PROBLEMA CLASICĂ DE TRANSPORT

Transcript

1 Prograarea liiară PRBEA CASICĂ DE TRANSPRT Problea clasică de trasport face parte di clasa ult ai largă a probleelor odelate pri reţele de trasport. reţea de trasport odelează o situaţie ecooică î care, ditr-u auit uăr de pucte, uite surse, trebuie trasportată o catitate ditr-o auită substaţă, îtr-u alt uăr de pucte, uite destiaţii. Situaţia extre de geerală de ai sus poate fi apoi cocretizată îtr-u uăr deosebit de are de oduri, specificâd dacă există sau u pucte iterediare ître surse şi destiaţii, odul î care se face trasportul (care sut rutele posibile, costul trasportului, liite iie şi/sau axie petru catitatea trasportată pe fiecare rută, tipul ecesar trasportului), scopurile urărite etc. Di această cauză există o ultitudie de problee care iplică reţele de trasport, ditre acestea putâd aiti:. Problea clasică de trasport 2. Problea trasferului 3. Problea druului de cost ii 4. Problea fluxului axi 5. Problea fluxului axi de cost ii 6. Problee de flux diaic 7. Problea cuplaului axi 8. Problea de afectare 9. Problea de ordoaţare. Problea cois voiaorului. Problea arborelui de cost ii Î cotiuare o vo detalia pe pria ditre acestea. Caracteristicile uei problee de trasport clasice sut:. fiecare sursă aprovizioează cel puţi o destiaţie şi fiecare destiaţie este aprovizioată de la cel puţi o sursă; 2. pot exista perechi sursă-destiaţie ître care u se poate face trasfer (rute blocate); 3. u există liitări î ceea ce priveşte catitatea trasportată pe fiecare rută; 4. se cuosc catităţile dispoibile î fiecare sursă şi catităţile ecesare î fiecare destiaţie; 5. fiecărei rute i s-a asociat u cost care u depide de sesul de parcurgere. Scopul probleei este găsirea acelor catităţi care trebuie trasportate pe fiecare rută astfel îcât să se asigure ecesarul fiecărei destiaţii, î liitele catităţilor aflate la surse, cu costul ii posibil. Datele probleei sut:. = uărul de surse (furizori); 2. = uărul de destiatari (cosuatori); 3. {A i, i =,...,} = catităţile dispoibile î fiecare sursă; 4. {B, =,...,} = catităţile ecesare la fiecare sursă; 5. {c, i =,...,; =,...,} = costurile uitare pe fiecare rută (costul trasportării uei uităţi de ăsură de la sursa i la destiaţia ). Acestea au fost orgaizate îtr-u tabel ca cel de ai os: 92

2 Bazele cercetării operaţioale Destiaţii C Surse C 2 C F c c 2 c A F 2 c 2 c 22 c 2 A 2 F c c 2 c A dispoibil B B 2 B ecesar Dacă otă cu x catitatea care va fi trasportată de la sursa i la destiaţia atuci ave de rezolvat problea: ( i) f = = x A i i =,..., = x B =,..., x i =,..., ; =,..., care este u caz particular de probleă de prograare liiară. Îtr-o priă aaliză, se observă iediat că problea u are soluţii adisibile dacă dispoibilul total este ai ic decât cererea totală. ateatic, afiraţia de ai sus este ustificată pri relaţiile obţiute pri aduarea prielor restricţii şi apoi a ultielor : dispoibil total = De aseeea, codiţia ca verifică uşor că soluţia x A i = B A i A i A i B x c = = = este soluţie adisibilă. x B = cerere totală este şi suficietă, deoarece, î acest caz, se Î altă ordie de idei, chiar dacă dispoibilul total este ai are decât cererea totală, este clar că se va trasporta doar ecesarul, deoarece trasportarea uei catităţi ai ari decât ecesarul va duce la u cost suplietar, î cotrast cu scopul urărit. ateatic, uei soluţii î care ua di ultiele restricţii ar fi verificată strict, îi corespude o soluţie î care a scăzut catitatea suplietară di valorile variabilelor iplicate î restricţie, care este de aseeea adisibilă (aceste variabile u apar î alte restricţii ditre ultiele, iar priele vor fi cu atât ai ult verificate dacă x scad) şi care este evidet ai buă, dâd u cost ai ic. Î cocluzie, dacă există soluţie optiă, se va trasportă exact catitatea cerută. Totuşi, î practică se poate îtâli oricare di cele trei cazuri: () A i > B = 93

3 Prograarea liiară (2) A i < B = (3) A i = B = Î priul caz, problea are soluţie optiă, iar catitatea î exces faţă de cerere va răâe la furizori, fiid reprezetată de variabilele de abatere di priele restricţii. Aceste catităţi pot fi privite ca işte cereri ale uui cosuator fictiv şi ţiâd cot că, de fapt, aceste catităţi u sut trasportate icăieri, costurile uitare pe rutele care ar lega furizorii de acest cosuator sut. Adăugâd acest cosuator la tabel, cu cererea egală cu A i B, vo obţie o probleă de tipul (3). Aalog, î al treilea caz, chiar dacă dispoibilul este ai ic decât ecesarul, u îseaă că u se va ai trasporta iic, ci doar că uora ditre cosuatori u li se va satisface toată cererea. Această cerere esatisfăcută poate fi privită ca dispoibilul uui furizor fictiv şi ţiâd cot că, de fapt, această catitate u există, costurile uitare pe rutele care ar lega cosuatorii de acest furizor sut. Adăugâd acest furizor la tabel, cu dispoibilul egal cu B A =, vo obţie o probleă de tipul (3). Î cocluzie, orice probleă poate fi trasforată îtr-o probleă de tipul (3). Deşi acest caz este foarte rar î practică, el este cel ai siplu di puct de vedere ateatic şi va fi ales petru foralizarea probleei. astfel de probleă se ueşte probleă de trasport echilibrată. De aseeea, este uşor de văzut că, petru o probleă de trasport echilibrată, toate soluţiile adisibile verifică toate restricţiile cu egal. Astfel, dacă ăcar ua di priele restricţii ar fi verificată cu "<" atuci a avea pri îsuare: A i > x B, î cotradicţie cu = = = = A i = B iar dacă ăcar ua di ultiele restricţii ar fi verificată cu ">" atuci a avea pri îsuare: A i x > B, î cotradicţie cu = = A i = B Î cocluzie, orice probleă de trasport este echivaletă cu o probleă de fora: ( i) f x x = A i i =,..., = ude x = B =,..., x i =,..., ; =,..., care este fora stadard a probleei de trasport. = = c 94 = = A i = B i

4 Bazele cercetării operaţioale Rezolvarea probleei de trasport Este evidet că problea de trasport la fora stadard este o probleă de prograare liiară la fora stadard, dar, la fel de evidet este şi faptul că este o probleă de prograare care devie foarte repede uriaşă (u exeplu practic obişuit cu, de exeplu, 5 de furizori şi 5 cosuatori, va duce la u tabel siplex de 25, şi sut cazuri şi cu ii de furizori şi cosuatori), otiv petru care algoritul siplex sub fora clasică u este aplicabil. Cu s-a văzut îsă, există şi etode pri care se poate reduce ult voluul de calcule (vezi algoritul siplex revizuit). Î plus, datele probleei de trasport au o structură cu totul deosebită, î atricea A a sisteului, toate copoetele fiid sau, di care sut ult ai ulţi. Di acest otiv este atural să căută u algorit special petru problea de trasport care să se folosească la axiu caracteristicile acesteia. Petru ilustrarea celor de ai vo scrie atricea A desfăşurat: liii liii coloae coloae coloae ori Această atrice are + liii, coloae şi deci ( + ) copoete di care doar 2 sut, restul fiid. problea cu 5 furizori şi 5 cosuatori va avea doar u procet de: ( 5 + 5) = 2% copoete egale cu bservâd că sua prielor liii ius sua ultielor este, rezultă că liiile atricii sut liiar depedete, deci ragul lui A este ai ic decât +. Se poate găsi îsă u ior de diesiue + cu deteriatul diferit de (cititorul îl poate găsi sigur), deci o bază a uei problee de trasport are diesiuea + şi o soluţie de bază are cel ult + copoete diferite de (o soluţie edegeerată are deci + copoete diferite de ). Preferarea soluţiilor edegeerate se face di acelaşi otiv ca şi la algoritul siplex şi aue evitarea ciclării (la problea de trasport este ult ai iportat acest aspect deoarece soluţiile de bază ale acesteia sut, î geeral, puteric degeerate). Îaite de a da algoritul petru rezolvarea probleei de trasport, trebuie rearcat că îtro probleă de trasport u poate apărea decât variata de opti fiit, existâd îtotdeaua soluţii adisibile (aşa cu s-a deostrat ai sus) iar iiul u este posibil, ţiâd cot că ave de iiizat o fucţie liiară cu toţi coeficieţii pozitivi pe o ulţie de soluţii cu toate copoetele pozitive. Ca şi î algoritul siplex, rezolvarea probleei de trasport se face î două etape: Etapa. Găsirea uei soluţii iiţiale de bază Deoarece fiecare variabilă corespude uei rute (este catitatea trasportată pe această rută) iar fiecare rută corespude uei perechi furizor-cosuator, vo idetifica fiecare variabilă x cu 95

5 Prograarea liiară ruta (i,). A găsi o soluţie de bază edegeerată este echivalet cu a găsi cel ult + rute, di cele posibile, pe care să trasportă toată catitatea dispoibilă. Rutele vor fi orgaizate îtru tabel aseăător celui î care sut orgaizate datele probleei, fiecărei rute corespuzâdu-i o căsuţă (i,): Destiaţii C Surse C 2 C C F A F 2 A 2 F i F B B 2 B B A i A dispoibil ecesar ruta (i,) Spre deosebire de algoritul siplex, găsirea uei soluţii iiţiale de bază u este dificilă. De fapt, este atât de uşor de găsit o astfel de soluţie, îcât există o ultitudie de etode î acest scop, care îcearcă u uai găsirea acesteia, ci chiar găsirea ueia cât ai buă. Vo expue ditre acestea:. etoda ord vest; 2. etoda iiului pe liii; 3. etoda iiului pe coloae; 4. etoda costului ii; 5. etoda difereţelor axie; Cu toate că sut foarte ulte, toate etodele urează o scheă couă: Pasul. Se alege o rută iiţială după o auită regulă. Această regulă diferă î fucţie de etoda folosită, fiid: etoda ord vest; ruta di colţul stâga sus al tabelului etoda iiului pe liii ruta de cost ii de pe pria liie (dacă iiul este ultiplu se ia pria di stâga) etoda iiului pe coloae ruta de cost ii de pe pria coloaă (dacă iiul este ultiplu se ia cea ai de sus) etoda costului ii ruta de cost ii di îtregul tabel (dacă iiul este ultiplu se ia ua la îtâplare) etoda difereţelor axie. Petru fiecare liie şi fiecare coloaă se calculează difereţa ditre cele ai ici două costuri ale rutelor acesteia (difereţa poate fi şi dacă iiul este ultiplu) şi se găseşte axiul ditre aceste difereţe; 2. Ditre toate rutele de pe liiile şi coloaele corespuzătoare acestui axi se alege ruta de cost ii (dacă iiul este ultiplu se ia ua la îtâplare) Pasul 2. Se trasportă pe această rută axiul posibil. Acest axi este egal cu iiul ditre catitatea care ai e dispoibilă la furizorul corespuzător acestei rute şi catitatea care ai e ecesară la cosuatorul corespuzător rutei, î oetul alegerii acestei rute. Se 96

6 Bazele cercetării operaţioale trasportă î acest fel petru ca să se folosească cât ai puţie rute şi deci să se obţiă o soluţie de bază. Pasul 3. După folosirea uei rute este clar că fie se epuizează dispoibilul furizorului corespuzător, fie se asigură îtregul ecesar al cosuatorului corespuzător, fie abele. Dacă se epuizează dispoibilul furizorului este clar că ici o rută care pleacă de la acesta u va ai fi folosită şi aalog, dacă se asigură îtregul ecesar al cosuatorului, ici o rută spre acesta u va ai fi folosită. Rutele care u vor ai fi folosite se uesc rute blocate, sut cele efolosite îcă de pe liia sau /şi coloaa ultiei rute folosite şi se evideţiază î tabel pri haşurarea acestora. Pasul 4. Se alege urătoarea rută, folosid regula: etoda ord vest; cea ai apropiată ruta de ultia aleasă ditre cele eblocate îcă; etoda iiului pe liii ruta de cost ii de pe pria liie pe care ai sut îcă rute eblocate (dacă iiul pe aceasta este ultiplu se ia pria di stâga); etoda iiului pe coloae ruta de cost ii de pe pria coloaă pe care ai sut îcă rute eblocate (dacă iiul pe aceasta este ultiplu se ia cea ai de sus); etoda costului ii ruta de cost ii di îtregul tabel ditre cele eblocate îcă (dacă iiul este ultiplu se ia ua la îtâplare); etoda difereţelor axie se repetă procedeul de la pasul petru rutele eblocate îcă. Pasul 5. Se reia algoritul de la pasul 2 pâă câd u ai răâe ici o rută efolosită sau eblocată. Se observă că, dacă pria etodă este pur geoetrică, eţiâd cot de costurile rutelor, toate celelalte îcearcă să icşoreze cât ai ult costul îtregului trasport. Cu toate că, statistic vorbid, ultia etodă este cea ai buă, ea dâd de foarte ulte ori chiar soluţia optiă, totuşi şi existeţa celorlalte etode este ustificată de faptul că sut ai siplu de aplicat şi există cazuri î care fiecare dă soluţia cea ai buă. Etapa 2. Găsirea soluţiei optie Algoritul care urează reprezită algoritul siplex petru o probleă de ii, aplicat î cazul particular al probleei de trasport. Pasul. Se asociază fiecărui furizor F i o variabilă u i şi fiecărui cosuator C o variabilă v ; Pasul 2. Fiecărei rute (i,) folosită î soluţia actuală i se asociază ecuaţia u i + v = c, rezultâd u siste cu + ecuoscute ( de u i şi de v ) şi + ecuaţii (egal cu ragul atricii A); Pasul 3. Se găseşte o soluţie particulară a acestui siste, egalâd ua di ecuoscute cu (pe cea care apare de cele ai ulte ori); Pasul 4. Se calculează toţi = u i + v c petru toate rutele care u fac parte di soluţie (ceilalţi sut, ţiâd cot de felul cu au fost găsiţi u i, i =,..., şi v, =,...,) Pasul 5. Se aalizează găsiţi. 97

7 Prograarea liiară dacă toţi sut ai ici sau egali cu soluţia găsită este optiă STP dacă există strict pozitivi atuci soluţia actuală u este optiă şi ruta corespuzătoare lui axi va fi cea care itră î bază (dacă axiul este ultiplu se ia ua la îtâplare) Pasul 6. Se costruieşte u circuit, porid di această rută, trecâd doar pri rutele soluţiei, ergâd doar pe verticală sau orizotală şi fiecare trecere de la o rută la alta făcâdu-se doar perpedicular pe trecerea aterioară. S-a deostrat că există u sigur circuit cu aceste proprietăţi şi se poate deostra uşor că trece pritr-u uăr par de rute. Pasul 7. Îcepâd cu + di ruta care va itra î bază se otează alterativ cu "+" şi " " rutele circuitului; Pasul 8. Se otează cu θ iiul ditre catităţile trasportate pe rutele otate cu " " şi ruta petru care s-a obţiut acest ii este cea care va ieşi di bază (cazul iiului ultiplu va fi aalizat după expuerea algoritului); Pasul 9. Se scade θ di catităţile trasportate pe rutele otate cu " " şi se adaugă la cele otate cu "+", rutele care u sut pe circuit păstrâdu-şi valoarea; Pasul. Se reia algoritul de la pasul 2 Aşa cu s-a văzut ai sus, se poate ca la pasul 8 iiul θ să fie ultiplu. Atuci, pe toate rutele pe care se trasporta θ u se va ai trasporta iic, adică vor dispărea di soluţie. Cu î soluţie a itrat doar o sigură rută rezultă că oua soluţie este degeerată. Cu existeţa acestui tip de soluţii poate duce la ciclarea algoritului, au fost iagiate ai ulte etode de evitare, toate bazâdu-se pe odificarea datelor iiţiale, î aşa fel îcât, pe parcursul algoritului, să u ai ave ici o soluţie degeerată. Această odificare (perturbare) poate fi făcută chiar de la îceputul rezolvării, îcât problea să u ai aibă ici o soluţie degeerată, fie doar atuci câd apare o soluţie degeerată, eliiâd perturbaţia iediat ce u ai e ecesară. Petru a vedea cu trebuie să arate o astfel de odificare, dă urătoarea teoreă care caracterizează existeţa soluţiilor degeerate: Teoreă. probleă de trasport are soluţii degeerate dacă şi uai dacă există o subulţie strictă şi evidă a furizorilor şi o subulţie strictă şi evidă a cosuatorilor astfel îcât sua dispoibilurilor furizorilor di pria subulţie este egală cu sua cererilor cosuatorilor di a doua. eă. Soluţia este degeerată de k ori dacă şi uai dacă ulţiea furizorilor şi a cosuatorilor se pot partiţioa î k subulţii Φ, Φ 2,..., Φ k şi Ω, Ω 2,..., Ω k astfel îcât cosuatorii di fiecare clasă Ω i se aprovizioează uai de la furizorii di clasa Φ i. Î cocluzie, dacă vre să dispară toate soluţiile degeerate, trebuie odificate dispoibilurile şi cererile î aşa fel îcât să u ai poată exista variata di teoreă. Ua di etodele posibile este să adăugă la fiecare furizor F i catitatea ε i şi să itroduce u cosuator fictiv cu cererea egală cu ε + ε ε, ude ε este o valoare foarte ică (oricât de ică este ecesar). altă variată este să adăugă la fiecare furizor F i catitatea i ε şi să itroduce u cosuator fictiv cu cererea egală cu ε + 2 ε ε, ude ε este de aseeea o valoare foarte ică (oricât de ică este ecesar). Se pot găsi, evidet, şi altele variate. Această etodă este foarte buă î cazul rulării probleei pe calculator, dar, î cazul rezolvării cu creioul pe hârtie, este, evidet, greoaie. Î acest caz vo folosi variata î care itroduce perturbaţia doar câd este evoie (adică câd apare o soluţie degeerată). Această situaţie poate apărea fie chiar la soluţia iiţială, î ura aplicării ueia di etodele de găsire ale uei soluţii iiţiale, fie la pasul 8 di a doua etapă dacă θ 98

8 Bazele cercetării operaţioale se obţie petru ai ulte rute. Răâe de văzut doar cu trebuie făcută această perturbare. Cofor teoreei de ai sus rezultă că ulţiea furizorilor şi a cosuatorilor se pot partiţioa î k subulţii Φ, Φ 2,..., Φ k şi Ω, Ω 2,..., Ω k astfel îcât cosuatorii uei clase Ω i se aprovizioează uai de la furizorii di clasa Φ i şi reciproc. Petru fiecare idice i k vo alege o rută care corespude uui furizor di Φ i şi uui cosuator di Ω i+ şi vo adăuga la furizorul şi cosuatorul corespuzători acesteia catitatea ε i (sau valoarea ε i îtr-o ordie dată a valorilor). Dacă, la u oet dat, pri aularea uui paraetru itrodus, soluţia răâe edegeerată, acesta va fi aulat. Exeplu: Presupue că î rezolvarea probleei: C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C C C 2 F F F F F F F F F s-a aus la soluţia de bază: C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C C C 2 F F F F F F F F F care este dublu degeerată. Aceasta îseaă că ulţiea furizorilor şi cosuatorilor pot fi partiţioate fiecare î trei grupe. Petru a le găsi vo pori de la u furizor, vo găsi cosuatorii care se aprovizioează de la acesta, apoi furizorii care aprovizioează aceşti cosuatori şi tot aşa pâă vo găsi pria grupă di fiecare (furizori şi cosuatori). Petru cei răaşi di fiecare vo cotiua procedeul pâă vo găsi toate grupele. Î cazul ostru petru F găsi cosuatorii C 4, C 5 şi C 7, petru aceştia furizorii F 5 şi F 8, petru aceştia oul cosuator C 2 şi a găsit pria grupă: cosuatorii {C 4, C 5, C 7, C 2 } se aprovizioează de la furizorii {F, F 5, F 8 } Apoi, petru F 2 găsi cosuatorii C 3 şi C, petru aceştia furizorul F 7, petru acesta oul cosuator C 6, petru acesta oul furizor F 3, petru acesta oul cosuator C 8 şi a găsit a doua grupă: cosuatorii {C 3, C 6, C 8, C } se aprovizioează de la furizorii {F 2, F 3, F 7 } A treia grupă va fi, evidet: {C, C 2, C 9, C } se aprovizioează de la furizorii {F 4, F 6, F 9 } Cofor regulii de perturbare, vo alege o rută corespuzătoare uui furizor di pria grupă şi uui cosuator di a doua, de exeplu (5,6) şi o rută corespuzătoare uui furizor di a doua grupă şi uui cosuator di a treia, de exeplu (3,9) şi vo adăuga la furizorul F 5 şi cosuatorul C 6 catitatea suplietară α iar la furizorul F 3 şi cosuatorul C 9 catitatea suplietară β, cu α < β de exeplu, obţiâd problea perturbată: 99

9 Prograarea liiară C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C C C 2 F F F β 8+β F F 5 α 4 4+α F F F F α β care u ai este degeerată. Răâe ca exerciţiu verificarea faptului dacă această soluţie este optiă şi dacă u, să se găsească soluţia de bază succesoare. Variate ale probleei de trasport Există o gaă foarte largă de feoee ecooice care pot fi reprezetate pri odele de prograare liiară de tip trasport sau foarte aseăătoare cu acestea. Prezetă î cotiuare câteva ditre acestea. Cu rute blocate Î auite cazuri pot exista situaţii î care auite rute ître furizori şi cosuatori u pot fi folosite, cel puţi teporar. Rezolvarea acestor problee se face cu u odel de trasport obişuit, î care rutelor iterzise li se asociază costuri uitare de trasport foarte ari î raport cu costurile rutelor utilizabile. Pri aceste costuri de pealizare foarte ari, algoritul de optiizare este "costrâs" să ocolească rutele iterzise. 2. Cu pucte iterediare Există situaţii î care aprovizioarea cosuatorilor u se face direct de la furizori ci pri iterediul uor cetre iterediare. De exeplu, cea ai are parte a buurilor produse petru cosuul populaţiei sut ai îtâi colectate î ari depozite şi apoi distribuite cetrelor de desfacere. Problea de optiizare costă î iiizarea cheltuielilor de trasport de la furizori la cetrele iterediare la care se adaugă costul trasportului de la aceste cetre la cosuatorii fiali. Î auite codiţii această probleă este echivaletă cu două problee de trasport obişuite. 3. Problea afectării Există problee de prograare operativă care pot fi reprezetate pri odele liiare de tipul probleei de trasport. U exeplu des îtâlit este urătoarea probleă cocretă de prograare operativă a producţiei: "U uăr de lucrări l, 2,..., trebuiesc executate cât ai repede. Acestea sut efectuate de persoaele (ucitorii) l, 2,...,, fiecare putâd executa oricare di lucrările date. Cuoscâd tipul t de execuţie al lucrării i de către ucitorul, scopul optiizării este găsirea acelui od de repartizare a lucrărilor pe ucitori astfel îcât tipul total de execuţie al lucrărilor să fie ii"

10 Bazele cercetării operaţioale Petru odelarea ateatică a acestei problee, cuoscută î literatura de specialitate sub uele de "problea afectării", se itroduc variabilele bivalete: x = daca lucrarea i este repartizata ucitorului î caz cotrar Codiţiile ca fiecare lucrare să fie repartizată uui ucitor precu şi codiţia ca fiecare ucitor să priească o lucrare se traduc pri restricţiile: = î care variabilele x satisfac ceriţa specială: x x = = i x {,} biectivul urărit iiizarea tipului total de execuţie coduce la urătoarea fucţie obiectiv: (i) f = t x = odelul rezultat diferă de odelul probleei de trasport echilibrate pri codiţia ipusă variabilelor de a fi doar sau (variabile bivalete). Totuşi rezolvarea sa se poate face cu algoritul de la problea de trasport, îsă ea este greoaie, datorită faptului că soluţiile de bază ale acestei problee sut puteric degeerate. Există etode ai eficiete de abordare a probleei afectării, bazate pe teoria grafurilor. 4. Problea îcărcării utilaelor Făcâd parte di acelaşi cadru al prograării operative a producţiei, problea îcărcării utilaelor (puctelor de lucru) ocupă a poziţie cetrală. Această probleă poate fi forulată astfel: "Îtr-o secţie a uei uităţi ecooice se produc reperele (buurile) P, P 2,..., P care pot fi realizate pe oricare di utilaele (grupele de utilae) U l,u 2,...,U. Se cuosc urătoarele date: catităţile N, N 2,...,N di reperele date, care trebuie produse îtr-o auită perioadă; fodurile de tip dispoibil F, F 2,...,F ale utilaelor, î perioada respectivă; catitatea P di reperul P ce poate fi produsă pe utilaul U i îtr-o auită perioadă de tip; costul c al realizării uei uităţi specifice di reperul P pe utilaul U i. Se doreşte găsirea acelui od de repartizare a sarciilor de producţie pe utilae astfel îcât costul realizării catităţilor plaificate să fie ii." odelul ateatic asociat acestei problee este:

11 Prograarea liiară i x ( i) = = P x f = x = N = F i c x i ude x reprezită catitatea de repere P ce urează a fi realizată pe utilaul U i. odelul este aseăător odelului probleei de trasport, petru rezolvare putâdu-se folosi algoritul de la problea clasică de trasport, cu uele odificări dictate de prezeţa "poderilor" P. 5. Problea de trasport a lui Koopas Această probleă este, istoriceşte vorbid, aterioară probleei clasice de trasport şi de ea s-a ocupat petru pria oară T. C. Koopas. Problea se referă la la trasportul aterialelor de război, efectuate î perioada celui de-al doilea război odial, di S.U.A. î Aglia şi retur. Îtrucât catităţile de produse trasportate î cele două sesuri erau diferite, avele circulau de ulte ori goale sau icoplet îcărcate. Avâd î vedere şi faptul că trasporturile pe are ale aliaţilor se aflau sub aeiţarea subarielor şi a aviaţiei gerae se puea problea asigurării uei aseeea utilizări a loacelor de trasport îcât să se reducă la iiu capacitatea de trasport eutilizată (ăsurată î toe-kiloetri) şi, iplicit, să se reducă pierderile de ave. Deşi problea de trasport a lui Koopas a avut u caracter tactico-ilitar, ea poate fi cosiderată - după cu a făcut ai târziu îsuşi Koopas - şi ca o probleă ecooică. Ecooic vorbid, reducerea capacităţii de trasport eutilizate a avelor ăreşte retabilitatea trasporturilor aritie. Fireşte că a putea aplica o soluţie optiă a acestei problee pe pla odial uai î cazul î care ar exista o foră oarecare de adiistrate iterţioală a avelor şi de dirare a trasporturilor aritie. Totuşi, se poate vedea că odelul lui Koopas poate să-şi găsească aplicarea u uai la trasportul ariti, ci şi î trasportul feroviar, î cel auto, precu şi î alte doeii siilare. ateatic, această probleă se poate forula astfel: "Fie porturi di care se expediază şi î care sosesc îcărcături. Notă cu w i u volu dat de ărfuri expediate (expriate, de pildă, î toe), iar cu p i - u volu dat de ărfuri care se aduc î decursul uei auite perioade î portul i (i =, 2,..., ). Se cuosc distaţele s ditre porturi (expriate, de pildă, î kiloetri), acestea fiid date î atricea: S = s s 2 s s 2 2 s s 2 Dacă x reprezită voluul efectiv de ărfuri care urează să fie trasportate di portul i î portul, iar y - capacitatea de îcărcare a vaselor care circulă di portul i i portul date, de aseeea, sub fora uor atrici: 2

12 Bazele cercetării operaţioale x2 x X = x 2 x 2 Y = y x x 2 y 2 y y 2 2 y y 2 atuci ecuoscutele probleei sut ăriile y (i, =, 2,..., ), adică capacităţile de îcărcare a avelor ce vor fi triise di portul i î portul. Fucţia obiectiv f va stabili ăriea "trasporturilor goale", adică ăriea toaului eutilizat al avelor. ăriea toaului eutilizat pe traseul ditre portul i şi portul va fi (y x ), deci ăriea capacităţii de trasport eutilizate pe toate traseele (î toe kiloetri) va reprezeta: f = s ( y x ) = Problea exaiată costă î a găsi iiul acestei fucţii Codiţiile auxiliare pe care trebuie să le satisfacă ecuoscutele y pot fi otate sub fora urătoarelor ecuaţii: y = w i i = = y p Priele ecuaţii arată că toaul total al avelor triise ditr-u port oarecare i î toate celelalte porturi trebuie să fie egal cu w i iar ultiele că toaul total al avelor sosite îtr-u port oarecare di toate celelalte porturi trebuie să fie egală cu p. Trebuie eţioat că - îtocai ca î problea de trasport - ditre cele + ecuaţii de echilibru, uai (2 - ) ecuaţii sut idepedete. Aceasta se explică pri faptul că w i = p =, adică toaul total al avelor care pleacă di toate porturile este egal cu toaul total al avelor care sosesc î toate porturile. Îtrucât problea are ( 2 ) ecuoscute y (i, = l, 2,...,), dar există 2 ecuaţii de echilibru idepedete, uărul gradelor de libertate (uărul variabilelor secudare) va fi ( 2 ) (2 ) = Î afară de relaţiile de echilibru există şi codiţiile de eegativitate: y x codiţia y x îseaă că toaul vaselor care pleacă di portul i spre portul trebuie să fie ai are sau egal cu catitatea de ărfuri care urează a fi trasportată pe acest traseu." Aceasta este forularea ateatică a odelului lui Koopas. Di această forulare se vede că odelul lui Koopas este o probleă de prograare liiară, deoarece atât fucţia obiectiv, cât şi ecuaţiile de echilibru sut relaţii liiare î raport cu ecuoscutele y. Această probleă poate fi uşor trasforată îtr-u odel de prograare eliiară dacă, de pildă, î locul distaţei s ître porturi, itroduce cheltuielile de trasport cu eţiuea că aceste cheltuieli u cresc direct proporţioal, ci ai let decât distaţele. Aceasta probleă poate fi uşor îlocuită pritr-o probleă duală, luâd ca fucţie obiectiv retabilitatea totală a tuturor trasporturilor pe pla odial. Î acest caz, problea de iiizare a toaului eutilizat al avelor ar fi îlocuită pritr-o probleă de axiizare a retabilităţii totale a trasporturilor. 3