Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

Transcript

1

2 Ένα µεγάλο Ευχαριτώ τον καθηγητή µου κ. Σαλπιτή Χρήτο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

3 ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ Ε. ΙΩΑΝΝΗΣ ΑΕΜ: 89 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΣΑΛΠΙΣΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

4 Περιεχόµενα. Μηχανική των Στερεών. Κατατατικά πρότυπα 4. Σχέεις της µικροκοπικής υµπεριφοράς του υλικού µε την µακροκοπική κατατατική θεωρία 5.3 Γραµµική ελατικότητα 7.4 Η χέη µεταξύ τάης-παραµόρφωης, και θερµοκραίας 8.5 Συµµετρίες 8.6 Σχέεις τάης-µετατόπιης 9.7 Μητρώο τοιβαρότητας των κατατατικών χέεων 9.8 Ενεργειακή πυκνότητα παραµόρφωης 9.9 Ελατικές υµµετρίες. Ορθότροπα υλικά. Εγκάρια Ιότροπο υλικό. Κυβική υµµετρία 3.3 Ιότροπα υλικά 4.4 Περιοριµοί τις τιµές των υντελετών του υλικού 5. Μετάδοη του ηχητικού κύµατος. Ειαγωγή 6. Ηχητικά κύµατα ε µη-πιεζοηλεκτρικά υλικά. Μονοδιάτατη θεωρία 7.. Τάη 8.. Μετατόπιη και Παραµόρφωη 9..3 Νόµος του Hooke, θεωρία της ελατικότητας 9..4 Εξιώεις κίνηης..5 ιατήρηη της µάζας..6 Η εξίωη κύµατος και ο οριµός της ταθεράς µετάδοης..7 Ενέργεια..8 Το θεώρηµα του Poynting 3..9 Απώλειες 4 3. Υπολογιµός µέτρου ελατικότητας µε την βοήθεια υπερήχων 3. Υπέρηχοι 6 3. Μετάδοη του κύµατος Εξοπλιµός Μετάδοη του κύµατος τα υλικά Σχέεις ανάµεα τους υπέρηχους και τις ιδιότητες του υλικού Μέτρο ελατικότητας Λόγος Poisson Συντελετής λ Θερµοκραιακό µοντέλο Debye Ιόθερµο µέτρο ελατικότητας Εφαρµογή Υπολογιµός µέτρου ελατικότητας ε µονάδα κληρού δίκου ηλεκτρονικού υπολογιτή 4.. Περιγραφή προβλήµατος Εξοπλιµός Μετρήεις Υπολογιµοί 4

5 Υπολογιµός µέτρου Ελατικότητας ε υλικά µε τη βοήθεια Υπερήχων. Η Μηχανική των Στερεών. Κατατατικά Πρότυπα Για να διαµορφωθεί το ύνολο των εξιώεων που εκφράζουν την υµπεριφορά των τερεών ε φορτίεις, χρειάζονται οι χέεις τάεων-παραµορφώεων που αναπτύονται. Οι µαθηµατικές αυτές χέεις δέν πρέπει να παραβιάζουν τους νόµους της θερµοδυναµικής. Έχοντας ως βάη το παραπάνω, µπορούν να αναπτυχθούν οι χέεις που υνδέουν τάεις-παραµορφώεις τα υλικά. Οι χέεις αυτές πρέπει να ανταποκρίνονται τις πειραµατικές µετρήεις του αντικειµένου που µελετάται, και να βαίζονται τους φυικούς µηχανιµούς του υλικού του. Πρίν εξετατούν οι υγκεκριµένες µαθηµατικές χέεις, αξίζει να αναφερθούν µερικές από τις βαικές υποθέεις που κρύβονται κάτω από τον όρο µηχανική υνέχεια. Στην υµπεριφορά ενός τερεού υπό φορτίο, παρατηρούνται διαφορές ανάλογα µε την κλίµακα µήκους την οποία εξετάζεται. Η µηχανική υνέχειας είχε αρχικό κοπό να προδιορίει την υµπεριφορά δοµικών τοιχείων τάξεως µεγέθους, ~ m. Αυτή η κλίµακα αποτέλει την µία από τις 4 τις οποίες µπορεί να δεί κανείς διαφορετικές υµπεριφορές ε ένα υλικό:. Η δοµική κλίµακα από.mm έως m αφορά τα γεωµετρικά χαρακτηριτικά του τερεού. Σε αυτή την κλίµακα επικεντρώνει το ενδιαφέρον του ο µηχανολόγος και ο πολιτικός µηχανικός.. Η κλίµακα του µικρού από,µm έως,mm αφορά τα χαρακτηριτικά γνωρίµατα της δοµής του τερεού. Η επιτήµη της τεχνολογίας των υλικών αχολείται εκτενέτερα µε το υγκεκριµένο εύρος µήκους. 3. Η υπό-το-µικρό κλίµακα από,nm nm η λεγόµενη µικροκοπική κλίµακα, αχολείται µε τις ατέλειες την µικροδοµή του υλικού. Σε αυτή την κλίµακα µήκους το υλικό έχει λίγο-πολύ µια δική του υµπεριφορά, αν και πολλοι κλάδοι επιτηµών (Μηχανικοί, Χηµικοί, Φυικοί) προπαθούν να βρούν τρόπους να την προεγγίουν. 4. Η ατοµική κλίµακα της τάξεως του.nm αναφέρεται την κρυταλλική ή µοριακή δοµή του υλικού. Οι περιότεροι κλαικοί κατατατικοί νόµοι βρίκουν εφαρµογή την δοµική κλίµακα. Αυτό γιατι οι χωρικές παραλλαγές την τάη και παραµόρφωη χετίζονται µόνο µε τα γεωµετρικά χαρακτηριτικά γνωρίµατα του υλικού. Επιπλέον, εάν υποτεθεί ότι εξετάζεται µια µεγάλη περιοχή που περιβάλλει ένα ηµείο το υλικό, η παραµόρφωη την περιοχή αυτή είναι οµοιογενής και η τάη ταθερή. Όταν η αναφορά γίνεται για ένα «ηµείο» το υλικό κάποιου δοµικού τοιχείου, ηµαίνει µια περιοχή που είναι µικρή ε χέη µε τις διατάεις του, αλλά µεγάλη ε χέη µε την χαρακτηριτική κλίµακα µήκους που µελετάται. Η υµπεριφορά των υλικών την κλίµακα του µικρού είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη. Στην κλίµακα αυτή, τα περιότερα υλικά είναι κυρίως ανοµοιογενή. Ακόµη, υπάρχει περίπτωη το τερεό να µην υµπεριφέρεται κάν ως τερεό (ειδικά ε µεγάλες

6 θερµοκραίες) διότι τα άτοµα βρίκονται ε αταξία, ειδικά ε περιοχές που παρατηρούνται ατέλιες το υλικό, µε αποτέλεµα να είναι αδύνατο να τυποποιηθεί η υµπεριφορά αυτή. Αξιοηµείωτο είναι πως τέτοια πολύπλοκα φαινόµενα µπορούν υχνά να περιγραφούν επιτυχώς την δοµική κλίµακα µήκους που αναφέρθηκε νωρίτερα, χρηιµοποιώντας τους γνωτούς νόµους. Στην υπό-το-µικρό κλίµακα, τα µέταλα και τα κεραµικά γίνονται απλούτερα, υνήθως αποτελούνται από ένα κρυταλλικό πλέγµα µε πολλές κατά διατήµατα ατέλειες. Η υµπεριφορά του κρυτάλλου ε αυτό το µήκος κύµατος καλύπτεται πλήρως από την θεωρία της γραµµικής ελατικότητας. Η θεωρία αυτή µπορεί να προδιορίει αξιόπιτα τις αλληλεπιδράεις των ατελειών το υλικό, όπως επίης να προβλέψει µε µεγάλη ακρίβεια την θέη των ατόµων κοντά τα ηµεία που εµφανίζονται οι ατέλειες αυτές. Φυικά, για να πάρει ακριβείς προβλέψεις ε αυτή την κλίµακα µήκους είναι απαραίτητο να λάβει υπ όψη τα αποτελέµατα της ελατικής ανιοτροπίας την κρυταλλική δοµή του υλικού πράγµα που υνήθως πολλοί από εµάς που χρηιµοποιούν µόνο την κλαική θεωρία της ελατικότητας για να µελετήουν µεγάλες δοµές, ξεχνάνε. Η γραµµική ελατικότητα αδυνατεί να µελετήει την υµπεριφορά του κρυτάλλου τις γειτονικές περιοχές της ατέλειας. Στην πραγµατικότητα, αρκετές µορφές ατελειών την θεωρία γραµµικής ελατικότητας (όπως π.χ. ρωγµές) πρέπει να απλοποιηθούν κατάλληλα ώτε να αποφευχθούν πολύπλοκες µαθηµατικές εκφράεις που περιγράφουν την κατάταη του τερεού το ηµείο της ατέλειας. Για τον λόγο αυτό είναι απαραίτητο να θεωρηθεί το τερεό ως ιδιαίτερο δικτυωτό πλέγµα. Σε αυτή την κλίµατα µήκους τα πολυµερή, εµφανίζεται ένα µεγάλο µέρος της φυικής υµπεριφοράς που περιλαµβάνει τις αλληλεπιδράεις µεταξύ των πολυµερών αλυίδων. Για µιά ακόµη φορά, η υµπεριφορά αυτή δεν µπορεί να περιγραφεί από µια θεωρία υνέχειας. Οι θεωρίες υνέχειας δεν γνωρίζουν καν την ύπαρξη της ατοµικής κλίµακας... Σχέεις της µικροκοπικής υµπεριφοράς του υλικού µε την µακροκοπική κατατατική θεωρία. Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουιάτουν αρκετές κλαικές µαθηµατικές χέεις: Ελατικότητας, πλατικότητας, βικοελατικότητας, κ.α. Με εξαίρεη την γραµµική ελατικότητα όπου µπορεί να χρηιµοποιηθεί και την δοµική, αλλά και την υποτο-µικρό κλίµακα, αυτοί οι νόµοι ιχύουν για όλες τις χετικές εφαρµογές. Σκοπός είναι να παρουιάτουν τα γενικά χαρακτηριτικά γνωρίµατα των πρότυπων αυτών υλικών, παρά να ερευνηθούν λεπτοµερώς τα φυικά τους χαρακτηριτικά. Η προπάθεια να υνδεθεί η υµπεριφορά του υλικού την µικροκοπική κλίµακα και την αντίδραή του µακροκοπικά, µπορεί εύκολα να οδηγήει ε λάθος αποτελέµατα. Το ζήτηµα που πρέπει να αντιµετωπιτεί είναι το εξής: Η µακροκοπική κατατατική θεωρία υποθέτει ότι την κλίµακα του µικρού το υλικό είναι οµοιογενές, και κατά υνέπεια η τάη και η παραµόρφωη είναι οµοιόµορφες ε µια περιοχή του τερεού. Στην πραγµατικότητα όµως αυτή η υπόθεη δεν ιχύει: Στην πραγµατικότητα το υλικό είναι ανοµοιογενές την κλίµακα του µικρού, και η τάη καθώς και η παραµόρφωη απέχουν από την οµοιοµορφία και την οµοιογένεια. Αρά, τι εννοεί κανείς αναφερόµενος την «τάη» και την «παραµόρφωη» που εµφανίζονται τις χέεις που περιγράφουν αυτές τις κατατάεις:

7 Για να υνδεθούν όλα τα παραπάνω πρέπει να γίνουν κάποιες παραδοχές. Υποτίθεται ότι η πίεη που ακείται ε ένα ηµείο είναι οµοιόµορφη. Το ηµείο αυτό πρέπει να είναι αρκετά µικρό ε χέη µε την κλίµακα µήκους που εξετάζεται, αλλά αρκετά µεγάλο για να προδιορίει τατιτικά µια περιοχή του υλικού. Έτι µπορεί να ερµηνευθεί η χέη τάης-παραµόρφωης. Έτω Σ η οµοιόµορφη µέη τιµή τάη που δέχεται το κάθε ηµείο του µοντέλου µας. Οι τάεις τις επιφάνειες του τοιχειώδους όγκου θα είναι: Τ j n i Σ. () Τα φορτία που εφαρµόζονται τις οριακές επιφάνειες του ηµείου, δηµιουργούν µία ύνθετη τάη µέα ε αυτό. Έτω η πραγµατική ηµειακή τάη της µέης τάης t i. Αυτή διαφέρει ε όλο τον όγκο του µοντέλου λόγω της ανοµοιογένειας του υλικού. Με την ακόλουθη χέη µπορεί να υνδεθεί το Σ και το : tiu jda A ext V ε dv () όπου η ηµειακή τάη, u i η τοιχειώδης µετατόπιη, t i οι τάεις τις επιφάνειες του τοιχειώδους όγκου, και ε η ηµειακή παραµόρφωη. Η πίεη και η µετατόπιη δεν είναι απαραίτητο να υνδέονται µε κάποιον τρόπο. Αυτό ηµαίνει ότι (από () και ()): Σn juida ε dv Σ n juida A ext V A ext V ε dv (3) Τώρα εάν χρηιµοποιηθεί το ε ώς οµοιόµορφη ηµειακή παραµόρφωη, παρατηρείται ότι: A ext Σ n u da Σ j i V V V ε dv dv A ext Σ n ε x da j ik k V Σ δ jk ε dv ik V ε dv (4) Κατά υνέπεια, η οµοιόµορφη µέη τάη µπορεί να θεωρηθεί ως η τάη ενός τοιχειώδους όγκου του υλικού. Έπειτα, καθορίζεται ένας µακροκοπικός τοµέας παραµόρφωης Ε µέα τον όγκο του τερεού ως εξής: Έτω Σ µία αυθαίρετη τιµή της τάης, και έτω u i η πραγµατική µετατόπιη πού προκλήθηκε από την Σ µέα τον όγκο V. Τότε, επιλέγεται τον τοµέα παραµόρφωης Ε ώτε η ενέργεια που υνδέεται µε τα µακροκοπικά και µικροκοπικά µεγέθη να είναι:

8 για όλα τα Σ. Να ηµειωθεί ότι: Σ V A Σ ext n u da j i (5) ( u n + u n ) + ( u n u n ) Σ ( u n u n ) Σ u i n j Σ i j j i i j j i i j + j i (6) (λόγω υµµετρίας του Σ, ( u in j u jni ) ). Τελικά, αφού το Σ είναι ταθερό, υµπεραίνεται ότι: V ( n jui + u jni ) da V Aext V ε dv (7) έτι ώτε η ολική παραµόρφωη είναι ο µέος όρος των ηµειακών παραµορφώεων του υλικού. Η παραπάνω χέη δίνει την ύνδεη µεταξύ µικροκοπικών και µακροκοπικών µεγεθών..3 Γραµµική Ελατικότητα Υποθέεις και χαρακτηριτικά γνωρίµατα της γραµµικής ελατικής υµπεριφοράς: Οι νόµοι της γραµµικής ελατικότητας, µπορούν να χρηιµοποιηθούν ε όλα τα τερεά υπό µικρά φορτία, υµπεριλαµβανοµένων των κεραµικών, των µετάλων, και των περιοτέρων πολυµερών. Πειραµατικές µετρήεις έδειξαν ότι, κατά προέγιη: (α) το υλικό είναι τέλεια αντιτρέψιµο: δηλαδή ε ένα δείγµα υλικού, το οποίο κρατείται υπο ταθερή θερµοκραία, υπαγόµενο ε έναν κλειτό κύκλο τάηςπαραµόρφωης, το έργο ιούται µε µηδέν. (β) η παραµόρφωη ενός ηµείου του υλικού εξαρτάται µόνο από την τάη ε εκείνο το ηµείο, και από την θερµοκραία, και είναι ανεξάρτητο από τυχόν προηγούµενες φορτίεις που υπέτη το ηµείο αυτό. (γ) η χέη ανάµεα την τάη και την παραµόφωη είναι γραµµική. ηλαδή η τάη είναι ανάλογη της παραµόρφωης και το αντίτροφο. (δ) οι παραµορφώεις είναι αρκετά µικρές έτι ώτε το απειροελάχιτο µέτρο παραµόρφωης να προεγγίζει ακριβώς τις αυτηρότερες µη-γραµµικές µετρήεις.

9 .4 Η χέη µεταξύ τάης-παραµόρφωης, και θερµοκραίας Για να εξετατεί η χέη τάης-παραµόρφωης και θερµοκραίας ε ένα υλικό, αρχικά πρέπει να προδιοριτεί µια κατάταη ιορροπίας. Χρειάζεται να προδιοριτεί η αρχική τάη, και την αρχική θερµοκραιακή κατανοµή θ. Συνήθως, η αρχική τάη είναι µηδέν, και η αρχική θερµοκραία είναι οµοιόµορφη. Η παραµόρφωη χαρακτηρίζεται από την µετατόπιη u i την κατάταη αυτή. Οι κλίεις των µετατοπίεων υποτίθεται οτι είναι αρκετά µικρές έτι ώτε το ε + u προεγγίζει το όριο u i, j j, i τοιχειώδες όριο παραµόρφωης: ( ) παραµόρφωης Lagrane. Υπό αυτές τις υνθήκες δεν κρίνεται απαραίτητο να εξετατούν χωριτά διαφορετικές τάεις. Θα χρηιµοποιηθεί το για να χαρακτηριτεί η τάη ε ένα ηµείο. Αν υποτεθεί ότι η θερµοκραία την παραµορφωµένη κατάταη είναι: θ θ + θ. Οι γραµµικές ελατικές χέεις τάης-παραµόρφωης θα είναι: + Cklε kl + b θ (8) όπου C kl και b ταθερές. Η παραπάνω έκφραη µπορεί να αντιτραφεί. Έτω Skl [ C] klα Sklbkl, ε Skl kl, τότε: ε ε + Skl kl + α θ (9) όπου: C kl ελατικές ταθερές S kl δείκτες δυκαµψίας, όπως περιγράφονται από τον γενικευµένο νόµο του Hooke. α υντελετής θερµικής διατολής.5 Συµµετρίες Η υµµετρία των ορίων τάης και παραµόρφωης, ε υνδυαµό µε την παραδοχή ότι η χέη τάης-παραµόρφωης είναι πλήρως αντιτρέψιµη, επιβάλλονται οι εξής περιοριµοί:. C lk C kl. C lk C kl 3. C lk C jikl Επιπλέον, α α ji. Κατά υνέπεια το C περιέχει ανεξάρτητες µεταξύ τους ταθερές που περιγράφουν το υλικό, ενώ η α περιέχει 6.

10 .6 Σχέεις τάης-µετατόπιης Οι υµµετρίες των ελατικών ταθερών επιτρέπουν να γραφτεί µία χέη µεταξύ τάης και µετατόπιης: ( u + u ) + C ( u u ) () uk, l + ul, k ε, και: C kl ( u k, l u l, k ), τότε: C klukl Ckl k, l l, k kl k, l l, k αν αντικαταταθεί το: ( ) kl + C kluk, l + b θ.7 Μητρώο τοιβαρότητας των κατατατικών χέεων Κατά την αναφορά τις ιδιότητες των υλικών, οι χέεις τάης-παραµόρφωης εκφράζονται υνήθως µε τη µορφή µητρώων. Μια γενική µορφή έχει ως εξής (παραλείπονται οι θερµοκραιακές αλλαγές και οι αρχικές τάεις, για απλούτευη των χέεων): sym ε ε ε 33 ε ε 3 ε 3 θα πρέπει να δοθεί προοχή τον υντελετή τις διατµητικές παραµορφώεις. Αυτές χρηιµοποιούνται χεδόν πάντα για τον καθοριµό των ταθερών του υλικού ε αυτή τη µορφή..8 Ενεργειακή πυκνότητα παραµόρφωης Η δοµή των κατατατικών χέεων που αναφέρθηκαν παραπάνω, έχει µια ηµαντική υνέπεια. Κάποιος µπορεί εύκολα να δείξει οτι υπάρχει ένα φ το οποίο: θφ θε Η χέη αυτή ιχύει µόνο εάν έχουµε C kl C kl, την οποία το φ δίδεται από τη χέη:

11 ( ε α θ )( ε α θ ) φ dε Ckl kl kl όπου έχουµε παραλείψει την αρχική τάη. Με την απουία της αρχικής τάης, το φ> για όλα τα ε. Το φ αποτελεί την λεγόµενη ενεργειακή πυκνότητα παραµόρφωης..9 Ελατικές υµµετρίες Ένα γενικής µορφής ανιότροπο υλικό έχει ανεξάρτητες ελατικές ταθερές. Να ηµειωθεί εδώ ότι γενικά, µία επιφανειακή τάη µπορεί να προκαλέει διατµητική παραµόρφωη, και η διατµητική τάη µπορεί να προκαλέει παραµόρφωη (εφελκυµό/θλίψη). Εάν ένα υλικό είναι υµµετρικό, τότε εφαρµόζοντας πίεη κάθετα ή παράλληλα µε τον άξονα υµµετρίας αυτού, τότε το υλικό παραµορφώνεται κάθετα ή παράλληλα προς τον άξονα αντίτοιχα. e Για παράδειγµα, ας υποτεθεί ότι το υλικό έχει έναν άξονα υµµετρίας, και ότι το e αποτελεί την κάθετη προς τον άξονα υµµετρίας παραµόρφωη. Τότε: C C 3 C C 3 C 33 C 333 (οι υµµετρικοί όροι, απαλείφονται). Έτι µένουν 3 από τις ανεξάρτητες ταθερές. Παρόµοιοι περιοριµοί µπορούν να καθοριτούν και τον υντελετή θερµικής διατολής, χρηιµοποιώντας τους όρους της υµµετρίας.

12 . Ορθότροπα υλικά Ένα ορθότροπο υλικό έχει τρείς άξονες υµµετρίας, κάθετους µεταξύ τους. Ένας τέτοιος τύπος υλικού έχει 9 ανεξάρτητες ταθερές. Επιλέγοντας διάνυµα κάθετο ε κάθε άξονα υµµετρίας, τότε η χέη τάεων-παραµορφώεων µπορεί να αποδοθεί ε µητρώο ως εξής: sym ε ε ε 33 ε ε 3 66 ε 3 (α) Η χέη αυτή µπορεί µερικές φορές να εκφρατεί και ε αντίτροφη µορφή, τα πλαίια γενίκευης του µέτρου ελατικότητας και του λόγου Poisson, ώς εξής: ε Ε ε ν ε 33 ν3 ε ε 3 ε 3 3 ν Ε ν 3 ν ν 3 3 Ε µ µ µ 3 3 (β) Εδώ, οι γενικευµένες µορφές του λόγου Poisson δέν είναι υµµετρικές, αλλά αντ αυτού ικανοποιούν τις υνθήκες: ν i ν ji j, ώτε το µητρώο τοιβαρότητας να είναι υµµετρικό. Οι µηχανικές ταθερές υχετίζονται µε τις ταθερές των δείκτων δυκαµψίας, ως εξής: Οι χέεις των ελατικών ταθερών του µητρώου (α) µε τους δείκτες δυκαµψίας του µητρώου (β) είναι:

13 ( ν 3ν 3 ) Y ( ν3ν 3) Y 3( νν ) Y ( ν + ν 3ν 3) Y ( ν + ν 3ν 3) ( ν 3 + ν ν 3 ) Y 3( ν3 + νν 3) ( ν + ν ν ) Y ( ν + ν ν ) µ µ µ Υ ν ν ν ν ν ν ν ν Για ένα ορθότροπο υλικό η θερµική διατολή δεν µπορεί να προκαλέει διάτµηη, αλλά η διατολή προς τις τρεις κατευθύνεις δέν χρειάζεται να είναι ίη. Συνεπώς ο υντελετής θερµικής διατολής έχει τη µορφή: 3 3 ν Y Y Y 3 a a a 3. Εγκάρια Ιότροπο υλικό Μία ειδική περίπτωη ορθότροπου υλικού είναι αυτή η οποία περιέχει έναν ιότροπο άξονα υµµετρίας. Επιλέγοντας ώς e 3 την κάθετη τον ιότροπο άξονα υµµετρίας, τότε η εγκάρια ιοτροπία προυποθέτει ότι: Ε Ε Ε p ν 3 ν 3 ν tp ν 3 ν 3 ν pt µ 3 µ 3 µ t Έτι το µητρώο πέρνει τη µορφή: ε Ε p ε ν p p ε 33 ν pt t ε ε 3 ε 3 ν Ε ν p pt p p t ν ν tp tp Ε t t t µ p µ t 33 3 µ t 3

14 όπου ( ) p p p ν µ +. Όπως και πρίν, οι λόγοι Poisson δέν είναι υµµετρικοί, αλλα ικανοποιούν την χέη: p pt t tp ν ν. Σε αυτό το υλικό οι δύο υντελετές θερµικής διατολής τον άξονα υµµετρίας πρέπει να είναι ίοι.. Κυβική υµµετρία Ένας µεγάλος αριθµός υλικών έχουν κυβική υµµετρία. Όλα τα εδροκεντροµένα και χωροκεντροµένα µέταλα για παράδειγµα. Οι νόµοι για τα υλικά αυτά είναι ιδιαίτερα απλοί, και εκφράζονται µε 3 υντελετες. Έτι: ε ε ε ε ε ε sym και υπο τη µορφή εφαρµοµένης µηχανικής, το µητρώο γίνεται: Ε Ε Ε µ µ µ ν ν ν ν ν ν ε ε ε ε ε ε Αυτό είναι ουτιατικά ίδιο µε το µητρώο για τα ιότροπα υλικά, µε τη διαφορά ότι το µέτρο διάτµηης δέν είναι υνδεδεµένο µε τον λόγο Poisson και το µέτρο ελατικότητας µέω της γνωτής χέης. Στην πραγµατικότητα, ο λόγος: ( ) Ε + ν µ A παρέχει ένα κατάλληλο µέτρο ανιοτροπίας. Για Α, το υλικό είναι ιότροπο. Για το υλικό αυτό, ο υντελετής θερµικής διατολής πρέπει να είναι ιότροπος.

15 .3 Ιότροπα υλικά Η απόκριη ενός ιότροπου υλικού είναι ανεξάρτητη από τον προανατολιµό του άξονα φόρτιης του υλικού. Σε αυτή την περίπτωη, το C πρέπει να είναι ιοτροπική ταθερά και να κατέχει ακριβή υµµετρία, και: C kl λδ δ kl + µ(δ δ kl + δ il δ jk ) ή λε kk δ + µε + b Τδ Αυτή η χέη µπορεί να ανατραφεί ώς εξής: ε λ kkδ + a θδ µ 3λ + µ όπου ο τελευταίος όρος αποτελεί την παραµόρφωη λογώ θερµικής διτολής. Οι ταθερές λ, µ αποτελούν τις λεγόµενες ταθερές Lame. Χρήιµες χέεις προκύπτουν επιλύοντας κατάλληλα την προηγούµενη. Έτι: ν ε + ε kkδ + ν ν ε ( + v) ν kkδ ) + α θδ kk Κε kk 3 ν ( + ν )( ν ) α Τδ όπου Ε το µέτρο ελατικότητας, ν ο λόγος Poisson, και K ο υντελετής υµπιετότητας. Στον πίνακα που ακολουθεί υνοψίζονται οι χέεις µεταξύ των ταθερών:

16 Lame modulus λ Shear modulus µ Μέτρο ελατικότητας Ε Λόγος Poisson ν Συντελετής υµπιετότητ ας Κ λ,µ ( 3λ + µ ) µ λ + µ λ 3 λ + µ ( λ + µ ) 3 λ,ε παράλογο παράλογο παράλογο λ,ν λ ( ν ) λ( + ν)( ν ) λ ( + ν ) ν 3ν ν λ, Κ ( Κ ) 9Κ( Κ λ) 3Κ λ 3 λ λ 3Κ λ µ,ε µ ( µ Ε ) Ε 3 µ Ε µ µ 3 µ Ε ( 3 µ Ε ) µν µ, ν ν µ(+ν) µ ( + ν ) 3( ν ) µ, Κ 3 Κ µ 3 9Κµ 3Κ + µ 3 Κ µ ( 3Κ + µ ) Ε, ν Ε ν ( + ν )( ν ) Ε Ε ( +ν ) 3( ν ) Ε, Κ ( 3Κ Ε) 3Κ 9Κ Ε 3ΕΚ 9Κ Ε 3Κ Ε 6Κ ν,κ 3 Κν 3Κ( ν ) ( + ν ) ( + ν ) 3Κ(-ν).4 Περιοριµοί τις τιµές των υντελετών του υλικού Σε όλες τις χέεις του κεφαλαίου αυτού, οι ιδιότητες των υλικών πρέπει να επιλεγούν έτι ώτε οι τιµές που εµφανίζονται τα µητρώα να είναι θετικές. Επιπλέον οι τιµές του υντελετή θερµικής διατολής πρέπει να είναι κι αυτές θετικές. Οποιοδήποτε µοντέλο που παραβιάζει αυτούς τους περιοριµούς οδηγείται ε ανεπαρκές πρόβληµα, παραβιάζοντας και τους νόµους της Θερµοδυναµικής. Έτι, οριοθετώντας κατάλληλα τις παραµέτρους του µοντέλου που εξετάζεται, αποφεύγει να οδηγηθεί κανείς ε ανεπαρκές πρόβληµα. Για παράδειγµα, για ένα ιότροπο υλικό, γνωρίζουµε ότι το µέτρο ελατικότητας Ε είναι > καθώς και ότι ο λόγος Poisson είναι ανάµεα τις τιµές: - < ν < /.

17 . Μετάδοη Ηχητικού Κύµατος. Ειαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο θα καλυφθεί η θεωρία µετάδοης των ηχητικών κυµάτων τα τερεά και τα ρευτά. Θέλει να γνωρίζει κανείς τι είδους κύµατα µπορούν να µεταδοθούν ε διαφόρων ειδών υλικά, τον τρόπο µε τον οποίο αυτά ανακλώνται και µεταφέρονται µεταξύ διαφορετικών υλικών, τον τρόπο µε τον οποίο δηµιουργούνται/ενεργοποιούνται, και τις χέεις που υνδέουν τις ιδιότητές τους µε την µάζα, την πυκνότητα, και την κληρότητα των µέων που µεταδίδονται. Ενδιαφέρουν επίης οι ιδιότητες των πιεζοηλεκτρικών αιθητήρων, οι οποίοι είναι και οι αποδοτικότεροι, µε αποτέλεµα να χρηιµοποιούνται περιότερο από ανάλογες εφαρµογές που χρειάζεται η µετατροπή της ηλεκτρικής, ε µηχανική ενέργεια. Έτι θα πρέπει να βρεθούν τρόποι ώτε να έχει καλύτερη απόδοη η µετατροπή αυτή, να «αποκωδικοποιήθεί» η ηλεκτρική τους αντίταη ε µια χέη υχνότητας, και να κατανοηθούν τα χαρακτηριτικά των αποκρίεων των παλµών τους. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να γίνει γνωτό το πώς µεταδίδονται τα ηχητικά κύµατα ε ένα υλικό. Στην πραγµατικότητα, η επεξεργαία ενός ηχητικού κύµατος που αναπτύεται µέα ε ένα υλικό είναι πολύπλοκη για το λόγο ότι τα υλικά δέν είναι πάντα ιότροπα. Έτι, οι παράµετροι ενός κύµατος πρέπει να εκφρατούν ποοτικά µε χέεις τάεων-παραµορφώεων. Για να απλοποιηθούν τα αποτελέµατα, θα θεωρηθεί ότι τα κύµατα που εξετάζονται είναι αµιγώς διαµήκη, ή διατµητικά, και ότι όλα τα φυικά χαρακτηριτικά τους (µετατοπίεις µορίων, ταχύτητες µορίων, τάεις, παραµορφώεις, ελατικότητα, πιεζοηλεκτρικές υζεύξεις) µπορούν να εκφρατούν µονοδιάτατα. Επιπλέον, θα πρέπει να περιοριτεί η ανάλυη το επίπεδο. Τα αποτελέµατα θα είναι ανάλογα µιας ολοκληρωµένης ανάπτυξης ε ιότροπα υλικά, και ιχύουν ακόµη και όταν η µετάδοη του κύµατος εφαρµόζεται ε κρυταλλικά υλικά, όταν οι ελατικές ταθερές και τα φυικά χαρακτηριτικά τους έχουν οριτεί ωτά.

18 . Ηχητικά κύµατα ε µη-πιεζοηλεκτρικά υλικά. Μονοδιάτατη θεωρία. Αρχικά θα οριθούν οι δύο βαικοί τύποι κυµάτων οι οποίοι είναι ηµαντικοί για την ηχητική µετάδοη. Το πρώτο είναι το διαµήκες κύµα, το οποίο η κίνηη των µορίων το υλικό εµφανίζεται µόνο κατά µήκος της µετάδοης. Έτι, όταν εφαρµόζεται µια δύναµη το υλικό, αυτό εφελκύεται (ή θλίβεται) κατά µήκος µόνο του άξονά z, όπως δείχνει το χήµα.: χ.. Ο δεύτερος τύπος κύµατος είναι τα διατµητικά, τα οποία η κίνηη των µορίων το υλικό είναι κάθετη την διάδοη του κύµατος, όπως το χήµα.: χ.. Τα διατµητικά κύµατα είναι ταυτιµένα µε την κάµψη και τον λυγιµό των υλικών. Όπως φαίνεται το χ.., δέν υπάρχει αλλαγή την πυκνότητα, ή τον όγκο του υλικού το οποίο αναπτύεται ένα διατµητικό κύµα. Γενικά, τα ηχητικά κύµατα που αναπτύονται ε ένα τερεό µέο µπορούν να υνδυάουν και τις δύο µορφές κυµάτων που αναφέρθηκαν νωρίτερα. Εντούτοις, ε ένα κρυτάλλινο υλικό µε ανιότροπες ελατικές ταθερές, η διεύθυνη της µετάδοης µπορεί να επιλεχθεί κατά µήκος ενός απ τους κύριους άξονές του. Σε αυτή την περίπτωη, η ανάπτυξη µπορεί να είναι αποκλειτικά διαµήκη, ή διατµητικά κύµατα. Στους αιθητήρες, τις µικροκυµατικές γραµµές καθυτέρηης,

19 τους ενιχυτές, και ε όλες τις άλλες υκευές υπερήχων, η µετάδοη επιλέγεται να γίνεται κατά µήκος ενός απ τους κύριους άξονες του υλικού. Θα οριθεί η βαική εξίωη για την µετάδοη των διαµήκων κυµάτων. Τα αποτελέµατα που εξάγονται είναι παρόµοια µε αυτά για την µετάδοη των διατµητικών. Μια πολυπλοκότερη προέγγιη θα χρειατεί όταν η µετάδοη γίνει υπο γωνία ε χέη µε έναν απ τους κύριους άξονες του υλικού. Για το λόγο αυτό η µελέτη θα περιοριθεί την µονοδιάτατη µορφή µετάδοης των κυµάτων... Τάη Ο λόγος της δύναµης προς την επιφάνεια που εφαρµόζεται αυτή ε ένα υλικό, ονοµάζεται τάη. Η δύναµη όταν εφαρµοτεί το υλικό, το εφελκύει (ή το υνθλίβει). Στα χήµατα που ακολουθούν απεικονίζεται ένα δοκίµιο πάχους l που υπόκειται ε εφελκυµό, και ένα που υπόκειται ε διάτµηη: χ..3 Η τάη Τ(z) ορίζεται ώς η δύναµη ανά µονάδα επιφανείας ε µόρια αριτερά του άξονα z. Να ηµειωθεί ότι η διαµήκης τάη λαµβάνεται θετική όταν η δύναµη ακείται την δεξιά πλευρά της πλάκας (θετικά του z), ενώ η δύναµη που ακείται αριτερά της πλάκας είναι T (αριτερά του z). Αν η τάη είναι θετική τα θετικά των x και y διευθύνεων, τότε αναφέρεται κανείς επίης για διατµητικές τάεις. Η καθαρή διαφορά ανάµεα την τάη που ακείται εξωτερικά ε κάθε πλευρά της πλάκας είναι: T l. z

20 .. Μετατόπιη και Παραµόρφωη Ας υποτεθεί ότι την µονοδιάτατη περίπτωη, το υλικό µετατοπίζεται κατά τον άξονα z λόγω διαµήκους τάης ε µια νέα θέη z z + u όπως το χήµα. Η παράµετρος u ονοµάζεται µετατόπιη και γενικά είναι υνάρτηη του z. Μια άλλη δεδοµένη τιγµή το υλικό η µετατόπιη είναι u + δu. Αυτό που ενδιαφέρει είναι η µετατόπιη των µορίων του υλικού υναρτήει του z. Αρχικά, χρηιµοποιείται η χέη του Taylor για να αποδειχθεί ότι όταν η αλλαγή κατά u ε ένα µήκος l είναι du, όπου: Η κλαµατική παραµόρφωη του υλικού θα είναι: Η παράµετρος S ονοµάζεται παραµόρφωη. u δ u l Sl (.) z u S (.) z Μπορεί επίης να εξετατεί η περίπτωη της εγκάριας κίνηης όπου το υλικό µετατοπίζεται κατά τη διεύθυνη y από ένα κύµα που µεταδίδεται την διεύθυνη z. Τότε, όπως φαίνεται και το χήµα, ένα µόριο τη θέη a z (z) µετατοπίζεται κατά: a z z + a y u, όπου a z,a y µοναδιαία διανύµατα κατά z,y αντίτοιχα. Έτι, όπως προηγουµένως, ορίζεται ως διατµητική παραµόρφωη η: δ u δu S l δz Εδώ η µόνη διαφορά είναι την y διεύθυνη. Στο χήµα. φαίνεται ξεκάθαρα ότι η επιφάνεια του υλικού δεν επιδέχεται καµία αλλαγή καθώς η εγκάρια κίνηη το παραµορφώνει. Στην διαµήκη κίνηη όµως, υπάρχει αλλαγή τον όγκο κατά δua, όπου A η επιφάνεια του υλικού κατά xy. Εποµένως η τοιχειώδης αλλαγή του όγκου είναι: δu S. l..3 Νόµος Hooke, θεωρία της ελατικότητας Ο νόµος του Hooke υποτηρίζει ότι για µικρές τάεις που ακούνται ε µια διεύθυνη, αυτές είναι ανάλογες της παραµόρφωης: T S (.3) όπου µια ελατική ταθερά του υλικού. Οι παράµετροι T, εκφράζουν τα χαρακτηριτικά του υτήµατος, µπορούν όµως να εκφρατούν και µε µία παράµετρο ε µονοδιάτατη διαµήκη ή εγκάρια µετάδοη κύµατων. Επειδή είναι

21 ευκολότερο να υποβληθεί ε κάµψη παρά ε εφελκυµό ένα υλικό, η διατµητική ελατική ταθερά είναι υνήθως µικρότερη από την διαµήκη...4 Εξιώεις κίνηης Θα εξετατεί τώρα η εξίωη κίνηης ενός ηµείου το υλικό όπου µια τάη µικρής διάρκειας εφαρµόζεται ε αυτό. Σύµφωνα µε τον o νόµο του Newton, η υνιταµένη δύναµη ανά µονάδα επιφανείας dz που εφαρµόζεται αυτό θα ιούται µε: T z p u& p υ& m m (.4) όπου υ& η ταχύτητα του υλικού ηµείου, και p m η µάζα του...5 ιατήρηη της µάζας Η ταχύτητα των µορίων του υλικού ιούται µε υ u&, έτι ώτε ε ένα µικρό µήκος l - µονοδιάτατα η αλλαγή της ταχύτητας θα είναι: δυ υ l (.5) z και µε βάη την (.) θα γίνει: a S δυ δu l (.6) at at Συνδυάζοντας τις (.5) και (.6), δίνει: S t u z (.7) Η χέη (.7) δείχνει έναν εναλλακτικό τρόπο γραφής της εξίωης διατήρηης της µάζας ε υλικό για τα διαµήκη κύµατα. Η ίδια εξίωη ιχύει και για τα διατµητικά κύµατα. Ας υποτεθεί ότι p m pm + pm, όπου p m είναι η αδιατάραχτη πυκνότητηα ενώ η p m η πυκνότητα που έχει διαταραχτεί. Εάν γραφτεί η χέη διατήρηης της µάζας ως εξής: z pm pmυ + (.8) t Γνωρίζοντας ότι υ, pm είναι πρώτης τάξης «διαταραχές» τότε:

22 όπου p p + p p ( + S ) p ( S ) m u pm pm + (.9) z t m m m m. Κατά υνέπεια: υ p z t p m m S t (.)..6 Η εξίωη κύµατος και ο οριµός της ταθεράς µετάδοης Μπορούν να χρηιµοποιηθούν οι χέεις (.), (.4), και (.7), και ε υνδυαµό µε την χέη υ u t, να πάρει κανείς µια εξίωη µετάδοης ηχητικού κύµατος - µικρού ήµατος - το υλικό: T z p m s t p m T t (.) Οι λύεις της εξίωης αυτής για την τάη θα είναι της µορφής ( t z ) F ± V a, για κύµατα υχνότητας ω, µε όλες τις τιµές της να κυµαίνονται ως exp ( j ωt), οι λύεις θα είναι της µορφής exp [ j( ω t ± βα z)], µε το θετικό πρόηµο να αντιτοιχεί ε κύµατα που εξελιονταί µπροτά, ενώ το αρνητικό τα κύµατα επιτροφής. Ο όρος β α ιούται µε: p m a β ω ω (.) V α και V ( p ) m είναι η ταχύτητα του ακουτικού κύµατος. Τα πρόηµα την χέη αυτή δείχνουν την φορά των κυµάτων. Η παράµετρος β α ονοµάζεται ταθερά διάδοης του ηχητικού κύµατος. Όταν ένα κύµα εξελίεται µπροτά, έχουµε: Va υ Va S T (.3) Το µέγεθος της παραµόρφωης S αποτελεί επίης την αναλογία της ταχύτητας των µορίων του υλικού, προς την ταχύτητα των ηχητικών κυµάτων που µεταδίδονται ε αυτό. Ένα ρευτό όπως το νερό για παράδειγµα, είναι χετικά εύκολο να υµπιετεί και έχει χετικά χαµηλή πυκνότητα (kg/m 3 ). Η ελατική του ταθερά είναι,5x 9 N/m, εποµένως η ταχύτητα του ακουτικού κύµατος το νερό θα είναι,5km/se. Το ζαφείρι έχει πυκνότητα µάζας ίη µε 399kg/m 3, όµως είναι άκαµπτο υλικό µε µια

23 ιδιαίτερα µεγάλη ταθερά ελατικότητας (4,9x N/m ). Έτι, θα έχει µια µεγάλη ταχύτητα διάδοης ακουτικού κύµατος της τάξεως των,9km/se. Ώς γνωτόν, τα αέρια λόγω µεγάλης υµπιετότητας η ταχύτητα ενός κύµατος θα είναι αρκετά µικρότερη ε χέη µε τις παραπάνω τιµές, όπως π.χ τον ατµοφαιρικό αέρα που ιούται περίπου µε 33m/se. Τέλος να ηµειωθεί οτι τα ρευτά γενικώς δεν µπορούν να παραλάβουν διατµητικές τάεις, και για το λόγο αυτό είναι αδύνατον να υπάρξει µετάδοη διατµητικών κυµάτων ε αυτά...7 Ενέργεια Η υνολική αποθηκευµένη ενέργεια ανά µονάδα όγκου το υλικό είναι το άθροιµα δύο τοιχείων: της δυναµικής ενέργειας ανά µονάδα όγκου λόγω της δύναµης που εφαρµόζεται για να µετατοπίει το υλικό: W TS, και της κινητικής ενέργειας του υλικού λόγω της κίνηής του W υ pmυ. Σε ένα εξελιόµενο κύµα αυτές οι ενέργειες ποκίλουν κατά exp( jω t), ακολουθώντας την αναλογία των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων, και µέη δυναµική ενέργεια ανά µονάδα όγκου είναι: * * ( TS ) Re( SS ) και η µέη κινητική ενέργεια ανα µονάδα όγκου είναι: W Re (.4) 4 4 * ( υυ ) W Re p m (.5) 4 Απ τις χέεις (.), (.3), (.4), (.5), προκύπτει οτι ενέργεια ανά µονάδα όκου ε ένα ακουτικό κύµα είναι: W W, και οτι η ολική υ * * * ( p + TS ) ( TS ) W Re m υυ Re (.6) 4 Παρόµοια, η ροή δύναµης ανά µονάδα επιφανείας το ακουτικό κύµα µπορεί να οριτεί ως το αποτέλεµα της δύναµης ανά µονάδα επιφανείας T που εφαρµόζεται απ το υλικό τα αριτερά του z, και την ταχύτητα του υλικού (η µέη τιµή του ut κατα τη διάρκεια ενός RF κύκλου). Έτι, η πολύπλοκη χέη που περιγράφει την ροή δύναµης ε µια επιφάνεια Α µπορεί να γραφτεί: P * ( υ T )A (.7)

24 Για ένα κύµα που διαδίδεται ε ένα ιδανικό µέο (χωρίς απώλειες), οι µεταβλητές v και T είναι ε «φάη», άρα το Α είναι πραγµατικό, και: P VaWa A * ( υ T )A (.8)..8 Το θεώρηµα του Poynting Η ιχύς και η ενέργεια ε ένα ακουτικό κύµα υπακούουν ε νόµους παρόµοιους µε εκείνους της θεωρίας του Poynting για τον ηλεκτροµαγνητιµό. Για να αποδειχθεί αυτό, γράφεται η χέη (.4) µε τη µορφή: T z jωp m υ (.9) και η εξίωη (..) µε τη µορφή: υ z jωs jωt (.) Πολλαπλαιάζοντας την (.9) µε u *, την (.) µε Τ, και προθέτοντας τα αποτελέµατα, έχουµε: a a * * * Re( P) A Re( Tυ ) ( jωpmυυ jωts )A (.) z z Αντικαθιτώντας το T S, και υποθέτοντας οτι το είναι πραγµατικός αριθµός, καταλήγουµε την χέη: a a * * * Re( P) A Re( Tυ ) ( jωpmυυ jωss )A (.) z z Και οι δύο όροι το δεξιό µέρος της τελευταίας εξίωης είναι φαντατικοί, άρα: a Re( P ) (.3) z Η χέη αυτή είναι ανάλογη µε το θεώρηµα του Poynting την ηλεκτροµαγνητική θεωρία, και µας δείχνει οτι ο όρος Re(P) είναι ταθερός, δηλαδή η ιχύς το ακουτικό κύµα είναι υντηρητική. Για ένα κύµα που διαδίδεται ε ένα υλικό, η µέη αποθηκευµένη κινητική ενέργεια ανά µονάδα όγκου ιούται µε την µέη δυναµική ενέργεια, δηλαδή: p m * * υυ SS (.4)

25 ..9 Απώλειες Οι δυνάµεις ιξώδους ανάµεα τα γειτονικά µόρια µε διαφορετικές ταχύτητες, είναι η κύρια αιτία εξαθένηης του ακουτικού κύµατος τα τερεά και τα υγρά. Αυτές είναι οι επιπλέον τάεις T n τα µόρια του υλικού το οποίο διαδίδεται το ηχητικό κύµα, και είναι της µορφής: T n υ S n n z t (.5) όπου n ο υντελετής ιξώδους. Συνδέοντας την παραπάνω χέη µε τις (.3) και (5), η υνολική τάη είναι: T S S + n (.6) ^a t Η εξίωη κίνηης έχει την ίδια µορφή ε ένα µέη χωρίς απώλειες: T z υ p m (.7) t Όπως την ηλεκτροµαγνητική θεωρία, η µείωη λόγω απώλειων µπορεί να υπολογιτεί χρηιµοποιώντας το θεώρηµα του Poynting. Ακολουθώντας το αποτέλεµα των (.) και (.3), και υποθέτοντας οτι όλες οι ποότητες ποικίλουν κατά exp ( j ωt), το θεώρηµα Poynting την πολύπλοκη µορφή έχει τώρα έναν επιπλέον όρο υνδεδεµένο µε το ιξώδες: a Re z * ( P a ) nω SS A (.8) όπου Α η επιφάνεια της δέµης. Κατά υνέπεια το ιξώδες ειάγει έναν όρο απωλειών. Αν θεωρηθεί αυτός ο όρος µικρός ε µέγεθος, απ την (.6) και την (.8) εξάγεται: SS * W a Pa V A a (.9) Με αντικατάταη την (.8), και γράφοντας τον όρο Re(P α ) ως P α, φαίνεται ότι: P a Pa z nω V a nω V p 3 a m (.3) Η λύη της εξίωης αυτής δίνει P P exp( az), όπου a είναι η ταθερά απωλειών του κύµατος, και P ταθερό. Η τιµή της a προδιορίζεται από την χέη: nω a (.3) 3 V a p m

26 Παρατηρώντας την χέη (.3) υµπαιρένει κανείς οτι οι απώλειες ενός κύµατος είναι ανάλογες του τετραγώνου της υχνότητας, και αντιτρόφως ανάλογες του κύβου της ταχύτητας. Καθώς τα διατµητικά κύµατα έχουν ως υνήθως ταχύτητες της τάξεως του µιού µεγέθους απ οτι τα διαµήκη το ίδιο υλικό, οι απώλειες ενός διατµητικού κύµατος θα είναι αρκετά µεγαλύτερες απ οτι τα διαµήκη ανα µονάδα µήκους, αν και αυτό πρακτικά δεν ιχύει πάντοτε. Για παράδειγµα, ένα κύµα υχνότητας MHz ε νερό θερµοκραίας ο C, οι απώλειες είναι περίπου,db/m. Ενώ ένα κύµα υψηλής υχνότητας, GHz, θα έχει τις ίδιες υνθήκες και το ίδιο µέο απώλειες,x 5 db/m. Εποµένως, ένα κύµα χαµηλής υχνότητας µπορεί να διαδοθεί εύκολα ε µεγάλες αποτάεις, ενώ αντίθετα ένα µεγάλης υχνότητας κύµα µπορεί να διαδοθεί µόνο ε κλίµακες του µικρού (µm). Υπάρχουν και πολλές άλλες πηγές απωλειών ε ένα υλικό, όπως π.χ. οι θερµικές. Όταν ένα υλικό υµπιέζεται αδιαβατικά, η θερµοκραία του αυξάνεται, ενώ όταν εκτονώνεται, η θερµοκραία του µειώνεται. Απ τη τιγµή που οι θερµικές απώλειες κάνουν την διαδικαία αυτή µη-αδιαβατική η οποία υντελεί την απώλεια ενέργειας, έχουν µεγάλες τιµές τα µέταλλα απ οτι τους µονωτές. Οι απώλειες λόγω θερµότητας είναι επίης ανάλογες του τετραγώνου της υχνότητας. Επιπλέον, απώλειες µπορεί να εµφανιτούν λόγω διαποράς των διαδιδόµενων κυµάτων εξ αιτίας κατακευατικών ατελειών ε ένα υλικό. Για τους λόγους αυτούς, υψηλής ποιότητας µονοκρυταλλικά υλικά έχουν µικρότερες απώλειες τα ηχητικά κύµατα ε µεγάλες υχνότητες απ οτι τα ίδια υλικά ε πολυκρυταλλική µορφή. Οι απώλειες ε υνήθη υλικά ποικίλει. Ένα κληρό, υψηλής ποιότητας µονοκρυταλλικό υλικό όπως το ζαφείρι, µπορεί να χρηιµοποιηθεί για ακουτικές γραµµές καθυτέρηης ε υχνότητες έως GHz. Η απώλεια την υχνότητα αυτή µπορεί να φτάει τα υψηλά µεγέθη της τάξεως των 4dB/m. Όµως, το µήκος κύµατος ε αυτή τη υχνότητα είναι της τάξεως του ενός pm!. Άρα, η απώλεια ανά µήκος κύµατος είναι 4x -3 db, τιµή αρκετά µικρή. Αντιθέτως, υλικά µε µεγάλο ιξώδες όπως το λάτιχο, έχουν µεγάλες απώλειες ε υχνότητες µεγαλύτερες των µερικών KHz, γιαυτό και βρίκουν εφαρµογές ε ηχοµονώεις.

27 3. Υπολογιµός µέτρου ελατικότητας µε τη βοήθεια υπερήχων 3. Υπέρηχοι Ο Υπέρηχος είναι ηχητική ενέργεια µε τη µορφή κυµάτων, µε υχνότητες πέραν του εύρους του ανθρώπινου αυτιού. Το εύρος των υχνοτήτων αυτών κυµαίνεται από khz έως GHz. Οι υχνότητες που χρηιµοποιούνται πρακτικά περιορίζονται υνήθως το εύρος από khz έως 6kHz. Στην ειδική περίπτωη της υπερηχητικής µικροκοπίας, χρηιµοποιούνε διατάξεις υπερήχων µέχρι και των GHz. Εξ αιτίας της υψηλής τους υχνότητας, µπορεί να επιτευχθεί εύκολα µεγάλη κατευθυντικότητα και έτι µεγάλη υγκέντρωη ιχύος. Το 99% των εφαρµογών υπερήχων τηρίζονται ε αυτή την κατευθυντικότητα και τις περιότερες περιπτώεις αρκεί η µέτρηη της καθυτέρηης και της παραµόρφωης ενός κύµατος υπερήχων για να δώει πολλές πληροφορίες για την διαδροµή την οποία διένυε. Οι υπέρηχοι χρηιµοποιούνται για µετρήεις ε βιοµηχανικές, ιατρικές, ηλεκτρονικές, µηχανολογικές, κ.α. εφαρµογές. Οι διατάξεις µετρήεων µε υπερήχους, οι οποίες φυικά ανήκουν τις µηκατατρεπτικές µεθόδους µετρήεων, έχουν πολλές εφαρµογές, όπως: - Αξιολόγηη δοµικής ακεραιότητας εγκατατάεων & κατακευών - Έλεγχοι πιετικών δοχείων, φαιρικών ή κυλινδρικών δεξαµενών - Έλεγχοι πυθµένα δεξαµενών - Αξιολογήεις γήρανης ε αεροκάφη - Έλεγχοι διαρροών ε υπέργειες & υπόγειες ωληνώεις (αερίου, ατµού υψηλής πίεης) - οκιµές µερικής αποφόρτιης µεταχηµατιτών - Έλεγχοι ε προηγµένα υλικά, κεραµικά & ύνθετα - Εντοπιµός διάβρωης - Ποιοτικοί έλεγχοι παραγωγικής διαδικαίας Τα πλεονεκτήµατα των µετρήεων µε υπερήχους είναι πολλά. Κυριότερα απ αυτά είναι: - Ταχύτητα µέτρηης µε άµεα αποτελέµατα - Μεγάλη ακρίβεια µέτρηης - Το υπό εξέταη αντικείµενο µπορεί να βρίκεται ε λειτουργία - εν απαιτείται ιδιαίτερη προετοιµαία της επιφανείας - υνατότητα µέτρηης χωρίς την αποµάκρυνη της βαφής - Μετρήεις ε δυπρόιτες περιοχές µε τη χρήη κατάλληλων αιθητήρων - Μετρήεις ε διαβρωµένες επιφάνειες χωρίς την ανάγκη τροχίµατος της Επιφανείας (µε χρήη κατάλληλων αιθητήρων τύπου «ακίδας») - Μετρήεις υπό υνθήκες µεγάλων θερµοκραιών - Μειωµένο κότος

28 3. Μετάδοη του κύµατος 3.. Εξοπλιµός Ένα τυπικό ύτηµα µετρήεων απεικονίζεται το παρακάτω χήµα: χ. 3. ιακρίνεται µια γεννήτρια παλµών, που είναι µια ηλεκτρονική υκευή η οποία παράγει ηλεκτρικούς παλµούς. Οι ηλεκτρικοί παλµοί διαβιβάζονται τον αιθητήρα ο οποίος είναι τοποθετηµένος κατάλληλα την επιφάνεια του εξεταζόµενου υλικού, και µετατρέπει τους παλµούς ε υπερηχητική ενέργεια µεγάλης υχνότητας. Πολλές φορές για να επιτυγχάνεται καλύτερη µηχανική επαφή αιθητήρα και εξεταζόµενου υλικού, τοποθετείται ανάµεα ένα παχύρευτο υγρό (gel). Η ενέργεια αυτή διαδίδεται µέα το υλικό µε τη µορφή κυµάτων. Εάν υπάρχει κάποια ανωµαλία µέα το υλικό, ένα µέρος της διαδιδόµενης ενέργειας θα ανακλατεί πίω τον αιθητήρα. Αυτός µε την ειρά του θα µετατρέψει το υπερηχητικό κύµα ε ηλεκτρικό ήµα το οποίο θα απεικονιτεί την οθόνη του παλµογράφου. Τα ανακλώµενα κύµατα απεικονίζονται ε υνάρτηη µε το χρόνο. Ο χρόνος που κάνει το κύµα µέχρι να επιτρέψει µπορεί να υχετιτεί άµεα µε την απόταη που διένυε. Έτι, από το τοιχείο αυτό, µπορούν να εξαγχθούν αποτελέµατα ανάλογα µε το πρόβληµα που εξετάζεται. Η χρήη διαφορετικών µορφών αιθητήρων προφέρει την δυνατότητα παχυµέτρηης ε δυπρόιτες περιοχές, ε πολύ λεπτά ελάµατα, τη λήψη µέτρηης πάνω από µπογιά (λειτουργία thru-oat ή eho to eho), τη λήψη µέτρηης ε ιδιαίτερα υψηλές θερµοκραίες, καθώς και τη µέτρηη ε επιφάνειες µε έντονες τοπικές διαβρώεις χωρίς να απαιτείται λείανη της επιφάνειας (χρήη αιθητήρων τύπου ακίδας). Ενδεικτικά, προτυποποιηµένοι αιθητήρες µε υχνότητες από khz έως 6khz είναι οι:

29 - Ευρείας απόκριης (WD) - Υψηλής πίεης - Αντιεκρηκτικού τύπου - Μικρού µεγέθους - Υποβρύχιοι - Κυλιόµενοι αιθητήρες χαµηλών/υψηλών θερµοκραιών - Με προενιχυτή - AIRBORN, κ.α 3.. Μετάδοη του κύµατος το υλικό Όπως αναφέρθηκε νωρίτερα, οι τεχνικές µετρήεων ε υλικά µε τη βοήθεια των υπερήχων βαίζονται ε χρονικά µεταβαλλόµενες παραµορφώεις ή δονήεις µέα το υλικό. Όλα τα υλικά αποτελούνται από άτοµα, τα οποία µπορούν να υποβληθούν ε µία παλµική κίνηη γύρω από τις θέεις ιορροπίας τους. Υπάρχουν πολλά είδη παλµικών κινήεων τα άτοµα του υλικού, όµως οι περιότερες είναι άχετες µε τις εφαρµογές των υπερήχων. Αυτές που µελετώνται κυρίως είναι οι οµοιόµορφες κινήεις των ατόµων που κοπό έχουν να παράγουν ένα µηχανικό κύµα. Όταν ένα υλικό δεν καταπονείται ε εφελκυµό ή θλίψη πέραν του ορίου ελατικότητάς του, τα µόριά του εκτελούν επιµέρους ελατικές ταλαντώεις. Όταν τα µόρια του υλικού µετατοπίζονται από τις θέεις ιορροπίας τους, προκύπτουν εωτερικές δυνάµεις αποκατάταης. Αυτές οι δυνάµεις ε υνδυαµό µε την αδράνεια των µορίων, οδηγούν ε ταλαντώεις των µορίων του υλικού. Στα τερεά, τα ηχητικά κύµατα µπορούν να διαδοθούν µε τέερεις διαφορετικές µορφές οι οποίες βαίζονται τον τρόπο ταλάντωης των µορίων τους. Οι µορφές αυτές είναι: - διαµήκη κύµατα - εγκάρια κύµατα - κύµατα επιφανείας - κύµατα που εµφανίζονται ε µικρού πάχους υλικά (extensional waves) Τα διαµήκη και τα εγκάρια κύµατα είναι αυτά που χρηιµοποιούνται κυρίως ε εφαρµογές υπερήχων. Στα διαµήκη κύµατα, η διεύθυνη της διάδοής τους υµπίπτει µε τη διεύθυνη της ταλάντωης. Απο τη τιγµή που εφελκυτικές και θλιπτικές δυνάµεις είναι ενεργές ε αυτού του είδους τα κύµατα, υναντώνται και ώς κύµατα πίεης, λόγω της διακύµανης της πυκνότητάς τους κατά την διάδοή τους. Τα κύµατα πίεης µπορούν να δηµιουργηθούν ε ρευτά, αλλά και ε τερεά διότι η ενέργεια µεταφέρεται διαµέου της δοµής των ατόµων από µία ειρά κινήεων υπείρωης και εκτόνωης. Στα χήµατα 3.(α), 3.(β) φαίνεται ο τρόπος διάδοης ενός διαµήκους κύµατος.

30 Σχήµα 3.(α) Σχήµα 3.(β) Στα εγκάρια κύµατα, η διεύθυνη διάδοής τους είναι κάθετη την διεύθυνη της ταλάντωης - χήµατα 3.(γ), 3.(δ). Τα κύµατα αυτά, απαιτούν ένα τερέας µορφής υλικό για την ωτή διάδοή τους. Συγκρίνοντάς τα µε τα διαµήκη κύµατα, τα εγκάρια είναι κατά κανόνα αθενέτερα. Στην πραγµατικότητα τα εγκάρια κύµατα παράγονται τα υλικά χρηιµοποιώντας ενέργεια από τα διαµήκη. Σχήµα 3.(γ)

31 Σχήµα 3.(δ) Τα κύµατα επιφανείας εµφανίζονται την επιφάνεια των χετικά µεγάλης πυκνότητας τερεών υλικών, διειδύοντας το βάθος ενός µήκους κύµατος. Εδώ, η κίνηη των µορίων έχει µια ελλειπτική τροχιά όπως φαίνεται το χήµα 3.(ε): Σχήµα 3.(ε) Τα κύµατα επιφανείας είναι χρήιµα επειδή είναι πολύ ευαίθητα τις κατακευατικές ατέλειες του υλικού. Έχουν τη δυνατότητα να ακολουθούν την επιφάνεια του υλικού γύρω από τις καµπύλες του. Έτι, µπορούν να χρηιµοποιηθούν για να δώουν πληροφορίες για το εξεταζόµενο υλικό ε ηµεία όπου οι άλλες µορφές κυµάτων δεν είναι δυνατόν να διαδοθούν. Τα κύµατα εκτόνωης µπορούν να υπάρξουν µόνο ε λεπτόπαχα µέταλλα. Είναι πολύπλοκα δονούµενα κύµατα τα οποία εξελίονται ε όλο το πάχος του υλικού. Η διάδοη των κυµάτων αυτών εξαρτάται από την πυκνότητα, και από τις ελατικές ιδιότητες του υλικού. Επηρεάζονται επίης πολύ από την υχνότητα της εφαρµογής και το πάχος του υλικού. Εδώ υπάρχουν πολλά είδη δονήεων των µορίων του υλικού, όµως δύο είναι οι πιο ηµαντικές: Οι υµµετρικές, και οι αύµετρες δονήεις. Οι ύνθετες αυτές κινήεις των µορίων είναι παρόµοιες µε τις ελλειπτικές τροχιές των κυµάτων επιφανείας. Τα υµµετρικά κύµατα αυτής της µορφής, τα λεγόµενα κύµατα εκτόνωης, αναπτύονται όπως και το όνοµά τους υµµετρικά το µέο επίπεδο της επιφάνειας του υλικού. Η µορφή των κυµάτων αυτών φαίνεται το χήµα που ακολουθεί:

32 Σχήµα 3.(τ) Η αύµµετρη µορφή εµφανίζεται υχνά και ως καµπτικό κύµα επειδή ένα µεγάλο µέρος µετακινείται πρός µία κάθετη κατεύθυνη την επιφάνεια του υλικού, και ένα µικρό µέρος εµφανίζεται προς µία κατεύθυνη παράλληλη το υλικό. Αυτό έχει ώς αποτέλεµα το ώµα του υλικού να κάµπτεται καθώς οι επιφάνειες του κινούνται προς την ίδια κατεύθυνη - χήµα 3.(ζ). Σχήµα 3.(ζ) Τελειώνοντας, υπάρχει και µια άλλη µορφή κύµατος επιφανείας, το οποίο αναπτύεται παράλληλα µε την επιφάνεια του υλικού, και κάθετα την κατεύθυνη του κύµατος Σχέεις ανάµεα τους υπερήχους και τις ιδιότητες ενός υλικού Ώς γνωτόν, ο ήχος µεταφέρεται µε διαφορετικές ταχύτητες ε διαφορετικά υλικα. Αυτό γιατί η µάζα των ατόµων των µορίων του υλικού, καθώς και οι ελατικές ιδιότητές τους, είναι διαφορετικές ανα υλικό. Μια γενική χέη ανάµεα την ταχύτητα του ήχου ε ένα υλικό, της πυκνότητας, και της ελατικότητας αυτού, δίδεται από την παρακάτω χέη: V Cis p όπου V: η ταχύτητα του ήχου,

33 C is : ελατική ταθερά, p: η πυκνότητα του υλικού. Η χέη αυτή µπορεί να πάρει διάφορες µορφές ανάλογα µε τη µορφή του ηχητικού κύµατος (εγκάριο ή διαµήκες), και ανάλογα µε το ποιές ελατικές ταθερές χρηιµοποιούνται. Οι τυπικές ταθερές που εξετάζονται ε ένα τερεό είναι: - Μέτρο ελατικότητας - Λόγος Poisson - Συντελετής λ (lame onstant) - Θερµοκραιακό µοντέλο Debye - Ιόθερµο µέτρο ελατικότητας Μέτρο ελατικότητας Το µέτρο ελατικότητας περιγράφει την ακαµψία ενός υλικού. Αποτελεί έναν από τους ηµαντικότερους υντελετές την µηχανική. υνάµει της υµµετρίας, η χέη των υπερηχητικών ταχυτήτων βρίκεται για τα ιότροπα οµοιογενή υλικά από µία απλοποίηη των 36 πιθανών ελατικών ταθερών που παράγονται για τα ανιότροπα υλικά. Οι τύποι για τα υλικά αυτά παρουιάζονται παρακάτω. Η διαµήκης ταχύτητα δίδεται από τη χέη: Y ( v) C p ( + ν )( ν ) (3.) Ο υντελετής ακαµψίας Υ L ενός τέτοιου τοιχειώδους τµήµατος θα είναι µεγαλύτερος από το µέτρο ελατικότητας: C Ydp L L p( b) (3.) όπου ο τύπος για το λαµβάνεται υπ όψη για τον περιοριµό των δυνάµεων του C L b, και Y L ν ν (3.3) b ( ) µε τον περιοριµό b όταν ν,5. Ο υντελετής ακαµψίας είναι ένας ύνθετος αριθµός που επηρεάζεται από απώλειες. Όταν οι απώλειες είναι µικρές, αυτές δεν λαµβάνονται υπ όψη: C ( K + (4/3) G p (3.4) L όπου Κ ταθερός υντελετής, G ο διατµητικός υντελετής ελατικότητας. Έτι:

34 C ( / p)[( ν ) /( + ν)( ν)] (3.5) L Η διάδοη του υπερηχητικού κύµατος δια µήκους µιας µπάρας θα αναγκάει τις πλευρικές διατάεις να αλλάξουν δυναµικά, όον αφορά την θέη του κύµατος πίεης. Για ένα υλικό µε άπειρη πλευρική διάταη περιορίζει τις πλευρικές άκρες του διαµήκους κύµατος πίεης. Στις παραπάνω χέεις, το ν εκφράζει τον λόγο Poisson. Όταν το ν/ το C L είναι απροδιόριτο. Εντούτοις, το µέτρο ελατικότητας Ε είναι ίο µέ: 3 K( ν ) (3.6) Με αντικατάταη της χέης (3.6) την (3.5), προκύπτει µία χέη που θα ιχύει για τα ιδανικά ρευτά: 3( ν )( ν)/[( + ν)( ν)] (3.7) Επιλύοντας την (3.7), έχουµε: ν/. Εποµένως, το υλικό καλύπτει την απαίτηη του ρευτού, και η αντικατάταη για την ταχύτητα µπορεί να ολοκληρωθεί για τα ιδανικά ρευτά: C ( K / p) (3.8) F Η χέη αυτή περιγράφει την ταχύτητα του ήχου µέα τα υγρά και τα αέρια. Η εγκάρια ταχύτητα βρίκεται τα υλικά που µπορούν να υποτούν διατµητικές τάεις, όπως τα περιότερα τερεά. Η εγκάρια ταχύτητα του ήχου δίδεται από τη χέη: C ( G/ p) (3.9) S Τώρα, είναι δυνατόν υπό όρους να υνδυατεί η (3.8) µε την (3.9) και ε υνδυαµό µε την (4) να δώουν: ( 43) p ( 43) C p L C F C S C F C (3.) S Η προϋπόθεη για την ορθότητα της χέης (3.8) θα παραβιατεί εάν η προϋπόθεη για την χέη (3.9) ιχύει. ηλαδή ένα υλικό δεν µπορεί να είναι ιδανικό ρευτό, και να µπορεί να υποτεί διατµητικές τάεις. Υπάρχει µια άλλη διαµήκης ηχητική ταχύτητα που λαµβάνει µέρος ε υλικά ικανά να υποτούν διατµητικές τάεις. Μικρού πάχους υλικά όπως ράβδοι, µπάρες, καλώδια που υποβάλλονται ε κύµατα υµπίεης µε µήκος κύµατος 5 φορές µεγαλύτερο από τη διατοµή τους, επιτρέπουν το κύµα να διαδοθεί µε µειωµένη ταχύτητα υγκρινόµενο µε το κοινό δείγµα διαµήκους κύµατος. Η ταχύτητα C υνδέεται µε το µέτρο ελατικότητας µε την ακόλουθη χέη:

35 C ( / p) (3.) η οποία έχει υπολογιτεί από τις C L και C S ή από ειδικά χεδιαµένα δείγµατα και αιθητήρες. Επιλύοντας την χέη (3.9) ώς προς τον διατµητικό υντελετή ελατικότητας G, έχουµε: G C p S (3.) Από την (3.) και την (3.4) παίρνουµε: L ( 4/3) C C K + p S p Και επιλύοντας ως προς Κ, έχουµε: K p C L ( 4/3) C S (3.3) Η χέη µεταξύ του µέτρου ελατικότητας και του διατµητικού υντελετή G είναι: 9 KG /( G + 3K) (3.4) Με αντικατάταη του Κ και του G από τις (3.3) και (3.) αντίτοιχα, την χέη (3.4), το µέτρο ελατικότητας γίνεται: ( 3 4 ) ( ) pc S C L C S C L C S (3.5) και µε αντικατάταη της παραπάνω χέης την (3.) η C γίνεται: ( ) ( ) C 3 4 C S C L C S C L C (3.6) S Η εξάρτηη της C από την εγκάρια είναι προφανής και ιχύει µε την έννοια ότι τα υλικά που δεν µπορούν να υποτηρίξουν διατµητικές τάεις, όπως π.χ τα ρευτά µε µηδενικό ιξώδες, δεν µπορούν επίης να διαδόουν µια τέτοιου είδους ταχύτητα. Η ταχύτητα αυτή είναι δυνατόν να παροµοιατεί µε ένα κύµα πίεης το οποίο διαδίδεται κατά µήκος του άξονα της ράβδου.

36 3..3. Λόγος Poisson Είναι γνωτό ότι οι ελατικές ταθερές υχετίζονται µεταξύ τους. Έτι µπορεί να υπολογιτεί ο λόγος Poisson. Ο λόγος αυτός είναι επίης µια χέη της αναλογίας των διαµήκων και εγκάριων ταχυτήτων: ( ) ( ) ν CS / C L CS / C L (3.7) Συντελετής λ Υπάρχουν ελατικές ταθερές οι οποίες υπολογίζονται µε τους υπέρηχους. Η µία ταθερά έχει δοθεί ως ο διατµητικός υντελετής ελατικότητας G. Η άλλη µερικές φορές εµφανίζεται ως υντελετής λ (Lame). Ο υντελετής λ είναι καθοριτικός παράγοντας για την διαµήκη και την εγκάρια ταχύτητα: C ( λ ' ) + G p (3.8) L επιλύοντας ώς πρός λ, έχουµε: λ ' ( ) L S p C C (3.9) Ο υντελετής λ είναι ενδιαφέρων ε εφαρµογές µε πλατικά υλικά. Καθώς ο λόγος Poisson αυξάνει, ο υντελετής λ θα πληιάει τον κοινό υντελετή Κ. Ο διατµητικός υντελετής G θα εξαφανιτεί καθώς το ιξώδες του ρευτού πληιάει το µηδέν. Αυτό µπορεί να παρατηρηθεί από την χέη που µας δίνει τον υντελετή Κ: K λ ' + [ µ /3] όπου, η εγκάρια πληιάζει το µηδέν για τα ρευτά, και ταυτόχρονα ο λόγος Poisson πληιάζει την τιµή,5. Η υµπιετή ταχύτητα για τα ρευτά είναι ανάλογη προς το υντελετή Κ που παρουιάζεται την χέη (3.8) Θερµοκραιακό µοντέλο Debye Το θερµοκραιακό µοντέλο Debye αναπτύχθηκε από τον Peter Debye το 9, και περιγράφει την µεγαλύτερη θερµοκραία που µπορεί να αποκτήει ένα υλικό, όταν τα µόριά του εκτελούν αρµονική ταλάντωη. Οι µηχανιµοί θερµικών απωλειών µπορούν να περιγραφούν µέα απ αυτό το µοντέλο. Η θερµοκραία αυτή µπορεί να υπολογιτεί υναρτήει του διατµητικού υντελετή ελατικότητας G, και της διαµήκους ταχύτητας C. Υπολογίζεται αρχικά η µέη ενωµατωµένη ταχύτητα C M για ιότροπα υλικά, βάει των ταχυτήτων C S,C L :

37 3 3 3 ( ) ( ) 3 + CM 3 CSCL CL C S (3.) Από την ακόλουθη χέη, παίρνουµε την debye θερµοκραία θ: όπου: ( )( ) 3 π θ h/ k 3 PpN /4 M CM ( o Kelvin) (3.) h: ταθερά Plank, k: ταθερά Boltzmann, hk 47,996 ( Ks[/ ]), P: αριθµός ατόµων ανά moleule, N: αριθµός Avogadro, M: µέο ατοµικό βάρος Ιόθερµο µέτρο ελατικότητας Οι µετρήεις ε υλικά µε τη µέθοδο των υπερήχων, δεν αφήνουν µεγάλα περιθώρια για θερµικές απώλειες. Έτι, το µέτρο ελατικότητας, όπως υπολογίζεται από τις υπερηχητικές ταχύτητες, είναι την ουία το αδιαβατικό µέτρο ελατικότητας, το οποίο είναι ελαφρώς µεγαλύτερο από το αντίτοιχο ιόθερµο. Η χέη που υνδέει το αδιαβατικό και το ιόθερµο µέτρο είναι: όπου: A I A P ( + a T pc ) (3.) ( ) pc pc a T A I P P I Ε Α : αδιαβατικό µέτρο ελατικότητας Ε Ι : ιόθερµο µέτρο ελατικότητας α: υντελετής θερµικών απωλειών C p : ειδική θερµόχωρητικότητα υπο ταθερή πίεη p: πυκνότητα

38 4. Εφαρµογή Υπολογιµός του µέτρου ελατικότητας Ε, του διατµητικού υντελετή ελατικότητας G, του λόγου Poisson, καθώς και την ταυτοποίηη του υλικού κατακευής ενός κληρού δίκου προωπικού υπολογιτή. 4. Πρόβληµα Το µέτρο ελατικότητας Ε ενός φορτιζόµενου υλικού ορίζεται ως ο λόγος της τάης (δύναµη ανα µονάδα επιφανείας) προς την αντίτοιχη παραµόρφωη. Ο διατµητικός υντελετής ελατικότητας είναι παρόµοιος µε την αναλογία πίεης παραµόρφωης ε υλικό που υποβάλλεται ε διατµητική τάη η οποία προκαλεί διατρητική παραµόρφωη. Ο λόγος Poisson είναι η αναλογία της διατµητικής προς την αντίτοιχη εγκάρια παραµόρφωη ε ένα υλικό που καταπονείται κατά µήκος του άξονά του. Αυτές οι βαικές χέεις, οι οποίες παρουιάζουν ενδιαφέρον ε πολλές κατακευατικές και ερευνητικές εφαρµογές, µπορούν να υπολογιτούν γρήγορα, εύκολα και µε ακρίβεια µε τους υπερήχους. Για τον υπολογιµό των βαικών αυτών µεγεθών απαιτείται, όπως προκύπτει από την προηγηθείς µελέτη ο υπολογιµός της ταχύτητας διάδοης του ήχου. Η ταχύτητα του υπέρηχου µπορεί να µετρηθεί εύκολα χρηιµοποιώντας τις λεγόµενες pulse-eho τεχνικές. Η τεχνική που περιγράφεται τη υνέχεια ιχύει µονάχα για τα υλικά όπου η ταχύτητα δεν αλλάζει µε την υχνότητα. Αυτό περιλαµβάνει τα περιότερα υλικά όπως µέταλλα, κεραµικά, και γυαλί εφόον η διατοµή του δεν πληιάζει τη υχνότητα του µήκους κύµατος της δοκιµής. Υλικά όπως τα πλατικά και άλλα ύνθετα είναι κατα κύριο λόγο ανιότροπα, δηλαδή η ταχύτητα του ήχου µεταβάλλεται µε την θέη, όµως, χρήιµες πληροφορίες είναι δυνατόν να αντληθούν απ αυτά µέω µιας τέτοιας τεχνικής µε υπέρηχους, εφόον η φύη της διαποράς του υλικού µπορεί να αναγνωριτεί όταν ερµηνευτούν τα αποτελέµατα. 4. Εξοπλιµός Ο απαραίτητος για την µέτρηη της ταχύτητος, πειραµατικός εξοπλιµός περιγράφεται παρακάτω περιλαµβάνει µια γεννήτρια παλµών, ένα παλµογράφο, και δύο αιθητήρες υπερήχων κατάλληλοι για την µέτρηη διάδοης της ταχύτητας του υπέρηχου κατά µήκος, και εγκάρια. Χρηιµοποιήθηκαν, η pulse-eho γεννήτρια της Panametris, και υγκεκριµένα το µοντέλο 59PR. Οι αιθητήρες της Olympus, και υγκεκριµένα για την µέτρηη τον εγκάριο άξονα το µοντέλο V τα Mhz, και για µετρήεις διατµητικά, το µοντέλο V τα Mhz επίης. Στην ακόλουθη εικόνα φαίνονται οι υγκεκριµένοι αιθητήρες, καθώς και η κυµατοµορφή βαθµονόµηης τους:

39 V-PR V-PR Οι αιθητήρες αυτοί λειτουργούν και ως ποµποί του υπέρηχου, αλλά και ώς δέκτες. Το µοντέλο παλµογράφου που χρηιµοποιήθηκε για την εφαρµογή αυτή είναι το Tektronix TPS4:

40 Ο παλµογράφος θα εµφανίει ένα γράφηµα τάης-χρόνου, απ οπου θα υπολογιθεί η χρονική απόταη µεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών. Αυτός ο χρόνος t είναι ο χρόνος που χρειάτηκε ο υπέρηχος να διανύει το προς έλεγχο υλικό και να επιτρέψει πίω τον αιθητήρα. Απόπαµα µε µετρηµένες τιµές ταχύτητας διέλευης του υπερήχου µέα ε µέταλλα παρατίθεται την επόµενη εικόνα: Σχηµατικά, η διάταξη του πειράµατος έχει ώς εξής:

41 Το οµοαξονικό καλώδιο χαµηλών απωλειών του αιθητήρα υνδέεται την θύρα T/R της γεννήτριας παλµών. Τα αρχικά T/R ηµαίνουν Transmit/Reeive και αυτό γιατί ο υγκεκριµένος αιθητήρας χρηιµοποιείται και ώς δέκτης του παλµού που εξέπεµπψε. Για άλλου τύπου µέτρηης µε διαφορετικό δέκτη, αυτός θα υνδέονταν την θύρα R ή Reeive. Στην επόµενη φωτογραφία βλέπουµε τηµµένο όλο τον εξοπλιµό το εργατήριο:

42 Να ηµειωθεί εδώ ότι το υλικό που θα εξετατεί, για να ληφθούν ακριβή αποτελέµατα, πρέπει να έχει διατάεις τουλάχιτον µεγαλύτερες από 5 φορές το µήκος κύµατος. Στην υγκεκριµένη εφαρµογή το πάχος του κληρού δίκου µετρήθηκε µε µικρόµετρο και είναι ίο µε,7mm. Επίης, όπως φαίνεται και την προηγούµενη εικόνα, ο αιθητήρας για να έχει ηχητική υνέχεια µε το υλικό, χρηιµοποιήθηκε κατάλληλο gel ανάµεα την επιφάνεια του υλικού και εκείνη του αιθητήρα, απαραίτητο πάντα για τέτοιες µετρήεις. 4.3 Μετρήεις Υπολογιµοί Αρχικά τοποθετήθηκε ο εγκάριος αιθητήρα, και ρυθµίτηκε η γεννήτρια τις προβλεπόµενες τιµές λειτουργίας του, όπως υχνότητα εκποµπής, απόβεη, attenuation, gain, κτλ. Τοποθετήθηκε το gel επαφής, και ενεργοποιήθηκε ο παλµογράφος, απ τον οποίο ελήφθηαν οι ακόλουθες τιµές: Ο χρόνος που χρειάζεται να µετρηθεί είναι όπως αναφέρθηκε νωρίτερα το t µεταξύ δύο διαδοχικκών κορυφών. Η τιµή αυτή για την εγκάρια ταχύτητα είναι ίη µε t4nse. Οπότε: Ταχύτητα Πάχος δοκιµίου / (/) χρόνος διέλευης

43 C L 3 3,7 m ( ) 6 4 se 9 m / se Αντικαθιτώντας τον V µε τον V αιθητήρα µε κοπό την µέτρηη του χρόνου διέλευης του υπέρηχου διατµητικά το υλικό, µετά από επαναρρύθµιη της γεννήτριας πάρθηκαν απ τον παλµογράφο τα ακόλουθα αποτέλεµατα: Ο χρόνος t όπως αναµενόταν ε αυτή την περίπτωη είναι µεγαλύτερος, και ίος µε t83nse. Ανάλογα όπως και πρίν, υπολογίζεται η διατµητική ταχύτητα: C S 3 3,7 m ( ) 3,66 83 se 9 m / se Με µια πρώτη µατία τον πίνακα των τιµών ταχυτήτων τα υλικά, διαπιτώνεται ότι το υλικό του κληρού δίκου που εξετάζεται είναι το αλουµίνιο. Για να υπολογιτεί ο λόγος Poisson, που θα χρειατεί για τον υπολογιµό του µέτρου ελατικότητας την υνέχεια, ειάγονται οι τιµές C L, C S τον ακόλουθο τύπο: Λόγος Poisson C S CL ν, CS CL και αντικαθιτώντας τις τιµές υπολογίζεται:

44 ν,33 Το Μέτρο Ελατικότητας Ε δίδεται από την ακόλουθη χέη: ( + ν ) ( ν ) C L r N/m ν όπου r η πυκνότητα του υλικού, που την περίπτωη του αλουµινίου που εξετάζεται είναι ίη µε,768tn/m 3, και v λόγος Poisson Αντικαθιτώντας τις τιµές την παραπάνω χέη, υπολογίζεται το µέτρο ελατικότητας του υλικού: ή 68,9 GPa. 3 3 ( 6 ) ( m / se) 768( kg / m ),33,354,677 6,89 N / m Ο διατµητικός υντελετής ελατικότητας G δίδεται από τη χέη: G C r, και αντικαθιτώντας: S 3 3 ( 3,66 ) ( m / se) 768( kg / m ),6 N / m GPa G 6