ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Ι ΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Ι ΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΟΠΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Ι ΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ιπλωµατική εργασία της Αναστασίας Παπαστεφάνου Α.Ε.Μ 4322 Hz db Επιβλέπων: Παπανικολάου Γεώργιος Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2006

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... VI ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑ... 1 ΘΕΩΡΙΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 O ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΑ ΟΣΗ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ταχύτητα του ήχου Εξίσωση ηχητικού κύµατος ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΧΩΡΩΝ Ανάκλαση - διάδοση απορρόφηση Ανάκλαση του ηχητικού κύµατος Ανάκλαση από επίπεδες επιφάνειες Ανάκλαση από κυρτές και κοίλες επιφάνειες Στάσιµα κύµατα Απορρόφηση του ηχητικού κύµατος ιάχυση ηχητικού κύµατος Πεδίο διάχυσης Σχήµα δωµατίου για µέγιστη διάχυση Παράλληλοι τοίχοι Ορθογώνιοι χώροι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων (Τhe Finite Element Method) Η µέθοδος των οριακών στοιχείων (The Boundary Element Method) Βασικές διαφορές µεταξύ FEM και BEM ii

3 2.2.4 Πεπερασµένα στοιχεία (Finite elements) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Η µέθοδος της ακτινικής ανίχνευσης (The Ray Tracing Method) Η µέθοδος των ειδώλων (The Image Source Method) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ H µη οµογενής εξίσωση Helmholtz Η µέθοδος Rayleigh-Ritz Η µέθοδος των σταθµισµένων υπολοίπων (Weighted Residual Method) Από τη συνεχή στη διακριτή περιοχή Τα βασικά βήµατα της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ Επικρατούσες εξισώσεις ιακριτοποίηση της κυµατικής εξίσωσης Σχηµατισµός των πινάκων του ρευστού Απορρόφηση του ακουστικού κύµατος - πρόσθεση της εξασθένησης εξαιτίας της απόσβεσης στο σύνορο Σύζευξη ρευστού-στερεού ΜΕΡΟΣ ΕΥΤΕΡΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ANSYS ΣΤΗΝ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ANSYS ΣΤΗΝ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΓΕΝΙΚΑ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΟΥ ANSYS iii

4 4.3 Η ΒΑΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΟΥ ANSYS ΤΑ ΑΡΧΕΙΑ ΤΟΥ ANSYS ΤΡΟΠΟΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΜΕ ΤΟ ANSYS ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΒΑΣΙΚΟΣ Ο ΗΓΟΣ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ ΜΕ ΤΟ ANSYS Φορτία (Loads) Επίλυση του προβλήµατος ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ (FINITE ELEMENTS) FLUID Υποθέσεις και περιορισµοί ANSYS ΚΑΙ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ (ΜODAL ΑNALYSIS) Σύγκριση των µεθόδων εξαγωγής των ιδιοσυχνοτήτων 102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΛΩΝ ΌΓΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΛΩΝ ΌΓΚΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ορθογώνιο µικρού µεγέθους (6 x 4 x 2,5) Ορθογώνιο µεσαίου µεγέθους (17 x 19 x 4,85) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΑΚΟΥΣΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟ ΑΚΟΥΣΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟ ΓΕΝΙΚΑ ΣΚΟΠΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΣ-ΌΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ iv

5 7.1 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟΥ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΩ ΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΟ ANSYS ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ v

6 Πρόλογος Η εργασία αυτή εκπονήθηκε στο πλαίσιο της διπλωµατικής µου εργασίας στο Εργαστήριο Ηλεκτρακουστικής και Τηλεοπτικών Συστηµάτων του τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Σκοπός της είναι η εύρεση των ιδιοσυχνοτήτων (φυσικών συχνοτήτων ή ρυθµών ταλάντωσης) ενός πραγµατικού αµφιθεάτρου µεσαίων διαστάσεων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων και η σύγκριση των αποτελεσµάτων µε αυτά που προέκυψαν από µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν στον ίδιο χώρο. Η εργασία χωρίζεται σε δύο µέρη. Το πρώτο µέρος, που είναι το θεωρητικό τµήµα απαρτίζεται από τρία κεφάλαια. Στο Κεφάλαιο ένα γίνεται παρουσίαση της βασικής θεωρίας του ήχου, των κυµατικών φαινοµένων όπως επίσης και της ακουστικής κλειστών χώρων. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται τέσσερις βασικές τεχνικές ακουστικής µοντελοποίησης ενώ στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων (The Finite Element Method). Στο δεύτερο µέρος προχωρούµε στην εφαρµογή της µεθόδου αρχικά σε απλούς ορθογώνιους όγκους και έπειτα στο αµφιθέατρο. Ακολουθούν µετρήσεις στο αµφιθέατρο και σύγκριση των αποτελεσµάτων. Στο σηµείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή κ. Γιώργο Παπανικολάου για την ευκαιρία που µου έδωσε να ασχοληθώ µε αυτόν τον τοµέα και το διδακτορικό φοιτητή κ. Χρήστο Σεβαστιάδη για την αµέριστη συµπαράσταση και υποστήριξη στην εκπόνησης αυτής της διπλωµατικής εργασίας την οποία αφιερώνω στην οικογένεια µου. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2006, Αναστασία Παπαστεφάνου vi

7 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑ

8 Θεωρία - Εισαγωγή O ήχος συνοδεύει τον άνθρωπο σε όλες τις δραστηριότητες του. Εκτός από τη µετάδοση πληροφοριών και την ψυχολογική επίδραση, η οποία είναι άλλοτε ευεργετική και άλλοτε ενοχλητική, ο ήχος βρίσκει πολύ µεγάλες εφαρµογές στην έρευνα και στην τεχνολογία καθώς η ακουστική, που είναι η επιστήµη του ήχου, αναπτύσσεται διαρκώς. Η ακουστική χώρων είναι ένα βασικό κοµµάτι της ακουστικής, το οποίο παρουσιάζει πολύ µεγάλο ενδιαφέρον για το µηχανικό, καθώς σχετίζεται άµεσα µε την ποιότητα του ήχου που φτάνει σε κάθε σηµείο ενός χώρου ακρόασης. Επίσης αποτελεί τον πρώτο και τελευταίο κρίκο της αλυσίδας µιας ηχητικής αναπαραγωγής, αφού αυτή επηρεάζει τόσο την αρχική δηµιουργία και εγγραφή ενός ηχητικού γεγονότος, όσο και την τελική του αναπαραγωγή και ανασύσταση του αρχικού ηχητικού πεδίου. Τα τελευταία χρόνια, τα επιτεύγµατα της τεχνολογίας αλλά και η καταλυτική συµβολή της ψηφιακής τεχνολογίας έχουν δώσει τεράστια ώθηση στην εξέλιξη της ακουστικής χώρων, ενώ παράλληλα η ραγδαία ανάπτυξη των υπολογιστών αποτελεί πρόκληση για την χρησιµοποίηση τους στο πεδίο αυτό. Στο Κεφάλαιο που ακολουθεί γίνεται παρουσίαση της βασικής θεωρίας του ήχου µε εκτενή αναφορά στην θεωρία της ακουστικής κλειστών χώρων. Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται αναφορά και σύντοµη περιγραφή τεσσάρων τεχνικών µοντελοποίησης ενώ στο Κεφάλαιο 3 γίνεται εκτενής παρουσίαση της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων τόσο σε θεωρητικό όσο και σε µαθηµατικό επίπεδο. 2

9 Κεφάλαιο 1 o Βασική θεωρία του ήχου 3

10 1. Βασική θεωρία του ήχου 1.1 Ορισµός H λέξη ήχος µπορεί να οριστεί ως η κυµατική κίνηση στον αέρα ή σε κάποιο άλλο ελαστικό µέσο (στερεό, υγρό) ή ως η διέγερση του ακουστικού µηχανισµού που έχει σαν αποτέλεσµα την αντίληψη του ήχου [1]. 1.2 ιάδοση του ήχου Απαραίτητη προϋπόθεση για τη διάδοση του ήχου είναι η ύπαρξη ενός ελαστικού µέσου που πρέπει να είναι στερεό, υγρό ή αέριο. Χωρίς ελαστικό µέσο κανένας ήχος δεν µπορεί να διαδοθεί. Απαραίτητα χαρακτηριστικά του µέσου είναι η αδράνεια και η ελαστικότητα. Εάν ένα σωµατίδιο του αέρα µετακινηθεί από την αρχική του θέση, ελαστικές δυνάµεις του αέρα τείνουν να το επαναφέρουν στην αρχική του θέση. Λόγω όµως της αδράνειάς του, το σωµατίδιο, αντί να σταµατήσει στο σηµείο ηρεµίας, (Σχήµα 1-1), θα µετακινηθεί πέρα από το σηµείο αυτό, µέχρι που η κινητική του ενέργεια (λόγω αδράνειας) θα µετατραπεί σε δυναµική ενέργεια της ελαστικότητας του µέσου. Ένα µέρος της κινητικής ενέργειας θα µεταδοθεί στα γειτονικά µόρια, µεταφέροντας έτσι την ενέργεια πέρα από το αρχικό σηµείο, ενώ ένα µέρος της ενέργειας αυτής θα µετατραπεί σε θερµότητα τριβής µε τα γειτονικά µόρια. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι κατά την µετάδοση της διαταραχής δεν έχουµε µεταφορά ύλης, δηλαδή µεταφορά των σωµατιδίων, αλλά µόνο µεταφορά ενέργειας µεταξύ των σωµατιδίων του µέσου, τα οποία κινούνται γύρω από την θέση ισορροπίας τους [1],[7]. 4

11 Σχήµα 1-1 Ένα σωµατίδιο αναγκάζεται από την ενέργεια διερχόµενου ηχητικού κύµατος να πάλλεται γύρω από την θέση ισορροπίας του, εξ αιτίας της αλληλεπίδρασης των ελαστικών δυνάµεων του µέσου και της αδράνειάς του. 1.3 Ηχητικά κύµατα Η διάδοση του ήχου γίνεται µε τη µορφή ηχητικών κυµάτων που αναπτύσσονται, µε τον τρόπο που αναφέραµε προηγουµένως, στα διάφορα µέσα. Τα ηχητικά αυτά κύµατα ονοµάζονται ελαστικά, αφού αναπτύσσονται στα διάφορα ελαστικά µέσα στερεά, υγρά και αέρια. Η διάδοση του ήχου στα αέρια γίνεται µόνο µε διαµήκη κύµατα. Στα κύµατα αυτά, η ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής έχει την ίδια κατεύθυνση µε την ταχύτητα ταλάντωσης των σωµατιδίων του µέσου σε κάθε σηµείο. Τα διαµήκη ηχητικά κύµατα αποτελούνται από τοπικές µεταβολές της πίεσης ηρεµίας του αέρα, που οφείλονται στις ταλαντώσεις των µορίων του αέρα, προς την διεύθυνση της διάδοσης. Η πίεση του αέρα σε κάποιο σηµείο αυξάνεται πάνω από την ατµοσφαιρική πίεση και κατόπιν ελαττώνεται κάτω από αυτήν, εκτελώντας αρµονική ταλάντωση µε την ίδια συχνότητα µε την οποία ταλαντώνονται τα µόρια του αέρα [4]. Στο Σχήµα 1-2 απεικονίζεται η διακύµανση αυτή της πίεσης κατά την διάδοση ηχητικού κύµατος στον αέρα. Οι περιοχές όπου έχουµε αύξηση της πίεσης σε σχέση µε την ατµοσφαιρική, παρουσιάζονται σαν περιοχές 5

12 συµπίεσης (υπερπίεση) ενώ οι περιοχές όπου συµβαίνει µείωση της πίεσης, σαν περιοχές αραίωσης (υποπίεση) [1]. Σχήµα 1-2 (α) Εικόνα των συµπιεσµένων και αραιωµένων περιοχών ηχητικού κύµατος στον αέρα για µια χρονική στιγµή και (β) αντίστοιχη διακύµανση της πίεσης Η διάδοση του ήχου στα υγρά γίνεται µε διαµήκη και επιφανειακά κύµατα. Επιφανειακά κύµατα είναι τα κύµατα που διαδίδονται στην ελεύθερη επιφάνεια ενός µέσου διάδοσης, όπου τα σωµατίδια του µέσου (επιφάνεια) διαγράφουν ελλειπτικές τροχιές µε το µεγάλο άξονα κάθετο στην επιφάνεια και κέντρο την θέση ισορροπίας (Σχήµα 1-3). Στα κύµατα αυτά, όσο αυξάνεται η απόσταση από την επιφάνεια προς το εσωτερικό του µέσου, το πλάτος τους µειώνεται εκθετικά. Σχήµα 1-3 Μετατόπιση µορίων, που προκύπτει από την διάδοση επιφανειακού κύµατος σε ένα υγρό. 6

13 Στα στερεά, η διάδοση του ήχου γίνεται µε διαµήκη, επιφανειακά και εγκάρσια κύµατα. Τα εγκάρσια κύµατα είναι τα κύµατα στα οποία η ταχύτητα διάδοσης µε την ταχύτητα ταλάντωσης των σωµατιδίων του µέσου, είναι κάθετες. Τέτοια κύµατα απεικονίζονται στο Σχήµα 1-4. Τα εγκάρσια κύµατα δεν µπορούν να διαδοθούν σε υγρά και αέρια, γιατί στα µέσα αυτά τα διάφορα στρώµατα δεν αντιδρούν σε τάσεις ολίσθησης, παρά µόνο σε τάσεις συµπίεσης [4],[8]. Σχήµα 1-4 (α) Στιγµιότυπο διάδοσης εγκάρσιων κυµάτων για µια χρονική στιγµή t και (β) στιγµιότυπο διάδοσης για τη χρονική στιγµή t + t Ας θεωρήσουµε ένα απλό ηµιτονοειδές κύµα (Σχήµα 1-5). Η µέγιστη διάφορα της στιγµιαίας πίεσης που δηµιουργεί το ηχητικό κύµα από την ατµοσφαιρική πίεση ονοµάζεται πλάτος πίεσης (peak). Συνήθως χρησιµοποιείται η τιµή από κορυφή σε κορυφή (peak to peak), η οποία για συµµετρικό ως προς τον άξονα x κύµα έχει διπλάσια τιµή από την µέγιστη τιµή. 7

14 Σχήµα 1-5 Ηµιτονοειδές κύµα. Στο σχήµα φαίνεται επίσης η µέση τιµή και η ενεργός τιµή (rms) της πίεσης (του ανορθωµένου σήµατος). Η ενεργός τιµή προκύπτει ως εξής: στο δεξιό θετικό τµήµα του σχήµατος 1-5 διαβάζονται οι τεταγµένες για κάθε χρονικό διάστηµα. Στη συνεχεία, υψώνουµε στο τετράγωνο κάθε µια από αυτές τις τεταγµένες και τις προσθέτουµε. Βρίσκουµε την µέση τιµή και παίρνουµε την τετραγωνική ρίζα αυτής. Η τετραγωνική ρίζα λοιπόν του µέσου όρου των τετράγωνων, δίνει την τιµή rms ή µέσο τετράγωνο. Το ίδιο µπορεί να γίνει και για το αρνητικό τµήµα του Σχήµατος 1-5 [1]. Για τις παραπάνω τιµές ισχύουν οι σχέσεις: Peak π RMS= = 0,707Peak= ( µ έση τιµ ή) = 1,1( µ έση τιµ ή) (1.1) π Peak= 2 RMS= 1,414RMS= ( µ έση τιµ ή) = 1,57 ( µ έση τιµ ή) (1.2) Ταχύτητα του ήχου Η ταχύτητα του ήχου, που εξαρτάται από το µέσο διάδοσης, στην περίπτωση των διαµηκών κυµάτων δίνεται από την σχέση: γp γrt c= = ( ιαµήκη κύµατα) (1.3) ρ MB όπου: 8

15 c - ταχύτητα του ήχου ρ - πυκνότητα του µέσου Τ - απόλυτη θερµοκρασία του µέσου Ρ - ατµοσφαιρική πίεση R, γ - σταθερές (R=8317 m/s/ o Κ) MB - µοριακό βάρος του µέσου διάδοσης. Για τον αέρα ισχύει γ=1,4 οπότε από την προηγούµενη σχέση προκύπτει για τους 0 ο C η ταχύτητα c=331m/s [8]. Συνήθως όµως χρησιµοποιείται η παρακάτω προσεγγιστική σχέση για την ταχύτητα του ήχου σε µια θερµοκρασία Τ: T c= 343,2 (1.4) T 0 όπου: Τ - θερµοκρασία σε βαθµούς Kelvin Τ0 =293,5 0 Κ - θερµοκρασία αναφοράς. Στην περίπτωση των εγκάρσιων κυµάτων η ταχύτητα του ήχου είναι διαφορετική από αυτή για διαµήκη κύµατα και δίνεται από την παρακάτω σχέση: E c = (Εγκάρσια κύµατα) (1.5) 2 (1+ σ )ρ όπου: Ε - µέτρο του Young σε N/m 2 σ - λόγος του Poisson ρ - πυκνότητα του µέσου. Η σχέση αυτή δηλώνει ότι η ταχύτητα του ήχου στα εγκάρσια κύµατα είναι µικρότερη από την ταχύτητα του ήχου στα διαµήκη. 9

16 Για τα επιφανειακά κύµατα που διαδίδονται σε επιφάνεια πάχους h, η ταχύτητα διάδοσης δίνεται από τη σχέση: ω 2 3 Εh c= (Επιφανειακά κύµατα) (1.6) 12ρS όπου: h - πάχος της επιφάνειας S - εµβαδόν διατοµής της επιφάνειας ω - κυκλική συχνότητα του κύµατος. Από την σχέση αυτή προκύπτει µια πολύ σηµαντική παρατήρηση: η ταχύτητα του ήχου στα επιφανειακά κύµατα εξαρτάται από την συχνότητα του κύµατος Εξίσωση ηχητικού κύµατος Για να βρεθεί η εξίσωση του ηχητικού κύµατος, χρησιµοποιούνται τρεις αρχές της φυσικής: ο δεύτερος νόµος του Newton, η θερµοδυναµική σχέση µεταξύ της πίεσης και του όγκου του µέσου και η εξίσωση της συνεχούς ροής [7]. Επιλέγουµε στο µέσο διάδοσης ένα απειροελάχιστο παραλληλεπίπεδο στοιχείο µε ακµές dx,dy,dz (Σχήµα 1-6). z y dz dy x dx Σχήµα 1-6 Απειροελάχιστο στοιχείο στο µέσο διάδοσης 10

17 Η συνισταµένη δύναµη που εφαρµόζεται πάνω στο στοιχείο αυτό σε µήκος του κάθετου άξονα προς το κάθε ζευγάρι τοιχωµάτων, προέρχεται από τη διαφορά των πιέσεων που εφαρµόζονται από το µέσο σ αυτά τα τοιχώµατα. Έτσι για τα τοιχώµατα που είναι κάθετα προς τον άξονα των συντεταγµένων x, η συνισταµένη δύναµη είναι: ϑp ϑp Fx = ( p1 p2) dydz= p1 p1 + dx dydz= dxdydz ϑx ϑx (1.7) όπου: p1 - πίεση πάνω στον ένα τοίχο p 2 - πίεση πάνω στο απέναντι τοίχωµα Αν τη µέση πυκνότητα του µέσου διάδοσης συµβολίσουµε µε ρ 0, τότε η µάζα του µέσου αυτού θα είναι ρ 0dxdydz. Έχοντας τη µετατόπιση ξ του στοιχείου (των µορίων του µέσου) προς τον άξονα χ, έχουµε την επιτάχυνση του: & 2 ϑ ξ ξ = (1.8) 2 ϑt Έτσι σύµφωνα µε το νόµο του Newton, η δύναµη της αδράνειας εκφράζεται µε τη σχέση ρ dxdydz & ξ 0 [7]. Επειδή η παραπάνω δύναµη και η ισορροπία έχουµε: F x πρέπει να βρίσκονται σε ϑ p ϑ ρ && p dxdydz= dxdydzξ ϑx ϑx 0 = ρ & ξ 0 (1.9) Ανάλογες είναι οι εξισώσεις και για τις δυνάµεις που εφαρµόζονται πάνω στο στοιχείο προς τους άξονες y και z: ϑp ϑ y = ρ && 0 η (1.10) ϑ p ϑ z = ρ & ζ 0 (1.11) 11

18 Στις εξισώσεις αυτές η πίεση p αναφέρεται στο τµήµα της πίεσης του µέσου που υπερέχει από τη µέση τιµή της (στατική πίεση) και ονοµάζετεi ακουστική πίεση. Για να βρεθεί η θερµοδυναµική σχέση µεταξύ της ακουστικής πίεσης και της στατικής πίεσης p 0, θα πρέπει να εισάγουµε ένα νέο φυσικό µέγεθος που ονοµάζεται συγκέντρωση (concentration) s, και είναι ο λόγος της αύξησης της πυκνότητας του µέσου προς τη µέση τιµή αυτής της πυκνότητας: ρ 0 s= dp (1.12) Για αέρια µε ιδανική ελαστικότητα η ακουστική πίεση και η συγκέντρωση συνδέονται µε τη παρακάτω σχέση: p=ks (1.13) όπου Κ - συντελεστής χωρικής ελαστικότητας του µέσου. Για να προσδιοριστεί ο συντελεστής Κ πρέπει να λάβουµε υπόψη την θερµοδυναµική κατάσταση του µέσου. Εφόσον οι αλλαγές που συντελούνται από τη πίεση p είναι τόσο ραγδαίες, ώστε η θερµότητα που δηµιουργείται στα συµπυκνωµένα µέρη του µέσου δεν προλαβαίνει να µεταφερθεί σε άλλα σηµεία του µέσου, τότε µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η παραπάνω διαδικασία συντελείται υπό σταθερή θερµότητα. Τέτοιου είδους µεταβατικές καταστάσεις ονοµάζονται αδιαβατικές [7]. Η συνάρτηση αδιαβατικής µετάβασης έχει τη µορφή: PV x = const όπου: P - πίεση που επικρατεί στο µέσο σε Pa (Pascal) V - όγκος σε 3 m x - λόγος ειδικής θερµότητας υπό σταθερή πίεση προς ειδική θερµότητα υπό σταθερό όγκο x = c p c v Επειδή η µάζα του µέσου κατά τη µεταβολή αυτή δεν αλλάζει, τότε, 12

19 V x ρ 0 =const δηλαδή, Pρ x =const Παίρνοντας την παράγωγο της πίεσης σε σχέση µε την πυκνότητα και εξαλείφοντας τη σταθερά φτάνουµε στην εξίσωση: dp dρ P ρ 0 = x = x (1.14) 0 dp P 0 dρ ρ 0 Επειδή η dp είναι η µεταβολή της στατικής πίεσης (ότι υπερέχει από αυτήν) που συµβολίστηκε προηγουµένως µε p (εξίσωση 1.13) και s= dp συγκρίνοντας τις εξισώσεις (1.13) και (1.14) βγάζουµε το ρ 0 συµπέρασµα ότι: K = Ρ0x (1.15) και p 0 = Ks=Ρ xs (1.16) Η τελευταία σχέση που αποµένει είναι η εξίσωση συνέχειας της ροής. Η αρχή της συνέχειας λέει ότι η διαφορά, µεταξύ ποσού της µάζας του µέσου που εισήλθε σε απειροελάχιστο χρόνο dt και ποσού που εξήλθε στον ίδιο χρόνο από ένα δεδοµένο όγκο είναι ίσα µε την αύξηση της µάζας που εγκλωβίστηκε σε αυτόν τον όγκο [7]. Η αύξηση της εγκλωβισµένης µάζας σε στοιχείο όγκου κατά την κίνηση στον άξονα x σε χρόνο dt εκφράζεται µε την παρακάτω σχέση: dt ϑ [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ρξ& ) ρξ& ρξ& dydz dt ρξ& = ρξ& + ϑ = ϑx ( ρξ& ) dxdydzdt ϑx dx dydz (1.17) 13

20 όπου & ξ - συντεταγµένη της ταχύτητας µορίου του µέσου στον άξονα x. Ίδιες εξισώσεις θα έχουµε και προς τους άξονες y και z [7]. Η τελική αλλαγή του ποσού της µάζας του µέσου µέσα σε µοναδιαίο ϑρ όγκο δηµιουργεί αύξηση της µάζας του στοιχείου κατά dxdydzdt οπότε, ϑt ϑ ϑ ( ρξ& ) + ( ρη& ) + ( ρ &) = 0 ϑρ ϑ + ζ ϑt ϑx ϑy ϑz (1.18) Αντικαθιστώντας το ρ µε ( 1+s) & ξ, το s η& µε το η& και το s & ζ µε & ζ θα έχουµε: ρ και παραλείποντας το s & ξ µε το 0 ϑ s ϑξ& ϑη& ϑζ& = 0 ϑt ϑx ϑy ϑz (1.19) Τις σχέσεις (1.9), (1.16) και (1.19),µπορούµε να τις εκφράσουµε µε µια σχέση όπου όλα τα βασικά µεγέθη που µας ενδιαφέρουν, δηλαδή ακουστική πίεση, ταχύτητα µορίου, κατατόπιση µέσου κλπ. Μπορούµε να τα αποκτήσουµε µε µια απλή διαφόριση. Για το λόγο αυτό εισάγουµε το µέγεθος Φ που ονοµάζεται δυναµικό της ταχύτητας έτσι ώστε: & ϑφ ϑφ ξ =, & η =, & ϑφ ζ = (1.20) ϑx ϑy ϑz Από τις εξισώσεις (1.9) και (1.16) έχουµε: & xϑs ϑs ξ Ρ = 0 2 = c (1.21) ρ ϑx ϑx 0 Ρ0x ϑs 2 ϑs & η&= = c (1.22) ρ ϑy ϑy 0 & xϑs ϑs ζ Ρ0 2 = = c ρ ϑz ϑz (1.23) 0 Από τις σχέσεις (1.19), (1.21), (1.22) και (1.23) έχουµε: 14

21 ϑφ ϑx & ϑ c sdt & ξ0 ϑx (1.24) 2 = ξ = + 0 ϑφ ϑy ϑ & c sdt η0 ϑy & (1.25) 2 = η = + 0 ϑφ ϑz & ϑ c sdt & ζ 0 ϑz (1.26) 2 = ζ = + 0 όπου, & ξ 0, η& 0, & ζ 0 συντεταγµένες της ταχύτητας του µορίου τη στιγµή t=0. Θέτοντας, & ϑφ 0 ξ 0 =, ϑx ϑφ 0 & η 0 = και ϑy & ϑφ 0 ζ 0 = µπορούµε να ϑz ολοκληρώσουµε άµεσα τις εξισώσεις (1.24), (1.25), (1.26) και να έχουµε τη ζητούµενη τιµή δυναµικού της ταχύτητας: 2 Φ= c sdt+ Φ 0 (1.27) 0 Με αντικαταστάσεις η (1.27) γίνεται: ϑ Ρ x p c s s ϑt ρ ρ Φ = 2 = 0 = (1.28) 0 0 εποµένως: ϑφ p= ρ0 ρ0φ (1.29) ϑt Θέτοντας στην εξίσωση (1.19) τη τιµή του s από την εξίσωση (1.28) και τα ξ &, η& και ζ & από την (1.20) προκύπτει: ϑ Φ c ϑ Φ ϑ Φ ϑ Φ ϑ Φ = c = Φ 2 ϑt ϑx ϑy ϑz ϑt (1.30) Η σχέση (1.30) είναι η εξίσωση διάδοσης του δυναµικού της ταχύτητας. Ταυτόχρονα εκφράζει το κύµα της µοριακής ταχύτητας και της ακουστικής πίεσης σαν παράγωγα του δυναµικού της ταχύτητας και ονοµάζεται ταχύτητα του ηχητικού κύµατος ή ταχύτητα του ήχου [7]. 15

22 1.6 Ακουστική κλειστών χώρων Ανάκλαση - διάδοση απορρόφηση Όταν ένα ηχητικό κύµα πέσει πάνω σε µια επιφάνεια, τότε ένα µέρος της ενέργειας που µεταφέρει, ανακλάται, ενώ το υπόλοιπο απορροφάται ή διαδίδεται από την άλλη µεριά της επιφάνειας (Σχήµα 1-7). Για τη µελέτη των φαινοµένων αυτών ορίζονται οι παρακάτω συντελεστές: α)συντελεστής απορρόφησης επιφάνειας αα: ορίζεται ως ο λόγος της ενέργειας που απορροφάται (Wαπορ) από την επιφάνεια προς την προσπίπτουσα (Wπροσπ): Wαπορ α a = (1.31) Wπροσπ β)συντελεστής ανάκλασης αr: ορίζεται ως ο λόγος της ανακλώµενης ηχητικής ενέργειας (Wανακ) από την επιφάνεια, προς την προσπίπτουσα (Wπροσπ): Wανακλ α r = (1.32) Wπροσπ γ)συντελεστής διάδοσης ατ: στην περίπτωση που µια επιφάνεια χωρίζει δυο µέσα, χρησιµοποιείται ο συντελεστής διάδοσης. Αυτός αντιπροσωπεύει το λόγο της ενέργειας που διαδίδεται µέσω της επιφάνειας διαχωρισµού των µέσων (Wδιαδ), προς την προσπίπτουσα [8]: Wµεταφ α τ = (1.33) Wπροσπ 16

23 Σχήµα 1-7 Ανάκλαση, απορρόφηση και διάδοση του ήχου Ανάκλαση του ηχητικού κύµατος Το φαινόµενο της ανάκλασης παρατηρείται όταν ένα ηχητικό κύµα συναντά ένα εµπόδιο, του οποίου η επιφάνεια δεν είναι τελείως απορροφητική ενώ οι διαστάσεις της είναι συγκρίσιµες µε το µήκος κύµατος του ήχου. Γενικά δεχόµαστε πως αρκεί η µικρότερη διάσταση της επιφάνειας πρόσπτωσης να είναι τουλάχιστον δέκα φορές µεγαλύτερη από το µήκος κύµατος του προσπίπτοντος ήχου. Κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις, το ηχητικό κύµα ανακλάται πάνω στο εµπόδιο. Σε αντίθετη περίπτωση, το κύµα παρακάµπτει το εµπόδιο από όλες τις πλευρές και έχουµε περίθλαση του κύµατος. Το φαινόµενο της ανάκλασης είναι αισθητό σε κάθε κλειστό χώρο λόγω της ύπαρξης ποικίλων εµποδίων, µε αποτέλεσµα στο αυτί µας να φτάνει η υπέρθεση του απευθείας κύµατος και των ανακλάσεών του. Στην ιδανική περίπτωση του φαινοµένου, που είναι η πλήρης ανάκλαση, όλη η ενέργεια του ηχητικού κύµατος ακτινοβολείται προς τα πίσω (συντελεστής ανάκλασης αr=1). Στην πραγµατικότητα όµως, οι ανακλάσεις των ηχητικών κυµάτων στις διάφορες επιφάνειες δεν είναι τέλειες, καθώς το υλικό στο οποίο προσπίπτει το ηχητικό κύµα, απορροφά µέρος της ηχητικής ενέργειας και τη µετατρέπει, µέσω του έργου ταλάντωσης των µορίων του, σε θερµότητα [8]. Ο ήχος ακολουθεί τον ίδιο κανόνα που ισχύει στην οπτική για το φως: η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση µε την γωνία ανάκλασης. Ο κανόνας αυτός συχνά καλείται ως νόµος ανάκλασης (Σχήµα 1-8) και ισχύει κυρίως 17

24 για τις µεσαίες και υψηλές συχνότητες αφού αυτές συµπεριφέρονται όπως ακριβώς οι ακτίνες φωτός (υψηλή κατευθυντικότητα). Οι χαµηλές συχνότητες θεωρούµε ότι λειτουργούν σαν κύµατα που διαχέονται, δηλαδή δεν έχουν σαφή διεύθυνση και γι αυτό αποφεύγουµε, για την περίπτωση τους, την υιοθέτηση του παραπάνω κανόνα [1],[2]. Σχήµα 1-8 Νόµος ανάκλασης Στη συνέχεια θα εξετάσουµε τι συµβαίνει µε τη φάση κατά την ανάκλαση ενός κύµατος. Όταν ηχητικά κύµατα, που ταξιδεύουν στον αέρα, χτυπούν µια ακλόνητη επιφάνεια τότε κατά την ανάκλαση δεν υπάρχει αλλαγή φάσης. Αυτό συµβαίνει γιατί όταν µια περιοχή συµπίεσης (υπερπίεση) έρχεται σε επαφή µε την επιφάνεια, αυτή ανακλάται σαν περιοχή συµπίεσης πάλι και όχι µε διαφορά φάσης που θα αντιστοιχούσε σε περιοχή αραίωσης (υποπίεση). Η ακλόνητη επιφάνεια θεωρείται ότι έχει µεγαλύτερη ακουστική εµπέδηση από ότι ο αέρας και όταν ένα κύµα κινείται προς ένα µέσο µε µεγαλύτερη ακουστική εµπέδηση τότε δεν υπάρχει αλλαγή φάσης κατά την ανάκλαση. Από την άλλη µεριά όµως, αν ένα κύµα που κινείται µέσα σε ένα στερεό, χτυπήσει το σύνορο του υλικού µε τον αέρα, τότε το κύµα που ανακλάται πίσω προς το στερεό έχει διάφορα φάσης σε σχέση µε το προσπίπτον. ηλαδή µια περιοχή συµπίεσης ανακλάται προς τα πίσω σαν περιοχή αραίωσης. Αυτό συµβαίνει γιατί ο αέρας έχει µικρότερη ακουστική εµπέδηση σε σχέση µε το στερεό και όταν ένα κύµα κινείται προς ένα µέσο µε µικρότερη εµπέδηση τότε υφίσταται αλλαγή της φάσης του. Τα παραπάνω συµπεράσµατα φαίνονται στο Σχήµα 1-9. Αν θεωρήσουµε διάδοση προς τα αριστερά, έχουµε πρόσπτωση σε κλειστό άκρο και καµία 18

25 αλλαγή φάσης, ενώ αν θεωρήσουµε διάδοση προς τα δεξιά έχουµε πρόσπτωση σε ανοικτό άκρο και αλλαγή φάσης κατά [4],[8]. Σχήµα 1-9 Ανάκλαση από µέσο µε µεγαλύτερη ή µικρότερη ακουστική εµπέδηση και φάση του ανακλώµενου κύµατος Ανάκλαση από επίπεδες επιφάνειες Στην ανάκλαση ηχητικών κυµάτων από συµπαγή επίπεδη επιφάνεια, η γωνία πρόσπτωσης είναι όπως είπαµε ίση µε την γωνία ανάκλασης. Στο Σχήµα 1-10 φαίνονται δυο περιπτώσεις ανάκλασης. Στην πρώτη, η επίπεδη επιφάνεια ανακλά επίπεδα µέτωπα κύµατος, ενώ στη δεύτερη η ίδια επιφάνεια ανακλά σφαιρικά µέτωπα κύµατος που εκπέµπονται από κοντινή σηµειακή πηγή. Στη δεύτερη περίπτωση, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι τα ανακλώµενα µέτωπα κύµατος λειτουργούν σαν να προέρχονταν από ένα ηχητικό είδωλο, το οποίο είναι στην ουσία µια όµοια ηχητική πηγή µε την αρχική, που βρίσκεται σε ίση απόσταση από την επιφάνεια αλλά προς την άλλη µεριά. Και στις δυο περιπτώσεις πάντως, αν η επιφάνεια είναι τέλειος ανακλαστήρας, η πίεση κοντά στην επιφάνεια θα είναι διπλάσια της πίεσης 19

26 που θα είχαµε χωρίς την επιφάνεια. Η χρήση της πλήρως ανακλαστικής επιφάνειας θα έχει ως αποτέλεσµα µια αύξηση στη στάθµη της τάξης περίπου των 3dB. [1] Σχήµα 1-10 (α) Ανάκλαση επιπέδου κύµατος από επίπεδη επιφάνεια και (β) ανάκλαση σφαιρικού κύµατος από την ίδια επιφάνεια. Αν κοντά στην πηγή υπάρχουν και άλλες ανακλαστικές επιφάνειες τότε θα έχουµε τα αποτελέσµατα του σχήµατος Σε κάθε περίπτωση η στάθµη λαµβάνεται σε απόσταση l από την πηγή. Η διάταξη που προκύπτει µε την τοποθέτηση των ανακλαστικών επιφανειών, έχει διαφορετική κατευθυντικότητα από αυτή της αρχικής πηγής. Έτσι στην περίπτωση (β) η διάταξη αντιστοιχεί σε πηγή µε κατευθυντικότητα Q=2 η οποία δίνει µια αύξηση στη στάθµη ίση µε 3dB. Στην περίπτωση (γ) η διάταξη συµπεριφέρεται σαν πηγή µε Q=4 ενώ στη (δ) σαν πηγή µε Q=8. Παρατηρούµε δηλαδή ότι τα ανακλαστικά τοιχώµατα κατευθύνουν τον ήχο σε ορισµένες κατευθύνσεις µε αποτέλεσµα η αρχική πηγή να µην συµπεριφέρεται σαν ισοτροπική πλέον [7],[8]. 20

27 Σχήµα 1-11 Μεταβολή της στάθµης µε την χρήση ανακλαστικών επιφανειών κοντά στην πηγή Ανάκλαση από κυρτές και κοίλες επιφάνειες Τα σφαιρικά µέτωπα των κυµάτων που ακτινοβολούνται από ισοτροπικές πηγές έχουν τάση να γίνονται επίπεδα καθώς διανύουν µεγάλες αποστάσεις από την πηγή. Για τον λόγο αυτό θα εξετάσουµε την πρόσπτωση του ήχου στις διάφορες επιφάνειες µε την βοήθεια των επίπεδων κυµάτων. Στην περίπτωση µιας κοίλης επιφάνειας, τα επίπεδα κύµατα που χτυπούν σε αυτή, έχουν την τάση να συγκεντρώνονται σε ένα σηµείο, όπως φαίνεται στο Σχήµα Το σηµείο αυτό ονοµάζεται σηµείο εστίασης ή εστιακό σηµείο. Σχήµα 1-12 Πρόσπτωση ηχητικών κυµάτων σε κοίλη ανακλαστική επιφάνεια. 21

28 Θεωρούµε λοιπόν το Σχήµα 1-13 όπου C είναι το κέντρο καµπυλότητας της σφαιρικής επιφάνειας και η κορυφή Ο είναι ο πόλος της σφαιρικής επιφάνειας. Τις ποσότητες που βρίσκονται δεξιά του Ο τις παίρνουµε κατά σύµβαση θετικές, ενώ τις ποσότητες που βρίσκονται αριστερά του Ο, αρνητικές. Το σηµείο Ρ είναι µια πηγή σφαιρικών κυµάτων. Μια ακτίνα ΡΑ ανακλάται κατά την διεύθυνση AQ (γωνία πρόσπτωση ίση µε γωνία ανάκλασης). Όταν η απόσταση του Ρ από το Ο είναι πολύ µεγάλη ισχύει ο τύπος του Descartes για ανάκλαση από σφαιρική επιφάνεια σύµφωνα µε τον οποίο όλες οι προσπίπτουσες ακτίνες, που ξεκινούν από το σηµείο Ρ, µετά την ανάκλαση στην επιφάνεια θα περάσουν από το Q [4]. Ισχύει : = (1.34) q p r Το σηµείο Q ονοµάζεται τότε είδωλο του Ρ. Για την περίπτωση που οι προσπίπτουσες ακτίνες είναι παράλληλες µεταξύ τους και παράλληλες στον άξονα ΟΡ έχουµε p= οπότε το είδωλο πέφτει πάνω στο σηµείο F (q=r/2) (εστιακό σηµείο). Η απόσταση του F από το Ο ονοµάζεται εστιακή απόσταση και συµβολίζεται µε το γράµµα f. Σχήµα 1-13 ιαδροµή ακτίνας που ανακλάται σε σφαιρική κοίλη επιφάνεια Ισχύει και το αντίστροφο φαινόµενο. ηλαδή αν τοποθετηθεί µια σηµειακή πηγή στην εστία µιας κοίλης επιφάνειας, όλες οι προσπίπτουσες ακτίνες θα ανακλώνται παράλληλα προς τον κύριο άξονα (ΟΡ) οπότε θα έχουµε µετατροπή των σφαιρικών µετώπων σε επίπεδα. Στο Σχήµα

29 απεικονίζονται τρεις ακτίνες που χτυπούν σε µια κοίλη επιφάνεια. Η πρώτη είναι παράλληλη, η δεύτερη είναι εστιακή και η τρίτη είναι κεντρική µε κάθετη πρόσπτωση (θ=0). Όταν η πηγή είναι σχετικά κοντά στο κάτοπτρο ή το άνοιγµά του είναι µεγάλο ώστε να δέχεται ακτίνες µε µεγάλη κλίση, η προηγούµενη εξίσωση του Descartes δεν δίνει καλή προσέγγιση. Σε τέτοιες περιπτώσεις, σε ένα σηµειακό αντικείµενο δεν αντιστοιχεί µόνο ένα σηµείο, αλλά ένα άπειρο πλήθος σηµείων. Οπότε και το είδωλο ενός εκτεταµένου αντικειµένου θα εµφανίζεται συγκεχυµένο. Το Σχήµα 1-15 δείχνει ακτίνες που προέρχονται από ένα σηµείο Ρ και ανακλώνται από την κοίλη επιφάνεια. Οι ακτίνες δεν συγκλίνουν σε ένα σηµείο αλλά συγκεντρώνονται σε ένα ευθύγραµµο τµήµα QQ πάνω στον άξονα. Το φαινόµενο ονοµάζεται σφαιρική εκτροπή. Το σηµείο Q αντιστοιχεί σε ακτίνες που σχηµατίζουν πολύ µικρές γωνίες µε τον άξονα, ενώ το Q σε ακτίνες που έχουν µεγάλη κλίση. Γενικά οι ανακλώµενες ακτίνες τέµνονται κατά µήκος µιας κωνικής επιφάνειας που στο σχήµα παριστάνεται µε την γραµµή QS. Σχήµα 1-14 Κύριες ακτίνες σε κοίλη ανακλαστική επιφάνεια. Οι κοίλες επιφάνειες είναι συνηθισµένες γιατί κατασκευάζονται εύκολα. Στην ακουστική χώρων πρέπει να αποφεύγονται γιατί προκαλούν εστίαση του ήχου που είναι τελείως ανεπιθύµητη. 23

30 Σχήµα 1-15 Σφαιρική εκτροπή σε κοίλη επιφάνεια. Η χρήση κυρτών επιφανειών στην ακουστική διαµόρφωση ενός χώρου είναι συχνά επιθυµητή, διότι η ανάκλαση επιπέδων µετώπων κύµατος από κυρτή επιφάνεια έχει την τάση να διαχέει τον ήχο. Στο Σχήµα 1-16 φαίνεται η διάχυση που υφίστανται ηχητικά µέτωπα που προσπίπτουν σε µια τέτοια επιφάνεια, ενώ στο Σχήµα 1-17 απεικονίζεται η ανάκλαση που υφίστανται τρεις ακτίνες. Η πρώτη είναι παράλληλη στον άξονα ΟC, η δεύτερη είναι εστιακή και η τρίτη κεντρική µε κάθετη πρόσπτωση (θ=0). Σχήµα 1-16 Ανάκλαση επιπέδων ηχητικών κυµάτων από κυρτή επιφάνεια. Στις κυρτές επιφάνειες η εστιακή απόσταση f και η ακτίνα r θεωρούνται αρνητικές ενώ πλέον το είδωλο είναι φανταστικό γιατί 24

31 βρίσκεται πίσω από την επιφάνεια (οι ακτίνες διασταυρώνονται πίσω από την επιφάνεια) [4]. Σχήµα 1-17 Κύριες ακτίνες σε κυρτή επιφάνεια Στάσιµα κύµατα Για την µελέτη των στάσιµων κυµάτων µπορούµε να θεωρήσουµε ένα ακουστικό σωλήνα µε αέρα, ο οποίος είναι κλειστός και στα δυο άκρα του. Στην ουσία πρόκειται για ένα αντηχείο µε δυνατότητα ταλάντωσης στις χαρακτηριστικές του συχνότητες. Έστω ότι χρησιµοποιούµε ένα µικρό µεγάφωνο στο ένα άκρο και ένα µικρόφωνο στο άλλο. Καθώς αυξάνει η συχνότητα του εκπεµπόµενου ήχου, δεν παρατηρείται τίποτα ασυνήθιστο µέχρι τη στιγµή που η συχνότητα συµπίπτει µε την φυσική συχνότητα του σωλήνα. Στη συχνότητα αυτή, έστωf 0, η ενέργεια από το µεγάφωνο ενισχύεται έντονα λόγω συντονισµού του σωλήνα. Καθώς η συχνότητα αυξάνει και πάλι η ένταση γίνεται πάλι µικρή µέχρι που η συχνότητα γίνεται 2f 0. Το ίδιο φαινόµενο παρατηρείται και για συχνότητες 3f 0, 4f 0 κ.λ.π. Μετακινώντας τo µικρόφωνο κατά µήκος του άξονα του σωλήνα παίρνουµε τα αποτελέσµατα του σχήµατος Στο σχήµα αυτό φαίνεται ο τρόπος µε τον οποίο µεταβάλλεται η πίεση κατά µήκος του σωλήνα. Παρατηρούµε ότι η πίεση στα άκρα του σωλήνα είναι µέγιστη. Μετά την πάροδο µισής περιόδου T θα έχουµε εναλλαγή των µεγίστων, δηλαδή το 25

32 αρνητικό µέγιστο (υποπίεση) θα γίνει θετικό µέγιστο (υπερπίεση) και το αντίστροφο [2]. Σχήµα 1-18 Μεταβολή της πίεσης κατά µήκος συντονισµένου ακουστικού σωλήνα. Τα ηχητικά κύµατα που κινούνται προς τα δεξιά, ανακλώνται από το δεξί άκρο του σωλήνα ενώ τα κύµατα που κινούνται προς τα αριστερά ανακλώνται από το αριστερό άκρο. Τα κύµατα που κινούνται προς τα αριστερά, αλληλεπιδρούν µε τα κύµατα που κινούνται προς τα δεξιά και το αποτέλεσµα είναι ένα στάσιµο κύµα στην φυσική συχνότητα του σωλήνα ή σε κάποιο από τα πολλαπλάσια της. Ο όρος στάσιµο κύµα προέρχεται από το γεγονός ότι ο αέρας µέσα στο σωλήνα φαίνεται να ταλαντώνεται κατά περιοχές και πλέον δεν είναι δυνατόν να διακρίνουµε τα οδεύοντα και τα ανακλώµενα κύµατα. Τα σηµεία στα οποία η πίεση είναι µηδέν ονοµάζονται κόµβοι (nodes) πίεσης, ενώ τα σηµεία στα οποία η πίεση είναι µέγιστη αντικόµβοι (antinodes) πίεσης. Οι κόµβοι για την πίεση είναι αντικόµβοι για την ταχύτητα σωµατιδίων και το αντίστροφο (Σχήµα 1-19) [1]. 26

33 Σχήµα 1-19 Κόµβοι και αντικόµβοι σε κλειστό ηχητικό σωλήνα. Τα οδεύοντα και τα ανακλώµενα κύµατα βρίσκονται σε φάση, οπότε η υπέρθεση τους έχει ως αποτέλεσµα τα σωµατίδια του αέρα να ταλαντώνονται µε διπλάσιο πλάτος ή αλλιώς, η πίεση να είναι διπλάσια από ότι αν υπήρχε µόνο ο ένας τύπος κυµάτων (Σχήµα 1-20). Σχήµα 1-20 Συµβολή δυο κυµάτων που βρίσκονται σε φάση Στο Σχήµα 1-21 παρουσιάζεται µια φωτογραφία ενός τέτοιου σωλήνα στάσιµων κυµάτων (σωλήνας του Kundt) στον οποίο έχει εισαχθεί µια στρώση ψιλής άµµου ή σκόνης, ώστε να είναι δυνατή η παρατήρηση των στάσιµων κυµάτων. Ένα ηχητικό κύµα εκπέµπεται από το δεξί άκρο του σωλήνα και ανακλάται από το αριστερό όπου έχει τοποθετηθεί ένας µεταλλικός δίσκος. 27

34 Σχήµα 1-21 Σωλήνας του Kundt για παρατήρηση των στάσιµων κυµάτων Η χαµηλότερη συχνότητα διέγερσης στην περίπτωση των στάσιµων κυµάτων σε σωλήνα κλειστό και στα δύο άκρα δίνεται από την σχέση: f 0 v 2L = (1.35) όπου: v - ταχύτητα του ήχου και L - µήκος του σωλήνα. Τα κλειστά άκρα του σωλήνα είναι κόµβοι για την ταχύτητα σωµατιδίων και αντικόµβοι για την πίεση. Οπότε η χαµηλότερη συχνότητα που µπορεί να διεγερθεί θα έχει µήκος κύµατος που είναι διπλάσιο του µήκους L του σωλήνα (Σχήµα 1-22α). Η διάταξη αυτή όπως είδαµε και στο Σχήµα 1-18 µπορεί να διεγείρει και άρτιες και περιττές αρµονικές. Όλη η παραπάνω ανάλυση είναι πολύ σηµαντική και έγινε για το λόγο ότι τα άκρα του σωλήνα µπορούν να παροµοιαστούν µε τους δυο απέναντι τοίχους ενός χώρου ακρόασης. Καθώς το προηγούµενο παράδειγµα είναι µονοδιάστατο, σε ένα χώρο ακρόασης µπορούµε να θεωρήσουµε ότι έχουµε και άλλους τέτοιους σωλήνες, οι οποίοι σχετίζονται µε το πλάτος και το ύψος του χώρου. Οι διαστάσεις του χώρου θα καθορίζουν τις χαρακτηριστικές συχνότητες ταλάντωσης. Αν τώρα το ένα άκρο του σωλήνα είναι ανοικτό τότε στο άκρο αυτό η ταχύτητα των σωµατιδίων θα είναι µέγιστη και στο άλλο θα είναι πάλι µηδέν. Οπότε η χαµηλότερη συχνότητα θα έχει µήκος κύµατος τετραπλάσιο του µήκους του σωλήνα (Σχήµα 1-22β): 28

35 v 0 = (1.36) 4L f sound Είναι φανερό ότι ο σωλήνας µε το ένα άκρο του ανοικτό, παράγει µόνο περιττές αρµονικές (αφού πρέπει πάντα στο ανοικτό άκρο να υπάρχει αντικόµβος της ταχύτητας σωµατιδίων). Σχήµα 1-22 (α) Στάσιµα κύµατα σε σωλήνα κλειστό και στα δυο άκρα του και (β) στάσιµα κύµατα σε σωλήνα µε ανοικτό το ένα άκρο. Τέλος θα αναφερθούµε και στα στάσιµα κύµατα που µπορούν να αναπτυχθούν σε χορδές στερεωµένες σε ακλόνητα άκρα. Η χαµηλότερη συχνότητα που µπορεί να διεγερθεί σε χορδή µήκους L είναι: f vwave on string = (1.37) 2L όπου: v - ταχύτητα µετάδοσης της διαταραχής-κύµατος στη χορδή, η οποία δίνεται από τη σχέση: LT wave = (1.38) m v onstring όπου: 29

36 T - τάση της χορδής m - µάζα της χορδής. Στο Σχήµα 1-23 φαίνονται η φυσική συχνότητα και τα πολλαπλάσια της που δηµιουργούνται σε χορδή µήκους L. Σχήµα 1-23 Φυσική συχνότητα και πολλαπλάσια της σε χορδή. Υπάρχει όµως µια σηµαντική διάφορα στην περίπτωση των στάσιµων κυµάτων σε χορδές. Κατά την ανάκλαση ενός οδεύοντος κύµατος στο άκρο της χορδής έχουµε µεταβολή στην φάση κατά Στο Σχήµα 1-24 φαίνονται τα βήµατα για τη δηµιουργία στάσιµου κύµατος σε χορδή. 30

37 Σχήµα 1-24 Βήµατα για τη δηµιουργία στάσιµου κύµατος σε χορδή Απορρόφηση του ηχητικού κύµατος Απορρόφηση ηχητικού κύµατος έχουµε όταν το κύµα συναντήσει µια επιφάνεια µε µέγεθος συγκρίσιµο µε το µήκος κύµατός του, οπότε ένα ποσοστό της ενέργειάς του απορροφάται από τα µόρια του υλικού και µετατρέπεται σε θερµότητα. Η απορρόφηση παίζει πολύ σηµαντικό ρόλο στην ακουστική συµπεριφορά ενός χώρου γι' αυτό και η επιλογή των απορροφητικών υλικών που θα χρησιµοποιηθούν σ αυτόν πρέπει να γίνει µε µεγάλη προσοχή [1]. Τα απορροφητικά υλικά µπορούν να χωριστούν σε τρεις µεγάλες κατηγόριες: α) στα πορώδη, β) τους απορροφητές διαφράγµατος και γ) τους συντονιστές ή αντηχεία Helmholtz. Τα υλικά αυτά, ονοµάζονται παθητικοί απορροφητές και η απορρόφηση που συντελείται σ αυτά οφείλεται σε δυο κυρίως µηχανισµούς. Στην πρώτη περίπτωση, έχουµε µετατροπή της ηχητικής ενέργειας σε θερµική λόγω τριβών κατά την εκτέλεση ταλαντώσεων των µορίων του αέρα µέσα στο απορροφητικό υλικό που είναι συνήθως πορώδες π.χ υαλοβάµβακας, πετροβάµβακας. Σε αυτή τη περίπτωση, έχουµε απορρόφηση κυρίως στις υψηλές συχνότητες. Για την απορρόφηση των χαµηλών συχνοτήτων, χρησιµοποιούµε απορροφητές που βασίζονται στο φαινόµενο του συντονισµού. Τέτοιοι 31

38 είναι οι απορροφητές διαφράγµατος όπου το ηχητικό κύµα διεγείρει προς ταλάντωση τα µόρια του απορροφητικού υλικού, οπότε προσφέρει ενέργεια σε αυτά µε αποτέλεσµα η δική του ενέργεια να ελαττώνεται. Τα αντηχεία Helmholtz ή συντονιστές είναι κατασκευές, οι οποίες επιτυγχάνουν εντυπωσιακά αποτελέσµατα όσον αφορά την απορρόφηση στις χαµηλές συχνότητες [1],[3] ιάχυση ηχητικού κύµατος Η διάχυση του ήχου είναι ιδιαίτερα επιθυµητή σε ένα κλειστό χώρο, καθώς συµβάλει στην οµοιόµορφη κατανοµή του ήχου. Στον παρελθόν η διάχυση αναζητούνταν µε ρυθµίσεις των αναλογιών των δωµατίων, µε στρέβλωση των τοίχων, µε χρήση ηµισφαιρικών, πολυκυλινδρικών, τριγωνικών και άλλων γεωµετρικών προεξοχών καθώς και µε την κατανοµή του απορροφητικού υλικού µέσα σ αυτόν. Σήµερα η χρήση των διαχυτών, διατάξεων που διαχέουν τον ήχο µε τον επιθυµητό τρόπο, έχει δώσει µεγάλη ώθηση στον ακουστικό σχεδιασµό ενός χώρου [1]. Η χρήση ενός υλικού που εµφανίζει µια κυρτή τοµή κυλίνδρου είναι πολύ αποτελεσµατική στην διάχυση του ήχου. Ένα τέτοιο υλικό ονοµάζεται πολυκυλινδρικός διαχυτής και έχει τη δυνατότητα να ανακλά και να διασκορπίζει τον ήχο, να τον απορροφά και τέλος να τον ακτινοβολεί και πάλι. Τέτοια στοιχεία χρησιµοποιούνται σαν απορροφητές στην περιοχή των χαµηλών συχνοτήτων. Το τµήµα του ήχου που δεν απορροφάται, ακτινοβολείται και πάλι λόγω λειτουργίας του παραπάνω υλικού ως διαφράγµατος και αυτό γίνεται σε γωνία περίπου Ένα παρόµοιο επίπεδο στοιχείο επανακτινοβολεί τον ήχο σε µια πολύ µικρότερη γωνία, περίπου Στο Σχήµα 1-25 φαίνεται ένας πολυκυλινδρικος διαχυτής και ένα αντίστοιχο επίπεδο στοιχείο, ενώ στο Σχήµα 1-26 συγκρίνεται η επίδραση που έχει η χρήση ενός απορροφητικού υλικού, ενός ανακλαστικού υλικού και ενός διαχυτή σε ένα ηχητικό κύµα που προσπίπτει σ αυτό [2],[7],[8]. 32

39 Σχήµα 1-25 Πολυκυλινδρικός διαχυτής και αντίστοιχο επίπεδο στοιχείο. Σε περίπτωση που πρόκειται να χρησιµοποιηθούν πολυκυλινδρικοί διαχυτές ως στοιχεία διάχυσης σε ένα κλειστό χώρο, καλό να χρησιµοποιηθούν διάφορα µεγέθη, ώστε η τελική διάταξη να επηρεάζει µια µεγάλη ζώνη συχνοτήτων. Για παράδειγµα ένας τοίχος που καλύπτεται από πολυκυλινδρικούς διαχυτές ίδιων διαστάσεων µπορεί να είναι καλαίσθητος όµως δεν είναι τόσο αποτελεσµατικός στην διάχυση. Η κανονικότητα της κατασκευής θα επηρεάζει µια συγκεκριµένη συχνότητα µε πολύ διαφορετικό τρόπο από ότι άλλες γεγονός που είναι αντίθετο από αυτό που πρέπει να κάνει ο ιδανικός διαχυτής. Σχήµα 1-26 Σύγκριση απόκρισης τριών υλικών κατά την πρόσπτωση ηχητικού κύµατος 33

40 Πεδίο διάχυσης Όταν ένας κλειστός χώρος αποτελείται από επιφάνειες που διαχέουν τον ήχο προς όλες τις κατευθύνσεις τότε ο ήχος ονοµάζεται διάχυτος, ενώ το ηχητικό πεδίο που δηµιουργείται ονοµάζεται πεδίο διάχυσης. Μπορούµε να θεωρήσουµε ότι ένα πεδίο διάχυσης προκύπτει από την υπέρθεση άπειρων επίπεδων κυµάτων που προχωρούν προς όλες τις διευθύνσεις ή ότι προκύπτει από ήχο που έχει υποστεί πολλαπλές ανακλάσεις από λεία επίπεδα τοιχώµατα. Οι Randall και Ward έχουν δώσει κάποια χαρακτηριστικά του πεδίου διάχυσης που βασίζονται στην παρατήρηση και έτσι µας στρέφουν σε πρακτικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να αποφασίσουµε αν ένα ηχητικό πεδίο είναι πεδίο διάχυσης ή όχι. Το πρώτο έχει να κάνει µε τις ανωµαλίες του χώρου που λαµβάνονται από µετρήσεις σταθερής κατάστασης, οι οποίες πρέπει να είναι αµελητέες. Μετρήσεις σταθερής κατάστασης ονοµάζονται είτε οι µετρήσεις στις οποίες έχουµε σταθερή την θέση της πηγής και του µικροφώνου µέτρησης και κάνουµε σάρωση στη συχνότητα µέσα σε µια ζώνη συχνοτήτων, είτε οι µετρήσεις στις οποίες κρατάµε σταθερή τη συχνότητα και µετακινούµε το µικρόφωνο µέτρησης. Και οι δυο µέθοδοι δείχνουν τις αποκλίσεις από ένα οµογενές ηχητικό πεδίο. Έστω για παράδειγµα ότι χρησιµοποιούµε τον πρώτο τρόπο µέτρησης και ότι τοποθετούµε το µεγάφωνο κοντά σε µια τριπλή γωνία του χώρου, το µικρόφωνο στην απέναντι της και σαρώσουµε στη συχνότητα από 30 µέχρι 250Hz και ότι παίρνουµε απόκριση του χώρου σαν αυτή που φαίνεται στο Σχήµα Οι στενές κορυφές υποδηλώνουν ρυθµούς ταλάντωσης του δωµατίου. Οι πλατύτερες κορυφές είναι αποτέλεσµα αρκετών γειτονικών ρυθµών ταλάντωσης. Οι διακυµάνσεις καλύπτουν µια περιοχή περίπου 35dB και είναι ένδειξη ότι δεν υπάρχει καλή διάχυση στο χώρο. Η απόκριση αυτή είναι χαρακτηριστική σε όλους τους χώρους των οποίων η ακουστική συµπεριφορά δεν έχει µελετηθεί. Η επιλογή της τριπλής γωνίας για την τοποθέτηση του µεγαφώνου και συνεπώς την διέγερση του χώρου έγινε γιατί όλοι οι ρυθµοί ταλάντωσης εµφανίζουν µέγιστη ακουστική πίεση 34

41 στις γωνίες του χώρου και σε µια τέτοια µέτρηση πρέπει να εκπροσωπηθούν όλοι οι ρυθµοί ταλάντωσης [1],[8]. Σχήµα 1-27 Απόκριση µετάδοσης ήχου ηµιτονοειδούς κύµατος µε αργή σάρωση σε ένα χώρο. Το δεύτερο χαρακτηριστικό ενός πεδίου διάχυσης είναι ότι οι εξασθενήσεις είναι τέλεια εκθετικές δηλαδή ευθείες σε λογαριθµική κλίµακα. Στο Σχήµα 1-28(α) φαίνεται η µορφή µιας τέτοιας εξασθένισης ενώ στο Σχήµα 1-28(β) απεικονίζεται µια µη εκθετική εξασθένιση. Οι αποκλίσεις από την ευθεία που συνδέει τα δυο άκρα της εξασθένισης, την αρχή και το τέλος, είναι αισθητές. Πολύ συνηθισµένη µορφή εξασθένισης του ήχου είναι αυτή του σχήµατος 1-29 η οποία παρουσιάζει δυο εκθετικές κλίσεις. Η αργή εξασθένιση που τελικά αναλαµβάνει όταν η στάθµη είναι πολύ χαµηλή είναι ίσως ένας ρυθµός ταλάντωσης ή µια οµάδα ρυθµών ταλάντωσης που συναντούν µικρότερη απορρόφηση. Τέτοιες εξασθενίσεις είναι χαρακτηριστικές όταν υπάρχουν ακουστικά συζευγµένοι χώροι. 35

42 Σχήµα 1-28 Τέλεια εκθετική εξασθένιση (α) και µη εκθετική εξασθένιση (β) Σε ένα πεδίο διάχυσης τα διακροτήµατα που εµφανίζονται στις χαρακτηριστικές καµπύλες των εξασθενίσεων είναι αµελητέα. ηλαδή οι διακυµάνσεις µιας καµπύλης εξασθένισης είναι ελάχιστες. Σχήµα 1-29 ιπλή εκθετική εξασθένιση που αποδίδεται σε ακουστικά συζευγµένους χώρους Ένα ακόµη χαρακτηριστικό του πεδίου διάχυσης είναι ότι ο χρόνος αντήχησης είναι ο ίδιος σε όλες τις θέσεις του χώρου. Εφόσον ο χρόνος αντήχησης σχετίζεται µε την εξασθένιση, όταν δεν ισχύει το παραπάνω κριτήριο τότε το ηχητικό πεδίο δεν είναι οµογενές. Τέλος, για ένα διάχυτο ηχητικό πεδίο, ο ρυθµός µείωσης δηλαδή ο χαρακτήρας της εξασθένισης θα είναι ουσιαστικά ο ίδιος για όλες τις συχνότητες ενώ θα είναι ανεξάρτητος από τα κατευθυντικά 36

43 χαρακτηριστικά του µικροφώνου µέτρησης. Σε ένα τελείως οµογενές πεδίο ένα εξαιρετικά κατευθυντικό µικρόφωνο στραµµένο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση θα λαµβάνει σταθερό σήµα για σταθερή διέγερση του χώρου [1],[8] Σχήµα δωµατίου για µέγιστη διάχυση Υπάρχουν πολλά δυνατά σχήµατα δωµατίων. Οι τοίχοι µπορεί να είναι στρεβλοί, οι οροφές να έχουν κλίση, να χρησιµοποιούνται κυλινδρικά ή και πολυγωνικά σχήµατα. Μερικά από αυτά απορρίπτονται καθώς εστιάζουν τον ήχο πράγµα που είναι ανεπιθύµητο. Τα ορθογώνια δωµάτια έχουν επικρατήσει καθώς είναι οικονοµικές κατασκευές και έχουν αρκετά ακουστικά πλεονεκτήµατα. Οι αξονικοί, εφαπτοµενικοί και πλάγιοι ρυθµοί ταλάντωσης µπορούν να υπολογιστούν µε µικρή προσπάθεια και να µελετηθεί η κατανοµή τους. Έτσι σηµαντικό ρόλο παίζουν οι σχετικές αναλογίες µήκους, πλάτους και ύψους του δωµατίου. Τα κυβικά δωµάτια πρέπει να αποφεύγονται γιατί όλοι οι αξονικοί ρυθµοί ταλάντωσης και στις τρεις διαστάσεις δηλαδή µήκος, πλάτος και ύψος, συµπίπτουν. Το γεγονός αυτό παράγει µια τριπλή σύµπτωση σε κάθε συχνότητα και µεγάλα διάκενα ενδιάµεσα. Αυτό που θέλουµε είναι οι αποστάσεις µεταξύ των ρυθµών ταλάντωσης να είναι όσο το δυνατόν οµογενείς. Σχήµα 1-30 Περιοχή βέλτιστων αναλογιών διαστάσεων ενός χώρου του Bolt 37

44 Κατά καιρούς έχουν δοθεί πολλές «ευνοϊκές» αναλογίες για τις διαστάσεις του δωµατίου από διάφορους µελετητές. Οι αναλογίες 2: 3: 5 του Volkmann χρησιµοποιούνταν µέχρι πριν πενήντα χρόνια. Ο Boner πρότεινε τις αναλογίες 1: 1,26: 1,59 ως άριστες ενώ ένα κριτήριο που χρησιµοποιείται συχνά είναι η «περιοχή Bolt». Αν ένας χώρος έχει αναλογίες που βρίσκονται µέσα στην περιοχή αυτή, τότε σύµφωνα µε τον Bolt, η απόκριση του στις χαµηλότερες συχνότητες έχει πολύ ικανοποιητική καµπύλη απόκρισης. Στο Σχήµα 1-30 φαίνεται η περιοχή Bolt, ενώ έχουν σηµειωθεί µε τα γράµµατα B και V οι αναλογίες των Boner και Volkmann αντίστοιχα [1],[8] Παράλληλοι τοίχοι Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δυο παράλληλους ανακλαστικούς τοίχους άπειρων διαστάσεων και ένα µεγάφωνο που εκπέµπει ροζ θόρυβο το οποίο βρίσκεται µεταξύ αυτών όπως στο Σχήµα Τα ανακλώµενα ηχητικά κύµατα συµβάλουν µε τα προσπίπτοντα και έτσι σχηµατίζονται στάσιµα κύµατα. Το σύστηµα τοίχος-αέρας-τοίχος εµφανίζει συντονισµό σε µια συχνότητα f0 = 344/ 2L όπου L είναι η απόσταση των δυο τοίχων σε µέτρα και 343 η ταχύτητα του ήχου σε µέτρα ανά δευτερόλεπτο. Παρόµοιοι συντονισµοί εµφανίζονται και σε συχνότητες 2f 0, 3f0, 4f0 κ.λ.π. στο φάσµα. Η θεµελιώδης συχνότητα f 0 θεωρείται φυσική συχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος και συνοδεύεται από ένα συρµό συχνοτήτων, δηλαδή τις 2f 0, 3f0, 4f0 για τις οποίες το σύστηµα εµφανίζει επίσης συντονισµούς. Όλοι αυτοί οι συντονισµοί ονοµάζονται ρυθµοί ταλάντωσης ή φυσικές συχνότητες ή ιδιοσυχνότητες [1],[4]. Αν οι δυο τοίχοι απέχουν L=5m µεταξύ τους, τότε οι πέντε πρώτοι ρυθµοί ταλάντωσης είναι: n fn 34,3 68,6 102,9 137,2 171,5 38

45 Σχήµα 1-31 Συντονισµός σε παράλληλους τοίχους για την θεµελιώδη συχνότητα f0 και τα πολλαπλάσια της Στο Σχήµα 1-32 απεικονίζονται οι δυο πρώτοι ρυθµοί ταλάντωσης για δυο τοίχους που απέχουν L=5m µεταξύ τους για διάφορες θέσεις της πηγής ήχου. Όπως παρατηρούµε, καθώς η πηγή µετακινείται µεταξύ των τοίχων, η απόκριση του χώρου, η οποία δηλώνεται µε το πλάτος της πίεσης του στάσιµου κύµατος, γίνεται µέγιστη όταν η πηγή βρίσκεται σε σηµείο που είναι αντικόµβος για την συγκεκριµένη συχνότητα. Επίσης παρατηρούµε ότι το µέγιστο πλάτος πίεσης είναι διπλάσιο του πλάτους της πίεσης στην πηγή. Αυτό συµβαίνει γιατί έχουµε συµβολή κυµάτων που βρίσκονται σε φάση. Σχήµα 1-32 Μεταβολή του πλάτους των στάσιµων κυµάτων που δηµιουργούνται µεταξύ παράλληλων τοίχων για L=5m καθώς µετακινείται η πηγή 39

46 Τέλος, διαπιστώνουµε ότι όταν η πηγή τοποθετηθεί σε ένα σηµείο που είναι κόµβος για την συγκεκριµένη συχνότητα, η απόκριση του συστήµατος πέφτει στο µηδέν. Στην περίπτωση αυτή έχουµε καταστρεπτική συµβολή ή αλλιώς αναίρεση των δύο τύπων κυµάτων (προσπίπτοντα και ανακλώµενα) και όσο και να αυξήσουµε την ένταση του ήχου αυτό δεν επιφέρει καµία αλλαγή. Για λόγους σύγκρισης παραθέτουµε στο Σχήµα 1-33 τη διέγερση του ίδιου συστήµατος αλλά µε συχνότητα που δεν είναι ρυθµός ταλάντωσης. Έτσι για παράδειγµα στα 51 Hz δεν δηµιουργούνται στάσιµα κύµατα και τα µέγιστα της πίεσης δεν ξεπερνούν το πλάτος της πίεσης της πηγής. Το µέγιστο της πίεσης τώρα µετακινείται µαζί µε την πηγή. Σχήµα 1-33 Απόκριση του ίδιου συστήµατος όταν αυτό διεγείρεται από συχνότητα που δεν είναι φυσική συχνότητα ταλάντωσης (51Hz) Ορθογώνιοι χώροι Αν στο προηγούµενο παράδειγµα προσθέσουµε αλλά δυο κάθετα ζευγάρια τοίχων ώστε να σχηµατιστεί ένας ορθογώνιος χώρος, προσθέτουµε και δυο επιπλέον συστήµατα συντονισµού, που το καθένα έχει τις δικές του σειρές ρυθµών ταλάντωσης. Στην πραγµατικότητα βέβαια η κατάσταση είναι περισσότερο πολύπλοκη. Αυτό που εξετάσαµε µέχρι στιγµής, ήταν η περίπτωση των παράλληλων τοίχων η οποία αντιπροσωπεύει τους αξονικούς ρυθµούς ταλάντωσης που αφορούν πάντα δυο µόνο απέναντι και παράλληλες επιφάνειες. Επειδή σε ένα ορθογώνιο δωµάτιο υπάρχουν τρεις άξονες, υπάρχουν τρεις θεµελιώδεις αξονικές συχνότητες, που η κάθε µια από αυτές συνοδεύεται απ τον δικό της συρµό ρυθµών ταλάντωσης. Οι αξονικοί ρυθµοί ταλάντωσης έχουν την µεγαλύτερη συνεισφορά στις ακουστικές 40

47 ιδιότητες ενός χώρου. Εκτός όµως από αυτούς υπάρχουν οι εφαπτοµενικοί ρυθµοί ταλάντωσης οι οποίοι αφορούν τέσσερις επιφάνειες, και οι πλάγιοι ρυθµοί ταλάντωσης που αφορούν και τις έξι επιφάνειες του χώρου (Σχήµα 1-34). Σχήµα 1-34 (α) Απεικόνιση αξονικών, (β) εφαπτοµενικών και (γ) πλάγιων ρυθµών ταλάντωσης του ορθογωνίου δωµατίου. Οι εφαπτοµενικοί ρυθµοί ταλάντωσης σχηµατίζονται από τέσσερα κινούµενα κύµατα που ανακλώνται σε τέσσερις επιφάνειες και κινούνται παράλληλα σε δυο άλλες. Έχουν µόνο την µίση ενέργεια ταλάντωσης των αξονικών ρυθµών όπως θα δούµε παρακάτω, αλλά η επίδραση τους στην ακουστική συµπεριφορά είναι σηµαντική. Κάθε εφαπτοµενικός ρυθµός ταλάντωσης έχει και αυτός τον δικό του συρµό ρυθµών ταλάντωσης. Οι πλάγιοι ρυθµοί ταλάντωσης αφορούν οκτώ κινούµενα κύµατα που ανακλώνται και από τους έξι τοίχους του χώρου. Οι πλάγιοι ρυθµοί έχουν µόνο το ένα τέταρτο της ενέργειας των αξονικών ρυθµών και είναι λιγότερο σηµαντικοί από τους άλλους δυο [1],[7],[8]. Σε ένα ορθογώνιο χώρο µε διαστάσεις L (length=µήκος), W (width=πλάτος), Η (height=ύψος) οι επιτρεπόµενες συχνότητες που αντιστοιχούν στους ρυθµούς ταλάντωσης του χώρου δίνονται από την σχέση [2],[3]: c p q r f = + + (1.39) 2 L W H 41

48 όπου: c - ταχύτητα του ήχου σε m/sec L, W, H - µήκος, πλάτος, ύψος του χώρου σε m p, q, r - ακέραιοι 0, 1, 2, 3. Η παραπάνω εξίσωση δίνει τη συχνότητα κάθε αξονικού, εφαπτοµενικού και πλάγιου ρυθµού ταλάντωσης για τον ορθογώνιο χώρο. Οι ακέραιοι αριθµοί p, q, r καθορίζουν τον κάθε ρυθµό ταλάντωσης και τον χαρακτηρίζουν σαν αξονικό, εφαπτοµενικό ή πλάγιο. Έτσι αν είναι p=1, q=0 και r=0 ή για συντοµία 1,0,0 απαλείφονται οι όροι µε το πλάτος και το ύψος και η εξίσωση γίνεται: f 2 c p c 172 = = = (1.40) 2 L 2L L Η εξίσωση δίνει την συχνότητα του αξονικού ρυθµού ταλάντωσης που αντιστοιχεί στο µήκος του δωµατίου. Οι αξονικοί ρυθµοί ταλάντωσης για το πλάτος και το ύψος είναι 0,1,0 και 0,0,1 αντίστοιχα. Γενικά αν δυο από τους ακέραιους αριθµούς είναι µηδέν, έχουµε αξονικό ρυθµό ταλάντωσης. Αν υπάρχει µόνο ένα µηδενικό τότε έχουµε εφαπτοµενικό ρυθµό, ενώ κανένα µηδενικό καθορίζει πλάγιο ρυθµό ταλάντωσης. Οι αριθµοί p, q, r µπορούν να είναι µόνο ακέραιοι αριθµοί γιατί µόνο τότε ικανοποιείται η συνθήκη για την δηµιουργία στάσιµων κυµάτων. Στον Πίνακας 1-1 αναγράφονται οι 25 πρώτοι ρυθµοί ταλάντωσης για ένα τυπικό µικρό δωµάτιο µε διαστάσεις L=3,80m W=3,50m H=2,40m οι οποίοι προκύπτουν από την εφαρµογή της εξίσωσης (1.39). Η µικρότερη φυσική συχνότητα του δωµατίου (1,0,0) είναι αυτή που έχει σχέση µε το µήκος του δωµατίου L και είναι 45,3Ηz. Κάτω από αυτή δεν υπάρχει ενίσχυση λόγω συντονισµού. Ο ρυθµός 2,0,0 δίνει συχνότητα ταλάντωσης 90,7Hz και ο ρυθµός 3,0,0 συχνότητα 136Hz. Μεταξύ όµως αυτών παρεµβάλλονται τόσο εφαπτοµενικοί και πλάγιοι ρυθµοί όσο και πολλαπλάσια τους, οι οποίοι επηρεάζουν την ακουστική συµπεριφορά του χώρου αν και είναι ασθενέστεροι. 42

49 Ο κάθε ρυθµός ταλάντωσης έχει την δικιά του καµπύλη συντονισµού (Σχήµα 1-35). ηλαδή κάθε ρυθµός έχει ορισµένο πλάτος συχνοτήτων το οποίο ορίζεται από την σχέση: Πλάτος ζώνης συχνοτήτων = 2.2 f 2 f1= (1.41) RT 60 όπου: RT60 ο χρόνος αντήχησης σε sec. Α/Α ρυθµός ταλάντωσης Ακέραιοι p, q, r Συχνότητα (Hz) Αξονικός Εφαπτοµενικός Πλάγιος 1 1,0,0 45,3 X 2 0,1,0 19,5 X 3 1,1,0 67,1 X 4 0,0,1 71,5 X 5 1,0,1 84,7 X 6 0,1,1 87,0 X 7 2,0,0 90,7 X 8 2,0,1 90,7 X 9 1,1,1 98,1 X 10 0,2,0 98,9 X 11 2,1,0 103,3 X 12 1,2,0 108,8 X 13 0,2,1 122,1 X 14 0,1,2 122,1 X 15 2,1,1 125,6 X 16 1,2,1 130,2 X 17 2,2,0 134,2 X 18 3,0,0 136,0 X 19 0,0,2 143,0 X 20 3,1,0 144,8 X 21 0,3,0 148,4 X 22 2,2,1 152,1 X 23 3,0,1 153,7 X 24 1,12 158,0 X 25 3,1,1 161,5 X Πίνακας 1-1 Ρυθµοί ταλάντωσης για τυπικό δωµάτιο µε διαστάσεις 3,80x3,50x2,40. 43

50 Παρατηρούµε ότι το πλάτος ζώνης συχνοτήτων είναι αντιστρόφως ανάλογο από τον χρόνο αντήχησης. Αυτό σηµαίνει ότι οι γειτονικοί ρυθµοί έχουν τάση να υπερκαλύπτονται σε ένα χώρο µε µικρό χρόνο αντήχησης. Όσο µεγαλύτερη λοιπόν είναι η απορρόφηση τόσο µικρότερος είναι ο χρόνος αντήχησης, οπότε τόσο φαρδύτερος είναι ο συντονισµός του ρυθµού ταλάντωσης. Μια αναλογία για να θυµόµαστε εύκολα το προηγούµενο βρίσκουµε στα ηλεκτρικά κυκλώµατα. Η ποσότητα της αντίστασης σε ένα κύκλωµα καθορίζει την οξύτητα του συντονισµού. Όσο µεγαλύτερη είναι η αντίσταση, τόσο φαρδύτερη είναι η καµπύλη συντονισµού. Στην ακουστική χώρων µπορούµε να συσχετίσουµε την απορρόφηση µε την αντίσταση. Σχήµα 1-35 Πλάτος ζώνης συχνοτήτων Το πλάτος ζώνης συχνοτήτων ορίζεται ως η περιοχή µεταξύ των σηµείων όπου η πίεση του ήχου πέφτει 3dB από την µέγιστη και για ένα συνηθισµένο στούντιο ή µικρό δωµάτιο κυµαίνεται γύρω στα 5Hz. Στο Σχήµα 1-36 έχουν σχεδιαστεί οι ρυθµοί ταλάντωσης του πίνακα 1-1 για συχνότητες από 40Hz µέχρι 100Hz. Καθώς οι «παρυφές» των ρυθµών ταλάντωσης υπερκαλύπτονται, η ενεργοποίηση του ενός ρυθµού, για παράδειγµα του Α στην συχνότητα του, θα εξαναγκάσει και τον ρυθµό Β σε διέγερση. Όταν µετά αποµακρυνθεί η διέγερση του Α, η ενέργεια που έχει αποθηκευτεί στον Β θα εξασθενήσει στην δική του συχνότητα. Έτσι κατά τη διάρκεια εξασθένησης, οι δυο ρυθµοί ταλάντωσης παρουσιάζουν 44

51 διακροτήµατα µεταξύ τους. Οι ρυθµοί ταλάντωσης του σχήµατος 1-36 έχουν πλάτος ζώνης συχνοτήτων 6Hz στα σηµεία 3dB [1]. Ας θεωρήσουµε ότι οι αξονικοί ρυθµοί, που όπως είπαµε παίζουν τον σηµαντικότερο ρόλο στην ακουστική συµπεριφορά ενός χώρου, έχουν τις κορυφές τους στο µηδέν (Σχήµα 1-36). Οι εφαπτοµενικοί ρυθµοί, έχουν µόνο την µίση ενέργεια των αξονικών (Α/2) και γι αυτό οι κορυφές τους θα βρίσκονται σε στάθµη 10log(1/2) = 3dB κάτω από τις κορυφές των αξονικών. Οι πλάγιοι ρυθµοί έχουν το ένα τέταρτο της ενέργειας των αξονικών (Α/4) και γι αυτό θα έχουν στάθµη 10log(1/4) = 6dB κάτω από την στάθµη των αξονικών (ρυθµός ταλάντωσης C στο Σχήµα 1-36). Η καµπύλη D δηλώνει την απόκριση του χώρου η οποία είναι η συλλογική συνεισφορά όλων των ρυθµών ταλάντωσης. Πρέπει να τονίσουµε ότι οι ρυθµοί ταλάντωσης που βρίσκονται κοντά µεταξύ τους όταν βρίσκονται σε φάση θα ενισχύουν την απόκριση του δωµατίου. Σχήµα 1-36(Α) Αξονικοί, (Β) εφαπτοµενικοί, (C) πλάγιοι ρυθµοί ταλάντωσης και (D) αλληλεπίδραση αυτών. 45

52 Η πυκνότητα των ρυθµών ταλάντωσης αυξάνει µε την συχνότητα. Αυτό µπορούµε να το συµπεράνουµε και από τον Πίνακας 1-1. Στην οκτάβα 45Hz έως 90Hz υπάρχουν µόνο 8 ρυθµοί ταλάντωσης ενώ στην επόµενη οκτάβα 90Hz µέχρι 180Hz υπάρχουν τουλάχιστον 20 ρυθµοί ταλάντωσης. Όταν ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των ρυθµών ταλάντωσης µέχρι µια συγκεκριµένη συχνότητα για ένα χώρο µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την παρακάτω προσεγγιστική σχέση: 3 2 4π f V π f Α f L N = + + (1.42) c c c όπου: Α=2(lxly +lylz+lzlx ) η ολική επιφάνεια του χώρου L=4(lx+ly+lz) το άθροισµα των ακµών V=lxlylz ο όγκος του χώρου Όταν η συχνότητα είναι µεγάλη ο τύπος αυτός ισχύει για χώρους µε οποιοδήποτε σχήµα και όχι µόνο για ορθογώνιους. Το γεγονός αυτό είναι αναµενόµενο, καθώς µπορούµε να θεωρήσουµε ότι κάθε χώρος αποτελείται από ένα µεγάλο πλήθος στοιχειωδών ορθογωνίων χώρων. Όταν οι ρυθµοί ταλάντωσης απέχουν µηδενική απόσταση µεταξύ τους, δηλαδή συµπίπτουν, τότε αυτό µπορεί να αποτελεί την αιτία χρωµατισµών (coloration). Η χρωµατισµοί καθορίζουν κατά ένα µεγάλο µέρος την ποιότητα του ήχου και γενικά είναι ανεπιθύµητοι. Στην περιοχή D του σχήµατος 1-36 υπάρχει πολύ µεγάλη πυκνότητα ρυθµών ταλάντωσης οπότε οι συχνότητες των ρυθµών ταλάντωσης ενός δωµατίου είναι τόσο κοντά ώστε έχουν την τάση να συγχωνεύονται και να βοηθούν χωρίς απώλεια. Στις περιοχές όµως Β και C και ειδικότερα κάτω από τα 300Hz οι αποστάσεις µεταξύ των ρυθµών ταλάντωσης είναι µεγαλύτερες και έτσι εµφανίζονται προβλήµατα [1],[8]. Σύµφωνα µε τον Gilford ένας αξονικός ρυθµός που απέχει περισσότερα από 20 Hz από τον επόµενο αξονικό ρυθµό ταλάντωσης θα έχει την τάση να είναι αποµονωµένος ακουστικά. εν θα διεγείρεται µέσω σύζευξης λόγω επικαλυπτόµενων ορίων µε γειτονικούς ρυθµούς και γενικώς θα ενεργεί ανεξάρτητα. Στην περίπτωση αυτή µπορεί να µπορεί να 46

53 αντιδράσει σε µια συνιστώσα σήµατος (ήχου) που βρίσκεται κοντά στην δική του συχνότητα και να δώσει σ αυτή τη συνιστώσα µια αδικαιολόγητα µεγάλη ενίσχυση. Ο Bonello έχει δώσει ένα άλλο κριτήριο για τις αποστάσεις µεταξύ των ρυθµών το οποίο αφορά και τους τρεις ρυθµούς ταλάντωσης. Αναφέρει ότι είναι επιθυµητό να απέχουν οι ρυθµοί ταλάντωσης µε τους γειτονικούς τους µια απόσταση τουλάχιστον 5% µακριά από την συχνότητα τους. Για το κριτήριο του Bonello υπάρχει και άλλη διατύπωση σύµφωνα µε την οποία κάθε 1/3 οκτάβας θα πρέπει να έχει περισσότερους ρυθµούς ταλάντωσης από το προηγούµενο, ή τουλάχιστον τον ίδιο αριθµό. εν πρέπει να υπάρχουν συµπτώσεις ρυθµών εκτός αν στην ζώνη του 1/3 οκτάβας περιέχονται πάνω από 5 ρυθµοί. Κάθε ρυθµός ταλάντωσης εξασθενεί µε τον δικό του τρόπο. Συνήθως όµως εξετάζουµε την εξασθένιση σε ζώνες οκτάβας. Κάθε εξασθένιση από ζώνες οκτάβας αφορά ένα αποτέλεσµα που οφείλεται στην δράση πολλών ρυθµών ταλάντωσης. Όσο µεγαλύτερη είναι η κεντρική συχνότητα της οκτάβας, τόσο µεγαλύτερο το πλήθος ρυθµών που περιλαµβάνονται. Σχήµα 1-37 Εξασθενίσεις ρυθµών ταλάντωσης σε δωµάτιο δοκιµών όταν η διέγερση είναι τόνος (α-δ) και ζώνη οκτάβας(ε). Στις περιπτώσεις (β) και (γ) διακρίνονται διακροτήµατα ενώ στην περίπτωση (δ) η διπλή κλίση της εξασθένισης. 47

54 Οι ρυθµοί ταλάντωσης δεν εξασθενούν µε την ίδια ταχύτητα και σε αυτό συµβάλουν πολλοί παράγοντες. Η εξασθένηση ενός συγκεκριµένου ρυθµοί εξαρτάται µεταξύ άλλων και από την κατανοµή του απορροφητικού υλικού στον χώρο. Έτσι αν υποθέσουµε ότι υπάρχει ένα χαλί στο πάτωµα ενός χώρου αυτό δεν θα επηρεάζει τους αξονικούς ρυθµούς 1,0,0 και 0,1,0 αλλά µόνο τον 0,0,1. Θα περιµέναµε ότι οι εφαπτοµενικοί και πλάγιοι ρυθµοί να εξασθενούν γρηγορότερα από τους αξονικούς που χτυπούν µόνο σε δυο επιφάνειες. Από την άλλη όµως οι αξονικοί ρυθµοί χτυπούν κάθετα στις επιφάνειες και έτσι η απορρόφηση είναι µεγαλύτερη από ότι στις άλλες δυο οµάδες ρυθµών που χτυπούν µε µικρές γωνίες. ιαπιστώνουµε λοιπόν ότι δεν υπάρχει γενικός κανόνας για την εξασθένιση των ρυθµών ταλάντωσης καθώς αυτή εξαρτάται από τις εκάστοτε συνθήκες. Στο Σχήµα 1-37 (α)-(δ) φαίνονται οι εξασθενίσεις σε ένα δωµάτιο δοκιµών όταν χρησιµοποιούνται τόνοι για διέγερση. Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι οι ξεχωριστοί ρυθµοί ταλάντωσης εξασθενούν µόνοι τους δίνοντας οµαλά, λογαριθµικά ίχνη. Τα διακροτήµατα που εµφανίζονται σε κάποιες εξασθενίσεις (β, γ) είναι αποτέλεσµα γειτονικών ρυθµών ταλάντωσης ενώ η διπλή κλίση της εξασθένισης στα 240Hz αποκαλύπτει την εξασθένιση, αρχικά, ενός προέχοντος ρυθµού για τα πρώτα 20 db, µετά τα οποία επικρατούν ένας ή περισσότεροι ρυθµοί ταλάντωσης οι οποίοι συναντούν µικρότερη απορρόφηση. Στο Σχήµα 1-37(ε) ο ίδιος χώρος διεγείρεται από ζώνη οκτάβας ροζ θορύβου. Η εξασθένιση σε αυτή την περίπτωση είναι η µέση εξασθένιση όλων των ρυθµών ταλάντωσης στις ζώνες αυτές. Κανονικά θα έπρεπε για κάθε ζώνη να πάρουµε πολλές εξασθενίσεις και να βγάλουµε στατιστικά αποτελέσµατα, γιατί η µορφή της καθεµίας εξαρτάται, από την στιγµή την οποία θα ανοίξει ο διακόπτης για να ξεκινήσει η εξασθένιση[1]. 48

55 Κεφάλαιο 2 ο Τεχνικές Ακουστικής Μοντελοποίησης

56 2. Τεχνικές Ακουστικής Μοντελοποίησης 2.1 Εισαγωγή Στην ακουστική, όπως και σε άλλους τοµείς της Φυσικής τίθεται το ερώτηµα εάν τα φαινόµενα µπορούν να περιγραφούν µε τη θεωρία των σωµατιδίων ή µε τη κυµατική θεωρία. Ένα κυµατικό µοντέλο για τη διάδοση του ήχου οδηγεί συνήθως σε µεθόδους επίλυσης της κυµατικής εξίσωσης. Τέτοιες µέθοδοι είναι η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM) όπως και αυτή των οριακών στοιχείων (Boundary Element Method) και ανήκουν στην κατηγορία των αριθµητικών µεθόδων. Τα κυµατικά µοντέλα χαρακτηρίζονται από τη παραγωγή πολύ σωστών αποτελεσµάτων σε ξεχωριστές συχνότητες και όχι σε οκταβικές µπάντες όπως συνήθως προτιµούνται σε πραγµατικές εφαρµογές. Ένα ακόµα πρόβληµα είναι ότι ο αριθµός των ιδιοσυχνοτήτων ενός χώρου αυξάνεται µε τη τρίτη δύναµη της συχνότητας κάτι το οποίο σηµαίνει ότι για πρακτική εφαρµογή τα κυµατικά µοντέλα χρησιµοποιούνται στις χαµηλές συχνότητες και σε µικρούς χώρους. Μια άλλη δυνατότητα περιγραφής της διάδοσης του ήχου είναι η µέθοδος των σωµατιδίων που κινούνται κατά µήκος ακτινών ήχου. Αυτά τα γεωµετρικά µοντέλα εφαρµόζονται στις υψηλές συχνότητες και σε µεγάλους και περίπλοκους χώρους. Οι δύο κλασικές γεωµετρικές µέθοδοι που χρησιµοποιούνται είναι η µέθοδος της ακτινικής ανίχνευσης (Ray Tracing Method) και η µέθοδος των εικονικών πηγών (Image Source Method). Σε αυτές τις δύο µεθόδους το πρόβληµα είναι ότι τα γεωµετρικά µοντέλα δηµιουργούν ανακλάσεις υψηλής τάξης που είναι πιο σωστό από αυτό που θα ήταν δυνατόν να δηµιουργήσει ένα πραγµατικό ηχητικό κύµα. Εποµένως τα σωστά γεωµετρικά µοντέλα θα πρέπει να περιορίζονται σε ανακλάσεις χαµηλής τάξης και θα πρέπει να καθιερωθεί κάποιου είδους στατιστική προσέγγιση για να µοντελοποιηθούν οι ανακλάσεις υψηλής τάξης. Ένας τρόπος για να περιβληθεί η κυµατική φύση του ήχου σε γεωµετρικά µοντέλα είναι αποδίδοντας ένα συντελεστή διασποράς σε κάθε επιφάνεια. Με αυτόν τον τρόπο η ανάκλαση από µια επιφάνεια µπορεί να 50

57 τροποποιηθεί από µια απλή κατοπτρική συµπεριφορά σε µια, λίγο ή πολύ, συµπεριφορά διάχυσης η οποία έχει αποδειχθεί πολύ σηµαντική για την ανάπτυξη µοντέλων στον υπολογιστή που µπορούν να παράγουν αξιόπιστα αποτελέσµατα [5]. 2.2 Αριθµητικές µέθοδοι Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων (Τhe Finite Element Method) Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων είναι µια ισχυρή αριθµητική µέθοδος που στον τοµέα της ακουστικής, χρησιµοποιείται για την ανάλυση της συµπεριφοράς των ηχητικών κυµάτων σε κλειστούς χώρους. Πρωτοεµφανίστηκε στις αρχές τις δεκαετίας του 40 και σηµείωσε εντυπωσιακή άνοδο που οφείλεται κυρίως στην ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών και των συστηµάτων CAD [9]. Θεµελιώδης αρχή της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων είναι ότι οποιαδήποτε συνεχής ποσότητα µπορεί να προσεγγιστεί από ένα διακριτό µοντέλο που αποτελείται από τµηµατικά συνεχείς συναρτήσεις που ορίζονται σε έναν αριθµό πεπερασµένων στοιχείων. Έτσι η διακριτοποίηση µιας οποιασδήποτε περίπλοκης γεωµετρίας σε µικρά γεωµετρικά σχήµατα που ονοµάζονται πεπερασµένα στοιχεία αποτελεί το κύριο γνώρισµα της FEM [9]. Στην ακουστική, χρησιµοποιείται εκτεταµένα σήµερα λόγω της ευκολίας εφαρµογής της σε περίπλοκες γεωµετρίες και για το γεγονός ότι µπορεί να εισαχθεί απορρόφηση στις γύρω επιφάνειες. Τα βασικά βήµατα της µεθόδου είναι η κατασκευή του προς µελέτη µοντέλου, η πλεγµατοποίηση, ο ορισµός των οριακών συνθηκών και η επίλυση του µεγάλου συστήµατος εξισώσεων που προκύπτει. Θα πρέπει να τονίσουµε ότι η πλεγµατοποίηση αποτελεί πολύ σηµαντικό βήµα της µεθόδου καθώς η ποιότητα της σχετίζεται µε την ποιότητα και την ακρίβεια των αποτελεσµάτων. Στο Κεφάλαιο 3 που ακολουθεί γίνεται πιο εκτεταµένη ανάλυση της µεθόδου τόσο σε θεωρητικό επίπεδο όσο και σε µαθηµατικό. 51

58 2.2.2 Η µέθοδος των οριακών στοιχείων (The Boundary Element Method) Στον τοµέα της ακουστικής η Boundary Element Method (BEM) είναι µια αριθµητική µέθοδος για τον υπολογισµό του ακουστικού πεδίου που ακτινοβολείται από ένα σώµα. Αυτή η µέθοδος χρησιµοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1977 και βασίζεται στις οριακές ολοκληρωτικές εξισώσεις οι οποίες είχαν ανακαλυφθεί παλαιότερα. Παρ όλ αυτά απαιτείται συγκεκριµένη διαµόρφωση και αρκετή υπολογιστική προσπάθεια για να επιτευχθεί η επιθυµητή λύση, ιδιαίτερα σε πιο πολύπλοκες γεωµετρίες. Βασική διαφορά της µεθόδου των οριακών στοιχείων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων είναι ότι η διακριτοποίηση περιορίζεται µόνο στο σύνορο του χώρου. Κύρια πλεονεκτήµατα αυτής της µεθόδου είναι [6]: Επειδή η διακριτοποίηση περιορίζεται στο σύνορο, η ΒΕΜ καθιστά την αριθµητική προσοµοίωση εύκολη και περιορίζει το πλήθος των αγνώστων κατά µία τάξη. Για απείρως εκτεινόµενα χωρία, το πρόβληµα διατυπώνεται ως εξωτερικό χωρίς να παρουσιάζει ιδιαίτερη δυσκολία. Φυσικά η θεµελιώδης λύση θα πρέπει να ικανοποιεί ορισµένες συνθήκες στο άπειρο π.χ. συνθήκη ακτινοβολίας του Sommerfield για δυναµικά προβλήµατα. Έτσι προγράµµατα υπολογιστή που είναι γραµµένα για πεπερασµένα χωρία, µε µικρή προσαρµογή, λύνουν προβλήµατα σε απείρως εκτεινόµενα χωρία. Αυτό δεν συµβαίνει µε την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων. Επιτρέπει τον υπολογισµό της λύσεως και των παραγώγων της σ όποια σηµεία µας ενδιαφέρουν και όποτε θέλουµε χρησιµοποιώντας την ολοκληρωτική παράσταση της λύσεως ως µαθηµατικό τύπο. Αυτό δεν είναι δυνατόν µε την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων, όπου η λύση λαµβάνεται µόνο στα κοµβικά σηµεία. Προσφέρεται για την επίλυση προβληµάτων σε χωρία µε γεωµετρικές ανωµαλίες, όπως ρωγµές. 52

59 2.2.3 Βασικές διαφορές µεταξύ FEM και BEM Σε γενικές γραµµές οι διαφορές των δύο παραπάνω µεθόδων είναι [6]: Η FEM µπορεί να χρησιµοποιηθεί για µη γραµµικά προβλήµατα όπως όταν η ηχητική πίεση είναι πολύ υψηλή ή όταν η ακουστική περιοχή είναι µη οµογενής. Η ΒΕΜ στην γενική της µορφή περιορίζεται σε γραµµικά και οµογενή προβλήµατα. Παρ όλ αυτά µια παραλλαγή της ΒΕΜ που αναφέρεται ως multidomain BEM ξεπερνάει αυτόν τον περιορισµό για πολλά προβλήµατα πρακτικού ενδιαφέροντος. Στα περισσότερα προβλήµατα ακτινοβολίας η ΒΕΜ προτιµάται έναντι της FEM. Με τη FEM, για να επιλυθεί κάποιο πρόβληµα θα πρέπει να διαχωριστεί ολόκληρη η ακουστική περιοχή σε τρισδιάστατα στοιχεία (elements) κάτι το οποίο δεν συνίσταται καθώς οδηγεί σε µεγάλο αριθµό στοιχείων και επιπλέον οδηγεί σε σφάλµα αφού δεν είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί µια άπειρη περιοχή µε ένα πεπερασµένο µοντέλο χρησιµοποιώντας FEM. Με άλλα λόγια σηµαντικό πλεονέκτηµα της ΒΕΜ έναντι της FEM ότι είναι πιο απλή και οδηγεί και αυτή σε σηµαντική ακρίβεια Πεπερασµένα στοιχεία (Finite elements) Όπως προαναφέραµε µπορούµε να οδηγηθούµε σε λύση κάποιου προβλήµατος µε τις δύο παραπάνω αριθµητικές µεθόδους χωρίζοντας είτε το συνολικό χώρο είτε την οριακή επιφάνεια σε έναν αριθµό από στοιχεία, επιφανείας και όγκου, και σε ένα αριθµό από κόµβους. Καθώς η τεχνολογία των στοιχείων αναπτύχθηκε οι µέθοδοι εξαπλώθηκαν για να προσαρµόσουν ισοπαραµετρικά στοιχεία. Ισοπαραµετρικά στοιχεία είναι αυτά στα οποία το πλήθος των κόµβων που χρησιµοποιούνται σε κάθε στοιχείο για τον προσδιορισµό της γεωµετρίας του είναι ίσος µε το πλήθος των κόµβων που χρησιµοποιούνται για τον προσδιορισµό της άγνωστης συνάρτησης. Με τα ισοπαραµετρικά στοιχεία χρησιµοποιούνται τα ίδια πολυώνυµα για να προσεγγίσουν το σχήµα της επιφανείας και την 53

60 διακύµανση των ακουστικών µεταβλητών των στοιχείων. Τα στοιχεία µπορούν να κατανεµηθούν ανάλογα µε την σειρά και το σχήµα τους. Τα γραµµικά στοιχεία είναι αυτά στα οποία η γεωµετρία και οι ακουστικές µεταβλητές (ακουστική πίεση και δόνηση στην επιφάνεια του σώµατος) παρουσιάζονται µε γραµµικές και πρώτης τάξης εξισώσεις. Τα καµπυλωτά στοιχεία προσφέρουν δεύτερου είδους εξισώσεις. Εάν τα συγκρίνουµε µε τα γραµµικά λιγότερα καµπυλωτά στοιχεία απαιτούνται για να επιτευχθεί αποτέλεσµα δεδοµένης ακρίβειας. Η κατανοµή των κόµβων, σε αυτού του είδους τα στοιχεία παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήµα. Σχήµα 2-1 Ισοπαραµετρικά στοιχεία: α) γραµµικά β) καµπυλωτά Κάθε καµπυλωτό στοιχείο, είτε τετραπλευρικό είτε τριγωνικό έχει έναν κόµβο σε κάθε του γωνία και ένα σε κάθε του πλευρά. Οι πλευρικοί κόµβοι είναι αυτοί που επιτρέπουν στο στοιχείο να έχει το καµπυλωτό σχήµα. εν είναι απαραίτητο να τοποθετήσουνε τους πλευρικούς κόµβους ακριβώς στην µέση της πλευράς αλλά η ακρίβεια θα µειωθεί εάν αυτοί τοποθετηθούν πολύ κοντά στους κόµβους που βρίσκονται στις γωνίες. Επίσης η ακρίβεια θα µειωθεί εάν τα στοιχεία παραµορφωθούν πολύ. Καλή τεχνική µοντελοποίησης επιτυγχάνεται σεβόµενος πάντα το µέγεθος και το σχήµα του στοιχείου. Επιπλέον το µέγεθος των στοιχείων συσχετίζετε µε τη γεωµετρία του σώµατος που θα µοντελοποιηθεί και από το ακουστικό µήκος κύµατος το οποίο είναι πάντα µικρότερο. Για τα γραµµικά στοιχεία 54

61 απαιτούνται το λιγότερο 4 στοιχεία ανά µήκος κύµατος ενώ για τα καµπυλωτά το λιγότερο 2. Όπως προείπαµε τα στοιχεία καλύπτουν είτε ολόκληρη την επιφάνεια είτε ολόκληρο τον όγκο του υπό µελέτη σώµατος. Επιπλέον θα πρέπει να γνωρίζουµε κάποιες πληροφορίες- οριακές συνθήκες (Boundary Conditions) του εκάστοτε προβλήµατος σε κάθε κοµβικό σηµείο της διακριτοποίησης που έγινε. 2.3 Γεωµετρικές µέθοδοι Η µέθοδος της ακτινικής ανίχνευσης (The Ray Tracing Method) Η µέθοδος ακτινικής ανίχνευσης χρησιµοποιεί ένα µεγάλο αριθµό σωµατιδίων τα οποία εκτοξεύονται προς διάφορες διευθύνσεις από µία σηµειακή πηγή. Σε αυτή τους τη κίνηση τα σωµατίδια χάνουν ενέργεια καθώς προσπίπτουν και ανακλώνται από τις γύρω επιφάνειες. Η ενέργεια αυτή είναι ανάλογη του συντελεστή απορρόφησης της κάθε επιφάνειας. Σύµφωνα µε τον νόµο του Snell όταν ένα σωµατίδιο προσκρούσει σε µια επιφάνεια ανακλάται κάτι το οποίο σηµαίνει ότι έτσι καθορίζεται µια καινούρια διεύθυνση διάδοσης. Αυτό ονοµάζεται κατοπτρική ανάκλαση.[5] Για την απόκτηση αποτελεσµάτων µε τη µέθοδο της ακτινικής ανίχνευσης που σχετίζονται µε ένα συγκεκριµένο σηµείο-δέκτη είναι απαραίτητο είτε να οριστεί µια επιφάνεια ή ένας όγκος γύρω από το δέκτη ώστε να παγιδεύονται τα διαδιδόµενα σωµατίδια-ακτίνες, είτε να θεωρηθούν οι ακτίνες ως οι κατακόρυφοι σφηνών ή πυραµίδων. Σε κάθε περίπτωση υπάρχει κίνδυνος συλλογής εσφαλµένων ανακλάσεων και µη εντόπιση πιθανών διαδροµών ανάκλασης. Για να υπάρχει σηµαντικά υψηλή πιθανότητα µια ακτίνα να ανακαλύψει µια επιφάνεια Α µετά από χρόνο διάδοσης t θα πρέπει η επιφάνεια ανά ακτίνα στο µέτωπο κύµατος των ακτινών να µην είναι µεγαλύτερο του Α/2. Αυτό οδηγεί στον ελάχιστο αριθµό ακτινών Ν 55

62 N 8πc A 2 2 t (2.1) όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός στον αέρα. Σύµφωνα µε αυτή την εξίσωση ένας πολύ µεγάλος αριθµός ακτινών είναι απαραίτητος για ένα δωµάτιο µε τυπικές διαστάσεις. Για παράδειγµα για µια επιφάνεια µε διαστάσεις 10 και ταχύτητα διάδοσης µέχρι 600 ms χρειάζονται το λιγότερο ακτίνες [5] Η µέθοδος των ειδώλων (The Image Source Method) Η µέθοδος των ειδώλων βασίζετε στην αρχή ότι µια κατοπτρική ανάκλαση µπορεί να κατασκευαστεί γεωµετρικά αντικατοπτρίζοντας τη πηγή στο επίπεδο της ανακλώµενης επιφάνειας. Σε ένα ορθογώνιο κουτί είναι πολύ εύκολο να κατασκευαστούν όλες οι ανακλώµενες πηγές µέχρι µια συγκεκριµένη τάξη ανακλάσεων. Για παράδειγµα ας θεωρήσουµε ένα ορθογώνιο δωµάτιο. Μια πηγή S που τοποθετείται µέσα σε αυτό δηµιουργεί είδωλα σε καθεµία από τις έξι επιφάνειες του χώρου. Στο Σχήµα 2-1 απεικονίζεται µια τοµή του ορθογώνιου χώρου στην οποία διακρίνουµε τέσσερα από τα έξι είδωλα. Το είδωλο της πηγής στον τοίχο 1 είναι το S 1 το οποίο έχει ισχύ (1- α 1 )W όπου W είναι η ισχύς της πηγής και α 1 ο συντελεστής απορρόφησης της επιφάνειας 1. Ανάλογα προκύπτουν και τα είδωλα από τις υπόλοιπες επιφάνειες του χώρου. Τα έξι αυτά είδωλα ονοµάζονται είδωλα ανακλάσεων που λαµβάνουν χώρα [5]. ης 1 τάξης. Η τάξη των ειδώλων είναι ο αριθµός των 56

63 Σχήµα 2-1 Είδωλα 1 ης τάξης Κάθε ένα όµως από αυτά τα είδωλα 1 ης τάξης δηµιουργεί είδωλα τάξης τα οποία µε τη σειρά τους δηµιουργούν είδωλα ης 2 ης 3 τάξης κ.ο.κ. Με αυτό τον τρόπο προκύπτουν είδωλα πολλαπλής τάξης. Στην πράξη βέβαια θεωρούµε ένα πεπερασµένο αριθµό ειδώλων καθώς τα πιο αποµακρυσµένα είναι πολύ αδύναµα σε ισχύ και µπορούµε να θεωρήσουµε την επίδραση τους αµελητέα. Εάν ο όγκος ενός δωµατίου είναι V, ο κατά προσέγγιση αριθµός των εικονικών πηγών σε µια ακτίνα ct είναι: 4πc N refl = 3V 3 t 3 (2.2) Αυτός είναι ο κατά προσέγγιση αριθµός των ανακλάσεων που θα φτάσουν στον δέκτη σε χρόνο t µετά την εκποµπή του ήχου και στατιστικά αυτή η εξίσωση ισχύει για κάθε γεωµετρία χώρου. Το πλεονέκτηµα της µεθόδου είναι ότι προσφέρει πολύ ακριβή αποτελέσµατα αλλά αν εφαρµοστεί σε χώρους µη ορθογώνιους τότε υπάρχει πρόβληµα. Με n επιφάνειες υπάρχουν n πιθανές εικονικές πηγές πρώτης τάξης και κάθε ένα από αυτά µπορεί να δηµιουργήσει n-1 είδωλα δεύτερης τάξης. Μέχρι την ανάκλαση τάξεως i ο αριθµός των πιθανών ειδώλων είναι: 57

64 ( n 1) ) i 1 ( n ) i n Nsou= 1+ 1 (2.3) n 2 Σαν ένα παράδειγµα ας θεωρήσουµε χώρο όγκου m που µοντελοποιείται µε 30 επιφάνειες. Η µέση ελεύθερη διαδροµή θα είναι περίπου 16 m κάτι το οποίο σηµαίνει ότι για να υπολογίσουµε ανακλάσεις µέχρι 600 ms απαιτείται ανάκλαση τάξης i=13. Εποµένως η εξίσωση (2.3) µας δείχνει ότι ο αριθµός των δυνατών ειδώλων είναι περίπου N sou = Ο µεγάλος αυτός αριθµός οφείλεται στην εκθετική, µε την τάξη των ανακλάσεων αύξηση των ειδώλων [5]. 58

65 Κεφάλαιο 3 ο Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων

66 3. Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων 3.1 Ιστορική αναδροµή Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method: FEM) είναι µια από τις ευρύτερα χρησιµοποιούµενες σήµερα αριθµητικές µεθόδους επίλυσης προβληµάτων της εφαρµοσµένης φυσικής. Η FEM πρωτοχρησιµοποιήθηκε από τον Hrenikoff σε προβλήµατα της αεροναυπηγικής το 1941, ενώ δύο χρόνια αργότερα ο Courant χρησιµοποίησε τριγωνικά στοιχεία για την προσεγγιστική επίλυση προβληµάτων τριγωνικής στρέψης. Η τυπική καθιέρωση της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων οφείλεται στους Turner, Clough, Martin & Topp (1956) και Argyris & Kesley (1960). Πάντως ο όρος πεπερασµένα στοιχεία πρωτοχρησιµοποιήθηκε από τον Clough το Στη δεκαετία του 60 η FEM χρησιµοποιήθηκε κυρίως, για την προσεγγιστική επίλυση προβληµάτων αντοχής υλικών, µηχανικής ρευστών και µετάδοσης θερµότητας. Εκείνος που επέβαλε την ουσιαστική καθιέρωση και την ευρύτερη αναγνώριση της FEM είναι ο Zienkiewicz, που (µαζί µε τον Chung) δηµοσίευσε και το πρώτο βιβλίο πεπερασµένων στοιχείων το Στον κόσµο των ηλεκτρολόγων η FEM έγινε γνωστή από τον Silvester το εν υπάρχει αµφιβολία ότι ο Silvester (µαζί µε άλλους επιφανείς συνεργάτες του: Chari, Cendes, Lowther, Konrad κ.ά) είναι εκείνος που συνέβαλε στην ευρύτατη αποδοχή της FEM, κυρίως στη δεκαετία του 80, από πολλούς ερευνητές της ηλεκτροεπιστήµης. Στη συνέχεια - και µέχρι σήµερα- η FEM δέχθηκε διάφορες τροποποιητικές βελτιώσεις για την καλύτερη και αποτελεσµατικότερη προσαρµογή σε διάφορα προβλήµατα [9]. 60

67 3.2 Γενική περιγραφή της µεθόδου Όπως είδαµε και στο προηγούµενο κεφάλαιο, η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων συνίσταται στο διαµερισµό του χωρίου, στον οποίο αναζητούµε τη λύση µιας διαφορικής εξίσωσης, σε πεπερασµένα στοιχεία απλού συνήθως γεωµετρικού σχήµατος. Αρχικά επιλέγονται οι βαθµοί ελευθερίας, δηλαδή οι άγνωστοι του προβλήµατος. Στην απλούστερη περίπτωση οι βαθµοί ελευθερίας είναι οι τιµές του άγνωστου µεγέθους στους κόµβους του πλέγµατος. Στη συνέχεια µε βάση του βαθµούς ελευθερίας σχηµατίζεται η προσεγγιστική έκφραση για το άγνωστο µέγεθος. Συνήθως είναι µιας χαµηλής τάξης πολυωνυµική προσέγγιση στο εσωτερικό του κάθε στοιχείου (π.χ. γραµµική, τετραγωνική, κυβική). Ωστόσο, η προσεγγιστική έκφραση δεν είναι δυνατόν να εισαχθεί απευθείας στη διαφορική εξίσωση. Γι αυτό το µαθηµατικό πρόβληµα επαναδιατυπώνεται µε τη βοήθεια µιας ολοκληρωτικής διατύπωσης. Υπάρχουν δυο γενικές κατευθύνσεις για το σκοπό αυτό: Εύρεση µιας συναρτησιακής (fuctional) η ελαχιστοποίηση της οποίας καταλήγει στη διαφορική εξίσωση που µας ενδιαφέρει (η µέθοδος αυτή απαιτεί στοιχεία από το λογισµό µεταβολών). Απευθείας εφαρµογή µιας διατύπωσης σταθµισµένων υπολοίπων (weighted residual) στη διαφορική εξίσωση. Αν και οι µέθοδοι αυτές είναι ισοδύναµες, προτιµούµε τη δεύτερη γιατί είναι αµεσότερη και ευκολότερη στο χειρισµό της, χωρίς να απαιτείται η εύρεση µιας συναρτησιακής. Τέλος στη διατύπωση του προβλήµατος όπως τροποποιήθηκε µε µια από τις προηγούµενες µεθόδους εισάγεται η προσεγγιστική έκφραση η οποία καταλήγει σε ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων ως προς τους αγνώστους του προβλήµατος [10 ]. 61

68 3.2.2 H µη οµογενής εξίσωση Helmholtz Έστω η µη οµογενής εξίσωση Helmholtz: ( ) 2 p u + k u= g (3.2.1) όπου: u - βαθµωτή συνάρτηση p - γνωστή συνάρτηση p(x,y,z) k - σταθερά g - γνωστή διέγερση g(x,y,z) Αν Sείναι η επιφάνεια που περικλείει το σύστηµα, θεωρούµε ότι οι οριακές συνθήκες είναι Dirichlet σ ένα τµήµα S 1 και οµογενείς Neumann ϑu = 0 ϑn στο υπόλοιπο τµήµα S 2. Μπορεί να αποδειχθεί µε βάση τις αρχές του λογισµού των µεταβολών ότι η λύση της εξίσωσης (3.2.1) ισοδυναµεί µε τη στασιµοποίηση της εξίσωσης: ( u) = p( u) 2 2 { k u gu} F 2 2 V dv (3.2.2) Έστω ότι αναζητούµε τη λύση της εξίσωσης (3.2.3) στις δυο διαστάσεις µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων: 2 2 u+ k u= g (3.2.3) Θεωρούµε ότι η u ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet και / ή οµογενείς Neumann στο περίγραµµα της περιοχής του προβλήµατος. Σύµφωνα µε την (3.2.2) η ισοδύναµη συναρτησιακή είναι η: 1 ( ) ( ) F u = u ds k u ds+ guds 2 S 2 S S (3.2.4) Έτσι το πρόβληµα της επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης (3.2.3) ανάγεται στο πρόβληµα της στασιµοποίησης της ενεργειακής 62

69 συναρτησιακής (3.2.4). Σύµφωνα µε το θεώρηµα του λογισµού των µεταβολών αν L είναι κάποιος γραµµικός, αυτοσυζυγής, θετικά ορισµένος τελεστής και u η ζητούµενη απόκριση στη δοσµένη διέγερση f, η λύση της Lu= f (3.2.5) ελαχιστοποιεί την F( u) = Luu, u, f f, u (3.2.6) και αντίστροφα η ελαχιστοποιητική συνάρτηση της (3.2.6) είναι λύση της (3.2.5) όπου ο συµβολισµός u, v αναφέρεται στο εσωτερικό γινόµενο * u, v = uv dω. Ω Επειδή η εύρεση της ακριβούς λύσης των (3.2.5) και (3.2.6) στα πραγµατικά προβλήµατα είναι πολύ δύσκολη αναζητούµε προσεγγιστικές λύσεις. Ανάλογα λοιπόν µε το αν η προσεγγιστική επίλυση επιχειρείται µε την ενεργειακή συναρτησιακή (3.2.6) ή τη διαφορική εξίσωση (3.2.5) χρησιµοποιούνται οι µέθοδοι Rayleigh-Ritz και σταθµισµένων υπολοίπων αντίστοιχα [9] Η µέθοδος Rayleigh-Ritz Κατά την εφαρµογή της µεθόδου Rayleigh-Ritz, η άγνωστη συνάρτηση u προσεγγίζεται από ένα γραµµικό συνδυασµό n κατάλληλων βασικών συναρτήσεων φ1, φ2,..., φ n, µε σταθερούς συντελεστές c1, c2,..., c n : n = i i (3.2.7) i= 1 u cφ Στη συνέχεια η δοκιµαστική λύση (3.2.7) εισάγεται στην ενεργειακή συναρτησιακή (3.2.6), µετατρέποντας την σε µια συνάρτηση Φ των αγνώστων σταθερών συντελεστών c1, c2,..., c n. Από την ( c, c,..., c n ) 1 2 απαίτηση όµως ελαχιστοποίησης της (3.2.6), έχουµε τις αναγκαίες συνθήκες: 63

70 ϑφ ( c, c,..., c ) 1 2 ϑc i n = 0 ( i= 1,2,..., n) (3.2.8) Η επίλυση του συστήµατος (3.2.8), δίνει τις τιµές των σταθερών c1, c2,..., c n που προσδιορίζουν την προσεγγιστική λύση (3.2.7) [9]. Αν, ειδικότερα, πρόκειται για πραγµατική συναρτησιακή της µορφής (3.2.6), η συνάρτηση Φ που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είναι η: ( ) Φ c, c,..., c = clφ, cφ 2 cφ, f 1 2 n n n (3.2.9) n i i i i i i i= 1 i= 1 i= 1 και το σύστηµα των εξισώσεων (3.2.8) είναι της µορφής [ S]{ c} = { b} (3.2.10) όπου τα στοιχεία του πίνακα-στήλης { c} είναι οι άγνωστοι συντελεστές i ( = 1,2,..., n), του πίνακα-στήλης { } c i b i b οι = φ, f (3.2.11) i και του τετραγωνικού πίνακα [ S ] οι s = φ, Lφ (3.2.12) ij i j Η µέθοδος των σταθµισµένων υπολοίπων (Weighted Residual Method) Όπως στη µέθοδο Rayleigh-Ritz, έτσι και στη µέθοδο των σταθµισµένων υπολοίπων η άγνωστη συνάρτηση u προσεγγίζεται από την (3.2.7). Προκειµένου οι συντελεστές c1, c2,..., c n να υπολογιστούν, έτσι ώστε η u να αποτελεί µια καλή προσέγγιση της λύσης της (3.2.5), το υπόλοιπο R= Lu f (3.2.13) 64

71 εξαναγκάζεται σε µηδενισµό, κατά µέση έννοια, µε επιβολή µηδενισµού στα διαδοχικά σταθµισµένα ολοκληρώµατα: w R = ( j 1,2,..., n), 0 j όπου w ( j 1,2,..., n) j = (3.2.14) = είναι ένα σύνολο συναρτήσεων βάρος. Με αντικατάσταση των (3.2.7), (3.2.13) στις (3.2.14) προκύπτει, για γραµµικό τελεστή L, το σύστηµα: w, clφ f = 0 j n i i ( j 1,2,..., n) i= 1 = (3.2.15) δηλαδή, το n w, Lφ c = w, f j i i j ( j= 1,2,..., n) (3.2.16) i= 1 που γράφεται αναλυτικά ως: w, Lφ c + w, Lφ c w, Lφ c = w, f n n 1 w, Lφ c + w, Lφ c w, Lφ c = w, f n n 2... w, Lφ c + w, Lφ c w, Lφ c = w, f n 1 1 n 2 2 n n n n (3.2.17) Αν το σύστηµα των εξισώσεων (3.2.17) γραφεί µε τη µορφή της µητρικής εξίσωσης (3.2.10), έχουµε: b w, f i = (3.2.18) i και s = w, Lφ (3.2.19) ij i j Ανάλογα µε τη µορφή των συναρτήσεων βάρους w ( j 1,2,..., n) διακρίνουµε τις ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις: j =, 65

72 1. Μέθοδος Galerkin ( w = φ ) j j 2. Μέθοδος Point Matching ( w δ j ( r rj) = ) 3. Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων ( w = Lφ ) j i 4. Subdomain Collocation ( w = 1 στην υποπεριοχή j Ω i και 0 εκτός Ω ). i Από τις παραπάνω περιπτώσεις η µέθοδος Galerkin δίνει συνήθως τις καλύτερες προσεγγίσεις και χρησιµοποιείται ευρύτατα στη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων [9] Από τη συνεχή στη διακριτή περιοχή Θα πρέπει να πούµε ότι οι παραπάνω µέθοδοι έχουν ένα σοβαρό µειονέκτηµα: προϋποθέτουν ότι οι προσεγγιστικές συναρτήσεις στα διάφορα στάδια προσέγγισης ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος. Αυτό όµως δεν είναι καθόλου εύκολο, ιδιαίτερα όταν εξετάζονται δισδιάστατα ή τρισδιάστατα προβλήµατα µε πολύπλοκες γεωµετρίες. Για να ξεπεραστεί αυτή η δυσκολία χωρίζουµε την περιοχή του προβλήµατος σε µικρότερες υποπεριοχές και προσδιορίζουµε τις εκφράσεις των προσεγγιστικών συναρτήσεων σε κάθε µια υποπεριοχή ξεχωριστά. Οι εκφράσεις των προσεγγιστικών συναρτήσεων εκλέγονται να είναι ιδιαίτερα απλές, αφού για επιλογή πολύ µικρών υποδιαστηµάτων έχουµε µικρή µεταβολή της τιµής της προσεγγιζόµενης συνάρτησης σε κάθε διάστηµα [9]. 66

73 3.2.6 Τα βασικά βήµατα της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων α) ιακριτοποίηση της περιοχής Το πρώτο βήµα στην πορεία της µεθόδου είναι ο χωρισµός της περιοχής του πεδίου σε ένα σύνολο αλληλοσυνδεόµενων πεπερασµένων στοιχείων. Σε ένα δισδιάστατο πρόβληµα τα απλούστερα στοιχεία που µπορούν να χρησιµοποιηθούν είναι τα τριγωνικά. Στο Σχήµα 3-1 φαίνεται ένα τµήµα της περιοχής του πεδίου χωρισµένο σε µικρά τριγωνικά πεπερασµένα στοιχεία και το τυπικό στοιχείο e µε κορυφές τους κόµβους 1,2,3 [9]. Σχήµα 3-1 ιαίρεση τµήµατος της περιοχής του πεδίου σε τριγωνικά πεπερασµένα στοιχεία β) Στοιχειακή προσέγγιση - Συναρτήσεις µορφής Το δεύτερο βήµα µετά τη διακριτοποίηση είναι να καθορίσουµε τον προσεγγιστικό τρόπο µεταβολής της άγνωστης συνάρτησης σε κάθε τριγωνικό στοιχείο, λαµβάνοντας υπόψη ότι η ενεργειακή συναρτησιακή (3.2.6) πρέπει να ελαχιστοποιείται. Έστω ότι η άγνωστη συνάρτηση u( x, y ) στο τυχόν στοιχείο e µε κορυφές 1,2,3 µεταβάλλεται γραµµικά σύµφωνα µε τη σχέση: (, ) e e e e u x y a bx c y = + + (3.2.20) 67

74 όπου οι σταθεροί συντελεστές e, e e a, b, c είναι καθορισµένοι όταν είναι γνωστές οι τιµές τις άγνωστης συνάρτησης στους κόµβους 1,2,3. Αν λοιπόν e e e u, u, u είναι οι τιµές της άγνωστης συνάρτησης στους κόµβους 1,2,3 και (, ),(, ),(, ) x y x y x y οι συντεταγµένες των αντίστοιχων κόµβων ισχύουν, σύµφωνα µε τη σχέση (3.2.20), οι σχέσεις: u = a + bx + c y e e e e u = a + bx + c y e e e e u = a + bx + c y e e e e (3.2.21) σταθερών Από το σύστηµα των εξισώσεων (3.2.21) υπολογίζονται οι τιµές των e, e e a, b, c : a b c 1 = ( x y xy ) u + ( xy xy ) u + ( xy x y ) u e e e e e 1 = ( y y ) u + ( y y ) u + ( y y ) u e e e e e 1 = ( x x ) u + ( x x ) u + ( x x ) u e e e e e (3.2.22) (3.2.23) (3.2.24) όπου e 1 = x y y + x y y + x y y 2 ( ) ( ) ( ) (3.2.25) είναι το εµβαδόν του στοιχείου e. Με αντικατάσταση των (3.2.22), (3.2.23), (3.2.24), (3.2.25) στην (3.2.20) προκύπτει εύκολα η ακόλουθη προσεγγιστική έκφραση για την e άγνωστη συνάρτηση (, ) u x y στο στοιχείο e: 68

75 (, ) e u x y ( ) ( ) e e e e ( a3 + bx 3 + c3y) u3 e e e e e e e e 1 a1 + bx 1 + c1y u1 + a2 + bx 2 + c2y u 2 + = 2 e (3.2.26) όπου: a = x y xy e b = y y e c = x x e (3.2.27) e e e e e e ενώ οι εκφράσεις των υπόλοιπων σταθερών a2, b2, c2, a3, b3, c 3 προκύπτουν από την (3.2.27) µε κυκλική εναλλαγή των δεικτών 1,2,3. Η εξίσωση (3.2.26) γράφεται συνήθως µε τη µορφή: (, ) ζ (, ) ζ (, ) ζ (, ) u x y = u x y + u x y + u x y = e e e e e e e e u 1 e e e e ζ1 ζ 2 ζ 3 u2 e u3 (3.2.28) e e e όπου 1, 2, 3 ζ ζ ζ είναι συναρτήσεις που ονοµάζονται συναρτήσεις µορφής (shape functions) του στοιχείου e και δίνονται από τις σχέσεις: 1 ζ = + + ( a bx c y) e e e e e 1 ζ = + + ( a bx c y) e e e e e 1 ζ = + + ( a bx c y) e e e e e (3.2.29) Με αντικατάσταση της (3.2.26) στην ενεργειακή συναρτησιακή του στοιχείου προκύπτει: W 1 T = U S U 2 (3.2.30) e e e e 69

76 όπου: u e 1 e e U = u2 e u 3 (3.2.31) e e e s11 s12 s 13 e e e e S = s21 s22 s23 = e e e s31 s32 s e e e e e e e e e e b1 + c1 bb cc 1 2 bb cc 1 3 ε 2 2 e e e e e e e e e e bb cc 2 1 b2 + c2 bb cc e 2 2 e e e e e e e e e e bb cc 3 1 bb cc 3 2 b3 + c 3 (3.2.32) που τα στοιχεία του e s ij δίνονται από τις σχέσεις: s ( 1,2,3) = ζ ζ ds e e e ij i j S e j= (3.2.33) δηλαδή ε s = s = + 4 ( bb cc ) e e e e e e ij ji i j i j e ( j= 1,2,3) (3.2.34) Ο πίνακας e S ονοµάζεται πίνακας ακαµψίας (stiffness matrix) του στοιχείου e και εξαρτάται µόνο από τις θέσεις 1,2,3 των κορυφών του τριγωνικού στοιχείου e [9]. (γ) Σύνδεση των στοιχείων Το επόµενο βήµα είναι να κάνουµε τη σύνδεση όλων των στοιχείων, υπολογίζοντας τη συνεισφορά τους στη συνολική ενέργεια του συστήµατος. Πριν προχωρήσουµε στη σύνδεση, πρέπει να παρατηρήσουµε, από την απαίτηση συνεχούς µεταβολής της άγνωστης συνάρτησης στα κοινά όρια των γειτονικών στοιχείων, ότι οι τιµές της άγνωστης συνάρτησης που 70

77 αντιστοιχούν στις κοινές κορυφές διαφόρων τριγώνων και αντιπροσωπεύουν στην ουσία τον ίδιο κόµβο πρέπει να έχουν την ίδια τιµή. Στο συνδεδεµένο σύστηµα επαναριθµούµε τους κόµβους, έτσι ώστε, πολλοί από αυτούς να ανήκουν συγχρόνως σε περισσότερα τρίγωνα. Για παράδειγµα στο Σχήµα 3-2 (β) απεικονίζονται δύο συνδεδεµένα γειτονικά στοιχεία e και f που έχουν µόνο τέσσερις κόµβους αντί των έξι που θα είχαν αν θεωρούσαµε τα στοιχεία ασύνδετα. Οι κόµβοι 1 και 3 ανήκουν συγχρόνως στα τρίγωνα e και f, ο κόµβος 2 ανήκει µόνο στο τρίγωνο e ενώ ο κόµβος 4 ανήκει µόνο στο τρίγωνο f. Αν λοιπόν, u1, u2, u3, u4 είναι οι τιµές της άγνωστης συνάρτησης στους ολικούς κόµβους 1,2,3,4 είναι φανερό ότι e f e f e f θα ισχύουν οι σχέσεις: u1 = u1 = u1, u3 = u2 = u3, u2 = u3, u4 = u2 Σχήµα 3-2 α) Ασύνδετα στοιχεία - τοπική αρίθµηση κόµβων β) Συνδεδεµένα στοιχεία - ολική αρίθµηση κόµβων Η σύνδεση των δύο στοιχείων e και f του σχήµατος 3-2 δίνει σύµφωνα µε τη σχέση (3.2.30): 1 e T e e 1 f T f f Wef = We + Wf = U S U U S U (3.2.35) Αν λοιπόν θεωρήσουµε ασύνδετα τα δυο τρίγωνα η (3.2.35) γράφεται: 71

78 e f u 1 u 1 1 e e e e e 1 f f f f f Wef = u1 u2 u3 S u2 u1 u2 u3 S u2 2 + = e 2 f u 3 u 3 s s s s s s 1 e e e f f f s s s u u u u u u e e e e e e e e e f f f s11 s12 s13 f f f s21 s22 s 23 f f f s31 s32 s33 (3.2.36) ή W ef 1 ef T ef ef = 2 U S U d d (3.2.37) d όπου: ef T e e e f f f = u1 u2 u d 3 u1 u2 u3 U (3.2.38) [ 0] [ 0] e ef S S = d f S (3.2.39) Η αντιστοίχηση ανάµεσα στους κόµβους της τοπικής και ολικής αρίθµησης εκφράζεται µε έναν 6x4 πίνακα [C] που ονοµάζεται πίνακας συνδέσεων (connectivity matrix) έτσι ώστε: ef ef ef U = C U d c (3.2.40) όπου: [ u u u u ] ef T U = c (3.2.41) 72

79 e u e u u 1 e u u 3 2 f = u u 1 3 f u u 2 4 f u (3.2.42) δηλαδή 1 ef C = (3.2.43) Η (3.2.40) αν πάρουµε την ανάστροφη δίνει: ef T ef T ef T U = U C (3.2.44) d c και µε αντικατάσταση στην (3.2.37): W ef 1 ef T ef T ef ef ef = 2 U C S C U c d (3.2.45) c ή ef ef T ef ef S = C S C (3.2.46) c d όπου: 73

80 e e e s11 s12 s e e e s s22 s e e e ef s s32 s S = f f f c s s12 s13 f f f s s22 s 23 f f f s s32 s33 ή s + s s s + s s e f e e f f e e e ef s31 s33 s32 0 S = c e f e e f f s21+ s31 s23 s22+ s33 s 32 f f f s21 0 s23 s22 (3.2.47) Παρατηρούµε ότι τα στοιχεία του πίνακα ef S c προσδιορίζονται εύκολα ελέγχοντας κάθε φορά αν ανά δύο οι κόµβοι αποτελούν την πλευρά ενός ή περισσοτέρων τριγώνων για τα µη διαγώνια στοιχεία ή την κορυφή ενός ή περισσοτέρων τριγώνων για τα διαγώνια στοιχεία (διαφορετικά έχουν µηδενική τιµή). Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να προχωρήσουµε στη συναρµολόγηση όλων των τριγώνων, δηλαδή: [ S] d ( 1 ) S ( 2 ) S =.. ( q ) S (3.2.48) όπου: q ο αριθµός των τριγώνων 74

81 [ U] d ( 1) u 1 ( 1) u2 ( 1) u3 ( 2) u 1 ( 2) u 2 ( 2) u = 3... ( q) u 1 ( q) u 2 ( q ) u 3 (3.2.49) 1 W U S U 2 T [ ] [ ] [ ] = (3.2.50) d d d Με ολική αρίθµηση έχουµε: [ U] [ C][ U] d = (3.2.51) c Αν Μ είναι οι συνολικοί - ολικοί κόµβοι: [ C] c1,1 c1,2... c1, I... c1, M c2,1 c2,2... c2, I... c 2, M c3,1 c3,2... c3, I... c 3, M = c3 q,1 c3 q,2... c3 qi,... c 3 qm, (3.2.52) Τελικά έχουµε: 1 W U S U 2 T [ ] [ ] [ ] = (3.2.53) c c c 75

82 όπου: [ S ] [ C ] T [ S ] [ C ] c = (3.2.54) d [9]: Η (3.2.54),αν Μ είναι ο αριθµός των κόµβων γράφεται µε τη µορφή 1 W U S U 2 T [ ] [ ][ ] = (3.2.55) M MM M όπου: [ U M] - πίνακας στήλη [ U ] T M - ανάστροφος του [ U M] [ S MM] - τετραγωνικός πίνακας M M δ) ιαδικασία ελαχιστοποίησης Στη συνέχεια προχωρούµε στην ελαχιστοποίηση της (3.2.55). Αν θεωρήσουµε ότι P συνοριακοί κόµβοι έχουν γνωστές τιµές της ζητούµενης άγνωστης συνάρτησης τότε οι τιµές αυτής στους υπόλοιπους Ν=Μ- P κόµβους θα πρέπει να ελαχιστοποιούν την (3.2.55). Υποθέτουµε ότι η αρίθµηση των κόµβων είναι τέτοια ώστε οι κόµβοι στους οποίους είναι γνωστή η τιµή της ζητούµενης άγνωστης συνάρτησης να γραφούν τελευταίοι στον πίνακα - στήλη [ U M], δηλαδή ο [ M] U έχει τη µορφή: 76

83 77 [ ] [ ] [ ] N N M P N N N P u u u U U U u u u = = (3.2.56) όπου: [ ] N N u u U u = (3.2.57) και [ ] N N P N P u u U u = (3.2.58)

84 Η (3.2.55) µε χωρισµό των πινάκων στους αντίστοιχους υποπίνακες γράφεται µε τη µορφή: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 T T SNN SNP UN W = [ UN] [ UP] 2 SPN SPP UP (3.2.59) Κάνοντας τις πράξεις σύµφωνα µε τους κανόνες από τη θεωρία των πινάκων η (3.2.59) καταλήγει στη µορφή: 1 T T T T W = ( UNSNNUN + UNSNPUP + UPSPNUN + UPSPPUP) (3.2.60) 2 του πίνακα Για να ελαχιστοποιηθεί η (3.2.60) πρέπει τα στοιχεία u1, u2,..., u N U N να είναι τέτοια ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: ϑw 0 ϑ u = ( j= 1,2,..., N) (3.2.61) i Από τις (3.2.60) και (3.2.61) και αφού λάβουµε υπόψη µας ότι ο πίνακας [ S NN] είναι συµµετρικός προκύπτει τελικά το σύστηµα: S U + S U = 0 (3.2.62) NN N NP P Ο δεύτερος όρος στο πρώτο µέλος της (3.2.62) είναι γνωστός αφού τόσο τα στοιχεία του πίνακα πίνακα - στήλη S NP είναι γνωστά όσο και τα στοιχεία του U P είναι επίσης γνωστά. Αν λοιπόν [ Y ] είναι ο πίνακας στήλη που αντιπροσωπεύει ο όρος αυτός η (3.2.62) µε επαναφορά των αγκυλών στο συµβολισµό των πινάκων γράφεται: NN N [ ] S U = Y (3.2.63) Συνήθως ο πίνακας [ S NN] συµβολίζεται ως [ S ] µε στοιχεία ( j 1,2,..., N) = ενώ στον πίνακα U N παραλείπεται ο δείκτης Ν οπότε το s ij 78

85 σύστηµα των Ν εξισώσεων µε τους Ν αγνώστους u1, u2,..., u N που εκφράζει η (3.2.63) γράφεται µε τη µορφή πινάκων ως εξής: [ S][ U] = [ Y] (3.2.64) Όπως προαναφέραµε ο πίνακας [ S ] ονοµάζεται πίνακας ακαµψίας (stiffness matrix) ή πίνακας αγωγιµότητας, ενώ ο πίνακας [ Y ] είναι γνωστός ως πίνακας φορτίου. Η επίλυση του συστήµατος των αλγεβρικών εξισώσεων (3.2.64) γίνεται µε διάφορες τεχνικές (τριγωνική παραγοντοποίηση, επαναληπτικές µέθοδοι) που αξιοποιούν τη συµµετρικότητα του πίνακα ακαµψίας [ S ] [9]. 3.3 Μέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων και ακουστική Επικρατούσες εξισώσεις Για την επίλυση των προβληµάτων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων ξεκινάµε από την τριών-διαστάσεων κυµατική εξίσωση [11]: 1 ϑ p c ϑt 2 2 p= 0 στον όγκο V (3.3.1) 2 2 Στην παραπάνω εξίσωση: c είναι η ταχύτητα του ήχου στο µέσο και δίνεται από τη σχέση: c = P 0 ρ 0 x όπου: P 0 - στατική πίεση σε Pa x - λόγος ειδικής θερµότητας υπό σταθερή πίεση προς ειδική θερµότητα υπό σταθερό όγκο ρ 0 - µέση πυκνότητα του µέσου σε x = c p c v kg 3 m 79

86 p είναι η ακουστική πίεση t είναι ο χρόνος Για την οριακή επιφάνεια S η οριακή συνθήκη για την ακουστική πίεση είναι: p n = ρ u&& στην επιφάνεια S (3.3.2) 0 όπου u& & - η κανονική επιτάχυνση στην οριακή επιφάνεια και ρ 0 - η µέση πυκνότητα του αέρα Για πίεση που µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο έχουµε: P jωt = Pe (3.3.3) όπου: P - πλάτος της πίεσης j = 1 ω= 2πf f - συχνότητα ταλάντωσης της πίεσης µε αντικατάσταση της (3.3.3) στην (3.3.1) έχουµε: 2 ω 2 c P 2 + P = 0 (3.3.4) ιακριτοποίηση της κυµατικής εξίσωσης Παρουσιάζονται οι τελεστές της κλίσης και της απόκλισης για τη χρήση τους στην εξίσωση (3.3.1): ( ) = { L} T ϑ ϑ ϑ = ϑxϑyϑz (3.3.5) ( ) = { L} (3.3.6) H εξίσωση (3.3.1) µπορεί να γραφεί µε την εξής µορφή: 80

87 2 1 ϑ P P 2 c ϑt 2 = 0 (3.3.7) H (3.3.7) λόγω των (3.3.5) και (3.3.6) γίνεται µε µορφή πινάκων: 1 ϑ P c ϑt 2 = 2 2 T { L} ({ L} P) 0 (3.3.8) Οι πίνακες αποκτούνται µε διακριτοποίηση της κυµατικής εξίσωσης χρησιµοποιώντας τη µέθοδο Galerkin. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (3.3.8) µε µια απειροστή µεταβολή της πίεσης δp και ολοκληρώνοντας σε ολόκληρο τον όγκο έχουµε [11]: T T ( vol) + ({ L} δp){ ( L} P) d( vol) { n} δp( { L} P) d( S) 2 1 ϑ P P d = vol 2 2 c ϑt vol δ S (3.3.9) όπου: vol - o όγκος της περιοχής δp - απειροστή µεταβολή της πίεσης (=δp(x,y,z,t)) S - επιφάνεια όπου εφαρµόζεται κάθετα η παράγωγος της πίεσης {n} - µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στην επιφάνεια S Σε προβλήµατα µε αλληλεπίδραση µεταξύ ρευστού και στερεού η επιφάνεια S παίζει το ρόλο του συνόρου. Η σχέση µεταξύ του κάθετος διανύσµατος της πίεσης στο ρευστό και της κάθετης επιτάχυνσης του στερεού στο σύνορο S είναι[11]: { n} { P} { n} { u} 2 ϑ = ρ0 (3.3.10) 2 ϑt όπου: { u } - διάνυσµα της µετατόπισης του στερεού στο σύνορο. Σε µορφή πινάκων η εξίσωση (3.3.10) γίνεται: 2 ϑ ρ 0 (3.3.11) 2 ϑt T T { n} ({ L} P) = { n} { u} Με αντικατάσταση της (3.3.11) στην (3.3.9) έχουµε: 81

88 2 1 ϑ P δp d vol 2 2 c ϑt 2 ϑ = ρ0δp S 2 ϑt T ( vol) + ({ L} δp){ ( L} Pd ) ( vol) vol T { n} { u} d( S) (3.3.12) Σχηµατισµός των πινάκων του ρευστού Η εξίσωση (3.12) περιλαµβάνει τη πίεση P του ρευστού και τους συντελεστές µετατόπισης του στερεού ux, uy, uz σαν εξαρτηµένες µεταβλητές. Οι συναρτήσεις µορφής για την µεταβολή της πίεσης και τους συντελεστές της µετατόπισης δίνονται από [11]: { N} T { P} P= (3.3.13) e { N } T { u } u = (3.3.14) e όπου: {Ν} - συνάρτηση µορφής του στοιχείου για την πίεση {Ν } - συνάρτηση µορφής του στοιχείου για τη µετατόπιση {Pe} - κοµβικό διάνυσµα της πίεσης {ue} = {uxe},{uye},{uze} - κοµβικά διανύσµατα συντελεστών µετατόπισης Από τις εξισώσεις (3.3.13) και (3.3.14) η δεύτερη παράγωγος των µεταβλητών και η απειροστή µεταβολή της πίεσης δp γράφονται ως εξής: 2 ϑ P 2 ϑt = { N} T { P& } e (3.3.15) 2 ϑ 2 ϑt T { } { } { } u = N u&& e (3.3.16) T { N} { δp} δ P= (3.3.17) Έστω: [ ] { L}{ N} T e B = (3.3.18) 82

89 Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (3.3.13) µέχρι (3.3.18) στην εξίσωση (3.3.12), η διατύπωση των πεπερασµένων στοιχείων της κυµατικής εξίσωσης (3.3.1) δίνεται από [11]: vol 1 2 c T T T T { δpe} { N}{ N} d( vol){ P&& e} + { δpe} [ B] [ B] d( vol){ Pe} 0 T T T { P} { N}{ n} { N } d( S){ u&& } + ρ δ = 0 S e e vol (3.3.19) όπου {n} - κάθετο διάνυσµα στο σύνορο δ η εξίσωση (3.3.19) γίνεται: Αφού { } 0 P e 1 2 c + ρ vol 0 T T { N}{ N} d( vol)( P&& e) + [ B] [ Bd ] ( vol){ Pe} S T T { N}{ n} { N } d( S){ u&& } = 0 e vol (3.3.20) Η εξίσωση (3.3.20) µπορεί να γραφεί µε τη µορφή πινάκων για να προκύψει η διακριτοποιηµένη κυµατική εξίσωση: P P T [ M ]{ P& } [ K ][ P] + [ R ] { u& } { 0} e & ρ (3.3.21) e + e e 0 e e = όπου: p 1 T Me = 2 { N}{ N} d( vol) - πίνακας µάζας ρευστού (ρευστό) vol c P T [ e ] = [ B vol ] [ Bd ] ( vol) K - πίνακας ακαµψίας ρευστού (ρευστό) T T [ R ] { N}{ n} { N } d( S) ρ 0 e = ρ 0 - πίνακας µάζας σύζευξης (σύνορο ρευστού- στερεού) S 83

90 3.3.4 Απορρόφηση του ακουστικού κύµατος - πρόσθεση της εξασθένησης εξαιτίας της απόσβεσης στο σύνορο Για να λάβουµε υπόψη µας την εξασθένηση της ενέργειας εξαιτίας της απόσβεσης, εφόσον υπάρχει στο σύνορο, προστίθεται στην εξίσωση (3.3.1) ένας παράγοντας εξασθένησης [11]: 2 1 ϑ P T r 1ϑP δ P d( vol) { } ({ } ) ( ) + ( ) = δpl LPd vol δp d S (3.3.22) vol c ϑt vol S ρ0c c ϑt όπου: r - χαρακτηριστική εµπέδηση του υλικού στο σύνορο Αφού η εξασθένηση θεωρείται ότι συµβαίνει στο σύνορο S ο παράγοντας εξασθένησης της εξίσωσης (3.3.22) ολοκληρώνεται σε ολόκληρη την επιφάνεια S. D= S δp r ρ c 0 ϑp 1 c ϑt d( S) (3.3.23) όπου: D παράγοντας εξασθένησης Χρησιµοποιώντας τη σχέση (3.3.13) η (3.3.23) γίνεται: D r 1 0c c T T { } { } { } ( ) e = δp N e N d S S ρ ϑt ϑp (3.3.24) Θέτοντας r c β =, όπου β - συντελεστής απορρόφησης και { P& } ρ 0 εξίσωση (3.3.24) γράφεται: D = T β T { Pe} { N}{ N} d( S){ P& e } & ϑpe e = η ϑt δ (3.3.25) c S Ο παράγοντας της εξασθένησης που δίνεται από την εξίσωση (3.3.25) προστίθεται στην εξίσωση (3.3.19) για να δηλώσει την απώλεια ενέργειας στις επιφάνειες που έχουν απορροφητικότητα [11]. 84

91 P T [ C e ]{ P& β e} = { N}{ N} d( S){ P& e} c S (3.3.26) όπου: P β T [ Ce ] = { N}{ N} d( S) c S - πίνακας απόσβεσης ρευστού Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (3.3.26) και (3.3.21) η διακριτοποιηµένη κυµατική εξίσωση που λαµβάνει υπόψη τις απώλειες στο σύνορο δίνεται από: P P P T [ M ]{ P& } [ C ]{ P& } + [ K ]{ P} + [ R ] { u& } 0 e & ρ (3.3.27) e + e e e e 0 e e = Σύζευξη ρευστού-στερεού Για να περιγράψουµε πλήρως το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης ρευστού στερεού προσθέτουµε στην εξίσωση [ M ]{ u& } + [ C]{ u& } + [ K]{ u} = { F a } της πίεσης ρευστού στο σύνορο οπότε προκύπτει [11]: pr [ M ]{ u& } + [ C ]{ u& } + [ K ]{ u } = { F } + { F } e e e e e e e e & το φορτίο & (3.3.28) Το διάνυσµα του φορτίου της πίεσης στο σύνορο S προκύπτει ολοκληρώνοντας την πίεση σε όλη την επιφάνεια: Pr { F } = { N } P{ n} d( S) e S (3.3.29) όπου: {Ν } - συναρτήσεις µορφής για τη διακριτοποίηση των συντελεστών της µετατόπισης {n} - κάθετο διάνυσµα στο σύνορο Αντικαθιστώντας την (3.3.13) στην (3.3.29) έχουµε: Pr T { F } = { N }{ N} { n} d( S){ P} e S e (3.3.30) 85

92 Συγκρίνοντας το ολοκλήρωµα στην εξίσωση (3.3.30) µε τον όρο εξίσωσης (3.3.21) προκύπτει ότι: ρ [ R ] T 0 e της Pr { F } = [ R ]{ P} e e e (3.3.31) όπου: T T [ R ] { N }{ N} { n} d( S) e = (3.3.32) S Η αντικατάσταση της εξίσωσης (3.3.31) στην (3.3.28) οδηγεί στην εξίσωση: [ M ]{ u& } + [ C ]{ u& } + [ K ]{ u } [ R ]{ P} = { F} e & (3.3.33) e e e e e e e e Οι εξισώσεις (3.3.27) και (3.3.33) περιγράφουν τις πλήρεις διακριτοποιηµένες εξισώσεις πεπερασµένων στοιχείων και γράφονται σε συναθροισµένη µορφή (assembled form) ως εξής [11]: [ M ] [ ] { u&& } [ ] [ Ce] [ ] [ 0] { u& } e 0 e 0 e fs P + P M M e { P&& e} C e { P& e} fs K e K { Fe} { Fe} + = P [ 0] K { 0} { 0} e (3.3.34) όπου: fs [ ] = ρ [ R ] T M 0 fs [ K ] = [ R ] e e 86

93 ΜΕΡΟΣ ΕΥΤΕΡΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗ

94 Εφαρµογή - Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων, όπως προαναφέρθηκε, εφαρµόζεται κυρίως σε κλειστούς, µικρούς έως µέτριους χώρους και για χαµηλές συχνότητες. Αυτό συµβαίνει γιατί σε χώρους µε µεγάλες διαστάσεις, όπως και για τις υψηλές συχνότητες ο αριθµός των κόµβων που απαιτείται για την διακριτοποίηση του χώρου είναι µεγαλύτερος µε αποτέλεσµα να απαιτείται µεγαλύτερος αριθµός εξισώσεων. Αυτό όµως οδηγεί σε µεγαλύτερες υπολογιστικές απαιτήσεις, όπως µεγαλύτερη µνήµη και φυσικά ο χρόνος της επίλυσης αυξάνεται υπερβολικά σε βαθµό που να µη καθιστά τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων προσιτή επιλογή επίλυσης. Αποφασίσαµε να εφαρµόσουµε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων σε ένα πραγµατικό αµφιθέατρο µέτριων διαστάσεων και να βρούµε τις ιδιοσυχνότητες του. Το αµφιθέατρο αυτό βρίσκεται κάτω από το κεντρικό αµφιθέατρο Π. Παναγιωτόπουλος της Πολυτεχνικής. Στο Κεφάλαιο 4 που ακολουθεί γίνεται περιγραφή του λογισµικού που χρησιµοποιήθηκε για την επίτευξη των αποτελεσµάτων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων. Πρόκειται για το πρόγραµµα ANSYS, έκδοση Multiphysics. Επίσης γίνεται πλήρης περιγραφή της ανάλυσης που πραγµατοποιήθηκε και όλων των στοιχείων που χρησιµοποιήθηκαν. Στο επόµενο κεφάλαιο γίνεται εφαρµογή της µεθόδου σε απλούς όγκους για να αποδειχθεί η εγκυρότητα της µεθόδου και του προγράµµατος. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζουµε τις µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν στον χώρο του αµφιθεάτρου και στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 7 γίνεται η µοντελοποίηση του µε το πρόγραµµα ANSYS. Ακολουθεί, η σύγκριση των αποτελεσµάτων, τα συµπεράσµατα όπως επίσης και οι µελλοντικοί στόχοι. 88

95 Κεφάλαιο 4 ο Η Χρήση του Λογισµικού ANSYS στην Ακουστική

96 4. Η Χρήση του Λογισµικού ANSYS στην Ακουστική 4.1 Γενικά Το ANSYS είναι ένα πρόγραµµα που χρησιµοποιεί τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων και επιτρέπει στους µηχανικούς να επιτελέσουν µια σειρά από εργασίες [11]. Κατασκευή µοντέλων στον υπολογιστή ή µεταφορά CAD µοντέλων. Εφαρµογή φορτίων. Μελέτη φυσικών αποκρίσεων όπως ηλεκτροµαγνητικά πεδία και θερµοκρασιακή κατανοµή. Βελτιστοποίηση µιας κατασκευής πριν τη δηµιουργία της για τη µείωση του κόστους παραγωγής. 4.2 Το περιβάλλον του ANSYS Το ANSYS είναι οργανωµένο σε δύο βασικά επίπεδα [11]: Το αρχικό επίπεδο (Begin Level) Το επίπεδο επεξεργασίας (Processor Level) Το αρχικό επίπεδο λειτουργεί σαν πύλη εισόδου και εξόδου προς και από το ANSYS. Χρησιµοποιείται επίσης και για κάποιες γενικές ρυθµίσεις που ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να εφαρµόσει όπως αλλαγή του ονόµατος (jobname) µε το οποίο επιθυµεί να αποθηκεύονται τα αρχεία και την εκκαθάριση (µηδενισµό) της βάσης δεδοµένων (database). Με την είσοδο µας στο πρόγραµµα βρισκόµαστε στο αρχικό επίπεδο. Στο επίπεδο επεξεργασίας είναι διαθέσιµοι διάφοροι επεξεργαστές. Κάθε επεξεργαστής είναι µια οµάδα εντολών που επιτελούν ένα συγκεκριµένο έργο. Για παράδειγµα ο γενικός προ-επεξεργαστής (PREP7) είναι αυτός µε τον οποίο κατασκευάζεται το µοντέλο, ο επεξεργαστής επίλυσης (SOLUTION) είναι αυτός µε τον οποίο εφαρµόζουµε τα φορτία 90

97 στο µοντέλο και πετυχαίνουµε τα αποτελέσµατα και ο γενικός µετάεπεξεργαστής (POST1) όπου γίνετε η εκτίµηση των αποτελεσµάτων. Το ANSYS διαθέτει και έναν επιπλέον µετά-επεξεργαστή (POST26) που επιτρέπει την εκτίµηση των αποτελεσµάτων σε συγκεκριµένα σηµεία του µοντέλου συναρτήσει του χρόνου. 4.3 Η βάση δεδοµένων του ANSYS Σε µια µεγάλη βάση δεδοµένων το ANSYS αποθηκεύει όλα τα δεδοµένα εισόδου (διαστάσεις του µοντέλου, ιδιότητες των υλικών, δεδοµένα των φορτίων κλπ) όπως επίσης και τα αποτελέσµατα, µε έναν οργανωµένο τρόπο. Το βασικό πλεονέκτηµα αυτής της βάσης δεδοµένων είναι ότι µπορούν να εµφανιστούν, να τροποποιηθούν ή και να διαγραφούν τα δεδοµένα που επιθυµούµε γρήγορα και εύκολα. Ανεξάρτητα από τον επεξεργαστή στον οποίο βρισκόµαστε δουλεύουµε µε την ίδια βάση δεδοµένων [11]. 4.4 Τα αρχεία του ANSYS Το πρόγραµµα του ANSYS γράφει και διαβάζει πολλά αρχεία για την αποθήκευση και την ανάκτηση δεδοµένων. Τα ονόµατα αυτών των αρχείων έχουν τη µορφή Name.ext. Το Name είναι το όνοµα (jobname) που επιλέγει κάθε φορά ο χρήστης και το ext είναι ένα µοναδικό χαρακτηριστικό που ταυτίζεται µε το περιεχόµενο του αρχείου. Μπορεί να έχει 2 µε 4 χαρακτήρες. Για παράδειγµα το αρχείο jobname.db είναι το αρχείο της βάσης δεδοµένων ενώ το αρχείο jobname.grph είναι το αρχείο γραφικών [11]. 4.5 Τρόποι επικοινωνίας µε το ANSYS Υπάρχουν 2 ρυθµοί επικοινωνίας του χρήστη µε το ANSYS [11]. Ο πρώτος, που είναι και ο πιο εύκολος, γίνεται χρησιµοποιώντας το σύστηµα καταλόγου του ANSYS (ANSYS menu system) και 91

98 ονοµάζεται γραφική σύνδεση µε τον χρήστη (Graphical User Interface, GUI). Η γραφική σύνδεση µε τον χρήστη αποτελείται από παράθυρα, καταλόγους και άλλα παρόµοια στοιχεία που επιτρέπουν την έλευση δεδοµένων εισόδου και την εκτέλεση των λειτουργιών του ANSYS µε εύκολο τρόπο. Ο δεύτερος τρόπος επικοινωνίας µε το ANSYS επιτυγχάνεται µέσω εντολών. Το ANSYS διαθέτει περισσότερες από 1200 εντολές και η κάθε µία επιτελεί µια συγκεκριµένη λειτουργία. Οι περισσότερες συσχετίζονται µε συγκεκριµένους (έναν ή περισσότερους) επεξεργαστές και µπορούν να λειτουργήσουν µόνο σε αυτούς. 4.6 Εκτέλεση του προγράµµατος Το πρόγραµµα µπορεί να εκτελεστεί από το ANSYS µε δύο τρόπους [11]: Ο πρώτος περιλαµβάνει συνεχή αλληλεπίδραση-επικοινωνία (interactive mode) µεταξύ του χρήστη και του υπολογιστή. Με αυτό τον τρόπο ο χρήστης µπορεί να εκτελέσει µια εντολή είτε µέσω της γραφικής σύνδεσης µε τον χρήστη (Graphical User Interface) είτε πληκτρολογώντας κατευθείαν την εντολή. Ο τρόπος αυτός επιτρέπει στον χρήστη να χρησιµοποιεί διάφορα εργαλεία σε πραγµατικό χρόνο, να δηµιουργεί το µοντέλο του στο παράθυρο γραφικών και να το τροποποιεί, εφόσον χρειαστεί, κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Ο δεύτερος τρόπος, batch mode, υλοποιείται µε την υποβολή ενός αρχείου εντολών στο ANSYS. Σε ορισµένα λειτουργικά συστήµατα υπάρχει η δυνατότητα της εκτέλεσης του αρχείου από το πρόγραµµα του ANSYS µε ταυτόχρονη εργασία του χρήστη σε κάποιο άλλο πρόγραµµα στον υπολογιστή. Ο τρόπος αυτός είναι χρήσιµος όταν δεν χρειάζεται η αλληλεπίδραση-επικοινωνία µε το πρόγραµµα. 92

99 4.7 Βασικός οδηγός αναλύσεων µε το ANSYS Η τυπική διαδικασία που ακολουθείται για την επίλυση ενός προβλήµατος µε το πρόγραµµα ANSYS είναι η παρακάτω [11]: 1. Κατασκευή του µοντέλου. 2. Εφαρµογή των φορτίων και επίτευξη της λύσης 3. Ανασκόπηση των αποτελεσµάτων Φορτία (Loads) Σύµφωνα µε το πρόγραµµα ANSYS η λέξη φορτία περιλαµβάνει οριακές συνθήκες και εσωτερικά ή εξωτερικά εφαρµοζόµενες δυνάµεις. Για παράδειγµα έχουµε [11]: Κατασκευαστικά φορτία: µετατοπίσεις, δυνάµεις, πιέσεις, θερµοκρασίες, βαρύτητα. Θερµικά φορτία: θερµοκρασίες, ρυθµός ροής θερµότητας, εσωτερική παραγωγή θερµότητας. Μαγνητικά φορτία: µαγνητικά δυναµικά, µαγνητική ροή. Ηλεκτρικά φορτία: ηλεκτρικά δυναµικά, ηλεκτρικά ρεύµατα, ηλεκτρικά φορτία Φορτία ρευστών: ταχύτητες, πιέσεις. Τα φορτία χωρίζονται σε έξι κατηγορίες: Φορτία περιορισµού των βαθµών ελευθερίας (Degree of Freedom Constraints), δυνάµεις (συγκεντρωµένα φορτία), επιφανειακά φορτία, φορτία όγκου, φορτία αδράνειας και φορτία συζευγµένων πεδίων. Τα φορτία περιορισµού των βαθµών ελευθερίας ορίζουν µια γνωστή τιµή σε ένα βαθµό ελευθερίας. Η δύναµη είναι ένα συγκεντρωµένο φορτίο που εφαρµόζεται σε κόµβους του µοντέλου. Τα επιφανειακά φορτία κατανέµονται σε µια επιφάνεια. Τα φορτία όγκου είναι φορτία ογκοµετρικά. Τα φορτία αδράνειας είναι αυτά που έχουν χαρακτηριστικά της αδράνειας µιας µάζας όπως είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. 93

100 Τα φορτία συζευγµένων πεδίων είναι ειδικές περιπτώσεις των παραπάνω κατηγοριών όπου τα αποτελέσµατα µιας ανάλυσης χρησιµοποιούνται σας φορτία σε κάποια άλλη ανάλυση. Τα φορτία εφαρµόζονται είτε στο στέρεο µοντέλο δηλαδή στα σηµεία, στις γραµµές και στις επιφάνειες είτε στο µοντέλο µε τα πεπερασµένα στοιχεία δηλαδή στους κόµβους και στα στοιχεία. Παρ όλ αυτά εάν τα φορτία εφαρµοσθούν στο στερεό µοντέλο το πρόγραµµα αυτόµατα τα µεταφέρει στους κόµβους και στα στοιχεία στην αρχή της διαδικασίας της επίλυσης Επίλυση του προβλήµατος Στη φάση αυτή της επίλυσης ο υπολογιστής επιλύει το σύνολο των εξισώσεων που έχει δηµιουργηθεί, µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων. Το ANSYS παρέχει διάφορες µεθόδους επίλυσης ανάλογα µε τη φύση του προβλήµατος, δηλαδή ανάλογα µε τον αριθµό των βαθµών ελευθερίας που διαθέτει, και ανάλογα µε τη διαθέσιµη µνήµη του υπολογιστή. Οι µέθοδοι αυτοί είναι: Άµεση αραιή επίλυση (Sparse Direct Solution), Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) επίλυση, Jacobi Conjugate Gradient (JCG) επίλυση, Incomplete Cholesky Conjugate Gradient (ICCG) επίλυση, άµεση µετωπική επίλυση (frontal direct solution), και αυτόµατη επαναληπτική επίλυση (automatic iterative solver (ITER)). Η άµεση αραιή επίλυση (περιλαµβάνει και τη µέθοδο Block Lanczos που χρησιµοποιείται στην ανάλυση των ιδιοσυχνοτήτων) είναι αυτή που χρησιµοποιεί το πρόγραµµα για όλες σχεδόν τις αναλύσεις, εφόσον ο χρήστης δεν επιλέξει κάποια άλλη µέθοδο, και είναι αυτή που χρησιµοποιήθηκε για τις δικές µας αναλύσεις. Βασίζεται σε µια άµεση µείωση των εξισώσεων, σε αντίθεση µε τις επαναληπτικές επιλύσεις, όπου η λύση επιτυγχάνεται µε µια επαναληπτική διαδικασία όπου βελτιώνεται σε κάθε επανάληψη µια αρχική υπόθεση λύση του προβλήµατος, εντός ενός επιτρεπτού ορίου ανοχής της πραγµατικής λύσης. Η άµεση απαλοιφή, απαιτεί παραγοντοποίηση ενός αρχικού, αραιού, γραµµικού συστήµατος εξισώσεων σε ένα κάτω τριγωνικό πίνακα ακολουθούµενου από έµπροσθεν 94

101 και όπισθεν αντικαταστάσεις χρησιµοποιώντας αυτά τα τριγωνικά στοιχεία. Οι κάτω τριγωνικοί πίνακες που προκύπτουν είναι συνήθως πολύ µεγαλύτεροι από τον αρχικό αραιό πίνακα µε αποτέλεσµα τις µεγαλύτερες απαιτήσεις σε δίσκο και µνήµη RAM. Η άµεση αραιή επίλυση µειώνει το κόστος της παραγοντοποίησης των πινάκων όπως και του µεγέθους των πινάκων που προκύπτουν. Οι µέθοδοι της άµεσης παραγοντοποίησης δίνουν πάντα µια µοναδική λύση όταν οι πίνακες είναι αντιστρέψιµοι (singular) [11] Ανασκόπηση των αποτελεσµάτων Μετά την επίλυση του προβλήµατος, επόµενο βήµα είναι η ανασκόπηση των αποτελεσµάτων. Το ANSYS διαθέτει δύο µετάεπεξεργαστές για αυτό τον σκοπό. Το γενικό µετά-επεξεργαστή POST1 και τον µετά-επεξεργαστή χρόνου-ιστορίας POST26. Ο POST1 επιτρέπει την ανασκόπηση των αποτελεσµάτων σε ολόκληρο το µοντέλο σε συγκεκριµένες χρονικές στιγµές ή συχνότητες ενώ ο POST26 επιτρέπει την ανασκόπηση την µεταβολής ενός συγκεκριµένου αποτελέσµατος σε συγκεκριµένα σηµεία του µοντέλου συναρτήσει του χρόνου, της συχνότητας ή κάποιου άλλου µεγέθους [11]. 4.8 Πλεγµατοποίηση Μετά την κατασκευή του µοντέλου επόµενο βήµα είναι η πλεγµατοποίηση του. Το ANSYS προσφέρει δύο τρόπους πλεγµατοποίησης [11]. Την ελεύθερη πλεγµατοποίηση (free meshing) και την πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία (mapped meshing). Η ελεύθερη πλεγµατοποίηση δεν έχει περιορισµούς όσο αφορά στο σχήµα των στοιχείων που χρησιµοποιούνται και δεν έχει επαναλαµβανόµενη µορφή (Σχήµα 4-1). 95

102 Σχήµα 4-1 Ελεύθερη πλεγµατοποίηση Αντίθετα η πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία έχει περιορισµούς. Χρησιµοποιεί είτε τετραγωνικά και τριγωνικά στοιχεία για πλεγµατοποίηση σε επιφάνεια, είτε εξαεδρικά στοιχεία για πλεγµατοποίηση σε όγκο. Επιπλέον, όπως παρατηρούµε και στο Σχήµα 4-2 αυτό το είδος της πλεγµατοποίησης έχει συµµετρικό σχέδιο µε ξεκάθαρες σειρές στοιχείων. Σχήµα 4-2 Πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Η πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία αν και παρέχει πιο ικανοποιητικά αποτελέσµατα σε σχέση µε την ελεύθερη πλεγµατοποίηση καθώς χρησιµοποιεί εξαεδρικά στοιχεία αντί για τετραεδρικά, δεν µπορεί να εφαρµοσθεί σε περίπλοκες γεωµετρίες. Συγκεκριµένα για να εφαρµόσει ο 96

103 χρήστης πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία σε έναν όγκο θα πρέπει ο τελευταίος να πληροί τις παρακάτω τρεις συνθήκες: 1. Ο όγκος θα πρέπει να έχει σχήµα ορθογωνίου κουτιού (να συνορεύει µε έξι επιφάνειες) ή σχήµα πρίσµατος (να συνορεύει µε πέντε επιφάνειες) ή σχήµα τετραέδρου (να συνορεύει µε τέσσερις επιφάνειες). 2. Ο όγκος θα πρέπει να έχει ίσο αριθµό στοιχείων στις απέναντι πλευρές. 3. Ο αριθµός των στοιχείων σε τριγωνικές επιφάνειες θα πρέπει να είναι ζυγός εάν ο όγκος είναι πρίσµα ή τετράεδρο. 4.9 Πεπερασµένα στοιχεία (Finite Elements) Το ANSYS περιλαµβάνει µια µεγάλη βιβλιοθήκη µε πεπερασµένα στοιχεία. Περίπου 200 διαφορετικά στοιχεία είναι διαθέσιµα στον χρήστη ανάλογα µε τη φύση του προβλήµατος του. Κάθε στοιχείο προσδιορίζεται από ένα όνοµα (µε µέγιστο 8 χαρακτήρες) και ένα µοναδικό αριθµό που το προσδιορίζει π.χ FLUID30. Το σχήµα των πεπερασµένων στοιχείων µπορεί σε γενικές γραµµές να είναι σηµείο, γραµµή, επιφάνεια ή όγκος. Επιπλέον ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να δηµιουργήσει δικούς του τύπους πεπερασµένων στοιχείων και να τα χρησιµοποιήσει στην ανάλυση ως στοιχεία χρήστη (user element) [11]. Οι σηµαντικότερες κατηγορίες των στοιχείων είναι: οι κατασκευαστικές (STRUCTURAL), οι θερµικές (THERMAL), οι ρευστές (FLUID), οι µαγνητοηλεκτρικές (MAGNETIC ELECTRIC), οι ηλεκτροµηχανικές (ELECTROMECHANICAL) και οι κατηγορίες συζευγµένου πεδίου (COUPLED FIELD). Σε προβλήµατα ακουστικής τα πεπερασµένα στοιχεία που διαθέτει το ANSYS στον χρήστη είναι [11]: FLUID29 και FLUID30 που χρησιµοποιούνται για να µοντελοποιήσουν το ρευστό εσωτερικό τµήµα (αέρας) σε ένα µοντέλο µε δυο και τρεις διαστάσεις αντίστοιχα 97

104 FLUID129 και FLUID130 που χρησιµοποιούνται για να µοντελοποιήσουν το οριακό στρώµα γύρω από τα FLUID29 και FLUID30. Στις αναλύσεις µας, που εφαρµόσθηκαν σε µοντέλα τριών διαστάσεων χρησιµοποιήθηκε το στοιχείο FLUID30 χαρακτηριστικά του οποίου παρουσιάζονται στη συνέχεια FLUID30 Το FLUID30 χρησιµοποιείται για την µοντελοποίηση του ρευστού µέσου και του συνόρου σε προβλήµατα αλληλεπίδρασης µεταξύ ρευστού και στερεού. Το στοιχείο έχει οχτώ κόµβους, ένα σε κάθε γωνία µε τέσσερις βαθµούς ελευθερίας ανά κόµβο: µετατόπιση κατά τον άξονα x, y, z και πίεση. Παρ όλα αυτά, η µετατόπιση εφαρµόζεται στους κόµβους που βρίσκονται στο σύνορο και όχι στους εσωτερικούς [11]. Επιπλέον το στοιχείο έχει τη δυνατότητα να περιλαµβάνει ηχοαπορροφητική απόσβεση στους κόµβους που βρίσκονται στο σύνορο. Η γεωµετρία του στοιχείου απεικονίζεται στο Σχήµα 4-3. Σχήµα 4-3 Γεωµετρία του στοιχείου FLUID30 Το στοιχείο ορίζεται από οχτώ κόµβους, µια πίεση αναφοράς, και από ισοτροπικές ιδιότητες. Η πίεση αναφοράς χρησιµοποιείται για να υπολογιστεί η στάθµη ηχητικής πίεσης του στοιχείου Υποθέσεις και περιορισµοί Το στοιχείο πρέπει να έχει µη µηδενικό όγκο 98

105 Η αρίθµηση των κόµβων του στοιχείου θα πρέπει να γίνονται είτε µε τον τρόπο που απεικονίζεται στο Σχήµα 4-3 είτε αλλάζοντας τα επίπεδα IJKL και MNOP. Τα στοιχεία δεν θα πρέπει να στρεβλωθούν έτσι ώστε να αποκτήσουν δύο διαφορετικούς όγκους. Αυτό µπορεί να συµβεί εάν η αρίθµηση των όγκων δεν γίνει µε τη σωστή σειρά. Όλα τα στοιχεία πρέπει να έχουν 8 κόµβους. Ένα στοιχείο µε πρισµατική γεωµετρία µπορεί να σχηµατιστεί ορίζοντας διπλούς K και L και διπλούς O και P κόµβους. Επίσης είναι διαθέσιµη τετραεδρική γεωµετρία. Η ακουστική πίεση στο ρευστό καθορίζεται από την κυµατική εξίσωση λαµβάνοντας υπόψη τις παρακάτω υποθέσεις: o Το ρευστό είναι συµπιεστό (η πυκνότητα αλλάζει σύµφωνα µε τις αλλαγές της πυκνότητας). o Το ρευστό θεωρείται ιδανικό. o Η µέση πυκνότητα και πίεση είναι αµετάβλητες σε όλο το αέριο. o Οι αναλύσεις περιορίζονται για σχετικά µικρές ακουστικές πιέσεις έτσι ώστε οι αλλαγές στην πυκνότητα να είναι µικρές σχετικά µε τη µέση πυκνότητα ANSYS και ακουστική Μια ακουστική ανάλυση στο ANSYS περιλαµβάνει συνήθως µοντελοποίηση του ρευστού µέσου και του δοµικού χώρου που το περικλείει. Τα µεγέθη που συνήθως µας ενδιαφέρουν είναι η κατανοµή της πίεσης στο ρευστό σε διαφορετικές συχνότητες, το διάνυσµα της πίεσης, η ταχύτητα σωµατιδίου, η στάθµη ηχητικής πίεσης όπως επίσης περίθλαση, µετάδοση, ακτινοβολία, εξασθένιση και διασπορά των ηχητικών κυµάτων. Μια συζευγµένη ακουστική ανάλυση λαµβάνει υπόψη της την αλληλεπίδραση µεταξύ ρευστού και στερεού ενώ µια µη-συζευγµένη ανάλυση την αγνοεί. 99

106 Μια πληθώρα ακουστικών προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν πραγµατοποιώντας ανάλυση αρµονικής απόκρισης (harmonic response analysis). Η ανάλυση υπολογίζει την κατανοµή της πίεσης στο ρευστό λόγω αρµονικού (ηµιτονοειδή) φορτίου στο σύνορο στερεού - ρευστού. Καθορίζοντας ένα εύρος συχνοτήτων για το φορτίο µπορούµε να παρατηρήσουµε την κατανοµή της πίεσης σε διάφορες συχνότητες. Επίσης µπορεί να πραγµατοποιηθεί ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων (modal analysis) ενός χώρου όπου βρίσκονται οι φυσικές ιδιοσυχνότητες του χώρου και µεταβατική ανάλυση (transient analysis) όπου καθορίζετε η δυναµική απόκριση του στερεού κάτω από την επίδραση φορτίων εξαρτώµενα από τον χρόνο. Στην ακουστική χώρων είναι θεµιτό η ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων να προηγείται της αρµονικής ανάλυσης καθώς η γνώση των φυσικών ιδιοσυχνοτήτων ενός χώρου επιτρέπει στην καλύτερη κατανόηση και ερµηνεία των αποτελεσµάτων [11] Ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων (Μodal Αnalysis) Με την ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων καθορίζονται τα χαρακτηριστικά δόνησης (ιδιοσυχνότητες και µορφή ρυθµών) µιας κατασκευής ή ενός στοιχείου µιας µηχανής ενώ σχεδιάζεται. Οι ιδιοσυχνότητες και η µορφή των ρυθµών είναι σηµαντικές παράµετροι και πρέπει να είναι γνωστοί πριν από κάθε άλλου είδους ανάλυση [11]. Στο ANSYS η ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων είναι γραµµική ανάλυση. Οποιεσδήποτε µη-γραµµικότητες αγνοούνται ακόµα και αν έχουν οριστεί. Ο χρήστης µπορεί να επιλέξει την κατάλληλη µέθοδο για να εξάγει τα αποτελέσµατα. Οι διαθέσιµες µέθοδοι είναι: Block Lanczos (χρησιµοποιείται αυτόµατα από το πρόβληµα εφόσον δεν έχει οριστεί κάποια άλλη µέθοδος), Subspace, PowerDynamics, µειωµένη (Reduced), µη-συµµετρική (Unsymmetric), αποσβεννύµενη (Damped), και QR αποσβεννύµενη (QR damped). Οι δύο τελευταίες µέθοδοι επιτρέπουν να εισαχθεί απόσβεση στην κατασκευή. Η µέθοδος QR damped επιτρέπει τη χρήση µη συµµετρικών πινάκων ακαµψίας και απόσβεσης [11]. Τα βήµατα που ακολουθούνται σε µια ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων είναι: 100

107 1. Κατασκευή του µοντέλου 2. Εφαρµογή των φορτίων και επίλυση 3. Εξαγωγή των ιδιοσυχνοτήτων 4. Ανασκόπηση των αποτελεσµάτων Η εξίσωση της κίνησης για ένα µη-αποσβεννύµενο σύστηµα είναι: [ M ]{ u& } + [ K]{ u} = { 0} (4.1) όπου: Μ = πίνακας µάζας Κ = πίνακας ακαµψίας. Για ένα γραµµικό σύστηµα οι ελεύθερες δονήσεις θα είναι αρµονικές της µορφής: { u} = { Φ} cosωt i i (4.2) όπου: { Φ i } = είναι το ιδιοδιάνυσµα που αντιπροσωπεύει τη µορφή του ρυθµού της φυσικής συχνότητας ω i = κυκλική συχνότητα t = χρόνος Η εξίσωση (1) λόγω της (2) γίνεται: 2 ( [ M] + [ K] ){ Φ} = { 0} ω (4.3) i i Η παραπάνω εξίσωση ικανοποιείται είτε όταν { } = { 0} 2 ([ K] [ M] ω ) = { 0} i Φ i είτε όταν λύση: Η πρώτη περίπτωση δεν µας ενδιαφέρει. Η δεύτερη περίπτωση έχει [ ] 2 [ M] = 0 K ω (4) 101

108 Αυτό είναι το πρόβληµα των ιδιοτιµών που µπορεί να επιλυθεί για µέχρι n τιµές του 2 ω i και n ιδιοδιανύσµατα { Φ} i που ικανοποιούν την εξίσωση (4.3) όπου n ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας Σύγκριση των µεθόδων εξαγωγής των ιδιοσυχνοτήτων Η βασική εξίσωση που επιλύεται σε µια τυπική ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων χωρίς απόσβεση είναι [11]: 2 [ K]{ φ } ω [ M]{ φ } i = (4.4) i i όπου: [Κ] = πίνακας ακαµψίας [Μ] = πίνακας µάζας { φ i } = ιδιοδιάνυσµα του i ρυθµού ιδιοτιµή) Ω = φυσική κυκλική συχνότητα του i ρυθµού ( ω είναι η i Όπως προαναφέραµε οι µέθοδοι που διαθέτει το ANSYS για την επίλυση της παραπάνω εξίσωσης είναι: Block Lanczos, Subspace, PowerDynamics, Reduced, Unsymmetric, Damped, and QR damped. Οι πρώτες τέσσερις είναι αυτές που χρησιµοποιούνται πιο συχνά [11]. 2 i Μέθοδος Block Lanczos Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται για να βρεθεί ένας µεγάλος αριθµός ιδιοσυχνοτήτων (>40) µεγάλων µοντέλων. Είναι µέθοδος που δουλεύει γρήγορα αλλά απαιτεί περίπου 50% περισσότερη µνήµη απ ότι η µέθοδος Subspace. Παρ όλα αυτά, παρέχει το ίδιο ακριβή αποτελέσµατα. Χρησιµοποιεί τον αλγόριθµο Lanczos [15]. Είναι εξαιρετικά δυνατή µέθοδος στην αναζήτηση ιδιοσυχνοτήτων σε ένα συγκεκριµένο τµήµα φάσµατος ιδιοτιµών ενός δοθέντος συστήµατος. Η ταχύτητα σύγκλισης των ιδιοσυχνοτήτων θα είναι περίπου ίδια ανεξάρτητα από τη θέση τους (αρχή, µέση, τέλος) στο συχνοτικό φάσµα [11]. 102

109 Μέθοδος Subspace Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται για να βρεθεί ένας µικρότερος αριθµός ιδιοσυχνοτήτων (< 40) σε µεγάλα µοντέλα. Λειτουργεί ικανοποιητικά όταν η διαθέσιµη µνήµη είναι περιορισµένη. Χρησιµοποιεί την τεχνική της Subspace επανάληψης, [16] η οποία εσωτερικά χρησιµοποιεί τον γενικευµένο επαναληπτικό Jacobi αλγόριθµο. Είναι πολύ ακριβής µέθοδος επειδή χρησιµοποιεί πλήρεις [Κ] και [Μ] πίνακες. Για τον ίδιο λόγο είναι πιο αργή από τη µέθοδο Reduced. Η Subspace µέθοδος χρησιµοποιείται κυρίως σε περιπτώσεις όπου απαιτείται µεγάλη ακρίβεια [11]. Μέθοδος PowerDynamics Με τη µέθοδο αυτή µπορεί να βρεθεί ένας µικρός αριθµός ( 20) από τις πρώτες ιδιοσυχνότητες µεγάλων µοντέλων. Εσωτερικά η µέθοδος χρησιµοποιεί την Subspace επανάληψη αλλά χρησιµοποιεί την Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) επίλυση. Είναι πιο γρήγορη µέθοδος και από την Block Lanczos και από την Subspace αλλά η σύγκλιση υπό συγκεκριµένες συνθήκες, όπως χαµηλής ποιότητας στοιχεία, µπορεί να µην πραγµατοποιηθεί [11]. Μέθοδος Reduced Σε µικρούς ή µεσαίους χώρους η µέθοδος χρησιµοποιείται για να βρεθούν όλες οι ιδιοσυχνότητες. Χρησιµοποιεί τον αλγόριθµο HBI (Householder-Bisection-Inverse iteration) για να υπολογίσει τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα. Είναι σχετικά γρήγορη µέθοδος γιατί δουλεύει µε ένα µικρό σετ βαθµών ελευθερίας που ονοµάζονται κύριοι βαθµοί ελευθερίας. Η χρήση των τελευταίων οδηγεί σε έναν σωστό πίνακα [Κ] αλλά σε ένα λιγότερο σωστό πίνακα [Μ]. Η ακρίβεια των αποτελεσµάτων εξαρτάται από το πόσο καλά ο πίνακας [Μ] προσεγγίζει τον σωστό πίνακα που µε τη σειρά του εξαρτάται από τον αριθµό και τη θέση των κύριων βαθµών ελευθερίας [11]. 103

110 Μέθοδος Unsymmetric Η µη-συµµετρική µέθοδος που χρησιµοποιεί πλήρεις πίνακες [Κ] και [Μ] χρησιµοποιείται σε προβλήµατα όπου οι πίνακες µάζας και ακαµψίας είναι µη-συµµετρικοί. Παράδειγµα είναι τα προβλήµατα µε αλληλεπίδραση µεταξύ ρευστού και στερεού. Χρησιµοποιεί τον αλγόριθµο Lanczos ο οποίος υπολογίζει µιγαδικές ιδιοσυχνότητες και ιδιοδιανύσµατα εάν το σύστηµα είναι µη-συντηρητικό. Το πραγµατικό µέρος της ιδιοτιµής αντιπροσωπεύει την ιδιοσυχνότητα ενώ το φανταστικό µέρος είναι ένα µέτρο της σταθερότητας του συστήµατος (αρνητική τιµή σηµαίνει ότι το σύστηµα είναι σταθερό ενώ θετική ότι είναι ασταθές). Θα πρέπει να πούµε ότι µε τη µη-συµµετρική µέθοδο υπάρχει πιθανότητα να µην βρεθούν κάποιες ιδιοσυχνότητες που βρίσκονται στο τέλος του συχνοτικού φάσµατος στο οποίο έχουµε ζητήσει να γίνει η ανάλυση [11] Μέθοδος Damped Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν υπάρχει απόσβεση που δεν µπορεί να αγνοηθεί. Χρησιµοποιεί πλήρεις πίνακες ([Κ], [Μ] και τον πίνακα απόσβεσης [C]) ενώ η µέθοδος που εφαρµόζεται είναι η Block Lanczos που υπολογίζει µιγαδικές ιδιοσυχνότητες και ιδιοδιανύσµατα. Το φανταστικό µέρος της ιδιοτιµής, Ω, αντιπροσωπεύει τη κυκλική συχνότητα του συστήµατος που είναι σταθερής κατάστασης. Το πραγµατικό µέρος, σ, αντιπροσωπεύει την ευστάθεια του συστήµατος. Εάν το σ είναι µικρότερο του µηδενός τότε το πλάτος της µετατόπισης θα µειώνεται εκθετικά σύµφωνα µε την EXP(σ) δηλαδή το σύστηµα θα είναι σταθερό. Εάν το σ είναι µεγαλύτερο του µηδενός τότε το πλάτος θα αυξάνεται εκθετικά δηλαδή το σύστηµα θα παρουσιάζει αστάθεια. Εάν δεν υπάρχει απόσβεση το πραγµατικό µέρος της ιδιοτιµής θα είναι µηδέν [11]. Μέθοδος QR Damped Η µέθοδος αυτή συνδυάζει τα πλεονεκτήµατα της µεθόδου Block Lanczos µε τη µιγαδική µέθοδο Hessenberg. Η λογική της µεθόδου είναι να παραστήσει τις λίγες, πρώτες, µιγαδικές αποσβεννύµενες ιδιοτιµές µε 104

111 µετατροπή (modal transformation) χρησιµοποιώντας ένα µικρό αριθµό ιδιοδιανυσµάτων του µη-αποσβεννύµενου συστήµατος. Η ακρίβεια της µεθόδου εξαρτάται από αυτόν τον αριθµό των ιδιοδιανυσµάτων (όσο µεγαλύτερη απόσβεση έχει ένα σύστηµα τόσο µεγαλύτερος αριθµός ιδιοδιανυσµάτων πρέπει να χρησιµοποιηθεί). Η µέθοδος αυτή δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα όταν τα συστήµατα παρουσιάζουν µικρή απόσβεση και χρησιµοποιείται ακόµα και όταν το µοντέλο παρουσιάζει µη-συµµετρική ακαµψία. Εφαρµόζεται κυρίως σε µεγάλα µοντέλα. Σε γενικές γραµµές το ANSYS συνιστά τη χρήση της Damped µεθόδου σε περιπτώσεις µε απόσβεση και σε µικρά µοντέλα καθώς παρέχει πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα [11]. 105

112 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρµογή στην Ακουστική Απλών Όγκων

113 5. Εφαρµογή στην Ακουστική Απλών Όγκων 5.1 Γενικά Σε αυτό το κεφάλαιο εφαρµόζουµε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων σε απλές κατασκευές, σε απλά ορθογώνια µικρών και µεσαίων διαστάσεων. Τα αποτελέσµατα συγκρίνονται µε αυτά των αναλυτικών επιλύσεων και παρουσιάζονται συγκριτικά διαγράµµατα. 5.2 Ορθογώνιες κατασκευές Παρακάτω παρουσιάζονται οι διαστάσεις των ορθογωνίων για τις οποίες έγιναν οι εφαρµογές. Σχήµα 5-1 ιαστάσεις ορθογώνιων παραλληλεπίπεδων Πήραµε τρεις περιπτώσεις για κάθε ένα ορθογώνιο: 1. Αραιή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία (Coarse Mapped Meshing) (Σχήµα 5-2) 2. Πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία (Dense Mapped Meshing) (Σχήµα 5-3) 3. Ελεύθερη πλεγµατοποίηση (Free Meshing) (Σχήµα 5-4) 107

114 Σχήµα 5-2 Αραιή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Σχήµα 5-3 Πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία 108

115 Σχήµα 5-4 Ελεύθερη πλεγµατοποίηση Θα πρέπει να πούµε ότι ο κανόνας που εφαρµόσαµε στις περιπτώσεις πλεγµατοποίησης µε αντιστοιχία είναι ότι η µέγιστη απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών κόµβων δεν θα πρέπει να ξεπερνά την τιµή λ/6 όπου λ είναι το µήκος κύµατος της µέγιστης συχνότητας για την οποία ενδιαφερόµαστε. Η απόσταση αυτή µπορεί να µικρύνει για την απόκτηση ακριβέστερων αποτελεσµάτων αλλά αυτό οδηγεί σε µεγαλύτερες υπολογιστικές απαιτήσεις. 109

116 5.2.1 Ορθογώνιο µικρού µεγέθους (6 x 4 x 2,5) Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται συνοπτικά κάποια γενικά στοιχεία για κάθε µια από τις τρεις περιπτώσεις που αναφέραµε. ιαστάσεις 6 x 4 x 2,5 L x W x H Μέγιστη συχνότητα Αριθµός κόµβων Αριθµός στοιχείων Μέση απόσταση µεταξύ των κόµβων Αραιή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Ελεύθερη πλεγµατοποίηση 200 Hz 200 Hz 200 Hz ,23m 0,17m 0,18m Πίνακας 5-1 Στοιχεία της ανάλυσης ορθογωνίου µικρού µεγέθους Στα διαγράµµατα που ακολουθούν παρουσιάζονται οι ιδιοσυχνότητες (ρυθµοί) που βρέθηκαν µε το πρόγραµµα ANSYS (Παράρτηµα). Συγκρίσεις γίνονται µε τα αποτελέσµατα της αναλυτικής µεθόδου. (6x4x2,5m) Ιδιοσυχνότητες Αναλυτική Πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Αραιή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Ελεύθερη πλεγµατοποίηση Hz Σχήµα 5-5 Ιδιοσυχνότητες ορθογωνίου µε διαστάσεις 6x4x2,5 (20-100Hz) 110

117 (6x4x2,5m) Ιδιοσυχνότητες Aναλυτική Πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Αραιή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Ελεύθερη πλεγµατοποίηση Hz Σχήµα 5-6 Ιδιοσυχνότητες ορθογωνίου µε διαστάσεις 6x4x2,5 ( Hz) Όπως µπορούµε να διαπιστώσουµε από τα παραπάνω διαγράµµατα, τα αποτελέσµατα είναι πολύ ικανοποιητικά συγκρινόµενα µε τα αποτελέσµατα της αναλυτικής µεθόδου, κάτι το οποίο επιβεβαιώνεται και από το διάγραµµα που ακολουθεί (Σχήµα 5-7) και στο οποίο παρουσιάζεται το ποσοστό σφάλµατος (percentage error) για κάθε µια περίπτωση. 111

118 2.5 (6x4x2,5) Ποσοστό σφάλµατος ιδιοσυχνοτήτων Αραιή πλεγµ.µε αντιστοιχία Πυκνή πλεγµ.µε αντιστοιχία Ελεύθερη πλεγµ. Υπερβολική (Πυκνή πλεγµ.µε αντιστοιχία) Υπερβολική (Ελεύθερη πλεγµ. ) Υπερβολική (Αραιή πλεγµ.µε αντιστοιχία) Hz Σχήµα 5-7 Ποσοστό σφάλµατος ιδιοσυχνοτήτων ορθογωνίου µε διαστάσεις 6x4x2,5 Όπως βλέπουµε καλύτερα αποτελέσµατα επιτυγχάνονται στην περίπτωση όπου έχουµε πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία και στην οποία το µέγιστο ποσοστό σφάλµατος φτάνει το 1,2% περίπου. Για την περίπτωση της αραιής πλεγµατοποίησης µε αντιστοιχία το µέγιστο σφάλµα φτάνει το 2,2% ενώ στην περίπτωση της ελεύθερης πλεγµατοποίησης το σφάλµα, το οποίο όπως βλέπουµε ακολουθεί εκθετική κατανοµή, φτάνει το 1,7%. Αξίζει επίσης να παρατηρήσουµε τον µεγάλο αριθµό στοιχείων που πρέπει να χρησιµοποιήσουµε στην ελεύθερη πλεγµατοποίηση για να πετύχουµε ποσοστό σφάλµατος 1,7%, κάτι το οποίο αποδεικνύει την καλύτερη ποιότητα πλεγµατοποίησης που προσφέρουν τα εξαεδρικά στοιχεία σε σχέση µε τα τετραεδρικά. Στα Σχήµατα 5-8 µε 5-11 που ακολουθούν, παρουσιάζονται ενδεικτικά οι µορφές κάποιων ρυθµών (mode shapes). Τα σηµεία µέγιστης ακουστικής πίεσης εµφανίζονται µε κόκκινο και µπλε χρώµα. 112

119 Σχήµα 5-8 Μορφή ρυθµού συχνότητας 28,6 Hz Σχήµα 5-9 Μορφή ρυθµού συχνότητας 51,6 Hz 113

120 Σχήµα 5-10 Μορφή ρυθµού συχνότητας 99,2 Hz Σχήµα 5-11 Μορφή ρυθµού συχνότητας 199,7 Hz 114

121 5.2.2 Ορθογώνιο µεσαίου µεγέθους (17 x 19 x 4,85) Ο πίνακας µε τα συνοπτικά στοιχεία των τριών περιπτώσεων παρουσιάζεται παρακάτω (Παράρτηµα). ιαστάσεις 17x19x4,85 LxW H Μέγιστη συχνότητα Αριθµός κόµβων Αριθµός στοιχείων Μέση απόσταση µεταξύ των κόµβων Αραιή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Ελεύθερη πλεγµατοποίηση 100 Hz 100 Hz 100 Hz ,57m 0,51m 0,55m Πίνακας 5-2 Στοιχεία ανάλυσης ορθογωνίου µεσαίου µεγέθους Τα διαγράµµατα µε τις ιδιοσυχνότητες παρουσιάζονται παρακάτω: (17x19x4,85m) Ιδιοσυχνότητες Aναλυτική Αραιή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Ελεύθερη πλεγµατοποίηση Hz Σχήµα 5-12 Ιδιοσυχνότητες ορθογωνίου µε διαστάσεις 17x19x4,85 (20-50Hz) 115

122 (17x19x4,85m) Ιδιοσυχνότητες Αναλυτική Αραιή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Ελεύθερη πλεγµατοποίηση Hz Σχήµα 5-13 Ιδιοσυχνότητες ορθογωνίου µε διαστάσεις 17x19x4,85 (50-75Hz) (17x19x4,85m) Ιδιοσυχνότητες Αναλυτική Αραιή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Πυκνή πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία Ελεύθερη πλεγµατοποίηση Hz Σχήµα 5-14 Ιδιοσυχνότητες ορθογωνίου µε διαστάσεις 17x19x4,85 (75-100Hz) Μπορούµε να διακρίνουµε ότι από µια συχνότητα και µετά τα αποτελέσµατα που προκύπτουν µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων δεν είναι ικανοποιητικά. Αυτό µπορεί να φανεί καλύτερα στο διάγραµµα που παρουσιάζει το ποσοστό σφάλµατος και παρουσιάζεται στο Σχήµα

123 (17x19x4,85) Ποσοστό σφάλµατος ιδιοσυχνοτήτων Αραιή πλεγµ. µε αντιστοιχία Πυκνή πλεγµ. µε αντιστοιχία Ελεύθερη πλεγµ. Υπερβολική (Ελεύθερη πλεγµ.) Υπερβολική (Αραιή πλεγµ. µε αντιστοιχία) Υπερβολική (Πυκνή πλεγµ. µε αντιστοιχία) Hz Σχήµα 5-15 Ποσοστό σφάλµατος ιδιοσυχνοτήτων ορθογωνίου µε διαστάσεις 17x19x4,85 Παρατηρούµε ότι από τη συχνότητα των 90 Hz περίπου και µετά υπάρχει σηµαντική αύξηση του ποσοστού σφάλµατος και για τις τρεις περιπτώσεις που φτάνει, στην περίπτωση της αραιής πλεγµατοποίησης µε αντιστοιχία, το 7%. Για πιο ικανοποιητικά αποτελέσµατα θα πρέπει να µικρύνουµε την απόσταση µεταξύ των διαδοχικών κόµβων κάτι το οποίο θα οδηγήσει σε µεγαλύτερες υπολογιστικές απαιτήσεις σε µνήµη και φυσικά σε χρόνο. Στα σχήµατα που ακολουθούν παρουσιάζουµε κάποιες ενδεικτικές µορφές ρυθµών. 117

124 Σχήµα 5-16 Μορφή ρυθµού συχνότητας 20,2 Hz Σχήµα 5-17 Μορφή ρυθµού συχνότητας 48,8 Hz 118

125 Σχήµα 5-18 Μορφή ρυθµού συχνότητας 88,1 Hz Σχήµα 5-19 Μορφή ρυθµού συχνότητας 82,7 119

126 Κεφάλαιο 6 ο Ακουστικές Μετρήσεις στο Αµφιθέατρο

127 6. Ακουστικές Μετρήσεις στο Αµφιθέατρο 6.1 Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό προχωρούµε στις ακουστικές µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν στο αµφιθέατρο οι διαστάσεις και το σχήµα του οποίου παρουσιάζονται στα παρακάτω σχήµατα. Σχήµα 6-1 Ισοµετρική άποψη αµφιθεάτρου 19m 4,85m 2,85m Σχήµα 6-2 Πλάγια όψη αµφιθεάτρου 121

128 9m 17m Σχήµα 6-3 Κάτοψη αµφιθεάτρου και θέσεις µέτρησης 6.2 Σκοπός των µετρήσεων Οι µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν στο αµφιθέατρο ήταν µετρήσεις σταθερής κατάστασης µετάδοσης (steady-state transmission measurements) µεταξύ της πηγής (στην περίπτωση µας µεγάφωνο) και του δέκτη (στην περίπτωση µας µικρόφωνο) µε σκοπό να καταγράψουµε την απόκριση (response) του χώρου. Γνωρίζουµε, από τη θεωρία της ακουστικής των χώρων που έχει αναπτυχθεί στο Κεφάλαιο 1, ότι για να διεγείρουµε όλους τους ρυθµούς ενός χώρου θα πρέπει η πηγή να τοποθετηθεί σε µια κάτω γωνία και ο δέκτης να τοποθετηθεί στην πάνω διαγώνια γωνία. Αυτό συµβαίνει γιατί οι ρυθµοί ταλάντωσης εµφανίζουν µέγιστη ακουστική πίεση (antinodes) στις γωνίες. Τοποθετώντας συνεπώς µε αυτό τον τρόπο την πηγή και το δέκτη λαµβάνουµε την καµπύλη της απόκρισης του χώρου στην οποία οι στενές κορυφές δηλώνουν τους ρυθµούς ταλάντωσης (ιδιοσυχνότητες) του χώρου ενώ οι πλατύτερες κορυφές είναι αποτέλεσµα πολλών γειτονικών ρυθµών ταλάντωσης. 122

129 6.3 ιαδικασία µετρήσεων Στην περίπτωση µας τοποθετήσαµε την πηγή (µεγάφωνο) στην κάτω αριστερή γωνία και το δέκτη (µικρόφωνο) στην πάνω δεξιά γωνία. Οι θέσεις του µεγάφωνου και του µικροφώνου παρουσιάζονται στο Σχήµα 6-3 Με τη βοήθεια ενός ηλεκτροακουστικού αναλυτή που οδηγεί ηµιτονοειδή σήµατα στο µεγάφωνο σαρώσαµε το χώρο. Τα σήµατα κάλυπταν φάσµα συχνοτήτων από 25 έως 200 Hz και η σάρωση έγινε µε βήµα 0,4 Hz. Η είσοδος του αναλυτή (input) συνδέθηκε µε το µικρόφωνο ενώ η έξοδος (output) µε το ηχείο µέσω του ενισχυτή όπως απεικονίζεται στο Σχήµα 6-4. ΙΝ OUT αναλυτής ενισχυτής µικρόφωνο µεγάφωνο Σχήµα 6-4 Μπλόκ διάγραµµα της µέτρησης Η καµπύλη της απόκρισης παρουσιάζεται στο Σχήµα

130 Hz db Σχήµα 6-5 Απόκριση χώρου Hz Όπως προαναφέραµε οι στενές κορυφές υποδηλώνουν τους ρυθµούς του χώρου ενώ οι πλατύτερες κορυφές είναι αποτέλεσµα αρκετών γειτονικών ρυθµών. Παρατηρούµε ότι οι διακυµάνσεις καλύπτουν µια περιοχή περίπου 35 db που είναι ένδειξη ότι δεν υπάρχει καλή διάχυση στον χώρο. Λόγω του µεγάλου µεγέθους του αµφιθεάτρου η µοντελοποίηση του, που ακολουθεί στο επόµενο κεφάλαιο, περιορίστηκε στις συχνότητες µέχρι 100 Hz. Εποµένως από την παραπάνω απόκριση χώρου µας ενδιαφέρει το διάστηµα Hz. Hz db Σχήµα 6-6 Απόκριση χώρου Hz Αναλυτικά οι συχνότητες αυτές παρουσιάζονται στον Πίνακα 6-1 ενώ εποπτικά στο Σχήµα 6-7: 124

131 Α/Α Συχνότητα (Hz) Α/Α Συχνότητα (Hz) 1 26, ,7 2 28, ,2 3 30, , ,7 5 33, ,6 6 34, ,3 7 35, ,8 8 36, ,2 9 37, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 Πίνακας 6-1 Ρυθµοί του χώρου 125

132 Μετρήσεις Hz Σχήµα 6-7 Ρυθµοί του χώρου 6.4 Εξοπλισµός-Όργανα µέτρησης Ενισχυτής (subwoofer) Jim Marshall products LTD 200 W integrated bass system, Model 5522 (Εικόνα 6-1). Εικόνα 6-1 Ενισχυτής Marshall Ηχείο Electro-voice S-200 (Εικόνα 6-2). Είναι επαγγελµατικό, τύπου monitor και έχει τα εξής τεχνικά χαρακτηριστικά: o ιαστάσεις (ύψος x πλάτος x βάθος): 61 x 38 x 21 cm. o Μέγιστη στάθµη εξόδου SPL: 122 db. o Ευαισθησία 96 db (µε ισχύ 1W σε απόσταση 1m). 126

133 o Rated Power του απαιτούµενου ενισχυτή: 600 W στα 8Ω. o Μεγάφωνο: 1 µεγάφωνο υψηλών συχνοτήτων 1,5 1 µεγάφωνο χαµηλών συχνοτήτων 12" Εικόνα 6-2 Ηχείο Electro-voice S-200 Ηλεκτροακουστικός αναλυτής Neutrik Α2 (Εικόνα 6-3, Εικόνα 6-4) Εικόνα 6-3 Αναλυτής Neutrik A2 127

134 Εικόνα 6-4 Καταγραφή της απόκρισης του αµφιθεάτρου Πυκνωτικό πανκατευθυντικό µικρόφωνο: o Σώµα: C 480 B της εταιρείας AKG (Εικόνα 6-5) o Κάψουλα: CK 62-ULS της εταιρείας AKG (Εικόνα 6-6) Εικόνα 6-5 C 480 B Εικόνα 6-6 CK 62-ULS Τεχνικά χαρακτηριστικά µικροφώνου: Πολικό διάγραµµα: πανκατευθυντικό Απόκριση συχνότητας: 20 Hz-20 khz Ευαισθησία: 40/20/6,3 mv/pa (-28/-34/-44 dbv) 128

135 Κεφάλαιο 7 ο Μοντελοποίηση του Αµφιθεάτρου

136 7. Μοντελοποίηση του Αµφιθεάτρου 7.1 Μοντελοποίηση αµφιθεάτρου Στο κεφάλαιο αυτό προχωρούµε στη µοντελοποίηση του αµφιθεάτρου µε το πρόγραµµα ANSYS. Αφού κατασκευάσαµε τη γεωµετρία προχωρήσαµε στη διαδικασία της πλεγµατοποίησης. Εξαιτίας της πολυπλοκότητας της γεωµετρίας δεν ήταν δυνατό να εφαρµοστεί πλεγµατοποίηση µε αντιστοιχία µε εξαεδρικά πεπερασµένα στοιχεία και χρησιµοποιήθηκε ελεύθερη πλεγµατοποίηση µε τετραεδρικά στοιχεία. Ο συνολικός όγκος του αµφιθεάτρου είναι 1032, 5 m 3. Σχήµα 7-1 Ελεύθερη πλεγµατοποίηση του αµφιθεάτρου (ισοµετρική άποψη) 130

137 Σχήµα 7-2 Ελεύθερη πλεγµατοποίηση του αµφιθεάτρου (κάτοψη) Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται συνοπτικά βασικά στοιχεία της ανάλυσης. Μέγιστη συχνότητα Αριθµός κόµβων Αριθµός στοιχείων Μέση απόσταση µεταξύ των κόµβων 100 Hz ,45 Πίνακας 7-1 Στοιχεία της ανάλυσης Στην ανάλυση που πραγµατοποιήθηκε θεωρήσαµε ότι δεν υπάρχει απορρόφηση στους τοίχους του αµφιθεάτρου (rigid walls) καθώς οι τοίχοι είναι από µπετό. Στα παρακάτω διαγράµµατα παρουσιάζονται οι ιδιοσυχνότητες του αµφιθεάτρου (Παράρτηµα) που βρέθηκαν µε το ANSYS συγκρινόµενες µε τα αποτελέσµατα των µετρήσεων. 131

138 ANSYS Μετρήσεις Hz Σχήµα 7-3 Ιδιοσυχνότητες αµφιθεάτρου Hz ANSYS Μετρήσεις Hz Σχήµα 7-4 Ιδιοσυχνότητες αµφιθεάτρου Hz Από τα διαγράµµατα των Σχηµάτων 7-3 και 7-4 παρατηρούµε ότι οι περισσότερες από τις ιδιοσυχνότητες που µετρήθηκαν βρέθηκαν, µε µικρές διαφορές και µε το πρόγραµµα ANSYS. Ο αριθµός όµως των συχνοτήτων που υπολογίστηκε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων είναι πολύ µεγαλύτερος από τον αριθµό των συχνοτήτων που µετρήθηκε. Αυτό οφείλεται κατά ένα µεγάλο ποσοστό στην ανοµοιοµορφία που παρουσιάζει το σχήµα του αµφιθεάτρου στο οποίο δεν υπάρχουν καθαρές, τριπλές γωνίες για να τοποθετηθούν η πηγή και ο δέκτης και να διεγερθούν όλοι οι ρυθµοί ταλάντωσης. Στα σχήµατα που ακολουθούν παρουσιάζονται ενδεικτικά οι µορφές µερικών ρυθµών του αµφιθεάτρου. 132

139 Σχήµα 7-5 Μορφή ρυθµού συχνότητας 26,4 Hz Σχήµα 7-6 Μορφή ρυθµού συχνότητας 44 Hz 133

140 Σχήµα 7-7 Μορφή ρυθµού συχνότητας 69,8 Hz Σχήµα 7-8 Μορφή ρυθµού συχνότητας 74,4 Hz 134

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΜΙΚΡΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΜΙΚΡΩΝ ΧΩΡΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΟΠΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s.

1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s. 1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s. Να βρεθεί το μήκος κύματος. 2. Σε ένα σημείο του Ειρηνικού ωκεανού σχηματίζονται κύματα με μήκος κύματος 1 m και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Α 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μηχανικό ονομάζεται το κύμα στο οποίο: α. Μεταφέρεται ύλη στον χώρο κατά την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. β. Μεταφέρεται ορμή και ενέργεια στον χώρο κατά την

Διαβάστε περισσότερα

Δομικά Υλικά Μάθημα ΙΙΙ. Ηχος & Ηχητικά Φαινόμενα

Δομικά Υλικά Μάθημα ΙΙΙ. Ηχος & Ηχητικά Φαινόμενα Δομικά Υλικά Μάθημα ΙΙΙ Ηχος & Ηχητικά Φαινόμενα Ηχος: Μια μηχανική διαταραχή η οποία προκαλείται από μια πηγή και διαδίδεται με ορισμένη ταχύτητα σε ένα ελαστικό μέσο. Μια περιοδική ταλάντωση των μορίων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 3 ΜΑΪOY 016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Ακουστικής. Νικόλαος Παλληκαράκης Καθ. Ιατρικής Φυσικής ΠΠ

Μάθημα Ακουστικής. Νικόλαος Παλληκαράκης Καθ. Ιατρικής Φυσικής ΠΠ Μάθημα Ακουστικής Νικόλαος Παλληκαράκης Καθ. Ιατρικής Φυσικής ΠΠ Περιοδική Κίνηση Μία κίνηση χαρακτηρίζεται σαν περιοδική αν αναπαράγεται απαράλλακτα σε ίσα διαδοχικά χρονικά διαστήματα. Στο χρονικό αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Ηχομονωτική προστασία κτιρίου Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή ΤμήμαΠολιτικών Μηχανικών Διάλεξη 11 η /2016 Ακουστική Ακουστική είναι η επιστήμη που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

3. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την

3. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την ΚΥΜΑΤΑ 1. Μια πηγή Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα, αρχίζει να εκτελεί τη χρονική στιγμή 0, απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση 6 10 ημ S. I.. Το παραγόμενο γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ Σε δύο σημεία Π Σε δύο σημεία Π Δύο πηγές Π 1

ΟΡΟΣΗΜΟ Σε δύο σημεία Π Σε δύο σημεία Π Δύο πηγές Π 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συμβολή κυμάτων Στα παρακάτω προβλήματα να θεωρείτε ότι το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν δεν αλλάζει 5 Σε δύο σημεία Π 1 της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού δημιουργούνται δύο σύγχρονες πηγές,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Δομικά Υλικά Μάθημα ΙV. Ηχος & Ηχητικά Φαινόμενα II

Δομικά Υλικά Μάθημα ΙV. Ηχος & Ηχητικά Φαινόμενα II Δομικά Υλικά Μάθημα ΙV Ηχος & Ηχητικά Φαινόμενα II Συντελεστής Ανάκλασης r Συντελεστής Ανάκλασης r Ο λόγος της ανακλώμενης (W r ) ηχητικής ενέργειας από την επιφάνεια προς την προσπίπτουσα (W i ) Συντελεστής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη users.auth.gr/~katsiki

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη users.auth.gr/~katsiki ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/~katsiki Σχέση δύναμης - κίνησης Δύναμη σταθερή εφαρμόζεται σε σώμα Δύναμη ανάλογη της απομάκρυνσης (F-kx) εφαρμόζεται σε σώμα Το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) U β A

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) U β A Σελίδα 1 από 5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. 1 ο ΘΕΜΑ. Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. 1 ο ΘΕΜΑ.  Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ο ΘΕΜΑ Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Το µήκος κύµατος δύο κυµάτων που συµβάλλουν και δηµιουργούν στάσιµο κύµα είναι λ. Η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών του στάσιµου κύµατος θα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018 ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π ΘΕΜΑ Α Α1. Μία ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας κινείται με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή, ενώ απομακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 5 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα Θέµα 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα.

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. Α2 Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. 1 Σκοπός Στο πείραμα αυτό θα μελετηθεί η συμπεριφορά των στάσιμων ηχητικών κυμάτων σε σωλήνα με αισθητοποίηση του φαινομένου του ηχητικού συντονισμού. Επίσης

Διαβάστε περισσότερα

Κύµατα. 9 ο Γ.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ. π 0 3 x(m) ιον. Μάργαρης

Κύµατα. 9 ο Γ.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ. π 0 3 x(m) ιον. Μάργαρης 9 ο Γ.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ιον. Μάργαρης Κύµατα 1) ίνονται 4 στιγµιότυπα κύµατος τη χρονική στιγµή t 1. Να σχεδιάστε στους ίδιους άξονες τα στιγµιότυπα τη χρονική στιγµή t 1 + t. 2) Το κύµα του σχήµατος διαδίδεται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας. Κεφάλαιο 1 ο (ταλαντώσεις)

Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας. Κεφάλαιο 1 ο (ταλαντώσεις) Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας Κεφάλαιο 1 ο (ταλαντώσεις) 1. Να αποδείξεις ότι για να εκτελέσει ένα σώµα Α.Α.Τ., η δύναµη που δέχεται πρέπει να είναι της µορφής: ΣF=-D.x 2. Να αποδείξεις ότι στο σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κρούσεις. 1 ο ΘΕΜΑ.

Κρούσεις. 1 ο ΘΕΜΑ. ο ΘΕΜΑ Κρούσεις Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε κάθε κρούση ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ, τα οποία απέχουν από το ελεύθερο άκρο αντίστοιχα,,

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ, τα οποία απέχουν από το ελεύθερο άκρο αντίστοιχα,, 1. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα: και, όπου και είναι μετρημένα σε και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΥΠΕΡΗΧΟΓΡΑΦΙΑ

ΙΑΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΥΠΕΡΗΧΟΓΡΑΦΙΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΥΠΕΡΗΧΟΓΡΑΦΙΑ Γενικές Αρχές Φυσικής Κ. Χατζημιχαήλ ΙΑΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΥΠΕΡΗΧΟΓΡΑΦΙΑ Καλώς ήλθατε Καλή αρχή Υπερηχογραφία Ανήκει στις τομογραφικές μεθόδους απεικόνισης Δεν έχει ιονίζουσα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΜΑ ΗΧΟΣ ΙΑΘΛΑΣΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ

ΚΥΜΑ ΗΧΟΣ ΙΑΘΛΑΣΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΗΧΟΣ ΚΥΜΑ ΙΑΘΛΑΣΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ Έχουμε ανάκλαση κάθε φορά που ένα κύμα το οποίο διαδίδεται σε υλικό μέσο συναντά άλλο μέσο που έχει διαφορετική πυκνότητα απότοπρώτο. Εισερχόμενος παλμός ιερχόμενος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα κατά μήκος τεντωμένου νήματος Στο τεντωμένο με δύναμη νήμα του Σχήματος 1.1α δημιουργούμε μια εγκάρσια διαταραχή (παράλληλη με τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Σάββατο 17 εκέµβρη 2016 Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Σάββατο 17 εκέµβρη 2016 Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Σάββατο 17 εκέµβρη 2016 Θέµα Α Α.1 Η συχνότητα ταλάντωσης µιας πηγής, που παράγει εγκάρσιο αρµονικό κύµα σε ένα ελαστικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - εκέµβρης 2014 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://www.perifysikhs.com 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. Αν η κρούση της σφαίρας με τον κατακόρυφο τοίχο είναι ελαστική, τότε ισχύει:. = και =.. < και =. γ. < και <. δ. = και <.

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. Αν η κρούση της σφαίρας με τον κατακόρυφο τοίχο είναι ελαστική, τότε ισχύει:. = και =.. < και =. γ. < και <. δ. = και <. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018 ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π ΘΕΜΑ Α Α1. Μία ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας κινείται με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή, ενώ απομακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 23/4/2009

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 23/4/2009 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θ Ε Μ Α 1 ο Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει σωστά την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2004 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω ερωτήσεις 2-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω ερωτήσεις 2-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 46 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Χρυσ Σµύρνης 3 : Τηλ.: 0760470 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 007 ΘΕΜΑ. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ)

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο. Α) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:

Ονοματεπώνυμο. Α) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΜΑΤΩΝ (1) ΘΕΜΑ 1 ο Ονοματεπώνυμο. Α) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες: 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή, αλλά όχι ύλη. 2) Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 017 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Μ Τετάρτη 1 Απριλίου 017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 05/1 / Ε Π Ω Ν Υ Μ Ο :...

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 05/1 / Ε Π Ω Ν Υ Μ Ο :... Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 05/1 / 2 0 1 8 Ε Π Ω Ν Υ Μ Ο :... Ο Ν Ο Μ Α : Τ Μ Η Μ Α : Ε Π Ι Μ Ε Λ Ε Ι Α Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν : ΦΑΡΜΑΚΗΣ Π. ΜΠΑΡΛΙΚΑΣ Σ. ΘΕΜΑ A

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑ 1 ο (βαθµοί 2) Σώµα µε µάζα m=5,00 kg είναι προσαρµοσµένο στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου και ταλαντώνεται εκτελώντας πέντε (5) πλήρης ταλαντώσεις σε χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α : Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής αρκεί να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Προσανατολισμού Γ Λυκείου ~~ Διάρκεια: 3 ώρες ~~

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Προσανατολισμού Γ Λυκείου ~~ Διάρκεια: 3 ώρες ~~ Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Προσανατολισμού Γ Λυκείου ~~ Διάρκεια: 3 ώρες ~~ Θέμα Α 1. Σε χορδή έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Δύο σημεία Α και Β που δεν είναι δεσμοί απέχουν μεταξύ τους απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

ΞΗΡΟΔΗΜΑΣ ΠΕΤΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΞΗΡΟΔΗΜΑΣ ΠΕΤΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΩΝ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΩΝ 1) Μια πηγή κυμάτων Ο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση: y=8 ημπt,(το t σε sec, το y σε cm). H ταχύτητα διάδοσης του παραγόμενου κύματος κατά μήκος του άξονα Οχ είναι υ=20 cm/sec.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζεται μηχανικό κύμα; Να περιγράψετε το μηχανισμό διάδοσής του. 2. Τι χρειάζεται για να δημιουργηθεί και να διαδοθεί ένα μηχανικό κύμα; Διαδίδονται

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Να διαβάσετε τις σελίδες 98 έως και 103 του σχολικού βιβλίου. Να προσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 5.4, 5.5, 5.9 και 5.13. Να γράψετε τις µαθηµατικές σχέσεις που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : MAIOΣ 2018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : MAIOΣ 2018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1ο: ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : MAIOΣ 018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ 0 ΕΚΦΩΝΗΕΙ ΘΕΜΑ Α τις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συµπληρώνει σωστά. Α. Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων 5ο Σετ Ασκήσεων - εκέµβρης Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός.

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων 5ο Σετ Ασκήσεων - εκέµβρης Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - εκέµβρης 2012 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός http://www.perifysikhs.com Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και Β ταλαντώνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

1) Κατά μήκος ενός γραμμικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα της.δυο σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέσου

1) Κατά μήκος ενός γραμμικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα της.δυο σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέσου 1 Επώνυμο. Όνομα. Αγρίνιο 20-01-2013 Ζήτημα 1 0 Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. 1) Κατά μήκος ενός γραμμικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα της.δυο σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέσου μορφής. 2() t T

Διαβάστε περισσότερα

Γ.Κονδύλη 1 & Όθωνος-Μ αρούσι Τ ηλ. Κέντρο: , /

Γ.Κονδύλη 1 & Όθωνος-Μ αρούσι Τ ηλ. Κέντρο: ,  / Γ.Κονδύλη & Όθωνος-Μ αρούσι Τ ηλ. Κέντρο:20-6.24.000, http:/ / www.akadimos.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 204 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Θεμάτων: Παπαδόπουλος Πασχάλης ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο Να επιλέξετε την σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις: 1. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση,

Διαβάστε περισσότερα

Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ :

Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ : Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ : 10.64.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΑ: 3 Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής

ΣΕΙΡΑ: 3 Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16/03/014 ΣΕΙΡΑ: 3 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις/Κύµατα/Doppler

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις/Κύµατα/Doppler ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις/Κύµατα/Doppler Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 29 Νοέµβρη 2015 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Δ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Δ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Δ. 2.2.41. Μια χορδή σε ταλάντωση ή δυο στάσιμα κύματα. Μια χορδή μήκους 5m είναι στερεωμένη στα άκρα της Κ και Λ.. Όταν θέσουμε σε ταλάντωση το μέσον της Μ, απαιτείται

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται µια διαταραχή σε ένα οµογενές ελαστικό µέσο : (γ) είναι σταθερή και εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα για τις εξετάσεις 2011

Προτεινόμενα θέματα για τις εξετάσεις 2011 Προτεινόμενα θέματα για τις εξετάσεις 011 Τάξη: Γ Γενικού Λυκείου Μάθημα: Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Α Α1-A4 Να επιλέξετε τη σωστή από τις απαντήσεις Α1. Ένα σώμα μάζας είναι στερεωμένο

Διαβάστε περισσότερα

α. 0cm. β. 10cm. γ. 20cm. δ. 40cm.

α. 0cm. β. 10cm. γ. 20cm. δ. 40cm. ΘΕΜΑ A Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων Α και Β στην επιφάνεια μιας ήρεμης λίμνης βρίσκονται σε φάση και παράγουν υδάτινα αρμονικά κύματα. Η καθεμιά παράγει κύμα (πρακτικά) αμείωτου

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 17 εκέµβρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΜΑΡΤΙΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ (7) ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ : ΚΥΜΑΤΑ (ΤΡΕΧΟΝΤΑ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ : ΚΥΜΑΤΑ (ΤΡΕΧΟΝΤΑ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ : ΚΥΜΑΤΑ (ΤΡΕΧΟΝΤΑ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:.. Αν η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι y = 0ημ(6πt - πx) στο S.I., τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με: α. 0m/s β. 6m/s γ. m/s δ. 3m/s..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ο ΜΑΘΗΜΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ο ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 2017 7 ο ΜΑΘΗΜΑ Εισαγωγή Κύμα είναι η διάδοση των περιοδικών κινήσεων (ταλαντώσεων) που κάνουν τα στοιχειώδη σωματίδια ενός υλικού γύρω από τη θέση ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΙΟΣ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΝΝΕΑ (6)

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΙΟΣ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΝΝΕΑ (6) ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΙΟΣ 019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΝΝΕΑ (6) ΘΕΜΑ Α. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΤΕΛΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΗΜΕΡ/ΝΙΑ : 15/05/2015 ΘΕΜΑ A Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Στις ερωτήσεις 1 5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Στο διάγραµµα του σχήµατος παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 29 ΑΠΡΙΛΙΟΥ ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 9 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 016- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΟΧΤΩ (8) ΘΕΜΑ Α. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Μάθημα «Φυσική (Ταλαντώσεις και Κύματα)», ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (Διάρκεια 2 h 30 min)

Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Μάθημα «Φυσική (Ταλαντώσεις και Κύματα)», ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (Διάρκεια 2 h 30 min) Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Μάθημα «Φυσική (Ταλαντώσεις και Κύματα)», 4-5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (Διάρκεια h 3 min) Η. Σ. Ζουμπούλης, Γ. Σ. Ράπτης Αθήνα, /9/5 Θέμα. Το ελατήριο του καθίσματος αυτοκινήτου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 23 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

Οι δύο θεμελιώδεις παράμετροι προσδιορισμού της ταχύτητας του φωτός στο κενό: Διηλεκτρική σταθερά ε0 Μαγνητική διαπερατότητα μ0

Οι δύο θεμελιώδεις παράμετροι προσδιορισμού της ταχύτητας του φωτός στο κενό: Διηλεκτρική σταθερά ε0 Μαγνητική διαπερατότητα μ0 Οι δύο θεμελιώδεις παράμετροι προσδιορισμού της ταχύτητας του φωτός στο κενό: Διηλεκτρική σταθερά ε0 Μαγνητική διαπερατότητα μ0 1 c 0 0 Όταν το φως αλληλεπιδρά με την ύλη, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7/4/06 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις - 7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράµμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σημείο Ο ομογενούς ελαστικής χορδής, τη χρονική στιγμή t= αρχίζει να εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση y=,5ημπt ( SI), κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Το κύμα που παράγεται διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΦάσμαGroup προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι

ΦάσμαGroup προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι Σύγχρονο ΦάσμαGroup προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι Μαθητικό Φροντιστήριο ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ-ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΒΑΡ ΙΑ: :

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΚΥΜΑΤΑ ( )

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΚΥΜΑΤΑ ( ) ΚΥΜΑΤΑ ( 2.1-2.2) Για τη δημιουργία ενός κύματος χρειάζονται η πηγή της διαταραχής ή πηγή του κύματος, δηλαδή η αιτία που θα προκαλέσει τη διαταραχή και ένα υλικό (μέσο) στο οποίο κάθε μόριο αλληλεπιδρά

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Πανελληνίων Φυσικής Κατ ο Κεφάλαιο (µέχρι και Στάσιµα)

Θέµατα Πανελληνίων Φυσικής Κατ ο Κεφάλαιο (µέχρι και Στάσιµα) Θέµατα Πανελληνίων Φυσικής Κατ. 0 00 0 Α. Η ταχύτητα διάδοσης ενός αρµονικού κύµατος εξαρτάται από α. τη συχνότητα του κύµατος β. τις ιδιότητες του µέσου διάδοσης γ. το πλάτος του κύµατος δ. την ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

2-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2-2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

2-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2-2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΞΩΦΥΛΛΟ 43 Εικ. 2.1 Κύμα στην επιφάνεια της θάλασσας. 2-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έννοια «κύμα», από τις πιο βασικές έννοιες της φυσικής, χρησιμοποιήθηκε για την περιγραφή φαινομένων που καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Διαγώνισμα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Ζήτημα 1 ον 1.. Ένα σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τις χρονικές στιγμές που το μέτρο της ταχύτητας του αντικειμένου είναι μέγιστο, το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14/4/2019

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14/4/2019 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14/4/2019 ΘΕΜΑ A Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΕΛΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΚΟΛΟΣΙΩΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΕΛΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΚΟΛΟΣΙΩΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΕΛΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΚΟΛΟΣΙΩΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό κάθε μιας από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 23 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατά την ανελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται:

2. Κατά την ανελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται: Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε μια σωστή απάντηση. 1. Ένα πραγματικό ρευστό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής με σταθερή ταχύτητα. Η πίεση κατά μήκος του σωλήνα στην κατεύθυνση της ροής μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ηχητικά κύματα Διαμήκη κύματα

Ηχητικά κύματα Διαμήκη κύματα ΦΥΣ 131 - Διαλ.38 1 Ηχητικά κύματα Διαμήκη κύματα Τα ηχητικά κύματα χρειάζονται ένα μέσο για να μεταδοθούν π.χ. αέρας Δεν υπάρχει ήχος στο κενό Ηχητικές συχνότητες 20Ηz 20ΚΗz Τα ηχητικά κύματα διαδίδονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 23 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ZHTHMA Στις ερωτήσεις έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Ενότητα 1 η : Μηχανικά Κύματα Θεωρία Γ Λυκείου

Κεφάλαιο 2 ο Ενότητα 1 η : Μηχανικά Κύματα Θεωρία Γ Λυκείου Κεφάλαιο 2 ο Ενότητα 1 η : Μηχανικά Κύματα Θεωρία Γ Λυκείου Τρέχοντα Κύματα Κύμα ονομάζεται η διάδοση μιας διαταραχής σε όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου με ορισμένη ταχύτητα. Κατά τη διάδοση ενός κύματος

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Pant. Lapas

Copyright: Pant. Lapas Εξέταση προσομοίωσης στο μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Χρόνος εξέτασης: 4.5 ώρες Σύνολο σελίδων: 5 (πέντε) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθμό της ερώτησης

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα