APEIROSTIKOS LOGISMOS I

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "APEIROSTIKOS LOGISMOS I"

Εκάτη Μήτζου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 OktwbrÐou 2012

2 Kwdikìc Maj matoc: 101 (U) 'Etoc didaskalðac: , Qeimerinì Exˆmhno Hmèrec didaskalðac: Deut. - Tet. - Par., 11:00-13:00 Didˆskontec Tm ma 1 o (AM pou l gei se 0,1,2) Amf 21, BasÐleioc NestorÐdhc, GrafeÐo: 307, thl , vnestor@math.uoa.gr Tm ma 2 o (AM pou l gei se 3,4,5,6) Amf 23, Le nh Euaggelˆtou-Dˆlla, GrafeÐo: 207, thl , ldalla@math.uoa.gr Tm ma 3 o (AM pou l gei se 7,8,9) Amf 24, MarÐa PapatriantafÔllou, GrafeÐo: 201, thl , mpapatr@math.uoa.gr

3 IstoselÐda Maj matoc:

4 Perigraf Maj matoc: 1 PragmatikoÐ arijmoð 2 AkoloujÐec pragmatik n arijm n 3 Sunart seic 4 Sunèqeia kai ìrio sunart sewn 5 Parˆgwgoc

5 1. PragmatikoÐ arijmoð: Axiwmatik jemelðwsh twn Pragmatik n arijm n FusikoÐ, Akèraioi kai RhtoÐ arijmoð AxÐwma plhrìthtac 'Uparxh tetragwnik c rðzac 'Arrhtoi arijmoð Akèraio mèroc Puknìthta twn rht n kai twn arr twn stouc pragmatikoôc arijmoôc Klassikèc anisìthtec

6 RhtoÐ arijmoð Η διαγώνια μέθοδος του Cantor και η «1-1» αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς

7 'Arrhtoi arijmoð Το σοκ του Πυθαγόρα: Υποτείνουσα ορθογωνίων τριγώνων

8 'Arrhtoi arijmoð Qrus tom : φ = = Gewmetrikˆ prokôptei mèsw thc analogðac: a+b a = a b φ Algebrikˆ prokôptei wc jetik rðza thc exðswshc: x 2 x 1 = 0

'Arrhtoi arijmoð Qrus tom : φ = 1+ 5 2 = 1.6180339887.

9 'Arrhtoi arijmoð Qrus tom : φ = = Gewmetrikˆ prokôptei mèsw thc analogðac: a+b a = a b φ Algebrikˆ prokôptei wc jetik rðza thc exðswshc: x 2 x 1 = 0 Ti ekfrˆzei pragmatikˆ autìc o arijmìc?

10 'Arrhtoi arijmoð Αρμονία στην αρχιτεκτονική του Παρθενώνα, 438 π.χ.

11 APEIROSTIKOS LOGISMOS I 'Arrhtoi arijmoð Αρμονία στο έργο του Da Vinci - Vitruvian Man, 1487 μ.χ.

12 'Arrhtoi arijmoð

13 'Arrhtoi arijmoð

14 'Arrhtoi arijmoð

15 'Arrhtoi arijmoð

16 'Arrhtoi arijmoð Υπερβατικοί αριθμοί - Ρητή προσέγγιση του π με 999 δεκαδικά ψηφία

17 2. AkoloujÐec pragmatik n arijm n: SugklÐnousec akoloujðec Monìtonec akoloujðec Kibwtismìc diasthmˆtwn Anadromikèc akoloujðec

18 AkoloujÐec Ti eðnai mia akoloujða pragmatik n arijm n?

19 AkoloujÐec Ti eðnai mia akoloujða pragmatik n arijm n? EÐnai mia apeikìnish apì to sônolo N sto R.

20 AkoloujÐec Ti eðnai mia akoloujða pragmatik n arijm n? EÐnai mia apeikìnish apì to sônolo N sto R. Mèsw tôpou: 1 α n = n n, lim n n n = 1 2 α n = (1 + 1/n) n, lim n (1 + 1/n) n = e = 2, Mèsw anadromik c sqèshc: 1 α n+1 = 1 + α n, n 1, α 1 = 1, lim n α n = φ. 2 Ακολουθία Fibonacci: α n = α n 1 + α n 2, α 0 = 0, α 1 = 1, lim n α n = +, lim n α n+1 α n = φ. AkoloujÐa twn pr twn arijm n: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,...

21 AkoloujÐec Ti eðnai mia akoloujða pragmatik n arijm n? EÐnai mia apeikìnish apì to sônolo N sto R. Mèsw tôpou: 1 α n = n n, lim n n n = 1 2 α n = (1 + 1/n) n, lim n (1 + 1/n) n = e = 2, Mèsw anadromik c sqèshc: 1 α n+1 = 1 + α n, n 1, α 1 = 1, lim n α n = φ. 2 Ακολουθία Fibonacci: α n = α n 1 + α n 2, α 0 = 0, α 1 = 1, lim n α n = +, lim n α n+1 α n = φ. AkoloujÐa twn pr twn arijm n: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,... Upˆrqei sunˆrthsh anadromikìc tôpoc pou na dðnei thn parapˆnw akoloujða?

22 AkoloujÐec Φραγμένη - μη συγκλίνουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών απείρων όρων

23 3. Sunart seic: BasikoÐ orismoð Algebrikèc sunart seic Trigwnometrikèc sunart seic Ekjetik sunˆrthsh

24 Pragmatikèc sunart seic Γράφημα πολυωνυμικής συνάρτησης 4 ou βαθμού

25 Pragmatikèc sunart seic Γράφημα τριγωνομετρικής συνάρτησης ημιτόνου sinθ π θ

26 Pragmatikèc sunart seic Γράφημα αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης ημιτόνου arcsinθ π/2 0 1 θ

27 Pragmatikèc sunart seic Grˆfhma trigwnometrik c sunˆrthshc efaptomènhc tanθ 0 π 2 π θ

28 Pragmatikèc sunart seic Grˆfhma antðstrofhc trigwnometrik c sunˆrthshc efaptomènhc arctanθ π/2 0 θ π/2

29 Pragmatikèc sunart seic Γράφημα εκθετικής συνάρτησης για α > 1 y y a x 1 0 x

30 Pragmatikèc sunart seic Γράφημα λογαριθμικής συνάρτησης για α > 1 y x log a x 0 1 x

31 Pragmatikèc sunart seic { x, για x Q Η συνάρτηση f (x) = x, για x / Q.

32 4. 'Orio kai Sunèqeia Sunart sewn: H ènnoia tou orðou sunˆrthshc - Sunèqeia. Arq thc metaforˆc Sunèqeia gnwst n sunart sewn Sunèqeia kai topik sumperiforˆ Je rhma endiˆmeshc tim c 'Uparxh megðsthc kai elaqðsthc tim c gia suneqeðc sunart seic orismènec se kleistˆ diast mata - Monìtonec sunart seic SuneqeÐc kai {1-1} sunart seic AntÐstrofec trigwnometrikèc sunart seic Logarijmik sunˆrthsh

33 5. Parˆgwgoc: Eisagwg : ParadeÐgmata apì th GewmetrÐa kai th Fusik. H ènnoia thc parag gou Kanìnec parag gishc Parˆgwgoi basik n sunart sewn Je rhma mèshc tim c Je rhma Darboux Krit ria monotonðac sunˆrthshc Krit ria topik n akrotˆtwn Genikeumèno je rhma mèshc tim c Kanìnec De L Hospital Kurtèc kai koðlec sunart seic - ShmeÐa kamp c Melèth sunart sewn

34 Parˆgwgoc sunˆrthshc Η συνάρτηση f (x) = { sin(1/x), x 0 0, x = 0

35 Parˆgwgoc sunˆrthshc Η συνάρτηση g(x) = { xsin(1/x), x 0 0, x = 0

36 Parˆgwgoc sunˆrthshc Η συνάρτηση h(x) = { x 2 sin(1/x), x 0 0, x = 0

37 Parˆgwgoc sunˆrthshc { x 2, για x Q Η συνάρτηση f (x) = x 2, για x / Q.

38 BibliografÐa Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Ε. Γιαννακούλιας: «Απειροστικός Λογισμός Ι», Εκδόσεις Συμμετρία. Λ. Τσίτσας: «Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός», Εκδόσεις Συμμετρία. M. Spivak: Calculus, Benjamin (κυκλοφορεί σε Ελληνική μετάφραση με τίτλο: «Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.) R. Courant and F. John: Introduction to Calculus and Analysis, Vol. I, Interscience. G. H. Hardy: A Course in Pure Mathematics, Cambridge University Press. S. Salas and E. Hille: Calculus, John Wiley. R. Bartle and D. Sherbert: Introduction to Real Analysis, John Wiley.

Σχετικά έγγραφα

ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA

ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός Λογισμός 1670 1740 Ουράνια Μηχανική Isaac Newton 1648-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 απειροστάπολύ μικρά μεγέθη, άπειροπάρα πολύ μεγάλο, όριο