ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ. ΜΕΣΑΠΣΤΥΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΤΗ (MSc) ζηα ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΙΠΛΩΜΑΣΙKH ΕΡΓΑΙΑ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΕΣΑΠΣΤΥΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΤΗ (MSc) ζηα ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΙΠΛΩΜΑΣΙKH ΕΡΓΑΙΑ Ποζοηική ανάλςζη επενδύζευν ζε πληποθοπιακά ζςζηήμαηα Διακοςμήρ Δημήηπιορ ΑΘΗΝΑ, ΜΑΡΣΙΟ 2010

2 ΜΕΣΑΠΣΤΥΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΤΗ (MSc) στα ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΙΠΛΩΜΑΣΙKH ΕΡΓΑΙΑ Ποζοηική ανάλςζη επενδύζευν ζε πληποθοπιακά ζςζηήμαηα Διακοςμήρ Δημήηπιορ Επιβλέπυν Καθηγηηήρ: Ε. Μαγείπος Εξυηεπικόρ Κπιηήρ: Π. Κυνζηανηόποςλορ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΘΗΝΑ, ΜΑΡΣΙΟ

3 Πεπίλητη Η ζχγρξνλε επηρείξεζε αληηκεησπίδεη ηεξάζηηεο πξνθιήζεηο ζηo πιαίζην ησλ δηαξθψλ εμειίμεσλ θαη ηνπ κεγάινπ αληαγσληζκνχ. Μηα απφ απηέο είλαη ε δηαρείξηζε λέσλ επελδχζεσλ. Έρνπλ πξαγκαηνπνηεζεί εθηελείο κειέηεο πξνθεηκέλνπ λα αμηνινγεζνχλ ζσζηά βαζηθέο παξάκεηξνη κηαο επέλδπζεο, ηφζν πνζνηηθέο φζν θαη πνηνηηθέο. Η βηβιηνγξαθία παξνπζηάδεη πιεζψξα κεζφδσλ θαη εθαξκνγψλ ψζηε λα θαιπθζεί έλα επξχ θάζκα επελδχζεσλ ζε φινπο ηνπ ηνκείο ηεο επηρεηξεκαηηθφηεηαο. Η αλάιπζε ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο (real options) απνηειεί κηα αξθεηά εμεηδηθεπκέλε κέζνδν αμηνιφγεζεο θαη αλάδεημεο κηαο επελδπηηθήο επθαηξίαο πνπ ζηεξίδεηαη ζε πξαγκαηηθά αγαζά θαη αλαινγία κε ηα ρξεκαηννηθνλνκηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο πνπ δηαπξαγκαηεχνληαη ζε νξγαλσκέλα ρξεκαηηζηήξηα ρξενγξάθσλ. Οη κέζνδνη απνηίκεζεο ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο ιακβάλνπλ ππφςε ηνπο κηα ζεηξά απφ παξάγνληεο πνπ νη παξαδνζηαθέο κέζνδνη αμηνιφγεζεο αγλννχλ. Γχν ηέηνηνη βαζηθνί παξάγνληεο είλαη ε αβεβαηφηεηα θαη ν βέιηηζηνο ρξφλνο πξαγκαηνπνίεζεο κηαο επέλδπζεο. Η κεζνδνινγία ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ εθαξκφδεηαη ζε έλα επξχ επηρεηξεκαηηθφ θάζκα πνπ πεξηιακβάλεη ηνκείο φπσο ε θαξκαθνβηνκεραλία, ε εμφξπμε θπζηθψλ πφξσλ, ε πιεξνθνξηθή, ε αγνξά ειεθηξηθήο ελέξγεηαο, νη απηνθηλεηνβηνκεραλίεο θ.α. Οινέλα θαη πεξηζζφηεξνη επηρεηξεκαηηθνί θιάδνη απνδεηνχλ ηελ επειημία θαη ηελ αθξίβεηα πνπ πξνζθέξεη ε ζπγθεθξηκέλε κέζνδνο αμηνιφγεζεο. Σηελ παξνχζα δηπισκαηηθή γίλεηαη κηα πξνζπάζεηα λα θαιπθζεί ην ζεσξεηηθφ πιαίζην πνπ αθνξά ηα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο θαη ζηε ζπλέρεηα απηφ εθαξκφδεηαη ζε κηα εθηελή κειέηε πεξίπησζεο πνπ αθνξά ηνλ ηνκέα ησλ πιεξνθνξηαθψλ ζπζηεκάησλ. Πην ζπγθεθξηκέλα κειεηάκε πνηα είλαη ε βέιηηζηε ρξνληθή γηα ηελ εηαηξία Yankee24, ψζηε λα πξαγκαηνπνηήζεη έλα λέν άλνηγκα ζηελ αγνξά εγθαζηζηψληαο έλα δίθηπν παξνρήο ππεξεζηψλ ρξεσζηηθψλ θαξηψλ. Σηελ πξνζπάζεηα απηή ρξεζηκνπνηνχκε ηξεηο κεζνδνινγίεο πνπ πξνηείλεη ε βηβιηνγξαθία, πξνθεηκέλνπ λα θηάζνπκε ζην αζθαιέζηεξν δπλαηφ απνηέιεζκα. 3

4 Abstract Modern company nowadays faces huge challenges, due to constant developments and great competition. One of these challenges is the investment management. Extensive research has taken place in the valuation of the basic investment parameters, which are both quantitative and qualitative. Literature, introduces a wide variety of methodologies and applications, so as to cover a wide spectrum of investments in all business sectors. Real options analysis is a quite specialized investment valuation methodology, based on real assets, in proportion with financial options which are negotiated in stock markets. Real options valuation methods use some specific factors, which traditional valuation methods ignore. Two of these factors are the uncertainty and the optimal time to invest. Real options methodology applies to a wide variety of business sectors which include pharmaceutical industry, natural resources mining, informatics, electric energy market, car industry etc. As time goes by, more and more business sectors are attracted by the flexibility and precision being offered by the method. In this thesis there will be an attempt at covering theoretical background of real options and then applying it to an extensive case study, which has to do with information systems. Specifically we study the optimal investment time for the company Yankee24, to set up a point-of-sale debit card network system. In this effort, we use three methodologies, suggested by literature, so as to achieve the best and safest result. 4

5 Περιεχόμενα Πεξίιεςε...3 Abstract...4 Ευρετήριο εικόνων...7 Ευρετήριο ςχημάτων...7 Ευρετήριο πινάκων Ειςαγωγή Σκοπόσ τησ διπλωματικήσ εργαςίασ Δομή Ευχαριςτίεσ Τα δικαιώματα προαίρεςησ (options) Παράγοντεσ που επηρεάζουν την τιμή των δικαιωμάτων προαίρεςησ Τα πραγματικά δικαιώματα προαίρεςησ (real options) Τα είδη των πραγματικών δικαιωμάτων προαίρεςησ Η μέθοδοσ τησ Καθαράσ Παρούςασ Αξίασ ςε ςύγκριςη με την προςέγγιςη των πραγματικών δικαιωμάτων προαίρεςησ Μζθοδοι αποτίμηςησ δικαιωμάτων προαίρεςησ Η γεωμετρική κίνηςη Brown Geometric Brownian motion Προςομοίωςη τησ γεωμετρικήσ κίνηςησ Brown ςτο Excel Μεταβλητότητα Το διωνυμικό μοντέλο (Binomial Model) To μοντέλο Black & Scholes Το μοντέλο Black & Scholes ςτο Excel Το μοντέλο Black and Scholes για πραγματικά δικαιώματα προαίρεςησ Παράδειγμα χρήςησ των δφο μοντζλων Η κειέηε πεξίπησζεο ηεο εηαηξίαο Yankee Γενικά για την εταιρία Συλλογή πληροφοριών για το πρόβλημα Διαφορέσ ςτην επίλυςη μεταξύ των μεθόδων τησ Καθαράσ Παρούςασ Αξίασ και των πραγματικών δικαιωμάτων προαίρεςησ Black s Approximation Ειςαγωγή δεδομένων και παρουςίαςη αποτελεςμάτων Αλάιπζε επαηζζεζίαο

6 4.7 Παρατηρήςεισ και ςχόλια πάνω ςτην αξιολόγηςη με βάςη το μοντέλο Black & Scholes Κατηγοριοποίηςη των επενδύςεων ςε πληροφοριακά ςυςτήματα Αποτίμηςη των έργων απόκτηςησ Εφαρμογή του μοντέλου έργων απόκτηςησ ςτο πρόβλημα τησ εταιρίασ Yankee Σχόλια για το μοντζλο ζργων απόκτηςησ και ςφγκριςη με τη μζθοδο Black & Scholes - Συμπεράςματα Συμπεράςματα και προβληματιςμοί Συμπεράςματα Η δύναμη των πραγματικών δικαιωμάτων προαίρεςησ Προβληματιςμοί Βιβλιογραφία

7 Ευρετήριο εικόνων Κεθάλαιο 3 Εικόνα Πξνζνκνίσζε ηεο θίλεζεο Brown ζην Excel (1) Εικόνα Πξνζνκνίσζε ηεο θίλεζεο Brown ζην Excel (2) Εικόνα Πξνζνκνίσζε ηεο θίλεζεο Brown ζην Excel (3) Εικόνα 3.4 Τν κνληέιν Black & Scholes ζην Excel Ευρετήριο ςχημάτων Κεθάλαιο 3 σήμα 3.1 Απεηθφληζε ηνπ δησλπκηθνχ κνληέινπ Κεθάλαιο 4 σήμα 4.2 Απεηθφληζε ηεο αμίαο ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο ηεο εηαηξίαο Yankee24 σήμα 4.3 Απεηθφληζε ηεο αιιαγήο ηεο αμίαο ηεο επέλδπζεο φηαλ αιιάδνπλ δηάθνξεο παξάκεηξνη σήμα Σρεκαηηθή απεηθφληζε ελφο έξγνπ απφθηεζεο σήμα Σρεκαηηθή απεηθφληζε ελφο έξγνπ αλάπηπμεο σήμα 4.6 Σρεκαηηθή απεηθφληζε ηνπ project ηεο εηαηξίαο Yankee24 σήμα 4.7 Απεηθφληζε ηεο F θαη ηεο ΚΠΑ ζην ρξφλν σήμα Μεηαβνιή ηεο ζπλάξηεζεο F γηα γ=0 θαη γ=0,5 (ηζρχεη γηα t=0 θαη Κ(0) = 546) Ευρετήριο πινάκων Κεθάλαιο 3 Πίνακαρ 3.1- Υπνινγηζκφο ηεο θίλεζεο ηεο ηηκήο κηαο κεηνρήο απφ ην δησλπκηθφ κνληέιν Πίνακαρ 3.2 Υπνινγηζκφο ηεο αμίαο ελφο δηθαηψκαηνο αγνξάο απφ ην δησλπκηθφ κνληέιν Πίνακαρ Υπνινγηζκφο ηεο αμίαο ελφο δηθαηψκαηνο πψιεζεο απφ ην δησλπκηθφ κνληέιν Πίνακαρ 3.4 Απνηίκεζε αμίαο ελφο δηθαηψκαηνο αγνξάο θαη πψιεζεο απφ ην κνληέιν Black & Scholes 7

8 Κεθάλαιο 4 Πίνακαρ 4.1 Δθηίκεζε ηνπ χςνπο ησλ ζπλαιιαγψλ, ησλ εζφδσλ, ηνπ θφζηνπο θαη ηεο Καζαξάο Παξνχζαο Αμίαο Πίνακαρ 4.3 Δθηίκεζε ηνπ χςνπο ησλ ζπλαιιαγψλ ησλ εζφδσλ θαη ηνπ θφζηνπο Πίνακαρ 4.4 Παξάκεηξνη ηνπ κνληέινπ έξγσλ απφθηεζεο γηα ηελ επέλδπζε ηεο εηαηξίαο Πίνακαρ 4.5 Πξνζνκνίσζε ησλ εζφδσλ απφ ηελ επέλδπζε Πίνακαρ 4.6 Απνηειέζκαηα ηεο αμηνιφγεζεο κε βάζε ην κνληέιν έξγσλ απφθηεζεο. Οη ηηκέο είλαη εθθξαζκέλεο ζε ρηιηάδεο δνιάξηα 8

9 1. Ειςαγωγή 1.1 Σκοπόσ τησ διπλωματικήσ εργαςίασ Η παξνχζα δηπισκαηηθή εθπνλήζεθε ζηα πιαίζηα ηνπ κεηαπηπρηαθνχ πξνγξάκκαηνο «Πιεξνθνξηαθά Σπζηήκαηα» ηνπ Οηθνλνκηθνχ Παλεπηζηεκίνπ Αζελψλ κε επηβιέπνληα θαζεγεηή ηνλ θχξην Δπάγγειν Μαγείξνπ. Αληηθείκελν ηεο δηπισκαηηθήο είλαη ε ζεσξεηηθή θαη πξαθηηθή πξνζέγγηζε ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο κέζα απφ ην πξίζκα ησλ επελδπηηθψλ επθαηξηψλ ζηνλ ηνκέα ηεο πιεξνθνξηθήο. Ο βαζηθφο ζθνπφο ηεο εξγαζίαο είλαη λα παξνπζηαζηεί ε αληηζηνίρηζε ησλ ρξεκαηννηθνλνκηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο κε επελδχζεηο πνπ αθνξνχλ ηνλ πξαγκαηηθφ θφζκν. Δπίζεο κειεηάηαη ην πψο ε ζσζηή δηαρείξηζε ηεο αβεβαηφηεηαο απμάλεη ηελ αμία ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο. 1.2 Δομή Η δηπισκαηηθή εξγαζία απνηειείηαη απφ έμη θεθάιαηα. Σην παξφλ θεθάιαην γίλεηαη αλαθνξά ηνπ ζθνπνχ θαη ηεο δνκήο ηεο δηπισκαηηθήο. Σην δεχηεξν θεθάιαην γίλεηαη εηζαγσγή ζηνλ θφζκν ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο, επεμεγψληαο βαζηθνχο φξνπο θαη πηπρέο ηεο ρξεκαηννηθνλνκηθήο θχζεο απηψλ. Σηε ζπλέρεηα γίλεηαη αλαθνξά ζηα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο (real options),ζηε ζρέζε πνπ έρνπλ κε ηνλ θφζκν ηεο ρξεκαηννηθνλνκηθήο θαη ζηελ επειημία πνπ παξέρνπλ ζηνλ πνιχπινθν ηνκέα ησλ επελδχζεσλ γηα ηηο επηρεηξήζεηο. Τν ηξίην θεθάιαην αζρνιείηαη κε ηηο βαζηθέο κεζφδνπο απνηίκεζεο ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο. Αξρηθά κειεηάκε ηνλ ηξφπν εθαξκνγήο ηνπο ζε ρξεκαηννηθνλνκηθά πξντφληα θαη ζηε ζπλέρεηα εμεηάδνπκε πψο απηέο νη κεζνδνινγίεο βνεζνχλ ζηελ αμηνιφγεζε πξαγκαηηθψλ επελδπηηθψλ επθαηξηψλ. Σην ηέηαξην θεθάιαην γίλεηαη εθαξκνγή ηεο ζεσξίαο πνπ αλαιχζεθε πξνεγνπκέλσο ζε έλα πξαγκαηηθφ παξάδεηγκα πνπ αθνξά ηελ εηαηξία Yankee24. Σπγθεθξηκέλα βιέπνπκε πψο ε αλάιπζε ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο βνήζεζε ηε δηνίθεζε ηεο εηαηξίαο λα πάξεη ηε βέιηηζηε απφθαζε γηα ηελ θαηαιιειφηεξε ρξνληθή ζηηγκή πξαγκαηνπνίεζεο κηαο επέλδπζεο, ελψ παξάιιεια γίλεηαη ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηε κέζνδν ηεο Καζαξάο Παξνχζαο Αμίαο. Σην πέκπην θεθάιαην παξνπζηάδνληαη θάπνηα ζπκπεξάζκαηα, αιιά θαη κεξηθνί πξνβιεκαηηζκνί πνπ αθνξνχλ ηα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο θαη πσο απηνί αληηκεησπίδνληαη απφ ηελ επηζηεκνληθή θνηλφηεηα. Σην έθην θαη ηειεπηαίν θεθάιαην γίλεηαη αλαθνξά ζηε βηβιηνγξαθία πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηε κειέηε ηνπ ζέκαηνο θαη γηα ηε ζχληαμε ηεο παξνχζαο δηπισκαηηθήο. 1.3 Ευχαριςτίεσ Θα ήζεια λα επραξηζηήζσ ζεξκά ηνλ θαζεγεηή θχξην Δπάγγειν Μαγείξνπ γηα ηελ ππνζηήξημε ηνπ θαζ φιε ηε δηάξθεηα εθπφλεζεο ηεο παξνχζαο δηπισκαηηθήο. Η εκπεηξία πνπ απνθφκηζα απφ ηε ζπλεξγαζία καο ζα κνπ θαλεί ηδηαίηεξα ρξήζηκε ζηε κεηέπεηηα πνξεία κνπ. Δπραξηζηψ επίζεο ζεξκά ηνλ θαζεγεηή θχξην Πάλo Κσλζηαληφπνπιν γηα ηε ζπκκεηνρή ηνπ ζηελ επηηξνπή εμέηαζεο. 9

10 2. Τα δικαιώματα προαίρεςησ (options) Γηθαίσκα πξναίξεζεο θαιείηαη κηα ζπκθσλία (έλα ζπκβφιαην) κεηαμχ δχν αληηζπκβαιιφκελσλ (ηνπ αγνξαζηή θαη ηνπ πσιεηή ηνπ δηθαηψκαηνο) κε ηε κεζνιάβεζε ηνπ Φξεκαηηζηεξίνπ Παξαγψγσλ. Η ζπκθσλία απηή δίλεη ζηνλ αγνξαζηή ην δηθαίσκα αιιά φρη ηελ ππνρξέσζε λα αγνξάζεη έλα πεξηνπζηαθφ ζηνηρείν Π ζε ηηκή Κ κέζα ζε έλα ζπγθεθξηκέλν ρξνληθφ δηάζηεκα [0,Τ] ή ζε κηα ζπγθεθξηκέλε ρξνληθή ζηηγκή Τ ζην κέιινλ. Τα πεπιοςζιακά ζηοισεία πάλσ ζηα νπνία δεκηνπξγνχληαη θαη δηαπξαγκαηεχνληαη ηα δηθαηψκαηα (underlying assets) πεξηιακβάλνπλ κεηνρέο, δείθηεο κεηνρψλ, ζπλάιιαγκα αιιά θαη εκπνξεχκαηα. Τα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο δηαπξαγκαηεχηεθαλ γηα πξψηε θνξά ζε νξγαλσκέλν ρξεκαηηζηήξην ην Οη βαζηθνί ηχπνη ησλ δηθαησκάησλ πνπ ππάξρνπλ είλαη δχν : ηο δικαίυμα πποαίπεζηρ αγοπάρ (call option) θαη ην δικαίυμα πποαίπεζηρ πώληζηρ (put option). Τν δηθαίσκα πξναίξεζεο αγνξάο δίλεη ζηνλ θάηνρφ ηνπ ην δηθαίσκα λα αγνξάζεη ην ππνθείκελν αγαζφ ζε κηα ζπγθεθξηκέλε ηηκή ζην κέιινλ. Τν δηθαίσκα πξναίξεζεο πψιεζεο δίλεη ζηνλ θάηνρφ ηνπ ην δηθαίσκα λα πσιήζεη ην ππνθείκελν αγαζφ ζε κηα ζπγθεθξηκέλε ηηκή ζην κέιινλ. Η ηηκή αγνξάο (ή πψιεζεο αληίζηνηρα) νλνκάδεηαη ηιμή εξάζκηζηρ ηος δικαιώμαηορ (exercise price ή strike price). H εκεξνκελία κέρξη ηελ νπνία ηζρχεη ην ζπκβφιαην νλνκάδεηαη ημεπομηνία λήξηρ (expiration date ή maturity). Τν πνζφ πνπ θαηαβάιιεη ν αγνξαζηήο ζηνλ πσιεηή ηνπ δηθαηψκαηνο νλνκάδεηαη ανηίηιμο ή αζθάλιζηπο ή ηιμή ηος δικαιώμαηορ (option price ή option premium). Τα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο ηαμηλνκνχληαη ζε Αμεπικάνικα ή Εςπυπαφκά αλάινγα κε ην πφηε κπνξνχλ λα εμαζθεζνχλ. Τν Ακεξηθάληθν δηθαίσκα πξναίξεζεο εμαζθείηαη ζε νπνηαδήπνηε ζηηγκή κέρξη ηελ εκεξνκελία ιήμεο ηνπ ζπκβνιαίνπ ελψ ην Δπξσπατθφ κφλν ζηελ εκεξνκελία ιήμεο. 2.1 Παράγοντεσ που επηρεάζουν την τιμή των δικαιωμάτων προαίρεςησ Η ηηκή ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο επεξεάδεηαη απφ κηα ζεηξά παξαγφλησλ πνπ ν επελδπηήο πξέπεη λα γλσξίδεη πξνθεηκέλνπ λα πάξεη πην ζσζηέο απνθάζεηο. Έλαο πνιχ βαζηθφο παξάγνληαο είλαη ε ζρέζε κεηαμχ ηεο ηηκήο ηνπ δείθηε θαη ηεο πξνθαζνξηζκέλεο ηηκήο εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο. Σηελ πεξίπησζε ηνπ δηθαηψκαηνο αγνξάο (call option) φζν κεγαιχηεξε είλαη ε ηηκή ηνπ δείθηε κηα δεδνκέλε ρξνληθή ζηηγκή ζε ζρέζε κε ηελ ηηκή εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο πνπ έρεη ζπκθσλεζεί ζην ζπκβφιαην, ηφζν πςειφηεξε είλαη ε αμία ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο. Αλ γηα παξάδεηγκα ε ζπκθσλεζείζα ηηκή είλαη 20 ελψ ε ηξέρνπζα ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ πξντφληνο είλαη 30 ζεκαίλεη φηη ππάξρνπλ πνιιέο πηζαλφηεηεο ε ηειηθή ηηκή λα είλαη πάλσ απφ 20, νπφηε ζπκθέξεη ε αγνξά ηνπ δηθαηψκαηνο. Σηελ πεξίπησζε ηνπ δηθαηψκαηνο πψιεζεο (put option), φζν κεγαιχηεξε είλαη ε παξαπάλσ δηαθνξά ππέξ ηεο ηξέρνπζαο ηηκήο ηφζν κεηψλεηαη ε αμία ηνπ ζπκβνιαίνπ, ηζρχεη δειαδή ην αληίζεην. Έλαο άιινο παξάγνληαο είλαη ν ρξφλνο πνπ απνκέλεη κέρξη ηελ εκεξνκελία ιήμεο ηνπ ζπκβνιαίνπ. Γεληθά, φζν πεξηζζφηεξνο ρξφλνο απνκέλεη κέρξη ηε ιήμε ηνπ ζπκβνιαίνπ ηφζν πςειφηεξε είλαη ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο κηαο θαη ππάξρεη κεγάιε πηζαλφηεηα λα έρεη ζεηηθή αμία ζηε ιήμε ηνπ. Σε νξηζκέλεο πεξηπηψζεηο φκσο απηφ δελ ηζρχεη. Αο ππνζέζνπκε γηα παξάδεηγκα φηη έρνπκε δχν ζπκβφιαηα φπνπ δηαπξαγκαηεχνληαη δχν δηθαηψκαηα αγνξάο κε ηελ ίδηα ηηκή εμάζθεζεο,αιιά ην έλα έρεη εκεξνκελία ιήμεο 1 κήλα κεηά ελψ ην άιιν 3 κήλεο κεηά. Δπεηδή ε απνλνκή ησλ κεξηζκάησλ νδεγεί ζε πηψζε ηνπ δείθηε, ζεκαίλεη φηη ην δεχηεξν ζπκβφιαην ζα έρεη κηθξφηεξε αμία. Έηζη ινηπφλ ε ηηκή ηνπ πξψηνπ ζπκβνιαίνπ ζα είλαη κεγαιχηεξε παξφιν πνπ ην δεχηεξν έρεη κεηαγελέζηεξε εκεξνκελία ιήμεο. 10

11 Αθφκα ε ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο, φπσο αλαθέξακε θαη παξαπάλσ επεξεάδεηαη ζε πεξίπησζε πνπ ππάξρεη ην ελδερφκελν κεξηζκαηηθήο απφδνζεο θαηά ηε δηάξθεηα ηζρχνο ηνπ ζπκβνιαίνπ. Απηφ ην ελδερφκελν κεηψλεη ηελ ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο αγνξάο, ελψ απμάλεη ηελ ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο πψιεζεο. Άιινο έλαο παξάγνληαο πνπ επεξεάδεη ηελ ηηκή ησλ δηθαησκάησλ είλαη ην επηηφθην κεδεληθνχ θηλδχλνπ πνπ ηζρχεη εθείλε ηε ζηηγκή. Αλ έρνπκε ρακειέο ηηκέο δείθηε ζε ζπλδπαζκφ κε πςειέο ηηκέο επηηνθίσλ (αξλεηηθή ζπζρέηηζε), ηφηε ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο αγνξάο κεηψλεηαη, ελψ ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο πψιεζεο απμάλεηαη. Αλ έρνπκε πςειέο ηηκέο δείθηε θαη πςειά επηηφθηα (ζεηηθή ζπζρέηηζε), ηφηε ε ηηκή ησλ δηθαησκάησλ αγνξάο απμάλεηαη ελψ ηνπ δηθαηψκαηνο πψιεζεο κεηψλεηαη. Τέινο έλαο πνιχ ζεκαληηθφο παξάγνληαο πνπ επεξεάδεη ηελ ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο είλαη ε κεηαβιεηφηεηα ηνπ δείθηε ηεο ηηκήο ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ. Μπνξεί λα αθνχγεηαη παξάμελν, αιιά φζν κεγαιχηεξε αβεβαηφηεηα ππάξρεη ηφζν πςειφηεξε είλαη ε ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο. Απηφ πξαθηηθά ζεκαίλεη φηη κεγάιε κεηαβιεηφηεηα ζεκαίλεη κεγάιε δηαθχκαλζε ηεο ηηκήο ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ, θαη θαη επέθηαζε ππάξρνπλ πεξηζψξηα γηα κεγάιεο αλφδνπο θαη κεγάιεο πηψζεηο, απφ ηηο νπνίεο βέβαηα ν επελδπηήο πξνζηαηεχεηαη κε ην λα κελ εμαζθήζεη ην δηθαίσκα. Έηζη ινηπφλ απμάλνληαη νη πηζαλφηεηεο ην ζπκβφιαην λα έρεη ζεηηθή αμία θαηά ηελ εκεξνκελία ιήμεο ηνπ. 2.2 Τα πραγματικά δικαιώματα προαίρεςησ (real options) Η πξνζέγγηζε ησλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί πξνθεηκέλνπ λα αμηνινγήζνπκε επελδπηηθέο επθαηξίεο φπνπ ην ππνθείκελν αγαζφ (underlying asset) δελ είλαη θαζαξά ρξεκαηννηθνλνκηθφ. Γηα παξάδεηγκα, ν γεληθφο δηεπζπληήο ελφο εξγνζηαζίνπ έρεη ηελ επηινγή (δηθαίσκα) λα πξνζιάβεη λένπο εξγάηεο ή λα αγνξάζεη θαηλνχξγην εμνπιηζκφ. Δπίζεο κηα εηαηξία πιεξνθνξηθήο πνπ ζέιεη λα θάλεη κηα επέλδπζε έρεη ην δηθαίσκα λα θαζπζηεξήζεη απηή ηελ επέλδπζε κέρξη νη ζπλζήθεο ζηελ αγνξά λα γίλνπλ πην επλντθέο. Απηά ηα δηθαηψκαηα νλνκάδνληαη ππαγμαηικά δικαιώμαηα πποαίπεζηρ (real options), επεηδή αμηνινγνχληαη πξαγκαηηθέο δηαδηθαζίεο θαη πξαγκαηηθά αγαζά ζε αληίζεζε κε ηα ρξεκαηννηθνλνκηθά δηθαηψκαηα φπνπ ηα ππνθείκελα αγαζά είλαη ρξεκαηηζηεξηαθά πξντφληα. Τα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο ηηο πεξηζζφηεξεο θνξέο κπνξνχλ λα αμηνινγεζνχλ κε ηηο ίδηεο κεζφδνπο αμηνιφγεζεο ησλ ρξεκαηννηθνλνκηθψλ δηθαησκάησλ, θάλνληαο βέβαηα νξηζκέλεο ηξνπνπνηήζεηο. 2.3 Τα είδη των πραγματικών δικαιωμάτων προαίρεςησ Τα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο παξέρνπλ πξαγκαηηθή επειημία ζε κηα επηρείξεζε απνηειψληαο παξάιιεια έλα είδνο ζηξαηεγηθνχ ζρεδηαζκνχ. Οη αλαιπηέο παίξλνπλ ηε βέιηηζηε απφθαζε, δηαθξίλνληαο ζπγθεθξηκέλεο ηδηφηεηεο ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο, πξάγκα πνπ δε ζα ήηαλ εθηθηφ λα γίλεη κε ρξήζε παξαδνζηαθψλ κεζφδσλ αμηνιφγεζεο φπσο είλαη ε Καζαξά Παξνχζα αμία. 11

12 Τν δικαίυμα αναβολήρ (defer) κηαο επέλδπζεο είλαη ην πξψην είδνο πξαγκαηηθνχ δηθαηψκαηνο. Η επηρείξεζε έρεη ηε δπλαηφηεηα λα κεηαθέξεη αξγφηεξα ρξνληθά ηελ πξαγκαηνπνίεζε κηαο επέλδπζεο πνπ ζρεδηάδεη λα θάλεη. Απηφ γίλεηαη ζε πεξηπηψζεηο φπνπ ρξεηάδνληαη πεξηζζφηεξεο πιεξνθνξίεο γηα ηε ζπκπεξηθνξά ηεο αγνξάο, πην εθηεηακέλε έξεπλα ή ππάξρεη κεγάιε αβεβαηφηεηα γηα θάπνηνλ παξάγνληα ηεο επέλδπζεο (π.ρ. ηηκέο κεηνρψλ εηαηξηψλ πιεξνθνξηθήο, ηηκή πεηξειαίνπ θηι).η εηαηξία κπνξεί θαηλνκεληθά λα ράλεη ρξήκαηα απφ ηελ θαζπζηέξεζε ηεο επέλδπζεο, φκσο ζηελ πξαγκαηηθφηεηα θεξδίδεη δεδνκέλνπ φηη θάλεη ηειηθά ηελ επέλδπζε ζε πην ζσζηή ρξνληθά ζηηγκή. Σε απηή ηελ πεξίπησζε ην δηθαίσκα πξναίξεζεο είλαη Ακεξηθάληθνπ ηχπνπ, δεδνκέλνπ φηη ε επέλδπζε γίλεηαη ηελ θαιχηεξε ρξνληθή ζηηγκή. Δπίζεο κηα επηρείξεζε έρεη ην δηθαίσκα λα επεκηείνει (expand) ην αξρηθφ κέγεζνο ηεο επέλδπζεο, αλ απφ ηελ αλάιπζε πνπ πξαγκαηνπνηήζεη πξνθχςεη φηη νη ζπλζήθεο ζηελ αγνξά είλαη πην επλντθέο απ φηη ππνινγηδφηαλ αξρηθά. Σηελ πεξίπησζε πνπ ε αλάιπζε δείμεη αληίζεηα απνηειέζκαηα, ηφηε ε εηαηξία έρεη ην δηθαίσκα λα πεπιοπίζει (contract) ην κέγεζνο ηεο επέλδπζεο, ψζηε λα απνηξαπεί ην ελδερφκελν δεκηάο. Σε πνιιέο πεξηπηψζεηο κηα επέλδπζε δελ πεξηιακβάλεη κφλν έλα ζηάδην πινπνίεζεο, αιιά πεξηζζφηεξα. Τα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο δίλνπλ ηε δπλαηφηεηα ζε κηα εηαηξία λα αληηκεησπίζεη θάζε ζηάδην μερσξηζηά έηζη ψζηε ηα επφκελα ζηάδηα λα ζεσξεζνχλ δηθαηψκαηα πξναίξεζεο ηνπ παξφληνο ζηαδίνπ (time-to-built option). Απηή ε πεξίπησζε ζπλαληάηαη πνιχ ζπρλά ζε θαξκαθεπηηθέο εηαηξίεο θαη ζε εηαηξίεο πνπ θάλνπλ επελδχζεηο κε πςειά επίπεδα θηλδχλνπ ή κε πςειφ πξνυπνινγηζκφ. Δπηπιένλ ε ζςνεσήρ ιεηηνπξγία εηαηξηψλ πνπ εθκεηαιιεχνληαη θπζηθνχο πφξνπο (π.ρ. πεηξέιαην, ρξπζφ) δελ είλαη πάληα ζπκθέξνπζα. Απηφ ζπκβαίλεη δηφηη ζε νξηζκέλεο πεξηφδνπο, ε ηηκή ηνπ θπζηθνχ πφξνπ ζηελ αγνξά είλαη ηφζν ρακειή, κε απνηέιεζκα λα κελ θαιχπηεηαη ην ιεηηνπξγηθφ θφζηνο ηεο εμφξπμεο. Σε ηέηνηεο πεξηπηψζεηο είλαη θαιχηεξν γηα ηηο εηαηξίεο λα ζηακαηνχλ πξνζσξηλά ηελ εμφξπμε θαη λα μεθηλνχλ πάιη φηαλ νη ζπλζήθεο ζηελ αγνξά γίλνπλ πην επλντθέο (shut down and restart operations option). Αθφκα κηα εηαηξία έρεη ην δηθαίσκα λα εγκαηαλείτει (abandon) κηα επέλδπζε, ζε πεξίπησζε πνπ αληηκεησπίζεη θάπνηνπ είδνπο ηερληθή ή νηθνλνκηθή δπζθνιία. Σε απηή ηελ πεξίπησζε κπνξεί λα αληηζηαζκίζεη ηε δεκηά κε ηελ πψιεζε ησλ δηθαησκάησλ επξεζηηερλίαο ή ηνπ εμνπιηζκνχ πνπ ρξεζηκνπνίεζε. Βέβαηα απηνχ ηνπ είδνπο ην δηθαίσκα είλαη επηζθαιέο, δηφηη κε απηφ ηνλ ηξφπν κπνξεί λα ραζεί ζεκαληηθή ηερλνγλσζία πνπ έρεη απνθηεζεί θαζψο θαη εμνπιηζκφο πνπ ζα κπνξνχζε λα είλαη ρξήζηκνο ζε κηα κειινληηθή επέλδπζε. Σε πνιιέο πεξηπηψζεηο, ηδηαίηεξα ζε εηαηξίεο εθκεηάιιεπζεο θπζηθψλ πφξσλ ππάξρεη ε δπλαηφηεηα λα ρξεζηκνπνηεζεί κηα πξψηε χιε (input) πξνθεηκέλνπ λα εμαρζεί έλαο ζπγθεθξηκέλνο θπζηθφο πφξνο (output). Αο ππνζέζνπκε γηα παξάδεηγκα φηη κηα εηαηξία εμαγσγήο ρξπζνχ έρεη ην δηθαίσκα λα ρξεζηκνπνηήζεη δηαθνξεηηθά είδε ελέξγεηαο (π.ρ. πεηξέιαην, ειεθηξηζκφ, θπζηθφ αέξην θηι) πξνθεηκέλνπ λα ιεηηνπξγήζνπλ ηα νξπρεία πνπ εθκεηαιιεχεηαη. Δπίζεο ν εμνπιηζκφο ηεο ελδερνκέλσο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ζε άιινπ είδνπο θνηηάζκαηα, αλάινγα κε ην πνην έρεη ηελ πςειφηεξε αμία εθείλε ηε ζηηγκή. Η αλάιπζε ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ βνεζά ηελ εηαηξία λα εληνπίζεη πνηνο είλαη ν ζπλδπαζκφο ηεο πην νηθνλνκηθήο πξψηεο χιεο θαη ηνπ πςειφηεξεο αμίαο θπζηθνχ πφξνπ πξνο εμαγσγή ηε δεδνκέλε ζηηγκή, πξνθεηκέλνπ λα κεγηζηνπνηεζεί ην θέξδνο ηεο. Απηφ νλνκάδεηαη δικαίυμα αλλαγήρ σπήζηρ (switch use option). 12

13 2.4 Η μέθοδοσ τησ Καθαράσ Παρούςασ Αξίασ ςε ςύγκριςη με την προςέγγιςη των πραγματικών δικαιωμάτων προαίρεςησ Η θαζαξά παξνχζα αμία (Net Present Value NPV) είλαη ε αλαγσγή ησλ θαζαξψλ ρξεκαηνξξνψλ πνπ πξνθχπηνπλ απφ κία επέλδπζε ζηελ παξνχζα ρξνληθή ζηηγκή. Η καζεκαηηθή παξάζηαζε είλαη : -X o + (2.4.1) φπνπ Φν είλαη ην αξρηθφ θφζηνο ηεο επέλδπζεο, Φ j ηα έζνδα θάζε ρξνληθή ζηηγκή j, p ην επηηφθην θαη Ν ε δηάξθεηα δσήο ηεο επέλδπζεο. Γεληθά καο ζπκθέξεη λα πξνρσξήζνπκε ζηελ πξαγκαηνπνίεζε ηεο επέλδπζεο φηαλ ε ΚΠΑ είλαη κεγαιχηεξε ηνπ κεδελφο. Η πξνζέγγηζε ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο πξνζθέξεη πνιχ κεγαιχηεξε επειημία ζε ζρέζε κε ηε κέζνδν ηεο θαζαξάο παξνχζαο αμίαο ε νπνία αξθείηαη απιά ζην λα καο ππνδείμεη αλ αμίδεη λα θάλνπκε κηα επέλδπζε ή φρη κία δεδνκέλε ζηηγκή. Πην ζπγθεθξηκέλα ε πξψηε κεζνδνινγία ππεξηεξεί ζηα εμήο : Εςελιξία : Δίλαη ε δπλαηφηεηα αλαβνιήο, εγθαηάιεηςεο, επέθηαζεο θαη πεξηνξηζκνχ κηαο επέλδπζεο. Γεδνκέλνπ φηη ε κέζνδνο ηεο ΚΠΑ δε ιακβάλεη ππφςε ηεο ηνλ παξάγνληα ηεο αβεβαηφηεηαο πνπ ππάξρεη είλαη πνιχ ιηγφηεξν απνηειεζκαηηθή θαη αθξηβήο ζηελ αμηνιφγεζε κηαο επέλδπζεο. Γηα παξάδεηγκα κηα εηαηξία κπνξεί λα αλαβάιιεη κηα επέλδπζε γηα θάπνην ρξνληθφ δηάζηεκα πξνθεηκέλνπ λα απνθηήζεη θαιχηεξε εηθφλα γηα ηελ αγνξά. Σε απηή ηελ πεξίπησζε ε κέζνδνο ΚΠΑ ζα απνηηκνχζε ηελ αμία ηεο επέλδπζεο ζε 0, ελψ ε πξνζέγγηζε κέζσ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο ζα κπνξνχζε λα πξνβιέςεη ην πξαθηηθφ θέξδνο πνπ ζα είρε ε εηαηξία κε απηή ηελ αλαβνιή πνπ απνθάζηζε λα θάλεη. ςζσέηιζη επενδύζευν : Πνιιέο θνξέο είλαη πηζαλφλ κειινληηθέο επελδχζεηο λα ζηεξίδνληαη ζηελ επηηπρία κηαο ηξέρνπζαο επέλδπζεο. Οη παξαδνζηαθέο κέζνδνη αμηνιφγεζεο φπσο είλαη ε ΚΠΑ ζπλήζσο δελ είλαη αθξηβείο ζε ηέηνηεο πεξηπηψζεηο. Γηα παξάδεηγκα νη θαξκαθνβηνκεραλίεο αξθεηέο θνξέο θάλνπλ επελδχζεηο πνπ απνηεινχληαη απφ πνιιά ζηάδηα θαη ε επηηπρία ή φρη ηνπ ελφο ζηαδίνπ ζα δψζεη ην «πξάζηλν θσο» γηα λα μεθηλήζεη ην επφκελν. Τα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο παξέρνπλ θαιχηεξε θαη πην νινθιεξσκέλε πιεξνθφξεζε ζε ζρέζε κε ηελ ΚΠΑ ζε ηκεκαηηθέο επελδχζεηο φπσο απηή. Μεηαβληηόηηηα : Οη θαζαξέο ηακεηαθέο ξνέο κηαο επέλδπζεο δελ είλαη ζηαζεξέο. Μεηαβάιινληαη αλάινγα ζε ζπλάξηεζε κε πνιινχο παξάγνληεο. Η κέζνδνο ΚΠΑ ζεσξεί φηη ε ηακεηαθέο ξνέο είλαη δεδνκέλεο θαη ζηαζεξέο ζην ρξφλν. Αληίζεηα ηα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο ιακβάλνπλ ππφςε ηνπο ηε κεηαβιεηφηεηα ησλ θαζαξψλ ηακεηαθψλ ξνψλ. Μάιηζηα, φπσο αλαθέξζεθε θαη παξαπάλσ φζν κεγαιχηεξε κεηαβιεηφηεηα παξνπζηάδνπλ νη ηειεπηαίεο ηφζν κεγαιχηεξε αμία απνθηά ην δηθαίσκα πξναίξεζεο. Γηα παξάδεηγκα ν θιάδνο ηνπ internet πνπ παξαδνζηαθά παξνπζηάδεη κεγάιε κεηαβιεηφηεηα ζηα έζνδά ηνπ έρεη θαη ηα πςειφηεξεο αμίαο δηθαηψκαηα πξναίξεζεο. Σε απηφ ην ζεκείν λα ζεκεηψζνπκε φηη ε κέζνδνο ηεο θαζαξάο παξνχζαο αμίαο θαη γεληθά ησλ παξαδνζηαθψλ ηερληθψλ αμηνιφγεζεο κηαο επέλδπζεο είλαη ρξήζηκε ζε πεξηπηψζεηο φπνπ δελ ππάξρεη αβεβαηφηεηα. Γεδνκέλνπ ινηπφλ φηη ε εθαξκνγή ηεο είλαη ζρεηηθά απιή δηαδηθαζία, ζε ζρέζε πάληα κε ηε κέζνδν ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο, κπνξεί λα εθαξκνζηεί ζε ηέηνηεο πεξηπηψζεηο. Όηαλ φκσο εηζέξρεηαη ν παξάγνληαο ηεο αβεβαηφηεηαο, ηφηε κπνξνχκε λα πνχκε φηη ε κέζνδνο δελ είλαη αμηφπηζηε. 13

14 3. Μέθοδοι αποτίμηςησ δικαιωμάτων προαίρεςησ Καηά θαηξνχο έρνπλ αλαπηπρζεί δηάθνξα κνληέια ηα νπνία καο βνεζνχλ λα απνηηκήζνπκε δηθαηψκαηα πξναίξεζεο κε δηαθφξσλ εηδψλ ππνθείκελα αγαζά. Σε απηφ ην θεθάιαην ζα αζρνιεζνχκε κε ηα δχν ζεκαληηθφηεξα ηα νπνία είλαη ην δησλπκηθφ κνληέιν θαη ην κνληέιν Black & Scholes. Πξηλ μεθηλήζνπκε ηελ πεξηγξαθή ηνπο ζα αλαθεξζνχκε ζηε γεσκεηξηθή θίλεζε Brown θαη ζηε ζρέζε ηεο κε ηα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο. 3.1 Η κίνηςη Brown Brownian motion Όπσο είλαη γλσζηφ, ε ηηκή κηαο κεηνρήο αιιάδεη κε ηπραίν ηξφπν θαηά ηε δηάξθεηα κηαο πεξηφδνπ. Τν ίδην ηζρχεη θαη ζηελ πεξίπησζε ησλ εζφδσλ κηαο επέλδπζεο, ηα νπνία αθνινπζνχλ απηφ πνπ νλνκάδνπκε ζηοσαζηική διαδικαζία. Οη ζηνραζηηθέο δηαδηθαζίεο ρσξίδνληαη ζε διακπιηού σπόνος θαη ζςνεσούρ σπόνος. Σηελ πξψηε πεξίπησζε ε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο παίξλεη ηηκέο ζε ζπγθεθξηκέλα ζεκεία ζην ρξφλν ελψ ζηε δεχηεξε ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν. Η διαδικαζία Markov απνηειεί έλαλ ζπγθεθξηκέλν ηχπν κηαο ζηνραζηηθήο δηαδηθαζίαο. Γηα λα πξνβιέςνπκε ηελ κειινληηθή ηηκή κηαο κεηαβιεηήο πνπ αθνινπζεί ηελ ελ ιφγσ δηαδηθαζία, ε κφλε πιεξνθνξία πνπ ρξεηαδφκαζηε είλαη ε παξνχζα ηηκή ηεο. Γε βαζηδφκαζηε θαζφινπ ζε παξειζνχζεο ηηκέο θαη γη απηφ ιέκε φηη ε δηαδηθαζία Markov είλαη ρσξίο κλήκε (memory-less). Έλαο ζπγθεθξηκέλνο ηχπνο ηεο δηαδηθαζίαο Markov νλνκάδεηαη κίνηζη Brown (Brownian Motion) ή διαδικαζία Wiener.Αλ κηα κεηαβιεηή z αθνινπζεί απηή ηελ θίλεζε ηφηε έρεη δχν ηδηφηεηεο : 1. Η κεηαβνιή δz ζε κηα κηθξή πεξίνδν δt είλαη δz = ε, φπνπ ην ε είλαη κηα ηπραία κεηαβιεηή κε κέζε ηηκή 0 θαη ηππηθή απφθιηζε Οη ηηκέο δz γηα δχν ηπραία δηαζηήκαηα ρξφλνπ είλαη αλεμάξηεηεο κεηαμχ ηνπο. Έηζη ινηπφλ ε ηηκή ηνπ z(t+1) δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν : z(t+1) = z(t)+ ε Δπεηδή ε ηηκή κηαο κεηνρήο δε κπνξεί λα πάξεη αξλεηηθέο ηηκέο είλαη πην ζσζηφ λα ζεσξήζνπκε φηη αθνινπζεί ινγαξηζκηθή θαλνληθή θαηαλνκή (lognormal distribution) θαη ν θπζηθφο ινγάξηζκνο ηεο ηηκήο αθνινπζεί ηε δηαδηθαζία Brown. Αθφκα, επεηδή ε ηηκή δελ έρεη πάληα κέζε ηηκή 0 θαη ηππηθή απφθιηζε 1, κηα πην γεληθεπκέλε κνξθή ηεο δηαδηθαζίαο Wiener γηα κηα κεηαβιεηή x ζα ήηαλ πην ζσζηή θαη ζα κπνξνχζε λα αλαπαξαζηαζεί σο εμήο : dx = αdt +bdz (3.1.1) φπνπ ν φξνο αdt φηη ε κεηαβιεηή x έρεη αλακελφκελε ηάζε (drift) ίζε κε α αλά κνλάδα ρξφλνπ. Η παξαπάλσ κνξθή νλνκάδεηαη γεσκεηξηθή θίλεζε Brown. Αλ ζεσξήζνπκε ηε ζπλάξηεζε dx = αdt παξαηεξνχκε φηη είλαη γξακκηθή. Ο φξνο bdz πξνζζέηεη απηφ πνπ νλνκάδνπκε ζφξπβν ή κεηαβιεηφηεηα ζηελ θίλεζε ηεο κεηαβιεηήο x ζηε δηάξθεηα ηνπ ρξφλνπ. Όπσο πεξηγξάςακε παξαπάλσ ε δηαδηθαζία Wiener έρεη ηππηθή απφθιηζε ίζε κε 1, νπφηε ν φξνο bdz ζεκαίλεη b θνξέο κηα δηαδηθαζία Wiener, ε νπνία έρεη ηππηθή απφθιηζε b*1 = b. 14

15 H γεσκεηξηθή θίλεζε Brown κπνξεί λα πεξηγξάςεη ηελ θίλεζε ηεο ηηκήο ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ. Έζησ φηη έρνπκε κηα εηαηξία εμφξπμεο πεηξειαίνπ ε νπνία εμεηάδεη ηελ θαηαζθεπή εγθαηαζηάζεσλ ζε κηα λέα πεξηνρή. Η ηηκή ηνπ πεηξειαίνπ, απφ ηελ νπνία βέβαηα εμαξηάηαη ην αλ ζπκθέξεη λα πξνρσξήζεη ζηελ επέλδπζε, κπνξεί λα πξνζνκνησζεί κε ηε βνήζεηα ηεο γεσκεηξηθήο θίλεζεο Brown. Σε αληίζηνηρε πεξίπησζε, κηα εηαηξία πιεξνθνξηθήο πνπ εμεηάδεη ην ελδερφκελν λα θαηαζθεπάζεη έλα λέν ινγηζκηθφ, κπνξεί λα πξνζνκνησζεί κε ηνλ ίδην ηξφπν. Απφ ηα παξαπάλσ πξνθχπηεη ε ζεκαληηθφηεηα ησλ ζηνραζηηθψλ αλειίμεσλ θαη ηδηαίηεξα ηεο γεσκεηξηθήο θίλεζεο Brown ζηε κειέηε ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο. 3.2 Προςομοίωςη τησ κίνηςησ Brown ςτο Excel Μπνξνχκε λα πξνζνκνηψζνπκε ηελ θίλεζε Brown ζην Excel ρξεζηκνπνηψληαο ηηο ζπλαξηήζεηο RAND() θαη NORMSINV(). Η πξψηε ζπλάξηεζε παξάγεη κηα ηπραία κεηαβιεηή κεηαμχ 0 θαη 1.Η ζπλάξηεζε NORMSINV() απνδίδεη ην αληίζηξνθν ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο κε κέζε ηηκή 0 θαη απφθιηζε 1. Εηθόλα 3.1 Πξνζνκνίσζε ηεο θίλεζεο Brown ζην Excel (1) Σηνλ παξαπάλσ πίλαθα θαίλεηαη ε πξνζνκνίσζε ηεο θίλεζεο Brown. Δπηιέμακε 52 πεξηφδνπο (φζεο νη εβδνκάδεο ελφο έηνπο) θαη Γt = 1/52.Ο ηχπνο πνπ εηζάγακε ζην θειί Β5 είλαη ν Β4 + NORMSINV(RAND())*$D$2. Σηε ζπλέρεηα γεκίζακε φια ηα θειηά απφ ην Β6 έσο ην Β55 ζέξλνληαο ην πνληίθη ψζηε λα αληηγξαθεί ν ηχπνο. Ωο αξρηθή ηηκή νξίδνπκε ην 0. Παηψληαο θάζε θνξά ην πιήθηξν F9 ε ηηκή ηεο RAND() αιιάδεη νπφηε παίξλνπκε κηα λέα γξαθηθή παξάζηαζε. 15

16 Εηθόλα Πξνζνκνίσζε ηεο θίλεζεο Brown ζην Excel (2) Εηθόλα Πξνζνκνίσζε ηεο θίλεζεο Brown ζην Excel (3) 16

17 3.3 Μεταβλητότητα Μεηαβληηόηηηα (volatility) νλνκάδνπκε ην ξπζκφ δηαθχκαλζεο ηεο ηηκήο ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ ζηε δηάξθεηα ηνπ ρξφλνπ. Απνηειεί κηα ηδηαίηεξα ζεκαληηθή παξάκεηξν γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο αμίαο ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο θαη ηνπ θηλδχλνπ αληηκεησπίδεη θάπνηνο επελδπηήο. Με άιια ιφγηα ε κεηαβιεηφηεηα είλαη ν βαζκφο ηεο αβεβαηφηεηαο πνπ ελέρεη θάζε επέλδπζε πνπ γίλεηαη κε βάζε ρξεκνηννηθνλνκηθά πξντφληα. Οη αηηίεο πνπ ε ηηκή ελφο ππνθείκελνπ αγαζνχ (π.ρ. κεηνρήο) έρεη κεηαβιεηφηεηα είλαη πνιιέο. Σεκαληηθφ ξφιν παίδνπλ νη πιεξνθνξίεο πνπ θαηαθζάλνπλ ζηε ρξεκαηηζηεξηαθή αγνξά θαη αθνξνχλ ηα κειινληηθά θέξδε απφ ηε κεηνρή. Αθφκα ε κεηαβιεηφηεηα εμαξηάηαη ζε κεγάιν βαζκφ απφ ηελ πξνζθνξά θαη ηε δήηεζε ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ κηα δεδνκέλε ρξνληθή ζηηγκή. Ιδηαίηεξε ζεκαζία έρεη επίζεο ε γεληθφηεξε θαηάζηαζε ηεο νηθνλνκίαο κε βαξχλνληα παξάγνληα ηνλ πιεζσξηζκφ. Τέινο ε ζπκπεξηθνξά ησλ επελδπηψλ, ζπλεηζθέξεη ζηε κεηαβιεηφηεηα ηεο ηηκήο κηαο κεηνρήο, θαζψο ε αηζηνδνμία ή ε απαηζηνδνμία ηνπο ζπκπαξαζχξεη ηηο ηηκέο ησλ κεηνρψλ. Σηελ πεξίπησζε ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο γηα επελδχζεηο ζε πιεξνθνξηαθά ζπζηήκαηα ε κεηαβιεηφηεηα ζηελ ηηκή ελφο αγαζνχ εμαξηάηαη απφ ηνπο παξάγνληεο πνπ πεξηγξάθνληαη θαη παξαπάλσ. Αο πάξνπκε γηα παξάδεηγκα κηα εηαηξία πνπ θαηαζθεπάδεη ινγηζκηθφ θαη εμεηάδεηαη ε πεξίπησζε ελφο λένπ πξνγξάκκαηνο. Τα έζνδα πνπ ζα πξνθχςνπλ απφ ηελ πψιεζε απηνχ ηνπ πξνγξάκκαηνο παξνπζηάδνπλ κεηαβιεηφηεηα πνπ εμαξηάηαη απφ ηε δήηεζε, ηνλ πιεζσξηζκφ, ηελ ελεκέξσζε ησλ θαηαλαισηψλ θαζψο θαη ηε ζπκπεξηθνξά ησλ αληαγσληζηψλ. Η εθηίκεζε ηεο κεηαβιεηφηεηαο είλαη κηα δηαδηθαζία πνπ ζηεξίδεηαη ηφζν ζηνλ εμπειπικό ςπολογιζμό, φζν θαη ζηε ρξήζε ζπγθεθξηκέλσλ απιθμηηικών μεθόδυν. Ο εκπεηξηθφο ππνινγηζκφο είλαη ε παξαηήξεζε ηεο ηηκήο ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ (π.ρ. κηαο κεηνρήο) ζε ζπγθεθξηκέλα ρξνληθά δηαζηήκαηα, φπσο γηα παξάδεηγκα θάζε κέξα, θάζε εβδνκάδα, θάζε έηνο θηι. Όηαλ ζπγθεληξσζεί ηθαλφο αξηζκφο παξαηεξήζεσλ, είλαη εθηθηφο ν ππνινγηζκφο ηεο κεηαβιεηφηεηαο. Σπλήζσο φζν πεξηζζφηεξεο παξαηεξήζεηο θάλνπκε ηφζν πην αμηφπηζην είλαη ην απνηέιεζκα, φκσο ε ρξήζε πνιχ παιηψλ δεδνκέλσλ ίζσο λα κελ νδεγήζεη ζε αζθαιέο απνηέιεζκα. Έλαο γεληθφο θαλφλαο είλαη φηη ην ρξνληθφ δηάζηεκα πνπ γίλνληαη νη παξαηεξήζεηο παιηψλ δεδνκέλσλ πξέπεη λα είλαη ίδην κε ην δηάζηεκα ην νπνίν ζέινπκε λα εμεηάζνπκε. Γχν απφ ηηο πην γλσζηέο αξηζκεηηθέο κεζφδνπο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο κεηαβιεηφηεηαο είλαη ε EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) θαη ε GARCH (1,1). Δπίζεο ζην ππνθεθάιαην 3.6 ζα δνχκε έλαλ άιιν ηξφπν ππνινγηζκνχ ηεο κεηαβιεηφηεηαο πνπ βαζίδεηαη ζην ππφδεηγκα Black & Scholes. 3.4 Το διωνυμικό μοντέλο (Binomial Model) Αλαπηχρζεθε απφ ηνπο Cox, Ross θαη Rubinstein to Τν δησλπκηθφ κνληέιν βαζίδεηαη ζηελ εμήο ινγηθή: αλ ε ηηκή ελφο αγαζνχ (π.ρ. κηαο κεηνρήο) είλαη γλσζηή ζηελ αξρή κηαο πεξηφδνπ,ηφηε ε ηηκή ηεο ζηελ αξρή ηεο επφκελεο πεξηφδνπ αθνινπζεί κία απφ δχν πηζαλέο δηαδξνκέο. Κηλείηαη είηε πςειφηεξα (up) κε πηζαλφηεηα p είηε ρακειφηεξα (down) κε πηζαλφηεηα 1-p, 0 < p < 1.Γηα παξάδεηγκα αλ ε ηηκή ζηελ αξρή κηαο πεξηφδνπ είλαη Α ηελ ακέζσο επφκελε πεξίνδν ε ηηκή ζα είλαη Αu κε πηζαλφηεηα p ή Αd κε πηζαλφηεηα 1-p. Οη κεηαβιεηέο u θαη ην p παίξλνπλ ζεηηθέο ηηκέο κε u > 1 θαη d < 1.Δπίζεο ην κνληέιν ζεσξεί φηη ε κεηαβιεηή Α παίξλεη δηαθξηηέο ηηκέο. 17

18 Au 3 Au 2 Au Au 2 d A Adu Ad Aud 2 Ad 2 Ad 3 Σρήκα 3.1 Απεηθόληζε ηνπ δησλπκηθνύ κνληέινπ Σην παξαπάλσ ζρήκα θαίλεηαη ε αλαπαξάζηαζε ηνπ δησλπκηθνχ πιέγκαηνο. Σε θάζε βήκα ε ηηκή Α είηε αλεβαίλεη θαηά Αu είηε θαηεβαίλεη θαηά Αd. Γηα λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην κνληέιν πξέπεη λα θαζνξίζνπκε ην κήθνο ηεο πεξηφδνπ (γηα παξάδεηγκα έλαο κήλαο). Η κέζνδνο κπνξεί λα θαληάδεη απιντθή, επεηδή επηηξέπεη κφλν δχν ηηκέο ζε θάζε επφκελε πεξίνδν. Όκσο αλ ην κήθνο ηεο πεξηφδνπ είλαη κηθξφ ηφηε κπνξνχκε λα πάξνπκε πνιιέο ηηκέο κεηά απφ αξθεηά βήκαηα. Αθφκα πξέπεη λα νξίζνπκε ηηκέο γηα ηηο κεηαβιεηέο u θαη d θαζψο θαη γηα ηελ πηζαλφηεηα p. Δπίζεο ην κνληέιν ππνζέηεη φηη ε κεηαβιεηή Α αθνινπζεί δησλπκηθή θαηαλνκή. Πψο κπνξνχκε φκσο λα νξίζνπκε ηηο ηηκέο γηα ηηο κεηαβιεηέο u,d θαη p; Σηε βηβιηνγξαθία(options, Futures & Other Derivatives, Hull 1993) πξνηείλεηαη ν εμήο ηξφπνο : u = (3.4.1) d = 1/u (3.4.2) p u = (3.4.3) 18

19 p d = 1- p u (3.4.4) φπνπ : ζ : ε κεηαβιεηφηεηα (volatility) ηεο ηηκήο ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ Δt : ε πεξίνδνο πνπ πξνθχπηεη δηαηξψληαο ην ρξφλν ιήμεο ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο κε ηνλ αξηζκφ ησλ βεκάησλ πνπ έρνπκε επηιέμεη λα θαηαζθεπάζνπκε ην πιέγκα. r f : ην επηηφθην δαλεηζκνχ κεδεληθνχ θηλδχλνπ Η ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο αγνξάο (C) Ακεξηθάληθνπ ηχπνπ ππνινγίδεηαη θάλνληαο ππνινγηζκνχο απφ πίζσ πξνο ηα εκπξφο κε ηνλ εμήο ηξφπν. Ξεθηλάκε απφ ηνπο ηειεπηαίνπο θφκβνπο ηνπ δέληξνπ θαη ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο ρξεζηκνπνηψληαο ηνλ ηχπν : Αληίζηνηρα γηα ην δηθαίσκα πψιεζεο (P) ν ηχπνο είλαη : C = max(0,a θφκβνπ - X), (3.4.5) P = max(x - A θφκβνπ,0), (3.4.6) φπνπ Φ είλαη ε ηηκή εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο. Γηα ηνπο πξεγνχκελνπο θφκβνπο ν ηχπνο πνπ δίλεη ηελ ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο αγνξάο θαη πψιεζεο αληίζηνηρα είλαη : max(a θφκβνπ X, (C u p u + C d p d ) ) (3.4.7) max(x - A θφκβνπ, (P u p u + P d p d ) ) (3.4.8) Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο ηηκήο ηνπ δηθαηψκαηνο Δπξσπαηθνχ ηχπνπ δνπιεχνπκε κε ηνλ ίδην αθξηβψο ηξφπν. Η ηηκή γηα ηνπο ηειεπηαίνπο θφκβνπο δίλεηαη απφ ηνπο ηχπνπο ελψ γηα φινπο ηνπο ππφινηπνπο ηζρχεη : (C u p u + C d p d ) (3.4.9) (P u p u + P d p d ) (3.4.10) 3.5 To μοντέλο Black & Scholes Τν κνληέιν Black & Scholes παξνπζηάζηεθε ην 1973 απφ ηνπο Fischer Black θαη Myron Scholes. Υπνινγίδεη ηελ ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο Δπξσπατθνχ Τχπνπ κε κεδεληθή κεξηζκαηηθή απφδνζε. Τν κνληέιν ζεσξεί φηη ε κεηαβιεηή πνπ παξηζηάλεη ηελ ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ παίξλεη ζπλερείο ηηκέο θαη αθνινπζεί ηε γεσκεηξηθή θίλεζε Brown. Ο καζεκαηηθφο ηχπνο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο ηηκήο ελφο δηθαηψκαηνο αγνξάο (call option) είλαη: C = AN(d 1 ) - XN(d 2 ), (3.5.1) d 1 = +, (3.5.2) d 2 = d 1 - (3.5.3) φπνπ : 19

20 C : ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο Α : ε ηξέρνπζα ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ Υ : ε ηηκή εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο N(.) : ε ηππνπνηεκέλε θαλνληθή θαηαλνκή r f : ην επηηφθην δαλεηζκνχ κεδεληθνχ θηλδχλνπ Σ : ν ρξφλνο κέρξη ηε ιήμε ηεο ηζρχνο ηνπ δηαθαηψκαηνο ζ : ε κεηαβιεηφηεηα (volatility) ηεο ηηκήο ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ Η ινγηθή πνπ αθνινπζεί απηφο ν ηχπνο είλαη ε εμήο : Αλ ε αμία ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο αγνξάο, πνπ ιήγεη in-the-money, είλαη A T X, ηφηε ε παξνχζα αμία ηνπ είλαη A T -. Δπεηδή φκσο ελδέρεηαη ην δηθαίσκα λα κε ζπκθέξεη λα ην εμαζθεζνπκε, νη κεηαβιεηέο Α θαη Φ ζηαζκίδνληαη κε ηηο πηζαλφηεηεο Ν(d 1 ) θαη Ν(d 2 ) αληίζηνηρα. Δπίζεο,απφ ηνλ παξαπάλσ ηχπν κπνξνχκε λα ζπκπεξάλνπκε γεληθά φηη ε αμία ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο αγνξάο (call option) είλαη πςειφηεξε φζν κεγαιχηεξν είλαη ην θέξδνο θαη ρακειφηεξε φζν κηθξφηεξν είλαη ην θφζηνο πνπ ζα πξνθχςεη απφ ηελ εμάζθεζε ηνπ δηθαηψκαηνο.πην ζπγθεθξηκέλα, φηαλ νη άιινη παξάγνληεο είλαη ζηαζεξνί, ε αμία ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο αγνξάο είλαη πςειφηεξε φζν α) πςειφηεξε είλαη ε αμία ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ β) πεξηζζφηεξνο ρξφλνο απνκέλεη κέρξη ηε ιήμε ηνπ δηθαηψκαηνο γ) ρακειφηεξε είλαη ε ηηκή εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο δ) πςειφηεξε είλαη ε δηαθχκαλζε (ζ 2 ) ηεο ηηκήο ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ. Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο ηηκήο ελφο δηθαηψκαηνο πψιεζεο (put option) ν ηχπνο είλαη : P = e -rt XN(-d 2 ) AN(-d 1 ) (3.5.4) Τν κνληέιν ππνζέηεη φηη ε αλακελφκελε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο Α αθνινπζεί ινγαξηζκηθή θαλνληθή θαηαλνκή (lognormal distribution). Μηα κεηαβιεηή αθνινπζεί ηελ ινγαξηζκηθή θαλνληθή θαηαλνκή αλ ν θπζηθφο ηεο ινγάξηζκνο αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Τν ππφδεηγκα Black & Scholes κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί θαη γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο ηεκμαπηήρ μεηαβληηόηηηαρ (implied volatility). Ολνκάδεηαη έηζη δηφηη βαζίδεηαη ζηελ πξαγκαηηθή ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο πνπ παξαηεξνχκε ηψξα ζηελ αγνξά. Αλ δειαδή γλσξίδνπκε φιεο ηηο ππφινηπεο παξακέηξνπο ηνπ ππνδείγκαηνο B&S, κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή ηεο κεηαβιεηφηεηαο. Δπεηδή φκσο δελ είλαη εθηθηφ ε κεηαβιεηή ζ λα εθθξαζηεί σο ζπλάξηεζε ησλ ππνινίπσλ κεηαβιεηψλ ηεο εμίζσζεο C = AN(d 1 ) - XN(d 2 ), ρξεζηκνπνηνχκε πξνζεγγηζηηθέο επαλαιεπηηθέο κεζφδνπο. Έλα παξάδεηγκα ζχκθσλα κε ηε κέζνδν πνπ αλαθέξεηαη ζην βηβιίν Options, Futures and Other derivatives (Hull 1993) είλαη ην εμήο : Αο ππνζέζνπκε φηη ε ηξέρνπζα ηηκή ηεο κεηνρήο είλαη 30, ή ηηκή εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο 38, ην επηηφθην 6%, ν ρξφλνο κέρξη ηε ιήμε έλα έηνο θαη ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο αγνξάο είλαη 1,36. Αξρηθά ππνινγίδνπκε ζ = 0,20, ε νπνία δίλεη ηηκή 0,68 πνπ είλαη πνιχ ρακειή. Γεδνκέλνπ φηη ε ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο αγνξάο απμάλεηαη θαζψο απμάλεηαη ε κεηαβιεηφηεηα, δνθηκάδνπκε κεγαιχηεξε ηηκή, ηελ ζ = 0,30.Η ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο απηή ηε θνξά είλαη 1,68 πνπ είλαη πνιχ πςειή. Η επφκελε δνθηκή γίλεηαη γηα ζ = 0,25 πνπ είλαη επίζεο ρακειή (1,15), άξα ε ηηκή ηεο κεηαβιεηφηεηαο βξίζθεηαη κεηαμχ 0,20 θαη 0,30. Μεηψλνληαο θάζε θνξά ην δηάζηεκα πνπ θπκαίλεηαη ε κεηαβιεηφηεηα ζην κηζφ κπνξνχκε λα πξνζεγγίζνπκε ηθαλνπνηεηηθά ηελ ηηκή ηεο, πνπ ζην ζπγθεθξηκέλν παξάδεηγκα είλαη 0,27. 20

21 3.6 Το μοντέλο Black & Scholes ςτο Excel Σην excel, ε δεκηνπξγία κηα θφξκνπιαο ππνινγηζκνχ ηεο αμίαο ελφο δηθαηψκαηνο κε βάζε ην κνληέιν Black & Scholes γίλεηαη σο εμήο : Αξρηθά θαηαρσξνχκε ζε έμη θειία ηηκέο γηα ηηο κεηαβιεηέο strike price, stock price, volatility, risk-free interest rate θαη term.σηε ζπλέρεηα ππνινγίδνπκε ηηκέο γηα ηνπο ηχπνπο θαη Η ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο δίλεηαη ζχκθσλα κε ηνπο ηχπνπο θαη (αγνξάο θαη πψιεζεο αληίζηνηρα) θαη ρξεζηκνπνηψληαο ηελ έηνηκε ζπλάξηεζε NORMSDIST (), ν νπνίνο απνδίδεη ηελ ηππηθή αζξνηζηηθή θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζε ηηκή 0 θαη ηππηθή απφθιηζε 1.Σηελ παξαθάησ εηθφλα θαίλεηαη ε απεηθφληζε ηεο παξαπάλσ πεξηγξαθήο. Εηθόλα 3.4 Τν κνληέιν Black & Scholes ζην Excel Σην ππνθεθάιαην 3.8 δίλεηαη έλα παξάδεηγκα ρξήζεο ηεο παξαπάλσ θφξκνπιαο. 3.7 Το μοντέλο Black and Scholes για πραγματικά δικαιώματα προαίρεςησ Η κέζνδνο Black & Scholes κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα λα απνηηκήζνπκε θαη πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο πνπ ραξαθηεξίδνληαη φκσο απφ κφλν κία πεγή αβεβαηφηεηαο θαη απφ κηα ζπγθεθξηκέλε εκεξνκελία φπνπ κπνξνχκε λα πάξνπκε ηελ απφθαζε. Οη παξάκεηξνη πνπ νξίζηεθαλ παξαπάλσ κπνξνχλ λα πξνζαξκνζηνχλ ζηελ πεξίπησζε πνπ ζέινπκε λα αμηνινγήζνπκε κηα επέλδπζε σο εμήο : Α : ε παξνχζα αμία ησλ θαζαξψλ ηακεηαθψλ ξνψλ Υ : ην θεθάιαην πνπ πξέπεη λα θαηαβάιινπκε ψζηε λα θάλνπκε ηελ επέλδπζε r f : ην επηηφθην δαλεηζκνχ κεδεληθνχ θηλδχλνπ Σ : ν ρξφλνο θαηά ηνλ νπνίν κπνξνχκε λα αλαβάιινπκε ηελ επέλδπζε ζ : ε κεηαβιεηφηεηα (volatility) ηεο ηηκήο ησλ εζφδσλ 21

22 Γηα λα ρξεζηκνπνηεζεί ε εμίζσζε απνηειεζκαηηθά πξέπεη λα πιεξνχληαη θάπνηεο πξνυπνζέζεηο. Καηαξρήλ ε αμία ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ (π.ρ. ηα έζνδα απφ ηελ επέλδπζε) πξέπεη λα αθνινπζεί κηα ζπλερή δηαδηθαζία.δπηπιένλ ε κεηάβιεηφηεηα πξέπεη λα είλαη γλσζηή απφ ηελ αξρή θαη λα κελ αιιάδεη θαηά ηε δηάξθεηα δσήο ηνπ δηθαηψκαηνο. Ο θίλδπλνο αιιαγήο ηεο κεηαβιεηφηεηαο ππάξρεη ζπλήζσο ζε δηθαηψκαηα ηα νπνία δηαξθνχλ κεγάιν ρξνληθφ δηάζηεκα.τέινο, ζα πξέπεη ε εμάζθεζε ηνπ δηθαηψκαηνο λα είλαη ζηηγκηαία.απηφ ζεκαίλεη φηη ε επηρείξεζε πνπ εμεηάδεη έλα πξαγκαηηθφ δηθαίσκα πξέπεη λα είλαη ζε ζέζε λα θαηαβάιιεη φιν ην απαηηνχκελν πνζφ ηελ ζηηγκή ηεο εμάζθεζεο θαη φρη ηκεκαηηθά ζε δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο. Να ζεκεηψζνπκε φηη ε εμίζσζε Black & Scholes δε κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα πνιχ ζχλζεηα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο ιφγσ ηνπ φηη δελ ππάξρεη μεθάζαξα πξντφλ πνπ κπνξεί λα δηαπξαγκαηεπηεί ζε κηα νξγαλσκέλε αγνξά φπσο ηζρχεη κε ηηο κεηνρέο. 3.8 Παράδειγμα χρήςησ των δύο μοντέλων Έζησ φηη έρνπκε ην δηθαίσκα πξναίξεζεο αγνξάο κηαο κεηνρήο (call option), ε ηξέρνπζα ηηκή ηεο νπνίαο είλαη 20 κε κεηαβιεηφηεηα 30%. Ο ρξφλνο ιήμεο ηνπ δηθαηψκαηνο είλαη 1 έηνο θαη ην επηηφθην ρσξίο θίλδπλν είλαη 5%. Να βξεζεί ε αμία ηνπ δηθαηψκαηνο (Δπξσπατθνχ ηχπνπ), αλ ε ηηκή εμάζθεζεο είλαη 25. Υπνζέηνπκε φηη δελ ππάξρεη κεξηζκαηηθή απφδνζε. Αξρηθά ζα απνηηκήζνπκε ηελ αμία ηνπ δηθαηψκαηνο ρξεζηκνπνηψληαο ην δησλπκηθφ κνληέιν. Θα θάλνπκε 6 βήκαηα νπφηε ην δηάζηεκα Γt ηζνχηαη κε 1/6 = 0,1667. Ξεθηλάκε δίλνληαο ηηκέο ζηηο βαζηθέο παξακέηξνπο πνπ πεξηγξάςακε παξαπάλσ u = = = 1,1303 d = 1/u = 0,8847 p u = = = 0,7140 p d = 1- p u = 1 0,7140 = 0,2859 Αξρηθά θαηαζθεπάδνπκε ην δέληξν πνπ παξηζηάλεη ηελ ηηκή ηεο κεηνρήο ζηε δηάξθεηα ηνπ ρξφλνπ ην νπνίν είλαη ην εμήο : 22

23 Πίλαθαο 3.1- Υπνινγηζκόο ηεο θίλεζεο ηεο ηηκήο κηαο κεηνρήο από ην δησλπκηθό κνληέιν Η αμία ηνπ δηθαηψκαηνο αγνξάο ππνινγίδεηαη ζχκθσλα κε ηε κέζνδν πνπ παξνπζηάζακε παξαπάλσ θαη δίλεηαη απφ ηνλ παξαθάησ πίλαθα : Πίλαθαο 3.2 Υπνινγηζκόο ηεο αμίαο ελόο δηθαηώκαηνο αγνξάο από ην δησλπκηθό κνληέιν Άξα ε αμία ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο αγνξάο ζχκθσλα κε ην δησλπκηθφ κνληέιν είλαη 1,08. Αληίζηνηρα ππνινγίδνπκε ηελ αμία ηνπ δηθαηψκαηνο πψιεζεο ε νπνία ζχκθσλα κε ηνλ πίλαθα 3.3 πξνθχπηεη 4,86. 23

24 Πίλαθαο Υπνινγηζκόο ηεο αμίαο ελόο δηθαηώκαηνο πώιεζεο από ην δησλπκηθό κνληέιν Φξεζηκνπνηψληαο ην ππφδεηγκα Black & Scholes θαη κε ηε βνήζεηα ηεο θφξκνπιαο ζην Excel πνπ θηηάμακε, πξνθχπηεη ν παξαθάησ πίλαθαο : Πίλαθαο 3.4 Απνηίκεζε αμίαο ελόο δηθαηώκαηνο αγνξάο θαη πώιεζεο από ην κνληέιν Black & Scholes Η αμία ηνπ δηθαηψκαηνο αγνξάο πξνθχπηεη 1,14 ελψ ηνπ δηθαηψκαηνο πψιεζεο 4,92. 24

25 4. Η μελέηη πεπίπηυζηρ ηηρ εηαιπίαρ Yankee Γενικά για την εταιρία Τν παξάδεηγκα πνπ αθνινπζεί απνηειεί κηα πξαγκαηηθή πεξίπησζε αμηνιφγεζεο κηαο επέλδπζεο φπνπ γίλεηαη ρξήζε ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο. Πην ζπγθεθξηκέλα εμεηάδνπκε ην αλ κηα εηαηξία πξέπεη λα επελδχζεη ζε έλα δίθηπν παξνρήο ππεξεζηψλ ρξεσζηηθψλ θαξηψλ θαη πφηε είλαη ε θαηαιιειφηεξε ζηηγκή ψζηε λα γίλεη απηή ε επέλδπζε. Τν παξάδεηγκα είλαη ζπλδπαζκφο ησλ δεκνζηεχζεσλ ησλ Benaroch M. Kauffman R. «A Case for Using Real Options Pricing Analysis to Evaluate Information Technology Project Investments » θαη «Justifying Electronic Banking Network Expansion Using Real Options Analysis » Η εηαηξία Yankee 24 ζπζηάζεθε ην 1984 γηα λα παξέρεη ειεθηξνληθέο ηξαπεδηθέο ππεξεζίεο ζε πεξηζζφηεξνπο απφ 200 νξγαληζκνχο. Σπγθεθξηκέλα παξείρε έλα δίθηπν κεραλεκάησλ αλάιεςεο ρξεκάησλ (ATM), φπνπ ρξέσλε ηηο ηξάπεδεο κε έλα αξρηθφ πνζφ ψζηε λα γίλνπλ κέιε ηνπ δηθηχνπ θαζψο θαη κε πνζνζηά επί ησλ ρξεψζεσλ ησλ ζπλαιιαγψλ πνπ πξαγκαηνπνηνχζαλ ζηε ζπλέρεηα νη πειάηεο. Τν 1987 ν πξφεδξνο ηεο εηαηξίαο,richard P. Yanak, άξρηζε λα αμηνινγεί ην ζελάξην ηεο παξνρήο ππεξεζηψλ ρξεσζηηθψλ θαξηψλ ζηε Νέα Αγγιία ψζηε ζε ζπλδπαζκφ κε ην δίθηπν ATM πνπ ήδε παξείρε, λα επεθηείλεη ην κεξίδην αγνξάο ηεο εηαηξίαο. Η αξρηθή ηνπ εθηίκεζε ήηαλ φηη ε επέλδπζε εκπεξηείρε κεγάιν βαζκφ θηλδχλνπ,αιιά παξάιιεια έβιεπε πσο ήηαλ κηα επθαηξία λα απμήζεη ηελ αληαγσληζηηθφηεηα ηεο εηαηξίαο ηνπ. Ο Yanak γλψξηδε φηη είρε ηελ επηινγή (option) λα θαζπζηεξήζεη ηελ πξαγκαηνπνίεζε ηεο επέλδπζεο. Με απηφ ηνλ ηξφπν ζα κπνξνχζε λα εξεπλήζεη ηελ αμία θαη ηελ απνδνρή πνπ ζα είρε έλα ηέηνην ζχζηεκα απφ ηνπο ππνςήθηνπο πειάηεο, κεηψλνληαο έηζη ηελ αβεβαηφηεηα θαη ην επίπεδν θηλδχλνπ. Ο ρξφλνο θαζπζηέξεζεο θπζηθά ζα θφζηηδε θάπνηα θέξδε θαη κάιηζηα αλ ήηαλ ηδηαίηεξα κεγάινο, νη αληαγσληζηέο ζα κπνξνχζαλ λα ηνλ πξνιάβνπλ ζε απηφ ην εγρείξεκα. Σηα ππνθεθάιαηα πνπ αθνινπζνχλ πξνζπαζνχκε λα απαληήζνπκε ζην εξψηεκα πνηα είλαη ε θαηαιιειφηεξε ζηηγκή ψζηε λα πξαγκαηνπνηεζεί ε επέλδπζε. 4.2 Συλλογή πληροφοριών για το πρόβλημα Η είζνδνο ηεο εηαηξίαο ζηελ αγνξά ρξεσζηηθψλ θαξηψλ είρε δηάθνξνπο θηλδχλνπο κε θπξηφηεξν ηνλ αληαγσληζκφ. Παξάιιεια πξέπεη λα ππάξρεη εθηελήο κειέηε ησλ άιισλ παξαγφλησλ πνπ επεξεάδνπλ ηελ αμία ηεο επέλδπζεο. Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλνληαη φιεο νη παξάκεηξνη πνπ πξέπεη λα ιεθζνχλ ππφςε θαηά ηελ αμηνιφγεζε. 25

26 Σρήκα 4.1 Παξάγνληεο πνπ επεξεάδνπλ ηελ αμία ηεο επέλδπζεο Τα έζνδα απφ ηελ επέλδπζε εμαξηψληαη απφ ηξεηο παξάγνληεο. Ο πξψηνο αθνξά ην βαζκφ απνδνρήο ηνπ δηθηχνπ απφ ηνπο πειάηεο. Ο δεχηεξνο αθνξά ην βαζκφ πνπ νη επηρεηξήζεηο πηνζεηνχλ ην δίθηπν παξνρήο ππεξεζηψλ ρξεσζηηθψλ θαξηψλ. Ο ηξίηνο παξάγνληαο είλαη ν αληαγσληζκφο πνπ ππάξρεη ή ζα ππάξμεη ζην κέιινλ απφ εηαηξίεο πνπ δξαζηεξηνπνηεζνχλ ζην ίδην θιάδν. Τα έζνδα βέβαηα έρνπλ θάπνην βαζκφ αβεβαηφηεηαο ν νπνίνο εμαξηάηαη απφ παξάγνληεο ζρεηηθνχο κε ηηο ζπλζήθεο πνπ επηθξαηνχλ θάζε ζηηγκή ζηελ αγνξά. Γηα παξάδεηγκα φηαλ νη πειάηεο ελεκεξσζνχλ γηα ηα νθέιε ελφο δηθηχνπ παξνρήο ππεξεζηψλ ρξεσζηηθψλ θαξηψλ, ηφηε ζα θάλνπλ εθηελέζηεξε ρξήζε θαη ζα απμεζεί ν αξηζκφο ηνπο. Παξάιιεια ε επέθηαζε ηνπ δηθηχνπ, ψζηε λα εμππεξεηεί πεξηζζφηεξνπο πειάηεο θαη ε αγνξά ηνπ δηθηχνπ απφ πεξηζζφηεξεο ηξάπεδεο θαη επηρεηξήζεηο, ζπκβάιιεη κε ηε ζεηξά ηνπ ζηελ αχμεζε ηνπ κεξηδίνπ αγνξάο θαη θαη επέθηαζε ησλ εζφδσλ. Τέινο, νη κειινληηθέο επελδπηηθέο επθαηξίεο πνπ πξνθχπηνπλ, φπσο γηα παξάδεηγκα ε ρξήζε ηνπ δηθηχνπ απφ ην θξάηνο, απμάλνπλ ηελ αμία ηεο επέλδπζεο. Τα έμνδα ηεο επέλδπζεο αθνξνχλ θπξίσο ηε δεκηνπξγία ησλ ηειεπηθνηλσληαθψλ ππνδνκψλ, ηελ εθπαίδεπζε ηνπ πξνζσπηθνχ θαη ηε δηαθήκηζε ηνπ δηθηχνπ. Απφ ηελ αλάιπζε ηεο επέλδπζεο εμάγεηαη έλα πνιχ ρξήζηκν ζπκπέξαζκα. Όζν πεξηζζφηεξν θαζπζηεξεί ε επέλδπζε, ηφζν ε αβεβαηφηεηα πνπ αθνξά ηνπο παξαπάλσ παξάγνληεο ζα γίλεηαη φιν θαη κηθξφηεξε, νπφηε ε αμία ηνπ δηθηχνπ κεηαθξαδφκελε ζε θαζαξά θέξδε ζα απμάλεηαη. Αλ φκσο ε θαζπζηέξεζε είλαη ηδηαίηεξα κεγάιε, ηφηε ππάξρεη ν θίλδπλνο εηζφδνπ αληαγσληζηψλ, πξάγκα πνπ ζεκαίλεη φηη ηα θέξδε ζα κεησζνχλ απφ θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή θαη κεηά. Η δπλαηφηεηα πνπ δίλεηαη ζηελ εηαηξία λα θαζπζηεξήζεη ηελ επέλδπζε κπνξεί λα ζεσξεζεί σο έλα Ακεξηθάληθν δηθαίσκα πξναίξεζεο αγνξάο (American call option). Γειαδή ε εηαηξία έρεη ην δηθαίσκα αιιά φρη ηελ ππνρξέσζε λα θάλεη ηελ επέλδπζε πιεξψλνληαο ην απαηηνχκελν θφζηνο ζε έλα ζπγθεθξηκέλν ρξνληθφ ζεκείν ζην κέιινλ. Ο ηχπνο ηνπ δηθαηψκαηνο είλαη Ακεξηθάληθνο δηφηη ε εηαηξία κπνξεί λα θάλεη ηελ επέλδπζε ζε φπνηα ρξνληθή ζηηγκή ππάξρεη ην κεγαιχηεξν θέξδνο γη απηή. 26

27 Γεδνκέλεο ηεο αληηκεηψπηζεο ηνπ πξνβιήκαηνο ζαλ πξαγκαηηθφ δηθαίσκα, ε εηαηξία έπξεπε λα ζπιιέμεη ζηνηρεία γηα ηα αλακελφκελα θέξδε θαη ηε δηαθχκαλζή ηνπο. Φξεζηκνπνηήζεθαλ ζηνηρεία απφ ζπλεληεχμεηο ζηειερψλ θαη επίζεο αμηνπνηήζεθε ε εκπεηξία απφ κηα αλάινγε επέλδπζε πνπ είρε γίλεη ζηελ Καιηθφξληα. Οη αλαιχζεηο δεδνκέλσλ έδεημαλ φηη ε αγνξά ρξεσζηηθψλ θαξηψλ ζηε Νέα Αγγιία ήηαλ πεξίπνπ ην 25% ηεο αγνξάο ηεο Καιηθφξληα. Άιιν έλα ζηνηρείν πνπ έπξεπε λα ιεθζεί ππφςε ήηαλ ε θαηαλνκή ησλ αλακελφκελσλ εζφδσλ θαζψο επίζεο θαη ε κεηαβιεηφηεηα (ζ) πνπ παξνπζίαδαλ. Σχκθσλα κε ηηο ζπλεληεχμεηο θαη ηηο εθηηκήζεηο πνπ αθνινχζεζαλ ν βαζκφο κεηαβιεηφηεηαο πξνέθπςε κεηαμχ 50% θαη 100%. 4.3 Διαφορέσ ςτην επίλυςη μεταξύ των μεθόδων τησ Καθαράσ Παρούςασ Αξίασ και των πραγματικών δικαιωμάτων προαίρεςησ. Όπσο ηνλίζακε θαη πξνεγνπκέλσο νη δχν κέζνδνη αληηκεησπίδνπλ δηαθνξεηηθά κηα επελδπηηθή επθαηξία. Σην παξφλ ππνθεθάιαην ζα πξνζπαζήζνπκε λα εληνπίζνπκε ηηο δηαθνξέο απηέο θαη λα δνχκε γηαηί ε ρξήζε ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο καο δίλεη κηα πην ξεαιηζηηθή εηθφλα γηα ηελ επέλδπζε. Αξρηθά ζεσξνχκε φηη ε θαηαλνκή ησλ εζφδσλ πνπ ζα απνθέξεη ε επέλδπζε δελ είλαη ζπκκεηξηθή. Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη πσο ζηελ θαηά ηε δηάξθεηα δσήο ηνπ δηθηχνπ ππάξρεη κηα απφηνκε αχμεζε ησλ εζφδσλ θαη ζηε ζπλέρεηα ζηαδηαθή πηψζε. Σρήκα 4.2 Απεηθόληζε ηεο αμίαο ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο ηεο εηαηξίαο Yankee24 Σε απηή ηελ πεξίπησζε ε ΚΠΑ κπνξεί λα ππνινγηζηεί κφλν θαηά πξνζέγγηζε, δειαδή λα πάξνπκε ηηκέο εζφδσλ γηα ην θαιχηεξν, ην ρεηξφηεξν, θαη ην πην πηζαλφ ζελάξην. Σε αληίζεζε ηα πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο, κπνξνχλ λα ππνινγίζνπλ ηελ αμία ηεο επέλδπζεο ιακβάλνληαο ππφςε ηε κε ζπκκεηξηθφηεηα θαζψο θαη ηελ αβεβαηφηεηα πνπ ππάξρεη ζηα έζνδα. Δπίζεο ην δηθαίσκα πνπ έρεη ε εηαηξία γηα αλαβνιή ηεο επέλδπζεο αληηκεησπίδεηαη δηαθνξεηηθά απφ ηηο δχν κεζφδνπο. Όπσο είδακε παξαπάλσ, ε κέζνδνο ηεο ΚΠΑ ζηεξίδεηαη ζηε ινγηθή λα κε γίλεη ε επέλδπζε αλ αθαηξψληαο ην θφζηνο ηεο απφ ηελ παξνχζα αμία ησλ εζφδσλ πνπ ζα απνθέξεη, πξνθχςεη αξλεηηθφ απνηέιεζκα. Απηφ ζεκαίλεη φηη κπνξεί λα αλαγλσξίζεη ηελ αμία ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο μόνο φηαλ απηφ σξηκάδεη ακέζσο (δειαδή είλαη ηνπ ηχπνπ «ηψξα ή πνηέ»). Έηζη ινηπφλ δελ έρεη ηε δπλαηφηεηα λα απνηηκήζεη ηα νθέιε πνπ ππάξρνπλ αλ γίλεη αναβολή ηεο επέλδπζεο γηα θάπνηα κειινληηθή ρξνληθή ζηηγκή. Αθφκα θαη αλ ππνινγίζνπκε ηελ αμία ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο ζε έλα ζπγθεθξηκέλν ρξφλν πνπ εκείο νξίζνπκε, δε κπνξνχκε λα ελζσκαηψζνπκε ζηε κέζνδν θαηλνχξηεο πιεξνθνξίεο πνπ πξνθχπηνπλ θαη ελδερνκέλσο λα αιιάμνπλ ηα απνηειέζκαηα. Η κέζνδνο ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο παξέρεη φιν ην κεραληζκφ πνπ ρξεηαδφκαζηε ψζηε λα ππνινγίζνπκε κε αθξίβεηα ην βέιηηζην ρξφλν αλαβνιήο. 27

28 4.4 Black s Approximation Σηελ πεξίπησζε ηεο εηαηξίαο Yankee24 ην δηθαίσκα πξναίξεζεο πνπ εμεηάδνπκε είλαη Ακεξηθάληθνπ ηχπνπ θαζψο φπσο αλαθέξακε θαη παξαπάλσ κπνξεί λα εμαζθεζεί νπνηαδήπνηε ζηηγκή κέρξη ηελ εκεξνκελία ιήμεο ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο. Παξάιιεια ηα έζνδα πνπ ράλεη ε εηαηξία γηα φζν θαηξφ αλαβάιιεη ηελ επέλδπζε, κπνξνχλ λα ζεσξεζνχλ σο μέπιζμα πάλσ ζηελ ηηκή ησλ εζφδσλ. Έηζη ινηπφλ, ην ππφδεηγκα Black & Scholes δελ κπνξεί λα εθαξκνζηεί θαζψο απνηηκά δηθαηψκαηα Δπξσπατθνχ ηχπνπ κε κεδεληθή κεξηζκαηηθή απφδνζε. Γη απηφ ην ιφγν ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε κηα παξαιιαγή ηνπ κνληέινπ, ηελ Black s approximation ην νπνίν γηα ηελ απιφηεηα θαη ηελ αθξίβεηα ηεο ζηελ απνηίκεζε ελφο δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο Δπξσπατθνχ ηχπνπ κε κεξηζκαηηθή απφδνζε. Η Black s approximation πξνυπνζέηεη φηη ην δηθαίσκα ιήγεη ζε ρξφλν Τ θαη κπνξεί λα αζθεζεί ζε νπνηαδήπνηε ρξνληθή ζηηγκή t, 0 < t < T κέζα ζην δηάζηεκα απηφ. Γηα λα βξνχκε ηε βέιηηζηε ρξνληθή ζηηγκή πξαγκαηνπνίεζεο ηεο επέλδπζεο, ε Black s approximation απαηηεί ηε ρξήζε ηνπ κνληέινπ Black & Scholes ψζηε λα ππνινγίζνπκε ηηο ηηκέο ηνπ Δπξσπατθνχ δηθαηψκαηνο ζε ρξφλνπο Τ θαη t (C T θαη C t αληίζηνηρα) θαη ζηε ζπλέρεηα λα νξίζνπκε ηελ ηηκή ηνπ Ακεξηθάληθνπ δηθαηψκαηνο σο ηελ πςειφηεξε ηηκή κεηαμχ ησλ δχν, max (C T,C t ). 4.5 Ειςαγωγή δεδομένων και παρουςίαςη αποτελεςμάτων Απφ ηελ αλάιπζε ηεο επέλδπζεο πνπ πξαγκαηνπνηήζεθε θαη δεδνκέλνπ φηη ε αγνξά ηεο Νέαο Αγγιίαο είλαη ην 25% ηεο αγνξάο ηεο Καιηθφξληα πξνέθπςαλ ηα απνηειέζκαηα πνπ παξνπζηάδνληαη ζηνλ πίλαθα 4.1. Σηελ ππώηη ζηήλη παξνπζηάδνληαη νη εκεξνκελίεο ζηηο νπνίεο γίλεηαη ε απνηίκεζε ηνπ δηθαηψκαηνο. Η δεύηεπη ζηήλη δείρλεη ηελ εθηίκεζε ηνπ αξηζκνχ ησλ ζπλαιιαγψλ πνπ ζα γίλνπλ κε ην λέν δίθηπν αλ ε επέλδπζε γίλεη απηή ηε ζηηγκή. Παξαηεξνχκε φηη γηα ηηο εκεξνκελίεο ηνπ Ιαλνπαξίνπ 1987 θαη Ινπιίνπ 1987 νη ζπλαιιαγέο είλαη 0 δηφηη ην λέν δίθηπν ρξεηάδεηαη έλα ρξφλν γηα λα ηεζεί ζε ιεηηνπξγία. Η ηπίηη ζηήλη παξνπζηάδεη ηα έζνδα απφ ηηο ζπλαιιαγέο, κε ην θέξδνο αλά ζπλαιιαγή λα είλαη 10 cents. Άξα ηα ζηνηρεία απηήο ηεο ζηήιεο πξνθχπηνπλ πνιιαπιαζηάδνληαο ηνλ αξηζκφ ησλ ζπλαιιαγψλ επί 0,10. Η ηέηαπηη ζηήλη δείρλεη ηα ιεηηνπξγηθά θφζηε πνπ είλαη ζηαζεξά $ αλά εμάκελν. Σηελ πέμπηη ζηήλη θαίλνληαη ηα θαζαξά έζνδα (έζνδα κείνλ ιεηηνπξγηθά θφζηε). Τν θφζηνο απφθηεζεο ηνπ δηθηχνπ αλέξρεηαη ζε $ Η θαζαξά παξνχζα αμία ηεο επέλδπζεο ππνινγίδεηαη ζε -$76.767, πνπ ζεκαίλεη φηη δε ζπκθέξεη ηελ εηαηξία λα ηελ πξαγκαηνπνηήζεη άκεζα. Πίλαθαο 4.1 Εθηίκεζε ηνπ ύςνπο ησλ ζπλαιιαγώλ, ησλ εζόδσλ, ηνπ θνζηνπο θαη ηεο Καζαξάο Παξνύζαο Αμίαο 28

29 Σηε ζπλέρεηα γίλεηαη αλάιπζε κε πξαγκαηηθά δηθαηψκαηα πξναίξεζεο. Φξεζηκνπνηψληαο ηελ εμίζσζε Black s Approximation, ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο ζε ρξνληθφ νξίδνληα ηεζζάξσλ εηψλ, αλά εμάκελν. Όπσο αλαθέξακε θαη ζε πξνεγνχκελν θεθάιαην, ππάξρεη αλαινγία κεηαμχ ησλ ρξεκαηννηθνλνκηθψλ θαη ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο. Σηελ πεξίπησζε ηεο εηαηξίαο Yankee24 ε ηηκή εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο (strike price) είλαη ην πνζφ πνπ πξέπεη λα θαηαβάιεη ε εηαηξία πξνθεηκέλνπ λα απνθηήζεη ηελ επέλδπζε θαη ηζνχηαη κε $ Η κεηαβνιή ησλ εζφδσλ είλαη αλάινγε κε ηελ ηηκή κηαο κεηνρήο. Τν επίπεδν ηεο κεηαβιεηφηεηαο (volatility) ησλ εζφδσλ είλαη θαη απηφ αλάινγν κε ηε κεηαβιεηφηεηα ηεο ηηκήο κηαο κεηνρήο θαη νξίδεηαη ζε 50%.Τέινο ην εηήζην επηηφθην κεδεληθνχ θηλδχλνπ (risk free interest rate) είλαη 7%. Τα απνηειέζκαηα πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηελ εθαξκνγή ηνπ κνληέινπ είλαη ηα εμήο : Πίλαθαο 4.2 Τα απνηειέζκαηα ηεο αμηνιόγεζεο ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο Σηνλ παξαπάλσ πίλαθα ε πξψηε γξακκή είλαη ε παξνχζα αμία ησλ εζφδσλ κείνλ ηα ιεηηνπξγηθά θφζηε. Τν discount rate πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε είλαη 12%, ην νπνίν είλαη ην πνζνζηφ πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζπλήζσο ζε ειεθηξνληθέο ηξαπεδηθέο επελδχζεηο. Η δεχηεξε γξακκή παξνπζηάδεη ηελ παξνχζα αμία ηνπ θφζηνπο ηεο επέλδπζεο. Η ηέηαξηε γξακκή παξνπζηάδεη ηελ ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο θαηά ηε ιήμε ηεο πεξηφδνπ πνπ κειεηάκε ελψ αθξηβψο απφ θάησ βιέπνπκε ηελ ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο αλά εμάκελν. Η έθηε γξακκή δείρλεη ηε ζχγθξηζε κεηαμχ ησλ ηηκψλ C T θαη C t θαη παξνπζηάδεη ηελ πςειφηεξε κεηαμχ ησλ δχν. Παξαηεξνχκε φηη ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο παξνπζηάδεη ηελ πςειφηεξε ηηκή ($ ) γηα t = 3. Απηφ ζεκαίλεη φηη ην βέιηηζην ρξνληθφ δηάζηεκα αλαβνιήο ηεο επέλδπζεο είλαη 3 ρξφληα. 4.6 Ανάλςζη εςαιζθηζίαρ Η αλάιπζε επαηζζεζίαο ζηνρεχεη ζην λα δείμεη πψο ηα απνηειέζκαηα πνπ πξνέθπςαλ απφ ηελ παξαπάλσ κειέηε κεηαβάιινληαη φηαλ αιιάδνπλ νη βαζηθέο παξάκεηξνη πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη. Έηζη ινηπφλ ζα κειεηήζνπκε ηηο αιιαγέο πνπ πξνθχπηνπλ ζηελ ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο φηαλ ππάξρνπλ αιιαγέο ζηελ ηηκή ηεο κεηαβιεηφηεηαο (ζ), ζηελ ηηκή ησλ θαζαξψλ ηακεηαθψλ ξνψλ (A), ζην θφζηνο εμάζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο (Φ), ζην ρξφλν ηεο επέλδπζεο (t) θαζψο θαη επηηφθην ρσξίο θίλδπλν (r f ). Με απηφ ηνλ ηξφπν κπνξνχκε λα απαληήζνπκε ζε πξνβιεκαηηζκνχο φπσο πνηα ζα είλαη ε αμία ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο φηαλ αιιάμεη θαηά 1% ε κεηαβιεηφηεηα ηεο ηηκήο ησλ θαζαξψλ ηακεηαθψλ ξνψλ, αλ αιιάμεη ην επηηφθην ρσξίο θίλδπλν θηι. Σε απηφ ην εγρείξεκα ζα καο βνεζήζνπλ νη κεξηθέο παξάγσγνη ηεο αμίαο ηνπ δηθαηψκαηνο σο πξνο ηηο βαζηθέο κεηαβιεηέο. Οη αλαιπηέο νλνκάδνπλ απηέο ηηο παξακέηξνπο «Greeks» θαη νξίδνληαη σο εμήο : 29

30 delta = Γ =, gamma = Γ = =, vega = Λ =, xi = Ξ =, theta = Θ =, rho = ξ = Σην θάησ κέξνο ηνπ πίλαθα 4.2 θαίλνληαη ηα απνηειέζκαηα απηήο ηεο αλάιπζεο. Αλ ππνζέζνπκε φηη ε κεηαβιεηφηεηα (ζ) απμάλεηαη απφ 50% ζε 51% κε φιεο ηηο άιιεο παξακέηξνπο ίδηεο, ηφηε ε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο ζα είλαη : *0,01 = $2.183.Άξα ε ηηκή ζα απμεζεί απφ = $ Δπίζεο αλ ην θφζηνο ηεο επέλδπζεο απμεζεί γηα $1, ε αμία ηεο επέλδπζεο ζα κεησζεί θαηά $0.33, αθνχ ε ηηκή ηνπ Ξ ζηε ζηήιε Jan 90 είλαη Η αλάιπζε επαηζζεζίαο είλαη εμαηξεηηθά ρξήζηκε δεδνκέλνπ φηη ην πεξηβάιινλ κηαο επέλδπζεο είλαη επκεηάβιεην. Παξάιιεια δίλεη ηε δπλαηφηεηα λα εθηηκήζνπκε κηθξέο αιιαγέο ρσξίο λα πξέπεη λα θάλνπκε ηελ αμηνιφγεζε ηεο επέλδπζεο απφ ηελ αξρή. Σην παξάδεηγκα καο ε κεηαβιεηφηεηα ζα κπνξνχζε λα αιιάμεη ιφγσ ηεο εηζφδνπ αληαγσληζηψλ ζηελ αγνξά. Δπίζεο κηα ελδερφκελε θαζεζηέξεζε ζηελ απφθηεζε ηνπ απαξαίηεηνπ εμνπιηζκνχ, ζα αχμαλε ην ρξφλν t θάηα θάπνηνπο κήλεο ή ρξφληα. Παξάιιεια κε ηα πιενλεθηήκαηα ηεο αλάιπζεο, ππάξρνπλ θαη δχν κεηνλεθηήκαηα πνπ πξέπεη λα ιεθζνχλ ππφςε. Τν πξψην είλαη φηη ηα απνηειέζκαηα πνπ παξάγνληαη είλαη έγθπξα κφλν γηα κηθξέο κεηαβνιέο ζηηο παξακέηξνπο. Γηα λα πάξνπκε φζν ην δπλαηφλ πην αμηφπηζηα απνηειέζκαηα πξέπεη λα νξίζνπκε έλα ζηαζεξφ ζεκέην anchor point (π.ρ. t = 3, A = $ , X = $ , ζ = 50%) θαη λα εμεηάζνπκε ηηο κεηαβνιέο γχξσ απφ απηφ ην ζεκείν. Να ζεκεηψζνπκε αθφκα φηη ε δηαθνξά ηεο ηηκήο κεηαμχ ηνπ ππνινγηζκνχ κέζσ κεξηθψλ παξαγψγσλ θαη αξηζκεηηθνχ ππνινγηζκνχ δελ είλαη ίδηα γηα φιεο ηηο παξακέηξνπο. Γηα παξάδεηγκα αλ ππνινγίζνπκε ηε δηαθνξά ηεο αμίαο ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο γηα Φ = $ θαη Φ = $ ζα δνχκε φηη ε πηψζε ζα είλαη $ κε ρξήζε ησλ κεξηθψλ παξαγψγσλ θαη $ κε αξηζκεηηθφ ππνινγηζκφ. Η δηαθνξά απηή μεπεξλάεη ην 14%. Σηε πεξίπησζε ηεο κεηαβιεηφηεηαο έρνπκε κηθξφηεξεο δηαθνξέο. Μηα αιιαγή απφ 50% ζε 60% ζηε κεηαβιεηφηεηα απμάλεη ηελ αμία ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο θαηά $ ζηελ πεξίπησζε πνπ ρξεζηκνπνηήζνπκε αλάιπζε επαηζζεζίαο θαη θαηά $ ζηελ πεξίπησζε πνπ ρξεζηκνπνηήζνπκε αξηζκεηηθφ ππνινγηζκφ. Η δηαθνξά απηή είλαη κφιηο 1,66%. Σην παξαθάησ ζρήκα βιέπνπκε ηε κεηαβνιή ζηελ αμία ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο φηαλ ρξεζηκνπνηνχκε ηηο δχν κεζφδνπο κε αλάιπζε επαηζζεζίαο. Σρήκα 4.3 Απεηθόληζε ηεο αιιαγήο ηεο αμίαο ηεο επέλδπζεο όηαλ αιιάδνπλ δηάθνξεο παξάκεηξνη Γηα λα μεπεξάζνπκε ην παξαπάλσ πξφβιεκα πξέπεη λα πξνζαξκφδνπκε (reballancing) ηηο κεηαβιεηέο greeks γχξσ απφ ην ζεκείν πνπ ζέινπκε λα εμεηάζνπκε. 30

31 Άιινο έλαο πεξηνξηζκφο ηεο αλάιπζεο επαηζζεζίαο είλαη φηη παξέρεη πιεξνθνξίεο κφλν γηα ηηο κεηαβιεηέο πνπ πεξηιακβάλνληαη ζηελ εμίζσζε Black & Scholes. Γελ κπνξνχκε λα εμάγνπκε ζπκπεξάζκαηα γηα ηηκέο πνπ δελ αθνξνχλ άκεζα ηηο κεηαβιεηέο απηέο φπσο γηα παξάδεηγκα ην κέγεζνο ηεο αγνξάο ζηελ νπνία απεπζχλεηαη ε επέλδπζε. Πην ζπγθεθξηκέλα, είδακε ζηελ αξρή φηη ε αγνξά πνπ απεπζχλεηαη ε επέλδπζε ηεο εηαηξίαο Yankee24 είλαη ην 25% ηεο αγνξάο ηεο Καιηθφξληα. Σε πεξίπησζε πνπ ζέινπκε λα αιιάμνπκε απηή ηελ ηηκή ζε 26% ή 27%, δε κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηε κεηαβνιή ζηελ αμία ηνπ δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο. 4.7 Παρατηρήςεισ και ςχόλια πάνω ςτην αξιολόγηςη με βάςη το μοντέλο Black & Scholes Παξφιν πνπ ζεσξήζακε φηη ε ρξήζε ηνπ ππνδείγκαηνο Black & Scholes ήηαλ ε θαιχηεξε επηινγή γηα λα επηιχζνπκε ην πξφβιεκα ηεο εηαηξίαο Yankee24, πξέπεη λα ιάβνπκε ππφςε νξηζκέλεο πεξηπηψζεηο ηηο νπνίεο ην κνληέιν δε κπνξεί λα πξνβιέςεη, ηνπιάρηζηνλ ζε απηή ηνπ ηε κνξθή. Παξάιιεια ζα εμεηάζνπκε πψο αληηκεησπίδεη ηηο ίδηεο πεξηπηψζεηο ην δησλπκηθφ κνληέιν. Αξρηθά, αο δνχκε ηη ζα γηλφηαλ ζηελ πεξίπησζε πνπ ηα έζνδα (Α) έπαηξλαλ αξλεηηθέο ηηκέο, δειαδή φηαλ ην θφζηνο θάζε ζπλαιιαγήο μεπεξλνχζε ηα έζνδα. Απηφ ζα ζπλέβαηλε γηα παξάδεηγκα φηαλ ν αξηζκφο ησλ ζπλαιιαγψλ ήηαλ ηδηαίηεξα κηθξφο. Σε απηή ηελ πεξίπησζε, ηφζν ην ππφδεηγκα Black & Scholes, φζν θαη ην δησλπκηθφ κνληέιν δε κπνξνχλ λα εθαξκνζηνχλ. Βέβαηα, φζνλ αθνξά ην πξψην ππάξρνπλ θάπνηεο παξαιιαγέο ηνπ, πνπ ππνζέηνπλ φηη ε θαηαλνκή ησλ εζφδσλ είλαη θαλνληθή. Παξαιιαγέο πνπ ππνζέηνπλ φηη ην Α παίξλεη αξλεηηθέο ηηκέο ππάξρνπλ βέβαηα θαη γηα ην δησλπκηθφ κνληέιν. Κάπνηνη πξνβιεκαηηζκνί πνπ πξνθχπηνπλ κε ηε κεηαβιεηφηεηα (ζ) αθνξνχλ θαηά πφζν απηή κπνξεί λα πάξεη πνιχ κηθξέο ηηκέο θαη ηη ζπκβαίλεη φηαλ απηή δελ είλαη ζηαζεξή. Σε απηή ηελ πεξίπησζε ην δησλπκηθφ κνληέιν ζα αδπλαηνχζε λα εμάγεη αζθαιή ζπκπεξάζκαηα κηαο θαη γηα ηέηνηεο ηηκέο (γηα παξάδεηγκα ζ = 12%) ε παξάκεηξνο p πνπ ηζνχηαη κε (r-d) / (u-d) ζα μεπεξλνχζε ηελ ηηκή 1. Αο ζεσξήζνπκε επίζεο φηη ε κεηαβιεηφηεηα δελ είλαη ζηαζεξή, αιιά κεηψλεηαη κε ην ρξφλν. Απηφ ζα κπνξνχζε λα ζπκβεί ζηελ πεξίπησζε πνπ ε αγνξά ζηελ νπνία εηζέξρεηαη ε εηαηξία αλαπηχζζεηαη απφηνκα θαη ζηε ζπλέρεηα παξνπζηάδεη θάκςε. Κάηη ηέηνην ζα ζπλέβαηλε αλ αξρηθά ππήξρε έθξεμε ελδηαθέξνληνο απφ ηνπο πειάηεο εμαηηίαο ηεο πνιχ πςειήο ηερλνινγίαο πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζην ζχζηεκα, αιιά ζηε ζπλέρεηα κεγάιε κείσζε ιφγσ ηερληθψλ πξνβιεκάησλ θαη δπζιεηηνπξγηψλ πνπ εκθαλίδνληαη. Καζψο ινηπφλ ε κεηαβιεηφηεηα κεηψλεηαη θαη ηα έζνδα γίλνληαη φιν θαη πην ζηαζεξά ε ζεσξία ησλ πξαγκαηηθψλ δηθαησκάησλ πξναίξεζεο γίλεηαη φιν θαη ιηγφηεξν ειθπζηηθή απφ ηνπο αλαιπηέο. Αθφκα, φπσο είδακε θαη παξαπάλσ, ην ππφδεηγκα Black Scholes δε κπνξεί λα ππνινγίζεη ην βέιηηζην ρξφλν ηεο επέλδπζεο φηαλ πξφθεηηαη γηα δηθαίσκα πξναίξεζεο Ακεξηθάληθνπ ηχπνπ, γη απηφ ρξεζηκνπνηήζακε κηα παξαιιαγή ηνπ, ηελ Black s Approximation. Μηα θαιή ιχζε εδψ ζα κπνξνχζε λα απνηειέζεη ην δησλπκηθφ κνληέιν, ην νπνίν κπνξεί λα ππνινγίζεη ηελ ηηκή ελφο δηθαηψκαηνο πξηλ ή θαηά ηελ ιήμε ηνπ (δηθαίσκα Δπξσπατθνχ ηχπνπ). Τέινο ζε πεξηπηψζεηο φπνπ ην θφζηνο ηεο επέλδπζεο δελ είλαη ζηαζεξφ (θάηη ην νπνίν ζα εμεηάζνπκε ζηα επφκελα ππνθεθάιαηα), ην κνληέιν Black &Scholes δε κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί, ηνπιάρηζηνλ ζε απηή ηνπ ηε κνξθή. Αληίζεηα ην δησλπκηθφ κνληέιν κπνξεί λα ελζσκαηψζεη ηε ζηνραζηηθή εμέιημε ηνπ θφζηνπο. 31

32 Γεδνκέλνπ φηη θάζε πξφβιεκα έρεη ηηο ηδηαηηεξφηεηέο ηνπ, ε επηινγή ηνπ θαιχηεξνπ κνληέιν επαθίεηαη ζηε δηαθξηηηθή επρέξεηα ησλ αλαιπηψλ. Σε θάζε πεξίπησζε ηα δχν κνληέια (ή νη παξαιιαγέο ηνπο) απαηηνχλ πξνζνρή θαηά ηελ εθαξκνγή ηνπο, πξνθεηκέλνπ λα παξάγνπλ αμηφπηζην απνηέιεζκα. 4.8 Κατηγοριοποίηςη των επενδύςεων ςε πληροφοριακά ςυςτήματα Οη Schwartz θαη Zozaya Gorostiza ζηε δεκνζίεπζή ηνπο «Investment Under Uncertainty in Information Technology: Acquisition and Development Projects » θαηεγνξηνπνηνχλ ηηο επελδχζεηο πιεξνθνξηαθψλ ζπζηεκάησλ ζε έπγα ανάπηςξηρ (development projects) θαη έπγα απόκηηζηρ (acquisition projects). Σηα έξγα απφθηεζεο ν νξγαληζκφο έρεη ηελ επηινγή λα μνδέςεη έλα πνζφ Κ ψζηε λα απνθηήζεη θάπνην αγαζφ (π.ρ. ινγηζκηθφ, ππνινγηζηέο ή θάπνην νινθιεξσκέλν πιεξνθνξηαθφ ζχζηεκα). Σε θάζε ρξνληθφ ζεκείν t, ην πνζφ Κ είλαη γλσζηφ κε αθξίβεηα, σζηφζν νη αιιαγέο πνπ ζα ππάξμνπλ ζην κέιινλ είλαη αβέβαηεο. Όηαλ ην αγαζφ απνθηεζεί, ηφηε ε επηρείξεζε αξρίδεη λα έρεη έζνδα (C) απφ ηελ εθκεηάιιεπζή ηνπ. Καηά ηελ αμηνιφγεζε ηεο επέλδπζεο πξέπεη λα ιεθζνχλ ππφςε δχν παξάγνληεο. Ο πξψηνο είλαη ε αβεβαιόηηηα πνπ ππάξρεη ηφζν ζηα θφζηε φζν θαη ζηα νθέιε απφ ηελ απφθηεζε ηνπ αγαζνχ. Ο δεχηεξνο παξάγνληαο έρεη λα θάλεη κε ηελ ενδεσόμενη μείυζη ηυν εζόδυν, αλ ε εηαηξία αλαβάιιεη γηα κεγάιν ρξνληθφ δηάζηεκα ηελ επέλδπζε, νπφηε θαη ζα δερζεί ηνλ αληαγσληζκφ απφ άιιεο εηαηξίεο. Σπλππνινγίδνληαο ηνπο δχν παξάγνληεο, ζα πξέπεη λα βξνχκε πνηα είλαη ε θαηαιιειφηεξε ζηηγκή ψζηε λα γίλεη ε επέλδπζε, έρνληαο πάληα σο ζηφρν ηε κεγηζηνπνίεζε ηνπ θέξδνπο. Σρήκα 4.4- Σρεκαηηθή απεηθόληζε ελόο έξγνπ απόθηεζεο Σηα έξγα αλάπηπμεο, ην αγαζφ δελ απνθηηέηαη απηνζηηγκή αιιά αλαπηχζζεηαη ζηαδηαθά απφ ηελ εηαηξία. Η δηάξθεηα ηεο αλάπηπμεο (η) δελ είλαη γλσζηή κε αθξίβεηα. Η εηαηξία ζπλερίδεη λα επελδχεη ρξήκαηα ζην έξγν κέρξηο φηνπ νινθιεξσζεί θαη ην ελαπνκείλαλ θφζηνο Κ γίλεη 0. Ο ξπζκφο επέλδπζεο ρξεκάησλ Ι είλαη κηθξφηεξνο ή ίζνο κε έλαλ κέγηζην ξπζκφ Im. Μφιηο νινθιεξσζεί ην έξγν ε εηαηξία ιακβάλεη ηελ αμία ηνπ ππνθείκελνπ αγαζνχ V. Σρήκα Σρεκαηηθή απεηθόληζε ελόο έξγνπ αλάπηπμεο 32

33 Τν project ηεο εηαηξίαο Yankee24 πνπ κειεηάκε ζε απηφ ην θεθάιαην είλαη έξγν απφθηεζεο θαη απηφ γηα δχν ιφγνπο. Πξψηνλ ε δηάξθεηα πνπ απαηηείηαη γηα λα νινθιεξσζεί ην δίθηπν είλαη γλσζηή απφ ηελ αξρή θαη κε αθξίβεηα (1 έηνο) θαη δεχηεξνλ ε εηαηξία δχλαηαη λα δηαζέζεη ηα $ δνιάξηα άκεζα θαη λα απνθηήζεη ην ππνθείκελν αγαζφ. Γη απηφ ζην επφκελν ππνθεθάιαην ζα πνχκε κεξηθά πξάγκαηα γηα ηα έξγα απφθηεζεο ζχκθσλα πάληα κε ηνπο Schwartz θαη Zozaya. 4.9 Αποτίμηςη των έργων απόκτηςησ Τν κόζηορ απόκηηζηρ Κ ελφο αγαζνχ IT κεηαβάιιεηαη ζχκθσλα κε ηνλ ηχπν : dk = δκdt + γκdw, (4.9.1) φπνπ ν φξνο δκdt παξηζηάλεη ηελ αιιαγή ηνπ θφζηνπο ζηε δηάξθεηα ηνπ ρξφλνπ. Η παξάκεηξνο αβεβαηφηεηαο δ εμαξηάηαη απφ ηνλ ηχπν ηνπ αγαζνχ IT πνπ εμεηάδνπκε. Αλ γηα παξάδεηγκα απνηηκνχκε θάπνην αγαζφ πνπ ράλεη γξήγνξα ηελ αμία ηνπ (π.ρ. hardware) ηφηε ε παξάκεηξνο δ ζα πάξεη αξλεηηθή ηηκή, πξάγκα πνπ ζεκαίλεη φηη ην θφζηνο λα απνθηήζνπκε ην αγαζφ ζα κηθξαίλεη κε ηελ πάξνδν ηνπ ρξφλνπ. Ο δεχηεξνο φξνο αθνξά ηα εμσηεξηθά θφζηε πνπ έρνπλ λα θάλνπλ γεληθφηεξε θαηάζηαζε ηεο νηθνλνκίαο. Ο Pindyck ζηε δεκνζίεπζε ηνπ «Investments of uncertain costs -1993» νλνκάδεη ηνλ παξάγνληα γ input costs uncertainty. ηχπν : Τα έζοδα C από ηην εκμεηάλλεςζη ηνπ αγαζνχ ΙΤ κεηαβάιινληαη ζχκθσλα κε ηνλ dc = αcdt + θcdx (4.9.2) φπνπ ν φξνο αcdt πεξηγξάθεη ηε κεηαβνιή ζηα έζνδα θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ ρξφλνπ. Όηαλ ην α έρεη ζεηηθή ηηκή ζεκαίλεη φηη απμάλεηαη ν ξπζκφο πνπ ε εηαηξία απνθηά έζνδα (γηα παξάδεηγκα φηαλ έρεη γίλεη ζσζηή πξνψζεζε ελφο πξντφληνο, νπφηε ην ρξεζηκνπνηνχλ πνιινί πειάηεο). Αληίζεηα φηαλ κεηψλεηαη ν ξπζκφο απφθηεζεο θεξδψλ ην α κεηψλεηαη (π.ρ. ζε πεξίπησζε πνπ εηζέιζνπλ αληαγσληζηέο ζηελ ίδηα αγνξά, νπφηε κεηψλεηαη ν αξηζκφο ησλ πειαηψλ ). Ο φξνο θcdx ππνδειψλεη ηελ ζηνραζηηθή θίλεζε ησλ εζφδσλ, κε ηνλ παξάγνληα dx λα είλαη κηα αχμεζε ηεο θίλεζεο Brown. Η αναμενόμενη αξία V ηνπ αγαζνχ IT ζε κηα ζπγθεθξηκέλε ρξνληθή ζηηγκή 0 t T είλαη ε παξνχζα αμία ησλ εζφδσλ C, απφ ηε ζηηγκή πνπ ε εηαηξία απνθηά ην αγαζφ κέρξη ηε ιήμε ηεο ρξήζεο ηνπ. Γίλεηαη απφ ηνλ ηχπν : V(C,t) = E Q [ ]. (4.9.3) Η risk neutral ζπλάξηεζε κεηαβνιήο ησλ εζφδσλ γίλεηαη : dc = (α ε c )Cdt + θcdx* = α*cdt + θcdx*, (4.9.4) φπνπ ην ε c είλαη ην risk premium θαη dx* είλαη ε αχμεζε ζε κηα θίλεζε Gauss Wienner. Γηα ην δηάζηεκα (t,t) πξνθχπηεη ν ηχπνο : V(C,t) = [1- ] (4.9.5) 33

34 Η αμία ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο ζπκβνιίδεηαη κε F(C,K,t). Φξεζηκνπνηψληαο ην ιήκκα Ito γηα λα απνηππψζνπκε ην δηαθνξηθφ ηεο df, πξνθχπηεη ν παξαθάησ ηχπνο : df = dt + dc + dk + d + d + dcdk. (4.9.6) Αληηθαζηζηψληαο ηηο ζρέζεηο 4.9.1, θαη ζηε ζρεηηθή εμίζσζε βειηηζηνπνίεζεο ηνπ Bellman πξνθχπηεη ε παξαθάησ παξαβνιηθή κεξηθή δηαθνξηθή εμίζσζε δεπηέξαο ηάμεο : θ 2 C 2 F cc + γ 2 Κ 2 F KK + ξ CK θγckf CK + (α ε c )CF c + (δ ε Κ )ΚF Κ + F t r f F = 0 κε ζπλνξηαθέο εμηζψζεηο : (4.9.7) F(C,K,T) = 0, πνπ ζεκαίλεη φηη ε αμία ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο ηε ζηηγκή Τ ζα είλαη κεδέλ, θαζψο δελ ππάξρνπλ έζνδα κεηά απφ απηή ηε ζηηγκή θαη F(C,K,t) max{0,v(c,t) K(t)}, πνπ ζεκαίλεη φηη ζε νπνηνλδήπνηε ρξφλν t ε αμία ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο ζα είλαη πάληα ζεηηθή θαη ζα είλαη κεγαιχηεξε ή ίζε κεηαμχ ηεο αμίαο θαη ηνπ θφζηνπο ηνπ αγαζνχ IT. Η θαζαξά παξνχζα αμία (NPV) ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο ζε θάπνην ρξφλν t δίλεηαη αθαηξψληαο ην θφζηνο Κ(t) απφ ηελ αμία ηνπ αγαζνχ V(C,t). NPV = (C,K,t) = V(C,t) K(t) (4.9.8) Όπσο αλαθέξακε θαη παξαπάλσ, ε παξαδνζηαθή ηερληθή αμηνιφγεζεο επελδχζεσλ ιέεη φηη αλ ε Καζαξά Παξνχζα Αμία κηα επέλδπζεο είλαη ζεηηθή ηφηε κπνξνχκε λα θάλνπκε ηελ επέλδπζε. Αληίζεηα φηαλ είλαη αξλεηηθή, ηφηε ε βέιηηζηε απφθαζε είλαη λα κελ πξνρσξήζνπκε ζηελ επέλδπζε. Δπεηδή φκσο ππάξρεη αβεβαηφηεηα ζηα θφζηε θαη ζηα νθέιε ηεο επέλδπζεο απηά ηα θξηηήξηα δελ είλαη πάληα ζσζηά. Σηελ κεζνδνινγία αμηνιφγεζεο πνπ παξνπζηάδεηαη ζε απηφ ην ππνθεθάιαην, φηαλ ε δηαθνξά κεηαμχ ηεο αμίαο ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο F(C,K,t) θαη ηεο NPV(C,K,t) είλαη ζεηηθή ηφηε ε βέιηηζηε απφθαζε είλαη λα αλαβάιινπκε ηελ επέλδπζε αλ απηφ είλαη εθηθηφ, αθφκα θαη αλ ε ηηκή ηεο θαζαξάο παξνχζαο αμίαο είλαη ζεηηθή. Όηαλ ε ηηκή V(C,t) είλαη πνιχ πςειφηεξε απφ ην θφζηνο Κ, ηφηε ε ηηκή ηεο F ζα είλαη ίζε κε ηελ θαζαξά παξνχζα αμία θαη κφλν ηφηε είλαη ε θαιχηεξε ζηηγκή γηα λα γίλεη ε επέλδπζε. Τέινο φηαλ ε ΚΠΑ είλαη αξλεηηθή, ηφηε ε εηαηξία αλαβάιιεη ηελ επέλδπζε κέρξη λα κεησζνχλ ηα θφζηε ή λα απμεζνχλ ηα θέξδε, ψζηε ε ΚΠΑ λα γίλεη ζεηηθή. Με ιίγα ιφγηα ε δηαθνξά κεηαμχ ηεο ηηκήο ηεο ΚΠΑ θαη ηεο F δίλεη ηελ αμία ηνπ δικαιώμαηορ αναβολήρ ηεο επέλδπζεο. Σηνλ παξαθάησ πίλαθα θαίλεηαη ε ζρέζε κεηαμχ ηεο ζπλάξηεζεο F(C,K,t) θαη NPV(C,K,t). 34

35 Πίλαθαο Σρέζε ηεο ζπλάξηεζεο F, ηεο ΚΠΑ θαη ηεο αμίαο ηεο επελδπηηθήο επθαηξίαο 4.10 Εφαρμογή του μοντέλου έργων απόκτηςησ ςτο πρόβλημα τησ εταιρίασ Yankee24 Σηελ ελφηεηα απηή ζα δείμνπκε πψο ην κνληέιν έξγσλ απφθηεζεο εθαξκφδεηαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ δηθηχνπ παξνρήο ρξεσζηηθψλ θαξηψλ ηεο εηαηξίαο Yankee24. Οη Schwartz θαη Zozaya ρξεζηκνπνίεζαλ ηα δεδνκέλα απφ ηε δεκνζίεπζε ησλ Benaroch Kauffman θαη επέθηεηλαλ ηε κειέηε ησλ πξψησλ ελζσκαηψλνληαο ζην κνληέιν ηνπο ηελ αβεβαηφηεηα ζην θφζηνο ηεο επέλδπζεο. Σηνλ παξαθάησ πίλαθα παξαζέηνπκε μαλά ηα δεδνκέλα ηνπ αξηζκνχ ησλ ζπλαιιαγψλ, ησλ εζφδσλ, ηνπ ιεηηνπξγηθνχ θφζηνπο θαη ησλ θαζαξψλ ηακεηαθψλ ξνψλ φπσο απνηππψζεθαλ απφ ηνπο Benaroch Kauffman. Πίλαθαο 4.3 Εθηίκεζε ηνπ ύςνπο ησλ ζπλαιιαγώλ ησλ εζόδσλ θαη ηνπ θόζηνπο Όπσο αλαθέξακε θαη παξαπάλσ ε επέλδπζε κπνξεί λα κνληεινπνηεζεί ζαλ έξγν απφθηεζεο γηα δχν ιφγνπο. Ο πξψηνο είλαη φηη ε δηάξθεηα αλάπηπμεο είλαη απφ ηελ αξρή γλσζηφο κε αθξίβεηα (η = 1 έηορ) θαη ν δεχηεξνο φηη ε εηαηξία κπνξεί λα δηαζέζεη ην πνζφ ησλ $ πνπ απαηηνχληαη νπνηαδήπνηε ζηηγκή. Τν παξαθάησ ζρήκα απνηππψλεη ηελ πεξηγξαθή πνπ δψζακε : 35

36 Σρήκα 4.6 Σρεκαηηθή απεηθόληζε ηνπ project ηεο εηαηξίαο Yankee24 Γηα λα εθαξκφζνπκε ην κνληέιν πάλσ ζην project έγηλαλ δχν ηξνπνπνηήζεηο. Η πξψηε αθνξά ηελ ελζσκάησζε ηνπ ιεηηνπξγηθνχ θφζηνπο (operating marketing costs) ζηελ αξρηθή επέλδπζε, επεηδή απηά είλαη ζηαζεξά ($ $ = $40.000) θαη δε κεηαβάιινληαη. Έηζη ινηπφλ ε εμίζσζε ηνπ θφζηνπο απφθηεζεο πνπ δψζακε ζηελ αξρή ηνπ θεθαιαίνπ κεηαηξέπεηαη ζε : dk = δdt + γκdw, (4.10.1) φπνπ δ είλαη ην ιεηηνπξγηθφ θφζηνο αλά έηνο θαη ηζνχηαη κε -$ ελψ κε γ ζπκβνιίδεηαη ε κεηαβιεηφηεηα (volatility) ηνπ θφζηνπο. Η παξνχζα ηηκή ηνπ ιεηηνπξγηθνχ θφζηνπο γίλεηαη -$40.000e -0.07*1 = -$37.200, κε επηηφθην 7%, επεηδή απηφ αξρίδεη λα ην πιεξψλεη ε εηαηξία 1 ρξφλν κεηά ηελ απφθαζε γηα επέλδπζε, φπσο θαίλεηαη θαη ζηνλ πίλαθα 4.3. Γηα ηνλ ίδην ιφγν ε ζπλάξηεζε ηεο αμίαο ηνπ ΙΤ αγαζνχ γίλεηαη : V(C,t) = [ ], (4.10.2) φπνπ α* = (α ε c ) θαη η = 1 έηνο. Τν ζπλνιηθφ θφζηνο ηεο επέλδπζεο ηε ρξνληθή ζηηγκή 0 δίλεηαη πξνζζέηνληαο ηα $ θαη ηελ παξνχζα αμία ησλ ιεηηνπξγηθψλ θνζηψλ ηελ πεξίνδν [η,τ]. Έηζη πξνθχπηεη: Κ(0) = $ = $ = $ ( + ) = $ ( νπφηε γηα η = 1, Σ = 5.5 θαη πξνθχπηεη : $ (. Ο ξπζκφο αχμεζεο ησλ εζφδσλ απφ ηηο ζπλαιιαγέο αλά εμάκελν είλαη ζηαζεξφο θαη δίλεηαη δηαηξψληαο δχν δηαδνρηθέο ηηκέο απφ ηε ζηήιε Revenues ηνπ πίλαθα 4.3.Έηζη έρνπκε: α/2 = ln( C(t+1) / C(t)) = ln(861 / 353) = ln ( 2.44) = α = 1,784 Ο αλακελφκελνο ξπζκφο ησλ εζφδσλ ηε ρξνληθή ζηηγκή 0 δίλεηαη κεηαθέξνληαο ηελ ηηκή ηνπ Ιαλνπαξίνπ 1988 ζηε ζηηγκή 0 θαη ζηε ζπλέρεηα πνιιαπιαζηάδνπκε επί 2 ψζηε λα βξνχκε ηνλ εηήζην ξπζκφ αχμεζεο. C(0) = 2*$353* = $75,9 36

37 Ο ρξφλνο t είλαη 1.25 επεηδή ππνζέηνπκε φηη ηα έζνδα ιακβάλνληαη ζην κέζνλ θάζε εμακήλνπ. Τέινο φπσο αλαθέξακε θαη παξαπάλσ, ε κεηαβιεηφηεηα ησλ εζφδσλ είλαη ίζε κε 0,5. Σηνλ παξαθάησ πίλαθα ζπλνςίδνληαη νη ηηκέο ησλ παξακέηξσλ πνπ απαηηνχληαη ψζηε λα εθαξκφζνπκε ην κνληέιν. Πίλαθαο 4.4 Παξάκεηξνη ηνπ κνληέινπ έξγσλ απόθηεζεο γηα ηελ επέλδπζε ηεο εηαηξίαο Πίλαθαο 4.5 Πξνζνκνίσζε ησλ εζόδσλ από ηελ επέλδπζε Δλψ ε κειέηε ησλ Benaroch Kauffman ζεσξνχζε ην θφζηνο ζηαζεξφ, ε κεξηθή δηαθνξηθή εμίζσζε (4.9.7) ιχζεθε κε εχξνο θφζηνπο απφ $0 έσο $ κε ηηκέο αλά $ Αληίζηνηρα γηα ηα έζνδα ζεσξήζεθε εχξνο ηηκψλ απφ $0 έσο $ κε αχμεζε αλά $20, κε αξρηθή ηηκή C(0) ίζε κε είλαη $75,9 θαη ηηκή ζην ηέηαξην έηνο ίζε κε 75,9* = $95,360. Σηνλ πίλαθα 4.5 βιέπνπκε κηα πξνζνκνίσζε ησλ εζφδσλ γηα dt=0,01 θαη dc=1.734 *C*dt+0.5*C*dX ( ζρέζε 4.9.4). Με απηφ ηνλ ηξφπν θαηαζθεπάζηεθαλ νη πίλαθεο θφζηνπο/εζφδσλ (C x K) γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή. Γεδνκέλνπ φηη ζην πξφβιεκα έρνπκε ελληά ρξνληθέο ζηηγκέο θαηαζθεπάζηεθαλ ηζάξηζκνη πίλαθεο C x K. Η ηηκή ησλ risk premium είλαη 0% γηα ηα θφζηε θαη 5% γηα ηα έζνδα. Σηνλ παξαθάησ πίλαθα θαίλνληαη ηα απνηειέζκαηα ηεο κειέηεο. 37