Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 Κλασική Στατιστική Μηχανική 3 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική 4 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών 5 Η Standard Απεικόνι

Transcript

1 Στατιστική Μηχανική και Εντροπία Πολύπλοκων Συστημάτων Ευάγγελος Χ. Μητσοκάπας Αναστάσιος Μπούντης Τομέας Εφαρμοσμένης Ανάλυσης Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών 0 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 Κλασική Στατιστική Μηχανική 3 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική 4 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών 5 Η Standard Απεικόνιση 6 Συμπεράσματα και Ανοικτά Ερωτήματα 1 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

3 Εισαγωγή Εισαγωγή Χαοτική Δυναμική Ενα σύστημα N βαθμών ελευθερίας σε μία κατάσταση ημι-στατικής ισορροπίας χαρακτηρίζεται είτε από εργοδικότητα (ισχυρό χάος) είτε από μία ανομοιογενή «αταξία» (ασθενές χάος) Η κατανομή που περιγράφει ένα ισχυρά χαοτικό σύστημα είναι Gauss ενώ ένα ασθενώς χαοτικό σύστημα περιγράφεται από q-gaussians Αντικείμενο της Μελέτης Ποιες θερμοδυναμικές ιδιότητες περιγράφουν κατάλληλα τέτοια συστήματα; Ποιος ο ρόλος της Εντροπίας και των κατανομών που την βελτιστοποιούν στην ανάλυση αυτή; 2 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

4 Εισαγωγή Εισαγωγικές Εννοιες Περιγραφή Συστήματος Μακροσκοπικές Μεταβλητές (Θερμοδυναμική) π.χ. πίεση, όγκος, θερμοκρασία,... Μικροσκοπικές Μεταβλητές (Κλασσική Μηχανική) π.χ. ταχύτητα, ενέργεια, μάζα,... Η έννοια της Εντροπίας Clausius (1865): Παρατήρησε ότι το πηλίκο ds = dq T αντιστρεπτή μεταβολή είναι σταθερό Γενικά για ένα κλειστό (απομονωμένο) σύστημα: ds 0 σε μία ιδανική 3 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

5 Κλασική Στατιστική Μηχανική Κλασική Στατιστική Μηχανική Σκοπός Μελέτη μακροσκοπικών ιδιοτήτων συστημάτων N βαθμών ελευθερίας και των σχέσεων τους με την μικροσκοπική δυναμική σε μοριακό επίπεδο Στατιστική Κανονικού Συνόλου (Canonical Ensemble) Θεωρούμε N T ανεξάρτητα αντίγραφα απομονωμένου συστήματος, σε δεδομένη χρονική στιγμή, με διαφορετικές μικροκαταστάσεις και κοινά μακροσκοπικά μεγέθη Κανονικό Στατιστικό Σύνολο (NV T ): Ιδιος αριθμός N, όγκος V και θερμοκρασία T για όλα τα αντίγραφα N T 4 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

6 Κλασική Στατιστική Μηχανική Βέλτιστη Κατανομή Πληθυσμών Ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να επιτευχθεί μία οποιαδήποτε κατανομή (n 0, n 1, ) του συστήματος είναι: W = N T! Stirling = ln W N n 0!n 1! T ln (N T ) ni ln (ni) i Θεωρούμε κανονικό σύνολο (NV T ), N τέτοια ώστε d E /dt = 0, δηλαδή: i ni = N T και i niei = N T E Για να βρούμε την κατανομή με το μέγιστο στατιστικό βάρος βελτιστοποιούμε την ln W : ( ( ) φ ln W + α n i N T ) β n ie i N T E i i και επιβάλλοντας την συνθήκη φ/ n i = 0, i καταλήγουμε ότι: n i = µe βe i, µ = e α 1 5 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

7 Κλασική Στατιστική Μηχανική Κατανομή Boltzmann Προσδιορισμός Συντελεστών µ και β N ni = NT µ = i T i e βe i β = 1 k B, όπου T η θερμοκρασία και kb σταθερά Boltzmann T Κατανομή Boltzmann Αντικαθιστώντας µ, β: p i = e E i/k B T Z, Z = όπου Z η κανονική συνάρτηση επιμερισμού i e E i/k B T 6 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

8 Κλασική Στατιστική Μηχανική Εντροπία Boltzmann-Gibbs Ελεύθερη Ενέργεια Helmholtz A = A(N, V, T ) = U T S Για απειροστή μεταβολή da προκύπτει S = A/ T και έτσι έχουμε: A = A(0) k BT ln Z, Z = Z (N, V, T ) Εντροπία Boltzmann-Gibbs S BG = k B p i ln p i δεδομένου ότι i pi = 1 i 7 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

9 Κλασική Στατιστική Μηχανική Ιδιότητες S BG Μη-Αρνητικότητα Οταν υπάρχει μόνο μία πιθανή κατάσταση στην οποία μπορεί να βρεθεί το σύστημα τότε S BG = 0. Επιπλέον, δεδομένου ότι 0 < p i < 1, p i 1, και W > 1 ισχύει: S BG = k B ln (1/p i) Μέγιστη Εντροπία Εστω W ο αριθμός των καταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρεθεί το σύστημα, με πιθανότητες p i. Στην περίπτωση ίσων πιθανοτήτων (p i = 1/W ), η εντροπία γίνεται μέγιστη: S BG = k B ln W Κοιλότητα Η εντροπία παρουσιάζει ένα μέγιστο για την περίπτωση ίσων πιθανοτήτων και ισχύει: S BG ({p i }) > λs BG({p i }) + (1 λ)s BG ({p i }) 8 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

10 Κλασική Στατιστική Μηχανική Ιδιότητες S BG Εκτατική και Αθροιστική Ιδιότητα Για δύο πιθανοκρατικώς ανεξάρτητα θερμοδυναμικά συστήματα A και B με καταστάσεις W A,W B αντίστοιχα ισχύει: Άρα S BG εκτατική μεταβλητή. S BG(A + B) = S BG(A) + S BG(B) Διασταλτικότητα Η εντροπία παραμένει αναλλοίωτη κάτω από την επιβολή νέων καταστάσεων με μηδενική πιθανότητα σε ένα σύστημα. S BG (p 1, p 2,..., p W ) = S BG (p 1, p 2,..., p W, 0) 9 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

11 Κλασική Στατιστική Μηχανική Μοναδικότητα S BG Θεώρημα Μοναδικότητας Khinchin Η S συνεχής συνάρτηση των p i Η S(p i = 1/W, i) αυξάνει γνησίως μονότονα Δεδομένου ότι p A+B ij = p A i p B j (i, j) τότε: S(A + B) = S(A) + S(B A) και την δεσμευμένη εντροπία S(B A) W A i=1 pa i S ( p A+B ij S(p 1, p 2,..., p w, 0) = S(p 1, p 2,..., p w) Τότε και μόνο τότε: S = S BG = k W p i ln p i, k > 0 i=1 p A i ). 10 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

12 Κλασική Στατιστική Μηχανική Κατανομή Gauss Εκθετική Κατανομή Δεδομένων των περιορισμών: x = xp(x)dx 0 0 p(x)dx = 1 προκύπτει η κατανομή: p(x) = e x/ x x Κατανομή Gauss Δεδομένων των περιορισμών: x 2 = x2 p(x)dx > 0 p(x)dx = 1 προκύπτει η κατανομή: p(x) = 1 /2 x 2 2π x 2 e x2 11 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

13 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική q Συναρτήσεις Πρόβλημα Cauchy dy dx = yq, y(0) = 1, q R, q 1 q εκθετικό e x εάν q 1 e x 1 q = [1 + (1 q)x] (1 q) εάν q 1 και 1 + (1 q)x > 0 0 εάν q 1 και 1 + (1 q)x 0 q λογάριθμος ln q(x) = { ln(x) εάν x 0 και q 1 x 1 q 1 1 q εάν x 0 και q 1 12 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

14 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική Εντροπία S q Εισαγωγή Στατιστική Μηχανική Boltzmann-Gibbs : Αλληλεπιδράσεις μικρής εμβέλειας Εκτατικότητα Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική: Αλληλεπιδράσεις μακράς εμβέλειας Μη Εκτατικότητα Εντροπία Tsallis Προκύπτει: Παρατήρηση: S BG = k B ln(1/p i) S q = k ln q(1/p i), k R W S q = k 1 p q i=1 i q 1 lim q 1 S q = S BG 13 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

15 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική Ιδιότητες S q Μη Αρνητικότητα Για 0 < p i < 1: p i < 1 1/p i > 1 ln q (1/p i) > ln q 1 = 0 Άρα S q 0, q R Μέγιστη Εντροπία Εστω W ο αριθμός των καταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρεθεί το σύστημα, με πιθανότητες p i. Στην περίπτωση ίσων πιθανοτήτων (p i = 1/W ), η εντροπία γίνεται μέγιστη: S q = k ln q W Κοιλότητα Η εντροπία παρουσιάζει ένα μέγιστο για την περίπτωση ίσων πιθανοτήτων και ισχύει: S q ( {p i }) > λs q ({p i}) + (λ 1)S q ( {p i }) 14 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

16 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική Ιδιότητες S q Μη Εκτατική και Μη Αθροιστική Ιδιότητα Για δύο πιθανοκρατικώς ανεξάρτητα θερμοδυναμικά συστήματα A και B με καταστάσεις W A,W B αντίστοιχα ισχύει: S q(a + B) = S q(a) + S q(b) + (1 q)s q(a)s q(b) Άρα S q μη εκτατική μεταβλητή. Διασταλτικότητα Η εντροπία παραμένει αναλλοίωτη κάτω από την επιβολή νέων καταστάσεων με μηδενική πιθανότητα σε ένα σύστημα. S q (p 1, p 2,..., p W ) = S q (p 1, p 2,..., p W, 0) 15 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

17 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική Μοναδικότητα S q Θεώρημα Μοναδικότητας Santos Η S συνεχής συνάρτηση των p i Η S(p i = 1/W, i) αυξάνει γνησίως μονότονα Δεδομένου ότι p A+B ij S(A + B) k = p A i pb j, (i, j) τότε: = S(A) k + S(B) k + (1 q) S(A) S(B) k k, k > 0 Για p L = L όροι pi, p M = M όροι pi, έτσι ώστε L + M = W και p L + p M = 1: Τότε και μόνο τότε: S (p i) = S(p L, p M ) + p q L S (pi p L) + p q M S (pi p M ) S = S q = k 1 W i=1 pq i, k > 0 q 1 16 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

18 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική Κατανομές q-gauss Επιβολή Γενικευμένων Περιορισμών Κανονικοποίηση: p(x)dx = 1 0 Συνοδός Κατανομή: P (x) = τέτοια ώστε: P (x)dx = 1 0 p q (x) p q (k)dk 0 q-εκθετική Κατανομή Δεδομένης συνθήκης κανονικοποιήσης και q-μέσης τιμής: x q = xp (x)dx = X 0 q προκύπτει η q-συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: p opt(x) = e βq(x Xq) q Z q, Z q = e βq(x Xq) q dx Παρατήρηση:p opt q 1 p Boltzmann 0 17 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

19 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική Κατανομές q-gauss q-gaussian Κατανομή Δεδομένης συνθήκης κανονικοποίησης και ποσότητας: x 2 q = x2 P (x)dx = X q > 0 προκύπτει η q-συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: p opt(x) = [1 β q(1 q)x 2 ] 1/(1 q) Z q, Z q = [1 βq(1 q)x2 ] 1/(1 q) dx Παρατήρηση:p opt q 1 p Gaussian 1.2 q= q= pq(x) 0.6 q= x 18 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

20 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Η Κλάση Εντροπικών Μορφών κατά Thurner και Hanel Κατά Khinchin Θεμελίωση Μελετάμε S g[p] = W g(pi), W τέτοια ώστε: i=1 Κ1: S g συνεχής g συνεχής Κ2: S g μέγιστη για p i = 1/W g κοίλη Κ3: S g διασταλτική g(0) = 0 Μη Αθροιστική Εντροπία διότι S(A + B) S(A) + S(B A) Σχέσεις Κλιμάκωσης Δεδομένου ότι W προκύπτει η σχέση κλιμάκωσης: S g(λw ) S g(w = λ g(1/λw ) ) g(1/w ) και η συνάρτηση κλιμάκωσης f αποδεικνύεται: f(z) lim g(zx) x 0 + = g(x) zc, c (0, 1], 0 < z < 1 19 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

21 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Ασυμπτωτικές Ιδιότητες Εντροπικών Μορφών Πρώτη Ασυμπτωτική Ιδιότητα Από τις σχέσεις κλιμάκωσης προκύπτει: lim W S(λW ) S(W ) λc 1 = 1 Δεύτερη Ασυμπτωτική Ιδιότητα Θεωρώντας τον μετασχηματισμό λ W α και ορίζοντας την ποσότητα: S g(w h c(α) = lim α+1 ) W S g(w ) προκύπτει: h c(α) = (1 + a) d, α R, d R Συμπέρασμα Εφικτός ο χαρακτηρισμός κάθε στατιστικού συστήματος Κ1-Κ3 μέσω του ζεύγους (c, d) το οποίο ορίζει κλάσεις ισοδυναμίας για τις g μέσω της σχέσης g α = g β c α = c β και d α = d β 20 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

22 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Ταξινόμηση Στατιστικών Συστημάτων Προσδιορισμός Εντροπίας BG Για g BG(x) = x ln x προκύπτουν: f(z) = z c = 1 h c(α) = 1 + a d = 1 Άρα S BG (c, d) = (1, 1) Προσδιορισμός Εντροπίας Tsallis Για g q(x) = (x x q )/(1 q), 0 < q < 1 προκύπτουν: f(z) = z q c = q h c(α) = 1 d = 0 Άρα S q (c, d) = (q, 0) 21 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

23 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Οικογένειες Εντροπικών Μορφών Συνάρτηση g c,d,r Η οικογένεια συναρτήσεων g c,d,r ικανοποιεί τις δύο ασυμπτωτικές ιδιότητες: g c,d,r (x) = ra d e A Γ (1 + d, A c ln x) rcx όπου η μη-πλήρης συνάρτηση Γάμμα: Γ(a, b) = t a 1 e t dt b και: A(c, d, r) = για c (0, 1], d R και r = r(c, d) cdr 1 (1 c)r 22 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

24 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Ειδικές Περιπτώσεις Οικογένειας g c,d,r Προσδιορισμός Εντροπίας BG μέσω g c,d,r Για d > 0 επιλέγοντας r = 1/(cd + (1 c)) προκύπτει: S c,d [p] = W g i=1 c,d (p i) = e W Γ(1+d,1 c ln p i ) i=1 1+c(d 1) Η S BG ανήκει στην κλάση (c, d) = (1, 1) και αποδεικνύεται: S (1,1) [p] = W i=1 pi ln (1/pi) + 1 = SBG + 1 c 1+c(d 1) Προσδιορισμός Εντροπίας Tsallis μέσω g c,d,r Η S q ανήκει στην κλάση (c, d) = (q, 0) και για d = 0 επιλέγοντας r = 1/(1 q) προκύπτει: S c,d [p] = S (q,0) [p] = W g i=1 (q,0) (p i) = W i=1 Αποδεικνύεται ότι: S (q,0) [p] = 1 W i=1 pq i q = S q + 1 Γ(1, q ln p i ) qp i 1 q 23 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

25 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Ειδικές Περιπτώσεις Οικογένειας g c,d,r Γενικευμένες Εντροπικές Μορφές Εντροπία ( ) c d S c,d = er Γ (d + 1, 1 c ln pi), i r = (1 c + cd) 1 c d S BG (p) = pi ln (1/pi) 1 1 i S q<1(p) i = 1 p q i, (q < 1) c = q < 1 0 q 1 S κ(p) = i pi p κ i p κ i (0 < κ 1) c = 1 κ 0 2κ S q>1(p) i = 1 p q i, (q > 1) 1 0 ( q 1 ) S b (p) = i 1 e bp i + e b 1 (b > 0) 1 0 S E (p) = i pi (1 e p i 1 p i ) ( ) ( ) S η(p) = Γ η+1 i=1 η, ln pi piγ η+1 η 1 0 (η > 0) 1 d = 1 η S γ(p) = i pi ln1/γ (1/p i) 1 d = 1 γ S β (p) = i pβ i ln (1/pi) c = β 1 24 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

26 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Συναρτήσεις Κατανομών Γενικευμένος Λογάριθμος Ο γενικευμένος λογάριθμος της g c,d,r : Λ(x) = g c,d,r(x) είναι: [ Λ g(x) = g c,d,r(x) = rc x ( c 1 1 (1 (1 c)r ln x ) ] d dr 1 Βέλτιστη Κατανομή-Γενικευμένο Εκθετικό Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που βελτιστοποιεί την g c,d,r ορίζεται ως η γενικευμένη εκθετική συνάρτηση p(x) = E c,d,r ( x) = Λ 1 g (x) και είναι: ( ) ] [W k p(x) = E c,d,r ( x) p(x) = e 1 c d B(1+x/rc) 1 d W k (B) ( (1 c)r ) όπου B (1 c)r e 1 (1 c)r και W 1 (1 c)r k ο k-οστός κλάδος της συνάρτησης Lambert-W, που αποτελεί λύση της x = W (x)e W (x). Για d 0 k = 0 και d < 0 k = / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

27 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Ειδικές Περιπτώσεις Lambert-W Εκθετικών Κατανομές Boltzmann Η S BG ανήκει στην κλάση (c, d) = (1, 1) και από την οριακή διαδικασία lim c 1 E (c,1,r) ( x) = lim c 1 e 1 c 1 [W 0(B(1+x/rc)) W 0 (B)] προκύπτει: p(x) = e x c=0.9 e -x c=0.85 d=1 r=(1-c+cd) -1 p(x)=ec,d,r(-x) c= x 26 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

28 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Ειδικές Περιπτώσεις Lambert-W Εκθετικών Κατανομές Tsallis Η S q ανήκει στην κλάση (c, d) = [(q, 0) και από την οριακή διαδικασία lim d 0 E( x) = lim d 0 + exp ( ) ( [ d W 1 q 0 B ( ) ] )] 1 + x 1 d W rq 0[B] προκύπτει: p(x) = ( 1 + x rq ) 1 q 1 4 (1+ x 1 rq ) q-1 d=0.01 r=(1-c+cd) -1 3 q=0.85 p(x)=ec,d,r(-x) 2 q=0.75 q= x 27 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

29 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών Διαταραχές των Lambert-W εκθετικών 1.0 q=0.8 r=(1-q+dq) q=0.9 r=(1-q+dq) d= d=10-1 p(x)=ec,d,r(-x 2 ) (1+ x2 rq ) 1 q-1 d=10-2 p(x)=ec,d,r(-x 2 ) (1+ x2 rq ) 1 q-1 d= d= d= x x 1.0 c= c= (1+ x2 rc ) 1 c-1 r= e-d 1 - c 0.8 (1+ x2 rc ) 1 c-1 r= e-d 1 - c p(x)=ec,d,r(-x 2 ) d=-3x10-2 p(x)=ec,d,r(-x 2 ) d=-3x d= d= x d=-5x x 28 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

30 Η Standard Απεικόνιση Standard Απεικόνιση Η Standard Απεικόνιση Ορίζεται ως: p i+1 = p i K sin x i x i+1 = x i + p i+1 όπου τα p i, x i [0, 2π] αναπαριστούν τις ορμές και τις θέσεις ενός σωματιδίου. Επιλογή 10 7 αρχικών συνθηκών με τυχαίο τρόπο, σε ολόκληρο το τετράγωνο [0, 2π] [0, 2π] 29 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

31 Η Standard Απεικόνιση Περίπτωση K = / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

32 Η Standard Απεικόνιση Περίπτωση K = / 37 23ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

33 Η Standard Απεικόνιση Περίπτωση K = 10 Numerical distribution Gaussian distribution Gaussian distribution 1 P(sM(j)) / 37 23ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική sm(j)

34 Η Standard Απεικόνιση Περίπτωση K = 2 32 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

35 Η Standard Απεικόνιση Περίπτωση K = 2 33 / 37 23ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

36 Η Standard Απεικόνιση Περίπτωση K = 2 Numerical distribution Gaussian distribution Gaussian distribution 1 P(sM(j)) / 37 23ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική sm(j)

37 Η Standard Απεικόνιση Περίπτωση K = / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

38 Η Standard Απεικόνιση Περίπτωση K = 2 35 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

39 Η Standard Απεικόνιση Περίπτωση K = 2 35 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

40 Συμπεράσματα και Ανοικτά Ερωτήματα Συμπεράσματα και Ανοικτά Ερωτήματα Συμπεράσματα Τα πολύπλοκα συστήματα μπορούν να περιγραφούν με μεγάλη επιτυχία από την μη εκτατική εντροπία Tsallis Τα εντροπικά συναρτησιακά που πληρούν τα Κ1,Κ2,Κ3 ταξινομούνται σε κλάσεις που ορίζονται από το ζεύγος παραμέτρων (c, d) Οι κατανομές που βελτιστοποιούν τις εντροπίες αυτές είναι της μορφής Lambert-W εκθετικών Ανοικτά Ερωτήματα Διαταραχή των q-gaussians που προκύπτουν μέσω της ανάλυσης των Thurner και Hanel Ταξινόμηση q-κατανομών που προκύπτουν από πειραματικά δεδομένα μέσω των κλάσεων αυτών 36 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική

41 Συμπεράσματα και Ανοικτά Ερωτήματα Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας! 37 / ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο, Χαλκιδική