όπου x η οριζόντια µετατόπιση του σώµατος, k θετική σταθερά και! i το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα x.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "όπου x η οριζόντια µετατόπιση του σώµατος, k θετική σταθερά και! i το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα x."

Transcript

1 Ένα µικρό σώµα βάλλεται οριζόντια µε ταχύτητα v 0 εντός του πεδίου βαρύτητας της Γης από ένα σηµείο Α που η απόστασή του από το οριζόντιο έδαφος είναι h. Tο σώµα κατά την κίνησή του δέχεται εκτός από το βάρος του m g και µια χωροεξαρτώ µενη δύναµη F, που περιγράφεται µε την σχέση: F = kx i όπου x η οριζόντια µετατόπιση του σώµατος, k θετική σταθερά και i το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα x. i) Nα δείξετε ότι η κίνηση του σώµατος είναι επίπεδη και να βρείτε τις εξισώσεις της κίνησής του. ii) Nα βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του σώµατος και το βεληνεκές του. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας και ότι είναι αµελητέα η αντίσταση του αέρα. ΛΥΣΗ: i) i) Eξετάζουµε την κίνηση του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς Οxyz, όπου Ο η προβολή του σηµείου εκτόξευσης Α στο οριζόντιο έδαφος. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: Σχήµα 1 m d r dt = F + m g m d x i + d y d z j + k dt dt dt = 'x i - mg k %

2 ( ) = x ( ) = -mg ( ) = 0 m d x / dt m d y / dt m d z / dt % d x / dt = x / m d y / dt = -g d z / dt = 0 % όπου m η µάζα του σώµατος, r το διάνυσµα θέσεως του σώµατος ως προς την αρχή Ο και i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x, y, z αντιστοίχως. Η τρίτη εκ των σχέσεων (1) δηλώνει ότι η κίνηση του σώµατος κατά την διεύθυνση του άξονα z είναι ισοταχής και επειδή την χρονική στιγµή t=0 η ταχύτητά του κατά την διεύθυνση αυτή είναι µηδέν το σώµα δεν µετατοπίζεται κατά τον άξονα z, που σηµαίνει ότι η κίνησή του περιορίζεται στο επίπεδο xy. H δεύτερη εκ των εξισώσεων (1) ολοκληρούµενη δύο φορές µε αρχικές συνθήκες y(0)=h και v y (0)=0 δίνει: y = h - gt / () Η πρώτη εκ των εξισώσεων (1) γράφεται: (1) d x dt - m x = 0 d x dt - x = 0 µε ω =λ/m (3) H (3) είναι µία οµογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: x = c 1 e t + c e - t (4) όπου c 1, c σταθερές που οι τιµές τους θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες x(0)=0 και v x (0)=v 0. H (4) για t=0 δίνει: 0 = c 1 + c c 1 = -c (5) Εξάλλου παραγωγίζοντας την (4) παίρνουµε: t= 0 dx / dt = c 1 e t - c e - t v x = ( c 1 e t - c e ) - t v 0 = ( c 1 - c ) c 1 - c = v 0 / (6) Aπό την λύση του συστήµατος των (5) και (6) παίρνουµε: c 1 = -c = v 0 / και η (4) γράφεται: x = v 0 e t - v 0 e- t = v 0 e t - e - t % '

3 x = v 0 m sinh (t) = v 0 sinh % m t ( (7) ' Οι σχέσεις () και (7) αποτελούν τις εξίσώσεις κίνησης του σώµατος. ii) Aν απαλοίψουµε τον χρόνο t µεταξύ των () και (7) θα έχουµε: gt / = h - y t = ( h - y) / g και η (7) γράφεται: m x = v 0 sinh m ( ) g h - y % ' x = v 0 m ( ) h - y % sinh mg ' (8) H (8) αποτελεί την εξίσωση της επίπεδης τροχιάς του σώµατος. Θέτοντας στην (8) y=0 βρίσκουµε το βεληνεκές s του σώµατος, δηλαδή θα έχουµε: s = v 0 m h % sinh mg ' (9) P.M. fysikos Eάν στο προηγούµενο πρόβληµα το µικρό σώµα δέχεται εκτός από το βάρος του m g και µια χωροεξαρτώµενη δύναµη F που περιγράφεται µε την σχέση: F = -m r όπου m η µάζα του σώµατος, λ σταθερή ποσότητα και r η επιβατική ακτίνα του σώµατος ως προς την αρχή Ο, που συµπίπτει µε την προβολή του σηµείου εκτοξευσης Α του σώµατος επί του εδάφους. i) Nα δείξετε ότι η κίνηση του σώµατος είναι επίπεδη και να βρείτε τις εξισώσεις της κίνησής του. ii) Nα βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του σώµατος και τον χρόνο κίνησής του µέχρις ότου φθάσει στο έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι είναι αµελητέα η αντίσταση του αέρα. iii) Nα δείξετε ότι το σώµα βρίσκεται εντός συντηρητικού πεδίου και να καθορίσετε την δυναµική του ενέργεια. Στην συνέχεια χρησιµοποι ώντας το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας να υπολογί σετε το µέτρο της ταχύτητάς του την στιγµή που φθάνει στο έδαφος. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

4 m d r dt = F + m g = -m r + m g d r dt = - r + g ( ) - g d x i + d y d z j + k = - x i + y dt dt dt j + z k j Σχήµα d x / dt = - x d y / dt = - y - g d y / dt = - z % d x / dt + x = 0 d y / dt + y = -g d z / dt + z = 0 % (1) όπου x, y, z oι συντεταγµένες του σώµατος την χρονική στιγµή t που το εξε τάζουµε και i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x, y, z αντιστοίχως. Εστιάζοντας στην τρίτη εκ των διαφορικών εξισώσεων (1) παρατηρούµε ότι αυ τή δέχεται λύση της µορφής: z = A 1 µt + A %t () όπου Α 1, Α σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες z(0)=0 και v z (0)=0. H () για t=0 δίνει: 0 = A A A = 0 Παραγωγίζοντας την () έχουµε: t= 0 dz/dt = A 1 t - A %µt = A 1 t 0 = A 1 A 1 = 0 δηλαδή κάθε στιγµή ισχύει z=0 που σηµαίνει ότι το σώµα δεν µετατοπίζεται κατά τον άξονα z, οπότε η κίνησή του περιορίζεται στο επίπεδο xy. Αν κατα φύγουµε στην πρώτη εκ των διαφορικών εξισώσεων παρατηρούµε ότι και αυτή είναι µια οµογενής γραµµική διαφορική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

5 x = B 1 µt + B %t (3) όπου B 1, B σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συν θήκες x(0)=0 και v x (0)=v 0. H (3) για t=0 δίνει: 0 = B B B = 0 Εξάλλου παραγωγίζοντας την (3) έχουµε: t= 0 dx/dt = B 1 t - B %µt = B 1 t v 0 = B 1 B 1 = v 0 / οπότε η (3) γράφεται: x = ( v 0 / )µt (4) Tέλος η δεύτερη εκ των εξισώσεων (1) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφο ρική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχε ται λύση της µορφής: y = 1 µt + %t - g/ (5) όπου Γ 1, Γ σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες y(0)=h και v y (0)=0. H (5) για t=0 δίνει: h = g/ = h + g/ Ακόµη παραγωγίζοντας την (3) έχουµε: t= 0 dy/dt = 1 %t - µt 0 = = 0 οπότε η (5) γράφεται: y = ( h + g/ )t - g/ (6) Οι σχέσεις (4) και (6) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του σώµατος. ii) Eάν απαλοίψουµε τον χρόνο t µεταξύ των (4) και (6) θα έχουµε: και x / v 0 = µt ( x / v 0 ) = µ t (7) y + g/ = h + g/ ( )t y + g/ h + g/ = t

6 y + g/ % h + g/ ' = ()* t (8) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (7) και (8) παίρνουµε την εξίσωση της επίπεδης τροχιάς του σώµατος: x % ' v 0 + y + g/ % h + g/ ' = 1 (9) Για να υπολογίσουµε τον χρόνο κίνησης t ολ του σώµατος από την στιγµή της εκτόξευσής του µέχρις ότου φθάσει στο οριζόντιο έδαφος χρησιµοποιούµε την εξίσωση (6) η οποία για t=t ολ δίνει: h = ( h + g/ )t % - g/ h + g/ = ( h + g/ )t % t % = 1 t = t = / (10) iii) Τόσο το βάρος m g του σώµατος όσο και η κεντρική δύναµη F = - m r που δέχεται αποτελουν συντηρητικες δυνάµεις, οι οποίες συµπλέκονται µε αντί στοιχες δυναµικές ενέργειες U 1 και U για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: m g = - U 1 -m r = - U % F = - U 1 + U (+ ) m g - m r = - U 1 - U ( ) (11) H (11) εκφράζει ότι η ολική δύναµη F που δέχεται το σώµα απορρέει από δυ ναµική ενέργεια U=U 1 +U, που σηµαίνει ότι ο χώρος µέσα στον οποίο κινείται το σώµα αποτελει ένα συντηρητικό δυναµικό πεδίο. Όµως για τις επιµέρους δυναµικές ενέργειες U 1 και U έχουµε τις σχέσεις: -mg = -du 1 /dy -m r = -du / dr mgdy = du 1 m rdr = du U 1 = mgy + C 1 U = m r / + C (+ ) U 1 + U = mgy + C 1 + m r / + C U = mgy + m ( x + y ) / + C (1) όπου οι σταθερές ολοκληρώσεως C 1, C έχουν ενσωµατωθεί στην αυθαίρετη στα θερά C. Το γεγονός ότι στην ολική δύναµη που δέχεται το σώµα αντιστοιχεί η δυναµική ένεργεια U µας επιτρέπει να αποδόσουµε στο σώµα µηχανική ενερ γεια Ε µηχ =U+K, η οποία διατηρείται κατά την εξέλιξη της κινήσεώς του.

7 Εφαρµόζοντας για το σώµα την παραπάνω ιδιότητα (θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας) µεταξύ της θέσεως εκτόξευσής του Α και της θέσεως αφίξεως του Γ στο έδαφος, παίρνουµε την σχέση: K A + U A = K + U mv 0 h +mgh+m + C= mv s +m + C v 0 +gh+ h = v + s (13) όπου v η ταχύτητα του σώµατος στην θέση Γ και s το βεληνεκές του. Εξάλλου η εξίσωση της τροχιάς του σώµατος (σχέση 9) δίνει για το σηµείο Γ την σχέση: s % ' v g/ % h + g/ ' = 1 s = 1 - v 0 g / 4 ( h + g) / 4 s = v και η (13) γράφεται: % g ' ( h + g) ' v v 0 +gh+ h = v +v 0-0 g ( h + g) v gh+ h + 0 g ( h + g) = v v = h( g+ h) + v 0 g ( h + g) P.M. fysikos Ένα υλικό σηµείο, µάζας m κινείται στο επίπεδο Οxy δεχόµενο δύναµη F, η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµι κής ενέργειας της µορφής: U(x,y) = αx + βψ (1) όπου α, β θετικές και σταθερές ποσότητες και x, y οι συντεταγµένες του υλικού σηµείου. i) Να βρείτε την συνθήκη, ώστε η δύναµη F να είναι κεντρική. Ποιά

8 είναι τότε η µορφή της τροχιάς του υλικού σηµείου; ii) Mε την προυπόθεση ότι η F είναι κεντρική δύναµη και ότι την χρονική στιγµή t=0 είναι x=r, y=0 και v 0 =v 0 j, όπου R, v0 θετικές και σταθερές ποσότητες και j το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα y, να βρεί τε για ποιές τιµές των α, β το υλικό σηµείο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση. ΛΥΣΗ: i) Επειδή η δύναµη F απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U(x,y) θα ισχύει: F = - U(x,y) = -% U x i + U U j + y z k ( ' (1) Για να είναι η F κεντρική δύναµη πρέπει να έχει την µορφή: F = f(r) r F = - (x i + y j ) () όπου f(r) µονόµετρη συνάρτηση του µέτρου της επιβατικής ακτίνας r του υλικού σηµείου. Έτσι µε βάση την () η f(r) πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: -(x i + y j ) = f(r) r -(x i + y j ) = f(r)(x i + y j ) -x = f(r)x -y = f(r)y % - = f(r) - = f(r) % = Αν λοιπόν ισχύει α=β τότε η () γράφεται: F = -(x i + y j ) = - r (3) δηλαδή η F είναι κεντρική δύναµη και µάλιστα ελκτική µε µέτρο ανάλογο της απόστασης r του υλικού σηµείου από την αρχή Ο των αξόνων. ii) Για να εκτελεί το υλικό σηµείο οµαλή κυκλική κίνηση πρέπει η F να απο τελεί κεντροµόλο δύναµη µε σταθερό µέτρο. Αυτό συµβαίνει όταν α=β και όταν: Σχήµα 3 αr = mv /R α = mv /R (4)

9 όπου R η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Όµως το µέτρο της ταχύτητας v είναι σταθερό και ίσο µε v 0, οπότε η (4) δίνει: = = mv 0 /R P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (4) τα νήµατα ΑΒ και ΓΔ θεωρούνται αβαρή και µή εκτατά, έχουν το ίδιο µήκος και συγκρα τουν µια λεπτή ορθογώνια πλάκα µάζας m, που έχει µήκος L και πλάτος L. Αρχικά η πλάκα κρατείται ακίνητη σε τέτοια θέση, ώστε τα νήµατα να σχηµατίζουν µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία π/6 και κάποια στιγµή αφήνεται ελευθερη. Nα βρεθούν: i) η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της πλάκας κατά την έναρξή της κινήσεώς της και ii) οι αντίστοιχες τάσεις των δύο νηµατων. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Όταν η πλάκα αφεθεί ελευθερη εκτελεί µεταφορική κίνηση στην διάρκεια της οποίας το κέντρο µάζας της C διαγράφει σε κατακόρυφο επίπεδο κυκλική τροχιά ακτίνας ίσης µε το µήκος των δύο νηµάτων. Εξετάζοντας την πλάκα την στιγµή t=0 της εκκίνησής της παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος της w και τις τάσεις F 1, F των νηµάτων οι οποίες διευθύνονται κατά την ακτίνα Σχήµα 4 της κυκλικής τροχιάς του κέντρου µάζας C (σχ. 4). Οι δύο αυτές δυνάµεις συντιθέµενες µε την ακτινική συνιστώσα w r του βάρους της πλάκας δίνουν συνισταµένη δύναµη που αποτελεί για το κέντρο µάζας C κεντροµόλο δύναµη. Όµως την στιγµή αυτή η ταχύτητα του κέντρου µάζας είναι µηδενική, που ση µαίνει ότι µηδενική θα είναι και η κεντροµόλος δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέ ση: F 1 + F - w r = 0 F 1 + F = mgµ F 1 + F = mgµ( / 6) = mg/ (1) Eξάλλου την ίδια στιγµή η συνιστώσα w του βάρους της πλάκας που διευθύ

10 νεται κάθετα επί την ακτίνα της τροχιάς του κέντρου µάζας (εφαπτοµενική συνιστώσα), αποτελεί επιτρόχια δύναµη για το κέντρο µάζας και του προσδίδει επιτάχυνση a (επιτρόχιος επιτάχυνση) της οποίας το µέτρο, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα ικανοποιεί την σχέση: w = ma mg = ma a = g = g(% / 6) = 3mg/ () ii) Eπειδή η κίνηση της πλάκας είναι µεταφορική, η συνολική ροπή περί το κέντρο µάζας C των δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, οπότε θα ισχύει: () C = 0 -F 1y L + F 1x L/ + F y L + F x L/ = 0 -F 1 µ + F 1 % + F µ + F % = 0 -F 1 µ ( / 6) + F 1 %( / 6) + F µ ( / 6) + F %( / 6) = 0 -F 1 + 3F 1 / + F + 3F / = 0 F 1 (- + 3) + F ( + 3) = 0 F 1 ( - 3) = F ( + 3) F 1 = F ( + 3) (3) Από την λύση του συστήµατος των (1) και (3) τελικώς προκύπτει: F 1 = mg( - 3) 8 και F = mg( + 3) 8 P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος ΜΝ µάζας m και µήκους L, ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση µε την βοήθεια των κεκλιµένων νηµάτων ΑΜ και ΒΜ, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Τα νήµατα έχουν αµελητέα µάζα, είναι µη εκτατά και σχηµατίζουν µε την οριζόνια διευθυνση γωνία φ=π/6. Eάν κόψουµε το νήµα AΜ να βρεθεί η γωνια κή επιτάχυνση της ράβδου και η τάση του νήµατος BΜ αµέσως µετά την θραύση του νήµατος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I C =ml /3 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας C και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛYΣH: Όταν κοπεί το νήµα ΑΜ η ράβδος εκτελεί επίπεδη κίνηση στο κατακό ρυφο επίπεδο που καθορίζει το νήµα ΜΒ και η ράβδος. Η κίνηση αυτή µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης και µιας περιστροφικής κίνησης περί άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνησης και διερχόµενο από το κέντρο µάζας C της ράβδου. Έτσι οι επιταχύνσεις a M, a C του άκρου Μ της ράβδου και του κέντρου µάζας της C αντιστοίχως αµέσως µετά την θραύση του νήµατος AM θα συνδέονται µε την σχέση:

11 a M = a C - ( CM) + ' CM ( ) = ( ) (1) a C + ' CM όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου κατά την έναρξη της κινήσεώς της (t=0), ενώ η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι µηδενική. Επειδή κατά την διεύθυνση του νήµατος ΜΒ η επιτάχυνση του ακρου Μ της ράβδου είναι µηδενική (αυτό οφείλεται στην µηδενική επιτάχυνση του σταθε ρού σηµείου Β) το διάνυσµα a M είναι κάθετο στο νήµα ΜΒ (σχ. 6) και εποµένως Σχήµα 5 Σχήµα 6 σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Η διανυσµατική σχέση (1) µπορεί να πάρει την µορφή: a Mx i + a My j = acx i + a Cy j + a i a M µ i + a M % j = i + a Cy j + 'L i a M µ = + 'L' ( a M % = a Cy ) = a M µ - 'L a Cy = a M % όπου a η επιτρόχια επιτάχυνση του ακρου Μ της ράβδου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα του οριζόντιου και του κατακόρυφου άξονα Cx και Cy αντιστοί χως,, a Cy οι αλγεβρικές τιµές της x-συνιστώσας και της y-συνιστώσας αντι στοίχως της επιτάχυνσης a C και a Mx, a My oι αλγεβρικές τιµές των αντίστοιχων συνιστωσών της επιτάχυνσης a M. Εφαρµόζοντας µέσως µετά την θραύση του νήµατος AM για το κέντρο µάζας C τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις κατευθύνσεις των i και j, παίρνουµε τις σχέσεις: ' ( ) () T x = m mg - T y = ma Cy T = ma Cx ' mg - T%µ = ma Cy ( όπου T η τάση του νήµατος ΜΒ και m g το βάρος της ράβδου. Εξάλλου την (3)

12 ίδια στιγµή ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει για την ράβδο την σχέση: T x L = I C ' TL = ml %'/3 T = ml'/3% (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) µε την (4) παίρνουµε: ml'%/3% = m ' ( mg - ml'µ%/3% = ma Cy ) ι σχέσεις () λόγω των (5) γράφονται: L'/3 = a % Cx g - L'/3 = a Cy ' (5) 4L'/3 = a M µ g - L'%/3 = a M '( ) * + (:) µ % = 4L'/3 g - L''(/3 = 4L' 3g - L' 3g - L' = 4L' 3g = ' ( 4L + L ) '= 3g ( ) L 4 + (6) Τέλος συνδυάζοντας την (3) µε την (6) παίρνουµε: T = ml' 3% 3g'% L( 4 +' % ) = mg'% % 4 +' % ( ) T = mg( / 6) ( ) = mg 3 / 3 3 / ( ) = mg 13 %( / 6) 4 + ( / 6) ( ) 4 +1/ 3 (7) Ακολουθώντας σχεδόν την ίδια διαδικασία, µπορείτε να λύσετε την παρακάτω άσκηση: Λεπτή οµογενής ράβδος AB µάζας m και µήκους L, ισορροπεί σε οριζόντια θέση µε την βοήθεια των κεκλιµέων νηµάτων ΟA και ΟB, όπως φαίνεται στο σχήµα (7). Τα νήµατα έχουν αµελητέα µάζα, είναι µη εκτατά και σχηµατίζουν µε την οριζόνια διεύθυνση γωνία φ=π/6. Σχήµα 7

13 Eάν κόψουµε το νήµα ΟA, να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου µά ζας της ράβδου και η τάση του νήµατος B αµέσως µετά την θραύση του νήµατος A. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I C =ml /3 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος στην ράβδο. P.M. fysikos Οµογενές ηµισφαιρικό σώµα, µάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται λείου οριζόντιου δαπέδου και συγκρατείται ώστε η επί πεδη επιφάνειά του να είναι κατακόρυφη. Κάποια στιγµή το σώµα αφήνεται ελεύθερο και αρχίζει να κινείται ώστε η σφαιρική του επι φάνεια να εφάπτεται του δαπέδου. i) Να δείξετε ότι το κέντρο µάζας του σώµατος εκτελεί κατακόρυφη κίνηση. ii) Να βρείτε την δύναµη που δέχεται το σώµα από το δάπεδο την στιγµή που η επίπεδη επιφάνειά του γίνεται οριζόντια. iii) Nα βρείτε την ίδια στιγή την επιτάχυνση του σηµείου επαφής του ηµισφαιρίου µε το δάπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, ότι το κέντρο µάζας C του σώ µατος βρίσκεται στον άξονα συµµετρίας του σε απόσταση 3R/8 από το κέντρο Ο της επίπεδης επιφάνειάς του και ότι η ροπή αδράνειας µιας σφαίρας µάζας m και ακτίνας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, είναι ίση µε mr /5. ΛΥΣΗ: i) To ηµισφαιρικό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση µε χαρακτηριστικό επίπεδο την κύρια τοµή του ηµισφαιρίου (ηµικύκλιο) της οποίας η διάµετρος είναι κάθετη στο οριζόντιο δάπεδο την στιγµή t=0 που το σώµα αφήνεται ελευθερο. Η επίπεδη αυτή κίνηση µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης και µιας στροφικής περί άξονα κάθετο στο επίπεδο της Σχήµα 8 Σχήµα 9 Σχήµα 10 κίνησης και διερχόµενο από το κέντρο µάζας C του σώµατος. Το σώµα κατά την κίνησή του δέχεται το βάρος του w και την δύναµη F από το έδαφος, η οποία ως κάθετη σ αυτό θα είναι κάθετη και στην εξωτερική επιφάνεια του σώ

14 µατος στο σηµείο επαφής της Α µε το έδαφος, δηλαδή ο φορέας της είναι κατα κόρυφος και διέρχεται από το κέντρο Ο της κύριας τοµής. Επειδή λοιπόν οι δυνάµεις w και F είναι κατακόρυφες, το κέντρο µάζας C του σώµατος δεν έχει οριζόντια επιτάχυνση µε αποτέλεσµα να κινείται κατακόρυφα, αφού είναι µηδενική η οριζόντια αρχική του ταχύτητα που σηµαίνει ότι η µεταφορική συνιστώσα της κίνησης του σώµατος είναι κατακόρυφη. Εξάλλου η περιστροφι κή συνιστώσα της κίνησης του σώµατος οφείλεται στην ροπή της δύναµης F περί το κέντρο µάζας C και σε πρώτο στάδιο είναι αριστερόστροφη (σχ. 8). ii) Ας εξετάσουµε τι συµβαίνει την χρονική στιγµή που η επίπεδη επιφάνεια του ηµισφαιρίου είναι οριζόντια (σχ. 11). Επειδή η y-συντεταγµένη του γεωµετρικού κέντρου Ο του ηµισφαιρίου είναι χρονικά σταθερή και ίση µε την ακτίνα του R η επιτάχυνσή του a στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου είναι οριζόντια. Θεωρώντας το Ο ως πόλο της επίπεδης κίνησης µπορούµε να υπολογίσουµε την επιτάχυνση a C του κέντρου µάζας C, µέσω της σχέσεως: a C = a - (C) + ( ' C) (1) Σχήµα 11 όπου η γωνιακή ταχύτητα και ' η γωνιακή επιτάχυνση αντιστοίχως του σώµατος κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Όµως οι ροπές των δυνάµεων περί το κέντρο µάζας C την στιγµή αυτή είναι µηδενικές και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης µηδενική θα είναι και η ', οπότε η (1) γράφεται: a C = a - (C) () Όµως το διάνυσµα a είναι οριζόντιο και τα διανύσµατα a C, (AC) κατακό ρυφα που σηµαίνει ότι η () ισχύει µόνο αν a = 0, µε αποτέλεσµα η () να παίρ νει την µορφή: a C = - (AC) a C = 3R /8 (3) Eφαρµόζοντας την ίδια στιγµή για την κίνηση του κέντρου µάζας του σώµατος τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: (3) F - w = ma C F = mg + 3mR /8 (4) Για τον υπολογισµό της γωνιακής ταχύτητας εφαρµόζουµε για το σώµα το θεώ ρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, λαµβάνοντας ως επίπεδο µηδενι κής βαρυτικής ενέργειας το δάπεδο, οπότε θα έχουµε:

15 K + U = K % + U % 0 + mgr = I C + mv C + mg(ac) mgr = I C + mv C + 10mgR/8 3mgR/4 = I C + mv C όπου v C η αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας και Ι C η ροπή αδράνειας του σώµατος περί άξονα κάθετο στην κύρια τοµή και διερχόµενο από το C. Eξετάζoντας εξάλλου το σώµα σε µια ενδιάµεση θέση όπου η επίπεδη επιφάνειά του σχηµα τίζει µε το δάπεδο γωνία φ (σχ. 9 ) θα έχουµε για την y-συντεταγµένη του C την σχέση: y C = R - (C) = R - 3R / 8 (5) dy C dt = 3R 8 µ d dt v C = 3R 8 µ d dt η οποία για την οριζόντια θέση της επίπεδης επιφάνειας (φ=0) δίνει v C =0 και η (5) παίρνει την µορφή: 3mgR/4 = I C (6) Αν Ι Ο είναι η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο Ο και είναι κάθετος στην κύρια τοµή του, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Steiner θα ισχύει: I = I C + m(c) I C = I - m(c) (7) Όµως η Ι είναι ίση µε το µισό της ροπής αδράνειας µιας σφαίρας κέντρου Ο και διπλάσιας µάζας από την µάζα m του σώµατος, ως προς άξονα που διέρχε ται από το Ο, δηλαδή θα ισχύει: I = 1 5 mr % = mr 5 (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7) και (8) παίρνουµε: I C = 5 mr - m(c) = mr 5-9mR 64 = 83mR 30 Έτσι η σχέση (6) γράφεται: 3mg R 4 = 83mR g = R (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (9) έχουµε: F = mg + 3m g = mg 1 + F = % 83 mg

16 iii) H επιτάχυνση a A του σηµείου επαφής Α του ηµισφαιρικού σώµατος µε το δάπεδο δίνεται από την σχέση: a A = a - (A) + ( ' A) Όµως την στιγµή που η το διάνυσµα A είναι κατακόρυφο ισχύει '= 0 και a = 0, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: (9) a A = - (A) a A = R a A = g P.M. fysikos Ηµισφαιρικό σώµα, βάρους w και ακτίνας R, εφάπτεται µη λείου οριζόντιου εδάφους και συγκρατείται ώστε η επί πεδη επιφάνεια να είναι κατακόρυφη (σχ. 1). Κάποια στιγµή το σώ µα αφήνεται ελεύθερο και αρχίζει να κυλίεται στο οριζόντιο έδαφος. i) Nα δείξετε ότι, την στιγµή που η επίπεδη επιφάνεια του ηµισφαιρι κού σώµατος γίνεται οριζόνια η γωνιακή του επιτάχυνση είναι µηδέν. i) Να βρείτε την δύναµη που δέχεται το σώµα από το οριζόντιο έδα φος κατά την ίδια χρονική στιγµή. Δίνεται ότι το κέντρο µάζας C του σώµατος βρίσκεται στον άξονα συµ µετρίας του σε απόσταση 3R/8 από το κέντρο Ο της επίπεδης επιφά νειάς του και ότι η ροπή αδράνειας µιας σφαίρας µάζας m και ακτί νας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, είναι ίση µε mr /5. ΛΥΣΗ: i) Η κύλιση του ηµισφαιρικού σώµατος επί του εδάφους είναι επίπεδη κίνηση µε χαρακτηριστικό επίπεδο την κύρια τοµή του ηµισφαιρίου (ηµικύκ λιο) της οποίας η διάµετρος είναι κάθετη στο έδαφος την στιγµή t=0 που το σώµα αφήνεται ελεύθερο. Η κίνηση αυτή µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης και µιας στροφικής περί άξονα κάθετο στο επίπεδο Σχήµα 1 της κίνησης και διερχόµενο από το κέντρο µάζας C του σώµατος. Eάν εστιά σουµε την προσοχή µας στο γεωµετρικό κέντρο Ο του ηµισφαιρικού σώµατος

17 θα διαπιστώσουµε ότι η απόστασή του από το οριζόντιο έδαφος είναι κάθε στιγµή ίση µε την ακτίνα R (σχ. 1), που σηµαίνει ότι η κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσής του είναι µηδενική, δηλαδή η επιτάχυνσή του a στο σύστη µα αναφοράς του εδάφους είναι οριζόντια. Ας εξετάσουµε τι συµβαίνει την χρονική στιγµή που η επίπεδη επιφάνεια του ηµισφαιρίου είναι οριζόντια. Θεωρώντας το Ο ως πόλο της επίπεδης κίνησης µπορούµε να γράψουµε για την επιτάχυνση a C του κέντρου µάζας C, την σχέση: a C = a - (C) + ( ' C) + a Cy = a - (C) + ( ' C) (1) όπου, ' η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση αντιστοίχως του σώµατος κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή και a Cx, a Cy η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της a. Όµως τα διανύσµατα a Cx, a, ( ' C) έχουν οριζόντια διεύθυνση και τα a Cy, - (C) κατακόρυφη, οπότε από την (1) προ κύπτουν οι σχέσεις: = a + ( ' C) % a Cy = - (C) % = a - '(C) a Cy = (C) = a - 3R'/8 a Cy = 3R /8 () Σχήµα 13 Όµως το σηµείο επαφής Α του σώµατος µε το έδαφος λόγω της κυλίσεώς του έχει κάθε στιγµή µηδενική ταχύτητα, δηλαδή ισχύει: v A = 0 v + ( A) = 0 v = -( A) v = (A) dv dt = R d dt a = R' οπότε οι σχέσεις () παίρνουν την µορφή: = R'-3R'/8 a Cy = 3R /8 a = 5R'/8 Cx a Cy = 3R /8 (3)

18 Εξάλλου το σώµα κατά την κίνησή του δέχεται το βάρος του w και την δύνα µη από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στα τική τριβή T. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας του σώµατος, κατά την οριζόντια διευθυνση, τον δευτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφική του κίνηση τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: T = m T(AC) = I C ' (3) T = 5mR'/8 5TR / 8 = I C ' 5R 8 5mR' 8 = I C ' 5mR ' 64 = I C ' (4) Όµως στην προηγούµενη άσκηση υπολογίστηκε η ροπή αδράνειας I C και βρέθη κε ίση µε 83mR /30, οπότε η σχέση (4) γράφεται: 5mR ' = 83mR ' 83mR από την οποία προκύπτει ω =0, άρα και Τ= mR 64 % ''= 0 ii) Eφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας του σώµατος, κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: (3) N - w = ma Cy N = w + 3mR /8 (5) όπου Ν το µέτρο της αντίδρασης του έδάφους την στιγµή που η επίπεδη επιφάνεια του σώµατος είναι οριζόντια. Η γωνιακή ταχύτητα ω θα βρεθεί αν εφαρµόσουµε για το σώµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, λαµβάνοντας ως επίπεδο µηδενικής βαρυτικής ενέργειας το οριζόντιο έδαφος, οπότε θα έχουµε: K + U = K % + U % 0 + mgr = I C + mv C + mg(ac) mgr = I C + mv C + 10mgR/8 3mgR/4 = I C + mv C όπου v C η αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας C. Όµως λόγω της κυλίσε ως ισχύει v C = ω(cα)=5ωr/8, οπότε η (5) γράφεται: (6) 3mgR 4 = 83mR 30 + m 5R % ' 8 3g 4 = R' 64% 15g 13 = R (7) Συνδυάζοντας την (5) µε την (7) παίρνουµε:

19 N = w + 3m 8 15g 13 = w g 14% N = 149w 104 P.M. fysikos Λεπτό βέλος µήκους L και µάζας m, κινούµενο κατά την διεύθυνσή του, προσπίπτει µε ταχύτητα v σε κατακόρυφο τοίχο, υπό γωνία φ ως προς αυτόν. Το βέλος σχηµατίζει µικρό βαθού λωµα στον τοίχο χωρίς να αναπηδά, µε αποτέλεσµα να περιστρέφεται περί το άκρο του σε κατακόρυφο επίπεδο. Να υπολογίσετε: i) την γωνιακή επιτάχυνση και την γωνιακή ταχύτητα του βέλους, αµέσως µετά την κρούση του µε τον τοίχο και ii) την ώθηση της δύναµης κρούσεως που δέχεται το βέλος από τον τοίχο, µε την προυπόθεση ότι ο φορέας της είναι κάθετος στον τοίχο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας του βέλους ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο του και είναι κάθε τος σ αυτό είναι Ι=mL /3. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο κρούσεως Δt (Δt 0) του βέλους µε τον τοίχο το βέλος δέχεται το βάρος του m g και την δύναµη κρούσεως F από τον τοίχο, η οποία είναι οριζόντια. Το βάρος του βέλους παρουσιάζει ροπή ως προς το άκρο του Ο, µε αποτέλεσµα το βέλος ν αποκτά περιστροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το Ο. Eφαρµόζοντας για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης αµέσως µετά την έναρξη της περιστρο φής του βέλους παίρνουµε την σχέση: () () = I ' mg L Σχήµα 14 µ = ml 3 3g ' '= µ (1) L όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του βέλους την στιγµή αυτή. Επειδή κατά τον

20 χρόνο Δt η ώθηση του βάρους του βέλους είναι ασήµαντη (mgδt 0) µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η ορµή του βέλους κατά την κατακόρυφη διεύθυνση Οy δεν µεταβάλλεται στον χρόνο Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv y = mv Cy v y = v Cy v = v C %µ v C = v L/ = v = v / L () όπου η γωνιακή ταχύτητα του βέλους µε την έναρξη της περιστροφής του και v C η αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας του C, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο βέλος. ii) Eξάλλου η οριζόντια δύναµη κρούσεως F είναι σηµαντική δύναµη και η ώθησή της για τον χρόνο Δt δεν µπορεί να αγνοηθεί, γεγονός που σηµαίνει ότι η ορµή του βέλους κατά την οριζόντια διεύθυνση Οx µεταβάλλεται στην διάρ κεια του χρόνου Δt. Eφαµόζοντας κατά την διεύθυνση αυτή το θεώρηµα ώθη σης-ορµής παίρνουµε την σχέση: mv Cx = -mv x + = m(v x + v Cx ) = m(vµ + v C %) = m vµ + L () ( * ) %' + -, ( = m* vµ + L% ) v' L + -, ' = m vµ + v% * ) ( µ, = mv + µ µ + % ( ) = mv όπου η ζητούµενη ώθηση της δύναµης κρούσεως F. µ (3) P.M. fysikos Οµογενές σώµα σχήµατος κύβου ακµής α και µάζας m, εδράζεται σε κεκλιµένο επίπέδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Αρχικά ο κύβος κρατείται ακίνητος µε τις δύο ακµές της βάσεώς του κάθετες προς την γραµµή µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επι πέδου και κάποια στιγµή αφήνεται ελευθερος. Να βρεθούν οι συνθή κες, ώστε ο κύβος να ολισθαίνει και ταυτόχρονα ν ανατρέπεται. Δίνε ται η ροπή αδράνειας του κύβου ως προς άξονα παράλληλο προς µια ακµή του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του C, ίση µε mα /6. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι ο κύβος µόλις αφεθεί ελεύθερος αρχίζει να ανατρέ πεται περί την κατώτερη ακµή του Α και ταυτόχρονα η ακµή αυτή ολισθαίνει προς τα κάτω. H επιτάχυνση a A της ακµής Α την χρονική στιγµή t=0, είναι ίση µε την αντίστοιχη µεταφορική* επιτάχυνση a C(µ ) = (d x C /dt ) i που έχει το κέντρο µάζας C του κύβου κατά την διεύθυνση Αx της γραµµής µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου, όπου x C η x-συντεταγµένη του κέντρου

21 µάζας και i το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα Αx. Eξάλλου η a A συνδέεται δε µε την επιτάχυνση a C του κέντρου µάζας C µέσω της σχέσεως: + a Cy = a A + ( 'AC) i + a Cy j = (d x C /dt ) i + [ ] + ' (x C i + y C j ) i + a Cy j = d x C dt % i - ' i + a Cy j = (') i d x C dt ( ) + ' ( j ) ( ') * i +, ' - % + % i + ' - j ) / (. Σχήµα 15 i + a Cy j = d x C dt % i - '(' k ) i ( ) + '(' k ) j ( ) i + a Cy j = d x C dt i - '(' % - j ( ) + '(' ( ) i i + a Cy j = % d x C dt + ' ( i + ' a j Cx = d x C /dt +'/ ' a Cy = '/ % () όπου x C, y C oι συντεταγµένες του C την στιγµή t=0, ίσες µε α/ και α/ αντιστοίχως και τα µοναδιαία διανύσµατα του άξονα Οy και του κάθετου άξονα στο επίπεδο xy. Την στιγµή αυτή ο κύβος δέχεται το βάρος του w και την δύ ναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο, της οποίας ο φορέας διέρχεται από την ακµή του Α αναλύεται δε στην κάθετη αντίδραση N και την τριβή ολισθήσεως T µε µέτρο nn (σχ. 16). Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τις σχέσεις: * Ο κύβος εκτελεί επίπεδη κίνηση που µπορεί να αναλυθεί σε µια µεταφορική κίνη ση προς την κατεύθυνση Αx της γραµµής µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέ δου και µιας στροφικής κίνησης περί την ακµή ανατροπής Α. Έτσι το κέντρο µάζας έχει την χρονική στιγµή t=0 µεταφορική επιτάχυνση a C(µ ) = (d x C /dt ) i και επιτά χυνση λόγω περιστροφής a C( ) = ( ' AC), όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του κύ βου την στιγµή t=0.

22 m = w x - T ma Cy = N - w y () ( ) = mgµ - nn m d x C /dt +'/ m'/ = N - mg%' ( ) * (3) Σχήµα 16 Εξάλλου ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει για τον κύβο την στιγµή t=0 την σχέση: (C) () = I C ' T - N = m nn - N = m 3 3N( n - 1) ' '= m 6 ' Συνδιάζοντας την δεύτερη εκ των σχέσων (3) µε την (4) έχουµε: m 3N( n - 1) m = N - mg% N = mg 5-3n Συνδυάζοντας την (4) µε την (5) παίρνουµε: '= 3 ( n - 1 ) m mg% 5-3n = 6 ( n - 1 )g% 5-3n ( ) (4) (5) (6) Λόγω των (5) και (6) η πρώτη εκ των εξισώσεων (3) γράφεται: m d x ( C dt + '( 6( n - 1)g% ) + ( 5-3n) * + = mg,µ% - n mg% 5-3n d x C dt + 3 ( n - 1 )g 5-3n = g%µ - ng 5-3n d x C dt ( 3-5n = g µ - )% ) ( + '( 5-3n * + (7) H αρχική µας παραδοχή ότι ο κύβος αρχίζει να ανατρέπεται και ταυτόχρονα να ολισθαίνει την στιγµή που αφήνεται ελεύθερος απαιτεί να είναι ω >0 και d x C /dt >0 και λόγω των (6) και (7) πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:

23 και 6( n - 1)g % 5-3n ( ) > 0 1 < n < 5 / 3 (8) ( µ - 3-5n )% 5-3n > 0 > 3-5n 5-3n Οι σχέσεις (8) και (9) αποτελούν τις ζητούµενες συνθήκες. (9) P.M. fysikos Οµογενής κύβος ακµής α και µάζας m, εδράζεται επί οριζόντιου εδάφους µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Επί του κύβου ενεργεί οριζόντια δύναµη F, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος σε µια έδρα του και διέρχεται από το κέντρο του. Να βρεθουν οι συνθήκες που εξασφαλίζουν: i) την ισορροπία του κύβου. ii) την ολίσθησή του στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς ανατροπή του και iii) την ανατροπή του χωρίς ολίσθηση. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κύβου ως προς άξονα παράλληλο προς µία ακµή του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του C, ίση µε mα /6. ΛΥΣΗ: i) Έστω ότι ο κύβος ισορροπεί, δηλαδή ούτε ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο ούτε περιστρέφεται. Ο κύβος δέχεται το βάρος του w, την οριζόντια δύναµη F και την δύναµη επαφής από το οριζόντιο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T (σχ. 17). Λόγω της ισορροπίας του κύβου η συνισταµένη των οριζόντιων δυνάµεων που δέχε Σχήµα 17 ται καθώς και η συνισταµένη των κατακόρυφων δυνάµεων είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις:

24 F - T = 0 N - w = 0 T = F N = mg (1) Επειδή η τριβή είναι στατική ισχύει Τ<nN, η οποία λόγω των (1) δίνει: F < nmg () Eξάλλου και η συνισταµένη ροπή των δυνάµεων περί το κέντρο µάζας C του κύβου είναι µηδέν, δηλαδη ισχύει: (1) T/ - N(x - /) = 0 F/ - mg(x - /) = 0 mgx = ( F + mg) / x = ( F + mg)/mg (3) Όµως η απόσταση x του φορέα της N από την αριστερή κατακόρυφη έδρα του κύβου δεσµεύεται µε την σχέση x<α, η οποία λόγω της (3) δίνει: ( F + mg)/mg < F + mg < mg F < mg (4) Για n>1 oι σχέσεις () και (4) συναληθεύουν όταν F<mg, ενώ για n<1 συνα ληθεύουν όταν F<nmg. ii) Έστω ότι ο κύβος ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο έδαφος χωρίς όµως να ανατρέπεται. Στην περίπτωση αυτή η τριβή θα είναι τριβή ολισθήσεως και θα έχουµε τις σχέσεις: F > T N - w = 0 F > nn N = mg F > nmg (5) Επειδή ο κύβος δεν περιστρέφεται η συνισταµένη ροπή των δυνάµεων περί το κέντρο µάζας C του κύβου είναι µηδέν, δηλαδη ισχύει: T/ - N(x - /) = 0 nmg/ - mg(x - /) = 0 n/ = x - / x = (n + 1)/ (6) Όµως η µη ανατροπή του κύβου δεσµεύει την απόσταση x µε την σχέση x<α, η οποία λόγω της (6) δίνει: (n + 1)/ < n < 1 (7) Οι σχέσεις (5) και (7) αποτελούν τις αναγκαίες συνθήκες, ώστε ο κύβος να ολισθαίνει χωρίς να ανατρέπεται. iii) Έστω ότι ο κύβος ανατρέπεται περιστρεφόµενος περί την κατώτερη ακ µή του Α, χωρίς όµως η ακµή αυτή να ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο έδα φος. Εάν ' είναι η γωνιακή επιτάχυνση του κύβου κατά την έναρξη της κίνησής του (t=0), τότε σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνη σης θα ισχύει η σχέση:

25 (C) () = I C ' T - N = I ' C ( T - N ) - m 6 ' '= 3(T - N) m Εξάλλου, εάν a C είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C του κύβου κατά την χρονική στιγµή t=0, αυτή θα είναι επιτρόχια επιτάχυνση, διότι η ταχύ τητα του (8) Σχήµα 18 κέντρου µάζας την στιγµή αυτή είναι µηδενική, δίνεται από την σχέση: [ ] a C = ( 'AC) i + a Cy j = ' (x C i + y C j ) i + a Cy j = ' - % ' i + a Cy j = - ' i + a Cy j = - - j ' i + a Cy j = ' i ) + ' ' j ) ( % ( k i ( ) + ' ( j ) k ( ) + ' ( ) i + ' i a j Cx = '/ a Cy = '/% όπου a Cx, a Cy οι συνιστώσες της a C κατά τους άξονες Ax και Ay (σχ. 18) i, j τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων αυτών και k το µοναδιαίο διάνυσµα του κάθετού στο επίπεδο xy άξονα. Εφάρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας του κύβου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις των αξόνων Αx, Αy παίρνουµε τις σχέσεις: (9) m = F - T ma Cy = N - mg (9) m'/ = F - T m'/ = N - mg % T = F - m'/ (10) N= m'/ + mg %

26 H (8) λόγω των (10) δίνει: m'= 3(F - m'/) - 3(m'/ + mg) '( m + 3m'/ + 3m'/) = 3F - 3mg '= ( ) 8m 3F - 3mg = 3 ( F - mg ) 4m Συνδυάζοντας τις (10) µε την (11) παίρνουµε: και T = F - m N = mg + m 3( F - mg) 4m 3( F - mg) 4m = F - 3 ( F - mg ) 8 = = mg + 3 ( F - mg ) 8 5F + 3mg 8 = 3F + 5mg 8 (11) (1) (13) Όµως για την περίπτωση που εξετάζουµε η τριβή είναι στατική, οπότε ισχύει Τ<nN, η οποία µε βάση τις (1) και (13) γράφεται: 5F + 3mg 8 3nF + 5nmg < n 5F + 3mg < 3nF + 5nmg 8 % F( 5-3n) < mg( 5n - 3) (14) H σχέση (14) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη, ώστε ο κύβος να ανατρέπεται χωρίς να ολισθαίνει. P.M. fysikos

, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:

, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση: Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του

Διαβάστε περισσότερα

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N! Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.

i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες. Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος.

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος. H τροχαλία του σχήµατος () µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί εξαρτηµένη από τα νήµατα ΑΒ και ΓΔ τα οποία είναι ισο κεκλιµένα ως προς την οριζόντια διεύθυνση κατα γωνία φ. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα ΑΒ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.

Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. i) Εάν Κ είναι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού κάποια στιγµή και C η αντίστοιχη θέση του κέντρου µάζας

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1.

i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1. Στην διάταξη του σχήµατος 1) οι τροχαλίες τ 1 και τ έχουν την ίδια µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περι φέρειά τους και την ίδια ακτίνα R. Στο αυλάκι της σταθερής τροχα λίας τ έχει περιτυλιχθεί

Διαβάστε περισσότερα

(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T!

(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T! Επί της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας και ισοσκελούς σφήνας µάζας m, η οποία ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικρός κύβος µάζας m. Μεταξύ του κύβου και της σφήνας δεν υπάρχει τριβή, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.

Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10. Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται

Διαβάστε περισσότερα

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L! Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων

ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.

i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας. Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, της οποίας η µάζα θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρεια της, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η στε φάνη προσκρούει

Διαβάστε περισσότερα

ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"

ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T! Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή

Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V 0 πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος κατευθυνόµενο προς κατακόρυφο τοίχο. Το σώµα κάποια στιγµή συγκρούεται ελα στικά και µετωπικά µε µια µπάλα

Διαβάστε περισσότερα

Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως!

Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως! Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται

Διαβάστε περισσότερα

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F! Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A!

διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A! Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει βά ρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α σε τραχύ κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

των Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12

των Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12 Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι OA και AB µήκους L και µάζας m, αρθρώνονται στο σηµείο Α το δε άκρο Ο της ΟΑ αρθρώνεται σε σταθερό υποστήριγµα, ενώ το άκρο Β της ΑΒ µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο

Διαβάστε περισσότερα

από την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T!

από την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T! Tο ένα άκρο A οµογενούς ράβδου AB αρθρώνεται σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ το άλλο της άκρο Β εφάπτεται κατακόρυ φου τοίχου, µε τον οποίο η ράβδος παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ. H άρθρωση της ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v!

Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v! Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v C. Σε σηµείο της περιφέρειας του τροχου έχει αρθρωθεί το ένα άκρο Β µιας λεπτής

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας.

ii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας. Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξο να, που διέρχεται από σηµείο Ο ευρισκόµενο σε απόσταση 3L/4 από το άκρο της Α. Η τροχαλία

Διαβάστε περισσότερα

, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση:

, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: Σώµα µάζας m σχήµατος ορθογώνιου κιβωτίου, ισορροπεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και στην άνω επιφάνειά του έχει τοποθετηθεί σώµα µάζας m/. Κάποια στιγµή που λαµβάνε ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

της οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.

της οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4. Οριζόντιος δίσκος µάζας Μ ισορροπεί στηριζόµε νος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στηρίζεται στο έδαφος (σχήµα 1). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.

ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο. Το σύστηµα του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοια ελατήρια στα θεράς και φυσικού µήκους α, των οποίων οι άξονες βρίσκονται πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπου Α, Β είναι δύο ακλόνητα σηµεία του επιπέδου. Εκτρέπουµε

Διαβάστε περισσότερα

την αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν

την αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Για την µελέτη της επίπεδης κίνησης στερεού

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v.

( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v. Το καρούλι του σχήµατος κυλίεται χωρίς ολίσ θηση πάνω σε οριζόντιο δοκάρι, που ολισθαίνει επί οριζοντίου έδα φους µε ταχύτητα v η οποία έχει την κατεύθυνση του δοκαριού. Η κύλιση του καρουλιού επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και

. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δοκάρι µάζας Μ και µήκους L, που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου δαπέδου. Η σφαίρα εφάπτεται στο δεξιό άκρο Β του δοκαριού

Διαβάστε περισσότερα

µε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w!

µε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w! Το κυκλικό σύρµα του σχήµατος έχει µάζα m/ και είναι κρεµασµένο από κατακόρυφο σπάγκο αµελητέας µάζας αλλά επαρκούς αντοχής. Δύο όµοιες σηµειακές χάντρες, καθε µιά µε µάζα m, αφήνονται ταυτόχρονα από την

Διαβάστε περισσότερα

της µορφής:! F = -mk! r

της µορφής:! F = -mk! r Ένα µικρό σώµα µάζας m, κινείται επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας α µέσα σε δυναµικό πεδίο, ελκόµενο από σταθερό ση µείο Ο που αποτελεί το κέντρο της τροχιάς, µε δύναµη F της µορφής: F -mk όπου το διάνυσµα

Διαβάστε περισσότερα

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F!

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F! Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.

ii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

i) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, είναι στερεωµένα στις άκρες ενός κατακόρυφου αβαρούς ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εξασκούµε στο σώµα Σ κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F

ΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k κόβεται σε δύο τµήµατα µε µήκη L και L. Η µία άκρη κάθε τµήµατος συνδέεται στέρεα µε µικρό σφαιρίδιο µάζας m και οι ελέυθερες άκρες τους στερεώνονται σε ακλόνητα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V!

Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V! Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V 0. O πιλότος του θέλει ν αλλάξει τη διεύθυνση κίνησης του διαστηµόπλοιου, ώστε η νέα διεύθυνση να γίνει κάθετη προς την αρχική. Για

Διαβάστε περισσότερα

και όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R.

και όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R. Το σώµα Σ του σχήµατος (α) έχει µάζα και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κινείται αρχικά πάνω στο οριζόντιο τµήµα του σώµατος µε ταχύτητα v 0 και όταν φθάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου.

ii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου. Oµογενής ράβδος Γ, βάρους w και µήκους L, είναι αρθρωµένη στο ένα άκρο της όπως φαίνεται στο σχήµα (), ενώ το άλλο άκρο της είναι δεµένο σε νήµα που διέρχεται από µικρή ακίνητη τροχαλία O, η οποία βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη.

i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη. Η ράβδος του σχήµατος έχει µήκος L, βάρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α επί λείου τοίχου, ενώ το άλλο άκρο της Β ακουµπά ει σε λεία κοίλη επιφάνεια. Η τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο που

Διαβάστε περισσότερα

περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,!

περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,! Θεωρούµε µια βαρειά σφαίρα, η οποία ισορροπεί επί σχετικά µαλακού εδάφους, ώστε να προκαλεί σ αυτό µια µικρή παραµόρφωση. Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει η παραµόρφωση αυτή, ως προς την κατακόρυφη

Διαβάστε περισσότερα

(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον

(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον Oµογενής λεπτός δίσκος ακτίνας R και µάζας m, ακινητεί επί οριζόντιου εδάφους µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ το δε επιπεδό του είναι κατακόρυφο,. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται στο κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!! Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

A! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2

A! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2 A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα). Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.

Διαβάστε περισσότερα

τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L!

τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L! Στο ένα άκρο ράβδου µήκους L και αµελητέας µά ζας, έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy, µε το σφαιρίδιο στο σηµείο, και το άλλο της άκρο στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιµή

Διαβάστε περισσότερα

! =A'B=C!! C! = R" (1)

! =A'B=C!! C! = R (1) Οµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί επί ακλό νητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του κύβου και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ii) Έαν αρχικά ο δίσκος κρατείται στην θέση, όπου η ΟΚ είναι οριζόν τια και αφεθεί ελευθερος να βρεθούν οι επιταχύνσεις a!

ii) Έαν αρχικά ο δίσκος κρατείται στην θέση, όπου η ΟΚ είναι οριζόν τια και αφεθεί ελευθερος να βρεθούν οι επιταχύνσεις a! Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας R φέρει κυκλική οπή ακτίνας R/, της οποίας το κέντρο Κ βρίσκεται σε απόσταση R/ από το κέντρο Ο του δίσκου, µπορεί δε να κυλίεται σε µη λείο οριζόντιο έδαφος. i) Εκτρέπουµε

Διαβάστε περισσότερα

i) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και

i) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και Ένα καροτσάκι που περιέχει άµµο, συνολικής µάζας M, εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση σε λείο επίπεδο, µε τη βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ένα σφαιρίδιο µάζας m

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 24 Φλεβάρη 2018 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4

Διαβάστε περισσότερα

Eφαρµόζοντας στο τρίγωνο OAΣ το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε:

Eφαρµόζοντας στο τρίγωνο OAΣ το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε: ΘΕΜΑ 6o Η κυκλική τροχαλία του σχήµατος (1) έχει µάζα Μ και ακτίνα R, είναι σε επαφή µε οριζόντιο δάπεδο (ε), ενώ στον άξονά της έχει πακτωθεί αβαρής ράβδος µήκους L, στο ελεύθερο ακρο της οποίας έχει

Διαβάστε περισσότερα

διέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα!

διέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα! Θεωρήστε οριζόντια ράβδο αµελητέας µάζας, η οποία µπορεί να περιστρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο. Στα άκρα της υπάρχουν δυο διαφορετικές σηµειακές µάζες m, m, που οι αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

i) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι οριζόντιο και το έδαφος λείο.

i) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι οριζόντιο και το έδαφος λείο. Πάνω σε οριζόντιο έδαφος ηρεµεί µια τροχαλία µάζας m και ακτίνας R. Στο αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχ θεί αβαρές νήµα στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου εξασκείται σταθε ρή οριζόνια δύναµη F. Eάν µέχρις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ >Ι 3. δ. Ι Οι τροχοί (1) και (2) του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: και Ι 2

ΟΡΟΣΗΜΟ >Ι 3. δ. Ι Οι τροχοί (1) και (2) του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: και Ι 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης 4.1 Η ροπή αδράνειας ενός σώματος εξαρτάται: α. μόνο από τη μάζα του σώματος β. μόνο τη θέση του άξονα γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T!

Σχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T! Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση και δύο σηµεία αυτού βρίσκονται κάποια στιγµή t στις θέσεις Α(,) και Β(,α) του επιπέδου κίνησής του (x,y) Εάν οι ταχύτητες των σηµείων αυτών έχουν το ίδιο µέτρο v

Διαβάστε περισσότερα

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο:

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: 6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει.

i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει. Στην διάταξη του σχήµατος η τροχαλία τ 1 έχει µάζα m 1 και ακτίνα R και στο αυλάκι της έχει περιτυλιχθεί αβαρές νήµα, το οποίο διέρ χεται από τον λαιµό της µικρής τροχαλίας τ στο δε άκρο του έχει δε θεί

Διαβάστε περισσότερα

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο, Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε:

. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε: Μια λεπτή λαστιχένια ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση χώρίς να περιστρέφεται και κάποια στιγµή το άκρο της Α συναντά λείο οριζόντιο έδαφος. Την στιγµή αυτή η ράβδος έχει κλίση φ ως

Διαβάστε περισσότερα

( ) ω ( ) = 0. Aπό τις σχέσεις (2) προκύπτει ή ότι το διάνυσµα v K. είναι κάθετο στα διανύσµα τα r A

( ) ω ( ) = 0. Aπό τις σχέσεις (2) προκύπτει ή ότι το διάνυσµα v K. είναι κάθετο στα διανύσµα τα r A Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση και έστω (S) η κύρια* τοµή του στερεού κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t. Να δείξετε ότι το αντίστοιχο προς την κύρια

Διαβάστε περισσότερα

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α 6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι Ηµεροµηνία : 10 Μάρτη 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε την σωστη απάντηση [4 5 = 20 µονάδες] Α.1. Στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος.

ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος. Στην διάταξη του σχήµατος () το δοκάρι Δ έχει µάζα Μ και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Κάποια στιγµή που λαµβά νεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

(ΘΕΜΑ 17ο)

(ΘΕΜΑ 17ο) Εισαγωγικά: Με το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης δύο µαζών, µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος παρουσία οµογενούς βαρυτικού πεδίου, είχα ασχοληθεί και στο παρελθόν παρουσιάζοντάς το στην ιστοσελίδα µου µε

Διαβάστε περισσότερα

i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή.

i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο απολύτως ελαστικού νήµατος φυσικού µήκους L =3mg/k και σταθεράς k, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεωθει σε

Διαβάστε περισσότερα

ως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:

ως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: Ένας κυλινδρικός ατµολέβητας αµελητέας µάζας χωρίς τον υδρατµό και ακτίνας R, θερµαίνεται και ο παραγόµενος υδρατµός διαφεύγει από δύο αντιδιαµετρικά ακροφύσια της εξωτε ρικής του επιφάνειας, ώστε η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και

i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και Oµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R εφάπ τεται στα τοιχώµατα ενός αυλακιού, τα οποία είναι επίπεδες σταθερές επιφάνειες που η τοµή τους είναι οριζόντια. Τα τοιχώµατα είναι ισο κεκλιµένα ως προς τον

Διαβάστε περισσότερα

Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου.

Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε την στιγµή που η ράβδος αφήνεται

Διαβάστε περισσότερα

Nα δείξετε τις εξής προτάσεις:

Nα δείξετε τις εξής προτάσεις: Nα δείξετε τις εξής προτάσεις: i) Εάν ένα υλικό σηµείο µάζας m κινείται πάνω σ ένα άξονα x x, ώστε κάθε στιγµή η ταχύτητά του v και η αποµάκρυνσή του x ως προς µια αρχή Ο του άξονα, να ικανοποιούν τη σχέση:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ 25/11/2018 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m 1, m 2 τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα.

Θεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m 1, m 2 τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα. Θεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m, m τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα. i) Εάν είναι το διάνυσµα θέσεως του ενός υλικού σηµείου σε

Διαβάστε περισσότερα

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής:

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: U = k 2 x2 + y ) 2 α) όπου k θετική και σταθερή ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν:

) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν: Δύο σφαιρίδια A, B µάζας m το καθένα συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, ηρεµούν δε πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ευρισκόµενα σε απόσταση α

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) που ενεργεί επί του σφαιριδίου Γ η ώθηση Ω. =mv. το σφαιρίδιο Β δέχεται τις κρουστικές δυνάµεις F

ΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) που ενεργεί επί του σφαιριδίου Γ η ώθηση Ω. =mv. το σφαιρίδιο Β δέχεται τις κρουστικές δυνάµεις F Τρία µικρά σφαιρίδια της ίδιας µάζας είναι αρθρωµένα στις άκρες δύο συνεχόµεων ράβδων ΑΒ και ΒΓ αµελητέας µάζας, όπως φαίνεται στο σχήµα (1), το δε σύστηµα ισορροπεί εκτός πεδίου βαρύτητας. Στο σφαιρίδιο

Διαβάστε περισσότερα

όπου x η συντεταγµένη του σωµατιδίου, θεωρούµενη µε αρχή ένα στα θερό σηµείο Ο του άξονα και α, U 0 σταθερές και θετικές ποσότητες.

όπου x η συντεταγµένη του σωµατιδίου, θεωρούµενη µε αρχή ένα στα θερό σηµείο Ο του άξονα και α, U 0 σταθερές και θετικές ποσότητες. Υλικό σωµατίδιο µάζας m κινείται πάνω σε σταθε ρό άξονα x x υπό την επίδραση δύναµης, της οποίας ο φορέας συµπί πτει µε τον άξονα. Η δύναµη απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: Ux) =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν:

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν: Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο, µάζας m, αφήνεται σε ύψος h από το άκρο Β. Το σφαιρίδιο πέφτοντας

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιριδίων είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδο της.

i) Να δείξετε ότι η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιριδίων είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδο της. Ένα σφαιρίδιο Σ 1 µάζας m, είναι στερεωµένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο όπως φαίνεται στο σχήµα (α). Το σφαιρίδιο µπορεί να κινείται χωρίς τριβή πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t!

θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t! Ξύλινο κιβώτιο µάζας M κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητα µέτρου v 0. Ένα βλήµα µάζας m, κινούµενο αντίρροπα προς το κιβώτιο προσπίπτει σ αυτό µε ταχύ τητα µέτρου v 0 και εξέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

που δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T!

που δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T! Tο κέντρο µάζας ενός επιβατηγού αυτοκινήτου απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h. Δίνεται η µάζα Μ του αυτοκινήτου η µάζα m και η ακτίνα R κάθε τροχού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα αποδείξετε ότι το σώµα τελικά θα ηρεµήσει ως προς το δοκάρι και να βρείτε την κοινή τους ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους.

i) Nα αποδείξετε ότι το σώµα τελικά θα ηρεµήσει ως προς το δοκάρι και να βρείτε την κοινή τους ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Ένα δοκάρι µεγάλου µήκους και µάζας M, είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Στο ένα άκρο του δοκαριού βρίσκεται ξύλινο σώµα µάζας m, το οποίο παρουσιάζει µε την επιφά νεια του δοκαριού συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 5//08 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης

Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης Θα λέµε ότι ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε), παραµέ νουν αµετάβλητες µε το

Διαβάστε περισσότερα

Δυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων

Δυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων Δυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων Θεωρούµε δύο σωµατίδια Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, των οποίων τα διανύσµατα θέσεως ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστή µατος αναφοράς Oxyz

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής) ΕΚΦΩΝΗΣΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1 (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Έργο και ισχύς σταθερής ροπής) Ένας κύβος και ένας δίσκος έχουν ίδια μάζα και αφήνονται από το ίδιο ύψος να κινηθούν κατά μήκος δύο κεκλιμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός.

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Κίνηση Ράβδου σε κατακόρυφο επίπεδο Εστω µια οµογενής ϱάβδος ΟΑ µάζας Μ

Διαβάστε περισσότερα

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Σάββατο 24 Φεβρουαρίου 2018 Θέμα 1ο Στις παρακάτω προτάσεις 1.1 1.4 να επιλέξτε την σωστή απάντηση (4 5 = 20 μονάδες ) 1.1. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΟΝΟΜΑ ΤΜΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα