Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων

Transcript

1 Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pls: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΠΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός Παρατήρησης ΣΣΠ (ECS) Αποµάκρυνση Πίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Γραµµών/ Επιφανειών D ΣΣΟ (SCS) Προβολή. Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

2 Ευθύγραµµο Τµήµα: Αλγόριθµος Κριτήρια καλού αλγόριθµου ευθύγραµµου τµήµατος: Σταθερό πάχος ανεξάρτητο κλίσης, όχι κενά (συνεκτική). Pls όσο το δυνατόν πλησιέστερα στη µαθηµατική πορεία της. Ταχύτητα. Εστω ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ P (, ) και P n ( n, n ) ου οκταµορίου: Για κάθε σηµείο P(, ) του ευθύγραµµου τµήµατος ισχύει: n n n s b µε s και b n n ln(,,n,n,colour) nt,,n,n,colour; /*colour η τιµή του χρώµατος του ευθύγραµµου τµήµατος*/ {flot s,b,; nt ; s(n-)/(n-); b(*n-n*)/(n-); for (;<n;) {s*b; stpl(,round(),colour);. Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

3 Ευθύγραµµο Τµήµα: Αλγόριθµος Πολλαπλασιασµός µέσα στο βρόχο µπορεί να αποφευχθεί: Αντικαθίσταται από πρόσθεση αφού ισχύει: s b s b s s ln (,,n,n,colour) nt,,n,n,colour; {flot s,; nt ; s(n-)/(n-); ; for (;<n;) {stpl(,round(),colour); s;.3 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

4 Ευθύγραµµο Τµήµα: Αλγόριθµος 3 Στρογγύλευση () µέσα στο βρόχο µπορεί να αποφευχθεί: ιαχωρισµός σε ακέραιο () και δεκαδικό (rror) µέρος. rror είναι η απόσταση του pl (, ) από ιδεατή ευθεία: ln3 (,,n,n,colour) nt,,n,n,colour; {flot s,rror; nt,; s(n-)/(n-); ; rror0; for (;<n;) {stpl(,,colour); rrorrrors; f (rror>0.5){; rror--.4 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

5 Ευθύγραµµο Τµήµα: Αλγόριθµος 4 (Brsnhm) Αντικατάσταση πραγµατικών µεταβλητών από ακέραιες µε κατάλληλη κλιµάκωση s, rror & συνθήκης επιλογής: πολλαπλασιάζουµε µε d n -, s d, rror ακέραιο. συνθήκη rror d/ rror d/ rror 0 & αρχική αφαίρεση d/ από rror ( / µε ολίσθηση). ln4 (,,n,n,colour) nt,,n,n,colour; {nt rror,,,d,d; dn-; dn-; rror-d/; ; for (; <n; ) {stpl(,,colour); rrorrrord; f (rror>0){; rrorrror-d.5 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

6 Ευθύγραµµο Τµήµα: Αλγόριθµος Brsnhm Παραπάνω λειτουργεί µόνο στο ο οκταµόριο (αλλά συµµετρικά): µεταφορά (, ) ώστε να συµπέσει µε αρχήαξόνων. 3 Y Οκταµόριο Άξονας ταχυτ. Κίνησης Άλλος άξονας Αυξάνεται X 3 4 5» Μειώνεται» Αυξάνεται » Μειώνεται 8».6 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

7 Κύκλος 8-πλή συµµετρία, δηµιουργούµε έναοκταµόριο (έστω ο ) crcl_smmtr (,,colour) nt,,colour; {stpl(,,colour); stpl(,,colour); stpl(,-,colour); stpl(,-,colour); stpl(-,-,colour); stpl(-,-,colour); stpl(-,,colour); stpl(-,,colour);.7 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

8 Κύκλος: Αλγόριθµος Brsnhm Εστω (, ) επελέγη. Επόµενο βήµα (, ) ή (, -) Μεταβλητή απόφασης: d -d όπου d και d Αν 0 επιλέγεται το σηµείο (, -) διαφορετικά»»» (, ) Επειδή για ισχύει r -( ) έχουµε: r ( ) ( ) r ( ) ( ) ( ) r ( ).8 crcl (r,colour) nt r,colour; {nt,,; 0; r; 3-*r; whl (<) {crcl_smmtr(,,colour); ; f (>0) {--; -4* 4*; Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

9 .9 Εθνικό Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: 000 & : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Κύκλος: Αλγόριθµος Brsnhm Ητιµή υπολογίζεται επαναληπτικά ως εξής: Για τον υπολογισµό του χρησιµοποείται το εξής τέχνασµα: Θεωρώντας σαν πρώτο σηµείο του ου οκταµορίου το σηµείο (,)(0,r) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < ή Αν Αν ( ) r r r r 3

10 Ελλειψη Πολλοί αλγόριθµοι για κωνικές τοµές: Εδώ αλγόριθµος Αγάθου-Θεοχάρη-Μπεµ (998). Γρήγορος, µικρή απαίτηση ακρίβειας ακεραίων, σωστή µετάβασης περιοχής. Εξίσωση έλλειψης µε κέντρο(0,0): / /b Τετραπλή συµµετρία: δηµιουργούµε µόνο περιοχές,.0 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

11 Ελλειψη Περιοχή : άξονας κύριας κίνησης ο X Εκκίνηση από (0, b) Τέλοςπεριοχήςότανd/d - Ορίζουµε: d ( ) d και θέτουµε: d ( ) ( ( ) ) d d Θέτουµε - οπότε: () ε ε 4ε d. Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

12 Ελλειψη Τιµή απόφασης: d(/) / δηλαδή για ε / Αν d / επιλέγουµε pl B διαφορετικά επιλέγουµε pl D ιευκολύνουµε περαιτέρω αυξητικό υπολογισµό παίρνοντας d (d-d) d ( ε ) ε 4 ε (.3) οπότε: Αν d / επιλέγουµε pl B (.4) διαφορετικά επιλέγουµε pl D. Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

13 .3 Εθνικό Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: 000 & : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Ελλειψη Αυξητικός υπολογισµός d Οµως από την εξίσωση της έλλειψης για το σηµείο (, ) έχουµε b -b ( ) οπότε: Στη συνέχεια ορίζουµε τοd, ως προς το d, : ( ) ( ), b b d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ), 4 b b b b b b b b d ( ) ( ), d d d (.5) (.6)

14 Ελλειψη Αλλά από την (.6) έχουµε οπότε: d b Αν d, > / τότε - από την (.4), οπότε: Αν d, / τότε από την (.4), οπότε: b ( ) d ( ), Ηαρχικήτιµή d,0 βρίσκεται αντικαθιστώντας τις συντεταγµένες του πρώτου pl της περιοχής (0,b) για τα (, ) στην (.6): ( ) ( ) b 4b ( ), d, ( ) 4 ( ) d, d, b 4b ( ) d, d, b 4b ( b),0 d b,.4 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

15 Ελλειψη Μετάβαση περιοχής: Στηρίζεται στην τιµή του d για το σηµείο (, -3/) Αν πραγµατική έλλειψη περνάει κάτω από αυτό αλλαγή περιοχής θέτοντας ε 3/ στην (.3) Αν d 4 ( -) / τότε παραµένουµε στην περιοχή διαφορετικά µεταβαίνουµε στην περιοχή. Παροµοίως βρίσκουµε µεταβλητή απόφαση περιοχής d, Αρχική τιµή µεταβλητής απόφασης περιοχής : d, λαµβάνεται από τελική τιµή d, : d, d, (d, -d, ) d d ( 3 ) ( 3 ) ( 3 4 ) 4 ( ) ( ) b ( ), d,.5 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

16 Ελλειψη Ellps (,b,colour) nt,b,colour; {nt _sqr,b_sqr,,b,4,b4,_slop,_slop,d,md,mdb,,; 0; b; _sqr*; b_sqrb*b; _sqr_sqr; bb_sqrb_sqr; 4; b4bb; _slopb4; /*_slop(4*b^)*() πάντα */ _slop4*(-); /*_slop(4*^)*(-) πάντα */ md_sqr>>; mdbb_sqr>>; db-_sqr-(_slop>>)-md; /* αφαιρούµε ^/ για βελτιστοποίηση */ /* περιοχή */ whl (d<_slop) {stpl(,,colour); f (d>0) {dd-_slop; --; _slop_slop-4; ddb_slop; ; _slop_slopb4; /*Αλλαγή περιοχής*/ dd-(_slop_slop)>>(b_sqr-_sqr)(md-mdb); /* περιοχή */ whl (>0) {stpl (,,colour); f (d<0) {dd_slop; ; _slop_slopb4; dd-_slop; --; _slop_slop-4;.6 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

17 RstrOp Πλεγµατική οθόνη: εικόνα παριστάνεται στην µνήµη οθόνης Πολλές λειτουργίες υλοποιούνται µε µετακινήσεις ή/και συνδυασµούς στην µνήµη οθόνης. π.χ. Επεξεργαστής κειµένου, παραθυρικές εφαρµογές:.7 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

18 RstrOp RstrOp: γενική ρουτίνα µετακίνησης/συνδυασµού ορθογώνιων παραλληλόγραµµων τµηµάτων εικόνας, ταχέως υλοποιηµένη.8 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

19 RstrOp RstrOp(src mn,src mn,dst mn,dst mn,sz,sz,functon) nt src mn,src mn,dst mn,dst mn,sz,sz; ftp functon) /* (src mn, src mn) και (dst mn, dst mn) */ /* ήκάτωαριστερήγωνίατωνsourc και dstnton */ /* sz, sz οι και διαστάσεις σε pl */ /* functon κάποιος τελεστής µεταξύ pl */ /* (θεωρείται δυνατή η συνάρτηση παράµετρος για απλοποίηση) */ {nt,j; for (0; <sz; ) for (j0; j<sz; j) st_pl(dst mn,dst mnj, functon(rd_pl(dst mn,dst mnj) rd_pl(src mn,src mnj)));.9 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

20 RstrOp Ασπρόµαυρες εικόνες: functon από τα 6 δυνατά XΟR ιδιαίτερα χρήσιµη γιααντιµετάθεση sourc & dstnton χωρίς χρήση βοηθητικού χώρου: chng (src mn,src mn,dst mn,dst mn,sz,sz) nt src mn,src mn,dst mn,dst mn,sz,sz; {RstrOp (src mn,src mn,dst mn, dst mn,sz,sz,xor); RstrOp (dst mn,dst mn,src mn, src mn,sz,sz,xor); RstrOp (src mn,src mn,dst mn, dst mn,sz,sz,xor);.0 Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

21 RstrOp chng ιδιαίτερη χρήσιµη για διαδοχικές µετακινήσεις αντικειµένου (π.χ. Cursor) mov (from mn,from mn,to mn,to mn, bck mn,bck mn,sz,sz) nt from mn,from mn,to mn,to mn, bck mn,bck mn,sz,sz; {chng (to mn,to mn, bck mn,bck mn, sz,sz); {chng (from mn,from mn, to mn,to mn, sz,sz);. Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

22 Σηµείο Εντός Πολυγώνου. Αριθµός τοµών ηµιευθείας µε περίµετρο. Wndng numbr 3. Ελεγχος προσήµου (κυρτό πολύγωνο). Εργα: : 000 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ