ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ"

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

2

3 Κεφάλιο 7 ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισγωγή Στ επόµεν Κεφάλι η νάλυση θ επικεντρωθεί στην κτηγορί υποδειγµάτων που ποκλούντι υποδείγµτ ενδογενούς οικονοµικής µεγέθυνσης. Θ νλυθούν δηλδή διάφορ υποδείγµτ στ οποί η οικονοµική µεγέθυνση είνι ενδογενές ποτέλεσµ της λειτουργίς της οικονοµίς κι, σε ντίθεση µε το νεοκλσικό υπόδειγµ µεγέθυνσης, δεν οφείλετι σε εξωγενείς πράγοντες. 23 Έχει ήδη δειχθεί ότι γι ν δηµιουργηθεί συνεχής µεγέθυνση στην κτηγορί των υποδειγµάτων µε φθίνουσες ποδόσεις πιτείτι η ύπρξη εξωγενούς τεχνολογικής µετβολής. Έν λογικό σηµείο εκκίνησης γι την κτσκευή υποδειγµάτων ενδογενούς οικονοµικής µεγέθυνσης είνι λοιπόν η επέκτση του κλσικού υποδείγµτος, ώστε ν κτστεί ενδογενής η διδικσί βελτίωσης της τεχνολογικής µετβολής ή τεχνογνωσίς. Ο όρος τεχνογνωσί είνι ένς πολύ γενικός κι ευρύς όρος, που µπορεί ν περιλµβάνει οποιδήποτε µορφή γνώσης κι εκτείνετι πό τη βσική επιστηµονική γνώση (γι πράδειγµ το θεώρηµ διτήρησης της ορµής στη φυσική) µέχρι την πόλυτ εξειδικευµένη γνώση (όπως ο χειρισµός κάποιου µηχνήµτος). Μετξύ των δυο κρίων υτών µορφών γνώσης υπάρχει ένς µεγάλος ριθµός µορφών τεχνογνωσίς, όπως η οργάνωση µις επιχείρησης, η νκάλυψη νέων γθών ή µεθόδων πργωγής, η βελτίωση της ποιότητς των γθών κλπ. Αν κι όλες οι µορφές τεχνογνωσίς θεωρείτι ότι επηρεάζουν τη µεγέθυνση µις οικονοµίς, υπάρχουν σηµντικές διφορές ως προς τη διδικσί µέσω της οποίς η συσσώρευση των διφόρων µορφών τεχνογνωσίς επηρεάζει την οικονοµική µεγέθυνση. Γι ν πλοποιηθεί η νάλυση, οι διάφορες µορφές τεχνογνωσίς θ οµδοποιηθούν σε δυο κτηγορίες. Η πρώτη κτηγορί, που νλύετι στο κεφάλιο υτό, περιλµβάνει τις διάφορες µορφές τεχνογνωσίς που νφέροντι στο νθρώπινο κεφάλιο (γνώσεις κι ικνότητες του εργτικού δυνµικού). Η δεύτερη κτηγορί νφέρετι στην τεχνολογική 23 Γι µι συγκριτική προυσίση των δύο θεωριών βλ. Solow (1994) κι Romer (1994).

4 130 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης πρόοδο (νκάλυψη νέων γθών-εισροών κι βελτίωση της ποιότητάς τους) κι νλύετι στο επόµενο κεφάλιο. Συγκεκριµέν, σε υτό το κεφάλιο νλύοντι δυο υποδείγµτ ενδογενούς οικονοµικής µεγέθυνσης µε συσσώρευση νθρώπινου κεφλίου. Στο πρώτο υπόδειγµ η συσσώρευση νθρώπινου κεφλίου είνι έν έµµεσο ποτέλεσµ της συσσώρευσης φυσικού κεφλίου. Το υπόδειγµ υτό έγινε γνωστό πό τους enneth Arrow (1962) κι Paul Romer (1986) ως το υπόδειγµ της εκµάθησης (learnng-by-dong). Στη δεύτερη κτηγορί υποδειγµάτων η διδικσί συσσώρευσης νθρώπινου κεφλίου είνι νάλογη µε υτή του φυσικού κεφλίου. Το κύριο χρκτηριστικό των υποδειγµάτων µε πργωγή νθρώπινου κεφλίου είνι ότι η οικονοµί ποφσίζει ν κτνείµει έν µέρος των πργωγικών της πόρων γι τη δηµιουργί νέου νθρώπινου κεφλίου. Κι στ δύο υποδείγµτ το πρόβληµ της ποκεντρωµένης οικονοµίς δίνει µη άριστη λύση κτά Pareto, κθώς το πόθεµ νθρώπινου κεφλίου είνι χµηλότερο σε σχέση µε το πρόβληµ του κοινωνικού σχεδιστή. Εποµένως, όπως σε όλ τ υποδείγµτ µε εξωτερικές επιδράσεις η κυβέρνηση µπορεί ν πρέµβει σκώντς κτάλληλη πολιτική, µε στόχο την προχή του πιτούµενου κεφλίου στην οικονοµί, ώστε ν υξηθεί ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης της ντγωνιστικής ισορροπίς (βλ. Πλίσιο 7.1). Το υπόδειγµ της εκµάθησης Έστω ότι οι εισροές στη συνάρτηση πργωγής των επιχειρήσεων είνι φυσικό κεφάλιο Κ κι νθρώπινο κεφάλιο Η. Η εισροή Η δεν ντιστοιχεί πλά στον ριθµό των εργζοµένων, λλά περιλµβάνει τις ικνότητες, το τλέντο κι το επίπεδο µόρφωσης των εργζοµένων. Πιο γενικά, σν νθρώπινο κεφάλιο υπολογίζοντι όλοι οι πράγοντες που επηρεάζουν την πργωγικότητ των εργζοµένων. Έστω επίσης ότι ο πληθυσµός L είνι στθερός, που σηµίνει ότι µετβολές στην εισροή Η ντικτοπτρίζουν την κθρή επίδρση της συσσώρευσης νθρώπινου κεφλίου. Σε υτό το πλίσιο η συνολική συνάρτηση πργωγής της οικονοµίς έχει τη µορφή: Y = F(, ) (7.1) που ικνοποιεί τις γνωστές νεοκλσικές ιδιότητες.

5 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 131 Πλίσιο 7.1. Εξωτερικές οικονοµίες στη συσσώρευση νθρώπινου κεφλίου κι εκπίδευση Ο Robert Lucas (1988) τόνισε τη σηµσί του νθρώπινου κεφλίου λόγω της θετικής επίδρσής στη συνολική πργωγικότητ, που προκλείτι πό την ύπρξη περισσότερου νθρώπινου κεφλίου στο σύνολο της οικονοµίς. Αυτή είνι κι η κεντρική ιδέ µις σειράς υποδειγµάτων ενδογενούς νάπτυξης, στ οποί κεντρικό ρόλο πίζει η γνώση. Το πιο σηµντικό συµπέρσµ είνι ότι, ότν εµφνίζοντι θετικές εξωτερικές επιδράσεις, πιτείτι η κρτική πρέµβση, γι ν επιτευχθεί το άριστο επίπεδο προχής νθρώπινου κεφλίου. Απιτούντι δηλδή υψηλότερες δπάνες γι την πιδεί, πό υτές που θ ήτν διτεθειµένος ν κτβάλλει ο ιδιωτικός τοµές, γιτί τ άτοµ δεν νγνωρίζουν τις θετικές επιπτώσεις πό την συνολική νάπτυξη, ώστε ν δεχτούν ν πληρώσουν το ντίστοιχο υξηµένο- τίµηµ. Γι πράδειγµ, το επιστηµονικό βιβλίο προσφέρει τοµικό όφελος υξάνοντς το πόθεµ νθρώπινου κεφλίου που διθέτει ο νγνώστης του, λλά κι γενικό όφελος επιπλέον του τοµικού οφέλους, γιτί κθιστά πιο πργωγικά κι τ υπόλοιπ µέλη της κοινωνίς, που δεν το έχουν διβάσει! Όµως η τιµή που κτβάλλετι γι την πόκτησή του προσδιορίζετι µόνο πό τo τοµικό όφελος. Άρ, το κράτος πρέπει ν επιδοτεί την τιµή του βιβλίου, γιτί η τιµή, που είνι διτεθειµένος ν πληρώσει κθένς τοµικά, είνι χµηλότερη πό την κοινωνικά άριστη τιµή του. Οι νεπτυγµένες οικονοµίες έχουν νγνωρίσει τη σηµσί του δηµόσιου χρκτήρ της εκπίδευσης γι το κοινωνικό σύνολο, διθέτοντς σηµντικά κονδύλι γι την πιδεί. Όπως φίνετι στον επόµενο πίνκ, το ποσοστό του ΑΕΠ που δπνάτι γι την πιδεί κυµίνετι γύρω στο 5% µε 6%, µε εξίρεση την Ελλάδ, όπου το ποσοστό υτό είνι σηµντικά χµηλότερο κι νέρχετι σε 3.1%. Κρτικές δπάνες γι εκπίδευση (% Ακθάριστου Εθνικού Προϊόντος) Γερµνί Μεγ. Βρετνί Γλλί Ισπνί Πορτογλί Ελλάδ Πηγή: World Bank (World Development Report 2000/2001, Πίνκς 6).

6 132 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης Από τ προηγούµεν Κεφάλι κι πό το γρµµικό υπόδειγµ ΑΚ είνι γνωστό ότι το κλειδί γι συνεχή (ενδογενή) µεγέθυνση είνι η έλλειψη φθινουσών ποδόσεων στους συντελεστές που µπορούν ν συσσωρευτούν. Ένς τρόπος γι ν εξλειφθούν οι φθίνουσες ποδόσεις είνι ν υποτεθεί ότι η δηµιουργί του νθρώπινου κεφλίου είνι έν έµµεσο ποτέλεσµ της επένδυσης σε φυσικό κεφάλιο. Μι επιχείρηση που υξάνει το φυσικό της κεφάλιο µθίνει τυτόχρον πώς ν πράγει πιο ποτελεσµτικά. Αυτή η θετική επίδρση της εµπειρίς στην πργωγικότητ ονοµάζετι εκµάθηση (learnng-by-dong). Γι µι συγκεκριµένη επιχείρηση η συνάρτηση πργωγής δίνετι πό τη σχέση: Y = F, ) (7.2) ( όπου = A L κι L είνι ο ριθµός εργζοµένων που πσχολεί η επιχείρηση, ενώ A είνι ένς δείκτης που εκφράζει το επίπεδο τεχνογνωσίς που είνι διθέσιµο στην επιχείρηση. Σε υτό το πλίσιο η διδικσί της εκµάθησης επιδρά µέσω της επένδυσης κάθε επιχείρησης σε φυσικό κεφάλιο. Συγκεκριµέν, η ύξηση στο φυσικό κεφάλιο µις επιχείρησης οδηγεί σε πράλληλη ύξηση του ποθέµτος τεχνογνωσίς Α. Η διδικσί υτή ντικτοπτρίζει την ιδέ του Arrow (1962) ότι βελτιώσεις στην τεχνογνωσί κι την πργωγικότητ προέρχοντι πό την επένδυση κι την πργωγική διδικσί (κάτι που είχε ρχικά πρτηρηθεί ότι ισχύει στη βιοµηχνί κτσκευής εροπλάνων). Επίσης, έχει επληθευτεί εµπειρικά ότι ο ριθµός των διπλωµάτων ευρεσιτεχνίς, που θεωρείτι ότι εκφράζει το επίπεδο τεχνογνωσίς µις οικονοµίς, σχετίζετι θετικά µε την επένδυση σε φυσικό κεφάλιο. Μι δεύτερη σηµντική υπόθεση που γίνετι είνι ότι η τεχνογνωσί είνι δηµόσιο γθό, δηλδή διχέετι σε όλη την οικονοµί κι κάθε επιχείρηση έχει πρόσβση σε υτή µε µηδενικό κόστος. Η συνέπει της υπόθεσης υτής είνι ότι το επίπεδο τεχνογνωσίς κάθε επιχείρησης είνι ίδιο µε το επίπεδο τεχνογνωσίς της οικονοµίς κι νάλογο του συνολικού κεφλίου της οικονοµίς. Η δεύτερη υτή υπόθεση επιτρέπει ν γρφεί η συνάρτηση πργωγής σν: Y = F, L ) (7.3) ( όπου Κ είνι το συνολικό κεφάλιο της οικονοµίς, ενώ Κ είνι το κεφάλιο που χρησιµοποιεί η επιχείρηση. Ας σηµειωθεί ότι η πρπάνω συνάρτηση πργωγής διτηρεί την ιδιότητ των φθινουσών ποδόσεων ως προς το τοµικό κεφάλιο κάθε επιχείρησης, Κ. Όµως εάν µι επιχείρηση

7 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 133 υξήσει το τοµικό της κεφάλιο, τότε το συνολικό κεφάλιο της οικονοµίς υξάνει νάλογ κι πράγετι έν όφελος (µέσω της ύξησης της πργωγικότητς) που διχέετι σε όλες τις επιχειρήσεις. O στόχος κάθε επιχείρησης είνι ν επιλέξει το κεφάλιο Κ κι την εργσί L που θ πσχολήσει, ώστε ν µεγιστοποιήσει τ κέρδη της π. Το πρόβληµ υτό γράφετι ως: max π = F(, L ) ( r + δ) wl (7.4) ή ενλλκτικά σε κτά κεφλήν όρους: [ F( k, ) ( r + δ k w] max π = L ) (7.5) Κάθε ντγωνιστική επιχείρηση θεωρεί την τιµή του κεφλίου κι το µισθό ως δεδοµέν. Μι πολύ σηµντική υπόθεση σε υτό το σηµείο είνι επίσης ότι οι επιχειρήσεις είνι ρκετά µικρές, ώστε ν µην υπολογίζουν την τοµική τους συνεισφορά στο συνολικό κεφάλιο της οικονοµίς. Με άλλ λόγι, κάθε επιχείρηση µεγιστοποιεί τ κέρδη της θεωρώντς το συνολικό κεφάλιο Κ ως δεδοµένο. Οι συνθήκες πρώτης τάξης γι τη µεγιστοποίηση των κερδών είνι: π F( k, ) = 0 = r + δ (7.6) k π F( k, ) = 0 F( k, ) k = w (7.7) L k Όλες οι επιχειρήσεις είνι ίδιες κι κτά συνέπει θ πάρουν τις ίδιες ποφάσεις στην ισορροπί. Θ ισχύει δηλδή ότι ο λόγος κεφλίουεργσίς κάθε επιχείρησης ισούτι µε τον ντίστοιχο λόγο γι όλη την οικονοµί, δηλδή k =k, κι κτά συνέπει Κ=kL. Εφόσον η συνάρτηση πργωγής είνι οµογενής πρώτου βθµού ως προς k, ισχύει επίσης ότι: F( k, ) = F 1, = F(1, L) = f ( L) (7.8) k k Πργωγίζοντς την πρπάνω εξίσωση ως προς k προκύπτει ότι:

8 134 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης F( k, ) k k f ( L) = k F( k, ) = f ( L) Lf k ( L) (7.9) Το πρόβληµ της µεγιστοποίησης της χρησιµότητς του ντιπροσωπευτικού νοικοκυριού πρµένει το ίδιο όπως στο Κεφάλιο 6. Κτά συνέπει, χρησιµοποιώντς τις εξισώσεις (7.6) κι (7.9), οι διφορικές εξισώσεις (6.17) κι (6.18) του προηγούµενου Κεφλίου µπορούν ν γρφούν ως: k = f ( L) k δk c (7.10) c 1 = c θ [ f ( L) Lf ( L) ( ρ + δ) ] (7.11) Από την εξίσωση (7.11) είνι σφές ότι ο ρυθµός ύξησης της κτά κεφλήν κτνάλωσης είνι στθερός γιτί ο πληθυσµός L είνι στθερός. Μπορεί κόµη ν ποδειχθεί χρησιµοποιώντς την εξίσωση (7.10) κι την τελική συνθήκη πό το πρόβληµ της µεγιστοποίησης της διχρονικής συνάρτησης χρησιµότητς των νοικοκυριών ότι κι ο ρυθµός ύξησης του λόγου κεφλίου-εργσίς είνι στθερός κι µάλιστ ίσος µε το ρυθµό ύξησης της κτά κεφλήν κτνάλωσης. 24 Το ποτέλεσµ υτό υποδηλώνει ότι κι ο ρυθµός ύξησης του κτά κεφλήν προϊόντος θ είνι στθερός κι, κτά συνέπει, νεξάρτητος πό το επίπεδο νάπτυξης της οικονοµίς. Με υτό τον τρόπο η θετική εξωτερική επίδρση πό τη συσσώρευση νθρώπινου κεφλίου µπορεί ν προκλέσει ενδογενή οικονοµική µεγέθυνση. Έν ζήτηµ που νκύπτει µε το πρπάνω υπόδειγµ είνι ότι προσδιορίζει έν ρυθµό µεγέθυνσης, ο οποίος είνι θετική συνάρτηση του µεγέθους του πληθυσµού. Η θετική υτή σχέση ονοµάζετι επίδρση κλίµκς (scale effect) κι δηλώνει ότι ν γι πράδειγµ δύο χώρες διφέρουν µόνο ως προς το µέγεθος του πληθυσµού τους, τότε η χώρ µε το µεγλύτερο πληθυσµό θ πολµβάνει κι µεγλύτερο ρυθµό µεγέθυνσης. Ο λόγος της εµφάνισης της επίδρσης κλίµκς στο πρπάνω υπόδειγµ είνι η υπόθεση ότι η ύξηση του συνολικού κεφλίου συµβάλει στη βελτίωση της πργωγικότητς γι κάθε έν πό τ άτοµ της οικονοµίς. 24 Βλ. γι πράδειγµ τη σχέση (6.33) του προηγούµενου Κεφλίου, η οποί νφέρετι στην περίπτωση του γρµµικού υποδείγµτος.

9 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 135 Κτά συνέπει ν δυο χώρες έχουν το ίδιο συνολικό φυσικό κεφάλιο, η χώρ µε το µεγλύτερο πληθυσµό θ συσσωρεύει περισσότερο νθρώπινο κεφάλιο φού η θετική επίδρση του φυσικού κεφλίου θ διχυθεί σε περισσότερ άτοµ. Το γεγονός υτό έχει δειχθεί ότι δεν ισχύει στις πργµτικές οικονοµίες κι, κτά συνέπει, η πρόβλεψη υτή ποτελεί µειονέκτηµ γι το υπόδειγµ. Η επίδρση κλίµκς µπορεί ν ποφευχθεί εάν γίνει η -πιο ρελιστική- υπόθεση ότι η συσσώρευση τοµικού νθρώπινου κεφλίου δεν εξρτάτι πό το συνολικό φυσικό κεφάλιο της οικονοµίς, λλά πό το κεφάλιο που νλογεί σε κάθε εργζόµενο, δηλδή το µέσο κεφάλιο της οικονοµίς, οπότε θ ίσχυε = ( ) L. L L Σε επόµεν Κεφάλι θ εξετστεί πώς λειτουργεί η οικονοµί µε µι τέτοι υπόθεση. Η λύση του κοινωνικού σχεδιστή στο υπόδειγµ της εκµάθησης Στο σηµείο υτό θ προυσιστεί το ντίστοιχο πρόβληµ του κοινωνικού σχεδιστή. Η σύγκριση της λύσης του προβλήµτος υτού µε τη λύση του προβλήµτος της ποκεντρωµένης οικονοµίς θ ποκλύψει κτά πόσο το πρόβληµ της ποκεντρωµένης οικονοµίς δίνει λύση η οποί είνι άριστη κτά Pareto ή όχι. Ο κοινωνικός σχεδιστής µεγιστοποιεί τη διχρονική συνάρτηση χρησιµότητς των νοικοκυριών: U = 0 1 θ ρt c ρt u( c) Le dt = Le dt 1 θ 0 (7.12) κάτω πό τον περιορισµό της κλειστής οικονοµίς: Y = C + I Y = C + + δ k = y δk c (7.13) Η οικονοµί ποτελείτι πό Μ οµοειδείς επιχειρήσεις, κάθε µι πό τις οποίες πράγει Υ µονάδες προϊόντος. Κτά συνέπει, το συνολικό προϊόν της οικονοµίς είνι: Y Y = MY = MF(, L ) = F(, L) = F, L L

10 136 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης y = F( k, ) y = F( k, kl) = kf(1, L) y = kf ( L) (7.14) Αντικθιστώντς την εξίσωση (7.14) στην (7.13), ο περιορισµός του κοινωνικού σχεδιστή µπορεί ν γρφεί ως: k = kf ( L) δk c (7.15) Η εξίσωση του amlton που ντιστοιχεί στο πρόβληµ του κοινωνικού σχεδιστή είνι: 1 θ c J = Le 1 θ ρt + ν [ kf ( L) δk c] (7.16) Οι συνθήκες πρώτης τάξης γι τη µεγιστοποίηση της πρπάνω εξίσωσης του amlton είνι: J c θ ρt = 0 c Le = ν (7.17) J k = ν ν = ν [ δ f (L)] (7.18) ιφορίζοντς την εξίσωση (7.17) ως προς το χρόνο, προκύπτει: θ 1 ν = θ c Le ρt θ c ρ e Le ρt θ ν = e Le ρt c θ ρ c c ν = ν θ + ρ (7.19) c Από τις εξισώσεις (7.18) κι (7.19) προκύπτει ότι ο ρυθµός µεγέθυνσης της κτά κεφλήν κτνάλωσης, κι κτ επέκτση ο ρυθµός ύξησης του κτά κεφλήν προϊόντος, δίνετι πό τη σχέση:

11 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 137 c 1 = c θ [ f ( L) δ ρ] (7.20) Η πρπάνω εξίσωση δίνει το ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης που µπορεί ν επιτύχει ο κοινωνικός σχεδιστής. Συγκρίνοντς την εξίσωση υτή µε την εξίσωση (7.10), που δίνει το ρυθµό µεγέθυνσης της ποκεντρωµένης οικονοµίς, φίνετι ότι οι δυο υτοί ρυθµοί µεγέθυνσης είνι διφορετικοί. Ο ρυθµός µεγέθυνσης που επιτυγχάνει ο κοινωνικός σχεδιστής είνι µεγλύτερος πό υτόν της ποκεντρωµένης οικονοµίς φού ισχύει ότι: f ( L) > f ( L) Lf ( L) (7.21) Το συµπέρσµ είνι ότι η λύση της ποκεντρωµένης οικονοµίς δεν είνι άριστη κτά Pareto, φού ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης που επιτυγχάνετι είνι χµηλότερος πό υτόν, που µπορεί ν επιτύχει ο κοινωνικός σχεδιστής. Το γεγονός υτό οφείλετι στην ύπρξη θετικών εξωτερικών επιδράσεων στην πργωγή πό τη συσσώρευση του συνολικού φυσικού κεφλίου. Οι επιχειρήσεις, σε ντίθεση µε τον κοινωνικό σχεδιστή, δεν λµβάνουν υπόψη τις θετικές υτές επιδράσεις ότν µεγιστοποιούν τ κέρδη τους, µε ποτέλεσµ οι ριστοποιητικές επιλογές τους ν µην είνι οι κλύτερες δυντές γι την ευηµερί του συνόλου των τόµων της οικονοµίς. Η διφορά µπορεί ν φνεί µε τη χρήση, γι πράδειγµ, µις συνάρτησης πργωγής της µορφής Cobb-Douglas: Y = = ) ( L (7.3) Στην περίπτωση υτή, η συνάρτηση κερδών της ντιπροσωπευτικής επιχείρησης γράφετι ως: π = L ( r + δ) wl (7.4) Μεγιστοποιώντς τη συνάρτηση κερδών ως προς το κεφάλιο προκύπτει ότι: π L = 0 = r + δ r = L δ (7.6)

12 138 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης δεδοµένου ότι στην ισορροπί =. Άρ ο ρυθµός µεγέθυνσης της L L ποκεντρωµένης οικονοµίς δίνετι πό την εξίσωση: c = c θ θ ( r ρ) = [ L ( ρ + δ)] (7.10) Αντίστοιχ, η εξίσωση του amlton που ντιστοιχεί στο πρόβληµ του κοινωνικού σχεδιστή είνι: 1 θ c J = Le 1 θ ρt + ν( kl δk c) (7.12) ( L) φού y = = kl. Οι συνθήκες πρώτης τάξης γι τη L µεγιστοποίηση της εξίσωσης του amlton είνι: J c θ ρt c = 0 c Le = ν ν = ν θ ρ (7.17) c J = ν k ( δ L ) ν = ν 1 (7.18) Από τις πρπάνω συνθήκες πρώτης τάξης προκύπτει ότι ο ρυθµός µεγέθυνσης που µπορεί ν εξσφλίσει ο κοινωνικός σχεδιστής είνι: c 1 [ L 1 = c θ ( ρ + δ)] (7.20) Συγκρίνοντς τη λύση του προβλήµτος του κοινωνικού σχεδιστή (7.20) κι της ποκεντρωµένης οικονοµίς (7.10) φίνετι ότι ο κοινωνικός σχεδιστής επιτυγχάνει µεγλύτερο ρυθµό µεγέθυνσης. Οι επιχειρήσεις λµβάνουν υπόψη µόνο το τοµικό όφελος τους, όπως υτό δίνετι πό την ελστικότητ του προϊόντος ως προς το κεφάλιο της επιχείρησης, ενώ ο κοινωνικός σχεδιστής συνυπολογίζει κι το συνολικό

13 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 139 όφελος πό τη συσσώρευση τοµικού κεφλίου, µε συνέπει η ντίστοιχη ελστικότητ ν ισούτι µε µονάδ. Άρ, οι επιχειρήσεις δεν επενδύουν ρκετά σε φυσικό κεφάλιο κι η λύση της ποκεντρωµένης οικονοµίς δεν είνι άριστη κτά Pareto. Η πρπάνω νάλυση προυσιάζει έν κύριο χρκτηριστικό των υποδειγµάτων µε εξωτερικές οικονοµίες. Σε υτή την κτηγορί υποδειγµάτων, ο ιδιωτικός τοµές (επιχειρήσεις), ότν µεγιστοποιεί το κέρδος του, δεν ντιλµβάνετι το όφελος που προκύπτει γι το σύνολο της οικονοµίς πό τις ενέργειές τους. Τη λύση σε υτό το πρόβληµ µπορεί ν προσφέρει η κτάλληλη πρέµβση του κράτους (γι πράδειγµ, µέσω επιδοτήσεων στις επιχειρήσεις µε στόχο την ύξηση των επενδύσεων σε φυσικό κεφάλιο). Έτσι, θ υξηθεί το ορικό προϊόν του κεφλίου, οι επενδύσεις κι, άρ, το συνολικό κεφάλιο της οικονοµίς κθιστώντς τη λύση της ποκεντρωµένης οικονοµίς άριστη κτά Pareto. Ενδογενής µεγέθυνση µε πργωγή νθρώπινου κεφλίου Το υπόδειγµ της εκµάθησης ερµηνεύει τη συσσώρευση νθρώπινου κεφλίου ως ποτέλεσµ της εµπειρίς κι της ενσχόλησης των εργζοµένων µε την πργωγική διδικσί. Αν κι δεν υπάρχει µφιβολί ότι έν σηµντικό µέρος του νθρώπινου κεφλίου δηµιουργείτι µέσω της διδικσίς της εκµάθησης, σε γενικές γρµµές το νθρώπινο κεφάλιο είνι ποτέλεσµ της συστηµτικής προσπάθεις των διφόρων φορέων της οικονοµίς γι την πργωγή του. Όπως κριβώς κι στην περίπτωση του φυσικού κεφλίου, η οικονοµί κτνέµει πργωγικούς πόρους στην πργωγή νέου νθρώπινου κεφλίου (βλ. Κεφάλιο 3). Σε υτό το τµήµ θ προυσιστούν δυο υποδείγµτ ενδογενούς οικονοµικής µεγέθυνσης µε άµεση πργωγή νθρώπινου κεφλίου. Θ ποδειχθεί ότι η δυντότητ πργωγής νέου νθρώπινου κεφλίου µπορεί ν πενεργοποιήσει τον περιορισµό των φθινουσών ποδόσεων κι ν οδηγήσει σε οικονοµική µεγέθυνση, κόµη κι στην περίπτωση όπου δεν υπάρχει τεχνολογική πρόοδος. Το πρώτο πό τ δύο υποδείγµτ είνι έν υπόδειγµ ενδογενούς µεγέθυνσης µε ένν τοµέ πργωγής. Η νάλυση δηλδή πλοποιείτι υποθέτοντς ότι γι την πργωγή του φυσικού κι του νθρώπινου κεφλίου πιτείτι η ίδι τεχνολογί (συνάρτηση πργωγής). Στο δεύτερο υπόδειγµ υιοθετείτι µι πιο ρελιστική προσέγγιση, υποθέτοντς ότι πιτούντι διφορετικές τεχνολογίες γι την πργωγή φυσικού κι νθρώπινου κεφλίου. Πιο συγκεκριµέν, γίνετι η υπόθεση ότι η πργωγή φυσικού κεφλίου είνι εντάσεως φυσικού κεφλίου, ενώ η πργωγή νθρώπινου κεφλίου είνι εντάσεως νθρώπινου κεφλίου. Η

14 140 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης πργωγή νθρώπινου κεφλίου πιτεί δηλδή νλογικά περισσότερο νθρώπινο κεφάλιο σε σχέση µε την πργωγή φυσικού κεφλίου. Έν χρκτηριστικό πράδειγµ που βοηθά στην κτνόηση της διφοράς στην τεχνολογί πργωγής νθρώπινου κι φυσικού κεφλίου είνι η σύγκριση ενός πνεπιστηµίου µε έν εργοστάσιο πργωγής εργλείων. Γίνετι εύκολ κτνοητό ότι το πνεπιστήµιο (χώρος πργωγής νθρώπινου κεφλίου) χρησιµοποιεί νλογικά περισσότερο νθρώπινο κεφάλιο πό το εργοστάσιο πργωγής εργλείων (χώρος πργωγής φυσικού κεφλίου). Γι ν πλοποιηθεί η προυσίση, η νάλυση των υποδειγµάτων θ επικεντρωθεί στο πρόβληµ του κοινωνικού σχεδιστή. Επιπλέον, η νάλυσή θ γίνει σε όρους συνολικών κι όχι κτά κεφλήν µετβλητών φού, ν υποτεθεί ότι ο πληθυσµός της οικονοµίς πρµένει διχρονικά στθερός, οι ρυθµοί µετβολής των συνολικών κι των ντίστοιχων κτά κεφλήν µετβλητών τυτίζοντι. Ενδογενής µεγέθυνση µε ένν τοµέ πργωγής νθρώπινου κεφλίου Έστω µι οικονοµί µε στθερό πληθυσµό L, η οποί πράγει έν τελικό προϊόν Υ. Γι λόγους πλούστευσης έστω ότι η συνολική συνάρτηση πργωγής είνι της µορφής Cobb-Douglas µε στθερές ποδόσεις ως προς το φυσικό κι νθρώπινο κεφάλιο: Y = (7.22) όπου 0<<1. Ο λόγος γι τον οποίο η πρπάνω συνάρτηση πργωγής θ δώσει ενδογενή οικονοµική µεγέθυνση είνι ο εξής: εάν θεωρηθεί ότι το νθρώπινο κεφάλιο µπορεί ν γρφεί ως = hl, όπου h είνι το κτά κεφλήν νθρώπινο κεφάλιο, τότε η πρπάνω συνάρτηση πργωγής γίνετι: Y = h L (7.23) Η συνάρτηση πργωγής χρκτηρίζετι δηλδή πό στθερές ποδόσεις ως προς τις µετβλητές που µπορούν ν συσσωρευτούν (Κ κι h). Ο διπλσισµός, γι πράδειγµ, των εισροών Κ κι h θ οδηγήσει σε διπλσισµό του πργόµενου προϊόντος, πρόλο που η πσχόληση πρµένει στθερή. Άρ η δυντότητ συσσώρευσης νθρώπινου κεφλίου πενεργοποιεί τις φθίνουσες ποδόσεις κι µπορεί ν οδηγήσει σε ενδογενή µεγέθυνση.

15 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 141 Το τελικό προϊόν της οικονοµίς µπορεί ν χρησιµοποιηθεί είτε γι κτνάλωση είτε γι επένδυση σε φυσικό κι νθρώπινο κεφάλιο, Ι Κ κι Ι Η ντίστοιχ. Η οικονοµί υπόκειτι λοιπόν στον περιορισµό: Y = = C + I + I (7.24) Η κθρή ύξηση του κεφλίου (φυσικού κι νθρώπινου) είνι ίση µε τη επένδυση µείον την πόσβεση του κεφλίου. Ισχύει λοιπόν: = I = I δ δ (7.25) (7.26) όπου γι ευκολί στους υπολογισµούς υποτίθετι ότι το φυσικό κι νθρώπινο κεφάλιο ποσβένοντι µε τον ίδιο ρυθµό δ. Ο κοινωνικός σχεδιστής µεγιστοποιεί τη διχρονική συνάρτηση χρησιµότητς: U = 0 1 θ ρt C ρt u( C) e dt = e dt 1 θ 0 (7.27) υπό τους περιορισµούς των εξισώσεων (7.24), (7.25) κι (7.26). Η εξίσωση του amlton που ντιστοιχεί στο πρόβληµ του κοινωνικού σχεδιστή είνι: 1 θ C J = e 1 θ ρt + ν( I δ) + µ ( I δ ) + λ( a 1 a C I I ) (7.28) όπου ν κι µ είνι σκιώδεις τιµές που σχετίζοντι µε τις µετβλητές φυσικού κι νθρώπινου κεφλίου ντίστοιχ, ενώ λ είνι ο πολλπλσιστής του Lagrange που σχετίζετι µε τον εισοδηµτικό περιορισµό. Οι συνθήκες πρώτης τάξης γι τη µεγιστοποίηση της εξίσωσης του amlton είνι: J C θ ρt = 0 C e = λ (7.29)

16 142 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης J I J I = 0 ν = λ (7.30) = 0 µ = λ (7.31) J = ν λ ( ) = ν+ δν (7.32) J = µ λ( 1 ) = µ + δµ (7.33) Θ πρέπει επίσης ν ικνοποιούντι οι τελικές συνθήκες: lm ( ν ) = 0 (7.34) t t t lm ( µ ) = 0 (7.35) t t t Από τις εξισώσεις (7.30), (7.31), (7.32) κι (7.33) προκύπτει ότι: = (7.36) 1 Η εξίσωση (7.36) δηλώνει ότι ο άριστος λόγος φυσικού-νθρωπίνου κεφλίου ισούτι µε το λόγο των ελστικοτήτων του εισοδήµτος ως προς το φυσικό κι το νθρώπινο κεφάλιο, ντίστοιχ. Όσο µεγλύτερη είνι η ελστικότητ του εισοδήµτος ως προς το φυσικό (νθρώπινο) κεφάλιο, τόσο πιο συµφέρον είνι γι την οικονοµί ν διθέτει περισσότερο φυσικό (νθρώπινο) κεφάλιο. Από τ πρπάνω µπορεί ν υπολογιστεί ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης στην ισορροπί, ο οποίος δίνετι πό την πρκάτω σχέση: ( ) 1 1 = δ ρ θ Y Y (7.37)

17 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 143 ιφορίζοντς την εξίσωση (7.29) ως προς το χρόνο κι σε συνδυσµό µε την εξίσωση (7.32) προκύπτει ότι: C 1 = C θ ( ) δ ρ (7.38) Τέλος, ντικθιστώντς την εξίσωση (7.36) στην εξίσωση (7.38) ισχύει: C 1 1 = C θ δ ρ (7.39) Από την πρπάνω εξίσωση φίνετι ότι ο ρυθµός ύξησης της κτνάλωσης είνι στθερός. Χρησιµοποιώντς τις τελικές συνθήκες (7.34) κι (7.35) µπορεί ν δειχθεί, µε νάλογο τρόπο όπως στην Πρότση 6.3 γι C Y το γρµµικό υπόδειγµ ΑΚ, ότι = = =, που σηµίνει ότι όλες οι C Y µετβλητές του υποδείγµτος υξάνουν µε τον ίδιο στθερό ρυθµό. Εποµένως, όπως έχει ήδη φνεί πό την νάλυση της συνάρτησης πργωγής (7.22), η πργωγή νθρώπινου κεφλίου οδηγεί σε ενδογενή οικονοµική µεγέθυνση. Ενδογενής µεγέθυνση µε δύο τοµείς πργωγής νθρώπινου κεφλίου: Τo υπόδειγµ του Lucas Στο τµήµ υτό θ επεκτθεί η έννοι της πργωγής νθρώπινου κεφλίου στην οικονοµί µε την προυσίση ενός υπόδείγµτος µεγέθυνσης όπου το φυσικό κι νθρώπινο κεφάλιο πράγοντι πό διφορετικές συνρτήσεις πργωγής. Έστω ότι στη γενική µορφή: Y = C + I = C + + δ = A( u ) ( u ) (7.40) I β 1 = + δ = B[ ( 1 u ] [ ] β ) (1 u ) (7.41) όπου u κι u L είνι τ µερίδι φυσικού κι νθρώπινου κεφλίου, ντίστοιχ, που χρησιµοποιούντι στην πργωγή του τελικού προϊόντος. Οι πράµετροι Α κι Β ντιστοιχούν σε δύο τεχνολογικές στθερές. Έστω

18 144 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης επίσης ότι > β, που σηµίνει ότι η πργωγή φυσικού κεφλίου είνι εντάσεως φυσικού κεφλίου. Ο κοινωνικός σχεδιστής µεγιστοποιεί τη συνάρτηση διχρονικής χρησιµότητς (7.27) µε τους περιορισµούς (7.40) κι (7.41). Λόγω της πολυπλοκότητς στους υπολογισµούς θ νλυθεί µι πλοποιηµένη µορφή του πρπάνω υποδείγµτος, γνωστή ως υπόδειγµ του Lucas. Στο υπόδειγµ του Lucas (1988) γίνετι η υπόθεση ότι γι την πργωγή του νθρώπινου κεφλίου δεν πιτείτι φυσικό κεφάλιο. Οι συνρτήσεις πργωγής µπορούν δηλδή ν γρφούν ως: Y = C + + δ = A ( u ) (7.42) + δ = B ( 1 u ) (7.43) Γι τη συνάρτηση χρησιµότητς που δίνετι πό την (7.27), η εξίσωση του amlton που ντιστοιχεί στο πρόβληµ του κοινωνικού σχεδιστή είνι: 1 θ C J = e 1 θ ρt + ν [ A ( u ) δ C] + µ [ B(1 u ) δ ] (7.44) Οι συνθήκες πρώτης τάξης γι τη µεγιστοποίηση της πρπάνω εξίσωσης του amlton είνι: J C t = 0 u ( C) e ρ = ν (7.45) J u = 0 ν(1 ) A = µb u (7.46) J = ν νa u ( ) = δν ν (7.47) J = µ ν( 1 ) u A + µb(1 u ) = δµ µ (7.48) u

19 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 145 Στην ισορροπί οι σκιώδεις τιµές ν κι µ θ µετβάλλοντι µε τον ίδιο στθερό ρυθµό. Άρ, πό τις εξισώσεις (7.47) κι (7.48) προκύπτει: A u ( ) = (1 ) u A u + B(1 u ) (7.49) Αντικθιστώντς την εξίσωση (7.46) στην (7.49) ο λόγος φυσικούνθρώπινου κεφλίου στην ισορροπί δίνετι πό τη σχέση: = u A B 1 (7.50) Η εξίσωση (7.50) δηλώνει ότι ο άριστος λόγος φυσικού-νθρωπίνου κεφλίου στο υπόδειγµ µε δύο τοµείς πργωγής κεφλίου είνι συνάρτηση των ελστικοτήτων του φυσικού κι του νθρώπινου κεφλίου στη συνολική συνάρτηση πργωγής, του µεριδίου του νθρωπίνου κεφλίου που χρησιµοποιείτι στην πργωγή, κθώς επίσης κι του επιπέδου της τεχνολογίς σε κάθε τοµέ. Μπορεί τώρ ν υπολογιστεί ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης στην ισορροπί. ιφορίζοντς την εξίσωση (7.45) ως προς το χρόνο κι χρησιµοποιώντς την εξίσωση (7.47) γι ν πλειφθεί η σκιώδης τιµή ν, προκύπτει η γνωστή έκφρση γι το ρυθµό µετβολής της κτνάλωσης: C 1 = A C θ u ( ) ( ρ + δ) (7.51) Τέλος, ντικθιστώντς την εξίσωση (7.50) στην πρπάνω εξίσωση εξάγετι ο ρυθµός µετβολής της κτνάλωσης: C 1 = [ B ( ρ + δ)] C θ (7.52) Στην ισορροπί, φού ο λόγος φυσικού-νθρώπινου κεφλίου είνι στθερός, όλες οι µετβλητές µετβάλλοντι µε τον ίδιο στθερό ρυθµό κι

20 146 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης C Y ισχύει = = =. Όπως κι στην περίπτωση του υποδείγµτος µε C Y έν τοµέ πργωγής, ο στθερός ρυθµός µεγέθυνσης της οικονοµίς υποδηλώνει ότι η δυντότητ πργωγής νέου νθρώπινου κεφλίου πενεργοποιεί τις φθίνουσες ποδόσεις κι οδηγεί σε ενδογενή µεγέθυνση της οικονοµίς. Τέλος, πρέπει ν σηµειωθεί ότι ο ρυθµός µεγέθυνσης της οικονοµίς είνι ύξουσ συνάρτηση της τεχνολογικής στθεράς Β στη συνάρτηση πργωγής νθρώπινου κεφλίου, που σηµίνει ότι όσο πιο υψηλή τεχνολογί έχει η οικονοµί στην πργωγή νθρώπινου κεφλίου, τόσο µεγλύτερο ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης είνι σε θέση ν επιτύχει. Συµπεράσµτ Τ υποδείγµτ µε εξωτερικές οικονοµίες κι νθρώπινο κεφάλιο ποτελούν µι πολύ σηµντική κτηγορί στ υποδείγµτ ενδογενούς οικονοµικής µεγέθυνσης. Ο βσικός λόγος είνι ότι ενσωµτώνουν τη ρελιστική υπόθεση ότι το ίδιο τοµικό πόθεµ κεφλίου κι εργσίς µπορεί ν είνι πιο πργωγικό σε έν περιβάλλον µε υψηλότερο συνολικό πόθεµ φυσικού ή/κι νθρώπινου κεφλίου. Με υτόν τον τρόπο δηµιουργούντι οι συνθήκες γι ενδογενή µεγέθυνση, κθώς µι οικονοµί που είνι ήδη νπτυγµένη (δηλδή διθέτει υψηλό πόθεµ φυσικού κι νθρώπινου κεφλίου) έχει ευνοϊκότερες συνθήκες γι περιτέρω νάπτυξη. Το συµπέρσµ υτό ντρέπει τη βσικό ποτέλεσµ της υπόθεσης των φθινουσών ποδόσεων των συντελεστών πργωγής, κθώς η οικονοµί κτλήγει σε συνεχή οικονοµική µεγέθυνση, χωρίς ν είνι πρίτητη η υπόθεση της εξωγενούς τεχνολογικής προόδου. Το άλλο ουσιώδες χρκτηριστικό υτής της κτηγορίς υποδειγµάτων είνι η νγκιότητ γι κρτική πρέµβση, προκειµένου ν επιτευχθεί το άριστο ποτέλεσµ γι την οικονοµί. Η ισορροπί της ποκεντρωµένης οικονοµίς µε ντγωνιστικές επιχειρήσεις δεν επιτυγχάνει το µέγιστο ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης, γιτί οι επιχειρήσεις δεν ντιλµβάνοντι ότι η συµπεριφορά τους µε στόχο τη µεγιστοποίηση των κερδών έχει επιπτώσεις στ τοµικά κέρδη τους όχι µόνο µέσω της επιλογής των ιδιωτικών συντελεστών πργωγής, λλά επίσης µέσω του συνολικού ύψους των συντελεστών πργωγής, το οποίο είνι διθέσιµο στην οικονοµί. Σε έν τέτοιο πλίσιο, το κράτος µπορεί ν βοηθήσει στην επίτευξη του άριστου ποτελέσµτος πρέχοντς κτάλληλ κίνητρ γι το σχηµτισµό της πιτούµενης ποσότητς συνολικού φυσικού κι νθρώπινου κεφλίου, ώστε η οικονοµί ν εκµετλλευτεί πλήρως τις δυντότητες των πργωγικών συντελεστών.

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονοµικής µεγέθυνσης θ ξεκινήσει εξετάζοντς το πιο πλό δυνµικό υπόδειγµ

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΙ ΗΜΟΣΙΕΣ ΑΠΑΝΕΣ

ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΙ ΗΜΟΣΙΕΣ ΑΠΑΝΕΣ Κεφάλιο 9 ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΙ ΗΜΟΣΙΕΣ ΑΠΑΝΕΣ Εισγωγή Στην νζήτηση γι τους προσδιοριστικούς πράγοντες της οικονοµικής µεγέθυνσης, στ υποδείγµτ µε εξωτερικές οικονοµίες δόθηκε ιδιίτερο βάρος στις τέλειες

Διαβάστε περισσότερα

Micro-foundations of macroeconomics (or Το υπόδειγμα Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης)

Micro-foundations of macroeconomics (or Το υπόδειγμα Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Miro-foundaions of maroeonomis (or Το υπόδειγμ Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Α. Αποκεντρωμένη Οικονομί Υποθέστε μί κλειστή οικονομί η οποί πρτίζετι πό πλήθος όμοιων νοικοκυριών κι πλήθος όμοιων επιχειρήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου.

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. ) Υπόδειγµ Εντολέ - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. Έστω ότι ο εντολοδόχος ελέγχει µί επιχείρηση της οποίς ιδιοκτήτες είνι διάφοροι µέτοχοι (ο εντολές). Στην γενική περίπτωση, ο εντολοδόχος

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων 3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων - ο λογισµός της επιχείρησης εκτείνετι σε δύο χρονικές περιόδους. - έχει την δυντότητ ν δηµιουργήσει ποθέµτ την πρώτη περίοδο τ οποί θ πουλήσει την δεύτερη. - Η πόφση πργωγής

Διαβάστε περισσότερα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα EI.3 ΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ.Αξί κτνάλωσης.λεόνσμ κτνλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.λεόνσμ προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνσμ. ργμτική ξί (Χρησιμότητ) της κτνάλωσης Η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = () έχει κτρχήν την γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή Ε9 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.Υποκτάστση συντελεστών στην πργωγή 2.Ομογενείς συνρτήσεις πργωγής 3.Ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών 4.Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης 5.Πργωγή στθερής ελστικότητς υποκτάστσης

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017 ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥ 2017-2018 ΑΠΑΝΤΗΕΙ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑΤΟ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017 ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. ) ωστό β) ωστό γ) Λάθος δ)ωστό ε) Λάθος Α2. γ Α3. δ ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β Β1. Το εισόδημ των κτνλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 2 Βασικά ερωτήµατα 12/10/2016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος

ιάλεξη 2 Βασικά ερωτήµατα 12/10/2016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµ Οικονοµικών Επιστηµών Ακδηµϊκό έτος 2016-17 ιάλεξη 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ (διβάζουμε κεφ. 4 πό Μ. Χλέτσο κι σημειώσεις στο eclass) Αντωνισμός, οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

EIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι

EIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι EIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι.Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής.κερδοφορί 3.Προσφορά προιόντος.κέρδος μονοπωλίου 5.Κέρδος με συντελεστή πργωγής.ζήτηση γθών στην κτνάλωση 7.Μέγιστο κέρδος. Κέρδος ντγωνιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Ένα Νεο Κεϋνσιανό Υπόδειγµα µε Περιοδικό Προκαθορισµό των Ονοµαστικών Μισθών

Κεφάλαιο 15 Ένα Νεο Κεϋνσιανό Υπόδειγµα µε Περιοδικό Προκαθορισµό των Ονοµαστικών Μισθών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυνµική Μκροοικονοµική, Αθήν 2016 Κεφάλιο 15 Έν Νεο Κεϋνσινό Υπόδειγµ µε Περιοδικό Προκθορισµό των Ονοµστικών Μισθών Στο κεφάλιο υτό νλύουµε έν ενλλκτικό νέο κεϋνσινό υπόδειγµ µκροοικονοµικών

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΣ ΣΤΟ ΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ Εαρινό Εξάµηνο , 1 Ιουνίου 2000

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΣ ΣΤΟ ΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ Εαρινό Εξάµηνο , 1 Ιουνίου 2000 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΣ ΣΤΟ ΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ Ερινό Εξάµηνο 1999-2000, 1 Ιουνίου 2000 Α Οδηγίες: Απντήστε όλες τις ερωτήσεις. Ν επιστρέψετε τ θέµτ. 1. (65 µόρι) ίνετι ο κόλουθος πίνκς πιτούµενων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

1 Δύο εισροές-μία εκροή

1 Δύο εισροές-μία εκροή Ε8 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ II 1.Δύο εισροές-μί εκροή.πργωγή τύπου Cobb-Douglas 3.Δύο εκροές-μί εισροή 4.Συμφέρουσες τιμές 5.Διφοροποίηση τιμών 6.Ελστικότητες στην διφοροποίηση τιμών 7.Εξωτερικότητες 8.Εισροές-Εκροές

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εξωτερικές οικονοµίες

Εξωτερικές οικονοµίες Εξωτερικές οικονοµίες Συνθήκες Οι ενέργειες ενός οικονοµικού υποκειµένου Α προκλούν µετβολή της ευηµερίς ενός οικονοµικού υποκειµένου Β (θετικές ή ρνητικές). Ο Β δεν πληρώνει (ν επηρεάζετι θετικά) ή δεν

Διαβάστε περισσότερα

E2. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι

E2. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι E. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι.Συνθήκες Μεγιστοποίησης.Έσοδο.Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής 3.Κερδοφορί.Προσφορά προιόντος 5.Κέρδος με συντελεστή πργωγής.ζήτηση γθών στην κτνάλωση 7.Μέγιστο κέρδος. Συνθήκες Μεγιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x 998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς

Διαβάστε περισσότερα

Βιολογία Προσανατολισμού ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΑ ΓΟΝΙΔΙΑ

Βιολογία Προσανατολισμού ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΑ ΓΟΝΙΔΙΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝ ΓΟΝΙΔΙ Σημείωση: Τ συνδεδεμέν γονίδι νφέροντι στο ιλίο σε έγχρωμο πράθεμ στη σελίδ 80 του σχολικού ιλίου κι άσει του Φ.Ε.Κ. που νφέρει την εξετστέ ύλη, τ έγχρωμ πρθέμτ είνι εκτός εξετστές ύλης.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης Ερωτήσεις θεωρίς βσισμένες στο βιβλίο των μθημτικών της Γ τάξης 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ 27 Απριλίου 29 2 Μθημτικά Γ Τάξης 1. Τι είνι πληθυσμός, άτομο κι μέγεθος ενός πληθυσμού; Πληθυσμός ονομάζετι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ Άσκηση 1 Μί ετιρεί πσχολεί 30 υπλλήλους. Οι μηνιίες ποδοχές κάθε υπλλήλου κυμίνοντι πό 0 έως κι 3.000. Α. Ν γράψετε λγόριθμο που γι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση της διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ για το σχολικό έτος

Διαχείριση της διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ για το σχολικό έτος . Διχείριση της διδκτές-εξετστές ύλης των Μθημτικών Προσντολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ γι το σχολικό έτος 7-8 Σύμφων με την ρ. πρωτ. 63573/Δ/--7 εγκύκλιο του ΥΠ.Π.Ε.Θ. Δημήτριος Σπθάρς Σχολικός Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ: Διχείριση της Διδκτές-Εξετστές ύλης των Μθημτικών της Γ τάξης Ημερησίου Γενικού Λυκείου κι της Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου γι το σχ. έτος 6-7 Μετά πό σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπιδευτικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πνεπιστήμιο Πτρών Σχολή Ανθρωπιστικών κι Κοινωνικών Επιστημών Πιδγωγικό Τμήμ Δημοτικής Εκπίδευσης Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών Mετπτυχική Εργσί Πεποιθήσεις κι κίνητρ. Μι ερευνητική προσέγγιση σε πολιτισμικά

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου γι το σχ έτος 7-8 Αγπητέ Μθητή, Αγπητή Μθήτρι Στις φετινές οδηγίες διδσκλίς κι διχείρισης της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Σ χ ο λ ή Διο ίκ η σ η ς κ Ο ικ ο ν ο μ ί ς Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΑΠΟΨΕΩΝ ΧΡΗΣΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΙΑΤΡΕΙΩΝ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET14: ΤΟΜΕΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET14: ΤΟΜΕΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ - ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Ο δείκτης κτγράφει τη σύνθεση της πσχόλησης νά περιφέρει κι ειδικότερ την ποσοστιί κτνομή κτά τομέ πργωγής (πρωτογενής, δευτερογενής, τριτογενής) κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ενότητα 11

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ενότητα 11 νοικτά καδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΡΓΩΓΗΣ Ενότητα 11: Διάταξη Παραγωγής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

INVESTORS IN PEOPLE. Investors in People: Το ανταγωνιστικό πλεονέκτημα. Investors in People: Η φιλοσοφία. Δράση. Σχεδιασμός.

INVESTORS IN PEOPLE. Investors in People: Το ανταγωνιστικό πλεονέκτημα. Investors in People: Η φιλοσοφία. Δράση. Σχεδιασμός. INVESTORS IN PEOPLE Investors in People: Το ντγωνιστικό πλεονέκτημ Θέλετε ν δείτε την επιχείρησή σς ν βελτιώνει την ντγωνιστικότητά της κι τις επιχειρημτικές της επιδόσεις μέσω της ποτελεσμτικής διχείρισης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο 996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση αποδεικτικών σχέσεων της Θερµοδυναµικής

Επίλυση αποδεικτικών σχέσεων της Θερµοδυναµικής Σηµειώσεις Χηµιής Θερµοδυνµιής/Β. Χβρεδάη Επίλυση ποδειτιών σχέσεων της Θερµοδυνµιής Συνοπτιά νφέροντι διάφοροι τρόποι προσέγγισης της επίλυσης σχέσεων της Θερµοδυνµιής. Θ πρέπει ν τονισθεί ότι οι νφερόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΣΜΟΥ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑ Α ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΣΜΟΥ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑ Α ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΣΜΟΥ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑ Α ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ 3. Εισγωγή Το µκροπρόθεσµο νµενόµενο µέσο κόστος g π νά µονάδ χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου. Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας;

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας; Τ οικονομικά της Υγείς: μι υάρετη επιτήμη ή έν χρήιμο εργλείο γι τις πολιτικές Υγείς; Ιωάννης Κυριόπουλος Κθηγητής Οικονομικών της Υγείς, Διευθυντής του Τομέ Οικονομικών της Υγείς, Εθνική Σχολή Δημόις

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΠΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 04/0/04 ΘΕΜ Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτσεις -4 κι δίπλ το γράμμ

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1 Αντλίες θερµότητς έρος-νερού υψηλών θερµοκρσιών δυο κυκλωµάτων συµπίεσης (σύστηµ cascade). (Από τον Νικόλο Γ. Τσίτσο. Νυπηγό Μηχνολόγο Ε.Μ.Π. Κθηγητ στην Ακδηµί Εµπορικού Νυτικού Ασπροπύργου) εν νκλύψµε

Διαβάστε περισσότερα

Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης.

Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυμ Κρήτης Σχολή Διοίκησης κι Οικονομίς Τμήμ Χρημτοοικονομικής κι Ασφλιστικής ΘΕΜΑ: Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπϊκής Ένωσης. Πτυχική Εργσί: Μυρομμάτη

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ένς Πίνκς συντελεστών Α µπορεί ν έχει ντίστροφο δηλδή, µπορεί ν είνι «µηιδιάζων» µόνο εάν είνι τετργωνικός Η συνθήκη τετργωνικότητς είνι νγκί λλά όχι κι ικνή γι την ύπρξη

Διαβάστε περισσότερα