και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : ( ) Οι πιθανές θέσεις που μπορεί να παρουσιάσει ακρότατα μια συνεχής συνάρτηση είναι : ) Τα σημεία που η παράγωγος της είναι ίση με ) Τα σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν είναι παραγωγίσιμη (συνήθως τα σημεία αλλαγής τύπου δικλαδης συνάρτησης) ) Τα άκρα των κλειστών διαστημάτων που περιέχονται στο πεδίο ορισμού της Αν πχ το πεδίο ορισμού της είναι [α,β] και η είναι γνησίως αύξουσα τότε : a) τοπικό ελάχιστο στο α το (α) b) τοπικό μέγιστο στο β το (β) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ) Να βρείτε τα, ώστε η συνάρτηση ( ) a, να παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο το - Έχω : ( ) a με D και ( ) ( a ) a το είναι εσωτερικό του D η παρουσιάζει ακρότατο στο η είναι παραγωγίσιμη στο Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘFrmat οπότε : ( ) 6 () Επίσης επειδή η παρουσιάζει ακρότατο στο το -, είναι ( ) 9 9 () 6 Από () και () έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ) Να βρείτε τα, ώστε η συνάρτηση ( ) a, να παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία και ) Να βρείτε τα, ώστε η συνάρτηση ( ) a ln( ) 4, να παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία και 4) Να βρείτε τα, ώστε η συνάρτηση ( ) a, να παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο το ()= - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Η ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση δεν έχει ακρότατα τότε δουλεύουμε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο Υποθέτουμε δηλαδή ότι παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο οπότε από Θ Frmat ισχύει ( ) από όπου καταλήγουμε σε άτοπο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5) Δίνεται παραγωγισιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ) Έχω : συνάρτηση ( ) για κάθε Να αποδείξετε ότι η δεν έχει ακρότατα είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισιμων, ομοίως και η συνάρτηση 5 είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική Επομένως παραγωγίζω και τα μέλη της () και έχω : ( ( ) ( )) ( 5) ( ) ( ) ( ) () Στη () για έχω : ( ) ( ) ( ) αδύνατη Άρα η δεν παρουσιάζει ακρότατο στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) δεν έχει ακρότατα 7) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ) ( ) ακρότατα 5 ( ) ( ) 5 () Έστω ότι η παρουσιάζει ακρότατο στο και η είναι παραγωγισιμγη στο, άρα από Θ Frmat ισχύει : ( ) Η ( ) ( ) 6 για κάθε Να αποδείξετε ότι η δεν έχει 8) Δίνεται η συνάρτηση ( ) με,, Αν ισχύει ότι, να αποδείξετε ότι η δεν έχει ακρότατα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΙΣΟΙΣΟΤΗΤΑ FERMAT (ΚΡΥΦΟ FERMAT) Όταν μας δίνεται δεδομένη μια ανισότητα της μορφής ( ) g( ) για κάθε, τότε : ον μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και έχουμε : ( ) g( ) για κάθε ον θεωρούμε συνάρτηση h( ) ( ) g( ),, οπότε h( ), ον βρίσκουμε ένα για το οποίο ισχύει h ( ), οπότε έχουμε : h( ) h( ), 4 ον άρα η () παρουσιάζει μέγιστο στο και αν ισχύουν οι υποθέσεις του h Θ Frmat έχουμε : h( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9) Για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει ότι : ln για κάθε Να αποδείξετε ότι α= Για κάθε είναι ln ln () Έστω ( ) ln,, με ( ) Η () γίνεται ln ( ) () όμως παρατηρούμε ότι ( ) Άρα για κάθε : ( ) ( ) ( ) () Επομένως : η παρουσιάζει μέγιστο στο (, ) το είναι εσωτερικό του ) η είναι παραγωγίσιμη στο Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘFrmat οπότε : ( ) ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( ),, όπου και Αν ( ) για κάθε, να αποδείξετε ότι (Θέμα ο Πανελλήνιες 9) Είναι ( ) ln( ), (, ) και ( ) ln Για κάθε είναι ( ) () όμως παρατηρούμε ότι ( ) Άρα για κάθε : ( ) ( ) ( ) () Επομένως : η παρουσιάζει ελάχιστο στο (, ) το είναι εσωτερικό του (, ) η είναι παραγωγίσιμη στο Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘFrmat οπότε : ( ) ln ln ln ln ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : a ) Αν για κάθε > ισχύει ln a, να βρείτε το α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : ln( ) ( ), για κάθε Να βρείτε την εφαπτομένη (ε) της C στο σημείο της Α(,) ) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : ( ) ( ), για κάθε Να βρείτε την εφαπτομένη (ε) της C στο σημείο της Α(,) 4) Αν για τη συνάρτηση ( ) ln, ισχύει ( ) () για κάθε >, να βρείτε το α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5) Έστω :, μια συνάρτηση, με [, ] και ( ) [,5] Αν επιπλέον ισχύει ( ), () 4 και η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε ( ) Η είναι συνεχής στο [, ], άρα σύμφωνα με το ΘΜΕΤ έχει μέγιστο και ελάχιστο Όμως ( ) [,5] ( ) 5 για κάθε [, ] Όμως ( ) () 4 5, άρα η δεν παρουσιάζει ακρότατα στα άκρα, του [,] Δηλαδή η παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο σε εσωτερικά σημεία του [,] Έστω, (, ) με τα σημεία που η παρουσιάζει ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο) Τότε : η παρουσιάζει ακρότατα στα, τα, είναι εσωτερικά του [, ] η είναι παραγωγίσιμη στα, Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘFrmat οπότε : ( ) ( ) Επομένως για να δείξω ότι υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ), θα εφαρμόσω ΘRoll για την στο [, ] η είναι συνεχής στο [, ] η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ( ) ( ) Επομένως από ΘRoll υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6) Έστω :, μια συνάρτηση, με [,] και ( ) [,] Αν επιπλέον ισχύει ( ), () και η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Για να εξετάσουμε μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της D ii Βρίσκουμε την '( ) χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης iii Λύνουμε την εξίσωση '( ) iv Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών της στον οποίο πρέπει να περιέχονται το ΠΟ της καθώς και οι ρίζες της ( ) v Βρίσκουμε το πρόσημο της '( ) είτε λύνοντας τις ανισώσεις ' ( ) και ' ( ) είτε βρίσκοντας το πρόσημο μιας τιμής της '( ) σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες της vi Συμπληρώνουμε το είδος της μονοτονίας της () ανάλογα με το πρόσημο της '( ) Ισχύει : Αν ' ( ) τότε η () γνησίως αύξουσα Αν '( ) τότε η () γνησίως φθίνουσα i Αν η '( ) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν σε μια ρίζα της '( ), τότε η παρουσιάζει ακρότατο ii Αν η () δεν έχει ρίζες, διαστήματα μονοτονίας είναι τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i ( ) 6 ii ( ) 9 7 iii ( ) iv ln ( ) i ( ) 6, D, ( ) 6, ( ) () - + γν φθίνουσα ΟΕ γν αύξουσα (Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις πρωτοβάθμιες ανισώσεις, δηλ δεξιά του ομόσημο του α δηλ του συντελεστή του ) Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : ( ) για κάθε (,) άρα η () γνησίως φθίνουσα για κάθε (,] ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως αύξουσα για κάθε [, ) Η () παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το ( ) 6 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ii ( ) 9 7, D, ( ) 6 9, ( ) 6 9, ή, () γν γν αύξουσα ΤΜ φθίνουσα ΤΕ γν αύξουσα (Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις δευτεροβάθμιες ανισώσεις, δηλ όταν Δ> και η εξίσωση έχει ρίζες, τότε για τα πρόσημα ισχύει ότι εντός των ριζών είναι ετερόσημο του α δηλ του συντελεστή του ) Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : ( ) για κάθε (, ) (, ) άρα η () γνησίως αύξουσα για κάθε (, ] και για κάθε [, ) ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως φθίνουσα για κάθε [, ] Η () παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, το ( ) 4 Η () παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο, το ( ) iii ( ), () D, ) (, ( ) - + () - + γν φθίνουσα ΟΕ γν αύξουσα (Για το πρόσημο της () δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις ( ) και ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι) (Με τη βοήθεια αυτών Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως φθίνουσα για κάθε (, ] ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως αύξουσα για κάθε [, ) Η () παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το ( ) iv ln ln ( ), D (, ), ( ), ln ( ) ln ln ln ln + () + - γν αύξουσα ΟΜ γν φθίνουσα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο (Για το πρόσημο της () δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις ( ) και ( ) ) ά ( ) ln ( ) ( ln ) ln ln ln ln ά ( ) ln ( ) ( ln ) ln ln ln ln (Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι) Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως αύξουσα για κάθε (, ] ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως φθίνουσα για κάθε [, ) Η () παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i ( ) 6 ii ( ) 6 iii ( ) iv ( ) v 4 ( ) vii ( ) 7 6 9) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i ( ) 6 9 ii ( ) iii ( ) 6 5 iv ( ) 5 v ( ) 5 ) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i ( ) ii ( ) ( 5 7) iii iv ( ) ( ) v ( ) ln vi ( ) ln(8 ) vii ( ) ln( ) viii ( ) i ( ) ( ) ln ) Δίνεται η συνάρτηση ακρότατα ( ) ln Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ) Δίνεται η συνάρτηση g( ) i Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της g ii Για τη συνάρτηση ( ) να αποδείξετε ότι g( ) ( ) και ότι δεν υπάρχει οριζόντια εφαπτομένη στη καμπύλη της ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα 4) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα στο αντίστοιχο διάστημα οι παρακάτω συναρτήσεις : i ( ) 4 στο [,4] ii ( ) στο [-,] iii ( ) 7 στο [,] iv ( ) ln στο[,] v ( ) 6 vi vii ( ) 4 ( ) 5) Δίνετε η συνάρτηση ( ) 9,, Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου λ, αν είναι γνωστό ότι το τοπικό ελάχιστο της είναι αντίθετο από το τοπικό της μέγιστο 6) Δίνεται η συνάρτηση ( ),, Να υπολογίσετε την τιμή της παραμέτρου λ, αν είναι γνωστό ότι το τοπικό μέγιστο της είναι τριπλάσιο από το τοπικό ελάχιστο 7) Δίνεται η συνάρτηση : ( ) 6, με, Η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι ( ) 98 i Να αποδείξετε ότι 6 και 54 ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (-,) (ΕΣΠΕΡΙΝΑ 4) 8) Δίνεται η συνάρτηση g( ) ln i Να βρείτε το ελάχιστο της g ii ln g( ) Για τη συνάρτηση ( ) να δείξετε ότι ( ) και ότι η δεν έχει ακρότατα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ Εξετάζουμε αν η είναι συνεχής στο σημείο που αλλάζει τύπο, αλλά δεν χρειάζεται να εξετάσω αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, καθώς δεν επηρεάζει τη μονοτονία της Βρίσκουμε την () για και την () για Βρίσκουμε το πρόσημο της () για και της () για Σχηματίζω πίνακα με το πρόσημο της και την μονοτονία της Στην πρώτη γραμμή του πινάκα γραφώ τις ρίζες της ()= και τα σημεία αλλαγής τύπου της ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης : 4, ( ) 6 7, Πρώτα εξετάζουμε αν η είναι συνεχής στο Έχω : ( ) lim ( ) lim( 4 ) lim ( ) lim( 6 7) Άρα η είναι συνεχής στο Για (,) είναι ( ) ( 4 ) 4, ( ) 4 Για (, ) είναι ( ) ( 6 7) 6, ( ) 6 Άρα τελικά : () γν γν φθίνουσα ΤΕ γν αύξουσα ΤΜ ΤΕ γν αύξουσα φθίνουσα Η () είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (, ] και [,] Η () είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [,] και [, ) Η () παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο το ( ) ( ) 7 και στο το ( ) () Η () παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο το ( ) () ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις : 4,, i ( ) ii ( ) 6 7, 8, iii ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Αν μια συνάρτηση : παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το ( ), δηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης ( ), τότε το θα είναι και η μοναδική ρίζα και για κάθε είναι ( ) Αν μια συνάρτηση : παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο το ( ), δηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης ( ), τότε το θα είναι και η μοναδική ρίζα και για κάθε είναι ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να λύσετε την εξίσωση ( ) i ( ) ln με D (, ), έχω ( ) ( ln ) ln ln ( ) ln ln ln ln + () - + γν φθίνουσα ΟΕ γν αύξουσα ( ) ln ln ln ln ( ) ln ln ln ln (Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι) Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως φθίνουσα για κάθε (, ] ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως αύξουσα για κάθε [, ) Η () παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το ( ) ln ii Από το i ισχύει ότι ( ) άρα η είναι λύση της εξίσωσης ( ) και επειδή η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το ( ), η είναι και μοναδική λύση της εξίσωσης ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να λύσετε την εξίσωση ( ) ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να λύσετε την εξίσωση ( ) iii Αν ισχύει ( ) ( 4 ), να βρείτε τα α,β 4) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( ) i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να λύσετε την εξίσωση ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΠΡΟΣΗΜΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ Αν μια συνάρτηση : παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, τότε ισχύει ότι ( ) για κάθε Αν μια συνάρτηση : παρουσιάζει ολικό μέγιστο, τότε ισχύει ότι ( ) για κάθε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5) Δίνεται η συνάρτηση ( ) i Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα και να βρείτε το πρόσημο της ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) είναι γνησίως αύξουσα i Έχω : ( ) με D, έχω ( ) ( ) ( ) ( ) () γν φθίνουσα ΟΕ γν αύξουσα ( ) (Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι) Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως φθίνουσα για κάθε (, ] ( ) για κάθε (, ) άρα η () γνησίως αύξουσα για κάθε [, ) Η () παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το ( ) Άρα ισχύει ( ) ( ) ( ) για κάθε D, οπότε και ( ) για κάθε D ii Έχω : g( ) g( ) ( ) για κάθε D ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : g με ( ) D, επίσης έχω : g άρα g () είναι γνησίως αύξουσα 6) Δίνεται η συνάρτηση ( ) Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της Στη συνέχεια να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία ( ) 7) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 8) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln i Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) ln είναι γνησίως φθίνουσα 9) i Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση ( ) και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της ii Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση ( ) και να βρείτε το πρόσημο της iii Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g ( ) και h( ) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο έχουν κοινή εφαπτόμενη ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9Α : ΒΟΗΘΕΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ Μια συνάρτηση () με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο όταν ( ) ( ) για κάθε σε μια περιοχή του Αντίστοιχα μια συνάρτηση () με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο όταν ( ) ( ) για κάθε Μια συνάρτηση () με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο όταν ( ) ( ) για κάθε σε μια περιοχή του Αντίστοιχα μια συνάρτηση () με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο όταν ( ) ( ) για κάθε Αν θέλω να αποδείξω ότι ισχύει μια ανισότητα της μορφής ( ) g( ) : ον Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος ον Θεωρούμε το πρώτο μέλος συνάρτηση h( ) ( ) g( ) ον Βρίσκω τη μονοτονία της h () και την εφαρμόζω στο αντίστοιχο διάστημα ώστε να αποδεδειχθεί η ανίσωση ή ον Βρίσκουμε το ολικό μέγιστο ή ελάχιστο της h () ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 4) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln i Να βρείτε τα ακρότατα της ii Να αποδείξετε ότι : ln για κάθε i D (, ), ( ), ( ), ή, απορρίπτεται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο + () + - γν αύξουσα ΟΜ γν φθίνουσα ( ) ( ) (,) * Επειδή όμως πρέπει, άρα (,) ( ) ( ) (, ) (, ) * Επειδή όμως πρέπει, άρα (, ) *Για την ανίσωση, έχω Άρα η () παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ( ) ii Επειδή η () παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ( ), τότε ισχύει : ( ) () ln ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα ln ln 4) Να αποδειχθούν οι παρακάτω ανισότητες για τις διάφορες τιμές του i για ii για iii ln για iv ln για χ> v ln για vi για (υπόδειξη : αν δεν είναι εύκολο να βρω το πρόσημο της, βρίσκω την μετά το πρόσημο της δηλ τη μονοτονία της από εκεί το πρόσημο της άρα τη μονοτονία της ) 4) Να αποδειχθούν οι παρακάτω ανισότητες για τις διάφορες τιμές του i για ii για χ< iii ln για χ> iv ln για χ> v για χ> (υπόδειξη : πρώτα λογαριθμίζω και τα μέλη) 4) Δίνεται η συνάρτηση ( ) i Να βρείτε τα ακρότατα της ii Να αποδείξετε ότι :, για κάθε v * 44) Δίνεται η συνάρτηση ( ), v N, i Να βρείτε τα ακρότατα της v v v * ii Να αποδείξετε ότι : v, v N,

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ln 45) Δίνεται η συνάρτηση ( ) i Να βρείτε τα ακρότατα της ii Να αποδείξετε ότι :, για κάθε 46) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα i ln τη συνάρτηση ( ) ii Έστω : (,) μια συνάρτηση με ( ), η οποία είναι συνεχής και ισχύει ( ) ln, Να βρείτε τον τύπο της 47) Έστω : μια συνάρτηση με ( ), η οποία είναι συνεχής και ισχύει ( ), Να βρείτε τον τύπο της 4 48) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του για την οποία ισχύει : 4 για κάθε 49) Δίνεται η συνάρτηση : ( ) ln, i Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ii Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (, ( )) όπου η θέση ελαχίστου της iii Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ισχύει : ln για κάθε iv Για την τιμή του λ που βρήκατε, να αποδείξετε ότι η ευθεία y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g( ) ln 5) Δίνεται η συνάρτηση : ( ), i Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ii Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ισχύει : για κάθε iii Για την τιμή του λ που βρήκατε, να αποδείξετε ότι η ευθεία y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9Β : ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ln Η ανισότητα ln ισχύει για κάθε και μπορούμε να τη χρησιμοποιούμε (χωρίς απόδειξη) για να βρίσκουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης Στην παραπάνω ανισότητα το = ισχύει μόνο για Όπως μπορούμε να δούμε στην παρακάτω γραφική παράσταση, ισχύει ακόμα η παρακάτω ανίσωση (χρειάζεται απόδειξη) : ln για κάθε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5) Να δείξετε ότι ln για κάθε Αρκεί να δείξουμε ότι ln για κάθε Έστω ( ) ln, Έχουμε ( ), (, ) Η εξίσωση ( ) έχει μία μόνο ρίζα, την Η μονοτονία και τα ακρότατα της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: y O y= y=ln + () + () επειδή η για παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, για κάθε (, ) ισχύει: ( ) () ln ln Η ισότητα ισχύει μόνο όταν 5) Να δείξετε ότι : i ln για κάθε ii για κάθε iii για κάθε iv για κάθε i Είναι ln για κάθε Επίσης για κάθε, τελικά : ln για κάθε ii Είναι ln για κάθε Αν θέσουμε όπου το, για κάθε, έχουμε : ln, για κάθε, και το = ισχύει μόνο για Άρα για κάθε (καθώς για κάθε ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 5 min

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο iii Είναι ln για κάθε Αν θέσουμε όπου το, για κάθε, έχουμε : ln, για κάθε, και το = ισχύει μόνο για iv Είναι ln για κάθε Άρα Επίσης γνωρίζουμε ότι : ln ln, για κάθε και το = ισχύει μόνο για Άρα για είναι Τελικά για κάθε είναι : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5) Να βρειτε το πεδιο ορισμου της συναρτησης : ( ) 54) Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συναρτηση : ( ) ln( ln ) 55) Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συναρτηση : ( ) 56) Να αποδειξετε ότι : i ln, ii, iii, 57) Εστω : μια συναρτηση η οποια είναι συνεχης και ισχυει ( ) ( ) για κάθε Να βρειτε τον τυπο της 58) Να λύσετε τις εξισωσεις : i ln ii ln( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗΣ ()= ΕΥΡΕΣΗ ΠΛΗΘΟΥΣ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ Για να βρούμε το πλήθος ριζών της ( ) ον Βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας της (),,,, και μετά τα αντίστοιχα σύνολα τιμών : ( ), ( ),, ( ) ον Αν ( ), τότε στο η εξίσωση έχει μια ακριβώς ρίζα ον Αν ( ), τότε στο η εξίσωση δεν έχει καμία ρίζα Ομοίως αν έχω την εξίσωση ()=κ ον Αν ( ), τότε στο η εξίσωση έχει μια ακριβώς ρίζα ον Αν ), η εξίσωση δεν έχει καμία ρίζα ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 59) Έστω οι συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το ΙR Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης og είναι - i Να δείξετε ότι η g είναι - ii Να δείξετε ότι η εξίσωση : g ( ) g ( ) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα ( ο Θέμα Πανελλήνιες ) i Έστω, D g με g ' ' ) g( ) ) g( ) g( ) ( g)( ) ( g)( g( Άρα η g είναι - g:' ' ii g ( ) g ( ) ( ) ( ) Έστω h ( ), θα δείξω ότι η εξίσωση h ( ) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα h ( ), με D, h ( ) ( ) h ( ) () h h γν αύξουσα ΤΜ h γν φθίνουσα ΤΕ γν αύξουσα Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : h ( ) για κάθε (, ) (, ) άρα η h () γνησίως αύξουσα στο (, ] και στο [, ) h ( ) για κάθε (, ) άρα η h () γνησίως φθίνουσα στο [, ] Η h () γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (, ] άρα h( ) ( lim h( ), h( )], lim h( ) lim ( ) lim ( ), h ( ) Άρα h ( ) (,] Το h ( ) άρα η εξίσωση h ( ) έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, ] που είναι αρνητική ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Η h () γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [, ] άρα h ( ) [ h(), h( )] [,], Το h ( ) άρα η εξίσωση h ( ) έχει ακριβώς μια ρίζα στο [, ] (σε αυτή τη ρίζα δεν γνωρίζω το πρόσημο, μπορεί να είναι αρνητική αν ανήκει στο (,) ή θετική αν ανήκει στο (,) Η h () γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [, ) άρα h( ) [ h(), lim h( )), lim h( ) lim ( ) lim ( ), h ( ) Άρα h ( ) [, ) Το h ( ) άρα η εξίσωση h ( ) έχει ακριβώς μια ρίζα στο [, ) που είναι θετική Το μόνο που απομένει είναι να δείξω ότι ρίζα του [, ] είναι θετική, δηλαδή πρέπει να δείξω ότι ανήκει στο διάστημα (,) Θ Bolzano για την h () στο [,] Η h () είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική, h ( ), h ( ) άρα h ( ) h() από Θ Bolzano η εξίσωση h ( ) έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,) Δηλαδή η ρίζα του [, ] είναι θετική και τελικά η εξίσωση h ( ) έχει ακριβώς δυο θετικές και μια αρνητική ρίζα 6) ln, Δίνεται η συνάρτηση ( ), i Με δεδομένο ότι η είναι συνεχής στο, να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις πραγματικές τιμές του α ( ο Θέμα Πανελλήνιες 8) i Για κάθε έχουμε ( ) ( ln ) ln, ( ) ln ln ( ) ln ln ( ) ln ln + () - + γνφθινουσα οε γν αύξουσα Άρα ( ) για, και συνεχής στο, άρα, ( ) για, δηλ, Για το σύνολο τιμών έχουμε : γν φθίνουσα και συνεχής στο,, άρα, (), ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο γν αύξουσα και συνεχής στο, lim ( ),,, άρα καθώς lim ( ) lim ln Τελικά το σύνολο τιμών είναι : ii Για κάθε είναι : ln ln ln, ln ( ) Άρα έχουμε να βρούμε το πλήθος των διαφορετικών ριζών της εξίσωση για όλες τις πραγματικές τιμές του α Tο σύνολο τιμών είναι : () αν, τότε η εξίσωση () δεν έχει καμία ρίζα αν, τότε η εξίσωση () έχει δυο ρίζες αν, τότε η εξίσωση () έχει μια ρίζα αν τότε η εξίσωση () ( ) έχει ακριβώς μια ρίζα την, καθώς στο η παρουσιάζει ελάχιστο το αν τότε η εξίσωση () ( ) ln ή ln ή έχει ακριβώς μια ρίζα την ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5 4 Να βρείτε : i Τη μονοτονία της ii Το σύνολο τιμών της iii Το πλήθος ριζών της ()= 6) Να βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων : ii 6 iii 6) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση να έχει μια ακριβώς ρίζα στο (,) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 64) Για τις διάφορες τιμές του α να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : 65) Για τις διάφορες τιμές του α να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( ) i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει ακριβώς δυο ρίζες στο πεδίο ορισμού της 67) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 4 i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει ακριβώς δυο ρίζες στο πεδίο ορισμού της 68) Δίνεται η συνάρτηση () ln - i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ()= έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της (4 ο Θέμα Πανελλήνιες 6) 69) Δίνεται συνάρτηση ( ), i Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ii Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του, για την οποία ισχύει, για κάθε iii Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα ii να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ) : y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g( ) 7) Δίνεται συνάρτηση ( ) ln, i Να βρείτε την μέγιστη τιμή της ii Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του, για την οποία ισχύει ln, για κάθε (, ) iii Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα ii να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ) : y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g( ) ln 7) Δίνεται η συνάρτηση()= ημ θ όπου θ ε IR μια σταθερά με π θ κπ+, κ ε Z i Να αποδειχθεί ότι η παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο ii Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ()= έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες ( ο Θέμα Πανελλήνιες 7) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7) Δίνεται η συνάρτηση ( ) Να δείξετε ότι η έχει δυο, ακριβώς, τοπικά ακρότατα, και στη συνέχεια να βρείτε το είδος τους Αρχικά πρέπει που ισχύει για κάθε Αυτό αποδεικνύεται από τη βασική ανισότητα : ln για κάθε Αν θέσουμε όπου το, για κάθε, έχουμε : ln, για κάθε, και το = ισχύει μόνο για Άρα για κάθε (καθώς για κάθε ) ( ) ( ) Τελικά και ( ) Για να δείξω ότι η έχει ( ) ( ) δυο, ακριβώς, τοπικά ακρότατα, αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση ( ) έχει ακριβώς δυο ρίζες όπου και αλλάζει το πρόσημο της () Έστω g ( ), ( ) Επειδή ( ) για κάθε, αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση g ( ) έχει ακριβώς δυο ρίζες (εύρεση πλήθους ριζών για τη g ( ) ) g ( ) ( ), g ( ) + () Άρα ( ) g + - g γν αύξουσα ομ γνφθίνουσα g για, και συνεχής στο, άρα g, g ( ) για, δηλ g, Για το σύνολο τιμών έχουμε : g γν αύξουσα και συνεχής στο lim g( ) lim, άρα g lim g( ), g() καθώς lim lim lim lim DLH Άρα : g,, το g,, άρα η εξίσωση g ( ) έχει ακριβώς μια ρίζα στο, Δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένα, τέτοιο ώστε g ( ) g γν φθίνουσα και συνεχής στο [, ), άρα g lim g( ), g() lim g( ) lim lim ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Άρα : g (, ], το g (, ], άρα η εξίσωση g ( ) έχει ακριβώς μια ρίζα στο [, ) Δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένα [, ) τέτοιο ώστε g ( ) Τελικά έχουμε : Αν, Τότε για κάθε : g g ) g( ) g() ( ) g ( g ) g( ) g() ( ) ( Αν, Τότε για κάθε : g g ) g( ) g() ( ) g ( g ) g( ) g() ( ) ( - + () γν γν γν φθίνουσα ΤΕ ΤΜ γν φθίνουσα αύξουσα αύξουσα Τελικά όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα η παρουσιάζει ακριβώς δυο τοπικά ακρότατα, στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο και στο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7) Δίνεται η συνάρτηση ( ) με Να δείξετε ότι η έχει ακριβώς ένα τοπικό ακρότατο, και στη συνέχεια να βρείτε το είδος του 74) Δίνεται η συνάρτηση ( ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,), τέτοιο, ώστε η να παρουσιάζει ελάχιστο ln 75) Δίνεται η συνάρτηση ( ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,), τέτοιο, ώστε η να παρουσιάζει ελάχιστο και στη συνέχεια ότι η ελάχιστη τιμή της είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Για να υπολογίσουμε το μέγιστο ή το ελάχιστο ενός μεγέθους που περιγράφεται μέσα από πρόβλημα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i Αν το πρόβλημα έχει γεωμετρική φύση, κατασκευάζουμε το σχήμα ii βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους που αναφέρεται το ακρότατο Αν η συνάρτηση περιέχει δυο μεταβλητές, βρίσκουμε μια σχέση που τις συνδέει (από την εκφώνηση του προβλήματος ή από το σχήμα) και αντικαθιστούμε τη μια συνάρτηση της άλλης iii Από την εκφώνηση του προβλήματος βρίσκουμε τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται η μεταβλητή, οι οποίοι καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης iv Τέλος κάνουμε μελέτη μονοτονίας και ακρότατων της συνάρτησης, απ όπου προκύπτει και το αποτέλεσμα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 76) Θέλουμε να τυπώσουμε σελίδες εμβαδού 84cm έτσι, ώστε τα περιθώρια του κειμένου να είναι cm πάνω και κάτω και cm δεξιά και αριστερά Ποιες διαστάσεις πρέπει να έχει κάθε σελίδα, ώστε το κείμενο να καταλαμβάνει τον μεγαλύτερο δυνατό χώρο της σελίδας Έστω ότι οι διαστάσεις της σελίδας είναι,y Τότε θα είναι 84 ί 84 y 84 y () Οι διαστάσεις του χώρου που καταλαμβάνει το κείμενο είναι ή 4και ύ y y 6 Άρα το εμβαδόν του χώρου που καταλαμβάνει το κείμενο είναι : έ ( 4)( y 6) Ψάχνουμε τις τιμές των,y ώστε το έ να γίνεται μέγιστο () ( ) έ ( 4) Το πεδίο ορισμού προκύπτει ως εξής : το μικρότερο μήκος είναι min 4 Για να βρω τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το μήκος θα πρέπει να λάβω υπόψη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 84 ότι y 84 y Άρα όσο μεγαλώνει το τόσο μικραίνει το y Άρα το μέγιστο 84 το βρίσκω θέτοντας το μικρότερο y που είναι y min 6 Άρα 6 ma 64 Άρα D (4,64) έ Θέλω να βρω τις τιμές του για τις οποίες το () έ παίρνει τη μέγιστη τιμή του ( ) έ , ( ) έ , ή, 6 απορ () έ + - () έ γν αύξουσα ΟΜ γν φθίνουσα ( ) έ 6 (56 6 ) ( 6,6) *, όμως D (4,64) άρα (4,6 ) έ ( ) έ 6 (56 6 ) (, 6) (6, ) *, όμως D (4,64) άρα (6,64 ) έ *Για την ανίσωση 56, έχω Από το πινακάκι βλέπουμε ότι το 56 ( 6) cm cm και y 4cm 6 παίρνει τη μέγιστη τιμή όταν 6 την () έ έ Άρα οι ζητούμενες διαστάσεις είναι ma 77) Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π () κάθε μονάδας ενός προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους των μονάδων παραγωγής, σύμφωνα με τον τύπο Π( ) 4 6 Το κόστος παραγωγής μιας μονάδας είναι 4 ευρώ Αν η βιομηχανία πληρώνει φόρο ευρώ για κάθε μονάδα προϊόντος, να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος Η είσπραξη από την πώληση μονάδων παραγωγής είναι E( ) ( ) (4 6) 6 4 Το κόστος από την παραγωγή μονάδων είναι Το ολικό κόστος μετά την πληρωμή του φόρου είναι : Επομένως, το κέρδος της βιομηχανίας είναι K( ) 4 P( ) E( ) K ( ) K ( ) 4 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Έχουμε P ( ) 48, οπότε η P ( ) έχει ρίζα την 9 Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ στο (, ) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 9 + P () + P() 546 ma Επομένως, το μέγιστο κέρδος παρουσιάζεται όταν η βιομηχανία παράγει 9 μονάδες από το προϊόν αυτό και είναι ίσο με 546 χιλιάδες ευρώ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 78) Να βρείτε το σημείο της ευθείας y = χ- που είναι πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων 79) Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) 6 9 η εφαπτομένη έχει τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης; 8) Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) ln η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; 8) Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (, ) η εφαπτομένη έχει τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης; ( ), 8) Να βρείτε δυο αριθμούς,y με σταθερό άθροισμα, που να έχουν το μεγαλύτερο γινόμενο 8) Από όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 4τμ να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που έχει τη μικρότερη περίμετρο 84) Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 4μ να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν 85) Ένα σύρμα μήκους m κόβεται σε δυο τμήματα με τα οποία σχηματίζουμε ένα κύκλο και ένα τετράγωνο Να βρείτε τη πλευρά του τετραγώνου και τη διάμετρο του κύκλου, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δυο σχημάτων να είναι ελάχιστο 86) Να βρείτε το σημείο της καμπύλης y που έχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Α (,) 87) Να βρείτε το σημείο της καμπύλης y που έχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Α (,) 88) Το ημερήσιο κόστος παραγωγής χ μονάδων ενός προϊόντος ημερησίως δίνεται από τον τύπο ( ) 54 χιλιάδες ευρώ, ενώ η είσπραξη από την ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 5

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο πώληση τους δίνεται από τον τύπο ( ) 6 4 χιλιάδες ευρώ Να βρεθεί η ημερήσια ποσότητα παραγωγής, ώστε το κέρδος να είναι μέγιστο 89) Το κόστος C της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος από μια βιομηχανία που απασχολεί ν εργάτες δίνεται από τον τύπο : C( ) 6v 7v σε μονάδες ευρώ, > Το κέρδος ανά μονάδα προϊόντος είναι -ν δεκάδες ευρώ Να βρείτε πόσες μονάδες πρέπει να παράγονται ημερησίως και από πόσους εργάτες, ώστε να έχουμε ελάχιστο κόστος και μέγιστο κέρδος 9) Να βρείτε το σημείο της καμπύλης της ( ) 4 που η απόσταση του από το σημείου(,) να είναι ελάχιστη 9) Ένας ιχθυοκαλλιεργητικής πήρε άδεια να χρησιμοποιήσει μια θαλάσσια περιοχή σχήματος ορθογωνίου την οποία θα περιφράξει με δίχτυ μήκους 6 μέτρων Μόνο οι τρεις πλευρές πρόκειται να περιφραχτούν με δίχτυ i Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε() της θαλάσσιας περιοχής που θα περιφραχτεί δίνεται από τον τύπο : ( ) 6 (υποθέσουμε ) ii Να υπολογίσετε την τιμή, ώστε το εμβαδόν της περιοχής να γίνεται μέγιστο iii Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού () 9) Η τιμή Ρ (σε χιλιάδες ) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά t 6 δίνεται από τον τύπο : ( t ) 4 5 t 4 i Να βρείτε την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του ii Να βρείτε το χρονικό διάστημα στο οποίο η τιμή του συνεχώς αυξάνεται iii Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται μεγίστη iv Να δείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή συνεχώς μειώνεται χωρίς όμως να γίνει μικρότερη από την τιμή του τη στιγμή της εισαγωγής του () 9) Ένας κολυμβητής Κ βρίσκεται στη θάλασσα t () μακριά από το πλησιέστερο σημείο Α μιας ευθύγραμμης ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται t μακρυά από το σημείο Α Υποθέτουμε ότι ο κολυμβητής μπορεί να κολυμβήσει με ταχύτητα t/s και να τρέξει στην ακτή με ταχύτητα 5t/s i Να αποδείξετε οτι για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ του διπλανού σχήματος ii χρειάζεται χρόνο ( ) 5 Για ποια τιμή του o κολυμβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του () t =,48 cm ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 94) Έστω Ε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήματος Υποθέτουμε οτι τη χρονική στιγμή t είναι r cm και r 5 cm και ότι για t η ακτίνα r αυξάνεται με σταθερό ρυθμό,5cm/s, ενώ η ακτίνα r αυξάνεται με σταθερό ρυθμό,4 cm/s Να βρείτε: i πότε θα μηδενιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και ii πότε θα μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου r r 95) Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι K ( ) 6 χιλιάδες δραχμές, 5 Η είσπραξη από την πώληση των μονάδων είναι E( ) 4 χιλιάδες δραχμές Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή του εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο 96) Μία ώρα μετά τη λήψη mgr ενός αντιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση T ( ), Να βρείτε ποια πρέπει 4 να είναι η δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς, να γίνει μέγιστος 97) Τη χρονική στιγμή t= χορηγείται σε έναν ασθενή ένα φάρμακο Η συγκέντρωση του t φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση : ( t), t t όπου α και β είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος t μετριέται σε ώρες Η μεγίστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ιση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου i Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β ii Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική όταν η συγκέντρωση είναι τουλάχιστον ιση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά () 98) Το κόστος C της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος από μια βιομηχανία που απασχολεί ν εργάτες δίνεται από τον τύπο : C( ) 9v 5v σε δεκάδες ευρώ, > Το κέρδος ανά μονάδα προϊόντος είναι -ν δεκάδες ευρώ Να βρείτε πόσες μονάδες πρέπει να παράγονται ημερησίως και από πόσους εργάτες, ώστε να έχουμε ελάχιστο κόστος και μέγιστο κέρδος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; (, 5) Απάντηση : α) Μια συνάρτηση, με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 67 7 A Οµάδας. H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι () = ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο; D = R, όπου και παραγωγίζεται.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Σπύρος Γλένης, Μαθηματικός Εάν α) 0,, β) να βρείτε τα παρακάτω: t,,, Να βρείτε το ( h) ( ) για τις παρακάτω συναρτήσεις: h i) ii) iii), ρητός 0, άρρητος Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 1. Kglykos.gr. 359 ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις.

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 1. Kglykos.gr. 359 ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / 6 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos. Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x

0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Θέμα Α ΑΈστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3) 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής

Διαβάστε περισσότερα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 (i) Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 141 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. To πεδίο ορισμού της f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2012 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2012 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Aπόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 53 Α Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 9 Α3 Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 58 Α4 α) Σ β) Σ γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (-6-) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Α. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα