ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1

2 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων. Να είναι σε θέση να θέτει τις εξισώσεις ισορροπίας και να υπολογίζει τις αντιδράσεις στήριξης. Να μπορεί να υπολογίζει τις συναρτήσεις των εντατικών μεγεθών. Να είναι σε θέση να χαράξει τα διαγράμματα εντατικών μεγεθών. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών

3 Περιεχόμενα ενότητας Είδη στήριξης Είδη δοκών Υπολογισμός αντιδράσεων Εντατικά μεγέθη N,Q,M Παραδείγματα χάραξης N,Q,M 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 3

4 Βασικές έννοιες κάθε σώμα που μπορεί να δεχτεί εξωτερικά φορτία. γραμμικός φορέας στον οποίο μπορούν να δρουν εξωτερικά φορτία οποιουδήποτε είδους. τρία εντατικά μεγέθη Ν = αξονική (ορθή) δύναμη Q = τέμνουσες δυνάμεις Μ = ροπή κάμψης αξονική, διατμητική, καμπτική και στρεπτική. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 4

5 Ανάλυση στηρίξεων στην κύλιση το σημείο στήριξης είναι ελεύθερο να μετακινείται χωρίς τριβές με τη βοήθεια του εδράνου κύλισης κατά μία μόνο διεύθυνση. Η αντίδραση της κύλισης στη δοκό είναι μία δύναμη που διέρχεται από το σημείο στήριξης και είναι κάθετη στην κύλιση. Συμβολίζεται με V και y. Η άρθρωση επιτρέπει την ελεύθερη στροφή της δοκού. Επιτυγχάνεται με τη βοήθεια ενός πείρου. Η αντίδραση της άρθρωσης έχει οποιαδήποτε διεύθυνση. Αναλύεται συνήθως σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, μία οριζόντια και μία κατακόρυφη. Συμβολίζεται με (H, V ) ή ( x, y ). Η πάκτωση δεν επιτρέπει καμία μετακίνηση ή στροφή της δοκού. Οι αντιδράσεις είναι 3 δύο συνιστώσες της δύναμης ( x, y ) και μία ροπή (ροπή πάκτωσης, Μ Α ). Οι πρόβολοι στηρίζονται με πάκτωση. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 5

6 Είδη δοκών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 6

7 Υπολογισμός αντιδράσεων Για τον υπολογισμό των αγνώστων αντιδράσεων εφαρμόζουμε τις 3 εξισώσεις στατικής ισορροπίας. ΣP x = 0 ΣP y = 0 ΣΜ Α = 0 (Α ένα οποιοδήποτε σημείο δοκού) Όταν οι αντιδράσεις R = 3 Ισοστατική δοκός R > 3 υπερστατική δοκός R < 3 υποστατική δοκός 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 7

8 Τρόποι στήριξης δοκών Oι στηρίξεις αντιδρούν έτσι ώστε να διατηρείται η ισορροπία του σώματος κάτω από την επίδραση εγκαρσίων εξωτερικών δυνάμεων. Έτσι στην απλή αμφιέρειστη δοκό για παράδειγμα, που δέχεται φορτίο Ρ στο μέσον της, θα πρέπει στο σημείο της Α να δέχεται από την άρθρωση αντίδραση V Α, ενώ στο σημείο της Β θα δέχεται αντίστοιχα από την κύλιση αντίδραση V Β. Για λόγους συμμετρίας θα είναι προφανώς V V B P όπως φαίνεται στο διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Δ.Ε.Σ) της δοκού. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 8

9 Παράδειγμα υπολογισμού φορτίων Έστω αμφιέρειστη δοκός με φορτίο μεταβαλλόμενο κατά μήκος. α α Ισορροπία ΣP x = 0 => P x = 0 ΣP y = 0 => Q = Α y + Β y ΣΜ = 0: Μ Α = 0 Μ Β = 0 Εμβαδόν επιφάνειας φόρτισης = συνισταμένη όλων των φορτίων Q = l q(x) dx 0 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 9

10 Υπολογισμός φορτίων Για να βρεθεί το σημείο (έστω η απόσταση α) που ασκείται η συνισταμένη δύναμη Q, η οποία ισούται με όλο το κατανεμημένο φορτίο, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Varignon κατά το οποίο η ροπή της συνισταμένης ισούται με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών. Οπότε Η απόσταση α συμπίπτει με την τετμημένη του κέντρου βάρους Κ της επιφάνειας φόρτισης. Οι αντιδράσεις y και B y προκύπτουν σε συνάρτηση με την απόσταση α από ΣΜ Α =0 (B y ) και ΣΜ Β =0 ( y ). M 0 Q a B l B M Q l a l B y 0 y y y Q a l Q ( l a) l 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 10

11 Παράδειγμα 1- Τριγωνικό Φορτίο Έστω για παράδειγμα δοκός με τριγωνικό φορτίο, με τιμή 0 στο σημείο Α, με γνωστή τιμή έστω q στο σημείο Β και με γραμμική μεταβολή της καμπύλης φόρτισης μεταξύ των δύο αυτών σημείων Α και Β. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η στατικά ισοδύναμη δύναμη Q θα ισούται με το εμβαδόν της τριγωνικής επιφάνειας φόρτισης, δηλαδή θα είναι Q 1 ql Η απόσταση α από το σημείο Α θα είναι ίση με την απόσταση του κέντρου βάρους (Κ.Β) του τριγώνου, που είναι l / 3. Οι αντιδράσεις στα σημεία στήριξης θα είναι : Q / 3 και B Q / 3 y y 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 11

12 Συνισταμένη φορτίων- Κέντρα βάρους 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1

13 Παράδειγμα - Αμφιέρειστη Δοκός (1/) Για να υπολογίσουμε τις αντιδράσεις V και V B χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας, από τις οποίες έχουμε: P 0 : V V P 0 V V P (1) y B B P M 0 : Pα- VBl=0 VB = () l Αντικαθιστώντας την τιμή της V B στην εξίσωση (1), βρίσκουμε: ( l) P V P VB P(1 ) P (3) l l l 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 13

14 Παράδειγμα - Αμφιέρειστη Δοκός (/) Γενικότερα, όταν μία αμφιέριστη δοκός φορτίζεται από κατακόρυφα φορτία Ρ1 (με απόσταση α1 από το Α και β1 από το Β), (με απόσταση α από το Α και β από το Β) και (με απόσταση αν από το Α και βν από το Β), από τις συνθήκες στατικής ισορροπίας, εύκολα προκύπτουν οι επόμενες σχέσεις: V P 11 P... P , V P P P B (4) l l Το σύμβολο ± έχει την έννοια να λαμβάνεται υπόψη η φορά των δυνάμεων Ρ i. Οι εξισώσεις (4) παρουσιάζονται σε πιο συνοπτική μορφή από τις εξισώσεις (5): V P P, l (5) i i i i i1 i1 VB l Η απόσταση α i ονομάζεται βραχίονας της δύναμης Ρ i, ενώ η β i αντιβραχίονας. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 14

15 Εντατικά μεγέθη N,Q,M 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 15

16 Εντατική κατάσταση δοκού Για να ισσοροπεί το τμήμα αυτό υπό την επίδραση των εξωτερικών δυνάμεων πρέπει να ασκείται μια δύναμη R διαμέσου της διατομής (αναλύεται σε αξονικό φορτίο Ν και μία τέμνουσα δύναμη Q) και μία ροπή Μ. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 16

17 Εντατική κατάσταση δοκού/ πρόσημα

18 Βήματα για χάραξη διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών [Ν], [Q], [M]- (1/) Εστω ότι έχουμε αυτή την δοκό. Για την χάραξη των Ν,Q,M θα ακολουθήσουμε τα εξής στάδια που ακολουθούν. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 18

19 Βήματα για χάραξη διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών [Ν], [Q], [M]- (/) Περίπτωση (α), (β): Σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου Τοποθετούμε τις εξωτερικές δυνάμεις Ρ 1x, Ρ 1y, Ρ ενώ στη θέση της άρθρωσης Α τις αντιδράσεις Η, V και στην θέση την κύλισης, την αντίδραση V B. Εφαρμόζουμε τις στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας σε ολόκληρη τη ράβδο, προκειμένου να υπολογίσουμε τις άγνωστες αντιδράσεις Η, V, V B : M 0 : P P V l 0 V 1y B B P 0 : H P 0 H P P cos x 1x 1x 1 P 0 : V P P V 0 V y 1y B P1 sin P l P1( l )sin P( l ) l Τομή μ-ν/ Περίπτωση (γ), (δ): Η κατανομή εσωτερικών δυνάμεων είναι άγνωστη. Αντικαθιστούμε με NQM που δρουν στο κέντρο βάρους Κ της διατομής μ-ν. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 19

20 Σχέση μεταξύ [Ν], [Q], [M] Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι ο συσχετισμός μεταξύ των εντατικών μεγεθών. Διακρίνουμε 3 περιπτώσεις για μία διατομή ενός τμήματος της δοκού μεταξύ τ-τ και τ -τ. i. στο τμήμα αυτό δεν εφαρμόζεται κανένα φορτίο. ii. iii. εφαρμόζεται συγκεντρωμένο φορτίο Ρ που δρά σημειακά. εφαρμόζεται κατανεμημένο φορτίο q(x). Θα δούμε τώρα τις σχέσεις που προκύπτουν μεταξύ των NQM: 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 0

21 Σχέση μεταξύ [Ν], [Q], [M] (1/3) Διατομή άνευ φορτίου Στην περίπτωση μή ύπαρξης δύναμης μεταξύ των τομών τότε ισχύει ότι : 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1

22 Σχέση μεταξύ [Ν], [Q], [M] (/3) Διατομή με κατανεμημένο φορτίο Εφαρμόζουμε την συνθήκη ισορροπίας ροπών και δυνάμεων : Άρα λοιπόν προκύπτει ότι : 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών

23 Σχέση μεταξύ [Ν], [Q], [M] (3/3) Διατομή με συγκεντρωμένο φορτίο Αν ενεργεί συγκεντρωμένο φορτίο τότε από συνθήκη ισσοροπίας δυνάμεων προκύπτει ότι Q =Q-P που σημαίνει ότι η συνάρτηση των τεμνουσών δυνάμεων είναι σταθερή και ίση με Ρ. Στο το σημείο που εφαρμόζεται η δυναμη Ρ εμφανίζεται ένα άλμα στην γραφική παράσταση των Q(x), ένα είδος ασυνέχειας δηλαδή που συμβαίνει από την απότομη μεταβολή της τέμνουσας δύναμης. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 3

24 Παραδείγματα διαγραμμάτων ΝQM dm Q dx dq qx ( ) dx x d M 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 4

25 Παραδείγματα διαγραμμάτων ΝQM Συμπέρασμα: ΤΑ ΜΕΓΕΘΗ N,Q,M ΕΊΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ x. ΜΕ ΑΛΛΑ ΛΟΓΙΑ Ο ΣΩΣΤΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΕΊΝΑΙ N(x), Q(x), M(x) 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 5

26 Διαδικασία χάραξης διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών [Ν], [Q], [M]- (1/) (Προσοχή: το x= απόσταση μέχρι την τομή, l=μήκος δοκού) Στατική προσέγγιση / από την ΔΕΣ Σχήματα (α), (β) P 0 : H P cos 0 H x 1 M 0 : P sin P V l 0 1 P1sin P VB l P 0 : V P sin P V 0 V y 1 B M 0 : V l P ( l ) sin P ( l ) 0 B 1 P1( l )sin P( l ) l B Pcos 1 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 6

27 Διαδικασία χάραξης διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών [Ν], [Q], [M]- (/) Τομή μ-ν/ Σχήματα (γ), (δ) a x (δύναμη P ) P 0 : N( x) H P cos 0 x N( x) H P cos P 0 : - Q( x) V P sin 0 y Q( x) V P sin 1 M 0 : -M(x)+ V x P sin ( x a) 0 k M(x) = V x P sin ( x a) x l P 0 : N( x) H P cos 0 x 1 (δύναμεις P, P ) N( x) H P cos P 0 : - Q( x) V P sin P 0 y Q( x) V P sin P M k : -M(x) V x P sin ( x a) P ( x ) 0 M(x)= V x P sin ( x a) P ( x ) 1 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 7

28 Παραδείγματα χάραξης [N], [Q], [M] σε δοκούς που φέρουν διαφορετικά είδη φόρτισης. 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 8

29 Δοκός με κατανεμημένο φορτίο (1/) Βήμα 1 : Κατασκευάζουμε ΔΕΣ Βήμα : Υπολογίζουμε αντιδράσεις Fy 0 V V B ql 0 (1) l M 0 VBl ql 0 () ql (1),() V VB Βήμα 3 : Υπολογισμός Q(x), M(x), N(x)=0 ql Fy 0 : Q( x) qx 0 Q( x) x M 0 : M ( x) Vx qx M( x) ql (3),(4) Για x 0 Q0, M 0 0 ql (3),(4) Για x l Ql, M l 0 l ql (3),(4) Για x Ql / 0, M l/ 8 ql qx ql qx x (3) (4) 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 9

30 Δοκός με κατανεμημένο φορτίο (/) Χαράσουμε τα NQM και παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει αξονικό φορτίο και ότι το διάγραμμα καμπτικών ροπών είναι παραβολή ου βαθμού με μέγιστο ql /8. Ορολογία: ΔΑΔ= Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων ΔΤΔ= Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων ΔΡΚ= Διάγραμμα Ροπών Κάμψης 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 30

31 Δοκός με κατανεμημένο τριγωνικό φορτίο (1/) Βήμα 1 : Κατασκευάζουμε το ΔΕΣ Βήμα : Υπολογίζουμε τις αντιδράσεις ql Fy 0 V V B 0 (1) ql l M 0 VBl 0 () 3 ql ql (1),() V, VB 6 3 Βήμα 3 : Υπολογισμός Q(x), M(x), N(x)=0 x Fy 0 - Q( x) V q 0 Q( x) V (όμοια τρίγωνα ΑΓΓ'/ΑΒΒ' q ' ( q / l) x ) qx l qx x M 0 - M( x) Vx 0 M( x) 3 (σε ένα τυχαίο σημείο Γ) qlx qx 6 6l 3 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 31

32 Δοκός με κατανεμημένο τριγωνικό φορτίο (/) Αυτά είναι τα τελικά διαγράμματα εντατικών μεγεθών που προκύπτουν. Ορολογία: ΔΑΔ= Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων ΔΤΔ= Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων ΔΡΚ= Διάγραμμα Ροπών Κάμψης 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 3

33 Πρόβολος με δύναμη στο ένα άκρο (1/) Βήμα 1 : Κατασκευάζουμε το ΔΕΣ Βήμα : Υπολογίζουμε τις αντιδράσεις. F 0, F 0 V P 0 V P x y Βήμα 3 : Υπολογισμός Q(x), M(x), N(x)=0 F 0 V Q( x) 0 Q( x) y M 0 M ( x) Px 0 (3),(4) Για x 0 M 0 (3),(4) Για M l Pl 0 P M ( x) Px (3) (4) 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 33

34 Πρόβολος με δύναμη στο ένα άκρο (/) Αυτά είναι τα διαγράμματα εντατικών μεγεθών που προκύπτουν. Ορολογία: ΔΑΔ= Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων ΔΤΔ= Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων ΔΡΚ= Διάγραμμα Ροπών Κάμψης 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 34

35 Τέλος Ενότητας 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 35