Εισαγωγή στην Τοπολογία

Transcript

1 Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 1 Τοπολογικοί Χώροι Ανοικτά σύνολα, ϐάσεις και υποβάσεις Κλειστά σύνολα, εσωτερικό, κλειστότητα και σύνορο Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 1 Τοπολογικοί Χώροι Μελετώντας κανείς τους µετρικούς χώρους και τις ϐασικές τους έννοιες εντοπίζει ότι για κάθε µετρικό χώρο ορίζεται, µε αρκετά ϕυσιολογικό τρόπο, η οικογένεια των ανοικτών συνόλων, η οποία έχει τη ϐασική ιδιότητα να περιέχει την τοµή οποιωνδήποτε δύο στοιχείων της, αλλά και την ένωση των στοιχείων οποιασδήποτε υποοικογένειάς της. Η ιδιότητα αυτή είχε καθοριστικό ϱόλο στη µελέτη των µετρικών χώρων, καθώς επέτρεψε να εκφρασθούν και να µελετηθούν δοµικές έννοιες, όπως η κλειστότητα και το σύνορο συνόλου, µε αρχική έννοια το ανοικτό σύνολο και όχι τη µετρική του χώρου. Αυτό µας οδηγεί στο να προσεγγίσουµε την έννοια της τοπολογίας, δηλαδή της οικογένειας των ανοικτών υποσυνόλων ενός συνόλου και να γενικεύσουµε µε ουσιαστικό τρόπο την έννοια του µετρικού χώρου, δηµιουργώντας µία εξαιρετικά πλουσιότερη κλάση, αυτή των τοπολογικών χώρων. 1.1 Ανοικτά σύνολα, βάσεις και υποβάσεις Ορισµός Εστω X σύνολο. Μια οικογένεια T υποσυνόλων του X καλείται τοπολογία στο X, αν: (i), X T, (ii) Κάθε πεπερασµένη τοµή στοιχείων της T ανήκει στην T. ηλαδή αν N και G 1,G 2,...,G T τότε G i T και i=1 (iii) Κάθε ένωση στοιχείων της T ανήκει στην T. ηλαδή αν I αυθαίρετο σύνολο δεικτών και G i T i I τότε G i T. Το Ϲεύγος (X, T ) X καλέιται τοπολογικός χώρος και τα στοιχεία της T καλούνται ανοικτά σύνολα (ως προς T ή του (X, T )) Παρατηρήσεις (α) Εύκολα ελέγχεται µε επαγωγή ότι η (ii) του ορισµού είναι ισοδύναµη µε την (ii) αν G 1,G 2 T, τότε G 1 G 2 T (ϐ) Αν στην (iii) του ορισµού I = τότε έχουµε i G i =, άρα T (κάτι που περιέχεται στην (i) του ορισµού). Ας εντοπίσουµε κάποια αρχικά παραδείγµατα τοπολογικών χώρων. Παράδειγµα Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Τότε η οικογένεια T ρ = {A X : x A ε > 0 : B(x,ε) A} των ανοικτών υποσυνόλων του X (ως προς τη µετρική ρ) είναι τοπολογία στο X και καλέιται η µετρική τοπολογία που καθορίζεται από τη ρ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Ορισµός Ενας τοπολογικός χώρος (X, T ) λέγεται µετρικοποιήσιµος αν υπάρχει µετρική ρ στο X, τέτοια ώστε T = T ρ. Στην περίπτωση αυτή, η τοπολογία T λέγεται µετρικοποιήσιµη. Παραδείγµατα Εστω X σύνολο. Οι παρακάτω οικογένειες υποσυνόλων του X είναι τοπολογίες του X: (α) T 1 = P(X), η διακριτή τοπολογία. Ο διακριτός χώρος (X, T 1 ) είναι µετρικοποιήσιµος, αφού T 1 = T ρ για ρ τη διακριτή µετρική του X. (ϐ) T 2 = {, X}, η τετριµµένη τοπολογία. Παρατηρούµε ότι σε κάθε µετρικό χώρο (X, ρ) τα µονοσύνολα είναι κλειστά, δηλαδή X \ {x} T ρ, x X. Συνεπώς αν ο X έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία, ο (X, T 2 ) δεν είναι µετρικοποιήσιµος, αφού X \ {x} T 2 για x X τυχόν. (γ) T 3 = { } {A X : x 0 A} (όπου x 0 X), η τοπολογία του ιδιαίτερου σηµείου (x 0 ). Οπως πριν, αν ο X έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία, ο (X, T 3 ) δεν είναι µετρικοποιήσιµος, αφού X \ {x 0 } T 3. Στην είδική περίπτωση X = {a, b} (µε a b), η T = {, X, {a}} είναι η τοπολογία του ιδιαίτερου σηµείου a στο X και ο τοπολογικός χώρος (X, T ) λέγεται χώρος του Sierpiski. (δ) T 4 = {X} {A X : x 0 A} (όπου x 0 X), η τοπολογία του εξαιρούµενου σηµείου (x 0 ). Αν ο X έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία, ο (X, T 4 ) δεν είναι µετρικοποιήσιµος, αφού X \ {x} T 4, για x X \ {x 0 }. (ε) T 5 = { } {A X : A c X \ A πεπερασµένο}, η συµπεπερασµένη τοπολογία. είχνουµε ότι η T 5 είναι τοπολογία στο X: (i) T 5 και X T 5, αφού X \ X =, πεπερασµένο. (ii) Εστω G 1,G 2 T 5. Τότε, αν G 1 = ή G 2 = έχουµε G 1 G 2 = T 5. Αν τώρα G 1 και G 2, τότε G c 1,Gc 2 πεπερασµένα, άρα και το Gc 1 Gc 2 είναι πεπερασµένο, δηλαδή (G 1 G 2 ) c πεπερασµένο. Αρα G 1 G 2 T 5 (iii) Εστω I σύνολο δεκτών και G i T 5 i I. Αν G i = i I, τότε G i = T 5. ιαφορετικά ( ) c ( ) c i 0 I : G i0. Τότε (G i0 ) c πεπερασµένο, και αφού G i (G i0 ) c, έχουµε ότι G i είναι πεπερασµένο, συνεπώς G i T 5. Αν ο X είναι πεπερασµένος, τότε (X, T 5 ) = (X, T 1 ), άρα είναι µετρικοποιήσιµος. Αν ο X είναι άπειρος, τότε ο (X, T 5 ) δεν είναι µετρικοποιήσιµος. Πράγµατι, σε κάθε µετρικό χώρο, µε τουλάχιστον δύο σηµεία, υπάρχουν ξένα ανοικτά µη κενά σύνολα (αφού αν x y, τότε B(x,ε) B(y,ε) =, για ε = ρ(x,y) 2 > 0). Οµως στον (X, T 5 ) δεν υπάρχουν τέτοια σύνολα. Αν υποθέσουµε ότι G 1,G 2 είναι ξένα ανοικτά µη κενά, τότε G1 c,gc 2 είναι πεπερασµένα, άρα X = X \ (G 1 G 2 ) = G1 c Gc 2, πεπερασµένο, πράγµα άτοπο. (στ) T 6 = { } {A X : A c X \ A αριθµήσιµο}, η συναριθµήσιµη τοπολογία. Οπως πριν, ο (X, T 6 ) είναι µετρικοποιήσιµος αν και µόνο αν το X είναι αριθµήσιµο σύνολο. Παρατήρηση Αν T είναι τοπολογία σε ένα σύνολο X, τότε T 2 T T 1. Εστω ότι σε ένα σύνολο X έχει κατασκευαστεί µία οικογένεια τοπολογιών. Αποτελεί ϕυσιολογικό ερώτηµα, το αν µε απλές συνολοθεωρητικές πράξεις µπορούν να κατασκευαστούν επιπλέον τοπολογίες στο X. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Πρόταση Εστω X σύνολο και T 1, T 2 δύο τοπολογίες στο X. Τότε η T 1 T 2 είναι τοπολογία στο X. Γενικότερα, αν (T i ) είναι οικογένεια τοπολογιών στο X, τότε η T i είναι τοπολογία στο X. Απόδειξη: (για τοµή δύο τοπολογιών) (i) Αµεσα,, X T 1 T 2. (ii) Εστω G 1,G 2 T 1 T 2. Τότε G 1,G 2 T 1 και G 1,G 2 T 2. Αφού T 1, T 2 τοπολογίες, G 1 G 2 T 1 και G 1 G 2 T 2. ηλαδή G 1 G 2 T 1 T 2. (iii) Εστω G i T 1 T 2 i I, όπου I αυθαίρετο σύνολο. Τότε i I,G i T 1 και G i T 2. Αφού T 1, T 2 τοπολογίες, G i T 1 και G i T 2. ηλαδή G i T 1 T 2. Παρατήρηση Προφανώς, η T i περιέχεται σε κάθε T i και είναι η µεγαλύτερη τοπολογία στο X µε αυτήν την ιδιότητα. Πράγµατι, αν T τοπολογία στο X µε T T i, i I, τότε T T i. Σηµειώνουµε ότι η (συνολοθεωρητική) ένωση δε συµπεριφέρεται εξίσου καλά. Ενδέχεται η ένωση δύο τοπολογιών να µην είναι τοπολογία, όπως ϕαίνεται από το ακόλουθο: Παράδειγµα Αν X = {a, b,c}, µε a, b,c διακεκριµένα, και T 1 = {, X, {a}}, T 2 = {, X, {b}}, τότε T 1, T 2 είναι τοπολογίες στο X, ενώ η T 1 T 2 δεν είναι τοπολογία, αφού {a}, {b} T 1 T 2 και {a} {b} = {a, b} T 1 T 2 Οµως υπάρχει η µικρότερη τοπολογία που περιέχει την T 1 T 2. Το ίδιο ισχύει για κάθε οικογένεια C, υποσυνόλων του X. Πρόταση Εστω X σύνολο και C P(X). Τότε υπάρχει η µικρότερη τοπολογία T στο X ώστε η T να περιέχει τη C. Απόδειξη: Θεωρουµε Γ = {S P(X) : S τοπολογία στο X µε C S}. Τότε Γ αφού P(X) Γ. Θέτουµε T = {S : S Γ}. Τότε, από Πρόταση η T είναι τοπολογία στο X και προφανώς C T. Αν τώρα S τοπολογία στο X µε C S, δηλαδή S Γ, τότε T S (από τον ορισµό της T ). ηλαδή η T είναι η µικρότερη τοπολογία που περιέχει την C Ορισµός Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και B υποοικογένεια της T. Η B καλείται βάση για την T, αν κάθε ανοικτό σύνολο είναι µία ένωση στοιχείων της B. ηλαδή, αν G T (B i ) οικογένεια στοιχείων της B, ώστε G = B i. Τα στοιχεία της B λέγονται βασικά ανοικτά σύνολα. Ιδιαίτερα, ισχύει η ( ) T = G X : (B i ) οικογένεια στοιχείων της B,ώστε G = B i Παρατήρηση Αν X είναι ένα σύνολο, B P(X) και G X, τότε το G γράφεται ως ένωση των στοιχέιων κάποιας υποοικογένειας της B αν και µόνο αν για κάθε x G B B ώστε x B G. Πράγµατι, για το ευθύ έχουµε ότι G = B i για κάποια υποοικογένεια (B i ) της B. Αρα αν x G, i 0 I ώστε x B i0 B i = G. Αντίστροφα, για κάθε x G επιλέγουµε B x B : x B x G. Τότε G = B x, όπου (B x ) x G υποοικογένεια της B. x G Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και B T. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (i) Η B είναι ϐάση για την T. (ii) Για κάθε G T και για κάθε x G, B B ώστε x B G. Στην περίπτωση αυτή, για κάθε G X έχουµε: G T x G B B, ώστε x B G. Απόδειξη: Αµεσο από την Παρατήρηση και τη σχέση Παραδείγµατα (α) Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Οι οικογένειες B = {B(x,ε) : x X, ε > 0} και B = {B ( ) x, 1 : x X, N} είναι ϐάσεις για την τοπολογία Tρ. Ειδικά στο R µε τη συνηθισµένη τοπολογία, η οικογένεια B = {(a, b) : a, b R µε a < b} είναι ϐάση (σηµειώνουµε ότι (a, b) = B ( a+b 2, ) a b 2 ). (ϐ) Αν (X, T ) τοπολογικός χώρος και B είναι ϐάση για την T, τότε κάθε οικογένεια B µε B B T είναι ϐάση για την T. Ειδικά, η T είναι ϐάση για την T. (γ) Αν (X, T ) ο διακριτός τοπολογικός χώρος, τότε η B = {{x} : x X} είναι (η µικρότερη) ϐάση για την T. Οπως γίνεται ϕανερό από τη σχέση , µία τοπολογία καθορίζεται πλήρως από κάθε ϐάση της. Είναι σηµαντικό, όµως, να εξετάσουµε πότε µία οικογένεια υποσυνόλων ενός συνόλου X αποτελεί ϐάση για κάποια τοπολογία στο X. Αφού τα στοιχεία της οικογένειας αυτής ϑα πρέπει να είναι σε ϑέση να παράγουν κάθε ανοικτό σύνολο για εκείνη την τοπολογία, ϑα πρέπει να είναι σε ϑέση να παράγουν και το ίδιο το X. Επίσης µία υποψήφια ϐάση ϑα πρέπει να περιέχει και «µικρά» σύνολα, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η εσωτερική κάλυψη ανοικτών συνόλων. Το παραπάνω διατυπώνεται αυστηρά στο ακόλουθο: Θεώρηµα Εστω X σύνολο και B P(X). Η B είναι ϐάση για µία (µοναδική από την ) τοπολογία στο X, αν και µόνο αν: (i) X = B {B : B B} και (i) Αν B 1, B 2 B και x B 1 B 2, τότε B 3 B ώστε x B 3 B 1 B 2 (δηλαδή, από Παρατήρηση , το B 1 B 2 είναι ένωση στοιχείων της B για κάθε B 1, B 2 B). Απόδειξη: ( ) Υποθέτουµε ότι η B είναι ϐάση για µία τοπολογία T. Αφού X T και B 1 B 2 T για κάθε B 1, B 2 B, έπονται τα (i) και (ii). ( ) Θέτουµε T = {G X : C B ώστε G = C}. Η T είναι τοπολογία: 1. T (για C = ) και X T (για C = B). 2. Εστω G 1,G 2 T. Τότε G 1 = C 1 και G 2 = C 2 για C 1, C 2 B. Αρα, G 1 G 2 = {B C : B C 1,C C 2 } όπου B C είναι ένωση στοιχείων της B, λόγω του (ii). Αρα G 1 G 2 είναι ένωση στοιχείων της B, δηλαδή G 1 G 2 T. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 3. Εστω I σύνολο και G i T i I. Τότε C i B ώστε G i = C i i I. Θέτουµε C = C i. Τότε C B και G i = C. Συνεπώς G i T. Η B είναι βάση για την T : Αφού για κάθε B B έχουµε B C για C = {B}, έπεται ότι κάθε στοιχείο της B ανήκει στην T. Αρα, από τον ορισµό της T, η B είναι ϐάση για την T. Παραδείγµατα (α) Εστω B = {(a, b] : a, b R, a b} (όπου (a, a] = ). Η B είναι ϐάση για κάποια τοπολογία του R, αφού: (i) R = B ( = N ) (, ] και (ii) Αν (a 1, b 1 ], (a 2, b 2 ] B τότε η τοµή (a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] ανήκει στη B, αφού, είτε είναι κενή, είτε (a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] = (a, b] µε a = max{a 1, a 2 } και b = mi{b 1, b 2 }. Η µοναδική τοπολογία T S του R που έχει ϐάση την B ονοµάζεται τοπολογία των αριστερά ηµιάνοικτων διαστηµάτων. Ο τοπολογικός χώρος (R, T S ) R S καλείται ο χώρος των πραγµατικών αριθµών µε την τοπολογία των αριστερά ηµιάνοικτων διαστηµάτων. Η τοπολογία T S είναι µεγαλύτερη από τη συνήθη τοπολογία T του R, διότι αν a, b R, a b τότε (a, b) = (a, b 1 ], όπου 0 N ώστε a b 1. = 0 0 Αρα (a, b) T S. Ακόµη (a, b] T, µε (a, b] T S κι εποµένως T T S. (ϐ) Η οικογένεια C = {(, a) : a R} {(b,+ ) : b R} δεν είναι ϐάση για κάποια τοπολογία του R διότι δεν ικανοποιείται η συνθήκη (ii) του Θεωρήµατος Πράγµατι, αν a, b R, a < b, τότε (, a) (b,+ ) = (a, b), που δεν είναι ένωση στοιχείων της C. Οµως, όπως ϑα δούµε αναλυτικά παρακάτω, τα στοιχεία της µορφής B C : B,C C αποτελούν ϐάση για τη συνήθη τοπολογία του R. Το τελευταίο παράδειγµα µας οδηγεί στον ακόλουθο ορισµό. Ορισµός Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος. Μια υποοικογένεια C της T καλείται υποβάση για την T αν η οικογένεια των πεπερασµένων τοµών στοιχείων της C αποτελεί ϐάση για την T. ηλαδή, αν η B = C i : N,C i C για i = 1,2,..., i=1 {X} είναι ϐάση για την T. Αν C είναι υποβάση για την τοπολογία T, τότε τα στοιχεία της T είναι ακριβώς τα σύνολα της µορφής i ( ) G = όπου I αυθαίρετο σύνολο, i N i I και C i j C. C i j j=1 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Πρόταση Εστω C οικογένεια υποσυνόλων ενός συνόλου X. Τότε υπάρχει µοναδική τοπολογία T στο X που έχει υποβάση τη C. Απόδειξη: Εστω B = C i : N,C i C για i = 1,2,..., i=1 Τότε X B και η τοµή δύο στοιχείων της B ανήκει στην B. Αρα, από το Θεώρηµα , η B είναι ϐάση για κάποια τοπολογία T στο X. Για την T η C είναι υποβάση. Η µοναδικότητα έπεται από τη σχέση Παρατήρηση Αν C P(X) και T τοπολογία στο X µε υποβάση τη C, τότε από τη σχέση η T είναι η µικρότερη τοπολογία στο X που περιέχει τη C. Ετσι έχουµε µία δεύτερη απόδειξη της Πρότασης , κατά την οποία περιγράφονται πιο κατασκευαστικά τα ανοικτά σύνολα της τοπολογίας T. Παραδείγµατα (α) Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος. Τότε κάθε ϐάση B της T είναι και υποβάση για την T. Πράγµατι, αν B είναι η οικογένεια των πεπερασµένων τοµών στοιχείων της B, τότε B B T. Αρα η B είναι ϐάση για την T. ηλαδή, η B είναι υποβάση της T. (ϐ) Η οικογένεια C = {(, a) : a R} {(b,+ ) : b R} είναι υποβάση για τη συνήθη τοπολογία στο R. Πράγµατι, έστω B η οικογένεια των πεπερασµένων τοµών στοιχείων της C. Παρατηρούµε ότι a, b R, a < b, (, a) (b,+ ) = (a, b). Αρα η B περιέχει τη ϐάση για τη συνήθη τοπολογία {(a, b) : a, b R, a < b} και προφανώς περιέχεται στη συνήθη τοπολογία. Ετσι, η B είναι ϐάση και συνεπώς, η C υποβάση για τη συνήθη τοπολογία του R. {X} (γ) Ανάλογα µε το (ϐ), η C = {(, a] : a R} {(b,+ ) : b R} είναι υποβάση για την τοπολογία T S των αριστερά ηµιάνοικτων διαστηµάτων. 1.2 Κλειστά σύνολα, εσωτερικό, κλειστότητα και σύνορο Κατά τη µελέτη των µετρικών χώρων, πέρα από τα ανοικτά σύνολα, κεντρικά αντικείµενα ήταν τα κλειστά σύνολα καθώς και οι έννοιες του εσωτερικού, της κλειστότητας και του συνόρου. Οι ίδιες έννοιες ϑα µας απασχολήσουν και ϑα αποδειχθούν εξίσου κεντρικές κατά τη µελέτη των τοπολογικών χώρων. Στην αναζήτηση και απόδειξη των ιδιοτήτων των παραπάνω αντικειµένων, οδηγός µας ϑα είναι τα αντίστοιχα αποτελέσµατα που εµφανίζονται στους µετρικούς χώρους. Ορισµός Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος. Ενα F X καλείται κλειστό στο X (ή κλειστό ως προς T ), αν το συµπλήρωµά του είναι ανοικτό. ηλαδή το F είναι κλειστό αν F c T. Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος. Τότε: 1. Τα, X είναι κλειστά στο X. 2. Η πεπερασµένη ένωση κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο. 3. Η αυθαίρετη τοµή κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Απόδειξη: 1. c = X T = κλειστό, X c = T = X κλειστό. 2. Εστω N και F 1, F 2,..., F X κλειστά. Τότε τα F1 c, Fc 2,..., Fc είναι ανοικτά. Αρα το ( ) i=1 c F i είναι ανοικτό. Εποµένως το F i είναι κλειστό. i=1 i=1 3. Ανάλογα, χρησιµοποιώντας ότι η αυθαίρετη ένωση ανοικτών είναι ανοικτό. Παραδείγµατα (α) Στο διακριτό τοπολογικό χώρο όλα τα υποσύνολα είναι κλειστά (και συγχρόνως ανοικτά). F c i = (ϐ) Στον τετριµµένο τοπολογικό χώρο τα µόνα κλειστά σύνολα είναι τα, X. (γ) Αν (X, T ) έχει τη συµπεπερασµένη τοπολογία, τότε τα κλειστά σύνολα είναι τα πεπερασµένα και το X. (δ) Αν (X, T ) έχει τη συναριθµήσιµη τοπολογία, τότε τα κλειστά σύνολα είναι τα αριθµήσιµα και το X. Ορισµός Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και A X. Το σύνολο {G : G A και G ανοικτό} λέγεται εσωτερικό του A και συµβολίζεται µε A ή µε it T A. Παρατήρηση Το A είναι ανοικτό σύνολο περιέχεται στο A και είναι το µεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται στο A. Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος. Τότε για κάθε A, B X: (i) A A (ii) A T A = A (iii) (A ) = A (iv) Αν A B, τότε A B (v) (A B) = A B Απόδειξη: (i), (ii) Αµεσα, από την Παρατήρηση (iii) Επεται από τη (ii) αφού A ανοικτό. (iv) Αν A B, τότε κάθε ανοικτό σύνολο που που περιέχεται στο A, περιέχεται και στο B. Εποµένως, από τον ορισµό έπεται A B. (v) Από την (i) έχουµε: A B A A B B A A B B } } (iv) = (A B) A (A B) B = A B A B A B ανοικτό } = (A B) A B } = A B (A B) Αρα A B = (A B) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 Ορισµός Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και A X. Το σύνολο {F : F A και F κλειστό} λέγεται κλειστότητα (ή κλειστή ϑήκη) του A και συµβολίζεται µε A ή µε cl T A. Παρατήρηση Το A είναι κλειστό σύνολο, περιέχει το A και είναι το µικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το A. Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος. Τότε για κάθε A, B X: (i) A A (ii) A κλειστό A = A (iii) (A) = A (iv) Αν A B, τότε A B (v) (A B) = A B Απόδειξη: Οµοια µε την απόδειξη της Πρότασης Παραδείγµατα (α) Αν (X, T ) είναι ο διακριτός τοπολογικός χώρος, τότε A = A = A A X. (ϐ) Αν (X, T ) είναι ο τετριµµένος τοπολογικός χώρος, τότε { { A, A X, A = = X, A = X, A = X, A (γ) Αν (X, T ) έχει την συµπεπερασµένη τοπολογία, τότε { A A, αν A = c πεπερασµένο αν A c άπειρο, A = { A, αν A πεπερασµένο X, αν A άπειρο Παρατηρήσεις (α) Η ιδιότητα (v) του εσωτερικού και της κλειστότητας γενικεύεται µε επαγωγή, για κάθε N και A 1, A 2,..., A X, ως εξής: (A 1 A 2... A ) = A 1 A 2... A και (A 1 A 2... A ) = A 1 A 2... A Οµως οι σχέσεις αυτές δεν ισχύουν για άπειρες τοµές και ενώσεις. Για παράδειγµα στο R έχουµε: Αρα Ανάλογα Αρα =1 =1 ( 1, 1 ) = {0} = ενώ =1 ( 1, 1 ) [ 0,1 1 ] = [0,1) = [0,1] ενώ =1 =1 =1 [ 0,1 1 ] ( 1, 1 ) = =1 ( 1, 1 ). [ 0,1 1 ] = =1 [ 0,1 1 ] =1 =1 ( 1, 1 ) = {0} [ 0,1 1 ] = [0,1). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 (ϐ) εν ισχύουν γενικά: (A B) = A B, (A B) = A B. Για παράδειγµα στο R, αν A = Q και B = R \ Q έχουµε: (A B) = R = R και A B = = (A B) = = και A B = R R = R Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και A X. Τότε (i) X \ A = (X \ A) ή ισοδύναµα, A = X \ (X \ A). (ii) X \ A = (X \ A) ή ισοδύναµα, A = X \ (X \ A). Απόδειξη: (i) Εχουµε διαδοχικά: X \ A = X \ {G X : G ανοικτό, G A} = {X \ G X : G ανοικτό, G A} = {F X : F κλειστό, X \ A F} = (X \ A) (ii) Από (i), ϑέτοντας X \ A στη ϑέση του A, έχουµε: X \ (X \ A) = (X \ (X \ A)) = A Αρα (X \ A) = X \ A. Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος, A X και x X. Τότε x A G A G T : x G. Απόδειξη: Από Πρόταση (ii), έχουµε: x A x (X \ A) = {G X, G ανοικτό και G X \ A} G T µε G X \ A ισχύει x G G T µε x G ισχύει G X \ A, δηλαδή G A Παρατήρηση Αν B είναι ϐάση για την T, τότε η ισοδυναµία της Πρότασης αναδιατυπώνεται ως εξής: x A B A B B : x B. Παράδειγµα Στον R S, (a, b) = (a, b], a, b R µε a < b. x R \ (a, b) Πράγµατι, (a, b) (a, b) και για αν x a, τότε για B = (x 1, x] B έχουµε B (a, b) =. Αρα x (a, b). αν x > b, τότε για B = (b, x] B έχουµε B (a, b) =. Αρα x (a, b). αν x = b και B B µε x B, τότε B (a, b). Αρα x (a, b). (όπου B η συνήθης ϐάση του R S ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 Ορισµός Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και D X. υποσύνολο του X) αν D = X. Το D λέγεται πυκνό στο X (ή πυκνό Παρατήρηση Από την Πρόταση , ένα υποσύνολο D είναι πυκνό αν και µόνο αν G D G T, G. Αντίστοιχα, αν B είναι µία ϐάση για την T, τότε το D είναι πυκνό αν και µόνο αν B D B B, B. Παραδείγµατα (α) Αν (X, T ) είναι ο τετριµµένος τοπολογικός χώρος, τότε κάθε µη κενό D X είναι πυκνό. (ϐ) Αν (X, T ) είναι ο διακριτός τοπολογικός χώρος, τότε ένα D X είναι πυκνό στο X αν και µόνο αν D = X, αφού {x} T x X. (γ) Αν (X, T ) έχει την τοπολογία του ιδιαίτερου σηµείου x 0, τότε το {x 0 } είναι πυκνό στο X. (δ) Στον R S το Q είναι πυκνό, διότι Q (a, b] για κάθε a, b R µε a < b. Ορισµός Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος, A X και x X. Το x καλείται σηµείο συσσώρευσης του A αν για κάθε G T µε x G ισχύει ότι A G \ {x}. Συµβολίζουµε µε A το σύνολο των σηµείων συσσώρευσης του A. Το A καλείται παράγωγο σύνολο του A. Κάθε σηµείο του A που δεν είναι σηµείο συσσώρευσης, καλείται µεµονωµένο σηµείο του A. Παρατήρηση Ενα στοιχείο x είναι σηµείο συσσώρευσης του A αν και µόνο αν x A \ {x}. Πράγµατι, από την Πρόταση έχουµε ότι x A \ {x} αν και µόνο αν για κάθε ανοικτό σύνολο G µε x G ισχύει (A \ {x}) G, δηλαδή A G \ {x}. Παραδείγµατα (α) Αν (X, T ) είναι ο διακριτός τοπολογικός χώρος, τότε A = για κάθε A X (παίρνουµε G = {x} στον ορισµό). ηλαδή κάθε σηµείο του A είναι µεµονωµένο. (ϐ) Αν (X, T ) έχει την τοπολογία του ιδιαίτερου σηµείου x 0, τότε {x 0 } = X \ {x 0 }. Πράγµατι, x 0 {x 0 } αφού {x 0 } \ {x 0 } = =, άρα x 0 {x 0 } \ {x 0 }. Επίσης, αν x X \ {x 0 }, τότε x 0 {x 0 } αφού {x 0 } \ {x} = {x 0 } = X, άρα x {x 0 } \ {x}. Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και A X. Τότε (i) A = A A (ii) A κλειστό αν και µόνο αν A A Απόδειξη: (i) Εχουµε ότι A A (Πρόταση 1.2.9) A A (Πρόταση ) } = A A A. Για την αντίστροφη σχέση, αρκεί να δείξουµε ότι A \ A A. Εστω x A \ A και G T µε x G. Αφού x A, έχουµε A G (Πρόταση ). Αφού x A, έχουµε (A \ {x}) G. Εποµένως x A. (ii) Αµεσο από (i). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

14 Ορισµός Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και A X. Το σύνολο A (X \ A) καλείται σύνορο του A και συµβολίζεται µε BdA. Παρατήρηση Το σύνορο ενός συνόλου είναι κλειστό σύνολο, ως τοµή κλειστών συνόλων. Επιπλέον ισχύει ότι BdA = BdA c A X, δηλαδή κάθε σύνολο έχει το ίδιο σύνορο µε το συµπλήρωµά του. Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και A X. Τότε (i) BdA = A \ A (ii) BdA A = (iii) A = BdA A (iv) Τα σύνολα A, (X \ A),BdA διαµερίζουν το X. Απόδειξη: (i) BdA = A (X \ A) = A (X \ A ) = A \ A. (ii) BdA A = A (X \ A) (X \ (X \ A)) =. (iii) BdA A = A (A (X \ A)) = A (A (X \ A )) = A. (iv) Εχουµε διαδοχικά A Bd Α (X \ A) = A (X \ A) (A (X \ A)) = A (X \ A) (A (X \ A )) = A (X \ A) = X Επιπλέον, A (X \ A) A (X \ A) =, A BdA = (από τη (ii)) και (X \ A) BdA = (X \ A) Bd(X \ A) =. Πρόταση Εστω (X, T ) τοπολογικός χώρος και A, B X. Τότε (i) Bd( ) = (ii) BdA = Bd(A c ) (iii) Bd(BdA) BdA (iv) A B Bd(A B) = A B (BdA BdB) (v) Το A είναι ανοικτό αν και µόνο αν A BdA = (vi) Το A είναι κλειστό αν και µόνο αν BdA A Απόδειξη: Αφήνεται ως άσκηση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 14