STUDIUL PROPAGARII UNDELOR SUPERFICIALE IN LICHIDE
|
|
- Πολύκαρπος Βλαχόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 STUDIUL PROPAGARII UNDELOR SUPERFICIALE IN LICHIDE Scopul lucrării În această lucrare se va determina lungimea de undă a undelor superficiale în lichide, folosind fenomenul de interferenţă. Consideraţii teoretice Deşi aparent simplă, teoria propagării undelor superficiale necesită o tratare matematică destul de complicată. În funcţie de natura forţelor care tind să menţină oriontală suprafaţa apei, în lichide există două tipuri de unde superficiale: gravitaţionale şi capilare. În primul ca forţele care determină fenomenul propagatoriu sunt cele gravitaţionale, în cel de-al doilea ca - forţe de tensiune superficială. În cele ce urmeaă vom deduce ecuaţia de mişcare a particulelor de fluid în caul undelor de tip gravitaţional. Să presupunem că în regiunea A din Fig. 1 se introduce în apă un corp paralelipipedic (un vibrator) şi că acesta este făcut să Fig. 1 execute o mişcare oscilatorie cu frecvenţă suficient de ridicată. Deoarece lichidul (să considerăm în continuare că acesta este apa) este practic incompresibil, coborârea vibratorului în apă implică creşterea nivelului acesteia. Dacă perturbarea suprafeţei apei se face suficient de rapid, creşterea nivelului acesteia se face într-o primă secvenţă, doar în imediata vecinătate a vibratorului (datorită
2 inerţiei particulelor de apă). Dacă vibratorul execută mişcarea în sens contrar (iese din apă), se produce fenomenul invers. În felul acesta, regiunea din vecinătatea vibratorului va executa o mişcare oscilatorie, care, datorită forţelor elastice de legătură dintre moleculele lichidului, se va propaga spre regiunile mai îndepărate de ona A, sub forma unor unde de tip gravitaţional. Forma suprafeţelor de undă apare, în caul unui vibrator lung, ca a unei succesiuni de drepte paralele, aşa cum se observă în Fig. a. Dacă perturbaţia lichidului se face într-un singur punct, undele obţinute vor fi circulare (Fig. b). a) b) Fig. După cum este cunoscut, ecuaţia care descrie mişcarea unei mase elementare de fluid (ecuaţia fundamentală a hidrostaticii) are forma: v v + v v = p U (1) t ρ unde v este vitea instantanee a unui element de masă dm, p este presiunea statică (execitată asupra masei considerate, de către lichidul înconjurător), iar U = g este potenţialul gravitaţional ( este coordonata verticală). În caul de faţă se poate găsi o funcţie scalară, ψ, legată de viteă prin relaţia: v = ψ () Funcţia ψ astfel definită se numeşte potenţialul viteelor; mişcarea fluidului este denumită, în caul valabilităţii relaţiei () - curgerea potenţială. Vom presupune, de asemenea, că, în timpul curgerii nu se produc vârtejuri ( rot v = v = ). În aceste condiţii ecuaţia (1) devine: t = (3) ( ψ ) v ρ p U sau: ψ 1 p + v = + U t ρ Integrând ecuaţia (3') de-a lungul unei linii de curent, dr, vom găsi: d ψ 1 d p v dr U dr dr + = + t dr ρ (3')
3 sau: ψ 1 p + v = U + C1 (4) t ρ unde C 1 este constanta de integrare. Se ştie, în plus, că, deoarece apa este un mediu incompresibil, ecuaţia de continutate, scrisă sub formă locală (diferenţială) are forma: v = (5) Ecuaţiile (4) şi (5) descriu mişcarea unui element de masă, dm. Caracteristicile mişcării se pot pune în evidenţă în practică folosind o serie de corpuri care plutesc pe su-prafaţa apei (de exemplu particule fine de lemn - rumeguş). Aşa cum vom demonstra în continuare, aceste mici "corpuri de probă" nu se deplaseaă în sensul de înaintare al undei, cum s-ar putea crede la prima vedere, ci execută o mişcare oscilatorie; această mişcare se transmite din aproape, datorită forţelor de legătură dintre particulelor de fluid, regiunilor învecinate. Prin definiţie, o mişcare se numeşte ondulatorie dacă o anumită stare (de exemplu, o anumită valoare a elongaţiei) existentă la momentul t, în poiţia y (stare care se repetă în mod periodic) se va regăsi în poiţia y' = y + v t, la momentul t+ t. Aici v este vitea de propagare a faei undei, denumite, de aceea, viteă de faă. Să considerăm că v este vitea unui element de masă care conţine punctul P(, y', ) la momentul t =. Să presupunem că la timpul t o aceaşi valoare a viteei o va avea un element de masă având coordonatele (, y, ) (Fig. 3). O x Deci: v(, y,, ) P(,y,) y vt y v y f y v (, ',,) = ( ', ) ˆ unde ˆv este versorul viteei şi: v, y,, t = f y', vˆ v(, y,, t) Q(,y,) y Fig. 3 la momentul t = la momentul t = t Notând ξ = y - v t, vom putea scrie, în ceea ce priveşte funcţia scalară ψ: ψ = ψ ξ,
4 Ca urmare: ψ ψ ψ ψ =, = v y ξ t ξ (6) Cum vitea, în contextul discuţiei de faţă, nu depinde de x, nici funcţia scalară ψ din care vitea derivă nu trebuie să depindă de x. În coordonate carteiene, gradientul va avea, în aceste condiţii, expresia: ψ ψ v = ψ = yˆ + ˆ ξ Introducând reultatele din (6) în ecuaţia (4), găsim: ψ 1 ψ ψ p v + g C1 ξ ξ + = + ρ (7) Având în vedere şi ecuaţia (5), putem scrie: ψ ψ + = ξ (8) Deoarece presiunea exercitată asupra elementului de masă depinde de poiţia acestuia şi de timp, vom putea scrie: şi: p = p r t = p t (, ) ( ξ,, ) dp p p p p = + v = + v grad p = + p ξ (9) dt t r t t În ceea ce priveşte condiţiile la limită pentru ecuaţia (9), trebuie să ţinem seama că: A. La suprafaţa apei ( = h), elementele de masă sunt supuse numai presiunii atmosferice (care este constantă), deci: dp pentru h dt = = În aceste condiţii, ecuaţia (9) se poate scrie sub forma: d p p ψ p ψ p = + + = (1) dt t ξ y deoarece: p p = ξ y Ecuaţia (1) arată că variaţia temporală a presiunii, determinată de diverse caue, este compensată de schimbarea poiţiei elementului de masă, în aşa fel încât variaţia totală a presiunii se păstreaă nulă. B. La adâncimea h (unde = ) particulele de fluid se pot deplasa numai de-a lungul axei Oy (paralel cu peretele inferior al vasului). Ca urmare, aici vitea nu depinde de ; ca urmare, potenţialul viteei satisface condiţia:
5 ψ = = (11) Deoarece ψ = ψ(ξ, ), vom încerca, pentru ecuaţia (8), o soluţie de forma: ψ ξ, = ϕ γ ξ (1) Aici ϕ() trebuie ales astfel încât sâ fie respectată restricţia (11), adică: Cu ψ dat de (1), ecuaţia (8) devine: sau: De aici reultă că: ϕ ϕ = γ ξ Ecuaţiile (14) şi (15) admit soluţii de forma: γ( ξ) = (13) ϕ + = 1 ϕ 1 γ = = C ϕ γ ξ ξ ϕ Cϕ = γ + Cγ ( ξ) = ξ (14),(15) ϕ = ae λ' (16) Înlocuind ecuaţiile (16) în (14) găsim: ' λ 1, =± C şi γ ξ = be λ" (17) " λ 1, =± j C Vor exista, deci, pentru ecuaţia (14) două soluţii particulare: iar pentru ecuaţia (15) soluţiile particulare: C C ϕ 1 = a1e şi ϕ = ae (18) j C γ ( ξ ) = be ξ şi 1 1 γ ξ = (19) j C be ξ O soluţie generală a ecuaţiei (14) va fi o combinaţie liniară de ϕ 1 şi ϕ ; pentru ecuaţia (15) soluţia generală va fi o combinaţie liniară de γ 1 şi γ. Deci: }inând cont de (13), ecuaţia () se scrie: ϕ 1 a e a e C C = + () de unde: a C a C = a = a = as 1 1 C C cosh ϕ = a e + e = a C (1)
6 unde funcţiile cosinus hiperbolic şi sinus hiperbolic sunt definite prin relaţiile: cosh e ε e ε, sinh e ε e ε + ε = ε = jξ C jξ C be 1 be cu C γ ξ Având în vedere ecuaţiile lui Euler, găsim: sau: = + > () = ( + ) cos + ( ) γ ξ b b Cξ j b b sin Cξs 1 1 unde noile constante A şi α sunt definite prin relaţiile: scrie: Acos( C ) γ ξ = ξ α (3) Acosα = b1 + b Asinϕ = j b b 1 Cu expresiile lui ϕ() şi γ(ξ) date de (1) şi (3), funcţia scalară ψ dată de (1) se va (, ) aacosh C cos( C ) ψ ξ = ξ α = = Bcosh C C y vt α Cunoscând expresia lui ψ, găsim componentele viteei unei particule de fluid: ψ vy = = B Ccosh y C sin ( y vt ) C α ψ v = = B Csinh C cos ( y vt) C α Notând cu λ intervalul minim al periodicităţii spaţiale (lungimea de undă) şi cu T intervalul minim al periodicităţii temporale: π π π λ = s şi v C = v ; λ = vt C T λ expresiile (5) şi (6) devin, dacă considerăm, pentru simplitate, α = : πb π π vy = cosh sin ( y vt) λ λ λ (7) πb π π v = sinh cos ( y vt) λ λ λ (8) Constatăm, deci, că vitea unei particule variaă periodic în timp şi spaţiu. Mişcarea este, deci, ondulatorie. Ecuaţiile (7) şi (8) permit găsirea ecuaţiei traiectoriei descrise de o particulă de lichid. Având în vedere că un element de masă dm execută o mişcare oscilatorie în jurul unui punct fix (de coordonate y şi ), putem scrie: dy πb πo π vy = = cosh sin ( y vt) s dt λ λ λ (9) (4) (5) (6)
7 d πb π π dt λ λ λ v = = sinh cos y vt s Integrând ecuaţiile (9) şi (3) vom găsi: B π π v λ λ B π sinh o π = cos ( y vt) s v λ + λ y = cosh cos y vt + y Eliminând timpul în ecuaţiile (31) şi (3), găsim ecuaţia traiectoriei descrisă de elementul de masă: y y B + = π π v cosh sinh λ λ Aşadar, în decursul vibraţiilor, particulele de fluid descriu traiectorii eliptice (Fig. 4). (3) (31) (3) (33) Fig. 4 Propagarea undelor superficiale va fi însoţită de fenomenele specifice undelor: reflexia, refracţia, interferenţa, difracţia.
8 Descrierea dispoitivului experimental Schema constructivă a dispoitivului experimental utiliat în lucrarea de faţă este preentată în Fig. 5. Într-un vas cu pereţii transparenţi se introduce apă. Mişcarea ondulatorie este determinată în acest ca de mişcarea oscilatorie obţinută folosind un vibrator cu frecvenţa de 5 H care poate avea diverse forme: lamă (pentru producerea undelor plane), cilindru (pentru producerea undelor circulare), dublu-cilindru (pentru a observa, de exemplu, fenomenul de interferenţă a undelor circulare), etc. O L Raa de lumina E D V apa L 1 DF B Fig.5 Lichidul din vas este străbătut de un fascicul intermitent de lumină, provenit de la becul B (după trecerea prin discul rotitor cu fante DF). Fasciculul transmis prin apă este proiectat, folosind lentila L pe tavan sau (folosind o oglindă, O) pe ecranul E. Lentila L 1, denumită condensor, serveşte la iluminarea uniformă a obiectului (în caul nostru, vasul cu apă). Deoarece la trecerea luminii prin apă au loc atât fenomene de reflexie, cât şi de absorbţie, fasciculele care vor trece prin porţiuni mai adânci sau mai puţin adânci vor da pe ecran o imagine formată din regiuni mai intens sau mai puţin intens iluminate; imaginea este în mod univoc corelată cu relieful de la suprafaţa apei. Imaginea de pe ecran poate fi făcută staţionară în timp folosind iluminarea stroboscopică: dacă frecvenţa impulsurilor luminoase ce străbat apa este egală cu frecvenţa de oscilaţie, suprafaţa apei va apărea "îngheţată", iar tabloul de pe ecranul E este, de asemenea, staţionar. Explicaţia este că, în caul egalităţii celor două frecvenţe, porţiuni diferite de pe suprafaţa apei vor fi surprinse la aceeaşi elongaţie la fiecare impuls luminos, dând astfel senaţia de repaus. In Fig. 6 sunt repreentate două fotografii ale suprafeţei apei, în condiţiile interferenţei undelor superficiale produse de un vibrator cu doi cilindri. Aceştia constituie două surse S 1 şi S, aflate la distanţa a (Fig. 7a, b).
9 Fig. 6 Undele circulare vor da fenomenul de interferenţă în toată ona din vecinătatea surselor S 1 şi S, după cum se vede în Fig. 6. Să considerăm un punct P, aflat la distanţa r 1, de sursa S 1 şi r de S (Fig. 7a). Dacă lichidul din vecinătatea fiecărei surse oscileaă după legea j t = = = e ω (34) 1 P S 1 r 1 x m m 1 S 1 M 3 M a r d m m -1 M 1 M M -1 S m - m -3 S M - M -3 (a) (b) Fig. 7 punctul P va executa o mişcare oscilatorie determinată de compunerea oscilaţiilor determinate de fiecare sursă: = e 1P = e P ( ω t kr) j ( ω t kr ) Mişcarea punctului P va fi descrisă, deci, de ecuaţia: P ( ωt ) j j 1 ( ω ) ( ω ) P = 1P + P = e + e = Ae j t kr1 j t kr (35)
10 unde amplitudinea oscilaţiei reultante, A, este dată, după cum se cunoaşte, de relaţia: k A= + + cosk( r r) = cos r r 1 1 π A= cos r r1 (36) iar δ: sin kr1 + sin kr δ = arctg coskr + coskr Punctele pentru care: 1 1 (37) r r = nλ n (38) vor corespunde unor maxime de oscilaţie, iar acelea unde λ r r1 = ( n+ 1) (39) vor corespunde unui minim de oscilaţie. Locul geometric al punctelor de maxim, descris de ecuaţia (38) este constituit dintr-o familie de arce de hiperbole, notate M, M1, M,... M 1, M,... în Fig. 7b. Aceste arce de hiperbolă vor fi intercalate cu arcele de hiperbolă ce corespund condiţiei de minim, descrise de ecuaţia (39). Ele au fost notate m, m1, m,... m 1, m,... Toate aceste arce de hiperbolă au focarele în S 1 şi S. Zonele de minim de interferenţă le va corespunde pe ecranul E o serie de one "difue", în sensul că nu există nici maxime şi nici minime luminoase. Zonelor de maxim de interferenţă (maximelor M k ) le vor corespunde one "ebrate" intens, fapt corelat, aşa cum s-a menţionat, cu modul stroboscopic de iluminare: unele one sunt suprinse întotdeauna pe o "creastă" altele într-o "vale" (aici există "creste" şi "văi", spre deosebire de onele de minim, unde suprafaţa apei este în repaus şi, ca urmare apare "difuă" în proiecţie). Conform Fig. 7a avem: a r1 = d + x de unde reultă: a r = d + x+ xa r r = 1 r + r 1 Folosindu-ne de condiţia de minim (pe ecranul E minimele sunt mai precis identificabile, în comparaţie cu maximele) vom avea, ţinând cont de ecuaţia (39): a λ x = ( n+ 1) r + r 1
11 Considerând că: r 1 + r d (ecuaţie valabilă la distanţe d suficient de mari) vom avea: xa λ = ( n + 1) d Minimul următor, situat la distanţa x de precedentul, va satisface condiţia: ( x+ ) x a λ λ = ( n 1) 1 ( n 1) λ d + + = + + Reultă, prin urmare: d x =, a λ adică a λ = x (4) d Vom folosi ecuaţia (4) pentru determinarea lungimii undelor superficiale în caul apei. Modul de lucru Pentru a determina lungimea de undă, λ, a undelor superficiale vom proceda astfel: Vom turna apă în vasul cu pereţi transparenţi, destinat acestui scop până când cele două vârfuri ale vibratorului sunt în contact cu lichidul. " Vom alimenta cu energie electrică dispoitivul de proiecţie. # Vom măsura, cu şublerul, distanţa a dintre axele cilindrilor vibratorului dublu. $Vom măsura distanţa x dintre două minime succesive, plasate pe o dreaptă paralelă cu S 1 S şi la distanţa d de aceasta. Având în vedere că: d' = β d şi x' = β x unde β este mărirea transversală a lentilei de proiecţie L, avem: d ' λ = a (4') x ' % Trecem datele în Tabelul 1 şi calculăm pe λ. & Reluăm experimentul, alegând perechi de puncte în alte one ale ecranului. Observaţie. După efectuarea experimentelor de interferenţă încercaţi evidenţierea fenomenelor de reflexie şi difracţie. Tabelul 1 Determinarea lungimii de undă în caul undelor superficiale Nr. det. a (mm) x' (cm) d' (cm) λ (mm)
12 ' Notă După efectuarea experimentelor de interferenţă încercaţi evidenţierea fenomenelor de reflexie şi difracţie.pentru observarea reflexiei folosiţi vibratorul plan şi un obstacol transparent (o placă de sticlă, montată vertical în cuvă). Observaţi efectul interferenţei dintre undele incidente şi cele reflectate. Pentru observarea difracţiei observaţi forma suprafeţelor de undă în spatele plăcii de sticlă, în ona marginii obstacolului. Întrebări 1) Care este rolul buretelui spongios de la periferia vasului cu apă? ) Cum trebuie procedat pentru a viualia fenomenul de refracţie?
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραReflexia şi refracţia luminii.
Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA MODULULUI DE ELASTICITATE LA SOLIDE FOLOSIND O METODA DINAMICA
DETERMINAREA MODULULUI DE ELASTICITATE LA SOLIDE FOLOSIND O METODA DINAMICA Scopul lucrării În această lucrare se va determina modulul de elasticitate logitudinală (modulul Young) al unei bare, folosind
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραOSCILATII SI UNDE UNDE
OSCILATII SI UNDE Cursul nr. 8-9-10 UNDE Cursul Nr.8 8.1. Introducere Undele sunt unele din cele mai raspandite fenomene naturale cu o importanta deosebita in stiinta si tehnica. Prin notiunea de unda
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραMiscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραFIZICĂ. Oscilatii mecanice. ş.l. dr. Marius COSTACHE
FIZICĂ Oscilatii mecanice ş.l. dr. Marius COSTACHE 3.1. OSCILAŢII. Noţiuni generale Oscilaţii mecanice Oscilaţia fenomenul fizic în decursul căruia o anumită mărime fizică prezintă o variaţie periodică
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραDifractia de electroni
Difractia de electroni 1 Principiul lucrari Verificarea experimentala a difractiei electronilor rapizi pe straturi de grafit policristalin: observarea inelelor de interferenta ce apar pe ecranul fluorescent.
Διαβάστε περισσότεραCircuite electrice in regim permanent
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este
Διαβάστε περισσότεραCURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότερα- Optica Ondulatorie
- Optica Ondulatorie *Proiect coordonat de Dna. Prof. Domisoru Daniela *Elevii participanti: Simion Vlad, Codreanu Alexandru, Domnisoru Albert-Leonard *Colegiul National Vasile Alecsandri GALATI *Concursul
Διαβάστε περισσότερα1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1.
. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t.5t (m/s). Să se calculeze: a) dependența de timp a spațiului străbătut
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότερα3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραAcustică. Sistemul auditiv
Acustică. Sistemul auditiv Undele elastice reprezintă modalitatea de comunicare poate cel mai frecvent întâlnită în lumea animală. Acest capitol îşi propune în primul rând să prezinte mărimile şi legile
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότερα3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 4 februarie 2012 Barem
4 februarie Pagina din 5. subiect (Masa furnicilor) p A.... 5p În cazurile a) şi b) lungimile catetelor sunt L 38cm şi 4R L, 49cm....,75p a) Când partea coborâtoare a punţii este mai lungă timpul total
Διαβάστε περισσότεραINTENSITATEA ŞI DIFRACŢIA RADIAŢIEI LASER
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE OPTICĂ BN - 1 A INTENSITATEA ŞI DIFRACŢIA RADIAŢIEI LASER INTENSITATEA ŞI DIFRACŢIA RADIAŢIEI LASER 1. Scopul lucrării Lucrarea
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότερα