Περιεχόμενα. Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης. Σειρά ΙΙ 2

Transcript

1

2 Περιεχόμενα Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης Σειρά ΙΙ 2

3 Πεδίο ταχύτητας Όγκος Ελέγχου Καρτεσιανές Συντεταγμένες w+(/)dz z y u dz u+(/ x)dx x dy dx w Σειρά ΙΙ 3

4 1. Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση Συνέχειας της Μάζας Έστω ένα 2D πεδίο ροής Εισροή μάζας = Εκροή μάζας = ρ πυκνότητα (Kg/m 3 ). udydz + wdxdy ρ u + dx dydz + w + dz dxdy ρ x Για ασυμπίεστη ροή: Εκροή Εισροή = 0 u + dx u dydz + w + dz w dxdy = 0 + dxdydz = 0 x x + x = 0 (1α) Εξίσωση συνέχειας της μάζας για 2D πεδίο ροής. Αντίστοιχα για 3D πεδίο ροής: z y x u dx + v + = 0 (1β) x y w+(/)dz w dy dz u+(/ x)dx Σειρά ΙΙ 4

5 1.2 Αστρόβιλη Ροή Σειρά ΙΙ 5

6 1.2 Αστρόβιλη Ροή Όταν σε μία ροή έχουμε στροφή των στοιχείων της ροής, τότε λέμε ότι έχουμε στροβιλότητα Ω. Πάλι σε ένα 2D πεδίο ροής Μετά από χρόνο δt, η στοιχειώδης γραμμή ΑΒ θα έχει στραφεί κατά μία γωνία dθ 1, dθ 1 = Επομένως η γωνιακή ταχύτητα του ΑΒ θα είναι dθ 1 dt x dxdt dx = x [s-1 ] = x dt Σειρά ΙΙ 6

7 1.2 Αστρόβιλη Ροή - συνέχεια Παρομοίως η στροφή της στοιχειώδους γραμμή AC μετά από χρόνο δt δίνεται από: dzdt dz dθ 2 = = dt dθ 2 dt Η μέση στροβιλότητα (Ω) ορίζεται ως: Άρα: Ω = dθ 1 + dθ 2 dt dt Ω = = [s-1 ] x [s -1 ] (1c) Έτσι για αστρόβιλη ροή έχουμε μηδενική στροβιλότητα σε κάθε σημείο της ροής = 0 (1d) x Σειρά ΙΙ 7

8 1.2 Αστρόβιλη Ροή - συνέχεια Note, in terms of a solid body rotation, vorticity = 2 x angular velocity θ 1 = θ 2 = θ -θ 2 time = t time = t+δt d Angular velocity =, vorticity v u d 1 d 2 d 2 dt x y dt dt dt θ 1 Σειρά ΙΙ 8

9 1.3 Δυναμικό Ροής Με δεδομένο την αστρόβιλη ροή, x =, ολοκληρώνοντας ως προς x έχουμε dx = dx και άρα w = dx x ολοκληρώνοντας ως προς z έχουμε w dz = dxdz και άρα w dz = u dx Θέτοντας το παραπάνω ως μία συνάρτηση φ έχουμε w dz = u dx = φ x, z, t Δυναμικό ροής Έτσι, u = φ φ και w = (και v = φ για 3D ροή) (1e) x y Μία συνάρτηση περιγράφει όλη τη ροή. (Άσκηση: Από (1e) να καταλήξουμε στην (1d)) Σειρά ΙΙ 9

10 1.3 Δυναμικό Ροής Εξίσωση Laplace Από την εξίσωση συνέχειας της μάζας για 3D ροή: + v + x y = 0 και με δεδομένα τα u = φ x, w = φ και v = φ y x φ x + y φ y + φ = 0 άρα 2 φ + 2 φ + 2 φ = 0 x 2 y 2 2 ή Εύκολη στη λύση του!!! 2 φ = 0 Συνάρτηση Laplace με όρους φ Σειρά ΙΙ 10

11 1.4 Ροϊκή Συνάρτηση Με δεδομένο την αρχή διατήρησης της μάζας, x =, ολοκληρώνοντας ως προς x έχουμε dx = dx και άρα u = dx x ολοκληρώνοντας ως προς z έχουμε u dz = dxdz και άρα u dz = w dx Θέτοντας το παραπάνω ως μία συνάρτηση ψ έχουμε u dz = w dx = ψ x, z, t Ροϊκή Συνάρτηση Έτσι, u = ψ ψ και w = (1f) x Μία συνάρτηση περιγράφει όλη τη ροή. (Άσκηση: Από (1f) να καταλήξουμε στην (1d)) Σειρά ΙΙ 11

12 1.4 Ροϊκή Συνάρτηση Εξίσωση Laplace Από την εξίσωση αστρόβιλης ροής για 3D ροή: x ψ ψ ψ = 0 και με δεδομένα τα u =, w x x ψ x = 0 άρα 2 ψ x ψ 2 = 0 ή Πάλι εύκολη στη λύση του!!! 2 ψ = 0 Συνάρτηση Laplace με όρους ψ Σειρά ΙΙ 12

13 1.3 Φυσική σημασία του φ και ψ Γραμμές φ = σταθερό Αντιπροσωπεύουν τις γραμμές δυναμικού Ενώνουν σημεία με ίσο δυναμικό ροής Ισοδύναμο με το βαρυτικό δυναμικό πεδίο και έτσι ενώνει σημεία ίσου βαρυτικού δυναμικού το δυναμικό για την κίνηση προκύπτει λόγω κλίσης πίεσης Οι γραμμές δυναμικού έτσι, ενώνουν σημεία ίσης κλίσης πίεσης Γραμμές ψ = σταθερό Αντιπροσωπεύουν τις γραμμές ροής Αυτές δείχνουν την κίνηση ή μετακίνηση των σωματιδίων ρευστού Εύκολα ορατό σε πειράματα Το ρευστό κινείται στην κατεύθυνση της κλίσης πίεσης (από υψηλή σε χαμηλή). Έτσι οι γραμμές ροής πρέπει να είναι κάθετες στις γραμμές δυναμικού. Οι γραμμές δυναμικού και οι γραμμές ροής αποτελούν το πλέγμα ροής. Σειρά ΙΙ 13

14 1.3 Φυσική σημασία του φ και ψ Παράδειγμα: Ροή σε ανοιχτό αγωγό Σειρά ΙΙ 14

15 1.5 Εξισώσεις Κίνησης Σε ένα 3D πεδίο ροής y Εφαρμόζουμε 2 ο νόμο του Νεύτωνα Δύναμη = μάζα x επιτάχυνση κατά x. p + p x dx + p dydz + Xdxdydz = ρα xdxdydz όπου Χ η εξωτερική δύναμη ανά μονάδα όγκου ρευστού, και α x η επιτάχυνση κατά x. Άρα οι εξισώσεις κίνησης δίνονται από 1 p ρ 1 p ρ 1 ρ x + X = α x Όμως X = Y = 0 u v w + Y = α y y p + Z = α z και Z = g z x α x = du = + x + y + dt t x t y t t du = dt t + u x + v y + w Σειρά ΙΙ 15 p dx dz p+( p/ x)dx dy

16 1.5 Εξισώσεις Κίνησης Συνέχεια Εισάγοντας τα παραπάνω έχουμε τις Εξισώσεις Euler t + u x + v y + w = 1 p ρ x v t + u v x + v v y + w v = 1 p ρ y t + u x + v y + w = 1 p ρ g Σειρά ΙΙ 16

17 Μη ιδανικά ρευστά μ 0 Navier Stokes Σειρά ΙΙ 17

18 1.5 Εξισώσεις Κίνησης Συνέχεια Εισάγοντας την αστρόβιλη ροή για τις 2 διαστάσεις (Να γίνει σαν άσκηση) λαμβάνουμε την Εξίσωση Bernoulli όπου C σταθερά Bernoulli. ρ φ t + p + ρgz + ρ u2 + w 2 2 = C Σειρά ΙΙ 18

19 Εξισώσεις Navier Stokes Ιδανικά ρευστά, μ=0 Euler Αστρόβιλη ροή Bernoulli Σειρά ΙΙ 19