ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΕΚΚΕΝΩΣΕΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΕΚΚΕΝΩΣΕΩΝ Αλέξιος Ιωαννίδης Επιβλέπων Καθηγητής: Παντελής Ν. Μικρόπουλος Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2017

2 Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται την δημιουργία ενός στοχαστικού μοντέλου για την προσομοίωση και ανάλυση ηλεκτρικών εκκενώσεων χρησιμοποιώντας προσέγγιση μέσω των fractal δομών. Αρχικά, παρουσιάζονται συνοπτικά τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες που διέπουν έναν κεραυνό, τα στάδια εξέλιξης ενός κεραυνικού πλήγματος καθώς και τα πλέον χρησιμοποιούμενα ντετερμινιστικά μοντέλα και οι διαφορές μεταξύ αυτών. Στη συνέχεια, γίνεται μια εισαγωγή στον κόσμο των fractals και αναλύονται τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες φυσικών αλλά και τεχνητών τέτοιων δομών. Επίσης, παρουσιάζονται τα στοχαστικά μοντέλα που έχουν δημιουργηθεί κατά καιρούς και χρησιμοποιούν την προσέγγιση μέσω των fractal δομών καθώς και οι εφαρμογές στις οποίες αναφέρονται τα μοντέλα αυτά. Στο κυρίως μέρος της παρούσας διπλωματικής γίνεται μία αναλυτική παρουσίαση του αλγορίθμου που χρησιμοποιήθηκε για την δημιουργία του στοχαστικού μοντέλου προσομοίωσης ηλεκτρικών εκκενώσεων, της γεωμετρίας του προβλήματος, των αρχικών συνθηκών καθώς και των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν. Σε επόμενο στάδιο αναλύονται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων, γίνονται συγκρίσεις αναφορικά με μεταβολές διαφόρων παραμέτρων και τέλος εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα για την αποτελεσματικότητα του μοντέλου και την σωστή απόκριση του. Ο κύριος αλγόριθμος καθώς και όλα τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων εκπονήθηκαν στο περιβάλλον του λογισμικού MATLAB. Τέλος, γίνεται μια σύντομη ανασκόπηση της διπλωματικής και δίνονται ιδέες για μελλοντικές βελτιώσεις και περαιτέρω ανάπτυξη του μοντέλου. i

3 Abstract This diploma thesis deals with the development of a stochastic model in order to simulate electric discharges and to analyze their fractal nature. First of all, both the characteristics and the evolution stages of a lightning discharge are briefly presented together with the most commonly used deterministic models for lightning simulations. Then, a brief introduction in the world of fractals is made and the characteristics and attributes of both natural and technical fractal structures are analyzed. Moreover, previous stochastic models that use the fractal concept and their implementations are presented. In the main part of this thesis an analytical presentation of the algorithm used for the simulation of electric discharges is made and the different characteristics of the model such as the initial boundary conditions and the parameters used are examined. The next stage refers to the analysis of simulation results, comparisons with parameter modifications and lastly useful conclusions are extracted regarding the effectiveness of the current stochastic model and it s accurate response. The main algorithm as well as the simulation results are conducted using the software MATLAB. Finally, a brief overview of this diploma thesis is presented and ideas for future possible improvements of the model are suggested. ii

4 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή κ. Παντελή Μικρόπουλο, επιβλέποντα της παρούσας διπλωματικής εργασίας, για την ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με αυτό το πολύ ενδιαφέρον αντικείμενο και την συνολική του καθοδήγηση καθ όλη τη διάρκεια ενασχόλησής μου με την διπλωματική εργασία. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή κ. Ιωάννη Ρέκανο για την βοήθεια του σε ένα καίριο σημείο του αλγορίθμου της διπλωματικής. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους φίλους μου για την συμπαράσταση και τις όμορφες στιγμές που περάσαμε μαζί κατά τη διάρκεια όλων αυτών των 6 φοιτητικών μου χρόνων καθώς και την οικογένειά μου για την αμέριστη υποστήριξή της. iii

5 Περιεχόμενα Περίληψη...i Abstract... ii Ευχαριστίες... iii 1. Εισαγωγή Σκοπός Διπλωματικής Διάρθρωση Διπλωματικής Κεραυνός Γενικά Παράμετροι κεραυνού Σύλληψη του κεραυνού Μοντέλα σύλληψης κεραυνού Ηλεκτρογεωμετρικά μοντέλα Γενικευμένα μοντέλα Fractals και Στοχαστικά μοντέλα Εισαγωγή στον κόσμο των fractals Fractal Γεωμετρία Θεωρία Διαστάσεων Fractal Σύνολα και Αυτό-Ομοιότητα Στοχαστικά Μοντέλα Μοντέλο NPW Μοντέλο των Wiesmann-Zeller Μοντέλο των Petrov-Petrova-D Alessandro Μοντέλο των Li-Yang-Sima-Sun-Yuan-Zahn Στοχαστικό μοντέλο προσομοίωσης ηλεκτρικών εκκενώσεων Περιγραφή κύριου αλγορίθμου Περιγραφή αλγορίθμου υπολογισμού της fractal διάστασης Αποτελέσματα προσομοιώσεων Συμπεράσματα Αποτελέσματα προσομοιώσεων κεραυνικού πλήγματος Υπολογισμός fractal διάστασης D f προσομοιώσεων κεραυνικού πλήγματος Επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων Επίδραση αντικειμένων στην εξέλιξη του φαινομένου Προσομοιώσεις ηλεκτρικών διασπάσεων διακένων ακίδας-πλάκας iv

6 5.2.1 Προσομοίωση διάσπασης διακένων ακίδας-πλάκας υπό τάση αρνητικής πολικότητας Προσομοίωση διάσπασης διακένων ακίδας-πλάκας υπό τάση θετικής πολικότητας Σύνοψη - Σχολιασμός αποτελεσμάτων Μελλοντικές επεκτάσεις - Βελτιώσεις Βιβλιογραφία v

7 1. Εισαγωγή 1.1 Σκοπός Διπλωματικής Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η δημιουργία ενός στοχαστικού μοντέλου προσομοίωσης ηλεκτρικών εκκενώσεων. Η προστασία έναντι κεραυνικών πληγμάτων σε αντικείμενα, κτίρια αλλά ιδιαίτερα σε περιπτώσεις γραμμών μεταφοράς είναι πολύ σημαντική. Τα υπάρχοντα μοντέλα που χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό και τη θέση των μέσων προστασίας λαμβάνουν υπόψη τη διάδοση μόνο κατά τη διεύθυνση του μέγιστου ηλεκτρικού πεδίου (ντετερμινιστικά μοντέλα). Όμως όπως παρατηρείται εύκολα και οπτικά ο κεραυνός είναι ένα φυσικό φαινόμενο που χαρακτηρίζεται έντονα από φαινόμενα διακλαδώσεων και δαιδαλώδους συμπεριφοράς (branching & tortuosity). Συνεπώς, είναι επιτακτική η ανάγκη δημιουργίας μοντέλων που λαμβάνουν υπόψη και τη στοχαστικότητα του φαινομένου (στοχαστικά μοντέλα) μέσω των οποίων μπορούν πλέον να αιτιολογηθούν και οι όποιες αστοχίες των προγενέστερων μοντέλων. Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται προσπάθεια δημιουργίας ενός τέτοιου μοντέλου σύμφωνα με τη διεθνή βιβλιογραφία. Επίσης, το μοντέλο στη συνέχεια τροποποιείται κατάλληλα με σκοπό την προσομοίωση ηλεκτρικών εκκενώσεων για τη μελέτη της πιθανότητας διάσπασης διακένων ακίδαςπλάκας. Ο κύριος αλγόριθμος του μοντέλου μαζί με κάποιες επιπλέον συναρτήσεις που θα αναλυθούν στα επόμενα κεφάλαια εκπονήθηκε στο περιβάλλον του λογισμικού MATLAB, όπως και τα αποτελέσματα που εξήχθησαν. 1

8 1.2 Διάρθρωση Διπλωματικής Η διάρθρωση της διπλωματικής αυτής εργασίας είναι η ακόλουθη: Στο 2 ο κεφάλαιο γίνεται μία συνοπτική παρουσίαση του τρόπου εξέλιξης ενός κεραυνικού πλήγματος καθώς και των χαρακτηριστικών που διέπουν ένα κεραυνικό πλήγμα. Επίσης, παρουσιάζονται ορισμένα ντετερμινιστικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται σήμερα καθώς και οι διαφορές μεταξύ αυτών. Στο 3 ο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή στον κόσμο των fractals, παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες και χαρακτηριστικά των δομών αυτών καθώς και ορισμένα παραδείγματα φυσικών και τεχνητών fractal δομών. Επιπρόσθετα, παρουσιάζονται προηγούμενα στοχαστικά μοντέλα, οι εφαρμογές στις οποίες απευθύνεται κάθε ένα από αυτά καθώς και οι διαφορές που παρατηρούνται μεταξύ τους. Στο 4 ο κεφάλαιο περιγράφεται αναλυτικά ο αλγόριθμος του μοντέλου που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής καθώς και τα βήματα που εκτελούνται σε κάθε επανάληψη. Επίσης, αναλύεται η λογική με βάση την οποία επιλέγονται οι τιμές των διαφόρων παραμέτρων, της γεωμετρίας του προβλήματος καθώς και των αρχικών συνθηκών του ανάλογα με την εκάστοτε περίπτωση και το είδος της προσομοίωσης. Τέλος, περιγράφονται και οι συναρτήσεις που χρησιμοποιήθηκαν σε συνεργασία με τον κύριο αλγόριθμο για τον υπολογισμό ορισμένων χαρακτηριστικών του προβλήματος (πχ. δυναμικό των σημείων του χώρου, υπολογισμός fractal διάστασης), άλλα και για την εξαγωγή των απαραίτητων αποτελεσμάτων. Στο 5 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων για διάφορες περιπτώσεις και μεταβολές συγκεκριμένων παραμέτρων του προβλήματος καθώς και εξάγονται συμπεράσματα αναφορικά με την αποτελεσματικότητα και σωστή απόκριση του μοντέλου σε σχέση με πραγματικά δεδομένα. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα προσομοιώσεων κεραυνικού πλήγματος αλλά και ηλεκτρικών εκκενώσεων διακένων ακίδας-πλάκας. Στο 6 ο κεφάλαιο αναφέρονται ορισμένες βελτιώσεις που μπορούν να γίνουν στο συγκεκριμένο μοντέλο με στόχο την περαιτέρω ανάπτυξη του και αύξηση των δυνατοτήτων του καθώς και άλλες περιπτώσεις εκκενώσεων που μπορεί να εφαρμοστεί ένα αντίστοιχο στοχαστικό μοντέλο. 2

9 2. Κεραυνός 2.1 Γενικά Ο κεραυνός, ως ένα φυσικό φαινόμενο, αποτέλεσε μυστήριο για τους ανθρώπους για πολλούς αιώνες οι οποίοι και το θεωρούσαν ως μήνυμα των θεών, για αυτό και το αντιμετώπιζαν με φόβο και σεβασμό. Ο Benjamin Franklin στα μέσα του 18 ου αιώνα ήταν αυτός που έκανε την αρχή της έρευνας για την κατανόηση αυτού του φυσικού φαινομένου, αποδεικνύοντας ότι ουσιαστικά αποτελεί μία ηλεκτρική εκκένωση διαδομένη μεταξύ νέφους και γης και μάλιστα πρότεινε τη χρησιμοποίηση ράβδων ως αλεξικέραυνα για την προστασία κατασκευών έναντι άμεσων κεραυνικών πληγμάτων [1]. Έκτοτε και μέχρι τις μέρες μας ο κεραυνός ως φυσικό φαινόμενο αλλά και η διαδικασία σύλληψης του έχουν αποτελέσει αντικείμενο διεξοδικής έρευνας. Σκοπός όλης αυτής της έρευνας γύρω από αυτό το εντυπωσιακό άλλα και ταυτόχρονα καταστροφικό φαινόμενο είναι η κατανόηση του μηχανισμού εξέλιξης του και η εφαρμογή της γνώσης αυτής στην σχεδίαση όλο και πιο αξιόπιστων συστημάτων αντικεραυνικής προστασίας. Ιδιαίτερη έμφαση έχει δοθεί στην προστασία έναντι κεραυνικών πληγμάτων γραμμών μεταφοράς, καθώς ενδεχόμενα πλήγματα μπορούν να έχουν καταστροφικές συνέπειες στον φορέα παροχής ηλεκτρικής ενέργειας λόγω οικονομικής ζημίας αλλά και στους ίδιους τους καταναλωτές από πιθανές διακοπές λειτουργίας [1]. 2.2 Παράμετροι κεραυνού Ο κεραυνός είναι μία ηλεκτρική εκκένωση ατμοσφαιρικής προέλευσης απλή ή πολλαπλή μεταξύ νέφους και γης [1]. Συνοπτικά οι χαρακτηριστικές παράμετροι ενός κεραυνού είναι οι εξής [1] : Πολικότητα, η οποία καθορίζεται από το πρόσημο του φορτίου του κεραυνού. Το 90% των περιπτώσεων αποτελούν αρνητικοί κεραυνοί (αρνητικό φορτίο). Κατεύθυνση, η οποία καθορίζεται από το αν ο κεραυνός εκκινεί από το σύννεφο προς τη γη ή το αντίστροφο. Ρεύμα, το οποίο εμφανίζεται υπό τη μορφή μιας ή περισσότερων κρούσεων. Τυπική κυματομορφή του ρεύματος ενός κεραυνού αποτελεί αυτή με διάρκεια μετώπου της τάξης των 5 μs και διάρκεια ημίσεως εύρους της τάξης των 100 μs. Χαρακτηριστικά μεγέθη του ρεύματος κεραυνού είναι : το μέγιστο εύρος (Ι), το εύρος του οποίου μπορεί να ποικίλει από μερικές εκατοντάδες Α μέχρι εκατοντάδες ka. 3

10 η μέση κλίση (di/dt), ο μέσος ρυθμός ανόδου του ρεύματος ο οποίος υπολογίζεται από τον τύπο, di dt = (I 90 I 30 )/(t 90 t 30 ), ka/μs που αντιστοιχεί στο τμήμα του μετώπου της κυματομορφής του ρεύματος που βρίσκεται μεταξύ του 30% και 90% του μέγιστου εύρους. η διάρκεια του ρεύματος, η οποία σε συνδυασμό με την αντίσταση που θα αναγκαστεί να διαρρεύσει ο κεραυνός καθορίζουν την ενέργεια που παράγεται σε αυτήν και άρα την εκλυόμενη θερμότητα. Ολικό φορτίο (Q total ), που αντιστοιχεί στο ολοκλήρωμα του ρεύματος του κεραυνού στο χρόνο, για όλη τη διάρκειά του. Κρουστικό φορτίο (Q impulse ), το ολοκλήρωμα της κρουστικής συνιστώσας του ρεύματος του κεραυνού στο χρόνο. Ειδική ενέργεια (SE), η ενέργεια που καταναλώνεται κατά τη ροή του ρεύματος του κεραυνού σε μοναδιαία αντίσταση. Υπολογίζεται ως το ολοκλήρωμα του τετραγώνου του ρεύματος του κεραυνού στο χρόνο για όλη τη διάρκειά του, σε (Α 2 s) ή ( J/Ω). Αριθμός διαδοχικών εκκενώσεων, ο κεραυνός μπορεί να αποτελείται από μία απλή εκκένωση ή από πολλαπλές διαδοχικές εκκενώσεις. 2.3 Σύλληψη του κεραυνού Η εξέλιξη του φαινόμενου ενός αρνητικού κατερχόμενου κεραυνού αρχίζει από ένα σημείο στο κάτω μέρος του νέφους, το οποίο τις περισσότερες φορές είναι αρνητικά φορτισμένο, όπου τοπικά αυξάνεται το ηλεκτρικό πεδίο και ξεκινά ένας κατερχόμενος βηματικός λήντερ (stepped leader) που κατευθύνεται προς την αντίθετα φορτισμένη γη. Ο κατερχόμενος λήντερ τροφοδοτείται με το ηλεκτρικό φορτίο του νέφους και προοδεύει με ταχύτητα 0.1 % της ταχύτητας του φωτός και με βήματα m, τα οποία προοδευτικά μειώνονται έχοντας μία μέση τιμή περίπου 50 m, φέροντας ρεύμα μερικών εκατοντάδων A. Όταν ο κατερχόμενος λήντερ φθάσει σε μια απόσταση S από ένα αντικείμενο ξεκινά από αυτό, λόγω της ανύψωσης του ηλεκτρικού πεδίου, ένας ανερχόμενος λήντερ αντίθετης πολικότητας από τον κατερχόμενο. Η απόσταση αυτή S ονομάζεται, απόσταση πρόσκρουσης (striking distance). Ο ανερχόμενος λήντερ προοδεύει προς τον κατερχόμενο λήντερ με ταχύτητα αρχικά περίπου 4 φορές μικρότερη από αυτή του κατερχόμενου. Ο ανερχόμενος λήντερ καθώς προσεγγίζει τον κατερχόμενο λήντερ, αυξάνεται το δυναμικό στη κεφαλή του και προοδεύει με όλο και μεγαλύτερη ταχύτητα που γίνεται έως και ίση με αυτή του κατερχόμενου. Όταν η πεδιακή ένταση στο χώρο μεταξύ της κεφαλής του κατερχόμενου και του ανερχόμενου λήντερ ανυψωθεί αρκετά, λόγω της προσέγγισης τους, διασπάται ο αέρας με το μηχανισμό νηματίου και πραγματοποιείται το τελικό 4

11 άλμα (final jump). Κατά το τελικό άλμα ολοκληρώνεται η σύλληψη του κεραυνού από το αντικείμενο εντός μιας πλευρικής απόστασης R, η οποία ονομάζεται ακτίνα σύλληψης (attractive radius). Σε περίπτωση που ο κεραυνός δεν πλήξει κάποιο αντικείμενο καταλήγει στη γη με τελικό άλμα μεταξύ της κεφαλής του κατερχόμενου λήντερ και μιας ανερχόμενης εκκένωσης που ξεκινά από το επίπεδο του εδάφους. Μετά το τελικό άλμα ακολουθεί γεφύρωση του διακένου μεταξύ νέφους και γης μέσω του οχετού επιστροφής (return stroke) που συμβαίνει με ταχύτητα 10-30% της ταχύτητας του φωτός. Το ρεύμα που διαρρέει τον οχετό επιστροφής, το οποίο είναι το ρεύμα του κεραυνού, έχει κρουστική κυματομορφή με γρήγορο ρυθμό αύξησης μέχρι την τιμή του μεγίστου και αργή μείωση μέχρι να μηδενιστεί. Μόλις ολοκληρωθεί το φαινόμενο είναι δυνατό να επαναληφθεί μέσω ενός συνεχούς αυτή τη φόρα λήντερ (dart leader) ο οποίος κινείται μέσα στο κανάλι της προηγούμενης εκκένωσης. Επομένως ενδέχεται το ρεύμα του κεραυνού να εμφανίσει μια νέα ανοδική κλίση, πριν μηδενιστεί, εφόσον ακολουθήσει μια νέα κεραυνική εκκένωση μέσω του ίδιου αγώγιμου καναλιού του οχετού επιστροφής, η οποία συνήθως έχει μικρότερο μέγιστο [2], [3], [4]. Ολόκληρη η εξέλιξη του φαινομένου φαίνεται οπτικά στο παρακάτω σχήμα [2] : Σχήμα 2.1: Η σύλληψη του κεραυνού. S απόσταση πρόσκρουσης, R ακτίνα σύλληψης [2]. Τέλος στην περίπτωση ενός θετικού ανερχόμενου κεραυνού το φαινόμενο εξελίσσεται ως εξής. Από προεξέχοντα σημεία του εδάφους (σημεία ισχυρής πεδιακής έντασης) εκκινεί ένας θετικός λήντερ και κατευθύνεται προς το σύννεφο με βήματα και διακλαδούμενος. Αντιθέτως με πριν, όταν φτάσει στο σύννεφο δεν ακολουθεί αμέσως ο οχετός επιστροφής αλλά θα ακολουθήσουν μία ή περισσότερες εκκενώσεις που εκκινούν με βελοειδή (συνεχή) πλέον λήντερ από την επιφάνεια του σύννεφου προς τη γη ακολουθώντας το κανάλι του αρχικού βηματικού λήντερ. Για την περίπτωση αυτή των θετικών ανερχόμενων κεραυνών ως απόσταση πρόσκρουσης S ορίζεται η απόσταση την οποία αν υπερβεί ένας θετικός λήντερ που έχει εκκινήσει θα φτάσει οπωσδήποτε στο σύννεφο [4]. 5

12 2.4 Μοντέλα σύλληψης κεραυνού Τα πλέον χρησιμοποιούμενα ντετερμινιστικά μοντέλα χωρίζονται σε 2 κατηγορίες, στα ηλεκτρογεωμετρικά και στα γενικευμένα μοντέλα Ηλεκτρογεωμετρικά μοντέλα Η ανάπτυξη των ηλεκτρογεωμετρικών μοντέλων κρίθηκε απαραίτητη για τη θωράκιση και ανάλυση σχετικά ψηλών εναέριων γραμμών μεταφοράς υπερύψηλής τάσης (EHV) για τις οποίες η εφαρμογή των γεωμετρικών μεθόδων υπολογισμού της ζώνης προστασίας, που παρείχαν οι αγωγοί προστασίας στους αγωγούς φάσης, αποδείχτηκε ανεπαρκής [2]. Η βασική αρχή των ηλεκτρογεωμετρικών μοντέλων έγκειται στο γεγονός ότι η σύλληψη του κεραυνού από ένα αντικείμενο συμβαίνει, εφόσον η κεφαλή του κατερχόμενου λήντερ βρεθεί σε απόσταση ίση με την απόσταση πρόσκρουσης από αυτό, οπότε λόγω ανύψωσης του ηλεκτρικού πεδίου στο αντικείμενο ξεκινά ένας ανερχόμενος λήντερ, που συλλαμβάνει τον κατερχόμενο λήντερ (σχ. 2.1). Δεδομένου ότι η ανύψωση του πεδίου στο αντικείμενο εξαρτάται από το φορτίο στην κεφαλή του κατερχόμενου λήντερ και το φορτίο αυτό με τη σειρά του σχετίζεται με το φορτίο του νέφους που καθορίζει το ρεύμα του οχετού επιστροφής, η απόσταση που απαιτείται για την έναυση του ανερχόμενου λήντερ, η απόσταση πρόσκρουσης, συσχετίστηκε με το ρεύμα του κεραυνού. Τα αποτελέσματα ερευνητικών προσπαθειών βασισμένα σε δεδομένα πεδίου και σε πειραματικά αποτελέσματα ηλεκτρικής διάσπασης διακένων αέρα, τύπου ράβδου-ράβδου και ράβδου-πλάκας υπό κρουστικές υψηλές τάσεις, οδήγησαν σε εξισώσεις προσδιορισμού της απόστασης πρόσκρουσης σε ένα αντικείμενο S (m) σε σχέση με το ρεύμα του κεραυνού I (ka) της μορφής S = A I B = γ D (2.1) όπου D (m) η απόσταση πρόσκρουσης στη γη και οι συντελεστές A, B και γ προέρχονται από την εκάστοτε ερευνητική εργασία της διεθνούς βιβλιογραφίας [2]. Επέκταση της χρήσης των ηλεκτρογεωμετρικών μοντέλων, αποτελεί η μέθοδος της κυλιόμενης σφαίρας. Σύμφωνα με τη μέθοδο της κυλιόμενης σφαίρας, η οποία προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Horvath [5] για τη σχεδίαση συστημάτων εξωτερικής αντικεραυνικής προστασίας, η απόσταση πρόσκρουσης στη γη και σε ένα αντικείμενο θεωρείται ίση κάτι που συνεπάγεται συντελεστή γ = 1. Δεδομένου ότι η ανύψωση του πεδίου σε ένα αντικείμενο λόγω του κατερχόμενου λήντερ εξαρτάται από τη γεωμετρία του, και ιδιαίτερα από το ύψος του, είναι λογικό ότι η απόσταση πρόσκρουσης σε αυτό εξαρτάται από τη γεωμετρία του. Επίσης, η πολικότητα του κεραυνού, έχει ιδιαίτερη σημασία στην εξέλιξη του φαινομένου της σύλληψης του κεραυνού, αφού σχετίζεται με το μηχανισμό διάσπασης του αέρα και συνεπώς πρέπει να λαμβάνεται υπόψη στο προσδιορισμό της απόστασης πρόσκρουσης. Όλα τα παραπάνω έρχονται σε αντίθεση με τη βασική υπόθεση στην οποία στηρίζονται τα ηλεκτρογεωμετρικά μοντέλα ότι η απόσταση πρόσκρουσης εξαρτάται αποκλειστικά από το ρεύμα του κεραυνού. Σε αναλογία με τα προηγούμενα και ο συντελεστής γ που 6

13 συσχετίζει την απόσταση πρόσκρουσης σε ένα αντικείμενο με την απόσταση πρόσκρουσης στη γη θα έπρεπε να εξαρτάται από το ύψος του αντικειμένου και την πολικότητα του κεραυνού, πράγμα που δε λαμβάνεται υπόψη από τα ηλεκτρογεωμετρικά μοντέλα. Επιπρόσθετα, κάθε ηλεκτρογεωμετρικό μοντέλο για δεδομένο ρεύμα κεραυνού οδηγεί σε μία ντετερμινιστική τιμή της απόστασης πρόσκρουσης, γεγονός μη ρεαλιστικό, αν ληφθεί υπόψη η πιθανοκρατική φύση της διάσπασης διακένων αέρα, και άρα του φαινομένου της σύλληψης του κεραυνού. Όπως για δεδομένη επιβαλλόμενη τάση μπορούν να διασπαστούν διαφορετικού μήκους διάκενα αέρα με διαφορετική πιθανότητα έτσι και ένας κεραυνός δεδομένου ρεύματος, με δεδομένο δυναμικό στην κεφαλή του κατερχόμενου λήντερ, είναι δυνατό να γεφυρώσει διάκενα διαφορετικού μήκους με διαφορετική πιθανότητα. Συνεπώς, η απόσταση πρόσκρουσης είναι ένα στατιστικό μέγεθος και εν συνεχεία θεωρήθηκε ότι ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή που δίνεται από μία εξίσωση της μορφής της (2.1) και σταθερή τυπική απόκλιση ίση με 10% [2]. Με βάση αυτή τη στατιστική διακύμανση της απόστασης πρόσκρουσης έγινε δυνατή η εξήγηση καταγεγραμμένων κεραυνικών πληγμάτων στους αγωγούς φάσης εναέριων γραμμών μεταφοράς που σύμφωνα με τη συμβατική ανάλυση θεωρούνταν επαρκώς θωρακισμένες. Ωστόσο, η ιδέα της στατιστικής διακύμανσης της απόστασης πρόσκρουσης στη συνέχεια εγκαταλείφθηκε και δεν διερευνήθηκε η εξάρτηση της μέσης τιμής της και της τυπικής απόκλισής της από το ρεύμα και την πολικότητα του κεραυνού καθώς και από το ύψος του αντικειμένου. Παρά τις απλοποιήσεις και τις υποθέσεις σχετικά με το φαινόμενο της σύλληψης του κεραυνού που έχουν υιοθετηθεί από τα ηλεκτρογεωμετρικά μοντέλα, τα μοντέλα αυτά ιστορικά έχουν χρησιμοποιηθεί με επιτυχία στην σχεδίαση της θωράκισης εναέριων γραμμών μεταφοράς και χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα με βάση το IEEE Std 1243 [2]. Παρόλα αυτά από το παρακάτω σχήμα (σχ. 2.2), στο οποίο απεικονίζεται η εφαρμογή της εξίσωσης 2.1 με βάση τα διαφορετικά μοντέλα σύλληψης του κεραυνού από διάφορες ερευνητικές εργασίες, είναι προφανές ότι υπάρχουν σημαντικές διαφορές τόσο στην τιμή, όσο και στο ρυθμό αύξησης της απόστασης πρόσκρουσης με το ρεύμα του κεραυνού ανάμεσα στα ηλεκτρογεωμετρικά μοντέλα. Τέτοιες διαφορές μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά τόσο τη σχεδίαση της θωράκισης, όσο και την εκτιμώμενη συχνότητα κεραυνικών πληγμάτων σε ένα σύστημα αντικεραυνικής προστασίας. Συνεπώς, η εξίσωση υπολογισμού της απόστασης πρόσκρουσης χρήζει διερεύνησης και τα προτεινόμενα μέχρι σήμερα ηλεκτρογεωμετρικά μοντέλα πρέπει να αξιολογηθούν με βάση τα δεδομένα πεδίου της βιβλιογραφίας, αφού εφαρμοστεί μια γενικευμένη μεθοδολογία, τόσο για την ανάλυση της θωράκισης, όσο και για την εκτίμησης της συχνότητας των κεραυνικών πληγμάτων σε συστήματα αντικεραυνικής προστασίας [2]. 7

14 Σχήμα 2.2: Απόσταση πρόσκρουσης συναρτήσει του ρεύματος του κεραυνού με βάση διαφορετικά ηλεκτρογεωμετρικά μοντέλα σύλληψης του κεραυνού [2] Γενικευμένα μοντέλα Μετά τα μέσα της δεκαετίας του 1980 αναπτύχθηκαν τα λεγόμενα γενικευμένα μοντέλα τα οποία πρόκειται για μοντέλα σύλληψης του κεραυνού που λαμβάνουν υπόψη στον προσδιορισμό της απόστασης πρόσκρουσης και της ακτίνας σύλληψης (σχ. 2.1), εκτός από το ρεύμα του κεραυνού, το ύψος του αντικειμένου. Tα γενικευμένα μοντέλα σύλληψης του κεραυνού αναπτύχθηκαν χρησιμοποιώντας δεδομένα πεδίου, πειραματικά αποτελέσματα ηλεκτρικής διάσπασης διάκενων φορτισμένης πλάκαςγειωμένης ράβδου, καθώς και προσομοιώσεις της έναυσης και προόδου του ανερχόμενου λήντερ, έως και το τελικό άλμα με τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Ο πρώτος που ανέπτυξε ένα γενικευμένο μοντέλο σύλληψης του κεραυνού ήταν ο Eriksson που χρησιμοποίησε ως κριτήριο έναυσης και προόδου του ανερχόμενου λήντερ που ξεκινά από την απόληξη ενός αντικειμένου τη διαμόρφωση ενός αρκετά υψηλού ηλεκτρικού πεδίου (3 ΜV/m) που να συντηρεί τον ιονισμό του αέρα σε μια κρίσιμη ακτίνα (critical radius) γύρω από την απόληξη του. Ακολουθώντας τον A. J. Eriksson, άλλοι ερευνητές στηριζόμενοι σε διαφορετικά κριτήρια έναυσης και προόδου του ανερχόμενου λήντερ πρότειναν διαφορετικές σχέσεις προσδιορισμού της ακτίνας σύλληψης R (m), η οποία ορίζεται ως η μέγιστη πλευρική απόσταση από ένα αγωγό εντός της οποίας είναι δυνατή η σύλληψη του κεραυνού, που μπορεί να εκφραστεί με μια εξίσωση της παρακάτω μορφής R = ξ h E I F + ζ h G (2.2) όπου I (ka) το ρεύμα του κεραυνού, h (m) το ύψος του αντικειμένου και οι συντελεστές ξ, Ε, F, ζ και G προέρχονται από την εκάστοτε ερευνητική εργασία της διεθνούς 8

15 βιβλιογραφίας [2]. Τα γενικευμένα μοντέλα, αν και έδωσαν σημαντική ώθηση στην κατανόηση και μελέτη του φαινομένου της σύλληψης του κεραυνού, δεν λαμβάνουν υπόψη τους, όπως και τα ηλεκτρογεωμετρικά μοντέλα, την πιθανότητα σύλληψης του κεραυνού. Επίσης, τα γενικευμένα μοντέλα δεν λαμβάνουν υπόψη τους την επίδραση ενός γειτνιάζοντος αντικειμένου στην ακτίνα σύλληψης ενός αλεξικέραυνου. Τέτοια φαινόμενα γειτνίασης, μπορεί να γίνουν σημαντικά στην ανάλυση της θωράκισης εναέριων γραμμών μεταφοράς, διότι μια ανερχόμενη εκκένωση από έναν αγωγό φάσης ενδέχεται να επηρεάσει την έκταση ανάπτυξης της ανερχόμενης εκκένωσης από τον αγωγό προστασίας, άρα και την ακτίνα σύλληψής του. Παρά το γεγονός ότι τα γενικευμένα μοντέλα είναι γενικά αποδεκτό ότι βασίζονται σε σύγχρονα πειραματικά και θεωρητικά αποτελέσματα σχετικά με την έναυση και πρόοδο του ανερχόμενου λήντερ και το μηχανισμό διάσπασης μεγάλων διακένων αέρα δεν εφαρμόζονται για τη σχεδίαση και την ανάλυση της θωράκισης κοινών κατασκευών και εναέριων γραμμών μεταφοράς έναντι άμεσων κεραυνικών πληγμάτων. Δεδομένου ότι υπάρχουν σημαντικές διαφορές, τόσο στην τιμή, όσο και στο ρυθμό αύξησης της ακτίνας σύλληψης με το ρεύμα του κεραυνού ανάμεσα στα γενικευμένα μοντέλα (σχ. 2.3) [2], απαιτείται μια διεξοδική και εμπεριστατωμένη εργασία αξιολόγησής τους μέσω συγκρίσεων με δεδομένα πεδίου της βιβλιογραφίας, αφού προταθεί μια γενικευμένη μεθοδολογία, τόσο για την εκτίμηση της συχνότητας των κεραυνικών πληγμάτων, όσο και για την ανάλυση της θωράκισης σε συστήματα αντικεραυνικής προστασίας [2]. Σχήμα 2.3: Ακτίνα σύλληψης συναρτήσει του ρεύματος του κεραυνού για αντικείμενο ύψους 30 m με βάση διαφορετικά γενικευμένα μοντέλα σύλληψης του κεραυνού [2]. 9

16 3. Fractals και Στοχαστικά μοντέλα 3.1 Εισαγωγή στον κόσμο των fractals Η εμφάνιση του όρου fractals έγινε για πρώτη φορά στην Αγγλία όταν δημιουργοί χαρτών καταπιάστηκαν με το πρόβλημα της μέτρησης του μήκους της ακτής της Μ. Βρετανίας. Αυτό που παρατηρήσαν είναι ότι όσο μικρότερη κλίμακα χρησιμοποιούσαν για τον υπολογισμό του μήκους της περιμέτρου τόσο μεγαλύτερο αποτέλεσμα έπαιρναν. Σε ένα χάρτη μεγάλης κλίμακας μετρήθηκε γύρω στα 5000 km. Όμως σε ένα χάρτη μικρότερης κλίμακας μετρήθηκε γύρω στα 8000 km. Έπειτα κοιτώντας σε χάρτες ακόμα πιο λεπτομερείς, που είχαν μόνο το νησί, υπολογίστηκε διπλάσια της αρχικής. Συνεπώς αν έπαιρναν έναν χάρακα για τον υπολογισμό της περιμέτρου στο χάρτη θα υπολόγιζαν μικρότερη τιμή από ότι αν περπατούσαν οι ίδιοι περιμετρικά των ακτών και άθροιζαν τα βήματα τους και ακόμα μικρότερη από την περίπτωση που λάμβαναν υπόψη κάθε βράχο, πέτρα ακόμα και κόκκο άμμου σε όλο το μήκος της περιμέτρου της ακτής [6]. Στο παρακάτω σχήμα (σχ. 3.1) παρουσιάζεται για χάριν παραδείγματος το μήκος της περιμέτρου Ν, από μία φωτογραφία της Μ. Βρετανίας, για διάφορες κλίμακες υπολογισμού r [6]. Σχήμα 3.1: Παράδειγμα υπολογισμού της περιμέτρου της Μ. Βρετανίας υπό διαφορετική κλίμακα [6]. Αργότερα ο Γάλλος μαθηματικός Gaston Julia ασχολήθηκε με την αναπαράσταση μίας πολυωνυμικής μιγαδικής συνάρτησης της μορφής z 2 + c, όπου c είναι μιγαδική σταθερά. Η ιδέα πίσω από αυτή την εργασία είναι ότι παίρνεις τις x και y συντεταγμένες ενός σημείου και τις προσαρμόζεις σε μια μεταβλητή z της μορφής z = x + y i. Έπειτα τετραγωνίζουμε αυτόν τον αριθμό και προσθέτουμε τη σταθερά c. Στη συνέχεια προσαρμόζουμε τα ζευγάρια - αποτελέσματα των πραγματικών και φανταστικών αριθμών ξανά στη z, τρέχουμε την εξίσωση ξανά και συνεχίζουμε να το κάνουμε μέχρι το αποτέλεσμα να είναι μεγαλύτερο από κάποιο αριθμό. Ο αριθμός των φορών που χρειάζονται για να τρέξει η εξίσωση, ώστε η συνάρτηση να βγει έξω από τη τροχιά της, προσδιορίζονται με ένα χρώμα και το συγκεκριμένο σημείο (x, y) παίρνει αυτό το χρώμα, εκτός από τις συντεταγμένες που δε μπορούν να βγουν έξω από 10

17 τη τροχιά και οι οποίες παίρνουν μαύρο χρώμα. Ο Julia έκανε αυτούς τους υπολογισμούς χωρίς να γνωρίζει ότι το αποτέλεσμα αποτελεί μία fractal δομή [7]. O πρώτος που χρησιμοποίησε την υπολογιστική ισχύ για τον υπολογισμό και αναπαράσταση fractal δομών ήταν ο Benoit Mandelbrot [8], ο οποίος έτρεξε τις αντίστοιχες συναρτήσεις σε υπολογιστές της εταιρίας IBM, στην οποία και εργαζόταν, ώστε να κάνει τον απαιτούμενο αριθμό επαναλήψεων που ήταν απαραίτητος για να απεικονίζεται σωστά και με μεγαλύτερη ακρίβεια η fractal δομή. Μάλιστα ο όρος fractal χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Mandelbrot και προέρχεται από το λατινικό fractus, που σημαίνει ακανόνιστος και κομματιαστός [7]. Ένας ορισμός του όρου fractal είναι ο ακόλουθος. Fractal ονομάζουμε κάθε σύνολο σημείων που χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες ιδιότητες [7]: Εμφανίζει δομή μέσα σε δομή, δηλαδή νέες λεπτομέρειες σε κάθε κλίμακα μεγέθυνσης. Επί μέρους τμήματα του είναι παρόμοια με άλλα τμήματα του συνόλου σε διαφορετική κλίμακα, παρουσιάζει δηλαδή αυτό που λέμε αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας. Η αυτοομοιότητα ενός fractal δεν είναι απαραίτητα ακριβής και δεν είναι γενικά αποτέλεσμα αλλαγής μιας μόνο κλίμακας. Ένα fractal μπορεί να περιγράφεται από μια άπειρη ακολουθία κλιμάκων, η δε αυτοομοιότητα του μπορεί να είναι και στατιστική ιδιότητα του συνόλου. Συχνά ένα fractal κατασκευάζεται ή δημιουργείται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας, σε κάθε βήμα της οποίας εφαρμόζονται οι ίδιοι μαθηματικοί μετασχηματισμοί (αλλαγή κλίμακας, μετάθεση και στροφή). Για να γίνει κατανοητή η έννοια της αυτοομοιότητας υπό αλλαγή κλίμακας που αναφέρθηκε κατά τον ορισμό του fractal παρουσιάζουμε το παράδειγμα του περίφημου τριαδικού συνόλου του Cantor (σχ. 3.2). Ξεκινώντας με ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1, πάνω στην ευθεία των αριθμών μεταξύ του 0 και του 1, αφαιρούμε στο πρώτο βήμα της διαδικασίας το μεσαίο τρίτο του, δηλαδή το διάστημα μεταξύ των αριθμών 1/3 και 2/3. Έπειτα αφαιρούμε το μεσαίο τρίτο των δυο τμημάτων που απομένουν, δηλαδή τα διαστήματα μεταξύ των αριθμών 1/9,2/9 και 7/9,8/9. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο αυτή τη κατασκευή και αφαιρώντας σε κάθε βήμα από όλα τα ευθύγραμμα τμήματα το μεσαίο τρίτο τους, είναι λογικό να αναρωτηθούμε τι απομένει από το αρχικό τμήμα μετά από άπειρα βήματα. Το τελικό σύνολο θα αποτελείται από σημεία αφού δεν είναι δυνατόν να αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα γιατί από αυτά θα έπρεπε να αφαιρεθεί το μεσαίο τρίτο τους κάτι που θα σήμαινε ότι δεν έχουμε φτάσει ακόμα στο τέλος της διαδικασίας. Το σύνολο των σημείων που απομένει ονομάζεται τριαδικό σύνολο Cantor. 11

18 Σχήμα 3.2: Τριαδικό σύνολο Cantor [7]. Αυτό που παρατηρείται στο σχήμα 3.2 είναι ότι καθένα από τα δυο ζεύγη τμημάτων που έχουν δημιουργηθεί στο βήμα 2 είναι πανομοιότυπο με τα δύο τμήματα του βήματος 1 αν τα σμικρύνει κανείς κατά 1/3. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και για όλα τα ζεύγη τμημάτων του βήματος 3, σε σχέση με τα αντίστοιχα ζεύγη του βήματος 2 από τα οποία προήλθαν. Το φαινόμενο αυτό που παρατηρείται μεταξύ όλων των διαδοχικών τμημάτων της κατασκευής του συνόλου Cantor, ονομάζεται αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας και η συγκεκριμένη κλίμακα που συνδέει εδώ τα διαδοχικά ζεύγη τμημάτων είναι το 1/3. Ένα από τα μοναδικά χαρακτηριστικά των fractals είναι ότι έχουν μη ακέραιες διαστάσεις, κάτι που είναι ασυμβίβαστο με τα όσα γνωρίζουμε από την κλασσική Ευκλείδεια γεωμετρία. Όπως είναι γνωστό στη κλασσική γεωμετρία η διάσταση ενός αντικειμένου είναι πάντα ένας ακέραιος αριθμός με τιμές 0 για ένα σημείο, 1 για μια καμπύλη, 2 για το επίπεδο και 3 για τον χώρο. Ωστόσο στη fractal γεωμετρία αυτό δεν ισχύει. Μπορεί να ειπωθεί ότι η fractal διάσταση ενός αντικειμένου ποσοτικοποιεί το επίπεδο της στατικής γεωμετρίας του [7], [8]. Fractal δομές πέρα από τα τεχνητά σχήματα μέσω μαθηματικών συναρτήσεων, υπάρχουν και σχεδόν παντού στη φύση. Μερικές από τις πιο γνωστές fractal δομές τόσο τεχνητές όσο και φυσικές παρουσιάζονται παρακάτω. Σχήμα 3.3: Mandelbrot Set [7]. Σχήμα 3.4: Sierpinski Triangle [7]. 12

19 Σχήμα 3.5: Δίκτυο νευρώνων ανθρώπινου σώματος [7]. Σχήμα 3.6: Κεραυνός [7]. 3.2 Fractal Γεωμετρία Η θεωρία της fractal γεωμετρίας έχει προταθεί από τον Mandelbrot [8], για να περιγράψει γεωμετρικούς νόμους που διέπουν τη φύση και να ερμηνεύσει ορισμένα από τα μαθηματικά παράδοξα που ενέχουν αυτοί οι νόμοι. Η fractal γεωμετρία χαρακτηρίζει την δομή ενός συνόλου σημείων του χώρου μέσω ενός αριθμού D που ονομάζεται fractal διάσταση. Η θεωρία της fractal γεωμετρίας αν και σχετικά πρόσφατη βρίσκει εφαρμογές σε ένα ευρύ φάσμα επιστημονικών περιοχών. Αυτό το φάσμα εκτείνεται από την οικονομία (κλασματικό μοντέλο κλιμάκωσης τιμών) και τη στατιστική (σφάλματα σε τηλεφωνικά μηνύματα), ως τη φυσική (κρυσταλλογραφία), τη βιολογία (κυρίως στον τομέα της μοριακής βιολογίας) και τη χαρτογραφία. Για την καλύτερη κατανόηση των θεμελιακών αρχών της θεωρίας της fractal γεωμετρίας αναπτύσσονται αρχικά ορισμένα στοιχεία από το χώρο της γεωμετρίας και ειδικότερα της θεωρίας διαστάσεων [7] Θεωρία Διαστάσεων Η θεμελίωση της fractal γεωμετρίας όπως διατυπώνεται από τον Mandelbrot προϋποθέτει τον ορισμό της διάστασης Hausdorff-Besicovitch. Η διάσταση Hausdorff- Besicovitch σχετίζεται άμεσα με τη διαδικασία μέτρησης του μεγέθους ενός συνόλου σημείων του χώρου στο επίπεδο. Για παράδειγμα, το μέγεθος ενός συνόλου σημείων που αποτελούν μια γραμμή ή μια επιφάνεια στο επίπεδο είναι αντίστοιχα το μήκος της γραμμής ή το εμβαδόν της επιφάνειας. Αν θεωρηθεί ότι ζητείται να μετρηθεί το μέγεθος, δηλαδή το μήκος της καμπύλης S του σχήματος 3.7, ο υπολογισμός του μήκους προϋποθέτει την ακόλουθη διαδικασία. Η καμπύλη καλύπτεται από διαδοχικά εφαπτόμενους μικρούς (στοιχειώδεις) δίσκους διαμέτρου δ. Το μήκος της καμπύλης υπολογίζεται αθροίζοντας τους δίσκους και λαμβάνοντας υπόψη τη διάμετρό τους. 13

20 Σχήμα 3.7: Προσδιορισμός μήκους καμπύλης (S) [7]. Γενικεύοντας τη διαδικασία που περιεγράφηκε για τη μέτρηση του μήκους της καμπύλης, ο προσδιορισμός του μεγέθους ενός συνόλου S σημείων του χώρου μπορεί να γίνει καλύπτοντας το σύνολο αυτό με διαδοχικά εφαπτόμενα στοιχειώδη γεωμετρικά σχήματα. Το μέγεθος των στοιχειωδών γεωμετρικών σχημάτων εκφράζεται από μια θετική συνάρτηση h(δ), η οποία ονομάζεται συνάρτηση ελέγχου (test function) και είναι της μορφής: h(δ) = γ δ d (3.1) Ο γεωμετρικός συντελεστής γ εκφράζει τη μορφή του στοιχειώδους γεωμετρικού σχήματος. Αν το γεωμετρικό σχήμα είναι ευθύγραμμο τμήμα, τετράγωνο ή κύβος, τότε ο συντελεστής γ έχει τιμή μονάδα (γ=1). Αν είναι δίσκος, τότε γ=π/4 ή σφαίρα τότε γ=π/6. Η παράσταση δ d εκφράζει τη συμμετοχή των διαστάσεων του στοιχειώδους γεωμετρικού σχήματος στο μέγεθός του. Το μέγεθος του συνόλου των σημείων του χώρου μπορεί να προκύψει από την άθροιση της συνάρτησης ελέγχου σε ολόκληρη την έκταση του που καταλαμβάνει το σύνολο στο χώρο ονομάζεται μετρική M d : M d = h(δ) = γ δ d (3.2) Ο εκθέτης d ονομάζεται διάσταση της μετρικής Μd. Θεωρώντας τα μεγέθη των στοιχειωδών γεωμετρικών σχημάτων να μειώνονται ώστε να τείνουν στο μηδέν, δηλαδή για δ 0, η μετρική Μd είτε μηδενίζεται (Μd 0) είτε τείνει στο άπειρο (Μd ), εξαρτώμενη από την τιμή της διάστασης d [9]. Ως διάσταση Hausdorff-Besicovitch (D) του συνόλου S ορίζεται η κρίσιμη εκείνη τιμή της διάστασης d κατά την οποία η μετρική Μd περνά από την τιμή μηδέν στο άπειρο [9]. M d = γ δ d = γ δ d N(δ) δ 0 0, d > D {, d < D (3.3) όπου Ν(δ) είναι ο αριθμός των στοιχειωδών γεωμετρικών σχημάτων με τα οποία καλύπτεται το σύνολο S. Η μετρική M d για d=d έχει συνήθως πεπερασμένη τιμή, αλλά είναι δυνατό σε ειδικές περιπτώσεις να έχει είτε την τιμή μηδέν ή άπειρο. Επειδή η διάσταση Hausdorff-Besicovitch (D) ορίζεται με την βοήθεια του ορίου, όταν το μέγεθος των στοιχειωδών γεωμετρικών σχημάτων τείνει στο μηδέν (δ 0) ουσιαστικά εκφράζει, ως διάσταση, μια τοπική ιδιότητα των σημειακών συνόλων του χώρου. Για κανονικά σύνολα σημείων του χώρου η διάσταση Hausdorff-Besicovitch (D) λαμβάνει τις τιμές: D=1 για γραμμές, D=2 για επίπεδα ή επιφάνειες και D=3 για σφαίρες ή 14

21 άλλους πεπερασμένους όγκους. Fractal σύνολα είναι αυτά στα οποία η D έχει μη ακέραια τιμή [9] Fractal Σύνολα και Αυτό-Ομοιότητα Σύμφωνα με τον Mandelbrot ορίζεται ως κλασματικό σύνολο (fractal set) κάθε σύνολο του χώρου του οποίου η διάσταση Hausdorff-Besicovitch (D) έχει τιμή μεγαλύτερη απ αυτήν της τοπολογικής διάστασης (DT). Η κλασματική διάσταση ενός κλασματικού συνόλου ταυτίζεται με τη διάσταση Hausdorff-Besicovitch. Η κλασματική διάσταση (D) γραμμών κυμαίνεται μεταξύ της τοπολογικής διάστασης (DT) και της ευκλείδειας διάστασης (DΕ), DT=1 < D < 2 =DΕ. Ανάλογα, η κλασματική διάσταση επιφανειών κυμαίνεται μεταξύ: DT=2 < D < 3=DΕ. Η κλασματική διάσταση D εκφράζει το βαθμό με τον οποίο μια γραμμή «γεμίζει» το ευκλείδειο επίπεδο, και αντίστοιχα, μια επιφάνεια τον ευκλείδειο χώρο [7]. Σε αυτό το σημείο μια πιο επεξηγηματική προσέγγιση στην έννοια της αυτόομοιότητας (self-similarity) υπό αλλαγής κλίμακας κρίνεται απαραίτητη. Για μια μη αυστηρά διατυπωμένη μαθηματική περιγραφή, προτεινόμενη από τον ίδιο τον Mandelbrot, τα fractal σύνολα είναι σχήματα των οποίων τα επί μέρους τμήματα είναι όμοια προς το όλον, σύμφωνα με μια ορισμένη διαδικασία. Η βασική αυτή ιδιότητα των fractal συνόλων ονομάζεται αυτοομοιότητα. Ένας αυστηρότερος μαθηματικά ορισμός των αυτοόμοιων συνόλων δίνεται παρακάτω. Ο λόγος ομοιότητας r(n) για τα fractal σύνολα ικανοποιεί τη σχέση [8] : r(n) = ( 1 N ) 1 D (3.4) όπου το N εκφράζει τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων τμημάτων, προερχομένων από το λόγο ομοιότητας r(n), από τα οποία συντίθεται το fractal σύνολο. Από τη σχέση αυτή προκύπτει ως παράγωγη μια χαρακτηριστική σχέση για την fractal διάσταση D, η οποία εκφράζει την ιδιότητα της αυτοομοιότητας: D = log N log 1 r(n) (3.5) Στο σχήμα 3.8 απεικονίζονται οι διαδοχικές φάσεις δημιουργίας μιας κλασματικής γραμμής. Αρχικά θεωρείται ένα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα (σχήμα 3.8-Α), το οποίο χωρίζεται σε πρώτη φάση με λόγο ομοιότητας r(n)=1/4, η κλασματική γραμμή αποτελείται από Ν=8 τμήματα (σχήμα 3.8-Β). Στη συνέχεια, επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία αλλά με λόγο ομοιότητας r(n) =1/16 αυτή τη φορά, οπότε η κλασματική γραμμή αποτελείται από Ν=64 τμήματα (σχήμα 3.8-C) [7]. 15

22 Σχήμα 3.8: Φάσεις δημιουργίας μιας κλασματικής γραμμής [7]. Η fractal διάσταση της γραμμής αυτής είναι D=1,50. Η γραμμή που απεικονίζεται στο σχήμα 3.8-C ονομάζεται τετραγωνική νήσος του Koch (quadratic Koch island) και μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί το γεωμετρικό μοντέλο μιας ακτογραμμής [7], [8]. Τα μήκη των γραμμών που απεικονίζονται στα σχήματα 3.8-Β και 3.8-C είναι αντίστοιχα: L B = N B ( 1 4 ) = 2 και L C = N C ( 1 16 ) = Στοχαστικά Μοντέλα Δύο από τα σημαντικότερα στοχαστικά μοντέλα τα οποία αποτέλεσαν βάση για την έρευνα καθώς και για τη δημιουργία πολλών άλλων στοχαστικών μοντέλων μέχρι και σήμερα είναι το μοντέλο NPW και αυτό των Wiesmann & Zeller, τα βασικά χαρακτηριστικά των οποίων παρουσιάζονται στις επόμενες ενότητες. Επίσης, παρουσιάζονται συνοπτικά και άλλα δύο, πιο σύγχρονα μοντέλα για την προσομοίωση κεραυνικών πληγμάτων τόσο σε κτιριακές εγκαταστάσεις όσο και σε γραμμές μεταφοράς Μοντέλο NPW [10] Το πρώτο στοχαστικό μοντέλο δημιουργήθηκε το 1984 από τους L.Niemeyer, L.Pietronero και H.J. Wiesmann [10] και το οποίο πήρε το όνομα του από τα αρχικά των επιθέτων των δημιουργών του (NPW). Στο μοντέλο αυτό οι 3 συγγραφείς δημιούργησαν έναν αλγόριθμο προκειμένου να αναπαράγουν τη μορφή των streamers και leaders σε υγρά και αέρια διηλεκτρικά και έπειτα να μελετήσουν τα fractal χαρακτηριστικά που παρουσιάζουν κατά τη διάδοσή τους. Το μοντέλο εξομοιώνει την επιφανειακή εκκένωση (Lichtenberg Figure) η οποία δημιουργείται όταν ένα ηλεκτρόδιο (άκρο μίας ακίδας) εφάπτεται πάνω σε ένα 16

23 λεπτό φύλλο μονωτικού υλικού. Πιο συγκεκριμένα ως φύλλο μονωτικού υλικού χρησιμοποιήθηκε γυαλί μέσα σε αέριο SF6 πίεσης 0,3 MPa. O εφαρμοζόμενος παλμός τάσης ήταν 30 kv x 1μs και το αποτέλεσμα της πειραματικής αυτής διάταξης απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα (σχ. 3.9) [10]. Σχήμα 3.9: Πειραματικό αποτέλεσμα επιφανειακής εκκένωσης [10]. Για την πραγματοποίηση του αλγορίθμου εξομοίωσης της επιφανειακής εκκένωσης ο χώρος στον οποίο γίνεται η εκκένωση διακριτοποιείται μέσω ενός δισδιάστατου πλέγματος σημείων. Το κεντρικό σημείο του πλέγματος αναπαριστά το σημείο επαφής της ανόδου με το μονωτικό υλικό και το οποίο τίθεται σε δυναμικό φ=0. Το δεύτερο ηλεκτρόδιο αναπαρίσταται ως ένας κύκλος σε με μεγάλη απόσταση από το κεντρικό σημείο και ο οποίος έχει δυναμικό φ=1. Το μοντέλο δημιουργεί ένα ιχνογράφημα, το οποίο αναπαριστά το ίχνος της διαδρομής της εκκένωσης στο χώρο όπως το παρακάτω σχήμα (σχ. 3.10) που παρουσιάζει την εξέλιξη του φαινομένου μετά από έναν αριθμό επαναλήψεων του αλγορίθμου [10]. Σχήμα 3.10: Διακριτοποίηση του χώρου και αρχικές συνθήκες του μοντέλου NPW [10]. 17

24 Το μοντέλο αναπτύσσεται στο χώρο με διακριτά βήματα και σε κάθε επανάληψη προστίθεται ένα σημείο στο υπάρχον γράφημα της εκκένωσης. Αποτελείται από σημεία (με μαύρο χρώμα) τα οποία ενώνονται μεταξύ τους με γραμμές, που ονομάζονται δεσμοί και αποτελούν σημεία της εκκένωσης. Το δυναμικό σε κάθε σημείο του πλέγματος, υπολογίζεται μέσω της επίλυσης της εξίσωσης Laplace με οριακές συνθήκες φ=0 στην άνοδο και το ιχνογράφημα (το οποίο θεωρείται ισοδυναμικό) και φ=1 σε ένα υποθετικό εξωτερικό κυκλικό ηλεκτρόδιο [10]. Σε κάθε επανάληψη του προγράμματος, ένα ακόμη σημείο προστίθεται στο ιχνογράφημα, μέσω ενός δεσμού.στο σχήμα 3.10, τα λευκά σημεία που ενώνονται μέσω διακεκομμένων γραμμών με τα μαύρα, αναπαριστούν όλες τις πιθανές διευθύνσεις ανάπτυξης του ιχνογραφήματος. Σε κάθε μια από τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης αντιστοιχίζεται μια πιθανότητα, η οποία είναι συνάρτηση της διαφοράς δυναμικού μεταξύ ενός σημείου που ανήκει στο ιχνογράφημα (i, k, φ=0, μαύρο χρώμα) και ενός γειτονικού του (i, k, λευκό χρώμα). Η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται μέσω της σχέσης: p(i, k i, k ) = (Φ i,k ) η (3.6) (Φ η i,k ) όπου Φ i,k είναι η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στα σημεία i,k και i,k. Ο παρονομαστής της σχέσης (3.6) είναι το άθροισμα των δυναμικών σε όλες τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης του ιχνογραφήματος, ενώ ο εκθέτης η περιγράφει την εξάρτηση μεταξύ του τοπικού πεδίου και της πιθανότητας διάδοσης [10]. Αφού υπολογιστεί η πιθανότητα για κάθε δυνατή διεύθυνση, επιλέγεται ένα καινούργιο σημείο το οποίο θα προστεθεί στο ιχνογράφημα σε κάθε επανάληψη του προγράμματος, και το οποίο θα έχει δυναμικό ίδιο με αυτό του κεντρικού σημείου φ=0. Τα δυναμικά των υπολοίπων σημείων του χώρου υπολογίζονται με επίλυση της εξίσωσης του Laplace 2 φ = 0 (3.7) Για ένα δισδιάστατο πλέγμα σημείων η διακριτή μορφή της εξίσωσης (3.7) είναι η φ i,k = 1 4 (φ i+1,k + φ i 1,k + φ i,k+1 + φ i,k 1 ) (3.8) και η οποία με τη βοήθεια μιας επαναληπτικής μεθόδου επιλύεται με αρχικές συνθήκες το δυναμικό στο κεντρικό σημείο, στον εξωτερικό κύκλο αλλά και στα σημεία που έχουν προστεθεί στο ιχνογράφημα [10]. Τα αποτελέσματα της εργασίας αυτής αφορούσαν στον υπολογισμό της fractal διάστασης για διάφορες τιμές του εκθέτη η και η εύρεση της μεταξύ τους εξάρτησης. Πιο συγκεκριμένα για τιμή της παραμέτρου η=1 υπολογίστηκε διάσταση D f = 1,75 ± 0,02 αποτέλεσμα το οποίο είναι σε καλή συμφωνία με την fractal διάσταση 18

25 πραγματικών πειραματικών επιφανειακών εκκενώσεων η οποία και βρέθηκε D=1,70. Το στατιστικό σφάλμα της fractal διάστασης δικαιολογείται από την στοχαστικότητα που εισάγει το μοντέλο έπειτα από έναν αριθμό προσομοιώσεων. Παρακάτω παρατίθεται ένα αποτέλεσμα της προσομοίωσης μίας επιφανειακής εκκένωσης του μοντέλου NPW [10]. Σχήμα 3.11: Αποτέλεσμα προσομοίωσης επιφανειακής εκκένωσης μοντέλου NPW [10] Μοντέλο των Wiesmann-Zeller [11] Το στοχαστικό αυτό μοντέλο δημιουργήθηκε το 1986 από τους H.J. Wiesmann και H. R. Zeller [11]. Βασίστηκε στο μοντέλο NPW όμως εισήγαγε πολύ σημαντικές τροποποιήσεις στον αλγόριθμό του όσον αφορά τις παραμέτρους που καθορίζουν την εξέλιξη του φαινομένου. Η βασική διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι το συγκεκριμένο μοντέλο μελετά την προσομοίωση ηλεκτρικών εκκενώσεων σε διάκενα ακίδας-πλάκας. Οι βασικοί κανόνες εξέλιξης του φαινομένου είναι οι ίδιοι όπως και στο μοντέλο NPW. Αρχικά ο χώρος διακριτοποιείται μέσω ενός δισδιάστατου πλέγματος σημείων. Το δυναμικό σε κάθε σημείο υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης (3.8), με αρχικές συνθήκες δυναμικό φ=0 στην ακίδα που βρίσκεται στο κάτω μέρος του επιπέδου, φ=φο για την άνω πλάκα και δυναμικό με σταθερή τιμή φ=0 για τα σημεία που αποτελούν τμήμα της εκκένωσης. Σε κάθε επανάληψη ένα νέο σημείο προστίθεται στο γράφημα με βάση την πιθανότητα της σχέσης (3.6), με την μόνη διαφορά ότι η πιθανότητα πλέον εξαρτάται από την τοπική πεδιακή ένταση αντί από το δυναμικό με μια σχέση ίδιας μορφής με αυτή της (3.6), το δυναμικό του ανανεώνεται σε φ=0 και έπειτα ο διακριτός μετασχηματισμός Laplace επαναλαμβάνεται με τις νέες αρχικές συνθήκες για τον υπολογισμό των δυναμικών στα υπόλοιπα σημεία του χώρου [11]. 19

26 Οι πολύ σημαντικές διαφοροποιήσεις που εισήγαγαν οι Wiesmann και Zeller αφορούν την εισαγωγή 2 παραμέτρων. Η πρώτη είναι η εισαγωγή ενός κρίσιμου πεδίου F c που πρέπει να υπερβαίνουν οι πεδιακές εντάσεις των σημείων του χώρου έτσι ώστε να μπορούν να θεωρηθούν πιθανά σημεία για να επιλεχθούν (σε αντίθετη περίπτωση η πιθανότητα που δίνεται από την εξ. 3.6 θεωρείται μηδενική). Η δεύτερη είναι η λεγόμενη εσωτερική πεδιακή ένταση F s, με βάση την οποία κάθε σημείο που επιλέγεται δεν τίθεται σε δυναμικό ίσο με αυτό της ακίδας φ=0 αλλά σε δυναμικό φ = φο + s F s, όπου φο το δυναμικό της άνω πλάκας και s το μήκος της διαδρομής που ενώνει το επιλεχθέν σημείο και την ακίδα. Το μοντέλο Wiesmann Zeller μελέτησε την επίδραση που είχε η μεταβολή των παραμέτρων αυτών στο αποτέλεσμα της προσομοίωσης της ηλεκτρικής εκκένωσης και ορισμένα αποτελέσματα των προσομοιώσεων παρουσιάζονται παρακάτω [11]: Σχήμα 3.12: F s = 0, F c = 0 [11] Σχήμα 3.13: F s = 0, F c 0 [11] Σχήμα 3.13: F s = F c 0 [11] 20

27 Τα αποτελέσματα της εξομοίωσης έδειξαν ότι η μορφή του ιχνογραφήματος εξαρτάται σημαντικά τόσο από την τιμή κατωφλίου όσο και από την πτώση τάσης στους δεσμούς. Πιο συγκεκριμένα η αύξηση των τιμών των δύο αυτών παραμέτρων οδηγεί σε μείωση του αριθμού των δεσμών που συνθέτουν το ιχνογράφημα Μοντέλο των Petrov-Petrova-D Alessandro [12] Το συγκεκριμένο στοχαστικό μοντέλο αναπτύχθηκε το 2003 από τους N. I. Petrov, G. N. Petrova και F. D Alessandro με σκοπό τη προσομοίωση κεραυνικών πληγμάτων σε κτιριακές εγκαταστάσεις χρησιμοποιώντας την ίδια προσέγγιση μέσω fractal δομών όπως και τα 2 προηγούμενα μοντέλα [12]. Θεωρώντας την πιθανότητα επιλογής του επόμενου σημείου ανάλογη της πεδιακής έντασης σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση p~e η (3.9) και εισάγοντας αντίστοιχες παραμέτρους όπως και στο μοντέλο των Wiesmann-Zeller όσον αφορά την κρίσιμη τιμή πεδίου E cr και την εσωτερική πεδιακή ένταση E ch, οι συγγραφείς ανέπτυξαν το μοντέλο, το εφάρμοσαν για διάφορες διαστάσεις κτιρίου άλλα και απόστασης από το σημείο έναυσης του κεραυνικού πλήγματος και συνεπώς εξήγαγαν συμπεράσματα για την πιθανότητα πρόσκρουσης κεραυνικού πλήγματος στο κτίριο ή και στο έδαφος και από ποιους παράγοντες αυτή επηρεάζεται. Μία καινοτομία του μοντέλου αυτού ήταν ότι χρησιμοποιήθηκε τρισδιάστατος χώρος στις προσομοιώσεις για αποτελέσματα πιο κοντά σε πραγματικά δεδομένα. Τέλος, οπτικά ένα αποτέλεσμα προσομοίωσης αυτού του μοντέλου παρουσιάζεται στο ακόλουθο σχήμα (σχ. 3.14) [12]: Σχήμα 3.14: Αποτέλεσμα προσομοίωσης μοντέλου Petrov-Petrova-D Alessandro [12]. 21

28 3.3.4 Μοντέλο των Li-Yang-Sima-Sun-Yuan-Zahn [13] Το μοντέλο αυτό αναπτύχθηκε το 2011 από μία ερευνητική ομάδα στην Κίνα αποτελούμενη από τους Jianbiao Li, Qing Yang, Wenxia Sima, Caixin Sun, Tao Yuan και Markus Zahn και αφορά την μελέτη κεραυνικών πληγμάτων σε γραμμές μεταφοράς και πως οι διάφοροι παράμετροι του μοντέλου αλλά και η γεωμετρία του πυλώνα επηρεάζει την πιθανότητα πρόσκρουσης. Ο χώρος που χρησιμοποιήθηκε για την εξέλιξη του φαινομένου ήταν τρισδιάστατος και προσομοιώθηκε επίσης η επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων από διάφορα σημεία μιας γραμμής μεταφοράς καθώς και ο μηχανισμός για να εκκινήσουν αυτές [13]. Μία ακόμα παράμετρος του συγκεκριμένου μοντέλου είναι το γεγονός ότι λαμβάνει υπόψη την χωρική κατανομή του φορτίου και συνεπώς προτείνει διαφορετικές εκφράσεις για το φορτίο του κύριου καναλιού και για αυτό των διακλαδώσεων. Η πιθανότητα επιλογής του επόμενου σημείου του κεραυνικού πλήγματος δίνεται από τη σχέση p(p, P ) = 0, { p(p, P ) = ( E(P,P ) E B ) H N i=1( E(P,P ) E B ) H E(P, P ) < E B, E(P, P ) E B (3.10) Παρακάτω παρατίθενται δύο σχήματα από τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων του μοντέλου [13]: Σχήμα 3.15: Επίδραση της παραμέτρου Η στην fractal διάσταση D b [13]. 22

29 Σχήμα 3.16: Αποτέλεσμα προσομοίωσης κεραυνικού πλήγματος σε γραμμή μεταφοράς [13]. 4. Στοχαστικό μοντέλο προσομοίωσης ηλεκτρικών εκκενώσεων 4.1 Περιγραφή κύριου αλγορίθμου Το στοχαστικό μοντέλο που αναπτύχθηκε στην παρούσα διπλωματική εργασία βασίζεται στο μοντέλο DBM (Dielectric Breakdown Model) που δημιουργήθηκε από τους Niemeyer, Pietronero, Wiesmann και περιεγράφηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Βέβαια υπάρχουν αρκετές διαφοροποιήσεις και έχουν προστεθεί κατάλληλες παράμετροι από άλλα μοντέλα της διεθνούς βιβλιογραφίας με σκοπό την όσο το δυνατόν καλύτερη απόκριση του. Αρχικά ο χώρος διακριτοποιήθηκε σε ένα δισδιάστατο πλέγμα, απόστασης μεταξύ γειτονικών σημείων ίση με 1 και ο συνολικός αριθμός των σημείων του πλέγματος επιλέχθηκε ανάλογα με την εκάστοτε προσομοίωση έτσι ώστε να εξάγονται όσο το δυνατόν καλύτερα και πιο κοντά στην πραγματικότητα αποτελέσματα. Το κάθε σημείο του επιπέδου χαρακτηρίζεται από την τιμή του δυναμικού του φ η οποία και προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης του Laplace 2 φ = 0 (4.1) σε κάθε βήμα επανάληψης του αλγορίθμου ακολουθώντας την παρακάτω μεθοδολογία. Σύμφωνα με τη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων αποδεικνύεται [14], ότι η εξίσωση του Laplace σε ένα δισδιάστατο χώρο διακριτοποιημένο όπως περιεγράφηκε παραπάνω μπορεί να γραφτεί και στην πιο απλή της μορφή 23

30 φ i,j = 1 4 (φ i+1,j + φ i 1,j + φ i,j+1 + φ i,j 1 ) (4.2) γνωστή και ως διακριτή εξίσωση Laplace, η λύση της οποίας δίνει για δεδομένες αρχικές συνθήκες το δυναμικό σε κάθε σημείο του επιπέδου (i,j) ως το μέσο όρο των δυναμικών των γειτονικών του σημείων. Συνεπώς για την επίλυση της εξ. 4.2 και τον υπολογισμό των δυναμικών σε κάθε σημείο του επιπέδου υλοποιήθηκε μία συνάρτηση στο λογισμικό MATLAB η οποία δέχεται ως είσοδο έναν δισδιάστατο πίνακα με τις αρχικές τιμές των δυναμικών για κάθε σημείο και υπολογίζει την εξ. 4.2 χρησιμοποιώντας μία επαναληπτική μέθοδο έως ότου ο αλγόριθμος συγκλίνει κάτω από μία δοσμένη μικρή τιμή η οποία τίθεται ως το 1% της μέγιστης τιμής δυναμικού του εκάστοτε προβλήματος. Ως αρχικές συνθήκες ορίζονται οι εκάστοτε οριακές συνθήκες της γεωμετρίας του προβλήματος καθώς και το δυναμικό των σημείων που αποτελούν μέλος της ηλεκτρικής εκκένωσης, οι οποίες αρχικές συνθήκες παραμένουν σταθερές κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης και με βάση αυτές κάθε φορά ως είσοδο υπολογίζονται τα δυναμικά στα υπόλοιπα σημεία του επιπέδου. Δεδομένου των επιλεγμένων αρχικών συνθηκών όπως αναλύθηκε προηγουμένως δεν είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψιν το χωρικό φορτίο των σημείων του επιπέδου καθώς έχει συμπεριληφθεί η επίδραση του στις εκάστοτε αρχικές οριακές συνθήκες και συνεπώς η εξίσωση του Poisson ανάγεται σε αυτή του Laplace [15]. Μία τυπική απεικόνιση του πλέγματος στην αρχική του κατάσταση απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα (σχ. 4.1) Σχήμα 4.1: Τυπική απεικόνιση δισδιάστατου πλέγματος προσομοιώσεων [17]. όπου τα μαύρα και γκρι διαβαθμισμένα κυκλάκια αντιστοιχούν στις αρχικές συνθήκες του προβλήματος και έχουν διαφορετική τιμή δυναμικού ανάλογα με το υπό εξέταση πρόβλημα, ενώ τα άσπρα κυκλάκια τα σημεία του επιπέδου των οποίων το δυναμικό υπολογίζεται επαναληπτικά σε κάθε βήμα του αλγορίθμου. Με μαύρη συνεχή γραμμή συμβολίζεται το τμήμα της εκκένωσης που ενώνει 2 σημεία του επιπέδου ενώ η διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί σε όλα τα πιθανά σημεία P γύρω από ένα σημείο P 24

31 που είναι ήδη μέλος του καναλιού και ένα από τα οποία επιλέγεται σε κάθε επανάληψη σύμφωνα με τον αλγόριθμο που περιγράφεται παρακάτω. Έστω ένα σημείο P με συντεταγμένες (i,j ) το οποίο δεν ανήκει στο κανάλι της εκκένωσης αλλά βρίσκεται γειτονικά αυτού και επίσης σημείο P με συντεταγμένες (i,j) το οποίο είναι μέρος του καναλιού. Το σύνολο των πιθανών γειτονικών σημείων P γύρω από ένα σημείο τέτοιου είδους P για ένα δισδιάστατο χώρο είναι 8. Στη συνέχεια, υπολογίζεται η μέση ηλεκτρική πεδιακή ένταση μεταξύ των σημείων P και P η οποία δίνεται από την σχέση: E P P = φ P φ P d P P (4.3), όπου d P P η απόσταση μεταξύ των σημείων P και P, η οποία είναι ίση με την τιμή της διακριτοποίησης του πλέγματος που χρησιμοποιήθηκε και έχει τιμή 1 για τα οριζόντια και κατακόρυφα σημεία και 2 για τα διαγώνια σημεία. Ο χαρακτηρισμός ενός σημείου από το σύνολο των 8 γειτονικών ως πιθανού έγκειται σε 2 προϋποθέσεις. Θα πρέπει η τιμή της μέσης πεδιακής έντασης να είναι μεγαλύτερη ή και ίση από την τιμή πεδιακής έντασης E cr, η οποία εκφράζει την κρίσιμη τιμή διάδοσης μιας κατερχόμενης εκκένωσης και έχει κατάλληλη τιμή ανάλογα με την προσομοίωση. Επίσης, σύμφωνα με την βιβλιογραφία σημεία που αποτελούν ήδη μέλη του καναλιού δεν δύναται να αποτελούν επόμενα πιθανά σημεία όπως και απαγορεύονται οι διασταυρώσεις μεταξύ τμημάτων της εκκένωσης [15]. Στο επόμενο βήμα του αλγορίθμου υπολογίζεται η πιθανότητα ενός σημείου P να γίνει μέρος της εκκένωσης η οποία δίνεται από την σχέση p(p, P ) = 0, { p(p, P ) = ( E P P) η N i=1( E P P ) η E P P < E cr (4.4), E P P E cr, όπου η παράμετρος η είναι ένας δείκτης που περιγράφει την εξάρτηση μεταξύ του τοπικού πεδίου και της πιθανότητας διάδοσης (development probability index). Ο παρονομαστής της εξ. 4.4 αφορά όλους τους πιθανούς συνδυασμούς σημείων-μελών της εκκένωσης και γειτονικών-πιθανών σημείων, όπου το i=1 Ν εκφράζει το σύνολο των πιθανών αυτών σημείων. Στη συνέχεια, ο μηχανισμός επιλογής του ενός σημείου σε κάθε επανάληψη που θα προστεθεί στο κανάλι είναι ο ακόλουθος. Έστω ότι από όλα τα σημεία που αποτελούν το κανάλι της ηλεκτρικής εκκένωσης μόνο τρία είναι τα πιθανά (ο αριθμός αυτός των πιθανών σημείων είναι ενδεικτικός έτσι ώστε να είναι πιο εύκολη η επεξήγηση και η οπτική παρουσίαση). Στα τρία αυτά σημεία αντιστοιχούν 3 πιθανότητες διάδοσης οι οποίες μάλιστα έχουν κανονικοποιηθεί εφόσον έχουν διαιρεθεί στην εξ. 4.4 για το σύνολο των σημείων της εκκένωσης. Συνεπώς προκύπτει μία αθροιστική κατανομή πιθανότητας από το σύνολο των 3 αυτών πιθανοτήτων η οποία και έχει εύρος από 0 μέχρι 1. Στο επόμενο βήμα επιλέγεται ένας τυχαίος αριθμός m μέσω μίας ομοιόμορφης κατανομής στο ίδιο διάστημα (0,1). Ο αριθμός αυτός 25

32 συγκρίνεται με την αθροιστική κατανομή πιθανότητας του προηγούμενου βήματος και ανάλογα με το διάστημα στο οποίο ανήκει επιλέγεται το επόμενο σημείο, το οποίο ενώνεται με το αντίστοιχο γειτονικό του και αποτελεί πλέον καινούργιο μέλος του καναλιού της εκκένωσης. Στο παρακάτω σχήμα (σχ. 4.2) παρουσιάζεται οπτικά το παραπάνω παράδειγμα έτσι ώστε να γίνει καλύτερα κατανοητό [16]. Σχήμα 4.2: Σχηματική απεικόνιση του αλγόριθμου επιλογής επόμενου πιθανού σημείου [16]. Εδώ αξίζει να τονιστούν δύο σημεία. Τα μέγεθος των διαστημάτων ανάμεσα στις πιθανότητες των σημείων της παραπάνω αθροιστικής κατανομής πιθανότητας εκφράζουν την πιθανότητα της εξ. 4.4 για το κάθε σημείο για αυτό και ο τυχαίος αριθμός ανάλογα σε ποιο διάστημα ανήκει δίνει το επόμενο επιλεχθέν σημείο της εκκένωσης όπως φαίνεται και από το σχ Επίσης από την εξ.4.4 γίνεται φανερός ο τρόπος με τον οποίο το συγκεκριμένο μοντέλο συνδυάζει στοχαστικότητα και ντετερμινιστικότητα. Έτσι η πιθανότητα διάδοσης εξαρτάται από την πεδιακή ένταση των σημείων, συνεπώς σημεία με μεγαλύτερο δυναμικό θα έχουν και μεγαλύτερη πιθανότητα επιλογής. Ταυτόχρονα με τον μηχανισμό της αθροιστικής κατανομής και τον τυχαίο αριθμό που παράγεται εισάγεται η στοχαστικότητα στο φαινόμενο και έτσι το μοντέλο ανταποκρίνεται σωστότερα στις πραγματικές συνθήκες. Εφόσον έχει επιλεχθεί το επόμενο σημείο που θα προστεθεί στο κανάλι της ηλεκτρικής εκκένωσης το δυναμικό του αναβαθμίζεται σύμφωνα με την παρακάτω εξίσωση και παραμένει σταθερό με αυτήν την τιμή για όλες τις ακόλουθες επαναλήψεις του αλγορίθμου. φ P = V 0 s E ch (4.5) Ως V 0 ορίζεται η αρχική τιμή του δυναμικού που έχει οριστεί στην αρχή του προβλήματος ως η εκάστοτε οριακή συνθήκη. Η παράμετρος s είναι η απόσταση του επιλεχθέντος σημείου από το σημείο έναυσης της προσομοίωσης και η οποία προκύπτει από άθροιση των επιμέρους διακριτών βημάτων-αποστάσεων από το αρχικό σημείο μέχρι το σημείο P. Τέλος, εισάγεται και μία παράμετρος E ch η οποία εκφράζει την εσωτερική πεδιακή ένταση κατά μήκος ενός βήματος του καναλιού και αντιστοιχεί ουσιαστικά σε μία πτώση τάσης κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Η τιμή της παραμέτρου E ch σε ορισμένες από τις προσομοιώσεις που θα παρουσιαστούν στο επόμενο κεφάλαιο έχει τιμή ίση με το 0 και έτσι κάθε σημείο του καναλιού έχει δυναμικό ίσο με το 26

33 δυναμικό αναφοράς V 0 και σε άλλες επιλέγεται να έχει τιμή διάφορη του μηδενός έτσι ώστε το δυναμικό να μειώνεται κατά μήκος του καναλιού. Αφού έχει επιλεχθεί το επόμενο σημείο και έχει αναβαθμιστεί το δυναμικό του καλείται ξανά η συνάρτηση υπολογισμού των δυναμικών στα υπόλοιπα σημεία του επιπέδου που περιεγράφηκε παραπάνω λαμβάνοντας υπόψιν ως σταθερά δυναμικά, τα δυναμικά των σημείων του καναλιού και τι οριακές συνθήκες. Συνεπώς, το δυναμικό των σημείων του επιπέδου αλλάζει σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου ανάλογα με το επιλεχθέν σημείο και οι τιμές αυτές επηρεάζουν αλυσιδωτά την επιλογή του επόμενου σημείου αφού το δυναμικό και κατ επέκταση η πεδιακή ένταση έχουν άμεση σχέση με την πιθανότητα διάδοσης μέσω της εξ Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν η εκκένωση φτάσει στο κάτω άκρο του πλέγματος όποτε και το διάκενο έχει διασπαστεί ή όταν κανένα πιθανό σημείο δεν ικανοποιεί την ανίσωση E P P E cr, οπότε και η προσομοίωση τερματίζει και το αποτέλεσμα δείχνει το σημείο μέχρι το οποίο έχει φτάσει η εκκένωση. Η όλη παραπάνω ανάλυση αφορά την προσομοίωση κατερχόμενων εκκενώσεων με σκοπό τη σταδιακή δημιουργία του καναλιού της ηλεκτρικής εκκένωσης. Σε πλήρη αντιστοιχία με τη συνάρτηση που υλοποιήθηκε για την προσομοίωση αυτή, δημιουργήθηκε ακόμα μία συνάρτηση για την προσομοίωση αυτή την φορά ανερχόμενων εκκενώσεων καθώς σε ορισμένες προσομοιώσεις κρίνεται επιτακτική η προσομοίωσή τους και η μελέτη της επίδρασης τους στην εξέλιξη του συνολικού φαινομένου. Ο αλγόριθμος προσομοίωσης τους είναι ο ίδιος με αυτόν που περιεγράφηκε μέχρι το σημείο αυτό με τις εξής διαφορές και προσθήκες. Η πρώτη διαφοροποίηση έγκειται στο γεγονός ότι η ταχύτητα των ανερχόμενων εκκενώσεων είναι διαφορετική από αυτή των κατερχόμενων κάτι που πρέπει να ληφθεί υπόψιν στον αλγόριθμο. Έτσι η ταχύτητα των ανερχόμενων εκκενώσεων θεωρήθηκε ως το 1 3 αυτής των κατερχόμενων [15]. Το παραπάνω υλοποιήθηκε αλγοριθμικά θεωρώντας πως κάθε βήμα εξέλιξης μιας ανερχόμενης εκκένωσης πραγματοποιείται μετά από κάθε τρία βήματα της αντίστοιχης κατερχόμενης εκκένωσης του προβλήματος. Η επιλογή αυτή της ταχύτητας των ανερχόμενων εκκενώσεων μπορεί να θεωρηθεί ως παράμετρος του μοντέλου και η τιμή της μπορεί να διερευνηθεί ανάλογα με την εκάστοτε βιβλιογραφία. Επίσης, η επιλογή της ταχύτητας των ανερχόμενων εκκενώσεων ως παραμέτρου μπορεί να γίνει στη βάση πειραματικών δεδομένων. Η επόμενη προσθήκη αφορά την διαδικασία έναυσης ενός ανερχόμενου λήντερ. Χρησιμοποιήθηκε μία παράμετρος πεδιακής έντασης E break την οποία πρέπει να υπερβαίνει η μέση πεδιακή ένταση των σημείων του άκρου του πλέγματος έτσι ώστε να μπορεί να εκκινήσει από αυτά μια ανερχόμενη εκκένωση. Η τιμή αυτή του E break επιλέγεται κατάλληλα σε κάθε προσομοίωση έτσι ώστε το ύψος από το κάτω άκρο που έχει φτάσει το κατώτερο άκρο της κατερχόμενης εκκένωσης να είναι σε λογικά πλαίσια σύμφωνα με την βιβλιογραφία [17]. Φυσικά η τιμή αυτή της παραμέτρου E break μπορεί να επιλεγεί ως ένα φυσικό κριτήριο όπως για παράδειγμα με βάση το κριτήριο του Peek ή μέσω πειραματικών δοκιμών. Να τονιστεί εδώ ότι η παράμετρος αυτή αφορά μόνο την έναυση ενώ μετά παύει να ισχύει και οι κανόνες που διέπουν την εξέλιξη της ανερχόμενης εκκένωσης είναι ίδιοι με αυτήν της κατερχόμενης όπως παρουσιάστηκαν παραπάνω. Σε κάθε βήμα του αλγορίθμου σκανάρονται τα σημεία του κάτω άκρου του πλέγματος και όταν ικανοποιήσουν την συνθήκη E P P E break τότε μια ανερχόμενη εκκένωση από το σημείο δύναται να εκκινήσει. 27

34 Το σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζει την εξέλιξη του φαινομένου σε αντιστοιχία με το σχ υπό την παρουσία και ανερχομένων εκκενώσεων. Να σημειωθεί ότι τα σχήματα αυτά δεν αποτελούν αποτέλεσμα κάποιας προσομοίωσης άλλα συμπεριλαμβάνονται για λόγους καλύτερης κατανόησης του προβλήματος και της εξέλιξής του. Σχήμα 4.3: Σχηματική αναπαράσταση του τρόπου εξέλιξης κατερχόμενων και ανερχόμενων εκκενώσεων [17]. Τέλος, ο αλγόριθμος που περιεγράφηκε παραπάνω στην απλούστερη μορφή του χωρίς δηλαδή να ληφθούν υπόψιν οι ανερχόμενες εκκενώσεις παρουσιάζεται σχηματικά στο ακόλουθο διάγραμμα ροής : 28

35 Σχήμα 4.4: Διάγραμμα ροής που παρουσιάζει τα βήματα του αλγορίθμου που χρησιμοποιείται στις προσομοιώσεις. 29

36 4.2 Περιγραφή αλγορίθμου υπολογισμού της fractal διάστασης Ο υπολογισμός της fractal διάστασης είναι ένα πολύ σημαντικό και χρήσιμο στοιχείο για όλα τα στοχαστικά μοντέλα που έχουν αναπτυχθεί έως και σήμερα καθώς μέσω αυτής μπορούν να εξαχθούν χρήσιμα συμπεράσματα όσον αφορά την απόκριση του μοντέλου σε μεταβολές διαφόρων παραμέτρων του άλλα και την εγκυρότητά του. Συνεπώς, έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι υπολογισμού της fractal διάστασης των αποτελεσμάτων προσομοιώσεων ηλεκτρικών εκκενώσεων, η οποία στη συνέχεια συγκρίνεται με την fractal διάσταση πραγματικών πειραματικών αποτελεσμάτων ή ακόμα και φωτογραφιών πραγματικών φαινομένων εκκενώσεων όπως για παράδειγμα κεραυνών, μέσω διαφόρων τεχνικών ανάλυσης και επεξεργασίας των φωτογραφιών αυτών. Δεν υπάρχει κάποιο κριτήριο για την θεώρηση κάποιας μεθόδου υπολογισμού της fractal διάστασης ως πιο ορθής ανάλογα με την εκάστοτε προσομοίωση και συνεπώς η επιλογή αφήνεται στην κρίση του κάθε ερευνητή. Οι πιο γνωστές και διαδομένες μέθοδοι είναι οι εξής [18]: Box Counting Method Correlation Method Time-dependent Methods Στην παρούσα διπλωματική εργασία επιλέχθηκε η Box Counting Method λόγω της σχετικής ακρίβειας της άλλα και της ευκολίας υλοποίησης της στο λογισμικό MATLAB. Η διαδικασία που ακολουθείται στην μέθοδο αυτή για τον υπολογισμό της fractal διάστασης είναι η ακόλουθη. Αρχικά, καλύπτεται το αποτέλεσμα της προσομοίωσης της ηλεκτρικής εκκένωσης από κουτιά βασικού σχήματος στην περίπτωση μας από τετράγωνα πλευράς r και υπολογίζεται ο αριθμός των τετραγώνων που περιέχουν μέσα τους τμήμα της εκκένωσης. Στη συνέχεια ολοένα και αυξάνεται ο αριθμός των τετραγώνων που καλύπτουν την προσομοίωση μειώνοντας την πλευρά r και υπολογίζεται εκ νέου ο αριθμός των τετραγώνων N(r). Ο ορισμός της fractal διάστασης είναι ο εξής : ln[ N(r)] D f = lim( r 0 ln( 1 ) r ) (4.6) Όπως παρατηρείται από την εξ. 4.6 η μέθοδος πρέπει να ικανοποιεί την αναλογία N(r)~ r D f όπου N(r) ο αριθμός των καλυπτόμενων κουτιών μετρημένα σε κλίμακα r και Df είναι η fractal διάσταση. Κατασκευάζουμε έπειτα το λογαριθμικό διάγραμμα N(r) - r και η κλίση της ευθείας που προκύπτει μας δίνει την fractal διάσταση Df. Ένα παράδειγμα υλοποίησης της Box Counting μεθόδου δίνεται στα παρακάτω σχήματα (σχ. 4.4, 4.5) [7] που απεικονίζουν την διαδικασία αλλά και το λογαριθμικό διάγραμμα με βάση το οποίο υπολογίζεται η fractal διάσταση. 30

37 Σχήμα 4.5: Σχηματική αναπαράσταση επικάλυψης μιας φωτογραφίας μέσω τετραγώνων Ν μειούμενης πλευράς r [7]. Σχήμα 4.6: Λογαριθμικό διάγραμμα N(r)-r, η κλίση εκφράζει την ζητούμενη fractal διάσταση [7]. Στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας για τον υπολογισμό της fractal διάστασης χρησιμοποιήθηκε ένας αλγόριθμος στο λογισμικό MATLAB. Ο αλγόριθμος αυτός δέχεται ως είσοδο μία εικόνα 1024x1024 του αποτελέσματος της προσομοίωσης της ηλεκτρικής εκκένωσης και αρχικά την μετατρέπει σε ασπρόμαυρη εικόνα. Στη συνέχεια, η εικόνα χωρίζεται σε συνεχώς αυξανόμενα στον αριθμό κουτάκια όπως περιεγράφηκε παραπάνω και κάθε φορά υπολογίζεται ο αριθμός των τετραγώνων που περιέχουν τμήμα της ηλεκτρικής εκκένωσης. Τέλος, αναπαρίσταται γραφικά η σχέση μεταξύ ln[n(r)] - ln(r) και μέσω της εντολής polyfit του MATLAB υπολογίζεται η κλίση της γραφικής παράστασης η οποία ισοδυναμεί στην ζητούμενη fractal διάσταση. 31

38 5. Αποτελέσματα προσομοιώσεων Συμπεράσματα 5.1 Αποτελέσματα προσομοιώσεων κεραυνικού πλήγματος Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου έγιναν προσομοιώσεις κεραυνικών πληγμάτων με την χρήση του στοχαστικού μοντέλου που αναπτύχθηκε και περιεγράφηκε προηγουμένως. Τροποποιήθηκαν κατάλληλα οι παράμετροι του μοντέλου ανάλογα με την εκάστοτε περίπτωση έτσι ώστε τα αποτελέσματα να είναι σε ικανοποιητική συμφωνία με αντίστοιχες προσομοιώσεις της διεθνούς βιβλιογραφίας. Πιο συγκεκριμένα υπολογίσθηκε η fractal διάσταση για διάφορες τιμές της παραμέτρου η της εξ. 4.4 και παρουσιάζεται γραφικά η απόκριση του μοντέλου στη μεταβολή αυτή. Επίσης, έγιναν προσομοιώσεις λαμβάνοντας υπόψιν τις ανερχόμενες εκκενώσεις και πως αυτές επηρεάζουν την fractal διάσταση καθώς και πως μεταβάλλεται το ύψος από το έδαφος του κατώτερου σημείου της κατερχόμενης εκκένωσης τη στιγμή που εκκινεί μία ανερχόμενη ανάλογα με τη μεταβολή της παραμέτρου Ebreak. Τέλος, μελετήθηκε η απόκριση του μοντέλου στην παρουσία αντικειμένων, διαφορετικών υψών και σε διαφορετική θέση και εξήχθησαν πολύ χρήσιμα συμπεράσματα που ταυτίζονται με αντίστοιχες μεταβολές σε πραγματικές συνθήκες ενός κεραυνικού πλήγματος Υπολογισμός fractal διάστασης Df προσομοιώσεων κεραυνικού πλήγματος Για τον υπολογισμό της fractal διάστασης των αποτελεσμάτων προσομοιώσεων κεραυνικών πληγμάτων χρησιμοποιήθηκε ο δισδιάστατος χώρος που περιεγράφηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο και οι υπολογισμοί έγιναν για διάφορες διακριτοποιήσεις. Χρησιμοποιήθηκε πλέγμα όπως αυτό του σχ. 4.1 με την πάνω γραμμή να αντιστοιχεί στο κατώτερο επίπεδο ενός σύννεφου και η οποία βρίσκεται σε δυναμικό φ = 1. Αντίστοιχα η κάτω γραμμή, αντιστοιχεί στο επίπεδο του εδάφους με αρχική οριακή συνθήκη φ = 0. Στο σημείο αυτό αξίζει να τονιστούν δύο σημεία. Πρώτον, οι τιμές που επιλέχθηκαν για την πάνω και κάτω γραμμή είναι τυπικές τιμές (τιμές βάσης), οι οποίες επιλέγονται για ταχύτητα στην επίλυση του προβλήματος και δεν αντιστοιχούν σε πραγματικές τιμές τάσης, όμως μπορούν να αναχθούν στις αντίστοιχες πραγματικές μέσω μιας απλής αναλογίας. Επίσης, στις προσομοιώσεις που πραγματοποιήθηκαν στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής θεωρείται ότι ικανοποιούνται όλες οι συνθήκες για την έναυση και την πλήρη εξέλιξη ενός κεραυνικού πλήγματος χωρίς αυτό να τερματίζει, συνεπώς επιλέγονται κατάλληλα οι τιμές των παραμέτρων. Πιο συγκεκριμένα, για τιμή τάσης του πάνω επιπέδου σύννεφου φ = V 0 = 1 επιλέγεται μηδενική εσωτερική πεδιακή ένταση του κάθε τμήματος της εκκένωσης E ch = 0, έτσι ώστε το φαινόμενο να εξελίσσεται μέχρι τέλους με αποτέλεσμα η τιμή του δυναμικού σε κάθε σημείο της εκκένωσης να είναι ίση με φ = V 0 = 1 λόγω της εξ Επιπρόσθετα, οι προσομοιώσεις έλαβαν χώρα για τιμές κρίσιμου πεδίου E cr και μηδέν άλλα και διάφορη του μηδενός με σκοπό την σύγκριση των αποτελεσμάτων. 32

39 Στόχος είναι η σωστή απόκριση του μοντέλου αλλά και η εξαγωγή αποτελεσμάτων σε ικανοποιητική συμφωνία με την βιβλιογραφία και τις πραγματικές συνθήκες εξέλιξης του φαινομένου. Ο υπολογισμός της fractal διάστασης έγινε για διάφορες τιμές της παραμέτρου η η οποία επηρεάζει τη σχέση μεταξύ ηλεκτρικού πεδίου και πιθανότητας επιλογής του επόμενου σημείου μέσω της εξ Τα αποτελέσματα των παραγόμενων γραφημάτων συνοψίζονται στους παρακάτω πίνακες. Οι προσομοιώσεις έλαβαν χώρα για διαφορετικές διακριτοποιήσεις με διαφορετικό αριθμό σημείων του πλέγματος κάθε φορά έτσι ώστε να γίνουν οι απαραίτητες συγκρίσεις. Τέλος, λόγω της στοχαστικότητας που εισάγει το μοντέλο έγιναν 10 επαναλήψεις για κάθε τιμή της παραμέτρου η και υπολογίστηκε η μέση τιμή D f καθώς και η τυπική απόκλιση. 101x101 lattice units η Df Τυπική Απόκλιση 0,5 1,4622 0,0056 0,8 1,3798 0, ,3343 0,0114 1,3 1,2791 0,0205 1,5 1,2366 0,0185 1,7 1,2135 0, ,18 0,0232 2,3 1,1553 0,0137 2,5 1,1473 0,0221 2,7 1,1279 0, ,1169 0,0263 3,3 1,1177 0,0220 3,5 1,1049 0, ,0739 0, x101 lattice units η Df Τυπική Απόκλιση 0,5 1,5070 0,0131 0,8 1,3997 0, ,3272 0,0142 1,3 1,2573 0,0300 1,5 1,2336 0,0222 1,7 1,2 0, ,1585 0,0196 2,3 1,1308 0,0263 2,5 1,1175 0,0257 2,7 1,0922 0, ,0916 0,0211 3,3 1,0662 0,0341 3,5 1,0370 0, ,0378 0,0466 Πίνακας 5.1 Πίνακας

40 51x51 lattice units η Df Τυπική Απόκλιση 0,1 1,4836 0,0092 0,3 1,4059 0,0135 0,5 1,34 0,0137 0,8 1,2819 0, ,2394 0,0153 1,3 1,2078 0,0251 1,5 1,1641 0,0203 1,7 1,1493 0, ,1252 0,0255 2,3 1,1175 0,0227 2,5 1,1025 0,0194 2,7 1,1074 0, ,0748 0,0190 3,3 1,0701 0,0259 3,5 1,0644 0, ,0555 0,0268 Πίνακας 5.3 Τα παραπάνω αποτελέσματα των πινάκων συνοψίζονται στο παρακάτω σχήμα (σχ. 5.1) για τρία διαφορετικά είδη διακριτοποιήσεων. Επίσης, τα αποτελέσματα για τη διακριτοποίηση 201x101 lattice units προσεγγίστηκαν μέσω ενός basic fitting πολυωνύμου τρίτου βαθμού με την αντίστοιχη εξίσωση να παρουσιάζεται στο παρακάτω διάγραμμα. Αξίζει να σημειωθεί πως αντίστοιχες τριτοβάθμιες σχέσεις προσεγγίζουν αρκετά ικανοποιητικά και τα αποτελέσματα των άλλων δύο διακριτοποιήσεων. Σχήμα 5.1: Αποτελέσματα fractal διάστασης συναρτήσει της παραμέτρου η για διαφορετικά είδη διακριτοποιήσεων. 34

41 Τα παραπάνω αποτελέσματα αφορούν προσομοιώσεις που έγιναν για τιμή κρίσιμης πεδιακής έντασης E cr = 0. Οι διακριτοποιήσεις που δοκιμάστηκαν θεωρήθηκαν αποδεκτές εξαιτίας του γεγονότος ότι τα μέσα βήματα ενός κατερχόμενου λήντερ στην περίπτωση κεραυνικού πλήγματος κυμαίνονται από m [2], συνεπώς ο αριθμός των σημείων που επιλέχθηκαν μπορεί να αντιστοιχεί σε πραγματικά δεδομένα. Από τους παραπάνω πίνακες αποτελεσμάτων και το συνολικό διάγραμμα της fractal διάστασης συναρτήσει της παραμέτρου η παρατηρείται ότι όσο μειώνεται ο αριθμός των σημείων του πλέγματος τότε έχουμε και αντίστοιχη μείωση στην fractal διάσταση για ίδια τιμή παραμέτρου η. Πρέπει να τονιστεί στο σημείο αυτό ότι η fractal διάσταση είναι ένα μέτρο του πόσο αποτελεσματικά καταλαμβάνει η προσομοίωση το χώρο. Έτσι το σημαντικότερο συμπέρασμα που μπορεί να εξαχθεί από τα παραπάνω αποτελέσματα είναι ότι όσο αυξάνεται η τιμή της παραμέτρου η μειώνεται η fractal διάσταση καθώς υπερισχύει ο ντετερμινιστικός χαρακτήρας του μοντέλου (η εκκένωση ακολουθεί κατά κύριο λόγο τα σημεία μέγιστου πεδίου τα οποία έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα) και παρατηρείται μικρός αριθμός διακλαδώσεων γύρω από ένα κύριο κανάλι όπως θα φανεί αργότερα και από τα γραφικά αποτελέσματα. Αντιθέτως, όσο μειώνεται η τιμή της παραμέτρου η αυξάνεται η fractal διάσταση και έτσι έχουμε έντονες διακλαδώσεις ταυτόχρονα με το κύριο κανάλι καθώς υπερισχύει η στοχαστικότητα του μοντέλου (σχεδόν όλα τα σημεία ισοπίθανα). Η κατάλληλη επιλογή της παραμέτρου η είναι συνεπώς πολύ σημαντική παράμετρος του στοχαστικού μοντέλου. Από αναλύσεις φωτογραφιών αληθινών κεραυνικών πληγμάτων έχουν παρατηρηθεί τιμές της fractal διάστασης από (1,1-1,4) [13] και η επιλογή του η γίνεται έτσι ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο αυτό. Από τον πίνακα 5.1 παρατηρούμε ότι αποδεκτές τιμές του η είναι από (0,8-3,3), από τον πίνακα 5.2 από (0,8-3) και τέλος από τον πίνακα 5.3 από (0,3-2,7). Με βάση τις τιμές αυτές και την σχετική βιβλιογραφία [15], [17] επιλέγεται διακριτοποίηση με αριθμό σημείων 201x101 για τα υπόλοιπα αποτελέσματα προσομοιώσεων καθώς οι υπολογισθείσες τιμές είναι πολύ κοντά σε αυτές της βιβλιογραφίας. Οπτικά τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων για διάφορες τιμές της παραμέτρου η απεικονίζονται παρακάτω με σκοπό να γίνει κατανοητή η μείωση της fractal διάστασης άρα και του αριθμού των διακλαδώσεων με την αύξηση του η. 35

42 η=1 Σχήμα 5.2: Αποτέλεσμα προσομοίωσης κατερχόμενης εκκένωσης για τιμή παραμέτρου η=1. η=2,5 Σχήμα 5.3: Αποτέλεσμα προσομοίωσης κατερχόμενης εκκένωσης για τιμή παραμέτρου η=2,5. 36

43 η=7 Σχήμα 5.4: Αποτέλεσμα προσομοίωσης κατερχόμενης εκκένωσης για τιμή παραμέτρου η=7. Τέλος παρόμοιες προσομοιώσεις επαναλήφθηκαν για συγκεκριμένες αποδεκτές τιμές της παραμέτρου η, για τιμή κρίσιμης πεδιακής έντασης διάφορης του μηδενός E cr = 0,01. Από τα αποτελέσματα του παρακάτω πίνακα παρατηρείται σε σύγκριση με τα ίδια δεδομένα του πίνακα 5.2 ότι η ύπαρξη του κρίσιμου πεδίου και συνεπώς μια πιθανή αύξησή του οδηγεί σε μείωση της fractal διάστασης καθώς λιγότερα σημεία ικανοποιούν την συνθήκη E P P E cr ώστε να μπορούν να θεωρηθούν ως επόμενα πιθανά σημεία της εκκένωσης. η Df Τυπική Df Τυπική Ecr=0 Απόκλιση Ecr=0,01 Απόκλιση 1 1,3272 0,0142 1,2799 0,0283 1,5 1,2336 0,0222 1,2041 0, ,1585 0,0196 1,1310 0,0265 2,5 1,1175 0,0257 1,1055 0, ,0916 0,0211 1,0612 0,0297 Πίνακας 5.4 Στο παρακάτω διάγραμμα παρατίθενται τα αποτελέσματα του πίνακα 5.4 για να γίνει κατανοητή η μείωση της fractal διάστασης στις δύο αυτές υπό εξέταση περιπτώσεις. 37

44 Σχήμα 5.5: Αποτελέσματα fractal διάστασης συναρτήσει της παραμέτρου η για δύο διαφορετικές τιμές της παραμέτρου E cr Επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων Οι επόμενες προσομοιώσεις που έλαβαν χώρα αφορούσαν την επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων στην εξέλιξη του φαινομένου καθώς και στην fractal διάσταση της προσομοίωσης. Η έναυση καθώς και η εξέλιξη των ανερχόμενων εκκενώσεων έγινε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που περιεγράφηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Όσον αφορά τις τιμές των παραμέτρων χρησιμοποιήθηκαν οι ίδιες όπως και στην περίπτωση των απλών κατερχόμενων εκκενώσεων με μόνη διαφορά την εισαγωγή της παραμέτρου E break η οποία τέθηκε σε τιμή κατάλληλη έτσι ώστε την στιγμή έναυσης μιας ανερχόμενης εκκένωσης, η αντίστοιχη κατερχόμενη να έχει φτάσει σε ύψος από το έδαφος αποδεκτό και σύμφωνα με την βιβλιογραφία [17]. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων που αφορούν τον υπολογισμό της fractal διάστασης ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου η παρουσιάζονται στους παρακάτω πίνακες καθώς και στο αντίστοιχο διάγραμμα. Τα αποτελέσματα για τη διακριτοποίηση 201x101 lattice units προσεγγίστηκαν μέσω ενός basic fitting πολυωνύμου τρίτου βαθμού με την αντίστοιχη εξίσωση να παρουσιάζεται στο παρακάτω διάγραμμα. Αξίζει να σημειωθεί πως αντίστοιχη τριτοβάθμια σχέση προσεγγίζει αρκετά ικανοποιητικά και τα αποτελέσματα της άλλης διακριτοποίησης. 38

45 201x101 lattice units Ebreak = 0,02 η Df Τυπική Απόκλιση 0,6 1,4388 0,0245 0,7 1,3987 0,0245 0,8 1,3764 0, ,3167 0,0189 1,3 1,2534 0,0293 1,5 1,2267 0,0163 1,7 1,1819 0, ,1566 0,0295 2,3 1,1353 0,0443 2,5 1,1212 0,0299 2,7 1,1015 0, ,0963 0,0336 3,3 1,0907 0,0208 3,5 1,0903 0, ,0612 0, x101 lattice units Ebreak = 0,03 η Df Τυπική Απόκλιση 0,6 1,4287 0,0192 0,7 1,4106 0,0116 0,8 1,3720 0, ,3322 0,0175 1,3 1,2671 0,0241 1,5 1,2351 0,0186 1,7 1,2223 0, ,1936 0,0194 2,3 1,1721 0,0216 2,5 1,1478 0,0281 2,7 1,1438 0, ,1332 0,015 3,3 1,1232 0,0182 3,5 1,1059 0, ,1044 0,0299 Πίνακας 5.5 Πίνακας 5.6 Σχήμα 5.6: Αποτελέσματα fractal διάστασης συναρτήσει της παραμέτρου η για διαφορετικά είδη διακριτοποιήσεων. Από τα παραπάνω αποτελέσματα παρατηρείται ότι και στην περίπτωση όπου λαμβάνουμε υπόψιν μας ανερχόμενες εκκενώσεις η fractal διάσταση μειώνεται καθώς αυξάνεται η τιμή του η. Υπενθυμίζεται ότι αυτό συμβαίνει διότι καθώς αυξάνεται η τιμή του η, υπερισχύει ο ντετερμινιστικός χαρακτήρας του μοντέλου έναντι του στοχαστικού και τα σημεία του κύριου καναλιού που χαρακτηρίζονται από μέγιστη πεδιακή ένταση έχουν και τη μεγαλύτερη πιθανότητα επιλογής. 39

46 Αντιθέτως, σε μικρές τιμές του η υπερισχύει ο στοχαστικός χαρακτήρας και όλα τα γειτονικά σημεία των σημείων της εκκένωσης έχουν σχεδόν ίδιες πιθανότητες να επιλεγούν με αποτέλεσμα η εκκένωση να παρουσιάζει πολλές διακλαδώσεις. Από τον πίνακα 5.5 παρατηρούμε ότι αποδεκτές τιμές του η ανήκουν στο εύρος από (0,7-3,3), ενώ από τον πίνακα 5.6 από (0,8-3,5) έτσι ώστε η fractal διάσταση να έχει τιμές από (1,1-1,4). Ακολουθούν σχηματικά 3 αποτελέσματα προσομοιώσεων για να επιβεβαιωθούν και οπτικά τα παραπάνω συμπεράσματα. η=1 Σχήμα 5.7: Αποτέλεσμα προσομοίωσης κατερχόμενης και ανερχόμενης εκκένωσης για τιμή παραμέτρου η=1. η=2,5 Σχήμα 5.8: Αποτέλεσμα προσομοίωσης κατερχόμενης και ανερχόμενης εκκένωσης για τιμή παραμέτρου η=2,5. 40

47 η=7 Σχήμα 5.9: Αποτέλεσμα προσομοίωσης κατερχόμενης και ανερχόμενης εκκένωσης για τιμή παραμέτρου η=7. Οι τελευταίες προσομοιώσεις αυτής της υποενότητας αφορούν την επίδραση της παραμέτρου E break στο ύψος του κατώτερου σημείου της κατερχόμενης εκκένωσης height ακριβώς τη χρονική στιγμή έναυσης της πρώτης ανερχόμενης εκκένωσης. Η ανάλυση αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς η τιμή της μεταβλητής height (μετρημένη σε lattice units) τη στιγμή έναυσης της ανερχόμενης εκκένωσης πρέπει να βρίσκεται σε ικανοποιητική συμφωνία με αντίστοιχα ύψη που έχουν παρατηρηθεί σε έρευνες τις βιβλιογραφίας για πραγματικά φαινόμενα κεραυνικού πλήγματος, κάτι το οποίο μπορεί να ρυθμιστεί αναλόγως στο μοντέλο αυτό μέσω της παραμέτρου E break. Η ανάλυση πραγματοποιήθηκε για 4 διαφορετικές τιμές της παραμέτρου η, οι οποίες δίνουν ικανοποιητική fractal διάσταση σύμφωνα με τον πίνακα 5.5 και πιο συγκεκριμένα για η=1, η=1,5, η=2, η=2,5 με την μέση τιμή και τυπική απόκλιση 10 επαναλήψεων να υπολογίζονται και τα αποτελέσματα συνοψίζονται στο παρακάτω πίνακα και στο αντίστοιχο διάγραμμα μεταβολής της μεταβλητής height συναρτήσει της E break. Και σε αυτή την περίπτωση, τα αποτελέσματα που είναι πολύ κοντά σε τιμές μεταξύ τους για τις διάφορες τιμές του η, προσεγγίστηκαν σε ικανοποιητικό βαθμό μέσω ενός basic fitting που περιγράφεται από μία πολυωνυμική εξίσωση πέμπτου βαθμού η οποία δίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. 41

48 201x201 lattice units η Ebreak height Τυπική Απόκλιση 1 0, , , , , , , , , , , , , ,7378 1,5 0, ,5270 1,5 0, ,0028 1,5 0, ,0593 1,5 0, ,5055 1,5 0, ,6325 1,5 0, ,8433 1,5 0, , , , , , , , , , , , , , , ,8233 2,5 0, ,3162 2,5 0, ,0111 2,5 0, ,0593 2,5 0, ,9189 2,5 0, ,9487 2,5 0, ,5270 2,5 0, ,8756 Πίνακας

49 Σχήμα 5.10: Αποτελέσματα παραμέτρου height συναρτήσει της παραμέτρου E break για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου η. Το γενικό συμπέρασμα που παρατηρείται από το παραπάνω διάγραμμα είναι ότι αύξηση της μεταβλητής E break οδηγεί σε μείωση του ύψους από το έδαφος height που πρέπει να φτάσει το κατώτερο σημείο της κατερχόμενης εκκένωσης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι καθώς αυξάνεται η τιμή του E break απαιτείται μεγαλύτερη τιμή πεδιακής έντασης μεταξύ 2 σημείων E P P έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη E P P E break και να μπορεί να εκκινήσει μία ανερχόμενη εκκένωση, κάτι το οποίο μπορεί να συμβεί καθώς πλησιάζει ολοένα και περισσότερο η κατερχόμενη εκκένωση το έδαφος και συνεπώς η τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γύρω από τα σημεία αυτά γίνεται συνεχώς μεγαλύτερη. Τέλος, αξίζει να αναφερθεί πως σε αντιστοιχία με την τιμή της τάσης φ = V 0 = 1 και οι τιμές των παραμέτρων E cr, E break είναι τυπικές τιμές βάσης που δεν αντιστοιχούν σε πραγματικές τιμές ηλεκτρικής πεδιακής έντασης αλλά να μπορούν να αναχθούν σε τέτοιες αντίστοιχα με την αναλογία που έχει θεωρηθεί για την μετατροπή του δυναμικού της πάνω πλάκας σε πραγματική τιμή και το μήκος που εκφράζει το κάθε ένα lattice unit, σε κάθε περίπτωση έτσι ώστε να εξασφαλίζεται πλήρη εξέλιξη του φαινομένου κεραυνικού πλήγματος και εν τέλει ένωση των άνω και κάτω επιπέδων. 43

50 5.1.3 Επίδραση αντικειμένων στην εξέλιξη του φαινομένου Στην τελευταία υποενότητα προσομοιώσεων κεραυνικού πλήγματος, μελετήθηκε η επίδραση αντικειμένων στην εξέλιξη του φαινομένου. Πιο συγκεκριμένα, τα αντικείμενα αυτά που βρίσκονται στο έδαφος (όπως για παράδειγμα κτιριακές εγκαταστάσεις, δέντρα) προσομοιώθηκαν ως ακίδες σε δυναμικό ίδιο με αυτό του εδάφους φ = 0. Θεωρώντας αυτές ως αρχικές οριακές συνθήκες του προβλήματος μελετήθηκε ο αριθμός κεραυνικών πληγμάτων στο αντικείμενο αυτό ή σε αντίθετη περίπτωση στο έδαφος. Οι προσομοιώσεις έλαβαν χώρα για δύο αποδεκτές τιμές της παραμέτρου η, θεωρώντας σταθερό το ύψος της ακίδας d (σε lattice units) και μεταβάλλοντας την οριζόντια απόσταση μεταξύ ακίδας και σημείου έναυσης κεραυνικού πλήγματος Da (σε lattice units) καθώς και για την αντίστροφη διαδικασία. Τέλος, οι προσομοιώσεις έγιναν για 2 περιπτώσεις. Αρχικά, θεωρώντας αμελητέα την επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων από την ακίδα και στη συνέχεια λαμβάνοντας υπόψιν και αυτή. Λόγω της έντονης στοχαστικότητας του φαινομένου έγιναν 20 επαναλήψεις για κάθε τιμή ζεύγους παραμέτρων και υπολογίστηκε η μέση τιμή του αριθμού των προσκρούσεων. Η προσομοίωση στο αρχικό της στάδιο απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα (σχ. 5.11) : Σχήμα 5.11: Σχηματική απεικόνιση αρχικού σταδίου προσομοιώσεων για την μελέτη της επίδρασης αντικειμένων στην εξέλιξη του κεραυνικού πλήγματος. 44

51 i) χωρίς την επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων Συγκεντρωτικός πίνακας αποτελεσμάτων: d=30=ct., η=1 (Df=1,32), η=2 (Df=1,15) η d Da No of strikes (out of 20 iter.) Probability of strike Ps (%) Πίνακας 5.8 Συγκεντρωτικός πίνακας αποτελεσμάτων: Da=40=ct., η=1 (Df=1,32), η=2 (Df=1,15) η d Da Πίνακας 5.9 No of strikes (out of 20 iter.) Probability of strike Ps (%)

52 Από τους παραπάνω πίνακες αποτελεσμάτων εξάγονται τα εξής δύο συμπεράσματα: για σταθερό ύψος αντικειμένου ίσο με d, παρατηρείται μείωση της πιθανότητας πρόσκρουσης του κεραυνικού πλήγματος στο αντικείμενο για αύξηση της οριζόντιας απόστασης μεταξύ του αντικειμένου και του σημείου έναυσης του κεραυνικού πλήγματος Da, καθώς όσο απομακρύνεται το αντικείμενο αυξάνεται η πιθανότητα πρόσκρουσης με το έδαφος. για σταθερή οριζόντια απόσταση Da, αύξηση του ύψους του αντικειμένου d έχει ως συνέπεια αύξηση και της πιθανότητας πρόσκρουσης του κεραυνικού πλήγματος στο αντικείμενο. Τα παραπάνω συμπεράσματα είναι σε απόλυτη συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα της βιβλιογραφίας [2] και είναι ιδιαίτερα σημαντικά καθώς δείχνουν την ορθή απόκριση του μοντέλου σε μεταβολές των διαφόρων παραμέτρων υπό την επίδραση αντικειμένων. Τα συμπεράσματα αυτά παρατηρούνται και σε πραγματικές συνθήκες κεραυνικών πληγμάτων, με τα ψηλότερα αντικείμενα καθώς και αυτά που βρίσκονται πιο κοντά στο σημείο έναυσης να έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα πρόσκρουσης από ένα κεραυνικό πλήγμα. Αντίστοιχες προσομοιώσεις έλαβαν χώρα και υπό την επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων οι οποίες εκκινούν από το αντικείμενο.. ii) υπό την επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων Συγκεντρωτικός πίνακας αποτελεσμάτων: d=30=ct., η=1 (Df=1,32), η=2 (Df=1,15), Ebreak=0,2 η d Da No of strikes (out of 20 iter.) Probability of strike Ps (%) Πίνακας

53 Συγκεντρωτικός πίνακας αποτελεσμάτων: Da=40=ct., η=1 (Df=1,32), η=2 (Df=1,15), Ebreak=0,2 η d Da Πίνακας 5.11 Από τα αποτελέσματα των πινάκων 5.10 και 5.11 μπορούν να εξαχθούν τα ίδια ακριβώς αποτελέσματα όπως και στις προηγούμενες προσομοιώσεις συνεπώς το μοντέλο αποκρίνεται σωστά και υπό την επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων από την ακίδα. Στα παρακάτω σχήματα παρουσιάζονται 2 προσομοιώσεις υπό την επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων, μία για πρόσκρουση στην ακίδα και μία για πρόσκρουση στο έδαφος με τις αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν. d=30=da., η=2, Ebreak=0,2 No of strikes (out of 20 iter.) Probability of strike Ps (%) Σχήμα 5.12: Αποτέλεσμα προσομοίωσης πρόσκρουσης στην ακίδα 47

54 d=30, Da=50, η=2, Ebreak=0,2 Σχήμα 5.13: Αποτέλεσμα προσομοίωσης πρόσκρουσης στο έδαφος 5.2 Προσομοιώσεις ηλεκτρικών διασπάσεων διακένων ακίδας-πλάκας Στην παρούσα υποενότητα το στοχαστικό μοντέλο που υλοποιήθηκε στα πλαίσια της διπλωματικής εργασίας τροποποιήθηκε έτσι ώστε να γίνουν προσομοιώσεις ηλεκτρικών εκκενώσεων σε διάκενα ακίδας-πλάκας. Πιο συγκεκριμένα αρχικά παρουσιάζονται οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν στο μοντέλο και στη συνέχεια εξάγονται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων τα οποία συγκρίνονται με πραγματικά πειραματικά δεδομένα ηλεκτρικών διασπάσεων ακίδας-πλάκας που έλαβαν χώρα στα πλαίσια διπλωματικής εργασίας που εκπονήθηκε στο εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης [19]. Η διακριτοποίηση που χρησιμοποιήθηκε είναι ίδια με τις προηγούμενες προσομοιώσεις και ίση με 201x101 lattice units. Στις προσομοιώσεις όμως αυτές τα διάκενα που μελετήθηκαν είναι 20, 30, 40 και 60 cm συνεπώς κάθε lattice unit θεωρείται ότι αντιπροσωπεύει 1 cm. Η διάταξη που χρησιμοποιήθηκε είναι μία άνω πλάκα με την ακίδα σε δυναμικό φ = V 0 και η κάτω πλάκα σε δυναμικό φ = 0. Η τιμή της τάσης που επιβάλλεται στο στοχαστικό αυτό μοντέλο αντιστοιχεί στην peak τιμή της κρουστικής υψηλής τάσης που εφαρμόστηκε στα εργαστηριακά πειράματα της βιβλιογραφίας [19], με αποτέλεσμα να γίνουν δύο ειδών προσομοιώσεις για θετική και αρνητική πολικότητα της επιβαλλόμενης τάσης. Σκοπός είναι το μοντέλο της παρούσας διπλωματικής να εξάγει αποτελέσματα σε ικανοποιητική συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα όσον αφορά την πιθανότητα διάσπασης του εκάστοτε διακένου καθώς και του εύρους τιμών τάσης για τις οποίες αυτή επιτυγχάνεται. Σύμφωνα με την διεθνή βιβλιογραφία [11], για να σταματήσει μία εκκένωση σε κάποιο σημείο του επιπέδου, το οποίο εκφράζεται ως τιμής επιβαλλόμενης τάσης μη επαρκής για διάσπαση του διακένου είναι απαραίτητη η εισαγωγή πέρα από την 48

55 κρίσιμη τιμή πεδιακής έντασης E cr και της εσωτερικής πεδιακής έντασης κάθε τμήματος του καναλιού E ch που αναλύθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Αυτό συμβαίνει διότι με τιμές E cr 0, E ch = 0 η εκκένωση είτε ξεκινάει και τερματίζει έως την κάτω πλάκα είτε δεν ξεκινάει καθόλου στην περίπτωση όπου το πεδίο την άκρη της ακίδας δεν ξεπερνά την τιμή αυτή του κρίσιμου πεδίου E cr. Έτσι εισάγοντας και την παράμετρο E ch που εκφράζει ουσιαστικά την πτώση τάσης κατά μήκος του καναλιού η εκκένωση μπορεί να σταματά ή και να οδηγεί στην πλήρη διάσπαση του διακένου αναλόγως με την εφαρμοζόμενη τάση, δίνοντας έτσι την ζητούμενη κατανομή πιθανότητας διάσπασης. Οι τιμές που επιλέχθηκαν για τις παραμέτρους E cr, E ch έτσι ώστε να έχουμε ορθά αποτελέσματα και σε συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα είναι E cr = 0, 05, E ch = 0, 03. Οι τιμές αυτές είναι και πάλι τιμές βάσης από τις οποίες μπορούν να αναχθούν οι πραγματικές τιμές των παραμέτρων σε αντιστοιχία με την αναλογία της επιβαλλόμενης τάσης όπως θα δειχθεί στη συνέχεια. Η τιμή της παραμέτρου η επιλέχθηκε ίση με η=1 για τους ίδιους λόγους όπως προηγουμένως καθώς και για την ικανοποιητική fractal διάσταση που προκύπτει για την τιμή αυτή [11] Προσομοίωση διάσπασης διακένων ακίδας-πλάκας υπό τάση αρνητικής πολικότητας Οι ακόλουθες προσομοιώσεις έγιναν για διαφορετικά μήκη διακένων ακίδας-πλάκας υπό τάση αρνητικής πολικότητας. d = 30 cm = 30 lattice units Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων όσον αφορά την πιθανότητα διάσπασης μετά από 20 επαναλήψεις του αλγορίθμου. V (pu) V (kv) Πίνακας 5.12 Πιθανότητα Διάσπασης (%)

56 Η αναλογία σε πραγματικές τιμές τάσης έγινε ως εξής. Η πρώτη τιμή τάσης βάσης που έδωσε πιθανότητα 100% (1,04 pu) αντιστοιχίσθηκε με την τιμή τάσης αρνητικής πολικότητας των πειραματικών δεδομένων που δίνει αντίστοιχα πιθανότητα διάσπασης 100% (390.7 kv) [19]. Σύμφωνα με την αναλογία αυτή και το μήκος κάθε lattice unit που θεωρήθηκε ότι είναι ίσο με 1 cm, αντιστοιχίσθηκαν και οι υπόλοιπες τιμές τάσης καθώς επίσης μπορεί να γίνει η αναγωγή σε πραγματικές τιμές και των παραμέτρων πεδιακής έντασης E cr, E ch. Πιο συγκεκριμένα για τις δυο αυτές παραμέτρους πεδιακής έντασης προκύπτουν τιμές E cr = 18,78 kv/cm και E ch = 11,27 kv/cm. Να σημειωθεί στο σημείο αυτό πως με την αναλογία αυτή θα γίνουν οι αναγωγές τιμών τάσεων βάσης σε πραγματικές για όλα τα μήκη διακένων στην περίπτωση τάσεων αρνητικής πολικότητας. Στο παρακάτω διάγραμμα απεικονίζεται η πιθανότητα διάσπασης συναρτήσει της επιβαλλόμενης τάσης για τα αποτελέσματα προσομοιώσεων του παρόντος στοχαστικού μοντέλου και για τα πειραματικά δεδομένα της βιβλιογραφίας [19]. Σχήμα 5.14: Πιθανότητα πρόσκρουσης συναρτήσει της επιβαλλόμενης τάσης, d=30cm, E cr=18,78 kv/cm, E ch=11,27 kv/cm 50

57 d = 20 cm = 20 lattice units V (pu) V (kv) Πίνακας 5.13 Πιθανότητα Διάσπασης (%) 0,62 232,92 0 0,63 236,67 0 0,64 240,43 0 0,65 244,18 5 0,66 247, ,67 251, ,68 255, ,70 262, ,71 266, ,72 270, ,73 274, Σχήμα 5.15: Πιθανότητα πρόσκρουσης συναρτήσει της επιβαλλόμενης τάσης, d=20cm, E cr=18,78 kv/cm, E ch=11,27 kv/cm 51

58 d = 40 cm = 40 lattice units V (pu) V (kv) Πίνακας 5.14 Πιθανότητα Διάσπασης (%) Σχήμα 5.16: Πιθανότητα πρόσκρουσης συναρτήσει της επιβαλλόμενης τάσης, d=40cm, E cr=18,78 kv/cm, E ch=11,27 kv/cm Από τα παραπάνω διαγράμματα για διαφορετικά μήκη διακένου ακίδας-πλάκας υπό τάση αρνητικής πολικότητας, παρατηρείται πως τα αποτελέσματα του στοχαστικού μοντέλου όσον αφορά την πιθανότητα διάσπασης των διακένων είναι σε ικανοποιητική συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα με τις τιμές των τάσεων για κάθε περίπτωση να είναι κοντά μεταξύ τους. Η όποια αστοχία του παρόντος μοντέλου 52

59 ενδεχομένως να οφείλεται στη στοχαστικότητα που αυτό εισάγει καθώς και στο γεγονός ότι οι προσομοιώσεις του στοχαστικού μοντέλου γίνονται σε δισδιάστατο πλέγμα σημείων ενώ τα πειραματικά δεδομένα σε τρισδιάστατο χώρο του εργαστηρίου Υψηλών Τάσεων Προσομοίωση διάσπασης διακένων ακίδας-πλάκας υπό τάση θετικής πολικότητας d= 40 cm = 40 lattice units V (pu) V (kv) Πίνακας 5.15 Πιθανότητα Διάσπασης (%) Σχήμα 5.17: Πιθανότητα πρόσκρουσης συναρτήσει της επιβαλλόμενης τάσης, d=40cm, E cr=8,32 kv/cm, E ch=5 kv/cm 53

60 Αντίστοιχα με την προηγούμενη περίπτωση η αναλογία σε πραγματικές τιμές τάσης έγινε με βάση την πρώτη τιμή τάσης βάσης που έδωσε πιθανότητα 100% (1,38 pu), η οποία αντιστοιχίσθηκε με την τιμή τάσης θετικής πολικότητας των πειραματικών δεδομένων που δίνει αντίστοιχα πιθανότητα διάσπασης 100 % (229,75 kv) [19]. Σύμφωνα με την αναλογία αυτή αντιστοιχίσθηκαν και οι υπόλοιπες τιμές τάσης καθώς επίσης μπορεί να γίνει η αναγωγή σε πραγματικές τιμές και των παραμέτρων πεδιακής έντασης E cr, E ch οι οποίες προκύπτουν μικρότερες από την περίπτωση τάσης αρνητικής πολικότητας κάτι που συμβαδίζει με τα λεγόμενα της βιβλιογραφίας [13],[15]. Πιο συγκεκριμένα για τις δυο αυτές παραμέτρους πεδιακής έντασης προκύπτουν τιμές E cr = 8,32 kv/cm και E ch = 5 kv/cm. Να σημειωθεί στο σημείο αυτό πως με την αναλογία αυτή θα γίνουν όλες οι αναγωγές τιμών τάσεων βάσης σε πραγματικές για όλα τα μήκη διακένων στην περίπτωση τάσεων θετικής πολικότητας. d= 20 cm = 20 lattice units V (pu) V (kv) Πίνακας 5.16 Πιθανότητα Διάσπασης (%)

61 Σχήμα 5.18: Πιθανότητα πρόσκρουσης συναρτήσει της επιβαλλόμενης τάσης, d=20cm, E cr=8,32 kv/cm, E ch=5 kv/cm d= 60 cm = 60 lattice units V (pu) V (kv) Πίνακας 5.17 Πιθανότητα Διάσπασης (%)

62 Σχήμα 5.19: Πιθανότητα πρόσκρουσης συναρτήσει της επιβαλλόμενης τάσης, d=60cm, E cr=8,32 kv/cm, E ch=5 kv/cm Παρατηρείται πως και στην περίπτωση επιβαλλόμενης τάσης θετικής πολικότητας έχουμε ικανοποιητική συμφωνία αποτελεσμάτων μοντέλου και πειραματικών δεδομένων όσον αφορά την πιθανότητα διάσπασης και το εύρος της εφαρμοζόμενης τάσης με τις αποκλίσεις να οφείλονται όπως προαναφέρθηκε στην στοχαστικότητα του μοντέλου καθώς και στη θεώρηση δισδιάστατου χώρου στις προσομοιώσεις. 5.3 Σύνοψη - Σχολιασμός αποτελεσμάτων Το μοντέλο που υλοποιήθηκε στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση ηλεκτρικών εκκενώσεων. Πιο συγκεκριμένα έγιναν αρχικά προσομοιώσεις που αφορούσαν την έναυση και εξέλιξη ενός κεραυνικού πλήγματος. Με την εισαγωγή κατάλληλων παραμέτρων και κατάλληλη τροποποίηση του μοντέλου υπολογίστηκε η fractal διάσταση των αποτελεσμάτων προσομοιώσεων, μελετήθηκε η επίδραση ανερχόμενων εκκενώσεων στην εξέλιξη του φαινομένου καθώς και η επίδραση αντικειμένων που βρίσκονται πάνω στο έδαφος με την αντίστοιχη πιθανότητα πρόσκρουσης. Τα αποτελέσματα του πρώτου κομματιού προσομοιώσεων που αφορούν την περίπτωση κεραυνικού πλήγματος συνοψίζονται παρακάτω. Παρατηρήθηκε μείωση της fractal διάστασης με αύξηση της τιμής της παραμέτρου η για όλα τα είδη των διακριτοποιήσεων καθώς η τιμή της παραμέτρου η επηρεάζει την πιθανότητα διάδοσης και επιλογής του επόμενου σημείου της εκκένωσης. Επίσης υπολογίστηκαν οι τιμές 56