MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković"

Transcript

1 MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1

2 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2 + λ = ln x + x 2 + λ + C, ( dx x cos x = ln tg 2 + π ) + C, 4 dx sin 2 = ctg x + C. x x m dx = xm+1 m C, dx = arcctg x + C, x e x dx = e x + C, sin x dx = cos x + C, dx x 2 + a = 1 2 a arctg x a + C, dx a2 x = arcsin x 2 a + C, dx sin x = ln tg x 2 + C, dx = tg x + C, cos 2 x 1. Izračunati 2. Izračunati 2 x x 3 + 5x 1 x ( x x 3 1 dx. ) dx sin 2 x cos 2 x. tg x ctg x + C. + C. 3. Izračunati dx x + 1 x. 2

3 4. Izračunati 5. Izračunati 2 3 (x + 1) x C sin x cos x dx. (1 + 3 sin x) sin x cos x dx. + C. 2 cos x + C. 6. Izračunati dx (arccos x) 5 1 x Izračunati 8. Izračunati 1 4arccos 4 x + C. x x3 + 3x + 1 dx. 1 2 (x3 + 3x + 1) C. dx x ln x. ln ln x + C. 3

4 9. Izračunati arctg x dx. xarctg x 1 2 ln(1 + x2 ) + C. 1. Izračunati x cos x dx. x sin x + cos x + C. 11. Izračunati x 3 ln x dx. 1 4 x4 ln x 1 16 x4 + C. 12. Izračunati (x 2 2x + 5)e x dx. e x (x 2 + 5) + C. 13. Izračunati 15x 2 4x 81 (x 3)(x + 4)(x 1) dx. ln (x 3) 3 (x + 4) 5 (x 1) 7 + C. 14. Izračunati x x dx. 1 3 ln x ln(x2 x + 1) arctg 2x C. 4

5 15. Izračunati x (x 1) 3 (x + 3) dx. 16. Izračunati 1 4(x 1) 3 2 8(x 1) ln x 1 x C. dx 5 + sin x + 3 cos x. 2 ( ) 1 + 2tg x 2 arctg + C Izračunati dx x2 + 2x + 5. ln x x 2 + 2x C. 18. Izračunati dx 3x2 + 4x arcsin(3x 2) + C. 5

6 Njutn-Lajbnicova formula: Odredjeni integral b a f(x) dx = F (x) b a = F (b) F (a), gde je F (x) primitivna funkcija funkcije f(x). Površina krivolinijskog trapeza, ograničenog krivom y = f(x), f(x), pravama x = a i x = b i odsečkom [a, b], računa se po formuli S = b a f(x) dx. Dužina luka krive y = f(x) na intervalu [a, b] računa se po formuli L = b a 1 + y 2 dx. Zapremina tela koje nastaje rotacijom krivolinijskog trapeza, ograničenog krivom y = f(x), f(x), pravama x = a i x = b i odsečkom [a, b], oko x ose, računa se po formuli b V = π y 2 dx. a Površina tela koje nastaje rotacijom krive y = f(x), x [a, b], oko x ose, računa se po formuli b S = 2π y 1 + y 2 dx. a 1. Izračunati Izračunati 1 3. π 4 π 6 e 1 dx cos 2 x. ln 2 x x dx. 6

7 3. Izračunati 1 xe x dx. e 2 e. 4. Naći površinu figure ograničene parabolom y = 4x x 2 i osom O x. P = Naći površinu figure ograničene parabolom y = x 2 i pravom x+y 2 =. P = Naći dužinu luka krive y 2 = x 3 od x = do x = 1. ( L = 8 13 ) Naći dužinu luka krive y = ln sin x od x = π 3 do x = π 2. L = 1 ln Naći zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x ose figure ograničene krivom y 2 = (x 1) 3 i pravom x = 2. V = π 4. 7

8 Funkcije dve promenljive Neka je M(x, y ) stacionarna tačka funkcije z = f(x, y). Označimo A = 2 f(x, y ), B = 2 f(x, y ), C = 2 f(x, y ). x 2 x y y 2 Neka je = AC B 2. Tada važi: 1. > i A < (ili C < ) funkcija ima maksimum. 2. > i A > (ili C > ) funkcija ima minimum. 3. < funkcija nema ekstremum. 4. = potrebno je dodatno ispitivanje. 1. Naći parcijalne izvode funkcije z = e x2 +y 2. z x +y2 = 2xex2, z y +y2 = 2yex2. 2. Naći druge parcijalne izvode funkcije z = y ln x. 2 z x 2 = y x 2, 2 z y 2 =, 2 z x y = 1 x. 3. Naći ekstremume funkcije z = x 2 + xy + y 2 3x 6y. Tačka M(, 3) je tačka minimuma. 4. Naći ekstremume funkcije z = x 3 + y 3 15xy. Tačka M(5, 5) je tačka minimuma. 8

9 Diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive Jednačina oblika Ako je g(y) tada Jednačina oblika y = f(x)g(y). dy g(y) = f(x)dx + C. y = f(ax + by + c) se smenom z = ax + by + c svodi na prethodnu. 1. Naći rešenje diferencijalne jednačine koje zadovoljava uslov y(1) = 1. Opšte rešenje je a partikularno se dobija za C = π 4. (1 + x 2 ) dy + y dx = ln y = arctg x + C 2. Naći rešenje diferencijalne jednačine koje zadovoljava uslov y() = 1. y cos x = y ln y Opšte rešenje je ( 1 2 ln2 y = ln x tg 2 + π ) + C 4 a partikularno se dobija za C =. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y = x 2 2xy + y Smena x y = u. Opšte rešenje je x + arctg(x y) = C. 9

10 4. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y = 2x + 2y + 5 x + y + 1. Smena x + y + 1 = u. Opšte rešenje je y 2x + 1 ln x + y + 2 = C. 5. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y = 3x 2y + 1. Smena 3x 2y + 1 = u. Opšte rešenje je 4y 6x + 1 = Ce 2x. 1

11 Homogena diferencijalna jednačina Jednačina oblika y = f ( y x). Smenom y = ux svodi se na jednačinu koja razdvaja promenljive. Jednačina ( ) y a1 x + b 1 y + c 1 = f, a 2 x + b 2 y + c 2 pri čemu je a 1 a 2 b 1 b2, se rešava uvodjenjem smene x = X + α, y = Y + β. Koeficijente α i β odredjujemo tako da slobodan član bude jednak nuli. Tada se jednačina svodi na homogenu. 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je (y 2 + xy) dx x 2 dy =. ln x + x y = C. 2. Naći rešenje diferencijalne jednačine y = xy2 yx 2 x 3 koje zadovoljava uslov y( 1) = 1. Opšte rešenje je y 2x y a partikularno se dobija za C = 3. = Cx 2 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y = 4y 2x 6 x + y 3. (y x 1) 2 (y 2x) 3 = C. 11

12 Linearna diferencijalna jednačina Jednačina oblika Njeno rešenje je dato sa y + P (x)y = Q(x). [ y = e P (x)dx C + ] Q(x)e P (x)dx dx. 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y + y cos x = e sin x. y = e sin x [C + x]. 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y + y ctg x = x 2. Uz dve parcijalne integracije dobija se opšte rešenje y = C sin x x2 ctg x + 2x + 2 ctg x. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y = y y 2 + x. Jednačina se transformiše u linearnu diferencijalnu jednačinu x 1 y x = y, čijim rešavanjem se dobija opšte rešenje x = y 2 + Cy. 12

13 Bernulijeva diferencijalna jednačina Jednačina oblika y + P (x)y = Q(x)y α. Smenom u = y 1 α svodi se na linearnu diferencijalnu jednačinu u + (1 α)p (x)u = (1 α)q(x). 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y 4 x y = x y. Posle svodjenja na linearnu jednačinu u 2xu = x 2, dobijamo opšte rešenje y = 1 4 x4 ln 2 xc. 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine 3y y 2y y tg x = 2x 2. Posle svodjenja na linearnu jednačinu u tg xu = 3x 2, dobijamo opšte rešenje y = ( ) C 2 cos x + 2x + 3 (x2 2) tg x. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y xy 2 3xy =. Posle svodjenja na linearnu jednačinu u + 3xu = x, dobijamo opšte rešenje 3 y = Ce 3 2 x

14 Jednačina totalnog diferencijala Jednačina oblika uz uslov da je P (x, y) dx + Q(x, y) dy =, P y Q (x, y) = (x, y). x Opšte rešenje je oblika u(x, y) = C gde je [ u = P (x, y)dx + Q(x, y) ] P (x, y)dx dy. y 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine (e x + y + sin y) dx + (e y + x + x cos y) dy =. Opšte rešenje je e x + xy + x sin y + e y = C. 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y x dx + (3y2 + ln x) dy =. y ln x + y 3 = C. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je (x + y 1) dx + (e y + x) dy =. e y + x2 2 + xy x = C. 14

15 Integracioni množitelj I λ(u), u = u(x, y) : II λ(x) : III λ(y) : dλ λ = p q y x q u p u x y du 1 λ(x) = e q ( p y q x )dx 1 λ(y) = e p ( q x p y )dy 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine (x 4 + y 4 ) dx xy 3 dy = ako se zna da ona ima integracioni množitelj u obliku funkcije od x. Integracioni množitelj je µ(x) = 1 x 5 y = 4 4x 4 ln x 4Cx Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine (2xy 2 y) dx + (y 2 + x + y) dy = a opšte rešenje je ako se zna da ona ima integracioni množitelj u obliku funkcije od y. Integracioni množitelj je µ(y) = 1 y 2 a opšte rešenje je x 2 x y + y + ln y = C. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine (x y) dx + (x + y) dy = ako se zna da ona ima integracioni množitelj u obliku funkcije od x 2 +y 2. Integracioni množitelj je µ(x 2 + y 2 ) = 1 x 2 +y 2 ln x 2 + y 2 arctg x y = C. a opšte rešenje je 15

16 I Neke diferencijalne jednačine višeg reda y (n) = f(x). Rešava se n puta integracijom. II F (x, y, y ) =. Uvede se smena y = p pa se dobije jednačina prvog reda. III F (y, y, y ) =. Uvede se smena y = p(y), (y = p p), koja snižava red jednačine. 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y = xe x. y = (x + 2)e x + C 1 x + C Naći ono rešenje diferencijalne jednačine y IV = cos 2 x, koje zadovoljava uslove y() = 1 32, y () =, y () = 1 8, y () =. Partikularno rešenje je y = 1 48 x x2 + 1 cos 2x Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je xy = y ln y x. y = 1 C 1 xe 1+C 1x 1 C 2 1 e 1+C 1x + C 2. 16

17 4. Naći ono rešenje diferencijalne jednačine y y x 1 = x(x 1) koje zadovoljlava uslove y(2) = 1, y (2) = 1. Partikularno rešenje je y = 3x4 4x 3 36x x Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je 1 + (y ) 2 = yy. 1 ln(c 1 y + C C 1y 2 2 1) = ±(x + C 2 ) Naći ono rešenje diferencijalne jednačine yy (y ) 2 = koje zadovoljlava uslove y() = 1, y () = 2. Partikularno rešenje je y = e 2x. 17

18 Homogena diferencijalna jednačina n-tog reda sa konstantnim koeficijentima Jednačina oblika y (n) + a 1 y (n 1) a n y =. Opšte rešenje se formira u zavisnosti od korena karakteristične jednačine r n + a 1 a 1 r (n 1) a n =. 1) Svakom realnom korenu reda 1 u opštem rešenju odgovara sabirak Ce kx. 2) Svakom realnom korenu reda m u opštem rešenju odgovara sabirak (C 1 + C 2 x C m 1 x m 1 )e kx. 3) Svakom kompleksnom korenu α ± β i, reda 1, u opštem rešenju odgovara sabirak e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx). 4) Svakom kompleksnom korenu α ± β i, reda m, u opštem rešenju odgovara sabirak e αx [(C 1 + C 2 x C m 1 x m 1 ) cos βx + (C 1 + C 2x C m 1x m 1 ) sin βx]. 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y + 3y + 2y =. λ 1 = 1, λ 2 = 2, y = C 1 e 2x + C 2 e x. 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y 8y + 16y =. λ 1 = λ 2 = 4, y = C 1 e 4x + C 2 xe 4x. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y (4) 13y + 36y =. λ 1 = 3 λ 2 = 3, λ 3 = 2, λ 4 = 2, y = C 1 e 3x + C 2 e 3x + C 3 e 2x + C 4 e 2x. 18

19 4. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y + 8y =. λ 1,2 = 1 ± i 3, λ 3 = 2, y = C 1 e 2x + C 2 e x cos 3x + C 3 e x sin 3x. 19

20 Nehomogena diferencijalna jednačina n-tog reda sa konstantnim koeficijentima Jednačina oblika y (n) + a 1 y (n 1) a n y = f(x). f(x) Oblik e αx P n(x), α n.k.k.j. y p = e αx Q n(x) e αx P n(x), α j.k.k.j. reda s y p = x s e αx Q n(x), e αx [P n(x) cos βx + Q m(x) sin βx], α ± βi n.k.k.j. y p = e αx [R k (x) cos βx + S k (x) sin βx] e αx [P n(x) cos βx + Q m(x) sin βx], α ± βi j.k.k.j. reda s y p = x s e αx [R k (x) cos βx + S k (x) sin βx] gde je k = max (m, n). 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y 7y = 5xe x. Opšte rešenje je ( y = C 1 + C 2 e 7x + 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine 5 6 x y + 6y + 9y = (x 2)xe 3x. ) e x. Opšte rešenje je y = (C 1 + C 2 x)e 3x + ( 1 6 x 1 ) x 2 e 3x. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y y + y y = 2e x. Opšte rešenje je C 1 e x + C 2 cos x + C 3 sin x + xe x. 2

21 4. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y + y = ( x + 3 ) e x 2x. 2 Opšte rešenje je y = C 1 + C 2 e x xex x 2 + 2x. 5. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y + 3y + 2y = (2x + 3) sin x + cos x. y = C 1 e x + C 2 e 2x + 6. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je ( 1 5 x + 21 ) ( 3 sin x ) x + 3 cos x. y + y + 2y 4y = 21e x 26 sin x. y = C 1 e x + C 2 e x + cos 3x + C 3 e x sin 3x + 3xe x + cos x + 5 sin x. 21

22 Sistemi diferencijalnih jednačina Sisteme rešavamo svodjenjem na diferencijalnu jednačinu višeg reda. 1. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina y = z 5 cos x, z = 2y + z. Diferenciramo drugu pa y ubacimo u prvu. Opšte rešenje sistema je z(x) = C 1 e x +C 2 e 2x +3 cos x+sin x, y(x) = C 1 e x + C 2 2 e2x 2 sin x cos x. 2. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina d 2 y dx + dz 2 dx + y = ex, dy dx + d2 z dx = 1. 2 Diferenciramo prvu pa d2 z ubacimo u drugu. Opšte rešenje dx 2 sistema je y(x) = e x x3 6 +C 1x 2 +C 2 x+c 3, z(x) = e x + x4 24 C x (1 C 2) x2 2 (2C 1+C 3 )x+c Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina x + y + 3x = e t, y 4x + 3y = sin(2t). Diferenciramo prvu pa izrazimo y iz druge, pa ponovo diferenciramo i dobijamo jednačinu po funkciji x(t), čije je rešenje x(t) = C 1 cos t + C 2 sin t + C 3 cos(3t) + C 4 sin(3t) + e t cos(2t). 4. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina x = x y + z, y = x + y z, z = 2x y. Diferenciramo prvu pa z i z ubacimo u drugu i treću. Zatim izrazimo y preko x i x i još jednom diferenciramo i dobijamo jednačinu po x(t).opšte rešenje sistema je x(t) = C 1 e t +C 2 e t +C 3 e 2t, y(t) = C 1 e t 3C 2 e t, z(t) = C 1 e t 5C 2 e t +C 3 e 2t. 22

23 Dvostruki integrali D = {(x, y) a x b, y 1 (x) y y 2 (x)} D f(x, y) dxdydz = [ b y2 (x) a y 1 (x) f(x, y) dy ] dx = b a y2 (x) dx f(x, y) dy. y 1 (x) Zapremina tela se računa po formuli V = D f(x, y) dxdy, gde je f(x, y) funkcija kojom je definisana površ S čija je projekcija na ravan Oxy oblast D i koje, zajedno sa cilindričnom površi sa strane, ograničavaju telo. 1. Izračunati D x y 2 dxdy, gde je D = {(x, y), x 2, y 1}. 2 1 x 2 dx 1 + y dy = 2π Izračunati (x + 2y) dxdy, D gde je D unutršnjost trougla sa temenima u tačkama A(, ), B(1, 2) i C(3, ). I 1 + I 2 = 8 gde su I 1 = 1 2x 3 3 x dx (x + 2y) dy, I 2 = dx (x + 2y) dy. 1 23

24 3. Izračunati x 2 y 2 1 x 3 y 3 dxdy, D gde je D oblast definisana relacijama x, y, x 2 + y x 2 1 x 3 dx y 2 1 x 3 y 3 dy = Izračunati (xy 2x + 3y) dxdy, D gde je D oblast ograničena krivim y = x i y = x 3. 1 x dx (xy 2x + 3y) dy = 43 x Izračunati (2x 3y) dxdy, D gde je D unutrašnjost kruga x 2 + y 2 = 16 u I kvadrantu. Polarne koordinate: 4 x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, J = ρ, π 2 dρ (2ρ cos φ 3ρ sin φ)ρ dφ = Izračunati (2x 3y + 4) dxdy, gde je D unutrašnjost elipse x2 + y 2 = x = 2ρ cos φ, y = 3ρ sin φ, J = 6ρ, 1 D 2π dρ (2ρ cos φ 3ρ sin φ + 4)ρ dφ = 24π. 24

25 7. Izračunati (x 2 + y 2 ) 2 dxdy, gde je D unutrašnjost kruga x 2 + y 2 = 2y. D x = ρ cos φ, y = 1 + ρ sin φ, J = ρ, 1 2π dρ (ρ 2 + 2ρ sin φ + 1) 2 ρ dφ = 1π Izračunati zapreminu tela ograničenog eliptičkim cilindrom x2 4 + y2 = 1 i ravnima z = 12 3x 4y, z = 1. x = 2ρ cos φ, y = ρ sin φ, J = 2ρ, 1 2π dρ (11 3ρ cos φ 4ρ sin φ)2ρ dφ = 22π. 9. Izračunati zapreminu tela ograničenog površima (x 1) 2 + y 2 = z i 2x + z = 2. Eliminacijom z iz jednačina površi dobijamo x 2 + y 2 = 1. Uvodjenjem polarnih koordinata dobijamo da je 2π 1 V = dϕ ρ(1 ρ 2 )dρ = π Izračunati zapreminu tela ograničenog kružnim cilindrom x 2 + y 2 = 2x i ravnima z = x, z = 3x. x = ρ cos φ + 1, y = ρ sin φ, J = ρ, 1 2π V = dρ (2 + 2ρ cos φ)ρ dρ = 2π. 11. Izračunati zapreminu tela koje ograničavaju paraboloid z = x 2 + y 2 i ravan z = x + y. Eliminacijom z i uvodjenjem smena x = X i y = Y dobijamo, uz pomoć polarnih koordinata, da je V = 2 2 2π dρ ( 1 2 ρ2 )ρ dρ = π 8. 25

26 Trostruki integrali V = {(x, y, z) a x b, y 1 (x) y y 2 (x), z 1 (x, y) z z 2 (x, y)} [ b [ y2 (x) ] ] z2 (x,y) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dy dx. a y 1 (x) z 1 (x,y) V Zapremina tela G se računa po formuli V = G dxdydz. 1. Izračunati V x dxdydz, gde je V oblast u prvom kvadrantu ograničena sa ravni x 2 + y 2 + z = dx 2 x+3 2. Izračunati V 1 x 2 dy y 3 x dz = xy dxdydz, gde je V oblast ograničena hiperboloičnim paraboloidom z = xy i ravnima x + y = 1, z = (z ). 1 1 x xy dx dy xy dz = Izračunati (x + y 2z + 1) dxdydz, V gde je V deo lopte x 2 + y 2 + z 2 4 u prvom oktantu. 26

27 Sferne koordinate: x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, J = ρ 2 sin φ, 2 π 2 dρ dφ π 2 f(ρ, φ)ρ 2 sin φ dθ = 4π Izračunati (x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz, V gde je V oblast koju ograničava elipsoid x 2 + y 2 + z2 4 = 1. x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = 2ρ cos φ, J = 2ρ 2 sin φ, 1 5. Izračunati π 2π dρ dφ f(ρ, φ)ρ 2 sin φ dθ = 16π 3. V x 2 + y 2 dxdydz, gde je V oblast ograničena konusom x 2 + y 2 = z 2 i sa ravni z = 1. Cilindrične koordinate: x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z, J = ρ, 1 dz 2π z dφ f(ρ, φ)ρ dρ = π Izračunati zapreminu tela koje ograničavaju paraboloidi z = x 2 + y 2, z = 2x 2 + 2y 2, cilindrična površ y = x 2 i ravan y = x. V = 1 x 2x 2 +2y 2 dx dy dz = 3 x 2 x 2 +y

28 Krivolinijski integrali prve vrste y = y(x), x [a, b] : l f(x, y) ds = b x = x(t), y = y(t), t [t, t 1 ] : l f(x, y) ds = a t1 t f(x, y(x)) 1 + (y (x)) 2 dx f(x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, ρ = ρ(φ), φ [α, β] : l f(x, y) ds = β α f(ρ(φ) cos φ, ρ(φ) sin φ) (ρ(φ)) 2 + (ρ (φ)) 2 dφ 1. Izračunati l x y ds gde je l luk parabole y 2 = 2x izmedju tačaka (2, 2) i (8, 4). 1 6 ( ). 2. Izračunati (x 2 + y 3 ) ds l gde je l trougao sa temenima u tačkama A(1, ), B(, 1) i O(, ) = 7( 3. Izračunati 2+1). 12 l y 2 ds gde je l luk cikloide x = 2(t sin t), y = 2(1 cos t), t 2π. 2π 64 sin 5 t 248 dt =

29 4. Izračunati l x 2 + y 2 ds gde je l kriva zadata parametarskim jednačinama x = cos t + t sin t, y = sin t t cos t, t 2π. 2π t 1 + t 2 dt = Izračunati (x 2 + y 2 ) ds gde je l krug x 2 + y 2 = ax, (a > ). l [ (1 + 4π 2 ) ]. x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, a 3 π 2 π 2 cos 2 φ dφ = πa

30 Krivolinijski integrali druge vrste y = y(x), x [a, b] : b P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x)] dx a l x = x(t), y = y(t), t [t, t 1 ] : l P (x, y) dx + Q(x, y) dy = b a [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt 1. Date su tačke A(3, 6), B(3, ) i C(, 6). Izračunati (8x + 4y + 2) dx + (8y + 2) dy gde je l: a) Odsečak OA. b) Izlomljena linijia OBA. c) Izlomljena linijia OCA. l d) Parabola, simetrična u odnosu na osu Oy, koja prolazi kroz O i A. a) 234; b) 198; c) 27; d) y = 2 3 x2, Izračunati l y dx + x dy 1 + x gde je l luk krive y = 2 x x u prvom kvadrantu. 2I 1 I 2 + I 3 = 4 4 arctg 2 + ln 5 gde su: 3 4 x I 1 = 1 + x dx = 4 2 arctg 2, (smena x = t), I 2 = I 3 = 4 4 x dx = 4 ln 5, 1 + x ( x x) dx =

31 3. Izračunati (2a y) dx (a y) dy l gde je l prvi svod cikloide x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t 2π. 2π a 2 (sin 2 t sin t cos t) dt = πa 2. 31

32 Grinova formula l P (x, y) dx + Q(x, y) dy = D ( ) Q P (x, y) (x, y) dxdy x y 1. Izračunati (3xy 2x 2 ) dx + (4xy 2y 2 ) dy l gde je l zatvorena kriva koja se sastoji od delova krivih y = x 3 i y = 3 x. Rešenje. 2. Izračunati 1 3 x dx (4y 3x) dy = 8 x (x 2 3xy) dx + (xy + 2y 3 ) dy l gde je l elipsa (x 1) 2 (y 2)2 + = Rešenje. x = 1 + ρ cos φ, y = 2 + 4ρ sin φ, J = 4ρ, 3. Izračunati 2π 4 1 dφ (5 + 4ρ sin φ + 3ρ cos φ)ρ dρ = 2π. (x 2 + 2y 2 y) dx + (2 + x x 2 ) dy gde je l elipsa x2 4 + y2 9 = l

33 Rešenje. x = 2ρ cos φ, y = 3ρ sin φ, J = 6ρ, 4. Izračunati 2π 6 gde je l kriva x 2 + y 2 = 3x. 1 dφ (2 4ρ cos φ 12ρ sin φ)ρ dρ = 12π. (xy + x + y) dx + (xy + x y) dy l Rešenje. x = 3 + ρ cos φ, y = ρ sin φ, J = ρ, 2 2π 3 2 dφ (ρ sin φ 3 ρ cos φ)ρ dρ = 27π Izračunati l 2(x 2 + y 2 ) dx + (x + y) 2 dy gde je l trougao sa temenima u tačkama A(1, 1), B(2, 2) i C(1, 3). Rešenje. 6. Izračunati 2 4 x 2 dx (x y) dy = 4 1 x 3. (2x 3y) dx + (x 2 xy) dy l gde je l deo krive y = 4 x u prvom kvadrantu. Rešenje. 4 4 x dx (2x y + 3) dy 16 =

34 Brojni redovi Teorema 1. Neka red a n konvergira i neka je njegova suma jednaka S. Tada red αa n konvergira i njegova suma je jednaka αs. Teorema 2. Neka redovi a n i b n konvergiraju i neka su njihove sume jednake S 1 i S 2. Tada red (a n + b n ) konvergira i njegova suma je jednaka S 1 + S 2. Teorema 3. Neka red a n konvergira. Tada je lim n a n =. Teorema 4. Neka su a n i b n redovi sa pozitivnim članovima i neka ( n )( n)n n a n b n. Tada: 1) Ako red b n konvergira tada i red a n konvergira. 2) Ako red a n divergira tada i red b n divergira. Teorema 5. Neka su a n i b n redovi sa pozitivnim članovima i neka je a n lim = c, (c, ± ). n b n Tada: 1) Red a n konvergira ako i samo ako red b n konvergira. 2) Red a n divergira ako i samo ako red b n divergira. Teorema 6 (Dalamberov kriterijum). Neka je a n red sa pozitivnim članovima i neka je a n+1 lim = l. n a n Tada: 1) Ako je l > 1 tada red a n divergira. 2) Ako je l < 1 tada red a n konvergira. 3) Ako je l = 1 tada se za red a n ne može tvrditi ni da konvergira ni da divergira. 34

35 Teorema 7 (Košijev kriterijum). Neka je a n red sa pozitivnim članovima i neka je n an = l. lim n Tada: 1) Ako je l > 1 tada red a n divergira. 2) Ako je l < 1 tada red a n konvergira. 3) Ako je l = 1 tada se za red a n ne može tvrditi ni da konvergira ni da divergira. Teorema 8 (Integralni kriterijum). Neka je a n red sa pozitivnim članovima za koji postoji pozitivna, neprekidna i monotono-opadajuća funkcija, definisana na intervalu [1, ), takva da je f(n) = a n, n = 1, 2,.... Tada: 1) Red a n konvergira ako i samo ako integral 1 f(x) dx konvergira. 2) Red a n divergira ako i samo ako integral 1 f(x) dx divergira. 1. Naći lim n S n za sledeće redove i ispitati konvergenciju: a) n b) n (n + 1) a) S = ; b) S = Naći lim n a n za sledeće redove: a) n + 1 2n + 1. b) c) n + 2 ln(n + 1). n 2 n

36 a) lim n a n = 1 2 ; b) lim n a n = ; c) lim n a n =. 3. Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) 2 + sin n. n b) c) arctg n + 1 n 2. 5 n n. Primenjujemo teoremu 4: a) 2+sin n 1 pa red divergira. b) n n arctg n+1 π n pa red konvergira. c) 5n +1 5n pa red divergira. n 2 2 n 2 n 4. Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) n + 2 n 2 + n + 1. b) c) n n + 2 n6 + 2n 2. n + 3 n n + 3 n 5. Primenjujemo teoremu 5: a) Podelimo opšti član sa 1 pa n dobijamo da red divergira. b) Podelimo opšti član sa 1 pa dobijamo da red konvergira. c) Podelimo opšti član sa 1 divergira. n 7 6 n 5 2 pa dobijamo da red 36

37 5. Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) n 5 3 n+1. b) c) d) n n n!. 3 n n!. n 3 3 n. a Primenjujemo teoremu 6: a) lim n+1 n a n = 1 pa red konvergira. b) lim n+1 a 3 a n a n = e pa red divergira. c) lim n+1 n a n = pa red a konvergira. d) lim n+1 n a n = 1 pa red konvergira Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) ( ) n + 2 3n+1. 2n + 1 b) c) ( ) n 1 n(n 1). n + 1 ( n 1 1 ) n 2. n Primenjujemo teoremu 7: a) lim n n a n = 1 pa red konvergira. b) lim n n a n = 1 pa red konvergira. c) lim e 2 n n a n = 1 pa e 8 red konvergira. 37

38 7. Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) n=2 1 n ln n. b) c) n=2 1 n ln n. 1 (n + 1) ln 2 (n + 1). Primenjujemo teoremu 8: a) 2 f(x) dx = pa red divergira. b) 2 f(x) dx = pa red divergira. c) 1 f(x) dx = 1 pa red ln 2 konvergira. 38

39 Alternativni redovi Teorema 1. Neka je: 1) a n > a n+1, 2) lim n a n =. Tada red ( 1) n a n konvergira. Teorema 2. Ako red a n konvergira tada i red ( 1) n a n konvergira. 1. Ispitati konvergenciju reda: ( 1) n 1 2 n 1. Lako je videti da uslovi 1) i 2) iz teoreme 1 važe i alternativni red konvergira. Pored toga red 1 2 divergira, jer je n n 1 > 1 2 n, pa primenjujemo teoremu 4. Prema tome red ( 1) n 1 2 n 1 uslovno konvergira. 2. Ispitati konvergenciju reda: ( 1) n+1 1 2n ln n. Uslovi 1) i 2) iz teoreme 1 važe pa alternativni red konvergira. Primenimo teoremu 5 za ispitivanje apsolutne konvergencije. Kada podelimo a n sa 1, dobijamo da red ne konvergira apsolutno pa imamo n da alternativni red uslovno konvergira. 39

40 Stepeni redovi Oblast konvergencije stepenog reda je interval ( R, R) gde je R = lim a n n a n+1 ili 1 R = lim n. an 1. Naći poluprečnik konvergencije sledećih stepenih redova i ispitati konvergenciju u krajevima intervala. a) n! (x 3) n 1 2 n+1. b) c) d) n=2 3 n 1 (x + 1) n n n. (x 2) n+1 3 n (n + 2). (x + 5) n 3 n+1 n ln 3 n. a) R =. b) R =. c) R = 3. Za x = 1 red konvergira po teoremi 1 (za alternativne redove). Za x = 5 red divergira po teoremi 5 (podelimo a n sa 1 ). d) R = 3. Za x = 8 red apsolutno konvergira n po teoremi 8 pa zaključujemo da konvergira. Za x = 2 red konvergira po teoremi 8. 4

41 Tejlorov i Maklorenov red Tejlorova formula: f(x) = f(x ) + f (x ) 1! Maklorenova formula: (x x ) + f (x ) 2! f(x) = f() + f () 1! x + f () 2! Maklorenov red nekih funkcija: x (, + ): x (, + ): (x x ) f (n) (x ) (x x ) n +... n! x f (n) () x n +... n! e x = 1 + x 1! + x2 2! xn n! +... = n= x n n!. x 2n 1 sin x = x x3 3! + x5 5! x 2n 1 ( 1)n 1 (2n 1)! +... = ( 1) n 1 (2n 1)!. x (, + ): x ( 1, 1]: cos x = 1 x2 2! + x4 x2n ( 1)n 4! (2n)! +... = ( 1) n x2n (2n)!. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 xn ( 1)n 1 3 n= n +... = n 1 xn ( 1) n. 41

42 x [ 1, 1] za m > ; x ( 1, 1] za 1 < m < ; x ( 1, 1) za m 1: (1 + x) m = m(m 1) 1 + mx + x 2 m(m 1)... (m n + 1) x n +... = 2! n! m(m 1)... (m n + 1) 1 + x n. n! 1. Funkciju e x2 razviti u Maklorenov red. e x2 = 1 x2 1! + x4 2! x6 3!. 2. Funkcije a) f(x) = arctg x; b) f(x) = 1 razviti u Maklorenov red. (1 x) 2 Naci im izvode, razviti ih u red a zatim integraliti član po član. a) f(x) = n= ( 1) n x2n+1 b)f(x) = (2n+1)! nx n Naći 2. lim x 2e x 2 2x x 2. x sin x 4. Naći Naći sin x arctg x lim. x x 3 3 arctg x 3 tg x + 2x 3 lim. x x 5 2; tg x = x + x x

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa A. x 2, g : x. 1 (x 2 + y 2 dx dy. QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa B. ln x (x 1) 3/2.

QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa A. x 2, g : x. 1 (x 2 + y 2 dx dy. QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa B. ln x (x 1) 3/2. 1. Izraqunati QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, 1995. x arctan x 1 + x dx. Grupa A. Izraqunati povrxinu koju ograniqavaju pozitivan deo x - ose i grafici funkcija 3. Ako je oblast ograniqena krivama

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. Vera & Rade

MATEMATIKA 3. Vera & Rade MATEMATIKA 3 Vera & Rade 1. Diferencijalne jednačine prvog reda - osnovni pojmovi Oznake: x - nezavisno promenljiva y - nepoznata funkcija, y = y(x) y = dy dx - izvod funkcije Opšti oblik diferencijalne

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE I G L A V A DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Pri razmatranju i rešavanju raznih problema iz mehanike, fizike, hemije, geometrije i drugih naučnih disciplina i njihovih primena, nailazi se na jednačine u kojima

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009.

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH FAKUTETA; II EO KC Niš, 9. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH

Διαβάστε περισσότερα

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1 Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)

Διαβάστε περισσότερα

Vežbe iz diferencijalnih jednačina

Vežbe iz diferencijalnih jednačina Vežbe iz diferencijalnih jednačina Vežbe. Familije krivih. Familija krivih je zadata funkcijom f(x, y, c, c 2,..., c n ) = 0. Naći diferencijalnu jednačinu koja opisuje tu familiju. Rešenje: Diferenciranjem

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda

Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda I. Vojnović Glava 1 Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda 1.1 Oznake Za funkciju u : R n R parcijalni izvod po x i označavamo sa u xi, odnosno u xi = u/ x i, pri čemu je x = (x 1,..., x n ). Radi

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1

TEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1 TEORIJA REDOVA NUMERIČKI REDOVI. OSNOVNI POJMOVI DEFINICIJA. Neka je {u n } n N realan niz. Izraz oblika k= u k = u + u 2 + + u n + () naziva se beskonačan red, ili kraće red. Broj u n naziva se opšti

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a: Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave

Διαβάστε περισσότερα

uniformno konvergira na [ 2, 2]?

uniformno konvergira na [ 2, 2]? Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 27.6.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati diferencijabilnost funkcije u = u(x, y, z) u taqki (0, 1, 2). 2. Definisati

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB

Διαβάστε περισσότερα

1 Odre deni integrali. Smjena promjenjivih u odre denom integralu Primjena odre denog integrala 3. 3 Furijeovi redovi 4

1 Odre deni integrali. Smjena promjenjivih u odre denom integralu Primjena odre denog integrala 3. 3 Furijeovi redovi 4 150 ispitnih zadataka za vježbu podjeljenih po oblastima - detaljno raspisana rješenja ovih zadataka možete skinuti sa stranice pf.unze.ba\nabokov\za vjezbu Sadržaj 1 Odre deni integrali. Smjena promjenjivih

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

ZI. NEODREðENI INTEGRALI

ZI. NEODREðENI INTEGRALI ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

f n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).

f n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z). Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Tangentna ravan i normala površi

1.1 Tangentna ravan i normala površi Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

1 Obične diferencijalne jednadžbe

1 Obične diferencijalne jednadžbe 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα