ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B"

Ἄρτεμις Γούσιος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò 004 èýóåéò (äçëáäþ ôéò èýóåéò 005; 006; ; 2008; (â ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï 2008 âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò èýóåéò Ýùò 000 êáé ôï óôïé åßï 2007 óå êüðïéá áðü ôéò èýóåéò 00 Ýùò 2008; (ã ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá óôïé åßá 2006, 2007 êáé 2008 âñßóêïíôáé óå êüðïéåò áðü ôéò èýóåéò Ýùò 000; Ëýóç. (á Ìéá ìåôüèåóç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôçí ïðïßá ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò 004 èýóåéò ãßíåôáé óå 2 óôüäéá. Óôï ï óôüäéï âüæïõìå ôá 004 Üñôéá óôïé åßá óôç óåéñü þóôå íá ôïðïèåôçèïýí êáôüðéí ìå áõôþ ôç óåéñü óôéò ôåëåõôáßåò 004 èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 004! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò. Óôï 2ï óôüäéï âüæïõìå ôá 004 ðåñéôôü óôïé åßá óôç óåéñü ãéá íá ôïðïèåôçèïýí êáôüðéí ìå áõôþ ôç óåéñü óôéò ðñþôåò 004 èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 004! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò áíåîüñôçôá ìå ôçí åðéëïãþ ðïõ êüíáìå óôï ï óôüäéï. Óõíåðþò áðü ôçí ðïëëáðëáóéáóôéêþ áñ Þ, ôï ðëþèïò ôùí ìåôáèýóåùí ìå ôç æçôïýìåíç éäéüôçôá åßíáé 004! 004! (004! 2 (â Ìéá ìåôüèåóç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôçí ïðïßá ôï óôïé åßï 2008 âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò èýóåéò Ýùò 000 êáé ôï óôïé åßï 2007 óå êüðïéá áðü ôéò èýóåéò 00 Ýùò 2008 ìðïñåß íá êáôáóêåõáóôåß óå 3 óôüäéá. Óôï ï óôüäéï äéáëýãïõìå ìéá èýóç áðü ôéò èýóåéò Ýùò 000 ãéá íá ìðåé ôï óôïé åßï Áõôü ãßíåôáé ìå 000 äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò. Óôï 2ï óôüäéï äéáëýãïõìå ìéá èýóç áðü ôéò èýóåéò 00 Ýùò 2008 ãéá íá ìðåé ôï óôïé åßï Áõôü ãßíåôáé ìå 008 äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò, áíåîüñôçôá áðü ôçí åðéëïãþ ðïõ êüíáìå óôï ï óôüäéï. ÔÝëïò óôï 3ï óôüäéï âüæïõìå ôá õðüëïéðá óôïé åßá óå óåéñü óôéò õðüëïéðåò 2006 èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 2006! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò, áíåîüñôçôá áðü ôéò åðéëïãýò ðïõ êüíáìå óôï ï êáé óôï 2ï óôüäéï. Óõíåðþò, áðü ôçí ðïëëáðëáóéáóôéêþ áñ Þ, ôï ðëþèïò ôùí ìåôáèýóåùí ìå ôç æçôïýìåíç éäéüôçôá åßíáé ! (ã Ìéá ìåôüèåóç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôçí ïðïßá ôá óôïé åßá 2006, 2007 êáé 2008 âñßóêïíôáé óå êüðïéåò áðü ôéò èýóåéò Ýùò 000 ìðïñåß íá êáôáóêåõáóôåß óå 3 óôüäéá. Óôï ï óôüäéï äéáëýãïõìå ôéò 3 èýóåéò áðü ôéò èýóåéò Ýùò 000 óôéò ïðïßåò èá ôïðïèåôçèïýí ôá óôïé åßá 2006, 2007 êáé Áõôü ãßíåôáé ìå äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò. Óôï 2ï óôüäéï äéáôüóïõìå ôá óôïé åßá 2006, 2007 êáé 2008 þóôå íá ìðïõí óôéò ðñïåðéëåãìýíåò èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 3! ôñüðïõò, áíåîüñôçôá áðü ôçí åðéëïãþ ðïõ êüíáìå óôï ï óôüäéï. ÔÝëïò óôï 3ï óôüäéï âüæïõìå ôá õðüëïéðá óôïé åßá óå óåéñü óôéò õðüëïéðåò

2 2005 èýóåéò. Áõôü ãßíåôáé ìå 2005! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò, áíåîüñôçôá áðü ôéò åðéëïãýò ðïõ êüíáìå óôï ï êáé óôï 2ï óôüäéï. Óõíåðþò, áðü ôçí ðïëëáðëáóéáóôéêþ áñ Þ, ôï ðëþèïò ôùí ìåôáèýóåùí ìå ôç æçôïýìåíç éäéüôçôá åßíáé 000 3! 2005! ! 3 ÈÝìá 2. (á ( âáèìüò Íá âñåèåß ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò áíßóùóçò x + x x ; ìå ôïí ðåñéïñéóìü ï x íá åßíáé ðåñéôôüò. (â (2 âáèìïß Íá âñåèåß ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò x + x x ; ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò 20 x 400 ãéá ; 2; ; 5 êáé x 0 ãéá 6; 7; ; 0. Ëýóç. (á Ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò áíßóùóçò x + x x ìå ôïí ðåñéïñéóìü ï x íá åßíáé ðåñéôôüò ôáõôßæåôáé ìå ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò x + x x 0 + x 2008 ìå ôïí ðåñéïñéóìü ï x íá åßíáé ðåñéôôüò. ÐñÜãìáôé ïé áêýñáéåò ìç{áñíçôéêýò ëýóåéò (x ; x 2 ; ; x 0 ôçò áíßóùóçò âñßóêïíôáé óå - áíôéóôïé ßá ìå ôéò áêýñáéåò ìç{áñíçôéêýò ëýóåéò (x ; x 2 ; ; x 20 ; x ôçò åîßóùóçò, èýôïíôáò x 2008 x x 2 x 0. Ôï óýíïëï ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò ìå ôïí ðåñéïñéóìü ï x íá åßíáé ðåñéôôüò ìðïñåß íá èåùñçèåß ç îýíç Ýíùóç ôùí óõíüëùí ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò üðïõ ï x ðáßñíåé ôçí ôéìþ 2 + ãéá 0; ; 2; ; 003. Ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò ðïõ ï x ðáßñíåé ôçí ôéìþ 2 + åßíáé. Óõíåðþò ôï æçôïýìåíï ðëþèïò ëýóåùí åßíáé ( ( ( (â ñçóéìïðïéïýìå ôïí { ìåôáó çìáôéóìü ôùí ìåôáâëçôþí y x 20 ãéá ; 2; ; 5 êáé y x ãéá 6; 7; ; 0. ôóé ôï ðñüâëçìá ôïõ ðñïóäéïñéóìïý ôïõ ðëþèïõò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò áñ éêþò åîßóùóçò ìå ôïõò áñ éêïýò ðåñéïñéóìïýò áíüãåôáé óôï ðñïóäéïñéóìü ôïõ ðëþèïõò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò y + y y 0 908; 2

3 ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò 0 y 380 ãéá ; 2; ; 5 êáé y 0 ãéá 6; 7; ; 0. ÈÝôïõìå Ω ôï óýíïëï ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò áõôþò êáé Á íá åßíáé ôï õðïóýíïëï ôïõ Ω ðïõ ðåñéëáìâüíåé ôéò ëýóåéò ìå y 38, ãéá ; 2; ; 5. Ôüôå ôï æçôïýìåíï ðëþèïò ëýóåùí åßíáé ôï N(A A 2 A 5. Èá ñçóéìïðïéþóïõìå ôçí áñ Þ åãêëåéóìïý{áðïêëåéóìïý. Ðñïò ôï óêïðü áõôü õðïëïãßæïõìå ôï N(A A 2 A ãéá ; 2; ; 5 êáé êüèå õðïóýíïëï äåéêôþí { ; 2 ; ; } {; 2; ; 5}. ïõìå üôé ôï N(A A 2 A åßíáé ôï ðëþèïò ôùí ìç{áñíçôéêþí áêýñáéùí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò y + y y 0 908; ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò y 38 ãéá { ; 2 ; ; } êáé y 0 ãéá { ; 2 ; ; }. ÈÝôïíôáò íýåò ìåôáâëçôýò w y 38 ãéá { ; 2 ; ; } êáé w y ãéá { ; 2 ; ; } Ý ïõìå íá âñïýìå ôï ðëþèïò ôùí áêýñáéùí ìç{áñíçôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò w + w w êáé åðïìýíùò N(A A 2 A ñçóéìïðïéþíôáò ôçí áñ Þ åãêëåéóìïý áðïêëåéóìïý Ý ïõìå ôþñá üôé ôï æçôïýìåíï ðëþèïò ëýóåùí åßíáé N(A A 2 A 5 5 ( 5 N(A A 2 A 5 ( ÈÝìá 3. (á (2 âáèìïß Íá õðïëïãéóôåß ôï Üèñïéóìá 0 (â ( âáèìüò Íá õðïëïãéóôåß ôï Üèñïéóìá n + 2 ( 2 + ; n N m+ m ; m N + Ëýóç. (á Áíáðôýóïõìå ôïõò äéùíõìéêïýò óõíôåëåóôýò óå ðáñáãïíôéêü êáé êüíïõìå êüðïéåò áðëïðïéþóåéò ùò åîþò 0 n + 2 ( (n +! (2!(n! (2! (!! + ( (n +!!( +!(n! 0 3

4 ÐïëëáðëáóéÜæïõìå êáé äéáéñïýìå ìå n! þóôå íá äçìéïõñãçèïýí äéùíõìéêïß óõíôåëåóôýò. ïõìå 0 n + 2 ( 2 + ( (n +!n!!( +!(n!n! 0 ( ( n + n + 0 ( (n + + n + ( 0 ( (n + n + 0 (n + n + n (n + n + n + n 0 0 n + ( n áí n 0; 0 áí n 0 (â ïõìå, êüíïíôáò ôçí áëëáãþ ìåôáâëçôþò, üôé m+ m + m 0 m + 2( m 0 + m ( + ( + 2( m m! ( + ( + 2!(m! (m + (m m (m + 2! ( + (m + (m + 2 ( + 2!(m! 0 m m + 2 ( + (m + (m ÊÜíïõìå ôþñá ôçí áëëáãþ ìåôáâëçôþò + 2 ïðüôå Ý ïõìå Åßíáé üìùò êáé 2 m+ ( m + m + 2 (m (m + (m + 2 (m + (m ( m + m! ( + ( + 2!(m! 0 m m!(m + (m + 2 ( + ( + 2!(m! 0 m + 2 ( 2 m + (m + 2 ( m + 2 m+ s 2 m + 2 m + (m + 2(2 m+ s m (m m 3; 4

5 ïðüôå ôåëéêü m+ m + (m + 2(2m+ 2 + m + 3 (m + (m + 2 ÈÝìá 4. óôù a ê, ê 0; ; 2; ôï ðëþèïò ôùí óõíäõáóìþí ìå åðáíüëçøç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω {! ;! 2 ; ;! 2008 } áíü ê, üðïõ ôá! ;! 2 ; ;! 999 åìöáíßæïíôáé ðåñéôôü áñéèìü öïñþí (äçëáäþ Þ 3 Þ 5 êëð. öïñýò ôï êáèýíá, ôá! 000 ;! 00 ; ;! 999 åìöáíßæoíôáé ôï ðïëý öïñü ôï êáèýíá êáé ôá! 2000 ;! 200 ;! 2008 åìöáíßæïíôáé áêñéâþò 2 öïñýò ôï êáèýíá. (á ( âáèìüò Íá ðñïóäéïñéóôåß ç ãåííþôñéá óõíäõáóìþí A(t a ê t ê ê0 (â ( âáèìüò Íá âñåèåß Ýíáò üóï ôï äõíáôüí áðëïýóôåñïò ôýðïò ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ðëþèïõò a ê ôùí óõíäõáóìþí ìå åðáíüëçøç ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω {! ;! 2 ; ;! 2008 } áíü ê ðïõ ðëçñïýí ôéò ðáñáðüíù óõíèþêåò. Ëýóç. (á Ïé (áðëïðïéçìýíåò áðáñéèìþôñéåò ôùí óôïé åßùí! ;! 2 ; ;! 999 åßíáé A (t t + t 3 + t 5 + t t 2 ; A 2 (t t t 2 ; ; A 999 t t 2. Ãéá ôá óôïé åßá! 000 ;! 00 ; ;! 999 åßíáé A 000 (t + t, A 00 (t + t; ; A 999 (t + t, åíþ ãéá ôá! 2000 ;! 200 ; ;! 2008 åßíáé A 2000 (t t 2 ; A 200 (t t 2 ; ; A 2008 (t t 2. ÅðïìÝíùò ç ãåííþôñéá ôùí óõíäõáóìþí åßíáé A(t A (ta 2 (t A 2008 (t t 999 t 2 ( + t 000 (t 2 9 ( + t (t 07 + t t 999 t 07 t (â Åßíáé ïðüôå A(t (t 07 + t 08 (t 07 + t 08 t t t t a ( 9 07 t + 08 ( áí 0; ; ; 06; ( 9 07 ( + 20 áí 07; ( áí 08; 09; ; 5

Σχετικά έγγραφα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò