1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c

Transcript

1 Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, συμβολίζεται με N 0. Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής. Εστω P ( πρόταση που εξαρτάται από τον ϕυσικό. Αν η P ( είναι αληθής και αν P ( αληθής συνεπάγεται ότι P ( + αληθής, τότε η P ( είναι αληθής N. Παράδειγμα : Εστω P ( η πρόταση ( +. Η P ( είναι αληθής διότι. (Επαληθεύουμε την βάση της επαγωγής Εστω P ( αληθής. Τότε ( + και προσθέτοντας και στα δύο μέλη της εξίσωσης την ποσότητα + έχουμε ( + ( ( + + ( + ( + + ( + ( +. Συνεπώς, αν δεχθούμε ότι ισχύει η P ( τότε θα πρέπει να αληθεύει και η P ( +. (Επαλήθευση του επαγωγικού βήματος. Άρα η P ( ισχύει N. Παράδειγμα : Εστω P ( η πρόταση Βάση της επαγωγής: + + 6, συνεπώς η P ( είναι αληθής. Επαγωγικό Βήμα: Εστω P ( αληθής. P ( τον όρο ( +. Τότε έχουμε Ας προσθέσουμε και στα δύο μέλη της εξίσωσης ( ( + + ( + + ( +. 6 (Η τελευταία ισότητα μπορεί να ελεγχεί εύκολα χρησιμοποιώντας τις σχέσεις ( + ++ και ( Επομένως το επαγωγικό βήμα επαληθεύθηκε και η πρόταση ισχύει για κάθε ϕυσικό.

2 Πριν προχωρήσουμε αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η μαθηματική επαγωγή είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την απόδειξη προτάσεων που σχετίζονται με τους ϕυσικούς αριθμούς, δεν είναι όμως εργαλείο ανακάλυψης τέτοιων προτάσεων. Και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις, ξεκινήσαμε με μια εικασία για το άθροισμα των πρώτων ϕυσικών, ή για το άθροισμα των τετραγώνων τους, την οποία στη συνέχεια αποδείξαμε με την βοήθεια της επαγωγής. Πώς όμως προκύπτουν τέτοιες εικασίες Για ορισμένες κατηγορίες προβλημάτων υπάρχουν γενικές μέθοδοι ενώ για άλλες χρειάζεται σκέψη, διαίσθηση και πειραματισμός με ειδικές περιπτώσεις. Για παράδειγμα την απάντηση στο πρώτο πρόβλημα, το άθροισμα των πρώτων ϕυσικών, μπορούμε να την βρούμε ως εξής: Εστω S Τότε S + ( από όπου αμέσως προκύπτει ότι S ( +. Το δεύτερο παράδειγμα είναι πιο δύσκολο αλλά, βασιζόμενοι στο πρώτο θα μπορούσαμε να υποθέσουμε (χωρίς να είμαστε βέβαιοι για την ορθότητα της υπόθεσης ότι υπάρχουν αριθμοί A, B, C, D. τέτοιοι ώστε A + B + C N. Θέτωντας,, στην παραπάνω εξίσωση παίρνουμε το σύστημα A + B + C 5 8A + 4B + C 4 7A + 9B + C Από το παραπάνω σύστημα προκύπτουν οι τιμές A /, B /, C /6. Εχοντας μαντέψει την πιθανή λύση μπορούμε τώρα να δοκιμάσουμε να αποδείξουμε ότι είναι σωστή επαγωγικά. Παράδειγμα : [Ανισότητα του Beroulli] Εστω a > πραγματικός αριθμός και N. Τότε ( + a + a ( Εχουμε πάλι μια πρόταση για κάθε ϕυσικό, η οποία προϕανώς ισχύει για. (Πράγματι όταν η πρόταση γίνεται + a + a. Συνεπώς η βάση της επαγωγής έχει επαληθευθεί. Εστω ότι η πρόταση ισχύει για. Αϕού εξ υποθέσεως a >, έχουμε +a > 0 και συνεπώς αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με ( + a η ϕορά της δέν αλλάζει. Συνεπώς έχουμε ( + a (+ ( + a( + a + ( + a + a + ( + a (Η τελευταία ανισότητα οϕείλεται στο γεγονός ότι a 0. Επομένως δείξαμε ότι, αν η ανισότητα ισχύει για θα πρέπει να ισχύει και για +, δηλαδή επαληθεύσαμε το επαγωγικό βήμα. Συνεπώς η ανισότητα ισχύει για όλα τα N. Παρατηρούμε επίσης ότι υπό την προϋπόθεση πάντα ότι a >. ( + a( a a που είναι αληθής. + a a ( Πράγματι η ανισότητα ( είναι ισοδύναμη με την

3 To Diwuiì Je rha. DiwuioÐ sutelestèc ai to trðgwo tou Pascal Οι διωνυμικοί συντελεστές ορίζονται ως!!(! ( ( +, 0,,,..., 0,,...,. (! Οταν > τότε ( ( 0 ενώ 0 (επειδή 0!. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι ( ( +. (4 Πράγματι, το δεξί μέλος της παραπάνω εξίσωσης γράϕεται ως (!!(! + (! (!(! (! (!(!!!(! και η τελευταία σχέση ισούται με το αριστερό μέλος της (4. ( + (! (!(! Λογω της (4 οι διωνυμικοί συντελεστές μπορούν να υπολογισθούν από το τρίγωνο του Pascal (. To diwuiì je rha Θεώρημα. Για κάθε a, b R και για κάθε N ισχύει ότι (a + b 0 a b. (5 Απόδειξη. Θα αποδείξουμε το θεώρημα με επαγωγή ως προς. Για η (5 γίνεται ( ( a + b a 0 b + a b 0 b + a 0

4 και συνεπώς η βάση της επαγωγής ισχύει. Εστω τώρα ότι η (5 ισχύει για μια συγκεκριμένη τιμή. Θα δείξουμε ότι ισχύει και για +. Εχουμε (a+b + (a+b(a+b (a+b 0 a b Το πρώτο από τα δύο τελευταία αθροίσματα γράϕεται ως 0 a + b + 0 a + b + ( a b +. Συνεπώς το άθροισμα στο τελευταίο σκέλος της (6 γράϕεται ως ενώ το δεύτερο + ( a b a b + ( + a + b ( + a + b a + b { + + ( + a b + 0 a b ( a b + 0 a 0 b + } + a b + + a b a b +. (6 + 0 a 0 b + a 0 b + Upologisìc EbadoÔ ParabolioÔ QwrÐou Εστω η παραβολή που ορίζεται από την συνάρτηση f : x x, x R και a > 0. Προκειμένου να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ του οριζόντιου άξονα, της ευθείας x a, και του γραϕήματος της συνάρτησης f, διαμερίζουμε τον οριζόντιο άξονα σε ίσα τμήματα μεγέθους a/. Υπολογίζοντας το εμβαδόν των ορθογωνίων λωρίδων όπως ϕαίνεται στα παρακάτω σχήματα μπορούμε να προσεγγίσουμε το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου που μας ενδιαϕέρει. Αν συμβολίσουμε με A το πραγματικό εμβαδόν του παραβολικού χωρίου, με L το εμβαδόν που προκύπτει από την προσέγγιση του σχήματος και με U εκείνο που προκύπτει από την προσέγγιση του σχήματος έχουμε L < A < U N είναι δε L a ( a a 4

5 Σχήμα : Κάτω ϕράγμα για το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου Σχήμα : Ανω ϕράγμα για το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου και U a ( a a Με βάση το παράδειγμα έχουμε U a ( + + και συνεπώς (7 Παρομοίως, ( + ( Εχουμε λοιπόν ότι, για κάθε ϕυσικό, το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου πρέπει να ικανοποιεί την διπλή ανισότητα a ( + + ( < A < a + ή, ισοδύναμα, + < a A < +. (8 Ομως, ο μοναδικός αριθμός που μπορεί να ικανοποιεί και τις δύο παραπάνω ανισότητες για κάθε τιμή του, οσοδήποτε μεγάλη, είναι το μηδέν, και συνεπώς a A 0 ή A a. (9 5

6 Arijhtiìc ai Gewetriìc Mèsoc Εστω x, x,..., x, θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Ο αριθμητικός και γεωμετρικός μέσος των ορίζεται ως A x + x + + x, G x x x. (0 Θα αποδείξουμε την εξής πρόταση: A G για οποιοδήποτε N και οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς x i, i,,...,. Απόδειξη: Εστω P( η πρόταση { A G για κάθε x, x,..., x με x i > 0, i,,..., }. Θα δείξουμε πρώτα ότι ισχύει η πρόταση για,, 4, 8, 6,..., δηλαδή για τις δυνάμεις του. Πράγματι, για ισχύει με τετριμμένο τρόπο αϕού A x (x G. Για ισχύει διότι 0 ( x x x x x + x και συνεπώς x x x + x x, x > 0. ( Τώρα θα δείξουμε ότι P( P( + (δηλαδή ότι αν ισχύει η P( τότε ισχύει και η P( +. Ας θέσουμε οπότε +. Θέλουμε να δείξουμε ότι (x x x + x / x + + x + x x ξεκινώντας από την υπόθεση ότι (x x / x + + x (x + x / x x (αϕού υποθέτουμε ότι ισχύει η P(. Το αριστερό μέλος της ( γράϕεται ως (x x x + x / ((x x / (x + x / / ( ( (4 (x x / + (x + x / x + +x + x ++ +x x + + x + x x, όπου, για την πρώτη ανισότητα χρησιμοποιήσαμε την (, και για την δεύτερη τις ( και (4. Επομένως αποδείξαμε την ( και έτσι, βάσει της αρχής της επαγωγής, ξέρουμε ότι ισχύει η P( για 0,,,.... Προκειμένου να δείξουμε ότι η P( ισχύει για όλους τους ϕυσικούς, και όχι μόνο γι αυτούς που είναι δύναμη του θα δείξουμε στη συνέχεια ότι αν ισχύει η P( για κάποιο, τότε ισχύει και η P(. (Αυτό ονομάζεται οπισθοδρομική επαγωγή. Υποθέτουμε λοιπόν ότι ισχύει η (x x / x + + x x,..., x > 0 (5 6

7 και επιλέγουμε x G : (x x /(. Συνεπώς, με αυτή την συγκεκριμένη τιμή του x η (5 γίνεται (x x G / x + + x + G ή, ισοδύναμα, ( G / x + +x +G ή G x + +x +G. Πολλαπλασιάζοντας με και τα δύο μέλη της ανισότητας έχουμε G x + + x + G και συνεπώς G x + + x. (6 Η τελευταία αυτή ανισότητα είναι ακριβώς η P( που θέλαμε να αποδείξουμε. 7