(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T!

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T!"

Transcript

1 Επί της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας και ισοσκελούς σφήνας µάζας m, η οποία ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικρός κύβος µάζας m. Μεταξύ του κύβου και της σφήνας δεν υπάρχει τριβή, ενώ µεταξύ της σφήνας και του οριζόντιου εδάφους ο συντελεστής τριβής είναι n. Eάν g είναι η επιτάχυνση της βαρύ τητας, να βρείτε την επιτάχυνση της σφήνας στο σύστηµα αναφο ράς του εδάφους. ΛΥΣΗ: O µικρός κύβος στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w και της δύναµης επαφής N από την κεκλι µένη έδρα της σφήνας, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην έδρα αυτή. Στο ίδιο σύστηµα αναφοράς η σφήνα δέχεται το βάρος της w, τη δύναµη επαφής από τον µικρό κύβο αντίθετη της N (τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T (αντίρροπη της επιτάχυνσης a της σφήνας) και στην κά θετη αντίδραση A που είναι κατακόρυφη. Ο κύβος δεν έχει σχετική κίνηση Σχήµα α. Σχήµα β. Σχήµα γ. ως προς τη σφήνα κατά την κάθετη προς την κεκλιµένη της έδρα διεύθυνση y, που σηµαίνει ότι κύβος και σφήνα έχουν την ίδια επιτάχυνση a y κατά τη διεύθυνση αυτή. Εφαρµόζοντας για τον κύβο το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά τη διέυθυνση y, παίρνουµε τη σχέση: w y - N = ma y mg"#$ - N = ma y () Ο ίδιος νόµος εφαρµοζόµενος για τη σφήνα κατά τη διεύθυνση y δίνει: N + w y - T y - A y = ma y N + mg"#$ - T%µ$ - A"#$ = ma y ()

2 Όµως για το µέτρο της τριβής T έχουµε τη σχέση: T = na = n(mg + N"#$) (3) οπότε η () γράφεται: N + mg"#$ - n(mg + N"#$)%µ$ - A"#$ = ma y N + mg("#$ - n%µ$) - nn"#$%µ$ - (mg + N"#$)"#$ = ma y N( - n"#$%µ$ - "# $) + mg("#$ - n%µ$) - mg"#$ = ma y N( - n"#$%µ$ - "# $) - nmg%µ$ = ma y (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: N( - n"#$%µ$ - "# $) - nmg%µ$ = mg"#$ - N N( - n"#$%µ$ - "# $) = mg("#$ + n%µ$) N = mg("#$ + n%µ$) - n"#$%µ$ - "# $ = mg( + n) / - n / - / = mg( + n) 3 - n (5) διότι φ=π/4. Εξάλλου ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για τη σφήνα, κατά τη διεύθυνση κίνησής της x, δίνει τη σχέση: (3) N x - T = ma Nµ" - n(mg + N#$%") = ma N(µ" - n#$%") - nmg = ma N ( - n) - nmg = ma (5) mg( - n) 3 - n g( - n) ( + n) - nmg = ma ( + n) - ng = a 3 - n g( - n - 3n + n ) 3 - n = a a = g - 3n $ # & (6) " 3 - n % P.M. fysikos Στη διάταξη του σχήµατος το σώµα Σ έχει τη µορφή διπλού κεκλι µένου επιπέδου, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντιο έδαφος και οι γωνίες του κλίσεως ως προς τον ορίζον

3 τα είναι φ και φ. Τα µικρά σώµατα Σ και Σ έχουν µάζες m και m αντιστοίχως και συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτα τό νήµα το οποίο διέρχεται από το αυλάκι µιας µικρής τροχαλίας που βρίσκεται στην κορυφή του σώµατος Σ και µπορούν να ολισ θαίνουν χωρίς τριβή κατα µήκος των κεκλιµένων εδρών του σώµα τος. Κάποια στιγµή το σύστηµα αφήνεται ελευθερό να κινηθεί. i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. ii) Nα δείξετε οι επιταχύνσεις των σωµάτων Σ και Σ στο σύστηµα αναφοράς του διπλού κεκλιµένου επιπέδου έχουν κοινό µέτρο, που ικανοποιεί τη σχέση: a " = m (a#$% + g&µ% ) + m (g&µ% - a#$% ) m + m όπου a η επιτάχυνση του Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) To σώµα Σ κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w, της τάσεως T του νήµατος και της δύναµής επαφής N από την κεκλιµένη έδρα γωνίας κλίσεως φ, η οποία έχει φορέα κάθετο επί την έδρα αυτή. Αντίστοιχες δυνάµεις w, T, N δέχεται το σώµα Σ, ενώ το διπλό κεκλιµέ νο επίπεδο Σ δέχεται το βάρος του W, την κατακόρυφη αντίδραση A του λείου οριζόντιου εδάφους και τις αντιδράσεις N ' και N ' των σωµάτων Σ και Σ αντιστοίχως, οι οποίες είναι αντίθετες των N και N (τρίτος νόµος του Νεύτωνα). Εφαρµόζοντας για το σώµα Σ τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της κίνησής του, παίρνουµε την σχέση: N' x - N' x = Ma N µ" - N µ" = Ma () όπου a η επιτάχυνση του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Εξάλλου το σώµα Σ δεν έχει σχετική κίνηση ως προς το σώµα Σ κατά την διεύθυνση y, που είναι κάθετη προς την έδρα επί της οποίας κινείται, που σηµαίνει ότι οι επιταχύνσεις του Σ και του Σ κατά την διέυθυνση αυτή είναι ίδιες. Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε τη σχέση: w y' - N = a m y' m g"#$ - N = a%µ$ m m g"#$ - N = m a%µ$ N = m g"#$ - m a%µ$ ()

4 Eργαζόµενοι µε τον ίδιο τρόπο για το σώµα Σ κατα την διέυθυνση y που είναι κάθετη στην έδρα επί της οποίας κινείται παίρνουµε την σχέση: N = m g"#$ + m a%µ$ (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), () και (3) παίρνουµε: (m g"#$ - m a%µ$ )%µ$ - (m g"#$ + m a%µ$ )%µ$ = Ma m g"#$ %µ$ - m g"#$ %µ$ = a(m + m %µ $ + m %µ $ ) a = g m "#$ %µ$ - m "#$ %µ$ M + m %µ $ + m %µ $ (4) Eάν ισχύει m συνφ ηµφ >m συνφ ηµφ, τότε η φορά της επιτάχυνσης a εί ναι αυτή που δεχθήκαµε εξ αρχής, ενώ όταν m συνφ ηµφ <m συνφ ηµφ, τότε η φορά της a είναι αντίθετη αυτής που αρχικά δεχθήκαµε. Τέλος αν ισχύει m συνφ ηµφ =m συνφ ηµφ, τότε η επιτάχυνση a είναι µηδενική. ii) To σώµα Σ κατά την διεύθυνση x της κεκλιµένης έδρας επί της οποίας κινείται έχει στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους επιτάχυνση a x' για την οποία ισχύει ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα, δηλαδή η σχέση: w x' - T = m a x' m gµ" - T = m a x' (5) Kατά την ίδια διεύθυνση το σώµα Σ έχει επιτάχυνση a x' µέτρου: a x' = a"#$ Το µέτρο της σχετικής επιτάχυνσης a (" ) του Σ ως προς το Σ είναι: a (" ) = a x' + a x' = a x' + a#$% a x' = a (" ) - a#$% (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε: m gµ" - T = m (a (#$ ) - a#%&" ) (7) Εξάλλου το σώµα Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους έχει κατά τη

5 διεύθυνση x της κεκλιµένης έδρας επί της οποίας κινείται επιτάχυνση a x'' της οποίας το µέτρο, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα ικανοποιεί τη σχέση: T - w x'' = m a x'' T - m gµ" = m a x'' (8) Kατά την ίδια διεύθυνση το σώµα Σ έχει επιτάχυνση a x'' µέτρου: a x'' = a"#$ Το µέτρο της σχετικής επιτάχυνσης a (" ) του Σ ως προς το Σ είναι: a (" ) = a x'' + a x'' = a x'' + a#$% a x'' = a (" ) - a#$% (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: T - m gµ" = m (a (#$ ) - a#%&" ) (0) Eπειδή η τροχαλία θεωρείται µε αµελητέα µάζα και το νήµα µη εκτατό ισχύουν οι σχέσεις: a (σχ) =a σχ) = a σχ και Τ = Τ οπότε προσθέτοντας κατα µέλη τις σχέσεις (8) και (0) παίρνουµε: m gµ" - m gµ" = m (a #$ - a#%&" ) + m (a #$ - a#%&" ) m gµ" - m gµ" = m a #$ - m a#%&" + m a #$ - m a#%&" m (a"#$ + g%µ$ ) + m (a"#$ - g%µ$ ) = a & (m + m ) a " = m (a#$% + g&µ% ) + m (g&µ% - a#$% ) m + m P.M. fysikos Ένας µικρός κύβος µάζας m, φέρει θετικό ηλεκτρικό φορτίο q και κρατείται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Ο χώρος στον οποίο βρίσκεται το κεκλιµένο επίπεδο αποτελεί οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση B είναι κάθετη στο κεκλιµένο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήµα. Κάποια στιγµή αφή νουµε τον κύβο ελεύθερο και αυτός αρχίζει να κινείται και τελι

6 κώς αποκτά κίνηση ευθύγραµµη οµαλή. Να βρεθεί το µέτρο και η διεύθυνση της τελικής ταχύτητας του κύβου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε τον κύβο όταν αυτός έχει αποκτήσει ευθύγραµµη οµα λή κίνηση µε ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει γωνία θ µε την διεύθυνση της µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου. Επί του κύβου ενεργεί το βάρος του w που αναλύεται στην συνιστώσα w κατά τη διεύ θυνση της µεγίστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου και στην συνιστώσα w κατά την κάθετη προς το κεκλιµένο επίπεδο διεύθυνση, η δύναµη Laplace F L από το µαγνητικό πεδίο, η οποία είναι κάθετη στο επίπεδο των διανυσµάτων ( B, v ) έχει φορά που ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού, δηλαδή η F L έχει φορέα παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο και κάθετο προς το διάνυσµα v (βλέπε σχήµα). Τέλος ο κύβος δέχεται τη δύνα µη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή ολισθή σεως T, αντίρροπη της v, και στην κάθετη αντίδραση N. Λόγω της ευθύγ ραµµης και ισοταχούς κίνησης του κύβου η συνισταµένη των δυνάµεων T και F L είναι αντίθετη της w, δηλαδή ισχύει: = w F L + T = wµ" F L + n N = wµ" () Όµως ισχύουν και οι σχέσεις: F L = qbv και N = w"#$ οπότε η () γράφεται: q B v +n w "#$ = w%µ$ B v +n w "#$ = w %µ $ qbv = w µ " - n #$%" v = (mg/qb) µ " - n #$%" () Για να έχει νόηµα η σχέση () πρέπει: µ " - n #$%" > 0 µ " > n #$%" "" > n

7 Τέλος η διεύθυνση της v καθορίζεται από τη γωνία θ, για την οποία ισχύει: "#$ =T/% = nn/w =nw"#& / w'µ& =n(& (3) P.M. fysikos Oµογενής ράβδος AΓ µάζας m, βρίσκεται πάνω σε κεκλιµένο επίπε δο, γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα και µπορεί να στρέφε ται περί σταθερό άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της A και είναι κάθετος στο κεκλιµένο επίπεδο. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της ράβδου και του κεκλιµένου επιπέδου είναι n και θ η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος µε τη γραµµή µεγίστης κλίσεως (ε) του κεκλιµένου επιπέδου, να βρείτε τη σχέση µεταξύ των n, φ, θ όταν επίκειται η περιστροφή της επί του επιπέδου και να καθορίσετε τη δύναµη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: H ξαπλωµένη στο κεκλιµένο επίπεδο ράβδος δέχεται το βάρος της w, τη δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή T που έχει φορέα παράλληλο προς το επίπεδο αυτό και στην κάθετη προς το επίπεδο αντίδραση N και τέλος την δύναµη δεσµού R από τον άξονα περιστροφής της. Το βάρος w αναλύεται στη συνιστώσα w που ενεργεί παράλληλα προς τη γραµµή µέγιστης κλίσεως* (ε) του κεκλιµένου επιπέδου και στην συνιστώσα w, η οποία είναι κάθετη στο κεκλιµένο επί πεδο και εξουδετερώνει την N. Όταν επίκειται η περιστροφή της ράβδου το κέντρο µάζας της C ισορροπεί οριακά, που σηµαίνει ότι οι φορείς των δυνά * H γραµµή µεγίστης κλίσεως (ε) του κεκλιµένου επιπέδου, είναι κάθετος στην τοµή του κεκλιµένου επιπέδου µε το ορίζόντιο επίπεδο.

8 µεων T, w και R διέρχονται από το κέντρο µάζας C και επί πλέον η επιτ ρόχια και η κεντροµόλος επιτάχυνσή του C είναι µηδενικές. Έτσι η συνι σταµένη των δυνάµεων που ενεργούν κατά την διεύθυνση της ράβδου αλλά και κατά την κάθετη προς τη ράβδο διέυθυνση είναι µηδενικές λίγο πριν την έναρξη της περιστροφής της, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: '' T = w ' " R = w # T = w µ" & ' R = w #$%" ( όπου w ', w '' oι συνιστώσες της w κατά τη διεύθυνση της ράβδου και κατά την κάθετη προς αυτή διεύθυνση αντιστοίχως. Όµως τη στιγµή αυτή η τριβή T είναι στατική τριβή που έχει λάβει την οριακή της τιµή nn, οπότε η πρώτη εκ των σχέσεων () γράφεται: nw"#$ = w%µ$%µ& n"#$ = %µ$%µ& µ" = n#$%& / µ& = n#'& () Εξάλλου η δεύτερη εκ των σχέσεων () γράφεται: () R = wµ"#$%& = mgµ" - µ & () R = mgµ" - n #$ " (3) Η σχέση (3) έχει νόηµα εφόσον ισχύει: - n " # > 0 > n " # "# > n Παρατήρηση: Για τη λύση του προβλήµατος σχεδιάσαµε την τριβή T, λίγο πρίν την έναρξη της περιστροφής, µε φορέα κάθετο προς τη ράβδο και φορά αντίθετη εκείνης εκείνης προς την οποία τείνει να κινηθεί. Αυτό είναι αληθές, διότι όλα τα σηµεία της ράβδου τείνουν να κινηθούν κάθετα προς αυτή και προς τα κάτω, οπότε η τριβή ως αντιτιθέµενη δύναµη κατευθύνε ται αντίθετα, δηλαδή κάθετα προς τα πάνω. P.M. fysikos Η τροχαλία του σχήµατος έχει µάζα m και ακτίνα R βρίσκεται δε µπροστά από ηµισφαιρικό εµπόδιο ακτίνας R/, το οποίο είναι στερεωµένο σε οριζόντιο έδαφος. Όταν η τροχαλία είναι σ επαφή µε το εµπόδιο εφαρµόζεται στο ανώτερο σηµείο της οριζόντια δύνα µη F.

9 i) Nα βρεθεί ο αναγκαίος συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ τροχαλίας και εµποδίου, ώστε η τροχαλία ν αρχίσει να κυλίεται επί του εµποδίου. Ποίο πρέπει τότε να είναι το µέτρο της F ; ii) Πόση ενέργεια πρέπει να προσφερθεί στην τροχαλία, µέσω του έργου της F, ώστε όταν φθάσει στην κορυφή του εµποδίου το κέν τρο µάζας της να έχει ταχύτητα v 0 ; Ποιά είναι τότε η στροφορµή της τροχαλίας ως πρός το κέντρο Ο του εµποδίου; Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR / της τροχαλίας ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο της και κάθετο στην επιφάνειά της. ΛΥΣΗ: i) Όταν επίκειται η έναρξη της κύλισης της τροχαλίας επί του ηµισ φαιρικού εµποδίου αυτή χάνει της επαφή της µε το οριζόντιο έδαφος και οι δυνάµεις που δέχεται τη στιγµή αυτή είναι το βάρος της w, η δύναµη Q από το εµπόδιο και η οριζόντια δύναµη F. Επειδή η τροχαλία ισορροπεί οριακά πρέπει οι φορείς των τριών αυτών δυνάµεων να διέρχονται από το ίδιο σηµείο, το οποίο στην περίπτωσής µας είναι το ανώτερο σηµείο Α της τροχαλίας. Η δύναµη Q αναλύεται στην τριβή T, η οποία είναι εφαπτοµενι κή της τροχαλίας και στην κάθετη αντίδραση N, η οποία έχει ακτινική διεύθυνση. Λόγω της ισορροπίας της τροχαλίας επιτρέπεται να γράψουµε τις σχέσεις: " C = 0 FR - TR = 0 F = T () F x = 0 T x + F - N x = 0 Tµ" + F - N#$%"= 0 () F y = 0 T + N - w = 0 T + N = w (3) H () λόγω της () γράφεται: Tµ" + T = N#$%" T = N"#$ + %µ$ Όµως η τριβή T είναι στατική, οπότε πρέπει να ισχύει: (4) T nn N"#$ + %µ$ & nn "#$ + %µ$ & n (5)

10 Από τη γεωµετρία του σχήµατος έχουµε: και µ" = R R + r = R R + R/ = R 3R = 3 "#$ = - %µ $ = - (/3) = 5 / 3 Άρα η σχέση (5) γράφεται: 5 / 3 + /3 n n 5 5 (6) Εξάλλου η σχέση (3) γράφεται: () T"#$ + N%µ$ = w N = w - T"#$ %µ$ (7) Η σχέση Τ nν µε βάση την (7) δίνει: ' T n w - T"#$% * ), Tµ" # nw - nt$%&" ( &µ% + () T(µ" + n#$%") & nw F(µ" + n#$%") & nw F F nw "µ# + n$%&# F nw /3 + n 5 / 3 3nw + n 5 F 3w /n + 5 (8) Από τη σχέση (8) παρατηρούµε ότι για κάθε επιτρεπτή τιµή του συντελεστή οριακής τριβής υπάρχει µία µέγιστη τιµή του µέτρου της F, η οποία εξασ φαλίζει την έναρξη κύλισης της τροχαλίας επί του ηµισφαιρικού εµποδίου. Προφανώς όταν ο συντελεστής n λάβει την ελάχιστη επιτρεπτή τιµή του 5 /5, τότε η απαιτούµενη δύναµη F θα έχει µέτρο: F * = 3w 0/ = 3w 3 5 = 5w 5 ii) Εφαρµόζοντας για την τροχαλία το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου για την κύλισή της από την κατώτατη στην ανώτατη θέση της παίρνουµε τη σχέση: K "# - K $%& = W w +W mv 0 F + I 0 = -mg $ & 3R - 3R % "µ# ' ) + W ( F

11 mv 0 + mr 4 v 0 $ # & " R% = -mg 3R - $ # & + W " 3% F W = 3mv 0 F 4 + mgr = m ( 4 3v 0 + gr) (9) iii) Η στροφορµή L της τροχαλίας περί το κέντρο Ο του ηµισφαιρικού εµπο δίου, όταν αυτή βρίσκεται στην ανώτατη θέση της, είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή L C του κέντρου µάζας της, στο οποίο θεωρούµε συγ κεντρωµένη όλη τη µάζα της συν την ιδιοστροφορµή της L ', δηλαδή ισχύει: L = L C + L ' Επειδή τα διανύσµατα L C, L ' είναι οµόρροπα, το µέτρο της L είναι: L = L C + L ' = mv 0 R + R $ # & + I' " 0 = 3Rmv 0 % + mr v 0 R L = 3Rmv 0 + Rmv 0 = Rmv 0 P.M. fysikos Μια λεπτή ράβδος µήκους L και µάζας m, µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. i) Να βρεθεί σε ποιο σηµείο της ράβδου πρέπει να ενεργήσει µια δύναµη βραχείας διάρκειας, µε διεύθυνση κάθετη στη ράβδο, ώστε ο άξονας περιστροφής να µη δεχτεί αντίδραση από τη ράβδο.

12 ii) Ποιά πρέπει να είναι η ώθηση της δύναµης, ώστε η µέγιστη γωνιακή εκτροπή της ράβδου να είναι φ=π/3; iii) Να βρεθεί το µέτρο της δύναµης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής της, όταν βρίσκεται στη θέση της µέγιστης γωνι ακής εκτροπής. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, ροπή αδρά νειας Ι Ο =ml /3 ως προς άξονα διερχόµενο από το άκρο της Ο και κάθετο στη ράβδο, η δε τριβή στον άξονα θα θεωρηθεί αµελητέα. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρο χρόνο Δt (Δt 0) που ενεργεί επί της ράβ δου η δύναµη κρούσεως F, η δύναµη που η ράβδος δέχεται ακόµη είναι το βάρος της w, διότι απαίτησή µας είναι η δύναµη από τον άξονα περιστροφής να είναι µήδενική. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C της ράβδου και κατά την οριζόντια διεύθυνση, το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε τη σχέση: m v 0 = 0 + mv 0 = () Σχήµα α. όπου v 0 η ταχύτητα της ράβδου αµέσως µετά την κρούση και η ώθηση της δύναµης F. Όµως κατά τον χρόνο Δt ισχύει για τη ράβδο ο νόµος µετα βολής της στροφορµής, που µας επιτρέπει να γράψουµε τη σχέση: L µ"#$% µ"& - L '()* +,(- = (& w + & F ).t I O 0-0 = ( 0 + " F )#t I O 0 = " F #t ml 0 / 3 = " F #t όπου F, w oι ροπές των δυνάµεων F και w αντιστοίχως, περί τον άξονα περιστροφής της Ο και Ι Ο η αντίστοιχη ροπή αδράνειας της ράβδου. Λαµ βάνοντας την αριστερόστροφη φορά ως θετική φορά περιστροφής της ράβ δου, η παραπάνω διανυσµατική σχέση µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών που έχει τη µορφή: ml 0 / 3 = " F #t ml 0 / 3 = Fx"t ml 0 = 3"x () όπου x η ζητούµενη απόσταση. Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις () και () παίρνουµε:

13 mv 0 = " ml 0 3"x x = L 0 3v 0 Όµως ισχύει v 0 = ω 0 L/, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: x = L L = L 3 Παρατήρηση: To σηµείο Ο της ράβδου στο οποίο αν δράσει η F κάθετα σ αυτή µηδενίζει την αντίδραση του άξονα περιστροφής, ονοµάζεται κέντρο κρούσεως της ράβδου. ii) Εφαρµόζοντας για τη ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέρ γειας κάτα την περιστροφή της από την κατακόρυφη θέση στη θέση της µέγιστης εκτροπής, παίρνουµε: (3) Σχήµα β. I O 0 = mg L - "#$% 0 = 3g L 0 = 3g L ( ) ml 0 3 " = mgl - % $ ' # & (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) έχουµε: = ml 3g L = m 3gL (5) iii) Όταν η ράβδος βρίσκεται στη θέση της µέγιστης εκτροπής, δέχεται το βάρος της w, που αναλύεται στις συνιστώσες w και w κατά την διεύθυν ση της ράβδου και την κάθετη προς αυτήν διεύθυνση και τη δύναµη από τον άξονα περιστροφής, η οποία αναλύεται στις αντίστοιχες συνιστώσες Q και Q. Αναφερόµενοι τη στιγµή αυτή στην κίνηση του κέντρου µάζας C της ράβδου παρατηρούµε ότι η συνισταµένη των w και Q ενεργεί ως κεντ

14 ροµόλος δύναµη για το κέντρο µάζας, ένω η συνισταµένη των w και Q αποτελεί την επιτρόχια δύναµη αυτού. Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε τις σχέσεις: και Q - w Q - w = mv C L/ = 0 Q = w = mg"#$ Q = mg/ (6) = m dv C dt Q - mgµ" = ml $ d# ' & ) (7) % dt ( όπου dω/dt ο ρυθµός µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή. Eφαρµόζοντας εξάλλου τη στιγµή αυτή για τη ράβδο τον νόµο µεταβολής της στροφορµής παίρνουµε τη σχέση: d L dt = w dl dt = I d w O dt = -mg L "µ# ml " d % $ ' = -mg L 3 # dt & d (µ) dt = - 3g 3g "µ# = - L L 3 = - 3 3g 4L (8) Συνδυάζοντες τις σχέσεις (7) και (8) έχουµε: Q - 3mg = - ml 3 3g 4L Q = 3mg 8 Το µέτρο της δύναµης Q που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής στη θέση της µέγιστης εκτροπής της, είναι: (9) Q = Q + Q (6),(9) Q = mg$ # & " % + # " 3mg$ 8 & % = mg 8 9 P.M. fysikos Οµογενής ράβδος AB, µήκους L και µάζας m, εφάπτεται µε το άκρο της Α σε κατακόρυφο λείο τοίχο, ενώ το άλλο της άκρο ακουµπάει σε λείο οριζόντιο έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήµα. i) Να βρείτε τη διαφορική εξίσωση από την οποία µπορεί να προκύ ψει η γωνία θ, ως συνάρτηση του χρόνου t.

15 ii) Εάν τη χρονική στιγµή t=0 που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη είναι θ=θ 0, να προσδιορίσετε τη θέση της ράβδου, όπου αυτή χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για τη ράβδο την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεώς της κατά την τυχαία χρονική στιγµή t, που η γωνία µεταξύ της ράβδου και του οριζόντιου εδάφους είναι θ, παίρνουµε τη σχέση: K "# + U "# = K t + U t 0+mg L µ" 0= mv C+ I C# +mg L µ" mv C + I C = mgl("µ# 0 - "µ#) () όπου v C η ταχύτητα του κέντρου µάζας C της ράβδου κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή t, η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ως προς το κέντρο µάζας της και Ι C η ροπή αδράνειας αυτής ως προς άξονα που διέρχε ται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο. Εξάλλου οι συντε ταγµένες του κέντρου µάζας κατά τη στιγµή t είναι: x C = L"#$ / & ' y C = L%µ$ / ( dx C /dt = -(Lµ" / )d" / dt & ' dy C /dt = (L#$%" / )d" / dt( Άρα v Cx = -L"µ# / v Cy = L$%&# / v C = v Cx + v C () ' ( ) v C = L ("µ # + $%& #)/ 4 = L / 4 (3) () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) έχουµε: ml 4 + ml = mgl("µ# 0 - "µ#) L 3 = g("µ# 0- "µ#) = 3g L ("µ# 0- "µ#) (4) Διαφορίζοντας τη σχέση (4) παίρνουµε:

16 d = - 3g L "#$%d% d dt = - 3g L "#$% d% dt d " dt = - 3g#$%" L d dt + 3g "#$ = 0 (5) L Η σχέση (5) αποτελεί τη ζητούµενη διαφορική εξίσωση, η ολοκλήρωση της οποίας θα δώσει την σύνάρτηση θ(t) που καθορίζει τη θέση της ράβδου ΑΒ στο σύστηµα αναφοράς Οxψ. ii) Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα κατά τη διεύθυνση του άξονα Οx, παίρνουµε τη σχέση: m dv Cx dt = R B (6) όπου R B η δύναµη που δέχεται η ράβδος στο άκρο της Β από τον λείο κατα κόρυφο τοίχο. Διαφορίζοντας την πρώτη εκ των εξισώσεων () έχουµε: dv Cx = - L "#$%d% - L &µ%d dv Cx dt = - L d% "#$% dt - L d &µ% dt m dv Cx dt = - ml ' "#$% + d % dt &µ% * ), ( + (5),(6) R B = - ml ' ) "#$% - 3g ( L &µ%"#$% * (4), + R B = - ml & ( ' 3g L (µ" 3g 0- µ")#$%" - L µ"#$%" ) + * R B = - 3mg 4 "#$(%µ$ 0- %µ$ - %µ$) = 3mg 4 "#$(3%µ$ - %µ$ 0) (7) H ράβδος χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο στη θέση εκείνη για την οποία µηδενίζεται η δύναµη R B, οπότε µε βάση την (7) θα ισχύει: "#$(3%µ$ - %µ$ 0 ) = 0 "#$ = 0 ή 3µ" - µ" 0 = 0 Η περίπτωση συνθ=0 απορρίπτεται και η ζητούµενη θέση καθορίζεται από τη γωνία θ, για την οποία ισχύει: µ" = µ" 0 /3 P.M. fysikos

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N! Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.

Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. i) Εάν Κ είναι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού κάποια στιγµή και C η αντίστοιχη θέση του κέντρου µάζας

Διαβάστε περισσότερα

Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.

Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10. Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.

i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες. Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:

, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση: Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1.

i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1. Στην διάταξη του σχήµατος 1) οι τροχαλίες τ 1 και τ έχουν την ίδια µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περι φέρειά τους και την ίδια ακτίνα R. Στο αυλάκι της σταθερής τροχα λίας τ έχει περιτυλιχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"

ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T! Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος.

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος. H τροχαλία του σχήµατος () µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί εξαρτηµένη από τα νήµατα ΑΒ και ΓΔ τα οποία είναι ισο κεκλιµένα ως προς την οριζόντια διεύθυνση κατα γωνία φ. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα ΑΒ

Διαβάστε περισσότερα

από την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T!

από την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T! Tο ένα άκρο A οµογενούς ράβδου AB αρθρώνεται σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ το άλλο της άκρο Β εφάπτεται κατακόρυ φου τοίχου, µε τον οποίο η ράβδος παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ. H άρθρωση της ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A!

διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A! Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει βά ρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α σε τραχύ κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v.

( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v. Το καρούλι του σχήµατος κυλίεται χωρίς ολίσ θηση πάνω σε οριζόντιο δοκάρι, που ολισθαίνει επί οριζοντίου έδα φους µε ταχύτητα v η οποία έχει την κατεύθυνση του δοκαριού. Η κύλιση του καρουλιού επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

i) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, είναι στερεωµένα στις άκρες ενός κατακόρυφου αβαρούς ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εξασκούµε στο σώµα Σ κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της

Διαβάστε περισσότερα

Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως!

Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως! Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.

ii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.

i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας. Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, της οποίας η µάζα θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρεια της, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η στε φάνη προσκρούει

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας.

ii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας. Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξο να, που διέρχεται από σηµείο Ο ευρισκόµενο σε απόσταση 3L/4 από το άκρο της Α. Η τροχαλία

Διαβάστε περισσότερα

i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και

i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και Oµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R εφάπ τεται στα τοιχώµατα ενός αυλακιού, τα οποία είναι επίπεδες σταθερές επιφάνειες που η τοµή τους είναι οριζόντια. Τα τοιχώµατα είναι ισο κεκλιµένα ως προς τον

Διαβάστε περισσότερα

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F! Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L!

τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L! Στο ένα άκρο ράβδου µήκους L και αµελητέας µά ζας, έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy, µε το σφαιρίδιο στο σηµείο, και το άλλο της άκρο στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

της οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.

της οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4. Οριζόντιος δίσκος µάζας Μ ισορροπεί στηριζόµε νος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στηρίζεται στο έδαφος (σχήµα 1). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει

Διαβάστε περισσότερα

i) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι οριζόντιο και το έδαφος λείο.

i) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι οριζόντιο και το έδαφος λείο. Πάνω σε οριζόντιο έδαφος ηρεµεί µια τροχαλία µάζας m και ακτίνας R. Στο αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχ θεί αβαρές νήµα στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου εξασκείται σταθε ρή οριζόνια δύναµη F. Eάν µέχρις

Διαβάστε περισσότερα

ii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου.

ii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου. Oµογενής ράβδος Γ, βάρους w και µήκους L, είναι αρθρωµένη στο ένα άκρο της όπως φαίνεται στο σχήµα (), ενώ το άλλο άκρο της είναι δεµένο σε νήµα που διέρχεται από µικρή ακίνητη τροχαλία O, η οποία βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή

Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V 0 πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος κατευθυνόµενο προς κατακόρυφο τοίχο. Το σώµα κάποια στιγµή συγκρούεται ελα στικά και µετωπικά µε µια µπάλα

Διαβάστε περισσότερα

Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v!

Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v! Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v C. Σε σηµείο της περιφέρειας του τροχου έχει αρθρωθεί το ένα άκρο Β µιας λεπτής

Διαβάστε περισσότερα

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση

Διαβάστε περισσότερα

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα). Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.

Διαβάστε περισσότερα

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L! Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της

Διαβάστε περισσότερα

. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και

. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δοκάρι µάζας Μ και µήκους L, που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου δαπέδου. Η σφαίρα εφάπτεται στο δεξιό άκρο Β του δοκαριού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων

ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί

Διαβάστε περισσότερα

) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν:

) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν: Δύο σφαιρίδια A, B µάζας m το καθένα συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, ηρεµούν δε πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ευρισκόµενα σε απόσταση α

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F

ΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k κόβεται σε δύο τµήµατα µε µήκη L και L. Η µία άκρη κάθε τµήµατος συνδέεται στέρεα µε µικρό σφαιρίδιο µάζας m και οι ελέυθερες άκρες τους στερεώνονται σε ακλόνητα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας.

i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας. Στην διάταξη του σχήµατος ) οι δύο κυκλικοί δίσκοι Δ, Δ έχουν την ιδια ακτίνα R και αντίστοιχες µάζες m, m µπορούν δε να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος δύο κεκλιµέ νων επιπέδων που είναι µεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

των Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12

των Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12 Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι OA και AB µήκους L και µάζας m, αρθρώνονται στο σηµείο Α το δε άκρο Ο της ΟΑ αρθρώνεται σε σταθερό υποστήριγµα, ενώ το άκρο Β της ΑΒ µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο

Διαβάστε περισσότερα

, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση:

, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: Σώµα µάζας m σχήµατος ορθογώνιου κιβωτίου, ισορροπεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και στην άνω επιφάνειά του έχει τοποθετηθεί σώµα µάζας m/. Κάποια στιγµή που λαµβάνε ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

µε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w!

µε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w! Το κυκλικό σύρµα του σχήµατος έχει µάζα m/ και είναι κρεµασµένο από κατακόρυφο σπάγκο αµελητέας µάζας αλλά επαρκούς αντοχής. Δύο όµοιες σηµειακές χάντρες, καθε µιά µε µάζα m, αφήνονται ταυτόχρονα από την

Διαβάστε περισσότερα

Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V!

Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V! Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V 0. O πιλότος του θέλει ν αλλάξει τη διεύθυνση κίνησης του διαστηµόπλοιου, ώστε η νέα διεύθυνση να γίνει κάθετη προς την αρχική. Για

Διαβάστε περισσότερα

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!! Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της

Διαβάστε περισσότερα

περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,!

περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,! Θεωρούµε µια βαρειά σφαίρα, η οποία ισορροπεί επί σχετικά µαλακού εδάφους, ώστε να προκαλεί σ αυτό µια µικρή παραµόρφωση. Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει η παραµόρφωση αυτή, ως προς την κατακόρυφη

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή

Διαβάστε περισσότερα

(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον

(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον Oµογενής λεπτός δίσκος ακτίνας R και µάζας m, ακινητεί επί οριζόντιου εδάφους µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ το δε επιπεδό του είναι κατακόρυφο,. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται στο κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει.

i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει. Στην διάταξη του σχήµατος η τροχαλία τ 1 έχει µάζα m 1 και ακτίνα R και στο αυλάκι της έχει περιτυλιχθεί αβαρές νήµα, το οποίο διέρ χεται από τον λαιµό της µικρής τροχαλίας τ στο δε άκρο του έχει δε θεί

Διαβάστε περισσότερα

! =A'B=C!! C! = R" (1)

! =A'B=C!! C! = R (1) Οµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί επί ακλό νητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του κύβου και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής) ΕΚΦΩΝΗΣΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1 (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Έργο και ισχύς σταθερής ροπής) Ένας κύβος και ένας δίσκος έχουν ίδια μάζα και αφήνονται από το ίδιο ύψος να κινηθούν κατά μήκος δύο κεκλιμένων

Διαβάστε περισσότερα

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν:

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν: Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο, µάζας m, αφήνεται σε ύψος h από το άκρο Β. Το σφαιρίδιο πέφτοντας

Διαβάστε περισσότερα

που δέχεται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αυτή, αφού θεωρείται λεία και των δυνάµεων T

που δέχεται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αυτή, αφού θεωρείται λεία και των δυνάµεων T Mιά κυκλική σπείρα εύκαµπτης αλυσίδας βάρους w, είναι τοποθετηµένη πάνω σε λείο ορθό κώνο ύψους h, του οποίου η βάση έχει ακτίνα R (σχ. 9). O κατακόρυφος άξονας του κώνου διέρ χεται από το κέντρο της αλυσίδας

Διαβάστε περισσότερα

την αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν

την αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Για την µελέτη της επίπεδης κίνησης στερεού

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη.

i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη. Η ράβδος του σχήµατος έχει µήκος L, βάρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α επί λείου τοίχου, ενώ το άλλο άκρο της Β ακουµπά ει σε λεία κοίλη επιφάνεια. Η τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο που

Διαβάστε περισσότερα

Nα δείξετε τις εξής προτάσεις:

Nα δείξετε τις εξής προτάσεις: Nα δείξετε τις εξής προτάσεις: i) Εάν ένα υλικό σηµείο µάζας m κινείται πάνω σ ένα άξονα x x, ώστε κάθε στιγµή η ταχύτητά του v και η αποµάκρυνσή του x ως προς µια αρχή Ο του άξονα, να ικανοποιούν τη σχέση:

Διαβάστε περισσότερα

ως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:

ως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: Ένας κυλινδρικός ατµολέβητας αµελητέας µάζας χωρίς τον υδρατµό και ακτίνας R, θερµαίνεται και ο παραγόµενος υδρατµός διαφεύγει από δύο αντιδιαµετρικά ακροφύσια της εξωτε ρικής του επιφάνειας, ώστε η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος.

ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος. Στην διάταξη του σχήµατος () το δοκάρι Δ έχει µάζα Μ και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Κάποια στιγµή που λαµβά νεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου.

Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε την στιγµή που η ράβδος αφήνεται

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T!

Σχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T! Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση και δύο σηµεία αυτού βρίσκονται κάποια στιγµή t στις θέσεις Α(,) και Β(,α) του επιπέδου κίνησής του (x,y) Εάν οι ταχύτητες των σηµείων αυτών έχουν το ίδιο µέτρο v

Διαβάστε περισσότερα

i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή.

i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο απολύτως ελαστικού νήµατος φυσικού µήκους L =3mg/k και σταθεράς k, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεωθει σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στροφικής κίνησης στερεού σώµατος

Ασκήσεις στροφικής κίνησης στερεού σώµατος Ασκήσεις στροφικής κίνησης στερεού σώµατος. Ένας κύλινδρος, βάρους w=0 και διαµέτρου 80 c, περιστρέφεται γύρω από τον γεωµετρικό του άξονα. Ποια σταθερή ροπή (τ) πρέπει να ασκείται, στον κύλινδρο ώστε

Διαβάστε περισσότερα

του σφαιριδίου κατευθύνεται προς τα κάτω και σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ.

του σφαιριδίου κατευθύνεται προς τα κάτω και σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Μικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσπίπτει σε σηµεί ο Α της περιφέρειας ενός δακτυλιδιού ακτίνας R, το οποίο µπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από ένα σηµείο του Ο. Η ταχύτητα πρόσπτωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤ. & ΤΕΧΝ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤ. & ΤΕΧΝ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤ. & ΤΕΧΝ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α1.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

διέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα!

διέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα! Θεωρήστε οριζόντια ράβδο αµελητέας µάζας, η οποία µπορεί να περιστρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο. Στα άκρα της υπάρχουν δυο διαφορετικές σηµειακές µάζες m, m, που οι αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α 6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι Ηµεροµηνία : 10 Μάρτη 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε την σωστη απάντηση [4 5 = 20 µονάδες] Α.1. Στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.

ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο. Το σύστηµα του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοια ελατήρια στα θεράς και φυσικού µήκους α, των οποίων οι άξονες βρίσκονται πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπου Α, Β είναι δύο ακλόνητα σηµεία του επιπέδου. Εκτρέπουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

που δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T!

που δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T! Tο κέντρο µάζας ενός επιβατηγού αυτοκινήτου απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h. Δίνεται η µάζα Μ του αυτοκινήτου η µάζα m και η ακτίνα R κάθε τροχού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου του δακτυλιδιού. Σχήµα 1 Σχήµα 2 L C

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου του δακτυλιδιού. Σχήµα 1 Σχήµα 2 L C Ένα στερεό σώµα αποτελείται από λεπτό δακτυ λίδι µάζας m και ακτίνας R και από δύο όµοιες λεπτές ράβδους µαζάς m η κάθε µια, των οποίων τα κέντρα έχουν ηλεκτροκολυθεί µε το δακτυλίδι, σε αντιδιαµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιµή

Διαβάστε περισσότερα

όπου x η οριζόντια µετατόπιση του σώµατος, k θετική σταθερά και! i το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα x.

όπου x η οριζόντια µετατόπιση του σώµατος, k θετική σταθερά και! i το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα x. Ένα µικρό σώµα βάλλεται οριζόντια µε ταχύτητα v 0 εντός του πεδίου βαρύτητας της Γης από ένα σηµείο Α που η απόστασή του από το οριζόντιο έδαφος είναι h. Tο σώµα κατά την κίνησή του δέχεται εκτός από το

Διαβάστε περισσότερα

θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t!

θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t! Ξύλινο κιβώτιο µάζας M κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητα µέτρου v 0. Ένα βλήµα µάζας m, κινούµενο αντίρροπα προς το κιβώτιο προσπίπτει σ αυτό µε ταχύ τητα µέτρου v 0 και εξέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο

Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο ) Οµογενής κύλινδρος µάζας m, ακτίνας R φέρει λεπτή εγκοπή βάθους είναι τυλιγµένο νήµα αµελητέου πάχους. R r=, στην οποία Το άλλο άκρο του νήµατος έχει δεθεί σε οροφή όπως στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιριδίων είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδο της.

i) Να δείξετε ότι η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιριδίων είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδο της. Ένα σφαιρίδιο Σ 1 µάζας m, είναι στερεωµένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο όπως φαίνεται στο σχήµα (α). Το σφαιρίδιο µπορεί να κινείται χωρίς τριβή πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την

Διαβάστε περισσότερα

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο, Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο:

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: 6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

. H µεταβολή της ορµής της µάζας αυτής κατά την οριζόντια διεύθυνση είναι -dm v!

. H µεταβολή της ορµής της µάζας αυτής κατά την οριζόντια διεύθυνση είναι -dm v! Tο άκρο A της οµογενούς ράβδου AO του σχήµα τος () έχει διαµορφωθεί κατάλληλα, ώστε, όταν σ αυτό προσκρούσει λεπτή οριζόντια φλέβα νερού διατοµής σ, να ανακλάται και να γίνε ται κατακόρυφη χωρίς απώλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Eφαρµόζοντας στο τρίγωνο OAΣ το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε:

Eφαρµόζοντας στο τρίγωνο OAΣ το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε: ΘΕΜΑ 6o Η κυκλική τροχαλία του σχήµατος (1) έχει µάζα Μ και ακτίνα R, είναι σε επαφή µε οριζόντιο δάπεδο (ε), ενώ στον άξονά της έχει πακτωθεί αβαρής ράβδος µήκους L, στο ελεύθερο ακρο της οποίας έχει

Διαβάστε περισσότερα

όπως φαίνεται στο σχήµα (1).

όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Οµογενής δίσκος βάρους w και ακτίνας R, κυλίεται χωρίς ολίσθη ση σε τραχύ οριζόντιο έδαφος, ελκόµενος µε αβαρές και µή εκτατό νήµα που είναι κατάλληλα δεµένο στο κέντρο του δίσκου. Το νήµα διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε:

. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε: Μια λεπτή λαστιχένια ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση χώρίς να περιστρέφεται και κάποια στιγµή το άκρο της Α συναντά λείο οριζόντιο έδαφος. Την στιγµή αυτή η ράβδος έχει κλίση φ ως

Διαβάστε περισσότερα

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F!

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F! Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα αποδείξετε ότι το σώµα τελικά θα ηρεµήσει ως προς το δοκάρι και να βρείτε την κοινή τους ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους.

i) Nα αποδείξετε ότι το σώµα τελικά θα ηρεµήσει ως προς το δοκάρι και να βρείτε την κοινή τους ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Ένα δοκάρι µεγάλου µήκους και µάζας M, είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Στο ένα άκρο του δοκαριού βρίσκεται ξύλινο σώµα µάζας m, το οποίο παρουσιάζει µε την επιφά νεια του δοκαριού συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1. ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1. ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση Α.1 Το στερεό του σχήματος δέχεται αντίρροπες δυνάμεις F 1 kαι F 2 που έχουν ίσα μέτρα. Το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) που ενεργεί επί του σφαιριδίου Γ η ώθηση Ω. =mv. το σφαιρίδιο Β δέχεται τις κρουστικές δυνάµεις F

ΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) που ενεργεί επί του σφαιριδίου Γ η ώθηση Ω. =mv. το σφαιρίδιο Β δέχεται τις κρουστικές δυνάµεις F Τρία µικρά σφαιρίδια της ίδιας µάζας είναι αρθρωµένα στις άκρες δύο συνεχόµεων ράβδων ΑΒ και ΒΓ αµελητέας µάζας, όπως φαίνεται στο σχήµα (1), το δε σύστηµα ισορροπεί εκτός πεδίου βαρύτητας. Στο σφαιρίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ) ΚΥΡΙΑΚΗ 15 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 5

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ) ΚΥΡΙΑΚΗ 15 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 5 ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ) ΚΥΡΙΑΚΗ 15 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 5 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

που εξασκείται στο άκρο της Γ και των αντιδράσεων A! , A 2

που εξασκείται στο άκρο της Γ και των αντιδράσεων A! , A 2 Oµογενής ράβδος BΓ βάρους w, ισορροπεί ώστε τα άκρα της να εφάπτονται σε µια λεία και ακίνητη κοίλη σφαίρα ακτί νας R, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Eάν η κατακόρυφη δύναµη F που εξασκείται στο άκρο Γ της

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

2ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 3 Απρίλη 2016 Βαρύτητα - υναµική Υλικού Σηµείου

2ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 3 Απρίλη 2016 Βαρύτητα - υναµική Υλικού Σηµείου 2ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή Απρίλη 2016 Βαρύτητα - υναµική Υλικού Σηµείου Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 2,5 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

F r. www.ylikonet.gr 1

F r. www.ylikonet.gr 1 3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ Ονοµατεπώνυµο: Διάρκεια: (3 45)+5=50 min Τµήµα: ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ Ζήτηµα ο Ένα στερεό µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και αρχικά ηρεµεί. Σε µια στιγµή δέχεται (ολική) ροπή

Διαβάστε περισσότερα

που περιγράφεται από την σχέση:! R = -mk! v

που περιγράφεται από την σχέση:! R = -mk! v Mικρό σώµα µάζας m βάλλεται από σηµείο Ο του οριζόντιου εδάφους κατακόρυφα προς τα άνω, µε ταχύτητα µέτρου v. Στην διάρκεια της κίνησής του το σώµα δέχεται από τον ατµοσφαιρι κό αέρα αντίσταση R, που περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ισορροπία στερεού.

3.2. Ισορροπία στερεού. 3.2.. 3.2.1. Ροπές και ισορροπία. Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται μια ράβδος μήκους l=4m, η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το μέσον της Ο. Ασκούμε

Διαβάστε περισσότερα

Eάν L 1, L 2 είναι τα αντίστοιχα φυσικά µήκη των ελατηρίων ε 1 και ε 2 τότε για την απόσταση ΑΒ των σηµείων στήριξης των ελατηρίων θα έχουµε:

Eάν L 1, L 2 είναι τα αντίστοιχα φυσικά µήκη των ελατηρίων ε 1 και ε 2 τότε για την απόσταση ΑΒ των σηµείων στήριξης των ελατηρίων θα έχουµε: Tο µικρό σώµα του σχήµατος (1) έχει µάζα m και συγκρατείται στο λείο οριζόντιο έδαφος σε τέτοια θέση, ώστε τα ελατήρια ε 1 και ε να είναι τεντωµένα κατά α απο την φυσική τους κατάσταση. i) Eάν k, k είναι

Διαβάστε περισσότερα

και όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R.

και όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R. Το σώµα Σ του σχήµατος (α) έχει µάζα και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κινείται αρχικά πάνω στο οριζόντιο τµήµα του σώµατος µε ταχύτητα v 0 και όταν φθάσει

Διαβάστε περισσότερα