Χρονοσειρές - Μάθημα 8. Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών

Transcript

1 Χρονοσειρές - Μάθημα 8 Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών Γραμμική ανάλυση / Γραμμικά μοντέλα αυτοσυσχέτιση AR μοντέλο ARMA(,q) μοντέλο x x x z z z q q Πλεονεκτήματα:. Απλά. Κανονική διαδικασία, ανεπτυγμένη θεωρία για στοχαστικές διαδικασίες και στατιστική συμπερασματολογία 3. Χρήσιμα στις εφαρμογές Μειονεκτήματα:. Δεν εξηγούν μη-κανονικές μορφές της χρονοσειράς - ασυμμετρία δεδομένων (κατανομής) - μη-αντιστρεψιμότητα στο χρόνο - «ξεσπάσματα». Καθοριστικό μέρος: - σταθερό οριακό σημείο - ασταθές σύστημα - ταλάντωση μεταξύ σημείων Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών περιγραφή μηκανονικών χαρακτηριστικών εξήγηση / εντοπισμός σύνθετων καθοριστικών δομών

2

3 Γενικό μη-γραμμικό μοντέλο f (,,, f, ) (,,, ) Προσθετικός θόρυβος ',,, f : f?

4 Γραμμικό AR μοντέλο Γενικεύσεις / επεκτάσεις του γραμμικού ΑR μοντέλου σταθερά (γραμμικό ΑR),,, () () (),,, () () (),,, ( l) ( l),,, ( l) τμηματικά μοντέλα - SETAR - Μαρκοβιανά τυχαίες μεταβλητές - RCA - BL σταθερό (γραμμικό ΑR, ARMA) συνάρτηση των - ARCH - GARCH

5 Αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα με αυτό-διεγερμένο κατώφλι SETAR r l r l r r,,,, l r r r R l R R l r r R,, ],, ( Διαμερισμός του επιλογή υστέρησης d, διαμερισμός του για το d j j j j ) ( ) ( ) ( ) ( j d R SETAR όταν

6 x() Παράδειγμα SETAR αν αν ~ (,) 4 (x -,x ) for a SETAR model x(-)

7 AR μοντέλα με πιθανοκρατική επιλογή του κατωφλιού Εκθετικά AR μοντέλα (exonenal auoregressve models, EAR) ( j) ( j) j με με Παράδειγμα () () () () AR μοντέλα με περιοδικούς συντελεστές (AR models wh erodc coeffcens) ( j) ( j) j όταν όταν k k

8 AR μοντέλα με Μαρκοβιανούς συντελεστές (Markov chan drven AR models) Επιλογή κατωφλίου δίνεται από Μαρκοβιανή αλυσίδα J j,,, l Παράδειγμα Πίνακας μετάβασης P( J j J ) ( J ) (). 9 P( J j J ) = ()

9 Τμηματικά πολυωνυμικά μοντέλα f (,,, ) (,,, ) m πολυώνυμο τάξης βαθμού m Παράδειγμα a ( ) a a λογιστική a απεικόνιση Δύο σημεία ισορροπίας: και ( a ) / a Κλασματικά αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα Λόγος δύο πολυωνύμων Παράδειγμα a b j q j a b j j j j q a b q

10 AR μοντέλα με τυχαίους συντελεστές, RCA AR() με πολλαπλασιαστικό θόρυβο b RCA B () b B ) b σταθερά ( B ( ), B ( ),, B ( ) τυχαία με μέση τιμή Παράδειγμα. B ( ) ~ (,.9 ) B ανεξάρτητα των

11 Διγραμμικά μοντέλα, BL a A ) s ( A ) b jk k ( k συντελεστές a A () «Διγραμμικά» γιατί: - Αν s, s cons γραμμικό ως προς το s, s - Αν s, s cons γραμμικό ως προς το s, s BL βαθμού : a b 3 Αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές (me-varyng auoregressve models) για μη-στάσιμες χρονοσειρές. Παρουσίαση, εκτίμηση παραμέτρων, παραδείγματα / εφαρμογές

12 AR μοντέλα με δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα Μοντέλο πολλαπλασιαστικού θορύβου ARCH V V ~ (, ) ~ ARCH ~ BL GARCH V V q V 4 Παρουσίαση μοντέλων ARCH, GARCH. Συνθήκες καταλληλότητας, εκτίμηση παραμέτρων, παραδείγματα / εφαρμογές

13 Διαδικασία ανάλυσης με στατιστικά μη-γραμμικά μοντέλα. Επιλογή μοντέλου Μ υποψήφια μοντέλα, m =,...,M gx θˆ ( x) r AIC( m) ln m. Εκτίμηση παραμέτρων - μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας - μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3. Διαγνωστικός έλεγχος σφάλματα (υπόλοιπα): ασυσχέτιστα ακολουθούν κανονική κατανομή

14 φυσιολογία Πραγματικές χρονοσειρές μηχανική γεωφυσική οικονομία

15 Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών και δυναμικά συστήματα Χρονοσειρά x, x,, xn Υπόθεση: Παρατήρηση: x h( s ) s h: d d : τροχιά δυναμικού συστήματος συνάρτηση παρατήρησης Μη-γραμμικό δυναμικό σύστημα s f ( s ) s : το διάνυσμα θέσης για χρόνο f d d : συνάρτηση του συστήματος : συνεχής ή διακριτός χρόνος Για χρονοσειρές Τροχιά στο d συστήματα απώλειας ενέργειας ελκυστής

16 Ελκυστής: ευσταθές σημείο ισορροπίας πεπερασμένο σύνολο σημείων ισορροπίας οριακός κύκλος τόρος παράξενος ελκυστής μπορεί να σχηματιστεί από γραμμικό σύστημα δε μπορεί να σχηματιστεί από γραμμικό σύστημα αυτό-ομοιότητα μορφοκλασματικά ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες χάος

17 Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα, απεικονίσεις (διακριτός χρόνος) Λογιστική απεικόνιση περιοδικό a=3.5 s = a s - ( - s - ) χαοτικό a=4 χαοτική απεικόνιση Henon s =.4 s - +.3s - χαοτική απεικόνιση Ikeda s k.9s 6 ex.4 sk k

18 Μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα,ροές (συνεχής χροόνος) Σύστημα Lorenz: s s s a( s s) 3 bs cs s 3 s s s a b 8 c s s, s, s 3 s Χρόνος δειγματοληψίας τ s s s 3

19 Χρονοσειρές με θόρυβο Παρατήρηση x h( s ) θόρυβο x h( s ) w θόρυβος παρατήρησης w : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με x και s Δυναμικό σύστημα s f ( s ) θόρυβο s f ( s ) δυναμικός θόρυβος : λευκός θόρυβος, ασυσχέτιστος με su u

20 Θόρυβος: δυναμικός (συστήματος) ε παρατήρησης (μέτρησης) w λογιστική απεικόνιση s = a s - ( - s - ) + ε, ε ~ N(,s ) x = s περιοδική s = a s - ( - s - ) x = s + w, w ~ N(,s) χαοτική

21 Διαγράμματα διασποράς σε και 3 διαστάσεις d= d= d=3

22 x(-) x() x(-) x() x(-) x(-) x(-) x() x(-) Διαγράμματα διασποράς σε και 3 διαστάσεις d= d= d=3 annual sunsos sunsos sunsos me ndex 5 square of AR(9) Square x() of AR(9) x() Square of AR(9) 5 5 x(-) me ndex x() 4 x() 6 x(-) 4 6 square of z-lorenz square of z-lorenz square of z-lorenz me ndex x() x() 5 5 x(-)