ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G Μονάδες Β Έστω η συνάρτηση ηµ Ν δείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο ΙR κι ισχύει συν Μονάδες 8 Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Αν η συνάρτηση είνι ορισµένη στο [,β] κι συνεχής στο,β], τότε η πίρνει πάντοτε στο [,β] µί µέγιστη τιµή Μονάδ β Κάθε συνάρτηση, που είνι - στο πεδίο ορισµού της, είνι γνησίως µονότονη Μονάδ γ Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο κι lim, τότε lim δ Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο ΙR, τότε ε Αν lim >, d d Μονάδ Μονάδ ΒΠουρνάρς τότε > κοντά στο Μονάδ

2 ΘΕΜΑ ο Έστω ένς µιγδικός ριθµός κι ν i ν, ν IN* Ν δείξετε ότι 8 8 β Αν ρ κι Arg θ, ν δείξετε ότι ρ γ Αν κι Arg π π συν θ iηµ θ Μονάδες 7 Μονάδες 8 π, ν βρεθεί το εµβδόν του τριγώνου µε κορυφές τ σηµεί του µιγδικού επιπέδου που είνι εικόνες των µιγδικών ριθµών, κι Μονάδες ΘΕΜΑ ο Έστω οι συνρτήσεις, g µε πεδίο ορισµού το ΙR ίνετι ότι η συνάρτηση της σύνθεσης og είνι - Ν δείξετε ότι η g είνι - Μονάδες 7 β Ν δείξετε ότι η εξίσωση: g - g - έχει κριβώς δύο θετικές κι µί ρνητική ρίζ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο Έστω δύο συνρτήσεις h, g συνεχείς στο [, β] Ν ποδείξετε ότι ν h > g γι κάθε [, β], τότε κι β β hd > gd Μονάδες β ίνετι η πργωγίσιµη στο ΙR συνάρτηση, που ικνοποιεί τις σχέσεις:, ΙR κι ι Ν εκφρστεί η ως συνάρτηση της ιι Ν δείξετε ότι, < < Μονάδες 5 γι κάθε > Μονάδες ιιι Αν Ε είνι το εµβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, κι τον άξον, ν δείξετε ότι ΒΠουρνάρς 4 < E < Μονάδες 6

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί πόδειξη σελ 5 σχολ βιβλίου Β Θεωρί σελίδες 4-5 σχολ βιβλίου Β Λ β Λ γ Σ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ ο 8 8 i i 8 i i 8 i i i 4 i 6 i i 9 - i - 6 i i i - β ρ, Arg θ Γι ν έχουµε: i i 6 i - 6 i i Επειδή ο µιγδικός έχει µέτρο ρ κι πρωτεύον όρισµ θ, θ έχει την κόλουθη τριγωνοµετρική µορφή: συνθ i ηµθ ρ συνθ iηµθ Η τριγωνοµετρική µορφή του µιγδικού ριθµού i είνι: π π συν i ηµ Εποµένως ο µιγδικός ριθµός i γράφετι: π π συν i ηµ ηµθ π π ρ συν θ i ηµ θ π π ρ συν θ i ηµ θ [ ρ συνθ i ] γ Σύµφων µε το προηγούµενο ερώτηµ κι γι ρ, θ π έχουµε: συν π iηµ π, iέτσι ν Α η εικόν του στο µιγδικό επίπεδο, η εικόν Β του i προκύπτει πό στροφή της δινυσµτικής κτίνς π Α του κτά ΒΠουρνάρς

4 Επειδή το τρίγωνο ΑΟΒ είνι ορθογώνιο στο Ο µε µήκη κάθετων πλευρών, θ έχει εµβδόν τετργωνικές µονάδες ΘΕΜΑ ο Επειδή η είνι συνάρτηση έχουµε ότι γι κάθε g g ή g o g o, R µε g g έπετι Επειδή όµως η o g είνι - στο R προκύπτει πό την ότι Έτσι δείξµε ότι:, R µε g g προκύπτει Άρ η g είνι - β Έχουµε: Επειδή η g είνι - στο R, προκύπτει ότι: g g Θεωρούµε την συνάρτηση: h -, R H h είνι πργωγίσιµη ως πολυωνυµική µε: h' H µονοτονί της h φίνετι στον πρκάτω πίνκ: ΒΠουρνάρς ή ή 4

5 Η h στο διάστηµ [-, -] ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ Bolano, φού: Η h συνεχής στο [-, -] ως πολυωνυµική κι h- h- - - < Άρ υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε h Eπειδή η h στο -, -] είνι γνησίως ύξουσ η πρπάνω ρίζ είνι µονδική στο -, -] Έχουµε h κι h - Επειδή η h είνι συνεχής στο [, ] κι h h - - < προκύπτει ότι στο διάστηµ, η h έχει µι τουλάχιστον ρίζ Επειδή κόµ η h είνι γνησίως φθίνουσ στο [-, ], προκύπτει ότι η ρίζ υτή είνι µονδική στο [-, ] Έχουµε h - κι h Επειδή η h είνι συνεχής στο [, ] κι h h - - < προκύπτει ότι στο διάστηµ, η h έχει µι τουλάχιστον ρίζ Επειδή κόµ η h είνι γνησίως φθίνουσ στο [,, προκύπτει ότι η ρίζ υτή είνι µονδική στο [, Επειδή: -, - είνι <, είνι >, είνι > Έτσι η h έχει κριβώς δύο θετικές κι µί ρνητική ρίζ στο R ΒΠουρνάρς 5

6 ΘΕΜΑ 4ο Θεωρούµε τη συνάρτηση φ h - g [, β] Η φ είνι συνεχής στο [, β] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων Επειδή είνι h > g γι κάθε [,β] προκύπτει ότι Φ > γι κάθε [,β] Σύµφων τώρ µε το θεώρηµ σελίδ σχολ βιβλίου έχουµε: β d > a Άρ β φ ή - g β a h d g d > β a β h d > ή d gd > a βi Αφού η είνι πργωγίσιµη στο R έχουµε: ' Άρ ή - ή [ - ] ή, φού - γι κάθε R ' µε R βii Επειδή είνι η ζητούµενη νίσωση < < γι > γράφετι: < - < ή < < ' Η στο [,] ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ άρ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ,: ' ξ Τότε όµως ρκεί ν δειχθεί < ξ < ή < ξ < ή a ΒΠουρνάρς β a 6

7 ΒΠουρνάρς 7 < ξ <, µε < ξ < Έτσι ρκεί ν δειχθεί ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο [, ] Υπολογίζοντς την έχουµε: [ ] R γι κάθε ' ' ' > Άρ γνησίως ύξουσ στο R άρ κι στο [,] βiii Από βii είνι > > κι επειδή η είνι συνεχής ως πργωγίσιµη στο R άρ κι στο [,], θ είνι d E Οι συνρτήσεις,, είνι συνεχείς στο R, οπότε µε βάση το ερώτηµ πό < < είνι: [ ] < < < < d E 4 d d d 4 E E < < Έτσι 4 < E κι Ε < E < Οπότε τελικά 4 < E <

8 ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Ν ποδείξετε ότι, ν µί συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σ έν σηµείο, τότε είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό Β Τι σηµίνει γεωµετρικά το Θεώρηµ Μέσης Τιµής του ιφορικού Λογισµού; Μονάδες 8 Μονάδες 7 Γ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση _ Αν ένς µιγδικός ριθµός κι ο συζυγής του, τότε ισχύει Μονάδες β Έστω µί συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ κι δύο φορές πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Αν > γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι κυρτή στο γ Γι κάθε συνάρτηση, πργωγίσιµη σε έν διάστηµ, ισχύει d c, c IR Μονάδες Μονάδες δ Αν µι συνάρτηση είνι κυρτή σε έν διάστηµ, τότε η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σηµείο του βρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική της πράστση Μονάδες ε Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η είνι πργωγίσιµη στο κι, τότε η προυσιάζει υποχρεωτικά τοπικό κρόττο στο Μονάδες ΒΠουρνάρς

9 ΘΕΜΑ ο _ ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί βi, όπου, β IR κι w i 4 όπου είνι ο συζυγής του Ν ποδείξετε ότι Rw β 4 Ιmw β Μονάδες 6 β Ν ποδείξετε ότι, ν οι εικόνες του w στο µιγδικό επίπεδο κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y, τότε οι εικόνες του κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y Μονάδες 9 γ Ν βρείτε ποιος πό τους µιγδικούς ριθµούς, οι εικόνες των οποίων κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y, έχει το ελάχιστο µέτρο ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση 5 Μονάδες Ν µελετήσετε την ως προς την µονοτονί κι τ κοίλ κι ν ποδείξετε ότι η έχει ντίστροφη συνάρτηση β Ν ποδείξετε ότι γι κάθε IR Μονάδες 6 Μονάδες 6 γ Ν ποδείξετε ότι η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της στο σηµείο, είνι ο άξονς συµµετρίς των γρφικών πρστάσεων της κι της Μονάδες 5 δ Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της, τον άξον των κι την ευθεί µε εξίσωση ΘΕΜΑ 4ο Μονάδες 8 Έστω µι συνάρτηση συνεχής σ έν διάστηµ [,β] που έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο στο,β Αν ισχύει β κι υπάρχουν ριθµοί γ,β, δ,β, έτσι ώστε γ δ <, ν ποδείξετε ότι: Υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ της εξίσωσης στο διάστηµ,β β Υπάρχουν σηµεί ξ, ξ,β τέτοι ώστε ξ < κι ξ > γ Υπάρχει έν τουλάχιστον σηµείο κµπής της γρφικής πράστσης της Μονάδες 8 Μονάδες 9 Μονάδες 8 ΒΠουρνάρς

10 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o Θεωρί: Θεώρηµ σελ 7 σχολικού βιβλίου β Θεωρί: Η πάντηση βρίσκετι στη σελ 47 του σχολικού βιβλίου γ -Σ β-σ γ-σ δ-λ ε-λ ΘΕΜΑ o Είνι: w i 4 βi i βi 4 βi i β 4 β 4 β i Έτσι Rw - β 4 κι Imw β - 4 β Οι εικόνες του w στο µιγδικό επίπεδο είνι τ σηµεί Μ-β4, β-, όπου, β R Αφού νήκουν σε ευθεί µε εξίσωση y - είνι: β - - β 4-4β β - - β - Από την τελευτί συνάγετι ότι τ σηµεί Ν,β που είνι οι εικόνες του στο µιγδικό επίπεδο νήκουν στην ευθεί µε εξίσωση y - γ Από τις εικόνες των µιγδικών ριθµών, των οποίων οι εικόνες κινούντι στην ευθεί ε: y -, ελάχιστο µέτρο έχει εκείνος του οποίου η εικόν Κ είνι τέτοι ώστε ΟΚ κάθετη στην ε Έτσι: λ ΟΚ - κι ΟΚ: y - Λύνοντς το σύστηµ: y -, y - προκύπτει, y - ηλδή το σηµείο Κ έχει συντετγµένες,- Άρ ο µιγδικός µε το ελάχιστο µέτρο πό υτούς που κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y - είνι ο - i ΒΠουρνάρς

11 ΘΕΜΑ ο Η συνάρτηση 5 είνι ορισµένη κι πργωγίσιµη φορές σε όλο το R µε: κι Επειδή είνι 5 4 > γι κάθε R, προκύπτει ότι η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το R 6 εφόσον > γι κάθε R Εποµένως η είνι: κοίλη στο διάστηµ -, ] κι κυρτή στο διάστηµ [, Επειδή η συνάρτηση είνι γνησίως µονότονη στο R θ είνι - σε υτό κι συνεπώς η είνι ντιστρέψιµη στο R β Η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο R ερώτηµ Προκειµένου ν δείξουµε ότι γι κάθε R, ρκεί ν δείξουµε ότι: γι κάθε R Πράγµτι, θεωρούµε τη συνάρτηση g -- στο R, η οποί είνι πργωγίσιµη σ υτό µε g - Από την εξίσωση g έχουµε - Έχουµε: ελάχ g Εποµένως g g γι κάθε R ή -- γι κάθε R κι άρ: γι κάθε R γ Η εφπτοµένη της C στο σηµείο, έχει εξίσωση y- - ή y- - ή y που είνι η διχοτόµος της πρώτης κι τρίτης γωνίς των ξόνων Επειδή τώρ η είνι ντιστρέψιµη ερώτηµ προκύπτει ότι υπάρχει η - ή οποί λόγω πρότσης σελ 55 σχολ βιβλ έχει C - συµµετρική την C ως προς άξον συµµετρίς την ευθεί y δ Γι κάθε [,] είνι: κι επειδή η - είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ υτό *, θ είνι φού - ** ΒΠουρνάρς Έτσι το εµβδόν του ζητουµένου χωρίου ισούτι µε: Θέτουµε - y y ιφορίζοντς την λµβάνουµε: dyd[] d κι E ydy 4

12 y ***, άρ E 'd ' d 5 d 5 d d 5 5 τ µ 6 4 Αιτιολογήσεις γι το ερώτηµ δ του ου θέµτος: d * H - είνι συνεχής κι γνησίως µονότονη στο R, σύµφων µε την πρότση που λέει ότι ν η είνι συνεχής κι γνησίως µονότονη σε διάστηµ τότε υπάρχει η ντίστροφή της η οποί είνι επίσης συνεχής στο κι διτηρεί το ίδιο είδος µονοτονίς µε την Η πρότση υτή, όµως, δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο κι νφέρετι γι λόγους µθηµτικής πληρότητς Έτσι, η µη νφορά σε υτήν πό κάποιο µθητή δεν έχει βθµολογικές πώλειες ** Ισχύει ότι: - Πράγµτι γι έχουµε: - y - y y y 5 y y yy 4 y y *** Η εξίσωση 5 έχει µονδική λύση την γιτί η είνι - στο R κι εποµένως κάθε οριζόντι ευθεί, οπότε κι η y, τέµνει την C σε µονδικό σηµείο Η εξίσωση 5 έχει µονδική λύση την, γιτί 4, φού 4 > γι κάθε R ΘΕΜΑ 4ο Αφού η είνι συνεχής στο κλειστό διάστηµ µε άκρ γ, δ κι γ δ <, εφρµόζετι το θεώρηµ Bolano πό το οποίο συνάγετι ότι υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ που νήκει στο νοιχτό διάστηµ µε άκρ γ, δ ώστε β Χωρίς βλάβη της γενικότητς υποθέτουµε ότι γ < δ κι γ >, δ <, οπότε < γ < < δ <β i Στο διάστηµ [, γ] είνι:, γ >, άρ < γ κι επειδή είνι < γ συνάγετι ότι: γ > γ Όµως πό το θεώρηµ µέσης τιµής ΘΜΤ γι την στο διάστηµ [,γ], υπάρχει κ,γ γ ώστε κ κι λόγω της κ > γ ΒΠουρνάρς ii Εργζόµενοι οµοίως, στο διάστηµ [γ, ] έχουµε: γ >, άρ γ > κι επειδή είνι γ < συνάγετι: γ γ < 5

13 Από το ΘΜΤ γι την στο διάστηµ [γ, ] έχουµε ότι υπάρχει κ γ, ώστε κι λόγω της είνι κ < κ γ γ iii Γι το διάστηµ [, δ] όµοι έχουµε ότι υπάρχει κ,δ ώστε δ κ < δ iv Γι το διάστηµ [δ,β] όµοι έχουµε ότι υπάρχει κ 4 δ,β ώστε β δ κ 4 > β δ v Είνι κ >, κ < άρ κ > κ κι επειδή κ < κ, είνι: κ κ κ κ < Όµως γι την εφρµόζετι το ΘΜΤ στο διάστηµ [κ,κ ], οπότε υπάρχει ξ κ,κ ώστε κ κ ξ κ κ < vi Είνι κ <, κ 4 >, άρ κ < κ 4 κι επειδή κ < κ 4 είνι κ κ 4 > κ κ 4 Όµως γι την εφρµόζετι το ΘΜΤ στο διάστηµ [κ,κ 4 ], οπότε υπάρχει ξ κ,κ 4 ώστε κ κ4 ξ > κ κ 4 είξµε έτσι ότι υπάρχουν ξ, ξ,β ώστε ξ < κι ξ > γ Από το β ερώτηµ µε βάση το θεώρηµ Bolano γι την στο κλειστό διάστηµ µε άκρ ξ, ξ προκύπτει ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σηµείο ξ που νήκει στο νοικτό διάστηµ µε άκρ ξ, ξ ώστε ξ Το σηµείο ξ θ ήτν σηµείο κµπής της συνάρτησης εφόσον η άλλζε πρόσηµο εκτέρωθεν υτού Όµως κάτι τέτοιο δεν εξσφλίζετι πό τ δεδοµέν του θέµτος β τρόπος λύσης γι το θέµ 4β: Από το θεώρηµ µέγιστης-ελάχιστης τιµής γι την που είνι συνεχής στο [,β] εξσφλίζετι ότι υπάρχουν δύο σηµεί, [,β] µε < ώστε γι κάθε [,β] Εφόσον η πίρνει µί τουλάχιστον ρνητική τιµή κι µί τουλάχιστον θετική πράγµ που συνεπάγετι πό την δοσµένη σχέση γ δ <, η ελάχιστη τιµή θ είνι ρνητική, ενώ η µέγιστη τιµή θ είνι θετική Η είνι πργωγίσιµη στο,β άρ κι στ εσωτερικά σηµεί,, που επειδή είνι θέσεις κρόττων πό το θ Frma συνάγετι ότι ΒΠουρνάρς Στο διάστηµ [, ] η δεν µπορεί ν είνι η στθερή µηδενική διότι τότε η θ ήτν στθερή κι άρ ή ma min άτοπο διότι υπάρχουν τ δοσµέν γ,δ γι τ οποί ισχύει πό υπόθεση γ δ < Συνεπώς υπάρχει σηµείο, ώστε > ή < Έστω πχ > Τότε 6

14 πό ΘΜΤ γι την στο [, ], υπάρχει ξ, ώστε: ξ > πό ΘΜΤ γι την στο [, ], υπάρχει ξ, ώστε: ξ < Αν υποθέτµε < θ προέκυπτε ξ <, ξ > ΒΠουρνάρς 7

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, ν ποδείξετε ότι Μονάδες Β Πότε µι συνάρτηση λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 5 Γ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Η δινυσµτική κτίν του θροίσµτος δύο µιγδικών ριθµών είνι το άθροισµ των δινυσµτικών κτίνων τους Μονάδες β l, ν κι µόνο ν lim lim l lim Μονάδες γ Αν οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: g ' g Μονάδες δ Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Αν > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Μονάδες ε Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε β d Gβ G Μονάδες ΒΠουρνάρς

16 ΘΕΜΑο ίνετι η συνάρτηση µε τύπο ln ΘΕΜΑ ο Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, ν µελετήσετε την µονοτονί της κι ν βρείτε τ κρόττ Μονάδες β Ν µελετήσετε την ως προς την κυρτότητ κι ν βρείτε τ σηµεί κµπής Μονάδες 8 γ Ν βρείτε το σύνολο τιµών της Μονάδες 7 ίνετι η συνάρτηση g, όπου συνάρτηση πργωγίσιµη στο R κι Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστο ξ, τέτοιο ώστε ξ-ξ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο β Εάν -, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ γ Ν βρείτε το όριο lim Ι I gd, R Μονάδες 8 Μονάδες 9 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R τέτοι ώστε Αν γι κάθε R, ισχύει όπου βi C, µε, β R*, τότε: g d, Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R κι ν βρείτε τη g Μονάδες 5 β Ν ποδείξετε ότι ΒΠουρνάρς γ Με δεδοµένη τη σχέση του ερωτήµτος β ν ποδείξετε ότι R Μονάδες 8 Μονάδες 6

17 δ Αν επιπλέον >, β κι >β, ν ποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε Μονάδες 6 ΒΠουρνάρς

18 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Θεώρηµ Frma σελ 6 σχολ βιβλίου Β Ορισµός σελ σχολ βιβλίου Γ β γ δ ε Σ * Λ Λ Σ * Η πάντηση στο ερώτηµ Γ β µπορεί ν χρκτηρισθεί Σωστό µόνο εφ όσον η συνάρτηση είνι ορισµένη σε σύνολο της µορφής a,, Όπως είνι διτυπωµένη, σωστό είνι µόνο το ΘΕΜΑο β ντίστροφο ηλδή ν lim lim l lim l, φού γι την περίπτωση του ευθέως µπορεί ν θεωρηθούν ως σύνολ ορισµού της κι τ µεµονωµέν σύνολ a, ή, β Εποµένως πό υστηρή µθηµτική άποψη, η πάντηση είνι Λάθος Πρέπει > Άρ A, H είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, συνρτήσεων σ υτό µε ln ' ln ' ' ln ' ln ln ln Έχουµε: ' ln Οπότε:, A πορρίπτετι φού ή ln ln ως γινόµενο πργωγίσιµων ΒΠουρνάρς Εποµένως η συνάρτηση είνι:

19 Γνησίως φθίνουσ στο, ], φού είνι συνεχής στο, ] κι ισχύει ότι < στο, Γνησίως ύξουσ στο [,, φού είνι συνεχής στο [, κι ισχύει ότι > στο, Άρ προυσιάζει ολικό ελάχιστο γι το ln β Η είνι κι η φορά πργωγίσιµη στο, ως γινόµενο δις πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό µέ '' ln ' ln ln Έχουµε: '' ln ln ln Εποµένως η συνάρτηση είνι: κοίλη στο, ] κυρτή στο [, Άρ προυσιάζει σηµείο κµπής το Μ, γ Είνι: ln lim o 4 lim lim lim o o o 4 D L' Hospial lim ln lim o o ΒΠουρνάρς

20 lim lim ln Επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο διάστηµ, ], είνι, ] [, Επειδή η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο διάστηµ [, είνι [, [, Έτσι, το τοπικό κρόττο πο το ερώτηµ, µπορεί ν χρκτηριστει κι ως ολικό ελάχιστο Άρ το σύνολο τιµών της είνι, [, [, [, ΘΕΜΑ ο Αφού πργωγίσιµη στο R, τότε κι η g είνι πργωγίσιµη στο R ως γινόµενο πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό Άρ η g είνι κι συνεχής στο R Έτσι η g είνι συνεχής στο, R κι πργωγίσιµη στο, R µε g' ' Επίσης είνι g g άρ g g Οπότε πό θεώρηµ Roll υπάρχει έν τουλάχιστον Όµως ξ άρ προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον έν β Αφού - είνι ξ -ξ Ι gd d d ΒΠουρνάρς [ ] ' d [ ] 4 d [ ] ξ, ώστε ξ, ώστε 4 d [ ] [ 4 ] 4 ' d

21 [ ] [ 4 ] 4d [ ] [ 4 ] 4[ ] Άρ Ι 7-7 7, R 7 7 γ Είνι γι <, Ι 7 a a a 7 7 κι lim Άρ lim Ι 7 7 Έχουµε lim lim lim lim ΘΕΜΑ4ο Η συνάρτηση g γράφετι: g d Επειδή η είνι συνεχής στο R, η συνάρτηση φ ΒΠουρνάρς d είνι πργωγίσιµη σ υτό Ακόµ, η συνάρτηση h είνι πργωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική F d φ h είνι πργωγίσιµη στο R ως Έτσι η συνάρτηση σύνθεση των πργωγίσιµων συνρτήσεων h κι φ στο R, µε F' Ακόµ η συνάρτηση l είνι πργωγίσιµη στο R µε l' Εποµένως η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε g'

22 β Αφού g γι κάθε R κι g, η δοσµένη νισότητ γράφετι: g g γι κάθε R Έτσι όµως η g στο προυσιάζει ελάχιστο κι επειδή είνι πργωγίσιµη σε υτό συνεπάγετι πο θ Frma ότι g Όµως g κι επειδή βρίσκουµε ότι g Αφού g, έπετι γ Επειδή είνι, προκύπτει ότι _ R R δ Είνι a β i β β i οπότε R ερωτήµτος γ έχουµε: a β ή β β Επειδή >β προκύπτει ότι β <, οπότε β < < ΒΠουρνάρς a β κι λόγω του Έτσι γι την συνάρτηση η οποί είνι συνεχής στο R άρ κι στο [,] είνι: > κι β<, οπότε < Συνεπώς, εφρµόζοντς το θεώρηµ Bolano γι την στο διάστηµ [,], συµπερίνουµε ότι υπάρχει a, τέτοιο ώστε β

23 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΘΕΜΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A στω µι συν ρτηση, η οποί είνι ορισµ νη σε έν κλειστό δι στηµ [, β] Αν: η είνι συνεχής στο [, β] κι β δείξτε ότι γι κάθε ριθµό η µετξύ των κι β υπάρχει ένς, τουλάχιστον, β τέτοιος, ώστε η Μονάδες 9 Α Πότε η ευθεί y λ β λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης στο ; Μονάδες 4 B Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Αν η είνι συνεχής στο [, β] µε < κι υπάρχει ξ, β ώστε ξ, τότε κτ νάγκη β > Μον δες lim g, τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ β Αν υπάρχει το lim κι lim g Μονάδες γ Αν η έχει ντίστροφη συνάρτηση - κι η γρφική πράστση της έχει κοινό σηµείο Α µε την ευθεί y, τότε το σηµείο Α νήκει κι στη γρφική πράστση της - Μονάδες δ Αν lim κι > κοντά στο, τότε lim Μονάδες ε Αν η είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ κι είνι έν σηµείο του, τότε ισχύει d a γι κάθε a Μονάδες ΒΠουρνάρς

24 ΘΕΜΑ στ Αν µι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι δε µηδενίζετι σ υτό, τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε ή είνι ρνητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί πρόσηµο στο διάστηµ Μονάδες ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί,, µε 9 είξτε ότι: β είξτε ότι ο ριθµός είνι πργµτικός γ είξτε ότι: ΘΕΜΑ ίνετι η συνάρτηση µε τύπο λ, λ > είξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες 9 Μονάδες β είξτε ότι η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της, η οποί διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, είνι η y λ Βρείτε τις συντετγµένες του σηµείου επφής Μ Μονάδες 7 γ είξτε ότι το εµβδόν Ελ του χωρίου, το οποίο περικλείετι µετξύ της γρφικής πράστσης της, της εφπτοµένης της στο σηµείο Μ κι του άξον y y, είνι E λ λ Μονάδες 8 λ E λ δ Υπολογίστε το lim λ ηµ λ Μονάδες 7 ΒΠουρνάρς

25 ΘΕΜΑ 4 Έστω µι συνάρτηση πργωγίσιµη στο τέτοι, ώστε ν ισχύει η σχέση γι κάθε κι Ν δειχθεί ότι: ln β N βρεθεί το: d lim ηµ γ ίδοντι οι συνρτήσεις: 7 5 h d κι g 7 είξτε ότι h g γι κάθε δ είξτε ότι η εξίσωση, Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7 5 d έχει κριβώς µί λύση στο 8 Μονάδες 6 ΒΠουρνάρς

26 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Θεώρηµ ενδιάµεσων τιµών Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι ορισµένη σε έν κλειστό διάστηµ [, β] Αν: η είνι συνεχής στο [, β] κι β τότε, γι κάθε ριθµό η µετξύ των κι β υπάρχει ένς, τουλάχιστον, β τέτοιος ώστε η Α Β Λ, β Λ γ Σ δ Σ ε Λ στ Σ ΘΕΜΑ Η ευθεί y λ β λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, ν lim [ λ β ] Από τη σχέση έχουµε: β Αρκεί * ν δειχθεί ότι: Όµως,, φού Άρ 9 9 ΒΠουρνάρς 9 9 * Ισχύει ότι IR γιτί ν βi τότε βi άρ βi

27 ΒΠουρνάρς Έτσι IR β γ ' τρόπος Είνι: β' τρόπος Είνι: Η τελευτί ισχύει προφνώς, άρ κι η ρχική ΘΕΜΑ H είνι πργωγίσιµη στο ως σύνθεση πργωγισίµων συνρτήσεων σ' υτό, µε λ λ λ λ λ, Είνι λ >, λ > γι κάθε, οπότε > γι κάθε Άρ γνησίως ύξουσ στο β Έστω, οι συντετγµένες του σηµείου Μ Τότε η εξίσωση της εφπτοµένης στο Μ είνι ε: λ y y λ λ Γι ν διέρχετι η ε πό την ρχή των ξόνων πρέπει κι ρκεί:

28 γ λ λ λ λ λ Έτσι η ε γίνετι: y λ y λ λ Οι συντετγµένες του Μ είνι: M, λ ' B, O y y' A, λ M, λ Το ζητούµενο εµβδόν όπως φίνετι πό το σχήµ ισούτι µε: OAMB OAM λ λ d λ λ λ λ ΒΠουρνάρς ε λ λ λ λ λ δ Είνι Γι κάθε λ > είνι: ηµλ ηµλ ηµλ < λ λ λ Όµως lim lim, οπότε µε βάση το κριτήριο πρεµβολής είνι λ λ λ λ ηµλ ηµλ lim, ενώ > λ λ λ Έτσι lim κι φού > προκύπτει τελικά ότι λ ηµλ λ λ Eλ lim λ ηµλ Πρτήρηση: Γι την εύρεση του εµβδού του χωρίου Ε λ είνι δυντόν ν µη χρησιµοποιηθεί το σχήµ ως εξής: Γι την λ είνι λ λ κι λ λ > γι κάθε λ

29 Έτσι η είνι κυρτή στο οπότε η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σηµείο της, βρίσκετι κάτω πό τη γρφική πράστση µε εξίρεση το σηµείο επφής Σχόλιο σελ 74 σχολικού βιβλίου Έτσι λ λ γι κάθε Η συνάρτηση g λ είνι συνεχής ως διφορά συνεχών συνρτήσεων στο, λ οπότε το ζητούµενο εµβδόν ισούτι µε: λ λ λ λ λ λ Ελ λd λd λ K λ ΘΕΜΑ 4 Από τη δοσµένη σχέση ή ή ή ή C, C Γι έχουµε: C η οποί λόγω του ότι γράφετι: C C C γι κάθε έχουµε: Οπότε: Άρ: ln β Θέτουµε u ιφορίζουµε την τελευτί κι βρίσκουµε du d Επιπλέον γι είνι u, ενώ γι είνι u Έτσι: d ΒΠουρνάρς u du Εποµένως: u du

30 d u du lim lim ηµ ηµ Η είνι συνεχής στο, οπότε η u du u du είνι πργωγίσιµη στο µε Επειδή η u du είνι πργωγίσιµη στο θ είνι κι συνεχής σ' υτό u du u du Εποµένως: lim lim lim ηµ ηµ συν συν Η είνι πργωγίσιµη στο, άρ είνι κι συνεχής σ' υτό γ Είνι h 5 d 5 d 5 d ΒΠουρνάρς 5 d Αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση φ 5 η h γράφετι: h φd φd 5 d Η φ 5 είνι συνεχής στο, άρ η συνάρτηση κ φd είνι πργωγίσιµη στο µε κ φ 5, όπως επίσης είνι πργωγίσιµη κι η συνάρτηση κ φd ως σύνθεση των πργωγισίµων, κ, µε κ φ φ Εποµένως h κ κ φ φ ln ln ln ln ln ln ln Ακόµ η 7 6 g είνι πργωγίσιµη στο µε g Επειδή h g γι κάθε είνι h g c, c Όµως γι είνι h g, άρ c Εποµένως h g γι κάθε 6 6

31 5 δ Η εξίσωση d λόγω του ερωτήµτος γ γράφετι ισοδύνµ Θεωρούµε τη συνάρτηση P 8 7 7, [, ] Η P είνι συνεχής στο, άρ κι στο [, ] ως πολυωνυµική P 7 < κ' P > Εποµένως, σύµφων µε το θεώρηµ Bolano υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε P Επιπλέον η P είνι πργωγίσιµη στο ως πολυωνυµική, άρ κι στο [, ] µε P Είνι P > γι κάθε, οπότε η P είνι γνησίως ύξουσ στο, Άρ η P έχει κριβώς µί ρίζ στο, ΒΠουρνάρς

32 ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 6 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Αν < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Μονάδες Α Έστω µι συνάρτηση συνεχής σ έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Πότε λέµε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο ; Μονάδες 5 B Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Γι κάθε µιγδικό ριθµό ισχύει β Αν υπάρχει το lim >, τότε > κοντά στο Μονάδες Μονάδες γ H εικόν ενός διστήµτος µέσω µις συνεχούς κι µη στθερής συνάρτησης είνι διάστηµ Μονάδες δ Ισχύει ο τύπος ', γι κάθε R Μονάδες ε Ισχύει η σχέση β β β g' d [ g ] ' g d, όπου,g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, β] Μονάδες ΒΠουρνάρς

33 ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τη συνάρτηση µε Ν ποδείξετε ότι η είνι - Μονάδες 6 β Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση - της κι ν βρείτε τον τύπο της Μονάδες 8 γ i Ν βρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων κι - µε την ευθεί y Μονάδες 4 ii Ν υπολογίσετε το εµβδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων κι - Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο ίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί µε,, µε κι ΘΕΜΑ 4ο Ν ποδείξετε ότι: i ii 4 κι R Μονάδες 9 Μονάδες 8 β Ν βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των,, στο µιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος του τριγώνου που υτές σχηµτίζουν Μονάδες 8 ίνετι η συνάρτηση ln Ν βρείτε το πεδίο ορισµού κι το σύνολο τιµών της συνάρτησης Μονάδες 8 β N ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει κριβώς ρίζες στο πεδίο ορισµού της Μονάδες 5 γ Αν η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g ln στο σηµείο A,ln µε > κι η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της β συνάρτησης h στο σηµείο B β, µε β R τυτίζοντι, τότε ν δείξετε ότι ο ριθµός είνι ρίζ της εξίσωσης Μονάδες 9 δ Ν ιτιολογήσετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g κι h έχουν κριβώς δύο κοινές εφπτόµενες Μονάδες ΒΠουρνάρς

34 ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί Σχολ βιβλίο σελ 5 Α Ορισµός Σχολ βιβλίο σελ 7 Β Λ β Σ γ Σ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, Η είνι πργωγίσιµη στο [, µε ' > γι κάθε, Άρ γνησίως ύξουσ στο [, κι εποµένως είνι κι - β Αφού η είνι - υπάρχει η - ντίστροφη συνάρτηση της µε - : A R Αφού η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο Α [, έπετι ότι A, lim, [ [ Τώρ ν y y - y - - Επειδή -, y -, έχουµε y, [,, y [, ή y, [,, y [, ή y y, y [, Τελικά, [, ΒΠουρνάρς

35 ΒΠουρνάρς 4 γ i Έχουµε y y y y y y y y ή y y y y y y y y y ή y y Τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων κι - µε την y είνι τ Α,, Β, ii Οι συνρτήσεις κι - είνι συνεχείς άρ κι η διφορά τους είνι συνεχής ] [ ] [ Πρ οκύπτει ή ή ηλδή τ κοινά τους σηµεί είνι τ Α,, Β, Επειδή - Επίσης είνι γι [,] Άρ - - γι [,] Οπότε το εµβδόν του ζητούµενου χωρίου είνι τµ d d E

36 ΒΠουρνάρς 5 ΘΕΜΑ ο i Από τη σχέση έχουµε ισοδύνµ Θ δείξουµε ότι Πράγµτι η λόγω της γράφετι ισοδύνµ: 4 4 Η τελευτί σχέση είνι ληθής λόγω της υπόθεσης, άρ κι η Με νάλογο τρόπο δείχνουµε ότι Από τις κι προκύπτει ότι Άρ ii Είνι: Άρ Οπότε 4 Τότε: R R β Επειδή προκύπτει ότι οι εικόνες των µιγδικών Γ, B, A βρίσκοντι σε κύκλο µε κέντρο Ο, κι κτίν

37 ρ Άρ ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είνι ο πρπάνω κύκλος Λόγω τώρ της σχέσης προκύπτει ότι οι κορυφές A, B, Γ ποτελούν κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγρµµένου στον πρπάνω γεωµετρικό τόπο ΘΕΜΑ 4ο Πρέπει > κι Άρ A,, Η είνι πργωγίσιµη στο Α ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων, µε ' < γι κάθε A Άρ η είνι γνησίως φθίνουσ σε κάθε έν πό τ διστήµτ, κι, Επειδή τώρ lim, lim κι η συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο, είνι, R Επίσης επειδή lim, lim κι η συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο,, είνι, R Έτσι συνολικά το σύνολο τιµών της είνι,, R β Επειδή, R έπετι O, δηλδή υπάρχει, ωστε Η ρίζ υτή είνι µονδική στο,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Οµοίως επειδή, R έπετι O δηλδή υπάρχει, ώστε Η ρίζ υτή είνι επίσης µονδική στο,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Έτσι η έχει κριβώς ρίζες γ Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της g ln στο σηµείο A,ln, > είνι: y ln a ε Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της β B β,, β R είνι: y Οι ε, ε τυτίζοντι ν κι µόνο ν β β β β ln κι ln β Τότε η γράφετι: β β β β ε στο σηµείο ΒΠουρνάρς 6

38 ln ln ln ln ln ln ln δ Από το 4γ προκύπτει ότι οι γρφικές πρστάσεις των g, h έχουν κοινή εφπτόµενη στ σηµεί τους Α, ln κι Ββ, β ντίστοιχ ν κι µόνον ν: β ln Επειδή η έχει δύο δικεκριµένες ρίζες, κι, προκύπτουν δύο εφπτόµενες οι ε : y ln ε : y ln Οι εφπτόµενες υτές είνι κριβώς δύο δικεκριµένες φού έχουν δύο δικεκριµένους συντελεστές διεύθυνσης, ντίστοιχ,,, ΒΠουρνάρς 7

39 ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Αν, είνι µιγδικοί ριθµοί, ν ποδειχθεί ότι: Α Πότε δύο συνρτήσεις, g λέγοντι ίσες; Μονάδες 8 Μονάδες 4 Α Πότε η ευθεί y l λέγετι οριζόντι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο ; Μονάδες Β Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη Αν συνάρτηση συνεχής στο διάστηµ [, β] κι γι κάθε [, β] ισχύει τότε d > β Μονάδες β Έστω µι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Αν η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο τότε > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Μονάδες γ Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους g ο είνι συνεχής στο Μονάδες δ Αν είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ κι είνι έν σηµείο του, τότε g d ' g g ' µε την προϋπόθεση ότι τ χρησιµοποιούµεν σύµβολ έχουν νόηµ Μονάδες ΒΠουρνάρς ε Αν > τότε lim a Μονάδες

40 ΘΕΜΑ ο ίνετι ο µιγδικός ριθµός i µε a i Ν ποδειχθεί ότι η εικόν του µιγδικού νήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο, κι κτίν ρ Μονάδες 9 β Έστω, οι µιγδικοί που προκύπτουν πό τον τύπο ai a i γι κι ντίστοιχ i Ν βρεθεί η πόστση των εικόνων των µιγδικών ριθµών κι Μονάδες 8 ιι Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: ν ν γι κάθε φυσικό ριθµό ν ΘΕΜΑ ο ίνετι η συνάρτηση: ηµ θ π όπου θ µι στθερά µε θ κπ, κ Μονάδες 8 Ν ποδειχθεί ότι η προυσιάζει έν τοπικό µέγιστο, έν τοπικό ελάχιστο κι έν σηµείο κµπής Μονάδες 7 β Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει κριβώς τρεις πργµτικές ρίζες Μονάδες 8 γ Αν, είνι οι θέσεις των τοπικών κροτάτων κι η θέση του σηµείου κµπής της, ν ποδειχθεί ότι τ σηµεί Α,, B, κι Γ, βρίσκοντι στην ευθεί y ηµ θ Μονάδες δ Ν υπολογισθεί το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης κι την ευθεί y ηµ θ Μονάδες 7 ΒΠουρνάρς

41 ΘΕΜΑ 4ο Έστω µι συνεχής κι γνησίως ύξουσ συνάρτηση στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει > ίνετι επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει g > γι κάθε [, ] Ορίζουµε τις συνρτήσεις: F gd, [, ], G gd, [, ] Ν δειχθεί ότι F > γι κάθε στο διάστηµ, ] β Ν ποδειχθεί ότι: G > F γι κάθε στο διάστηµ, ] γ Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: F F G G γι κάθε στο διάστηµ, ] δ Ν βρεθεί το όριο: lim gd g d ηµ d 5 Μονάδες 8 Μονάδες 6 Μονάδες 4 ΒΠουρνάρς Μονάδες 7

42 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί, σελίδ 98 σχολ βιβλίου Α Θεωρί - Ορισµός, σελίδ 4 σχολ βιβλίου Α Θεωρί - Ορισµός, σελίδ 8 σχολ βιβλίου Β Λ β Λ γ Λ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ ο i i i 4, Άρ i i i 4 Άρ η εικόν του µιγδικού νήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο, κι κτίν ρ β Γι έχουµε: Γι έχουµε: i i i i i i i i i Αν Α, Β οι εικόνες των, ντίστοιχ, τότε η πόστσή τους είνι d A, B i i i i ν ν ν ν ii Είνι: ΘΕΜΑ ο -i - - H είνι πργωγίσιµη στο ως πολυωνυµική, µε Οπότε ή ν ΒΠουρνάρς Από τον πίνκ µετβολών της προκύπτει ότι η έχει τοπικό µέγιστο στο, το συν θ > κι έχει τοπικό ελάχιστο στο, το ηµ θ 4

43 Επίσης είνι: 6 Οπότε Προκύπτει ότι η έχει σηµείο κµπής στο, το ηµ θ β i Επειδή, συν θ κι γνησίως ύξουσ κι lim > συνεχής στο, ], προκύπτει:, ], συν θ] Επειδή, ], υπάρχει ρ, ώστε ρ Η ρίζ ρ είνι κι µονδική στο, ], φού η είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ υτό ii Επειδή συν θ >, ηµ θ < κι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο [, ] προκύπτει: [, ] [ ηµ θ, συν θ] Επειδή [, ], υπάρχει ρ, ώστε ρ Η ρίζ ρ είνι κι µονδική στο [, ], φού η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ υτό iii Επειδή ηµ θ <, lim κι η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο [, προκύπτει: [, [ ηµ θ, Επειδή [,, υπάρχει ρ, ώστε ρ Η ρίζ ρ είνι κι υτή µονδική στο [,, φού η είνι γνησίως ύξουσ Άρ η εξίσωση έχει κριβώς ρίζες στο γ Έχουµε Α, συν θ, Β, ηµ θ, Γ, ηµ θ Α ε φού: συν θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ Β ε φού: ηµ θ ηµ θ ή ηµ θ ηµ θ ΒΠουρνάρς 5

44 Γ ε φού: ηµ θ ηµ θ ή ηµ θ ηµ θ δ Βρίσκουµε τ κοινά σηµεί των C, ε: y ηµ θ ηµ θ ή ή Εποµένως το ζητούµενο εµβδόν Ε του χωρίου είνι: * E y d d - - -d -d τµ - * > γι, < γι, ΘΕΜΑ 4ο Αφού, g συνεχείς στο [, ] η F είνι πργωγίσιµη στο [, ] µε F g Όµως g > στο [, ] πό υπόθεση, ενώ φού γνησίως ύξουσ στο [, ] έχουµε: >, άρ > στο [, ] Συνεπώς g > στο [, ] κι εποµένως F > στο [, ] Οπότε F γνησίως ύξουσ στο [, ] Έτσι γι, ] είνι > F > F F> gd F > β Είνι: µε, ] Αφού γνησίως ύξουσ στο [, ] έχουµε οπότε γι κάθε, ] Ακόµη g > στο, ] άρ κι g [ ] γι κάθε, ] κι γι κάθε [, ] Η ισότητ ισχύει µόνο ότν Ακόµη η g [ ] συνεχής στο [, ] µε, ] Άρ g[-]d > µε, ] Εποµένως γι κάθε, ] έχουµε: gd gd > gd > gd G> F ΒΠουρνάρς γ Είνι γι κάθε, ] κι γι κάθε [, ]: g > Επίσης g συνεχής στο [, ] άρ η G gd είνι πργωγίσιµη κι θετική γι κάθε, ] 6

45 Έτσι µπορούµε ν θεωρήσουµε τη συνάρτηση κι πργωγίζετι στο, ] µε F H που ορίζετι G F'G-FG' gg-fg H' G G g G F > στο, ] ιότι πό το ερώτηµ β είνι G G F> Άρ η συνάρτηση Η είνι γνησίως ύξουσ στο, ] κι εποµένως γι F F, ] έχουµε: Η H δηλδή G G δ Θεωρούµε τη συνάρτηση K g d gd ΒΠουρνάρς ηµ d 5 γι κάθε, ] Αφού οι F, G πργωγίσιµες στο [, ] είνι κι συνεχείς σε υτό άρ: Συνεπώς: Άρ lim lim F F lim G G g d F lim gd G F' lim lim G' LH συνεχής στο [,] Η φ ηµ είνι συνεχής στο κι η είνι πργωγίσιµη στο Ακόµη άρ η στο Συνεπώς ηµ d είνι πργωγίσιµη στο κι άρ είνι συνεχής lim ηµ d ηµ d lim 5 7

46 ' ηµ d 4 4 ηµ d ηµ ηµ lim lim lim lim 5 LH ' Εποµένως: lim K lim lim gd ηµ d 5 gd ΒΠουρνάρς 8

47 ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση ln, * είνι πργωγίσιµη στο * κι ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µι συνάρτηση λέµε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστηµ [,β]; Μονάδες 5 B Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη Αν µι συνάρτηση :A είνι, τότε γι την ντίστροφη συνάρτηση ισχύει:, A κι y y, y A Μονάδες β Μι συνεχής συνάρτηση διτηρεί πρόσηµο σε κθέν πό τ διστήµτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισµού της Μονάδες γ Ότν η δικρίνουσ της εξίσωσης β γ µε, β, γ κι είνι ρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των µιγδικών Μονάδες δ Αν µι συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει > γι κάθε πργµτικό ριθµό Μονάδες ε Aν η είνι συνεχής σε διάστηµ κι, β, γ τότε ισχύει β d d γ γ d ΒΠουρνάρς β Μονάδες

48 ΘΕΜΑ o Αν γι τους µιγδικούς ριθµούς κι w ισχύουν: τότε ν βρείτε: 6 i κι w i w i το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγδικών ριθµών β το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγδικών ριθµών w γ την ελάχιστη τιµή του w δ την ελάχιστη τιµή του w ΘΕΜΑ o ln, > ίνετι η συνάρτηση, Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες β Ν µελετήσετε ως προς τη µονοτονί τη συνάρτηση κι ν βρείτε το σύνολο τιµών της Μονάδες 9 γ Ν βρείτε το πλήθος των διφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης γι όλες τις πργµτικές τιµές του Μονάδες 6 δ Ν ποδείξετε ότι ισχύει >, γι κάθε > ΒΠουρνάρς Μονάδες 7

49 ΘΕΜΑ 4o Έστω µι συνάρτηση συνεχής στο γι την οποί ισχύει Ν ποδείξετε ότι d Μονάδες 8 β ίνετι επίσης µι συνάρτηση g δύο φορές πργωγίσιµη στο Ν ποδείξετε ότι g' g' h g'' lim h h Μονάδες 4 γ Αν γι τη συνάρτηση του ερωτήµτος κι τη συνάρτηση g του ερωτήµτος β ισχύει ότι g h g g h lim 45 h h κι g g', τότε: i ν ποδείξετε ότι g 5 ii ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι Μονάδες Μονάδες ΒΠουρνάρς

50 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί Σελ 5 σχολ βιβλίου Α Θεωρί Σελ 9 σχολ βιβλίου Β Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Σωστό ΘΕΜΑ ο Η ισότητ i 6, γράφετι ισοδύνµ: i Άρ ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγδικών ριθµών είνι ο κύκλος µε κέντρο την ρχή των ξόνων Ο, κτίν ρ κι εξίσωση c: y β Η δοσµένη σχέση γι τους µιγδικούς ριθµούς w περιγράφει τη µεσοκάθετο του τµήµτος Γ, όπου Γ, κι, Πιο νλυτικά ν µιγδικοί ριθµοί που ικνοποιούν τη δοσµένη σχέση, έχουµε: w i w i yi i yi i w yi οι y i y i y y y y 6 9 y 6y 9 4 4y 6 y 4 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μw είνι τ σηµεί της ευθείς ε µε εξίσωση: y 4 γ Η ελάχιστη τιµή του w είνι η πόστση του σηµείου Ο πό την ευθεί ε: y 4, δηλδή: d O, ε ΒΠουρνάρς 4

51 δ Σύµφων µε το πρκάτω σχήµ, όπου νπριστώντι γεωµετρικά οι γεωµετρικοί τόποι των εικόνων c, ε ντίστοιχ των µιγδικών ριθµών κι w βρίσκουµε ότι, η ελάχιστη τιµή του ΘΕΜΑ ο w είνι το µήκος του τµήµτος ΑΒ: AB OB OA ρ - c ln lim lim ln lim ln lim lim - y -4 lim A D l' Hospial Επίσης Συνεπώς συνεχής στο β Η είνι συνεχής στο, ως γινόµενο συνεχών κι συνεχής στο λόγω του Άρ η είνι συνεχής στο [, B ΒΠουρνάρς 4 ε Γι > : ln ln ln ln ln 5

52 ln ln Έχουµε τον πρκάτω πίνκ µετβολών: - Στο, η είνι γνησίως φθίνουσ άρ:, lim,, Στο, η είνι γνησίως ύξουσ άρ:,, lim, Εποµένως: [,,,, γ a Επειδή >, γι κάθε, γι την εξίσωση προκύπτει ο περιορισµός, Με τον περιορισµό υτό η εξίσωση γράφετι ισοδύνµ: a a ln ln ln ln a a, > Επειδή το σύνολο των τιµών της βρέθηκε, προκύπτουν οι περιπτώσεις: i Αν a, η είνι δύντη ΒΠουρνάρς a a 6

53 ii Αν a, η τιµή Έτσι η έχει την ρίζ είνι η ελάχιστη τιµή της την οποί πίρνει µόνον γι iii Αν a,, επειδή,, κι η είνι γνησίως φθίνουσ στο, προκύπτει ότι, η έχει κριβώς µί ρίζ στο, που είνι θετική Επίσης επειδή,, κι η είνι γνησίως ύξουσ στο, προκύπτει ότι η έχει κριβώς άλλη µί ρίζ στο, που είνι επίσης θετική iv Αν a η γίνετι ln πορρίπτετι ή ln Μί ρίζ θετική v Αν a, επειδή,,, ύξουσ στο είνι θετική ΒΠουρνάρς κι η γνησίως,, προκύπτει ότι η έχει κριβώς µί ρίζ στο,, που δ Είνι > γι κάθε > Άρ γνησίως ύξουσ στο, Η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [, ], γι κάθε > Άρ υπάρχει ξ, : ξ ξ Όµως ξ γν ύξουσ < ξ < < 7

54 ΒΠουρνάρς 8 hu h u ΘΕΜΑ 4ο Το d είνι πργµτικός ριθµός Έτσι µπορούµε ν θέσουµε R k d Τότε 45 k κι άρ : [ ] d k d k k k k Από τις, προκύπτει ότι: k 46 k - 9 k Οπότε τελικά: β Έστω Έχουµε: h g h g h h g g h h ' ' lim ' ' lim u g u g u ' ' lim '' ' ' lim g u g u g u, φού ή g πό υπόθεση είνι δύο φορές πργωγίσιµη γ i Έχουµε: [ ] ' lim H DL lim ' h h g g h g h h g g h g h h h h g h g h h g h g h h ' ' lim ' ' lim h g h g g h g h ' ' ' ' lim [ ] ' ' ' ' ' ' ' ' lim g g h h g g h g h g h '' '' g g Οπότε g H g 6 γράφετι: c g g

55 4 Γι έχουµε: g c Οπότε g 5 4 Η g 5 τώρ γράφετι: g 5 Γι έχουµε: g c 5 Άρ g g c ii H g 5 ως πολυωνυµική, είνι πργωγίσιµη στο µε g 5 4 Όµως g 5 4 > γι κάθε, οπότε η g είνι γνησίως ύξουσ στο, άρ κι ' ' ΒΠουρνάρς 9

56 ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η είνι συνεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει, ν ποδείξετε ότι η είνι στθερή σε όλο το διάστηµ Μονάδες Β Πότε µί συνάρτηση λέγετι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 5 Γ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη Αν, είνι µιγδικοί ριθµοί, τότε ισχύει: Μονάδες β Μί συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο A, ότν γι κάθε A Μονάδες συν γ lim Μονάδες δ Κάθε συνάρτηση συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της είνι κι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό Μονάδες ε Αν µί συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστηµ [, β] κι ισχύει < γι κάθε [, β], τότε το εµβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, β κι τον άξον είνι: ΘΕΜΑ ο E Ω β d Θεωρούµε τους µιγδικούς ριθµούς: λ λ i, λ Μονάδες ΒΠουρνάρς Α Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς πάνω στην οποί βρίσκοντι οι εικόνες των µιγδικών ριθµών, γι τις διάφορες τιµές του λ Μονάδες 9

57 β Από τους πρπάνω µιγδικούς ριθµούς ν ποδείξετε ότι ο µιγδικός ριθµός i έχει το µικρότερο δυντό µέτρο Μονάδες 8 Β Ν βρεθούν οι µιγδικοί ριθµοί w οι οποίοι ικνοποιούν την εξίσωση w w όπου ο µιγδικός ριθµός που νφέρετι στο προηγούµενο ερώτηµ ΘΕΜΑ ο ίνετι η συνάρτηση: όπου > κι ln, >, A Αν ισχύει γι κάθε > ν ποδείξετε ότι Β Γι, ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι κυρτή Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 5 β ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ, ] κι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [, Μονάδες 6 γ ν β, γ,,, ν ποδείξετε ότι η εξίσωση: ΘΕΜΑ 4ο β έχει τουλάχιστον µι ρίζ στο, γ Έστω µί συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει: Ορίζουµε τις συνρτήσεις: H d, [, ], H d, G 6 lim, d Μονάδες 6 ΒΠουρνάρς, ]

58 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] Μονάδες 5 β Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, κι ότι ισχύει: H G', < < Μονάδες 6 γ Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθµός, τέτοιος ώστε ν ισχύει Η Μονάδες 7 δ Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθµός ξ, τέτοιος ώστε ν ισχύει: ξ a d ξ a d Μονάδες 7 ΒΠουρνάρς

59 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί - Θεώρηµ σελίδ 5 σχολ βιβλίου Β Θεωρί - Ορισµός σελίδ σχολ βιβλίου Γ Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Λάθος ΘΕΜΑ ο Α Έστω yi κι Μ, y η εικόν του Τότε yi λ λ i Άρ λ κι y λ Έτσι όµως y y ηλδή οι εικόνες των µιγδικών βρίσκοντι στην ευθεί ε : y β Ο µιγδικός µε το µικρότερο µέτρο έχει εικόν το σηµείο Μ γι το οποίο είνι ΟΜ ε - y O y M : ε y- ΒΠουρνάρς Αφού ΟΜ ε λ λ ε λ λ OM OΜ OΜ Άρ η εξίσωση της ΟΜ είνι: y 4

60 Οι συντετγµένες του Μ σηµείου τοµής των ΟΜ, ε προκύπτουν πό τη λύση του συστήµτος των εξισώσεων y, y Εποµένως M : y y y y Άρ Μ, κι i Β Έστω w y i, µε, y R Η εξίσωση w w γράφετι y y i i y y i i y κι y κι y 4 ή κι y Άρ w 4 i ή w i ΘΕΜΑ ο Α Ισχύει ότι γι κάθε > ηλδή ln γι κάθε > Όµως, οπότε γι κάθε > Εποµένως η προυσιάζει στη θέση ολικό, άρ κι τοπικό ελάχιστο το Ακόµη η είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων Άρ σύµφων µε το θεώρηµ Frma είνι Όµως B a ln a, οπότε ln Γι είνι ln Η είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο διάστηµ, µε ΒΠουρνάρς κι > γι κάθε, Άρ η είνι κυρτή β Αφού η είνι κυρτή στο, προκύπτει ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο,, µε προφνή ρίζ που είνι κι µονδική φού η είνι γνησίως ύξουσ Έτσι ν < < <, ενώ ν > > ηλδή η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ, ] κι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [, β γ γ Η δοσµένη εξίσωση ισοδύνµ γράφετι: 5

61 Θεωρούµε τη συνάρτηση g β γ, µε [, ] H g είνι συνεχής στο R ως πολυωνυµική άρ κι στο [, ] g β β β <, διότι ολικό ελάχιστο της κι β, g γ γ >, επίσης διότι ολικό ελάχιστο της κι γ *Πιο νλυτικά είνι β < διότι: Αν β, επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ υτό ισχύει: < β < β > β < Αν β,, επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ υτό ισχύει: < β > β Οµοίως προκύπτει γ > Άρ g g <, οπότε λόγω του θεωρήµτος Bolano υπάρχει, ώστε g β γ β Άρ η δοσµένη εξίσωση έχει µι τουλάχιστον ρίζ στο, *Πρτήρηση: Θέτοντς χάριν συντοµίς β κ > κι γ λ > θ µπορούσν ν δοθούν κι οι πρκάτω λύσεις: κ λ Η συνάρτηση h µε πεδίο ορισµού το, έχει όρι κι ντίστοιχ ότν κι ενώ ποδεικνύετι πολύ εύκολ ότι είνι κι γνησίως κ λ φθίνουσ στο,, διότι h < γι κάθε,, άρ έχει lim σύνολο τιµών το h, h, κι άρ το µηδέν περιέχετι στο σύνολο lim τιµών της δηλδή η h έχει τουλάχιστον µι ρίζ στο, Επίσης ενλλκτικά πό το ότι η h έχει όρι κι ντίστοιχ ότν κι ΒΠουρνάρς, προκύπτει ότι υπάρχουν ριθµοί γ, δ ώστε < γ < δ < µε γ > κι δ < οπότε λόγω του θεωρήµτος Bolano στο διάστηµ γ, δ υπάρχει ρίζ της εξίσωσης h 6

62 ΒΠουρνάρς 7 β Αλγεβρική λύση: Θέτοντς, λ κ, προκύπτει λ κ κ λ κ λ κ λ λ κ λ κ Η τιµή υτή είνι ποδεκτή ως ρίζ της εξίσωσης φού < < λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ κι είνι µάλιστ µονδική ρίζ ΘΕΜΑ 4 ο Η συνεχής στο [, ] άρ κι η είνι συνεχής στο [, ] Εποµένως η συνάρτηση H είνι πργωγίσιµη στο [, ], άρ είνι κι συνεχής Η συνάρτηση d είνι πργωγίσιµη στο [, ] φού η είνι συνεχής στο [, ] Άρ η G είνι συνεχής στο, ] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων Εξετάζουµε τη συνέχει της συνάρτησης G στη θέση Είνι d lim H, διότι: ' ' d d DLH lim lim lim H lim είνι lim, φού η είνι συνεχής στο [, ], κι d d lim διότι η συνάρτηση είνι συνεχής, άρ η d πργωγίσιµη άρ κι συνεχής Επίσης 6lim 6lim G 6 6lim 6lim Οπότε lim G G

63 Άρ η συνάρτηση G είνι συνεχής κι στο Εποµένως η G είνι συνεχής στο [, ] β Στο διάστηµ, είνι: η συνάρτηση Η πργωγίσιµη φού η είνι συνεχής, µε Η η συνάρτηση πργωγίσιµη ως πολυωνυµική µε Άρ κι η συνάρτηση µε: H H H H είνι πργωγίσιµη ως πηλίκο πργωγισίµων συνρτήσεων d ΒΠουρνάρς d Επίσης στο ίδιο διάστηµ, φού η είνι συνεχής συνάρτηση θ είνι πργωγίσιµη κι η συνάρτηση d µε d Άρ η συνάρτηση G είνι πργωγίσιµη ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε: G d H, < < γ Η συνάρτηση G είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο,, µε G πό το β ερώτηµ H Βρίσκουµε την τιµή της G στη θέση : G d Όµως d d d d d H d Έτσι λόγω της είνι d G d G Ισχύουν εποµένως γι τη συνάρτηση G οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Roll στο διάστηµ [, ], άρ υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε G H Όµως πό β ερώτηµ G Άρ είνι Η 8

64 ΒΠουρνάρς 9 δ Η συνάρτηση G είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο, Άρ ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος µέσης τιµής Εποµένως υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, : d a H H H a G a G G ξ ξ ξ ξ ξ d d ξ ξ d d *β τρόπος: Αρκεί ν δειχθεί ότι υπάρχει ρίζ στο,, µε, γι την εξίσωση: d d d d H H d a G d G Θεωρούµε τη συνάρτηση a G P d ρχική της d G, γι την οποί έχουµε : είνι συνεχής στο [, ως άθροισµ της συνεχούς G πό το ερώτηµ κι της πολυωνυµικής d β είνι πργωγίσιµη στο, ως άθροισµ της πργωγίσιµης G πό το β ερώτηµ κι της πολυωνυµικής, d µε d G P γ Ρ Ρ διότι Ρ G κι d d d a H H G P

65 Έτσι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Roll κι άρ υπάρχει ξ, ώστε P ξ P ξ G ξ d, δηλδή ποδείχθηκε ότι η εξίσωση έχει ρίζ ξ, ΒΠουρνάρς

66 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν F είνι µι πράγουσ της στο, τότε ν ποδείξετε ότι: όλες οι συνρτήσεις της µορφής G F c, c είνι πράγουσες της στο κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο πίρνει τη µορφή G F c, c Μονάδες 6 A Πότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Μονάδες 4 A Έστω µι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Πότε λέµε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο ; Μονάδες 5 Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη Η δινυσµτική κτίν της διφοράς των µιγδικών ριθµών β i κι γ δ i είνι η διφορά των δινυσµτικών κτίνων τους β Έστω συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Αν η είνι γνησίως ύξουσ στο, τότε η πράγωγός της δεν είνι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του γ Αν µι συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστηµ, β, τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµ υτό είνι το διάστηµ Α, Β, όπου A lim κι B lim β δ συν ηµ, ε Αν lim <, τότε < κοντά στο Μονάδες ΒΠουρνάρς

67 ΘΕΜΑ Β ίνετι η εξίσωση, όπου C µε B Ν βρείτε τις ρίζες κι της εξίσωσης B Ν ποδείξετε ότι B Αν γι τους µιγδικούς ριθµούς w ισχύει w 4 i Μονάδες 7 Μονάδες 6 τότε ν βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w στο µιγδικό επίπεδο Μονάδες 7 B4 Γι τους µιγδικούς ριθµούς w του ερωτήµτος Β, ν ποδείξετε ότι w 7 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ ίνετι η συνάρτηση ln, Γ Ν µελετήσετε ως προς τη µονοτονί τη συνάρτηση Γ Ν λύσετε την εξίσωση: ln 4 Μονάδες 5 ΒΠουρνάρς Μονάδες 7 Γ Ν ποδείξετε ότι η έχει δύο σηµεί κµπής κι ότι οι εφπτόµενες της γρφικής πράστσης της στ σηµεί κµπής της τέµνοντι σε σηµείο του άξον ψ ψ Μονάδες 6 Γ4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ I d Μονάδες 7

68 ΘΕΜΑ ίνετι η συνεχής συνάρτηση : η οποί γι κάθε ικνοποιεί τις σχέσεις: d Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο µε πράγωγο, Μονάδες 5 Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g,, είνι στθερή Μονάδες 7 Ν ποδείξετε ότι 4 Ν ποδείξετε ότι 9, d < d, γι κάθε Μονάδες 6 Μονάδες 7 ΒΠουρνάρς

69 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρί, θεώρηµ, σελίδ 4 σχολικού βιβλίου Α Θεωρί, ορισµός, σελίδ 79 σχολικού βιβλίου Α Θεωρί, ορισµός, σελίδ 7 σχολικού βιβλίου Α4 ΘΕΜΑ Β β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ Β Είνι: i i Άρ i, i Β Είνι: 5 5 i i i i 5 5 i i i i i i η λύση: Είνι: Β Είνι 5 5 i i i i i i i [ ] i i i i i i i i i i i w 4 i i i i Έστω w ψ i, τότε i ψ i 4 i 4 ψ i 4 ψ 4 ΒΠουρνάρς Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είνι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ 4, κι κτίν ρ 4

70 Β4 Το w είνι η πόστση της εικόνς Μ w πό την ρχή Ο,, δηλδή το µήκος ΟΜ Από τη Γεωµετρί όµως, γνωρίζουµε ότι ν η ευθεί ΟΚ τέµνει τον κύκλο στ σηµεί Α κι Β τότε ΟΑ ΟΜ ΟΒ που σηµίνει ότι η µέγιστη τιµή του w είνι το µήκος ΟΒ κι η ελάχιστη το µήκος ΟΑ Όµως ΟΑ ΟΚ ρ 5 κι ΟΒ ΟΚ ρ 5 7 O A K4,- B Mw Εποµένως, λόγω των, κι έχουµε w 7 η λύση: Γράφουµε : w w 4 i 4 i Οπότε σύµφων µε την τριγωνική νισότητ έχουµε: w 4 i 4 i w 4 i 4 i w 4 i 4 i ή 4 i w 4 i ή 5 w 5 Άρ w 7 ΒΠουρνάρς 5

71 ΘΕΜΑ Γ Γ Η είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο R, ως ποτέλεσµ πράξεων συνεχών κι πργωγίσιµων συνρτήσεων µε πράγωγο: Επειδή > κθώς κι R Άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο R Γ Η δοσµένη εξίσωση γράφετι ισοδύνµ: Γ Είνι 4 ln ln 4 ln ln 4 ln ln 4 ln ln Επειδή η είνι γνησίως ύξουσ, θ είνι κι - Εποµένως πό την προκύπτει Άρ ή > γι κάθε R, είνι Είνι ή, ενώ είνι >, κι <,, Έτσι η C έχει σηµεί κµπής στ σηµεί µε τετµηµένες, Η εφπτόµενη της C στο έχει εξίσωση ε : ΒΠουρνάρς > γι κάθε y y ln y ln Γι προκύπτει y ln 6

72 Γ4 ΘΕΜΑ Η εφπτόµενη της C στο έχει εξίσωση ε : y y ln y ln Γι προκύπτει y ln Οι ε κι ε τέµνοντι στο σηµείο Μ, ln του άξον y y d ln d d ln d d [ ln ] ln d d ln d 4 Η συνάρτηση ϕ είνι ορισµένη σε όλο το R φού γι κάθε R κι β συνεχής σε όλο το R, ως πηλίκο συνεχών Έτσι η συνάρτηση ϕ d είνι πργωγίσιµη στο R, µε ' ϕ, R Η g είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο R, ως ποτέλεσµ πράξεων συνεχών κι πργωγίσιµων συνρτήσεων µε πράγωγο: g Είνι: Άρ η g είνι συνεχής στο R d, R ΒΠουρνάρς Λόγω του είνι g c, c R, γι κάθε R, άρ κάθε R c, γι 7

73 4 Έστω Γι προκύπτει c 9 Έτσι Αν θέσουµε h, έχουµε ότι η συνάρτηση h είνι συνεχής στο R κι h γι κάθε R, φού, R Άρ η h διτηρεί στθερό πρόσηµο στο R, δηλδή είνι ή h > γι κάθε R ή h < γι κάθε R Όµως h > άρ h >, R κι >, R Από την προκύπτει ότι 9 Είνι F d, R 9 F d d, R c, c R κι F, R Όµως c 9, R 9 >, R ηλδή > γι κάθε R, άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο R Προκύπτει έτσι: < < >, R Λόγω των, η F είνι γνησίως ύξουσ στο R Εποµένως: < F < F d < d η λύση: Η F d είνι µι ρχική της στο R κι η προς πόδειξη νισότητ a ΒΠουρνάρς γράφετι F F F F F F < F F < 8

74 Από ΘΜΤ γι την F στ διστήµτ [, ] κι [, ] προκύπτει ότι υπάρχουν ντίστοιχ ξ, κι ξ, ώστε F F F F F ξ ξ κι F ξ ξ Έτσι ρκεί ν δειχθεί ξ < ξ µε ξ < ξ, ή ισοδύνµ ότι η είνι γνησίως ύξουσ Πράγµτι: 9 9 >, γι κάθε R, δηλδή > γι κάθε R κι η γνησίως ύξουσ στο R ΒΠουρνάρς 9

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

( 0) = lim. g x - 1 -

( 0) = lim. g x - 1 - ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο 996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt ΜΑΘΗΜΑ 4 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπρξη ρίζς f ()d ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( ) f() = e d γι κάθε R. Ν βρεθεί η f. Είνι f () = ( f e d ) f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α} 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8 Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ())

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ ΟΜΑ Α Β 9 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Έστω µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η είνι συνεχής στο ι γι άθε εσωτεριό σηµείο του ισχύει, ν ποδείετε ότι η είνι στθερή σε όο το διάστηµ Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ολοκληρωτικος λογισμος

ολοκληρωτικος λογισμος γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ())

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, ], τότε να δείξετε ότι f(t)

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ:..4 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d. Εειδή ( ) ( + ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0 Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ II.ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1. Εύρεση Εξίσωσης Προλής

Διαβάστε περισσότερα

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ Ο μθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλιο των κονικών τομών θ πρέπει ν είνι σε θέση: Ν προσδιορίζει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετργώνου υπολογίζοντι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνεχς συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της στο [α, ], τότε να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÅËÉÏ ÅËÅÕÓÉÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1ο Α. Θεωρία - Θεώρηµα σελίδα 251 σχολ. βιβλίου. Β. Θεωρία - Ορισµός σελίδα 213 σχολ. βιβλίου.

ÈÅÌÅËÉÏ ÅËÅÕÓÉÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1ο Α. Θεωρία - Θεώρηµα σελίδα 251 σχολ. βιβλίου. Β. Θεωρία - Ορισµός σελίδα 213 σχολ. βιβλίου. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί - Θεώρηµ σείδ 5 σχο βιβίου Β Θεωρί - Ορισµός σείδ σχο βιβίου Γ Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Λάθος ΘΕΜΑ ο Α Έστω z yi ι Μ, y η ειόν του Τότε yi i Άρ ι y Έτσι όµως y y ηδή οι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΘΕΜΑ Α, είι µιγδικοί ριθµοί, τότε κι κι επειδή η τελευτί σχέση ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύη ρχικική. Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ ΘΕΜΑ Όριο πολυωυµικής συάρτησης Α -... P πολυώυµο του κι R, δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Ένα εξαιρετικό υποψήφιο 3 ο ή 4 ο θέµα. Να µελετηθεί προσεκτικά. µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου. z z z z

Ένα εξαιρετικό υποψήφιο 3 ο ή 4 ο θέµα. Να µελετηθεί προσεκτικά. µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου. z z z z Έν εξιρετικό υποψήφιο ο ή 4 ο θέµ Ν µελετηθεί προσεκτικά ίνοντι οι µη µηδενικοί µιγδικοί ριθµοί,, των οποίων οι εικόνες A, Β, Γ στο µιγδικό επίπεδο είνι σηµεί του κύκλου y ( ( ( Ν ποδείξετε ότι Ν ποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα