Διανυσματικές Συναρτήσεις

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διανυσματικές Συναρτήσεις"

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα, όπως τα διανύσματα Ετσι έχουμε συναρτήσεις f :R R n f :R m R n f(x)= f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) f(x)= f 1 (x), ( f 2 (x),, f n (x), όπου x=(x 1, x 2,, x m ) και f j :R m R, j=1,,n Μια διανυσματική συνάρτηση αντιστοιχίζει σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ένα διάνυσμα Για παράδειγμα αν η f δίνει τη ϑέση ενός κινητού στο χώρο τη χρονική στιγμή t, τότε το f(t) είναι το διάνυσμα ϑέσης του κινητού Ομοια η f (t) δεν μπορεί παρά να δίνει το διάνυσμα της ταχύτητας του κινητου τη χρονική στιγμή t Για το λόγο αυτό τις διανυσματικές συναρτήσεις τις λέμε και διανυσματικά πεδία Μια συνάρτηση f :R m R ϑα την λέμε βαθμωτό πεδίο Αν f = f 1, f 2,, f n, όπως και στην περίπτωση των διανυσμάτων τις f 1, f 2,, f n τις λέμε συνιστώσες συναρτήσεις της f Στη συνέχεια περιορίζουμε την παρουσίαση στην περίπτωση όπου m, n 3, έτσι αν f(x) R 3 μπορούμε να γράφουμε f(x)= f 1 (x)i+ f 2 (x)j+ f 3 (x)k Οι έννοιες του ορίου, της συνέχειας, της παραγώγου ή της μερικής παραγώγου γενικεύονται με φυσιολογικό τρόπο ώστε να χαρακτηρίζουν και διανυσματικές συναρτήσεις Καταλαβαίνουμε ότι, και δεν ϑα μπορούσε να είναι διαφορετικά, οι έννοιες αυτές σχετίζονται με την διανυσματική συνάρτηση μέσω των συνιστωσών της συνάρτησης Και το όριο, τη συνέχεια, τη παράγωγο ή τη μερική παράγωγο για κάθε συνιστώσα τα έχουμε μελετήσει 52 Διανυσματικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής Οι συναρτήσεις αυτές κατέχουν ένα ξεχωριστό ρόλο στις δύο ή τρεις διατάσεις, στοr 2 ήr 3 δηλαδή, είναι γεωμετρικά αντικείμενα τα οποία καταλαβαίνουμε πολύ καλά Αυτές είναι οι καμπύλες Συστηματική μελέτη των καμπυλών γίνεται στη Διαφορική Γεωμετρία 61

2 62 Ορισμός 51 Εστω f : I R 3, όπου το I είναι ένα ανοικτό διάστημα στοr, και έστω x 0 I (1) Η f ϑα λέγεται συνεχής στο x 0 αν για κάθεǫ> 0 υπάρχειδ>0ώστε f(x) f(x 0 ) <ǫ οποτεδήποτε x x 0 <δ (2) Η f ϑα λέγεται παραγωγίσιμη στο x 0 αν το όριο f(x 0 + ) f(x 0 ) lim 0 υπάρχει Στη περίπτωση αυτή γράφουμε f (x 0 )= f f(x 0 + ) f(x 0 ) x = lim x=x0 0 Σημειώνουμε ότι f(x 0 + ) f(x 0 ) f1 (x 0 + ) f 1 (x 0 ) =, f 2(x 0 + ) f 2 (x 0 ), f 3(x 0 + ) f 3 (x 0 ) Πρόταση 51 Εστω f : I R 3, f= f 1, f 2, f 3, όπου το I είναι ένα ανοικτό διάστημα στοr, και έστω x 0 I (1) Η f είναι συνεχής στο x 0 I αν και μόνο αν οι f 1, f 2, f 3 είναι συνεχείς στο x 0 (2) Η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 I αν και μόνο αν οι f 1, f 2, f 3 είναι παραγωγίσιμες στο x 0 Πρόταση 52 Εάν I Rείναι ένα ανοικτό διάστημα καιφ : I R, f : I R 3, και g : I R 3 είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις, τότε (1) (2) (3) (4) (5) x [λf(x)+µg(x)]=λf (x)+µg (x), όπουλκαιµείναι πραγματικές σταθερές x [φ(x)f(x)]=φ (x)f(x)+φ(x)f (x) x [f(x) g(x)]=f (x) g(x)+f(x) g (x) x [f(x) g(x)]=f (x) g(x)+f(x) g (x) x [f(ψ(x))]=ψ (x)f (ψ(x)), όπουψ: J I είναι μια διαφορίσιμη συνάρτηση Άσκηση 51 Εάν η f : I R 3 είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση δείξτε ότι x [f(x) f (x)]=f(x) f (x) Ορισμός 52 Μια συνεχή διανυσματική συνάρτησηβ : I R 3, όπου το I είναι ένα διάστημα στοrϑα τη λέμε καμπύλη Συνήθως γράφουμε β(t)= x(t), y(t), z(t), t I Άσκηση 52 Εστωβ : I R 3 μια παραγωγίσιμη καμπύλη Εστω t 0 I και ας υποθέσουμε ότιβ (t 0 ) 0 (αʹ) Εξηγήστε τι παριστάνει γεωμετρικά το διάνυσμαβ (t 0 ) (βʹ) Δείξτε ότι η εφαπτόμενη ευθεία της καμπύλης στοβ(t 0 ) έχει εξίσωση L(t)=β(t 0 )+tβ (t 0 )

3 Μήκος καμπύλης Εστωβ(t)= x(t), y(t), z(t), t b μια παραγωγίσιμη καμπύλη Θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος της καμπύλης, αν κάτι τέτοιο ορίζεται Ανατρέχοντας σε πράγματα που καταλαβαίνουμε ϑεωρούμε μια διαμέριση =t 0 < t 1 < t 2 < <t n = b Μπορούμε μάλιστα να πάρουμε μια ομοιόμορφη διαμέριση, δηλαδή τέτοια ώστε t k t k 1 = t k+1 t k = t για k=1,2,,n 1 Αυτό επιτυγχάνεται παίρνοντας t=(b )/n και t k = t k 1 + t, για k=1,2,,n Τα ευθύγραμμα τμήματα με άκρα τα σημεία (x(t k 1 ), y(t k 1 ), z(t k 1 )) και (x(t k ), y(t k ), z(t k )), για k=1,2,,n αποτελούν μια πολυγωνική γραμμή με με άκρα τα άκρα της καμπύληςβκαι κορυφές επάνω στη β Αν η διαμέριση είναι λεπτή, δηλαδή το t είναι μικρό, τότε το μήκος της πολυγωνικής καμπύλης προσεγγίζει αυτό της β Ετσι αν με L(β) συμβολίσουμε το μήκος της καμπύλης, τότε L(β) = n k=1 (x(t k ) x(t k 1 )) 2 + (y(t k ) y(t k 1 )) 2 + (z(t k ) z(t k 1 )) 2 n ( xk ) 2 + t k=1 ( yk ) 2 + t ( zk ) 2 t, t όπου x k = x(t k ) x(t k 1 ) και y k, z k ανάλογα ορισμένα Παίρνοντας το όριο του n, ή t 0και υποθέτοντας ότι υπάρχει, τελικά ϑα έχουμε L(β)= b (x ) 2 + t ( y ) 2 + t ( z t ) 2 b t= β (t) t (51) Το ολοκλήρωμα στην (51) υπάρχει αν για παράδειγμα η β έχει συνεχή παράγωγο, ή κατά τμήματα συνεχή παράγωγο Το ολοκλήρωμα καμπύλης Ορισμός 53 Εάν f : [, b] R 3, όπου f(t)=(x(t), y(t), z(t)) και οι x, y και z είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στο [, b] ορίζουμε b b f(t) t= x(t) t, b y(t) t, b z(t) t (52) Θεώρημα 51 (Το Θεμελιώδες Θεώρημα για διανυσματικές συναρτήσεις) Εάν η f είναι συνεχής στο [, b] και η F είναι μια παράγουσα της f, δηλαδή F = f στο [, b], τότε b f(t) t=f(b) F() (53) 53 Διανυσματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Ορισμός 54 Εστω f : U R 3, όπου το U είναι ένα ανοικτό σύνολο στοr 2 ή στοr 3, και έστω x 0 U Η f ϑα λέγεται συνεχής στο x 0 αν για κάθεǫ> 0 υπάρχειδ>0 ώστε f(x) f(x 0 ) <ǫ οποτεδήποτε x x 0 <δ Πρόταση 53 Εστω f : U R 3, f= f 1, f 2, f 3, όπου το U είναι ένα ανοικτό σύνολο στοr 2 ήr 3, και έστω x 0 U Η f είναι συνεχής στο x 0 U αν και μόνο αν οι f 1, f 2, f 3 είναι συνεχείς στο x 0

4 64 Στη συνέχεια συζητάμε την έννοια της μερικής παραγώγου μιας f= f 1, f 2, f 3 ορισμένης σε κάποιο ανοικτό σύνολο U το οποίο παίρνουμε υποσύνολο τουr 2 Αν (x 0, y 0 ) U διαμορφώνουμε το πηλίκο f(x 0 +, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f1 (x 0 +, y 0 ) f 1 (x 0, y 0 ) =, f 2(x 0 +, y 0 ) f 2 (x 0, y 0 ), f 3(x 0 +, y 0 ) f 3 (x 0, y 0 ) και παρατηρούμε ότι το όριο στο αριστερό μέλος, καθώς 0, υπάρχει αν και μόνον αν η μερική παράγωγος ως προς x κάθε συνιστώσας συνάρτησης υπάρχει στο (x 0, y 0 ) Το ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει και για την μερική παράγωγο ως προς y Εάν U R m, m {2,3}, είναι ένα ανοικτό σύνολο καιφ:u R, f : U R 3, και g : U R 3 είναι συναρτήσεις των οποίων οι μερικές παράγωγοι υπάρχουν στο U, τότε (1) (2) (3) x (φf)= φ x f+φ f x (f g)= f x x g+f g x (f g)= f x x g+f g x με ανάλογες σχέσεις για τις μερικές παραγώγους ως προς y και z 54 Κλίση Απόκλιση και Στροβιλισμός Ορισμός 55 Εάν f : U R, όπου U είναι ανοικτό υποσύνολο τουr 3, είναι διαφορίσιμη συνάρτηση η κλίση της f είναι η διανυσματική συνάρτηση που ορίζεται με τη σχέση f gr f= x, f y, f (54) z Το διάνυσμα αυτό συμβολίζεται και με f, ή f (x, y, z) Το σύμβολο διαβάζεται ανάδελτα Είναι πρακτικά χρήσιμο, όπως ϑα δούμε, να βλέπουμε την κλίση σαν ένα διανυσματικό διαφορικό τελεστή = x, y, (55) z ο οποίος δρα πάνω σε διαφορίσιμες βαθμωτές συναρτήσεις και δίνει την κλίση gr f= f= x, f y, f= z x, f y, f (56) z Ορισμός 56 Εστω f : U R 3, όπου U είναι ανοικτό υποσύνολο του R 3, να είναι μια διαφορίσιμη διανυσματική συνάρτηση (1) Η απόκλίση της f είναι η βαθμωτή συνάρτηση που ορίζεται με τη σχέση iv f= f 1 x + f 2 y + f 3 z (57) (2) Ο στροβιλισμός της f είναι η διανυσματική συνάρτηση που ορίζεται με τη σχέση f3 curl f= y f 2 z, f 1 z f 3 x, f 2 x f 1 (58) y

5 65 Σε αναλογία με την (56) παρατηρούμε ότι iv f= f= x, y, f 1, f 2, f 3 = f 1 z x + f 2 y + f 3 z (59) Επίσης curl f= f= x, y, f 1, f 2, f 3 = z i j k x y z (510) f 1 f 2 f 3 Πρόταση 54 (Ιδιότητες του ) Εάν οι μερικές παράγωγοι τωνφ,ψ, f και g υπάρχουν, τότε (1) (φ+ψ)= φ+ ψ, δηλαδή gr(φ+ψ)=grφ+grψ (2) (f+ g)= f+ g, δηλαδή iv(f+ g)=iv f+ gr g (3) (f+ g)= f+ g, δηλαδή curl(f+ g)=curl f+ curl g (4) (φf)=( φ) f+φ( f) (5) (φf)=( φ) f+φ( f) (6) (f g)=(g )f+ (f )g+g ( f)+f ( g) (7) (f g)=g ( f) f ( g) (8) (f g)=(g )f (f )g+( g)f ( f)g Πρόταση 55 Εάν οι πρώτες και δεύτερες μερικές παράγωγοι των φ, και f είναι συνεχείς, τότε (1) ( φ)=0, δηλαδή curl(grφ)=0 (2) ( f)=0, δηλαδή iv(curl f)=0 Ορισμός 57 Εάν η f : U R, όπου U είναι ανοικτό υποσύνολο τουr 3, έχει μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης ορίζουμε τη Λαπλασιανή (Lplcin) της f να είναι Άσκηση 53 Αν 2 f := ( f ), δείξτε ότι f := 2 f x 2+ 2 f y 2+ 2 f z 2 2 f= f= 2 f x 2+ 2 f y 2+ 2 f z 2 Άσκηση 54 Αν f είναι ένα διανυσματικό πεδίο, δείξτε ότι ( f)= ( f) 2 f, όπου 2 f= f= 2 f x 2+ 2 f y 2+ 2 f z 2

6 66 55 Παράγωγοι κατά κατεύθυνση Εάν η f είναι ένα βαθμωτό πεδίο ( f : U R 3 R) για το οποίο οι μερικές παράγωγοι στο (x 0, y 0, z 0 ) U υπάρχουν, ϑυμίζουμε ότι f x (x f (x 0 + t, y 0, z 0 ) f (x 0, y 0, z 0 ) 0, y 0, z 0 )=lim t 0 t με ανάλογες εκφράσεις για τις υπόλοιπες μερικές παραγώγους Ορίζοντας τα μοναδιαία διανύσματα e 1 = 1,0,0, e 2 = 0,1,0, e 3 = 0,0,1 (511) και ταυτίζοντας το σημείο (x 0, y 0, z 0 ) με το διάνυσμα x 0 = x 0, y 0, z 0 η παραπάνω μερική παράγωγος γράφεται f x (x f (x 0 + te 1 ) f (x 0 ) 0)=lim t 0 t Ετσι η μερική παράγωγος f/ x δίνει το ρυθμό μεταβολής της f κατά μήκος του διανύσματος e 1, με ανάλογους χαρακτηρισμούς για τις υπόλοιπες μερικές παραγώγους Εστω τώρα ότι το u είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα Θα μπορούσε να μας ενδιαφέρει ο ρυθμός μεταβολής της f κατά μήκος του u Ορισμός 58 Η κατά κατεύθυνση παράγωγος της f στο x 0 στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος u, συμβολίζεται με D u f (x 0 ), και είναι το όριο εφόσον αυτό υπάρχει D u f (x 0 )=lim t 0 f (x 0 + tu) f (x 0 ) t Παρατήρηση 51 Από τον ορισμό της κατά κατεύθυνση παραγώγου παρατηρούμε ότι αν ορίσουμε g(t)= f (x 0 + tu), τότε, εφόσον η D u f (x 0 ) υπάρχει, ϑα είναι D u f (x 0 )= g t = g (0) t=0 Θεώρημα 52 Εάν f : U R, όπου U είναι ανοικτό υποσύνολο τουr 3, είναι διαφορίσιμη συνάρτηση, τότε η κατά κατεύθυνση παράγωγος της f στην κατεύθυνση οποιουδήποτε μοναδιαίου διανύσματος u υπάρχει, επιπλέον για κάθε x U D u f (x)= f (x) u Απόδειξη Εστω x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) U και u=, b, c Θέτοντας g(t)= f (x 0 + tu)= f (x 0 + t, y 0 + tb, z 0 + tc) για t μικρό ώστε x 0 + tu U, από τον κανόνα της αλυσίδας, Θεώρημα 25, παίρνουμε g (t)= f x x t + f y y t + f z z t = f x + f y b+ f c = f (x 0 + tu) u, (512)

7 67 κατά συνέπεια σύμφωνα με την Παρατήρηση 51 έπεται ότι η κατά κατεύθυνση παράγωγος D u f (x 0 ) υπάρχει και D u f (x 0 )=g (0)= f (x 0 ) u Θεώρημα 53 Εάν f : U R, όπου U είναι ανοικτό υποσύνολο τουr 3, είναι διαφορίσιμη συνάρτηση, τότε η μέγιστη τιμή της κατά κατεύθυνση παραγώγου D u f (x) είναι f (x) και συμβαίνει όταν το u έχει την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα gr f (x) Πόρισμα 51 Εστω ότι gr f (x) 0 Η κλίση gr f (x) δείχνει προς την κατεύθυνση εκείνη κατά μήκος της οποίας η f αυξάνει γρηγορότερα 56 Εφαπτόμενα επίπεδα Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια επιφάνεια S η οποία περιγράφεται από την εξίσωση z= f (x, y), όπου η f έχει συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους Εστω P(x 0, y 0, z 0 ), όπου z 0 = f (x 0, y 0 ) ένα σημείο της επιφάνειας Το επίπεδο y=y 0 τέμνει την επιφάνεια κατά μήκος μιας καμπύλης C 1 και το επίπεδο x= x 0 τέμνει την S κατά μήκος μιας καμπύλης C 2 Οι καμπύλες αυτές είναι αντίστοιχα οι α(x)= x, y 0, f (x, y 0 ) και β(y)= x 0, y, f (x 0, y) Παρατηρούμε ότια(x 0 )=β(y 0 )= x 0, y 0, z 0, δηλαδή το σημείο P(x 0, y 0, z 0 ) βρίσκεται επάνω και στις δύο καμπύλες C 1 και C 2 Αφού τοα (x 0 ) είναι εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης C 1 στο P και τοβ (y 0 ) είναι εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης C 2 στο P, τοα (x 0 ) β (y 0 ) είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα διανύσματαα (x 0 ) καιβ (y 0 ), δηλαδή κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας S στο σημείο P(x 0, y 0, z 0 ) Ετσι αν (x, y, z) είναι τυχόν σημείο του εφαπτόμενου επιπέδου ϑα πρέπει x x 0 y y 0 z z 0 x x 0, y y 0, z z 0 (α (x 0 ) β (y 0 ))= 1 0 f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) Ετσι μετά από πράξεις βρίσκουμε ότι η εξίσωση του ζητούμενου εφαπτόμενου επιπέδου είναι f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) f y (x 0, y 0 )(y y 0 )+z z 0 = 0 (513) Αν γράψουμε F(z, y, z)=z f (x, y), τότε η επιφάνεια S δίνεται από την εξίσωση F(x, y, z)=0 Από την (513) βλέπουμε ότι η κλίση της F F(x 0, y 0, z 0 )= f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ),1 (514) δηλαδή το gr F(x 0, y 0, z 0 ) είναι διάνυσμα κάθετο στην S στο σημείο P(x 0, y 0, z 0 ) Ας υποθέσουμε τώρα ότι μια επιφάνεια S δίνεται από μια εξίσωση F(x, y, z)=c, όπου c είναι μια σταθερά Μια τέτοια επιφάνεια λέγεται ισοσταθμική επιφάνεια Αν P(x 0, y 0, z 0 ) είναι ένα σημείο της επιφάνειας και γ(t)= x(t), y(t), z(t) είναι μια καμπύλη που περιέχεται στην επιφάνεια και περιέχει το σημείο P(x 0, y 0, z 0 ), δηλαδήγ(t 0 )= x 0, y 0, z 0 για κάποιο t 0, τότε ϑα είναι F(x(t), y(t), z(t))=c (515)

8 68 Εάν οι F και γ είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις, τότε παραγωγίζοντας την (515) παίρνουμε F x x t + F y y t + F z z t = 0, ισοδύναμα Ειδικότερα για t=t 0, είναι F(γ(t)) γ (t)=0 F(x 0, y 0, z 0 ) γ (t 0 )=0 Επειδή η καμπύλη γ είναι τυχαία, έπεται ότι η κλίση F, στο P είναι διάνυσμα κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο της F(x, y, z)=cστο P Κατά συνέπεια αν F(x 0, y 0, z 0 ) 0, το εφαπτόμενο επίπεδο της F(x, y, z)=c στο P(x 0, y 0, z 0 ) είναι F x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 )+ F y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 )+ F z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 )=0 (516) Ορισμός 59 Εστω S μια επιφάνεια και έστω P ένα σημείο της S Ενα διάνυσμα κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο της S στο P λέγεται κανονικό διάνυσμα (norml vector) της S στο P Η ευθεία η οποία περιέχει το P και είναι κάθετη στο εφαπτόμενο επίπεδο της S στο P λέγεται κανονική ευθεία (norml line) της S στο P Άσκηση 55 Να βρεθεί η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου της σφαίρας x 2 + y 2 + z 2 = 9, στο σημείο ( 2,1,2), καθως και η εξίσωση της κανονικής ευθείας της σφαίρας στο σημείο αυτό Άσκηση 56 Δείξτε ότι η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου του ελλειψοειδούς στο σημείο (x 0, y 0, z 0 ) μπορεί να γραφεί σαν x 2 2+y2 b 2+z2 c 2= 1 57 Πολλαπλασιαστές Lgrnge xx yy 0 b 2 + zz 0 c 2 = 1 Οι πολλαπλασιαστές Lgrnge είναι ένας άλλος τρόπος εύρεσης ακροτάτων όταν υπάρχουν περιορισμοί Ας περιγράψουμε τη μέθοδο με ένα απλό παράδειγμα Παράδειγμα 51 Να βρεθούν τα σημεία του ελλειψοειδούς x y2 3 2+z2 4 2= 1 των οποίων η απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι μέγιστη Θέλουμε να βρούμε το μέγιστο της (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 ισοδύναμα της f (x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 όταν το (x, y, z) βρίσκεται στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς g(x, y, z)= x2 2 2+y2 3 2+z =0

9 LAGRANGE 69 Ας φανταστούμε μια σφαίρα με κέντρο την αρχή των αξόνων και μεταβλητής ακτίνας r Αν r<2 η σφαίρα βρίσκεται στο εσωτερικό του ελλειψοειδούς, αν 2<r<4 η σφαίρα τέμνει το ελλειψοειδές, και αν r>4 το ελλειψοειδές βρίσκεται στο εσωτερικό της σφαίρας Κατά συνέπεια υπάρχει τιμή r όπου η σφαίρα αγγίζει το ελλειψοειδές, δηλαδή η σφαίρα και το ελλειψοειδές εφάπτονται Στα σημεία αυτά η σφαίρα και το ελλειψοειδές έχουν κοινό εφαπτόμενο επίπεδο Κατά συνέπεια τα κανονικά διανύσματα στις δύο επιφάνειες είναι παράλληλα, δηλαδή f=λ g για κάποιο λ Ετσι ϑα έχουμε 2x 2y 2z 2x,2y,2z=λ 22, 32, 4x=λx 4 2 9y=λy 16z=λz (517) Οι λύσεις (x, y, z) του συστήματος (517) εξαρτώνται από την παράμετρο λ, και αναζητάμε εκείνες τις τιμές τουλγια τις οποίες οι αντίστοιχες λύσεις ικανοποιούν την σχέση g(x, y, z)=0 Για παράδειγμα ανλ=0 τότε ϑα πρέπει να είναι x=y=z=0, αλλά το (0,0,0) δεν ανήκει στο ελλειψοειδές Κατά συνέπεια λ 0 Παρατηρούμε ότι αν δύο από τις μεταβλητές είναι διάφορες του 0 τότε το (517) είναι αδύνατο, για παράδειγμα αν x 0 και y 0, τότε ϑα είχαμε ότιλ=4 καιλ=9 Ετσι οι λύσεις του (517) που ικανοποιούν την g(x, y, z)=0 είναι οι (0,0,±4) λ=16 (0,±3,0) λ=9 (±2,0,0) λ=4 Ετσι τα σημεία (0,0,±4) έχουν τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων Επίσης τα (±2,0,0) είναι τα σημεία του ελλειψοειδούς τα οποία εναι κοντινότερα στο (0, 0, 0) Το προηγούμενο παράδειγμα, έστω και αν η απάντηση είναι σχεδόν προφανής, δείχνει γεωμετρικά πως και γιατί η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lgrnge (τέτοιος είναι το λ) δουλεύει Συνοψίζοντας, λοιπόν έχουμε Η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lgrnge: Για να βρούμε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές της f (x, y, z) με τον περιορισμό g(x, y, z)=0, βρίσκουμε τις λύσεις (x, y, z,λ) του συστήματος f (x, y, z)=λ g(x, y, z) g(x, y, z)=0 Η μέγιστη των τιμών τις f στα σημεία που βρήκαμε στο προηγούμενο βήμα είναι το μέγιστο της f και η ελάχιστη είναι το ελάχιστο της f Σε περίπτωση που έχουμε περισσότερους περιορισμούς, έστω g(x, y, z)=0 και (x, y, z)=0, ακολουθούμε την ανάλογη διαδικασία για το σύστημα f (x, y, z)=λ g(x, y, z)+µ (x, y, z) g(x, y, z)=0 (x, y, z)=0 Άσκηση 57 Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα τετραγωνικό κουτί, ανοικτό στην κορυφή Αν διαθέτουμε ένα χαρτόνι 12 τετραγωνικών μέτρων να βρεθούν οι διαστάσεις του κουτιού το οποίο περικλείει το μέγιστο όγκο

10 70 Άσκηση 58 Το επίπεδο x+y+2z=2 τέμνει το παραβολοειδές z= x 2 + y 2 κατά μήκος μιας έλλειψης Να βρεθούν τα σημεία της έλλειψης τα οποία είναι πιο κοντά στην αρχή των αξόνων και εκείνα τα οποία είναι πιο μακρυά 58 Η παράγωγος Αν το U R είναι ένα ανοικτό διάστημα, f : U R και x 0 U η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 αν το όριο f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 υπάρχει Αν αυτό συμβαίνει συμβολίζουμε το όριο με f (x 0 ) Το αποτέλεσμα αυτό μπορούμε να το γράψουμε και σαν f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 Επιπλέον μπορούμε να πούμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 αν και μόνο αν υπάρχει σταθερά L f (x0 ) ώστε f (x) f (x 0 ) L f (x0 )(x x 0 ) lim = 0 (518) x x 0 x x 0 Στη περίπτωση αυτή την L f (x0 ) λέμε παράγωγο της f στο x 0 και έχουμε ότι f (x) f (x 0 ) lim = L f (x0 )= f (x 0 ) x x 0 x x 0 Για διανυσματικές συναρτήσεις η (518) γενικεύεται για να δώσει τον ορισμό της παραγωγισιμότητας αλλά και την μορφή της παραγώγου Ορισμός 510 Αν το U R m είναι ένα ανοικτό σύνολο, f : U R n και x 0 U η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 αν υπάρχει n m μητρώο L f(x0 ), ώστε f(x) f(x 0 ) L f(x0 )(x x 0 ) lim = 0 (519) x x 0 x x 0 Σημειώνουμε ότι l 11 l 12 l 1m x 1 l 11 x 1 + l 12 x 2 + +l 1m x m l 21 l 22 l 2m x 2 l 21 x 1 + l 22 x 2 + +l 2m x m L f(x0 )(x x 0 )= = l n1 l n2 l nm x m l n1 x 1 + l n2 x 2 + +l nm x m (520) όπου x x 0 = ( x 1, x 2,, x m ) Το μητρώο L f(x0 ) το λέμε παράγωγο της f στο x 0 και το συμβολίζουμε με Df(x 0 ) Σημειώνουμε επίσης ότι ο αριθμητής στην (519) είναι το μέτρο ενός διανύσματος στοr n, ενώ ο παρανομαστής είναι το μέτρο ενός διανύσματος στοr m Πρόταση 56 Το μητρώο L στην (519) εφόσον αυτό υπάρχει είναι μοναδικό

11 71 Απόδειξη Το αποτέλεσμα αυτό έπεται από το ϑεώρημα που ακολουθεί, μπορεί όμως να αποδειχθεί χωρίς να γνωρίζουμε την ακριβή μορφή της παραγώγου Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι L 1 και L 2 είναι δύο n m μητρώα για τα οποία η (519) ισχύει Θέτουμε L=L 1 L 2 και =x x 0, τότε L = ( f(x 0 + ) f(x 0 ) L 2 ) ( f(x 0 + ) f(x 0 ) L 1 ) f(x 0+ ) f(x 0 ) L 1 + f(x 0+ ) f(x 0 ) L 2 Αν =t με =1, τότε 0 αν και μόνον αν t 0 Παίρνοντας λοιπόν το όριο 0 για το μεν αριστερό μέλος της ανισότητας έχουμε L Lt t L lim = lim = lim = L, 0 t 0 t t 0 t ενώ το δεξί μέλος τείνει στο 0 Ετσι, τελικά, ϑα είναι L 0, ισοδύναμα L=0, απ όπου έπεται ότι το L είναι το μηδενικό μητρώο, κατά συνέπεια L 1 = L 2 Θεώρημα 54 Αν το U R m είναι ένα ανοικτό σύνολο, f : U R n και x 0 U και υποθέσουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν στο σημείο x 0 και f 1 (x 0 ) x 1 f 1 x 2 (x 0 ) f 1 (x 0 ) x m Df(x 0 )= f 2 x 1 (x 0 ) f 2 x 2 (x 0 ) f 2 x m (x 0 ) (521) f n (x 0 ) x 1 f n x 2 (x 0 ) f n (x 0 ) x m Το μητρώο Df(x 0 ) λέγεται Ιακωβιανό μητρώο και στην περίπτωση όπου m=n, η ορίζουσα Df(x 0 ) είναι η γνωστή Ιακωβιανή ορίζουσα Df(x 0 ) = ( f 1, f 2,, f m ) (x 1, x 2,, x m ) Σημείωση 51 Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι μια συνάρτηση f :R m R n είναι παραγωγίσιμη ή διαφορίσιμη στο σημείο x 0 αν υπάρχει γραμμική απεικόνισηl :R m R n ώστε f(x) f(x 0 ) L(x x 0 ) lim = 0 (522) x x 0 x x 0 Μια απεικόνιση T :R m R n λέγεται γραμμική αν για κάθε x και y στοr m και και b στοrείναι T(x+by)=T(x)+bT(y) (523) Στη Γραμμική Άλγεβρα αποδεικνύεται ότι μια απεικόνιση T :R m R n είναι γραμμική αν και μόνο αν υπάρχει n m σταθερό μητρώο M ώστε T(x)= Mx Αν m=n=1 το μητρώο είναι μια σταθερά Εχουμε δηλαδή ότι οι μόνες γραμμικές απεικονίσεις από τοr στοrείναι οι T x=x, όπου είναι σταθερά

12 72 Ασκήσεις 1 Εστω ότι οι διανυσματικές συναρτήσεις f και g ορίζονται στο ανοικτό διάστημα I και παίρνουν τιμές στοr 3, και έστω ότι lim f(t)=, t t 0 όπου και b είναι σταθερά διανύσματα στοr 3 Δείξτε ότι (αʹ) lim t t0 ( f(t)+g(t) ) = +b (βʹ) lim t t0 ( f(t) g(t) ) = b (γʹ) lim t t0 ( f(t) g(t) ) = b lim g(t)=b t 0 I, t t0 2 Εάν η f : I R 3 είναι διαφορίσιμη και f(t) 0 στο διάστημα I δείξτε ότι t f(t) = 1 f(t) f(t) f (t) 3 Εστω ότι η καμπύληβ : I R 3 είναι διαφορίσιμη, και έστω ότιβ(t) β (t) για κάθε t I Δείξτε ότι η καμπύλη βρίσκεται επάνω σε σφαίρα με κέντρο την αρχή των αξόνων 4 Εάνφκαιψείναι βαθμωτά πεδία δείξτε ότι ( φ ψ)=0 5 Εάν r= x, y, z είναι το διάνυσμα ϑέσης και r= r, δείξτε ότι (αʹ) r n = nr n 2 r για n=1,2, (βʹ) (φ(r)r)=0, για κάθε διαφορίσιμη συνάρτησηφμιας μεταβλητής 6 Εάν r= x, y, z είναι το διάνυσμα ϑέσης και είναι ένα σταθερό διάνυσμα, δείξτε ότι (αʹ) (r )= (βʹ) (r )=3 (γʹ) (r )=0 7 Η ϑερμοκρασία στο σημείο (x, y, z) δίνεται από τη T(x, y, z)=200e x2 3y 2 9z 2 όπου η T μετράται σε βαθμούς Κελσίου και οι x, y, z σε μέτρα (αʹ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της T στο P(1,2,2) στην κατεύθυνση προς το σημείο (2,1,3) (βʹ) Προς ποια κατεύθυνση η ϑερμοκρασία στο P αυξάνει γρηγορότερα; (γʹ) Να βρεθεί ο μέγιστος ρυθμός αύξησης της T στο P

13 73 8 Εστω f :R n R Θα λέμε ότι η f είναι ομοιογενής βαθμού p (omogeneous of egree p) αν f (λx)=λ p f (x) για όλα τα x D( f ) και για όλα ταλ R για τα οποίαλx D( f ) (αʹ) Θεώρημα του Euler για ομοιογενείς συναρτήσεις Αν η f :R n R είναι ομοιογενής βαθμού p και διαφορίσιμη στο x, δείξτε ότι x f (x)= p f (x) Υπόδειξη: Για το συγκεκριμένο x ϑεωρήστε την g(λ) = f (λx) (βʹ) Για τη συνάρτηση f (x, y, z)= x 2 2xy x 4 + z 4, δείξτε ότι είναι ομοιογενής Αφού βρείτε το βαθμό ομοιογένειας p, επαληθεύστε το Θεώρημα του Euler για την f 9 Χρησιμοποιήστε πολλαπλασιαστές Lgrnge για να δείξετε ότι το τρίγωνο δοσμένης περιμέτρου p, το οποίο περικλείει περιοχή μεγίστου εμβαδού είναι ισόπλευρο Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τον τύπο του Ηρωνα: Αν x, y, z είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνου και p= x+y+z, τότε το εμβαδόν A είναι όπου s= p/2 είναι η ημιπερίμετρος 10 Η ανισότητα Cucy Scwrz A= s(s x)(s y)(s z), (αʹ) Να βρεθεί το μέγιστο της ποσότητας n k=1 x ky k όταν n k=1 x2 k = 1 και n k=1 y2 k = 1 (βʹ) Αν 1, 2,, n, b 1, b 2,,b n είναι πραγματικοί αριθμοί δείξτε ότι n ( n k b k k=1 k=1 2 k ) 1/2 ( n 1/2 bk) 2 k=1 Υπόδειξη: Θέστε x k = k n k=1 2 k και y k = b k n k=1 b2 k

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Κ Ε Ο μετασχηματισμός Riesz σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Διπλωματική Εργασία στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 213 Αφιερώνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος

Διαβάστε περισσότερα

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133 ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 3ï Ïêôþâñéïò 04 www.mathematica.gr ISSN: 4-733 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Kατάτμηση εικόνας. Σήμερα!

Kατάτμηση εικόνας. Σήμερα! Kατάτμηση εικόνας Σήμερα! Κατωφλίωση (binarization) Καθολικό ό( (global) κατώφλι LocalΤhresholding Φωτισμός και Ανακλαστικότητα Τεχνικές ανίχνευσης ακμών Τελεστές κλίσης (gradient operators) (gradient

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στους Δασκάλους μας, που μας βοήθησαν να φτάσουμε μέχρι εδώ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016. Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου ii Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος

Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Είτε είμαστε άνθρωποι είτε είμαστε αστρική σκόνη, όλοι μαζί χορεύουμε στη μελωδία ενός αόρατου ερμηνευτή. A. Einstein

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις & Κλάσεις

Συναρτήσεις & Κλάσεις Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1 5 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω

Διαβάστε περισσότερα