Αρχιτεκτονικές VLSI για την Αποκωδικοποίηση Κωδικών LDPC µε Εφαρµογή σε Ασύρµατες Ψηφιακές Επικοινωνίες

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ «ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ» Αρχιτεκτονικές VLSI για την Αποκωδικοποίηση Κωδικών LDPC µε Εφαρµογή σε Ασύρµατες Ψηφιακές Επικοινωνίες Γλυκιώτης Ιωάννης Μεταπτυχιακή Εργασία Νοέµβριος 2005

2 Αρχιτεκτονικές VLSI για την Αποκωδικοποίηση Κωδικών LDPC µε Εφαρµογή σε Ασύρµατες Ψηφιακές Επικοινωνίες Γλυκιώτης Ιωάννης Μεταπτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητής: Παλιουράς Βασίλειος Μέλη Εξεταστικής Επιτροπής: - Γκούτης Κωνσταντίνος - Μπερµπερίδης Κωνσταντίνος Νοέµβριος 2005

3 Στην οικογένειά µου

4 Ευχαριστίες Για την εκπόνηση αυτής της διπλωµατικής εργασίας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Βασίλη Παλιουρά για τη θερµή υποστήριξή του και τη βοήθειά του, αλλά και για την υποµονή και το έντονο ενδιαφέρον που έδειξε όλο αυτό το διάστηµα, καθώς και για την πρωτοβουλία του και την καθοδήγησή του, για την επίτευξη της δηµοσίευσης της διπλωµατικής εργασίας. Θα ήθελα, επίσης, να ευχαριστήσω τον κ. Κ. Γκούτη και τον κ. Κ. Μπερµπερίδη για τη συµµετοχή τους στην τριµελή επιτροπή. Τέλος, ευχαριστώ την οικογένειά µου για την υποστήριξη που µου παρέχει όλα αυτά τα χρόνια.

5 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Εισαγωγή-Το σύστηµα µετάδοσης δεδοµένων Εισαγωγή-Ανίχνευση και διόρθωση λαθών Ιστορία και εφαρµογές των κωδικών LDPC Το αντικείµενο και η καινοτοµία της διπλωµατικής εργασίας Σύντοµη περιγραφή της διπλωµατικής εργασίας Οι Kώδικες Low-Density Parity-Check Αναπαράσταση των κωδικών LDPC µε βάση τον parity-check πίνακα Γραφική αναπαράσταση των κωδικών LDPC Αποκωδικοποίηση των κωδικών LDPC Το Φαινόµενο των «Κύκλων» κατά την Αποκωδικοποίηση Ταξινόµηση των λαθών κατά την αποκωδικοποίηση Το φαινόµενο της επανάληψης των soft-words κατά την αποκωδικοποίηση Οι συνέπειες του φαινοµένου των «κύκλων» κατά την αποκωδικοποίηση Πειραµατική ανίχνευση των «κύκλων» Το Κριτήριο Τερµατισµού του Αποκωδικοποιητή Το κριτήριο τερµατισµού του αποκωδικοποιητή και η µείωση του αριθµού των επαναλήψεων Επιλογή κώδικα LDPC για την εξοµοίωση Η απόδοση του 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, ως προς το µήκος λέξης Εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού στον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC Η επιλογή του ε, για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC Εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού σε άλλους κώδικες LDPC Η Προτεινόµενη Αρχιτεκτονική για Αποκωδικοποιητές LDPC Η Hardware-Sharing αρχιτεκτονική Η Parallel αρχιτεκτονική Η προτεινόµενη αρχιτεκτονική Εφαρµογή της αρχιτεκτονικής στον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC Η Προτεινόµενη Μεθοδολογία Σχεδιασµού αποκωδικοποιητών LDPC Η χρησιµότητα της προτεινόµενης µεθοδολογίας... 52

6 6.2 Περιγραφή της χρήσης του λογισµικού εξοµοίωσης Η προτεινόµενη µεθοδολογία Συµπεράσµατα Βιβλιογραφία Παράρτηµα Α Παράρτηµα B Παράρτηµα Γ Παράρτηµα Παράρτηµα E... 82

7 Κατάλογος Σχηµάτων 1.1 ιάγραµµα ενός τυπικού συστήµατος µετάδοσης δεδοµένων Απλοποιηµένο µοντέλο ενός συστήµατος µετάδοσης δεδοµένων Παράδειγµα ενός parity-check πίνακα µε n=20, j=3, και k= Γραφική αναπαράσταση ενός κώδικα LDPC και ο αντίστοιχος parity-check πίνακας, H Πιθανή αλλοίωση του µεταδιδόµενου σήµατος, εξαιτίας θορύβου στο κανάλι επικοινωνίας Ο τρόπος αποστολής µηνυµάτων κατά την αποκωδικοποίηση Οι τύποι λαθών κατά την αποκωδικοποίηση ενός regular κώδικα LDPC µε µήκος block 100 και rate Παράδειγµα λάθους «τύπου Ι» Παράδειγµα λάθους «τύπου ΙΙ» Η γενική δοµή της διαδικασίας ανίχνευσης «κύκλων» Το γράφηµα του 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, ο οποίος χρησιµοποιήθηκε για την εξοµοίωση Η απόδοση του 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, για µηνύµατα των 7 bits, των 8 bits και για double floating point ακρίβεια Η απόδοση και ο µέσος αριθµός επαναλήψεων για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, σε συνάρτηση µε τοε, για τιµές SNR 0, 1 και 2 db Η απόδοση και ο µέσος αριθµός επαναλήψεων για τον 504-b, rate 1/2 κώδικα LDPC σε συνάρτηση µε τοε, για την τιµή 1 db SNR Η γενική µορφή της Hardware-Sharing αρχιτεκτονικής Η επιπρόσθετη αρχιτεκτονική για την ανίχνευση των «κύκλων» και τον τερµατισµό της αποκωδικοποίησης... 46

8 Κατάλογος Πινάκων 1.1 Οι πιο διαδεδοµένοι αλγόριθµοι κωδικοποίησης Αποτελέσµατα της εξοµοίωσης για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, χωρίς την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού του αποκωδικοποιητή Αποτελέσµατα της εξοµοίωσης για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, µε την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού του αποκωδικοποιητή Η µείωση των επαναλήψεων και η διαφορά BER που προκύπτουν µε την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού, στον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC Η επιλογή της παραµέτρουε, µε κριτήριο την ελάχιστη τιµή BER, για άλλους κώδικες LDPC Η συνολική κατανάλωση ενέργειας, που εκτιµήθηκε για τις δύο αρχιτεκτονικές Η µείωση της κατανάλωσης ενέργειας µε τη χρήση της προτεινόµενης αρχιτεκτονικής, για τις Hardware-Sharing και Parallel αρχιτεκτονικές... 51

9 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Εισαγωγή-Το σύστηµα µετάδοσης δεδοµένων Τα τελευταία χρόνια, έχει σηµειωθεί µια αυξανόµενη απαίτηση για αποδοτικά και αξιόπιστα ψηφιακά συστήµατα επικοινωνιών και αποθήκευσης δεδοµένων [1]. Η απαίτηση αυτή έχει επιπλέον ενισχυθεί, από την χρήση µεγάλων και ταχύτατων δικτύων δεδοµένων, για την ανταλλαγή, την επεξεργασία και την αποθήκευση της ψηφιακής πληροφορίας. Ένα µεγάλο ζήτηµα που αφορά στη σχεδίαση τέτοιων συστηµάτων είναι ο έλεγχος των λαθών, ώστε να εξασφαλίζεται η επικοινωνία χωρίς λάθη. Το 1948, ο Shannon [2] απέδειξε ότι µε κατάλληλη κωδικοποίηση της πληροφορίας, τα λάθη που εισάγονται από ένα κανάλι µε θόρυβο, µπορούν να µειωθούν σε οποιοδήποτε επιθυµητό επίπεδο, χωρίς να µειωθεί ο ρυθµός της µετάδοσης δεδοµένων. Από τότε, το ενδιαφέρον έχει στραφεί στην ανακάλυψη αποδοτικών µεθόδων κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης για τον έλεγχο των λαθών σε περιβάλλοντα µε θόρυβο. Ένα τυπικό σύστηµα µετάδοσης δεδοµένων φαίνεται στο σχήµα 1.1. Η µετάδοση ξεκινά από την πηγή πληροφορίας και καταλήγει στον τελικό προορισµό. Η πηγή πληροφορίας µπορεί να είναι κάποιο πρόσωπο ή κάποια µηχανή (π.χ., ένας ψηφιακός υπολογιστής). Η έξοδος της πηγής, η οποία πρόκειται να µεταδοθεί στον προορισµό, µπορεί να είναι µια συνεχής κυµατοµορφή ή µια σειρά από διακριτά σύµβολα. Ο κωδικοποιητής πηγής µετατρέπει την έξοδο της πηγής σε µια σειρά από δυαδικά ψηφία. Σε περίπτωση που η έξοδος της πηγής είναι συνεχής κυµατοµορφή, ο κωδικοποιητής πηγής είναι ένας A/D µετατροπέας. Ο κωδικοποιητής πηγής, ιδανικά, είναι σχεδιασµένος, ώστε ο αριθµός των bits ανά µονάδα χρόνου που απαιτείται για την αναπαράσταση της εξόδου της πηγής, να είναι ελαχιστοποιηµένος και η έξοδος

10 1.1 Εισαγωγή-Το σύστηµα µετάδοσης δεδοµένων 10 της πηγής να µπορεί να ξανακατασκευαστεί από την σειρά δυαδικών ψηφίων, χωρίς σφάλµα. Σχήµα 1.1: ιάγραµµα ενός τυπικού συστήµατος µετάδοσης δεδοµένων. Ο κωδικοποιητής καναλιού µετατρέπει τη σειρά δυαδικών ψηφίων σε µια διακριτή κωδικοποιηµένη ακολουθία, η οποία ονοµάζεται codeword. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η ακολουθία αυτή είναι επίσης µια δυαδική ακολουθία, παρόλο που σε κάποιες εφαρµογές έχουν χρησιµοποιηθεί κώδικες, οι οποίοι δεν είναι δυαδικοί. Τα διακριτά σύµβολα δεν είναι κατάλληλα για τη µετάδοση, µέσω ενός φυσικού καναλιού. Ο διαµορφωτής (modulator), µετατρέπει κάθε σύµβολο σε µια κυµατοµορφή διάρκειας T δευτερολέπτων, η οποία είναι κατάλληλη για µετάδοση. Η κυµατοµορφή αυτή µπαίνει στο κανάλι και αλλοιώνεται από τον θόρυβο που περιέχει το κανάλι. Ο αποδιαµορφωτής (demodulator), επεξεργάζεται κάθε ληφθείσα κυµατοµορφή διάρκειας T και παράγει µια έξοδο, η οποία µπορεί να είναι διακριτή ή συνεχής. Η ακολουθία εξόδου αυτή, η οποία αντιστοιχεί στην κωδικοποιηµένη έξοδο του κωδικοποιητή καναλιού, ονοµάζεται ληφθείσα ακολουθία. Ο αποκωδικοποιητής καναλιού µετατρέπει τη ληφθείσα ακολουθία σε µια δυαδική. Η στρατηγική αποκωδικοποίησης βασίζεται στους κανόνες της κωδικοποίησης καναλιού, καθώς και στα χαρακτηριστικά θορύβου του καναλιού. Στην ιδανική περίπτωση, η σειρά αυτή θα είναι όµοια µε την codeword που είχε µεταδωθεί αρχικά, αλλά στην πραγµατικότητα µπορεί να υπάρχουν λάθη, τα οποία οφείλονται στο ότι ο

11 1.1 Εισαγωγή-Το σύστηµα µετάδοσης δεδοµένων 11 αποκωδικοποιητής δεν κατάφερε να κάνει την αποκωδικοποίηση σωστά, εξαιτίας της παρουσίας θορύβου στο κανάλι. Ο αποκωδικοποιητής πηγής µετατρέπει την έξοδο του αποκωδικοποιητή καναλιού σε µια εκτίµηση της εξόδου του κωδικοποιητή πηγής και παραδίδει την εκτίµηση αυτή στον τελικό προορισµό. Στην περίπτωση που η πηγή είναι συνεχής, ο αποκωδικοποιητής πηγής είναι ένας D/A µετατροπέας. Σε ένα καλοσχεδιασµένο σύστηµα, η εκτίµηση αυτή θα είναι η αναπαραγωγή της εξόδου της πηγής, εκτός και αν υπάρχει πολύς θόρυβος στο κανάλι. Για να εστιάσουµε την προσοχή µας στον κωδικοποιητή και τον αποκωδικοποιητή καναλιού, η πηγή πληροφορίας και ο κωδικοποιητής πηγής συνδυάζονται στην ψηφιακή πηγή, ενώ ο διαµορφωτής, το κανάλι και ο αποδιαµορφωτής, συνδυάζονται στο block coding channel. Τέλος, ο αποκωδικοποιητής πηγής και ο προορισµός, συνδυάζονται στο block digital sink. Το απλοποιηµένο διάγραµµα του συστήµατος µετάδοσης φαίνεται στο σχήµα 1.2. Σχήµα 1.2: Απλοποιηµένο µοντέλο ενός συστήµατος µετάδοσης δεδοµένων. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία, θα ασχοληθούµε µε τις µονάδες του κωδικοποιητή και του αποκωδικοποιητή, δίνοντας περισσότερη έµφαση στη µονάδα του αποκωδικοποιητή.

12 1.2 Εισαγωγή-Ανίχνευση και διόρθωση λαθών Εισαγωγή-Ανίχνευση και διόρθωση λαθών Από τη θεωρία πληροφορίας γνωρίζουµε, ότι όποια και αν είναι η πιθανότητα λάθους κατά τη µετάδοση δεδοµένων, υπάρχει τρόπος κατασκευής κωδικών διόρθωσης λαθών, οι οποίοι έχουν πολύ µικρή πιθανότητα αποτυχίας [3]. Αυτό, όµως, προυποθέτει την πρόσθεση σηµαντικού ποσού επιπρόσθετων δεδοµένων πλεονασµού στα αρχικά δεδοµένα, το οποίο δεν είναι πρακτικό, όταν η πιθανότητα λάθους είναι πολύ µεγάλη. Το θεώρηµα του Shannon θέτει ένα άνω όριο στο ρυθµό διόρθωσης λαθών, το οποίο µπορεί να προσσεγιστεί, χρησιµοποιώντας ένα συγκεκριµένο ποσό δεδοµένων πλεονασµού, αλλά δε µας πληροφορεί για το πώς να κατασκευάσουµε έναν τέτοιο βέλτιστο αποκωδικοποιητή. Οι κώδικες διόρθωσης λαθών χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες: Τους block κώδικες και τους convolutional κώδικες. Ένας block κώδικας εισάγει πλεονασµό µε τέτοιο τρόπο, ώστε στο δέκτη, θεωρητικά, να µπορεί να γίνει αποκωδικοποίηση µε µηδενική πιθανότητα λάθους, εξασφαλίζοντας ότι ο ρυθµός µετάδοσης (bits/sec) δε θα υπερβεί την χωρητικότητα του καναλιού. Το κύριο χαρακτηριστικό των block κωδικών, είναι το σταθερό µήκος των πακέτων που µεταδίδονται. Γενικά, ένας block κώδικας µετατρέπει µια λέξη δεδοµένων, k ψηφίων, σε µία codeword n ψηφίων. Ένας convolutional κώδικας, είναι ένας κώδικας διόρθωσης λαθών, στον οποίο κάθε σύµβολο πληροφορίας, αποτελούµενο από m ψηφία, µετατρέπεται κατά την κωδικοποίηση σε ένα σύµβολο n ψηφίων (µε n m). Ο µεταστηµατισµός αυτός είναι συνάρτηση των k τελευταίων συµβόλων πληροφορίας. ε θα αναλύσουµε περισσότερο τα χαρακτηριστικά των block και των convolutional κωδικών, µιας και δεν είναι αυτός ο σκοπός αυτής της εργασίας. Στον πίνακα 1.1, παρουσιάζονται κάποιοι από τους πιο διαδεδοµένους τρόπους κωδικοποίησης, µε αλφαβητική σειρά [3]. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία, θα ασχοληθούµε µε τους LDPC κώδικες (Low-Density Parity-Check), οι οποίοι ανήκουν στην κατηγορία των block κωδικών.

13 1.3 Ιστορία και εφαρµογές των κωδικών LDPC 13 Alamouti coding (Space-Time codes) Check bit Check digit Convolutional codes Digital fountain code Differential space-time code Erasure code Forward error correction Group code Golay code Hagelbarger code Hamming code Low-density parity-check codes Parity bit Reed-Solomon error correction Reed-Muller code Sparse graph code Space-time trellis code Turbo code Viterbi algorithm Walsh code Πίνακας 1.1: Οι πιο διαδεδοµένοι αλγόριθµοι κωδικοποίησης. 1.3 Ιστορία και εφαρµογές των κωδικών LDPC Οι κώδικες LDPC είναι κώδικες διόρθωσης λαθών και ανήκουν στους block κώδικες [3]. Οι LDPC κώδικες, όπως και οι άλλοι κώδικες, δε µπορούν να εξασφαλίσουν την τέλεια µετάδοση, µπορεί, όµως, η πιθανότητα λάθους να γίνει οσοδήποτε µικρή. Οι κώδικες LDPC ήταν οι πρώτοι κώδικες διόρθωσης λαθών, οι οποίοι µπορούσαν να προσσεγίσουν ρυθµούς µετάδοσης δεδοµένων, πολύ κοντά στο θεωρητικό µέγιστο, το όριο Shannon. Οι κώδικες LDPC εφευρέθηκαν από τον Gallager στις αρχές της δεκαετίας του Επειδή, όµως, τότε δεν ήταν δυνατόν να υλοποιηθούν σε υλικό, ξεχάστηκαν προσωρινά. Με την εξέλιξη της τεχνολογίας, όµως, τα τελευταία χρόνια το ενδιαφέρον στράφηκε ξανά στους κώδικες LDPC, αφού πλέον η υλοποίησή τους είναι δυνατή. Η σηµασία της υψηλής απόδοσης των κωδικών διόρθωσης λαθών είναι µεγάλη, επειδή καθορίζει βασικούς παράγοντες, οι οποίοι

14 1.5 Το αντικείµενο και η καινοτοµία της διπλωµατικής εργασίας 14 κυµαίνονται από την ποιότητα του σήµατος, µέχρι και τη διάρκεια ζωής των µπαταριών. Πρόσφατα, µόλις το Μάρτιο του 2005, οι LDPC κώδικες έγιναν standard για το DVB-S2 (Digital Video Broadcasting) [3]. Συγκεκριµένα, το DVB-S2 χρησιµοποιεί σύστηµα διόρθωσης λαθών, το οποίο βασίζεται στην αλληλουχία ενός Bose-Chaudhuri-Hochquenghem κώδικα µε ένα LDPC κώδικα. Η απόδοση του συστήµατος θα πρέπει να απέχει µέχρι 0.7 db από το όριο Shannon. Το γεγονός της χρήσης του LDPC κώδικα για το DVB-S2, φανερώνει την καταλληλότητα των κωδικών LDPC για υλοποίηση. 1.4 Το αντικείµενο και η καινοτοµία της διπλωµατικής εργασίας Η διπλωµατική εργασία επικεντρώνεται στην αποκωδικοποίηση µε τη χρήση LDPC κωδικών. Στα πλαίσιά της, θα µελετηθεί και θα αξιολογηθεί η κωδικοποίηση και η αποκωδικοποίηση LDPC, µε συνδυασµένα κριτήρια παρεχόµενης ποιότητας (κριτήρια BER σε διάφορες συνθήκες µετάδοσης) και πολυπλοκότητας υλοποίησης σε υλικό. Μέσω εξοµοίωσης, θα εξεταστεί κατά πόσο επηρεάζεται η απόδοση των αποκωδικοποιητών από την αναπαράσταση πεπερασµένου µήκους λέξης, η οποία χρησιµοποιείται για την υλοποίηση της αρχιτεκτονικής τους σε υλικό. Αφού αποφασιστεί το µήκος λέξης, ώστε η απόδοση του αποκωδικοποιητή να προσσεγγίζει τη θεωρητική, θα ακολουθήσει η µελέτη και ο σχεδιασµός της αρχιτεκτονικής του αποκωδικοποιητή, ώστε να ικανοποιεί και άλλα πρακτικά κριτήρια, µε έµφαση στην χαµηλή κατανάλωση ενέργειας. Η καινοτοµία της διπλωµατικής έγκειται στην παρουσίαση ενός νέου κριτηρίου για τον τερµατισµό των επαναλήψεων σε αποκωδικοποιητές LDPC. Το προτεινόµενο κριτήριο είναι κατάλληλο για υλοποίηση σε υλικό, και όπως προκύπτει τελικά, µπορεί να αποφέρει σηµαντική µείωση στην κατανάλωση ενέργειας των αποκωδικοποιητών. Το κριτήριο ελέγχει αν υπάρχουν «κύκλοι» στην ακολουθία των soft words κατά την αποκωδικοποίηση. Οι «κύκλοι» αυτοί προκύπτουν σε κάποιες περιπτώσεις χαµηλού λόγου σήµατος προς θόρυβο, όπου ο αποκωδικοποιητής δε

15 1.5 Σύντοµη περιγραφή της διπλωµατικής εργασίας 15 µπορεί να καταλήξει σε αποτέλεσµα, κάτι το οποίο οδηγεί σε ανόφελη κατανάλωση ενέργειας, αφού δε βελτιώνεται το bit error rate, ενώ ο αποκωδικοποιητής συνεχίζει να λειτουργεί. Η προτεινόµενη αρχιτεκτονική τερµατίζει τη διαδικασία της αποκωδικοποίησης σε περίπτωση που υπάρχει «κύκλος», επιτρέποντας σηµαντική µείωση της κατανάλωσης ενέργειας, η οποία συνοδεύεται από πολύ µικρή µείωση στην απόδοση του αποκωδικοποιητή. Το προτεινόµενο κριτήριο µπορεί να εφαρµοστεί σε οποιαδήποτε υπάρχουσα αρχιτεκτονική για LDPC αποκωδικοποιητές. Συγκεκριµένα, στη διπλωµατική αυτή, µελετώνται τα αποτελέσµατα της εφαρµογής του κριτηρίου στις Hardware-Sharing και Parallel αρχιτεκτονικές. 1.5 Σύντοµη περιγραφή της διπλωµατικής εργασίας Κεφάλαιο 2: Σε αυτό το κεφάλαιο γίνεται µια εισαγωγή στους κώδικες LDPC, περιγράφονται οι τρόποι αναπαράστασής τους, καθώς και ο αλγόριθµος για την αποκωδικοποίησή τους. Κεφάλαιο 3: Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το φαινόµενο των «κύκλων», το οποίο παρουσιάζεται κατά την αποκωδικοποίηση, εξετάζεται σε ποιες περιοχές θορύβου εµφανίζεται και µελετώνται οι συνέπειές του. Επίσης παρουσιάζεται και ο τρόπος ανίχνευσης των «κύκλων» κατά την αποκωδικοποίηση. Κεφάλαιο 4: Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται το κριτήριο τερµατισµού του αποκωδικοποιητή και εφαρµόζεται σε κάποιους κώδικες LDPC. Παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της εφαρµογής του κριτηρίου όσον αφορά στη µείωση της απόδοσης και τη µείωση των επαναλήψεων κατά την αποκωδικοποίηση. Κεφάλαιο 5: Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι δύο βασικές αρχιτεκτονικές για την αποκωδικοποίση LDPC, καθώς και η αρχιτεκτονική που υλοποιεί το προτεινόµενο κριτήριο τερµατισµού. Επίσης, παρουσιάζονται πειραµατικά

16 1.5 Σύντοµη περιγραφή της διπλωµατικής εργασίας 16 αποτελέσµατα που αφορούν στις υλοποιήσεις των δύο αρχιτεκτονικών, από τα οποία προκύπτει σηµαντική µείωση στην κατανάλωση ενέργειας του αποκωδικοποιητή, χωρίς σηµαντική µείωση της απόδοσής του. Κεφάλαιο 6: Σε αυτό το κεφάλαιο συνοψίζεται η µεθοδολογία που ακολουθήθηκε σε αυτή τη διπλωµατική εργασία και περιγράφεται ο τρόπος χρήσης των προγραµµάτων εξοµοίωσης του παραρτήµατος. Κεφάλαιο 7: Σε αυτό το κεφάλαιο συνοψίζονται τα συµπεράσµατα που προκύπτουν από τη διπλωµατική εργασία.

17 Κεφάλαιο 2 Οι Kώδικες Low-Density Parity-Check 2.1 Αναπαράσταση των κωδικών LDPC µε βάση τον parity-check πίνακα Οι κώδικες low-density parity-check, είναι block κώδικες οι οποίοι χαρακτηρίζονται από έναν parity-check πίνακα, ο οποίος περιέχει πολύ λιγότερους άσσους από ότι µηδενικά [4]. Έχει, δηλαδή, χαµηλή πυκνότητα άσσων. Συγκεκριµένα, ένας (n, j, k) low-density κώδικας, είναι ένας κώδικας µε µήκος block n και µε parity-check πίνακα, σαν αυτόν που παρουσιάζεται στο σχήµα 2.1, στον οποίο κάθε στήλη περιέχει ένα µικρό αριθµό j άσσων και κάθε γραµµή περιέχει ένα µικρό αριθµό k άσσων. Σχήµα 2.1: Παράδειγµα ενός parity-check πίνακα µε n=20, j=3, και k=4.

18 2.2 Γραφική αναπαράσταση των κωδικών LDPC 18 Όπως σε όλους τους γραµµικούς block κώδικες [5], έτσι και για τους κώδικες LDPC ισχύει: T Hx = 0, x C, όπου H είναι ο parity-check πίνακας, x είναι µία codeword και C είναι το σύνολο όλων των codewords. Κάθε γραµµή του πίνακα H αντιστοιχεί µία parity check εξίσωση και κάθε άσσος στη θέση ( i, j), σηµαίνει ότι το jth σύµβολο δεδοµένων συµµετέχει στην ith parity check εξίσωση. Μέσα σε ένα block από n σύµβολα υπάρχουν m parity σύµβολα και το rate του κώδικα είναι n m r =, n όπου n είναι το µήκος του block και m είναι το πλήθος των parity-checks. Το πλήθος των άσσων των γραµµών και των στηλών του πίνακα H είναι επιλεγµένο, έτσι ώστε να ικανοποιείται το επιθυµητό weight profile. Το row weight ορίζεται ως το πλήθος των άσσων που υπάρχουν σε µία γραµµή του πίνακα H, ενώ το column weight ορίζεται ως το πλήθος των άσσων που υπάρχουν σε µία στήλη του πίνακα H. Στην περίπτωση που τα row και column weights είναι σταθερά και ίδια σε κάθε γραµµή και στήλη του H, τότε ο κώδικας LDPC που αντιστοιχεί στον πίνακα H ονοµάζεται regular, ενώ σε άλλη περίπτωση, όπου το row ή το column weight δεν είναι σταθερό, ο κώδικας ονοµάζεται irregular. 2.2 Γραφική αναπαράσταση των κωδικών LDPC Οι κώδικες LDPC µπορούν να αναπαρασταθούν και µε τη χρήση ενός διµερούς γράφου [6], όπως φαίνεται και στο σχήµα 2.2. Ο γράφος του σχήµατος 2.2 αντιστοιχεί σε έναν regular κώδικα LDPC µε µήκος block 9, column weight 2 και row weight 3. Επίσης στο σχήµα 2.2 φαίνεται και ο αντίστοιχος parity-check πίνακας H. Το ένα σύνολο κόµβων αναπαριστά τις εξισώσεις parity-check (check nodes) και το άλλο σύνολο αναπαριστά τα σύµβολα δεδοµένων (bit nodes). Κάθε ακµή του γράφου αντιστοιχεί σε έναν άσσο του πίνακα H. Συγκεκριµένα, για κάθε άσσο του πίνακα H στη θέση ( i, j), ο check nodei συνδέεται µε τον bit node j.

19 2.2 Γραφική αναπαράσταση των κωδικών LDPC 19 Check nodes c1 c2 c3 c4 c5 c6 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 Bit nodes H = Σχήµα 2.2: Γραφική αναπαράσταση ενός κώδικα LDPC και ο αντίστοιχος parity-check πίνακας, H Σε έναν ( n, j, k) -LDPC κώδικα, οι bit nodes έχουν βαθµό j και οι check nodes έχουν βαθµό k. Άρα ο κώδικας του σχήµατος 2.2 είναι ένας (9,2,3)-LDPC κώδικας. Όπως ξέρουµε, ο κώδικας έχει την εξής ιδιότητα: Όλα τα ψηφία που συνδέονται σε ένα check node έχουν modulo 2 άθροισµα ίσο µε το µηδέν ή ισοδύναµα έχουν αποτέλεσµα µηδέν στην πράξη XOR. Αυτή η ιδιότητα ονοµάζεται parity check constraint. Άρα η codeword κατασκευάζεται έτσι ώστε όλα τα bits που συνδέονται σε ένα check node να ικανοποιούν τον parity check constraint ή ισοδύναµα µια 9 bit λέξη είναι codeword αν και µόνο αν ικανοποιεί όλα τα parity check constraints, που στη συγκεκριµένη περίπτωση είναι 6. Αν χρησιµοποιήσουµε τη µήτρα H για την περιγραφή του κώδικα, έχουµε το εξής: Το σύνολο των codewords είναι το σύνολο των δυαδικών λύσεων x = ( x, x2,..., x 1 n της codeword. ) της γραµµικής αλγεβρικής εξίσωσης Hx 0 T T =, όπου n το µήκος

20 2.3 Αποκωδικοποίηση των κωδικών LDPC 20 Τα παραπάνω δικαιολογούν τον χαρακτηρισµό low density. Σε άλλους κώδικες, ο αριθµός των άσσων και των µηδενικών της µήτρας H είναι ίσοι. Στους LDPC κώδικες, ο αριθµός των άσσων είναι πολύ µικρότερος σε σχέση µε τον αριθµό των µηδενικών και έτσι η µήτρα H έχει «µικρή πυκνότητα» άσσων. Αυτό µεταφράζεται σε µικρό αριθµό ακµών στον γράφο του σχήµατος Αποκωδικοποίηση των κωδικών LDPC Με βάση τον message-passing αλγόριθµο, ο οποίος αποτελεί κλασσικό τρόπο αποκωδικοποίησης κωδικών LDPC, µηνύµατα (messages) στέλνονται µεταξύ των κόµβων του γραφήµατος του σχήµατος 2.2 και εκτελούνται κάποιοι υπολογισµοί στους κόµβους αυτούς. Ας υποθέσουµε ότι µια codeword καθώς διαδίδεται µέσω του καναλιού επικοινωνίας, κάποια από τα ψηφία της αλλοιώνονται, εξαιτίας της παρουσίας θορύβου στο κανάλι. Αφού φτάσει η αλλοιωµένη codeword στον αποκωδικοποιητή, κάθε ψηφίο της µπαίνει ως είσοδος στον αντίστοιχο bit node. Ας φανταστούµε ότι ο κάθε bit node θα ήθελε να ξέρει αν το bit που έλαβε είναι σωστό ή λάθος και για τον λόγο αυτό, ρωτάει όλους τους γειτονικούς του check nodes, ποια είναι η γνώµη τους για το συγκεκριµένο bit. Καθένας από αυτούς τους κόµβους ρωτάει στη συνέχεια τους υπόλοιπους γειτονικούς του bit nodes τί τιµές έχουν τα δικά τους bits και στέλνει ως απάντηση στον αρχικό bit node το modulo 2 άθροισµα των τιµών αυτών. Επειδή όµως ο bit node έχει περισσότερους από έναν γειτονικούς check nodes, έχει και περισσότερες από µία γνώµες για το αν είναι σωστό το δικό του bit. Πρέπει µε κάποιο τρόπο να επεξεργαστεί αυτές τις γνώµες και να βγάλει κάποιο συµπέρασµα για την τιµή του bit. Για παράδειγµα θα µπορούσε να πιστέψει την πλειοψηφία. Η παραπάνω διαδικασία αποτελεί µία επανάληψη του message passing αλγόριθµου. Με κάθε επιπλέον επανάληψη που γίνεται, αυξάνεται η πιθανότητα να είναι σωστή η εκτίµηση των bit nodes για τις τιµές των ψηφίων της codeword. Ως συνολική εικόνα, έχουµε το ότι κάθε bit node συλλέγει γνώµες από όλους τους γειτονικούς του κόµβους και προωθεί σε κάθε γειτονικό κόµβο την γνώµη που προέκυψε από τους υπόλοιπους γειτονικούς του κόµβους. Για τον λόγο αυτό ο αλγόριθµος ονοµάζεται message-passing.

21 2.3 Αποκωδικοποίηση των κωδικών LDPC 21 Στην παραπάνω περιγραφή θεωρήσαµε ότι οι γνώµες για κάποιο bit εκφράζονται ως µία δυαδική τιµή για αυτό το bit. Οδηγούµαστε σε καλύτερα αποτελέσµατα, αν οι γνώµες αυτές εκφραστούν ως αριθµοί που παίρνουν τιµές µέσα σε ένα διάστηµα (π.χ. από -1 έως 1), δηλαδή ως εκτιµήσεις για το πόσο πιθανό είναι να είναι κάποιο bit µηδέν ή ένα. Τέτοια µεγέθη µπορεί να είναι τα soft bits που προκύπτουν από τον αποδιαµορφωτή (demodulator). Ας υποθέσουµε ένα σήµα µετά τη διαµόρφωση, το οποίο αποτελείται από υψηλές στάθµες (+1), οι οποίες αντιστοιχούν στο λογικό 1 και από χαµηλές στάθµες (-1), οι οποίες αντιστοιχούν στο λογικό 0. Εξαιτίας του θορύβου στο κανάλι επικοινωνίας, το σήµα που λαµβάνει ο αποδιαµορφωτής κατά την δειγµατοληψία δεν είναι ίδιο µε το αρχικό, αλλά παίρνει ενδιάµεσες τιµές ή ακόµα και ανεστραµµένες, αν υπάρχει πολύς θόρυβος. Ένα τέτοιο παράδειγµα φαίνεται στο σχήµα Σχήµα 2.3: Πιθανή αλλοίωση του µεταδιδόµενου σήµατος, εξαιτίας θορύβου στο κανάλι επικοινωνίας.

22 2.3 Αποκωδικοποίηση των κωδικών LDPC 22 Στο σχήµα 2.3 φαίνεται η ακολουθία 10010, όπως θα ήταν ιδανικά, αν δεν είχε υποστεί παραµόρφωση, καθώς και η ίδια ακολουθία µετά από την πρόσθεση του θορύβου. Οι στιγµές δειγµατοληψίας σηµειώνονται µε τα βέλη. Όπως βλέπουµε, οι τιµές που προκύπτουν από τη δειγµατοληψία κυµαίνονται στο διάστηµα -1 έως 1. Μάλιστα, κάποιες φορές έχουµε τέτοια παραµόρφωση, ώστε κάποιο ψηφίο να αντιστρέφεται. Αν κάποιος µας έδινε τις δειγµατοληπτούµενες τιµές του παραµορφωµένου σήµατος του σχήµατος 2.3, θα µπορούσαµε να κάνουµε µια εκτίµηση για το αν πρόκειται για άσσο ή µηδενικό, χωρίς όµως να είµαστε σίγουροι. Όσο πιο κοντά στο +1 είναι µια τιµή, τόσο πιο πιθανό είναι να πρόκειται για το λογικό 1 και όσο πιο κοντά στο -1 είναι µια τιµή, τόσο πιο πιθανό είναι να πρόκειται για το λογικό 0. Αυτές οι τιµές ονοµάζονται soft bits και τις χρησιµοποιούµε σαν εισόδους στον LDPC αποκωδικοποιητή. Ο αλγόριθµος message passing αποτελείται από τα παρακάτω βήµατα [7]: Αρχικοποίηση: Για k = 0, τα check-to-bit messages R [0] από τον check node i στον bit node j, αρχικοποιούνται στο µηδέν για κάθε i, µε j R[i]. ij Στην επανάληψη k : o Φάση 1: Για κάθε bit node j υπολογίζεται το message Q ji [k] και στέλνεται σε κάθε έναν από τους γειτονικούς check nodes i, ως εξής (σχήµα 2.4a): Q [ k] = λ + ji j Ri' j[ k 1] i' C[ j]\ i o Φάση 2: Για κάθε check node i υπολογίζεται το message R ij [k] και στέλνεται σε κάθε έναν από τους γειτονικούς bit nodes j, ως εξής (σχήµα 2.4b):

23 2.3 Αποκωδικοποίηση των κωδικών LDPC 23 1 Rij[ k] = ψ ψ ( Q j' i[ k] ) δ ij, j' R[ i]\ j όπου ψ ( x) = (1/ 2) log(tanh( x / 2)) = ψ 1 ( x) και δ ij είναι ένας συντελεστής διόρθωσης προσήµου ο οποίος εξαρτάται από το µέγεθος του R [i] και από τα πρόσηµα των όρων [ k] Q j ' i. Τελική επανάληψη: Υπολογίζεται για κάθε bit node j η ποσότητα: Λ j = λ + R [ k]. j ij i C [ j] Οι hard decisions για τα bits της codeword λαµβάνονται µε βάση το πρόσηµο του Λ j, j = 1,..., n και η codeword ελέγχεται για τυχόν λάθη. c i1 b j1 λ j Q [ k ji1 ] R ij1 [ k] b j R i j 2 [ k 1] c i2 b j2 Q j i 2 [ k] c i R icj [ k 1] c ic b jr Q jri [k] C [ j] R[i] Σχήµα 2.4: Ο τρόπος αποστολής µηνυµάτων κατά την αποκωδικοποίηση.

24 Κεφάλαιο 3 Το Φαινόµενο των «Κύκλων» κατά την Αποκωδικοποίηση 3.1 Ταξινόµηση των λαθών κατά την αποκωδικοποίηση Για έναν κώδικα LDPC µε άπειρο θεωρητικά µήκος block, η διαδικασία αποκωδικοποίησης τερµατίζεται πάντα [8]. Αν ο θόρυβος του καναλιού έχει µικρότερη τιµή από κάποιο threshold, τότε το αποτέλεσµα της αποκωδικοποίησης θα είναι κάποια codeword. Αν ο θόρυβος έχει µεγαλύτερη τιµή από αυτό το threshold, τότε το διάνυσµα που θα προκύψει µετά την αποκωδικοποίηση δε θα είναι κάποια έγκυρη codeword. Αν ο θόρυβος του καναλιού είναι πολύ υψηλός ή πολύ χαµηλός, τότε η συµπεριφορά ενός αποκωδικοποιητή πεπερασµένου µήκους προσεγγίζει τη συµπεριφορά για άπειρο µήκος block. Μεταξύ αυτών των δύο ακραίων καταστάσεων, υπάρχει µια περιοχή θορύβου στην οποία ο αποκωδικοποιητής πέφτει σε ταλάντωση, µε αποτέλεσµα να µην καταλήγει ποτέ σε κάποιο αποτέλεσµα. Η συµπεριφορά ενός αποκωδικοποιητή µπορεί να είναι µία από τις εξής [8]: Επιτυχής αποκωδικοποίηση: Ο αποκωδικοποιητής καταλήγει σε µία codeword, η οποία είναι όµοια µε αυτή που µεταδώθηκε αρχικά. Λάθος «Τύπου Ι»: Ο αποκωδικοποιητής καταλήγει σε αποτέλεσµα, το οποίο όµως δεν αποτελεί έγκυρη codeword. Αυτό το είδος λάθους είναι ανιχνεύσιµο. Λάθος «Τύπου ΙΙ»: Ο αποκωδικοποιητής πέφτει σε ταλάντωση και δεν καταλήγει σε κάποιο αποτέλεσµα. Αυτό το είδος λάθους είναι επίσης ανιχνεύσιµο.

25 3.2 Το φαινόµενο της επανάληψης των soft words κατά την αποκωδικοποίηση 25 Λάθος «Τύπου ΙΙΙ»: Ο αποκωδικοποιητής καταλήγει σε αποτέλεσµα το οποίο είναι έγκυρη codeword, αλλά δεν είναι ίδια µε αυτή που µεταδώθηκε αρχικά. Αυτό το λάθος δεν είναι ανιχνεύσιµο, για το λόγο ότι δε µπορεί να ξεχωρίσει από την περίπτωση επιτυχούς αποκωδικοποίησης. Στο σχήµα 3.1 παρουσιάζεται η συµβολή του κάθε τύπου λαθών κατά την αποκωδικοποίηση ενός regular κώδικα LDPC µήκους block 100 και rate 0.5 [8]. Παρατηρούµε ότι τα λάθη που κυριαρχούν στις περιοχές χαµηλών και υψηλών SNR, είναι «τύπου Ι» και «τύπου ΙΙΙ» αντίστοιχα. Στην ενδιάµεση περιοχή θορύβου, ο τύπος λαθών που κυριαρχεί είναι ο «τύπος ΙΙ», δηλαδή υπάρχει ταλάντωση κατά την αποκωδικοποίηση. Σχήµα 3.1: Οι τύποι λαθών κατά την αποκωδικοποίηση ενός regular κώδικα LDPC µε µήκος block 100 και rate Το φαινόµενο της επανάληψης των soft-words κατά την αποκωδικοποίηση Στην παράγραφο 3.1 εξετάσαµε ποιοι τύποι λαθών υπάρχουν κατά την αποκωδικοποίηση και µάλιστα σε ποιες περιοχές θορύβου εµφανίζονται. Όπως

26 3.2 Το φαινόµενο της επανάληψης των soft words κατά την αποκωδικοποίηση 26 επίσης είδαµε, τα λάθη «τύπου Ι» και «τύπου ΙΙ» είναι ανιχνεύσιµα, ενώ τα λάθη «τύπου ΙΙΙ» δεν είναι. Στην περίπτωση των λαθών «τύπου Ι», η ανίχνευση αυτή πετυχαίνεται µε το να φτάνει ο αποκωδικοποιητής σε κάποιο αποτέλεσµα, το οποίο όµως δεν είναι codeword και να επιµένει συνεχώς σε αυτό. Οπότε, σε αυτή την περίπτωση θα έχουµε επανάληψη αυτής της soft-word (δηλαδή του αποτελέσµατος), µέχρι να ολοκληρωθεί ο προκαθορισµένος αριθµός επαναλήψεων του αποκωδικοποιητή. Για παράδειγµα, αν ο αποκωδικοποιητής είναι προγραµµατισµένος να σταµατάει την αποκωδικοποίηση αν καταλήξει σε κάποια έγκυρη codeword ή αν εκτελέσει κάποιο προκαθορισµένο αριθµό επαναλήψεων (π.χ. 64), τότε για να «παρουσιαστεί» η επαναλαµβανόµενη soft-word ως αποτέλεσµα, θα πρέπει να εκτελεστούν και οι 64 επαναλήψεις, ακόµα και αν ο αποκωδικοποιητής έχει ουσιαστικά καταλήξει σε αυτό το αποτέλεσµα από πολύ πιο πριν. Στην περίπτωση λαθών «τύπου ΙΙ», η ανίχνευση του λάθους πετυχαίνεται µε την επανάληψη κάποιων soft-words, αφού ο αποκωδικοποιητής πέφτει σε ταλάντωση. Και σε αυτή την περίπτωση, η ταλάντωση των soft-words θα γίνεται µέχρι να εκτελεστούν όλες οι προκαθορισµένες επαναλήψεις του αποκωδικοποιητή, ακόµα και αν αυτή η ταλάντωση έχει ξεκινήσει από πιο πριν. Παρατηρούµε ότι στους τύπους λαθών Ι και ΙΙ, η ανίχνευση των λαθών γίνεται πρακτικά µε την παρατήρηση της επανάληψης κάποιας soft-word. Οπότε, παρόλο που οι δύο τύποι λαθών είναι διαφορετικοί, θα µπορούσαν να ανιχνευτούν µε την ίδια µέθοδο, δηλαδή µε την παρατήρηση της επανάληψης κάποιας soft-word. Στα σχήµατα 3.2 και 3.3 φαίνονται οι καταστάσεις του αποκωδικοποιητή στις δύο αυτές περιπτώσεις λαθών. Βλέπουµε ότι και στις δύο περιπτώσεις ο αποκωδικοποιητής κάνει κύκλους µεταξύ κάποιων καταστάσεών του, µέχρι να ολοκληρωθούν όλες οι προκαθορισµένες επαναλήψεις του. Η διαφορά είναι ότι στην περίπτωση του λάθους «τύπου Ι» ο αποκωδικοποιητής περνάει συνέχεια από µία κατάσταση έως να εκτελεστούν όλες οι επαναλήψεις του και να βγάλει αποτέλεσµα, ενώ στην περίπτωση του λάθους «τύπου ΙΙ» περνάει από περισσότερες από µία καταστάσεις, εκτελώντας ταλάντωση. Στο σχήµα 3.2 ο αποκωδικοποιητής κάνει «κύκλο» µε distance 1, ενώ στο σχήµα 3.3 κάνει κύκλο µε distance 3.

27 3.3 Οι συνέπειες του φαινοµένου των «κύκλων» κατά την αποκωδικοποίηση 27 Σχήµα 3.2: Παράδειγµα λάθους «τύπου Ι». Σχήµα 3.3: Παράδειγµα λάθους «τύπου ΙΙ». 3.3 Οι συνέπειες του φαινοµένου των «κύκλων» κατά την αποκωδικοποίηση Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 3.2, το φαινόµενο των «κύκλων» κατά την αποκωδικοποίηση αποφέρει ανόφελες επαναλήψεις του αποκωδικοποιητή, χωρίς να υπάρχει κάποια βελτίωση στο αποτέλεσµα. Αυτό πρακτικά µεταφράζεται σε περιττή κατανάλωση χρόνου και ενέργειας. Επειδή οι αποκωδικοποιητές LDPC χρίζουν ιδιαίτερου ενδιαφέροντος όσον αφορά στην υλοποίησή τους σε υλικό, όπου η αύξηση της ταχύτητας και η µείωση της ισχύος είναι κρίσιµα θέµατα, θα ήταν χρήσιµο να µην

28 3.3 Οι συνέπειες του φαινοµένου των «κύκλων» κατά την αποκωδικοποίηση 28 υπήρχαν αυτοί οι άσκοποι κύκλοι κατά την αποκωδικοποίηση, αφού το µόνο που επιφέρουν είναι ανόφελη κατανάλωση χρόνου και ενέργειας. Κατά την υλοποίηση αποκωδικοποιητών σε λογισµικό, µε σκοπό την καταγραφή της απόδοσης όσον αφορά στην καµπύλη BER, για παράδειγµα, δεν είναι ιδιαίτερα κρίσιµο µέγεθος η ταχύτητα και η κατανάλωση ενέργειας, αφού δεν πρόκειται για εφαρµογή σε πραγµατικό χρόνο. Έτσι, είναι εφικτό να χρησιµοποιηθεί κάποιο αρκετά πολύπλοκο κριτήριο τερµατισµού της αποκωδικοποίησης. Για παράδειγµα ένα κριτήριο που χρησιµοποιείται συχνά στην περίπτωση αυτή είναι να σταµατάει η αποκωδικοποίηση είτε αν βρεθεί κάποια codeword, είτε αν ξεπεραστεί κάποιος προκαθορισµένος αριθµός επαναλήψεων, ο οποίος σε αρκετές περιπτώσεις είναι και πολύ µεγάλος (100άδες ή 1000άδες επαναλήψεις). Κατά την υλοποίηση, όµως, αποκωδικοποιητών σε υλικό, οι οποίοι προορίζονται για πραγµατικές εφαρµογές, οι απαιτήσεις σε ταχύτητα και σε κατανάλωση ενέργειας είναι ιδιαίτερα κρίσιµες. Επειδή η πολυπλοκότητα των ίδιων των αποκωδικοποιητών, για τέτοιες εφαρµογές, είναι ήδη µεγάλη, οι σχεδιαστές προτιµούν συνήθως ως κριτήριο τερµατισµού της αποκωδικοποίησης, την ολοκλήρωση του προκαθορισµένου αριθµού επαναλήψεων, ο οποίος είναι σηµαντικά µικρότερος από αυτόν που χρησιµοποιείται για τις υλοποιήσεις σε λογισµικό. Σε κάποιες περιπτώσεις χρησιµοποιείται ως κριτήριο τερµατισµού το πέρας των επαναλήψεων ή η κατάληξη σε µία έγκυρη codeword. Θα είχε πρακτικό ενδιαφέρον κάποιο κριτήριο τερµατισµού, το οποίο θα έδινε τέλος στην αποκωδικοποίηση, αν ανιχνευόταν κάποιος «κύκλος». Τότε θα εξοικονοµούσαµε ισχύ και χρόνο, αφού θα εξαλείφονταν οι περιτές επαναλήψεις. Βέβαια, θα υπάρχει και κάποιο overhead σε ισχύ, εξαιτίας της επιπρόσθετης λογικής για την ανίχνευση των «κύκλων» του αποκωδικοποιητή. Σκοπός των επόµενων κεφαλαίων είναι η εκτίµηση αυτών των µεγεθών, ώστε να διαπιστωθεί αν η εφαρµογή ενός τέτοιου κριτηρίου θα βελτίωνε τελικά την απόδοση κάποιου αποκωδικοποιητή.

29 3.4 Πειραµατική ανίχνευση των «κύκλων» Πειραµατική ανίχνευση των «κύκλων» Για να γίνει και πρακτικά η ανίχνευση των «κύκλων» κατά την αποκωδικοποίηση, επιλέχτηκαν κάποιοι LDPC κώδικες από το [9], µε διαφορετικά µήκη block, διαφορετικά βάρη και και διαφορετικά rates. Με ένα πρόγραµµα εξοµοίωσης σε C, µοντελοποιήθηκε η διαδικασία µετάδοσης, αποκωδικοποίησης και ανίχνευσης «κύκλων», της οποίας το η γενική δοµή φαίνεται στο σχήµα 3.4. Η λεπτοµερέστερη περιγραφή του αλγορίθµου εύρεσης «κύκλων» θα γίνει στο επόµενο κεφάλαιο. Όπως παρατηρούµε στο σχήµα 3.4, αρχικά δηµιουργείται ένα νέο δεδοµένο προς αποστολή. Με τη χρήση του generator matrix G, δηµιουργείται η codeword που τελικά θα σταλεί µέσω του καναλιού µετάδοσης, θα αλλοιωθεί δηλαδή παρουσία θορύβου. Προκύπτει τελικά η ληφθείσα soft-word, η οποία και θα αποκωδικοποιηθεί. Κατά την αποκωδικοποίηση ελέγχεται και αν υπάρχει κάποιος «κύκλος», στην ουσία δηλαδή, αν έχουµε επανάληψη κάποιας ενδιάµεσης soft-word. Αν βρεθεί «κύκλος», τότε αυξάνεται ο µετρητής «κύκλων» και η διαδικασία επαναλαµβάνεται από την αρχή, µε κάποιο άλλο νέο, τυχαίο δεδοµένο. Μετά από την αποστολή πολλών codewords, θα έχουµε ένα κλάσµα του αριθµού των «κύκλων», προς τον συνολικό αριθµών των δεδοµένων που στείλαµε. Θα µπορούµε, δηλαδή, να εξάγουµε ένα συµπέρασµα για το κατά πόσο ο συγκεκριµένος κώδικας εµφανίζει «κύκλους», στη συγκεκριµένη τιµή θορύβου. Σχήµα 3.4: Η γενική δοµή της διαδικασίας ανίχνευσης «κύκλων».

30 Κεφάλαιο 4 Το Κριτήριο Τερµατισµού του Αποκωδικοποιητή 4.1 Το κριτήριο τερµατισµού του αποκωδικοποιητή και η µείωση του αριθµού των επαναλήψεων Στο προηγούµενο κεφάλαιο παρουσιάστηκε το φαινόµενο της επανάληψης των soft-words κατά την αποκωδικοποίηση, καθώς και οι συνέπειές του, οι οποίες αφορούν άσκοπη κατανάλωση χρόνου και ενέργειας. Η ιδέα του προτεινόµενου κριτηρίου, βασίζεται στην ανίχνευση των «κύκλων» και στη διακοπή της αποκωδικοποίησης, αν βρεθεί κάποιος «κύκλος». Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσµα της αποκωδικοποίησης θα είναι η τρέχουσα soft-word, τη στιγµή που θα γίνει η ανίχνευση του «κύκλου». Σε περίπτωση που κατά την αποκωδικοποίηση δε βρεθεί «κύκλος», ο τερµατισµός της θα γίνει µε την εύρεση κάποιας έγκυρης codeword ή µε την ολοκλήρωση των προκαθορισµένων επαναλήψεων. Πιο συγκεκριµένα, το προτεινόµενο κριτήριο τερµατισµού βασίζεται στην ανίχνευση των «κύκλων» κατά την αποκωδικοποίηση και στον τερµατισµό του αποκωδικοποιητή, αν κάποιος τέτοιος «κύκλος» βρεθεί. Το κριτήριο υποθέτει ότι υπάρχει «κύκλος», αν µία soft-word βρεθεί να είναι όµοια µε µία άλλη soft-word, κάποιας προηγούµενης επανάληψης. Επειδή οι soft-words αποτελούνται από soft bits και όχι από bits, για να είναι όµοιες δύο soft-words, θα πρέπει όλα τα soft-bits που τις αποτελούν (τα οποία εκφράζουν την πιθανότητα το συγκεκριµένο bit να είναι το λογικό 0 ή το λογικό 1), να είναι ακριβώς όµοια, ένα προς ένα. Μέσω της εξοµοίωσης, όµως, παρατηρήθηκε ότι σε κάποιες περιπτώσεις έχουµε προσκόλληση του αποκωδικοποιητή σε κάποια soft-word που δεν αντιστοιχεί σε έγκυρη codeword (λάθος «τύπου Ι») ή ταλάντωση µεταξύ δύο ή περισσοτέρων soft-words (λάθος

31 4.2 Επιλογή κώδικα LDPC για την εξοµοίωση 31 «τύπου ΙΙ»), χωρίς όµως οι soft-words αυτές να είναι πανοµοιότυπες, αλλά να διαφέρουν ελάχιστα. Λαµβάνοντας υπόψη µας αυτή την παρατήρηση, γενικεύουµε το κριτήριο τερµατισµού ως εξής: Το κριτήριο υποθέτει ότι δύο soft-words s 1 και s2 είναι «όµοιες», αν διαφέρουν το πολύ κατάε, δηλαδή s 1 s 2 ε, µεε 0. Οπότε, σε κάθε επανάληψη, θα πρέπει η τρέχουσα soft-word να συγκρίνεται µε όλες τις προηγούµενές της. Κάτι το οποίο µε την πρώτη µατιά φαίνεται πολύ απαιτητικό σε µνήµη, όσον αφορά στην υλοποίησή του σε υλικό, αφού θα πρέπει να αποθηκεύονται όλες οι soft-words στη µνήµη. Βέβαια, αν εξασφαλιζόταν µε κάποιο τρόπο ότι το distance των «κύκλων» είναι σχετικά µικρό, τότε δε θα ήταν απαραίτητη η αποθήκευση όλων των soft-words των προηγούµενων επαναλήψεων, αλλά µόνο τόσων, όσο και το distance των «κύκλων». Είναι προφανές ότι µε την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού του αποκωδικοποιητή, µειώνεται και ο αριθµός των επαναλήψεων που χρειάζονται για την αποκωδικοποίηση κάποιας ληφθείσας codeword, αν βρεθεί «κύκλος», αφού στην περίπτωση αυτή ο αποκωδικοποιητής θα παύσει τη λειτουργία του και θα συνεχίσει µε την αποκωδικοποίηση της επόµενης ληφθείσας codeword. Οπότε, αν για κάποιες τιµές θορύβου παρουσιάζονται πολλοί τέτοιοι «κύκλοι», η εξοικονόµηση ισχύος και χρόνου θα είναι σηµαντική, εφόσον το overhead για την υλοποίηση του κριτηρίου τερµατισµού θα είναι ανεκτό. Παράλληλα, βέβαια, θα πρέπει η αποφυγή των επαναλήψεων µε την ανίχνευση των «κύκλων» να µην επιφέρει σηµαντική µείωση και στην απόδοση του εκάστοτε κώδικα, αφού η απόδοση είναι το σηµαντικότερο, ίσως, χαρακτηριστικό των αποκωδικοποιητών. 4.2 Επιλογή κώδικα LDPC για την εξοµοίωση Για τις ανάγκες της εξοµοίωσης χρησιµοποιήθηκαν αρκετοί κώδικες LDPC, οι οποίοι βρέθηκαν στο [9], ώστε να έχουµε µια σφαιρική εικόνα για τις συνέπειες της εφαρµογής του κριτηρίου τερµατισµού. Παρόλο που τελικά θα παρουσιάσουµε αποτελέσµατα για αρκετούς κώδικες µε διαφορετικά µήκη block, διαφορετικά βάρη και διαφορετικά rates, θα ήταν χρήσιµο να ασχοληθούµε κυρίως µε ένα κώδικα

32 4.2 Επιλογή κώδικα LDPC για την εξοµοίωση 32 LDPC, ώστε να είναι εφικτή η λεπτοµερέστερη περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθήθηκε, καθώς και η παρουσίασή της. Ο κώδικας που επιλέχτηκε για αυτό το σκοπό είναι ένας irregular κώδικας LDPC µε µέγεθος block 1920 bits και rate 1/3, ο οποίος αντλήθηκε από το [9]. Ο λόγος για την επιλογή του συγκεκριµένου κώδικα είναι η καλή απόδοση που παρουσιάζει, σε συνδυασµό µε το µέγεθος του block του, το οποίο επιτρέπει την υλοποίησή του σε υλικό, καθώς και τη χρησιµοποίησή του σε πραγµατικές εφαρµογές. Ο συγκεκριµένος κώδικας LDPC περιγράφεται από ένα γράφηµα µε µέσο column weight 2.66 και µε µέσο row weight 4. Το γράφηµα φαίνεται στο σχήµα 4.1 και αποτελείται από 1280 bit nodes µε degree 3, από 640 bit nodes µε degree 2 και από 1280 check nodes µε degree 4. Σχήµα 4.1: Το γράφηµα του 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, ο οποίος χρησιµοποιήθηκε για την εξοµοίωση.

33 4.3 Η απόδοση του 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, ως προς το µήκος λέξης Η απόδοση του 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, ως προς το µήκος λέξης Επειδή µας ενδιαφέρει, όχι µόνο η θεωρητική συµπεριφορά του κώδικα LDPC, αλλά και η υλοποίησή του σε υλικό, κάναµε εξοµοίωση της απόδοσής του, λαµβάνοντας υπόψη και το µήκος λέξης των µηνυµάτων του, µε σκοπό να καθορίσουµε το µήκος λέξης που µας συµφέρει να χρησιµοποιήσουµε, ώστε να µην έχουµε σηµαντική µείωση της θεωρητικής απόδοσης του αποκωδικοποιητή. Έτσι, ο 1920-b, rate 1/3 κώδικας LDPC εξοµοιώθηκε ως προς την απόδοσή του για διάφορα µήκη λέξης των µηνυµάτων του, καθώς και για double floating point ακρίβεια, την οποία θεωρήσαµε και ως «άπειρη» ακρίβεια. Ο αλγόριθµος που χρησιµοποιήθηκε για την εξοµοίωση (message-passing αλγόριθµος) περιγράφηκε στο κεφάλαιο 2. Στο σχήµα 4.2 φαίνεται η απόδοση του κώδικα LDPC, όταν ο αποκωδικοποιητής του ανταλλάσσει µηνύµατα των 7 bits, των 8 bits, καθώς και µηνύµατα µε double floating point ακρίβεια. Ο κώδικας C που χρησιµοποιήθηκε για να γίνει η εξοµοίωση συµπεριλαµβάνεται στο παράρτηµα. Σχήµα 4.2: Η απόδοση του 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, για µηνύµατα των 7 bits, των 8 bits και για double floating point ακρίβεια.

34 4.3 Η απόδοση του 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, ως προς το µήκος λέξης 34 Από το σχήµα 4.2 προκύπτει ότι η απόδοση του 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC για µηνύµατα των 8 bits και των 7 bits, παραµένει στην ίδια τάξη µεγέθους µε τη θεωρητική του απόδοση. Για µηνύµατα κάτω των 7 bits, η απόδοσή του µειώνεται ακόµα περισσότερο, αλλάζοντας τάξη µεγέθους. Για το λόγο αυτό δε συµπεριλαµβάνονται και στο σχήµα 4.2. Κατά την εξοµοίωση, ο µέγιστος, προκαθορισµένος αριθµός επαναλήψεων ήταν 100. Η απόφαση για αυτή την τιµή προέκυψε από το [9], όπου αναφέρεται ως ικανοποιητικά µεγάλη. Στον πίνακα 4.1 παρουσιάζονται οι τιµές του BER, καθώς και ο µέσος αριθµός επαναλήψεων για τις τιµές του SNR 0, 1 και 2 db και για ακρίβεια 8 bits, 7 bits και double floating point. Πίνακας 4.1: Αποτελέσµατα της εξοµοίωσης για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, χωρίς την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού του αποκωδικοποιητή. Όπως παρατηρούµε στον πίνακα 4.1, ο µέσος αριθµός επαναλήψεων παρουσιάζει µείωση καθώς το SNR αυξάνεται. Συγκεκριµένα, για 0 db SNR, ο µέσος αριθµός επαναλήψεων είναι 100, ανεξάρτητα από την χρησιµοποιούµενη ακρίβεια. Για 1 db SNR, ο µέσος αριθµός επαναλήψεων µειώνεται αισθητά, αλλά παρουσιάζει διαφορετικές τιµές, ανάλογα µε την ακρίβεια που χρησιµοποιείται. Πιο συγκεκριµένα, όσο µεγαλύτερη ακρίβεια έχουµε, τόσο µικρότερος είναι ο αριθµός επαναλήψεων. Για 2 db SNR, ο αριθµός των επαναλήψεων µειώνεται πάρα πολύ, εξακολουθώντας όµως να µεγαλώνει, όσο µικραίνει η χρησιµοποιούµενη ακρίβεια. Παρόλο που κατά τη συγκεκριµένη εξοµοίωση δε µετρήθηκε ο αριθµός των «κύκλων» που τυχόν υπήρξαν, µπορεί κάποιος να υποθέσει ότι για τιµές 0 και 1 db SNR (περιοχή λάθους «τύπου Ι»), υπήρξαν «κύκλοι», αφού ο αποκωδικοποιητής δυσκολεύετηκε να καταλήξει σε αποτέλεσµα, εκτελώντας αρκετές επαναλήψεις. Αντίθετα, για την τιµή 2 db SNR (περιοχή λάθους «τύπου ΙΙ»), όπου ο αποκωδικοποιητής χρειάστηκε λίγες επαναλήψεις για να βγάλει αποτέλεσµα, δεν υπήρξαν «κύκλοι» (ή υπήρξαν ελάχιστοι). Συγκεκριµένα για την τιµή 0 db SNR, ο

35 4.4 Εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού στον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC 35 µέσος αριθµός επαναλήψεων είναι 100, ανεξάρτητα από την ακρίβεια, το οποίο σηµαίνει ότι υπήρξε «κύκλος» σε όλα τα πακέτα που µεταδώθηκαν. 4.4 Εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού στον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC Τα αποτελέσµατα της εξοµοίωσης που παρουσιάστηκαν στην παράγραφο 4.3, προέκυψαν χωρίς την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού που περιγράφηκε στην παράγραφο 4.1. Σε αυτή την παράγραφο θα παρουσιαστούν τα αντίστοιχα αποτελέσµατα, µετά την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού του αποκωδικοποιητή, για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC. Το πρόγραµµα C, µε το οποίο έγινε η εξοµοίωση, παρουσιάζεται στο παράρτηµα. Όσον αφορά στοε, χρησιµοποιήθηκε η τιµήε = 0, δηλαδή το κριτήριο υποθέτει ότι για να ανιχνευθεί «κύκλος», θα πρέπει οι δύο soft-words να είναι πανοµοιότυπες. Στην παράγραφο 4.5 θα παρουσιαστούν αποτελέσµατα και για άλλες τιµές τουε. Ο πίνακας 4.2 περιλαµβάνει τις τιµές BER, το µέσο αριθµό επαναλήψεων, το µέγιστο αριθµό επαναλήψεων, τον αριθµό των πακέτων στα οποία εµφανίστηκε «κύκλος» και το µέσο distance των «κύκλων» που εµφανίστηκαν, για τιµές 0, 1 και 2 db SNR και για ακρίβεια µηνυµάτων 8 bits και 7 bits. BER # average iterations # max iterations # packets with cycles found 8-b messages / b messages / b messages / b messages / b messages / b messages / Average distance of soft words SNR (db) Πίνακας 4.2: Αποτελέσµατα της εξοµοίωσης για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, µε την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού του αποκωδικοποιητή.

36 4.4 Εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού στον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC 36 Με βάση τον πίνακα 4.2, µπορούµε να κάνουµε κάποιες παρατηρήσεις. Καταρχήν παρατηρούµε ότι οι τιµές BER παραµένουν στην ίδια τάξη µεγέθους µε τις τιµές BER που προέκυψαν χωρίς την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού. Επίσης παρατηρούµε αισθητή µείωση του µέσου αριθµού επαναλήψεων σε σχέση µε το µέσο αριθµό επαναλήψεων του πίνακα 4.1, ιδιαίτερα για τιµές 0 και 1 db SNR (περιοχή λαθών «τύπου Ι και ΙΙ»). Το ποσοστό των πακέτων στα οποία βρέθηκε «κύκλος», µειώνεται µε την αύξηση του SNR, γεγονός που δείχνει τη σταδιακή µετάβαση από την περιοχή λαθών Ι και ΙΙ, στην περιοχή λαθών ΙΙΙ, όπου το φαινόµενο της εµφάνισης των «κύκλων» είναι ανεπαίσθητο. Παρατηρείται επίσης ότι κατά την εξοµοίωση, µεταδώθηκαν 50 πακέτα για την τιµή 0 db SNR, 500 πακέτα για την τιµή 1 db και 5000 πακέτα για την τιµή 2 db SNR. Ο λόγος για τον οποίο έγινε αυτό, είναι x το ότι αν θέλουµε να πετύχουµε BER µε ακρίβεια10, θα πρέπει να µεταδώσουµε τουλάχιστον 10 x+2 bits. Οπότε, για παράδειγµα, αν θέλουµε να εξάγουµε τιµή για το 2 BER στην τιµή 0 db SNR, όπου γνωρίζουµε ότι το BER είναι της τάξεως του10, αρκεί να µεταδώσουµε bits. εδοµένου ότι ο συγκεκριµένος κώδικας LDPC έχει µήκος block 1920 bits ( 2000 bits), αρκεί να µεταδωθούν τουλάχιστον 5 πακέτα. Έτσι εξοικονοµούµε χρόνο εξοµοίωσης. Για µεγαλύτερη εγκυρότητα των αποτελεσµάτων, εµείς µεταδώσαµε 50 πακέτα. Στην προτελευταία στήλη του πίνακα 4.2 φαίνεται ο αριθµός του µέσου distance των «κύκλων» που ανιχνεύθηκαν. Όπως παρατηρούµε, αυτός ο αριθµός δεν είναι ποτέ µεγαλύτερος από 2. Αυτό είναι ίσως και το σηµαντικότερο αποτέλεσµα που παρουσιάζεται σε αυτόν τον πίνακα, αφού σηµαίνει ότι τουλάχιστον για τον συγκεκριµένο κώδικα, αν υπάρχει «κύκλος», δε θα έχει µέσο distance µεγαλύτερο από 2, οπότε κατά την υλοποίησή του σε υλικό, δε θα έχουµε τόσο µεγάλο πρόβληµα µνήµης, όσο είχαµε υποθέσει στο κεφάλαιο 3. Στον πίνακα 4.3 παρουσιάζονται συγκριτικά αποτελέσµατα σχετικά µε τη µείωση του µέσου αριθµού επαναλήψεων και µε τη διαφορά στις τιµές BER, σχετικά µε αυτές που παρουσιάζονται στον πίνακα 4.1, όπου δεν έχει γίνει η εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού της αποκωδικοποίησης. Παρατηρούµε ότι για τιµές 0 και 1 db SNR, η µείωση του αριθµού των επαναλήψεων είναι πολύ µεγάλη, φτάνοντας µέχρι και 80%. Παράλληλα, η διαφορά BER δεν είναι σηµαντική, αφού παραµένει στην ίδια τάξη µεγέθους µε τις αρχικές τιµές BER του πίνακα 4.1. Τα αποτελέσµατα αυτά είναι πολύ ενθαρρυντικά, αφού δείχνουν ότι είναι δυνατό, µε την εφαρµογή του κριτηρίου

37 4.5 Η επιλογή του ε, για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC 37 τερµατισµού του αποκωδικοποιητή, να πετύχουµε µεγάλη µείωση στον αριθµό των επαναλήψεων, ενώ παράλληλα να διατηρήσουµε στην ίδια τάξη µεγέθους τις τιµές BER, δηλαδή χωρίς να έχουµε σηµαντική µείωση στην απόδοση του αποκωδικοποιητή. Βέβαια, τα παραπάνω αφορούν, προς το παρόν, µόνο τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC. Reduction of iterations BER difference 8-b messages 79.7 % b messages % SNR (db) 0 8-b messages % b messages % b messages % b messages % Πίνακας 4.3: Η µείωση των επαναλήψεων και η διαφορά BER που προκύπτουν µε την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού, στον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC. 4.5 Η επιλογή του ε, για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC Για να εξεταστεί η αποτελεσµατικότητα του κριτηρίου τερµατισµού και για άλλους κώδικες LDPC, εξοµοιώθηκαν και άλλοι κώδικες, οι οποίοι βρέθηκαν στο [9]. Τα αποτελέσµατα που παρουσιάστηκαν στην παράγραφο 4.4 για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, προέκυψαν γιαε = 0, υποθέτοντας, δηλαδή, ότι για να υπάρξει «κύκλος», θα πρέπει η τρέχουσα soft-word να είναι πανοµοιότυπη µε κάποια soft-word από κάποια προηγούµενη επανάληψη. Αν υποτεθεί ότι υπάρχει «κύκλος» αν τα soft bits της τρέχουσας soft-word είναι «αρκετά κοντά», αλλά όχι πανοµοιότυπα, µε τα soft-bits κάποιας soft-word από προηγούµενη επανάληψη, τότε ο µέσος αριθµός επαναλήψεων µπορεί να µειωθεί ακόµα περισσότερο, για κάποιους κώδικες LDPC, χωρίς σηµαντική µείωση της απόδοσή τους. Πιο συγκεκριµένα, ορίζεται ένας αριθµός ε, µε ε 0 και θεωρείται ότι υπάρχει «κύκλος», αν ισχύει η ανισότητα Λ i, previous Λ i, current ε για κάθε i, όπου

38 4.5 Η επιλογή του ε, για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC 38 Λ i, previous και Λ i, current τρέχουσας soft-word, αντίστοιχα. είναι τα soft-bits της θέσης i, της προηγούµενης και της Η απόδοση (BER) και ο µέσος αριθµός επαναλήψεων για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, σε συνάρτηση µε τοε, φαίνεται στο σχήµα 4.3, για τιµές 0, 1 και 2 db SNR. 100 SNR = 0dB 1E+00 #Iterations E-01 1E-02 1E-03 BER 0 Without Cycle Detection 0 3 3,5 3,8 4 ε #Iterations 1E-04 BER 50 SNR = 1dB 1E+00 #Iterations E-01 1E-02 1E-03 BER 0 Without Cycle Detection 0 3 3,5 3,8 4 ε #Iterations 1E-04 BER 6 SNR = 2dB 1E+00 #Iterations E-01 1E-02 1E-03 1E-04 BER 0 Without Cycle Detection 0 3 3,5 3,8 4 ε #Iterations 1E-05 BER Σχήµα 4.3: Η απόδοση και ο µέσος αριθµός επαναλήψεων για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC, σε συνάρτηση µε τοε, για τιµές SNR 0, 1 και 2 db.

39 4.5 Η επιλογή του ε, για τον 1920-b, rate 1/3 κώδικα LDPC 39 Αυτό που αρχικά µπορεί να δει κάποιος στο σχήµα 4.3, είναι ότι καθώς τοε αυξάνεται, η τιµή του BER αυξάνεται, ενώ ο µέσος αριθµός επαναλήψεων µειώνεται. Αυτό φαίνεται λογικό, αφού όσο αυξάνεται η τιµή τουε, όλο και περισσότεροι «κύκλοι» ανιχνεύονται, επειδή το κριτήριο γίνεται πιο χαλαρό στην απόφαση για το αν δύο soft-words είναι «όµοιες». Όσον αφορά στην αύξηση του BER, πάλι έχουµε να κάνουµε µε ένα λογικό φαινόµενο, αφού όσο πιο µεγάλο γίνεται τοε, τόσο πιο χαλαρό γίνεται το κριτήριο τερµατισµού, όλο και περισσότεροι «κύκλοι» ανιχνεύονται, µε αποτέλεσµα να χάνεται κάτι στην απόδοση του κώδικα. Ας εξετάσουµε ξεχωριστά τα διαγράµµατα του σχήµατος 4.3. Για την τιµή 0 db SNR, χωρίς ανίχνευση «κύκλων», ο µέσος αριθµός επαναλήψεων είναι 100, πράγµα που σηµαίνει ότι υπάρχει «κύκλος» σε κάθε πακέτο που µεταδίδεται. Όσον αφορά 2 στην τιµή του BER, είναι της τάξης του10 (πίνακας 4.1). Εφαρµόζοντας το κριτήριο τερµατισµού του αποκωδικοποιητή γιαε = 0, αµέσως ο µέσος αριθµός επαναλήψεων πέφτει κοντά στις 20, ενώ το BER παραµένει στην ίδια τάξη µεγέθους. Από εκεί και πέρα, καθώς τοε αυξάνεται, παρατηρείται επιπλέον µείωση του µέσου αριθµού επαναλήψεων και µια µικρή αύξηση του BER. Η αύξηση του BER, όµως, είναι τόσο µικρή καθώς τοε αυξάνεται, που θα µπορούσε να θεωρηθεί ότι η τιµή του BER στην περίπτωση αυτή είναι σχεδόν σταθερή. Για την τιµή 1 db SNR, χωρίς ανίχνευση «κύκλων», ο µέσος αριθµός επαναλήψεων είναι κάτω από 50, ενώ µε ανίχνευση «κύκλων» καιε = 0, πέφτει γύρω στις 15, µε παράλληλη αύξηση του BER, το οποίο, όµως, παραµένει στην ίδια τάξη µεγέθους. Καθώς αυξάνεται τοε και µέχρι να φτάσει στην τιµή 3.5, το BER παραµένει σχεδόν σταθερό, ενώ υπάρχει επιπλέον µείωση στο µέσο αριθµό επαναλήψεων. Από την τιµήε = 3. 5και µετά, παρατηρείται εµφανής αύξηση του BER µε αλλαγή στην τάξη µεγέθους, ενώ ο µέσος αριθµός επαναλήψεων πέφτει κάτω από 10 και συνεχίζει να µειώνεται. Τέλος, για την τιµή 2 db SNR, χωρίς ανίχνευση «κύκλων», ο µέσος αριθµός επαναλήψεων είναι ήδη πολύ µικρός, γύρω στο 4, πράγµα το οποίο δείχνει ότι σε αυτή την τιµή θορύβου, δεν υπάρχουν λάθη «τύπου Ι» και «τύπου ΙΙ» και ο αποκωδικοποιητής καταλήγει σχεδόν πάντα σε αποτέλεσµα και µάλιστα σωστό, αφού 5 το BER είναι της τάξης του10. Με την εφαρµογή του κριτηρίου τερµατισµού του αποκωδικοποιητή, το BER αυξάνεται εµφανώς, αλλάζοντας τάξη µεγέθους και συνεχίζει την αύξησή του καθώς αυξάνεται το ε. Όσον αφορά στον αριθµό των