Representing Relations Using Digraph

Transcript

1 M R n = M R, Κλειστότητες, Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνοψη Προηγούµενου EXAMPLE 6 from th finition of Booln powrs. Exris 5 sks fo Fin th mtrix rprsnting th rltion R, whr th m Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση M R = Ανακλαστικές (, ) R 0 0 Συµµετρικές (, ) R = (, ) R Solution: Th mtrix for R is Αντισυµµετρικές (, ) R (, ) R = = Μεταβατικές (, ) R (, ) R = (, ) R M R = M [] R = Αναπαράσταση µε Πίνακες 0 Συνολοθεωρητικές Πράξεις (και µε Πίνακες). Σύνθεση Σχέσεων (και µε Πίνακες). Rprsnting Rltions Using Digrph Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6 υνάµεις Σχέσεων και Μεταβατικότητα Εστω R διµελής σχέση επί του A, όπου A = n. Τότε: Παράδειγµα: R = R R n+ = R n R ίνεται η σχέση R = { (, ), (, ), (, ), (, ) } Να ϐρεθούν όλες οι δυνάµεις R n, n =,,,... Θεώρηµα: R µεταβατική R n R, για n =,,,... Θεώρηµα. R [n] = M R n, όπου: R [n] = n ϕορές {}}{ R (R ( ) ), M R n ο πίνακας της R n. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6 Γραφική Αναπαράσταση Σχέσεων επί Συνόλου W hv shown tht rltion n rprsnt y lis using zro on mtrix. Thr is nothr importnt wy pitoril rprsnttion. Eh lmnt of th st is rprs pir is rprsnt using n r with its irtion init rprsnttions whn w think of rltions on finit st s DEFINITION A irt grph, or igrph, onsists of st V of vrt Με κατευθυνόµενα γραφήµατα E of orr pirs of lmnts of V ll gs (or rs vrtx of th g (, ), n th vrtx is ll th tr Εστω R διµελής σχέση επί συνόλου A Ενα κατευθυνόµενο γράφηµα για τηνan R g αποτελείται of th form από: (, ) is rprsnt using n r f n g is ll loop. Ενα σύνολο κόµβων/κορυφών, V = A. EXAMPLE 7 Th irt grph with vrtis,,, n, n gs Ενα σύνολο ακµών E = R που (, ), είναι n διατεταγµένα (, ) is isply Ϲεύγηin επί Figur του V.. FIGURE A Dirt Grph. Th rltion R on st A is rprsnt y th irt g Το γράφηµα της σχέσης: vrtis n th orr pirs (, ), whr (, ) R, s to-on orrsponn twn th rltions on st A n st of vrtis. R = Thus, { (, ), vry (, sttmnt ), (, ), out (, rltions ), orrs grphs, n vi(, vrs. ), Dirt (, ), (, grphs ) } giv visul ispl suh, thy r oftn us to stuy rltions n thir prop A to st B n rprsnt y irt grph whr A n vrtx for h lmnt of B, s shown in Stio rprsnttion provis muh lss insight thn th igrph r us of irt grphs to rprsnt rltions on st is illus Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6

2 o not hv irtions. W will stuy unirt grphs in Chptr 0. th rltions for th irt grphs shown in Figur r rflxiv, symri, n/or for th irt grphs shown in Figur 6 r rflxiv, sym- r th rltions trnsitiv. tri, n/or trnsitiv. thr r loops t vry vrtx of th irt grph of R, it is rflxiv. is thr r loops t vry vrtx of th irt grph of R, it is rflxiv. R is or ntisymmtri us thr is n g from to ut not on from to nor ntisymmtri us thr is n g from to ut not on from to s in oth irtions onnting n. Finlly, is not trnsitiv us s in othείναι irtions οι παρακάτω onnting σχέσεις nείναι. Finlly, ανακλαστικές, R is notσυµµετρικές, trnsitiv us αντισυµµετρικές, to n n g from to, ut no g from to. m to n µεταβατικές; n g from to, ut no g from to. Ανακλαστική Κλειστότητα Θεωρούµε την R = { (, ), (, ), (, ), (, ) } επί του A = {,, }. εν είναι ανακλαστική: (, ) R. Ανακλαστική Κλειστότητα της R είναι η ανακλαστική σχέση που: περιέχει την R, περιέχεται σε κάθε ανακλαστική σχέση που περιέχει την R. () Dirt grph of R () Dirt grph of S () Dirt grph of R () Dirt grph of S Th FIGURE Th Dirt Grphs of th E 5 Th FIGURE 6 Th Dirt Grphs of th Grph Rltions n S. Grph Rltions R n S. ltion R. ltion R. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 5 / 6 Αν = { (, ) : A }, η ανακλαστική κλειστότητα της R είναι η R. Ποιά (γνωστή µας σχέση) είναι η ανακλαστική κλειστότητα της R = { (, ) : < } επί του Z; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 6 / 6 Συµµετρική Κλειστότητα Μεταβατική Κλειστότητα Θεωρούµε R = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } στο A = {,, } εν είναι συµµετρική: (, ) R, αλλά (, ) R. Συµµετρική Κλειστότητα της R είναι η συµµετρική σχέση που: περιέχει την R, περιέχεται σε κάθε συµµετρική σχέση που περιέχει την R. Η συµµετρική κλειστότητα της R είναι η R R, όπου: R = { (, ) : (, ) R } Ποια (γνωστή µας σχέση) είναι η συµµετρική κλειστότητα της σχέσης R = { (, ) : > } επί του Z; Μεταβατική επέκταση διµελούς σχέσης R επί συνόλου A είναι η R = R R: για κάθε (, ) R και (, ) R, είναι (, ) R Εστω A = {,,, } και R = { (, ), (, ), (, ), (, ) } R R R R R R Μεταβατική Κλειστότητα της R είναι η σχέση R = R R R Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 7 / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 8 / 6

3 Σηµαντικές Παρατηρήσεις Παράδειγµα Η σχέση R k = k ϕορές {}}{ (( (R R) ) R) R περιέχει (x, y), για τα οποία: υπάρχουν k ζεύγη (x, z ), (z, z ),..., (z k, y) στην R. R = { (, ), (, ), (, ), (, ) } R: στο γράφηµα υπάρχει κατευθυνόµενο µονοπάτι µήκους k από το x στο y. Στη γραφική απεικόνιση της R: R R : Προσθέτουµε µία ακµή x y για κάθε µονοπάτι από τον x στον y. Τότε έχουµε τη γραφική απεικόνιση της R. Στον υπολογισµό του πίνακα M R της R (µέσω πράξεων ): R : ε ϑα χρειαστεί να υπολογίσουµε περισσότερο από τον M [n] R R = R R R Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 9 / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 0 / 6 Σχέσεις Ισοδυναµίας Σχέσεις Ισοδυναµίας η R είναι σχέση ισοδυναµίας αν: Ανακλαστική, Μεταβατική, Μη Συµµετρική η R είναι ανακλαστική η R είναι συµµετρική η R είναι µεταβατική Ανακλαστική, Συµµετρική, Μη Μεταβατική Συχνά γράφουµε για να δηλώσουµε ισοδυναµία του µε το. Σχέση Ισοδυναµίας: f f Π.χ., η (διµελής) σχέση R, συµβολοσειρών που έχουν ίδια τα τρία τελευταία σύµβολα, είναι σχέση ισοδυναµίας. Σε µια σχέση ισοδυναµίας δύο στοιχεία ενός συνόλου «σχετίζονται» αν µοιράζονται κάποια κοινές ιδιότητες ή ικανοποιούν κοινές προϋποθέσεις. Τότε τα στοιχεία του συνόλου που συνδέονται µέσω της σχέσης είναι ισοδύναµα ως προς τις κοινές τους ιδιότητες. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6

4 Κλάσεις Ισοδυναµίας Ποιές από τις παρακάτω είναι σχέσεις ισοδυναµίας και γιατί; R = { (, ) : = ή = }, επί του Z. Θεωρούµε σχέση ισοδυναµίας R επί συνόλου A Η κλάση ισοδυναµίας του στοιχείου A είναι: R = { (, ) : Z }, επί του R. [] R = { s A : (, s) R } R = { (, ) : = }, επί συµβολοσειρών ελληνικών γραµµάτων R = { (, ) : ο διαιρεί τον } επί του Z +. R = { (, ) : < } επί του R. - δεν είναι - δεν είναι Θεώρηµα: Εστω R σχέση ισοδυναµίας επί συνόλου A. Για κάθε, A: R [] R = [] R [] [] Παράδειγµα: Για την R = { (, ) : = ή = }, επί του Z, ποιά είναι η κλάση ισοδυναµίας ενός ακεραίου; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6 Σχέσεις Μερικής ιάταξης Ορισµός: ιµελής σχέση R επί συνόλου A είναι σχέση µερικής διάταξης αν: Η R είναι ανακλαστική και η R είναι αντισυµµετρική και η R είναι µεταβατική. Συµβολίζουµε µε (A, R) ένα µερικώς διατεταγµένο σύνολο (που είναι «εφοδιασµένο» µε µια µερική διάταξη R επί του A). Ποιές από τις παρακάτω σχέσεις είναι µερικές διατάξεις; Η σχέση επί του συνόλου Z. Η σχέση «ο διαιρεί τον» επί του Z +. Η σχέση επί του P(S), για οποιοδήποτε σύνολο S. Η R επί συνόλου προσώπων: R = {(x, y) : ο x είναι πιο ηλικιωµένος από τον y} - δεν είναι Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 5 / 6 Παρατηρήσεις Σε σχέση µ.δ. δύο στοιχεία σχετίζονται αν το ένα είναι «κατώτερο» του άλλου, σύµφωνα µε ορισµένα κριτήρια. Μπορεί δύο στοιχεία στο σύνολο να µη σχετίζονται στη σχέση µ.δ. Για το λόγο αυτό η διάταξη λέγεται µερική. Το σύνολο A µαζί µε τη σχέση µερικής διάταξης R επί του A λέγεται µερικώς διατεταγµένο σύνολο και συµβολίζεται µε (A, R). Συχνά συµβολίζουµε µια σχέση µερικής διάταξης µε : «µικρότερο ίσο» από το : «µικρότερο» από το : και «µεγαλύτερο ίσο» από το : Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 6 / 6

5 Αλυσίδες και Αντιαλυσίδες Αλυσίδα: υποσύνολο µ.δ. (A, ), κάθε στοιχεία του οποίου σχετίζονται στην. Λέγεται και ολικώς διατεταγµένο. Κάθε αλυσίδα {,,..., k } µε πεπερασµένο πλήθος k στοιχείων: έχει στοιχείο i που είναι µικρότερο από τα υπόλοιπα, έχει στοιχείο i που είναι µικρότερο από τα υπόλοιπα, εκτός του i, κ.ο.κ. Αντιαλυσίδα: υποσύνολο µ.δ. (A, ), κάθε στοιχεία του οποίου δε σχετίζονται στη ιαγράµµατα Hss Μέθοδος δηµιουργίας διαγράµµατος Hss:. Απεικονίζουµε γραφικά, µε προσανατολισµό ακµών προς τα πάνω.. Αφαιρούµε ακµές που αντιστοιχούν σε R για κάθε A.. Επαναλαµβάνουµε, όσο είναι εφικτό: Αλυσίδες: {,,, }, {}, {,, }, {,, } Αντιαλυσίδες: {, }, {, }, {}. Σηµαδεύουµε κάθε ακµή που αναπαριστά x y, αν υπάρχει z S ώστε: x z και z y. Αφαιρούµε τις σηµαδεµένες ακµές. 5. Αφαιρούµε τις κεφαλές (κατευθύνσεις) των εναποµείναντων ϐελών. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 7 / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 8 / 6 ιαγράµµατα Hss: Παράδειγµα Το διάγραµµα Hss του µερικώς διατεταγµένου ( {,,, }, ): Να κατασκευαστούν τα διαγράµµατα Hss των µ.δ. συνόλων: ( {,,, }, ) ({,,,, 6, 8, }, «ο διαιρεί τον») (P({,, }), ) Βήµα. Βήµα. Βήµα -. Βήµα 5. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 9 / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 0 / 6

6 Παράδειγµα Το διάγραµµα Hss της µερικής διάταξης επί του {,,,, 6, 8, }: {(, ) : ο διαιρεί τον } Μέγιστα και Ελάχιστα Στοιχεία Σε µερικώς διατεταγµένο σύνολο (A, ): Το A είναι µεγιστικό (mximl) στοιχείο αν δεν υπάρχει A µε ισοδύναµα, αν για κάποιο A, τότε = Το A είναι ελαχιστικό (miniml) στοιχείο αν δεν υπάρχει A µε. ισοδύναµα, αν για κάποιο A, τότε =. Το A είναι µέγιστο (mximum) στοιχείο αν για κάθε A. το µέγιστο είναι µοναδικό, αν υπάρχει. Αρχικό πλήρες διάγραµµα ιάγραµµα Hss Το A είναι ελάχιστο (minimum) στοιχείο αν για κάθε A. το ελάχιστο είναι µοναδικό, αν υπάρχει. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6 Ποια στοιχεία του µερικώς διατεταγµένου συνόλου ({,, 5, 0,, 0, 5}, ) είναι µεγιστικά και ποιά ελαχιστικά; Ποιά από τα παρακάτω µερικώς διατεταγµένα σύνολα έχουν µέγιστο/ελάχιστο στοιχείο; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 6

7 Ανω και Κάτω Φράγµατα. Στο απεικονιζόµενο µερικώς διατεταγµένο σύνολο: Σε µερικώς διατεταγµένο σύνολο (A, ): Ποιά τα άνω και κάτω ϕράγµατα των υποσυνόλων: h j Το A είναι άνω φράγµα των στοιχείων του S A, αν για κάθε S. είναι ελάχιστο άνω φράγµα των στοιχείων του S A, αν δεν υπάρχει άνω ϕράγµα A \ {} των στοιχείων του S µε. {,, } ; { j, h } ; άνω δεν έχουν, κάτω:,,,,, f {,,, } ; g f Το A είναι κάτω φράγµα των στοιχείων του S A, αν για κάθε S. είναι µέγιστο κάτω φράγµα των στοιχείων του S A αν δεν υπάρχει κάτω ϕράγµα A \ {} των στοιχείων του S A µε. Παρατήρηση: Τα άνω και κάτω ϕράγµατα δεν ανήκουν απαραίτητα στο S A. Ποιό το µέγιστο κάτω και ελάχιστο άνω ϕράγµα του υποσυνόλου {,, g };. Να ϐρεθούν το µέγιστο κάτω και ελάχιστο άνω ϕράγµα στο ( Z +, ), των συνόλων: (όπου είναι η σχέση «ο διαιρεί τον» ) {, 9, } και {,,, 5, 0 } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 5 / 6 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 6 / 6