( 5 iv. ( ( v. ( 5ψ( 5ψ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ viii. ( ( ix. 5 5 x ψ x ψ 5 5 x. ψ ψ 7. Ν ρείτε τ νπτύγμτ: i. ( vi. (κ λ 8. ii. ( iii. ( iv. ( v. ( 5 vii. ( - viii. ( Δίνοντι οι πρστάσεις: Α = ( Β = ( Ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων Α, Β Γ = Α Β Ν δείξετε ότι η τιμή της πράστσης είνι ίση με 9. Δίνοντι οι πρστάσεις: Α = ( Β = ( Ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων Α, Β Γ = Α Β Ν δείξετε ότι η τιμή της πράστσης είνι ίση με 0. Αν γι τον πργμτικό ριθμό ισύει = 5, ν υπολογίσετε τις τιμές των πρκάτω πρστάσεων: Α = ( ( Β = ( ( - Γ = ( ( Δ = ( ( 6 9 ix. x. x x x. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες: i.. = ( x... = (.. vi. ii... 9 = (.. 9 iii... = ( vii. 6-6 = (. -. iv = (.. v. 5ψ -..6 = ( viii.... = (.. ν ix. -..ψ μ = (

18 x. = (.... Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες: i. - = (. -. vi. 0.. = (.. ii = (.. vii. 6 ψ 6 80ωψ..= (. -. iii. 5 0 = (. -. viii. 5..= (.. iv... = (.. 00 ix. - = (. -. v. 9κ κ = (. -. x. ψ = (.... Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες: i. 8x = (.. - ii..... ψ = (.. iii = (. - iv = ( v. κ λ = ( -. Ν ποδείξετε ότι: i. ( ( = ii. ( = ( = ( ( = ( ( iii. iv. v. γ γ γ = ( ( γ ( γ 5. Με τη οήθει της τυτότητς =( ( ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων: Α = = Β = - = Γ = 7 = Δ = 7,55,5 = 6. Με τη οήθει των τυτοτήτων =(, - =( - ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων: Α = = Β = = Γ = ( ( ( = Δ = ( ( - ( 9 = 8

19 7. a = 5 = 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Έστω κι Ν υπολογίσετε το άθροισμ κι το γινόμενο των,. Με τη οήθει της τυτότητς = (, ν υπολογίσετε το άθροισμ τετργώνων των,. γ Ν υπολογίσετε το άθροισμ των κύων των,. 8. Ν ποδείξετε ότι ( ( =. Αν γι τους ριθμούς, γνωρίζουμε ότι: = 5 κι = ν δείξετε ότι = κι ν υπολογίσετε το άθροισμ τετργώνων των,. 9. ( κ λ = κ λ κλ Ν δείξετε ότι Ν ρείτε δύο θετικούς κέριους ριθμούς κ, λ ώστε κλ = κι κ λ = γ Ν κάνετε την πράστση τέλειο τετράγωνο. δ Ποι είνι η τετργωνική ρίζ του 0. Με την οήθει των εμδών στο πρκάτω σήμ ν δείξετε την τυτότητ ( =.. Με την οήθει των εμδών στο πρκάτω σήμ ν δείξετε την τυτότητ ( - =

20 Με την οήθει των εμδών στο πρκάτω σήμ ν δείξετε την τυτότητ = ( (.. Το άθροισμ δύο ντίστροφων ριθμών είνι. Ν υπολογιστούν Το άθροισμ των τετργώνων τους. Το άθροισμ των κύων τους γ Το τετράγωνο της διφοράς τους δ Τη διφορά τους.. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: ( Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: ( Αν = ψ =, ν δείξετε ότι οι τιμές των πρκάτω πρστάσεων Α, Β είνι ίσες με. Α = ( (. Β = ( ψ ( ψ ψ 7. Αν 8 = 8 00, ν υπολογίσετε την τιμή του γινομένου: ( ( ( ( 8. Ν ποδείξετε την τυτότητ ( γ = γ γ γ. Αν γ γ = γ, ν δείξετε ότι η πράστση Α = ( ( (γ είνι τέλειο τετράγωνο. 0

21 9. Ν ποδείξετε την τυτότητ: ( γ ( ψ ω = ( ψ γω (ψ (ω γ (ω γψ. Ν γράψετε τους ριθμούς κι ως άθροισμ τετργώνων θετικών κερίων. γ Ν γράψετε το γινόμενο ως άθροισμ τετργώνων θετικών κερίων ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. Στ πρκάτω πολυώνυμ ν γάλετε κοινό πράγοντ τον ΜΚΔ των συντελεστών των όρων τους. i. 6 ii. 5-0 iii. κ 6λ iv. 5 0μ v. 0ω t vi. x 9x vii viii. ρ 6ρ 8 ix. 6μ 9ν x. 5z 75 t 00. Ν κάνετε πργοντοποίηση τ πρκάτω πολυώνυμ. i. 6 vi. x 9x x ii. 5 0 vii iii. κ λ 6κλ viii. νρ 6ν ρ 8ρ ν iv. 5μ 0μ ix. 6μ 9μ v. 0ω ω x. 5z 75 z xi. xii. xiii Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις, φού πρώτ κάνετε τις πράξεις. i. ( ii. ( ( ( ( iii. ( ψ ψ iv. ( 6 8 v. ( ( ( vi. ( ( - vii. ( ( ( viii. ( ( ix. ( - ( x. ( ( γ ( γ( γ. Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις: i. ( ( vi. (ψ (ψ 6 (ψ ( ψ ii. ( ( vii. ( ( iii. ( ψ ( ψ viii. ( ( ( ( iv. ( ψ( ix. ( ( v. ( ( - ( ( x. ( ψ ( ψ ( ψ ψ 5. Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : «Ομδοποίηση»

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i. 6 vi. - ψ ψ ω ω ii. γ γ vii. 5 - iii. γ γ viii. ( ( iv. ψ 0 6ψ - 5ψ ix. γ γ γ ( γ( v. γ γ x. ( 6. Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : (Χρησιμοποιήστε τις τυτότητες: = ( (, = ( ( κι = ( ( i. vi ii. 6 8ψ vii. 6 6 ψ iii. 8 viii. ( iv. 6 5 ix. 9 ψ 6 v. 6ω Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : i. ( ψ ii. ( ( γ iii. ( (ψ iv. ( v. (5 ψ ( 5ψ x. ψ 9 xi. 0,00 0,06ψ xii Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : i. ψ vi ii. vii. 6 iii. ψ 6 viii. 8ψ iv. κ 6λ 6 ix. v. ν 8μ x Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : i. ( ψ ψ vi. 5 5 ii. ( vii. 8 6 ψ ψ iii. viii. κ κ 7λ 8λ iv. - v Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : (Τέλει τετράγων i. vi

23 ii. iii. 5κ 0κ iv. v. 8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ vii. ( ( viii. ( ψ ( ψ 0 5 ix. x.. Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : (Τέλει τετράγων, διφορά τετργώνων i. 9ψ ii. 5 ψ - ψ iii. 9 6ψ ψ ψ iv. γ v. 6ψ 9ψ (9 6ψ ψ. Ν κάνετε πργοντοποίηση τ πρκάτω τριώνυμ, i. 7 ii. 6 5 iii. iv. v. vi. 0 6 vii. -5 viii. 5 ix. ψ ψ x. xi. ( 5( 6 6 xii. 7 8 xiii. 0 xiv. 0 xv. ( 6 xvi. 6( 7 ( 7 xvii. ( 7( xviii. ( ( xix. 0 6 xx. ν ν. Ν κάνετε πργοντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : (Χρησιμοποιήστε τις τυτότητες: = ( ή = ( - κι την διφορά τετργώνων. i. 7 ii. iii. 8 iv. ψ 8 v.. Ν πργοντοποιήσετε την πράστση: ψ 0ψ. Ν πργοντοποιήσετε την πράστση: ( 5 ( 5 6. γ Ν πργοντοποιήσετε την πράστση: ( ( ( (. 5. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: i. ( ( ( ( ii. ( ( ( (

24 6. Ν πργοντοποιήσετε την πράστση: ( γ(γ γ( γ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7. Ν δείξετε ότι γ γ γ είνι τέλειο τετράγωνο. Ν πργοντοποιήσετε την πράστση: ( γ. γ Ν ποδείξετε την τυτότητ του De Moivre: γ γ γ = ( γ( γ( γ( γ 8. Αν γ = 0 τότε: Ν δείξετε ότι η πράστση γ είνι τέλειο τετράγωνο. Ν κάνετε γινόμενο την πράστση γ (Απ.:.= γ γ Ν κάνετε γινόμενο την πράστση ( ψ (ψ ω (ω. 9. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: Α = x 5y B = x, Γ = ( ( Ε = Δ = 6 Ζ = ψ ψ Η = Θ = Ι = Κ = x (y y ( x Λ = x x 8 N = (x y w x y w M = x y xy y - x y Ξ = x ( x O = x xy y xz yz Π = x x Ρ = 6x 5xy y Σ = 6x y T = x (y z y (z x z (x y Y = x(y z y(z x z(x y Φ = x 8 x 6 X = (x xy (x xy ( y Ψ = x 7 x 5 x x Ω = x x y y 0. Ν δείξετε την τυτότητ του Εuler : γ γ = ( γ( γ γ γ Με την οήθει της πρπάνω τυτότητς ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: i. γ γ ii. - γ - γ iii. ψ 8 6ψ

25 iv. γ ( γ( γ γ γ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Κθεμιά πό τις πρκάτω προτάσεις μπορεί ν είνι σωστή, μπορεί όμως ν είνι λάθος. Γράψτε δίπλ πό κάθε πρότση Σωστό ν υτή είνι σωστή κι Λάθος ν υτή είνι λάθος. I. Η πράστση ορίζετι γι = 0 εφ όσον υτή μπορεί ν πάρει τη ( μορφή. II. Η πράστση δεν ορίζετι γι =. III. Η πράστση δεν ορίζετι γι = κι γι = κι γι ( ( ( = -. IV. Η πράστση ορίζετι γι όλους τους ριθμούς εκτός του 0. V. Η τιμή της πράστσης γι = κι οποιοδήποτε είνι ίση με το 0 VI. Η πράστση δεν έει νόημ γι κμιά τιμή των, ( ( VII. Ισύει = γι οποιδήποτε τιμή του εκτός του VIII. Ισύει =, εφ όσον 0. IX. Ισύει =, εφ όσον 0. X. Ισύει =, εφ όσον 0. XI. Ισύει =, εφ όσον 0. XII. Η πράξη : έει νόημ γι οποιδήποτε τιμή του εκτός του. 5

26 ψ XIII. Ότν, ψ είνι ντίθετοι η πράστση δεν ορίζετι. ψ XIV. Η πράξη :( μς δίνει την κλσμτική πράστση, εφ όσον. XV. Η πράξη : μς δίνει την κλσμτική πράστση, εφ όσον 0. XVI. Γι ν πλοποιήσουμε μι κλσμτική πράστση, γι τις τιμές των μετλητών που ορίζετι, πρέπει ν κάνουμε γινόμενο τον ριθμητή κι τον προνομστή της.. Ν ρείτε τις τιμές της μετλητής γι τις οποίες δεν ορίζετι η πράξη της 5 8 διίρεσης της πράστσης με την πράστση ( 9. Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις: a i. a vi. ax ii. xa vii. 6( t iii. ( t viii. γ iv. γ ix. 8( ( v. ( ( x. 7( 9x( c 9 6(9 c x ν ( ν ν 6 ν ( x ( x x (. Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις: (Ν κάνετε πρώτ γινόμενο τον ριθμητή κι τον προνομστή τους a 8 i. a a vi. x ii. x x vii. x x x

27 γ iii. γ viii. ψ ψ iv. ψ ψ ix. v. x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5. Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις: (Ν κάνετε πρώτ γινόμενο τον ριθμητή κι τον προνομστή τους ψ 6ψ i. x a x ax iv. ψ ψ x x a x a ii. v. ( ψ ψ iii. vi. 6. Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις: (Ν κάνετε πρώτ γινόμενο τον ριθμητή κι τον προνομστή τους 5 i. iv. 9 ii. x 5x 6 x ψ iii. ( ψ ψ v. vi Ν κάνετε τους πολλπλσισμούς: i. iv. ii. v. iii. ψ ψ vi ψ ψω ψ 7 ( ( 8. Ν κάνετε τις διιρέσεις: i. : iv. : 9 : ii. v. : ( 7

28 8 : : iii. vi. 9. Ν κάνετε τους πολλπλσισμούς: ( ( ( i. iv. v. ii. ( vi. iii. 0. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ( ψ ψ ψ 8 : 8 6 i. ii. ( : ( iii. ( ( 6 6 : iv. 9 : 6 ψ ψ ψ ψ : v. 6 9 : 8 9 vi.. Ν κάνετε τις πράξεις: ( ω ω ω ψ ψ ψ ψ ψ 6 6 i. iv. ( ω ω ω ii. : v. iii Ν δείξετε ότι ο ριθμός είνι κέριος. Ν ρεθεί υτός ο κέριος. (Ε.Μ.Ε. 998.

29 Αν γι τους ριθμούς,,, ψ ισύει: = ψ κι ± ψ ν δείξετε ότι η πράστση: Α= : ψ ψ είνι ίση με.. Αν γι τους ριθμούς,, γ ισύει γ = 0, ωρίς κάποιος πό υτούς ν είνι 0 ν δείξετε: γ Η πράστση είνι ίση με γ. γ γ γ γ Η πράστση είνι ίση με 0. γ γ 5. 5 Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης γι = 00 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. Στις πρκάτω ερωτήσεις ν επιλέξετε την σωστή πάντηση: i. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των,, ; Α.: Το, Β.: Το, Γ.: Το, Δ.: Το 6 ii. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των, ; Α.: Το, Β.: Το, Γ.: Το, Δ.: Το ( iii. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των,, 6 ; Α.: Το 6, Β.: Το, Γ.: Το 6, Δ.: Το iv. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των, ; Α.: Το ( (, Β.: Το, Γ.: Το, Δ.: Το v. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των, ; Α.: Το, Β.: Το ( (, Γ.: Το, Δ.: Το vi. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των 5( ψ, ( ψ, ψ ; Α.: Το ψ, Β.: Το 0( ψ, Γ.: Το 0( ψ, Δ.: Το 0( ψ vii. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των 7, ψ, ψ ; Α.: ψ, Β.: Το ψ, Γ.: Το ψ, Δ.: Το ψ. Ν κάνετε τις πράξεις: i. vi. x x x ii. vii. ψ λ κ iii. viii. κ λ 9

30 5 5 iv. ix. v.. Ν κάνετε τις πράξεις: i. iv. ψ ψ ii. v. iii. ψ ψ. Ν κάνετε τις πράξεις: i. iv. x x ( ii. v. x x ( ( ( ( iii. x x x vi. ( ( 5. Ν κάνετε τις πράξεις: (Ν κάνετε πρώτ γινόμενο τους προνομστές i. iv. ψ ψ ψ ψ γ γ γ γ γ ii. v. ( ψ ψ 5 iii. ψ ψ ψ vi Ν λλάξετε κάποι πρόσημ στους πράγοντες των γινομένων ( γ( γ, ( (γ, (γ ( ώστε ν προκύψει το Ε.Κ.Π. τους. Ποιο είνι υτό; Ν δείξετε ότι η τιμή της πράστσης γ γ ( γ ( γ ( ( γ ( γ ( γ Ν δείξετε ότι η τιμή της πράστσης γ γ ( γ ( γ ( ( γ ( γ (. είνι πάντ ίση με το 0. είνι πάντ ίση με το 7. Ν κάνετε τις πράξεις: 0

31 ( i. iv. : ( ii. : v. iii. vi. : vii. 8. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: 8 8